vectores 02
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Vectores
• Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud.
• La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.
• El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc.
• La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.
• Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
Componentes de un vector
• Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
• Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Escrito matemáticamente
• Sea α el ángulo que forma con el eje horizontal
• Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente
Usando trigonometría, recordemos:
Hipotenusa
opuestocatsen
.=αCat. Opuesto
al ángulo
Cat. adyacenteal ángulo
Hipotenusa
adyacentecat.cos =α
ααα
costan
sen=
Donde:
a
Representa el módulo del vector “a”
kji ˆ;ˆ;ˆ Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente
Operaciones con vectores
• Suma de vectores:
• Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.
Producto punto
• El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++⋅++=
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaC
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=0 0
00
0 0
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1 1 1
zzyyxx bababaC ⋅+⋅+⋅=
El resultado es un escalar (NO VECTOR)
Módulo de un vector
AAA
⋅=
Matemáticamente se escribe:
si
kajaiaA yyxˆˆˆ ++=
El modulo representa el tamaño del vectorY es un escalar.
Producto Cruz
• El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector.
• Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.
0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjii
jik
jki
ijk
ikj
kij
kji
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
=×
−=×
−=×
=×
−=×
=×
No es conmutativo
Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz
i
jk
X
=
( + )
Producto en sentido Horario es positivo
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++×++=
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaC
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅
+×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅+
+×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅= 0
0
0
)ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ(
jkbaikba
kjbaijba
kibajibaC
yzxz
zyxy
zxyx
×⋅⋅+×⋅⋅
+×⋅⋅+×⋅⋅+
+×⋅⋅+×⋅⋅=
i
j
k j−
k−
i−
)ˆ()ˆ()ˆ(
)ˆ()ˆ()ˆ(
ibajbaiba
kbajbakbaC
yzxzzy
xyzxyx
−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅=
)ˆ()(
)ˆ()()ˆ()(
jbaba
ibabakbabaC
zxxz
yzzyxyyx
⋅⋅−⋅+
+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=
)ˆ()(
)ˆ()()ˆ()(
kbaba
jbabaibabaC
xyyx
zxxzyzzy
⋅⋅−⋅+
+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+= Reordenando
)ˆˆ(6)ˆˆ(3
)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4
)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(
jkik
kjijkijiC
kjikjiBAC
×+×+
+×+×+×+×=
++×++=×=
)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC −+++−+−+=
iC ˆ2−=
j5− k3+
Una aplicación simple de vectores
• El ciclo cardíaco puede representarse de forma simple con los siguientes vectores que aparecen de forma sucesiva en el tiempo:
VECTORES ELÉCTRICOSEl potencial que registra un electrodo depende de la variación en el tamaño, la geometría y la posición que ocupa sucesivamente la superficie que separa el área activa de la de reposo durante la despolarización y la repolarización. Durante la despolarización el área activa será negativa con respecto a la que aún está en reposo, es decir, que la excitación se propaga como un frente que lleva cargas positivas en la ”cabeza” y deja cargas negativas en la ”cola”. Estos dipolos pueden representarse mediante vectores que se dirigen hacia la parte positiva y cuya magnitud depende de la superficie libre del órgano que está despolarizada. Si este vector se proyecta sobre una línea de derivación el tamaño y polaridad de esta proyección corresponde a la amplitud y la polaridad de la onda que se registra en ese momento.
Para la proyección de los vectores en el plano, se supone que los miembros forman los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Einthoven) cuyo centro es ocupado por el corazón y cuyos lados constituyen las líneas de derivación Dl, Dll y Dlll. Se supone también que el cuerpo se comporta como un conductor homogéneo.
. Proyecciones de un vector (flecha sombreada) sobre el triángulo de
Einthoven y el sistema triaxial
• Un vector que corresponde la activación auricular (A).
• Un vector que corresponde a la activación septal y que tiene una dirección principal de izquierda a derecha (1).
• Un vector que inicialmente corresponde a la activación coincidente de los dos ventrículos y posteriormente a la activación de las regiones central y apical del ventrículo izquierdo -ya estando el ventrículo derecho despolarizado- (2).
• Un vector que corresponde la activación basal y posterior del ventrículo izquierdo y del septo (3).
• Un vector (no representado) que corresponde a la repolarización ventricular.
• En pocas palabras.
• La despolarización o activación y la repolarización o activación de los miocitos, se representa con un vector con diferentes cargas en su cabeza (punta del vector) y en su cola (origen del vector).
• La despolarización: se representa con un vector cuya cabeza es positiva y cola negativa.
• La orientación angular o derivación de todo electrodo del vector, lo que define el carácter positivo o negativo del mismo da origen al ECG.
• En la repolarización el vector será negativo en la cabeza del mismo y positivo en la cola.