vectores, planos

TEMA: MONOGRAFIA DE MATEMATICA II

Integrantes:

ESQUIVEL AGUILAR CLELIA

SALAZAR MAZA JUAN CARLOS

Aula: B 303

Curso: MATEMATICA II

Profesor: Ing. Nidia acha

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

SEM HRS TEMA REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

1 03

Matrices, tipos de Matrices, igualdad de matrices, Suma y diferencia de Matrices. Propiedades, Multiplicación de un Escalar por una matriz.

2 03

Producto de Matrices. propiedades. Matrices especiales: conmutativa, indepotente, involutiva y nilpotente de cierto orden. Matriz transpuesta, simétrica y antisimétrica. Propiedades.

3 03

Determinantes. Definición para matrices de orden 2 y 3. propiedades de los determinantes. Matriz no singular. Definición de Matriz inversa. Propiedades. Rango de una matriz.

4 03Menores y cofactores de una matriz. Adjunta de una matriz. Propiedades de la inversa de una matriz por el método de la adjunta.

5 03Determinante de una matriz de orden 4 pos cofactores. Generalización a Matrices de orden n.

6 03

Operaciones elementales con filas y columnas de una matriz. Equivalencia de matrices. Matriz escalonada, aplicación al cálculo del rango de una matriz y al cálculo de la inversa una matriz.

7 03Sistema de ecuaciones lineales. Solución por métodos matriciales utilizando: Regla de Cramer y operaciones elementales.

8 03

Sistemas de Coordenadas Tridimensionales. Distancia entre dos puntos. Vectores en R3. Suma de vectores. Propiedades. Producto de un vector por un escalar. Propiedades. Producto escalar. Propiedades. Norma de un vector. Vectores ortogonales. Proyección ortogonal y componentes.


9 03 Revisión de Semanas 1 – 8

11 03

Ángulos entre dos vectores. Combinación lineal de vectores, independencia lineal de vectores. Producto Vectorial. Propiedades e interpretación geométrica. Triple producto escalar, propiedades e interpretación geométrica.

12 03Recta en R3. Ecuación vectorial de la recta. Ecuación simétrica de la recta. Distancia de un punto a una recta, ángulo entre dos rectas.

13 03

Planos, ecuación vectorial, normal y general de un plano, distancia de un punto a un plano. Intersección de una recta y un plano. Intersección de planos.

14 03

Sistema de los números Complejos. Representación e igualdad de complejos. Conjugado de un complejo, suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Propiedades.

15 03

Módulo de un número complejo. Propiedades. Argumento de un Complejo. Forma polar de un complejo. Forma exponencial de un complejo. Propiedades, Fórmula de Moivre. Potencias enteras y raíces n-esimas de un número complejo.

16 03

Polinomios de grado n definidos en C. Igualdad de polinomios. Raíces de polinomios. Teorema fundamental del álgebra y demás Teoremas relacionados a la solución de ecuación polinómica.

17 03

Métodos para encontrar las raíces racionales, irracionales y Complejas. Polinomio característico, valores propios y vectores propios de una matriz simétrica real.


Matrices y determinantes OPERACIONES

PROBLEMA Nº1


PROBLEMA

A) Para calcular ABC, se calcula primero el producto de AB y el resultado se multiplica a la derecha de la matriz C.

B) En primer lugar se calcula la matriz traspuesta en C, intercambiando sus filas y sus columnas.


PROBLEMA


PROBLEMA

PROBLEMA

4. Sea la matiz:A =

5 –4 22 –1 1–4 4 –1

a) Prueba que: A2– 2A + I = 0donde I es la matriz identidad y O es una matriz contodos sus elementos iguales a cero.

b) Calcula A3a) Se calcula primero A2 y 2ª


PROBLEMA


DETERMINANTE - COFACTORES

Hallar el determinante de |A|

A=[6 5 32 4 51 2 −3 ]

Primero hallamos los cofactores de la primera fila

Cofactor deA11 6=6 (−1 )1+1=6 (−1 )2=+6

Cofactor de A12 5=5 (−1 )1+2=5 (−1 )3=−5

Cofactor de A13 3=3 (−1 )1+3=3 (−1 )4=3

Luego hallamos los menores de la primera fila


A=[6 5 32 4 51 2 −3 ] M11= [4 5

2 −3 ]

A=[6 5 32 4 51 2 −3 ] M12= [2 5

1 −3 ]

A=[6 5 32 4 51 2 −3 ] M13= [2 4

1 2 ]

Ahora lo colocamos como la definición

|A|=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]=a11 A11+a12 A12+a13 A13

|A|=[6 5 32 4 51 2 −3 ]= (6 )[4 5

2 −3 ]+(−5 )[2 51 −3 ]+(3 )[2 4

1 2 ]=

Ahora operamos

=6 {(4×−3 )−(5×2 ) }+ (−5 ) {(2×−3 )−(5×1 ) }+ (3 ) {(2×2 )− (1×4 ) }=

=6 (−22 )−5 (−11)+3 (0 )==132+55=−77


PROBLEMAS

Calcule el determinante de

A=[1 0 35 0 43 2 5 ]

A=[1 0 35 0 43 2 5 ] |A|= (0 )[5 4

3 5 ]+(0 )[1 33 5 ]+ (2 )[1 3

5 4 ]=0+0+2 ( 4−15 )=−22

PROBLEMAS

Calcule el determinante de:

A=[1 0 0 30 −1 0 42 3 0 01 5 −2 6

]Desarrollamos A

|A|=a13 A13+a23 A23+a33 A33+a43 A43=¿0 A13+0 A23+0 A33+(−2 ) A43=¿ (−2 ) A43


Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la segunda columna.

Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la tercera columna.

A=[1 0 0 30 −1 0 42 3 0 01 5 −2 6

](−2 ) A43=(−2 ) [1 0 3

0 −1 42 3 0 ]

(−2 ) A43=(−2 ){(−1 )4+3((1 ) [−1 43 0 ]−0[0 4

2 0 ]+3[0 −12 3 ])}=

(−2 ) {(−1 ) (−12+0+3 (2 ) ) }=(−2 ) {(−1 ) (−6 ) }=(−2 ) (6 )=12

DETERMINANTES DE ORDEN 2

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:


Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43

así

DETERMINANTES DE ORDEN 3

Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna de esta matriz

a) Averigua cuántos productos hay y calcula todos ellos.

b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 × 3 cualquiera


PROBLEMAS

Justifica, sin desarrollar, estas igualdades


PROBLEMA

Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a de la matriz


PROBLEMA

. Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:

Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.


PROBLEMA

a) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 1-ª fila por el correspondiente adjunto de la 3-ª fila.

b) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 3-ª columna por el adjunto de los correspondientes elementos de la 2-ª columna.

c) Justifica por qué los dos resultados anteriores son cero


PROBLEMA

Calcula el rango de las siguientes matrices:


PROBLEMA

Resuelve estas ecuaciones


PROBLEMAS

Calcula el valor de este determinante dando el resultado factor izado


PROBLEMA

Calcula el valor de este determinante:

PROBLEMA


PROBLEMA


PROBLEMA

PROBLEMAS MEDIANTE LA REGLA DE CRAMER


PROBLEMA


PROBLEMAS

Determinar A y B para que el sistema sea indeterminado:


PROBLEMA


PROBLEMA

RESOLVER EL SISTEMA HOMOGENEO


PROBLEMA

Estudiar el siguiente sistema según los distintos

valores de a y b.


MATRIZ INVERSA

PROBLEMA

Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.

1) [ 1 5−2 3 ]

2) [−2 −1−3 4 ]

3) [2 37 9 ]

4) [ 2 −3−4 −6 ]

5) [−6 −12

3 6 ]6)

[8 13 4 ]

Calcula la A−1

A=[1 −2 35 −1 23 4 −3 ]

Solución

Primero calculamos la determinante de A

A=[1 −2 35 −1 23 4 −3 ]

|A|=(1 )[−1 24 −3 ]−(−2 )[5 2

3 −3 ]+(3 )[5 −12 4 ]= (3−8 )+2 (−15−6 )+3 (20+2 )=

=−5+42+66=103

Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.


A11=(−1)1+1 [−1 24 −3 ]=−5

A12=(−1 )1+2[5 23 −3 ]=21

A13=(−1)1+3[5 −13 4 ]=17

A21=(−1)2+1[−2 34 −3 ]=−6

A22=(−1)2+2[1 33 −3 ]=−12

A23=(−1)2+3[1 −23 4 ]=2

A31=(−1 )3+1[−2 3−1 2 ]=1

A32=(−1 )3+2[1 35 2 ]=13

A33=(−1)3+3 [1 −25 −1 ]=9

Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo BT

que es la adjA .

B=[−5 21 17−6 −12 21 13 9 ]

BT=[−5 −6 121 −12 1317 2 9 ]=adjA

Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:

A−1= 1|A|[ A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33]= 1

103 [−5 −6 121 −12 1317 2 9 ]

PROBLEMA


PLANOS

Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y su vector director, el vector

tiene igual dirección que , luego es igul a multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:


Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se

tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los

planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos

denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también

las ecuaciones implícitas .

Ejemplos

1.Hallar las ecuaciones paramétricas , en

forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2,

1) y cuyo vector director es .


2.Hallar las ecuaciones paramétricas , en forma continua e implícita de

la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3.Sea r la recta de ecuación:


¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

Dada la recta r:

4.Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica .


Ejercicios resueltos de puntos en el espacio

1

Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo

son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1).

Hallar las coordenadas de los vértices C y D.


2

Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4),

hallar:

1. Las ecuaciones de las medianas del triángulo .


2. Las coordenadas del baricentro del triángulo.

3. Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices

son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

Los baricentros de los dos triángulos coinciden .

3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y

B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.

Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la

recta que pasa por A y B.


Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está

alineado con A y B.

4

Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2,

m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta

que los contiene.

·

5

Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2),

C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) seancoplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados

por ellos también han de sercoplanarios, es decir, que el rango de los

vectores sea 2.


Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes

de los vectores ha de ser igual a cero.

6

¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c

para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean

coplanarios?

Los puntos A, B, C y D son coplanarios si:

7

Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3)

y (7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que

los contiene.


8

1.Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada

por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1)..

9

2.Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por

por el punto (2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.


10

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y

lleva la dirección del vector .

11

1.Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar los puntos de la

recta AB que tienen al menos una coordenada nula.


12

Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los

planos: x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1,

5).

El vector director de la recta es perpendicular a los vectores

normales de cada plano.

13

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0)

y corta a las rectas:

La recta pedida es la intersección de los dos planos que pasan por A

y contienen a las rectas r y s.

Plano que contiene a A y r.


Plano que contiene a A y s.

La recta perdida es:

14

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0,

3, 2) y es paralelo a la recta:

15

Dadas las rectas


Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a

s.

16

Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes

coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo

ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.

Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos son iguales.

17

2.Hallar la ecuación del plano que contienen a las rectas:


18

Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos

coordenados .


19

Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0

y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector .

20

Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1)

y es paralelo a:


21

3.Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a

la recta de ecuación:

22

Hallar la cual del plano que contiene a la recta

y es paralelo a la recta .

El punto A(2, 2, 4) y el vector pertenecen al plano, ya

que la primera recta está contenida en el plano.

El vector es un vector del plano, por ser paralelo a la

recta.


23

Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:

y que pasa por el punto (1, 1, 2).

Vectores

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A

(origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector

Es la longitud del segmento AB , se representa por .


Dirección del vector

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de

cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector

El que va del origen A al extremo B.

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y

sentido.

Vector libre

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre.

Cada vector fijo es un representante del vector libre.


Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se

llama vector de posición del punto P.

Coordenadas de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas

del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas

del extremo menos las coordenadas del origen.

Si tenemos las componentes de un vector:


Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene

de extremos dichos puntos.

Vector unitario

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos

vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del

otro vector.


Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se

trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya

diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las

componentes de los vectores.

Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector .


Del mismo sentido que el vector si k es positivo .

De sentido contrario del vector si k es negativo .

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen

multiplicando por K las componentes del vector.

Coordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las

coordenadas de los extremos.

Condición para qué tres puntos estén alineados


Los puntos A (x 1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los

vectores tengan la misma dirección . Esto ocurre cuando sus

coordenadas son proporcionales.

Simétrico de un punto respecto de otro

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del

segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

Coordenadas del baricentro


Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección

de sus medianas.

Las coordenadas del baricentro son:

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un

punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las

dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Ejercicios resueltos de vectores

1


Dado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes

a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

2

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices:

A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.


3

Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y

B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en

dos partes tales que AC es la mitad de CB.

4

Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro

partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?


5

Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y

B, de manera que se obtenga


6

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y

C(6, 3).

Si:

7

Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de

un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?


x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1

y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3

A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

Unidad imaginaria

Se llama así al número y se designa por la letra i.


Número complejoAl número a + bi le llamamos número complejo en FORMA BINÓMICA.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a

+ 0 i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es

un NÚMERO IMAGINARIO PURO.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos complejos son iguales cuando tienen la misma componente

real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario .

El punto (a,b), se llama su AFIJO,

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1


i3 = −i

i4 = 1

Suma y diferencia de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i

Producto de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc) i

Cociente de números complejos

Números complejos en forma polar y trigonométrica

MÓDULO de un número complejo es el módulo del vector

determinado por el origen de coordenadas y su afijo . Se designa

por |z|.

ARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con

el eje real . Se designa por arg(z).

|z| = r arg(z) = z = rα


.

Binómica z = a + bi

Polar z = rα

trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

Iguales


Conjugados

Opuestos

Producto de complejos en forma polar

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = r α por 1β se gira z un

ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β

Cociente de complejos en forma polar

Potencia de complejos en forma polar


Fórmula de Moivre

Raíz n-ésima de complejos en forma polar

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)

Ejercicios resueltos de números complejos

1

Calcular todas las raíces de la ecuación: x 6 + 1 = 0

2

Realiza las siguientes operaciones:

1


2

3

4


3

Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.


4

Calcula , dando el resultado en forma polar.

5

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces

cúbicas.


6

Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:


7

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 5α y sen 5α

Binomio de Newton


Fórmula de Moivre

8

Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los

opuestos de:

14 + 4i

2−2 + 2i


9

Calcular todas las raíces de la ecuación: x 5 + 32 = 0

10

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

Binomio de Newton


Fórmula de Moivre

11

Calcula k para que el número complejo que obtenemos al

dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Para que el afijo, (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer

cuadrante, tiene que cumplirse: a = b.


12

Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de

centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el

afijo del complejo 190° .

Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z.

z = (190°)6 = 1540° = 1180°


13

Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el

origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0,

−2).

(0, −2) = −2 i = 2270°

Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z.

(2270°)4 = 161080º = 163 · 360° = 160°

14

La suma de los componentes reales de dos números complejos

conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos

complejos en la forma binómica y polar.


z = a + b i = rα

z = a − b i = r−α

r + r = 10 r = 5

a + a = 6 a = 3

52 = 32 + b2 b=4

r cos α + r cos (−α) = 6

5 cos α + 5 cos α = 6

cos α = 3/5

α = 53° 7' 48'' α = 306° 52' 11''

3 + 4 i = 553° 7 ' 48 ' '

3 − 4 i = 5306° 52 ' 11 ' '


vectores, planos

Documents