vektorianalyysii mat21003 - courses · 2019. 10. 11. · kuva6:esimerkin1.2.1graaﬁ= t0 x 1;x 2; t...

Vektorianalyysi IMAT21003

Ritva Hurri-SyrjänenHelsingin yliopisto

11. lokakuuta 2019

Vektorianalyysi I SISÄLTÖ

Sisältö

Sisältö 1

Luennot syyslukukaudella 2017 3

Esimakua 4

Kertaus 5

1 Euklidinen avaruus 61.1 Euklidinen avaruus ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Karteesinen tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Vektoriavaruus ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Avaruus ℝn on n-ulotteinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Avaruuden ℝn sisätulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden ℝn joukoille . . . . . . . . . . . . . 71.1.14 Täydellinen metrinen avaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.15 Joukon halkaisijan merkintä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Vektorifunktioista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Funktion graafin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Funktion tasa-arvojoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Jonot avaruudessa ℝn ja jonojen suppeneminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Suppenemisen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Cauchy-ehto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 122.1 Raja-arvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Raja-arvon määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Differentiaalilaskentaa avaruudessa ℝn 16

3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä . . . . . . . 173.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Lause 3.1.14: Clairautin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Suunnatuista derivaatoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Tangenttitasoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.7 Kuvauksen approksimoinnista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä . . . . . . . . . . . . 253.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.3 Avaruuden ℝn vektorien esityksestä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori . . . . . . . . . . . . . . 253.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa) . . . . . . . 26

3.5 Gradientista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.1 Gradientin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Derivaatasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6.1 Derivaatan määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

RHS, laajennettu versio 11. lokakuuta 2019 Sivu 1

Vektorianalyysi I SISÄLTÖ

3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7 Derivoimissääntöjä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Lause 3.7.1: Summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Lause 3.7.2: Tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Lause 3.7.4: Ketjusääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.8 Ketjusääntö I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.9 Ketjusääntö II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.10 Suunnatun derivaatan maksimointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.11 Gradientin geometrinen merkitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Osittaisderivaatoista ja ääriarvoista 404.1 Korkeammat osittaisderivaatat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Korkeampien osittaisderivaattojen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Ck ja C∞ -funktioiden määritelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Korkeammat differentiaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 Korkeampien differentiaalien määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Taylorin kaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.1 Kertaus yhden muuttujan Taylorin kaavasta . . . . . . . . . . . . . . . . 43Lause 4.3.2: Taylorin kaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.4 Taylorin polynomin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.12 Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause . . . . . . . . . . 45Lause 4.3.13: Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause . . . . . . . 45

4.4 Kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.1 Ääriarvojen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.11 Kriittisen pisteen ja satulapisteen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . 474.4.13 Mahdollisten ääriarvopisteiden laadun etsiminen. . . . . . . . . . . . . . 48

5 Kertausta vektorifunktioista 54

6 Vektorifunktioiden derivaatat 55Määritelmä 6.0.1: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x0 . . . . 55Määritelmä 6.0.2: Differentioituva kuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Lause 6.0.4: Pisteessä xo differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä . . 55Määritelmä 6.0.7: Affiini kuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Derivoimissääntöjä 58Lause 7.0.1: Summafunktion differentioituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Lause 7.0.3: Tulofunktion differentioituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Korollaari 7.0.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus . . . . . . . . . . 58Lause 7.0.6: Sisätulon differentioituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Lause 7.0.7: Ketjusääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta 61Määritelmä 8.0.1: Suunnattu derivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Määritelmä 8.0.5: Osittaisderivaatat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9 Jacobin matriisi 64Määritelmä 9.0.3: Jacobin matriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Määritelmä 9.0.6: Jacobin determinantti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10 Differentioituvuudesta 66Määritelmä 10.0.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.1 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Viitteet 68


Vektorianalyysi I LUENNOT SYYSLUKUKAUDELLA 2017

Luennot syyslukukaudella 2017

Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessaℝn, n ≥ 2, määriteltyjen reaaliarvoisten vektorifunk-tioiden differentiaalilaskennan perusteita.Luentojen runkona olen seurannut Olli Martion kirjaa ’Vektorianalyysi’. Luentoja tehdessäni olenkäyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonistetta ’Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksis-sa’, omia ’Differentiaalilaskenta’ luentojani ja James Stewartin kirjaa ’Calculus. Early Transcen-dentals.’Ilmari Lehmusoksalle, Outi Bomanille ja Saara E. Pesoselle suurkiitos luentojen LATEX:lla kir-joittamisesta. Ilmarille myös suurkiitos kuvien piirtämisestä. Kiitos kaikille luennoille osallistu-neille.

Helsingissä 20.10.2017Ritva Hurri-Syrjänen


Vektorianalyysi I ESIMAKUA

Esimakua

(a) x↦ x3 (b) x↦ x2 (c) x↦ |x|

Kuva 1: Funktioiden f ∶ ℝ ⟶ ℝ kuvaajia analyysin kursseilta.

(a) f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f ∶ u ↦‖u‖2 (b) g∶ ℝ2 ⟶ ℝ, g∶ x↦‖x‖

Kuva 2: Reaaliarvoisten vektorifunktioiden kuvaajia. Vasemmanpuoleinen graafi on tarkemminjoukko S =

{

x ∈ ℝ3 ∶ x =(

u,‖u‖2)

, u ∈ ℝ2}

.

(a,b,c)

ab

c

Kuva 3: Pinta S ={

(x, y, z) ∈ ℝ3 ∶ z = x2 − y2 + 12 , (x, y) ∈ ℝ2

}

vektoriavaruudessa ℝ3 japinnan piste (a, b, c).


Vektorianalyysi I KERTAUS

Kertaus

Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus ℝ2 koostuu lukupareista (x1, x2), missä x1 ja x2 ovatreaalilukuja eli:ℝ2 =

{

(x1, x2) ∣ x1, x2 ∈ ℝ}

missä ℝ on reaalilukujen joukko.Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x1, x2) ja (u1, u2)määritelty luonnollinen vektorisum-ma eli yhteenlasku:

(x1, x2) + (u1, u2) = (x1 + u1, x2 + u2)

ja reaalisella skalaarilla � ∈ ℝ kertominen:�(x1, x2) = (�x1, �x2).

Muistutus! (ℝ2,+) on Abelin ryhmä, nolla-alkiona 0 = (

0, 0) ja vasta-alkiona −a kun a ∈ ℝ2.


Vektorianalyysi I 1. EUKLIDINEN AVARUUS

1 Euklidinen avaruus

1.1 Euklidinen avaruus ℝn

1.1.1 Karteesinen tulo

Joukkoℝn = ℝ×ℝ×…×ℝ onℝ avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruusℝn, n = 1, 2,… määritellään joukkona:

ℝn ={

(x1,… , xn) ∶ xk ∈ ℝ, k = 1, 2,… , n}

, (1.1.2)missä x1,… , xn on reaalilukujono, jossa on n-termiä.Vektori

x = (x1,… , xn)

on avaruuden ℝn alkio, kunhan x1,… , xn ∈ ℝ.Luku xk on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti.

1.1.3 Vektoriavaruus ℝn

Olkoot (x1,… , xn) ∈ ℝn ja (y1,… , yn) ∈ ℝn. Tällöin vektroreille määritellään:(a) yhteenlasku

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,… , xn + yn)

(b) skalaarilla kertominen�x = (�x1,… , �xn) � ∈ ℝ

(c) sekä nolla-alkio0 = (0,… , 0) ∈ ℝn ; x + 0 = x.

1.1.4 Avaruus ℝn on n-ulotteinen

Avaruus ℝn on n-uloitteinen eli dim ℝn = n. Yksikkövektorite1 = (1, 0,… , 0),e2 = (0, 1,… , 0),⋮

en = (0, 0,… , 1)

muodostavat avaruuden ℝn luonnollisen kannan eli kanonisen kannan.Jokaisella vektorilla x = (x1, x2,… , xn) ∈ ℝn on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla:

x = x1e1 +… xnen =n∑

k=1xkek.

1.1.5 Avaruuden ℝn sisätulo

1. Kuvaus (x, y)↦ x ⋅ y, ℝn ×ℝn ⟶ ℝ, joka määritellään

x ⋅ y = x1y1 +…+ xnyn =n∑

k=1xkyk, (1.1.6)

kun x = (x1,… , xn) ∈ ℝn ja y = (y1,… , yn) ∈ ℝn, on sisätulo (eli skalaaritulo elipistetulo) avaruudessa ℝn. Merkitään myös (x ∣ y).



2. Vektoriavaruus ℝn varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen ava-ruus ℝn.

3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruudenℝn euklidinen normi on kuvaus:‖⋅‖ ∶ ℝn ⟶ R+ = {t ∈ ℝ ∣ t ≥ 0}, ‖x‖ =

√

x ⋅ x, x ∈ ℝn.

Huomaa!√

x ⋅ x =√

x21 + x22 +…+ x2n

ja luku√x ⋅ x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden.4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu:

ei ⋅ ej = �i,j =

{

1, kun i = j0, kun i ≠ j, kun i, j = 1, 2, 3,… , n.

(1.1.7)

Jossa �i,j on Kroneckerin symboli. Lisäksi:

x =n∑

k=1xkek =

n∑

k=1(x ⋅ ek)ek

5. Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö|x ⋅ y| ≤‖x‖ ⋅‖y‖ , kun x, y ∈ ℝn.

1.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys

Avaruuteen ℝn tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden ℝn

euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d,d ∶ ℝn ×ℝn ⟶ ℝ+, että d(x, y) =‖x − y‖ , kun x, y ∈ ℝn.

Huomautus 1.1.9. Kaava d(x, y) = ‖x − y‖ määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyydeneuklidisen metriikan suhteen.Huomautus 1.1.10. Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa ℝn.

‖x‖max = max1≤i≤n

|

|

xi||

‖x‖abs =n∑

i=1

|

|

xi||

Näille pätee, että‖x‖max ≤‖x‖ ≤‖x‖abs ≤ n ⋅‖x‖max .

1.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden ℝn joukoille

Avaruuden ℝn topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta.1. Olkoon x0 ∈ ℝn. Kun r > 0, niin

B(x0, r) = Bn(x0, r) = {x ∈ ℝn ∣‖‖

x − x0‖‖ < r} (1.1.12)on ℝn avaruuden x0-keskinen, r-säteinen avoin pallo.Kun r > 0, niin

B(x0, r) = {x ∈ ℝn ∣‖‖

x − x0‖‖ ≤ r} (1.1.13)on ℝn avaruuden x0-keskinen, r-säteinen suljettu pallo.



r

x0

r

x0

Kuva 4: Avoin pallo B(x0, r) ja suljettu pallo B(x0, r).

2. Joukon A ⊂ ℝn sisus eli sisäpisteiden joukko int A määritellään:int A =

{

x ∈ A ∣ ∃ r > 0 siten, että B(x, r) ⊂ A} .Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = int A. Merkitään: A ⟃ℝn.

3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ys-tö). Pallo Bn(x, r) on erikoistapaus tästä.

4. Piste x ∈ ℝn on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo Bn(x, r) sisältäääärettömän monta joukon A pistettä.

5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo Bn(x, r) sisältää sekä joukon A ettäjoukon A kompelementin ℝn ⧵ A pisteitä. Reunaa merkitään

)A ={

x ∈ ℝn ∶ x on joukon A reunapiste.}

Joukon A sulkeuma on A = int A ∪ )A.

r

x0y′

x′

)A

A

Kuva 5: Joukon A reunapiste x0. Tässä x′ ∈ A ∩ Bn(x0, r) ja y′ ∈ (ℝn ⧵ A) ∩ Bn(x0, r).

1.1.14 Täydellinen metrinen avaruus

Avaruus ℝn on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden ℝn Cauchy-jono suppenee.



1.1.15 Joukon halkaisijan merkintä

Epätyhjän joukon A ⊂ ℝn, A ≠ ∅, halkaisija diam (A) määritelläändiam (A) = sup

x,y∈Ad(x, y) = sup

x,y∈A‖x − y‖ ≤ ∞. (1.1.16)

Joukko on rajoitettu, jos A = ∅ tai jos diam (A) < ∞.

1.2 Vektorifunktioista

Kuvaus f ∶ ℝn ⟶ ℝp, missä n > 1 tai p > 1, on vektorifunktio. Erityisesti(a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p ≥ 2,(b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1.

Esimerkki 1.2.1 Olkoon kuvaus g∶ ℝ2 ⟶ ℝ, joka määritellään (x1, x2)↦√

9 − x21 − x22.

Kuvauksen määrittelyjoukko onD = {(x1, x2) ∣ 9 − x21 − x

22 ≥ 0} = {x

21 + x

22 ≤ 9} = B2(0, 3).

Kuvajoukko on{

x3 ∣ x3 =√

9 − x21 − x22 ; (x1, x2) ∈ D

}

.

Koskax3 ≥ 0 ja x21 + x

22 ≥ 0, niin

√

9 − x21 − x22 ≤ 3.

Siis kuvauksen arvojoukko on [0, 3].

Graaf i =

{

(

x1, x2,√

9 − x21 − x22

)

∣ (x1, x2) ∈ D

}

.

(0, 3, 0)(3, 0, 0)

(0, 0, 3)

x1

x2

x3

Kuva 6: Esimerkin 1.2.1 graafi ={

(

x1, x2,√

9 − x21 − x22

)

| (x1, x2) ∈ D

}

.

1.2.2 Funktion graafin määritelmä

Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko onD, niin funktion fgraafi on joukko

{

(x1, x2, x3) ∈ ℝn ∣ x3 = f (x1, x2) ; (x1, x2) ∈ D}

.



Esimerkki 1.2.3 Kuvaus f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, u↦‖u‖2 määrittelee avaruuteen ℝ3 pinnan

S ={

x ∈ ℝ3|x =(

u,‖u‖2)

, u ∈ ℝ2}

.

Esimerkki 1.2.4 Kuvaus ℎ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, ℎ(x)↦‖x‖. Kuvauksen h graafi on joukko{

(

x1, x2, ℎ(x1, x2))

∈ ℝ3|(

x1, x2)

∈ ℝ2}

(a) f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f ∶ u ↦‖u‖2 (b) ℎ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, ℎ∶ x↦‖x‖

Kuva 7: Esimerkkien 1.2.3 ja 1.2.4 kuvauksien graafit.

1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko

Kuvauksen f ∶ A⟶ ℝ, A ⊂ ℝn, vakiota r ∈ f (A) vastaava tasa-arvojoukko onSf (r) =

{

x ∈ A ∶ f (x) = r}

.

Jos f on ”riittävän” siisti (säännöllinen), niin Sf (r) on (n − 1)–ulotteinen pinta avaruudessa ℝn.Esimerkki 1.2.6 Määritä kuvauksen f ∶ ℝn ⟶ ℝ, x↦‖x‖2, tasa-arvojoukko.Tasa-arvojoukko on

Sf (r2) ={

x ∈ ℝn|f (x) =‖x‖2 = r2

}

= Sn−1(0, r)

eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa ℝn.Esimerkki 1.2.7 Määritä funktiolle f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, x↦ x1x2, tasa-arvokäyrät.Tasa-arvokäyrät

Sf (r) ={

x ∈ ℝ2|f (x) = x1x2 = r}

ovat hyperbelejä.Huomautus! Tasa-arvokäyrä f (x1, x2) = k on kaikkien niidenmäärittelyjoukon pisteiden joukko,joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo käyrä näyttää missä graafilla on korkeus k.



x1

x2

r = 1r = −1

r = −1r = 1

Kuva 8: Esimerkin 1.2.7 tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = −1.

1.3 Jonot avaruudessa ℝn ja jonojen suppeneminen

Avaruuden ℝn jono on kuvaus'∶ ℕ ⟶ ℝn.

Sen arvoja '(k) merkitään alaindeksillä 'k eli '(k) = 'k ja itse jonon merkintä on ('k)∞k=1.Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on xk. Jonolle käytetään merkintää:(xk) = (xk)∞k=1, missä xk = '(k).

1.3.1 Suppenemisen määritelmä

Olkoon (xk) jono avaruudessa ℝn. Olkoon a ∈ ℝn. Jono (xk) suppenee kohti pistettä a ∈ ℝn,jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k0 ∈ ℕ siten, että xk ∈ U kaikillak ≥ k0. Merkitään

xk ⟶ a, kun k→∞, limk→∞

xk = a tai limk→∞

‖

‖

xk − a‖‖ = 0.

Alkiota a sanotaan jonon xk raja-arvoksi eli raja-alkioksi.Huomautus 1.3.2. Jonoista

1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen.2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu.

1.3.3 Cauchy-ehto

Avaruuden ℝn jono (xk) on Cauchy-jono, jos jokaisella " > 0 on olemassa k" ∈ ℕ siten, että‖

‖

‖

xj − xk‖

‖

‖

< " aina kun j, k > k".Huomautus 1.3.4. Suppeneva jono on Cauchy-jono.Avaruudessa ℝn on myös käänteinen tulos:Lause 1.3.5. Avaruus ℝn on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa ℝn on suppeneva.

Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis.


Vektorianalyysi I 2. REAALIARVOISET VEKTORIFUNKTIOT

2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot

2.1 Raja-arvo

2.1.1 Raja-arvon määritelmä

Olkoon A ⊂ ℝn ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f ∶ A ⟶ ℝ on pisteessä araja-arvo b ∈ ℝ joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle " > 0 on olemassa �a," = � > 0 siten,että

|

|

f (y) − b||

< " , aina kun y ∈ A ja 0 <‖y − a‖ < �.Merkitään

limy→a

f (y) = limy→a

y∈A⧵{a}

f (y) = b

Huomautus 2.1.2. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen.Huomautus 2.1.3. OlkoonA ⊂ ℝn ja f ∶ A⟶ ℝ ja a joukonA kasautumispiste. Olkoon b ∈ ℝ.Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a ∈ A, jos jokaisella jonolla (xk), jolla xk ∈ A, xk ≠ a jaxk → a, pätee, että f (xk)→ b.Esimerkki 2.1.4 Osoitetaan, että raja-arvoa

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

ei ole olemassa.Ratkaisuehdotus. Olkoon f ∶ ℝ2 ⧵

{

0}

⟶ ℝ, f (x, y) = x2−y2x2+y2 . Ensin lähestytään pistettä (0, 0)

pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f (x, 0) = x2

x2 = 1 kaikilla x ≠ 0. Siis f (x, y) → 1, kun(x, y) → 0 pitkin x-akselia. Lähestytään origoa nyt pitkin y-akselia, eli x = 0. Silloin f (0, y) =−y2y2 = −1, kaikilla y ≠ 0. Siis f (x, y) → −1, kun (x, y) → (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiollaf ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen.

xy

z

Kuva 9: Esimerkin 2.1.4 tilanne: funktion z = f (x, y) = x2−y2x2+y2 kuvaaja ja origon lähestyminen

sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin.

Esimerkki 2.1.5 Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa

lim(x,y)→(0,0)

sin(

x2 + y2)

x2 + y2

olemassa.



Esimerkki 2.1.6 Selvitä, onko raja-arvoa

lim(x,y)→(0,0)

3x2yx2 + y2

olemassa.Ratkaisuehdotus. Valitaan y = x2. Silloin

3x2yx2 + y2

= 3x4

x2 + x4= x23x2

x2(

1 + x2) → 0, kun x→ 0 ja x ≠ 0.

Valitaan x = y2. Silloin3x2yx2 + y2

=3y5

y4 + y2=

y23y3

y2(

y2 + 1) → 0, kun y→ 0 ja x ≠ 0.

Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa!

x

y

z

Kuva 10: Esimerkin 2.1.6 tilanne: funktion z = f (x, y) = 3x2y2x2+y2 kuvaaja ja origon lähestyminen

käyrää x = y2 pitkin (punaisella).

Olkoon " > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään � > 0 siten, että jos

0 <‖‖

(x, y) − (0, 0)‖‖

< �, niin|

|

|

|

|

3x2yx2 + y2

− 0|

|

|

|

|

< ".

(

Huomaa:‖‖

(x, y) − (0, 0)‖‖

=‖‖

(x, y)‖‖

=√

x2 + y2.)

Siis etsitään �" > 0 siten, että jos 0 <√

x2 + y2 < �", niin 3x2|y|x2+y2 < ". Nyt

3x2|y|x2 + y2

∗∗≤ 3|y| = 3

√

y2 ≤ 3√

x2 + y2, ** sillä 0 < x2 ≤ x2 + y2.

Jos nyt valitaan �" = "∕3, niin|

|

|

|

|

3x2yx2 + y2

− 0|

|

|

|

|

≤ 3√

x2 + y2 < 3�" =3"3= ".

Siis määritelmän nojalla lim(x,y)→(0,0) 3x2yx2+y2 = 0.



2.2 Jatkuvuus

2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä

Olkoon A ⊂ ℝn kuvaus. f ∶ A⟶ ℝ on jatkuva pisteessä x ∈ A, jos jokaiselle annetulle " > 0on olemassa �x," = � > 0 siten, että

|

|

f (x) − f (y)||

< " aina kun y ∈ A ja ‖x − y‖ < �.Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä.Huomautus 2.2.2. ”Kuvaus f on jatkuva pisteessä x ∈ A ⊂ ℝn, jos f (y) saadaan mielivaltaisenlähelle pistettä f (x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f (y)→ f (x), kun y→ x.”Huomautus 2.2.3. Jos x ∈ A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f ∶ A⟶ ℝ on jatkuva pisteessäx, jos ja vain jos

limy→xy∈A

f (y) = f (x).

Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä.

�(l1, l2)

x

Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, katsomääritelmä edellä. Lisäksi kuvauson aina jatkuva erillisessä pisteessä (l1, l2).

Lause 2.2.4. Olkoon A ⊂ ℝn ja olkoon f ∶ A ⟶ ℝ kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessäa ∈ A, jos ja vain jos

f (xk)→ f (a), kaikilla jonoilla (xk), jolla xk → a, xk ∈ A.

Esimerkki 2.2.5 Määräälim

(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y).

Ratkaisuehdotus. Koska voidaan määritellä f (x, y) = x2y3 − x3y2 + 3x + 2y ja f on polynomi,niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella

lim(x,y)→(1,2)

(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) = 1 ⋅ 8 − 1 ⋅ 4 + 3 + 4 = 11.

Esimerkki 2.2.6 Olkoon f ∶ ℝ2 ⧵{

0}

⟶ ℝ, (x, y)↦ x2y2

x2+y2 . Tutki kuvauksen jatkuvuutta.Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa!Ratkaisuehdotus. Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) ≠ (0, 0).Olkoon (xk, yk) → (x, y) ja (xk, yk) ≠ (0, 0). Siis xk → x ja yk → y, kun k → ∞. Siis x2k → x2

ja y2k → y2, kun k→ ∞. Näin ollenx2ky

2k

x2k + y2k

→x2y2

x2 + y2.



Siis|

|

f (xk, yk) − f (x, y)|| =|

|

|

|

|

|

x2ky2k

x2k + y2k

−x2y2

x2 + y2

|

|

|

|

|

|

→ 0, kun k→∞.

Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) ≠ (0, 0).Huomautus 2.2.7. Jos määritellään funktio f origossa siten, että f (0, 0) = 0, niin

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0 = f (0, 0).

Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla.Huomautus. Jos määritellään f (0, 0) = b ≠ 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa.Esimerkki 2.2.8 Onko kuvaus f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ

f (x1, x2) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

x1x22x21+x

42, kun (x1, x2) ≠ (0, 0)

0, kun (x1, x2) = (0, 0)jatkuva?Ratkaisuehdotus. Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x1 = kx22, k ≠ 0, antaa

f (x1, x2) = f (kx22, x2) =kx42

k2x42 + x42

= k1 + k2

≠ 0.

x1

x2

x3

Kuva 12: Esimerkin 2.2.8 kuvauksen x3 = f (x1, x2) = x1x22x21+x

42graafi.

Esimerkki 2.2.9 Olkoon funktio g∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

g(x1, x2) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

x1x2x21−x

22

x21+x22, kun (x1, x2) ≠ (0, 0)

0, kun (x1, x2) = (0, 0).Funktio g on jatkuva origossa.Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x1 = r cos' ja x2 = r sin'):

g(r, ')∗= r2 cos' sin'

r2 cos 2'r2

.

(

∗∶ cos2 ' − sin2 ' = cos 2' ja sin2 ' + cos2 ' = 1.)

Siis||

g(r, ')||

≤ r2 → 0, kun r→ 0.


Vektorianalyysi I 3. DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA ℝN

3 Differentiaalilaskentaa avaruudessa ℝn

Käsittelemme tässä luvussa reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudes-sa ℝn, eli tutkimme kuvauksia f , jotka on määritelty f ∶ ℝn ⟶ ℝ.

3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista

Esimerkki 3.1.1 On kehitetty ns. Humindex (temperature–humidity index), joka kuvaa lämpöti-lan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila(◦C) jaH= kosteus eli I = f (T ,H).

Suhteellinen ilmankosteus %T(

◦C)

H 40 45 50 55 60 65 7026 3128 3530 36 37 38 4032 4234 47

Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorolo-gical Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.)

Kun H = 60%, niin Humidex’iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siismuuttujanH arvo kiinnitetty]. Merkitään

g(T ) = f (T , 60).

Silloin g(T ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteuson koko ajan 60%.Funktion g derivaatta, kun T = 30◦C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilansuhteen:

g′(30) = limℎ→0

g(30 + ℎ) − g(30)ℎ

= limℎ→0

f (30 + ℎ, 60) − f (30, 60)ℎ

.

Valitaan ℎ = 2 ja tehdään approksimaatio

g′(30) ≈g(32) − g(30)

2=f (32, 60) − f (30, 60)

2= 42 − 38

2= 2.

Valitaan ℎ = −2 ja nyt

g′(30) ≈g(28) − g(30)

−2=f (28, 60) − f (30, 60)

−2= 35 − 38

−2= 1,5.

Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, ettäg′(30) ≈ 1,75.

Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30◦C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin”koettu lämpötila” (Humidex) nousee noin 1, 75◦C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötilanousee.Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30◦C.Luvut G(H) = f (30,H) ovat funktion arvot.Funktio G(H) = f (30,H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa jatodellinen lämpötila on mittarissa 30◦C.



Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun Hsuhteen:

G′(60) = limℎ→0

G(60 + ℎ) − G(60)ℎ

= limℎ→0

f (30, 60 + ℎ) − f (30, 60)ℎ

.

Otetaan ℎ = 5 ja ℎ = −5 ja approksimoidaan lukua G′(60) taulukon avulla. Saadaan

G′(60) ≈G(65) − G(60)

5=f (30, 65) − f (30, 60)

5= 40 − 38

5= 25= 0,4 ja

G′(60) ≈G(55) − G(60)

−5=f (30, 55) − f (30, 60)

−5= 37 − 38

−5= 15= 0,2.

Siis G′(60) ≈ 0,3.Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30◦C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidexnousee noin 0,3◦C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden.Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio,

f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y)↦ f (x, y).

Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloinmeillä on yhden muuttujan funktio

g(x) = f (x, b).

Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaa-taksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään fx(a, b). Siis

fx(a, b) = g′(a), kun g(x) = f (x, b).Derivaatan määritelmän mukaan

g′(a) = limℎ→0

g(a + ℎ) − g(a)ℎ

, siis fx(a, b) = limℎ→0

f (a + ℎ, b) − f (a, b)ℎ

.

Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään fy(a, b),saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolleG(y) = f (a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin

fy(a, b) = limℎ→0

f (a, b + ℎ) − f (a, b)ℎ

.

Siis esimerkissämme 3.1.1 näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpöti-lan suhteen kun T = 30◦C ja H = 60% on fT (30, 60) ≈ 1,75 ja Humidexin I muutosnopeustodellisen kosteuden suhteen, kun T = 30◦C jaH = 60% on fH (30, 60) ≈ 0,3.Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin fx ja fy ovat kahden muuttujan funktioita.

3.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä

Jos f on kahden muuttujan funktio, f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y) ↦ f (x, y), niin sen osittaisderivaatatovat

limℎ→0

f (x + ℎ, y) − f (x, y)ℎ

= fx(x, y)

limℎ→0

f (x, y + ℎ) − f (x, y)ℎ

= fy(x, y)(3.1.3)

mikäli raja-arvot ovat olemassa.Merkinnöistä: Jos z = f (x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään

fx(x, y) = fx =)f)x

= ))xf (x, y) = )z

)x= D1 f = Dx f =

)f)x

|

|

|

|y= )1f = )xf

ja vastaavasti fy(x, y) = )2f .



Esimerkki 3.1.4 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y)↦ x3 + x2y3 − 2y2. Määrää fx(2, 1) ja fy(2, 1).Ratkaisuehdotus.

fx(x, y) = 3x2 + 2xy3 fy(x, y) = 3x2y2 + 4yfx(2, 1) = 16 fy(2, 1) = 8

Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuuttapisteessä a.Esimerkki 3.1.5 Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

g(x, y) =

{ xyx2+y2 , kun(x, y) ≠ (0, 0)0, kun(x, y) = (0, 0).

Silloin gx(0, 0) ja gy(0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa.Huomautus 3.1.6. Nyt ℎ ∈ ℝ, x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, e1 = (1, 0) ja e2 = (0, 1); e1 ja e2 ovat avaruudenℝ2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt

fx(x, y) = limℎ→0

f(

(x, y) + ℎ(1, 0))

− f (x, y)ℎ

= limℎ→0

f(

(x, y) + ℎe1)

− f (x, y)ℎ

;

koska (x, y) + ℎ(1, 0) = (x, y) + ℎe1 = (x + ℎ, y + 0) = (x + ℎ, y). Vastaavasti

fy(x, y) = limℎ→0

f(

(x, y) + ℎ(0, 1))

− f (x, y)ℎ

= limℎ→0

f(

(x, y) + ℎe2)

− f (x, y)ℎ

;

koska (x, y) + ℎ(0, 1) = (x, y) + ℎe2 = (x + 0, y + ℎ) = (x, y + ℎ).Huomautus 3.1.7 (Sovelluksista). Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtä-löissä, esimerkiksi jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja.Esimerkki 3.1.8 Laplacen yhtälö1

)2u)x2

+ )2u)y2

= 0.

Osoita, että funktio u(x, y) = ex sin y toteuttaa Laplacen yhtälön.Ratkaisuehdotus.

ux = ex sin y uy = ex cos yuxx = ex sin y uyy = −e sin y.

Siis uxx + uyy = 0.Esimerkki 3.1.9 Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t − at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön

)2u)t2

= a2 )2u)x2

.

Ratkaisuehdotus.

ux = cos(x − at) uy = −a cos(x − at)

uxx = − sin(x − at) uyy = −a2 sin(x − at) = a2uxx.

1Pierre Laplace 1749-1827.



3.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa

Olkoon ⊂ ℝ2 avoin. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ kuvaus, a ∈ . Olkoon e1 = (1, 0) ja e2 = (0, 1).Voidaan olettaa, että on avoin pallo. Olkoon k = 1, 2 kiinnitetty. Jos raja-arvo

limt→0

f (a + tek) − f (a)t

on olemassa, niin raja-arvo on kuvauksen f osittaisderivaatta pisteessä a muuttujan xk suhteen(eli k. muuttujan suhteen) ja sitä merkitään )kf (a).Kun k = 1: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a ensimmäisen muuttujan suhteen,

)1f (a) = )kf (a).

Kun k = 2: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a toisen muuttujan suhteen,)2f (a) = )kf (a).

3.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta

Joukko{

(x, y, z) ∈ ℝ3|z = f (x, y); (x, y) ∈ ℝ2}

on funktion graafi ja esittää pintaa S avaruudessa ℝ3. (Olettaen, että f on siisti.)Jos f (a, b) = c, niin piste P (a, b, c) on pinnalla S. Kun kiinnitämme y = b, niin rajoitammehuomion käyrään C1, jossa pystysuora taso y = b leikkaa pinnan S. (Siis C1 on pinnan S ”jälki”tasolla y = b.) Vastaavasti pystysuora taso x = a leikkaa pinnan S käyrällä C2. Kumpikin käyräkulkee pisteen P kautta.Käyrä C1 on funktion g(x) = f (x, b) graafi ja käyrä C2 on funktion G(y) = f (a, y) graafi. Siistangentin T1 kulmakerroin pisteessä P on g′(a) = fx(a, b) ja tangentin T2 kulmakerroin pisteessäP on G′(b) = fy(a, b).

x

y

z

P (a, b, c)

x = ay = b

Kuva 13: Funktion f graafi ja osittaisderivaatoista. Tasot x = a ja y = b leikkaavat funktionf graafin pisteessä P (

a, b, c = f (a, b)). Funktion f osittaisderivaatat tässä pisteessä P saadaan

laskemalla tasojen ja graafin leikkauskäyrien derivaatat. (Selkeyden vuoksi tasoista on piirrettyvain funktion graafin alapuolinen osa.)

Siis osittaisderivaatat fx(a, b) ja fy(a, b) voidaan tulkita vastaavien tangenttisuorien kulmaker-toimina, jota pisteessä P (a, b, c) ovat tangenttisuorina pinnan S käyrille C1 ja C2, tasoissa y = bja x = a.Kuten Humindex -esimerkissämme 3.1.1 näimme, voidaan osittaisderivaatat tulkita edustavan



muutosnopeutta.Jos z = f (x, y), niin )z

)x esittää funktion f hetkellistä muutosnopeutta muuttujan x suhteen, kuny on kiinnitetty. Vastaavasti )z)y .Esimerkki 3.1.12 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x, y) = 4 − x2 − 2y2.Etsi fx(1, 1) ja fy(1, 1), sekä tulkitse nämä luvut.Ratkaisuehdotus.

fx(x, y) = −2x fy(x, y) = −4yfx(1, 1) = −2 fy(1, 1) = −4

Funktion f graafi on paraboloidi. Pystysuora taso y = 1 leikkaa sen paraabelillaz = 2 − x2, y = 1 (käyrä C1). Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T1kulmakerroin on fx(1, 1) = −2.Vastaavasti, käyrä C2 tasossa x = 1 leikkaa paraboloidin ja C2 on paraabeliz = 3 − 2y2, x = 1. Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T2 kulmakerroinon fy(1, 1) = −4.

y

x

z

P (1, 1, 1)

C1

C2

T1T2

Kuva 14: Esimerkkin 3.1.12 osittaisderivaattojen tangenttisuorat pisteessä x = 1, y = 1.

3.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista

Jos f on kahden muuttujan funktio, niin sen osittaisderivaatat fx ja fy ovat myös kahden muut-tujan funktioita:

(

fx)

x = fxx =)()f ))x()x)

=)2f)x2

(

fx)

y = fxy =)()f ))y()x)

=)2f)y)x

missä siis ensin derivoidaan muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen.Lause 3.1.14: Clairautin lause. 2Olkoon f määritelty avoimessa pallossa B. Olkoon (a, b) ∈ B. Jos sekä fxy että fyx ovat ole-massa ja jatkuvia pallossa B, niin

fxy(a, b) = fyx(a, b).2Alexis Clairaut 1713-1765.



3.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa ℝn

Olkoon ⊂ ℝn avoin ja f ∶ ⟶ ℝ. Kiinnitetään piste a ∈ .Koska on avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että Bn(a, r) ⊂ . Vektorit

e1 = (1, 0, 0, … , 0),e2 = (0, 1, 0, … , 0),⋮

ek = (0, … , 0, 1, 0, … , 0),⋮

en = (0, 0, … , 0, 1),

(jossa ek vektorin k. alkio on 1 ja sen muut alkiot 0) muodostavat avaruuden ℝn luonnollisenortonormeeratun kannan.Kiinnitetään k. Jos raja-arvo

limℎ→0

f (a + ℎek) − f (a)ℎ

on olemassa, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan xk suhteen pisteessä aja merkitään

)kf (a) =)f)xk

(a).

3.2 Suunnatuista derivaatoista

TurkuHelsinki

Porvoo

JoensuuJyväskylä

+20°C

+15°C

+10°C +5°C

+0°C

Kuva 15: Esimerkkin 3.2.1 yksinkertaisettu sääkartta lämpötilan tasa-arvokäyrineen (paikkakun-nat ovat tasavälisessä lieriöprojektiossa.)

Esimerkki 3.2.1 Sääkartta näyttää lämpötilafunktion T (x, y) tasa-arvokäyrät, jotka aina yhdis-tävät paikat, joissa on sama lämpötila. Osittaisderivaatta Tx Helsingissä on lämpötilan muutosetäisyyden suhteen, kun menemme Helsingistä itään. Osittaisderivaatta Ty on lämpötilan muu-tos, kun menemme pohjoiseen.Mutta, jos haluamme mennä koilliseen, esimerkiksi Joensuuhun, niin kuinka tiedämme lämpöti-lan muutosnopeuden etäisyyden suhteen?Tähän tarvitaan suunnattua derivaattaa!

3.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä

Olkoon ⊂ ℝn avoin, f ∶ ⟶ ℝ, x0 ∈ ja olkoon e ∈ ℝn yksikkövektori, s.e.‖e‖ = 1. Josraja-arvo

limt→0

f (x0 + te) − f (x0)t



on olemassa, niin sitä merkitään )ef (x0) ∈ ℝ ja raja-arvo on kuvauksen f suunnattu derivaattapisteessä x0 suuntaan e. Myös merkitään De f (x0) = )ef (x0).Esimerkki 3.2.3 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = x1x2, eli x = (x1, x2), f (x1, x2)↦ x1x2 ja

e =e1 + e2√

2=

(√

22,

√

22

)

=

(

1√

2, 1√

2

)

.

Määrää )ef (1, 1).Ratkaisuehdotus. Koska

(1, 1) + te = (1, 1) + t

(

1√

2, 1√

2

)

=

(

1 + t 1√

2, 1 + t 1

√

2

)

,

niin

limt→0

(

1 + t√

2

)(

1 + t√

2

)

− 1

t= limt→0

2 t√

2+ t2

2

tt≠0= 2

√

2=√

2 = )ef (1, 1).

3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio

Yksi tärkeimmistä asioista yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskennassaon, että kun zoomaamme derivoituvan funktion graafilla olevaa pistettä, niin ”graafia ei enää erotaselvästi tangenttisuorasta pisteen pienessä ympäristössä”. Toisin sanoen ”graafi näyttää enemmänja enemmän suoralta” ja voimme approksimoida funktiota lineaarisella funktiolla.Kun nyt zoomaamme kohti pistettä kahden muuttujan funktion graafilla (joka on pinta; olete-taan, että f on siisti), niin pinta näyttää enemmän ja enemmän tasolta (pinnan tangenttitasolta) javoimme approksimoida funktiota kahden muuttujan lineaarifunktiolla.Laajennamme differentiaalin ideaa reaaliarvoisille vektorifunktioille.

3.3.1 Tangenttitasoista

Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ ja olkoon funktiolla f jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat fx ja fy.Funktion graafi{

(x, y, z) ∈ ℝ3| (x, y) ∈ ℝ2, z = f (x, y)}

on pinta S.Olkoon P = P (x0, y0, z0) pinnalla S. Olkoon nyt C1 ja C2 käyrät, jotka saadaan leikkaamallapinta tasolla y = y0 ja vastaavasti x = x0.Olkoot T1 ja vastaavasti T2 tangenttisuorat käyrälleC1 ja vastaavasti käyrälleC2 samassa pisteessäP . Silloin pinnan S tangenttitaso samassa pisteessä P määritellään tasona, joka sisältää sekätangenttisuoran T1 että tangenttisuoran T2.JosC onmikä tahansa käyrä, joka on pinnallaS ja kulkee pisteen P kautta, niin sen tangenttisuorapisteessä P on myös tällä tangenttitasolla.



x

y

z

P(

− 12 ,12 ,34

)

Kuva 16: Pinnalla S ={

(x, y, z) ∈ ℝ3 | z = f (x, y) | f ∶ ℝ2 → ℝ, (x, y)↦ − 12x2 − 1

2y2 + 1

}

olevan pisteen P(

− 12 ,12 ,34

)

kautta kulkeva yhtälön (3.3.3) antama tangenttitasoT =

{

(x, y, z) ∈ ℝ3 | z = 12x −

12y +

34 , (x, y) ∈ ℝ2

}

.

Siis tämä tangenttitaso sisältää kaikki mahdolliset tangenttisuorat, jotka sivuavat pistettä P kai-kille käyrille, jotka ovat pinnalla S ja kulkevat pisteen P kautta.Tangenttitaso pisteessä P on taso, joka ”tarkimmin” approksimoi pintaa S pisteen P pienessäympäristössä.Mikä tahansa taso, joka kulkee pisteen P (x0, y0, z0) kautta on muotoa

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 |∶C ≠ 0AC(x − x0) +

BC(y − y0) + z − z0 = 0

z − z0 = a(x − x0) + b(y − y0) ; a = −AC, b = −B

C(3.3.2)

Jos tämä yhtälö esittää tangenttitasoa pisteessä P , niin sen leikkaus tason y = y0 kanssa täytyyolla tangenttisuora T1:z − z0 = a(x − x0) ; y = y0.

Siis suoran kulmakerroin on tangenttisuoran T1 kulmakerroin fx(x0, y0). Siisz − z0 = fx(x0, y0)(x − x0).

Vastaavasti, kun x = x0 saammez − z0 = b(y − y0),

joka esittää tangenttisuoraa T2 ja b = fy(x0, y0). Jos funktiolla f on jatkuvat osittaisderivaatat,niin pinnan S tangenttitaso pisteessä P (x0, y0, z0) on

z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0). (3.3.3)Huomautus 3.3.4. Lyhyesti kirjoitettuna gradienttivektorin avulla. Funktion f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ gra-dientti pisteessä u0 määritellään

∇f (u0) =(

)1f (u0), )2f (u0))

kunhan osittaisderivaatat )1f ja )2f ovat olemassa. Saadaanz − z0 = ∇f (x0, y0) ⋅ (x − x0, y − y0).

Huomautus 3.3.5. Vertaa tangenttisuoran yhtälö pisteessä t0; f ∶ ℝ ⟶ ℝ derivoituvaf (t) − f (t0) = f ′(t0)(t − t0).



Esimerkki 3.3.6 Etsi tangenttitaso elliptiselle paraboloidille pisteessä (1, 1, 3) . Paraboloidinmäärää yhtälö z = 2x2 + y2.Ratkaisuehdotus. Olkoon f (x, y) = 2x2 + y2, f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ. Silloin

fx(x, y) = 4xfy(x, y) = 2yfx(1, 1) = 4fy(1, 1) = 2

Silloinz − 3 = 4(x − 1) + 2(y − 1)

z = 4x + 2y − 3

Tangenttitason piste (x, y, z) toteuttaa yllä olevan yhtälön.Esimerkistä 3.3.6 vielä: esimerkin funktio ℎ(x, y) = 4x + 2y − 3 on affiinikuvaus. Funktio ℎ onhyvä approksimaatio funktiolle f (x, y), kun (x, y) on pisteen (1, 1) riittävän pienessä avoimessapalloympäristössä.

r

(1, 1)

(x, y)

Kuva 17: Piste (x, y) on pisteen (1, 1) pienessä avoimessa palloympäristössä B2((1, 1), r), r > 0.

Funktion f, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat, tangenttitaso pisteessä (a, b, f (a, b)) onz = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

eliz = f (a, b) + ∇f (a, b) ⋅ (x − a, y − b).

Siis affiinikuvaus, jonka graafi on tämä tangenttitaso, onℎ(x, y) = f (a, b) + ∇f (a, b) ⋅ (x − a, y − b).

3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista

Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ siten, että funktiolla f on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat. Kuvaustaf approksimoidaan affiinilla kuvauksella

ℎ(x, y)↦ f (x0, y0) + ∇f (x0, y0) ⋅(

(x, y) − (x0, y0))

pienessä pisteen (x0, y0) avoimessa palloympäristössä.Kuvauksen f graafia

{

(

x, y, f (x, y))

| (x, y) ∈ ℝ2, z = f (x, y)}



approksimoidaan sen tangenttitasolla pisteen u0 = (x0, y0) ympäristössä.Approksimoivan affiinikuvauksen graafi

{

(

x, y, ℎ(x, y))

∈ ℝ3 | (x, y) ∈ ℝ2, z = ℎ(x, y)}

onℝ3-avaruudessa 2-ulotteinen tangenttitaso pinnallaS (oletetaan, että f on siisti), jonka määrääyhtälö z = f (x, y), pisteessä (x0, y0, f (x0, y0)

).

3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä

3.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä

Kuvaus L∶ ℝn ⟶ ℝp on lineaarinen, josa) L(x + y) = Lx + Lyb) L(�x) = �L(x)

kaikilla x, y ∈ ℝn, � ∈ ℝ.Toisin sanoen L(�x + �y) = �L(x) + �L(y) kaikilla x, y ∈ ℝn ja �, � ∈ ℝ.

3.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi

Jos vektoriavaruuksien V1 ja V2 (dimV1 = n, dimV2 = p) kannat on kiinnitetty, niin lineaariku-vausta L∶ V1 ⟶ V2 vastaa yksikäsitteisesti määrätty p × n matriisi ja kääntäen.

3.4.3 Avaruuden ℝn vektorien esityksestä

Usein avaruuden ℝn vektori x = (x1, x2,… , xn) samaistetaan n × 1 sarakematriisin tai 1 × nmatriisin kanssa.

x = (x1, x2,… , xn) ∼[

x1 x2 … xn]

x = (x1, x2,… , xn) ∼

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

x1x2⋮xn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori

Reaaliarvoista lineaarikuvausta L∶ ℝn ⟶ ℝ vastaa yksikäsitteinen vektori a ∈ ℝn siten, ettäLx = a ⋅ x, x ∈ ℝn. (3.4.5)

Kääntäen jokaisella a ∈ ℝn vastaavuus a ↦ a ⋅ x, x ∈ ℝn määrittelee reaaliarvoisen lineaariku-vauksen L∶ ℝn ⟶ ℝ siten, että

(

3.4.5)

on voimassa.Esimerkki 3.4.6 Lineaarikuvausta A∶ ℝ5 ⟶ ℝ

x = (x1, x2, x3, x4, x5)↦ Ax = x1 + x2 − x3 − x4 − 3x5

vastaa rivimatriisi[

1 1 −1 −1 −3]

∼(

1, 1, −1, −1, −3)

.



3.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa)

Yhdistämällä lineaarikuvaus A∶ ℝn ⟶ ℝ ja avaruuden ℝ siirto vektorin b ∈ ℝ verran, y ↦y + b∶ ℝ ⟶ ℝ, saadaan affiinikuvaus

ℎ∶ ℝn ⟶ ℝ, ℎ(x) = Ax + b, x↦ Ax + b.

3.5 Gradientista

3.5.1 Gradientin määritelmä

Olkoon funktiolla f ∶ ⟶ ℝ, missä on avoin joukko avaruudessaℝn, kaikki osittaisderivaatatpisteessä x0 ∈ . Funktion f gradientti pisteessä x0 on

∇f (x0) = gradf (x0) =(

)1f (x0), )2f (x0),… , )nf (x0))

∈ ℝn.

�

a

x0

Bn(a, �)

f ℝ

Kuva 18: Funktio f kuvaa pisteen x0 avoimesta joukosta , joka on tässä avoin pallo Bn(a, "),reaaliluvuksi. Jos funktiolla f on kaikki osittaisderivaatat pisteessä x0 ∈ , niin sillä on määri-telmän 3.5.1 mukaan gradientti pisteessä x0.

Esimerkki 3.5.2 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = sin(x1) cos(x2). Määrää ∇f (x).Ratkaisuehdotus. Koska

)1f (x) = cos(x1) cos(x2))2f (x) = sin(x1)

(

− sin(x2))

= − sin(x1) sin(x2),

siis∇f (x) =

(

cos(x1) cos(x2),− sin(x1) sin(x2))

.

Esimerkki 3.5.3 Olkoon f ∶ ℝn ⟶ ℝ, f (x) =‖x‖2. Määrää ∇f (x).Ratkaisuehdotus. Olkoon x = (x1, x2, … , xn) ∈ ℝn. Silloin

‖x‖2 = x21 + x22 +…+ x2n

f (x) =‖x‖2

)1f (x) = 2x1, )2f (x) = 2x2, … , )nf (x) = 2xn∇f (x) =

(

2x1, 2x2, … , 2xn)

= 2(x1, x2, … , xn) = 2x ∈ ℝn.



x1

x2

x3

Kuva 19: Esimerkin 3.5.3 funktion f ∶ ℝn ⟶ ℝ, f (x) =‖x‖2 graafi, kun n = 2.

3.6 Derivaatasta

3.6.1 Derivaatan määritelmä

Olkoon ⊂ ℝn avoin joukko. Lineaarikuvausta L∶ ℝn ⟶ ℝ sanotaan reaaliarvoisen vektori-funktion f ∶ ℝn ⟶ ℝ derivaataksi pisteessä x0 ∈ , jos on voimassa esitys

f (x0 + ℎ) = f (x0) + Lℎ +‖ℎ‖ "(ℎ)

kaikille ℎ ∈ ℝn, joille x0 + ℎ ∈ , missä "(ℎ)→ 0, kun ℎ→ 0.Merkitään

Df (x0) = L.

Yhtäpitävästilimℎ→0

f (x0 + ℎ) − f (x0) − Lℎ‖ℎ‖

= 0.

r

x0

Kuva 20: Derivaatan määritelmästä: riittävän pienelle r > 0 pätee Bn(x0, r) ⊂ .

Huomautus (1): Rajankäynnissä oletetaan, että ℎ ≠ 0 ja x + ℎ ∈ , eli riittävän pienelle r > 0,pätee Bn(x0, r) ⊂ .Huomautus (2): Määritelmä on hyvin asetettu, sillä derivaattoja voi olla enintään yksi.Jos L0 ∈ ℒ (ℝn,ℝ) eli L0 on toinen lineaarikuvaus, joka on myös derivaatta, niin

0 = limt→0u≠0t≠0

|

|

|

(

L − L0)

(tu)|||

‖tu‖=|

|

|

(

L − L0)

(u)|||

|u|



3.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä

Avoimen joukon ⊂ ℝn kuvaus f ∶ ⟶ ℝ on1. differentioituva pisteessä x0 ∈ , jos sillä on derivaatta Df (x0) pisteessä x0.2. differentioituva, jos funktiolla f on derivaatta jokaisessa pisteessä x0 ∈ ; tällöin

Df ∶ ⟶ ℒ(

ℝn,ℝ)

, x↦ Df (x)

on derivaattakuvaus. Merkitään myös df = Df .Lause 3.6.3. Olkoon ⊂ ℝn avoin.Olkoon f ∶ ⟶ ℝ differentioituva.Silloin suuntaisderivaatta )ef (x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja

)ef (x) = Df (x)e.

Lisäksi,

Df (x)u =n∑

i=1ui)if (x) = ∇f (x) ⋅ u

kaikilla u =(

u1, u2, … , un)

∈ ℝn.

f on jatkuvasti differentioituva⇕funktion f kaikki 1. osittaisderivaatat ovat olemassa ja ne ovat jatkuvia

lause 3.6.11⟹

⟹

huom. 3.6.12f on differentioituva

lause 3.6.4⟹⟸

huom. 3.6.5f on jatkuva

lause 3.6.6

⟹

⟹

huom. 3.6.10suuntaisderivaatat )ef ovat olemassa kaikilla e ∈ ℝn, ‖e‖ = 1

määritelmästä

⟹

⟹

esim. 3.6.15osittaisderivaatat )if ovat olemassa kaikilla j = 1, 2,… , n

Kuva 21: Päämäärä luennolta torstaina 28.9.2017. Olkoon f ∶ B ⟶ ℝ, B ⊂ ℝn on avoin pallo.Riittävä ehto differentioituvuudelle ja differentioituvuuden seurauksia. Numerot viittaavat kunkintuloksen määritteleviin lauseisiin ja huomaa, että minkään tässä esitettyjen differentioituvuudestaseuraavien ominaisuuksien välillä ei ole (yleisesti) ekvivalenssia (viittaukset vastaesimerkkeihin.)

Lause 3.6.4. Olkoon ⊂ ℝn avoin joukko.

a) Pisteessä x0 ∈ differentioituva kuvaus f ∶ ⟶ ℝ on jatkuva tässä pisteessä.

b) Differentioituva kuvaus f ∶ ⟶ ℝ on jatkuva.

Lauseen 3.6.4 todistus. Differentioituvuus pisteessä x0 ∈ tarkoittaa, ettäf (y) − f (x0) = Df (x0)(y − x0) +‖‖y − x0‖‖ "(y − x0)

kaikille y ∈ Bn(x0, r) ⊂ , riittävän pienillä r > 0. Siten|

|

f (y) − f (x0)|| ≤‖

‖

Df (x0)(y − x0)‖‖ +‖‖y − x0‖‖ "(y − x0)→ 0

kun y − x0 → 0.Huomautus 3.6.5. Varoitus! ”Tulos 3.6.4 ei käänny.”Esimerkiksi f ∶ ℝn ⟶ ℝ, x ↦ ‖x‖, origossa. Funktio f on jatkuva origossa, mutta f ei oledifferentioituva origossa.



Lause 3.6.6. Olkoon ⊂ ℝn avoin.

Olkoon f ∶ ⟶ ℝ differentioituva pisteessä x ∈ .

Silloin suuntaisderivaatta )ef (x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja

)ef (x) = Df (x)e. (3.6.7)Lisäksi

Df (x)u =n∑

i=1ui)if (x)

=(

)1f (x), )2f (x), … , )nf (x))

⋅(

u1, u2, … , un)

= ∇f (x) ⋅ u

(3.6.8)

kaikille u =(

u1, u2, … , un)

∈ ℝn.

Lauseen 3.6.6 todistus. Koska pisteessä x ∈ on olemassa derivaatta Df (x), niinf (x + te) = f (x) + Df (x)(te) +‖te‖ "(te)

kunhan|t| on kyllin pieni.Kun t → 0:

f (x + te) − f (x)t

t≠0= Df (x)e +

|t|t"(te)

t→0⟶ Df (x)e.

Siis)ef (x) = limt→0

f (x + te) − f (x)t

= Df (x)e.

Erityisesti)if (x) = Df (x)ei ; ei = (0,… , 0, 1, 0,… , 0) on i. kantavektori. (3.6.9)

Jokaiselle u ∈ ℝn

u = u1e1 + u2e2 +…+ unen,

koska joukko {e1, e2,… , en} on avaruuden ℝn kanonisen kannan kantavektoreiden joukko.

Siis jokaiselle u ∈ ℝn

Df (x)u = Df (x)(u1e1 + u2e2 +…+ unen)lin.= u1 Df (x)e1 + u2 Df (x)e2 +…+ un Df (x)en3.6.9= u1)1f (x) + u2)2f (x) +… + un)nf (x)

=n∑

i=1ui)if (x)

=(

)1f (x), )2f (x), … , )nf (x))

⋅(

u1, u2, … , un)

= ∇f (x) ⋅ u.

Huomautus 3.6.10. Varoitus! Suuntaisderivaattojen olemassaolo ei takaa jatkuvuutta, saati sittendifferentioituvuutta. Esimerkki: olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

f (x) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

x1x22x21+x

42, kun x ≠ 0

0, kun x = 0.

Olkoon e = (a1, a2) ∈ ℝ2,‖e‖ = 1. Silloinf (0 + te) − f (0)

t=f (ta1, ta2) − f (0, 0)

t



=t3a1a22

t3(

a21 + (ta22)2)

t≠0=

a1a22a21 + t

2a42.

Siis

)ef (0) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

a22a1, jos a1 ≠ 0

0, jos a1 = 0.

Kuitenkaan f ei ole jatkuva origossa. Jos esimerkiksi x1 = x22 ≠ 0, niin

f (x1, x2) =12≠ 0 = f (0).

Siis f ei ole differentioituva origossa.Lause 3.6.11. Olkoon ⊂ ℝn avoin, f ∶ ⟶ ℝ.

Oletataan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat jokaisessa pisteessä x0 ∈ jaosittaisderivaatat ovat jatkuvia koko alueessa .

Silloin f on differentioituva koko alueessa .

Huomautus 3.6.12. Lauseeen 3.6.11 ehdot eivät ole välttämättömiä!Esimerkki: f ∶ ℝn ⟶ ℝ

f (x) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

‖x‖2 sin(

1‖x‖

)

, kun x ≠ 00, kun x = 0.

Silloin f on differentioituva, vaikka mikään sen osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. (Funk-tion f derivaatta origossa on 0.)

3.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista

Määritelmä. Olkoon ⊂ ℝn avoin. Differentioituva kuvaus f ∶ ⟶ ℝ on jatkuvasti differen-tioituva, jos derivaattakuvaus

Df ∶ ⟶ ℒ(

ℝn,ℝ)

, x↦ df (x)

on jatkuva.Keskeinen tulos: Olkoon ⊂ ℝn avoin. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ.Kuvaus f ∶ ⟶ ℝ on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos sen kaikki osittaisderivaatatovat olemassa jatkuvina.

3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle

On olemassa tulos, jota emme kuitenkaan todista.Olkoon f ∶ ℝn ⟶ ℝ.Jos yksi osittaisderivaatta )kf (x) on olemassa pisteessä x ja muut osittaisderivaatat )jf (x), j =1, 2, … , n, j ≠ k, ovat olemassa pallossa Bn(x, r), jollekin r > 0, ja jatkuvia pisteessä x, niin fon differentioituva pisteessä x.



r

x0

Kuva 22: Avoin pallo Bn(x, r) ⊂ ℝn.

Huomautus: Tämän tuloksen ehdot ovat riittäviä, mutta eivät välttämättömiä.Esimerkki: f ∶ ℝn ⟶ ℝ

x↦

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

‖x‖2 + x21 sin(

1|x1|

)

, kun x1 ≠ 0‖x‖2 , kun x1 = 0.

Funktio f on differentioituva origossa, koska)1f (0) = 0, )jf (x) = 2xj , j ≥ 2.

Esimerkki: Kuvaukselle f ∶ ℝn ⟶ ℝ

x↦

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

‖x‖2 sin(

1‖x‖

)

, kun x ≠ 00, kun x = 0

osittaisderivaatat ovat olemassa, mutta mikään osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. Kuiten-kin funktio f on differentioituva origossa ja Df (0) = 0.Esimerkki 3.6.15 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ

f (x) = f (x1, x2) =

{

x1 + x2, kun x1 = 0 tai x2 = 01, kun x1, x2 ≠ 0.

Osittaisderivaatat )1f (0), )2f (0) ovat olemassa. Funktio f ei ole jatkuva origossa: jos esimer-kiksi x1 = x2 ≠ 0, niin

f (x1, x2) = 1 ≠ 0 = f (0, 0).

Mutta )ef (0) ei ole aina olemassa:Olkoon e = (a1, a2), a1 ≠ 0, a2 ≠ 0,‖e‖ = 1. Silloin

f (0 + te) − f (0)t

=f (ta1, ta2) − f (0, 0)

tt≠0= 1

t

jolla ei ole raja-arvoa, kun t→ 0.



x1

x2

f (x1, x2)

Kuva 23: Esimerkin 3.6.15 funktion f kuvaaja. (Hyppyä x1 ja x2 -akseleille on levennetty sel-keyden vuoksi.)

3.7 Derivoimissääntöjä

Lause 3.7.1: Summa. Jos f, g∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, ovat differentioituvia pisteessä x0 ∈ ,niin

f + g∶ ⟶ ℝ

on differentioituva pisteessä x0 ja

D(f + g)(x0)ℎ = Df (x0)ℎ + Dg(xo)ℎ, ℎ ∈ ℝn,ts. D(f + g)(x0) = Df (x0) + Dg(x0).

Lause 3.7.2: Tulo. Jos '∶ ⟶ ℝ ja f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, ovat differentioituviapisteessä x0 ∈ , niin kuvaus

'f ∶ ⟶ ℝ, x ↦ '(x)f (x), eli ('f )(x) = '(x)f (x)

on differentioituva pisteessä x0 ∈ ja

D('f )(x0)ℎ =(

D'(x0)ℎ)

f (x0) + '(x0) Df (x0)ℎ, ℎ ∈ ℝn.

Korollaari 3.7.3. Jos f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on differentioituva pisteessä x0 ∈ , niin�f ∶ ⟶ ℝ, � ∈ ℝ, on differentioituva pisteessä x0 ∈ ja

D(�f )(x0) = �Df (x0).

Lause 3.7.4: Ketjusääntö. Olkoot ⊂ ℝn avoin ja ⊂ ℝ avoin.Jos kuvaus f ∶ ⟶ on differentioituva pisteessä x0 ∈ ja kuvaus g∶ ⟶ ℝ ondifferentioituva pisteessä f (x0) ∈ , niin yhdistetty kuvaus g ◦ f ∶ ⟶ ℝ on differentioituvapisteessä x0 ja

D(g ◦ f )(x0)ℎ = Dg(

f (x0))

Df (x0)ℎ, ℎ ∈ ℝn.

Lauseiden 3.7.1, 3.7.2 ja 3.7.4, sekä korollaarin 3.7.3 todistukset ohitetaan. Ne ovat johdettavissasuoraan derivaatan määritelmästä 3.6.1.Korollaari 3.7.5. Olkoot f ∶ ℝn ⟶ ℝ ja g∶ ℝ ⟶ ℝ differentioituvia. Yhdistetyn kuvaukseng ◦ f ∶ ℝn ⟶ ℝ gradientille pisteessä x pätee:

∇(g ◦ f )(x) = g′(

f (x))

∇f (x), x ∈ ℝn

eli∇(g ◦ f )(x) ⋅ ℎ = g′

(

f (x))

∇f (x) ⋅ ℎ, x, ℎ ∈ ℝn.



Korollaarin 3.7.5 todistus.

∇(g ◦ f )(x) ⋅ ℎ = D(g ◦ f )(x)ℎ= Dg

(

f (x))

Df (x)ℎ= Dg

(

f (x))

∇f ⋅ ℎ= g′

(

f (x))

∇f ⋅ ℎ.

Esimerkki 3.7.6 Olkoon f ∶ ℝn ⟶ ℝ, f (x) = ‖x‖. Tällöin f on differentioituva pisteessäx ≠ 0.Nyt f = ' ◦ g, missä g∶ ℝn ⟶ ℝ, x↦‖x‖2 ja '∶ ℝ+ ⟶ ℝ, t ↦ √

t, nimittäin

(' ◦ g)(x) = '(

g(x))

=√

‖x‖2 =‖x‖ .

Lisäksi '′(t) = 12 t− 12 .

Ketjusäännön sovelluksena, kun x ≠ 0,Df (x)ℎ = D(' ◦ g) (x)ℎ

= D(

'(

g(x))

)

Dg(x)ℎ

= '′(

g(x))

Dg(x)ℎ

=∗12

(

‖x‖2)− 12 2x ⋅ ℎ

= x ⋅ ℎ‖x‖

yllä ∗: ∇g(x) ⋅ ℎ, on laskettu esimerkissä 3.5.3.Esimerkki 3.7.7 Olkoon f ∶ ℝ ⟶ ℝ differentioituva ja g∶ ℝn ⧵

{

0}

⟶ ℝ, g(x) = f (

‖x‖).

Määrää ∇g(x).Ratkaisuehdotus. g = f ◦ ℎ, ℎ∶ ℝn ⧵

{

0}

⟶ ℝ, ℎ(x) =‖x‖ differentioituva.∇g(x) ⋅ v = Dg(x)v

= Df(

ℎ(x))

◦ Dℎ(x)v

= f ′(

ℎ(x)) x ⋅ v‖x‖

=f ′

(

‖x‖)

‖x‖x ⋅ v.

Siis∇g(x) =

f ′(

‖x‖)

‖x‖x.

3.8 Ketjusääntö I

Lause 3.8.1. Olkoon z = f (x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio. Olkoot{

x = g(t)y = ℎ(t)

derivoituvia muuttujan t funktioita. Silloin z on differentioituva muuttujan t funktio ja

dzdt

=)f)x

dxdt+)f)y

dydt.



Esimerkki 3.8.2 Okoon z = x2y + 3xy4, missä{

x = sin(2t)y = cos(t).

Etsi dzdt , kun t = 0.Ratkaisuehdotus.

dzdt

=)f)x

dxdt+)f)y

dydt

=(

2xy + 3y4)

(

2 cos(2t))

+(

x2 + 12xy3)

(

− sin(t))

.

Kun t = 0, niin sin(0) = 0 = x(0) ja cos(0) = 1 = y(0). Siisdzdt

|

|

|

|t=0= (0 + 3)

(

2 cos(0))

+ (0 + 0)(

− sin(0))

= 6.

Huomautus 3.8.3. Esimerkin 3.8.2 derivaatta voidaan tulkita funktion zmuutosnopeudeksi muut-tujan t suhteen, kun (x, y)-piste kulkee käyrällä Γ, jonka parametriesitys on

{

x = sin(2t)y = cos(t)

(0, 1)

Γ

y

x

Kuva 24: Esimerkin 3.8.2 parametrinen käyrä Γ.

Jos z = T (x, y) = x2y + 3xy4 esittää lämpötilaa pisteessä (x, y), niin yhdistetty kuvaus z =T(

sin(2t), cos(t)) antaa lämpötilan käyrän Γ pisteissä. Derivaatta dz

dt edustaa muutosnopeutta,millä lämpötila muuttuu pitkin käyrää Γ.

3.9 Ketjusääntö II

Lause 3.9.1. Olkoon z = f (x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio, missä x = g(s, t) jay = ℎ(s, t) ovat muuttujien s ja t differentioituvat funktiot. Tällöin

)z)s= )z)x)x)s+ )z)y)y)s



)z)t= )z)x)x)t+ )z)y)y)t.

z

yx

ts st

)z)y

)z)x

)x)s

)y)t

)y)s

)x)t

Kuva 25: Lauseen 3.9.1 osittaisderivaattojen ja niiden muuttujien hierarkia.

Esimerkki 3.9.2 Olkoon z = ex sin(y), missä{

x = st2

y = s2t.

Etsi )z)s .Ratkaisuehdotus.

)z)s= )z)x)x)s+ )z)y)y)s

=(

ex sin(y))

t2 +(

ex cos(y))

2st

= t2est2sin(s2t) + 2stest

2cos(s2t).

3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi

Olkoon f (x, y)∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y)↦ f (x, y); kahden muuttujan funktio.Tarkastellaan kaikkia mahdollisia suunnattuja derivaattoja annetussa pisteessä. Toisin sanoen ote-taan suunnatut derivaatat kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Nämä antavat funktion f muutosnopeu-den kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Luonnolliset kysymykset:

• Missä näistä suunnista funktion f muutosnopeus on suurin?• Mikä on suurin muutosnopeus?

Lause 3.10.1. Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y)↦ f (x, y) differentioituva.

Suunnatun derivaatan )uf (x),‖u‖ = 1, maksimiarvo on‖‖

∇f (x)‖‖

ja se saadaan, kun vektorin usuunta on sama kuin gradienttivektorin ∇f (x).

Lauseen 3.10.1 todistus.)uf = ∇f ⋅ u =‖∇f‖‖u‖

=1cos(�),

missä � = ∢(∇f, u) vektoreiden ∇f ja u välinen kulma. Funktion � ↦ cos(�) maksimiarvo on 1ja se saavutetaan kun � = 0.

Lauseen 3.10.1 todistus kurssin tietojen avulla. Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ differentioituva. Funk-tion f suunnattu derivaatta suuntaan ℎ ∈ ℝn,‖ℎ‖ = 1, pisteessä x0 on

)ℎf (x0) = Df (x0)ℎ,

mikä ilmaisee funktion f muutosnopeuden suuntaan ℎ.



Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, differentioituva kuvaus pisteessä x0 ∈ ja ∇f (x0) ≠ 0.Silloin gradienttivektori ∇f (x0) osoittaa suuntaan, johon f kasvaa pisteessä x0 maksimaalisestija‖‖

∇f (x0)‖‖ on maksimaalisen kasvun nopeus.Perustelu: Jokaiselle ℎ ∈ ℝn, ‖ℎ‖ = 1 on

)ℎf (x0) = Df (x0)ℎ = ∇f (x0) ⋅ ℎ,

koska f on differentioituva.Cauchyn-Schwartzin epäyhtälön nojalla

|

|

∇f (x0) ⋅ ℎ|| ≤‖

‖

∇f (x0)‖‖‖ℎ‖=1

=‖‖

∇f (x0)‖‖

ja toistaalta

)ℎf (x0) =‖‖∇f (x0)‖‖ , jos ja vain jos ℎ = ∇f (x0)‖

‖

∇f (x0)‖‖,

ja )ℎf (x0) = −‖‖∇f (x0)‖‖ , jos ja vain jos ℎ = − ∇f (x0)‖

‖

∇f (x0)‖‖.

Edellä huomataan, että∇f (x0) ⋅ ∇f (x0)

‖

‖

∇f (x0)‖‖=‖

‖

∇f (x0)‖‖2

‖

‖

∇f (x0)‖‖=‖‖

∇f (x0)‖‖ , sillä ∇f (x0) ≠ 0.

Siis f kasvaa maksimaalisesti suuntaan ∇f (x0) vähenee maksimaalisesti suuntaan−∇f (x0).

3.11 Gradientin geometrinen merkitys

Olkoon ⊂ ℝ2 avoin ja f ∶ ⟶ ℝ. Oletetaan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisde-rivaatat ja ne ovat jatkuvia. Tarkastellaan funktion f tasa-arvojoukkoa f (x, y) = C .

a b ℝ2

Kuva 26: Muistutus: polku on jatkuva kuvaus ∶ [a, b]⟶ ℝ2.

Oletetaan, että on olemassa polku (t) =

(

x(t), y(t))

, missä x, y∶ [a, b]⟶ ℝ siten, että f (

x(t), y(t))

= C.

Siis kulkee tasa-arvokäyrällä f (x, y) = C .Oletetaan, että x, y ∈ C1([a, b]). Tällöin

∇f(

(t))

∙ ′(t) = 0, t ∈ [a, b]

eli∇f

(

x(t), y(t))

∙(

x′(t), y′(t))

= 0, t ∈ [a, b].

Siis ∇f on kohtisuorassa jokaista tasa-arvokäyrällä kulkevaa C1-polkua kohtaan.Perustelu: Tarkastellaan funktiota t ↦ (f ◦ ) (t) = f

(

x(t), y(t)).



a b

ℝ2

f

ℝℎ = f◦

Kuva 27: Yhdistetty kuvaus ℎ = f ◦ ∶ [a, b]⟶ ℝ, t ↦ (f ◦ ) (t) = f(

x(t), y(t)). Eli funktion

f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ arvoja lasketaan kuljettaessa polkua ∶ [a, b]⟶ ℝ2 pitkin.

Koska sisältyy tasa-arvojoukkoon, niin

ℎ′(t) = (f ◦ )′(t) = 0, t ∈ [a, b].

Nyt I Ketjusäännön (3.8) nojalla

0 = D(f ◦ ) (t) = ddt

(

f(

(t))

)

= ddtf(

x(t), y(t))

=)f)x

dxdt+)f)y

dydt

= ()xf , )y) ⋅(

dxdt,dydt

)

= ∇f (x, y) ⋅ (t)

Huomautus 3.11.1. Jos f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x, y) ↦ f (x, y) ja piste (x0, y0) ∈ ℝ2. Gradienttivektori∇f (x0, y0) antaa funktion f nopeimman kasvun suunnan.Toisaalta gradienttivektori ∇f (x0, y0) on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää f (x, y) = C vastaan.

y

x

(x0, y0)

∇f (x0, y0)

f (x, y) = c

Kuva 28: Gradienttivektori ∇f (x0, y0) tasa-arvokäyrän f (x, y) = c pisteessä (x0, y0). Tässä onvalittu f (x, y) = 1

2x2 + y2, c = 1 ja (x0, y0) ≈ (0,276, 0,981).

Jos katsomme vuoren karttaa ja f (x, y) kuvaa korkeutta merenpinnasta pisteessä (x,y) niin käy-rä jolla on jyrkin nousu voidaan piirtää/etsiä tekemällä se kohtisuoraksi kaikkia tasa-arvokäyriävastaan.



Kuva 29: Yksinkertaisettu vuoren kartta, jossa piirrettynä (erästä) jyrkintä reittiä kulkeva polku.

Esimerkki 3.11.2 Gradienttivektoreita esimerkin 1.2.7 tasa-arvokäyrille.

x1

x2

r = 1

r = −1

r = −1r = 1

∇f (1, 1) = (1, 1)∇f (−1, 1) = (−1, 1)

Kuva 30: Esimerkin 1.2.7 funktiolle f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, x ↦ x1x2 tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = −1,sekä gradienttivektiorit pisteissä (−1, 1) ja (1, 1).



Esimerkki 3.11.3 Olkoon funktio f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = x1 + x2. Nyt

df (x) = f ∼ [1 1], ∇f (x) = (1, 1), x ∈ ℝ2, S(r) ={

x ∈ ℝ2 | x1 + x2 = r}

x1

x2

r = −2

r = 2

r = 0

∇f (1, 1) = (1, 1)∇f (−1, 1) = (1, 1)

Kuva 31: Esimerkin 3.11.3 funktiolle f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = x1 + x2 tasa-arvokäyrät r = −2,r = 0 ja r = 2. Geometrisesti tasa-arvokäyrät ovat suoria. Lisäksi kuvaan on piirretty gradientti-vektiorit pisteissä (−1, 1) ja (1, 1).


Vektorianalyysi I 4. OSITTAISDERIVAATOISTA JA ÄÄRIARVOISTA

4 Osittaisderivaatoista ja ääriarvoista

Jatkamme reaaliarvoisten kuvausten tarkastelua ja tutkimme niiden korkeampia osittaisderivaat-toja ja differentiaaleja, sekä lokaaleja ääriarvoja.

4.1 Korkeammat osittaisderivaatat

4.1.1 Korkeampien osittaisderivaattojen määritelmä

Reaaliarvoisella funktiolla f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, olkoon pisteen x0 ∈ avoimessa ympä-ristössä ⊂ osittaisderivaatta )if (x) kaikilla x ∈ .Jos funktiolle )if ∶ ⟶ ℝ on pisteessä x0 osittaisderivaatta )j()if )(x0), niin tätä sanotaanfunktion f toisen kertaluvun osittaisderivaataksi pisteessä x0 ja merkitään

)j()if )(x0) = )j)if (x0) =)2f)xj)xi

(x0) = Dji f (x0) = )jif (x0).

Vastaavasti määritellään yleisesti k. kertaluvun osittaisderivaatat

)i1 ()i2…()ikf )…)(x0) = )i1)i2… )ikf (x0) =)kf

)i1… )ik(x0)

= Di1…ik f (x0) = )i1…ikf (x0)

missä 1 ≤ ij ≤ n, j = 1, 2,… , k.Jos i1 = … = in = i, niin merkitään myös )i1… )inf (x0) = )

ki f (x0).

Esimerkki 4.1.2 Funktiolle f ∶ ℝ3 ⟶ ℝ, f (x) = x1 sin x3 + x22, kun x = (x1, x2, x3):)1f (x) = sin x3, )2f (x) = 2x2, )3f (x) = x1 cos x3

)1)1f (x) = 0, )2)1f (x) = 0, )3)1f (x) = cos x3)1)2f (x) = 0, )2)2f (x) = 2, )3)2f (x) = 0)1)3f (x) = cos x3, )2)3f (x) = 0, )3)3f (x) = −x1 sin x3

Erikoisesti tässä tapauksessa)2)1f (x) = )1)2f (x), )3)1f (x) = )1)3f (x) ja )3)2f (x) = )2)3f (x).

4.1.3 Ck ja C∞ -funktioiden määritelmät

Funktio f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on k kertaa (osittais)derivoituva pisteessä x0 ∈ , jos senkaikki osittaisderivaatat kertalukua ≤ k ovat olemassa pisteessä x0.Funktio f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on k kertaa jatkuvasti derivoituva avoimessa joukossa eli f on Ck-funktio, merkitään f ∈ Ck(), jos sen kaikki osittaisderivaatat kertalukua ≤ kovat olemassa ja jatkuvia avoimessa joukossa .Funktio f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva avoi-messa joukossa eli f on C∞-funktio, merkitään f ∈ C∞(), jos sen kaikkien kertalukujenosittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia avoimessa joukossa .Esimerkki 4.1.4 Esimerkin 4.1.2 funktiolla on olemassa kaikkien kertalukujen osittaisderivaatatja ne ovat jatkuvia avaruudessa ℝ3, joten f ∈ Ck(ℝ3) kaikilla k = 1, 2,…, siis f ∈ C∞(ℝ3).Huomautus 4.1.5. Esimerkin 4.1.2 funktioille saimme

)2)1f (x) = )1)2f (x), )3)1f (x) = )1)3f (x) ja )3)2f (x) = )2)3f (x).Tämä ei ole sattumaa!



Lause 4.1.6. Jos C1-funktiolle f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on pisteen x0 ∈ avoimessa ympä-ristössä jatkuva [oleellista!] osittaisderivaatta )j)if , niin silloin myös )i)jf (x0) on olemassa ja)i)jf (x0) = )j)if (x0).

r

x0

Kuva 32: Lauseen 4.1.6 vaatimus: riittävän pienelle r > 0 pätee Bn(x0, r) ⊂ .

Korollaari 4.1.7. Jos f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on Ck-funktio ja )i1)i2… )ikf , 1 ≤ ij ≤ n,j = 1,… , k, on jokin k. kertaluvun osittaisderivaatta, niin

)i1)i2… )ikf = )r1)r2… )rkf

kaikilla lukujen i1,… , ik permutaatioilla r1,… , rk.

Esimerkki 4.1.8 Olkoonf ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = ex

21x22, kun x = (x1, x2).

Määrää/Etsi )2)2)2)1)1)1f (x).Ratkaisuehdotus. Korollaarin 4.1.7 nojalla

)2)2)2)1)1)1f (x) = )1)1)1)2)2)2f (x),

sillä selvästi f ∈ C6(ℝ2).Koska )2)2)2f (x) = 0, niin on myös )2)2)2)1)1)1f (x) = 0.

4.2 Korkeammat differentiaalit

4.2.1 Korkeampien differentiaalien määritelmä

Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, Ck-funktio, k ≥ 1. Funktion k. kertaluvun differentiaalipisteessä x0 ∈ on funktio dk f(x0

)

∶ ℝn ⟶ ℝ

dk f(

x0)

(ℎ) =n∑

i1=1…

n∑

ik=1)i1… )ikf (x0)ℎi1…ℎik , missä ℎ = (ℎ1,… , ℎn) ∈ ℝn.

Lisäksi asetetaand0 f

(

x0)

(ℎ) = f(

x0)

.

Muistutus:

d1 f(

x0)

(ℎ) = df(

x0)

(ℎ) = )if (x0)ℎ1 +…+ )nf (x0)ℎn =n∑

j=1)jf (x0)ℎj .

Huomautus:d2 f

(

x0)

(ℎ) =n∑

i1=1

n∑

i2=1)i1)i2f (x0)ℎi1ℎi2 .



Korollaari 4.2.2. Jos f ∶ ℝn ⟶ ℝ, on Ck-funktio, niin

dk f (x0)(ℎ) =∑

k1+…+kn=k

k!k1!⋯ kn!

)k11 ⋯ )knn f (x0)ℎk11 …ℎknn ,

missä x0 ∈ ℝn kiinnitetty, ℎ = (ℎ1,… , ℎn) ∈ ℝn.Usein merkitään

k!k1!⋯ kn!

=(

kk1… kn

)

.

Esimerkki 4.2.3 Funktiolle f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x) = x21+x1x2, kun x = (x1, x2) ja ℎ = (ℎ1, ℎ2) ∈ℝ2

)1f (x) = 2x1 + x2, )2f (x) = x1,)1)1f (x) = 2, ()1)2f (x) = 1)∗,)2)1f (x) = 1, )2)2f (x) = 0,

)i)j)kf (x) = 0.

koska ∗f ∈ C∞(ℝ2).Siis

d0 f (x)(ℎ) = f (x) = x21 + x1x2 (asetuksen mukaan)d1 f (x)(ℎ) = )1f (x)ℎ1 + )2f (x)ℎ2 = (2x1 + x2)ℎ1 + x1ℎ2

d2 f (x)(ℎ) =2∑

i1=1

2∑

i2=1)i1)i2f (x)ℎi1ℎi2 =

∑

k1+k2=2

(

2k1k2

)

)k11 )k22 f (x)ℎ

k11 ℎ

k22

=(

22 0

)

)21f (x)ℎ21 +

(

21 1

)

)1)2f (x)ℎ1ℎ2 +(

20 2

)

)22f (x)ℎ22

= 1 ⋅ 2 ⋅ ℎ21 + 2 ⋅ 1 ⋅ ℎ1ℎ2 + 1 ⋅ 0 ⋅ ℎ22 = 2ℎ

21 + 2ℎ1ℎ2

dk f (x)(ℎ) = 0, kun k ≥ 3.

Esimerkki 4.2.4 Funktiolle f ∶ ℝ3 ⟶ ℝ, f (x) = sin x1 + cos x2 + ex3 , etsitään 2. kertaluvundifferentiaali pisteessä (�∕2, 0, 0), ts. d2 f (�∕2, 0, 0).Ratkaisuehdotus. Nyt f ∈ C∞(ℝ3).Määrätään/Etsitään ensin 2.kertaluvun osittaisderivaatat pisteessäx = (x1, x2, x3) = (�∕2, 0, 0)

)1f (x) = cos x1, )2f (x) = − sin x2, )3f (x) = ex3

)11f (x) = − sin x1 = −1, )22f (x) = − cos x2 = −1, )33f (x) = ex3 = 1)21f (x) = 0, )32f (x) = 0,)31f (x) = 0.

Näin ollen, kun ℎ = (ℎ1, ℎ2, ℎ3) ∈ ℝ3,

d2 f (�∕2, 0, 0)ℎ =∑

k1+k2+k3=2

(

2k1k2k3

)

)k11 )k22 )

k33 f (�∕2, 0, 0)ℎ

k11 ℎ

k22 ℎ

k33

=(

22 0 0

)

(−1)ℎ21 +(

21 1 0

)

0 ⋅ ℎ1ℎ2 +(

21 0 1

)

0 ⋅ ℎ1ℎ3

+(

20 2 0

)

(−1)ℎ22 +(

20 1 1

)

0 ⋅ ℎ2ℎ3 +(

20 0 2

)

⋅ 1ℎ23

= −ℎ21 − ℎ22 + ℎ

23.



Huomautus 4.2.5. Vaikka d1 f (x) = df (x) ∈ ℒ (ℝn,ℝ), niin yleisestidk f (x)∶ ℝn ⟶ ℝ ei ole lineaarinen, kun k > 1.Itse asiassa dk f (x)(ℎ) on muuttujien ℎ1,… , ℎn astetta k oleva homogeeninen polynomi

dk f (x)(tℎ1,… , tℎn) = tk dk f (x)(ℎ1,… , ℎn), t > 0.

4.3 Taylorin kaava

4.3.1 Kertaus yhden muuttujan Taylorin kaavasta

Olkoon Δ ⊂ ℝ avoin väli, f ∈ Ck+1(Δ). Jos x ∈ Δ ja y ∈ Δ, niin on olemassa � ∈ Δ, ja � onlukujen x ja y välissä siten, että

f (y) = f (x) + f ′(x)(y − x) +⋯ +f (k)(x)k!

(y − x)k +f (k+1)(�)(k + 1)!

(y − x)k+1.

Lause 4.3.2: Taylorin kaava. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, on avoin avaruudessa ℝn, ja oletetaan,että f on Ck+1-funktio, k ≥ 0.

Jos x0 ∈ ja x ∈ siten, että jana (x0, x) ⊂ , niin on olemassa piste z = zx ∈ (x0, x)siten, että

f (x) =k∑

j=0

1j!dj f (x0)(x − x0) +

1(k + 1)!

dk+1 f (z)(x − x0).

x0x

Kuva 33: Taylorin kaavasta 4.3.2: jana (x0, x) pisteiden x0 ja x välillä pisteen x0 pienessä ym-päristössä.

Huomautus 4.3.3. Oleellinen asia Taylorin kaavassa on se, että oikean puolen summalausekeantaa funktiolle pisteen x0 pienessä ympäristössä polynomiapproksimaation, jonka tarkkuuttavoidaan arvioida oikean puolen jälkimmäisellä termillä, vaikka pisteen z = zx tarkkaa sijaintiajanalla ei tunneta.

4.3.4 Taylorin polynomin määritelmä

Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, on avoin avaruudessa ℝn, ja oletetaan, että f on Ck-funktio. Silloin(

T ka f)

(x) = T ka f =k∑

j=0

1j!dj f (a)(x − a),

on astetta k olevan funktion f Taylorin polynomi pisteessä a ∈ .Huomautus 4.3.5. Peräkkäisten Taylorin polyniomien palautuskaava:

T ka f = Tk−1a f + 1

k!dk f (a)(x − a).



Esimerkki 4.3.6 Esimerkin 4.2.3 funktiolle f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

f(

x1, x2)

= x21 + x1x2

pisteessä a = (

a1, a2):

T 0a f = f (a) = a21 + a1a2

T 1a f = T0a f +

11!d1 f (a)(x − a) = a21 + a1a2 +

(

2a1 + a2) (

x1 − a1)

+ a1(

x2 − a2)

T 2a f = T1a f +

12!d2 f (a)(x − a) = a21 + a1a2 +

(

2a1 + a2) (

x1 − a1)

+ a1(

x2 − a2)

+ 12

(

2(

x1 − a1)2 + 2

(

x1 − a1) (

x2 − a2)

)

= a21 + a1a2 +(

2a1 + a2) (

x1 − a1)

+ a1(

x2 − a2)

+(

x1 − a1)2 +

(

x1 − a1) (

x2 − a2)

= a1(

a1 + a2 + x2 − a2)

+(

x1 − a1) (

2a1 + a2 + x1 − a1 + x2 − a2)

= a1(

a1 + x2)

+(

x1 − a1) (

a1 + x1 + x2)

= a21 + a1x2 + a1x1 + x21 + x1x2 − a

21 − a1x1 − a1x2

= x21 + x1x2T ka f = T

2a f = x

21 + x1x2 , kun k ≥ 3. (Koska dj f (a)(x − a) = 0, kun j ≥ 3.)

Esimerkki 4.3.7 Esimerkin 4.2.4 funktiolle f ∶ ℝ3 ⟶ ℝ,f(

x1, x2, x3)

= sin x1 + cos x2 + ex3

on pisteessä a =(

�2 , 0, 0

)

, kun ℎ = (

ℎ1, ℎ2, ℎ3)

∈ ℝ3 ja x = (

x1, x2, x3)

∈ ℝ3,d1 f (a)(ℎ) = ℎ3 ja d2 f (a)(ℎ) = −ℎ21 − ℎ

22 + ℎ

23.

SiisT 1a f = f (a) +

11!d1 f (a)(x − a) = 3 + x3

T 2a f = T1a f +

12!d2 f (a)(x − a) = 3 + x3 +

12

(

−(

x1 −�2

)2− x22 + x

23

)

.

Esimerkki 4.3.8 Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, Cp+1-funktio ja a ∈ . Taylorin polynomi(

T pa f)

(x) antaa pisteen a ympäristössä funktiolle f polynomiapproksimaation:|

|

|

f (x) −(

T pa f)

(x)|||

=|

|

|

|

|

1(p + 1)!

dp+1 f (z)(x − a)|

|

|

|

|

≤∑

k1+⋯+kn=p+1

1k1!… kn!

|

|

|

)k11 ⋯ )knn f (z)|

|

|

‖x − a‖p+1

Jos rajoitetaan tarkastelu suljettuun palloon B(a, r) ⊂ , niin∑

k1+⋯+kn=p+1

1k1!… kn!

|

|

|

)k11 ⋯ )knn f (y)|

|

|

≤M,

jollainM > 0 ja kaikille y ∈ B(a, r).Siis

|

|

|

f (x) −(

T pa f)

(x)|||

≤M‖x − a‖p+1 , kunhan ‖x − a‖ ≤ r. (4.3.9)Esimerkki 4.3.10 Jos r = 10−1, niin

|

|

|

f (x) −(

T pa f)

(x)|||

≤Mrp+1 =M(

110

)p+1,

kunhan‖x − a‖ ≤ 10−1.



Huomautus 4.3.11. Suoraan jatkuvuuden ja homogeenisuuden avulla:1. Jatkuvuudesta seuraa, että

|

|

|

dp+1 f (y)(v)|||

≤ k1

jollain k1 > 0, kun y ∈ B(a, r) ja‖v‖ = 1.2. Jos u ∈ ℝn, u ≠ 0, v = u

‖u‖ , niin homogeenisuuden nojalla|

|

|

dp+1 f (y)(u)|||

= |||

dp+1 f (y)(v‖u‖)|||

=‖u‖p+1|||

dp+1 f (y)(v)|||

≤ k1‖u‖p+1 .

4.3.12 Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause

Olkoon P ∶ ℝn ⟶ ℝ polynomi, jonka aste on enintään p ≥ 0. Jos pisteen a ∈ ℝn ympäristössäB(a, r) pätee

P (x) =‖x − a‖p "(x − a) , missä "(u)→ 0 , kun u → 0, niin P ≡ 0.

(Luetaan: P on identtisesti 0.)Lause 4.3.13: Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, Cp+1-funktio, p ≥ 0. Olkoon a ∈ . Silloin jokaisessa pallossa B(a, r) ⊂ , r > 0,on voimassa

f (x) =(

T pa f)

(x) +‖x − a‖p "(x − a) , kaikilla x ∈ B(a, r),

missä "(ℎ)→ 0, kun ℎ→ 0.

Toisaalta, jos p-asteiselle polynomille P ∶ ℝn ⟶ ℝ on jollakin r > 0 voimassa

f (x) = P (x) +‖x − a‖p "(x − a) , kun x ∈ B(a, r) ⊂ ,

niin P (x) =(

T pa f)

(x).

4.4 Kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvot

4.4.1 Ääriarvojen määritelmä

Reaaliarvoiselle funktiolle f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn joukko, on pisteessä x0 ∈

1. (globaali) maksimi f (x0), jos f (x) ≤ f (x0) kaikilla x ∈ ,

2. (globaali) minimi f (x0), jos f (x) ≥ f (x0) kaikilla x ∈ ,

3. lokaali (eli paikallinen) maksimi f (x0), jos pisteellä x0 ∈ on olemassa ympäristö ⊂ℝn siten, että f (x) ≤ f (x0) kaikilla x ∈ ∩,

4. lokaali (eli paikallinen) minimi f (x0), jos pisteellä x0 ∈ on olemassa ympäristö ⊂ ℝn

siten, että f (x) ≥ f (x0) kaikilla x ∈ ∩.

Piste x0 on funktion f ääriarvopiste joukossa ja f (x0) on funktion f ääriarvo.Jos edellä olevissa ehdoissa on voimassa erisuuruusmerkki, kun x ≠ x0, niin kyseessä olevaääriarvo on aito.Esimerkki 4.4.2 Funktion lokaaleista ja globaaleista ääriarvoista.



lokaalimaksimi

lokaaliminimi

globaaliminimi

globaalimaksimi

lokaali maksimija lokaali minimi

ℝ

ℝ

Kuva 34: Esimerkkifunktion ℎ∶ ℝ+ ⟶ ℝ+ lokaalit ja globaalit ääriarvot.

Huomautus 4.4.3 (Muistutus metrisistä avaruuksista). Kompaktissa joukossa jatkuva funktio saa-vuttaa sekä maksiminsa, että miniminsä tässä joukossa.Kompaktiustulos ei kerro, missä tarkalleen ääriarvopisteet joukossa sijaitsevat.Ääriarvotehtävän tavoite on kuitenkin etsiä annetulle funktiolle ääriarvopisteet annetussa joukos-sa ja siten myös ääriarvot.Esimerkki 4.4.4 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2)↦ x21 − 2x1e

x2 + e2x2 .

Tällöin f (x) = (

x1 − ex2)2 ≥ 0 kaikilla (x1, x2) ∈ ℝ2 ja f (x) = 0, jos ja vain jos x1 = ex2 . Siisfunktiolla f on olemassa minimipiste jokaisessa x = (et, t), t ∈ ℝ.

Seuraavassa on tarkoitus tutkia lähinnä lokaalien maksimien ja lokaalien minimien löytämistä.Huomautus 4.4.5 (Muistutus). Jos f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, on differentioituva kuvaus jou-kossa , niin voimakkaimman kasvun suunnan pisteessä x ∈ antaa gradientti ∇f (x).Lause 4.4.6. Olkoon ⊂ ℝn avoin. Jos x0 ∈ on funktion f ∶ ⟶ ℝ lokaali ääriarvopiste jasuunnattu derivaatta )ef (x0) ∈ ℝ on olemassa pisteessä x0 suuntaan e, ‖e‖ = 1, niin )ef (x0) =0.

Huomautus 4.4.7. Edellisessä lauseessa on oletus: oletetaan, että suunnattu derivaatta on olemas-sa. Tämä toteutuu ainakin kun funktio f on differentioituva.Lauseen 4.4.6 todistus. Olkoon x0 ∈ lokaali minimipiste. Tällöin on olemassa pisteen x0 avoinpalloympäristö

B(x0, r) ⊂ ,

siten, että f (x) ≥ f (x0), kun x ∈ B(x0, r). Pallo B(x0, r) ⊂ jollain r > 0, koska on avoin.Nyt, koska )ef (x0) on olemassa saadaan

)ef (x0) = limt→0+

f (x0 + te) − f (x0)t

= limt→0+r>t>0

f (x0 + te) − f (x0)t

≥ 0

ja

)ef (x0) = limt→0f (x0 + te) − f (x0)

t

= limt→0−−r<t<0

f (x0 + te) − f (x0)t

≤ 0

Siis )ef (x0) = 0. Lokaalin maksimin tapaus todistetaan vastaavasti.



Korollaari 4.4.8. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, differentioituva kuvaus.Jos piste x0 ∈ on funktion f lokaali ääriarvopiste niin

∇f (x0) = 0 (4.4.9)Korollaarin 4.4.8 todistus. Koska f on differentioituva, niin sen suunnatut derivaatat ovat ole-massa ja erityisesti kantavektoreiden e1, e2,… en suuntaan,‖‖

‖

ej‖

‖

‖

= 1. Siis osittaisderivaatat ovatolemassa ja lauseen 4.4.6 nojalla

)if (x0) = 0jokaiselle i = 1, 2,… , n. Siis

∇f (x0) =(

)1f (x0),… , )nf (x0))

= (0,…0) = 0

Korollaari 4.4.10. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝn avoin, differentioituva kuvaus.

Jos x0 ∈ on funktion lokaali ääriarvopiste, niin

df (x0) = 0 (nollakuvaus)

Muistutus!df (x0) ∈ L

(

ℝn,ℝ)

∇f (x0) ∈ ℝn.

Edellä siis annoimme välttämättömiä ehtoja lokaalin ääriarvon olemassa ololle. Eli lokaalit ää-riarvopisteet löytyvät esimerkiksi ehdon (4.4.8) toteuttavien pisteiden joukosta, mutta tämä ehto(4.4.8) ei ole riittävä.

4.4.11 Kriittisen pisteen ja satulapisteen määritelmä

Olkoon f ∶ ⟶ ℝ, differentioituva , ⊂ ℝn avoin.1. Piste x0 ∈ on funktion kriittinen piste, jos ∇f (x0) = 0.2. Kriittinen piste on satulapiste, jos se ei ole ääriarvopiste.

Esimerkki 4.4.12

1. Olkoonf ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x1, x2) = x21 + x

22.

Kriittiset pisteet∇f (x1, x2) = (2x1, 2x2) = (0, 0),

jos ja vain jos (x1, x2) = (0, 0).Nyt (0,0) on aito globaali minimipiste, sillä f (x1, x2) = (x21+x22) > 0, kun (x1, x2) ≠ (0, 0).

2. Olkoong∶ ℝ2 ⟶ ℝ, g(x1, x2) = x1x2.

Kriittiset pisteet∇g(x1, x2) = (x2, x1) = (0, 0)

jos ja vain jos (x1, x2) = (0, 0).Mutta (0,0) ei ole ääriarvopiste, sillä kaikilla t ≠ 0,

g(t,−t) = −t2 < 0

= g(0, 0) < t2

= g(t, t).

Eli g saa jokaisessa origon ympäristössä sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siis (0,0)on satulapiste.



3. Olkoonℎ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2)↦ x21 − x

22

Esimerkki käydään läpi viimeisellä luennolla. Katso huomautus 4.4.17 (c).

x1

x2

x3

Kuva 35: Esimerkin 4.4.12 funktion f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f (x1, x2) = x21 + x22 graafi, jossa x3 =f (x1, x2).

x1

x2

x3

Kuva 36: Esimerkin 4.4.12 g∶ ℝ2 ⟶ ℝ, g(x1, x2) = x1x2 graafi, jossa x3 = g(x1, x2).

x1

x2

x3

Kuva 37: Esimerkin 4.4.12 funktion ℎ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2) ↦ x21 − x22 graafi, jossa x3 =ℎ(x1, x2).

4.4.13 Mahdollisten ääriarvopisteiden laadun etsiminen.

Tutkimme seuraavassa miten kriittisestä pisteestä voidaan päätellä, onko kyseessä oleva pistelokaali minimipiste, lokaali maksimipiste vai satulapiste.



Jos f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝ2 avoin, on C3-funktio ja x0 ∈ on funktion f kriittinen piste, niinTaylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyys lauseen nojalla jossakin avoimessa palloympä-ristössä B(x0, r) ⊂ pätee

f(

x0 + ℎ)

− f(

x0)

= df(

x0ℎ)

+ 12!d2 f

(

x0)

ℎ +‖ℎ‖2 "(ℎ) (4.4.14)= 12d2 f

(

x0)

ℎ +‖ℎ‖2 "(ℎ),

missä "(ℎ)⟶ 0, kun‖ℎ‖ ⟶ 0, x0 + ℎ ∈ B(x0, r).

r

x0

x0 + ℎ

Kuva 38: Piste x0 + ℎ pisteen x0 pienessä avoimessa pallossa B(x0, r).

Olkoon f ∈ C3(ℝ2) ja x0 kriittinen piste siten, ettäf (x0 + ℎ) − f (x0) ≈ ∇f (x0)ℎ +

12!d2 f (x0)ℎ

= 0 + 12!d2 f (x0)ℎ.

Määritelmän perusteellad2 f (x0)ℎ =

12

(

)11f (x0)ℎ21 + 2)12f (x0)ℎ1ℎ2 + )22f (x0)ℎ22

)

.

Merkitääna ∶= )11f (x0) ≠ 0 b ∶= 2)12f (x0) c ∶= )22f (x0)ℎ1 =∶ x ℎ2 =∶ y

Silloinf (x0 + ℎ) − f (x0) ≈

12

(

ax2 + bxy + cy2)

= 12a(

x2 + baxy + c

ay2)

= 12a

(

(

x + b2ay)2

− b2

4a2y2 + c

ay2)

.

Siis

f (x0 + ℎ) − f (x0) ≈12a

(

(

x + b2ay)2

+(

ca− b2

4a2

)

y2)

= 12a

(

(

x + b2ay)2

+ 4ac − b2

4a2y2)

.

Tästä nähdään



1. Jos 4ac − b2 > 0 ja a > 0, niin f (x0 + ℎ) > f (x0) ja siis x0 on lokaali minimipiste.2. Jos 4ac − b2 > 0 ja a < 0, niin f (x0 + ℎ) < f (x0) ja siis x0 on lokaali maksimipiste.

Jos siis)11f (x0))22f (x0) −

(

)12f (x0))2 > 0

ja )11f (x0) > 0, niin x0 on lokaali minimipiste.Jos

)11f (x0))22f (x0) −(

)12f (x0))2 > 0

ja )11f (x0) < 0, niin x0 on lokaali maksimipiste.Lause 4.4.15. Oletetaan, että f ∶ ⟶ ℝ on C3 funktio avoimessa joukossa ⊂ ℝ2 ja x0 ∈ on funktion f kriittinen piste.

1. Jos)11f (x0))22f (x0) −

(

)12f (x0))2 > 0

ja )11f (x0) > 0, niin x0 on lokaali aito minimipiste.

2. Jos)11f (x0))22f (x0) −

(

)12f (x0))

)2 > 0

ja )11f (x0) < 0, niin x0 on lokaali aito maksimipiste.

3. Jos)11f (x0))22f (x0) −

(

)12f (x0))2 < 0,

niin x0 on satulapiste.

Esimerkki 4.4.16 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2)↦ x31 + x32 − 3x1x2.Etsi funktion f lokaalit ääriarvot.

Ratkaisuehdotus. Nyt selvästi f ∈ C3(ℝ2).1. Kriittiset pisteet:

∇f (x1, x2) = (3x21 − 3x2, 3x22 − 3x1) = (0, 0)

{

3x21 − 3x2 = 03x22 − 3x1 = 0,

jos ja vain jos(x1, x2) = (0, 0) tai (x1, x2) = (1, 1).

Siis kriittiset pisteet ovat (0,0) ja (1,1).2. Kriittisten pisteiden laatu:

)11f (x1, x2))22f (x1, x2) −(

)12f (x1, x2))2 = 6x16x2 − (−3)2

= 36x1x2 − 9

(a) Piste (0, 0) = (x1, x2).)11f (0, 0))22f (0, 0) −

(

)12f (0, 0))2 = −9 < 0,

siis origo on satulapiste.(b) Piste (1, 1) = (x1, x2)

)11f (1, 1))22f (1, 1) −(

)12f (1, 1))2

= 36 − 9= 27 > 0,

ja )11f (1, 1) = 6 > 0 siis (1, 1) on lokaali minimipiste ja f (1, 1) = −1 on minimi.



Huomautus 4.4.17. Oletetaan, että f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝ2 avoin, on C3-funktio ja x0 ∈ onkriittinen piste. Jos

)11f (x0))22f (x0) −(

)12f (x0))2 = 0

voi tapahtua mitä vain.(a) f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2) ↦ x41 + x

42. Funktiolla f on origossa lokaali minimi, itse asiassa

globaali minimi.I Kriittiset pisteet

)1f (x1, x2) = 4x31)2f (x1, x2) = 4x32∇f (x1, x2) = 0, joss (x1, x2) = (0, 0).

Origo on kriittinen piste.II Kriittisen pisteen laatu: f ∈ C∞(ℝ2)

)11f (x1, x2) = 12x21)22f (x1, x2) = 12x22)12f (x1, x2) = )21f (x1, x2) = 0

)11f (0, 0))22f (0, 0) −(

)12f (0, 0))2 = 0.

Lause 4.4.15 ei sano/kerro mitään. Tutkittava erikseen.Nyt kuitenkin

f (x1, x2) = x41 + x42 > 0 = f (0, 0) kaikilla (x1, x2) ∈ ℝ2 ⧵

{

(0, 0)}

.

Siis origo on lokaaliminimipiste ja (globaali) minimi on 0 = f (0).(b) f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2)↦ −x41 − x

42. Funktiolla f on origossa maksimi.

(c) f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2)↦ x41 − x42 funktiolla f on origossa satulapiste.

I Kriittiset pisteet: f ∈ C3(ℝ2))1f (x1, x2) = 4x31)2f (x1, x2) = −4x31∇f (x1, x2) =

(

)1f (x1, x2), )2f (x1, x2))

= (4x31,−4x32) = (0, 0) joss (x1, x2) = (0, 0).

II Kriittisen pisteen laatu: f ∈ C3(ℝ2))11f (x1, x2) = 12x21)22f (x1, x2) = −12x21)12f (x1, x2) = )21f (x1, x2) = 0.

Nytf (x1, 0) = x41 > 0, kun x1 ≠ 0

f (0, x2) = −x41 < 0, kun x2 ≠ 0.Origin pienessä palloympäristössä funktio f saa positiivisia ja negatiivisia arvoja. Siis ori-go ei ole ääriarvopiste. Määritelmän 4.4.11 mukaan kriittinen piste, joka ei ole ääriarvo-piste, on satulapiste.



Huomautus 4.4.18. Jos f ∶ ⟶ ℝ, ⊂ ℝ2 avoin, on C3-funktio ja x0 ∈ on funktionf kriittinen piste, niin Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslauseen nojalla jossakinavoimessa palloympäristössä B(x0, r) ⊂ pätee

f (x0 + ℎ) − f (x0) = df (x0)(ℎ) +12!d2 f (x0)ℎ +‖ℎ‖

2 "(ℎ)

= 12d2 f (x0)ℎ +‖ℎ‖

2 "(ℎ),

missä "(ℎ)⟶ 0, kun‖ℎ‖ ⟶ 0, x0 + ℎ ∈ B(x0, r).

d2 f (x0)(ℎ) = )11f (x0)ℎ21 + 2)12f (x0)ℎ1ℎ2 + )22(x0)ℎ22 > 0

{

)11f (x0))22f (x0) −(

)12f (x0))2 > 0

)11f (x0) > 0.

Huomautus 4.4.19. Toisen kertaluvun differentiaali d2 f (x0)(ℎ) on jatkuva ja homogeeninen jo-ten

�‖ℎ‖2 ≤ d2 f (x0)(ℎ) ≤ �‖ℎ‖2 ,∀ℎ ∈ ℝ2

� = min{

d2 f (x0)(v) ∶‖v‖ = 1}

� = max{

d2 f (x0)(v) ∶‖v‖ = 1}

d2 f (x0)(ℎ) > 0 ∀ℎ ≠ 0 joss � > 0d2 f (x0)(ℎ) < 0 ∀ℎ ≠ 0 joss � > 0.

Lauseen 4.4.15 todistuksesta.

1. Jos d2 f (x0)(ℎ) > 0 kaikilla ℎ ≠ 0, niin on olemassa � > 0 siten, ettäd2 f

(

x0)

(ℎ) ≥ �‖ℎ‖2 kaikilla ℎ ∈ ℝn.

Edelleen voidaan valita �, 0 < � ≤ r, jolle||

"(ℎ)||

< �4 , kun‖ℎ‖ < �.Siis x0 on aito lokaali minimipiste. Määritelmän 4.4.1 mukaan.

2. Jos d2 f (x0)(ℎ) < 0 kaikilla ℎ ≠ 0 niin edellinen päättely funktiolle -f , jolloin saadaan x0on aito lokaali maksimipiste.3. Jos d2 f (x0)(ℎ) > 0 jollain h ja d2 f (x0)(u) < 0 jollain u, niin olemassa yksikkövektorite ∈ ℝ2 ja v ∈ ℝ2 joille

� ∶= d2 f (x0)(e) < 0

� ∶= d2 f (x0)(v) > 0.

d2 f (x0)(ℎ) > 0 kaikilla ℎ ≠ 0, jos ja vain jos � > 0. Olkoon 0 < � ≤ r, siten että|

|

"(ℎ)||

< 14min

{

|�| , �} , kun ‖ℎ‖ < �.

Silloin jokaiselle 0 < t < �

f (x0 + tv) − f (x0) =12d2 f (x0)(tv) +‖tv‖

2 "(tv)

= 12t2� +‖‖

‖

tv2‖‖‖

"(tv)



= 12t2� + t2"(tv)

> 12t2� − 1

4t2� = 1

4t2� > 0

f (x0 + te) − f (x0) =12d2 f (x0)(te) +‖tv‖

2 "(te)

= t2 12d2 f (x0)(e) + t2"(te)

< t2 12� + 1

4t2|�| = 1

4t2� < 0.

Siis piste x0 on satulapiste.


Vektorianalyysi I 5. KERTAUSTA VEKTORIFUNKTIOISTA

5 Kertausta vektorifunktioista

Kurssi on tavallaan kuvausten teoriaa. Kertaamme ensin tuloksia jatkuvista kuvauksista ja raja-arvoista.5.0.1 Kuvauksen f ∶ A⟶ ℝm, A ⊂ ℝn,

lähtö(joukko) on A,maali(joukko) on ℝm,kuva(joukko) on f (A).

Kuvaus f ∶ A⟶ B, A ⊂ ℝn, B ⊂ ℝm, on(a) vektorifunktio, jos n > 1 tai m > 1, ja erityisesti(b) vektoriarvoinen, jos m > 1,(c) reaaliarvoinen, jos m = 1.

5.0.2 Kuvaus f ∶ A ⟶ ℝm, A ⊂ ℝn, on jatkuva pisteessä x ∈ A, jos jokaisella " > 0 onolemassa � > 0 siten, että

‖f (y) − f (x)‖ < ", kun ‖y − x‖ < �, y ∈ A.Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä x ∈ A.5.0.3 Kuvaus f = (

f1,… , fm)

∶ A⟶ ℝm, A ⊂ ℝn,f (x) = f1(x)e1 + f2(x)e2 +…+ fm(x)em

kaikilla x ∈ A, missä {

e1, e2,… , em} on avaruuden ℝm kanta, on jatkuva pisteessä x ∈ A

(vastaavasti joukossaA), jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio fk ∶ A⟶ ℝ, k = 1,… , m,on jatkuva pisteessä x ∈ A (vastaavasti joukossa A).Esimerkki 5.0.4 Olkoon f = (

f1, f2, f3)

∶ ℝ2 ⟶ ℝ3

f(

x1, x2)

=(

2x1, x1 + 5x2, 4x1 − x2)

.

Silloin komponenttifunktiot ovatf1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

(

x1, x2)

↦ 2x1f2 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

(

x1, x2)

↦ x1 + 5x2f3 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ,

(

x1, x2)

↦ 4x1 − x2.

5.0.5 Kuvauksella f ∶ A ⟶ ℝm on raja-arvo b ∈ ℝm joukon A kasautumispisteessä a, merki-tään

limx→ax∈A

f (x) = b,

jos jokaisella " > 0 on olemassa � > 0 siten, että‖f (x) − b‖ < ", kunhan 0 <‖x − a‖ < �, x ∈ A.

5.0.6 Kuvauksella f = (

f1, f2,… , fm)

∶ A ⟶ ℝm, A ⊂ ℝn, on raja-arvo b = (

b1,… , bm)

∈ℝm pisteessä a, jos ja vain jos

limx→ax∈A

fj(x) = bj , kaikilla j = 1,… , m.

5.0.7 Jos x ∈ A ei ole erillinen piste, niin silloin kuvaus f ∶ A ⟶ ℝm, A ⊂ ℝn, on jatkuvapisteessä x, jos ja vain jos

limy→xy∈A

f (y) = f (x).

Huomautus: Funktio on aina jatkuva erillisessä pisteessä.


Vektorianalyysi I 6. VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT

6 Vektorifunktioiden derivaatat

Määritelmä 6.0.1: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x0. Olkoon avoinjoukko avaruudessa ℝn. Kuvaus f ∶ ⟶ ℝm on differentioituva pisteessä x0 ∈ , jos onolemassa kuvaus A ∈ ℒ (ℝn,ℝm) siten, että

f(

x0 + ℎ)

− f(

x0)

= Aℎ +‖ℎ‖ "(ℎ), x0 + ℎ ∈ ,

missä "(ℎ)→ 0, kun ℎ→ 0.Kuvaus A = Df(x0

)

∈ ℒ (ℝn,ℝm) on kuvauksen f derivaatta pisteessä x0.Määritelmä 6.0.2: Differentioituva kuvaus. Olkoon ⊂ ℝn avoin. Kuvaus f ∶ ⟶ ℝm ondifferentioituva, merkitään diffva, jos kuvaus f on differentioituva jokaisessa pisteessä x0 ∈ .Esimerkki 6.0.3

(1) Olkoon ⊂ ℝn avoin. Olkoon f ∶ ⟶ ℝm vakiofunktio, ts. f (x) = c ∈ ℝm kaikillax ∈ . Tällöin f on diffva ja Df(x0

)

= 0 ∈ ℒ (ℝn,ℝm) kaikilla x0 ∈ :f(

x0 + ℎ)

= c = f(

x0)

= f(

x0)

+ 0ℎ +‖ℎ‖ ⋅ 0, x0 + ℎ ∈ .

(2) Olkoon I ∶ ℝn ⟶ ℝn, I(x) = x, identtinen kuvaus. Tällöin I on diffva ja DI(x0)

= Ikaikilla x0 ∈ ℝn. Koska I on lineaarikuvaus, ℝn ⟶ ℝn, niin

I(

x0 + ℎ)

− I(

x0)

= Iℎ +‖ℎ‖ ⋅ 0.

(3) Olkoon A ∶ ℝn ⟶ ℝm lineaarikuvaus. Tällöin A on diffva ja DA(x0)

= A kaikillax0 ∈ ℝn:

A(

x0 + ℎ)

− A(

x0)

= Aℎ +‖ℎ‖ ⋅ 0.

Seuraava lause antaa yhteyden differentioituvuuden ja jatkuvuuden välillä; differentioituvuus onvoimakkaampi ominaisuus.Lause 6.0.4: Pisteessä xo differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä. Olkoon f ∶ ⟶ ℝm vektorifunktio, ⊂ ℝn avoin, x0 ∈ . Jos f on differentioituva pisteessä x0, niin f onjatkuva pisteessä x0.

Todistus. Kuten Vektorianalyysi I-kurssilla.Korollaari 6.0.5. Olkoon f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin, differentioituva. Tällöin f on jatkuvajoukossa .

Huomautus 6.0.6. Funktio f ∶ ℝ ⟶ ℝ, on differentioituva pisteessä x0 ∈ ℝ, jos ja vain jos fon derivoituva pisteessä x0. Tällöin

Df(

x0)

ℎ = f ′(

x0)

ℎ, ℎ ∈ ℝ.

Määritelmä 6.0.7: Affiini kuvaus. Kuvaus T ∶ ℝn ⟶ ℝm on affiini, jos T on lineaarikuvauk-sen A ∶ ℝn ⟶ ℝm ja avaruuden ℝm siirron yhdiste, toisin sanoen, jos

T (x) = Ax + b, b ∈ ℝm, kaikilla x ∈ ℝn.

Huomautus: T (0) = A(0) + b = 0 + b = b.



Esimerkki 6.0.8

(1) Olkoon b = (

1, 2)

∈ ℝ2 ja lineaarikuvaus A ∶ ℝ3 ⟶ ℝ2 siten, että

mat(A) =[

2 0 13 1 3

]

.

Silloin T ∶ ℝ3 ⟶ ℝ2, T (x) = Ax + b on affiinikuvaus, jolleT (x) = y =

(

y1, y2)

=(

2x1 + x3 + 1, 3x1 + x2 + 3x3 + 2)

.

(2) Affiinikuvaus T = (

T1, T2)

∶ ℝ ⟶ ℝ2,{

T1(x) = 3x + 1T2(x) = −x + 2,

kuvaa reaaliakselin tason ℝ2 suoraksi, joka kulkee pisteen (1, 2) kautta. Nyt{

y1 = 3x + 1y2 = −x + 2,

joten suoran yhtälö on y1 + 3y2 = 7.6.0.9 Kuvausmerkintä "(x) ja sanonta "-funktio:Kuvaus ' ∶ n(0, r)⟶ ℝm, '(x) ∶= "(x), on "-funktio, kun‖'(x)‖ → 0, kun x→ 0.Esimerkki 6.0.10

(1) Olkoon ' ∶ ℝ ⟶ ℝ, x ↦ 1 − cos x. Silloin ' on "-kuvaus, sillä "(x) = 1 − cos x → 0,kun x→ 0.

(2) Olkoon ' = (

'1, '2)

∶ 2(

0, r)

⟶ ℝ2,'1(x) = log

(

|

|

‖x‖ − 1||

)

'2(x) = sin‖x‖ .

Nyt '(x) =(

log(

|

|

‖x‖ − 1||

)

, sin‖x‖)

= "(x), sillä "(x)→ (

0, 0), kun x→ 0.

Esimerkki 6.0.11 Tärkeä!Olkoot f1 ja f2 ∶ ℝ ⟶ ℝ derivoituva kuvauksia ja f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, f(x1, x2

)

=(

f1(

x1)

, f2(

x2)

)

.Osoita, että f on diffva ja derivaattaa vastava matriisi on

mat(

Df(

x1, x2)

)

=

[

f ′1(

x1)

00 f ′2

(

x2)

]

.

Ratkaisuehdotus. Merkitään ℎ = (ℎ1, ℎ2) ∈ ℝ2, x = (x1, x2) ∈ ℝ2.Koska f1 ja f2 ovat derivoituvia, niin

f (x + ℎ)(1)= f

(

x1 + ℎ1, x2 + ℎ2) (2)=

(

f1(

x1 + ℎ1)

, f2(

x2 + ℎ2)

)

(3)=

(

f1(

x1)

+ f ′1(

x1)

ℎ1 +||ℎ1|| "1(

ℎ1)

, f2(

x2)

+ f ′2(

x2)

ℎ2 +||ℎ2|| "2(

ℎ2)

)

=(

f1(

x1)

, f2(

x2)

)

+(

f ′1(

x1)

ℎ1, f′2(

x2)

ℎ2)

+(

|

|

ℎ1|| "1(

ℎ1)

, ||

ℎ2|| "2(

ℎ2)

)

= f (x) + Aℎ +‖ℎ‖ "(ℎ),

missä A ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2 lineaarikuvaus siten, että

mat(A) =

[

f ′1(

x1)

00 f ′2

(

x2)

]



ja "(ℎ) =(

|ℎ1|‖ℎ‖ "1(ℎ1),

|ℎ2|‖ℎ‖ "2(ℎ2)

)

⟶ 0, kun ℎ⟶ 0. Siis f on differentioituva ja

mat(

Df (x1, x2))

=

[

f ′1(

x1)

00 f ′2

(

x2)

]

.

Kohdassa (1) sijoitetaan merkinnät, kohdassa (2) käytetään funktion määritelmää ja kohdassa (3) käytetäänsitä, että funktiot f1 ja f2 ovat derivoituvia. Lisäksi huomaa, että‖ℎ‖2 = ℎ21 + ℎ22.


Vektorianalyysi I 7. DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ

7 Derivoimissääntöjä

Lause 7.0.1: Summafunktion differentioituvuus. Jos f, g ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin, ovatdifferentioituvia pisteessä x0 ∈ , niin kuvaus

f + g ∶ ⟶ ℝm


D(

f + g)

(

x0)

= Df(

x0)

+ Dg(

x0)

.

Siis D(

f + g)

(

x0)

ℎ = Df(

x0)

ℎ + Dg(

x0)

ℎ, ℎ ∈ ℝn.

Todistus. Suoraan kehitelmällä.Esimerkki 7.0.2 Etsi kuvauksen f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2

)

↦(

x2 + sin x1, x1 + x2 + cos x2)

derivaatta Df(x1, x2).

Ratkaisuehdotus. Nyt f (x) = (

x2, x1 + x2)

+(

sin x1, cos x2), missä g(x) = (

x2, x1 + x2) on

lineaarinen ja ℎ(x) = (

sin x1, cos x2) on Esimerkin 6.0.11 tyyppiä. Siis

mat(

Dg(x))

=[

0 11 1

]

jamat

(

Dℎ(x))

=[

cos x1 00 − sin x2

]

.

Siis Lauseen 7.0.1 nojalla summafunktio f on differentioituva ja Df (x) ∈ ℒ (ℝ2,ℝ2) ja

mat(

Df (x))

=[

cos x1 11 1 − sin x2

]

.

Siis Df (x)ℎ = (ℎ1 cos x1 + ℎ2, ℎ1 + ℎ2 − ℎ2 sin x2), ℎ ∈ ℝ2.Lause 7.0.3: Tulofunktion differentioituvuus. Jos ' ∶ ⟶ ℝ ja f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn

avoin, ovat differentioituvia pisteessä x0 ∈ , niin

'f ∶ ⟶ ℝm, ('f )(x) = '(x)f (x),


D('f )(

x0)

ℎ =(

D'(

x0)

ℎ)

f(

x0)

+ '(

x0)

Df(

x0)

ℎ.

Todistus. Melkein suoraan kehitelmällä.Korollaari 7.0.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus. Olkoon ⊂ ℝn avoin.

Jos f ∶ ⟶ ℝm on differentioituva pisteessä x0 ∈ ja � ∈ ℝ, niin �f ∶ ⟶ ℝm ondifferentioituva pisteessä x0 ja

D(�f )(

x0)

= �Df(

x0)

.

Seuraava esimerkki on Lauseiden 7.0.1 ja 7.0.3 sovellus.Esimerkki 7.0.5 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, f(x1, x2

)

=(

x1, x1x2). Etsi derivaatta Df (x).



Ratkaisuehdotus. Nyt f(x1, x2)

= x1(

(1, 0) + (0, x2))

= '(x)(

g(x) + ℎ(x)), missä

' ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, (x1, x2)↦ x1 lineaarineng ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2)↦ (1, 0) vakioℎ ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2)↦ (0, x2) lineaarinen.

Siismat

(

D'(x))

=[

1 0]

mat(

Dℎ(x))

=[

0 00 1

]

.

Olkoon u = (

u1, u2)

∈ ℝ2. Lauseiden 7.0.1 ja 7.0.3 nojalla

Df (x)uDg(x)=0= D'(x)u

(

g(x) + ℎ(x))

+ '(x) Dℎ(x)u

= u1(

(

1, 0)

+(

0, x2)

)

+ x1(

0, u2)

=(

u1, x2u1 + x1u2)

∼[

1 0x2 x1

] [

u1u2

]

.

Siismat

(

Df (x))

=[

1 0x2 x1

]

.

Lause 7.0.6: Sisätulon differentioituvuus. Jos f, g ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin, ovat differen-tioituvia pisteessä x0 ∈ , niin kuvaus

f ⋅ g ∶ ⟶ ℝ, (f ⋅ g)(x) = f (x) ⋅ g(x)

on differentioituva pisteessä x0 ja

D(f ⋅ g)(

x0)

ℎ = Df(

x0)

ℎ ⋅ g(

x0)

+ f(

x0)

⋅ Dg(

x0)

ℎ.

Huomautus merkinnästä:Sisätulo f ⋅ g ∶ ⟶ ℝ eli (f ∣ g) ∶ ⟶ ℝ merkitään

(f ⋅ g)(x) =(

f ∣ g)

(x)f (x) ⋅ g(x) =

(

f (x) ∣ g(x))

.

Lause 7.0.7: Ketjusääntö. Tärkeä! Olkoon ⊂ ℝn avoin ja ⊂ ℝm avoin. Jos kuvaus f ∶ ⟶ on differentioituva pisteessä x0 ∈ ja kuvaus g ∶ ⟶ ℝl on differentioituvapisteessä y0 = f

(

x0)

∈ , niin yhdistetty kuvaus g◦f ∶ ⟶ ℝl on differentioituva pisteessäx0 ∈ ja

D(g◦f )(

x0)

= Dg(

y0)

Df(

x0)

∈ ℒ(

ℝn,ℝl)

,

toisin sanoen D(g◦f )(

x0)

ℎ = Dg(

f(

x0)

)

Df(

x0)

ℎ, ℎ ∈ ℝn.

Todistus.

(1) Kehitelmä,(2) funktion f jatkuvuuden hyödyntäminen.



f

g

ℝl

g◦f

Kuva 39: Lauseen 7.0.7 yhdistetty kuvaus g◦f ∶ ⟶ ℝl.

Esimerkki 7.0.8 Etsi derivaatta Dℎ (x0), kun

ℎ = g◦f , missä f ∶ ℝ ⟶ ℝ3, x↦(

sin x,−x, x2)

,

mat(

Df(

x0)

)

=⎡

⎢

⎢

⎣

1−10

⎤

⎥

⎥

⎦

, x0 = 0,

g ∈ ℒ(

ℝ3,ℝ2)

ja mat(g) =[

0 3 12 0 2

]

.

ℝ

f

ℝ3

g

ℝ2

ℎ = g◦f

Kuva 40: Esimerkin 7.0.8 yhdistetty kuvaus ℎ = g◦f ∶ ℝ ⟶ ℝ2.

Ratkaisuehdotus. Ketjusäännön nojalla yhdistetty kuvaus ℎ = g◦f ∶ ℝ ⟶ ℝ2 on diffva pis-teessä x0 = 0 ja

Dℎ(

0)

= Dg(

f(

0)

)

◦Df(

0)

= g◦Df(

0)

∈ ℒ(

ℝ,ℝ2)

jamat

(

Dℎ(

0)

)

= mat(g) mat(

Df(

0)

)

=[

0 3 12 0 2

]

⎡

⎢

⎢

⎣

1−10

⎤

⎥

⎥

⎦

=[

−32

]

.

Siis k = Dℎ (0) ∶ ℝ ⟶ ℝ2, k (x) = (

−3x, 2x).


Vektorianalyysi I 8. SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA

8 Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta

Määritelmä 8.0.1: Suunnattu derivaatta. Olkoon ⊂ ℝn avoin, f ∶ ⟶ ℝm, x0 ∈ jae ∈ ℝn yksikkövektori,‖e‖ = 1. Jos raja-arvo

limt→0t∈ℝ

f(

x0 + te)

− f(

x0)

t

on olemassa, niin merkitään tätä raja-arvoa )ef(

x0)

∈ ℝm ja sanotaan, että )ef(

x0)

∈ ℝm onkuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x0 suuntaan e.Esimerkki 8.0.2 Olkoon =

{

(

x1, x2)

∈ ℝ2 | x2 > 0}

ja f ∶ ⟶ ℝ2,(

x1, x2)

↦

(

x1x2,x1 + x2x2

)

.

Etsi funktion f derivaatta pisteessä x0 =(

1, 1) suuntaan a = (

−1, 1).

Ratkaisuehdotus. Yksikkövektori on nyt e = a‖a‖ =

(

− 1√

2, 1√

2

)

. Joten

limt→0

f(

x0 + te)

− f(

x0)

t= limt→0

f

(

(

1, 1)

+ t(

− 1√

2, 1√

2

)

)

− f(

1, 1)

t

= limt→0

f(

1 − t√

2, 1 + t

√

2

)

− f(

1, 1)

t= limt→0

(

1− t√

2

1+ t√

2

, 21+ t

√

2

)

−(

1, 2)

t

= limt→0

1t

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

−2t(

1 + t√

2

)

√

2, −2t(

1 + t√

2

)

√

2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

(

−2√

2, −2√

2

)

=(

−√

2,−√

2)

.

Lause 8.0.3. Jos kuvaus f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin, on differentioituva pisteessä x0 ∈ , niinsillä on pisteessä x0 derivaatta jokaiseen suuntaan e ∈ ℝn,‖e‖ = 1 ja

)ef(

x0)

= Df(

x0)

e ∈ ℝm.

Todistus. Katso vektorianalyysi 1-kurssikokeen 2. tehtävä.Esimerkki 8.0.4 Olkoon ⊂ ℝ2 avoin. Olkoon f ∶ ⟶ ℝ2 differentioituva kuvaus ja

mat(

Df (x))

=

[

x21 xx21x2ex1 0

]

, x =(

x1, x2)

∈ .

Etsi funktion f derivaatta pisteessä (1, 2) ∈ vektorin (1,2) suuntaan.Ratkaisuehdotus.

e =(1, 2)

‖

‖

(1, 2)‖‖

=

(

1√

5, 2√

5

)

Lauseen 8.0.3 nojalla

)ef(

1, 2)

= Df(

1, 2)

e



=[

12 122e 0

]

⎡

⎢

⎢

⎣

1√

52√

5

⎤

⎥

⎥

⎦

=⎡

⎢

⎢

⎣

3√

52e√

5

⎤

⎥

⎥

⎦

∼

(

3√

5, 2e√

5

)

∈ ℝ2.

Määritelmä 8.0.5: Osittaisderivaatat. Olkoon ⊂ ℝn avoin. Kuvauksen f ∶ ⟶ ℝm

suunnatut derivaatat pisteessä x0 ∈ kantavektoreiden ei ∈ ℝn, i = 1,… , n, ‖‖

e1‖‖ = 1, suuntaanovat (jos ne ovat olemassa) kuvauksen f (vektori)osittaisderivaatat pisteessä x0. Merkitään

)eif(

x0)

=∶ )if(

x0)

=)f)ei(x0) = Di f (x0), i = 1,… , n.

Lause 8.0.6. Olkoon ⊂ ℝn avoin, olkoon x0 ∈ .Kuvauksella f =

(

f1,… , fm)

∶ ⟶ ℝm on olemassa osittaisderivaatta )if(

x0)

, jos ja vainjos jokaisella komponenttifunktiolla fj ∶ ⟶ ℝ, j = 1,… , m on olemassa osittaisderivaatta)ifj

(

x0)

, j = i,… , m.

Tällöin)if

(

x0)

=(

)if1(

x0)

, )if2(

x0)

,… , )ifm(

x0)

)

.

Huomautus: Kysymys on vain seuraavasta tosiasiasta:limx→x0

f (x) = y,

jos ja vain joslimx→x0

fj(x) = yj , j = 1,… , m,

missäy = (y1,… , ym).



Esimerkki 8.0.7 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2,(

x1, x2)

↦(

x1 + 2x2, x21 + x22

)

.Silloin

f1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f1(x1, x2) = x1 + 2x2.f2 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f2(x1, x2) = x21 + x

22.

Siis

)1f1(

x1, x2)

= 1 )2f1(

x1, x2)

= 2)1f2

(

x1, x2)

= 2x1 )2f2(

x1, x2)

= 2x2.

Siis)1f

(

x1, x2)

=(

)1f1(

x1, x2)

, )1f2(

x1, x2)

)

=(

1, 2x1)

)2f(

x1, x2)

=(

)2f1(

x1, x2)

, )2f2(

x1, x2)

)

=(

2, 2x2)

.

Lauseesta 8.0.3 seuraaKorollaari 8.0.8. Olkoon meillä ⊂ ℝn avoin, x0 ∈ . Jos kuvaus f ∶ ⟶ ℝm on diffe-rentioituva pisteessä x0, niin kuvauksella f on olemassa kaikki osittaisderivaatat pisteessä x0ja

)if(

x0)

= Df(

x0)

ei, i = 1,… , n.

Seurauslause 8.0.8 ei päde kääntäen. Kuitenkin derivaatta on laskettavissa osittaisderivaattojenavulla.Lause 8.0.9. Olkoon ⊂ ℝn avoin, x0 ∈ . Jos kuvaus f ∶ ⟶ ℝm on differentioituvapisteessä x0 ∈ , niin

Df(

x0)

ℎ =n∑

i=1ℎi)if

(

x0)

, ℎ = (ℎ1,… , ℎn) ∈ ℝn.


Vektorianalyysi I 9. JACOBIN MATRIISI

9 Jacobin matriisi

Lause 9.0.1. Olkoon ⊂ ℝn avoin, x0 ∈ . Jos funktio f =(

f1,… , fm)

∶ ⟶ ℝm ondifferentioituva pisteessä x0, niin derivaatan Df

(

x0)

∈ ℒ (ℝn,ℝm) matriisi pisteessä x0 on

mat(

Df (x0))

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

)1f1(

x0)

… )jf1(

x0)

⋯ )nf1(

x0)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮)1fi

(

x0)

… )jfi(

x0)

⋯ )nfi(

x0)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮)1fm

(

x0)

… )jfm(

x0)

⋯ )nfm(

x0)

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

. (9.0.2)

Määritelmä 9.0.3: Jacobin matriisi. Matriisi (9.0.2) on tällöin kuvauksen f Jacobin matriisi.Huomautus 9.0.4. Kertausta.Lineaarikuvausta A ∶ ℝn ⟶ ℝm vastaa m × n - matriisi.

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

= [aij]

Jokainenm×n-matriisi määrittelee lineaarikuvauksenA ∶ ℝn ⟶ ℝm siten, että kaikilla x ∈ ℝn

y = (y1,… , ym) = Ax = A(x1,… , xn),

jos ja vain jos⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

y1y2⋮ym

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

x1x2⋮xn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

.

Merkitsemme1. A ∼

[

aij]

= mat(A)

2. aij = (Aej)i = ei ⋅ Aej sillä

Aej =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 … amn

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

0⋮1⋮0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

0+ … +a1j … +0⋮ … +a2j … +0⋮ ⋱ ⋮ ⋱ +0⋮ … +aij … +0⋮ ⋱ ⋮ ⋱ +00+ … +amj … +0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

a1j⋮aij⋮amj

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

eli Aej = A(0,… , 0, 1, 0,… , 0) = (a1j , a2j ,… , aij ,… , amj), joten(Aej)i = aij = ei ⋅ Aej , missä ei ∈ ℝm, Aej ∈ ℝm.

Todistus. Olkoon[

aij]

= mat(Df (x0)). Siis Lauseen 8.0.9, Lauseen 8.0.6 ja Seurauslauseen8.0.8 nojalla

aij = ei ⋅ Df(

x0)

ej = ei ⋅ )jf(

x0)

= )jfi(

x0)

.

Esimerkki 9.0.5 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2) ↦ (x1x2, x22). Tällöin f on differentioituvaerityisesti pisteessä (1,1). Silloin

f1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f1(x1, x2) = x1x2f2 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f2(x1, x2) = x22,


Vektorianalyysi I 9. JACOBIN MATRIISI

ja)1f1

(

x1, x2)

= x2 )2f1(

x1, x2)

= x1)1f2

(

x1, x2)

= 0 )2f2(

x1, x2)

= 2x2.

Silloinmat

(

Df (1, 1))

=

[

)1f1(

1, 1)

)2f1(

1, 1)

)1f2(

1, 1)

)2f2(

1, 1)

]

=[

1 10 2

]

.

Määritelmä 9.0.6: Jacobin determinantti.Pisteessä x0 ∈ differentioituvan kuvauksen f ∶ ⟶ ℝn, ⊂ ℝn avoin, Jacobin determinanttiJf (x0) pisteessä x0 ∈ on

Jf (x0) = det(

Df (x0))

.

Siis vastaavan Jacobin matriisin determinantti.Esimerkki 9.0.7 Olkoon f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2) ↦

(

x1, x1 sin x2). Tällöin f on differentioi-

tuva. Etsi Jf (0).

Ratkaisuehdotus. Nyt f1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f1(x1, x2) = x1, ja siis)1f1

(

x1, x2)

= 1 ja )2f1(

x1, x2)

= 0

ja erityisesti)1f1(0) = 1 ja )2f1(0) = 0.

Ja f2 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f2(x1, x2) = x1 sin x2, ja siis)1f2

(

x1, x2)

= sin x2 ja )2f2(

x1, x2)

= x1 cos x2

ja erityisesti)1f2(0) = 0 ja )2f2(0) = 0.

siis Jf (0) =|

|

|

|

|

1 00 0

|

|

|

|

|

= 0.

Lause 9.0.8. Pisteessä x0 differentioituvan kuvauksen f ∶ ⟶ ℝn, ⊂ ℝn avoin,derivaatta Df (x0) ∈ ℒ (ℝn,ℝn) on bijektio, jos ja vain jos Jf (x0) ≠ 0.

Todistus. Lineaarialgebra.Esimerkki 9.0.9 Kuvaus f ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2, (x1, x2)↦ (x1 + x2, x1x2), on differentioituva.

f1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f1(x1, x2) = x1 + x2f2 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ, f2(x1, x2) = x1x2

)1f1(

x1, x2)

= 1 )2f1(

x1, x2)

= 1)1f2

(

x1, x2)

= x2 )2f2(

x1, x2)

= x1.

Kuvauksen Jacobin determinantti on

Jf (x) =|

|

|

|

|

1 1x2 x1

|

|

|

|

|

= x1 − x2.

Siis Df (x) ∶ ℝ2 ⟶ ℝ2 on bijektio suoran x1 − x2 = 0 ulkopuolisissa pisteissä, eli kunx = (x1, x2) ∈ ℝ2 ja x1 ≠ x2.


Vektorianalyysi I 10. DIFFERENTIOITUVUUDESTA

10 Differentioituvuudesta

Lause 10.0.1. Kuvaus f = (f1,… , fm) ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin joukko, on differentoi-tuva pisteessä x0 ∈ , jos ja vain jos komponenttifunktiot fj ∶ ⟶ ℝ, j = 1,… , m, ovatdifferentioituvia pisteessä x0. Tällöin

Df (x0)ℎ =m∑

j=1

(

Dfj(

x0)

ℎ)

ej =m∑

j=1

(

∇fj(

x0)

⋅ ℎ)

ej .

Lause 10.0.2. Kuvaus f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin joukko, on differentioituva pisteessä x0 ∈ ,jos jollakin j, 1 ≤ j ≤ n, )jf

(

x0)

on olemassa sekä muut n − 1 derivaattaa )if, i ≠ j, ovatolemassa pisteen x0 jossain ympäristössä ja jatkuvia pisteessä x0.

Määritelmä 10.0.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus.

Differentioituva kuvaus f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jossen derivaattakuvaus

Df ∶ ⟶ ℒ(

ℝn,ℝm), x ↦ Df (x)

on jatkuva.Lause 10.0.4. Tärkeä!Kuvaus f ∶=

(

f1,… , fm)

∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva,jos ja vain jos kaikki komponenttifunktioiden fj ∶ ⟶ ℝ, j = 1,… , m, osittaisderivaatat)ifj , i = 1,… , n ovat olemassa ja jatkuvia avoimessa joukossa .

Esimerkki 10.0.5 (Tärkeä!)Olkoon f = (

f1, f2)

∶ ℝ3 ⟶ ℝ2, x ↦(

x21 + x2x3, ex2 + x1 cos x3

)

. Kuvaus f on jatkuvastidifferentioituva, sillä

f1 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ f1(

x1, x2, x3)

= x21 + x2x3,

f2 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ f2(

x1, x2, x3)

= ex2 + x1 cos x3,

)1f1(x1, x2, x3) = 2x1 )2f1(x1, x2, x3) = x3 )3f1(x1, x2, x3) = x2)1f2(x1, x2, x3) = cos x3 )2f2(x1, x2, x3) = ex2 )3f2(x1, x2, x3) = −x1 sin x3

ja siis osittaisderivaatat ovat jatkuvia ℝ3 ⟶ ℝ. Edelleen

mat(

Df (x))

∼[

2x1 x3 x2cos x3 ex2 −x1 sin x3

]

ja erityisestiDf

(

1, 0, �)

∼[

2 � 0−1 1 0

]

.

Korollaari 10.0.6.

Kuvaus f ∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos kaikki(vektori)osittaisderivaatat )if , i = 1,… , n, ovat olemassa ja jatkuvia joukossa .


Vektorianalyysi I 10. DIFFERENTIOITUVUUDESTA

10.1 Yhteenveto

fj differentioituvaj = 1,… , m

f differentioituva

)ef on olemassae ∈ ℝn, ‖e‖ = 1

)if on olemassai = 1,… , n

)ifj ovat olemassaj = 1,… , mi = 1,… , n

f jatkuvasti differentioituva

)if ovat olemassa ja jatkuviai = 1,… , n

)ifj ovat olemassa ja jatkuviai = 1,… , nj = 1,… , m

f jatkuvaLause 6.0.5

∕

Lause 8.0.3∕

Määritelmä 8.0.5∕

Lause 8.0.6

Määritelmä 10.0.3∕

Seurauslause 10.0.6

Laskuharjoitus 1.1Lause 10.0.4

Kuva 41: Yhteenveto differentioituvuudesta. Olkoon yllä f = (

f1,… , fm)

∶ ⟶ ℝm, ⊂ ℝn

avoin joukko. ⟹ : Katso Vektorianalyysi I -luennot, siellä on vastaesimerkit.


Vektorianalyysi I VIITTEET

Viitteet

[1] Apostol Tom, Mathematical Analysis

[2] Hurri Ritva, Differentiaalilaskenta luennot

[3] Martio Olli, Vektorianalyysi, 2004: Limes Ry[4] Purmonen Veikko, Differentiaalilaskentaa Euklidisissa avaruuksissa, luentomoniste, Jyväs-

kylän yliopisto.[5] Spiegel Murray, Advanced Calculus, Schaum-sarja[6] Stewart James, Calculus, Early Transcendentals, Sixth Edition.[7] Väisälä Jussi, Topologia 1


vektorianalyysii mat21003 - courses · 2019. 10. 11. · kuva6:esimerkin1.2.1graaﬁ= t0 x 1;x 2; t...

Documents