vektoriai plokŠtumoje
DESCRIPTION
VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE. VEKTORIUMI VADINAMA KRYPTIN Ė ATKARPA T.Y. ATKARPA KURIOS NURODYTA PRADŽIA IR PABAIGA. Taškas A yra vektoriaus pradžia, Taškas B yra vektoriaus pabaiga. → Vektorius žymimas AB; → B Spindulio AB kryptis vadinama - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/1.jpg)
VEKTORIAIVEKTORIAIPLOKŠTUMOJPLOKŠTUMOJ
EE
![Page 2: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/2.jpg)
VEKTORIUMI VADINAMA VEKTORIUMI VADINAMA KRYPTINKRYPTINĖ ATKARPA T.Y. Ė ATKARPA T.Y. ATKARPA KURIOS ATKARPA KURIOS NURODYTA PRADŽIA IR NURODYTA PRADŽIA IR PABAIGA.PABAIGA.
![Page 3: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/3.jpg)
Taškas Taškas AA yra vektoriaus pradžia, yra vektoriaus pradžia, Taškas Taškas BB yra vektoriaus pabaiga. yra vektoriaus pabaiga. →→ Vektorius Vektorius žymimas žymimas AB;AB; → → B B Spindulio Spindulio ABAB kryptis vadinama kryptis vadinama a a →→ vektoriaus vektoriaus ABAB kryptimi kryptimi A A Atkarpos Atkarpos ABAB ilgis yra vektoriaus ilgis yra vektoriaus →→ ABAB ilgis. ilgis.
![Page 4: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/4.jpg)
VEKTORIŲ RŪŠYS
NULINIAI VEKTORIAI
VIENETINIAIVEKTORIAI
KOLINEARIEJIVEKTORIAI
PRADŽIA PRADŽIA SUTAMPASUTAMPA
SU PABAIGA,SU PABAIGA,ŽYMIMAS 0ŽYMIMAS 0
ARBA 0.ILGISARBA 0.ILGISLYGUS NULIUI.LYGUS NULIUI.
ILGIS LYGUSILGIS LYGUSVIENETUI.VIENETUI.
![Page 5: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/5.jpg)
KOLINEARIEJI VEKTORIAI
VIENAKRYPČIAI
ŽYMIMA a b
PRIEŠPRIEŠIAI
ŽYMIMA c ↓↑ d
DU NENULINIAI VEKTORIAI, KURIEYRA VIENOJE TIESĖJE ARBALYGIAGRAČIOSE TIESĖSE.
Vadinami LYGIAIS, jei jų ilgiai vienodi Vadinami PRIEŠINGAIS, jei jų ilgiai vienodi
![Page 6: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/6.jpg)
VEKTORIŲ SUDĖTISVEKTORIŲ SUDĖTIS
DVIEJŲ VEKTORIŲ SUDĖTIES TRIKAMPIODVIEJŲ VEKTORIŲ SUDĖTIES TRIKAMPIO
→ → → →
TAISYKLĖTAISYKLĖ – vektorių – vektorių aa ir ir bb suma vadinamas toks suma vadinamas toks
→ →→ →
vektorius vektorius cc kurio pradžia sutampa su vektoriaus kurio pradžia sutampa su vektoriaus aa
→ →
pradžia, o pabaiga – su vektoriaus pradžia, o pabaiga – su vektoriaus bb pabaiga. pabaiga.
![Page 7: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/7.jpg)
PavyzdysPavyzdys
11. 2. . 2. → → →→ → →
→ → → → c = a + bc = a + b
a ba b
→ → → →
a b a b
![Page 8: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/8.jpg)
LYGIAGRETAINIO TAISYKLĖLYGIAGRETAINIO TAISYKLĖ – dviejų nekolinearių – dviejų nekolinearių
→ → → →
vektorių vektorių aa ir ir bb suma yra vektorius, vaizduojamas suma yra vektorius, vaizduojamas
lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės yralygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės yra
→ → → →
vektoriai vektoriai aa ir ir bb, įstrižaine, einančia iš minėtų vektorių, įstrižaine, einančia iš minėtų vektorių
bendros pradžios.bendros pradžios.
![Page 9: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/9.jpg)
PavyzdysPavyzdys
1. 2.1. 2. → →
a a →→
→ → a a →→
bb cc → →
bb
![Page 10: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/10.jpg)
VEKTORIŲ SUDĖTIES DĖSNIAIVEKTORIŲ SUDĖTIES DĖSNIAI
→ → → →→ → → →
a a + b = b + a + b = b + a ((sudėties perstatomumo dėsnis)sudėties perstatomumo dėsnis)
→ → → → → →→ → → → → →
(a (a + b) + c = a + (b + c) + b) + c = a + (b + c) (su(sudėties jungiamumo dėties jungiamumo dėsnis)dėsnis)
→ →→ →
a a + 0 = a+ 0 = a
![Page 11: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/11.jpg)
VEKTORIVEKTORIŲ ATIMTISŲ ATIMTIS
→ → → → → → → → a – b = a + (- b)a – b = a + (- b) → → → →VEKTORIVEKTORIŲ ATIMTIES TAISYKLĖ Ų ATIMTIES TAISYKLĖ – vektorių a ir b skirtumu– vektorių a ir b skirtumu → → vadinamas toks vektorius, kurio pradžia yra vektoriaus bvadinamas toks vektorius, kurio pradžia yra vektoriaus b → → pabaiga, o pabaiga – vektoriaus a pabaiga.pabaiga, o pabaiga – vektoriaus a pabaiga. → → → → a a → →a a → →
1.1. →→ 2. 2. a - ba - b
b →b → bb
![Page 12: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/12.jpg)
VEKTORIAUS DAUGYBA IŠ SKAIČIAUSVEKTORIAUS DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS
→ →
Nenulinio vektoriaus a ir skaičiaus k ≠ 0Nenulinio vektoriaus a ir skaičiaus k ≠ 0 → → → →
sandauga vadinamas vektorius ka sandauga vadinamas vektorius ka = b, = b, kurio ilgiskurio ilgis → → → → → →
││k││a│; vektoriai a ir ka yra vienakrypčiai, kai k>0,k││a│; vektoriai a ir ka yra vienakrypčiai, kai k>0,
priešpriešiai, kai k<0priešpriešiai, kai k<0; ; šie vektoriai yrašie vektoriai yra kolinearūs kolinearūs → →→ → ½½a aa a
kk = ½ = ½ → →
k = - ½k = - ½ - -½½aa
![Page 13: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/13.jpg)
PAGRINDINĖS VEKTORIAUS IR PAGRINDINĖS VEKTORIAUS IR SKAIČIAUS DAUGYBOS SAVYBĖSSKAIČIAUS DAUGYBOS SAVYBĖS
→→ →→
(kl)a (kl)a = k(la) = k(la) (jungiamumo (jungiamumo dėsnis)dėsnis)
→→ → → →→ → →
k(a + b) = ka + kbk(a + b) = ka + kb ( I skirstomumo dėsnis)( I skirstomumo dėsnis)
→ → →→ → →
(k + l)a = ka + la(k + l)a = ka + la ( II skirstomumo dėsnis)( II skirstomumo dėsnis) → → → →
(-1)a = -a(-1)a = -a
![Page 14: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/14.jpg)
VEKTORIAUS REIŠKIMAS VEKTORIAUS REIŠKIMAS KOORDINATINIAIS VEKTORIAISKOORDINATINIAIS VEKTORIAIS
→ →→ → PPlokštumos vektoriuslokštumos vektorius OA = a OA = a yy iišreiškiamas koordinatiniais šreiškiamas koordinatiniais → → →→ → → → → AA vektoriais: vektoriais: a = x i +y ja = x i +y j yjyj → → a a x x ir ir yy – vektoriaus a koordinat – vektoriaus a koordinatės;ės; → → → → →→
j j i i { {1; 01; 0}} ir ir jj {{0; 10; 1}} - koordinatiniai - koordinatiniai → →→ →
vektoriai (|vektoriai (| i i | | = | j | == | j | = 1) 1) 0 → → x0 → → x i i xixi
![Page 15: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/15.jpg)
VEKTORIVEKTORIŲ SUMOS, SKIRTUMO, VEKTORIAUS Ų SUMOS, SKIRTUMO, VEKTORIAUS IR SKAIČIAUS SANDAUGOS KOORDINATĖSIR SKAIČIAUS SANDAUGOS KOORDINATĖS
→ → → → → → → →
1.1. Vektoriaus Vektoriaus a + ba + b koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{xx11; y; y11}}, , bb {{xx22;y;y22}, },
yra yra {{xx11+ x+ x22; y; y11 + y + y2 2 }} . .
→ → → →→ → → →
2.2. VektoriausVektoriaus a – ba – b koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{xx11; y; y11}},, bb {{xx22;y;y22},},
yra yra {{xx11 – x– x22; y; y11 – y – y22}} . .
→ →→ →3.3. k kaa koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{x; yx; y}, k – turimas }, k – turimas skaičius,skaičius,yra yra {{kx; ky} kx; ky} ..
![Page 16: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/16.jpg)
→→
Vektoriaus a {x; y} ilgį galima apskaičiuoti Vektoriaus a {x; y} ilgį galima apskaičiuoti taikant formulę: taikant formulę: 22 yxa
![Page 17: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/17.jpg)
→ → → →
DviejDviejų nenulinių plokštumos vektorių ų nenulinių plokštumos vektorių aa ir ir bb skaliarinė sandauga:skaliarinė sandauga:αα - kampas tarp vektorių. - kampas tarp vektorių.
→ → → →
Jei Jei aa {x {x11;y;y11} ir } ir bb {x {x22;y;y22}, tai jų skaliarinė sandauga }, tai jų skaliarinė sandauga
išreiškiama formule:išreiškiama formule:
cosbaba
2121 yyxxba
![Page 18: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/18.jpg)
VEKTORIŲ SKALIARINĖS VEKTORIŲ SKALIARINĖS SANDAUGOS SAVYBĖSSANDAUGOS SAVYBĖS
→ → → → → → → →11.. a a22 = a · a = |a| = a · a = |a|22 (vektoriaus skaliarinis (vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus to vektoriaus ilgio kvadratui)kvadratas lygus to vektoriaus ilgio kvadratui) → → → →→ → → →2.2. a · b = b · a a · b = b · a → → → → → → → →3.3. (ka) · b = k (a · b) (ka) · b = k (a · b) → → → → → → → → → → → → → →4.4. (a + c) · b = a · b + c · b (a + c) · b = a · b + c · b
![Page 19: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/19.jpg)
DVIEJDVIEJŲ VEKTORIŲ STATMENUMO Ų VEKTORIŲ STATMENUMO SĄLYGA – jei ,tai a SĄLYGA – jei ,tai a ·· b b = = xx11 · x · x22 + y + y11
· y· y22 = 0 = 0
KAMPAS TARP VEKTORIKAMPAS TARP VEKTORIŲ – Ų – tai kampas tai kampas tarp jtarp jų krypčių.ų krypčių.
ba
22
22
21
21
2121cosyxyx
yyxx
ba
ba
![Page 20: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/20.jpg)
DVIEJDVIEJŲ NENULINIŲ VEKTORIŲ Ų NENULINIŲ VEKTORIŲ KOLINEARUMO POŽYMISKOLINEARUMO POŽYMIS
→ → → →Du vektoriai a ir b yra kolinearDu vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei egzistuoja toksūs, jei egzistuoja toks
realusis skaičius k ≠ 0, su kuriuo būtų teisinga lygybėrealusis skaičius k ≠ 0, su kuriuo būtų teisinga lygybė→ →→ → b b = ka .= ka . → → → →Jei du plokJei du plokštumos vektoriai a {xštumos vektoriai a {x11;y;y11} ir b {x} ir b {x22;y;y22} yra } yra
kolinearūs,tai jų atitinkamos koordinatės yrakolinearūs,tai jų atitinkamos koordinatės yra
proporcingos t.y.proporcingos t.y. Rkky
y
x
x ,
1
2
1
2
![Page 21: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/21.jpg)
ATKARPOS VIDURIO TAŠKO ATKARPOS VIDURIO TAŠKO KOORDINATĖSKOORDINATĖS
yy C C – – atkarposatkarpos AB vidu-AB vidu-
BB (x(x22;y;y22)) rio taškas.rio taškas.
Taško C koordinatės Taško C koordinatės
CC (x;y)(x;y) randamos remiantis randamos remiantis
formulėmis: formulėmis: AA (x(x11;y;y11))
00 x x 221 xx
x
2
21 yyy
![Page 22: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/22.jpg)
ATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲ
BB
yy22 – y – y11
A A xx2 2 - x- x11 C C
2122
12 yyxxAB
![Page 23: VEKTORIAI PLOKŠTUMOJE](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061516/5681599d550346895dc6e842/html5/thumbnails/23.jpg)
SSĖKMĖS ĖKMĖS MOKANTISMOKANTIS!!
Parengė Parengė
33aakl. gimnazistėkl. gimnazistė