verovatnoca -...

VEROVATNOCA

Teorija verovatnoce je matematicka disciplina koja se bavi izucavanjem slucajnih pojava, tj. takvihempirijskih fenomena ciji ishodi nisu uvek strogo definisani. Osnovni model u teoriji verovatnoce jeeksperiment (opit) pomocu koga se u prirodi i drustvu vrsi proucavanje veze izmedu uzroka i posledice.Na ishod eksperimenta obicno utice vise uslova. Ako se eksperiment ponavlja mnogo puta pod istim kom-pleksom uslova, pojavljuje se odredena zakonomernost u skupu ishoda. Teorija verovatnoce se bavi timzakonitostima uvodenjem odredene kvantitativne mere u obliku realnog nenegativnog broja – verovatnoce,kojim se procenjuje mogucnost, odnosno nemogucnost nastupanja ishoda.

Pocetak razvoja teorije verovatnoce se vezuje za XVII vek i za imena francuskih matematicara Pas-

cala1 i Fermata2. Oni su proucavali problem vezan za jednu kockarsku igru, i ova njihova studija iz1654. godine obicno se smatra pocetkom teorijskog razvoja verovatnoce (videti primer 2.2). Ona je dugobila usko povezana sa problemima hazardnih igara i prakticnih problema na bazi empirijsko-intuitivnihmotivacija. Tek posle 1933. godine, kada je N. A. Kolmogorov3 objavio rad u kojem je izlozio os-novne postavke aksiomatske zasnovanosti teorije verovatnoce, teorija verovatnoce razvija se kao modernamatematicka disciplina koja se ne oslanja samo na empirijske i intuitivne motive, vec na jednu formalno-logicku teoriju povezanu sa drugim matematickim pojmovima. Danas je tesko naci neku naucnu disciplinuili covekovu delatnost koja se moze konkretno izucavati bez primene teorije verovatnoce i matematickestatistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoce.

1. Slucajni dogadaji

Osnovni polazni pojam u teoriji verovatnoce je neprazan skup Ω koji predstavlja skup svih mogucihishoda ω jednog eksperimenta. Obicno se Ω zove prostor elementarnih dogadaja. Skup Ω moze bitikonacan, prebrojiv ili neprebrojiv. Slucajni dogadaj ili prosto dogadaj definise se kao neki podskup odΩ. Dogadaj A (⊂ Ω) se realizuje ako i samo ako se realizuje neki ishod ω koji pripada podskupu A. Skupsvih dogadaja koji odgovaraju jednom eksperimentu nazivamo poljem dogadaja i oznacavamo sa F .Polje dogadaja uvek sadrzi Ω (∈ F) (izvestan ili siguran dogadaj) i ∅ (∈ F) (nemoguc dogadaj). Unastavku, dogadaje cemo oznacavati velikim slovima latinice A, B, C, . . . i smatracemo da oni pripadajupolju dogadaja F .

Ako realizacija dogadaja A povlaci realizaciju dogadaja B kazemo da dogadaj A implicira dogadajB, sto sa stanovista teorije skupova znaci A ⊂ B.

Primetimo da A ⊂ B i B ⊂ C povlaci A ⊂ C. Takode, za svaki dogadaj A vazi ∅ ⊂ A i A ⊂ Ω.

Ako je A ⊂ B i B ⊂ A kazemo da su dogadaji ekvivalentni i pisemo A = B.

Proizvod dva dogadaja A i B, u oznaci AB, je dogadaj koji se realizuje ako i samo ako se realizujuoba dogadaja A i B. Dakle, proizvod dogadaja je presek skupova A i B, tj. AB = A ∩B. Ako su A i Bdisjunkni skupovi, tj. A ∩B = ∅, za dogadaje A i B kazemo da su nesaglasni ili da se iskljucuju.

1Blaise Pascal (1623–1662), francuski matematicar, cita se Paskal.2Pierre de Fermat (1601–1665), francuski matematicar, cita se Ferma.3N. A. Kolmogorov (1903–1987), ruski matematicar.

1

2 racun verovatnoce

Zbir dva dogadaja A i B, u oznaci A ∪ B, predstavlja dogadaj koji se realizuje ako se realizuje barjedan od dogadaja A i B. Ako su A i B nesaglasni dogadaji, umesto A ∪B pisemo A + B.

Razlikom dogadaja A i B, u oznaci A−B ili A \B, naziva se dogadaj koji odgovara razlici skupovaA i B; ovaj dogadaj se realizuje samo ako se realizuje A, a ne realizuje B.

Za dogadaj A postoji suprotan (komplementaran) dogadaj A koji se realizuje ako se dogadaj Ane realizuje, tj. A = Ω \A.

Koristeci elemente teorije skupova, imamo:

A ∩B = ω| ω ∈ Ω, ω ∈ A i ω ∈ B,A ∪B = ω| ω ∈ Ω, ω ∈ A ili ω ∈ B,A \B = ω| ω ∈ Ω, ω ∈ A i ω /∈ B,

A = ω| ω ∈ Ω, ω /∈ A.

Definicija preseka i unije moze se jednostavno prosiriti na konacno ili prebrojivo mnogo dogadaja. Naprimer, ako je A1, . . . , An familija konacno mnogo dogadaja i In := 1, . . . , n indeksni skup, tada je

n⋂

i=1

Ai = ω| za svako i ∈ In je ω ∈ Ai,

n⋃

i=1

Ai = ω| postoji i ∈ In tako da je ω ∈ Ai.

Ako je AiAj = ∅ (i 6= j), umesto⋃

i

Ai pisemo∑

i

Ai.

Dogadaji A1, . . . , An obrazuju potpuni sistem dogadaja ako pri realizaciji odredenog kompleksa

uslova nastupi bar jedan od tih dogadaja, tj. ako jen⋃

i=1

Ai = Ω. Posebno su interesantni potpuni sistemi

nesaglasnih dogadaja. U tom slucaju se kaze da oni cine disjunktno razbijanje skupa Ω.

Primer 1.1. Posmatrajmo eksperimente sa homogenom kockom za igranje cije su strane oznacene brojevima

od 1 do 6. Elementaran dogadaj koji znaci da se pri bacanju kocke pojavila strana sa brojem k ∈ I6 =1, 2, 3, 4, 5, 6 oznacimo sa ωk. Prostor elementarnih dogadaja je Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6. Neka su A, B i

C dogadaji odredeni preko elementarnih dogadaja na sledeci nacin:

A = ω2, ω4, ω6, B = ω1, ω3, ω5, C = ω2, ω3, ω5.

Tada je, na primer,

A ∪ C = ω2, ω3, ω4, ω5, ω6,B ∩ C = ω3, ω5,C = ω1, ω4, ω6,(A ∪ C) ∪ (C \A) = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 = Ω,

A \ B = ∅.

Prema tome, (A ∪ C) ∪ (C \A) je siguran dogadaj, dok je A \ B nemoguc dogadaj.

2. Klasicna definicija verovatnoce

Teorija verovatnoce se skoro trista godina razvijala bez strogo definisanih aksioma verovatnoce.Klasicna definicija verovatnoce se zasnivala na intuitivnoj i iskustvenoj predstavi verovatnoce dogadaja

klasicna definicija verovatnoce 3

kao relativnoj ucestanosti broja povoljnih ishoda i generalizaciji tog pojma. Na primer, ako je A dogadajda se pri bacanju kocke pojavi, na primer, broj 4, a n i n(A) predstavljaju redom ukupan broj eksper-imenata i broj pojavljivanja broja 4, pri dovoljno velikom broju opita moze se zapaziti da se relativnaucestanost dogadaja A izrazena kolicnikom n(A)/n priblizava broju 1/6. Ovaj broj se uzima kao mera,,sanse” za realizaciju dogadaja A.

Iz opisanog primera vidi se da klasicna definicija verovatnoce ustvari koristi pojam verovatnoce jed-nakoverovatnih (jednakomogucnih) dogadaja, koji se smatra osnovnim pojmom i ne definise se. Ocigledanje nedostatak takvog pristupa vec samim tim sto se pojam verovatnoce uvodi koriscenjem pojma ,,jednako-verovatnih” dogadaja, dakle pojma koji treba definisati. Uprkos ove nedoslednosti, klasicna definicijaverovatnoce je omogucila da se dobiju mnogi znacajni rezultati.

Posmatrajmo skup svih medusobno iskljucivih, jednakoverovatnih dogadaja ω1, ω2, . . . , ωn koji cinepotpunu grupu dogadaja, tj. neka je

n⋃

i=1

ωi =n∑

i=1

ωi = Ω.

Definicija 1. Neka je Ω = ω1, . . . ωn skup svih mogucih jednakoverovatnih elementarnih dogadajakoji su medusobno nesaglasni i neka je A = ωi1 , . . . , ωim

dogadaj koji se sastoji od m elementarnihjednakoverovatnih dogadaja koji imaju osobinu kojom se A definise. Verovatnoca nastupanja dogadajaA jednaka je

P (A) =m

n. (2.1)

Ovo je klasicna definicija verovatnoce i ona se moze iskazati i na sledeci nacin:

Verovatnoca P (A) dogadaja A ⊆ Ω jednaka je kolicniku broja (povoljnih) ishoda opita, koji doprinoserealizaciji dogadaja A, i broja svih ishoda.

Moze se reci da je verovatnoca P funkcija koja dogadaju A dodeljuje realan broj dat pomocu (2.1).Funkcija P ima sledece osobine koje sleduju na osnovu definicije (2.1):

(i) Za svako A ∈ F je P (A) ≥ 0 (jer jem

n≥ 0).

(ii) Za siguran dogadaj Ω je P (Ω) = 1 (zato sto je P (Ω) =n

n= 1).

(iii) Ako je A = B + C, (A, B, C ∈ F), pri cemu su B i C nesaglasni dogadaji, tada je

P (A) = P (B) + P (C).

Zaista, ako je

B = ωi1 , . . . , ωir, C = ωj1 , . . . , ωjs

, A = ωi1 , . . . , ωir, ωj1 , . . . , ωjs

, B ∩ C = ∅,

tada je na osnovu (2.1)

P (A) =r + s

n=

r

n+

s

n= P (B) + P (C).

Poslednja formula moze se uopstiti za slucaj konacnog broja medusobno nesaglasnih dogadajaA1, . . . , An. Matematickom indukcijom dokazuje se formula

P( n∑

i=1

Ai

)

=n∑

i=1

P (Ai).

(iv) Verovatnoca dogadaja A, suprotnog dogadaju A, jednaka je P (A) = 1− P (A).

4 racun verovatnoce

Kako je A + A = Ω, na osnovu (ii) i (iii) je P (A + A) = P (Ω), tj. P (A) + P (A) = 1, odakle sledi (iv).

(v) Verovatnoca nemoguceg dogadaja ∅ jednaka je nuli.

Kako je Ω = ∅+ Ω, sledi P (Ω) = 1 = P (∅+ Ω) = P (∅) + P (Ω), odakle je P (∅) = 0.

(vi) Ako je A ⊆ B, tada je P (A) ≤ P (B).

Kako je B = A + AB, s obzirom da su A i AB nesaglasni na osnovu (i) i (iii) dobijamo

P (B) = P (A + AB) = P (A) + P (AB) ≥ P (A).

(vii) Verovatnoca bilo kog dogadaja A ∈ F pripada intervalu [0, 1].

Kako je ∅ ⊆ A = AΩ ⊆ Ω, na osnovu osobine (vi) sledi

0 = P (∅) ≤ P (A) ≤ P (Ω) = 1, dakle 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Sumirajuci napred navedene osobine mozemo konstatovati sledece:

P je nenegativna, normirana, monotona, aditivna funkcija cija je promenljiva slucajni dogadaj, avrednosti su u intervalu [0, 1].

Primer 2.1. U partiji od n proizvoda k je neispravno. Odrediti verovatnocu da od m slucajno izabranih

proizvoda tacno r bude neispravno.

Iz kombinatorike je poznato da m od n proizvoda mozemo izabrati na(

nm

)razlicitih nacina. Povoljan slucaj

je kada od k neispravnih proizvoda uzmemo r, a od n − k ispravnih proizvoda uzmemo m − r. To je mogucno

uciniti na(kr

)(n−km−r

)razlicitih nacina. Prema tome, trazena verovatnoca je

p =

(k

r

)(n− k

m− r

)

(n

m

) . (2.2)

Primer 2.2. Dva kockara A i B bacaju novcic, pri cemu jedan od njih, recimo A, igra na ,,pismo”, a drugi

na ,,grb”. Broj pojave ,,pisma” (,,grba”) predstavlja broj poena za igraca A (igraca B). Dobitnicki ulog namenjen

je onom koji prvi dode do unapred utvrdene sume. Medutim, zbog nekih objektivnih razloga igra je prekinuta.

Postavlja se pitanje kako podeliti ulog znajuci da su u momentu prekida kockaru A bila potrebna 2 poena do

dobitne sume, a kockaru B 3 poena.

Ovaj problem, postavljen od jednog poluprofesionalnog kockara, analizirali su i resili cuveni francuski

matematicari Pascal i Fermat. Kao sto je napomenuto u uvodu, njihova studija o ovom problemu iz 1654.

godine uzima se za pocetak jedne nove matematicke oblasti – teorije verovatnoce.

Resenje: Ocigledno, ne vise od cetiri bacanja novcica je dovoljno da se igra okonca. Neka a oznacava opit

gde A pobeduje (pojava ,,pisma”), a b opit u kome B pobeduje (pojava ,,grba”). Postoji 16 varijacija od dva slova

a i b duzine 4, kao sto je prikazano u donjoj tabeli.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

a a a a b a a b a b b b b b a b

a a a b a a b a b a b b b a b b

a a b a a b a a b b a b a b b b

a b a a a b b b a a a a b b b b

aksiomatska definicija verovatnoce 5

Izmedu 16 mogucih slucajeva, 11 je povoljno za igraca A (slucajevi 1-11, gde se a javlja 2 ili vise puta), dok

je 5 povoljno za B (slucajevi 12-16, gde se b javlja 3 ili vise puta). Prema tome, verovatnoca dobitka je 11/16 za

kockara A, i 5/16 za kockara B. Kockari bi trebalo da podele ulog proporcionalno verovatnocama dobitka, dakle,

u odnosu 11:5.

3. Aksiomatska definicija verovatnoce

Kao sto je vec pomenuto, aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoce prvi put je izlozeno u radu A.N. Kolmogorova iz 1933. godine. Ovaj pristip obuhvatio je sve bitne eksperimentalno i intuitivnouocene osobine funkcije P i prevazisao ogranicenja u razvoju verovatnoce kao moderne matematickediscipline. Uvedena aksiomatika bila je osnov za intenzivan razvoj novih pravaca u teoriji verovatnocekoji su omogucili istrazivanje veoma slozenih procesa i pojava u prirodi, nauci, tehnici i drustvu.

U aksiomatskom zasnivanju verovatnoce osnovni pojam koji se ne definise jeste pojam elementarnog(slucajnog) dogadaja. Slucajan dogadaj je podskup skupa svih elementarnih dogadaja iz Ω. Nekaje P(Ω) partitivni skup skupa Ω i F ⊂ P(Ω).

Ako je familija podskupova F zatvorena u odnosu na operacije komplementiranja i prebrojive unije iako je Ω ∈ F , onda se ova familija zove σ-polje.

Aksioma 1. (aksioma σ-polja). Familija F ⊂ P(Ω) je σ-polje ako su zadovoljeni uslovi:

(1) Ω ∈ F ,

(2) ako Ai ∈ F , tada Ai ∈ F (i ∈ N),

(3) ako Ai ∈ F (i ∈ N), tada+∞⋃

i=1

Ai ∈ F .

Osobine σ-polja:

(i) ∅ ∈ F .

(ii) A \B ∈ F za svaka dva dogadaja A, B ∈ F .

(iii) Ako Ai ∈ F , tada+∞⋂

i=1

Ai ∈ F .

(iv) Ako A1, A2, . . . , An ∈ F , tadan⋃

i=1

Ai ∈ F .

(v) Ako A1, A2, . . . , An ∈ F , tadan⋂

i=1

Ai ∈ F .

Osobine (iv) i (v) za konacan broj dogadaja dokazuju se polazeci od reprezentacija

n⋃

i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ,n⋂

i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An ∩ Ω ∩ Ω ∩ · · · .

Aksioma 2. (aksioma verovatnoce). Neka je F σ-polje nad skupom Ω. Funkcija P : F 7→ R zove severovatnoca nad F ako zadovoljava uslove:

(1′) P (Ω) = 1,

(2′) za sve A ∈ F , P (A) ≥ 0,

(3′) ako Ai ∈ F (i ∈ N) i Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j), tada P(+∞∑

i=1

Ai

)

=+∞∑

i=1

P (Ai).

6 racun verovatnoce

Trojka (Ω,F , P ) odreduje tzv. prostor verovatnoce.

Na osnovu aksioma 1 i 2 neposredno slede neke osnovne osobine verovatnoce, od kojih su neke vecdokazane koriscenjem klasicne definicije verovatnoce:

(i) P (∅) = 0.

Kako je Ω = Ω + ∅+ ∅+ · · · , iz (3′) dobijamo

P (Ω) = P (Ω + ∅+ ∅+ · · · ) = P (Ω) + P (∅) + P (∅) + · · · ⇒ 0 = P (∅) + P (∅) + · · · , tj. P (∅) = 0.

(ii) Ako je A ⊆ B, tada je P (A) ≤ P (B).

Sledi iz B = A + AB. Kako su A i AB nesaglasni dogadaji, imamo P (B) = P (A) + P (AB), tj. P (A) ≤ P (B).

(iii) P( n∑

i=1

Ai

)

=n∑

i=1

P (Ai) (konacna aditivnost).

Sledi iz

n∑

i=1

Ai = A1 + · · ·+ An + ∅+ ∅+ · · · .

(iv) Za svako A ∈ F vazi 0 ≤ P (A) ≤ 1.

S obzirom da je ∅ ⊆ A ⊆ Ω, na osnovu osobine (iv) sledi da je 0 ≤ P (A) ≤ 1.

(v) P (A) = 1− P (A).

Sledi iz A + A = Ω i P (A) + P (A) = P (Ω) = 1.

(vi) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB) (Teorema zbira).

Dogadaji A i AB, odnosno AB i AB, su nesaglasni i vazi A ∪ B = A + AB, B = AB + AB (lako se vidi sa Venovihdijagrama), pa je na osnovu (iii)

P (A ∪B) = P (A) + P (AB) i P (B) = P (AB) + P (AB).

Eliminacijom P (AB) dobijamo (vi).

Generalizacija teoreme zbira:

P( n⋃

i=1

Ai

)

=n∑

i=1

P (Ai)−∑

i<j

P (AiAj) +∑

i<j<k

P (AiAjAk)− · · ·+ (−1)n−1P (A1A2 · · ·An).

(vii) P( n⋃

i=1

Ai

)

= P (A1) + P (A2A1) + P (A3A1A2) + · · ·+ P (AnA1A2 · · · An).

Odavde, s obzirom da je A1 · · · Ak−1Ak ⊂ Ak (k = 2, 3, . . . ), sledi P( n⋃

i=1

Ai

)

≤n∑

i=1

P (Ai). Poslednja

nejednakost vazi i u slucaju prebrojivo mnogo dogadaja.

(viii) Ako je A1 ⊆ A2 ⊆ · · · , onda je P(+∞⋃

i=1

Ai

)

= limk→+∞

P (Ak).

(ix) Ako je A1 ⊇ A2 ⊇ · · · , onda je P(+∞⋂

i=1

Ai

)

= limk→+∞

P (Ak).

Napomena 1. Videli smo da konacne unije i preseci mogu jednostavno da se prosire na beskonacanbroj dogadaja. Na taj nacin, prema Aksiomi 1 i osobinama σ-polja, sledi da je σ-polje zatvoreno u odnosu

aksiomatska definicija verovatnoce 7

na iste operacije kao i polje dogadaja, sto dalje znaci da je σ-polje uvek i polje dogadaja, ali obratno nevazi. Naime, zatvorenost operacija u odnosu na beskonacne unije i preseke povlaci zatvorenost u odnosuna konacne unije i preseke, ali u opstem slucaju obratno ne vazi.

Napomena 2. Klasicna definicija verovatnoce data pomocu (2.1) operise sa (unapred usvojenim)jednakoverovatnim elementarnim ishodima. Pri aksiomatskom pristupu ovaj nedostatak je otklonjeni jednakoverovatni ishodi javljaju se jedino kao posledica. Aksiomatski prilaz takode otklanja i drugiozbiljan nedostatak klasicne definicije verovatnoce – rad sa konacnim skupom ishoda.

Primer 3.1. Tri aviona nezavisno jedan od drugog vrse bombardovanje jednog mosta bacajuci na njega

jednu seriju bombi. Verovatnoca da bar jedna bomba iz serije pogodi most je: za prvi avion 0.2, za drugi 0.3, i

za treci 0.4. Naci verovatnocu da most bude pogoden.

Neka je A dogadaj da je most pogoden (bar jednom) i neka je Ak dogadaj da je bomba bacena iz k-tog aviona

pogodila most. Tada je P (A1) = 0.2, P (A2) = 0.3, P (A3) = 0.4. S obzirom da su dogadaji A1, A2, A3

nezavisni, imamo

P (A1A2) = 0.2 · 0.3 = 0.06, P (A1A3) = 0.2 · 0.4 = 0.08, P (A2A3) = 0.3 · 0.4 = 0.12,

P (A1A2A3) = 0.2 · 0.3 · 0.4 = 0.024,

gde je, na primer, A2A3 dogadaj da su bombe bacene iz drugog i treceg aviona pogodile most.

Primenom Teoreme zbira za n = 3

P (A1 ∪A2 ∪A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3)− P (A1A2)− P (A1A3)− P (A2A3) + P (A1A2A3),

izracunavamo P (A) = P (A1 ∪A2 ∪A3) = 0.664.

Primer 3.2. Pouzdanost nekog uredaja definise se kao verovatnoca (∈ (0, 1)) da uredaj radi ispravno u

odredenom vremenskom intervalu. Pouzdanost slozenog sistema koji je sastavljen od vise komponenti moze se

odrediti ako su poznate pouzdanosti komponenti, pri cemu se cesto pretpostavlja da pouzdanost svake kompo-

nente ne zavisi od pouzdanosti drugih komponenti. U tom slucaju kaze se da su komponente nezavisne.

Osnovni nacin veze dve nezavisne komponente su redna veza (slika 3.1a)) i paralelna veza (slika 3.1b)).

Slika 3.1 Redna i paralelna veza komponenata

Kod redne veze, sistem radi ako i samo ako obe komponente rade. Ako se pretpostavi da su komponente

nezavisne, tada je pouzdanost ovakvog sistema odredena sa pr = p1p2 (proizvod verovatnoca).

Sistem od dve palelelno vezane komponente radi ako i samo ako radi bar jedna komponenta, odakle, na osnovu

Teoreme zbira (osobina (vi) u ovom odeljku), sledi da je pouzdanost sitema odredena sa pp = p1 + p2 − p1p2.

Razmotrimo najpre jedno jednostavno pitanje: Koji sistem sa slike 3.1 je pouzdaniji?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje uporedicemo verovatnoce (koje definisu pouzdanost) ova dva sistema. Kako

je

pp − pr = (p1 + p2 − p1p2)− p1p2 = p1(1− p2) + p2(1− p1),

s obzirom da p1, p2 ∈ (0, 1) sledi pp − pr > 0, tj. pp > pr. Prema tome, paralelna veza je pouzdanija, sto se

intuitivno moglo i ocekivati.

Kod slozenijih sistema sa vise komponenti, pouzdanost se izracunava na slican nacin, kombinujuci osobine

redne i paralelne veze. Analiza pouzdanosti ovakvih sistema nije uvek jednostavna, pogotovu ako komponente

imaju razlicit stepen pouzdanosti.

8 racun verovatnoce

Kao sledeci primer posmatrajmo dva sistema A i B prikazana na slici 3.2 cije sve komponente imaju istu

pouzdanost p. Odredimo koji od njih ima vecu pouzdanost.

Slika 3.2 Koji sistem je pouzdaniji?

Sistem A ne radi ako i samo ako ni jedna komponenta ne radi. Verovatnoca da sistem ne radi jednaka je

(1 − p1)(1 − p2)(1 − p2) = (1 − p)3. Nas interesuje verovatnoca suprotnog dogadaja (da sistem radi), tako da

je pouzdanost sistema A data sa

pA = 1− (1− p)3 = 3p− 3p2 + p3.

Isti rezultat se dobija primenom Teoreme zbira verovatnoca.

Kombinujuci rezultate iz prethodnog primera za rednu i paralelnu vezu, nalazimo pouzdanost sistema B kao

verovatnocu

pB = (p1 + p2 − p1p2) · p3 = (2p− p2)p = 2p2 − p3 (p ∈ (0, 1) .

Kako je

pA − pB = (3p− 3p2 + p3)− (2p2 − p3) = p(2p2 − 5p + 3) = 2p(1− p)(

32 − p

)> 0,

nalazimo da je pA > pB , dakle, sistem A je pouzdaniji.

4. Geometrijska definicija verovatnoce

Pretpostavimo da skup G sadrzi elementarne dogadaje koji se mogu predstaviti kao tacke u nekom odprostora R

1, R2 ili R

3. U oblasti G ,,nasumice” se bira tacka. Moze se postaviti sledece pitanje:

Kolika je verovatnoca da slucajno izabrana tacka pripada i oblasti G1 ⊂ G?

Neka je G ogranicen skup sa konacnom geometrijskom merom m(G) (u R1 to je duzina, u R

2 povrsina, au R

3 zapremina). Pretpostavimo da trazena verovatnoca zavisi samo od mere oblasti G1, u oznaci m(G1),da joj je proporcionalna i da ne zavisi od polozaja i oblika posmatranih oblasti. Na ovaj nacin dolazimodo geometrijske definicije verovatnoce kao kolicnika

P (A) =m(G1)

m(G), (4.1)

gde je A dogadaj koji se realizuje kada slucajno izabrana tacka padne u oblast G1.

Napomena 1. U izvesnom smislu izmedu formula (2.1) i (4.1) postoji slicnost jer se u slucaju obedefinicije vertovatnoca posmatra kao kolicnik povoljnih ishoda i svih mogucih ishoda. Primetimo da se uoba slucaja javlja nedostatak koji se ogleda u zasnivanju pomenutih definicija na pojmu jednakoverovatnihdogadaja. Kod geometrijske definicije verovatnoce (4.1) unapred se usvaja uslov nezavisnosti izbora tackeod oblika i polozaja oblasti, tj. pretpostavlja se jednaka mogucnost (jednakoverovatnost) izbora bilo kojetacke oblasti. Uprkos ovom nedostatku, geometrijska verovatnoca u mnogim slucajevima daje dobreprocene ,,sanse” za realizaciju nekog slucajnog dogadaja.

geometrijska definicija verovatnoce 9

Primer 4.1. Osobe A i B dogovorile su se da se susretnu na odredenom mestu izmedu 13h i 13h i a minuta.

Prema dogovoru, onaj ko prvi dode ceka na drugog b minuta. Odrediti verovatnocu da dode do susreta ako se

pretpostavlja da je vreme dolaska za svaku od osoba podjednako verovatno rasporedeno izmedu 13h i 13h i aminuta.

Resenje: Neka je osoba A dosla u 13h i x minuta, a osoba B u 13h

i y minuta. Tada je, prema uslovu zadatka, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a(moguci ishodi). Do susreta ce doci ako i samo ako pored ovih uslova

bude i |x− y| ≤ b. Dakle, tacka sa koordinatama (x, y) moze se nalaziti

u kvadratu K stranice a, a do susreta ce doci ako se nalazi u osencenoj

oblasti S (povoljni ishodi) koja je ogranicena pravama y = x − b, y =x+ b i stranicama kvadrata (slika 4.1). Odnos ovih povrsina daje trazenu

verovatnocu:

Slika 4.1

p =S

K=

a2 − (a− b)2

a2=

b(2a− b)

a2.

Primer 4.2 (Buffonov4 problem). Na dovoljno velikom listu hartije nacrtane su medusobno paralelne

linije na jednakom rastojanju a. Igla duzine d (< a) baca se na povrs sa paralelnim linijama. Bifonov problem

sastoji se u odredivanju verovatnoce da igla sece neku od pravih. Da bismo resili ovaj problem, koji pripada

oblasti geometrijske verovatnoce, posluzicemo se slikom 4.2a. Neka je C srediste igle. Oznacimo sa x rastojanje

tacke C do najblize prave i sa α ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelnih pravih. Tacka (α, x) moze se

nalaziti u pravougaoniku

D =(α, x)| 0 ≤ α ≤ π ∧ 0 ≤ x ≤ a/2

.

Slika 4.2 Buffonov problem

Da bi igla sekla jednu od pravih, tacka (α, x) mora se nalaziti u oblasti

D1 =

(α, x)| 0 ≤ x ≤ d

2sin α ∧ 0 ≤ α ≤ π

.

Trazena verovatnoca p jednaka je kolicniku povrsina oblasti D1 i D (slika 4.2b). Ove povrsine su redom jednake

SD = aπ/2 i

SD1=

π∫

0

d

2sin αdα = −d

2cos α

∣∣∣

π

0= d,

te je

p =SD1

SD=

2d

πa.

4J.L.L. Buffon (1707–1788), francuski svestenik i matematicar, cita se Bifon.

10 racun verovatnoce

Primer 4.3 (Bertrandov5 paradoks). U krugu poluprecnika r povucena je nasumice tetiva. Odrediti

verovatnocu da je duzina tetive veca od strane ravnostranog trougla upisanog u krug.

Ovako formulisan problem opisao je Bertrand 1889. godine i poznat je kao Bertrandov paradoks. Paradoks

se sastoji u tome da se dobijaju (bar) tri razlicita rezultata za trazenu verovatnocu, zavisno od nacina na koji je

povucena tetiva. Posmatrajmo tri nacina (nasumicnog) povlacenja tetive:

Slika 4.3 Tri nacina za izbor ,,slucajne tetive”

I nacin. Na periferiji kruga uocimo tacku A i kroz nju povucimo tetivu u nasumice izabranom pravcu.Upisimo u dati krug ravnostran trougao cije je jedno teme tacka A i spojimo tacku A sa centrom kruga (slika

4.3a)). Oznacimo sa θ ugao koji zaklapa tetiva sa poluprecnikom OA. Ocigledno je da ce nasumice povucena

tetiva imati vecu duzinu nego stranica upisanog trougla ako i samo ako je θ ∈ (−π/6, π/6). S obzirom da ugao

θ moze da varira u granicama od −π/2 do π/2, trazena verovatnoca je

P(

−π

6< θ <

π

6

)

=

π

3π

=1

3.

II nacin. Fiksirajmo jedan pravac i povucimo nasumice tetivu kruga paralelno fiksiranom pravcu.Upisimo u dati krug ravnostran trougao tako da jedna njegova stranica bude paralelna fiksiranom pravcu (slika

4.3b)). Rastojanje ove stranice od centra datog kruga je r/2. Tetiva ce imati vecu duzinu od stranice upisanog

ravnostranog trougla ako i samo ako je njeno rastojanje od centra kruga manje od r/2. Kako rastojanje x tetive

od centra kruga moze da varira od 0 do r (uzimajuci u obzir simetriju koja je graficki ilustrovana ,,inverznim”

trouglom nacrtanim isprekidanim linijama) trazena verovatnoca je

P =

r

2r

=1

2.

III nacin. Izaberimo u krugu jednu tacku i kroz nju povucimo tetivu koja ce biti prepolovljena tomtackom (slika 4.3c). U ovom slucaju tetiva ce imati vecu duzinu od stranice upisanog ravnostranog trougla ako

i samo ako njeno srediste lezi unutar kruga koji je upisan u ravnostranom trouglu. Poluprecnik ovako upisanog

kruga je r/2, a povrsina r2π/4. Povrsina datog kruga je r2π, pa je trazena verovatnoca

P =

r2π

4r2π

=1

4.

Dakle, u sva tri slucaja dobili smo razlicite verovatnoce, sto predstavlja paradoks. Objasnjenje za ovaj paradoks

lezi u cinjenici da problem nije precizno formulisan. U stvari, svi dobijeni rezultati su tacni jer u postavljenom

zadatku imamo tri razlicita problema, u zavisnosti od toga sta podrazumevamo pod pojmom proizvoljne tetive.

Kao sto smo videli, svaki od tri opisana nacina postavlja neke dodatne uslove, tako da slucajnost u stvari nije

potpuna.

5J. L. Bertrand (1822–1900), francuski matematicar, cita se Bertran.

statisticka definicija verovatnoce 11

5. Statisticka definicija verovatnoce

Klasicna definicija verovatnoce podrazuma takav kompleks uslova pri ekperimentima koji uvek dovodido pojave jednakoverovatnih elementarnih dogadaja. Sva navedena pravila za nalazenje verovatnoce uprethodnom odeljku izvedena su pod ovim uslovima. Medutim, cesto nije moguce utvrditi jednakoverovat-nost elementarnih dogadaja. Stavise, i u slucajevima kada je to moguce (kao u slucaju homogene kocke ilipravilnog novcica), situaciju pogorsava cinjenica da je u praksi tesko obezbediti nepromenljive i idealneuslove pri izvodenju eksperimenata. Zbog toga je jedini nacin da zaista odredimo verovatnocu dogadajaA statisticki pristup zasnovan na velikom broju eksperimenata.

Pretpostavimo da se pri dovoljno velikom broju od n opita dogadaj A realizovao m puta. U slucaju daje kompleks uslova (skoro) nepromenjen pri ovim eksperimentima, iskustvo je pokazalo da se frekvencijadogadaja A grupise oko kolicnika m/n, koji se prema klasicnoj definiciji verovatnoce uzima za verovatnocurealizacije tog dogadaja. Pri stabilnim uslovima pri izvodenju eksperimenata odstupanje od kolicnika jeutoliko manje, ukoliko je broj opita n veci. Na osnovu ovog dolazi se do statisticke definicije verovatnoce:

Ako je mn broj pojavljivanja dogadaja A u seriji od n eksperimenata izvedenih pod istim uslovima,tada je

P (A) = limn→+∞

mn

n.

Gornja definicija proizilazi iz tzv. zakona velikih brojeva, o cemu ce biti reci u 14. odeljku.

Na primer, ako je A dogadaj da pri bacanju kocke padne broj 6, i ako kocku bacimo 3000 puta,ocekujemo da se sestica pojavi 500 puta jer je verovatnoca P (A) = 1/6. Ako bi se sestica pojavila,recimo, 400 puta, statisticki pristup daje verovatnocu koja je neki broj oko 2

15 .

Statisticka definicija verovatnoce koristi se pri statistickoj obradi podataka u onim naukama cija jemetodologija istazivanja zasnovana na statistici (na primer, u drustvenim naukama, biologiji, socio-loskim istrazivanjima, medicini, meteorologiji, fizici, itd.). Ocena nekih parametara donosi se na osnovuverovatnoce koja se izrazava kolicnikom mn/n, dobijenim pri istrazivanju velikog broja slucajeva iliuzoraka.

Primer 5.1. U prethodnom odeljku izlozen je Buffonov problem koji razmatra verovatnocu da igla duzine dpresece jednu od ekvidistantno nacrtanih paralelnih linija na rastojanju a (> d). Pokazano je da je ova verovatnoca

jednaka p = 2d/πa. Ako se izvrsi veliki broj eksperimenata, odnos broja povoljnih ishoda m (tj. broja preseka

igle i prave) i ukupnog broja eksperimenata n daje vrednost koja je priblizno jednaka gornjem razlomku, tj.

2d/πa ≈ m/n. Odavde je

π ≈ 2dn

am.

Ova formula daje mogucnost da se broj π odredi eksperimentalnim putem. Prema statistickoj definiciji

verovatnoce moglo bi se ocekivati da se sa povecanjem broja eksperimenata n broj π moze odrediti iz gornje

formule sa vecom tacnoscu.

Godine 1850. Volf je izvrsio 5000 bacanja i dobio vrednost 3.1596, Smit (1855.) je nasao 3.1553 (3204

eksperimenta), Foks (1894.) je dobio 3.1419 (1120 eksperimenata), dok je Lazarini 1901. godine dosao do veoma

dobre aproksimacije 3.1415929 izvrsivsi 3408 eksperimenata (greska tek na sedmoj decimali). Povodom ovog

poslednjeg rezultata ruski matematicar A.N. Zajdel je 1983. godine napisao rad pod naslovom ,,Obmana ilizabluda” u kome je izrazio sumnju u Lazarinijev rezultat. Naime, zbog neizbeznih gresaka pri merenju duzina

a i d (makar to bio i hiljaditi deo milimetra), neidealnosti povrsine na koju se baca igla, raznih uticaja okoline,

i nemogucnosti da se u potpunosti ocuva isti kompleks uslova u toku citavog ogleda, veoma je tesko ocekivati

gresku manju od 0.001. U ovom radu Zajdel je pokazao da je greska pri eksperimentalnom odredivanju broja

π srazmerna reciprocnoj vrednosti korena iz broja eksperimenata. Prema ovom ,,zakonu 1/√

n ” , da bi dobio

vrednost broja π navedenu gore, Lazarini bi morao da vrsi eksperimente citavih 4 000 000 godina!


6. Uslovne verovatnoce i nezavisnost dogadaja

Neka je (Ω,F , P ) prostor verovatnoce i neka je A ∈ F dogadaj cija realizacija ne zavisi od nastu-panja bilo kog drugog dogadaja iz F . U tom slucaju verovatnoca ovog dogadaja zove se bezuslovnaverovatnoca. Ako je realizacija dogadaja A uslovljena nastupanjem jos nekog drugog dogadajaB (P (B) 6= 0), tada se verovatnoca dogadaja A pod uslovom da se desio dogadaj B naziva uslovnomverovatnocom i oznacava se sa P (A|B). Dakle, P (A|B) je verovatnoca dogadaja A pod uslovima kojisigurno dovode do realizacije dogadaja B.

Posmatrajmo eksperiment sa konacnim brojem jednakoverovatnih elementarnih dogadaja. Oznacimosa nA, nB , nAB broj elementarnih dogadaja koji dovode do realizacija dogadaja A, B, AB u n opita.Prema klasicnoj definiciji verovatnoce je

P (B) =nB

n, P (AB) =

nAB

n.

Kako je nastupanje slucajnog dogadaja A uslovljeno nastupanjem dogadaja B, to pri odredivanju uslovneverovatnoce P (A|B) broj nB predstavlja broj svih mogucnih elementarnih dogadaja za nastupanje do-gadaja B, a nAB onaj broj tih dogadaja koji dovode do realizacije dogadaja A. Zato je

P (A|B) =nAB

nB=

nAB

nnB

n

=P (AB)

P (B), P (B) > 0. (6.1)

U slucaju da je dogadaj B uslovljen nastupanjem dogadaja A, analogno se dokazuje da je

P (B|A) =P (AB)

P (A), P (A) > 0. (6.2)

Iz (6.1) i (6.2) dobija se

P (AB) = P (B) · P (A|B) = P (A) · P (B|A). (6.3)

Relacija (6.3) izrazava teoremu proizvoda verovatnoca prema kojoj je verovatnoca nastupanja dvadogadaja jednaka proizvodu bezuslovne verovatnoce jednog od tih dogadaja i uslovne verovatnoce drugog,pod uslovom da je nastupio prvi dogadaj.

Formula proizvoda verovatnoca moze se uopstiti i na slucaj vise dogadaja. Na primer, za tri dogadajaA, B, C vazi

P (ABC) = P((AB)C

)= P (AB) · P (C|AB) = P (A) · P (B|A) · P (C|AB). (6.4)

Primenom matematicke indukcije prethodne formule se mogu uopstiti i na slucaj n dogadaja:

P (A1A2 · · ·An) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|A1A2) · · ·P (An|A1A2 · · ·An−1). (6.5)

Uslovna verovatnoca zadovoljava aksiom verovatnoca, tj. vazi sledece tvrdenje:

Teorema 6.1 Ako je B ∈ F , P (B) > 0 i ako je P1(A) = P (A|B) za svako A ∈ F , tada je (Ω,F , P1)prostor verovatnoce.

Dokaz. Pokazacemo da P1 : F 7→ R zadovoljava uslove Aksiome 2:

(1′) P1(Ω) = P (Ω|B) =P (ΩB)

P (B)=

P (B)

P (B)= 1.

(2′) Za svako A ∈ F je P1(A) = P (A|B) =P (AB)

P (B)≥ 0.

uslovne verovatnoce i nezavisnost dogadaja 13

(3′) Neka je A1, A2, . . . , An, . . . niz medusobno disjunktnih dogadaja. Tada su dogadaji A1B, A2B,A3B, . . . takode medusobno disjunktni (videti sliku 6.1).

Slika 6.1Koristeci (6.1) nalazimo

P1

(+∞∑

i=1

Ai

)

= P((+∞∑

i=1

Ai

)

|B)

=

P((+∞∑

i=1

Ai

)

B)

P (B)=

+∞∑

i=1

P (AiB)

P (B)

=+∞∑

i=1

P (AiB)

P (B)=

+∞∑

i=1

P (Ai|B) =+∞∑

i=1

P1(Ai),

sto je i trebalo dokazati.

Primer 6.1. Koja je verovatnoca da u drustvu od n osoba postoje bar dve koje su rodene istog dana u

godini? Naci najmanji broj n potreban da bi ova verovatnoca bila ≥ 1/2. Uzima se da su svi dani podjednako

mogucni da budu datumi rodenja jedne osobe, kao i da godina ima 365 dana.

Neka je A∗ dogadaj da ne postoje dve od n osoba koje imaju isti datum rodenja. Verovatnoca ovog dogadaja

je

P (A∗) =365 · 364 · · · (365− n + 1)

365n.

Odavde je verovatnoca da najmanje dve osobe imaju isti datum rodenja

P (A) = 1− P (A∗) = 1− 365 · 364 · · · (365− n + 1)

365n.

Probanjem za n = 1, 2, . . . nalazimo da je P (A) ≥ 1/2 za n ≥ 23, sto je sa intuitivnog stanovista dosta mali

broj; naime, pre resavanja ovog problema ocekivao bi se mnogo veci broj osoba da bi P (A) bilo vece od 1/2.

Primer 6.2. U kutiji se nalazi 10 sijalica od kojih su 4 neispravne. Nasumice se izvlace 3 sijalice bez vracanja.

Naci verovatnocu da su sve tri izvucene sijalice ispravne.

Neka je Ai (i = 1, 2, 3) dogadaj da je u i-tom izvlacenju uzeta ispravna sijalica. Tada se dogadaj A, koji

oznacava da su sve tri sijalice ispravne, moze predstaviti kao A = A1A2A3, te je, na osnovu formule (6.4),

P (A) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|A1A2) =6

10· 5

9· 4

8=

1

6.

Definicija 1. Za slucajan dogadaj A kaze se da je nezavisan od dogadaja B ako je uslovna verovatnocanastupanja dogadaja A pod uslovom da je nastupio dogadaj B, jednaka bezuslovnoj verovatnoci dogadajaA, tj. P (A|B) = P (A).


Iz definicije uslovne verovatnoce (6.1) sledi P (A|B) =P (AB)

P (B)= P (A), odakle je

P (AB) = P (A) · P (B). (6.6)

Dakle, u slucaju kada jedan dogadaj ne zavisi od drugog, verovatnoca njihovog proizvoda jednakaje proizvodu njihovih verovatnoca. Ova formula predstavlja specijalan slucaj pravila o proizvoduverovatnoca datog pomocu (6.3). Napomenimo da neki autori uzimaju relaciju (6.6) za definiciju neza-visnosti dva dogadaja.

Na osnovu (6.6) sledi

P (B|A) =P (AB)

P (A)=

P (A)P (B)

P (A)= P (B).

Odavde zakljucujemo da ako dogadaj A ne zavisi od B, tada ni B ne zavisi od A. Mozemo reci da sudogadaji A i B nezavisni ako je verovatnoca njihovog proizvoda jednaka proizvodu njihovih verovatnoca.

Pojam nezavisnosti dva dogadaja moze se prosiriti na konacan ili najvise prebrojiv skup dogadaja.

Definicija 2. Za dogadaje A1, A2, . . . ∈ F kaze se da su nezavisni u parovima ako za svaki par indeksa(i, j) (i 6= j) vazi

P (AiAj) = P (Ai) · P (Aj).

Definicija 3. Dogadaji A1, A2, . . . , Ai, . . . ∈ F su u celini nezavisni ako za svaki konacan niz indeksak1 < k2 < · · · < kn (ki ∈ 1, 2, . . . ) i proizvoljno m ∈ N vazi

P (Am|Ak1Ak2

· · ·Akn) = P (Am),

sto je ekvivalentno sa

P (Ak1Ak2

· · ·Akn) = P (Ak1

) · P (Ak2) · · ·P (Akn

).

Ocigledno je da nezavisnost dogadaja u celini implicira nezavisnost u parovima, ali obratno ne vazikao sto pokazuje sledeci primer.

Primer 6.3. Tri strane pravilnog tetraedra obojene su redom crvenom, plavom i zutom bojom, dok je cetvrta

strana obojena sa sve tri boje. Neka A oznacava dogadaj da prilikom bacanja tetraedra padne crvena boja, B

– plava, C – zuta. Tada je, P (A) = P (B) = P (C) = 12 , i odavde, na primer, P (AB) = P (A)P (B) = 1

4 . S

druge strane je P (ABC) = 14 6= P (A)P (B)P (C) =

(12

)3= 1

8 .

7. Totalna verovatnoca i Bayesova6 formula

Sledece dve teoreme imaju veliki znacaj u teoriji verovatnoce i njenim primenama.

Teorema 7.1 (Formula totalne verovatnoce). Ako su H1, H2, . . . , Hn medusobno nesaglasnidogadaji, P (Hi) > 0 (i = 1, . . . , n) i H1 + H2 + · · ·+ Hn = Ω, tada je

P (A) =n∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi) za svaki dogadaj A ∈ F . (7.1)

6T. Bayes (1702–1761), engleski matematicar, cita se Bajes.

totalna verovatnoca i Bayesova formula 15

Dokaz. Polazeci od jednakosti A = AΩ = An∑

i=1

Hi =n∑

i=1

AHi, na osnovu (6.3) i osobine konacne

aditivnosti, imamo

P (A) = P( n∑

i=1

AHi

)

=n∑

i=1

P (AHi) =n∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi).

Verovatnoce P (Hi) su obicno poznate unapred, pre realizacije opita, pa se cesto nazivaju apriornimverovatnocama, a sami dogadaji hipotezama. Primetimo da hipoteze Hi cine potpuni sistem do-gadaja, tj. cine disjunktno razbijanje skupa Ω.

Primer 7.1. Date su tri jednake kutije. U prvoj se nalaze dve bele i jedna crna kuglica, u drugoj tri bele

i jedna crna, i u trecoj jedna crna i jedna bela kuglica. Neko nasumice bira jednu od kutija i uzima iz nje opet

nasumice jednu kuglicu. Naci verovatnocu da ce izvucena kuglica biti bela.

Resenje: Oznacima sa A dogadaj da bude izvucena bela kuglica i razmotrimo tri hipoteze:

H1 – izbor prve kutije;

H2 – izbor druge kutije;

H3 – izbor trece kutije.

Najpre nalazimo

P (H1) = P (H2) = P (H3) =1

3, P (A|H1) =

2

3, P (A|H2) =

3

4, P (A|H3) =

1

2.

Na osnovu formule totalne verovatnoce je

P (A) =3∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi) =1

3· 2

3+

1

3· 3

4+

1

3· 1

2=

23

36,

sto predstavlja trazenu verovatnocu.

Ako je rezultat opita pokazao da se dogadaj A realizovao, vazno je naci verovatnoce P (Hi|B) realizacijapojedinih hipoteza koje su dovele do realizacije dogadaja A. Drugim recima, interesuje nas aposteriornaverovatnoca hipoteza Hi pod uslovom da se realizovao dogadaj B. Odgovor daje sledece teorema.

Teorema 7.2 (Bayesova formula). Ako su H1, H2, . . . , Hn medusobno nesaglasni dogadaji,P (Hi) > 0 (i = 1, . . . , n) i H1 + H2 + · · ·+ Hn = Ω, tada je

P (Hi|A) =P (Hi)P (A|Hi)

n∑

j=1

P (Hj)P (A|Hj)

(i = 1, . . . , n, A ∈ F). (7.2)

Dokaz. Kako je

P (HiA) = P (Hi)P (A|Hi) = P (A)P (Hi|A) (i = 1, . . . , n),

imamo

P (Hi|A) =P (Hi)P (A|Hi)

P (A).

Primenjujuci teoremu 7.1 za P (A) dobijamo Bayesovu formulu (7.2).


Primer 7.2. Dva strelca nezavisno jedan od drugog gadaju istu metu ispaljujuci po jedan metak. Verovatnoca

pogadanja za prvog strelca je 0.8, a za drugog 0.4. Posle izvedenog gadanja utvrdeno je da je meta pogodena

samo jednom. Naci verovatnocu da je pogodio prvi strelac.

Resenje: Oznacimo sa A dogadaj da je cilj pogoden jednom. Pre gadanja sledece cetiri hipoteze su moguce:

H1 – ni prvi ni drugi strelac nisu pogodili;

H2 – oba strelca su pogodila;

H3 – prvi strelac je pogodio, drugi nije;

H4 – drugi strelac je pogodio, prvi nije.

Uslovne verovatnoce su

P (A|H1) = 0, P (A|H2) = 0, P (A|H3) = 1, P (A|H1) = 1,

tj. hipoteze H1 i H2 su nemoguce (jer je cilj pogoden samo jednom).

Verovatnoce mogucih hipoteza su

P (H3) = 0.8 · 0.6 = 0.48, P (H4) = 0.2 · 0.4 = 0.08.

Na osnovu Bayesove formule nalazimo verovatnoce hipoteza H3 i H4 pod uslovom da je cilj pogoden samo jednom:

P (H3|A) =P (H3)P (A|H3)

P (H3)P (A|H3) + P (H4)P (A|H4)=

0.48 · 10.48 · 1 + 0.08 · 1 =

6

7,

P (H4|A) =P (H4)P (A|H4)

P (H3)P (A|H3) + P (H4)P (A|H4)=

0.08 · 10.48 · 1 + 0.08 · 1 =

1

7.

Na osnovu dobijenih rezultata zakljucujemo da je verovatnije da je metu pogodio prvi strelac (P (H3|A) = 6/7),

dok je verovatnoca da je to ucino drugi strelac P (H4|A) = 1/7.

8. Slucajne promenljive

Iz prethodnih izlaganja videli smo da se svakom elementarnom dogadaju ω ∈ Ω moze dodeliti realanbroj X(ω) i na taj nacin opisati rezultat nekog eksperimenta pomocu realne funkcije X(ω). Pritom,ova funkcija mora zadovoljiti neke uslove koji omogucavaju da ona na realnu pravu preslika ne samoelementarne dogadaje ω ∈ Ω, vec i celu strukturu datog prostora verovatnoce (Ω,F , P ).

Ilustracije radi, posmatrajmo jedan ekperiment koji se sastoji od 3 nezavisna opita u kome se nekidogadaj A realizije ili ne realizuje. Moguci su sledeci ishodi:

ω1 = AAA, ω2 = AAA, ω3 = AAA, ω4 = AAA, ω5 = AAA, ω6 = AAA, ω7 = AAA, ω8 = AAA.

Svakom od 8 ishoda ω mozemo dodeliti relan broj X(ω) koji oznacava broj realizacija dogadaja A, naprimer, X(AAA) = 0, X(AAA) = 1, X(AAA) = 2, X(AAA) = 3. Ocigledno je da X predstavlja pres-likavanje skupa ishoda Ω = ω1, . . . , ω8 u skup 0, 1, 2, 3. Ovo nas dovodi do vaznog pojma slucajnepromenljive X koja preslikava Ω u R.

Uvodenje pojma slucajne promenljive (tj. funkcije koja preslikava Ω u R) omogucava da se umestodirektnog i komplikovanog izucavanja prostora verovatnoce Ω,F , P problem izucavanja svede na prostorrealnih brojeva R koji ima veoma bogatu matematicku strukturu i, samim tim, omogucuje definisanje iproucavanje mnogih novih pojmova i odnosa vezanih za izucavanje slucajnih pojava.

Od najveceg interesa je slucaj kada je Ω = R, gde se verovatnoca definise na otvorenim intervalima(a, b). Treba napomenuti da se ne moze na svakom podskupu skupa Ω definisati verovatnoca. Na primer,

slucajne promenljive 17

ako je P verovatnoca na skupu Ω = (0, 1), takva da je P((a, b)

)= b−a za svaki otvoreni interval u (0, 1),

tada postoje podskupovi skupa Ω na kojima verovatnoca nije definisana. Da bi se prevazisla ova teskoca,uvodi se pojam tzv. najmanjeg σ-polja ili Borelovog sigma polja, u oznaci B(R), koje sadrzi sveotvorene intervale (a, b) ⊂ R. Svaki skup koji pripada Borelovom sigma polju naziva se Borelovimskupom.

Vec smo pomenuli da preslikavanje X : Ω 7→ R mora da zadovolji izvesne uslove. U radu sa slucajnimpromenljivim potrebno je odgovoriti na pitanje kolika je verovatnoca da vrednost slucajne promenljive Xbude manja od nekog realnog broja x? Dakle, treba odrediti

P (ω | ω ∈ Ω, X(ω) < x).Kako je funkcija P definisana nad F , potrebno je da za svako x ∈ R skup

ω | ω ∈ Ω, X(ω) < xbude element σ-polja F , odnosno slucajni dogadaj. Stoga se uvodi sledeca definicija.

Definicija 1. Neka je (Ω,F , P ) prostor verovatnoce i X : Ω 7→ R. Preslikavanje X zove se slucajnapromenljiva ako je ω | ω ∈ Ω, X(ω) < x ∈ F za svako x ∈ R.

U skladu sa prethodnim, slucajna promenljiva moze se interpretirati i na sledeci nacin. Ako je Xfunkcija koja preslikava Ω u skup realnih brojeva R i ako je S podskup od R, tada cemo sa X−1(S)oznaciti inverznu sliku skupa S definisanu sa

X−1(S) = ω |ω ∈ Ω, X(ω) ∈ S.Neka je (Ω,F , P ) prostor verovatnoce. Funkcija X : Ω 7→ R, takva da za svako x ∈ R skup ω |ω ∈

Ω, X(ω) < x (tj. inverzna slika X−1(−∞, x) intervala (−∞, x)) pripada σ-polju F , zove se slucajnapromenljiva. Ovo je ilustrativno prikazano na slici 8.1.

Slika 8.1 Slika 8.2

Moze se pokazati da ako je X slucajna promenljiva, tada za svako S ∈ B(R) (gde je B(R) Borelovopolje) inverzna slika X−1(S) takode pripada F .

Primer 8.1. Neka je ωk elementaran dogadaj koji oznacava da se pri bacanju kocke pojavilo k tackica

(k ∈ 1, . . . , 6) i neka je A = ω2, ω4, ω6 dogadaj koji oznacava pojavu parnog broja tackica. Tada je

Ω = ω1, . . . , ω6 i F = Ω, ∅, A, A. Definisimo funkciju X na sledeci nacin: X(ω2k) = 1, X(ω2k−1) = 0(k = 1, 2, 3) i ispitajmo da li je X slucajna promenljiva nad (Ω,F , P ).

Prema prethodnom, ispitacemo da li X−1(−∞, x) ∈ F za svako x ∈ R. Kako je (videti sliku 8.2)

X−1(−∞, x) =

Ω, x > 1,

A, 0 < x ≤ 1,

∅, x ≤ 0,

ocigledno je da X jeste slucajna promenljiva.


Zbog jednostavnosti, skup ω |ω ∈ Ω, X(ω) < x cemo krace oznacavati sa (X < x), a skup ω |ω ∈Ω, X(ω) = x sa (X = x). Tako cemo, na primer, verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednostx obelezavati sa P (X = x). Verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednosti sa intervala (a, b)obelezavamo sa P (a < X < b). Sa P (X < x) oznacavamo verovatnocu da slucajna velicina X uzimavrednosti manje od x.

9. Funkcija raspodele

U prethodnom izlaganju videli smo da je za svaki skup S ∈ B(R) definisana funkcija

PX(S) = P (ω |ω ∈ Ω, X(ω) ∈ S).

Na taj nacin slucajna promenljiva X ,,prenosi” na realnu pravu R ne samo elementarne dogadaje ω ∈ Ωnego i strukturu prostora verovatnoce (Ω,F , P ). Funkcija PX je definisana na skupu podskupova od R,sto predstavlja izvesno ogranicenje u primeni mnogih metoda matematicke analize u R. Zbog toga seuvodi jedan novi pojam, funkcija raspodele FX slucajne promenljive X, koja u sebi sadrzi sve potrebneinformacije o raspodeli verovatnoca nad B(R), ali ima pogodniji oblik jer predstavlja realnu funkcijurealne promenljive.

Definicija 1. Funkcija FX : R 7→ [0, 1] slucajne promenljive X, definisana sa

FX(x) = P (X < x), (9.1)

koja predstavlja verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednost manju od x za svako x ∈ R, zovese funkcija raspodele verovatnoca slucajne promenljive X ili krace funkcija raspodele.

Ocigledno je da je funkcija raspodele FX jedinstvena za svaku slucajnu promenljivu X. Obrnuto nemora da vazi, naime, razlicite slucajne promenljive mogu imati istu funkciju raspodele. Ako je jasno okojoj se slucajnoj promenljivoj radi, umesto FX(x) koristicemo oznaku F (x).

Primer 9.1. Funkcija raspodele FX slucajne promenljive X iz primera 8.1 je data sa

FX(x) =

1, x > 1,

1/2, 0 < x ≤ 1,

0, x ≤ 0,

U sledecoj teoremi navedene su osnovne osobine funkcije raspodele.

Teorema 9.1. Za funkciju raspodele verovatnoca slucajne promenljive X vazi:

1 limx→−∞

F (x) = F (−∞) = 0.

2 limx→+∞

F (x) = F (+∞) = 1.

3 P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a) (a < b, a, b ∈ R).

4 Funkcija raspodele je neprekidna sleva, tj. limx→a−0

= F (a).

5 Funkcija raspodele je monotono neopadajuca funkcija, tj. ako je x1 < x2, tada je F (x1) ≤ F (x2).

funkcija raspodele 19

Dokaz:

1 F (−∞) = limn→+∞

F (−n) = limn→+∞

P (X < −n) = P( +∞⋂

n=1(X < −n)

)

= P (∅) = 0.

2 F (+∞) = limn→+∞

F (n) = limn→+∞

P (X < n) = P( +∞⋃

n=1(X < n)

)

= P (Ω) = 1.

3 F (b) = P (ω |ω ∈ Ω, X(ω) < b) = P (ω |ω ∈ Ω, X(ω) < a) + P (ω |ω ∈ Ω, a ≤ X(ω) < b)= F (a) + P (a ≤ X < b).

4 limx→a−0

F (x) = limn→+∞

F (a− 1/n) = limn→+∞

P (X < a− 1/n) = P( +∞⋃

n=1(X < a− 1/n)

)

= P (X < a) = F (a).

5 Ako je x1 < x2 i ako je A = ω |ω ∈ Ω, X(Ω) < x1, B = ω |ω ∈ Ω, X(ω) < x2, ocigledno je

A ⊆ B, te je F (x1) + P (A) ≤ P (B) = F (x2).

Na osnovu osobina 1, 2 i 5 sledi da za funkciju raspodele vazi

0 ≤ F (x) ≤ 1.

Vazi i sledeca teorema koju navodimo bez dokaza.

Teorema 9.2 Ako je realna funkcija F, definisana na R, neopadajuca, neprekidna sleva i ako jeF (−∞) = 0, F (+∞) = 1, tada postoji slucajna promenljiva X takva da je F njena funkcija rasapodele.

Diskretne slucajne promenljive

Definicija 2. Slucajna promenljiva koja uzima konacno ili prebrojivo mnogo vrednosti zove sediskretna slucajna promenljiva.

Neka je RX skup slika slucajne promenljive X. Ovaj skup ima oblik

RX = x1, x2, . . . , xk, . . . , ako je RX prebrojiv skup

ili

RX = x1, x2, . . . , xn, ako je RX konacan skup.

Ocigledno je da vazi

Ω =⋃

nω |ω ∈ Ω, X(ω) = xn =

⋃

n(X = xn) i (X = xi) ∩ (X = xj) = ∅ za sve i 6= j,

sto znaci da je∑

i

P (X = xi) =∑

i

pi = P (Ω) = 1.

Diskretna slucajna promenljiva potpuno je zadata ako je poznat:

1 skup svih vrednosti RX = x1, x2, . . . koje moze da uzme slucajna promenljiva X;

2 skup odgovarajucih verovatnoca pk = P (X = xk) (k = 1, 2, . . . ).

Skup vrednosti diskretne slucajne promenljive x1, x2, . . . , zajedno sa odgovarajucim verovatnocamap1, p2, . . . , predstavlja zakon raspodele verovatnoca slucajne promenljive.

Zakon raspodele obicno se predstavlja u obliku seme

X ∼(

x1 x2 · · ·p1 p2 · · ·

)

.


Napomenimo da je u radu sa slucajnom promenljivom diskretnog tipa X, umesto funkcije raspodele FX

cesto jednostavnije koristiti zakon raspodele verovatnoca.

Na osnovu definicije funkcije raspodele, ova funkcija za diskretne slucajne velicine moze se izraziti kao

F (x) =∑

k:xk<x

P (X = xk),

pri cemu se sumiranje vrsi po svim indeksima k za koje je xk < x. Grafik funkcije F je najcesce,,stepenasta” kriva sa prekidima prve vrste u tackama xk (k = 1, 2, . . . ). Ovih prekida ima najviseprebrojivo mnogo, a velicina skoka jednaka je

F (xk + 0)− F (xk − 0) = P (xk − 0 < X < xk + 0) = P (X = xk) = pk > 0.

Za diskretnu slucajnu promenljivu X, koja sa odgovarajucim verovatnocama uzima konacan ili pre-brojiv skup vrednosti, ponekad se daje i sledeca definicija.

Definicija 3. Slucajna promenljiva je diskretna ako je za svaki realan broj x odredena neopadajucafunkcija raspodele F (x) = P (X < x) koja ispunjava uslove F (−∞) = 0 i F (+∞) = 1, i koja u tackamaprekida xk ima skokove jednake verovatnocama pk :

F (xk + 0)− F (xk) = P (X = xk) = pk (k = 1, 2, . . . ).

Neprekidne slucajne promenljive

Slucajna promenljiva neprekidnog tipa uzima vrednosti iz neprebrojivog skupa, na primer na realnomintervalu, na skupu realnih intervala ili na celoj realnoj pravoj. Kao ilustraciju takvog tipa promenljive,posmatrajmo slucajnu promenljivu koja predstavlja duzinu rada sijalice. Ova slucajna promenljiva mozeuzeti bilo koju vrednost izmedu 0 i, recimo, 1000 sati. Kako u intervalu [0, 1000] ima neprebrojivo mnogo(kontinuum) tacaka, ne postoji nacin da definisemo verovatnocu za svaku od pojedinacnih vrednosti,sto je bilo moguce u slucaju diskretne slucajne promenljive. Takode, na osnovu intuicije, znamo da jeverovatnoca da ce sijalica pregoreti bas u tacno odredenom momentu x ∈ [0, 1000] jednaka 0, dok jeverovatnoca da ce pregoreti u nekom vremenskom intervalu [a, b] ⊆ [0, 1000] razlicita od nule.

Opisane teskoce prevazilaze se uvodenjem jedne nove funkcije fX : R 7→ R+ povezane sa funkcijom

raspodele FX definisane pomocu (9.1). Novouvedena funkcija fX omogucuje nalazenje verovatnoce naodredenim skupovima realnih brojeva pomocu integrala. Sledeca definicija precizno odreduje tip slucajnepromenljive.

Definicija 4. Ako je x 7→ FX(x) funkcija raspodele slucajne promenljive X i ako postoji integrabilnafunkcija fX : R 7→ R

+ takva da ispunjava uslove

1 fX(x) ≥ 0, za svako x ∈ R,

2 FX(x) =x∫

−∞fX(t)dt,

tada je X neprekidna slucajna promenljiva.

Funkcija fX zove se gustina raspodele verovatnoce slucajne promenljive X ili krace gustina. Akose radi sa vise slucajnih promenljivih X, Y, . . . , njihove gustine cemo oznacavati sa fX , fY , . . . . Ako jejasno o kojoj promenljivoj se radi, funkciju gustine cemo oznacavati jednostavno sa f.

Napomena 1. Na osnovu 2 sledi da je funkcija raspodele FX(x) neprekidne slucajne promenljiveuvek neprekidna funkcija. Obratno u opstem slucaju ne vazi, sto se moze pokazati na primerima izvesnih


,,patoloskih” funkcija FX(x), ili specijalno konstruisanih primera. S obzirom da su ovakvi primeri saprakticnog stanovista izuzetno retki ili se uopste ne javljaju, u nastavku se necemo baviti ovim izuzecima.

Napomena 2. Ako slucajna promenljiva X ne uzima sve vrednosti iz intervala (−∞, +∞), usvaja seda je fX(x) = 0 za sve vrednosti x iz intervala na kojima X ne uzima vrednosti.

Osobine gustine raspodele date su u sledecoj teoremi.

Teorema 9.2. Neka su FX i fX redom funkcija raspodele i gustina raspodele slucajne promenljive X.Tada vazi:

1 fX(x) = F ′X(x) u svim tackama x ∈ R u kojima je fX neprekidna.

2+∞∫

−∞fX(x)dx = 1.

3 P (X = a) = 0 za svako a ∈ R.

4 P (a < X < b) =b∫

a

fX(x)dx za sve a, b ∈ R ∪ −∞ ∪ +∞.Dokazi navedenih tvrdenja slede na osnovu osobina funkcije raspodele datih u teoremi 9.1 i definiciji 4.

Na primer, 2 sledi na osnovu cinjenice da je+∞∫

−∞fX(x)dx = FX(+∞) = 1. Dalje je

P (X = a) = limh→0

P (a ≤ X < a + h) = limh→0

a+h∫

a

fX(x)dx = 0,

sto dokazuje 3 . Na osnovu 3 i 4 dobija se

P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) =

b∫

a

fX(x)dx.

Na osnovu osobine 1 sledi

∆F (x) = F (x + ∆x)− F (x) = f(x)∆x + α∆x,

gde α → 0 kada ∆x → 0. Odavde je za dovoljno malo ∆x ∆F (x) ≈ f(x)dx, tj.

f(x)dx ≈ F (x + ∆x)− F (x) = P (x ≤ X ≤ x + ∆x).

Odavde se moze zakljuciti da podintegralni izraz u funkciji raspodele (2 u definiciji 4) daje aproksima-tivnu vrednost verovatnoce da se slucajna promenljiva X nade u intervalu [x, x + ∆x].

Na osnovu prethodnih osobina grafici funkcija FX i fX kvalitativno izgledaju kao na slici 9.1. Sobzirom na geometrijsku interpretaciju odredenog integrala, osencena povrsina na slici 9.1a brojno jejednaka FX(x) = P (X < x) za naznaceno x.

Slika 9.1 Grafici funkcije gustine i funkcije raspodele


Primer 9.2. Slucajna promenljiva ne mora da bude ni neprekidna ni diskretna, kao sto pokazuje sledeci

primer. Funkcija definisana sa

F (x) =

0 x < 0x4 0 ≤ x ≤ 2x+14 2 < x ≤ 3

1 x ≥ 3

je neopadajuca, neprekidna sleva i vazi F (−∞) = 0, F (+∞) = 1, tj. zadovoljava sve potrebne uslove da bi

bila funkcija raspodele (videti teoremu 9.2). Medutim, kako je F (2 − 0) = 1/2, F (2 + 0) = 3/4, ova funkcija

ima prekid u tacki x = 2 tako da nije neprekidna. S druge strane, X moze da uzima vrednosti iz neprebrojivog

skupa tacaka intervala [0, 3], te X nije ni diskretna promenljiva.

Primer 9.3. Odrediti konstantu k tako da funkcija

f(x) =k

1 + x2(x ∈ R)

bude funkcija gustine raspodele slucajne promenljive X, a zatim naci P (−1 < X < 1).

Iz uslova+∞∫

−∞f(x)dx = 1, tj.

+∞∫

−∞

k

1 + x2dx = k

+∞∫

−∞

1

1 + x2dx = 1,

nalazimo

k =1

+∞∫

−∞

1

1 + x2dx

=1

arctan x∣∣∣

+∞

−∞

=1

π.

Trazena verovatnoca je jednaka

P (−1 < X < 1) =1

π

1∫

−1

1

1 + x2dx =

1

π

(arctan 1− arctan (−1)

)=

1

2.

10. Numericke karakteristike slucajnih promenljivih

Funkcija raspodele ili raspodela verovatnoca za diskretnu slucajnu promenljivu i funkcija raspodele iligustina raspodele verovatnoce za neprekidnu slucajnu promenljivu, predstavljaju potpune karakteristiketih promenljivih. U praksi, medutim, cesto nam ove karakteristike nisu poznate ili, ako jesu, racunanjesa njima moze biti dosta komplikovano. Osim toga, ponekad postavljeni problem zahteva znatno manjibroj podataka o slucajnoj promenljivoj. Zato se u teoriji verovatnoce cesto koriste izvesni numerickiparametri koji do izvesnog stepena karakterisu bitne crte raspodele verovatnoca slucajne promenljive.Najvazniji medu njima su matematicko ocekivanje, disperzija i momenti.

Matematicko ocekivanje

Neka je diskretna slucajna promenljiva X zadata zakonom raspodele

X ∼(

x1 x2 · · ·p1 p2 · · ·

)

,

pri cemu je pi = P (X = xi).

numericke karakteristike slucajnih promenljivih 23

Definicija 1. Matematicko ocekivanje diskretne slucajne promenljive X, u oznaci E(X), je brojdefinisan pomocu

E(X) =∑

i

xiP (X = xi), (10.1)

gde se sumiranje odnosi na sve moguce vredenosti xi slucajne promenljive X.

Neka je neprekidna slucajna promenljiva X zadata preko gustine raspodele f(x).

Definicija 2. Ako je slucajna promenljiva X neprekidnog tipa i ima funkciju gustine f(x), tada je

E(X) =

+∞∫

−∞

xf(x)dx. (10.2)

Na intervalima gde slucajna promenljiva X nije definisana uzima se f(x) = 0.

U definiciji 1 pretpostavlja se da red (10.1)apsolutno konvergira u slucajuprebrojive sume,a u definiciji2 da nesvojstven Riemannov integral apsolutno konvergira. Drugim recima, E(X) postoji ako i samoako E(|X|) postoji. U tom slucaju mozemo imati predstavu o matematickom ocekivanju kao srednjojvrednosti slucajne promenljive. Ukoliko red (10.1) ili integral u (10.2) ne konvergira apsolutno, kaze se damatematicko ocekivanje ne postoji. Uslov da red

∑

i xipi apsolutno konvergira obezbeduje nezavisnostzbira reda

∑

i xipi od redosleda sumiranja u redu.

Na osnovu definicija 1 i 2 zakljucujemo da matematicko ocekivanje ne mora da postoji za svaku slucajnupromenljivu, kao sto pokazuju sledeca dva primera.

Primer 10.1. Neka je

X ∼

2 4 8 · · · 2i · · ·

1

2

1

4

1

8· · · 1

2i· · ·

zakon raspodele diskretne slucajne promenljive X. Tada je

∑

i∈N

xipi =∑

i∈N

2i 1

2i=∑

i∈N

1.

Red∑

i∈N

1 ne konvergira, te ne postoji matematicko ocekivanje E(X).

Primer 10.2. Gustina raspodele neprekidne slucajne promenljive X data je sa

f(x) =1

π(1 + x2)(x ∈ R)

(tzv. Cauchyeva raspodela). U ovom slucaju je

+∞∫

−∞

|x| 1

π(1 + x2)dx =

1

πlim

t→+∞log(1 + x2)

∣∣∣

t

0= +∞,

te ne postoji E(X).


Navodimo neke osobine matematickog ocekivanja:

1 E(X) postoji ako i samo ako postoji E(|X|).2 E(cX) = cE(X) (c konstanta). Specijalno, E(c) = c · P (X = c) = c · 1 = c.

3 Ako je X ≥ 0, tada je E(X) ≥ 0.

4 Ako je X ≥ Y, tada je E(X) ≥ E(Y ).

5 Ako E(X) i E(Y ) postoje, tada je E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

Vazi i opstije tvrdenje:

5 a) Ako su c1, c2, . . . , cn konstante i postoje matematicka ocekivanja E(X1), . . . , E(Xn), tada je

E( n∑

i=1

ciXi

)

=n∑

i=1

ciE(Xi).

Specijalno, imamo

5 b) E(X + c) = E(X) + E(c) = E(X) + c,

i odavde,

5 c) E(X − E(X)) = E(X)− E(E(X)) = E(X)− E(X) = 0.

6 Teorema o mnozenju matematickih ocekivanja:

Ako su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive i ako imaju matematicka ocekivanja, tada je

E(X1 ·X2 · · ·Xn) = E(X1) · E(X2) · · ·E(Xn).

7 Teorema o monotonoj konvergenciji:

Ako je Xn niz slucajnih promenljivih takav da 0 ≤ Xn → X, tada E(Xn) → E(X).

Dokazi osobina 1, 2 i 3 direktno slede iz definicije matematickog ocekivanja, dok su dokazi os-talih osobina izostavljeni jer zahtevaju poznavanje nekih pojmova i tvrdenja iz teorije verovatnoce kojiprevazilaze okvire ovog kursa.

Momenti

Definicija 3. Matematicko ocekivanje slucajne promenljive Xk zove se pocetni moment reda k slucajnepromenljive X.

Pocetni moment reda k oznacavamo sa mk(X), ili, ako je jasno o kojoj se slucajnoj promenljivoj radi,sa mk. Pocetni moment postoji ako i samo ako postoji apsolutni pocetni moment E(|X|k) reda k (naosnovu osobine 1 matematickog ocekivanja).

Na osnovu definicija 1 i 2 imamo

mk(X) =

∑

i

xki P (X = xi), za diskretne promenljive,

+∞∫

−∞xkf(x)dx, za neprekidne promenljive.

(10.3)

U oba slucaja pretpostavlja se da red (za diskretnu promenljivu), odnosno nesvojstven intergral (zaneprekidnu promenljivu) apsolutno konvergiraju.


Definicija 4. Matematicko ocekivanje slucajne promenljive (X − E(X))k zove se centralni momentreda k slucajne promenljive X.

Centralne momente reda k slucajne promenljive X oznacavamo sa µk, dakle

µk(X) = E((X − E(X))k

). (10.4)

Na osnovu definicije 3 imamo

µk(X) =

∑

i

(xi − E(X))kP (X = xi) za diskretne promenljive,

+∞∫

−∞(x− E(X))kf(x)dx za neprekidne promenljive.

(10.5)

Kako je

µk(X) = E((X − E(X))k

)= E

( k∑

r=0

(kr

)(−1)k−rXr(E(X))k−r

)

=k∑

r=0

E((

kr

)(−1)k−rXr(E(X))k−r

)

=k∑

r=0

(kr

)(−1)k−r(E(X))k−rE(Xr) =

k∑

r=0

(kr

)(−1)k−rmk−r

1 mr,

centralni momenti mogu se izraziti preko pocetnih momenata. Tako je, na primer, µ0 = 1, µ1 = 0, µ2 =m2 −m2

1.

Takode, imamo

mk(X) = E(Xk) = E(

(E(X) + X − E(X))k)

= E( k∑

r=0

(kr

)(E(X))k−r(X − E(X))r

)

=k∑

r=0

(kr

)(E(X))k−rE

((X − E(X)r

)=

k∑

r=0

(kr

)mk−r

1 µr,

odakle sledi da se i pocetni momenti mogu izraziti preko centralnih, pri cemu je pocetni moment prvogreda m1 = E(X) matematicko ocekivanje slucajne promenljive X.

Disperzija

Posmatrajmo diskretne slucajne promenljive X i Y date pomocu zakona verovatnoce

X ∼(−0.1 0 0.11/3 1/3 1/3

)

, Y ∼(−100 0 1001/3 1/3 1/3

)

.

Tada je

E(X) = (−0.1) · 1

3+ 0 · 1

3+ 0.1 · 1

3= 0, E(Y ) = (−100) · 1

3+ 0 · 1

3+ 100 · 1

3= 0.

Mozemo da zapazimo da su matematicka ocekivanja E(X) i E(Y ) jednaka, iako je ocigledno da je kodslucajne promenljive X manje ,,rasturanje” mogucnih realizacija −0.1 i 0.1 od broja E(X) = 0, negosto je ,,rasturanje” mogucnih realizacija −100 i 100 slucajne promenljive Y oko broja E(Y ) = 0. Izovog primera se jasno vidi da matematicko ocekivanje ne pruza dovoljno informacija o ,,rasturanju”


slucajne promenljive X oko E(X). Zbog toga se sledecom definicijom uvodi jos jedna vazna numerickakarakteristika slucajne promenljive.

Definicija 5. Centralni moment drugog reda slucajne promenljive X zove se disperzija ili varijansaslucajne promenljive X. Pozitivna vrednost kvadratnog korena iz disperzije zove se standardna devijacijaili standardno odstupanje.

Disperziju oznacavamo sa D(X), a standradnu devijaciju sa σ(X) (= +√

D(X)).

Disperzija predstavlja meru rasturanja vrednosti slucajne promenljive X oko matematickog ocekivanjaE(X). Polazeci od definicije X i osobina 5 za matematicko ocekivanje, nalazimo

D(X) = σ(X)2 = µ2(X) = E((X−E(X))2

)= E

(X2−2XE(X)+E(X)2

)= E(X2)−2E(X)2 +E(X)2,

odakle dobijamo formulu koja se najcesce koristi za izracunavanje disperzije.

D(X) = E(X2)− E(X)2 = m2 −m21. (10.6)

Koristeci osobine matematickog ocekivanja dokazuju se sledece osobine disperzije:

Teorema 10.1. Ako je X slucajna promenljiva sa konacnom disperzijom i c ∈ R konstanta, tadavazi:

1 D(X) ≥ 0.

2 D(c) = 0.

3 D(cX) = c2D(X) (|c| < +∞).

4 D(X + c) = D(X).

5 Jednakost Bienaymea: Ako su slucajne promenljive X1, . . . , Xn nezavisne i imaju disperzije,tada je

D( n∑

i=1

Xi

)

=n∑

i=1

D(Xi).

Dokaz.

1 Sledi na osnovu osobine 3 matematickog ocekivanje za (X − E(X))2 ≥ 0.

2 D(c) = E((c− E(c))2

)= E

((c− c)2

)= 0.

3 D(cX) = E((cX − E(cX))2

)= E

(c2(X − E(X))2

)= c2E

((X − E(X))2

)= c2D(X).

4 D(X + c) = E((X + c− E(X + c))2

)= E

((X + c− E(X)− c)2

)= E

((X − E(X))2

)= D(X).

5 Jednakost Bienaymea dokazacemo koristeci cinjenicu da iz nezavisnosti slucajnih promenljivih Xi iXj (i 6= j) sledi nezavisnost slucajnih promenljivih Xi−E(Xi) i Xj−E(Xj) (i 6= j) (jer su E(Xi) i E(Xj)konstante). U dokazu cemo takode koristiti teoremu o mnozenju matematickih ocekivanja (osobina 5).Imamo

D( n∑

i=1

Xi

)

= E[( n∑

i=1

Xi − E( n∑

i=1

Xi

))2]

= E[( n∑

i=1

Xi −n∑

i=1

E(Xi))2]

= E[( n∑

i=1

(Xi − E(Xi)

))2]

= E[ n∑

i=1

(Xi − E(Xi)

)2+∑

i6=j

(Xi − E(Xi)

)(Xj − E(Xj)

)]

=n∑

i=1

E((

Xi − E(Xi))2)

+∑

i6=j

E(Xi − E(Xi)

)E(Xj − E(Xj)

)

=n∑

i=1

D(Xi) +∑

i6=j

µ1(Xi)µ1(Xj) =n∑

i=1

D(Xi),


jer su centralni momenti prvog reda µ1(X) = E(X − E(X)) jednaki nuli (osobina 5 c) za matematickoocekivanje).

Definicija 6. Standardizovana slucajna promenljiva ili normirano odstupanje slucajne promenljive Xjeste slucajna promenljiva

X∗ =X − E(X)

σ(X).

Za slucajnu promenljivu X∗ je E(X∗) = 0 i D(X∗) = 1. Zaista, koristeci osobine disperzije 2 – 5 ,imamo

E(X∗) =1

σ(X)E(X − E(X)) =

µ1(X)

σ(X)= 0,

i

D(X∗) =1

σ(X)2D(X − E(X)) =

1

D(X)D(

X + (−1)E(X))

=1

D(X)

(

D(X) + D((−1)E(X)

))

=1

D(X)

(

D(X) + (−1)2D(E(X)))

=1

D(X)

(

D(X) + D(E(X)))

=1

D(X)

(D(X) + 0

)= 1.

Sledeca teorema ima veliku primenu u teoriji verovatnoce.

Teorema 10.2 (Nejednakost Cebiseva). Ako je X slucajna promenljiva za koju postoji E(X2),tada je za svako ε > 0

P (|X| ≥ ε) ≤ E(X2)

ε2. (10.7)

Dokaz. Ako je X diskretnog tipa, imamo

ε2P (|X| ≥ ε) = ε2∑

i:|xi|≥ε

p(xi) =∑

i:|xi|≥ε

ε2p(xi) ≤∑

i:|xi|≥ε

x2i p(xi) +

∑

i:|xi|<ε

x2i p(xi)

=∑

i

x2i p(xi) = E(X2).

Ako je X neprekidnog tipa, tada je

ε2P (|X| ≥ ε) = ε2

∫

|x|≥ε

f(x)dx =

∫

|x|≥ε

ε2f(x)dx ≤∫

|x|≥ε

x2f(x)dx +

∫

|x|<ε

x2f(x)dx

=

+∞∫

−∞

x2f(x)dx = E(X2).

Ako umesto X stavimo X − E(X) u (10.7), nejednakost Cebiseva dobija sledeci oblik

P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ E((X − E(X))2

)

ε2,

tj.

P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ D(X)

ε2. (10.8)


Primer 10.3. Data je slucajna promenljiva X sa matematickim ocekivanjem E(X) = µ i disperzijom

D(X) = σ2. Ocenicemo verovatnocu da slucajna promenljiva X odstupa od svog matematickog ocekivanja za

vise od 3σ.Stavljajuci ε = 3σ u Cebisevljevu nejednakost (10.8), dobijamo

P (|X − µ| ≥ 3σ) ≤ D(X)

9σ2=

σ2

9σ2=

1

9.

Nejednakost Cebiseva daje samo gornju granicu verovatnoce datog odstupanja. U vecini slucajeva u praksi,

verovatnoca da slucajna promenljiva uzima vrednosti izvan intervala (µ − 3σ, µ + 3σ) znatno je manja od 1/9

(videti primer 13.2). Ako zakon raspodele nije poznat, a poznato je samo µ i σ, interval (µ − 3σ, µ + 3σ) se

smatra intervalom prakticno mogucih vrednosti slucajne promenljive X (pravilo tri sigme).

11. Karakteristicna funkcija

Svakoj slucajnoj promenljivoj X odgovara funkcija raspodele FX u kojoj su sadrzane sve informacijevezane za X. U ovom odeljku uvodi se pojam karakteristicne funkcije ϕX slucajne promenljive, kojaje po svom znacaju i upotrebi bliska funkciji raspodele. Karakteristicne funkcije su od velike koristipri resavanju velikog broja problema u teoriji verovatnoce, na primer, pri dokazivanju brojnih teoremavezanih sa slucajnim promenljivim i pri izracunavanju numerickih karakeristika slucajnih promenljivih.

Pri radu sa karakteristicnim funkcijama srecemo se sa kompleksnom slucajnom promenljivom oblikaZ = X + iY, gde su X i Y realne slucajne promenljive sa skupom vrednosti u R. Matematicko ocekivanjeza Z je E(Z) = E(X + iY ) = E(X) + iE(Y ).

Definicija 1. Karakteristicna funkcija ϕX(t) (t ∈ R) slucajne promenljive X definise se sa

ϕX(t) = E(eitX

),

tj.

ϕX(t) =

∑

k

eitxkP (X = xk), za diskretne promenljive,

+∞∫

−∞eitxf(x)dx, za neprekidne promenljive.

(11.1)

U sledecoj teoremi date su osnovne osobine karakteristicne funkcije.

Teorema 11.1.

1 |ϕ(t)| ≤ 1, tj. karakteristicna funkcija uvek postoji.

2 ϕ(0) = 1.

3 ϕ(−t) = ϕ(t).

4 Ako je Y = aX + b (a, b realne ili kompleksne konstante), tada je ϕY (t) = eitbϕX(at).

5 Karakteristicna funkcija t 7→ ϕ(t) je uniformno neprekidna na R.

6 Ako su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive i X = X1 + · · ·+ Xn, tada vazi

ϕX(t) =n∏

k=1

ϕXk(t).

karakteristicna funkcija 29

7 Ako E(Xn) postoji, tada je

ϕ(k)(0) = ikE(Xk) = ikmk(X) (k = 1, . . . , n). (11.2)

8 Ako E(Xn) postoji, vazi Maclaurinova7 formula

ϕ(t) =n∑

k=0

E(Xk)(it)k

k!+ o(tn). (11.3)

Dokaz.

1 Pokazacemo da red i integral koji se pojavljuju u definiciji 1 apsolutno konvergiraju, tj. da postojiE(eitX). Zaista, imamo

∣∣∣

∑

k

eitxkpk

∣∣∣ ≤

∑

k

∣∣eitxk

∣∣pk ≤

∑

k

pk = 1 (pk = P (X = xk))

i∣∣∣∣∣

+∞∫

−∞

eitxf(x)dx

∣∣∣∣∣≤

+∞∫

−∞

∣∣eitxf(x)

∣∣dx ≤

+∞∫

−∞

f(x)dx = 1.

2 Sledi direktno na osnovu definicije i relacija∑

k

pk = 1 i+∞∫

−∞f(x)dx = 1.

3 Sledi na osnovu toga sto je eitX konjugovano kompleksno sa e−itX .

4 Tvrdenje sleduje iz jednakosti

ϕY (t) = E(eit(aX+b)

)= E

(eiatXeitb

)= eitbE

(eiatX

)= eitbϕX(at).

5 Kako je

ϕ(t + h)− ϕ(t) = E(ei(t+h)X

)− E

(eitX

)= E

((eitX

)(eihX − 1

))

,

zbog∣∣eitX

(eihX − 1

)∣∣ =

∣∣eihX − 1

∣∣, dobijamo

|ϕ(t + h)− ϕ(t)| ≤ E(∣∣eihX − 1

∣∣).

Desna strana ne zavisi od t i tezi nuli kada h → 0.

6 Ako su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive, tada su i eitX1 , . . . , eitXn nezavisne promenljive.Na osnovu ovog i teoreme o mnozenju matematickih ocekivanja (osobina 6 za matematicko ocekivanje),imamo

ϕX(t) = E(eitX

)= E

(

eit(X1+···+Xn))

= E( n∏

k=1

eitXk

)

=n∏

k=1

E(eitXk

)=

n∏

k=1

ϕXk(t).

7 Ako podemo od definicione formule za karakteristicnu funkciju ϕ(t) =

+∞∫

−∞

eitxf(x)dx i izvrsimo

diferenciranje k puta po t, dobijamo

ϕ(k)(t) = ik+∞∫

−∞

xkeitxf(x)dx. (11.4)

7C. Maclaurin (1698–1746), engleski matematicar, cita se Makloren.


Napomenimo da je zbog

∣∣∣∣∣

+∞∫

−∞

xkeitxf(x)dx

∣∣∣∣∣≤

+∞∫

−∞

|x|kf(x)dx = E(|X|k) (k = 1, . . . , n)

diferenciranje pod znakom integrala korektno. Stavljajuci t = 0 u (11.4), dobijamo

ϕ(k)(0) = ikE(Xk) = ikmk.

8 Dokaz sleduje posle mnozenja relacije eitx = 1 +it

1!x +

(it)2

2!x2 + · · · sa f(x)dx i integracije.

Na osnovu osobine 7 jednostavno se odreduju pocetni momenti mk, a time i matematicko ocekivanjei disperzija. Naime, kako je iz (11.4)

m1 = E(X) =ϕ′(0)

i, m2 = E(X2) =

ϕ′′(0)

i2= −ϕ′′(0),

imamo

E(X) =ϕ′(0)

i(11.5)

i

D(X) = E(X2)− E(X)2 = m2 −m21 =

ϕ′′(0)

i2−(ϕ′(0)

i

)2

= −ϕ′′(0) + ϕ′(0)2. (11.6)

Navescemo bez dokaza jos neke vazne osobine vezane za karakteristicnu funkciju ϕ(t).

Formula

ϕ(t) =

+∞∫

−∞

eitxf(x)dx (11.7)

izrazava karakteristicnu funkciju neprekidne slucajne promenljive X pomocu gustine raspodele f(x).Transformacija (11.7), koja se izvodi nad gustinom f(x) da bi se dobila karakteristicna funkcija ϕ(t),zove se Fourierova transformacija. Medutim, vazi i obratno, kao sto tvrdi sledeca teorema.

Teorema 11.2. Ako je karakteristicna funkcija ϕ(t) apsolutno integrabilna na R, tada je odgovarajucafunkcija gustine raspodele f(x) neprekidna i vazi

f(x) =1

2π

+∞∫

−∞

e−itxϕ(t)dt.

Teorema 11.3. Verovatnoce realizacija slucajne promenljive X date su sa

P (X = x) =

1

π

π∫

−π

e−itxϕ(t)dt, za diskretne promenljive,

limT→+∞

12T

T∫

−T

e−itxϕ(t)dt, za neprekidne promenljive.

Pitanjem karakterizacije karakteristicnih funkcija bavi se sledeca teorema.

osnovne raspodele diskretnih slucajnih promenljivih 31

Teorema 11.4 (Bochnerova teorema). Funkcija t 7→ ϕ(t) (t ∈ R) je karakteristicna funkcijaslucajne promenljive X ako i samo ako je

(i) ϕ(0) = 1,

(ii) |ϕ(t)| ≤ 1,

(iii) ϕ(t) je neprekidna funkcija,

(iv) ϕ(t) je pozitivno definitna, tj. za svaki skup realnih brojeva t1, t2, . . . , tn i kompleksnih brojevaz1, z2, . . . , zn vazi

n∑

j=1

n∑

k=1

zj zkϕ(tj − tk) ≥ 0.

12. Osnovne raspodele diskretnih slucajnih promenljivih

Bernoullieva raspodela

Posmatrajmo eksperiment sa dva ishoda: dogadaj A se desio (uspeh) ili se nije desio (neuspeh). Nekaje X = 1 ako se dogodio uspeh (dogadaj A) i X = 0 ako se dogodio neuspeh (dogadaj A). Ako jep = P (A) i P (A) = 1− p = q, tada je

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1− p = q.

Ove jednakosti u potpunosti opisuju tzv. Bernoullievu slucajnu promenljivu X sa parametrom p. Ovaslucajna promenljiva sluzi kao model za bilo koji eksperiment sa dva ishoda. U teoriji verovatnoce cestose radi sa tzv. indikatorom dogadaja A (A ⊂ Ω), koji predstavlja slucajnu promenljivu IA definisanuna sledeci nacin:

IA(ω) =

1, ω ∈ A,

0, ω /∈ A.

Kako jeP (IA = 1) = P (ω ∈ A) = P (A), P (IA = 0) = P (ω /∈ A) = 1− P (A),

sledi da je IA Bernoullieva slucajna promenljiva sa verovatnocom uspeha p = P (A).

Zakon verovatnoce Bernoullieve slucajne promenljive dat je sa

X ∼(

0 1q p

)

.

Odavde se direktno dobija karakteristicna funkcija

ϕ(t) = qeit0 + peit1 = q + peit.

S obzirom da jeϕ′(t) = ipeit, ϕ′′(t) = i2peit,

na osnovu formula (11.5) i (11.6) nalazimo da su numericki parametri Bernoullieve raspodele jednaki:

Matematicko ocekivanje: E(X) =ϕ′(0)

i= p;

Disperzija: D(X) = E(X2)− E(X) =ϕ′′(0)

i2− p2 = p− p2 = p(1− p) = pq.


Binomna raspodela

U eksperimentu sa dva ishoda A i A, u kome moze da nastupi ili ne nastupi dogadaj A, neka je X = 1ako se desio dogadaj A i X = 0 ako se nije desio dogadaj A (tj. ako se desio suprotan dogadaj A.) Akoje p verovatnoca nastupanja dogadaja A, tada je

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1− p.

Ove jednakosti opisuju Bernoullievu slucajnu promenljivu X sa parametrom p.

Posmatrajmo sada n nezavisnih opita Bernoullievog tipa pod nepromenljivim kompleksom uslovakao jedan nov opit. Ukoliko je verovatnoca jednog od dogadaja A, A u jednom opitu nezavisna odverovatnoca u prethodnim opitima, posmatrani niz predstavlja Bernoullievu semu. Posmatrajmou ovoj semi realizaciju dogadaja A. Oznacimo sa P (A) = p verovatnocu nastupanja dogadaja A, asa P (A) = q = 1 − p verovatnocu nastupanja suprotnog dogadaja A. Kao elementarne dogadaje ωmozemo uzeti sve moguce nizove duzine n od A i A. Definisimo slucajnu promenljivu Sn = Sn(ω) kojapredstavlja broj realizacija dogadaja A u nizu od n opita. Slucajna promenljiva Sn uzima vrednosti uskupu 0, 1, . . . , n sa verovatnocom 1.

Elementaran dogadaj ω koji se sastoji u tome da dogadaj A nastupi r puta (a dogadaj A n− r puta),tj. Sn = r, predstavlja jednu od sledecih povoljnih kombinacija:

E1 = AA · · ·A︸︷︷︸

r puta

· AA · · · A︸︷︷︸

n−r puta

E2 = AA · · ·A︸︷︷︸

r−1 puta

AA · AA · · · A︸︷︷︸

n−r−1 puta

...

Ek = AA · · · A︸︷︷︸

n−r puta

·AA · · ·A︸︷︷︸

r puta

Povoljni dogadaji E1, E2, . . . , Ek su ocigledno nesaglasni. Broj povoljnih dogadaja jednak je brojusvih razlicitih nacina izbora r elemenata od ukupno n elemenata, tj.

k = Crn =

(n

r

)

.

Kako se u svakom od povoljnih ω dogadaja, dogadaj A pojavljuje r puta, a suprotan dogadaj A n − rputa, i kako su nizovi (od n) opita nezavisni, to je

P (E1) = P (E2) = · · · = P (Ek) = P (A)P (A) · · ·P (A)︸︷︷︸

r puta

·P (A)P (A) · · ·P (A)︸︷︷︸

n−r puta

= prqn−r.

Na osnovu ovog, verovatnoca da dogadaj A u Bernoullievoj semi od n nezavisnih opita nastupi rputa, tj. Sn = r, jednaka je

P (Sn = r) = P (E1 + E2 + · · ·+ Ek) = P (E1) + P (E2) + · · ·+ P (Ek) = Crnprqn−r.

tj.

P (Sn = r) =

(n

r

)

prqn−r (r = 0, 1, . . . , n).


Verovatnoce P (Sn = r) =(nr

)prqn−r (r = 0, 1, . . . , n) definisu binomnu raspodelu, u oznaci B(n, p).

Naziv ,,binomna raspodela” izveden je iz cinjenice da su verovatnoce P (Sn = r) clanovi binomnog razvoja

(p+q)n =n∑

r=0

(n

r

)

prqn−r = qn+

(n

1

)

pqn−1+· · ·+(

n

r

)

prqn−r+· · ·+(

n

n− 1

)

pn−1q+pn =n∑

r=0

P (Sn = r).

Kako je p + q = P (A) + P (A) = 1, to jen∑

r=0

P (Sn = r) = 1.

Verovatnoca da u seriji od n nezavisnih opita dogadaj A nastupi najvise m puta je

P (Sn ≤ m) =m∑

r=0

P (Sn = r) =m∑

r=0

(n

r

)

prqn−r.

Ova verovatnoca naziva se integralnom verovatnocom.

Funkcija raspodele binomne raspodele data je sa

F (x) =

0, za x ≤ 0,[x]∑

k=0

(n

r

)

prqn−r, za 0 < x ≤ n,

1, za x > n.

Karakteristicna funkcija za binomnu raspodelu izvodi se na sledeci nacin:

ϕ(t) = E(eitSn

)=

n∑

r=0

eitxrP (Sn = xr) =n∑

r=0

eitrP (Sn = r) =n∑

r=0

eitr

(n

r

)

prqn−r

=n∑

r=0

(n

r

)(peit

)rqn−r =

(q + peit

)n.

Primetimo da se karakteristicna funkcija binomne raspodele moze dobiti ako slucajnu promenljivu Sn

posmatramo kao zbir n nezavisnih slucajnih promenljivih sa Bernoullievom raspodelom Sn = X1 +

X2+· · ·+Xn, Xi ∼(

0 1q p

)

. Tada, na osnovu osobine 6 karakteristicne funkcije sledi ϕ(t) =(q+peit

)n.

Polazeci od izraza za karakteristicnu funkciju, dobijamo

ϕ′(t) = inpeit(peit + q

), ϕ′′(t) = −npeit

(peit + q

)(npeit + q

),

te je ϕ′(0) = inp, ϕ′′(0) = −n2p2 − npq. Iz formula (11.5) i (11.6) sleduje

Matematicko ocekivanje: E(Sn) =ϕ′(0)

i= np;

Disperzija: D(Sn) =ϕ′′(0)

i2− E(Sn)2 = (n2p2 + npq)− n2p2 = npq.

Polinomna raspodela

Izvodi se serija od n nezavisnih opita pri cemu rezultat opita moze biti jedan i samo jedan od konacno

mnogo dogadaja A1, . . . , Ak,∑k

i=1 Ai = Ω, P (Ai) = pi (i = 1, . . . , k). Tada nad prostorom n nezavisnih

opita Ω(n) mozemo definisati k-dimenzionalnu slucajnu promenljivu(S

(1)n , . . . , S

(k)n

), gde je S

(i)n broj

realizacija slucajnog dogadaja Ai u n opita. U tom slucaju je

P(S(1)

n = r1, . . . , S(k)n = rk

)=

n!

r1! · · · rk!pr1

1 · · · prk

k ,

gde je r1, . . . , rk ∈ 0, 1, . . . , n i r1 + · · ·+ rk = n.


Gornja relacija izrazava zakon polinomne raspodele verovatnoca. Verovatnoca koja se trazi jed-naka je koeficijentu uz proizvod xr1

1 xr2

2 · · ·xrk

k u razvijenom obliku polinoma

(p1x1 + p2x2 + · · ·+ pkxk

)n.

Ocigledno je da se u specijalnom slucaju za k = 2 (A1 = A, A2 = A, p1 = p, p2 = 1 − p = q, r1 =r, r2 = n− r) polinomna raspodela svodi na binomnu raspodelu sa

P (Sn = r) =n!

r!(n− r)!prqn−r =

(n

r

)

prqn−r.

Geometrijska raspodela

Opiti se ponavljaju sve do prve realizacije dogadaja A. Neka slucajna promenljiva X predstavljapotreban broj obavljenih opita i neka je u svakom opitu verovatnoca realizacije dogadaja A ista i jednakaP (A) = p (P (A) = 1 − p = q). Dogadaj koji se sastoji u tome da se dogadaj A realizuje u k-tomponavljanju opita ekvivalentan je slozenom dogadaju da se u k − 1 ponavljanja opita dogadaj A nerealizuje nijednom i da se u k-tom ponavljanju ovaj dogadaj prvi put realizuje. Kako su ovi dogadajinezavisni, to se mnozenjem verovatnoca qk−1 i p dobija zakon raspodele verovatnoce slucajne promenljiveX :

P (X = k) = P (AA · · · A︸︷︷︸

k−1

·A) = P (A)P (A) · · ·P (A)︸︷︷︸

k−1

·P (A) = qk−1p (k = 1, 2, . . . ).

Ova raspodela verovatnoca poznata je kao geometrijska raspodela ili Pascalova raspodela, uoznaci G(k, p). Naziv ,,geometrijska raspodela” potice otuda sto je verovatnoca realizacije dogadaja A (poprvi put u k opita) srazmerna geometrijskom nizu q, q2, . . . .

Karakteristicna funkcija za geometrijsku raspodelu data je sa

ϕ(t) =

+∞∑

k=1

eitkP (X = k) =

+∞∑

k=1

pqk−1eitk =p

q

+∞∑

k=1

(qeit)k

=p

q

( +∞∑

k=0

(qeit)k − 1

)

=p

q

( 1

1− qeit− 1)

=peit

1− qeit.

Kako je

ϕ′(t) =ipeit

(1− qeit

)2 , ϕ′′(t) =i2peit

(1− qeit

)+ 2i2pqe2it

(1− qeit

)3 ,

dobijamo

ϕ′(0) =ip

(1− q)2=

i

p, ϕ′′(0) =

i2(p2 + 2pq)

(1− q)3=

i2(p + 2q)

p2.

Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) nalazimo parametre geometrijske raspodele:


i=

1

p;

Disperzija: D(X) =ϕ′′(0)

i2−(ϕ′(0)

i

)2

=p + 2q

p2− 1

p2=

q

p2.

Primer 12.1. Posmatrajmo niz Bernoullievih eksperimenata sve dok se ne postigne r ,,uspeha” (tj.

r realizacija dogadaja A koji se u opitu realizuje ili ne realizuje). Opisana raspodela za r = 1 svodi se na

geometrijsku raspodelu. U opstem slucaju, ako se r-ti uspeh dogodio u k-tom eksperimentu (k ≥ r), to znaci da

je u prvih k− 1 eksperimenata bilo r− 1 uspeha i k− r neuspeha, a da se u k-tom eksperimentu dogodio uspeh.


Kako se r− 1 uspeha u k− 1 eksperimenata moze dogoditi na(k−1r−1

)nacina i kako je verovatnoca svakog od tih

nacina jednaka pr−1(1− p)k−r, imamo da je

P (X = k) =

(k − 1

r − 1

)

pr(1− p)k−r (k = r, r + 1, . . . ).

Karakteristicna funkcija ove raspodele moze se odrediti koristeci karakteristicnu funkciju geometrijske raspodele

ϕXG(t) = peit/

(1 − (1 − p)eit

)i osobinu 6 karakteristicne funkcije. Naime, slucajna promenljiva X opisane

raspodele moze se shvatiti kao zbir od r slucajnih promenljivih XG koje sve imaju geometrijsku raspodelu sa

istim parametrom p. Na taj nacin dobijamo

ϕX(t) = ϕrXG(t) =

(ϕXG

(t))r

=( peit

1− (1− p)eit

)r

.

Nalazeci prvi i drugi izvod funkcije ϕX(t) i koristeci formule (11.5) i (11.6), lako se nalaze numericke karakteristike

E(X) =r

p, D(X) =

r(1− p)

p2.

Kao primer primene opisane raspodele, odredimo koliko puta treba baciti kocku da bismo sa verovatnocom

od bar 0.5 bili sigurni da cemo dobiti bar dve sestice. U ovom konkretnom slucaju je p = 1/6, r = 2. Tada

najmanji broj bacanja kocke n trazimo iz uslova

n∑

k=2

P (X = k) ≥ 0.5, tj.

n∑

k=2

(k − 1)(1

6

)2(5

6

)k−2

≥ 0.5.

Poslednja nejednakost se svodi nan∑

k=2

(k − 1)(5

6

)k−2

≥ 18,

odakle probanjem (nalazeci parcijalne sume za razne vrednosti n) nalazimo da ova nejednakost vazi za n ≥ 10.

Poissonova8 raspodela

Ova raspodela je granicni slucaj binomne raspodele pod uslovom da je broj opita veliki, a verovatnocap pojave dogadaja A u svakom pojedinacnom opitu mala.

Teorema 12.1. Ako u binomnoj raspodeli broj nezavisnih ispitivanja neograniceno raste, a verovatnocau svakom ispitivanju opada tako da je np = λ = const > 0, tada

P (Sn = r) → λre−λ

r!kada n → +∞ (r = 0, 1, . . . ).

Dokaz. Iz uslova np = λ imamo p = λ/n. Ako p zamenimo u formuli koja odreduje binomni zakonraspodele, dobijamo

P (Sn = r) =

(n

r

)

prqn−r =n(n− 1) · · · (n− r + 1)

r!· λr

nr

(

1− λ

n

)n−r

=λr

r!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

· · ·(

1− r − 1

n

)

·

(

1− λ

n

)n

(

1− λ

n

)r.

8S. D. Poisson (1781–1840), francuski matematicar, cita se Puason.


Kada n → +∞, tada clanovi 1 − 1/n, 1 − 2/n, . . . , 1 − (r − 1)/n i (1 − λ/n)r teze ka 1, dok jelim

n→+∞(1− λ/n)n = e−λ. Tada je

limn → +∞

p → 0np = λ

P (Sn = r) = P (S∞ = r) =λre−λ

r!(r = 0, 1, 2, . . . ),

cime je dokaz zavrsen.

Verovatnoce P (S∞ = r) =λre−λ

r!(r = 0, 1, 2, . . . ) definisu Poissonovu raspodelu P(λ). Na osnovu

poslednje formule sledi

+∞∑

r=0

P (S∞ = r) =

+∞∑

r=0

λre−λ

r!= e−λ

+∞∑

r=0

λr

r!= e−λ · eλ = 1.

U Poissonovoj raspodeli imamo serije od beskonacno mnogo nezavisnih opita i slucajna promenljivaS∞ je broj realizacija dogadaja A u jednoj takvoj seriji. Slucajna promenljiva S∞ uzima svaku vrednostiz prebrojivog skupa 0, 1, 2, . . . .

Poissonova raspodela vezana je za pojavu retkih dogadaja i ima siroku primenu u telefoniji, saobracaju,demografiji, biologiji, fizici, astronomiji, lingvistici, itd. Koristi se kao model za broj dogadaja koji sedesavaju u jedinici vremena, pri cemu parametar λ predstavlja srednju vrednost broja ovih dogadaja.

Karakteristicna funkcija za slucajnu promenljivu S∞ sa Poissonovom raspodelom P(λ) je

ϕ(t) =+∞∑

r=0

eitr λre−λ

r!= e−λ

+∞∑

r=0

(λeit

)r

r!= e−λ · eλeit

= eλ(eit−1).

Kako je

ϕ′(t) = iλeit · eλ(eit−1), ϕ′′(t) = λ(1 + λeit)eit · eλ(eit−1),

nalazimo ϕ′(0) = iλ, ϕ′′(0) = −λ(1 + λ), tako da su, na osnovu formula (11.5) i (11.6), parametriPoissonove raspodele

Matematicko ocekivanje: E(S∞) =ϕ′(0)

i= λ;

Disperzija: D(S∞) =ϕ′′(0)

i2−(ϕ′(0)

i

)2

= (λ + λ2)− λ2 = λ.

Primer 12.2. U vremenskom intervalu duzine T signalna lampa zasvetli M puta. Ako je a broj koji pokazuje

koliko puta lampa zasvetli u jedinici vremena, odrediti verovatnocu da u intervalu duzine t < T signalna lampa

zasvetli m puta kada T → +∞.

Resenje: Kako a oznacava broj paljenja signalne lampe u jedinici vremena, to je M = aT. Pojavu Msvetlosnih signala mozemo tretirati kao M nezavisnih ispitivanja, pri cemu je verovatnoca pojave signala u svakom

ispitivanju jednaka p = t/T. Na osnovu binomne raspodele tada imamo

P (SM = m) =

(M

m

)

pm(1− p)M−m =M(M − 1) · · · (M −m + 1)

m!

( t

T

)m(

1− t

T

)M−m

,

ili, zbog M = aT,

P (SM = m) =aT (aT − 1) · · · (aT −m + 1)

m!

( t

T

)m(

1− t

T

)aT−m

=(aT )m

m!

(

1− 1

aT

)(

1− 2

aT

)

· · ·(

1− m− 1

aT

)( t

T

)m

(

1− t

T

)aT

(

1− t

T

)m .

osnovne raspodele neprekidnih slucajnih promenljivih 37

Kada T → +∞, izrazi(

1− 1

aT

)

, · · · ,(

1− m− 1

aT

)

i(

1− t

T

)m

→ 1. Osim toga, imamo

limT→+∞

(

1− t

T

)aT

= limT→+∞

((

1− t

T

)−T/t)−at

= e−at,

pa je

limT→+∞

P (SM = m) = P (S∞ = m) =(at)me−at

m!.

Stavljajuci λ = at, dobijamo Poissonovu raspodelu

P (S∞ = m) =λme−λ

m!(m = 0, 1, . . . ).

Primer 12.3. Za vreme II svetskog rata Nemci su bombardovali

London letecim bombama V-1. Britanska vrhovna komanda ucinila je

sve da sazna nesto vise o ovim bombama, narocito o njihovoj preciznosti

pogadanja. Obavestajna sluzba je bila nemocna i u pomoc su pozvani

matematicari, eksperti za statistiku. Oni su podrucje grada Londona

(144 km2) podelili na 576 sektora i analizirali udare neprijatelja. Od

ukupno 537 bombi, 7 bombi palo je u jednom sektoru, po 4 bombe u

7 sektora, po 3 u 35, 2 u 93, po jedna bomba u 211 sektora i, kona-

cno, nijedna bomba u preostalih 229 sektora. Ovi podaci uneti su na

grafikon (slika 12.1).

Kriva na grafikonu je poznata kao kriva Poissonove raspodele, koja

karakterise pojavu tzv. retkih dogadaja. Da su Nemci mogli da gadaju

ovim bombama zeljene ciljeve, one bi bile ,,rasejane” po zakonu tzv.

normalne raspodele, koja se uvek dobija kod (preciznog) gadanja u

cilj. Zakljucak je bio da Nemci nisu mogli da gadaju izabrane ciljeve

bombama V-1, vec im je namera bio samo razaranje i unosenje panike.

Proizvodnja ovih bombi ubrzo je obustavljena.

Slika 12.1

13. Osnovne raspodele neprekidnih slucajnih promenljivih

Ravnomerna (uniformna) raspodela

Neprekidna slucajna promenljiva X ima ravnomernu ili uniformnu raspodelu na intervalu (a, b)ako je definisana gustinom raspodele verovatnoce

f(x) =

0, za x /∈ [a, b],

1

b− a, za x ∈ [a, b],

Kako je F (x) =x∫

−∞f(t)dt =

x∫

a

f(t)dt, nalazimo funkciju raspodele

F (x) = P (X ≤ x) =

0, za x < a,x− a

b− a, za x ∈ [a, b],

1, za x > b.

Ravnomerna (uniformna) raspodela oznacava se sa U(a, b).


Prema tvrdenju 3 teoreme 9.1, za svako α, β ∈ [a, b] vazi

P (α ≤ X ≤ β) = F (β)− F (α) =β − α

b− a,

odakle zakljucujemo da je verovatnoca da X pripada nekom intervalu [α, β] unutar [a, b] proporcionalnaduzini tog intervala. Zbog toga se ova raspodela uzima kao model za izbor slucajnog broja u intervalu[a, b].

Karakteristicna funkcija odredena je pomocu

ϕ(t) =

b∫

a

eitxf(x)dx =1

b− a

b∫

a

eitxdx =eitb − eita

it(b− a).

U ovom slucaju matematicko ocekivanje i disperziju je lakse odrediti koristeci pocetne momente:

Matematicko ocekivanje: E(X) =

b∫

a

xf(x)dx =1

b− a

b∫

a

xdx =a + b

2;

Disperzija: D(X) = E(X2)− E(X)2 =b∫

a

x2dx−(a + b

2

)2

=(b− a)2

12.

Eksponencijalna raspodela

Neprekidna slucajna promenljiva ima eksponencijalnu raspodelu E(λ) sa pozitivnim parametromλ ako je njena gustina verovatnoce f data sa

f(x) = λe−λx (x ≥ 0), f(x) = 0 (x < 0).

Funkciju raspodele dobijamo integracijom:

F (x) =

x∫

−∞

f(t)dt = λ

x∫

0

e−λtdt = 1− e−λx (x ≥ 0).

Odredimo karakteristicnu funkciju eksponencijalne raspodele. Imamo da je

ϕ(t) =

+∞∫

0

eitxλe−λxdx =λ

λ− ite−x(λ−it)

∣∣∣

+∞

0=

λ

λ− it.

Prva dva izvoda karakteristicne funkcije su

ϕ′(t) =iλ

(λ− it)2, ϕ′′(t) = − 2λ

(λ− it)3, odakle je ϕ′(0) =

i

λ, ϕ′′(0) = − 2

λ2.

Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) nalazimo parametre eksponencijalne raspodele:


i=

1

λ;


i2− E(X)2 =

2

λ2− 1

λ2=

1

λ2.


Eksponencijalna raspodela se cesto koristi u raznim primenama, na primer, pri analizi pouzdanostirada sistema, kao model za vreme izmedu dva kvara. U ovim situacijama reciprocna vrednost parametraλ se javlja kao mera prosecnog vremena rada uredaja koji se ispituje.

Primer 13.1. Istaknimo jos jednu interesantnu i korisnu osobinu eksponencijalne raspodele, karakteristicnu

jedino za ovaj tip raspodele.

Neka je X slucajna promenljiva sa eksponencijalnom raspodelom E(λ). Za svako x ≥ 0 vazi

P (X > x) = 1− P (X ≤ x) = 1−x∫

0

e−λtdt = e−λx.

Koristeci definiciju uslovne verovatnoce, odavde je

P (X > s + t|X > s) =P (X > s + t, X > s)

P (X > s)=

P (X > s + t)

P (X > s)=

e−λ(s+t)

e−λs= e−λt = P (X > t).

Jednakost P (X > s + t|X > s) = P (X > t) izrazava osobinu odsustva memorije. Naime, ako slucajna

promenljiva X predstavlja duzinu rada (na primer u satima) nekog uredaja bez kvara, tada nejednakost X > sznaci da je uredaj ispravan posle s sati rada. Prethodna jednakost izrazava cinjenicu da je verovatnoca da uredaj

ispravno radi jos bar t sati jednaka verovatnoci da je uredaj ispravan posle t sati od ukljucenja. Drugim recima,

kao da uredaj ,,ne zna” da je pre toga radio s sati. U praksi se pokazalo da ova osobina zaista karakterise rad

nekih elektronskih komponenti.

Normalna (Gaussova) raspodela

Ovu raspodelu uveo je cuveni nemacki naucnik Karl Friedrich Gauss u vezi sa obradom rezultatamerenja i, posebno, sa ocenom slucajnih gresaka, pa se zato cesto naziva Gaussovom raspodelom.

Normalna raspodela ima najveci znacaj medu raspodelama verovatnoca neprekidne slucajne promen-ljive, iz sledecih razloga:

1) mnoge slucajne promenljive, koje se pojavljuju u vezi sa eksperimentima ili observacijama, imajunormalnu raspodelu;

2) veliki broj slucajnih promenljivih ima normalnu raspodelu aproksimativno;

3) ako slucajna promenljiva nema normalnu raspodelu i ako je nema cak ni aproksimativno, onda semoze transformisati na normalnu slucajnu promenljivu relativno jednostavnim transformacijama;

4) izvesne slucajne promenljive, koje sluze za verifikaciju statistickih testova, imaju normalnuraspodelu.

Definicija 1. Normalna slucajna promenljiva X ima normalnu (ili Gaussovu) raspodelu N (µ, σ) saparametrima µ i σ > 0, ako je njena gustina raspodele verovatnoce

f(x) =1

σ√

2πexp(

− (x− µ)2

2σ2

)

. (13.1)

Zavisno od parametara µ i σ, grafici krivih funkcija gustine raspodela su razliciti, ali se mogu uocitineke zajednicke karakteristike.

Pre svega, lako je utvrditi da su sve krive gustine simetricne u odnosu na pravu x = µ. Tacka mak-simuma je

(µ, 1/σ

√2π). Levo i desno od tacke maksimuma kriva gustine simetricno opada do nule,

f(x) → 0 kada x → ±∞ (apscisna osa je horizontalna asimptota). Ukoliko je σ manje, maksimalnavrednost je veca, i obratno, maksimalna vrednost je manja za vece σ, ali je rasturanje oko tacke x = µ

vece (slika 13.1). Prevojne tacke su(

µ− σ, e−1/2/σ√

2π)

,(

µ + σ, e−1/2/σ√

2π)

.


Slika 13.1 Krive funkcije gustine normalne raspodele

Karakteristicna funkcija slucajne promenljive X ∼ N (µ, σ) data je sa

ϕ(t) = exp(itµ− 1

2 t2σ2)

(13.2)

(videti primer 13.3). Iz (13.2) nalazimo

ϕ′(t) = (iµ− σ2t) exp(

iµt− t2σ2

2

)

, ϕ′(0) = iµ,

ϕ′′(t) =[(iµ− ts2)2 − σ2

]exp(

iµt− t2σ2

2

)

, ϕ′′(0) = −µ2 − σ2.

Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) dobijamo numericke parametre normalne raspodele N (µ, σ) :


i= µ;


i2− E(X)2 = σ2.

U teoriji verovatnoce se cesto radi sa tzv. integralom verovatnoce ili Laplaceovom funkcijom Φdefinisanom pomocu

Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2/2dt. (13.3)

Laplaceova funkcija Φ ima sledece osobine:

1 Φ(0) = 0;

2 Φ(+∞) =1

2;

Zaista, imamo Φ(+∞) =1√2π

+∞∫

0

e−t2dt =1√2π

1√2

+∞∫

0

u1/2−1e−udu =1

2√

πΓ( 1

2 ) =1

2,

pri cemu smo iskoristili poznati rezultat Γ( 12 ) =

√π (videti 5 u 1. odeljku poglavlja Specijalne funkcije

i ortogonalni polinomi).


3 Φ(−x) = −Φ(x) (neparna funkcija);

4 F (x) =1

2+ Φ

(x− µ

σ

)

. (13.4)

Uvodeci smenu t =x− µ

σ, dobijamo

F (x) =1

σ√

2π

x∫

−∞

exp(

− (x− µ)2

2σ2

)

dx =1√2π

x−µσ∫

−∞

e−t2/2dt =1√2π

0∫

−∞

e−t2/2dt +1√2π

x−µσ∫

0

e−t2/2dt

=1√2π

1√2Γ(1

2

)

+ Φ(x− µ

σ

)

=1

2+ Φ

(x− µ

σ

)

.

Na osnovu teoreme 9.1 (tvrdenje 3 ) sledi

P (a < X < b) = F (b)− F (a) = Φ(b− µ

σ

)

− Φ(a− µ

σ

)

. (13.5)

Specijalno, ako je a = −∞, iz poslednje formule dobijamo

P (X < b) =1

2+ Φ

(b− µ

σ

)

. (13.6)

Relacije (13.5) i (13.6) omogucavaju da se odrede vrednosti funkcija raspodele, odnosno verovatnocena intervalu (a, b) za proizvoljno µ i σ, polazeci od vrednosti Laplaceove funkcije Φ(x). Funkcija Φ(x)se tabelira za razlicite vrednosti x i ima veliku primenu u teoriji verovatnoce i statistici. Jedna tablicavrednosti funkcije Φ za x ∈ [0, 3.49] data je na kraju 14. odeljka.

Takode, za 0 ≤ x ≤ +∞, moze se koristiti aproksimativna formula

Φ(x) ≈ 1

2−(a1t + a2t

2 + a3t3)e−x2/2,

gde su t = 1/(1 + px), p = 0.33267, a1 = 0.1740121, a2 = −0.0479399, a3 = 0.3739278. Apsolutnagreska prethodne aproksimacije za svako x > 0 nije veca od 1.25 · 10−5.

Ako je interval (a, b) simetrican u odnosu na tacku x = µ, iz (13.5) dobijamo

P (|X − µ| < ε) = 2Φ( ε

σ

)

. (13.7)

Na primer, ako treba odrediti simetrican interval (µ− ε, µ + ε) oko srednje vrednosti µ u kome slucajnapromenljiva X ∼ N (µ, σ) uzima vrednosti sa verovatnocom p, na osnovu formule Φ(ε/σ) = p/2, trazi seiz tablica argument ε/σ Laplaceove funkcije i nalazi ε.

Primer 13.2 (Pravilo tri sigme). Kolika je verovatnoca da se vrednosti slucajne promenljive X ∼N (µ, σ) nadu na intervalu (µ− 3σ, µ + 3σ)?

Kako je

P (µ− 3σ < X < µ + 3σ) = 2Φ(3σ

σ

)

= 2Φ(3),

iz tablica nalazimo Φ(3) = 0.49865 te je

P (|X − µ| < 3σ) ≈ 0.997

(Pravilo tri sigme za normalnu raspodelu).


U primenama se cesto koristi pravilo tri sigme, koje, slobodno receno, kaze da je skoro nemoguce da odstupanje

X od srednje vrednosti bude vece od 3σ. U praksi se vrednost za σ dobija na osnovu podataka, pa se ocekuje da

vrednosti skoro svih merenja (preciznije 99.7% na osnovu gornjeg rezultata za verovatnocu P ) budu u intervalu

(µ−3σ, µ+3σ). Ako se, na primer, otkrije da su podaci dobijeni merenjem izvan opsega (µ−3σ, µ+3σ), moze

se zakljuciti da se radi o grubim greskama pri merenju. Drugi primer se odnosi na vrednosti, recimo elektronskih

komponenti. Ako merna karakteristika ovih komponenti treba da bude M jedinica, vrednosti proizvedenih kom-

ponenti ce se gusto grupisati oko M , uz malo rasturanje, tj. imace normalnu raspodelu. Svako vece odstupanje

znaci da se radi o neispravnom proizvodu koji treba odbaciti kao ,,skart”.

Umesto slucajne promenljive X sa normalnom raspodelom N (µ, σ), cesto se u teoriji verovatnoce radisa standardizovanom slucajnom promenljivom X∗ koja se, shodno izlaganju u 10. odeljku, uvodi nasledeci nacin:

X∗ =X − E(X)√

D(X)=

X − µ

σ.

Na osnovu osobina 2 i 5 matematickog ocekivanja i osobina 3 i 4 disperzije, nalazimo numerickekarakteristike standardizovane slucajne promenljive X∗ :

Matematicko ocekivanje: E(X∗) = E(X − µ

σ

)

=1

σ

(

E(X)− E(µ))

= µ− µ = 0;

Disperzija: D(X) = D(X − µ

σ

)

=1

σ2D(X) = 1.

Prema tome, standardizovana slucajna promenljiva ima normalnu raspodelu N (0, 1). Na osnovu ovognjena gustina raspodele data je sa

fX∗(x) =1√2π

e−x2/2,

sto direktno sledi iz (13.1) za µ = 0 i σ = 1. Odgovarajuca funkcija raspodele je

FX∗(x) =1√2π

x∫

−∞

e−t2/2dt.

Za µ = 0 i σ = 1 iz (13.2) nalazimo da je karakteristicna funkcija standardizovane slucajnepromenljive X∗ ∼ N (0, 1) jednaka

ϕX∗(t) = e−t2/2.

Ovaj rezultat moze se takode dobiti iz (13.2) koristeci osobinu 4 (teorema 11.1) karakteristicne funkcije.Zaista, primenjujuci formulu (13.2) za a = 1/σ i b = −µ/σ, dobija se

ϕX∗(t) = eit(−µ/σ) · eiµt/σ · e−(σ2t2)/2σ2

= e−t2/2.

Na osnovu prethodno izlozenog zakljucujemo da postoji ekvivalencija

X ∼ N (µ, σ) ⇐⇒ X − µ

σ= X∗, X∗ ∼ N (0, 1).

Primer 13.3. Odredimo karakteristicnu funkciju za slucajnu promenljivu X ∼ N (µ, σ). Uzimajuci gustinu

raspodele f(x) datu sa (13.1), imamo

ϕ(t) =1

σ√

2π

+∞∫

−∞

eitx exp(

− (x− µ)2

2σ2

)

dx.


Ako uvedemo smenu y =x− µ

σ, dobijamo

ϕ(t) =1√2π

+∞∫

−∞

eit(yσ+µ)e−y2/2dy =1√2π

eitµ

+∞∫

−∞

eityσe−y2/2dy.

Posle razvoja funcije t 7→ eityσ u Taylorov red, imamo

ϕ(t) =1√2π

eitµ

+∞∫

−∞

+∞∑

n=0

(ityσ)n

n!e−y2/2dy =

1√2π

eitµ+∞∑

n=0

(itσ)n

n!

+∞∫

−∞

yne−y2/2dx.

Ako je n = 2k + 1, zbog neparnosti podintegralne funkcije je

+∞∫

−∞

y2k+1e−y2/2dy = 0.

Ako je n = 2k, zbog parnosti podintegralne funkcije je

+∞∫

−∞

y2ke−y2/2dy = 2

+∞∫

0

y2ke−y2/2dy = 2k+ 1

2

+∞∫

0

uk−1/2e−udu = 2k+ 1

2 Γ(

k +1

2

)

.

Kako je (2k)! = 2kk!(2k − 1)!!, Γ(

12

)=√

π i

Γ(

k +1

2

)

=(

k − 1

2

)(

k − 3

2

)

· · · 12Γ(1

2

)

= (2k − 1)!!√

π,

gornji izraz za ϕ(t) postaje

ϕ(t) =1√2π

eitµ+∞∑

k=0

(itσ)2k

(2k)!2k+ 1

2 Γ(

k +1

2

)

= eitµ+∞∑

k=0

(−1)k(tσ)2k2k(2k − 1)!!

2kk!(2k − 1)!!= eitµ

+∞∑

k=0

(

− (tσ)2

2

)k 1

k!.

Dobijeni red predstavlja razvoj funkcije t 7→ e−t2σ2/2, te je karakteristicna funkcija slucajne promenljive

X ∼ N (µ, σ) data sa

ϕ(t) = exp(itµ− 1

2 t2σ2).

Primer 13.4. Neka je X ∼ N (3, 4) slucajna promenljiva sa normalnom raspodelom sa parametrima µ = 3i σ = 4. Odrediti: a) P (X ≤ 10); b) P (−1 ≤ X ≤ 1); c) x tako da je P (X ≤ x) = 0.99.

Neka je X∗ = (X −µ)/σ = (X − 3)/4 standardna slucajna promenljiva sa normalnom raspodelom N (0, 1).Pri resavanju postavljenih zadataka koristicemo Laplaceovu funkciju Φ(x) datu tabelarno na kraju 14. odeljka.

a) P (X ≤ 10) = P(

X∗ ≤ 10− 3

4

)

= P (X∗ ≤ 1.75) = 12 + Φ(1.75) = 0.5 + 0.4599 = 0.9599.

b) P (−1 ≤ X ≤ 1) = P(−1− 3

4≤ X∗ ≤ 1− 3

4

)

= P (−1 ≤ X ≤ −0.5) = Φ(−0.5)− Φ(−1)

= −Φ(0.5) + Φ(1) = −0.1915 + 0.3413 = 0.1498.


c) 0.99 = P (X ≤ x) = P(

X∗ ≤ x− 3

5

)

= 12 + Φ

(x− 3

5

)

= 12 + Φ(x∗), odakle je Φ(x∗) = 0.49. Iz Ta-

bele za Φ(x) na marginama tablice trazimo broj x∗ za koji je Φ(x∗) = 0.49. Najblizi broj je x∗ = 2.33,

te iz jednacinex− 3

4= 2.33 nalazimo x = 12.32.

Primer 13.5. Gama raspodela sa parametrima α > 0 i λ > 0 definisana je funkcijom gustine

f(x) =λαe−λxxα−1

Γ(α)(x > 0), f(x) = 0 (x ≤ 0),

gde je

Γ(z) =

+∞∫

0

e−ttz−1dt (z = x + iy, x > 0)

gama funkcija (videti 1. odeljak iz poglavlja Specijalne funcije i ortogonalni polinomi). Ako slucajna promen-

ljiva X ima gama raspodelu sa parametrima α i λ, pisemo X ∼ Γ(α, λ). Ova funkcija ima vaznu ulogu u teoriji

verovatnoce i statistici.

Karakteristicna funkcija Γ(α, λ) raspodele data je sa

ϕ(t) =λα

(λ− it)α.

Odavde dobijamo ϕ′(0) =iα

λ, ϕ′′(0) =

i2α(α + 1)

λ2, te je

E(X) =ϕ′(0)

i=

α

λ, E(X2) =

ϕ′′(0)

i2=

α(α + 1)

λ2, D(X) = E(X2)− E(X)2 =

α

λ2.

Primer 13.6. Raspodela sa funkcijom gustine

f(x) =1

B(α, β)xα−1(1− x)β−1 (x ∈ (0, 1), α, β > 0)

zove se beta raspodela sa parametrima α i β. Raspodela je dobila ime po beta funkciji

B(α, β) =Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β)=

1∫

0

xα−1(1− x)β−1dx.

Pocetni moment reda k za beta raspodelu dat je sa

mk =B(β, α + k)

B(α, β),

odakle je

E(X) = m1 =α

α + β, D(X) = m2 −m2

1 =αβ

(α + β)2(α + β + 1).

Pomocu linearnih kombinacija gustina beta raspodele, koje se dobijaju variranjem parametara α i β, mogu se

modelirati razne gustine dobijene iz empirijskih podataka.

granicne teoreme 45

14. Granicne teoreme

Mnogi vazni rezultati teorije verovatnoce su formulisani u formi granicnih teorema. Dve osnovne grupegranicnih teorema su zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme. Granicne teoreme sunezamenljiv matematicki aparat u oblasti prakticnih primena verovatnoce. One daju teorijsku podloguza mogucnost ,,predskazanja” rezultata masovnih slucajnih pojava i nalazenje gresaka takvih statistickihprocena. Prema misljenju istaknutih matematicara koji rade u oblasti teorije verovatnoce i statistike,prava saznajna vrednost teorije verovatnoce otkriva se tek u granicnim teoremama.

Zakoni velikih brojeva, u sirem smislu, znace da pri vrlo velikom broju slucajnih pojava njihov sred-nji rezultat (aritmeticka sredina) prestaje da bude slucajan i moze se predskazati sa velikom pouz-danoscu. U uzem smislu, ovi zakoni razmatraju razne oblike konvergencije niza slucajnih promenljivihka matematickom ocekivanju i u vidu matematickih teorema daju uslove pod kojima ukupno dejstvoslucajnih uticaja dovodi do rezultata koji skoro ne zavisi od slucaja. Na primer, pri velikom broju po-navljanja bacanja kocke za igru, pri cemu ishod pri svakom bacanju smatramo slucajnom promenljivom,broj 1 (recimo) ce pasti u priblizno n/6 slucajeva, gde je n broj bacanja. Sto je n vece, to ce verovatnocada je broj pojava jedinice blizu n/6, biti veca.

U okviru ovog kursa necemo se baviti zakonima velikih brojeva. Umesto toga, zbog istorijskog znacenja,navescemo jedino Bernoulliev zakon velikih brojeva iz 1713. godine:

Neka je Sn = X1 + X2 + · · · + Xn, Xi ∼(

0 1q p

)

broj uspeha u n Bernoullievih eksperimenata sa

verovatnocom p. Tada za svako ε > 0 vazi

limn→+∞

P(∣∣∣Sn

n− p∣∣∣ ≥ ε

)

= 0.

Ovaj zakon je od velikog znacaja jer predstavlja pokusaj opravdanja statisticke definicije verovatnoce(videti 5. odeljak). Naime, ako se pri eksperimentu u kome dogadaj A (,,uspeh”) moze da se dogodi saverovatnocom p, belezi broj uspeha Sn (broj povoljnih ishoda) i zatim podeli sa n (broj svih mogucihishoda), prema Bernoullievom zakonu sledi da ovaj kolicnik konvergira ka stvarnoj vrednosti p. Pravoopravdanje statisticke definicije verovatnoce dato je Borelovim strogim zakonom velikih brojeva iz 1909.godine, koji tvrdi da pomenuti kolicnik konvergira ka p skoro svuda9; preciznije:

P(

limn→+∞

Sn

n= p)

= 1.

Drugu grupu granicnih teorema cine centralne granicne teoreme i one spadaju u red najznacajnijihteorema u verovatnoci i matematickoj statistici (otuda i termin ,,centralna teorema”). Ova grupa teoremaustanovljava uslove pod kojima je granicni zakon raspodele normalni (Gaussov) zakon raspodele.Kako su ti uslovi u praksi vrlo cesto ispunjeni, normalni zakon raspodele je i najrasprostranjeniji. On senajcesce srece u slucajnim pojavama prirode, ali i mnogobrojnim procesima razlicitog tipa.

Normalna raspodela se moze svrstati medu raspodele koje se najcesce mogu primeniti za aproksi-maciju empirijskih raspodela. Najvise prihvaceno tumacenje uzroka zbog koga je normalna raspodelanajrasprostranjenija je ono koje je dao Bessel. Po njemu, vrednosti statistickih obelezja zavise od mnogo,po velicini neznatnih uticaja. Ti uticaji poseduju neke svoje sopstvene karakteristike i prouzrokuju davrednosti statistickih obelezja odstupaju u razlicitim smerovima. Zbog toga ce sumarno odstupanje vred-nosti posmatranog obelezja od njegove aritmeticke sredine biti malo. Veca odstupanja u jednom smerusu malo verovatna. Dakle, uvek kada na posmatranu pojavu utice veliki broj nezavisnih slucajnih faktorai svaki od njih samo neznatno menja tok pojave, tada sumarno dejstvo tih faktora dovodi do toga daposmatrano obelezje pojave poseduje normalnu raspodelu verovatnoca.

9Kazemo da niz Xn konvergira skoro svuda ka slucajnoj promenljivoj X ako je P ( limn→+∞

Xn = X) = 1.


Prvi i istovremeno inspirativan rezultat u teoriji centralnih granicnih teorema jeste Moivre10-Laplaceova teorema, koja se odnosi na slucajnu promenljivu Sn sa binomnom raspodelom i na odgo-varajucu standardizovanu promenljivu

S∗n =Sn − E(Sn)√

D(Sn)=

Sn − np√npq

.

Teorema 14.1 (Moivre-Laplaceova teorema). U binomnoj raspodeli sa p > 0 i kada n → +∞,vazi

1) (lokalna teorema)

P (Sn = r) → 1√2π√

npqe−x2/2, x =

r − np√npq

uniformno po x u svakom konacnom intervalu;

2) (integralna teorema)

P(

a ≤ Sn − np√npq

≤ b)

→ 1√2π

b∫

a

e−x2/2dx, kada n → +∞

Dokaz. Imamo najpre da

r = np + x√

npq → +∞ i k = n− r = nq − x√

npq → +∞ kada n → +∞

jer x ostaje u konacnom intervalu.

Primenimo Stirlingovu asimptotsku formulu11

m! ∼√

2πm mme−m.

Tada je

(n

r

)

prqk = P (Sn = r) ∼√

2πn nne−n

√2πr rre−r

√2πk kke−k

prqk =1√2π

√n

rk

(np

r

)r(nq

k

)k

.

Kako jerk

n= n

(

p + x

√pq

n

)(

q − x

√pq

n

)

→ npq,

imamo

P (Sn = r) ∼ 1√2π√

npq

(np

r

)r(nq

k

)k

.

Koristeci razvoj log(1 + t) = t− t2

2+ O(t3), dobijamo

log(np

r

)r(nq

k

)k

=−(np + x

√npq

)log(

1 + x

√q

np

)

−(nq − x

√npq

)log(

1− x

√p

nq

)

= −(np + x

√npq

)(

x

√q

np− qx2

2np

)

−(nq − x

√npq

)(

−x

√p

nq− px2

2nq

)

= −x2

2+ O

( 1√n

)

,

10Abraham de Moivre (1667–1754), francuski matematicar, cita se Muavr.11U slucaju asimptotskih relacija koristicemo simbol ∼ koji za razliku od simbola ≈ dozvoljava pojavu velike apsolutne

greske (uz malu relativnu gresku).

granicne teoreme 47

odakle je(np

r

)r(nq

k

)k

= exp(

−x2

2+ O(1/

√n))

→ exp(−x2/2) kada n → +∞.

Ovim je prvi deo teoreme (lokalna teorema) dokazan.

Da bismo dokazali integralnu teoremu, uvedimo standardizovanu slucajnu promenljivu za binomnu

raspodelu S∗n =Sn − np√

npqi stavimo

xn,r =r − np√

npq(r = 0, 1, . . . , n, n = 1, 2, . . . ).

Tada je

xn,r+1 − xn,r =1√npq

,

pa na osnovu lokalne teoreme imamo

P(


≤ b)

= P (a ≤ S∗n ≤ b) =∑

r : a ≤ xn,r ≤ b

P (Sn = r)

∼ 1√2π

∑

r : a ≤ xn,r ≤ b

1√npq

exp(−x2n,r/2).

Poslednji izraz je integralna suma za Riemannov integral1√2π

b∫

a

e−x2/2dx, tada je

P (a ≤ S∗n ≤ b) → 1√2π

b∫

a

e−x2/2dx kada n → +∞.

Prema tome, u granicnom slucaju kada broj opita n neograniceno raste, standardizovana slucajnapromenljiva S∗n = (Sn − np)/

√npq za binomnu raspodelu ima normalnu raspodelu N (0, 1).

Prema integralnoj teoremi sledi i jednostavna formula za prakticno izracunavanje:

P(


≤ b)

= P (a ≤ S∗n ≤ b) = Φ(b)− Φ(a). (14.1)

Primer 14.1. Koliko eksperimenata treba izvrsiti da bi se sa verovatnocom 0.9 tvrdilo da se frekvencija

dogadaja koji nas interesuje razlikuje za ne vise od 0.1 od verovatnoce nastupanja tog dogadaja, koja je jednaka

0.4?

Neka je n broj eksperimenata i m broj nastupanja dogadaja u tim eksperimentima. Po uslovu zadatka je

p = 0.4 i q = 0.6. Interesuje nas verovatnoca vazenja nejednakosti

∣∣∣m

n− p∣∣∣ ≤ 0.1,

sto je ekvivalentno sa nejednakoscu

m− np√0.24n

≤ 0.1√

n√0.24

.


Na osnovu formule (14.1) (za a = −b) je

0.9 = P

(∣∣∣m− np√

npq

∣∣∣ <

0.1√

n√0.24

)

≈ Φ

(

0.1√

n√0.24

)

− Φ

(

−0.1√

n√0.24

)

= 2Φ

(

0.1√

n√0.24

)

.

Koriscenjem tablice za Φ(x), dobijamo

0.1√

n√0.24

≈ 1.64 ,

odakle nalazimo n ≈ 64.55. Prema tome, treba izvesti oko 65 eksperimenata.

Teorema 14.2. Zbir proizvoljnog broja nezavisnih slucajnih promenljivih, od kojih svaka ima nor-malnu raspodelu, takode ima normalnu raspodelu.

Dokaz. Uocimo slucajnu promenljivu X = X1+· · ·+Xn, gde slucajne promenljive Xk imaju normalneraspodele N (µk, σk) (k = 1, . . . , n) i karakteristicne funkcije ϕXk

(t) = exp(itµk − 1

2σ2kt2). Na osnovu

osobina matematickog ocekivanja i disperzije, imamo za X :

µ = µ1 + · · ·+ µn, σ2 = σ21 + · · ·+ σ2

n.

S obzirom da su slucajne promenljive X1, . . . , Xn nezavisne, na osnovu osobine 6 (videti 11. odeljak)karakteristicna funkcija slucajne promenljive X = X1 + · · ·+ Xn je

ϕX(t) = E(eitX

)= E

(eit(X1+X2+···+Xn)

)= E

(eitX1 · eitX2 · · · eitXn

)

=n∏

k=1

E(eitXk

)=

n∏

k=1

ϕXk(t) =

n∏

k=1

exp(iµkt− 1

2σ2kt2)

= exp(it(µ1 + · · ·+ µn)− 1

2 t2(σ21 + · · ·+ σ2

n))

= exp(itµ− 1

2σ2t2),

sto znaci da X ima normalnu raspodelu N (µ, σ).

Pretpostavimo sada da nezavisne slucajne promenljive X1, . . . , Xn imaju istu raspodelu verovatnoca,tj.

µ1 = µ2 = · · · = µn = µ, σ21 = σ2

2 = · · · = σ2n = σ2,

i neka je X = X1 + X2 + · · ·+ Xn. Tada je µX = nµ, σ2X = nσ2.

Standardizovana slucajna promenljiva X∗ ima oblik

X∗ =X − µX

σX=

X − nµ

σ√

n, i posebno, X∗

k =Xk − µ

σ(k = 1, . . . , n).

Dalje, imamo

X∗ =X − nµ

σ√

n=

1√n

n∑

k=1

Xk − µ

σ=

1√n

(X∗

1 + · · ·+ X∗n

).

Teorema 14.3 (Lindeberg-Levieva teorema). Ako su X1, . . .Xn nezavisne slucajne promenljivesa istom raspodelom i konacnom disperzijom D(Xk) = σ2, tada vazi centralna granicna teorema, tj.

P (X∗ < x) = F (x) → 1√2π

x∫

−∞

e−t2/2dt kada n → +∞.

granicne teoreme 49

Dokaz. Karakteristicne funkcije ϕk(t) slucajnih promenljivih X∗k (k = 1, . . . , n) jednake su medu

sobom i vazi

ϕk(t) = 1− t2

2+ O(t3)

(osobina 8 za karakteristicnu funkciju – razvoj u Maclaurinov red). Tada je karakteristicna funkcijaϕ(t) slucajne promenljive

X∗ =X − nµ

σ√

n(X = X1 + · · ·+ Xn)

jednaka (osobina 6 )

ϕ(t) =

n∏

k=1

ϕk

( t√n

)

=

(

ϕk

( t√n

))n

=

(

1− t2

2n+ O

( t3

n

))n

→ e−t2/2 kada n → +∞.

Slucajne promenljive X∗ i X imaju redom normalne raspodele X∗ ∼ N (0, 1) i X ∼ N (µX , σX) =N (nµ,

√nσ).

Primer 14.2. Pretpostavimo da prosecno svaki treci prolaznik pored kioska kupi novine, tj. verovatnoca da

jedan prolaznik kupi novine je p = 1/3. Neka je S100 broj lica koja produ pored kioska dok se ne proda prvih

100 primeraka novina. Odrediti pribliznu raspodelu slucajne promenljive S100.

Resenje: Neka je Xk (k = 1, 2, . . . ) broj prolaznika od prodaje k − 1 primeraka pa sve dok se ne proda

k-ti primerak novina. Tada je S100 =∑100

k=1 Xk. Slucajne promenljive Xk (k = 1, 2, . . . ) su nezavisne, sa istom

raspodelom i to sa geometrijskom raspodelom (videti 12. odeljak – raspodele diskretne promenljive):

P (Xk = r) = qr−1p =(2

3

)r−1 1

3(r = 1, 2, . . . ).

Parametri geometrijske raspodele su

E(Xk) =1

p= 3, D(Xk) =

q

p2= 6.

Primenjujuci teoremu Lindeberg-Levia dobijamo da je raspodela slucajne promenljive S100 data sa

N (300, 10√

6), dok standardizovana slucajna promenljiva S∗100 = (S100 − 300)/10√

6 ima raspodelu priblizno

N (0, 1). Kao sto se vidi iz rezultata za matematicko ocekivanje (µ = 300), ocekivani broj lica koji ce kupiti

prvih 100 primeraka novina je 300, sto je i intuitivno jasno.


Tablice za normalnu raspodelu

Laplaceova funkcija Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2/2dt

Tablice daju vrednost izraza

Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2/2dt

za vrednost argumenta x izmedu 0 i 3.5. Za negativne vrednosti koristimo relaciju

Φ(−x) = −Φ(x).

izabrani zadaci sa pismenih ispita 51

Izabrani zadaci sa pismenih ispita

Zadatak 1.12 Dva kockara A i B igraju neku igru bacajuci dve kocke. A pobeduje ako dobije sumu6 pre nego sto B dobije sumu 7, i obratno, B pobeduje ako dobije sumu 7 pre nego sto A dobije sumu6. Koji od ova dva igraca ima vece sanse da dobije ako igru pocinje igrac A?

Resenje: Neka su A i B dogadaji koji redom oznacavaju pojavu suma 6 (A dobija) i 7 (B do-

bija). Suprotne dogadaje oznacicemo sa A i B. Ako su bacene dve kocke, tada postoji 36 mogucih ishoda:

(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6). Postoji 5 povoljnih ishoda (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) za sumu

6, i 6 povoljnih ishoda (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) za sumu 7. Tada su verovatnoce opisanih dogadaja

jednake

P (A) =5

36, P (A) = 1− P (A) =

31

36,

P (B) =6

36=

1

6, P (B) = 1− P (B) =

30

36=

5

6.

Kockar A dobija igru ako se desi sledeci slozen dogadaj:

A + ABA + ABABA + ABABABA + · · · .

Pojedinacni dodadaji koji se javljaju kao sabirci u gornjoj sumi su medusobno iskljucivi (ne mogu se desiti istovre-

meno) tako da je verovatnoca slozenog dogadaja jednaka sumi verovatnoca pojedinacnih dogadaja. Osim toga,

dogadaji koji se javljaju u gornjim proizvodima su medusobno nezavisni tako da je verovatnoca proizvoda dogadaja

jednaka proizvodu verovatnoca pojedinih dogadaja koji ucestvuju u proizvodu. Ako pA oznacava verovatnocu da

kockar A dobija, tada je

pA =P (A) + P (A)P (B)P (A) + P (A)P (B)P (A)P (B)P (A)

+ P (A)P (B)P (A)P (B)P (A)P (B)P (A) + · · ·

=5

36+

31

36· 5

6· 5

36+(31

36· 5

6

)2

· 5

36+(31

36· 5

6

)3

· 5

36+ · · ·

=5

36

(1 + x + x2 + x3 + · · ·

)=

5

36· 1

1− x=

30

61,

gde smo stavili x =31

36· 5

6=

155

216.

Kockar B dobija ako se desi sledeci slozen dogadaj:

AB + ABAB + ABABAB + ABABABAB + · · · .

Odavde, na slican nacin kao u slucaju igraca A, izracunavamo verovatnocu pB da igru dobije kockar B:

pB =P (A)P (B) + P (A)P (B)P (A)P (B) + P (A)P (B)P (A)P (B)P (A)P (B)

+ P (A)P (B)P (A)P (B)P (A)P (B)P (A)P (B) + · · ·

=31

36· 1

6+

31

36· 5

6· 31

36· 1

6+

31

36· 1

6·(31

36· 5

6

)2

+31

36· 1

6·(31

36· 5

6

)3

+ · · ·

=31

36· 1

6

(1 + x + x2 + x3 + · · ·

)=

31

36· 1

6· 1

1− x=

31

61.

12Ovaj zadatak postavljen je i resen u prvom stampanom radu iz teorije verovatnoce iz 1657. godine, ciji je autor cuveniholandski naucnik Cristiaan Huygens (1629–1695).


Na osnovu dobijenih verovatnoca pA i pB zakljucujemo da kockar B ima neznatno vece sanse za pobedu u

odnosu na svog rivala A.

Zadatak 2. Bil i Toni igraju ruski rulet sa revolverom cije ,,burence” ima 6 komora i, dakle, mozeda primi 6 metaka. U komorama su slucajnim izborom stavljena 3 metka i ,,burence” je zarotirano samojednom, pre pocetka igre. Prvi igrac uzima revolver i povlaci okidac. Ako se cuje ,,bum” (pucanj), ongubi igru, ako se cuje ,,klik” (prazna komora) on daje revolver drugom igracu koji nastavlja na isti nacin.Igra se zavrsava posle prvog ,,buma” (pucnja). Ako Bil pocinje prvi, kolike su sanse svakog igraca dapobedi?

Resenje: Oznacima sa 0 situaciju da je komora prazna, a sa 1 da se u komori nalazi metak i formirajmo

nizove duzine 6 od tri nule i tri jedinice (broj metaka u revolveru). U donjoj tabeli date su sve moguce kombinacije

ovakvih sestorki, njih ukupno(63

)= 20 :

0 0 0 1 1 1 B0 0 1 0 1 1 T0 0 1 1 0 1 T0 0 1 1 1 0 T0 1 0 0 1 1 B0 1 0 1 0 1 B0 1 0 1 1 0 B0 1 1 0 0 1 B0 1 1 0 1 0 B0 1 1 1 0 0 B1 0 0 0 1 1 T1 0 0 1 0 1 T1 0 0 1 1 0 T1 0 1 0 0 1 T1 0 1 0 1 0 T1 0 1 1 0 0 T1 1 0 0 0 1 T1 1 0 0 1 0 T1 1 0 1 0 0 T1 1 1 0 0 0 T

Ocigledno je da ako je broj 1 na neparnom mestu, tada Bil, koji pocinje prvi, gubi igru i Toni pobeduje. Ako je

1 na parnom mestu, pobeduje Bil. Na kraju svake vrste, koja pokazuje raspored metaka u burencetu, naznacen

je pobednik; T – Toni je pobednik, i B – Bil je pobednik. Kao sto se vidi iz tabele, slovo T se pojavljuje na 13

mesta (broj povoljnih ishoda za Tonija), a B na presostalih 7 mesta (broj povoljnih ishoda za Bila). Na osnovu

ovog pripadne verovatnoce su jednake

P (B) =7

20, P (T ) =

13

20.

Prema tome, vece sanse na pobedu ima Toni.

Zadatak 3. Neko je napisao n pisama i adresirao n koverata. Zatim je pisma nasumice stavio ukoverte. Kolika je verovatnoca pn da bar jedno pismo dobije onaj kome je upuceno?

Odrediti limn→+∞

pn.

Resenje: Neka je Ai dogadaj da i-to pismo dospe onome kome je upuceno. Tada je

P (Ai1Ai2 · · ·Aik) =

1

n· 1

n− 1· · · 1

n− k + 1(k = 1, . . . , n).


Na osnovu formule

pn = P( n⋃

i=1

Ai

)

=n∑

i=1

P (Ai)−∑

i1<i2

P (Ai1Ai2) +∑

i1<i2<i3

P (Ai1Ai2Ai3)

+ · · ·+ (−1)k−1∑

i1<i2<···<ik

P (Ai1Ai2 · · ·Aik) + · · ·+ (−1)n−1P (A1A2 · · ·An),

imamo

pn =

(n

1

)1

n−(

n

2

)1

n

1

n− 1+

(n

3

)1

n

1

n− 1

1

n− 2+ · · ·+(−1)n−1

(n

n

)1

n!= 1− 1

2!+

1

3!+ · · ·+(−1)n−1 1

n!.

Odavde se dobija

limn→+∞

pn = 1− e−1 ≈ 0.63212... .

Zadatak 4. Igrac C treba da odigra tri sahovske partije sa igracima B i C naizmenicno. Poznato jeda je igrac A bolji od igraca B. U ovom mecu cilj igraca C je da uzastopce dobije bar dve partije. Sta jebolje za njega: da najpre igra protiv A, zatim protiv B, i potom ponovo protiv A, ili u poretku BAB?

Resenje:

Neka je PA (PB) verovatnoca da C pobedi igraca A (B). Tada su verovatnoce poraza igraca C protiv A i

B redom jednake 1 − PA i 1 − PB . Neka je WI , I ∈ 123, 12, 23, povoljan dogadaj koji znaci da je igrac Cdobio partije oznacene indeksom I. Na primer, W23 znaci da je C dobio drugu i trecu partiju. Razmotrimo dva

moguca poretka za vreme meca, ABA i BAB. Realizacija cilja igraca C (uzastopne pobede u bar dve partije)

je slozen dogadaj koji cemo oznaciti sa WABA, odnosno WBAB .

Poredak ABA:

Postoje tri razlicita nacina da C postigne bar dve pobede uzastopce, predstavljena pomocu sledecih povoljnih

dogadaja WI :1. W123, P (W123) = PA · PB · PA = P 2

APB ;

2. W12, P (W12) = PA · PB · (1− PA) = PAPB − P 2APB ;

3. W23, P (W23) = (1− PA) · PB · PA = PAPB − P 2APB .

Ovi dogadaji su medusobno iskljucivi tako da je verovatnoca posmatranog dogadaja WABA jednaka sumi

pojedinacnih verovatnoca

P (WABA) = P (W123) + P (W12) + P (W23) = PAPB(2− PA).

Poredak BAB :

Kao i u prethodnom slucaju, postoje tri povoljna dogadaja, W123, W12, i W23, sa odgovarajucim verovatnocama

P (W123) = PAP 2B , P (W12) = P (W23) = PAPB − PAP 2

B .

Prema tome,

P (WBAB) = P (W123) + P (W12) + P (W23) = PAPB(2− PB).

Na osnovu uslova zadatka je PA < PB (igrac A je bolji od igraca B) tako da je

PABA = PAPB(2− PA) > PAPB(2− PB) = PBAB .

Poslednja nejednakost dovodi do neocekivanog zakljucka: igrac C ima vece sanse da dobije bar dve partije

uzastopce ako izabere protivnike u poretku ABA, tj. ako najpre igra protiv boljeg igraca, zatim protiv slabijeg,

i ponovo protiv boljeg, nego ako igra mec u poretku BAB.


Zadatak 5. Tri kutije sadrze po 10 proizvoda. U prvoj kutiji ima 4 neispravna proizvoda, u drugoj2, a u trecoj 5. Najpre se bira kutija na slucajan nacin, a zatim se iz nje uzima slucajan uzorak od 3proizvoda. Odrediti verovatnocu da uzorak sadrzi jedino ispravne proizvode.

Resenje: Oznacimo sa Ki (i = 1, 2, 3) dogadaj da je izabrana i-ta kutija, a sa P (r) verovatnocu da uzorak

sadrzi r neispravnih proizvoda. Ocigledno je P (Ki) = 1/3. Na osnovu formule (2.2) iz primera 2.1, verovatnoca

da uzorak obima m = 3 sadrzi r ∈ 0, 1, 2, 3 neispravnih proizvoda je redom

P (r|K1) =

(4r

)(6

3−r

)

(103

) , P (r|K2) =

(2r

)(8

3−r

)

(103

) , P (r|K3) =

(5r

)(5

3−r

)

(103

) (r = 0, 1, 2, 3).

Odavde je

P (0|K1) =

(40

)(63

)

(103

) =1

6, P (0|K2) =

(20

)(83

)

(103

) =7

15, P (0|K3) =

(50

)(53

)

(103

) =1

12.

Trazenu verovatnocu nalazimo primenom formule totalne verovatnoce

P (0) = P (K1)P (0|K1) + P (K2)P (0|K2) + P (K3)P (0|K3) =1

3· 1

6+

1

3· 7

15+

1

3· 1

12=

43

180.

Na slican nacin mogu se izracunati verovatnoce P (1), P (2) i P (3).

Zadatak 6. Date su dve kutije. Prva kutija sadrzi b1 belih i c1 crnih kuglica, a druga kutija b2 belihi c2 crnih.

Iz prve kutije nasumice je izvucena jedna kuglica i prebacena u drugu kutiju. Zatim je iz druge kutijeizvucena jedna kuglica. Ako je ta izvucena kuglica bele boje, koja je verovatnoca da je kuglica koja jeprebacena iz prve u drugu kutiju bila crna?

Resenje: Uvedimo oznake: A – prebacena kuglica je crna, B – prebacena kuglica je bela, C – izvucena

kuglica je bela.

Po Bayesovoj formuli je

P (A|C) =P (A)P (C|A)

P (A)P (C|A) + P (B)P (C|B). (1)

U prvoj kutiji ima ukupno b1 + c1 kuglica, od kojih je c1 crnih. Zbog toga je P (A) =c1

b1 + c1. Slicno je

P (B) =b1

b1 + c1.

P (C|A) je verovatnoca da je iz druge kutije izvucena bela kuglica pod uslovom da je prebacena kuglica bila

crna. Kako u tom slucaju imamo ukupno b2 + c2 + 1 kuglica, od kojih su b2 bele, bice P (C|A) =b2

b2 + c2 + 1.

Slicno je P (C|B) =b2 + 1

b2 + c2 + 1. Koristeci formulu (1) dobijamo zahtevanu verovatnocu

P (A|C) =

c1b2

(b1 + c1)(b2 + c2 + 1)

c1b2

(b1 + c1)(b2 + c2 + 1)+

b1(b2 + 1)

(b1 + c1)(b2 + c2 + 1)

=c1b2

c1b2 + b1b2 + b1.

Zadatak 713 Neko je istovremeno kupio dve kutije sibica od kojih svaka sadrzi po n palidrvaca. Kadamu je bilo potrebno, on je palidrvca slucajno uzimao i iz jedne i iz druge kutije. Kolika je verovatnoca,da u momentu kada konstatuje da je jedna kutija prazna, druga sadrzi k (≤ n) komada palidrvaca?

13Ovo je zadatak poznatog poljskog matematicara S. Banacha.


Koristeci se rezultatom, naci zbir

S =n∑

k=0

2k

(2n− k

n

)

.

Resenje: Oznacimo sa A dogadaj da je palidrvce izvuceno iz prve kutije, a sa A dogadaj da je palidrvce

izvuceno iz druge kutije. Ovo je Bernoullieva sema sa P (A) = p = 12 , P (A) = 1 − p = q = 1

2 . Ako se u

momentu kada je konstatovano da je prva kutija prazna u drugoj kutiji nalazi k (≤ n) palidrvaca, to znaci da je

u tom momentu realizovano 2n− k dogadaja (n realizacija dogadaja A i n− k realizacija dogadaja A). Kako se

radi o nizu od 2n− k Bernoullievih eksperimenata, dakle o binomnoj raspodeli, verovatnoca da se dogadaj Au 2n− k nezavisnih dogadaja desio n puta jednaka je

pk = P (S2n−k = n) =

(2n− k

n

)

pnq2n−k−n =

(2n− k

n

)

22n−k,

sto predstavlja trazenu verovatnocu.

Da bismo odredili trazenu sumu (cije nalazenje pomocu standardnih metoda nije nimalo jednostavno), prime-

timo da dobijene verovatnoce cine potpuni sistem, tj.

n∑

k=0

pk = 1. Prema tome, imamo

1

22n

(2n

n

)

+1

22n−1

(2n− 1

n

)

+1

22n−2

(2n− 2

n

)

+ · · ·+ 1

2n

(n

n

)

= 1.

Mnozeci prethodnu relaciju sa 22n, dobijamo trazenu sumu

S =n∑

k=0

2k

(2n− k

n

)

=

(2n

n

)

+ 2

(2n− 1

n

)

+ 22

(2n− 2

n

)

+ · · ·+ 2n

(n

n

)

= 22n.

Zadatak 8. Covek stoji na pocetku brojne ose i baca novcic. Ako padne grb, on pravi korak udesno,a ako padne pismo jedan korak ulevo. Naci matematicko ocekivanje i disperziju apscise X koja odredujepolozaj coveka posle n bacanja novcica, ako se pretpostavi da je novcic nepravilan tako da je verovatnocada padne pismo p.

Resenje: Ako je pismo palo k puta, a grb n − k puta, tada je covek udaljen (n − k) − k = n − 2k koraka

od pocetka brojne ose, pri cemu rastojanja desno od pocetka brojne ose smatramo pozitivnim. Ocigledno je da

se slucajna promenljiva X ponasa po binomnoj raspodeli, pri cemu uzima vrednosti xk = n− 2k. Dakle, imamo

P (X = n− 2k) =n∑

k=0

(n

k

)

pkqn−k,

gde je q = 1− p verovatnoca da padne grb.

Karakteristicna funkcija slucajne promenljive X je

ϕ(t) =n∑

k=0

eitxk

(n

k

)

pkqn−k =n∑

k=0

eit(n−2k)

(n

k

)

pkqn−k = eitnn∑

k=0

(n

k

)(pe−2it

)kqn−k,

odakle je

ϕ(t) = eitn(

pe−2it + q)n

.


Prvi i drugi izvod karakteristicne funkcije ϕ dati su redom sa

ϕ′(t) = − ineint(p− qe2it

)(pe−2it + q

)n

p + qe2it,

ϕ′′(t) =i2neint

(pe−2it + q

)n(4pqe2it + n(p− qe2it)2

)

(p + qe2it

)2 ,

odakle je, uzimajuci da je p + q = 1,

ϕ′(0) = −in(p− q) = in(1− 2p), ϕ′′(0) = i2n(n(p− q)2 + 4pq

)= i2n

(n(1− 2p)2 + 4p− 4p2

).

Na osnovu ovog, matematicko ocekivanje i disperzija su jednaki

E(X) =ϕ′(0)

i= n(1− 2p), D(X) =

ϕ′′(0)

i2− E(X)2 = 4np(1− p).

Primetimo da u slucaju ,,fer” novcica (p = q = 12 ) dobijamo ocekivani rezultat E(X) = 0.

Zadatak 9. Branko i Mirko bacaju novcic svaki po n puta. Kolika je verovatnoca da se i kod Brankai kod Mirka pismo pojavi isti broj puta.

Resenje: Uvedimo sledece oznake:

Bk – u n bacanja kod Branka se pismo pojavilo k puta;

Mk – u n bacanja kod Mirka se pismo pojavilo k puta;

A – u n bacanja pismo se pojavilo isti broj puta i kod Branka i kod Mirka.

Potrebno je odrediti verovatnocu P (A). Dogadaj A mozemo rastaviti na n + 1 disjunktnih dogadaja prema

broju pojavljivanja pisma:

A = B0M0 + B1M1 + · · ·+ BnMn.

Odavde je

P (A) = P (B0M0)+P (B1M1)+· · ·+P (BnMn) = P (B0)P (M1)+P (B1)P (M1)+· · ·+P (Bn)P (Mn). (1)

Za dodadaje Bk i Mk vazi binomna raspodela te je

P (Bk) = P (Mk) =

(n

k

)(1

2

)k(1

2

)n−k

=1

2n

(n

k

)

.

Zamenom u (1) dobijamo

P (A) =n∑

k=0

1

2n

(n

k

)

· 1

2n

(n

k

)

=1

22n

n∑

k=0

(n

k

)2

. (2)

Sumu koja se javlja na desnoj strani formule (2) naci cemo koristeci primer 2.1 koji cemo za nase potrebe

preformulisati na sledeci nacin:

U partiji od 2n proizvoda n je neispravno. Odrediti verovatnocu da od n slucajno izabranih proizvoda tacno

k budu neispravna.

Na osnovu resenja datog formulom (2.2) nalazimo trazenu verovatnocu pk :

pk =

(n

k

)(2n− n

n− k

)

(2n

n

) =

(2n

n

)−1(n

k

)2

,


pri cemu smo iskoristili jednakost(

nn−k

)=(nk

). Kako verovatnoce p0, p1, . . . , pn cine potpun sistem, imamo

n∑

k=0

pk = 1, tako da je

(2n

n

)−1 n∑

k=0

(n

k

)2

= 1, odakle je

n∑

k=0

(n

k

)2

=

(2n

n

)

.

Na osnovu ovog rezultata iz (2) sledi

P (A) =1

22n

(2n

n

)

.

Zadatak 10. Slucajna promenljiva X uzima vrednosti 0, 1, 2, . . . sa verovatnocama koje opadaju pogeometrijskoj progresiji. Odrediti matematicko ocekivanje za slucajnu promenljivu X.

Resenje: Prema uslovu zadatka imamo

P (X = n) = c · rn (0 < r < 1),

gde je r kolicnik geometrijske progresije, a c konstanta koju treba odrediti. Da bismo nasli c, primetimo da je

+∞∑

n=0

P (X = n) = 1 ⇒+∞∑

n=0

crn = 1 ⇒ c

1− r= 1 ⇒ c = 1− r.

Prema tome, zakon verovatnoca je definisan sa

P (X = n) = (1− r)rn.

Matematicko ocekivanje i disperzija mogu se odrediti preko pocetnih momenata E(X) i E(X2) koji se nalaze

sumiranjem geometrijskih redova. Jednostavniji nacin je koriscenje karakteristicne funkcije. Tako imamo

ϕ(t) =+∞∑

n=0

eitnP (X = n) =+∞∑

n=0

eitn(1− r)rn = (1− r)+∞∑

n=0

(reit)n

=1− r

1− reit.

Prvi i drugi izvod karakteristicne funkcije ϕ dati su sa

ϕ′(t) =i(1− r)eit

(1− reit)2, ϕ′′(t) =

i2(1− r)reit(1 + reit

)

(1− reit)3,

te je

ϕ′(0) =ir

1− r, ϕ′′(0) =

i2r(1 + r)

(1− r)2.

Odavde je

E(X) =ϕ′(0)

i=

r

1− r, E(X2) =

ϕ′′(0)

i2=

r(1 + r)

(1− r)2,

D(X) = E(X2)− E(X)2 =r

(1− r)2.

Zadatak 11. U horizontalnoj ravni su nacrtane medusobno paralelne linije na jednakom rastojanju a.Na ovu ravan nasumice je bacen ram (kontura) u obliku pravilnog mnogougla ciji je strana d manja od a.Naci verovatnocu da ram presece jednu od paralelnih pravih. Cemu je jednaka verovatnoca u granicnomslucaju kada kontura postane krug?

Resenje: Oznacimo sa A dogadaj da ram presece neku od pravih. Numerisimo strane mnogougla od 1 do

n, pri cemu je svaka strana duzine di < a. Primetimo da ako prava sece ram, tada ona sece dve njegove strane.

Neka je Aij dogadaj da proizvoljna prava presece strane i i j mnogougla, i neka je pij = pji verovatnoca ovog

dogadaja. Tada je

A = (A12 + A13 + · · ·+ A1n) + (A23 + A24 + · · ·+ A2n) + · · ·+ (An−2,n−1 + An−2,n) + An−1,n.


Slika 1

Dogadaji Aij su medusobno nesaglasni pa je

p = P (A) =[P (A12) + P (A13) + · · ·+ P (A1n)

]+[P (A23) + P (A24) + · · ·+ P (A2n)

]

+ · · ·+[P (An−2,n) + P (An−2,n)

]+ P (An−1,n)

= (p12 + p13 + · · ·+ p1n) + (p23 + p24 + · · ·+ p2n) + · · ·+ (pn−2,n−1 + pn−2,n) + pn−1,n.

Kako je pij = pji, pii = 0, imamo

p =1

2

[(p12 + p13 + · · ·+ p1n) + (p21 + p23 + · · ·+ p2n) + · · ·+ (pn1 + pn2 + · · ·+ pn,n−1)

]

=1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

j 6=i

pij =1

2

n∑

i=1

pi.

Ovde smo uveli verovatnocu pi =n∑

j=1

j 6=i

pij koja vredstavlja verovatnocu preseka i-te strane, sto je ekvivalentno

Buffonovom problemu (videti 4. odeljak). Iz primera 4.2 vidimo da je verovatnoca preseka pi data sa

pi =2di

πa,

pa je trazena verovatnoca jednaka

p =1

2

n∑

i=1

2di

πa=

n∑

i=1

di

πa=

L

πa,

gde je L obim mnogougla.

Ako n → +∞, tada ram postaje kruznica obima L = 2πr, pa je na osnovu prethodnog rezultata

p =2πr

πa=

2r

a.

Zadatak 12. Odrediti verovatnocu da koreni kvadratne jednacine

x2 + bx + c = 0 (−s < b < s; −t < c < t)

budu kompleksni.


Resenje: Uslov da koreni budu kompleksni je da diskriminanta jednacine bude negativna, tj. b2 − 4c < 0.Prema tome, da bi koreni bili kompleksni tacka (b, c) treba da lezi u onom delu ravni Obc koji se nalazi iznad

parabole b2 = 4c i unutar pravougaonika cija su temena (±s,±t) (slika 2). Povrsina tog dela ravni (povoljni

slucajevi) data je sa

S =

4t√

t− 2

2√

t∫

0

b2

4db =

8√

t

3(s2 ≥ 4t),

2st− 2

s∫

0

b2

4db =

12st− s3

6(s2 ≤ 4t).

Slika 2

Kako je povrsina pravougaonika S1 = 4st (moguci slucajevi), trazena verovatnoca je

p =S

S1=

2√

t

3s(s2 ≥ 4t),

12t− s2

24t(s2 ≤ 4t).

Zadatak 13. Funkcija gustine FX je definisana na sledeci nacin:

FX =

1, x ≥ a,

A + B arcsin xa , −a < x < a,

0, x ≤ −a.

a) Odrediti A i B tako da funkcija FX bude neprekidna.

b) Naci verovatnocu dogadaja

X ∈(

−a

2,a

2

)

.

c) Naci funkciju gustine raspodele fX .

Resenje:

a) Kako je FX neprekidna funkcija u (−a, a), odredicemo A i B tako da je

limx→−a+

FX(x) = A + B arcsin(

−a

a

)

= A− π

2B = 0, lim

x→a−FX(x) = A + B arcsin

(a

a

)

= A +π

2B = 1.

Iz dobijenog sistema jednacina nalazimo A =1

2, B =

1

π.


b) Na osnovu relacije P (a < X < b) = FX(b)− FX(a), nalazimo

P(

X ∈(

−a

2,a

2

))

= FX

(a

2

)

− FX

(

−a

2

)

=π

6

1

π+

π

6

1

π=

1

3.

c) Kako je fX(x) =(FX(x)

)′, to je

fX(x) =

1

π√

a2 − x2, x ∈ (−a, a),

0, x /∈ (−a, a).

Zadatak 14. Na duzi AB (AB = a) nasumice su izabrane dve tacke M i N. Odrediti verovatnocu daje MN < b (b < a). Takode, odrediti matematicko ocekivanje i disperziju za rastojanje MN.

Resenje: Stavimo AM = x, AN = y. Na osnovu ovog sledi da tacka (x, y) moze lezati u kvadratu

K : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a. Uslov MN < b ekvivalentan je uslovu |x− y| < b, pa se tacka (x, y) mora nalaziti

u onom delu kvadrata S za cije tacke (x, y) vazi |x − y| < b. Trazena verovatnoca jednaka je odnosu povrsina

oblasti S i povrsine kvadrata K, tj.

P (MN < b) =a2 − (a− b)2

a2=

b(2a− b)

a2

(videti primer 4.1 i sliku 4.1).

Stavimo da je X = MN. Na osnovu dobijenog zakona verovatnoce, funkcija raspodele je

F (x) = 0 (x ≤ 0), F (x) =x(2a− x)

a2(0 ≤ x ≤ a), F (x) = 1 (x ≥ 1).

Odavde sledi da je funkcija gustine raspodele

f(x) =(

F (x))′

=2a− 2x

a2(0 ≤ x ≤ a), f(x) = 0 (x /∈ (0, a)).

Nadimo pocetne momente prvog i drugog reda. Imamo

E(X) =

+∞∫

−∞

xf(x)dx =2

a2

a∫

0

(ax− x2)dx =a

3.

Slicno je

E(X2) =

+∞∫

−∞

x2f(x)dx =2

a2

a∫

0

(ax2 − x3)dx =a2

6.

Odavde je

D(X) = E(X2)− E(X)2 =a2

18.

Zadatak 15. Slucajna promenljiva X ima funkciju gustine raspodele

f(x) =xm

m!e−x (x ≥ 0, m ∈ N).


Koristeci nejednakost Cebiseva dokazati nejednakost

P(0 < X < 2(m + 1)

)>

m

m + 1.

Resenje: Kako je

E(X) =

+∞∫

−∞

xf(x)dx =

+∞∫

−∞

xm+1

m!e−xdx,

uzastopnom primenom parcijalne integracije dobijamo

E(X) = m + 1.

Istim postupkom nalazimo pocetni moment drugog reda:

E(X2) =

+∞∫

−∞

x2f(x)dx =

+∞∫

−∞

xm+2

m!e−xdx = (m + 1)(m + 2).

Kako je

D(X) = E(X2)− E(X)2 = (m + 1)(m + 2)− (m + 1)2 = m + 1,

na osnovu Cebisevljeve nejednaksti dobijamo

P(0 < X < 2(m+1)

)= P

(|X − (m+1)| < m+1

)= P

(|X −E(X)| < m+1

)> 1− D(X)

(m + 1)2=

m

m + 1.

Zadatak 16. Tri tacke su nasumice izabrane u beskonacnoj ravni. Kolika je verovatnoca da ove tackepredstavljaju temena tupouglog trougla?

Resenje: Pretpostavimo da su A, B i C slucajno izabrane tacke. Neka je |AB| najduze rastojanje od mogucih

rastojanja |AB|, |BC| i |CA| izmedju tacaka A, B i C. Uzmimo da je AB najduza stranica trougla 4ABC i

nad njom konstruisimo polukrug AFB (vidi sliku 3). Takodje, sa centrima u tackama A i B i poluprecnikom

|AB| konstruisimo lukove BDX i AEX koji se seku u tacki X. Na ovaj nacin je dobijen ravnostran trougao

4ABX.

A B

D

FE

X

Sl. 3

Sa slike 3 je ocigledno da


1) trece teme C bilo kog tupouglog trougla 4ABC ne moze se naci izvan oblasti ABDXE (jer bi, u suprot-

nom, jedna stranica bila duza od |AB|, sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je AB najduza stranica);

2) ako je trece teme C unutar polukruga AFB, tada je trougao 4ABC tupougli, ako je teme C izvan

ovog polukruga, trougao je ostrougli. U oba slucaja smatramo da je teme C unutar oblasti ABDXE saglasno

zakljucku 1). Verovatnoca da se trece teme nade na polukruznici (slucaj pravouglog trougla) jednaka je 0 u smislu

geometrijske verovatnoce.

Oznacimo sa P (T ) verovatnocu da trougao 4ABC bude tupougli i neka SAFB , SABDXE i SABDX pred-

stavljaju redom povrsine poludiska AFB, oblasti ABDXE i sektora ABDX (sestina kruga poluprecnika |AB|).Na osnovu 1) i 2) imamo

P (T ) =SAFB

SABDXE.

Neka je |AB| = 2a. Tada je

SAFB =πa2

2,

SABDXE = 2 · SABDX − S4ABX = 2(4πa2

6

)

− a2√

3 = a2(4π

3−√

3)

.

Prema tome, trazena verovatnoca je jednaka

P (T ) =π/2

4π/3−√

3=

3

8− 6√

3/π≈ 0.6394.

Zadatak 17. U urni se nalazi a belih i b crnih kuglica. Dva igraca naizmenicno izvlace iz urne pojednu kuglicu, vracajuci izvucenu kuglicu ponovo natrag. Pobeduje onaj koji je izvukao prvi belu kuglicu.Odrediti verovatnocu da pobedi igrac koji je prvi poceo sa izvlacenjem.

Zadatak 18. Svaki od koeficijenata kvadratne jednacine ax2 + bx + c = 0 odreden je bacanjem jednekocke. Kolika je verovatnoca da koreni ove jednacine budu realni?

Zadatak 19. U voz koji ima n vagona ulazi k (≥ n) putnika, koji biraju vagone slucajno. Odreditiverovatnocu da u svaki vagon ude bar jedan putnik.

Zadatak 20. Slucajna promenljiva X moze da uzme celu pozitivnu vrednost n sa verovatnocom 3−n.Naci matematicko ocekivanje za X.

Zadatak 21. Na duzi AB (AB = 1) nasumice se bira n− 1 tacaka. Odrediti verovatnocu da se odn tako dobijenih duzi moze konstruisati poligon od n strana.

Zadatak 22. Slucajna velicina X uzima vrednosti iz skupa N0 (= 0 ∪ N) sa verovatnocama

P (X = n) =M

(a + n)(a + n + 1)(a + n + 2)(n = 0, 1, . . . ).

a) Odrediti a ako je E(X) = A (A zadati broj).

b) Izracunati disperziju D(X).

c) Naci P (X ≤ 10).

Zadatak 23. Naci karakteristicnu funkciju za diskretnu slucajnu promenljivu X za koju je

P (X = m) =am

(1 + a)m+1(a > 0, m = 0, 1, . . . ),

i na osnovu toga odrediti matematicko ocekivanje.


Zadatak 24. Slucajna promenljiva X ima funkciju gustine raspodele

f(x) = b exp(

−|x−m|a

)

(a > 0).

Odrediti konstantu b, matematicko ocekivanje i disperziju slucajne promenljive X.

Zadatak 25. Funkcija raspodele verovatnoce broja elemenata X koji su otkazali, a nakon cega dolazido prestanka rada uredaja, ima oblik

F (x) = 1− e−ax (x ≥ 0, a > 0).

Naci matematicko ocekivanje i disperziju slucajne promenljive X.

Zadatak 26. Osoba A dobila je jednu informaciju koju pomocu signala ,,da” ili ,,ne” prenosu osobiB; na isti nacin ovu informaciju osoba B prenosi osobi C, a ova osobi D. Zadnja osoba objavljuje rezultatdobijene informacije. Poznato je da svaka od ovih osoba govori istinu samo u jednom u tri slucaja. Kolikaje verovatnoca da je prva osoba rekla istinu ako je cetvrta osoba rekla istinu?

Zadatak 27. Drustvo od n muskaraca i n zena nasumice se rasporeduje duz jedne strane pravougao-nog stola. Odrediti verovatnocu da dve osobe istog pola ne sede jedna do druge.

Zadatak 28. Jedna tacka se krece u ravni. U svakom polozaju ona ima verovatnocu p da iz polozaja(x, y) prede u polozaj (x, y + 1) (x, y celi brojevi) i verovatnocu q (p + q = 1) da iz polozaja (x, y) predeu polozaj (x+1, y). Odrediti verovatnocu da tacka polazeci iz polozaja O(0, 0) dospe: 1 u tacku A(a, b);2 na duz MN gde je M(n, 0), N(n, n).

Zadatak 29. Funkcija gustine verovatnoce slucajne promenljive X je

f(x) = Ax2e−kx (x ≥ 0, k > 0).

Odrediti konstantu A, funkciju raspodele F, verovatnocu P (0 < X < 1/k) i matematicko ocekivanjeE(X).

Zadatak 30. Partija od N proizvoda sadrzi M neispravnih. Iz partije se, kontrole radi, nasumice biran proizvoda. Ako se medu n izabranih predmeta nade vise od m neispravnih, odbacuje se cela partija.Naci verovatnocu da se partija prihvati.

verovatnoca -...

Documents