vectores en el plano

Vectores en el plano y en el espacio

Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa

Rocıo Meza Moreno Vectores

Coordenadas cartesianasVectores

Puntos en el planoPuntos en el espacioDistancia entre dos puntos

Coordenadas cartesianas

El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas numericasperpendiculares, una horizontal y una vertical.

Un punto del plano es una pareja de numeros reales denotadapor (x, y).

Todo punto puede representarse graficamente en elplano cartesiano.

Un punto del plano es una pareja de numeros reales denotadapor (x, y). Todo punto puede representarse graficamente en elplano cartesiano.

El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectasnumericas perpendiculares entre sı.

Un punto del en el espacio es una terna de numeros realesdenotada por (x, y, z).

Y puede representarse graficamenteusando las coordenadas cartesianas espaciales.

Un punto del en el espacio es una terna de numeros realesdenotada por (x, y, z). Y puede representarse graficamenteusando las coordenadas cartesianas espaciales.

Observe que R2 esta contenido en R3, pues

R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}

Observe que R2 esta contenido en R3, pues

R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}

Distancia entre dos puntos

En el plano

Distancia entre dos puntos en el plano

La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), delplano cartesiano esta dada por:

d(P,Q) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

En el espacio

Distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) yQ = (x2, y2, z2) en el espacio esta dada por:

d(P,Q) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Vectores de posicionMagnitud y direccionOperaciones con vectores

Vectores

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.

Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.

En el plano

Vectores

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.

En el plano

Vectores

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direccion.Geometricamente un vector ~v puede especificarse por medio desu punto inicial y su punto final.

En el plano

En el espacio

Las caracterısticas importantes de un vector son sumagnitud y su direccion.

Ası pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen lamisma magnitud y direccion como representaciones del mismovector, independientemente de la posicion en que se encuentresu punto inicial.

Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos almismo vector ~v.

Como no importa la posicion de un vector, se acostumbrarepresentarlo por medio del segmento dirigido que tiene lamisma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en elorigen. Un vector tal se llama vector de posicion.

Para determinar un vector de posicion, basta conocer supunto final. Para denotar un vector de posicion ~v usaremos elsımbolo:

~v = 〈a, b〉

donde a y b son las coordenadas del punto final del vector ~v.

Para determinar un vector de posicion, basta conocer supunto final. Para denotar un vector de posicion ~v usaremos elsımbolo:

~v = 〈a, b〉

donde a y b son las coordenadas del punto final del vector ~v.

¡Atencion!

(a, b) 〈a, b〉⇓ ⇓

Punto con coordenadas Vector de posiciona y b con punto final (a, b)

Nota: En muchos libros se usa la notacion (a, b) para punto yvector. En esos casos, se debe entender a cual de los dos seesta haciendo referencia por el contexto.

¡Atencion!

(a, b) 〈a, b〉⇓ ⇓

Punto con coordenadas Vector de posiciona y b con punto final (a, b)

Nota: En muchos libros se usa la notacion (a, b) para punto yvector. En esos casos, se debe entender a cual de los dos seesta haciendo referencia por el contexto.

Dado un vector−−→PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto

final Q = (x2, y2).

Si consideramos su correspondiente vector de posicion:

las coordenadas de su punto final son

las coordenadas de su punto final son (x2 − x1, y2 − y1)

Dado un vector en el plano ~v =−−→PQ con punto inicial

P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representacion comovector de posicion esta dada por

~v = 〈x2 − x1, y2 − y1〉

En el espacio ocurre lo mismo

Dado un vector en el espacio ~v =−−→PQ con punto inicial

P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representacioncomo vector de posicion esta dada por

~v = 〈x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1〉

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector−−→PQ es la distancia que hay entre el

punto inicial P y el punto final Q.

Se denota por el sımbolo

‖−−→PQ‖

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector−−→PQ es la distancia que hay entre el

punto inicial P y el punto final Q.

Se denota por el sımbolo

‖−−→PQ‖

En el plano:

Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2),

entonces

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

En particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y〉 es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,

‖~v‖ =√x2 + y2

En el plano:

Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

‖~v‖ =√x2 + y2

En el plano:

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

‖~v‖ =√x2 + y2

En el plano:

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

‖~v‖ =√x2 + y2

En el espacio:

Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2),

entonces

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Y en particular, la magnitud de un vector de posicion~v = 〈x, y, z〉 es la distancia del origen al punto final (x, y, z),esto es,

‖~v‖ =√x2 + y2 + z2

En el espacio:

Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

‖~v‖ =√x2 + y2 + z2

En el espacio:

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

‖~v‖ =√x2 + y2 + z2

En el espacio:

‖−−→PQ‖ =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

‖~v‖ =√x2 + y2 + z2

Direccion de un vector

La direccion de un vector en el plano es el angulo 0 ≤ θ < 2πmedido en radianes que forma dicho vector con el lado positivodel eje x.

Muchos conceptos fısicos pueden representarse por medio devectores:

Velocidad:

Muchos conceptos fısicos pueden representarse por medio devectores:

Velocidad:

Fuerza:

Desplazamiento:

Suma de vectores

Para sumar geometricamente dos vectores ~v1 y ~v2

se traza una copia del primer vector de manera que su puntoinicial coincida con el punto final del segundo vector

La suma ~v1 + ~v2 es el vector cuyo punto inicial es el puntoinicial de ~v1 y cuyo punto final es el punto final de ~v2.

Observese que si se traza una copia del segundo vector con supunto inicial en el punto final del primero, se obtiene el mismoresultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa.

En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera.

Desigualdad del triangulo

Para cualesquiera dos vectores ~v1 y ~v2 se cumple que

‖~v1 + ~v2‖ ≤ ‖~v1‖+ ‖~v2‖

Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.

En el plano:

Si ~v1 = 〈x1, y1〉 y ~v2 = 〈x2, y2〉, el vector suma es

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

En el espacio:

Si ~v1 = 〈x1, y1, z1〉 y ~v2 = 〈x2, y2, z2〉, el vector suma es

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉

Es decir, la suma de vectores se obtiene sumandocomponente a componente.

En el plano:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

En el espacio:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉

En el plano:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

En el espacio:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉

En el plano:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

En el espacio:

~v1 + ~v2 = 〈x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2〉

Ejercicio.

Explique por que cuando se suman geometricamente dosvectores en el plano ~v = 〈v1, v2〉 y ~w = 〈w1, w2〉, el vectorresultante en efecto tiene componentes

~v + ~w = 〈v1 + w1, v2 + w2〉

Multiplicacion por un escalar

El producto de un vector por un numero es un vector que sedefine en la siguiente forma.

En el plano:

Si ~v = 〈x, y〉 y λ ∈ R el producto del ~v por λ es

λ~v = 〈λx, λy〉

En el espacio:

Si ~v = 〈x, y, z〉 y λ ∈ R el producto de ~v por λ es

λ~v = 〈λx, λy, λz〉

Es decir, para multiplicar un vector por un escalar semultiplica cada componente por dicho escalar.

En el plano:

En el espacio:

En el plano:

En el espacio:

En el plano:

En el espacio:

Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica sudireccion, solo modifica su magnitud.

Esto es porque si ~v es un vector en el plano o en el espacio yλ es un numero real, entonces la magnitud de λ~v es

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖

Por ejemplo,

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖

Por ejemplo,

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖

Por ejemplo,

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = λ · ‖~v‖

Por ejemplo,

Si el escalar λ es negativo entonces

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = −λ · ‖~v‖

En este caso, ademas de modificarse la magnitud del vector ~vpor un factor |λ| el vector λ~v tiene direccion opuesta a ~v.

Si el escalar λ es negativo entonces

‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ = −λ · ‖~v‖

En este caso, ademas de modificarse la magnitud del vector ~vpor un factor |λ| el vector λ~v tiene direccion opuesta a ~v.

Por ejemplo,

Ejercicio.

¿Que ocurre cuando se multiplica un vector por un escalarcon |λ| < 1?

Vectores paralelos

Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcciono bien tienen direcciones opuestas.

Algebraicamente, dos vectores ~v y ~w son paralelos si se puedeescribir

~v = λ~w

para algun numero real λ.

Si λ es positivo ~v y ~w tienen la misma direccion, pero si λ esnegativo tienen direcciones opuestas.

Vectores paralelos

~v = λ~w

Vectores paralelos

~v = λ~w

vectores en el plano

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