vertical_matemática creativa e innovador

ESTRATEGIAS DE INTERVENCIÓN PSICOPEDAGÓGICA

RAUL CASTAÑETA QUISPE

1. GEOPLANO

Es un cuadrado, un triángulo o un círculo de madera, plastaformo o corcho, donde insertamos alfileres o clavos en filas y columnas, de tal manera que formen pequeños cuadraditos.

Las actividades que realizamos con el geoplano, nos permiten construir: rectas paralelas, rectas perpendiculares, segmentos de mayor y menor longitud, ángulos, figuras de diferentes tamaños y formas, etc.

Con elásticos o hilos construimos figuras desde diferentes ángulos, permitiendo reconocerlas independientemente de la posición que tienen en el geoplano.

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2. TABLAS ARITMÉTICAS DE DOBLE ENTRADA

El juego consiste en sumar los números extremos con extremos por ejemplo: 3+3=6+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20El juego consiste en multiplicar extremos con extremos 3x7=21.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 62 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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3. EL JUEGO DEL ZORRO Y LAS OVEJAS

El juego del Zorro y las Ovejas, donde las 12 ovejas pueden moverse solo hacia el adelante y por las líneas indicadas, solo pueden retroceder cuando estén dentro de la cueva del zorro. En cambio el zorro puede moverse adelante y atrás, pero antes de salir de su cueva, debe dar una vuelta completa por los 7 puntos que hay en su cueva, también puede comer a las ovejas saltando sobre ellas, siempre y cuando la casilla que posterior este vacía, también en estos saltos puede comer 2 ó mas ovejas. Si el zorro come 6 ovejas, gana el juego, si las ovejas invaden la cueva del zorro o si lo encierran dejándolo sin movimiento ganan el juego.

3

1

1

1



4. JUEGOS CON FILAS NUMÈRICAS.Las filas numéricas que pueden estar enumeradas o no, donde los niños y las niñas pueden jugar con piedritas y un dado, en estas filas numéricas podrán asignarse algunos cuadros que hagan que el niño y la niña retroceda o adelante algunos cuadros, pierda o gane turnos, hasta volver el juego a la izquierda o a la derecha, etc.A) JUEGA Y RESTA:– Material:Dos dados, dos fichas de distinto color y una fotocopia de esta página para cada grupo.– Reglas:1. ª Formar grupos de dos alumnos y echar a suertes el jugador que empieza a jugar.2. ª Cada jugador, por turno, lanza dos dados, resta las puntuaciones obtenidas y avanza su ficha tantas casillas como indica la diferencia.3. ª Gana el jugador que antes llegue o sobrepase la casilla del 40.B) JUEGO DE COMPARACIÓN Y RESTA:– Material:Dos dados, dos fichas de distinto color y una fotocopia de esta página para cada grupo.– Reglas:1. ª Formar grupos de dos alumnos.2. ª En cada jugada, los dos jugadores lanzan el dado y el jugador que obtiene mayor puntuación avanza su ficha un número de casillas igual a la diferencia de las puntuaciones.3. ª Cuando los dos jugadores obtienen igual puntuación, la diferencia es cero y las fichas no se mueven.4. ª Gana el jugador que antes llegue o sobrepase la casilla del 19.C) DESCUBRE, SUMA Y RESTA:– Material:Un dado, dos fichas de distinto color para cada grupo y una fotocopia de esta página para cada alumno.– Reglas:1. ª Formar grupos de dos alumnos y echar a suertes el jugador que empieza a jugar.2. ª Cada alumno completa la serie del esquema en su hoja y después juegan los dos alumnos en un mismo esquema, colocando cada uno su ficha en la casilla de salida.3. ª Cada jugador lanza el dado. Si sale 1, 3 o 5, suma esta puntuación al número 3 de la

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salida y avanza tantos lugares como indica la suma; y si sale 2, 4 o 6, resta esta puntuación al número 8 de la salida y avanza tantos lugares como indica la diferencia.4. ª Gana el jugador que antes llegue o sobrepase la meta.

D) JUEGA, SUMA Y RESTA:– Material:Un dado, dos fichas de distinto color para cada grupo y una fotocopia de esta página para cada alumno.– Reglas:1. ª Formar grupos de dos alumnos y echar a suertes el jugador que empieza a jugar.2. ª Cada jugador lanza el dado. Si sale 1, 3 o 5, suma esta puntuación al número 2 de la salida y avanza tantos lugares como indica la suma; y si sale 2, 4 o 6, resta esta puntuación al número 9 de la salida y avanza tantos lugares como indica la diferencia.3. ª Gana el jugador que antes llegue o sobrepase la meta.

JUEGA Y RESTA

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JUEGO DE COMPARACIÓN Y RESTA

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DESCUBRE, SUMA Y RESTA

7



8



JUEGA, SUMA Y RESTA

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5. JUEGO DE TRIPTOGRAMAS.

El juego de criptogramas, es decir, aquellos mensajes clave que se dan con letras, y que al reemplazar cada letra por un número diferente, dan la operación indicada, estos mensajes pueden tener una o varias respuestas.

El primer criptograma, podemos deducir que la letra “Y” no puede valer ni cero ni uno, porque no hay un número de dos cifras que empiece con cero y tampoco puede ser uno porque si toma ese valor, la letra “T” tendría que valer también uno para poder realizar la suma por lo que tendremos dos letras “T” y “Y” con el mismo valor, lo que no es posible, por lo tanto podemos intentar con valores que van desde el dos hasta el nueve, si elegimos el siete para la “Y” tendremos.

Como l a “T” no puede valer siete (valor de la “Y”), solo podrá ser seis, no puede ser cinco, porque la suma de “U” + 7 no puede ser mayor a 16, por lo tanto solo llevaremos una unidad, con este valor de “T” tendremos:

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T U

+ Y Y O

S I

+ L A S O L

T U

+ 7 7 O

6 U

+ 7 7 O



La “U” puede tomar los valores desde res hasta ocho, a excepción de seis y siete, podemos elegir el ocho y el ejercicio pueda definitivamente:

¿Por qué la letra “U” no puede tomar el valor de nueve?La maestra y el maestro pueden ayudar a los niños y las niñas para que ellos mismos creen sus mensajes clave y luego los archiven en el rincón de la biblioteca con su nombre.

5. JUEGO DE DOMINÒEl dominó es un juego de mesa en el que se emplean unas fichas rectangulares, generalmente blancas por la cara y negras por el envés, divididas en dos cuadrados, cada uno de los cuales lleva marcados de cero a seis puntos. El juego completo de fichas de dominó consta de 28 piezas, en cada una de las cuales se representa un par de valores posibles. Hay otras variantes de juegos de dominó, en las que hay valores de 0 a 9 en vez de 0 a 6, lo que da un total de 55 fichas.

Nombre de las fichasLas fichas con igual número de puntos en ambos cuadrados se conocen como dobles, mulas, chanchos o carretas. Asimismo, las fichas con uno de los cuadrados sin puntos se llaman blancas o chucha, y las que tienen un punto se conocen como pitos o unos. Así, con los doses, treses, cuatros y cincos hasta llegar a los seises. En otros lugares

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6 8

+ 7 7 5

http://es.wikipedia.org/wiki/Juego_de_mesa

http://es.wikipedia.org/wiki/Ficha

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Dominoes.jpg



suelen ser nombrados Blanco (0), As (1), Dos (2), Tres (3), Cuadra (4), Quina (5) y Sena (6).Reglas

JugadoresEl juego generalmente se juega con cuatro jugadores en parejas. También puede jugarse en solitario. Pero sin embargo puedes jugar solo como parte de una práctica concentrado en tus movimientos y analizando la jugada como parte de ser un gran campeón. En muchas ocasiones el juego de domino se puede jugar con 2, 4, 6, 8, 10 o incluso 12 personas y se tienen que dividir las fichas según la cantidad de jugadores.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Dominomatrix.svg



Cesar Bonilla Carrero afirma que el juego de domino nos ayuda mucho a nuestro entendimiento ya que es un juego de análisis. Pfff

ObjetivoEl objetivo del juego es alcanzar una determinada puntuación previamente fijada, jugando para ello las manos o rondas que sean precisas.El jugador que gana una ronda, suma los puntos de las fichas de sus adversarios y/o pareja. El primer jugador o pareja que alcanza la puntuación fijada al principio de la partida, gana.La única seña válida en el juego del dominó es la "pensada". Cuando toca el turno de jugar, se tiene la opción de pensar durante un tiempo relativamente largo para hacerle entender al compañero que se tienen varias fichas del mismo número que va a tapar o que va a cuadrar. O por el contrario, jugar de inmediato, sin pensar, indica que no se tienen más fichas de ese número.También se puede usar para confundir al contrario, haciendo creer que se tienen, o no, varias fichas de un mismo número cuando en realidad no es así. Esto se llama "pensar en falso" y en algunas modalidades del juego no es permitido.Inicio del juegoLos jugadores de cada pareja se colocan alternativamente alrededor de una mesa quedando en posiciones enfrentadas los miembros de cada pareja respectivamente.Antes de empezar, las fichas se colocan boca abajo sobre la mesa y se revuelven para que los jugadores las recojan al azar en igual número cada uno (normalmente 7).Hay varias maneras de empezar la primera ronda. Una es que empieza el jugador que tiene el seis doble, Chancho Seis o "Mula de seises" (como se le llama en México) o Cochina (como se le llama en Venezuela), y continua el jugador situado a su derecha. Otra puede ser el que saque la ficha más alta de todos, o también puede llegarse a un acuerdo antes de empezar la partida si una pareja quiere dar ventaja a la otra. Si se juega más de una, se puede repetir cualquier método en las siguientes, o por ejemplo, empieza la pareja perdedora o ganadora.En las siguientes rondas, empezará el jugador a la derecha del que empezó la ronda anterior. Podrá tirar cualquier ficha, no tiene porqué ser doble. Al finalizar la ronda, la persona que fue mano, le tocará revolver las fichas (también llamado fregar, hacer la sopa, sacar pecho, barajear, etc.) para la próxima mano.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Venezuela



Desarrollo del juego

Juego de dominó.En su turno cada jugador colocará una de sus piezas con la restricción de que dos piezas sólo pueden colocarse juntas cuando los cuadrados adyacentes sean del mismo valor (ej. el 1 con el 1, el 2 con el 2, etc. hasta el 6).Es costumbre colocar los dobles de forma transversal. Colocar un doble suele llamarse doblarse, o acostarse.Si un jugador no puede colocar ninguna ficha en su turno tendrá que pasar el turno al siguiente jugador.Es frecuente en el juego que alguno de los jugadores tire, por ejemplo, el último de los seises quedando únicamente por tirar el seis doble. En este caso se dice que ha ahorcado o matado el seis doble. El jugador que lo tenga no podrá ya ganar la ronda (a no ser que la gane su compañero).Final del juegoLa mano continúa hasta que se da alguna de las dos situaciones:

Alguno de los jugadores se queda sin fichas por colocar en la mesa. En este caso el jugador se dice que dominó la partida.

En caso de cierre, tranca o tranque, es decir, cuando a pesar de quedar fichas en juego ninguna pueda colocarse, ganará el jugador o pareja cuyas fichas sumen menos puntos. Esto solamente sucede cuando el mismo número está en ambos extremos del juego, y las siete fichas de ese número ya han sido jugadas en este caso gana la pareja/jugador que menos puntos tenga en sus fichas, y se le suman los puntos del perdedor al ganador.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Havana_-_Cuba_-_3337.jpg



ModalidadesLa modalidad de juego más común es la de parejas, con cuatro jugadores, aunque existen otras modalidades.

6. LA MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Una situación problema es enfrentarse a una pregunta que no tiene respuesta inmediata, esto requiere de estrategias de solución.Los problemas que presentamos a los estudiantes, no solamente deben ser los problemas que sirven de refuerzo a un concepto dado, sino también aquellos que nos ayudan a desarrollar el concepto.a). Al introducir la adición, podemos hacerlo mediante un problema como “uno de tus amigos te regala 3 bolitas y tu papá te da 4 bolitas.¿Cuántas bolitas tienes?.Para resolver un problema debemos preguntarnos:

- ¿Qué me están pidiendo en el problema?- ¿Qué conozco del problema?- ¿Cómo puedo comenzar?- ¿Cómo ataco el problema?- ¿Estas seguro de eso?- ¿Tú crees que realmente se podrá hacer de esa manera?- ¿Qué he aprendido con el problema?a) 3 zorros y 3 ovejas se encuentran en la orilla A de un río, y desean trasladarse a

la orilla B para la cual tienen un bote en cuál pueden ir 2 personas. Sabiendo que 2 ó 3 zorros no pueden quedarse con un cazador porque se lo comen; ¿Cómo trasladaría usted la los 6 animales de la orilla A a la orilla B de tal manera que lleguen intactos?

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http://ar.wrs.yahoo.com/_ylt=A0WTf2jovQxOegQAsLGt9Qt.;_ylu=X3oDMTBrNWY5ZmdvBHBvcwMxMzQEc2VjA3NyBHZ0aWQD/SIG=1is4kodms/EXP=1309486696/**http:/ar.images.search.yahoo.com/images/view?back=http%3A%2F%2Far.images.search.yahoo.com%2Fsearch%2Fimages%3F_adv_prop%3Dimage%26b%3D121%26ni%3D20%26va%3Dzorro%26xargs%3D0%26pstart%3D1%26fr%3Dslv8-msgr&w=531&h=750&imgurl=www.educima.com%2Fzorro-t8568.jpg&rurl=http%3A%2F%2Fwww.educima.com%2Fes-colorear-dibujos-imagenes-foto-zorro-i8568.html&size=193k&name=zorro+t8568+jpg&p=zor



http://ar.wrs.yahoo.com/_ylt=A0WTf2gbvQxO5wcAul6t9Qt.;_ylu=X3oDMTBpZTByOGFiBHBvcwMyBHNlYwNzcgR2dGlkAw--/SIG=1gu1c3f3i/EXP=1309486491/**http:/ar.images.search.yahoo.com/images/view?back=http%3A%2F%2Far.images.search.yahoo.com%2Fsearch%2Fimages%3F_adv_prop%3Dimage%26va%3Doveja%26fr%3Dslv8-msgr&w=750&h=531&imgurl=www.educima.com%2Foveja-t12840.jpg&rurl=http%3A%2F%2Fwww.educima.com%2Fes-colorear-dibujos-imagenes-foto-oveja-i12840.html&size=93k&name=oveja+t12840+jpg&p=oveja&oid=59fafcf54489cc70&fr2=&no=2&tt=61192&





Respuesta: Pasan 2 zorros, regresa uno, pasan 2 zorros regresa uno, pasan 2 ovejas, se regresa una oveja y 1 zorro, pasan 2 ovejas, regresa 1 zorro y trae a los otros 2(en 2 viajes).

b) La siguiente figura representa 6 tazas vistos de la parte superior los tres primeros están llenas de café y las 3 restantes vacías. Moviendo una taza deben quedar intercaladas es decir una llena, una vacía.¿Qué taza movería y cómo?

c) Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada noche baja 60 centímetros ¿cuántos tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10 metros de altura?

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Respuesta: Si sube 1 mt y baja 60 cm es como si hubiera subido 40 cm.(1er día sube 40 cm, 2do día sube 80 cm, 3er día sube 120 cm, …22º día sube 880 cm, 23º día sube 920 cm el día 24 al subir el metro completa los 10mt.

d) Un anciano padre dejó 35 vacas para que sean repartidos entre sus 3 hijos de la siguiente manera: al primero la mitad, al segundo la tercera parte y al tercero la novena parte, como no se podía dividir exactamente las vacas como quería el anciano, se llama a “Chasqui” quién al observar el problema; aumenta una vaca suyo y lo reparte como quería el anciano quedándole al final 2 vacas, uno suyo y otro que sale ganando. ¿Cómo se explica esto?

Respuesta: se explica fácilmente por que no se reparte al comienzo las 35 vacas, si no sólo 33 1/18 (35/2+35/3+35/9=595/18=33 1/8), entonces al aumentar una vaca, lo que está haciendo es redondear el número a 34, por lo que sobran 2 vacas.

e) Un sapito está en el fondo de un pozo que tiene 10 metros de altura. En la noche, el sapito sube tres metros; pero resbala 2 metros en el día.

¿Después de cuántos días podrá salir del pozo?Este problema puede ser resuelto por lo menos de tres modos: Utilizando un dibujo, mediante una tabla y razonamiento sin ningún apoyo gráfico.RAZONAMIENTO SIN NINGÚN APOYO GRAFICO Cada día el sapito sube en total 1 metro de altura. En 7 días el sapito habrá subido 7 metros del pozo.

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http://ar.wrs.yahoo.com/_ylt=A0WTf2hRvQxOHgwAaAOt9Qt.;_ylu=X3oDMTBpaWhqZmNtBHBvcwMzBHNlYwNzcgR2dGlkAw--/SIG=1gnnece6s/EXP=1309486545/**http:/ar.images.search.yahoo.com/images/view?back=http%3A%2F%2Far.images.search.yahoo.com%2Fsearch%2Fimages%3F_adv_prop%3Dimage%26va%3Dvaca%26fr%3Dslv8-msgr&w=750&h=530&imgurl=www.educima.com%2Fvaca-t8268.jpg&rurl=http%3A%2F%2Fwww.educima.com%2Fes-colorear-dibujos-imagenes-foto-vaca-i8268.html&size=77k&name=vaca+t8268+jpg&p=vaca&oid=fa663b9d25be17ca&fr2=&no=3&tt=564308&sigr=12










Como durante el día el sapito sube 3 metros, en el octavo día el sapito podrá salir del pozo, pues habrá recorrido los 10 metros que éste tiene de altura.

UTILIZANDO UN DIBUJO

MEDIANTE UNA TABLA

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1º día

7º día

6º día

5º día

4º día

3º día

2º día

8º día10 m

9 m

8 m

7 m

6 m

5 m

4 m

3 m

2 m

1 m



7. el contador.El contador, que puede ser fabricado con un papel, en el cual cortamos cuatro líneas horizontales que nos servirán como dos ventanitas, por donde pasarán dos tiras de papel en las que escribimos los números del cero al nueve, y podrán verse por las ventanitas, del papel.

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2 5

1

2

3

4

5

6

72

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

SUBE BAJA



7. fichas, regletas, cuadrados y cubos.Las fichas, regletas, cuadrados y cubos que pueden ser construidos de madera, cartón o papel. Las fichas que son pequeñas y tienen una perforación representan a las unidades, las regletas que son largas y tienen diez orificios representan la decena.

Cada grupo puede construir unas 20 decenas y 30 o más unidades, entonces los grupos podrán trabajar con un niño y la niña que diga un número de dos cifras y que conjuntamente puedan representarlo con el material.

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8. la yupana o ábaco andino.

Hay en nuestros días tres tipos de ábaco en uso constante. El “SUAN PAN” chino, también usado en Corea, está formado por cuentas parecidas a rosquillas pequeñas, que se deslizan sin apenas rozamiento a lo largo de varillas de bambú. Cada vástago porta cinco cuentas (unos) por debajo de la barra, y dos más (cinco) por encima. El ideograma chino suan, “calcular”, ha sido tomado del libro de Menninger: vemos en él un ábaco sostenido por debajo por el ideograma correspondiente a “MANOS”, y adornado por arriba con el símbolo bambú. Se ignora el origen del suan pan. En el siglo XVI se disponía ya de descripciones precisas, pero sin duda el instrumento tiene varios siglos más de antigüedad.

a) ABACO CHINOb) ABACO JAPONÉSc) ABACO RUSOd) ABACO TAPTANA ECUADOR

e) ABACO ANDINOÁbaco construido por los niños/as.- Sin duda, los materiales didácticos son más efectivos cuando son elaborados por los mismos niños/as. Si esta ventaja la combinamos con la versatilidad del ábaco, la construcción de este material puede tener un impacto educativo positivo en el aula.

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Los ábacos de la fotografía fueron construidos utilizando materiales muy accesibles:Fideos tubulares.Palitos de helado.Palitos de brochetas.Pegamento.La construcción es muy sencilla, se trata simplemente de insertar los fideitos en los palillos y fijarlos con los palitos de helado. En la construcción de estos ábacos es muy importante que los niños reflexionen sobre la importancia que tiene la cantidad de fideitos que se insertan en cada palillo. ¿Por qué son diez, no podrían ser más, o menos?f) YUPANA

La YUPANA Es un juego que empleaban los antiguos Incas para sus cuentas y es un aporte valioso que colabora inmensamente en el proceso de enseñanza de las matemáticas.Es una especie de calculadora donde el alumno puede realizar cálculos, en forma de juego, se utiliza en primaria.De las columnas: Cada punto tendrá el valor de "uno", y cada columna será 10 veces mayor a la que se encuentra a su derecha inmediata, de modo que si se llena un punto que se encuentra en la segunda columna contando de derecha a izquierda, ésta tendrá un valor de 10.De las filas: Las filas primera y última son determinantes de las cantidades, de modo que los puntos de la primera fila representan la memoria de las cantidades apuntadas, en tanto que las otras filas con

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casilleros de 3 y 2 puntos, son complementarias de la primera. La última fila sintetiza al conjunto de las diez unidades de cada columna.

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http://www.google.com.ar/imgres?imgurl=http://www.didacticospinocho.com/images/yupana01210.jpg&imgrefurl=http://www.didacticospinocho.com/popup_image.php/pID/692&usg=__BZfG20O8rVmdTfzrmuibZ748qNI=&h=220&w=200&sz=22&hl=es&start=74&zoom=0&tbnid=DavjEiXrlt9cjM:&tbnh=107&tbnw=97&ei=xzQbTrCnDPGv0AG4i4GXBQ&prev=/search?q=YUPANA&hl=es&sa=X&biw=1024&bih=571&tbm=isch&prmd=ivns&itbs=1

http://www.google.com.ar/imgres?imgurl=http://images03.olx.com.pe/ui/9/72/68/1290735044_141746468_2-capacitacion-yupana-kipu-Lima-1290735044.jpg&imgrefurl=http://lima.olx.com.pe/capacitacion-yupana-kipu-iid-141746468&usg=__K-BH3Leo7dSDA7J34jr9zGqT9tE=&h=469&w=625&sz=49&hl=es&start=23&zoom=1&tbnid=TRZFHjImEZ0qsM:&tbnh=102&tbnw=136&ei=xzQbTrCnDPGv0AG4i4GXBQ&prev=/search?q=YUPANA&hl=es&sa=X&biw=1024&bih=571&tbm=isch&prmd=ivns&itbs=1

http://www.google.com.ar/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Quipu_yupana.png/200px-Quipu_yupana.png&imgrefurl=http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica&usg=__FLVB5mVSWsqMqJ0YPDuZL6EeNNI=&h=310&w=200&sz=42&hl=es&start=11&zoom=1&tbnid=QtfyZKA4QGpR4M:&tbnh=117&tbnw=75&ei=7zQbTpejErG30gHFvdiWBQ&prev=/search?q=YUPANA&hl=es&sa=X&biw=1024&bih=571&tbm=isch&prmd=ivns&itbs=1

http://www.google.com.ar/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_8Ai9j56ND3o/S7g_PBeWYwI/AAAAAAAABaM/6s3LxfXVOtg/S259/verde.jpg&imgrefurl=http://iejuanfranciscodelabq1a2010.blogspot.com/2010/04/lista-verde.html&usg=__JyV2eEL7jzZamlcLfjpgjnNkmrY=&h=221&w=259&sz=22&hl=es&start=63&zoom=1&tbnid=E7ZAHPTrubgf-M:&tbnh=96&tbnw=112&ei=xzQbTrCnDPGv0AG4i4GXBQ&prev=/search?q=YUPANA&hl=es&sa=X&biw=1024&bih=571&tbm=isch&prmd=ivns&itbs=1



YUPANA DINÁMICA

AZUL

24

1

2

3

5

1

2

3

5

FECHAS AZULES Y ROJAS

DOS SERIES DE LOS NÚMEROS DEL 1 AL 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10



ROJO

ADICIÓN DE NÚMEROSResolver las siguientes sumas de los números naturales en la tabla yupana dinámica. 32 52 824 581 9842 799710428

25

7

4

6

3253

85

3253

824210

1119



SUSTRACCIÓN DE NÚMERO NATURALES 840-539

26

3253

824210581

1700

3253

824210581

98477997

19544

840539

301



DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALESMultiplica 647 x 72 = 46584

27

647x72

465842x7 =14

2x4=8

2x6= 12

7x7= 49



DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES.Dividir 7862/581

28

7x4= 28

7x6= 42

7862/581



9. REGLETAS DE NAPIER.John Napier, matemático escocés que vivió de 1550 – 1617, se preocupó siempre por encontrar métodos sencillos para realizar cálculos numéricos. Como resultado de esta búsqueda inventó los logaritmos, que lo hicieron famoso y por lo cual pasó a la historia; pero inventó también una herramienta muy útil para multiplicar que se conoce como las Regletas de Napier.¿CÓMO SE USAN LAS REGLETAS DE NAPIER?

I. Supongamos que queremos multiplicar 6 por 7 ó 529 por 9.II. Toma las regletas del 5, de 2 y del 9 y acomódalas de manera que en la parte de

arriba quede escrito el número 529.¿CÓMO HARÍAS TÚ ESO MISMO?

29

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

00

00

00

00

00

00

00

00

1

02

03

04

05

06

07

08

09

2

04

06

08

10

12

14

16

18

3

06

09

12

15

18

21

24

27

4

08

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81



30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

14

21

28

35

42

49

56

63

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2

04

06

08

10

12

14

16

18

9

18

27

36

45

54

63

72

81

1

2

3

4

5

6

7

8

9

30

12

54

3 1 7 4



10. multiplicación de puntos y rayas.

Estudiantes con cintas de nylon, tapa coronas o piedritas realizan a la vez multiplicaciones y divisiones anotando en su cuaderno con puntos y rayas anotan las sumas reiteradas y la multiplicación.

31

3

32

3

2 x 3 = 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1



Realizamos multiplicaciones con dos digito como por ejemplo 22 x 23.

Realizamos multiplicaciones con 3 digito como por ejemplo 234 x 456.

32

44

UD

D

U

6 6

1º

2º 6 6

4 4

5 0 6

69 3

01 71

44 01

47 0601

1º

2º

3º

U

D

C

UC D



11. CALCULO MENTAL.

I. PIENSAPiensa dos números de una cifra.Multiplica el primero de ellos por dos.Añade cinco unidades al resultado.Multiplica la suma obtenida por cinco.Resta al resultado veinticinco.Añade al resultado el otro número pensado.Los dos dígitos del resultado final son los números pensados de una cifra.

33



II. CAVILAPiensa un número.Réstale una unidad.Multiplica el resultado por tres.Suma al producto obtenido el número pensado.Añade tres unidades más.Divide tres unidades más.Divide por cuatro la cantidad resultado.El número pensado es el cociente obtenido.

III. ESPECULAPiensa un número.Multiplícalo o.Súmale o unidades.Multiplica esta suma por cuatro.Suma otras cinco unidades.Multiplica este total por cinco.Por último, resta 125 al resultado.El número pensando es igual al resultado final dividido por 100.

IV. RECAPACITAPiensa un número de una cifra.Dóblalo.Suma cinco unidades.El resultado que obtengas multiplícalo por cinco. El número pensado es igual al número que representa la cifra de las docenas menos dos unidades.

V. REPASAPiensa un número.Duplícalo.Suma 8 unidades.Divide por dos.Resta el número pensadoEl resultado es 4.

VI. RUMIAPiensa un número.

34



Dóblalo y añade al resultado treinta unidades.Toma mitad de lo que obtengas y resta de esta mitad el número pensado.El resultado es quince.

VII. MADURAEscribe lo que pesas, o escribe un número de dos cifras.Multiplícalo por diez.Resta un múltiplo de nueve que sea inferior a noventa.El peso o número pensado es igual al número que forman las dos cifras de la izquierda, las que corresponden a las centenas y a las centenas, más el número de la cifra de la derecha, es decir, el número de la cifra de las unidades.

VIII. SE PREOCUPAPiensa un número. Multiplica por dos.Suma ocho unidades al resultado anterior.Multiplica por cinco este nuevo resultado.Por último divide por diez.El número pensado es igual al resultado final menos cuatro unidades.

IX. TRITURAPiensa un número.Multiplícalo a sí mismo.A este resultado resta el número pensado.Divide la diferencia obtenido por el número pensado.El número pensado es igual al resultado final más una unidad.

X. PULE Piensa un número.Multiplícalo por diez.Añade treinta unidades.Multiplica otra vez por diez.

Resta cien unidades.El número pensado se halla dividiendo por cien el resultado final y restando continuación, dos unidades.

XI. LIMAPiensa un número.Multiplícalo por cinco.Añade seis unidades al producto.Multiplica las sumas obtenidas por cuatro.

35



Añade nueve unidades al producto.Multiplícalo por cinco.Resta 165 unidades.El número pensado es igual al resultado final dividido por 100.

XII. REFLEXIONA Piensa un número.Multiplícalo por cinco.Multiplícalo ese producto por sí mismo.Divide el resultado por el número pensado.Multiplica el cociente por cuatro.El número pensado es igual al resultado final dividido por 100.

XIII. MEDITA Piensa un número par.Dóblalo.Añade cuatro unidades.Divídelo por dos.Quita dos unidades.El resultado es el número pensado.

XIV. DISCURREPiensa un número.Réstalo dos unidades.Multiplica el resultado por tres.Añade dos unidades.Divide el resultado por tres.Suma ocho unidades.Resta el número que pensaste.El número pensado es igual al resultado final menos catorce unidades.

12. EL ARTE DE ADIVINAR NÚMEROS.

a) Prestidigitador propone pensar un número cualquiera, adicionar 2, multiplicar el resultado por 3, restar 5, restar el número pensado.

Piensa un número x.Adicione 2 x + 2.

36



El resultado multiplíquelo por 3 3x + 6.Reste 7 3x – 1.Reste el número pensado 2x + 1.Multiplique por 2 4x +2.Reste 1 4x + 1.b) Que si usted, ha pensado cualquier número x, entonces realiza todas las

operaciones se obtendrá 4x – 1. conociendo este resultado no es difícil adivinar el número: supongamos, por ejemplo, que Ud. Haya dicho al prestidigitador que el resultado es 33, entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x – 1 = 33 y obtiene la respuesta: x = 8. es decir, hace la falta restar 1 del resultado final (33-1- = 32) y luego el número obtenido se divide entre 4 (32:4=8), el resultado de esta división es el número pensado (8). Si el resultado final es 25, entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25 – 1= 24, 24 / 4 = 6 y le comunica que Ud. Ha pensado el número 6.

c) He pensado un número, lo he multiplicado por dos, al resultado he sumado 3, luego he sumado el número pensado, al resultado he sumado 1, todo lo he multiplicado por 2, he restado el número pensado, luego he restado 3, una vez más he restado el número pensado, he restado 2, por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 y he sumado 2. El resultado final es 49.

He pensado un número x.Lo he multiplicado por 2 2x.Al resultado he sumado 3 2x + 3.Luego he sumado el número pensado 3x +3.Ahora he sumado 1 3x + 4.El resultado lo he multiplicado por 2 6x+ 8.He restado el número pensado 5x + 8.He restado 3 5x + 5.Más he restado el número pensado 4x + 5.He restado 2 4x+ 3.

Por fin, el resultado lo he multiplicado por 2 8x + 6.Y he sumado 3 8x + 9.d) Sin embargo, hay un caso cuando la prestidigitación no tiene éxito. Si Ud.

Después de realizar (contando mentalmente).

37



e) Dora dice a Raúl: “Piensa un número, multiplícalo por dos. Auméntale ocho. Sácale la mitad. Auméntale tres. Réstale el número que has pensado. Te sale siete.

El número que piensa Raúl:

El número multiplicado por 2:

Este producto, aumentado en 8:

La mitad de este resultado:

Este último resultado aumentado en tres:

Esta suma disminuida es el número que pensó Raúl:

13. LA WIPHALA.

38

X

2X

2X + 8

X + 4

X + 7

7



Está compuesta de siete colores del arco iris y las de cuatro colores correspondientes a los cuatro SUYUS, podemos definir desde la óptica andina, los aymaras conocemos históricamente a la WIPHALA, como emblema nacional del Pusintsuyu ó Tawantinsuyu. Por eso la WIPHALA es el símbolo de identificación Nacional y Cultural de los Andes Amazónicos, es el emblema de la Nación colectivista y armónica. Es la representación de las actividades diarias del hombre andino en el tiempo y en el espacio.

ROJO; representa al planeta tierra (aka-pacha), es la expresión del hombre andino, en el desarrollo intelectual, es la filosofía cósmica en el pensamiento y el conocimiento de los AMAWTAS.

NARANJA; representa la sociedad y la cultura, es la expresión de la cultura, también expresa la preservación y procreación de la especie humana, considerada como la más preciada riqueza patrimonial de la nación, es la salud y la medicina, la formación y la educación, la práctica cultural de la juventud dinámica.

AMARILLO; representa la energía y fuerza (ch'ama-pacha), es la expresión de los principios morales del hombre andino, es la doctrina del Pacha-kama y Pacha-mama: la dualidad (chacha-warmi) son las leyes y normas, la práctica colectivista de hermandad y solidaridad humana.

BLANCO; representa al tiempo y a la dialéctica (jaya-pacha), es la expresión del desarrollo y la transformación permanente del QULLANA MARKA sobre los Andes, el desarrollo de la ciencia y la tecnología, el arte, el trabajo intelectual y manual que genera la reciprocidad y armonía dentro la estructura comunitaria.

VERDE; representa la economía y la producción andina, es el símbolo de las riquezas naturales, de la superficie y el subsuelo, representa, tierra y territorio, así mismo la producción agropecuaria, la flora y fauna, los yacimientos hidrológicos y mineralógicos.

AZUL; representa al espacio cósmico, al infinito (araxa- pacha), es la expresión de los sistemas estelares del universo y los efectos naturales que se sienten sobre la tierra, es la astronomía y la física, la organización socio económica, político y cultural, es la ley de la gravedad, de las dimensiones y fenómenos naturales.

VIOLETA; representa a la política y la ideología andina, es la expresión del poder comunitario y armónico de los Andes, el Instrumento del Estado, como una instancia superior, lo que es la estructura del poder; las organizaciones, sociales, económicas y culturales y la administración

39



del pueblo y del país.

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

40

11

31

31

7 8

4

6

5

Celeste

5

4

3

Rosado

+



(4+1) (3+1) (3) = 5 4 3 4 6 5

+ 7 8

5 4 3

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

41

3

31

7

1 9 1

2

4

6

4´ ´3 7-



437 246 191

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

42

24

21

03

36

81

54

65

61

04

6 9 8

5

2

7

X



5 2 7 x 6 9 8

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

43

4

01

8

02

2 4

2

5

0 06

3 6 7 8 4 6+



6 0 0 : 2 5 = 2 4

14. CUBOS Y POLICUBOS: 3 RETOS.Así, el primer paso es unir tres cubos de dos formas distintas y diremos que existen 2 tricubos:

Con cuatro cubos, tenemos ocho posibilidades ( 8 tetracubos ):

Con cinco cubos, podemos construir 29 pentacubos ( ¿aceptas el primer reto? ):

Una opción que añade un grado de dificultad es dibujar nuestros cubos en una trama de puntos isométrica (Si unimos tres vértices alternos de un hexágono regular con su

44



centro la visión en perspectiva es un cubo)

En la siguiente tabla podemos ver el número de policubos de cada dimensión. Por supuesto, nos daremos por satisfechos construyendo los 29 pentacubos porque a partir de aquí las posibilidades de combinar se escapan a nuestro limitado cerebro (¿alguien es capaz de construir 166 hexacubos distintos?).

número de cubos nombre

policubos distintos

3tricubos

2

4tetracubos

8

5pentacubos

29

6hexacubos

166

7heptacubos

1023

CONSTRUCCIÓN DE NUESTROS POLICUBOS: CUBO DE DIMENSIÓN 2x2x2

45



Se construye con 3 piezas policúbicas (dos tricubos iguales y un bicubo).

Es evidente que hay 2 maneras de construirlo:

CUBO DE DIMENSIÓN 3X3X3

46



Este se ha hecho famoso, se llama cubo SOMA y está construido con 7 piezas policúbicas (6 tetracubos y 1 tricubo).Fue creado en el año 1936 por PIET HEIN (Científico, matemático, inventor, nace el 16 de diciembre de 1905 en Copenhague –Dinamarca- y muere el 15 de abril de1996).

El matemático John Conway comprobó que había 240 formas distintas de construirlo. Estos son los siete policubos del rompecabezas:

Después de más de setenta años, el cubo soma es uno de los juegos preferidos por los aficionados a los rompecabezas, puede que sea porque cumple como ninguno una de las características de los mejores juegos de ingenio, la posibilidad de que todos podamos resolverlo sin necesitar conocimientos específicos ni tener una especial habilidad.Podemos encontrar el juego en tiendas, mercadillos, . . .

47



Con las siete piezas del cubo Soma podemos diseñar otras figuras como por ejemplo las siguientes :

CUBO DE DIMENSIÓN 4X4X4.

Inventado en el año 2004 por BRUCE BEDLAM (nacido en Blackpool –Inglaterra- en 1951, experto en puzzles). Se construye con 13 piezas policúbicas (12 pentacubos y 1 tetracubo) y hay 19.186 maneras distintas para resolverlo - excepto

48



rotaciones y reflexiones-.No incluyo el diseño de los trece policubos porque está a la venta y según su página web ha sido una autentica fiebre en Inglaterra.

CUBO DE DIMENSIÓN 5X5X5.

El siguiente paso es construir un cubo de 5x5x5 con 21 piezas policúbicas , (20 hexacubos y 1 pentacubo) . Este paso lo di yo mismo, el cubo se expuso en la fase final del 8º concurso de Ciencia en acción celebrado en Zaragoza en octubre de 2007.Dada la dificultad de encajar correctamente tantas piezas se pueden diseñar cubos con diferentes niveles, coloreando las piezas. Diseñé dos modelos:

Estos son los 21 policubos que permiten construir el cubo:

49



Por supuesto, podemos diseñar muchísimos cubos utilizando policubos, pero los cuatro que se han analizado cumplen dos condiciones:

Se necesitan nxnxn = n3 cubos, se utiliza 1 pieza de n cubos y n(n-1) piezas de

n+1 cubos. Todas las piezas son distintas (excepto en el cubo de dimensión 2 en el que, obviamente, se utilizan dos tricubos iguales)

dimensiónnxnxn número de

cubos

1n-cubo

n(n-1) (n+1)-cubostotal

2x2x2 8 1 bicubo 2 tricubos 2x3+2=8

3x3x3 27 1 tricubo 6 tetracubos 6x4+3=27

50



4x4x4 64 1 tetracubo 12 pentacubos 12x5+4=64

5x5x5 125 1 pentacubo 20 hexacubos 20x6+5=125

Así, si diseñamos el cubo de dimensión 6 tendrá 30 piezas de 7 cubos y 1 pieza de 6 cubos y el diseño del siguiente necesitaría 42 piezas de 8 cubos y 1 pieza de 7 cubos.

6x6x6 216 1 hexacubo 30 heptacubos 30x7+6=216

7x7x7 343 1 heptacubo 42 octocubos 42x8+7=343

El número de piezas es elevado y complica la resolución del rompecabezas. En el cubo de dimensión 5 que propongo, aún es posible animarse a resolverlo y con el diseño de colores puede resultar incluso fácil.¡Ánimo!, el tercer reto es construir el cubo 5x5x5.

16. cubos.

Si imaginamos un pequeño cubo de, digamos 1 cm de arista, al que consideramos “cubo unitario”, ya nos será posible imaginar a ocho unitarios formando un cubo de 2x2x2, a veintisiete formando uno de 3x3x3, etc.

Cuando se habla de disecciones de un cubo, estamos planteando el problema de dividirlo en dos o más partes, formadas por cubos unitarios adosados por sus caras. Lo cual enlaza con uno de nuestros anteriores artículos, en esta misma revista, dedicado a los policubos.CUBO DE 2x2x2.Vamos a comenzar sistemáticamente, como haríamos con alumnos a los que planteemos este tipo de cuestiones, examinando el cubo de 2x2x2. Si lo dividimos en dos partes, estas podrían

51



estar formadas por 1 y 7 cubos unitarios (1, 7), o por 2 y 6 (2, 6), (3, 5) ó (4, 4).No consideraremos como diferentes aquellas disecciones que se obtienen de otras por giros o simetrías.Para el caso (1, 7) no existe más que una posibilidad de disección: la más simple:

En el supuesto (2, 6) también es única la disección:

Para el caso (3, 5) no se nos abren mayor cantidad de posibles disecciones, ya que la pieza de 3 cubos al tener que cumplir la condición de que sus elementos estén unidos por sus caras tiene una forma única.

Para el caso (4, 4), son más las posibles disecciones:

1.-

52



2.-

3.-

Si dividimos el cubo en tres piezas, tenemos las siguientes combinaciones: (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4); (2, 2, 4) y (2, 3, 3)Veamos cuántas disecciones diferentes son posibles para cada caso:

(1, 1, 6)

El segundo cubito no puede ser contiguo al primero, pues estaríamos en el caso ya visto (2, 6).¿En qué posiciones pueden estar los dos cubitos unitarios?

Opuestos en la misma capa:

Opuestos en capas diferentes:

53



Evidentemente muy fáciles de reconstruir.

(1, 2, 5)

Estas dos piezas no pueden provenir de la misma capa, ya que sería equivalente al caso (3, 5) ya estudiado.

Sólo cabe la disección:

(1, 3, 4)

Este caso equivale al ya visto (4, 4), pero diseccionando una de las piezas de 4 en 1 y 3 cubitos; queda reducida a dos tipos que tienen las piezas de 1 y de 3 iguales, pero difieren en la de 4.

54



Es indudable que cuando hablamos de piezas de 2 cubitos, solo pueden tener esta forma:

(2, 2, 4)

Una de las disecciones se obtiene al dividir una de las capas en la única manera posible:

La otra capa puede considerarse formada por dos piezas de 2 cubitos coplanarias (caso 1) o perpendiculares (caso 2).

(2, 3, 3)Caso único, por ser únicas las piezas de 2 y las de 3.

55



Estudiemos ahora la disección del cubo 2x2x2 en cuatro partes.Son posibles las disecciones (1, 1, 1, 5); (1, 1, 2, 4); (1, 1, 3, 3); (1, 2, 2, 3) y (2, 2, 2, 2).La primera no es realizable más que de una manera, por cuanto la pieza de 5 cubitos incumpliría una de las condiciones establecidas, en concreto, la de que sus cubitos unitarios deben estar unidos por sus caras.

Esta disección supondría que los unitarios se obtienen al descomponer una pieza como esta en tres elementales, pero este fue el caso (3, 5) ya estudiado.

Para la situación (1, 1, 2, 4) nos encontramos:

Que proviene del caso (4, 4) ya visto, así como

56



y

En el caso (1, 1, 3, 3) está la siguiente posibilidad que proviene de la descomposición (3, 5).

Para (1, 2, 2, 3)

Podemos considerarla derivada de la anterior al unir un cubito de los solitarios con uno de la pieza de 3.

Finalmente está (2, 2, 2, 2), cuya única descomposición es:

57



La descomposición en cinco piezas comprende los siguientes tres casos: (1, 1, 1, 1, 4); (1, 1, 1, 2, 3) y (1, 1, 2, 2, 2).(1, 1, 1, 1, 4) da lugar a tres resultados que difieren en la pieza de 4 cubos:

Irían con cada una de las piezas

O sea, las tres maneras de construir la pieza de 4 que ya vimos cuando el caso (4, 4).

Para (1, 1, 1, 2, 3), como todas las piezas tienen una sola forma de construirse, pues solamente hay una disección posible:

Y finalmente (1, 1, 2, 2, 2) que también tiene una única manera.

La descomposición en 6 ó 7 piezas no tiene mayor interés, pues son sencillas y con pocas posibilidades.

58



Una segunda actividad consistiría en analizar todas las descomposiciones estudiadas para determinar si cada una de ellas es de solución única o, por el contrario, admite más de una solución y cuántas serían en ese caso.

Variantes al cubo de 2x2x2.

Entre ellas elegimos la del cubo Hermafrodita

Son ocho cubos que tienen un orificio y una clavija en en tres de sus caras, siendo las otras tres lisas. Para solucionarlo hay que encajar clavijas y huecos de los cubos, por parejas, y luego encajar los cuatro pares para formar el cubo.Un enlace con demostraciones de cómo resolver este y otros puzzles, se encuentra en esta curiosa dirección:

CUBO DE 3x3x3

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En este artículo nos limitaremos a una breve referencia sobre algunas de las disecciones más conocidas o interesantes del cubo de 3x3x3, de entre las miles de posibilidades que hay.

Es muy importante la forma de presentar las disecciones, piezas y soluciones. Es una parte clave en el aprovechamiento didáctico del material. Puede utilizarse la representación tridimensional única o secuencial, mediante dibujos o fotografías, pero también una representación por pisos. En este caso, cada pieza debe tener un número, un nombre o un color que la identifique.

Puzzle de Cardan

La referencia más antigua de este tipo de puzzles de disección del cubo es la que está atribuida a Cardan (1501-1576) y que con cinco piezas: un cubo de lado a, un cubo de lado b y tres paralelepípedos rectángulos de aristas a, b y a+b, permite la visualización de:

(a + b)3

= a3

+ b3

+ 3ab (a + b)

a + b

Resulta también muy útil como material didáctico para trabajar las fracciones.

60



SomaConocidísimo desde que su inventor, Piet Hein, lo crease. Permite 240 reconstrucciones diferentes del cubo, pero también la realización de otras muchas figuras.

Sus siete piezas, un tricubo y seis tetracubos, son los únicos policubos de ambas clases que cumplen la condición de tener ángulos diedros cóncavos. Obsérvese que las piezas 5 y 6 no son iguales, sino simétricas.

Es digno de un estudio más profundo, considerando sus aplicaciones didácticas y variantes, que quizá sea objeto de un próximo artículo.Una de las múltiples soluciones podría ser ésta:

61



Cubo-7Es casi idéntico al Cubo Soma. La única diferencia consiste en que las piezas 5 y 6, que en elSoma son diferentes, aquí son iguales. Esto da una mayor cantidad de soluciones posibles.

La siguiente solución (por pisos) se corresponde con la primera de la lista de las 358 soluciones del Cubo 7.

62



Que representadas mediante una matriz numérica sería:112 | 556 | 566412 | 446 | 547322 | 337 | 377Cubo de O’Berine

Formado por 9 piezas iguales (tricubos en ángulo).De aparente simplicidad, resulta ser una especie de técnica de diagnóstico para la visión espacial, apreciando en los más pequeños sus habilidades para la resolución de este tipo de puzzles.Cubo DiabólicoDescrito por el Profesor Hoffmann (Angelo John Lewis) en “Puzzles Old and New” (1893). Está compuesto por 6 piezas, todas sobre un plano, y es progresivo, es decir, sus piezas tienen todos distintos números de cubos, desde dos hasta siete.

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Mikusinski (o de Steinhaus)Seis piezas: tres tetracubos y tres pentacubos. No se repiten piezas.

Cubo de ConwayTambién llamado del empaquetamiento o caja de pizza. Tiene seis tetracubos iguales y tres cubos unitarios.

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El Cubo de Lesk

Tres tetracubos y tres pentacubos. Hay cuatro piezas que se repiten dos a dos.

Cubo de Nob

Inventado por Nob Yoshigahara, inventor y coleccionista japonés. Tiene seis piezas: cinco pentacubos diferentes y un dicubo.

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CUBOS DE 4x4x4Cubo BedlamEs un puzzle inventado por Bruce Bedlam y consta de trece piezas: doce pentacubos y un tetracubo. El objetivo es reunir estas piezas en un cubo de 4 x 4 x 4. Hay 19.186 maneras distintas de conseguirlo.

66



Cubo Diabólico de HaraOriginal del japonés Yoshikatsu Hara. Está formado por 11 piezas, todas ellas formadas hexacubos y 1 tetracubo. por uniones de dicubos, 10

¿Se atreve a buscar una solución en forma de cubo 3x3x3, uniendo las cinco piezas que se reproducen a continuación?

67



68



17. Laberintos y embrollos.

69



18. el ojo mágico 3 d.

70



71



19. crucigrama.

72



73



74



20. acertijos.

20.1. LOS TRES GATOS.Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

SOLUCIÓNLa respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres

minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatos cazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por cierto necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, tal vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos dice de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puede responderse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

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20.2. NADA DE CAMBIO.

"Déme cambio de un dólar, por favor", dijo el cliente."Lo siento", dijo la señorita Jones, la cajera, después de buscar cuidadosamente en la caja, "pero no puedo hacerlo con las monedas que tengo."

"¿Puede entonces cambiarme medio dólar?" La señorita Jones negó con la cabeza. En realidad, dijo, ¡ni siquiera tenía para cambiar ni veinticinco, ni diez, ni cinco centavos!"¿No tiene ninguna moneda?", preguntó el cliente."Oh, sí", dijo la señorita Jones. "Tengo $1,15 en monedas".

¿Cuáles eran exactamente las monedas que había en la caja registradora?SOLUCIONSi la señorita Jones no podía cambiar un dólar, entonces no podía haber en la caja más de un medio dolar. Si no podía cambiar medio dólar, la caja no podía tener más de una moneda de veinticinco y no más de cuatro de diez: Que no tuviera cambio de diez centavos significa que no tenía más que una moneda de cinco, y que no tuviera cambio de cinco centavos significa que no tenía más que cuatro monedas de un centavo. Así que la caja registradora no podía tener más que:

Sin embargo, se puede dar cambio de un dólar con estas monedas (por ejemplo, un medio dólar, una moneda de veinticinco centavos, dos de diez y una de cinco), pero sabemos que la caja registradora no puede tener más monedas de las c o n s i g n a d a s arriba. Sumadas dan $1,24, que es 9 centavos más que $1,15, la cantidad que la cajera dice que tiene.

Ahora bien, la única manera de juntar 9 centavos es con una moneda de cinco centavos y cuatro de uno, de modo que esas son las monedas que debemos eliminar. Las monedas restantes -un medio dólar, una de veinticinco y cuatro de diez- no permiten dar cambio de un dólar ni de ninguna moneda más chica, y suman $1,15, así que ésta es la única respuesta del problema.

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20.3. LAS BICICLETAS Y LA MOSCA.

Dos muchachos en bicicleta, a 20 kilómetros de distancia entre sí, empiezan a andar para reunirse. En el momento en que parten, una mosca que está en el volante de una de las bicicletas empieza a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro volante, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca voló ida y vuelta de volante a volante hasta que las dos bicicletas se reunieron.

Si cada bicicleta marchó a una velocidad constante de 10 kms. por hora, y la mosca voló a una velocidad constante de 151uns. por hora, ¿qué distancia voló la mosca?

SOLUCIÓNCada bicicleta marcha a 10 km por hora, por lo que se reunirán, en la mitad de la

distancia de veinte kilómetros que las separa, en una hora. La mosca vuela a 15 km por hora, de modo que después de una hora habrá recorrido 15 kilómetros.

Muchas personas tratan de resolver el problema de la manera más difícil. Calculan la longitud del primer recorrido de la mosca entre ambos volantes, después la longitud del recorrido de regreso y así sucesivamente para recorridos cada vez más cortos. Pero ese procedimiento involucra lo que se llama la suma de una serie infinita, y es matemática muy compleja y avanzada.

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Se dice que al matemático húngaro John von Neumann, tal vez el más grande matemático del mundo cuando murió en 1957, se le planteó este problema una vez en un cocktail. Pensó un momento y luego dio la respuesta correcta. La persona que había planteado el problema pareció un poco decepcionada. Explicó que la mayoría de los matemáticos pasaban por alto la manera más simple de resolverlo y lo hacían por medio del complejo proceso de sumar una serie infinita.Von Neumann se sorprendió. "Pero si así lo resolví yo", dijo.

20.4. ¿DONDE VA EL CUADRADO?

Paul Curry, un mago aficionado de la ciudad de Nueva York, fue el primero que descubrió que un cuadrado puede cortarse en unas pocas partes, y que estas partes pueden reacomodarse y formar un cuadrado de la misma medida, ¡pero con un agujero!

Hay muchas versiones de la paradoja de Curry, pero la ilustrada en las figuras 1 y 2 es la más simple de todas. Pega una hoja de papel sobre un pedazo de cartón. Dibuja el cuadrado que muestra la figura 1, después corta siguiendo las líneas para formar cinco partes. Cuando reacomodas esas cinco partes de la manera que se ve en la figura 2... ¡aparecerá un agujero en el centro del cuadrado!

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El cuadrado de la figura 1 está compuesto por 49 cuadrados más pequeños. El cuadrado de la figura 2 sólo tiene 48 cuadrados más pequeños. ¿Cuál de los cuadrados pequeños desapareció, y dónde fue?

SOLUCIÓNA1 cambiar de lugar las dos partes más grandes, cada uno de los cuadrados pequeños

cortados por la línea diagonal se torna un poquito más alto que ancho. Esto significa que el cuadrado mayor ya no es un cuadrado perfecto. Su altura ha aumentado en un área exactamente igual al área del agujero.

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20.5. LOS CUBOS PINTADOS.

Imagina que tienes una lata de pintura roja, una lata de pintura azul y una gran provisión de cubos de madera, todos del mismo tamaño. Deseas pintar los cubos de modo que cada cara sea toda roja o toda azul. Por ejemplo, puedes pintar un cubo todo de rojo. El siguiente puedes pintarlo con tres caras rojas y tres caras azules. Tal vez el tercer cubo también pueda ser pintado con tres caras rojas y tres azules, pero de tal manera que no sea igual que el segundo.

¿Cuántos cubos diferentes entre sí puedes pintar de esta manera? Dos cubos se consideran iguales si puede rotarse a uno de ellos de tal manera que todas sus caras sean de igual color que las caras correspondientes del otro cubo.SOLUCIÓNPuedes pintar:1 cubo todo rojo.1 cubo todo azul.l cubo con 5 caras rojas, 1 azul.1 cubo con 5 caras azules, 1 roja.2 cubos con 4 caras rojas, 2 azules

2 cubos con 4 caras azules, 2 rojas.2 cubos con 3 caras rojas, 3 azules.Esto hace un total de diez cubos diferentes.

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20.6. EL ZORRO Y EL GANSO.

Este entretenido juego se juega en el tablero que muestra la ilustración.Hay que poner dos fichas distintas entre sí en el lugar donde está el retrato del zorro y en el

que está el retrato del ganso.

Un jugador mueve el zorro, el otro mueve el ganso. Una "movida" consiste en deslizar la ficha desde un punto hasta otro adyacente, siguiendo una línea negra. El zorro trata de capturar al ganso desplazándose hacia el punto ocupado por el ganso. Eso es lo que el ganso debe tratar de impedir que suceda. Si el zorro captura al ganso en diez movimientos o menos (es decir, en diez movimientos del zorro), gana. Si no logra capturarlo en diez movimientos, gana el ganso.

Ahora bien, si el ganso tuviera el primer turno, al zorro le resultaría muy fácil atraparlo en la esquina inferior izquierda del tablero. Pero en este juego el zorro siempre debe mover primero. Eso parece dar al ganso una buena oportunidad de escapar.

¿Puede el zorro capturar siempre al ganso en diez movimientos, si juega correctamente, o el ganso puede escapar en todos los casos?

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SOLUCIÓNEl zorro puede siempre capturar al ganso en menos de diez movimientos. Así es como

ocurre: Sus primeros tres movimientos deben hacerlo rodear uno de los dos triángulos que se hallan en el centro del tablero. Tras completar este circuito, es simple para él atrapar al ganso en un cuadrado de la esquina antes de acabar con sus diez movimientos.El Juego siguiente es típico:

20.7. VARONES CONTRA MUJERES.

George Gamowy Marvin Stern, en su estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madre de a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener más niños.

De esta manera, argumentaba el sultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de varones.¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

SOLUCIÓN

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No, la ley del sultán no dará resultados. Obedeciendo las leyes del azar, el primer niño recién nacido a todas las mujeres tendrá tantas posibilidades de ser varón como de ser mujer. Las madres de varones no tendrán más hijos. Las madres de mujeres tendrán entonces sus segundos hijos, y otra vez la probabilidad se repartirá equitativamente entre mujeres y varones. Una vez más, las madres de varones no podrán tener más hijos, y las otras, madres de mujeres, tendrán una tercera oportunidad. En cada una de esas oportunidades, la cantidad de mujeres tenderá a ser igual que la cantidad de varones, de modo que la proporción existente entre varones y mujeres jamás cambiará.

“Ya ven”, escriben Gamow y Stern en la respuesta que dan al problema del sultán, “que la proporción se mantiene. Como en cada turno de nacimientos la proporción de varones y mujeres es de uno a uno, cuando se suman los resultados de todos los turnos, se observará que esa proporción sigue siendo de uno a uno.”

Pos supuesto que mientras todo esto ocurra, las niñas crecerán y se convertirán también en madres, pero a ellas se les aplica de todos modos la misma argumentación.

20.8. LOS CINCO LADRILLOS.

Este es uno de los más antiguos y famosos acertijos topológicos. Es posible que tu abuelo haya intentado resolverlo en la escuela mientras se suponía que estudiaba su libro de historia. Sin embargo, no hay ni una persona entre mil que sepa con seguridad si puede o no resolverse.

El problema es éste: ¿Puedes dibujar el diagrama de la figura 1 con tres trazos? No se permite pasar dos veces por la misma línea. Es fácil dibujar toda la figura salvo un pequeño segmento (se muestran algunos intentos en la figura 2), pero, ¿es posible dibujar toda la figura con tres trazos? Si no es posible, ¿por qué?

El acertijo es topológico porque las dimensiones y formas reales 'de los ladrillos no tienen importancia. Por ejemplo, si distorsionamos la figura tal como sé ve en la figura 3, el problemasigue siendo exactamente el mismo. Cualquier solución para la figura 1 sería también una solución para la figura 3, y viceversa.

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SOLUCIÓNEs imposible dibujar los cinco ladrillos con tres trazos; hay una manera simple de

probarlo. Cuando tres segmentos de línea se reúnen en un punto, como lo muestra la figura 4, es obvio que ese punto debe señalar el final al menos de un trazo. También podría ser el final de tres trazos, pero eso no nos interesa. Sólo nos importa el hecho de que al menos una línea debe terminar en-el punto P de la ilustración.

Cuenta el número de puntos de la figura 1, que muestra los ladrillos, donde se unen tres segmentos de líneas. Hay ocho puntos de ésos. Cada uno de ellos debe señalar el final de al menos un trazo, de modo que la figura completa contiene como mínimo ocho finales de trazos. Ningún trazo puede tener más de dos extremos, por lo que la figura no puede dibujarse con menos de cuatro trazos.

Este es un ejemplo simple de lo que los matemáticos llaman una prueba de imposibilidad. Con mucha frecuencia, en la historia de las matemáticas, se desperdicia una gran cantidad de tiempo intentando resolver un problema, como el de trisecar un ángulo con sólo un compás y una regla, que no tiene solución. Por eso es muy importante investigar las pruebas de imposibilidad. Otro excelente ejemplo de ese tipo de prueba se encontrará en el acertijo de los cinco tetrominós de la sección siguiente.

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20.9. SIN TIEMPO PARA LA ESCUELA.

"Pero no tengo tiempo para la escuela", explicaba Eddie al preceptor. "Duermo ocho horas diarias que, sumadas, dan 122 días por año, suponiendo que cada día es de 24 horas. No hay clases los sábados ni los domingos, que suman 104 días por año. Tenemos 60 días de vacaciones de verano. Necesito tres horas diarias para comer... esto es más de 45 días al año. Y necesito al menos dos horas diarias de recreación... que suman más de 30 días al año."

Eddie escribió estas cifras mientras hablaba, después sumó todos los días. La suma daba 361. Sueño (8 horas diarias) 122Sábados y domingos 104Vacaciones de verano 60Comidas (3 horas diarias) 45

Recreación (2 horas diarias) 30 Total 361 días

"Ya ve", continuó Eddie; "eso me deja tan sólo cuatro días para estar enfermo y en cama, y ni siquiera he tomado en cuenta los siete feriados escolares que tenemos cada año".El preceptor se rascó la cabeza. "Algo no anda bien aquí", murmuró.

Pero por más que se esforzó, no pudo encontrar nada equivocado en las cifras de Eddie. ¿Puedes explicar dónde está el error?

SOLUCIÓNLa trampa de las cifras de Eddie es que las categorías de tiempo se superponen de modo

que los mismos períodos de tiempo se cuentan más de una vez. Para dar un ejemplo, durante su período de vacaciones de 60 días también comió y durmió. El tiempo de comer y dormir se cuenta en el periodo de vacaciones y también aparte, en el tiempo insumido para comer y dormir durante todo el año.

La falacia de superponer categorías es muy común en las estadísticas, especialmente en el caso de las estadísticas médicas. Podemos leer que en ciertas. Comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen una deficiencia de vitamina A, e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina B, y e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos la conclusión de que sólo el 10 por ciento de la población no tiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremos realizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddie utilizó en su charla con el preceptor: Es posible que e1 30 por ciento de la población tenga deficiencias de las tres vitaminas, lo que dejaría a1 70 por ciento de la población en la categoría de los que no tienen ninguna deficiencia.

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20.10. ACERTIJOS ENGAÑOSOS.

1: ¿Puedes poner diez terrones de azúcar en tres tazas vacías de modo que en cada taza haya un número impar de terrones?

2. En la ferretería local, Jones se enteró que l le costaría 50 centavos, 12 1e costarían $1,00 y que el precio de 144 era $1,50. ¿Qué era lo que Jones estaba comprando?

4. Observa con cuánta rapidez puedes anotar los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante, luego controla la respuesta para ver si has seguido bien las instrucciones.

• ¿Con cuánta rapidez puedes hallar el productode los siguientesnúmeros?

256x3x45x3.961x77x488x2.809x0

• Laringitis, un orador griego, nació e14 de julio del 30 A. C. Murió e14 de julio del año 30 D.C. ¿Qué edad tenía cuando murió?

• Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno?

• Después de una serie de experimentos, un químico descubrió que una determinada reacción química demoraba 80 minutos en producirse siempre que él usaba una corbata verde, y que la misma reacción demoraba una hora y veinte cuando él usaba una corbata roja. ¿Se te ocurre alguna razón para ello?

8. Un matemático se fue a acostar a las ocho de la noche, puso el despertador para las 9 de la mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántas horas había dormido cuando el despertador lo despertó?

9. Divide 30 por 1/2 y suma 10. ¿Cuál es el resultado?

10. Un chico tenía cinco manzanas y se comió todas salvo tres. ¿Cuántas manzanas quedaron?

11. ¿Cuáles dos números enteros (no fracciones) dan el número de la mala suerte, 13, cuando son multiplicados entre sí?

12. Un lector de este libro estaba tan enojado por no poder hallar las respuestas de todos estos

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problemas que arrancó las páginas 6. 7. 84, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?

13. Si a un reloj le lleva cinco segundos dar las 6, ¿cuánto tiempo le llevará dar las 12?

14. Un triángulo tiene lados de 17, 35 y 52 centímetros. ¿Cuál es su superficie en centímetros cuadrados?

15. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los nueve puntos de la ilustración?

16. ¿Puedes trazar dos líneas rectas, sin levantar el lápiz del papel, que pasen por las seis pelotas de beisbol que aparecen en la ilustración?

17. Cada libro de los que se ven en la ilustración tiene cinco centímetros de grosor. Esa medida incluye las tapas, que tienen un grosor de1/4 de centímetro. Sí una polilla que come papeles empieza por la primera página del volumen 1 y se abre camino hasta la última página del volumen 4, ¿qué distancia habrá recorrido?

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18. ¿Puedes elegir seis dígitos de los que se ven en la ilustración que sumados den 21?

19. Demuestra de qué manera se puede cortar un panqueque en ocho partes con tres cortes rectos de cuchillo.

20. Un insecto se arrastra a lo largo de una regla desde la marca de los 10 centímetros de un extremo hasta la marca de los 5 centímetros que está en el centro. Ese trayecto le lleva 10 segundos. Siguiendo su camino, se desplaza desde la marca de los 5 centímetros hasta la marca de 1 centímetro, pero ese recorrido le lleva solamente ocho segundos. ¿Se te ocurre alguna buena razón que justifique esa diferencia de tiempo?

21. ¿En qué se basa el orden en que se han dispuesto estos diez dígitos? 0-5-4-2-9-8-6-7-3-1

22. Si hay doce estampillas de un centavo en una docena, ¿cuántas estampillas de dos centavos habrá en una docena?

23. Coloca una moneda en cada uno de los sitios que muestra la ilustración adjunta. ¿Puedes

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cambiar la posición de sólo una moneda y formar dos filas rectas que contengan cuatro monedas cada una?

24. Un lógico se encontró en una pequeña ciudad que sólo tenía dos peluqueros, cada uno de ellos con su propia peluquería. Como necesitaba un corte de pelo, miró hacia el interior de una de las peluquerías y vio de inmediato que era extremadamente sucia. El mismo peluquero necesitaba una afeitada, sus ropas estaban sucias, su pelo descuidado y mal cortado. La otra peluquería resultó ser impecable. El barbero estaba recién afeitado, impecablemente vestido y tenía el pelo prolijamente cortado. El lógico pensó un momento y luego regresó a la primera peluquería para hacerse cortar el pelo. ¿Por qué?

25. Cuando los dos desconocidos con los que se habían citado a ciegas llegaron para llevarlas a un partido de fútbol, Katy y Susan quedaron atónitas al ver que los dos jóvenes eran exactamente iguales. "Sí, somos hermanos", explicó uno de ellos. "Nacimos el mismo día del mismo año y tenemos los mismos padres". "Pero no somos mellizos", dijo el otro. Katy y Susan quedaron perplejas. ¿Puedes explicar la situación?

26. Multiplicar 10 metros por 10 metros da 100 metros cuadrados. ¿Cuánto da diez dólares por diez dólares?27. Cuando el joven pagó su desayuno a la cajera, ella advirtió que él había dibujado un triángulo en el reverso de la cuenta. Debajo del triángulo había anotado: 13 x 2 = 26. La cajera sonrió: "Veo que eres marinero", dijo.¿Cómo supo la cajera que el joven era marinero?

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SOLUCIONES

1. Hay quince soluciones diferentes para este problema, pero todas ellas involucran el mismo truco. Por ejemplo: pon siete terrones en una taza, dos en otra y uno en la tercera. Ahora pon la última dentro de la segunda. ¡La segunda contendrá entonces tres terrones!

2. Jones estaba comprando números sueltos de metal.

3. Los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante son: 1-2-3-4-5-6-7-8-9

4. ¿Viste ese cero al final antes de empezar a multiplicar? Si lo ves, sabrás inmediatamente que la respuesta final tiene que ser cero.

5. Laringitis tenía 59 años (no hubo ningún año cero).

6. El perro, una pequeña Pomerania llamada Henrietta, pesa 5 kilos, y el enorme gatazo llega a los 10. Si supusiste que el perro era "él" y el gato "ella", probablemente no llegaste a ningún lado.

7. No hay nada que explicar porque 80 minutos es lo mismo que una hora y "veinte minutos.

8. El matemático sólo tuvo una hora de sueño. La alarma del reloj lo despertó a las nueve de esa misma noche.

9. Treinta dividido por 1/2 es 60, así que cuando se le suman 10, da 70, que es la respuesta final.

10. Quedaron tres manzanas.

11.13x1=13

12. Sólo arrancó cuatro hojas de papel; porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.

13. A1 reloj le llevará 11 segundos dar las 12. Hay un segundo entre cada campanada.

14. Un "triángulo" con esos lados sería una línea recta (los matemáticos a veces lo llaman un

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"triángulo degenerado"), de modo que no tendría ninguna superficie. Es verdad que se mostraba un triángulo en la ilustración, pero sólo era para desconcertarte; ese triángulo sin duda no podía tener los lados que se indicaban.

16. Como las pelotas de béisbol son puntos más grandes, todas ellas pueden cruzarse trazando dos líneas que se unen en la extrema derecha, tal como se ve en la ilustración.

17. La primera página del volumen 1 está a la derecha del libro cuando los volúmenes están colocados en el estante, y la última página del volumen 4 está a la izquierda del libro. En consecuencia, la polilla sólo tiene que pasar por la tapa del volumen 1, recorrer todo el volumen 2 y el volumen 3, y la tapa del volumen 4, lo que totaliza una distancia de 10 centímetros y 1/2.

18. Invierte el libro y marca con círculos tres 6 y tres 1.

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19. Dos cortes en ángulo recto dividirán el panqueque en cuatro partes. Apílalos y córtalos por la mitad con el tercer corte para hacer ocho partes.

20. El insecto se mueve a una velocidad constante de un centímetro cada dos segundos. ¿Se te ocurrió pensar que la distancia desde el centro de la regla hasta la marca de 1 centímetro es de sólo cuatro centímetros?

21. Los dígitos están dispuestos de tal manera que sus nombres quedan en orden alfabético.

22. Doce.

23. Recoge la moneda inferior y colócala encima de la moneda de la esquina.

24. Como en la ciudad había sólo dos peluqueros, cada uno de ellos tiene que haber cortado el pelo del otro. El lógico eligió al peluquero que le hizo el mejor corte de pelo a su rival.

25. Los dos jóvenes pertenecían a un conjunto de trillizos.

26. La pregunta no tiene sentido. Los dólares pueden sumarse entre sí, o restarse entre sí, pero no pueden multiplicarse o dividirse por algo que no sea un número puro.

27. ¡El joven tenía puesto un traje de marinero!

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21. Galería de Maravillas Numéricas.21.1. Museo De Curiosidades Aritméticas.

En el mondo de los números, como también en el mundo de loa seres vivos, se encuentran maravillas auténticas, ejemplares únicos, que poseen propiedades singulares. A partir de tales números no ordinarios de dicha especie, pudo ser constituido un museo de rarezas numéricas: el presente "museo de curiosidades aritméticas". En sus vitrinas hallaremos el lugar, no solamente de los gigantes numéricos sobre los que charlaremos aún más en un capítulo especial, sino también de los números de dimensiones discretas que, en compensación, se distinguen de la serie de los otros por ciertas propiedades no habituales. Algunos de ellos atraen la atención ya, por 1a apariencia; otros descubren sus particularidades singulares solamente con un conocimiento más profundo.Las particularidades interesantes de ciertos números representados en nuestra "galería", no tienen nada en común con algunas singularidades imaginarias que, los aficionados a lo misterioso, perciben en otros números. Como ejemplo de semejantes supersticiones

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numéricas, puede servir la siguiente reflexión aritmética, expresada sin cautela por el conocido escritor francés Víctor Hugo:"El tres es un número perfecto. La unidad es al número 3, lo mismo que el diámetro al círculo. El número 3 es el único que posee centro. Los demás números, son elipses que tienen dos focos. De aquí, se sigue una particularidad propia, exclusiva del número 3. Al sumar las cifras de cualquier número múltiplo de 3, la suma es divisible exactamente entre 3".En esta vaga y aparentemente profunda revelación, todo es inexacto; lo que no es frase, carece de sentido o es un absurdo. Solamente es justa la observación sobre la propiedad de la suma de las cifras, pero dicha propiedad no surge de lo señalado, y por lo mismo no representa una particularidad exclusiva del número 3: por ella se distingue en el sistema decimal, también el número 9, y en otros sistemas, los números menores, en una unidad, que la base.Las maravillas de nuestra "galería" son de otro tipo: en ellas no hay nada misterioso ni indescifrable.

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Vitrina de maravillas aritméticas

Invito al lector a realizar una excursión por la galería de tales maravillas numéricas y a entablar conocimiento con algunas de ellas.Pasemos, sin detenernos, delante de las primeras vitrinas que encierran números cuyas propiedades son bien conocidas de nosotros. Sabemos ya por qué se hallaba el número

2 en la galería de maravillas: no porque sea el primer número par2 sino porque es la

base de un interesante sistema de numeración. 3

No será inesperado para nosotros encontrar aquí el número 9, también naturalmente,

no como un "símbolo de constancia" sino como el número que nos asegura la comprobación de todas las operaciones aritmética. Pero aquí está la vitrina; veamos a través de su cristal.

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21.2. El Número 12¿Qué tan admirable es?. Es el número de meses en el año y el número de unidades en la docena. Pero, en esencia, ¿qué hay de particular en la docena?. Por pocos es conocido que el 12 es el antiguo y derrotado rival del número 10 en la lucha por el puesto honorífico de base del sistema de numeración. Un pueblo de gran cultura del Antiguo Oriente, los babilonios, y sus predecesores sumerios, realizaban los cálculos en el sistema duodecimal de numeración. Hasta ahora, hemos pagado algo de tributo a este sistema, no obstante la victoria del decimal. Nuestra afición a las docenas y las

gruesas5, nuestra división del día en dos docenas de horas, la división de la hora en 5 docenas de minutos, la división del minuto en otros tantos segundos, la división del círculo en 30 docenas de grados, y finalmente, la división del pie en 12 pulgadas ¿no atestigua todo esto (y muchas otras cosas) sobre la gran influencia, en nuestros días, del antiguo sistema?¿Es conveniente que en la lucha entre la docena y la decena halla triunfado esta última?.Naturalmente, por las intensas ligas de la decena con los diez dedos, nuestras propias manos han sido y continúan siendo máquinas calculadoras naturales. Pero si no fuera por esto, entonces convendría, incondicionalmente, dar la preferencia al 12 antes que al 10. Es mucho más conveniente realizar los cálculos en el sistema duodecimal que en el decimal. Esto se debe a que el número 10 es divisible entre 2 y 5, mientras que el 12 es divisible entre 2, 3, 4 y 6. En 10 hay, en total, dos divisores; en 12, cuatro. Las ventajas del sistema duodecimal se tornan claras si se considera que en este sistema un número que termina con cero, es múltiplo de 2, 3, 9 y 6: reflexiónese: ¡qué tan cómodo es dividir un número cuando precisamente 1/2, 1/3, 1/4 y 7/6 deben ser números enteros!Si el número expresado en el sistema duodecimal termina con dos ceros, deberá ser divisible entre 144, y por consiguiente, también entre todos los multiplicadores de 144, es decir, entre la siguiente serie de números:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Catorce divisores, en lugar de los ocho que tienen los números escritos en el sistema decimal, si terminan con dos ceros (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100). En nuestro sistema solamente fracciones de la forma 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 etc., se convierten en decimales finitos; en el sistema duodecimal se pueden escribir: sin denominador mucho más diversas fracciones y ante todo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144, las que respectivamente se representan así:0.6: 0.4; 0.3: 0.2; 0.16; 0.14: 0.1; 0.09; 0.08; 0.06; 0.04: 0.03: 0.02; 0.01.

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Por otra parte, sería un gran error pensar que la divisibilidad de un número puede depender del sistema de numeración en que esté representado. Si unas nueces contenidas en un saco, pueden ser separadas en 5 montones idénticos, entonces esta propiedad de ellas, naturalmente, no se modifica a causa de que nuestro número de nueces esté expresado en uno u otro sistema de numeración o dispuesto en un ábaco, o escrito con letras, o representado por cualquier otro método. Si el número escrito en el sistema duodecimal es divisible entre 6 o entre 72, entonces, al ser expresado en otro sistema de numeración, por ejemplo en el decimal, deberá tener los mismos divisores. La diferencia consiste únicamente en que, en el sistema duodecimal la divisibilidad entre 6 o entre 72 es fácil de descubrir (el número termina en uno o en dos ceros).Ante tales ventajas del sistema duodecimal, no es entraño que entre los matemáticos se corriera la voz en favor de un traslado total a este sistema. Sin embargo, estamos ya demasiado acostumbrados al sistema decimal como para resolverse por tal sistema.El gran matemático francés Laplace emitió la siguiente opinión respecto a dicho problema: "La base de nuestro sistema de numeración no es divisible entre 3 ni entre 4, es decir, entre dos divisores muy empleados por su sencillez. La incorporación de dos nuevos símbolos (cifras) daría al sistema de numeración esta ventaja; pero tal innovación sería, sin duda, contraproducente. Perderíamos la utilidad que dio origen a nuestra aritmética que es, la posibilidad de calcular con los dedos de las manos".Por el contrario, procedía, por uniformidad, pasar también a los decimales en la medición de los arcos, de los minutos y de los grados.Dicha reforma se intentó realizar en Francia, pero no llegó a implantarse. No había otro, aparte de Laplace que fuera un ardiente partidario de esta reforma. Su célebre libro "Exposición de un sistema del mundo" sucesivamente realiza la subdivisión decimal de los ángulos; llama grado, no a la noventava, sino a la centésima parte de un ángulo recto, minuto a la centésima parte de un grado, etc. Inclusive, Laplace emitió su opinión sobre la subdivisión decimal de las horas y de los minutos. "La uniformidad del sistema de medidas, requiere que el día esté dividido en 100 horas, la hora en 100 minutos, el minuto en 100 segundos" escribió el eminente geómetra francés.Se ve, por consiguiente, que la docena tiene por sí misma, una larga historia, y que el número 12. No sin fundamento se encuentra en la galería de las maravillas numéricas. Por el contrario su contiguo, el número 13, figura aquí no porque sea notable, sino más bien por no serlo, aunque precisamente se emplea por una gloria sombría: ¿no es extraordinario que no habiendo nada que distinga al número, pudiera éste llegar a ser "peligrosa" pera las ge ntes supersticiosas?.

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La forma en que fue propagada esta superstición (que se originó en la antigua Babilonia) es evidente por el hecho de que en la época del régimen zarista, en el dispositivo del tranvía eléctrico en Petersburgo no se decidieron a introducir la ruta número 13, omitiéndola y pasando a la número 14. Las autoridades pensaban que el público no querría viajar en vagones con tal "siniestro" número. Es curioso que en Petersburgo los alojamientos que atendían 13 cuartos, estuvieran solitarios... En los hoteles, generalmente no existía la habitación número 13. Para la lucha contra esta superstición numérica, sin fundamento, en algunas partes de Occidente (por ejemplo, en Inglaterra) se han constituido inclusive "Clubes del número 13" especiales.En la siguiente vitrina del museo de maravillas aritméticas vemos ante nosotros al número 365.21.3. Número 365Es notable, ante todo, porque denomina el número de días en el año. Además, en la división entre7 da, en el residuo, 1: por ser un residuo tan insignificante, esta propiedad del número 365 adquiere un gran significado para nuestro calendario de siete días. Otra propiedad del número 365 no relacionada con el calendario, es365 = 10 x 10 + 11 x 11 + 12 x 12,Es decir, que el número 365 es igual a la suma de los cuadrados de tres números consecutivos, empezando por el 10:

102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.

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Viñeta del famoso cuadro del artista Bogdánov-Bielski, titulado “Un Problema Difícil”

Pero además, es igual a la suma de los cuadrados de los dos siguientes números, 13 y 14:

132 + 142 = 169 + 196 = 365.

En esta propiedad del número 365 se basa el conocido problema de S. A, Rachinsky que inspiró el famoso cuadro de Bogdánov-Bielsky. "problema difícil" (figura 27)

102 112 122 365 132 142 Pocos números de esta índole reúnen en nuestra galería de maravillas aritméticas.

21.4. Tres NuevesEn la siguiente vitrina está, expuesto el mayor de todos los números de tres cifra: el 999. Dicho número, sin duda es mucha más extraordinario que su imagen volcada 666, el famoso "número bestial" del Apocalipsis que ha inspirado un temor absurdo entre algunas gentes supersticiosas que, conforme a las propiedades aritméticas nada hay que lo distinga de los demás números.

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Un número por el cual es fácil multiplicar

Una propiedad interesante del número 999 se manifiesta en su multiplicación con cualquier otro número de tres cifras. Entonces se obtiene un producto de seis cifras: sus tres primeras cifras constituyen el número multiplicado, disminuido de una unidad, y las tres cifras restantes (inclusive la última) son el "complemento" al 9, de las primeras. Por ejemplo:573: 573 x 999 = 572 427Basta, solamente, echar una ojeada al siguiente renglón, para entender el origen de esta particularidad:

573 x 999 = 573 x (1000-1) = 573 000 – 573 = 572 427

Conociendo esta particularidad, podemos multiplicar "instantáneamente" cualquier número de tres cifras por 999:917 x 999 = 966 083,509 x 991 = 508 491,981 x 999 = 980 019.Y puesto que 999 = 9 x 111 = 3 x 3 x 3 x 37, se pueden, otra vez con la rapidez de un rayo, escribir colonias enteras de números de seis cifras, múltiplos de 37; no conocidas las propiedades del número 999, naturalmente no se está en situación de hacer esto. Hablando brevemente, se pueden organizar ante profanos, pequeñas funciones de "multiplicación y división instantáneas".

21.5. El Número de ScheherazadaEl que sigue en turno es el número 1001, el célebre número de Scheherazada. Pocos sospechan, probablemente, que en la denominación misma de una colección de cuentos

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encantados árabes se encienta una especie de maravilla, que podría exaltar la imaginación del sultán del cuento, no en menor grado que algunas otras maravillas de Oriente, si él hubiera sido capaz de interesarse por las maravillas aritméticas.

El número de Scheherazada

¿Qué tan notable es el número 1001? En aspecto, al parecer es muy ordinario. Inclusive, no pertenece al escogido orden de los llamados números "primos". Dicho número es divisible entre 7, 11 y 13, es decir, entre: tres números primos consecutivos, el producto de los cuales resulta ser el mencionado número. Pero la maravilla no consiste en que el número 1001 = 7 x 11 x 13, ya que aquí no hay nada de mágico. Lo mas notable es que al multiplicar un número de tres cifras por dicho número, se obtiene un resultado que consiste del mismo número multiplicado, sólo que escrito dos veces, por ejemplo:

873 x 1001 = 873 873,207 x 1001 = 207 207,

Y aunque esto era de esperarse, puesto que873 x 1001 = 873 x 1000 + 873 = 873 000 + 873,

Aprovechando la señalada propiedad "del número de Scheherazada" se pueden lograr resultados completamente inesperados, por lo menos para el hombre no preparado.Ahora, aclaremos en que forma.Se puede sorprender a un grupo de camaradas no iniciados en los misterios aritméticos, con el siguiente truco, Supóngase que alguno escribe en un pedazo de papel, en secreto, el número de tres cifras que desee, y que enseguida le agrega el mismo número.Se obtiene un número de seis cifras que se compone de tres cifras repetidas. Se le propone al mismo camarada o a su vecino dividir este número, en secreto, entre 7; además, con anticipación se predice que en la división no se obtendrá residuo. El resultado se transmite al nuevo vecino, quien de acuerdo con la proposición, lo divide

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entre 11, y aunque no se conoce el dividendo, uno puede afirmar que también ese número se divide sin residuo. El resultado obtenido se proporciona al siguiente vecino, al cual se le solicita que divida este número entre 13, y conforme a lo predicho de antemano, la división no dará ningún residuo. El resultado de la tercera división. Sin ver el número obtenido se traslada al primer camarada con las palabras:

- ¿Este es el número que Ud. Pensó?- Así es, Ud. acertó, le contestarán sin duda alguna.

¿Cuál es la clave del truco?Este bonito truco aritmético, que produce en los no iniciados un efecto de magia, se explica en uno forma muy sencilla: recuérdese que el agregar a un número de tres cifras el propio número, significa multiplicarlo por 1001, es decir, por el producto 7 x 11 x 13. El número seis cifras que obtiene nuestro camarada después de agregar al número dado el propio número, deberá, por esta razón, dividirse exactamente entre 7, entre 11 y entre 13; y como consecuencia de la división, consecutivamente, entre estos tres números (es decir, entre su producto 1001) se deberá naturalmente, obtener otra vez el número pensado.La realización del truco se puede variar conforme los deseos en tal forma, que se tenga la posibilidad de encontrar el número enigmático que se obtiene en el total de los cálculos. Es sabido que el número de seis cifras sobre el cual se comienzan a hacer los cálculos, es igual al producto

(Número pensado) x 7 x 11 x 13.

Por tal razón, si se pide dividir el número de seis cifras, primero entre siete, después entre 11, luego entre el número pensado entonces, con seguridad se puede encontrar como total final de todas las divisiones al 13.Repitiendo el truco, se pide realizar las divisiones en otro orden: al principio entre 11, después entre el número pensado y entre 13. La última división deberá dar 7 como cociente. O al principio entre 13, después entre el número pensado, y luego entre 7; el total final es 11.

21.6. El Número 10101Después de lo indicado sobre el número 1001, ya no será una sorpresa ver al número 10101 en las vitrinas de nuestra galería. Se adivina a qué propiedad, precisamente, está obligado este número por tal honor. El, como el número 1001, da un resultando sorprendente en la multiplicación, pero no de números de tres cifras, sino de dos cifras;

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todo número de dos cifras, multiplicado por 10

101, da como resultado el propio número, escrito tres veces.

Un número que se presta para trucosPor ejemplo:73 x 10 101 = 737 37321 x 10 101 = 212 121.La causa se aclara por el siguiente renglón:73 x 10101 = 73 ( 10000 + 100 + 1 ) = 730000 + 7300 + 73¿ Con ayuda de este número se pueden hacer trucos de adivinación no habitual, como con el número 1001?Sí se puede. Aquí es posible inclusive, disponer de un truco más variado, si se tiene en cuenta que10101 es producto de cuatro números primos:10101 = 3 x 7 x 13 x 37.

Proponiendo a un camarada pensar un número de dos cifras, a un segundo se le pide agregarle el propio número, a un tercero agregar el propio número una vez más. A un cuarto se le pide dividir el número de seis cifras obtenido, entre 7 por ejemplo; un quinto camarada deberá dividir el cociente obtenido entre 3; un sexto divide lo que se obtuvo entre 37 y, finalmente, un séptimo divide este resultado entre 13; las cuatro divisiones se realizan sin residuo. El resultado de la última división se transmite al primer camarada: éste es, precisamente, el número pensado por él. En la repetición del truco se puede introducir cierta variedad, empleando cada vez nuevos divisores. A saber, en lugar de los cuatro multiplicadores 3 x 7 x l3 x 37, se pueden tomar loa siguientes grupos de tres multiplicadores:21 x 13 x 37;7 x 39 x 373 x 91 x 377 x 13 x 111.

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Este truco es fácil de modificar en forma semejante a como fue explicado en el caso anterior (en el truco con el número 1001).El número 101001 es, quizás aun más sorprendente que el número encantado de Scheherazada, aunque también sea menos conocido en cuanto a sus propiedades singulares. Sobre él se escribió además, ya doscientos años antes, en la "Aritmética" de

Magnitski, en el capítulo donde se proporcionan ejemplos de multiplicación, "con una cierta sorpresa". Dicho número, con mayor razón, debe incluirse en nuestra colección de maravillas aritmética.

Otro número que se presta para trucos

21.7. El Número 10001Con este número se pueden también hacer trucos a la manera de los anteriores, aunque quizás no tan variadas.

Es que dicho número representa en sí, el producto de dos números primos solamente:

10 001 = 73 x 137.

Tengo confianza en que el lector, después de todo lo indicado arriba, se dará cuenta de cómo se aprovecha eso para la realización de las operaciones aritméticas "con sorpresa".

21.8. Seis UnidadesEn la siguiente vitrina vemos una nueva maravilla del museo de curiosidades aritméticas el número que consiste de seis unidades. En virtud del conocimiento de las propiedades mágicas del número 1001, simultáneamente nos damos cuenta de que

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111111 = 111 x 1001.

Número útil para la adivinaciónPero 111 = 3 x 37, y 1001 = 7 x 11 x 13. De aquí se sigue que nuestro nuevo fenómeno numérico, que se compone solamente de unidades, representa en sí, el producto de cinco multiplicadores primos. Combinando estos cinco multiplicadores en todas las formas posibles, en dos grupos, obtenemos 15 pares de multiplicadores que dan como producto uno y el mismo número 111111:

3 x (7 x 11 x 13 x 37) = 3 x 37037 = 1111117 x (3 x 11 x 13 x 37) = 7 x 15873 = 11111111 x (3 x 7 x 13 x 37) = 11 x 10101 = 11111113 x (3 x 7 x 11 x 37) = 13 x 8547 = 11111137 x (3 x 7 x 11 x 13) = 37 x 3003 = 111111 (3 x 7) x (11 x 13 x 37) = 21 x 5291 = 111111(3 x 11) x ( 7 x 13 x 37) = 33 x 3367 = 111111

Se puede, en ese caso, poner a un grupo de 15 camaradas el trabajo de multiplicación y, aunque cada uno multiplicara un distinto par de números, todos obtendrían uno y el mismo resultado original: 111111.El mismo número 111111 es útil también, para la adivinación de números pensados, a semejanza de los medios; usados con los números 1001 y 10101. En el caso dado se propone pensar un número de una cifra, y repetirlo 6 veces. Como divisores pueden servir aquí, cinco números primos: 3, 7, 11, 13, 37 y las combinaciones obtenidas de ellos: 21, 33, 39, etc. Esto proporciona la posibilidad de variar en extremo la realización del truco.Por ejemplo, del número 111111 el lector ve cómo se quede emplear, para los trucos aritméticos, un número que se componga de puras unidades, si se descompone en factores.

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Para fortuna de los aficionados a semejantes trucos, algunos números, de tal sistema, no son primos, sino compuestos.De los primeros 17 números de esta especie solamente los dos menores, 1 y 11, son primos, los restantes son compuestos. He aquí cómo se descomponen en factores primos, los primeros diez de los números compuestos de este sistema.111 = 11 x 10111.111 = 41 x 271111.111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 371.111.111 = 239 x 464911.111.111 = 11 x 73 x 101 x 137111.111.111 = 9 x 37 x 333 6671.111.111.111 = 11 x 4l x 271 x 9091111.11.111.111 = 21649 x 513 239111.111.111.111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 87 x 101 x 9901

No todos los números aquí dados son convenientes para la adivinación.Pero números de 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 12 unidades son más o menos útiles para este objeto. Ejemplos de su uso para adivinación, se darán al final del siguiente capítulo.21.9. Pirámides NuméricasEn las siguientes vitrinas de la galería admiramos notabilidades numéricas de una especie muy particular: con semejanza a pirámides compuestas de números. Consideremos más de cerca a la primera de ellas.

Primera pirámide numérica¿Cómo explicar estos resultados singulares de la multiplicación?Para comprender esta rara singularidad, tomemos como ejemplo cualquiera de las filas

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intermedias de nuestra pirámide numérica: 123456 x 9 + 7. En lugar de la multiplicación por 9, se puede multiplicar por (10-1), es decir, agregar el 0 a la derecha y restar el multiplicando:

123456 x 9 + 7 = 1234560 + 7 - 123456 = 1.111.111

Basta echar una ojeada sobre la última substracción para comprender por qué se obtiene un resultado que consiste solamente de unidades.Podemos también explicar esto, partiendo de otros razonamientos. Para que un número de la forma 12345… se convierta en un número de la forma 11111…, es necesario restar 1 a la segunda de sus cifras, 2 a la tercera. 3 a la cuarta, 4 a la quinta y así sucesivamente; en otras palabras, restar de él el mismo número de la forma 12345 … privado de su última cifra, es decir disminuido 10 veces y carente previamente de su última cifra.

Ahora, es comprensible que para la obtención del resultado buscado es necesario multiplicar por10 nuestro número y agregarle la cifra que sigue, en calidad de última cifra, y restar al resultado el número original (y multiplicar por 10 y restar el multiplicando quiere decir, multiplicar por 9). En forma análoga se explica la formación de la siguiente pirámide numérica (fig. 34), que se obtiene en la multiplicación de una determinada serie de cifras por 8 y la adición de cifras que consecutivamente aumentan.

Segunda pirámide numérica

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Particularmente interesante en la pirámide, es la última fila donde, como resultado de la multiplicación por 8 y la adición del 9, tiene lugar la transformación de la serie natural total de cifras, en dicha serie, pero con una disposición inversa.Intentemos explicar esta particularidad.La obtención de los extraños resultados se aclara por el siguiente renglón:

12345 x 9 + 6 = 1111116

12 345 x 8 + 5 = 98765Es decir12345 x (9 -1) x 8 + 5 + 1 – 1 = 12345 x 9 – 12345 - 1 = 111111 - 12 316.Pero restando del número 111111 el número 12346 compuesto de una serie de cifras crecientes, obtendremos, como es fácil de comprender, una serie de cifras decrecientes: 98765.

He aquí, finalmente, la tercera pirámide numérica, que también requiere explicación.

Tercera pirámide numérica

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Esta pirámide es una consecuencia directa de las dos primeras. La relación se establece muy fácilmente. De la primera pirámide sabemos ya que, por ejemplo:

12345 x 9 + 6 = 111111. Multiplicando ambos miembros por 8, tenemos:(12 345 x 8 x 9) x (6 x 8) = 888888.

Pero de la segunda pirámide se sabe que

12345 x 8 + 5 = 98765 ó12345 x 8 = 98760.

Vale decir,

888888 = (12 345 x 8 x 9) + (6 x 8)888888 = (98 760 x 9) + (5 x 9) + 3888888 = (98 760 + 5) x 9 + 3888888 = 98 765 x 9 + 3.Se convence uno de que todas estas pirámides numéricas no son tan misteriosas como parece a primera vista. Pero algunos las consideran, sin embargo, no descifradas. Me tocó una vez, verlas impresas en un periódico alemán con una nota: "La causa de tan sorprendente singularidad, hasta el presente todavía nadie se la ha explicado. ..."

21.10. Nueve Cifras IgualesEl último renglón de la primera "pirámide".12 345 678 x 9 + 9 = 111.111.111Representa un ejemplo de un grupo completo de interesantes curiosidades aritmética en nuestro museo, reunidas en una tabla.

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¿Dónde está la tal singularidad en los resultados? Tomemos en cuenta que

12345 678 x 9 + 9 = (12345 678 + 1) x 9 = 12 345 679 x 9. Por esta razón12 345 679 x 9 = 111111111.

Y de aquí se sigue directamente que12345 679 x 9 x 2 = 22222222212345 679 x 9 x 3 = 33333333312345 679 x 9 x 4 = 444444444

21.11. Escala NuméricaEs interesante determinar qué se obtiene si el número 111111111, con el cual ahora tenemos que ver, se multiplica por sí mismo. De antemano se puede sospechar que el resultado deberá ser singular, pero ¿cuál es precisamente?

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Si se pasee capacidad para dibujar con claridad en la imaginación una serie de cifras, se llegará a encontrar el resultado que nos interesa, aun sin recurrir a los cálculos sobe el papel. En esencia, aquí la cuestión conduce solamente a una disposición adecuada de los productos parciales, porque al multiplicar se hace solamente de unidad por unidad.

La adición de los productos parciales lleva a un sencillo cálculo de unidades7. He aquí el resultado de esta multiplicación, singular en su especie (en la realización de la cual no se llega a recurrir a la operación de multiplicación):

Las cifras de este resultado disminuyen simétricamente, a partir del centro, en ambas direcciones. Aquellos lectores que se hayan cansado de la revista de las maravillas numéricas, pueden abandonar aquí la "galería" y pasar a las siguientes secciones en donde se muestran trucos y están presentados los gigantes y enanos numéricos: deseo señalar que ellos pueden suspender la lectura de este capítulo y pasar al siguiente. Pero quien todavía desee ponerse al corriente de algunas notabilidades del mundo de los números, lo invito a visitar conmigo una pequeña serie de vitrinas cercanas.

Las maravillas numéricas sobre las cuales se hablará ahora reclaman del lector, el conocimiento de las llamadas fracciones periódicas infinitas. Aquellos lectores que no estén al corriente de ellas, les propongo transformar las siguientes fracciones

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1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1



ordinarias; en decimales, conforme al método bien conocido:

¼, 1/8, 1/3, 1/11

Es fácil persuadirse de que las dos primeras fracciones, al convertirse en decimales, dan un número finito de dos y tres cifras respectivamente.

Al convertir en decimales las fracciones restantes, se obtienen series infinitas de cifras que se repiten en un orden determinado:1/3 = 0.3333333….1/11 = 0.09090909090909…Tales fracciones se denominan periódicas, y el grupo de cifras que se repite en ellas se llama periodo.

21.12. Anillos Mágicos¡Qué extraños anillos están expuestos en la siguiente vitrina de nuestra galería! Ante nosotrosHay tres anillos planos que giran uno con el otro.

En cada anillo están escritas seis cifras, en uno y el mismo orden, que forman el número: 142857. Los anillos poseen la propiedad admirable siguiente: en cualquier

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forma en que sean girados, en la adición de dos números escritos sobre ellos (contando a partir de cualquier cifra en la dirección de giro de las manecillas del reloj), obtenemos en todos los casos el mismo número de seis cifras (en general el resultado será de seis cifras) ¡solamente que algo adelantado!. En la posición que se representa en, obtenemos en la adición de los dos anillos exteriores.

142857-428571571428es decir, otra vez la misma serie de cifras: 142857 solamente las cifras 5 y 7 se han transferido del final al principio.En otras disposiciones de los anillos, relativas de uno con respecto a otro, tenemos los casos:285714-571428857142714285-142857857142

Y así sucesivamente.La excepción lo constituye el caso en que en el resultado se obtiene 999999:

714285-285714999999(La causa de otras desviaciones respecto de la regla indicada, el lector la podrá captar cuando termine de leer este apartado).Además, esa misma serie de cifra, en idéntica secuencia la obtenemos también en la substracción de los números escritos en los anillos.Por ejemplo:428571 571 128 714285-142857 -285 714 -142857 285714 285 714 571428La excepción la constituye el caso en que son puestas en coincidencia cifras idénticas; por supuesto, la diferencia es igual a cero.

Pero esto no es todo. Al multiplicar el número 142857 por 857 por 2, 3, 4, 5 ó por 6, se

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obtiene otra vez la misma serie de cifras, pero desplazada en una disposición circular, en una o en varias cifras:

142 857 x 2 = 285 714142 857 x 3 = 428 571142 857 x 4 = 571 428142 857 x 5 = 714 285142 857 x 6 = 857 142¿Qué tanto están condicionadas estas enigmáticas particularidades de nuestro número?Damos con el camino de la clave, si prolongamos un poco la última tabla y probamos multiplicar nuestro número por 7: como resultado se obtiene 999999. Vale decir, el número 142 857 no es otra cosa que la séptima parte de 999999 y, por consiguiente, la fracción 142857/999999 = 1/7En efecto, si se transforma 1/7 en fracción decimal se obtiene:1/7 = 0.142 857... es decir1/7 = 0.(142 857)Nuestro enigmático número es el periodo de una fracción periódica infinita que se obtiene en la transformación de 1/7 en decimal. Es comprensible ahora, por qué en la duplicación, triplicación, etc. de este número se produce solamente una nueva colocación de un grupo de cifras en otro lugar. En efecto, la multiplicación de este número por 2 lo hace igual a 2/7 y por lo tanto, equivalente a la transformación en fracción decimal, ya no de 1/7, sino de 2/7. Empezando a transformar la fracción 2/7 a decimal, se observa que la cifra 2 es uno de aquellos restos que ya obtuvimos en la transformación de 1/7: es evidente que deberá repetirse la precedente serie de cifras del cociente, pero empezando éste con otra cifra; en otras palabras, deberá obtenerse el mismo periodo, pero sólo que algunas de sus cifras iniciales se encuentran al final. Lo mismo se produce, también en la multiplicación por 3, por 4, 5, y 6, es decir. por todos los números que se obtienen en los restos. En la multiplicación por 7 deberemos obtener la unidad, o lo que es lo mismo 0.9999...Los interesantes resultados de la adición y la substracción de los números, en los anillos hallan explicación en el hecho de que 142857 es el período de la fracción igual 1/7. En efecto, ¿qué hacemos, propiamente, girando el anillo en unas cuantas cifras?. Pasemos el grupo de cifras del principio al final, es decir, de conformidad con lo indicado, multipliquemos el número 142857 por 2, 3, 4, etc. Por lo tanto, todas las operaciones de adición y substracción de los números escritos en los anillos, llevan a la adición y substracción de las fracciones las 1/7, 2/7, 3/7 y así sucesivamente. Como, resultado debemos obtener, naturalmente fracciones de un séptimo, es decir, de nuevo nuestra serie de cifras 142857 en una u otra disposición circular. De aquí es necesario

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excluir solamente el caso en que se sumen, tales números de las fracciones de un séptimo, que en total den la unidad o más que 1.

Pero precisamente los últimos casos no se excluyen totalmente: ellos dan un resultado en verdad, no idéntico a los considerados pero fundamentalmente de acuerdo con ellos. Consideremos atentamente qué deberá obtenerse de la multiplicación de nuestro enigmático número con multiplicaciones mayores que 7, es decir por 8, 9, etc.El multiplicar 142857 por 8, por ejemplo, lo podemos hacer así: multiplicar inicialmente por 7, y el producto (es decir, a 999999) agregar nuestro número:142 857 x 8 = 142 857 x 7 + 142 857 = 999999 + 142 857 =

1000 000 - 1 - 142 857 = 1000 000 + (142 857 - 1).El resultado final 1.142.856 se distingue del multiplicando 142857 únicamente en que hay antepuesta una unidad, y la última cifra está disminuida por una unidad. De acuerdo a una regla similar se compone el producto de 142857 por todo número mayor que 7, como es fácil ver en los siguientes renglones:

142 857 x 8 = (142 857 x 7) + 142 857 = 1 142 856

142 857 x 9142 857 x 10142 857 x 16

= (142 857 x 7) + (142 857 x 2)= (142 857 x 7) + (142 857 x 3)= (142 857 x 7 x 2) + (142 857 x 2)

= 1 285 713= 1 428 570= 2 285 712

142 857 x 39 = (142 857 x 7 x 5) + (142 857 x 4) = 5 571 423

La regla más general es la siguiente: en la multiplicación de 142857 por cualquier multiplicador, es necesario multiplicar solamente por el residuo de la división del multiplicador entre 7; se antepone a este producto el número que indica la cantidad de

sietes que existen en el multiplicador ese mismo número se substrae al resultado8. Supóngase que deseamos multiplicar142857 por 88. El multiplicador 88 en la división entre 7 da 12 en el cuociente, el resultado de las operaciones indicadas es:

12571428 - 12 = 12571416

De la multiplicación 142857 x 365 obtenemos (puesto que 365 en la división entre 7 da en el cuociente 52 y como resto 1):

52 142 857 - 52 = 52 142 805115



Aprendiendo esta sencilla regla y recordando los resultados de la multiplicación de nuestro singular número por los multiplicadores del 2 al 6 (que es muy difícil, siendo necesario tan sólo, recordar con qué cifras comienzan), se puede sorprender a los no iniciados con la rapidez de la multiplicación de un número de seis cifras; y para no olvidar este número sorprendente, observemos que él procede de 1/7, o lo que es lo mismo de 2/14: tenemos las tres primeras cifras, de nuestro número: 142. Las tres restantes se obtienen por substracción de las tres primeras de1999: 999-142857Ya hemos tenido que ver con tales números precisamente cuando nos pusimos al corriente de las propiedades del número 999. Recordando lo indicado allí, nos, damos cuenta de que el número142857 es, evidentemente, el resultado de la multiplicación de 143 por 999:

142857 = 143 x 999.

Pero 143 = 13 x 11. Recordando lo observado anteriormente sobre el número 1001, igual a 7 x 11 x 13, estamos en condiciones, sin efectuar operaciones, de predecir qué deberá obtenerse de la multiplicación 142857 x 7:142857 x 7 = 143 x 999 x 7 = 999 x 11 x 13 x 7 = 999 x 1001 = 999999 (todas estas transformaciones, claro está, se pueden efectuar mentalmente).21.13. Una Familia FenomenalEl número 142857 que acabamos de tratar es uno de los miembros de una familia completa de números que poseen las mismas propiedades. He aquí uno de tales números: 0 588 235 294 117647 (el 0 antepuesto es necesario). Si se multiplica este número por 4, por ejemplo, obtenemos aquella misma serie de cifras, sólo que las cuatro primera cifran estarán colocados al final:0 588 235 294 117 647 x 4 = 2 352 941 176 470 588.

Disponiendo las cifras de este número sobre varios anillos móviles (fig. 38) como en el caso anterior, en la adición de los números de dos anillos obtendremos el mismo número, sólo que desplazado en el orden circular:0 588 235 294 117 647+ 2 352 941 176 470 5882 941 176 470 588 235

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Naturalmente, las tres series que se disponen en los anillos, son idénticas:

De la substracción de los números de dos anillos, se obtiene otra vez el mismo círculo de cifras:

2 352 941 176 470 588- 0 588 235 294 117 6471 764 705 882 352 94l

Finalmente, este número, como también el considerado antes, consiste de dos mitades: las cifras de la segunda mitad son el complemento a 9 de las cifras de la primera mitad.Tratemos de encontrar la clave de todas estas particularidades.No es difícil darse cuenta en qué forma la serie numérica dada ha resultado ser un parienteCercano del número 142 857; el número del anillo anterior representa en sí, el período de una fracción infinita igual a 1/7; el nuevo número es, probablemente, el período de cualquier otra fracción: y en efecto, nuestra larga serie de cifras no es otra cosa, que el período de la fracción infinita que se obtiene de la transformación de la fracción simple 1/17 a fracción decimal:

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1/17 = 0 (0 588 235 294 117 647).He aquí por qué, en la multiplicación de este número por tus multiplicadores del 1 al 16, se obtiene aquella misma serie de cifras en la cual, solamente una o varias cifras iniciales están transferidas al final del número. Y por el contrario, al transferir una o varias cifras de la serie, del comienzo al final, aumentamos el número en varias veces (del 1 al 16 inclusive). Sumando dos anillos girados, uno con relación al otro, producimos la adición de dos números multiplicados,por ejemplo, por tres y por diez, y naturalmente, se obtiene el mismo anillo de cifras, debido aque la multiplicación por 3 + 10, es decir, por 13, motiva solamente una transferencia insignificante del grupo de cifras en la disposición circular.Con una cierta posición de los anillos se obtienen, sin embargo, sumas que difieren un poco de la serie inicial. Si, por ejemplo, giramos un anillo en tal forma que se sume un número multiplicado por seis con uno multiplicado por 15, en la suma se deberá obtener un número multiplicador por6 + 15 = 21. Y tal producto, como es fácil darse cuenta, es algo distinto del producto por un multiplicador menor que 17. En efecto, nuestro número, período de una fracción igual a 1/17, al multiplicarse por 17 deberá dar 16 veces (es decir, tantos como cifras existan en el período de nuestra fracción periódica), o el 1 con 17 ceros menos 1. Por esta razón, en la multiplicación por21, es decir por 4 + 17, deberemos obtener nuestro número cuadruplicado antepuesto al cual se halla el 1, y del orden de las unidades se resta 1. El número cuadruplicado empieza con las cifras que se obtienen en la transformación de la fracción siempre 4/17 en fracción decimal:

4 : 17 = 0.23 . . .

El orden de las cifras restantes es conocido: 5291... Vale decir, nuestro número, multiplicado por21 será:

2 352 941 176 470 587.Lo mismo se obtiene de la adición de los círculos de cifras con una disposición correspondiente. En la substracción de los anillos numéricos de tal caso, no se puede.De números semejantes a los dos con que hemos entablado conocimiento, existe una

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infinidad.

Ellos constituyen una familia completa, puesto que están ligados por un origen común: a partir de la transformación de las fracciones simples en fracciones decimales infinitas. Pero no todo período de una fracción decimal tiene la interesante propiedad, anteriormente considerada, de dar en la multiplicación una transferencia circular de cifras. Sin entrar en sutilezas de la teoría, observamos que esto tiene lugar, solamente para aquellas fracciones en que el número de cifras de su periodo es menor en una unidad, al denominador de la fracción simple correspondiente. Así, por ejemplo

1/7 da en el período 6 cifras1/17 da en el período 16 cifras1/19 da en el período 13 cifras1/23 da en el período 22 cifras1/29 da en el período 28 cifrasSi la condición indicada ahora (relativa al número de cifras del periodo) no se satisface, entonces el correspondiente período da un número que no pertenece a la interesante familia numérica que nos ocupa. Por ejemplo, 1/13 da una fracción decimal con seis (y no con 12) cifras en el período:

1 /13 = 0.076923

Multiplicando por 2, obtenemos un número completamente distinto.

2 /13 = 0.153846

¿Por qué? Porque entre los restos de la división 1 / 13 no estaba el número 2. De los diferentes restos existen tantos, como cifras hay en el periodo, es decir, 6; de los diversos multiplicadores para la fracción 1 / 13 tenemos 12, por consiguiente, no todos los multiplicadores estarán entre los restos, sino únicamente 6. Es fácil darse cuenta de que estos multiplicadores son los siguientes: 1, 3, 4, 9, 10, 12. La multiplicación por estos 6 números da una nueva colocación circular (076 923 x 3 = 230 769), no siendo así en la multiplicación por los números restantes. Esta es la razón por la cual de 1/13 se obtiene un número útil sólo en parte para el "anillo mágico".

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23. ROMPECABEZAS.

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24. LA CALCULADORA PARABÓLICA

En la figura se presenta la parábola y = x2. Usando dos alfileres y un pedazo de hilo con dos

pesos en los extremos es posible calcular el producto de dos números reales. En el ejemplo 5 x

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4 = 20 obsérvese que el producto es leído en la intersección del hilo y el eje y.Siempre que realizamos esta experiencia obtenemos el producto (leído en el eje “y” en el ejemplo 20) de dos números dados en el eje “x” (en el ejemplo 5 y 4).

25. GEOMETRÍA FACTAL25.1. Construcción de cuadrado cantorLa construcción básica para elaborar el conjunto cantor a partir de un segmento en tres partes iguales y suprimir la parte central. Realiza las siguientes instrucciones:

1. Dibuja un cuadrado de 13.5 cm de lado en una hoja tamaño carta cuadriculada.

2. Sobre cada uno de los lados aplica la construcción básica para el conjunto de cantor.

3. con cada par de segmentos que formas las esquinas construye un cuadrado.

4. en cada uno de los cuadrados esquineros realiza nuevamente el punto 1 y 2.

5. describe la figura que se obtendrá de continuar indefinidamente con este procedimiento.

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6. Coloca los datos que se te piden. El cuadrado inicial tiene de lado una unidad.

ETAPA 0.

ETAPA 1

ETAPA 2

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No cuadrados

Área

Perímetro

No cuadrados

Área

Perímetro



ETAPA 3

Completa la siguiente tabla con la base en la información obtenida anteriormente:

Etapa Área PerímetroFracciones Decimales Fracciones Decimales

123456.n

125

No cuadrados

Área

Perímetro

No cuadrados

Área

Perímetro

No cuadrados

Área

Perímetro



A continuación debes encontrar la suma que se te solicita.a. Suma de las áreas de los cuadrados que se forman en las etapas 0,1 y

2. De igual manera para el perímetro.R:……………………………………….b. Suma de las áreas de los cuadrados que se forman en las etapas 0,1,2

y 3. lo mismo para el caso del perímetro.R:………………………………………c. Halla la serie asociada a la suma de las áreas de los cuadrados que se

forman en las n primeras etapas. Has lo mismo para el caso del perímetro.

R:………………………………………

25.2. Fractales tridimensionales.Construcción de la tarjeta de sierpinski1. se toma una hoja tamaño carta 2. Se dobla por la mitad.

3. Se traza un segmento desde la 4. Se corta la hoja doblada La mitad del borde doblado de la siguiendo el segmento trazado.Hoja hasta su mitad.

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5. Se dobla hacia arriba una de las 6. Sobre los rectángulos inferiorpartes cortadas. Derecho superior izquierdo se repite el paso tres.

7. obre esos mismos rectángulos 8. De igual manera sobre estosSe aplica el paso 4.. rectángulos, se vuelve aplicar el Paso 6.

127

¿Cuántas cajas hay?R:………………………….¿Cuánto mide el largo?R:………………………….¿Cuánto mide el ancho?R:…………………………..¿Cuánto mide el alto?R:…………………………..¿Cuánto mide al área de la caja?R:……………………………¿Cuánto mide el volumen de la caja?R:…………………………..



Construcción de la tarjeta de willyesga

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BIBLIOGRAFIA.

1. Bernardo Gómez, Alfonso, Numeración y Calculo, Editorial Síntesis Madrid, 1993.

2. Castro Encarnación, Rico Luís, Castro Enrique, Números y Operaciones, Editorial Síntesis Madrid, 1992.

3. Estrada, W. F., Introducción al análisis topológico del espacio fractal y al desarrollo conceptual de la dimensión fractal. Santa fe de Bogotá.

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Con respecto a la nueva caja exterior que se ha formado dentro de la caja interior, responde:¿Cuánto mide el largo?R:………………………….¿Cuánto mide el ancho?R:………………………….¿Cuánto mide la altura?R:…………………………..¿Cuánto mide el área de la caja?R:…………………………..¿Cuánto mide el volumen de la caja?R:…………………………..



Universidad pedagógica Nacional, tesis de licenciatura. 19954. Gil Véliz Edgar, Juego Acigol, La Paz-Bolivia 1994.5. Gill, E y O´Donnell, Pacho. El Juego, técnicas lúdicas en psicoterapia

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Madrid. Recopilación de las columnas del autor en la revista "Scientiflc American",1972.

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12. Vera Duarte Hugo, Psicotécnico, editorial San Marcos, Lima – Perú, 1992.

131

vertical_matemática creativa e innovador

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