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VektorgeometrieWas ist ein Vektor?
Meike Akveld
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Skalare und vektorielle Grossen
Eine skalare Grosse hat einen Zahlwert. Ein Beispiel ist die
Temperatur.
Eine vektorielle Grosse hat einen Zahlwert und eine Richtung.
Beispiele sind die Geschwindigkeit oder eine Kraft.
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Koordinatensysteme
O = (0, 0) x
y
O = (0, 0)
P = (xP , yP )
xP
yP
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Koordinatensysteme
y
z
x
O = (0, 0, 0)
P = (xP , yP , zP )
xP
yP
zP
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Definition eines Vektors
Ein Vektor in R2 oder R3 ist die Gesamtheit aller Pfeile derselben Lange und
Richtung.
Beispiel:
x
y
P = (1, 1)
Q = (4, 3)
−−→PQ
−→v (3
2
)
Ein dreidimensionaler Vektor ist ein geordnetes Zahlentripel, welches wir als Spalte
in der Form
x
y
z
schreiben (analog fur zweidimensional). Die Eintrage x, y, z
nennt man Komponenten des Vektors.
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Definition eines Vektors
Ein Vektor in R2 oder R3 ist die Gesamtheit aller Pfeile derselben Lange und
Richtung.
Ein dreidimensionaler Vektor ist ein geordnetes Zahlentripel, welches wir als Spalte
in der Form
x
y
z
schreiben (analog fur zweidimensional). Die Eintrage x, y, z
nennt man Komponenten des Vektors.
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Spezielle Vektoren
Sei P = (x, y, z) ein Punkt in R3 (analog fur R2), so definiert man den Ortsvektor
von P als
−−→OP =
x
y
z
Als Nullvektor bezeichnen wir den Ortsvektor des Ursprungs d.h. den Vektor
(0
0
)
in der Anschauungsebene oder den Vektor
0
0
0
im Anschauungsraum.
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Addition und Subtraktion von Vektoren
Wir definieren die Summe ~s und die Differenz ~d zweier Vektoren ~u und ~v durch
~s = ~u+ ~v =
u1u2u3
+
v1v2v3
:=
u1 + v1u2 + v2u3 + v3
~d = ~u− ~v =
u1u2u3
−v1v2v3
:=
u1 − v1u2 − v2u3 − v3
und analog fur zweidimensionale Vektoren.
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Addition und Subtraktion von Vektoren
x
y
~u
~v
−−−→u+ v
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Addition und Subtraktion von Vektoren
x
y
~u
~v
−−−→u+ v
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Addition und Subtraktion von Vektoren
x
y
P
Q−−→OQ
−−→OP
−−→PQ
−−→OP +
−−→PQ =
−−→OQ
⇐⇒−−→PQ =
−−→OQ−
−−→OP
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Skalare Multiplikation
Wir definieren die skalare Multiplikation eines Vektors ~v in R3 mit einer reellen Zahl t
durch
t · ~v = t ·
v1v2v3
:=
t · v1t · v2t · v3
x
y
~v
t · ~v, t > 1
~v
t · ~v, 0 < t < 1
t · ~v, t < 0
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Lange eines Vektors
Wir definieren die Lange eines zweidimensionalen Vektors ~v =
(v1v2
)durch
|~v| :=√v21 + v22
x
y
|~v|
|v1|
|v2|
~v = (v1, v2)
Analog definiert man die Lange fur dreidimensionale Vektoren durch
|~v| :=√v21 + v22 + v23
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Lange eines Vektors
Wir definieren die Lange eines zweidimensionalen Vektors ~v =
(v1v2
)durch
|~v| :=√v21 + v22
Analog definiert man die Lange fur dreidimensionale Vektoren durch
|~v| :=√
v21 + v22 + v23