varijacijski ra cun i primjene boris muhaborism/varracun.pdf · varijacijski ra cun i primjene je...
TRANSCRIPT
Varijacijski racun i primjene
Boris Muha
Verzija25/10/2017
Sadrzaj
Poglavlje 1. Uvod 1
1.1. Uvodni primjeri 1
Poglavlje 2. Klasicne metode 5
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe 5
Poglavlje 3. Direktne metode 15
3.1. Dirichletov integral 15
3.2. Opcenit teorem egzistencije minimizatora - skalarni slucaj 17
3.3. Euler-Lagrangeove jednadzbe 20
3.4. Vektorski slucaj 22
Poglavlje 4. Teorija regularnosti 25
4.1. 1D slucaj 25
4.2. n-dimenzionalni slucaj 28
Poglavlje 5. Primjene 33
5.1. Problem prepreke 33
Dodatak A. Funkcijski prostori 37
A.1. Prostori neprekidnih i Holderovih funkcija 37
A.2. Prostori Soboljeva 38
A.3. Konveksna analiza 40
Dodatak B. Primjeri kolokvija 41
B.1. Akademska godina 2015/16 41
B.2. Zadaci za vjezbu 44
Literatura 47
vii
Poglavlje 1
Uvod
Varijacijski racun i primjene je kolegij koji se izvodi u sklopu izbornog modula”Optimizacija” na Diplomskom sveucilisnom studiju Primijenjena matematika. Ovinastavni materijali nastali su prema predavanjima koje sam odrzavao akademskegodine 2015/16 te se vecinom temelje na standardnom udzbeniku [Dac15] kojije ujedno i glavna literatura za ovaj kolegij. Kao dodatna literatura koristi se iudzbenik [GF63]. Varijacijski racun je klasicna matematicka disciplina s bogatompovijescu. Recimo, 3 Hilbertova problema (19., 20. i 23.) su vezana uz varijaci-jski racun. Takoder, varijacijski racun je danas predmet intenzivnog istrazivanja smnogobrojnim primjenama.
1.1. Uvodni primjeri
Pocnimo s par klasicnih primjera koji su igrali veliku ulogu u razvoju varijacijskogracuna.
1.1.1. Didonin problem. Didonin1 problem ili isoperimetricka nejednakost jejedan od najstarijih matematickih problema. Problem glasi: ”naci zatvorenu ravnin-sku krivulju danog opsega koja zatvara najvecu povrsinu”. Vise o povijesti Di-doninog problema i njegovom utjecaju na varijacijski racun mozete naci u [Ban17](pdf). Preciznije, neka je A ⊂ R2 otvoren ogranicen skup takav da je ∂A jednos-tavna glatka zatvorena krivulja. Oznacimo s L(∂A) duljinu krivulje ∂A (opseg odA), a s M(A) mjeru (povrsinu) skupa A. Sada problem glasi:za dani l > 0 odredi B ⊂ R2 takav da
M(B) = maxM(A) : A ⊂ R2, L(∂A) = l.
Sada cemo problem jos jednom preformulirati u oblik pogodan za rjesavanje meto-dama varijacijskog racuna. Kako smo pretpostavili da je ∂A jednostavna glatka
1Didona je bila prva mitska kraljica Kartage.
1
2 1. Uvod
zatvorena krivulja, onda postoji njena parametrizacija, tj. postoji glatka funkcijau : [a, b]→ R2, takva da u(a) = u(b) i
∂A = u([a, b]) = u(x) = (u1(x), u2(x)) : x ∈ [a, b].
Tada
L(∂A) = L(u) =
∫ b
a
|u′(x)dx| =∫ b
a
√u′1(x)2 + u′2(x)2dx.
Izracunajmo sada povrsinu M(A) u terminima parametrizacije u. Tangenta na ∂Au tocki u(x) dana je formulom u′(x) = (u′1(x), u′2(x)), a jedinicna vanjska normalaje dana formulom
n(x) =1
‖u′‖(−u′2(x), u′1(x)).
Po Teoremu o divergenciji imamo:
M(A) =
∫A
1dx =1
2
∫A
div
(x1
x2
)dx =
1
2
∫∂A
(x1
x2
)· ndγ
=1
2
∫ b
a
(− u1(x)u′2(x) + u′1(x)u2(x)
)dx =
∫ b
a
u1(x)u′2(x)dx.
U predzadnjoj jednakosti u gornjoj formuli iskoristili smo definiciju krivuljnog in-tegrala, a u zadnjoj smo napravili parcijalnu integraciju i iskoristili cinjenicu daje krivulja zatvorena. Dakle, definiramo funkcional I(u) = I(u1, u2) = M(A) =∫ bau1(x)u′2(x)dx i prostor
X = u ∈ C1([a, b];R2) : u(a) = u(b),
∫ b
a
√u′1(x)2 + u′2(x)2dx = l.
Didonin problem sada mozemo napisati na sljedeci nacin:odredi v ∈ X takav da
I(v) = maxI(u) : u ∈ X.
Ocekivano, rjesenje Didoninog problema je krug. To je posljedica Isoperimetri-jske nejednakosti koju cemo dokazati u sklopu ovog kolegija:
L(∂A)2 − 4πM(A) ≥ 0.
Ako je A krug radijusa r tada vrijedi jednakost (L(A) = 2rπ, M(A) = r2π).Dokazat cemo da vrijedi i obrat, tj. jednakost vrijedi samo ako je A krug.
Isoperimetrijska nejednakost moze se poopciti i na vise dimenzije i tada glasi:
L(∂A)d − ddωdM(A)d−1 ≥ 0,
gdje je ωd mjera jedinicne kugle u Rd. Nadalje, ukoliko je A dovoljno regularantada jednakost vrijedi ako i samo ako je A kugla.
1.1. Uvodni primjeri 3
1.1.2. Mehanicki sustavi. Promotrimo mehanicki sustav koji se sastoji od ncestica. Neka je mi masa i-te cestice i ui(t) = (xi(t), yi(t), zi(t)) ∈ R3 polozaj i-tecestice u trenutku t, 1 ≤ i ≤ n. Tada definiramo ukupnu kineticku energiju sustavas:
T (u′) =1
2
n∑i=1
mi‖u′i‖2 =1
2
n∑i=1
mi
(x′2i + y′2i + z′2i
),
gdje je u = (u1, . . . ,un) ∈ R3n vektor koji opisuje polozaj svih cestica u trenutkut. Nadalje, pretpostavimo da sustav ima potencijalnu energiju U = U(t,u), tj. daje sila koja djeluje na i-tu cesticu dana s − ∂
∂uiU . Lagrangian L definiramo s:
L(t,u,u′) = T (u′)− U(t,u).
Nadalje, definiramo funkcional I(u) =∫ T
0L(s,u(s),u′(s))ds i za zadane u0 i v0
prostorX = u ∈ C2([0, T ];u(0) = u0, u
′(0) = v0.Tada je po Principu najmanje akcije gibanje cestica opisano s funkcijom u koja jeminimizator funkcionala I na prostoru X.
1.1.3. Problem Brachistohorne. Promotrimo gibanje cestice mase m u poljusile teze. Cilj nam je naci krivulju izmedu dvije zadane tocke A i B po kojoj cecestica doci iz tocke A u tocku B u najkracem vremenu (pretpostaljvamo da secestica giba bez trenja). Naziv problema dolazi iz grckog, ”brakhistos khrons” stoznaci ”najkrace vrijeme”.
Uzmimo koordinatni sustav s ishodistem u tocki A takav da sila teza djelujeu smjeru y-osi. Neka su (b,−β) koordinate tocke B u tom koordinatnom sustavu,b, β > 0 (tocka B se nalazi ”ispod” tocke A). Krivulja Γ od tocke A do tocke Bmoze se parametrizirati sa (x,−u(x)), x ∈ [0, b], u(0) = 0, u(b) = β. Brzina cesticeje uvijek tangencijalna na karivulji Γ, tj. brzina cestice u tocki (x,−u(x)) jednakaje v(x)τ (x), gdje je τ (x) jedinicna tangenta u tocki (x,−u(x)). Ukupna energijacestice u trenutku u tocki (x,−u(x)) je zbroj kineticke i potencijalne energije:
E(x) = T (x) + U(x) =1
2mv(x)2 −mgu(x).
Zbog zakona ocuvanja energije E(t) = E(0) = 0 pa vrijedi v(x) =√
2gu(x). Nekaje ds element duljine luka krivulje. Tada je ukupno vrijeme puta jednako:
I(u) =
∫ b
0
ds
v=
∫ b
0
√1 + u′(x)2√
2gu(x)dx.
Dakle, problem Brachistohorne svodi se na odredivanje minu∈X I(u), gdje je
X = u ∈ C1([0, b]) : u(0) = 0, u(b) = β, u(x) > 0, x ∈ 〈0, b].
Poglavlje 2
Klasicne metode
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe
U ovom poglavlju promatrat cemo sljedeci modelni problem:
Problem 2.1. Neka je f : [a, b]× R× R→ R. Definiramo funkcional I:
(2.1) I(u) =
∫ b
a
f(x, u(x), u′(x))dx.
Odredite poprima li funkcional I minimum na nekom prostoru funkcija X.
Problem 2.1 moze se ekvivalentno formulirati na sljedeci nacin. Oznacimo:
(2.2) m := infI(u) : u ∈ X.
Problem je odrediti (ako postoji) minimizator funkcionala I, tj. naci u ∈ X t.d.
m = I(u) ≤ I(u), u ∈ X.
Klasicne metode varijacijskog racuna se mogu promatrati kao analogon mini-mizacije u Rd. Neka je F : Rd → R glatka funkcija. Stacionarnu tocku funkcije Fdefiniramo kao tocku x ∈ Rn takvu da vrijedi ∇F (x) = 0. Klasicni teorem analizekaze da je minimizator stacionarna tocka. Medutim, obrat ne vrijedi i klasicnametoda za odredivanje je li stacionarna tocka lokalni miniumum/maksimum ili sed-lasta tocka je analiza visih derivacija. Sljedeci teorem daje nuzan uvjet koji glatkiminimizator mora zadovoljavati.
Teorem 2.2 (Euler-Lagrangeove jednadzbe). Neka je f ∈ C2([a, b] × R × R),f = f(x, u, ξ) te X = u ∈ C1([a, b]) : u(a) = α, u(b) = β, α, β ∈ R.
(1) Ako postoji minimizaor u ∈ X ∩ C2([a, b]) funkcionala I, tada u zadovoljavasljedecu diferencijalnu jednadzbu:
(2.3)d
dxfξ(x, u(x), u′(x)) = fu(x, u(x), u′(x)), x ∈ (a, b).
5
6 2. Klasicne metode
(2) Obratno, ako u ∈ X zadovoljava jednadzbu (2.3) i ako je funkcija (u, ξ) 7→f(x, u, ξ) konveksna za svaki x ∈ [a, b], tada je u minimizator funkcionala I.
(3) Nadalje, ako je funkcija (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ) strogo konveksna za svaki x ∈ [a, b],tada je minimizator u jedinstven.
Jednadzbu (2.3) zovemo Euler-Lagrangeovom jednadzbom za funkcionalI.
Napomena 2.3. (1) Raspisivanjem lijeve strane, jednadzba (2.3) moze se za-pisati i u sljedecem obliku:
fξx(x, u(x), u′(x)) + fξu((x, u(x), u′(x))u′(x) + fξξ(x, u(x), u′(x))u′′(x)
= fu(x, u(x), u′(x)),
gdje smo koristili sljedece oznake fξ = ∂∂ξf , fu = ∂
∂uf , fξξ = ∂2
∂ξ2 f , fξu =∂2
∂ξ∂uf , fξx = ∂2
∂ξ∂xf . Dakle, (2.3) je nelinearna obicna diferencijalna jednadzba
s nepoznanicom u. Preciznije, jednadzba (2.3) je kvazilinearna diferencijalnajednadzba, tj. linearna je u derivacijama najviseg reda nepoznate funcije (unasem slucaju linearna s obzirom na u′′). Takve jednadzbe je opcenito teskorijesiti. U tom smislu uocimo da Teorem 2.2 ne govori nista o egzistencijirjesenja jednadzbe (2.3).
(2) Teorem 2.2 opcenito daje samo nuzan uvjet egzistencije minimizatora funkcionalaI. Naime, ako funkcija (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ) nije konveksna tada rjesenje jed-nadzbe (2.3) nije nuzno minimizator. Zbog toga rjesenja jednadzbe (2.3)zovemo stacionarne tocke funkcionala I.
Dokaz. Neka je u minimizator funkcionala I i neka je v ∈ C1([a, b]), v(a) = v(b) =0. Tada za svaki h ∈ R vrijedi u+ hv ∈ X i
I(u) ≤ I(u+ hv).
Definiramo funkciju Φ(h) = I(u + hv). Funkcija Φ : R → R je klase C1 i imalokalni minimum u 0 pa vrijedi 0 = Φ′(0) = d
dhI(u + hv)|h=0. Derviranjem izrazapod integralom (definicija funkcionala I) dobivamo:
(2.4) 0 =
∫ b
a
(fu(x, u(x), u′(x))v(x) + fξ(x, u(x), u′(x))v′(x)
)dx.
Koristeci parcijalnu integraciju imamo:
0 =
∫ b
a
(fu(x, u(x), u′(x))− d
dxfξ(x, u(x), u′(x))
)v(x)dx.
Primijetimo da gornja jednakost vrijedi za proizvoljnu funkciju v ∈ C1([a, b]) takvuda v(a) = v(b) = 0 te da je podintegralna funkcija po pretpostavkama teoremaneprekidna. Koristeci osnovnu lemu varijacijskog racuna (Teorem A.4) zakljucujemo:
fu(x, u(x), u′(x))− d
dxfξ(x, u(x), u′(x)) = 0.
Time smo dokazali prvu tvrdnju teorema.
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe 7
Dokazimo sada drugu tvrdnju. Kako je f konveksna funkcija klase C2 u vari-jablama (u, ξ), za svaki x ∈ [a, b], te svaki u, u, u′, u′ ∈ R vrijedi (Teorem A.14):
f(x, u, u′) ≥ f(x, u, u′) + fu(x, u, u′)(u− u) + fξ(x, u, u′)(u′ − u′).
Dakle ako u zadovoljava (2.3), tada vrijedi:
I(u) =
∫ b
a
f(x, u(x), u′(x))dx
≥∫ b
a
(f(x, u(x), u′(x))+fu(x, u(x), u′(x))(u(x)−u(x))+fξ(x, u(x), u′(x))(u′(x)−u′(x))
)dx
= I(u)+
∫ b
a
(fu(x, u(x), u′(x))(u(x)− u(x)) + fξ(x, u(x), u′(x))(u′(x)− u′(x))
)︸ ︷︷ ︸
=0
dx = I(u).
Zadnju jednakost dobili smo koristeci jednakost (2.4) i cinjenicu da (u − u)(a) =(u− u)(b) = 0 (zbog u, u ∈ X). Dakle, za svaki u ∈ X vrijedi I(u) ≥ I(u), tj. u jeminimizator funkcionala I.
Ostaje nam jos dokazati jedinstvenost minimizatora uz jacu pretpostavku strogekonveksnosti funkcije (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ). Pretpostavimo suprotno, tj. neka su u iv dva minimizatora funkcionala I, u 6= v. Definiramo w = u+v
2 ∈ X. Zbog strogekonveksnosti (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ) imamo:
1
2f(x, u, u′) +
1
2f(x, v, v′) > f(x,
u+ v
2,u′ + v′
2) = f(x,w,w′).
Oznacimo minimum funkcionala I s m = I(u) = I(v). Tada imamo m = 12 (I(u) +
I(v)) > I(w) ≥ m sto je kontradikcija. Time smo dokazali jedinstvenost minimiza-tora.
Napomena 2.4. Jednakost (2.4) zovemo slaba formulacija Euler-Lagrangeove jed-nadzbe.
Teorem 2.2 se moze generalizirati u razlicitim smjerovima. Neke od tih gener-alizacija su tema sljedecih zadataka za vjezbu.
Zadatak 2.5 (Vektorski slucaj). Neka je N > 1, f : [a, b] × RN × RN → R.Generalizirajte teorem 2.2 na vektorski slucaj kada je nepoznata funkcija u : [a, b]→RN . U tom slucaju dobivene Euler-Lagrangeove jednadzbe ce biti sustav obicnihdiferencijalnih jednadzbi.
Zadatak 2.6 (Slucaj vise varijabli). Neka je Ω ⊂ Rn, n > 1, otvoren te u :Ω → R i f : Ω × R × Rn → R. Generalizirajte Teorem 2.2 za funkcional I(u) =∫
Ωf(x, u(x),∇u(x))dx. U ovom slucaju Euler-Lagrangeova jednadzba ce biti parci-
jalna diferencijalna jednadzba.
Zadatak 2.7 (Jednadzba viseg reda). Neka je f = f(x, u′, u′′, . . . , u(n)). Gener-alizirajte Teorem 2.2 na taj slucaj. Dobivena Euler-Lagrangeova jednadzba ce bitiobicna diferencijalna jednadzba 2n-tog reda.
Zadatak 2.8 (Razni rubni uvjeti). Generalizirajte Teorem 2.2 na druge tipoverubnih uvjeta, npr. Neumannove (u′(a) = α, u′(b) = β), Robinove (u(a)−νu′(a) =α, u(b) = νu′(b) = β) ili mjesovite (npr. u(a) = α, u′(b) = β).
8 2. Klasicne metode
Zadatak 2.9 (Lagrangeov multiplikator). Generalizirajte Teorem 2.2 za slucaj
kada je zadano dodatno ogranicenje na minimizator u oblika∫ bag(x, u(x), u′(x))dx =
0, pri cemu je g ∈ C2([a, b]×R×R). U tom slucaju prostor na kojem se minimiziraje sljedeceg oblika:
X = u ∈ C1([a, b] : u(a) = α, u(b) = β,
∫ b
a
g(x, u(x), u′(x))dx = 0.
Vratimo se sada jos jednom na analogiju izmedu minimizacije u Rn i Teorema2.2. Neka je n ∈ N. Definiramo ∆t = b−a
n+1 i ekvidistantnu razdiobu intervala
[a, b] s xi = a + i∆t, i = 0, . . . , n + 1. Nadalje s ui = u(xi) oznacimo vrijednostfunkcije u u tocki xi, a derivaciju u′(xi) aproksimiramo s konacnim razlikama, tj.
u′(xi) ≈ ui+1−ui∆t . Zbog rubnih uvjeta imamo u0 = α, un+1 = β. Sada definiramo
funkciju J : Rn → R:
J(u1, u2, . . . , un) =
n∑i=0
f(xi, ui,ui+1 − ui
∆t)∆t.
Funkciju J mozemo smatrati diskretnim analogonom funkcionala I. Oznacimou = (u1, . . . , un). Minimizator u mora zadovoljavati nuzan uvjet ∇J(u) = 0.Izracunajmo parcijalne derivacije ∂
∂ui, i = 1, . . . , n, funkcije J :
∂uiJ = ∆t∂uf(xi, ui,ui+1 − ui
∆t) + fξ(xi−1, ui−1,
ui − ui−1
∆t)− fξ(xi, ui,
ui+1 − ui∆t
).
Dakle, ∇J(u) = 0 ako i samo ako vrijedi:
∂uf(xi, ui,ui+1 − ui
∆t) =
1
∆t
(fξ(xi, ui,
ui+1 − ui∆t
−fξ(xi−1, ui−1,ui − ui−1
∆t)), i = 1, . . . , n.
Primijetimo da je gornja formula upravo diskretizacija jednadzbe (2.3) u tocki xi.
2.1.1. Primjeri. Promotrimo sada par konkrektnih primjera koji ilustrirajuTeorem 2.2.
Primjer 2.10. Promotrimo najprije najjednostavniji primjer kada f ovisi samo oξ varijabli, tj. f = f(ξ). Tada Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
d
dx
(fξ(u
′(x)))
= 0.
Dakle, fξ(u′(x)) = C. Primijetimo da linearna funkcija u(x) = β−α
b−a x+ α je jednorjesenje Euler-Lagrangeove jednadzbe, tj. stacionarna tocka.
U sljedecim primjerima vidjet cemo da funkcija u opcenito ne mora biti mini-mizator. Medutim, Teorem 2.2 tvrdi da je, uz dodatnu pretpostavku da je f kon-veksna, u minimizator funkcionala I. Tu cinjenicu mozemo dokazati elementarnokoristeci samo Jensenovu nejednakost (Teorem A.13):
1
b− a
∫ b
a
f(u′(x))dx ≥ f( 1
a− b
∫ b
a
u′(x))
= f(u(b)− u(a)
b− a)
= f(β − αb− a
)= f(u′) =
1
b− a
∫ b
a
f(u′(x))dx.
Ovaj elementarni dokaz vrijedi i uz slabiju pretpostavku da je f ∈ C(R).
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe 9
Slika 1. Graf funkcije f
Primjer 2.11. Promotrimo sada primjer nekonveksne funkcije f . Uzmimo f(ξ) =exp(−ξ2) (slika 1). Nadalje, radi jednostavnosti uzmimo a = 0, b = 1 i α = β = 0.Dakle, prostor X po kojem minimiziramo je zadan sa
X = u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0.
Odmah vidimo da je u = 0 maksimizator funkcije, te da zadovoljava Euler-
Lagrangeovu jednadzbu. Naime, f(ξ) ≤ 1, ξ ∈ R pa imamo I(u) =∫ 1
0f(u′(x)) ≤
1 = I(0), u ∈ X. Medutim, dokazat cemo da minimizator ne postoji. Najprijeprimijetimo da je I(u) > 0, u ∈ X. Dakle, m = infu∈X I(u) ≥ 0.
Dokazimo da je m = 0. Definiramo un = n(x− 1/2)2 − n/4 ∈ X. Racunamo:
I(un) =
∫ 1
0
exp(−(u′n(x))2)dx =
∫ 1
0
exp(−4n2(x−1/2)2)dx =1
2n
∫ n
−nexp(−y2)dy → 0, n→∞.
Dakle, dokazali smo da je infimum 0 i da se ne postize.
Primjer 2.12. Promotrimo sada funkciju f(ξ) = (ξ2 − 1)2 (slika 2). Prostor X jeisti kao u prethodnom primjeru. Pripadna Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
d
dx
(u′((u′)2 − 1
))= 0.
Jedno rjesenje gornje jednadzbe je u = 0, ali to rjesenje nije minimizator.Naime, I(0) = 1, a dokazat cemo da je m = 0. Posto je f pozitivna funkcija,sigurno vrijedi m ≥ 0. Dakle, I(u) = 0 ako i samo ako |u′(x)| = 1 za s.s. x ∈ [0, 1].Medutim, zbog rubnih uvjeta takva C1 funkcija u ne postoji. Jedan nacin darijesimo taj problem je da prosirimo prostor X u kojem trazimo rjesenje. S Cp([0, 1])oznacimo po dijelovima neprekidne funkcije na [0, 1]. Definiramo
X = u ∈ C([a, b] : u(0) = u(1) = 0, u′ ∈ Cp([0, 1]).
10 2. Klasicne metode
Slika 2. Graf funkcije f
Slika 3. Graf funkcije v10
Lako se vidi da minimizator postoji u X. Naime, definiramo funkciju v:
v(x) =
x , 0 ≤ x ≤ 1/2,1− x , 1/2 < x ≤ 1.
Ocito vrijedi I(v) = 0. Takoder primijetimo da minimizator u X nije jedinstven.Stovise postoji beskonacno mnogo minimizatora. Dokazimo sada da su infimumipo skupovima X i X jednaki. To cemo postici aproksimirajuci funkciju v s nizomC1 funkcija vn (slika 3):
vn(x) =
x , 0 ≤ x ≤ 1/2− 1/n,−2n2(x− 1/2)3 − 4n(x− 1/2)2 − x+ 1 , 1/2− 1/n < x ≤ 1/2,1− x , 1/2 < x ≤ 1.
Lako se vidi da je vn ∈ X i vrijedi:
I(vn) =
∫ 1/2
1/2−1/n
(v′n(x)2 − 1)2dx ≤ 4
n→ 0, n→ 0.
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe 11
Slika 4. Graf funkcije v50000
Primjer 2.13 (Weierstrassov primjer). Promotrimo sada funkciju koja ovisi ovarijablama x i ξ, f = f(x, ξ). Pripadna Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
d
dx(fξ(x, u
′(x)) = 0.
Dakle, fξ(x, u′(x)) = C. Ova jednadzba opcenito nema jednostavno rjesenje. Pro-
motrimo sada poznati Weierstrassov primjer. Neka je f(x, ξ) = xξ2 i
X = u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = 1, u(1) = 0.
Primijetite da je funkcija ξ 7→ xξ2 konveksna za svaki x ∈ [0, 1] (cak i strogo kon-veksna za x 6= 0). Pokazat cemo da za ovaj problem ne postoje stacionarne tocke,
niti minimizatori u X, niti u prosirenom prostoru X. Pripadna Euler-Lagrangeovajednadzba glasi (xu′)′ = 0. Dakle, u′(x) = C/x pa je opce rjesenje te obicnediferencijalne jednadzbe dano s u(x) = C log x + D. Iz rubnog uvjeta u(0) = 1zakljucujemo C = 0. Medutim, tada ne mogu biti zadovoljena oba rubna uvjetau(0) = 1 i u(0) = 0. Dakle, Euler-Lagrangeova jednadzba nema rjesenje!
Analogno kao u prethodnom primjeru definiramo prostor X:
X = u ∈ C([0, 1]) : u(0) = 1, u(1) = 0, u′ ∈ Cp([0, 1]).
Nadalje, oznacimo m = infu∈X I(u) i m = infu∈X I(u). Odmah vidimo da vrijedi0 ≤ m ≤ m.
Pokazimo najprije da vrijedi I(u) > 0, u ∈ X. Pretpostavimo suprotno, tj.
da postoji u ∈ X takva da I(u) =∫ 1
0x(u′(x))2dx = 0. Zakljucujemo da vrijedi
u′(x) = 0 za s.s. x ∈ [0, 1]. Medutim, to je u kontradikciji s rubnim uvjetimau(0) = 1 i u(1) = 0.
U svrhu dokazivanja m = 0 definirajmo niz funkcija vn ∈ X (slika 4):
vn(x) =
1 , 0 ≤ x ≤ 1/n,
− log xlogn , 1/n < x ≤ 1.
Tada imamo:
12 2. Klasicne metode
I(vn) =
∫ 1
1/n
x(−1
x log n)2 =
1
(log n)2
∫ 1
1/n
dx
x=
1
log n→ 0, n→∞.
Konacno dokazimo m = 0. Neka je ε > 0. Uzmimo n ∈ N takav da I(vn) < ε4 .
Kako je vn ∈ X tada je vn ∈ H1(0, 1). Tada zbog gustoce C∞([0, 1]) u H1(0, 1)(Teorem A.7) postoji funkcija u ∈ X takva da ‖vn − u‖2H1(0,1) <
ε4 . Sada imamo
I(u) =
∫ 1
0
x(u′(x))2 ≤ 2( ∫ 1
0
x(u′(x)− v′n(x))2 +
∫ 1
0
x(v′n(x))2)< ε.
Posto je ε proizvoljan tvrdnja je dokazana.
Zadatak 2.14. Dokazite da je m = 0 u prethodnom primjeru tako da konstruirateniz (vn)n ⊂ X za koji vrijedi I(vn)→ 0.
Pretpostavimo sada da funkcija f ne ovisi o varijabli x, tj. f(x, u, ξ) = f(u, ξ).U tom slucaju Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
(2.5)d
dxfξ(u(x), u′(x)) = fu(u(x), u′(x)).
Racunamo:
d
dx
(f(u(x), u′(x))−u′(x)fξ(u(x), u′(x))
)= fu(u(x), u′(x))u′(x)+fξ(u(x), u′(x))u′′(x)
−u′′(x)fξ(u(x), u′(x))− u′(x)d
dxfξ(u(x), u′(x))︸ ︷︷ ︸fu(u(x),u′(x))
= 0
Dakle, prvi integral jednadzbe (2.5) glasi:
f(u(x), u′(x))− u′(x)fξ(u(x), u′(x)) = const.
Primjer 2.15 (Brachistohorna krivulja). Vratimo se sada na Problem Brachisto-horne, Poglavlje 1.1.3. Ako uzmemo, radi jednostavnosti, g = 1/2, onda f(u, ξ) =√
1+ξ2√u
. Nadalje, prostor X je zadan s:
X = u ∈ C1([0, b]) : u(0) = 0 u(b) = β, u(x) > 0, x ∈ 〈0, b].
Pripadna Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
(2.6)( u′√u√
1 + (u′)2
)′= −
√1 + (u′)2
2√u3
.
Po prethodnom primjeru prvi integral jednadzbe (2.6) je:√1 + (u′)2
√u
− u′ u′√u√
1 + (u′)2=
1√u√
1 + (u′)2= const.
Dakle,
u(1 + (u′)2
)= C,
gdje je C > 0. Rjesenje te jednadzbe je dano formulom:
(2.7) u(x) = C(
1− cos Φ−1(x)),
2.1. Euler-Lagrangeove jednadzbe 13
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
y
Slika 5. Cikloida
gdje je Φ(t) = C(t − sin t). Uocimo da vrijedi u(0) = 0. Dakle, ostaje odabrati Ctako da i drugi rubni uvjet, u(b) = β, bude zadovoljen. Krivulja parametrizirana s(x,−u(x)) zove se cikloida (vidi Slika 5).
Poglavlje 3
Direktne metode
3.1. Dirichletov integral
Promotrimo problem minimizacije sljedeceg funkcionala:
(3.1) I(u) =
∫Ω
1
2|∇u|2.
Na ovom jednostavnom modelnom primjeru objasnit cemo osnovne ideje direktnihmetoda varijacijsog racuna.
Zadatak 3.1. Pokazite da pripadna Euler-Lagrangeova jednadzba glasi −∆u = 0.
Dokazimo sada sljedeci teorem koji nam daje egzistenciju minimizatora Dirich-letovog integrala:
Teorem 3.2. Neka je Ω ⊂ Rn ogranicen skup s Lipschitzovim rubom i u0 ∈ H1(Ω).Tada problem:
(3.2) infI(u) : u ∈ u0 +H10 (Ω) =: m
ima jedinstveno rjesenje u ∈ u0 + H10 (Ω). Nadalje, u zadovoljava Laplaceovu jed-
nadzbu u slabom smislu, tj:
(3.3)
∫Ω
∇u · ∇φ = 0, φ ∈ H10 (Ω).
Obratno, ako u ∈ u0 + H10 (Ω) zadovoljava jednadzbu (3.3), tada je u minimizator
problema (3.2).
Napomena 3.3. (1) u0+H10 (Ω) = u+u0 : u ∈ H1
0 (Ω). Kako funkcije iz H10 (Ω)
imaju trag nula, ovdje se s izborom funkcijskog prostora zadaje Dirichletovrubni uvjet u|∂Ω = (u0)|∂Ω.
(2) Jednakost (3.3) znaci da vrijedi −∆u = 0 u D′(Ω), tj. u smislu distribucija.
Dokaz. (Teorem 3.2) Dokazimo najprije egzistenciju. Dokaz cemo napraviti udva koraka.
15
16 3. Direktne metode
Korak 1: Kompaktnost. Njaprije uocimo da I(u) ≥ 0, pa i m ≥ 0. Neka je(un)n∈N minimizirajuci niz, tj. vrijedi I(un) → m, n → ∞. Dokazimo sada daje niz un ogranicen u H1(Ω). Kako je un − u0 ∈ H1
0 (Ω), koristeci Poincareovunejednakonst, Teorem A.9, imamo:
‖un − u0‖H1(Ω) ≤ C‖∇(un − u0)‖L2(Ω) ≤ C(‖∇un‖L2(Ω) + ‖∇u0‖L2(Ω))
≤ C(√
2√I(un) + ‖u0‖H1(Ω)).
Posto je I(un) konvergentan, pa i ogranicen, zakljucujemo da je niz un ogranicenu H1(Ω). Koristeci kompaktnost u slaboj topologiji od H1(Ω) (Teorem A.11) izatvorenost skupa u0 + H1
0 (Ω) u slaboj topologiji, zakljucujemo da postoji u ∈u0 +H1
0 (Ω) takav da un u slabo u H1(Ω) (na podnizu).
Korak 2: Poluneprekidnost odozdo. Sada nam ostaje dokazati da vrijediI(u) = m. Primijetite da to ne mozemo zakljuciti direktno iz slabe konvergencijeun u i I(un)→ m.
Dokazat cemo da je funkcional nizovno poluneprekinut odozdo u slaboj topologijiod H1(Ω), tj. da vrijedi:
(3.4) un u u H1(Ω)⇒ lim infn→∞
I(un) ≥ I(u).
Racunamo:
|∇un|2 = |∇u|2 + 2∇u · (∇un −∇u) + |∇un −∇u|2
≥ |∇u|2 + 2∇u · (∇un −∇u).
Integriranjem po Ω dobivamo:
I(un) ≥ I(u) +1
2
∫Ω
2 ∇u︸︷︷︸∈L2
·(∇un −∇u)
︸ ︷︷ ︸→0, n→∞
.
Dakle, dokazali smo lim infn→∞ I(un) ≥ I(u).
Egzistencija sada slijedi kombiniranjem koraka 1 i 2:
m ≤ I(u) ≤ lim infn→∞
I(un) = m.
Dokazimo sada jedinstvenost minimizatora u. Neka je v ∈ u0+H10 (Ω) takoder
minimizator, tj. I(v) = m. Pretpostavimo da je v 6= u. Definiramo w = u+v2 . Zbog
stroge konveksnosti kvadratne funkcije Rn 3 ξ 7→ |ξ|2 integriranjem dobivamo:
m ≤ I(w) <1
2(I(u) + I(v)) = m.
Dakle, dobili smo kontradikciju pa vrijedi u = v, cime je dokazana jedinstvenost.
Sada cemo dokazati da minimizator zadovoljava Euler-Lagrangeovu jed-nadzbu u smislu distribucija. Neka je φ ∈ H1
0 (Ω) i ε > 0. Tada je u + εφ ∈u0 +H1
0 (Ω) pa vrijedi:
I(u+ εφ) ≥ I(u).
Uzimajuci u obzir definiciju funkcinala I dobivamo
ε2
2
∫Ω
|∇φ|2 + ε
∫Ω
∇u · ∇φ ≥ 0
3.2. Opcenit teorem egzistencije minimizatora - skalarni slucaj 17
Kako je ε proizvoljan, zakljucujemo da vrijedi (3.3). Preciznije, pretpostavimosuprotno, tj.
∫Ω∇u · ∇φ 6= 0. Tada bez smanjenja opcenitosti nmozemo pret-
postaviti∫
Ω∇u · ∇φ < 0 (u suprotnom zamijenimo φ sa −φ). Medutim, tada
mozemo odabrati ε dovoljno mali tako da je gornji izraz strogo manji od 0, sto jekontradikcija. Uocite da je ovaj dokaz zapravo analogan dokazu Teorema 2.2 jersmo dokazali
d
dεI(u+ εφ)|ε=0 = 0.
Obratno, neka u ∈ u0 + H10 (Ω) zadovoljava (3.3). Uzmimo u ∈ u0 + H1
0 (Ω) idefiniramo φ = u− u. Sada imamo
I(u) = I(u+ φ) = I(u) +
∫Ω
∇u · ∇φ︸ ︷︷ ︸=0
+ I(φ)︸︷︷︸≥0
≥ I(u).
Napomena 3.4. U slucaju Dirichletovog integrala egzistencija minimizatora sli-jedi takoder iz rjesivosti Euler-Lagrangeove jednadzbe i konveksnosti funkcionala I.Konkretno, iz zadnje formule u dokazu Teorema 3.2 slijedi da je slabo rjesenje Euler-Lagrangeove jednadzbe ujedno i minimizator funkcionala I. Medutim, u slucajuopcenitog funkcionala pristup temeljen na rjesavanju Euler-Lagrangeove jednadzbenece funkcionirati.
Napomena 3.5. Funkcional I je trivijalno neprekidan u jakoj topologiji od H1(Ω),ali nije neprekidan u slaboj topologiji vec samo poluneprekidan odozdo kao stoje pokazano u dokazu prethodnog Teorema. Naime, uzmimo Ω = (0, 2π) i niz
un(x) = 1n sin(n). Tada un 0 u H1(0, 2π), ali I(un) = 1
2
∫ 2π
0cos2(nx)dx = π
2 .
3.2. Opcenit teorem egzistencije minimizatora - skalarni slucaj
Dokaz Teorema 3.2 je ilustracija direktne metode varijacijskog racuna koja se sas-toji od dva koraka. U prvom koraku (kompaktnost) cilj je identificirati kandidataza minimizator. Taj kandidat se dobije kao limes (podniza) minimizacijskog niza.Zbog toga je potrebno dokazati ocjenu koja nam daje ogranicenost minimizirajucegniza, te odabrati dovoljno slabu topologiju u kojoj ce ta ogranicenost biti do-voljna za kompaktnost. Ta ocjena tipicno slijedi iz uvjeta da funkcional ”rasteu beskonacnosti dovoljno brzo” (koercitivnost) i da je ogranicen odozdo. U dru-gom koraku (poluneprekidnost odozdo) cilj je dokazati da je limes dobiven u prvomkoraku zaista minimizator. Kako promatrani funkcional tipicno nije neprekidanu promatranoj topologiji, cilj nam je pokazati nizovnu poluneprekidnost odozdoiz koje slijedi tvrdnja. To svojstvo tipicno slijedi iz konveksnosti ili neke general-izacije konveksnosti u vektorskom slucaju. Primijetite da je prvi korak (kompakt-nost) lakse dokazati ako je topologija slabija, dok je drugi (poluneprekidnost) akoje topologija jaca. Zbog toga je odabir pogodne topologije suptilan i vazan koraku ovoj metodi. Ova razmatranja bit ce precizirana u sljedecem teoremu:
Teorem 3.6. Neka je Ω ⊂ Rn otvoren oganicen skup s Lipschitzovim rubom. Nekaf ∈ C(Ω× R× Rn), f = f(x, u, ξ) zadovoljava sljedece uvjete:
(H1) ξ 7→ f(x, u, ξ) je konveksna za svaki (x, u) ∈ Ω× R,
18 3. Direktne metode
(H2) Postoje p > q ≥ 1, α1 > 0, α2, α3 ∈ R takvi da za svaki (x, u, ξ) ∈ Ω×R×Rnvrijedi:
f(x, u, ξ) ≥ α1|ξ|p + α2|u|q + α3.
Neka je I(u) =∫
Ωf(x, u(x),∇u(x))dx i u0 ∈ W 1,p(Ω) takva da I(u0) < ∞. Tada
za problem
(3.5) infI(u) : u ∈ u0 +W 1,p0 (Ω) = m
postoji minimizator.
Nadalje, ako je funkcija (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ) strogo konveksna za svaki x ∈ [a, b],tada je minimizator jedinstven.
Dokaz. Dokaz je vrlo slican dokazu Teorema 3.2. Egzistencija minimizatora dokazujese u dva koraka:
Korak 1: Kompaktnost. Neka je (un)n∈N minimizirajuci niz, tj. I(un) → m >−∞. Nejednakost m > −∞ slijedi iz pretpostavke (H2) (uocite p > q), Poincareovenejednakosti (Teorem A.9) i I(u0) <∞.
Tada postoji n0 takav da I(un) < m+ 1, n ≥ n0. Iz pretpostavke (H2) imamo:
α1‖∇un‖pLp(Ω) − |α2|‖un‖qLq(Ω) − |α3||Ω| ≤ m+ 1, n ≥ n0.
Koristeci Holderovu nejednakost zakljucujemo:
‖un‖qLq(Ω) =
∫Ω
|u|q ≤(∫
Ω
|u|p)q/p(∫
Ω
1)(p−q)/p
= ‖un‖qLp(Ω)|Ω|(p−q)/p.
Dakle, imamo
C1‖∇un‖pLp(Ω)−C2‖un‖qW 1,p(Ω)−C3 ≤ C1‖∇un‖pLp(Ω)−C2‖un‖qLp(Ω)−C3 ≤ m+1, n ≥ n0,
gdje su Ci konstante koje ne ovise o n. Koristeci Poincareovu nejednakost, TeoremA.9 dobivamo:
‖un‖Lp(Ω) ≤ ‖u0‖Lp(Ω) + ‖un − u0‖Lp(Ω) ≤ ‖u0‖Lp(Ω) + C‖∇(un − u0)‖Lp(Ω).
Dakle postoje pozitivne konstante C4, C5, C6 takva da vrijedi:
C4‖un‖pW 1,p(Ω) − C2‖un‖qW 1,p(Ω) − C5‖u0‖pW 1,p(Ω) − C6 ≤ m+ 1, n ≥ n0.
Kako je 1 ≤ q < p, vrijedi:‖un‖pW 1,p(Ω) ≤ C.
Dakle, postoji podniz koji opet oznacavamo s un i u ∈ u0 + W 1,p0 (Ω) takav da
un u slabo u W 1,p(Ω).
Korak 2: Poluneprekidnost odozdo. Slabu nizovnu poluneprekidnost odozdocemo dokazati uz dodatne pretpostavke uz koje ce dokaz biti tehnicki jednostavniji.Dokaz uz originalne pretpostavke mozete naci u [Dac07]. Najprije pretpostavimoda je f ∈ C1(Ω× R× Rn) (umjesto samo neprekidna). Tada imamo (vidi TeoremA.14):
(3.6) f(x, un,∇un) ≥ f(x, u,∇u)+fu(x, u,∇u)(un−u)+fξ(x, u,∇u)·(∇un−∇u).
Sada cemo uvesti dodatnu pretpostavku koja ce nam dati integrabilnost desnestrane gornje nejedankosti:
(3.7) |fu(x, u, ξ)|+ |fξ(x, u, ξ)| ≤ C(1 + |u|p−1 + |ξ|p−1).
3.2. Opcenit teorem egzistencije minimizatora - skalarni slucaj 19
Integriranjem nejednakosti (3.6) te koristenjem dodatne pretpostavke (3.7) dobi-vamo:
I(un) ≥ I(u) +
∫Ω
(fu(x, u,∇u)(un − u) + fξ(x, u,∇u) · (∇un −∇u)
)︸ ︷︷ ︸
→0
.
Gornja konvergencija slijedi iz kompaktnosti niza (un)n∈N i cinjenice da zbog (3.7)vrijedi sljedece (dokazite!):
fu(x, u(x),∇u(x)), fξ(x, u(x),∇u(x)) ∈ Lp′(Ω).
Dakle, lim infn I(un) ≥ I(u). Time smo dokazali da je funkcional I nizovno slabopoluneprekinut odozdo u W 1,p pa vrijedi I(u) = m.
Dokaz jedinstvenosti je potpuno analogan dokazu jedinstvenosti iz Teorema3.2 i koristi strogu konveksnost funkcije (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ).
Sada cemo primjerima pokazati da su pretpostavke Teorema 3.6 gotovo opti-malne. Naime, jedina pretpostavka koja se moze oslabiti je neprekidnost funkcijef (vidi [Dac07]).
Primjer 3.7. Neka je n = 1 i f(x, u, ξ) = f(u, ξ) =√u2 + ξ2. U ovom slucaju
su sve pretpostavke Teorema 3.6 zadovoljene osim (H2), kako je nejednakost pret-postavke ispunjena samo s q = p = 1. Naime, vrijedi
1√2
(|u|+ |ξ|) =
√1
2(|u|+ |ξ|)2 =
√1
2(|u|2 + |ξ|2) + |u||ξ| ≤
√u2 + ξ2
≤√
(|u|+ |ξ|)2 = |u|+ |ξ|Promotrimo problem
infI(u) =
∫ 1
0
√u(x)2 + u′(x)2dx : u ∈ X = m,
gdje je X = u ∈ W 1,1(0, 1) : u(0) = 0, u(1) = 1. Pokazat cemo da ovaj problemnema rjesenja. Najprije uocimo da vrijedi
I(u) ≥∫ 1
0
|u′(x)|dx ≥∫ 1
0
u′(x)dx = 1, u ∈ X.
Dakle, m ≥ 1. Pokazimo sada da je m = 1 tako da konstruiramo minimizirajuciniz un, I(un)→ 1. Definiramo:
un(x) =
0, x ∈ [0, 1− 1/n],1 + n(x− 1), x ∈ (1− 1/n, 1].
Tada imamo:
1 ≤ I(un) =
∫ 1
1−1/n
√(1 + n(x− 1))︸ ︷︷ ︸
≤1
2+ n2 ≤ 1
n
√1 + n2 → 1.
Po Teoremu o sendvicu vrijedi I(un) → 1. Pretpostavimo sada da postoji u ∈ Xtakav da I(u) = 1. Tada:
1 =
∫ 1
0
√u(x)2 + u′(x)2dx ≥
∫ 1
0
|u′(x)|dx ≥∫ 1
0
u′(x) = 1.
20 3. Direktne metode
Dakle, sve nejednakosti u gornjoj formuli su zapravo jednakosti sto povlaci da jeu = 0 s.s. na (0, 1). Kako je u ∈W 1,1(0, 1), u je neprekidna na (0, 1). Dakle, u = 0sto je inkompatibilno s rubnim uvjetima.
Ovaj primjer nam pokazuje da je pretpostavka p > 1 nuzna. Razlog je taj stoprostor W 1,1 nije refleksivan pa ne mozemo dobiti slabo konvergentan podniz ukoraku kompaktnosti u dokazu Teorema 3.6.
Primjer 3.8. Vratimo se ponovo na Weierstrassov primjer 2.13, tj. I(u) =∫ 1
0xu′(x)2dx.
U Primjeru 2.13 vidjeli smo da rjesenje ne postoji za C1 funkcije i da je vrijednostinfimuma 0. Dakle, infimum u prostoru X = u ∈ H1(0, 1) : u(0) = 1, u(1) = 0takoder je 0 (posto X sadrzi C1 funkcije, te je funkcional I ocito pozitivan).Medutim, slicno kao i u prethodnom primjeru vidimo da je I(u) = 0 moguce samoako je u = 0 sto je opet inkompatibilno s rubnim uvjetima. Dakle, ne postoji min-imizator u X. U ovom slucaju sve pretpostavke Teorema 3.6 su zadovoljene osimα1 > 0 (α1 = 0).
Primjer 3.9 (Bolzin primjer). Pokazimo sada da se generalno niti pretpostavka(H1) ne moze oslabiti. Promotrimo problem:
infI(u) =
∫ 1
0
((u′(x)2 − 1)2 + u(x)4
)dx : u ∈W 1,4
0 (0, 1) = m.
Ocito je I(u) ≥ 0, pa je i m ≥ 0. Definirajmo niz ”cik-cak” funkcija:
un(x) =
x− k/n, x ∈ [2k/2n, (2k + 1)/2n],
−x+ (k + 1)/n, x ∈ ((2k + 1)/2n, (2k + 2)/2n].
Tada je |u′(x)| = 1 i |u(x)| ≤ 1/2n pa imamo:
I(un) ≤∫ 1
0
1
(2n)4→ 0.
Pretpostavimo sada da postoji u ∈W 1,4(0, 1)0 takav da I(u) = 0. Tada bi vrijedilou = 0 i |u′| = 1 skoro svuda na (0, 1) sto je kontradikcija.
3.3. Euler-Lagrangeove jednadzbe
U ovom poglavlju dokazat cemo analogon Teorema 2.2, ali uz slabije pretpostavkeregularnosti minimizatora u (u Teoremu 2.2 smo pretpostavili u ∈ C2).
Teorem 3.10. Neka je Ω ⊂ Rd otvoren i ogranicen skup s Lipschitzovom granicom.Neka je p > 1 i f ∈ C1(Ω× R× Rd), f = f(x, u, ξ) zadovoljava sljedeci uvjet:
(3.8) |fu(x, u, ξ)|+ |fξ(x, u, ξ)| ≤ C(1 + |u|p−1 + |ξ|p−1), (x, u, ξ) ∈ Ω× R× Rd.
Neka je u ∈ u0 +W 1,p0 (Ω) minimizator problema (3.5), gdje je u0 ∈W 1,p(Ω). Tada
u zadovoljava slabu formulaciju Euler-Lagrangeove jednadzbe:
(3.9)
∫Ω
(fu(x, u(x),∇u(x))φ+ fξ(x, u(x),∇u(x)) · ∇φ
)dx = 0, φ ∈W 1,p
0 (Ω).
Ukoliko je dodatno f ∈ C2(Ω × R × Rd) i u ∈ C2(Ω), tada u zadovoljava Euler-Lagrangeovu jednadzbu:
(3.10) divfξ(x, u(x),∇u(x)) = fu(x, u(x),∇u(x)), x ∈ Ω.
3.3. Euler-Lagrangeove jednadzbe 21
Obratno, ukoliko je funkcija (u, ξ) 7→ f(x, u, ξ) konveksna za svako x ∈ Ω i u jerjesenje jednadzbe (3.9) ili (3.10), tada je u minimizator problema(3.5).
Napomena 3.11. Uvjet (3.8) je potreban da bi slaba formulacija (3.9) imalasmisla, tj. da bi funkcije fu(x, u(x),∇u(x))φ i fξ(x, u(x),∇u(x)) · ∇φ bile inte-
grabilne za φ ∈W 1,p0 (Ω). Zaista, imamo∫
Ω
|fu(x, u(x),∇(u(x))φ(x)| ≤∫
Ω
(1 + |u(x)|p−1 + |∇u(x)|p−1)|φ(x)|
≤ ‖φ‖Lp(|Ω|1/p′+ ‖u‖1/p
′
Lp + ‖∇u‖1/p′
Lp ),
gdje je 1/p′+1/p = 1. Primijetite da se uvjet (3.8) moze oslabiti ako uzmamo glatketest funkcije φ ∈ C∞0 (Ω). Analognim racunom dobivamo da je tada dovoljno:
(3.11) |fu(x, u, ξ)|+ |fξ(x, u, ξ)| ≤ C(1 + |u|p + |ξ|p), (x, u, ξ) ∈ Ω× R× Rd.
Napomena 3.12. Uocite da prvi dio Teorema 3.10 ne govori nista o egzistencijiminimizatora pa zato ne treba pretpostavku o konveksnosti funkcije f .
Dokaz. Dokaz je konceptualno vrlo slican dokazu Teorema 2.2, medutim zbogslabijih pretpostavka o regularnosti minimizatora je tehnicki zahtjevniji. Dokazimonajprije da vrijedi I(u) 6=∞, u ∈W 1,p(Ω). Najprije uocimo da vrijedi
|f(x, u, ξ)| = |f(x, 0, 0)+
∫ 1
0
d
dtf(x, tu, tξ)dt| = |f(x, 0, 0)+
∫ 1
0
(fu(x, tu, tξ)u+fξ(x, tu, tξ)·ξ
)dt|
≤ C+C
∫ 1
0
(1+|tu|p−1+|tξ|p−1)(|u|+|ξ|) ≤ C(1+|u|p+|ξ|p), (x, u, ξ) ∈ Ω×R×Rd.
Sada iz gornje jednakosti slijedi I(u) <∞.
Izracunajmo sada derivaciju funkcionala I u sljedecem smislu. Dokazat cemoda za svaki u, φ ∈W 1,p(Ω) vrijedi:(3.12)
limε→0
I(u+ εφ)− I(u)
ε=
∫Ω
(fu(x, u(x),∇u(x))φ+ fξ(x, u(x),∇u(x)) · ∇φ
)dx
U tu svrhu definiramo funkciju
g(x, ε) = f(x, u(x) + εφ(x),∇u(x) + ε∇φ(x)).
Kako je f C1 funkcija, tada je i preslikavanje ε 7→ g(x, ε) klase C1 za skoro svakix ∈ Ω. Po teoremu srednje vrijednosti postoji θ(x) ∈ [−|ε|, |ε|] takav da
g(x, ε)− g(x, 0) = gε(x, θ)ε
= ε(fu(x, u(x)+θ(x)φ(x),∇u(x)+θ(x)∇φ(x)
)φ(x)+fξ
(x, u(x)+θ(x)φ(x),∇u(x)+θ(x)∇φ(x)
)·∇φ(x)
).
Iz gornje jednakosti i pretpostavke (3.8) zakljucujemo:∣∣∣g(x, ε)− g(x, 0)
ε
∣∣∣ ≤ C(1+|u(x)+θφ(x)|p−1+|∇u(x)+θ∇φ(x)|p−1)(|φ(x)|+|∇φ(x)|)
≤ C(1 + |u(x)|p + |∇u(x)|p + |φ(x)|p + |∇φ(x)|p.Sada (3.12) slijedi iz Lebesguevog teorema o dominiranoj konvergenciji. Kombini-rajuci cinjenicu da je u minimizator i (3.12) zakljucujemo da u zadovoljava slabuformulaciju Euler-Lagrangeove jednadzbe (3.9). Diferencijalna formulacija (3.10)
22 3. Direktne metode
za glatki u se dobiva parcijalnom integracijom slabe formulacije (3.9) i koristenjemosnovne leme varijacijskog racuna.
Obrat se dokaze analogno kao obratu u Teoremu 2.2.
3.4. Vektorski slucaj
Promotrimo sada vektorski slucaj. Preciznije, neka su d, N > 1, Ω ⊂ Rd, u0 ∈W 1,p(Ω;RN ) = (W 1,p(Ω))N . Prostor u kojem trazimo minimizator je u0+W 1,p
0 (Ω;RN ).
Za funkcije u ∈W 1,p(Ω;RN ) imamo ∇u = (∂iuj)j=1,...Ni=1,...n ∈ RN×n. Dakle, funkcija
f je sada definirana na domeni Ω× RN × RN×n, tj.
f = f(x, u,G) : Ω× RN × RN×n → R.
Opet promatramo problem
(3.13) infI(u) =
∫Ω
f(x,u(x),∇u(x))dx : u ∈ u0 +W 1,p0 (Ω;RN ) = m.
Teoremi 2.2, 3.6 i 3.10 vrijede i za problem (3.13) uz ocite modifikacije s analog-nim dokazima. U ovom slucaju Euler-Lagrangeove jednadzbe su sustav parcijalnihdiferencijalnih jednadzbi:
(3.14)
n∑i=1
∂
∂xifGij (x,u(x),∇u(x)) = fuj (x,u(x),∇u(x)), j = 1, . . . N.
Napomenimo da je teorija za sustave parcijalnih diferencijalnih jednadzbi puno tezai nepotpunija od teorije za skalarne jednadzbe.
Medutim, za razliku od skalarnog slucaja, pretpostavke Teorema 3.6 nisu opti-malne u vektorskom slucaju. Stovise, velik broj zanimljivih slucajeva nije pokrivenTeoremom 3.6. Promotrimo jedan takav istaknut primjer - polozaj ravnoteze utrodimenzionalnoj teoriji elasticnosti:
Primjer 3.13 (Teorija elasticnosti). Neka je Ω ⊂ R3 ogranicena domena kojapredstavlja elasticno tijelo u prostoru. Oznacimo s η : Ω→ R3 deformaciju proma-tranog elasticnog tijela. Deformacija je funkcija koja opisuje nacin na koji se tijelodeformira pod djelovanjem sila. Preciznije, η(x) je polozaj ”materijalne cestice x”nakon djelovanja sila. Ukupna elasticna energija dana je formulom:
E(η) =
∫Ω
F (x,∇η(x))dx,
gdje je F funkcija pohranjene energije (eng. stored energy function). Primijetite daF ne ovisi o samom pomaku η, vec o njegovom gradijentu. U grubo to je posljed-ica cinjenice da se elasticna energija ne mijenja s translacijom. Dakle, ako nekoelasticno tijelo samo premjestimo njegova elasticna energija ostaje ista. Elasticnotijelo je u ravnotezi ako mu je energija minimalna. Dakle, problem ravnotezeu elasticnosti svodi se na trazenje minimizatora funkcionala energije. Naravno,funkcija F mora zadovoljavati odredene fizikalne uvjete. Jedan od njih je da jepotrebno beskonacno energije da se ”unisti volumen”, tj.
(3.15) F (x,G)→∞, kada detG→ 0, x ∈ Ω.
3.4. Vektorski slucaj 23
Medutim, pokazat cemo da taj uvjet ne vrijedi za konveksne funkcije. Oznacimo sM3
+ = G ∈M3 : detG > 0. Primijetimo da M3+ nije konveksan skup. Na primjer
matrica −I je element konveksne ljuske od M3+ jer
−I =1
2diag(−3, 1,−1) +
1
2diag(1,−3,−1) =
1
2(G1 +G2).
Stovise, lako se vidi da vrijedi coM3+ = M3. Definirajmo sada funkciju
ω(λ) = F (x, λG1 + (1− λ)G2), λ ∈ [0, 1].
Ako je F konveksna tada je ω konveksna na [0, 1] pa vrijedi
ω(λ) ≤ maxω(0), ω(1) <∞.S druge strane, postoji λ0 ∈ (0, 1) takva da det(λ0G1 + (1 − λ0)G2) = 0, pa zboguvjeta (3.15) mora vrijediti ω(λ)→∞, λ→ λ0, sto je kontradikcija.
Vise detalja o nekonveksnosti funkcije pohranjene energije mozete naci u [Cia88],Poglavlje 4.8.
Dakle, u vektorskom slucaju potrebno je naci siru klasu funkcija na koje mozemoprimijeniti direktne metode varijacijskog racuna. Jedno takvo prosirenje, kojeukljucuje fizikalne primjere iz teorije elasticnosti, su polikonveksne funkcije [Bal76]:
Definicija 3.14 (Polikonveksnost). Funkcija F : M3 → R je polikonvkesna akopostoji konveksna funkcija f : M3 ×M3 × R takva da
F (G) = f(G, G,detG),
gdje je G = (detG)G−τ transponirana adjunkta.
Primjer 3.15. Funkcija F (G) = |G|2 + (detG)4 je polikonveksna, ali nije konvek-sna.
Radi jednostavnosti ovdje cemo promatrati samo slucaj N = n = 2 za kojicemo dokazati sljedece prosirenje Teorema 3.6:
Teorem 3.16. Neka je n = N = 2 i Ω ⊂ R2 ogranicena domena s Lipschitzovomgranicom. Neka su f : Ω×R2×R2×2 → R i F : Ω×R2×R2×2×R→ R neprekidnefunkcije takve da:
f(x,u, G) = F (x,u, G,detG), (x, u,G) ∈ Ω× R2 × R2×2.
Nadalje, pretpostavimo da vrijede sljedeci uvjeti:
(H1v) (G, δ) 7→ F (x,u, G, δ) je konveksna za svaki (x,u) ∈ Ω× R2.
(H2v) Postoji q ≥ 1, p > maxq, 2 i α1 > 0, α2, α3 ∈ R takvi da
F (x,u, G, δ) ≥ α1|G|p + α2|u|q + α3, (x, u,G, δ) ∈ Ω× R2 × R2×2 × R.
Neka je u0 ∈W 1,p(Ω;R2) takav da I(u0) <∞, tada problem (3.13) ima bar jednorjesenje.
Dokaz teorema se temelji na cinjenici da je determinanta neprekidna u slabojtopologiji. Uocimo da je taj rezultat na prvi pogled neobican posto nelinearnefunkcije u pravilu nisu nepekidne u slaboj topologiji i to je glavna obstrukcija udokazu egzistencije minimizatora direktnim metodama varijacijskog racuna. Dokazimonajprije taj rezutat.
24 3. Direktne metode
Lemma 3.17. Neka je Ω ⊂ R2 ogranicena domena s Lipschitzovom granicom ip > 2, te un = (ϕn, ψn) slabo konvergentan niz u W 1,p(Ω;R2) s limesom u = (ϕ,ψ).Tada
det∇un det∇u u Lp/2(Ω).
Dokaz. Po definiciji slabe konvergencije treba dokazati da za svaki v ∈ L(p/2)′(Ω)vrijedi:
(3.16)
∫Ω
det∇un(x, y)v(x, y)dxdy →∫
Ω
det∇u(x, y)v(x, y)dxdy
Kao sto je uobicajeno kod dokaza ovog tipa, najprije cemo tvrdnju dokazati zaglatke funkcije te je nakon toga prosiriti pomocu argumenta gustoce. Samo prvikorak (glatke funkcije) nam daje konceptualno objasnjenje zasto tvrdnja vrijedi.Drugi korak je tehicki i standardan.
Korak 1: Najprije cemo tvrdnju dokazati uz dodatne pretpostavke glatkoce: v ∈C∞0 (Ω), un,u ∈ C2(Ω;R2). Iskoristit cemo divergentnu strukturu determinante:
det∇un = ∂xϕn∂yψn − ∂yϕn∂xψn = ∂x(ϕn∂yψn)− ∂y(ϕn∂xψn)
= div(ϕn∂yψn,−ϕn∂xψn).
Koristeci teorem o divergenciji imamo:
(3.17)
∫Ω
(det∇un)v = −∫
Ω
(ϕn∂yψn,−ϕn∂xψn) · ∇v, v ∈ C∞0 (Ω).
Kako un u slabo uW 1,p(Ω;R2), iz teorema o Soboljevljevim ulaganjima (TeoremA.10) imamo da un → u u L∞(Ω;R2) (jer je p > 2!). Dakle, imamo
(ϕn∂yψn,−ϕn∂xψn) (ϕ∂yψ,−ϕ∂xψ) slabo u Lp(Ω;R2).
Sada tvrdnja za glatke funkcije slijedi direktno iz gornje slabe konvergencije.
Dokazimo sada da tvrdnja vrijedi za funkcije un ∈W 1,p(Ω;R2). Kljucan korakje dokazati da formula (3.17) vrijedi i za funkcije iz W 1,p. Korisit cemo cinjenicuda je prostor C2(Ω;R2) gust u W 1,p(Ω;R2). Takoder W 1,p je ulozen u L∞ u dvijedimenzije za p > 2. Fiksirajmo n ∈ N. Tada za svaki ε postoji uεn ∈ C2(Ω;R2)takav da:
‖un − uεn‖L∞ ≤ C‖un − uεn‖W 1,p ≤ ε.Takoder, lako se vidi da postoji konstanta C nezavisna od ε takva da
‖det∇un − det∇uεn‖Lp/2 + ‖(ϕn∂yψn,−ϕn∂xψn)− (ϕε∂yψε,−ϕε∂xψε)‖Lp ≤ Cε.
Posto su uεn glatke za njih tvrdnja vrijedi pa imamo:∫Ω
det∇uε =
∫Ω
(ϕεn∂yψεn,−ϕεn∂xψεn) · ∇v.
Sada tvrdnja slijedi u limesu ε→ 0.
Na analogan nacin dokazujemo da tvrdnja vrijedi i za v ∈ L(p/2)′(Ω).
Zadatak 3.18. Raspisite detalje zadnjeg koraka dokaza Leme 3.17.
Zadatak 3.19. Dokazite Teorem 3.16.
Poglavlje 4
Teorija regularnosti
U prethodnom poglavlju vidjeli smo da koristeci metode funkcionalne analize iteoriju Soboljevih prostora mozemo relativno lako dokazati egzistenciju minimiza-tora za siroku klasu problema. Medutim, taj minimizator se nalazi u prostoru W 1,p
sto znaci da opcenito nije ni neprekidna funkcija (to naravno ovisi o p i dimenzijiprostora n). Prirodno se postavlja pitanje je li minimizator glatka funkcija ako jef glatka. Vidjet cemo da je pitanje regularnosti bitno teze pitanje od pitanja egzis-tencije minimizatora. Zaista, pitanje regularnosti rjesenja varijacijskog problema je19. Hilbertov problem:
Problem 4.1 (19. Hilbertov problem). Neka je u rjesenje varijacijskog problema∫ ∫f(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y))dxdy → min,
gdje je f = f(x, u, ξ) analiticka funkcija takva da detfξξ > 0 (Hilbert je takve prob-leme zvao regularni varijacijski problemi). Da li je minimizator u takoder analitickafunkcija?
Problem su pozitivno rjesili nezavisno E. De Giorgi 1956. [DG57] i J. Nash1957. [Nas58] koristeci potpuno razlicite tehnike. Vise detalja o njihovim rjesenjimareci cemo nesto kasnije. Sada najprije uocimo da je uvjet na determinantu (kon-veksnost) nuzan cak i u jednoj dimenziji. Uzmimo recimo Primjer 2.12, tj. funkcijuf(ξ) = (x2−1)2. Minimizatori tog problema su ”cik-cak” funkcije, tj. funkcije kojezadovoljavaju u′ = 0 skoro svuda. Tada u je Lipschitzova (u ∈W 1,∞), ali nije C1.Stovise, u Primjeru 2.12 vidjeli smo da ne postoje glatki minimizatori tog problemaposto je 0 jedina glatka funkcija koja zadovoljava uvjet u′ = 0, a onda ocito nijeminimizator.
4.1. 1D slucaj
Promotrimo sada 1D slucaj koji je bitno jednostavniji od problema u vise dimenzija.
25
26 4. Teorija regularnosti
Problem 4.2.
inf(I(u) =
∫ b
a
f(x, u(x), u′(x))dx : u ∈W 1,p(0, 1), u(0) = α, u(1) = β = m.
Radi jednostavnije ilustracije ideja najprije cemo analizirati specijalni slucajf(x, u, ξ) = ξ2 + g(x, u). Naravno, g mora biti takva da f zadovoljava uvjeteTeorema 3.6. Preciznije, dokazat cemo:
Propozicija 4.3. Neka je f(x, u, ξ) = ξ2 +g(x, u), gdje je g ∈ C∞([a, b]×R) takvada za neki 2 > q ≥ 1 i α1, α2 ∈ R vrijedi:
g(x, u) ≥ α1|u|q + α2.
Tada postoji minimizator u ∈ C∞([0, 1]) Problema 4.2. Ukoliko je funkcija x 7→g(x, u) konveksna za svaki x, tada je minimizator jedinstven.
Dokaz. Egzistencija minimizatora u ∈ H1(0, 1) slijedi direktno iz Teorema 3.6.Potrebno je dokazati da je u glatka. Iz Teorema 3.10 slijedi da u zadovoljava Euler-Lagrangeovu jedndazbu u slabom smislu:
(4.1) 2
∫ 1
0
u′(x)v′(x)dx = −∫ 1
0
gu(x, u(x))v(x)dx, v ∈ C∞0 (0, 1).
Uocimo da u pretpostavkama Propozicije nismo zahtijevali nikakvu ogranicenostrasta od gu. Usporkos tome desna strana gornje jednakosti (4.1) ima smisla. Naimeu ∈ H1(0, 1) → C([0, 1]) pa je zbog toga i gu(x, u(x)) ogranicena. U vise dimenzijagornje ulaganje ne vrijedi pa minimizator nije nuzno neprekidan i stoga je u Teoremu3.10 potrebna pretpostavka na ogranicenost rasta od fu. Iz (4.1) vidimo da vrijediu′′ = gu(x, u) u smislu distribucija. Dakle, druge derivacije od u su ogranicene, tj.u ∈W 2,∞(0, 1). Specijalno, u ∈ C1([0, 1]). Deriviranjem jednadzbe dobivamo:
u′′′(x) =1
2guu(x, u)u′ +
1
2gux(x, u) ∈ C([0, 1]).
Dakle, dokazali smo u ∈ C3([0, 1]). Daljnjim iteriranjem postupka dokazujemo daje u ∈ C∞([0, 1]).
Propozicija 4.4. Neka je f ∈ C1([0, 1] × R × R) takva da su zadovoljene pret-postavke Teorema 3.6 i 3.9. Tada za svaki minimizator u ∈ W 1,p(0, 1) Problema4.2 vrijedi u ∈ W 1,∞(0, 1) i Euler-Lagrangeove jednadzbe vrijede skoro svuda na(0, 1).
Dokaz. Dokazimo najprije da je Euler-Lagrangeova jednadzba zadovoljena skorosvuda. Posto je u ∈W 1,p(0, 1) ⊂ L∞(0, 1) imamo:∫ 1
0
|fu(x, u(x), u′(x))|dx ≤ C∫ 1
0
(1 + |u′(x)|p)dx <∞.
Dakle, preslikavanje x 7→ fu(x, u(x), u′(x)) je integrabilno pa vrijedi:(4.2)∫ 1
0
fξ(x, u(x), u′(x))v′(x)dx = −∫ 1
0
fu(x, u(x), u′(x))v(x)dx, v ∈ C∞0 (0, 1).
4.1. 1D slucaj 27
Nadalje, po defniciji slabe derivacije zakljucujemo da je preslikavanje x 7→ fξ(x, u(x), u′(x))iz W 1,1(0, 1). Dakle, Euler-Lagrangeova jednadzba je zadovoljena u L1(0, 1), tj.skoro svuda na (0, 1).
Dokazimo sada da je u Lipschitzova. Iz konveksnosti f(x, u, .) slijedi:
f(x, u, 0) ≥ f(x, u, ξ)− ξfξ(x, u, ξ).u′fξ(x, u(x), u′(x)) ≥ f(x, u(x), u′(x))−f(x, u(x), 0) ≥ C|u′(x)|p−C, s. s. x ∈ (0, 1).
Zadnja nejednakost je posljedica cinjenice da je x 7→ fξ(x, u(x), 0) ogranicenafunkcija. Medutim, imamo i vise. Iz prvog dijela dokaza znamo da je x 7→f(x, u(x), u′(x)) W 1,1 funkcija, pa je i ogranicena. Dakle, imamo:
|u′(x)| ≥ C|u′(x)|p − C, s. s. x ∈ (0, 1).
Kako je p > 1 gornja nejednakost je moguca samo ako je |u′(x)| ogranicena tju′ ∈ L∞(0, 1).
Teorem 4.5. Neka je f ∈ C∞([0, 1] × R × R) takav da zadovoljava pretpostavkePropozicije 4.4, te neka dodatno vrijedi fξξ(x, u, ξ) > 0, (x, u, ξ) ∈ [0, 1] × R × R.Tada je svaki minimizator Problema 4.2 u C∞([0, 1]).
Dokaz. Iz Propozicije 4.4 imamo u ∈W 1,∞(0, 1) i
(4.3)d
dxfξ(x, u(x), u′(x)) = fu(x, u(x), u′(x)), s. s. x ∈ (0, 1).
Formalnim deriviranjem jednadzbe (4.3) dobivamo:(4.4)fξξ(x, u(x), u′(x))u′′(x) = fu(x, u(x), u′(x))−fxξ(x, u(x), u′(x))−fuξ(x, u(x), u′(x))u′(x).
Desna strana (4.4) je ogranicena zbog glatkoce f i u ∈ W 1,∞(0, 1). Kako jefξξ(x, u, ξ) ≥ C > 0 i fξξ(x, u(x), u′(x)) ogranicena za ξ ≤ ‖u′‖L∞ zakljucujemou′′ ∈ L∞.
Uocimo da gornji argument nije korektan jer je deriviranje jednadzbe (4.3)bilo formalno. Naime, za koristenje lancanog pravila potrebna je ogranicenost u′′,a to je upravo tvrdnja koju dokazujemo. Medutim, argument temeljen na gorn-jem racunu moze se provesti koristeci konacne diferencije. U tu svrhu definiramofunkciju φ(x) = fξ(x, u(x), u′(x)). Iz (4.3) zakljucujemo φ ∈ W 1,∞(0, 1). Za h > 0imamo:
C|h| ≥ φ(x+ h)− φ(x) = fξ(x+ h, u(x+ h), u′(x+ h))− fξ(x, u(x), u′(x))
= fξ(x+h, u(x+h), u′(x+h))−fξ(x+h, u(x+h), u′(x))+fξ(x+h, u(x+h), u′(x))−fξ(x+h, u(x), u′(x))
+fξ(x+h, u(x), u′(x))−fξ(x, u(x), u′(x)) = fξξ(x+ h, u(x+ h), ζ1)︸ ︷︷ ︸≥C>0
(u′(x+h)−u′(x))
+ fuξ(x+ h, ζ2, u′(x))︸ ︷︷ ︸
≤C
(u(x+ h)− u(x))︸ ︷︷ ︸≤C|h|
+ fxξ(ζ3, u(x), u′(x))︸ ︷︷ ︸≤C
h.
Dakle, imamo:|u′(x+ h)− u′(x)| ≤ Ch, s. s. x ∈ (0, 1),
tj. u ∈ W 2,∞(0, 1) (vidi Teorem A.8). Medutim, kako smo dokazali dodatnuregularnost funkcije u, sada mozemo opravdati formalni racun koji daje (4.3).
28 4. Teorija regularnosti
Takoder, uocimo da je desna strana jednadzbe (4.3) W 1,∞ funkcija pa zakljucujemoda vrijedi u ∈ W 3,∞(0, 1). Daljnjim iteriranjem tog postupka zakljucujemo u ∈C∞([0, 1]).
4.2. n-dimenzionalni slucaj
Uocimo da tehnike koristene u dokazu Teorema 4.5 u bitnome koriste cinjenicuda je problem jednodimenzionalan te se ne mogu jednostavno poopciti na visedimenzija. Zaista, problem regularnosti u vise dimenzija je bitno slozeniji pa cemoovdje analizirati samo najjednostavniji primjer minimizacije funkcionala:
I(u) =
∫Ω
(1
2|∇u|2 − gu
), u ∈ H1
0 (Ω).
Teorem 4.6. Neka je d, k ≥ 1, Ω ⊂ Rd ogranicen s Ck+2 granicom, g ∈ Hk(Ω).Tada postoji jedinstveni minimizator u ∈ Hk+2(Ω) ∩H1
0 (Ω) funkcionala I.
Nadalje, postoji konstanta C = C(Ω, k) takva da
‖u‖Hk+2(Ω) ≤ C‖g‖Hk(Ω).
Posebno, za k =∞ imamo u ∈ C∞(Ω).
Dokaz. Euler-Lagrangeova jednadzba funkcionala I je:
(4.5) −∆u = g.
Po Teoremu 3.6 postoji rjesenje problema (4.5) u ∈ H10 (Ω). Dokaz cemo provesti u
dva koraka:
Unutarnja regularnost. Neka je ϕ ∈ C∞0 (Ω). Unutarnja regularnost znaci davrijedi ϕu ∈ Hk+2(Ω).
Promotrimo najprije slucaj k = 0, tj. g ∈ L2(Ω). Racunamo:
−∆( ϕu︸︷︷︸:=u
) = −(∆ϕu+ ϕ∆u+ 2∇u · ∇ϕ) = ϕg −∆ϕu− 2∇u · ∇ϕ︸ ︷︷ ︸:=g∈L2(Ω)
.
Radi notacijske jednostavnosti u daljnjem tekstu cemo ispustiti superskipt˜i pisatig umjesto g. Kako je u ∈ H1
0 (Ω) (Tm. 3.6), mozemo prosiriti u nulom na Rd i tadavrijedi u ∈ H1(Rd) te u zadovoljava jednadzbu
(4.6) −∆u = g u Rd.
u smislu distribucija. Opet koristimo konacne diferencije. Za h ∈ Rd definiramooperator konacne diferencije:
(Dhu)(x) =u(x+ h)− u(x)
|h|.
Direktnim racunom vidimo da vrijedi:
(4.7) ∇Dhu = Dh∇u, ‖Dhu‖L2(Rd) ≤ ‖∇u‖L2(Rd).
Takoder za u ∈ L2(Rd) iz Teorema A.8 slijedi:(∃C > 0,∀h ∈ Rd, ‖Dhu‖L2(Rd) ≤ C
)⇒ u ∈ H1(Rd).
4.2. n-dimenzionalni slucaj 29
Slaba formulacija problema (4.7) glasi:
(4.8)
∫Ω
∇u · ∇v =
∫Ω
gv, v ∈ H1(Rd).
Uzimo test funkciju v = D−h(Dhu). Uocimo da je v ∈ H1(Rd) za svako h ∈ Rd paje zbog toga dopustiva test funkcija. Racunamo:
(4.9) |∫
Ω
∇u · ∇D−h(Dh)u|︸ ︷︷ ︸=‖Dh∇u‖2
L2(Rd)
= |∫
Ω
gD−h(Dh)u| ≤ ‖g‖L2(Rd)‖Dh∇u‖L2(Rd)
Ovdje smo koristili diskretni analogon parcijalne integracije koji je jednostavnaposljedica zamjene varijabli:
(4.10)
∫RdqDhr =
1
|h|
∫Rdq(x)
(r(x+ h)− r(x)
)dx
= − 1
|h|
∫Rdr(x)
(q(x)− q(x− h)
)dx = −
∫RdD−hqr, q, r ∈ L2(Rd).
Dakle, iz (4.9) imamo ‖Dh∇u‖L2(Rd) ≤ C, h ∈ Rd, pa zakljucujemo ∇u ∈ H1(Rd),tj. u ∈ H2(Rd). Sada ovaj postupak mozemo iterirati i dokazati tvrdnju zaproizvoljni k ∈ N. Naime, dokazali smo da ϕu ∈ H2(Ω), ϕ ∈ C∞0 (Ω), tj. u ∈H2
loc(Ω). Dakle, uz pretpostavku f ∈ H1(Ω), g ∈ H1(Rd) , jednadzbu (4.6) mozemoderivirati po xi varijabli, i = 1, . . . , d. Sada analognim racunom, koristeci konacnediferencije (test funkciju D−h(Dh∂xiu)), dokazemo da ∂i∇u ∈ H1(Rd), i = 1, . . . , d,tj. u ∈ H3(Rd). Dakle, u ∈ H3
loc.
Posebno, za k = ∞, imamo u ∈ C∞(Ω). Uocite da u dokazu unutarnje reg-ularnosti nismo koristili pretpostavku o glatkoci domene. Ona ce nam trebati udrugom koraku.
Regularnost na rubu. Dat cemo samo ideju dokaza. Koristimo ideju lokalizacijeza svodenje problema na Rd+. Za svaki x ∈ ∂Ω s x 3 Ux ⊂ Rd oznacimo otvorenskup iz Definicije A.5. Tada je Ux : x ∈ ∂Ω otvoren pokrivac skupa ∂Ω. Kako je∂Ω kompaktan, postoji konacan potpokrivac, oznacimo ga s U1, . . . , Uk. Neka jeθi, i = 1, . . . , k, particija jedinica pridruzena tom podpokrivacu. Tada
u =
k∑i=1
θiu =
k∑i=1
ui.
Uocimo da suppui ⊂ Ui i
−∆ui = θig − (∆θi)u− 2∇u · ∇θi.
Isto kao i u dokazu unutarnje regularnosti, uz malu zlouporabu notacije, umjestoui pisemo u, a desnu stranu gornje jednakosti oznacimo s g. Neka je J koordinatnopreslikavanju pridruzeno okolini U neke tocke x ∈ ∂Ω, te H = J−1 (vidi DefinicijuA.5).
30 4. Teorija regularnosti
Zamjenom varijabli w(y) = u(Hy) slaba formulacija glasi:Naci w ∈ H1
0 (Q+) takav da(4.11)
d∑k,l=1
∫Q+
akl(y)∂ykw(y)∂ylψ(y)dy =
∫B+
g(H(y)) detH(y)dy, ψ ∈ H10 (B+),
gdje je akl(y) =
d∑j=1
∂Jk∂xj
(y)∂Jl∂xj
(y)|det∇H(y)|.
Pokazimo da je zadaca (4.11) elipticka. Neka je ξ ∈ Rd. Tada:
n∑k,l=1
ak,lξkξl = |det∇H|n∑
k,l=1
∂Jk∂xj
∂Jl∂xj
ξkξl
= |det∇H|n∑j=1
( n∑k=1
∂Jkxj
ξk
)2
≥ α|ξ|2.
Dakle, treba dokazati regularnost za elipticki problem na Rd+. Dokaz provodimo udva koraka.
(1) Neka je h ∈ Rn tangencijalni smjer, tj. h · en = 0. Uzmimo test funkcijuψ = D−h(Dhw) u (4.11):∫
Rd+Dh
(akl(y)
∂
∂xkw(y)
)Dh
∂
∂ylw(y)dy︸ ︷︷ ︸
I
=
∫Rd+
gD−h(Dhw).
Racunamo:
Dh
(akl(y)
∂
∂ykw(y)
)= akl(y + h)
∂
∂yk(Dhw(y)) +Dh(akl)
w
∂yk.
Koristili smo formulu za konacnu diferenciju produkta:
(Dh(qr))(y) =(qr)(y + h)− (qr)(y)
|h|= q(y+h)
r(y + h)− r(y)
|h|+q(y + h)− q(y)
|h|r(y).
Dakle,
I =
∫Rd+akl(y + h)
∂
∂ykDhw
∂
∂ylDhw +
∫Rd+Dh(akl)
∂
∂ykw∂
∂ylDhw
≥ α‖∇Dhw‖2L2(Rd+) − C‖w‖H1(Rd+)‖∇Dhw‖L2(Rd+).
Kako vrijedi ‖w‖H1(Rd+)‖ ≤ C, dokazali smo:
‖∇Dhw‖L2(Rd+) ≤ C, h = (h′, 0), h′ ∈ Rd−1.
Dakle, ∂∂yi
w ∈ H1(Rd+), i = 1, . . . , n− 1.
(2) Ostaje nam jos dokazati ∂2
∂y2dw ∈ L2(Rd+). U ovom koraku iskoristit cemo
dokazano u prethodnom koraku i cinjenicu da w zadovoljava jednadzbu (4.11).
4.2. n-dimenzionalni slucaj 31
Naime, po pretpostavkama teorema add ∈ C1 i add(x) ≥ α > 0. Sada iz (4.11)zakljucujemo:∫
add∂2
∂y2d
wψ = −∫
∂
∂ydadd
∂
∂ydwψ −
∑(k,l)6=(d,d)
akl∂
∂ykw∂
∂ylψ.
Kako vrijedi akl ∈ C1 i ∂∂yi
w ∈ H1(Rd+), i = 1, . . . , n − 1, zakljucujemo
add∂2
∂y2dw ∈ L2, pa onda i ∂2
∂y2dw ∈ L2.
Poopcenje Teorema 4.6 na opcenite funkcionale tipa I(u) =∫
Ωf(x, u,∇u) vrlo
je slozeno i nadilazi ovaj kolegij. Ovdje cemo samo komentirati glavne ideje togpoopcenja. Radi jednostavnosti promotrimo slucaj:
I(u) =
∫Ω
(f(∇u(x))− g(x)u(x)
)dx,
gdje je g glatka funkcija i f ∈ C∞(Rd) takva da postoji λ > 1 takav da vrijedi:
(4.12)1
λI ≤ fξξ(ξ) ≤ λI, ξ ∈ Rd.
Opceniti slucaj moze se rijesiti koristeci sustinski iste tehnike uz dodatne tehnickepoteskoce. Uocite da je stroga konveksnost nuzna vec i 1D slucaju. Po Teoremu3.6 postoji minimizator u ∈ H1(Ω) funkcionala I i po Teoremu 3.9 u zadovoljavaEuler-Lagrangeovu jednadzbu u smislu distribucija:
(4.13)
∫Ω
fξ(∇u) · ∇φ =
∫Ω
gφ, φ ∈ H10 (Ω).
Propozicija 4.7. Neka je u minimizator funkcionala I. Tada u ∈ H2(Ω).
Dokaz. Dokaz cemo provesti koristeci metodu konacnih diferencija koju smo ko-ristili i u dokazu Teorema 4.6. Najprije koristimo Teorem srednje vrijednosti iracunamo:
Dhfξ(∇u(x)) =1
h
(fξ(∇u(x+ h))− fξ(∇u(x))
)= fξξ
((1− s)∇u(x) + s∇u(x+ h)
)(Dh∇u)(x),
za neki s ∈ [0, 1]. Uzimanjem test funkcije φ = D−h(Dhu) u (4.13), te koristenjemsvojstva (4.12) dobivamo:
1
λ
∫Ω
|Dh∇u|2 ≤∫
Ω
fξξ(Ξ)Dh∇u ·Dh∇u ≤ ‖g‖L2‖Dh∇u‖L2 ,
gdje je Ξ = (1 − s)∇u(x) + s∇u(x + h). Dakle, ∇u ∈ H1(Ω), cime je tvrdnjadokazana.
Dakle, prvi korak je bio analogan kao i u jednostavnom slucaju Dirichletovogintegrala. Za drugi korak potrebno je derivirati jednadzbu (4.13). Najprije napisimojednadzbu (4.13) u obliku:
(4.14) − divfξ(∇u) = g u L2(Ω).
32 4. Teorija regularnosti
Uz pretpostavku glatkoce funkcije u jednadzba (4.14) se moze napisati u nediver-gentnom obliku:
(4.15) fξξ(∇u) : ∇2u = g.
Deriviranjem po xk jednadzbe (4.15) dobivamo:
fξξ(∇u) : ∇2∂xk u = −fξξξ(∇u) · ∇∂xk u : ∇2u+ ∂kg,
gdje je fξξξ(∇u) · ∇∂xk u : ∇2u =∑i,j,l ∂
3ξiξjξl
f(∇u)∂xl∂xk u∂2xixj u. Uz oznaku
w = ∂ku vrijedi:
(4.16) A(x) : ∇2w = gxk + g,
gdje je Aij(x) = ∂2ξiξj
f(∇u) i g = fξξξ(∇u) · ∇∂xk u : ∇2u. Zbog uvjeta (4.12)
jednadzba (4.16) je elipticka. Medutim, koeficijenti te jednadzbe Aij nemaju do-datnu regularnost, tj. oni su samo L∞ funkcije. Rezultat De Giorgi-a i Nash-agovori o tom slucaju, tj. kaze da su rjesenja linearne elipticke zadace s izmjerivimkoeficijentima Holder neprekinute funkcije. Preciznije:
Teorem 4.8 (De Giorgi-Nash). Neka je Ω ⊂ Rd ogranicen otvoren skup i w ∈H1(Ω) rjesenje jednadzbe∫
Ω
aij∂xiw∂xjφ = 0, φ ∈ H10 (Ω),
gdje A = (aij) ∈ L∞, A ≥ 1λ I. Tada postoji α ∈ (0, 1) takav da w ∈ C0,α(D), za
svaki D ⊂ D ⊂ Ω.
Dokazom Teorema 4.8 ujedno je i rijesen 19. Hilbertov problem. Naime, kako jew = ∂xi u ∈ C0,α, onda je sustav (4.15) elipticki s C0,α koeficijentima. Tada se mozekoristiti Schauderova teorija za elipticke sustave (vidi npr. [GT83]) koja je bilapoznata u vrijeme dokaza Teorema 4.8 pa vrijedi u ∈ C2,α. Daljnjim iteriranjemistog postupka dobivamo u ∈ C∞.
Poglavlje 5
Primjene
5.1. Problem prepreke
Promatramo elasticnu zicu ucvrscenu na oba kraja (lijevi na visini 1, desni na visni0) u polju sila teze. Ispod zice nalazi se kruta prepreka na visini 0. Problem semoze formulirati pomocu minimizacije sljedeceg funkcionala energije:
J(v) :=1
2
∫ 1
0
(v′)2 + g
∫ 1
0
v, v ∈ K,
gdje je K = v ∈ H1(0, 1) : v(0) = 1, v(1) = 0, v ≥ 0 i g ∈ R.Minimizacijska formulacija:
(5.1) minv∈K
J(v).
Uocimo da K nije potprostor (ali jest konveksan skup) pa se varijacijska formu-lacija ne moze izvesti na standardan nacin. Medutim, koristeci direktne metodevarijacijskog racuna, analogne dokazu Teorema 3.2, lako se dokaze da minimizaci-jski problem 5.1 ima jedinstveno rjesenje.
Pretpostavimo da je u ∈ K minimizator funkcionala J , te φ ∈ K. Tada zbogkonveksnosti skupa K za svaki 1 > ε > 0 vrijedi (1− ε)u+ εφ ∈ K. Dakle vrijedi,
J(u+ ε(φ− u)) ≥ J(u), φ ∈ K.
Daljnjim racunom dobivamo:
ε
∫ 1
0
u′(φ′ − u′) +ε2
2
∫ 1
0
(φ′ − u′)2 ≥ −gε∫ 1
0
(φ− u), φ ∈ K.
Kako je 0 < ε < 1 proizvoljan, izveli smo sljedecu varijacijsku formulaciju:
Varijacijska formulacija: Nadi v ∈ K takav da:
(5.2)
∫ 1
0
v′(φ′ − v′) ≥ −g∫ 1
0
(φ− v), φ ∈ K.
33
34 5. Primjene
Uocimo da varijacijska formulacija ima oblik nejednakosti sto je razlicito od slucajabez prepreke kada imamo jednakost. To je posljedica cinjenice da K nije pros-tor pa ne mozemo promatrati varijaciju u suprotnom smjeru i dokazati suprotnunejednakost.
Izvedimo sada diferencijalnu formulaciju. Neka je ξ ∈ C∞0 (0, 1), ξ ≥ 0. Tada jefunkcija u+ ξ ∈ K, pa uzimanjem φ = u+ ξ za test funkciju u (5.2) zakljucujemoda vrijedi:
−u′′ ≥ −g u 〈0, 1〉.Neka je Λ skup na kojem su zica i kruta podloga u kontaktu, Λ = x ∈ (0, 1) :u(x) = 0. Kako je u neprekidna funkcija Λ je zatvoren skup, pa je njegov komple-ment N = x ∈ (0, 1) : u(x) > 0 otvoren. Uzmimo sada ξ ∈ C∞0 (N). Uocimo daje u± εξ ∈ K za dovoljno mali ε. Uvrstavanjem test funkciju φ = u± εξ u (5.2) ikoristeci cinjenicu da je ε > 0 proizvoljan zakljucujemo
−u′′ = −g u N.
Dakle, u zadovoljava sljedecu diferencijalnu formulaciju:Diferencijalna formulacija:
(5.3)
−u′′ ≥ −g,(−u′′ + g)u = 0,
u ≥ 0,
u (0, 1),
u(0) = 1, u(1) = 0,u′ = 0 on ∂N ∩ 〈0, 1〉.
Skup ∂N ∩ 〈0, 1〉 zovemo slobodna granica.
Egzaktno rjesenje: Uzmimo g = 8. Tada je rjesenje problema (5.3) (pa onda i(5.2) i (5.1)) dano formulom:
u(x) =
(1− 2x)2 , 0 ≤ x ≤ 1/2,0 , x ≥ 1/2.
Vidimo da u′′ ima prekid iako su svi podaci glatki. Slobodna granica se sastojiod jedne tocke, tj. ∂N = 1/2. U odredivanju slobodne granice koristili smoneprekidnost od u. Dakle, za problem prepreke ne vrijede razultati regularnosti izPoglavlja 4.
5.1. Problem prepreke 35
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Slika 1. Graf rjesenja u za problem zice s krutom preprekom y = 0
Dodatak A
Funkcijski prostori
U ovom poglavlju cemo bez dokaza iskazati neke standardne rezultate o funkcijskimprostorima koji se koriste u ovom kolegiju. Za vise detalja i dokaze tih rezultatacitatelja upucujemo na [AF03, Bre11].
A.1. Prostori neprekidnih i Holderovih funkcija
Neka je Ω ⊂ Rd otvoren skup. S C(Ω) (C(Ω;RN )) oznacavamo skup neprekidnihfunkcija u : Ω → R (u : Ω → RN ). Nadalje, s C(Ω) (C(Ω;RN )) oznacavamoskup svih neprekidnih funkcija koje se mogu neprekidno prosiriti na Ω. Ako je Ωogranicen definiramo normu na C(Ω) sa:
‖u‖∞ := sup|u(x)| : x ∈ Ω, u ∈ C(Ω).
(C(Ω), ‖ · ‖∞) je Banachov prostor.
Teorem A.1 (Arzela-Ascoli). Neka je Ω ⊂ Rd ogranicen skup. Neka je K ⊂ C(Ω)ogranicen sa sljedecim svojstvom (ekvineprekidnost):
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀u ∈ K) |x− y| < δ ⇒ |u(x)− u(x)| < ε.
Tada je K kompaktan u prostoru C(Ω) s uniformnom normom ‖ · ‖∞.
Neka je α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd0. Tada definiramo |α| =∑ki=1 αi i
∂α =∂|α|
∂α1x1 . . . ∂αdxd.
Takoder, cesto cemo koristiti oznaku ∇ku = (∂αu)|α|=k. Ck(Ω) definiramo kaoskup funkcija u : Ω → R takvih da su ∂αu, |α| ≤ k, neprekidne. Analogno kao iranije definiramo Ck(Ω) kao skup svih Ck funkcija u takvih da se ∂αu, |α| ≤ k,mogu neprekidno prosiriti na Ω. Na Ck(Ω) definiramo normu
‖u‖Ck = max|α|≤k
‖∂αu‖∞.
(Ck(Ω), ‖.‖Ck) je Banachov prostor.
37
38 A. Funkcijski prostori
Definicija A.2 (Holder neprekidnost). Funkcija f : Ω → R je Holder neprekidnaako postoji 0 < α ≤ 1 i C > 0 takav da
|f(x)− f(y)| ≤ C‖x− y‖α, x, y ∈ Ω.
Broj α zovemo Holderov eksponent. Ako je α = 1 kazemo da je funkcija Lipschit-zova. Skup Holderovih funkcija s eksponentom α oznacavamo s C0,α(Ω).
Polunormu na C0,α(Ω) definiramo sa:
[u]C0,α = sup |u(x)− u(x)|‖x− y‖α
: x, y ∈ Ω, x 6= y, u ∈ C0,α(Ω).
C0,α(Ω) je Banachov prostor s normom:
‖u‖C0,α = ‖u‖∞ + [u]C0,α .
Ck,α(Ω) je skup Ck(Ω) funkcija u takvih da su ∂βu, |β| = k, Holder neprekidne seksponentom α. Ck,α(Ω) je Banachov prostor s normom:
‖u‖Ck,α = ‖u‖Ck + max|β|=k
[∂βu]C0,α .
Definicija A.3 (Kompaktno ulaganje). Neka su (X, ‖.‖X) i (Y, ‖.‖Y ) Banachoviprostori takvi da X ⊂ Y . Kazemo da je X kompaktno ulozen u Y , pisemo X ⊂⊂ Yako je inkluzija i : X → Y kompaktan operator, tj. ako za svaki ogranicen skup
A ⊂ X vrijedi da je i(A)Y
kompaktan u Y .
Po Arzela-Ascolijevom teoremu vrijedi Ck(Ω) ⊂⊂ C(Ω), k ≥ 1 i C0,α(Ω) ⊂⊂C(Ω).
A.2. Prostori Soboljeva
W k,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω) : ∂αu ∈ Lp(Ω), α ∈ Nd, |α| = k.
Teorem A.4 (Osnovna lema varijacijskog racuna). Neka je Ω ⊂ Rd otvoren i nekaje u ∈ L1
loc(Ω) takva da: ∫Ω
u(x)φ(x) = 0, φ ∈ C∞0 (Ω).
Tada je u = 0 skoro svuda u Ω. Ako je u ∈ C(Ω), onda je u = 0 u Ω.
Definicija A.5. Kazemo da je otvoren i ogranicen skup Ω ⊂ Rd klase Ck, k ≥ 1,ako za svaki x ∈ ∂Ω postoji okolina U od x u Rd i bijekcija: H : Q→ U takva da
H ∈ Ck(Q), H−1 ∈ Ck(U), H(Q+) = U ∩ Ω, H(Q0) = U ∩ ∂Ω,
gdje je Q = x ∈ Rd : |xi| < 1, i = 1, . . . , d, Q+ = x ∈ Q : xn > 0, Q0 = x ∈Q : xn = 0.
Lemma A.6 (Particija jedinice). Neka je Γ ⊂ Rd kompaktan te neka su U1, U2, . . . , Uk ⊂Rd otvoreni skupovi takvi Γ ⊂ ∪ki=1Ui. Tada postoje glatke funkcije θ0, θ1, . . . , θk ∈C∞(Rd) takve da:
0 ≤ θi ≤ 1, i = 0, 1, . . . , k,
k∑i=0
θi = 1 na Rd,
A.2. Prostori Soboljeva 39
suppθi je kompaktan i suppθi ⊂ Ui, i = 1, . . . , k, suppθ0 ⊂ Rd \Γ. Ako je Ω otvorenogranicen takav da Γ = ∂Ω, onda θ0|Ω ∈ C∞0 (Ω).
Teorem A.7. Neka je Ω ⊂ Rd ogranicen, otvoren skup s Lipschitzovom granicom.Tada su funkcije C∞(Ω) guste u W k,p(Ω), k ∈ N, 1 ≤ p <∞.
Neka je f : Rd → R, te h ∈ Rd. Tada definiramo translaciju funkcije f za h:
(τhf)(x) = f(x− h), x ∈ Rd.
Teorem A.8. Neka je Ω ⊂ Rd otvoren, 1 < p ≤ ∞ te u ∈ Lp(Ω). Tada su sljedecasvojstva ekvivalentna:
(1) u ∈W 1,p(Ω).
(2) Postoji konstanta C = C(u,Ω, p) takva da
|∫
Ω
u(x)∂φ
∂xi| ≤ C‖φ‖Lp′ (Ω), φ ∈ C
∞0 (Ω), i = 1, . . . , d.
(3) Postoji konstanta C = C(u,Ω, p) takva da za svaki otvoren ogranicen skupω ⊂ ω ⊂ Ω te za svaki h ∈ Rd, |h| < d(ω,Rd \ Ω) vrijedi:
‖τhu− u‖Lp(ω) ≤ C|h|.
Ako je Ω = Rd tada vrijedi:
‖τhu− u‖Lp(Rd) ≤ C|h|.
Nadalje, u tvrdnjama (2) i (3) mozemo uzeti C = ‖∇u‖Lp(Ω).
Teorem A.9 (Poincareova nejednakost). Neka je Ω ⊂ Rd otvoren ogranicen skupi 1 ≤ p ≤ ∞. Tada postoji konstanta C = C(Ω, p) > 0 takva da:
‖u‖Lp ≤ C‖∇u‖Lp , u ∈W 1,p0 (Ω).
Dakle, funkcija u 7→ ‖∇u‖Lp je norma ekvivalentna standardnoj normi na W 1,p0 (Ω).
Teorem A.10 (Soboljevljeva ulaganja). Neka je Ω ⊂ Rd otvoren ogranicen skup sLipschitzovom granicom.
(1) Ako je 1 ≤ p < d, onda
W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), q ∈ [1, p∗],
gdje je 1p∗ = 1
p −1d , tj. p∗ = np
n−p .
(2) Ako je p = d, onda
W 1,d(Ω) ⊂ Lq(Ω), q ∈ [1,∞〉.(3) Ako je p > d, onda
W 1,p(Ω) ⊂ C0,α(Ω), α ∈ [0, 1− n/p].
Nadalje, ulaganja su kompaktna za q < p∗ u slucaju (1), q ∈ [1,∞〉 u slucaju (2) iα < 1− d/p u slucaju (3).
Teorem A.11. Neka je Ω ⊂ Rd ogranicen otvoren skup i 1 ≤ p <∞.
(1) Neka je (un)n∈N ogranicen niz u Lp(Ω). Tada postoji podniz (uni)i∈N i u ∈Lp(Ω) takav da uni u slabo u Lp(Ω).
40 A. Funkcijski prostori
(2) Neka je k ∈ N i (un)n∈N ogranicen niz u W k,p(Ω). Tada postoji podniz(uni)i∈N i u ∈W k,p(Ω) takav da uni u slabo u W k,p(Ω).
Teorem A.12 (Riemann-Lebesgueov teorem). Neka je 1 ≤ p ≤ ∞, Ω = ∩di=1〈ai, bi〉,u ∈ Lp(Ω). Neka je u periodicki prosirena na Rd. Definiramo un(x) = u(nx). Tada
un u, 1 ≤ p <∞, un ∗ u, p =∞,
gdje je u = 1|Ω|∫
Ωu(x)dx srednja vrijednost funkcije u na Ω.
A.3. Konveksna analiza
Teorem A.13 (Jensenova nejednakost). Neka je Ω ⊂ Rd otvoren, u ∈ L1(Ω) if : R→ R konveksna. Tada vrijedi:
f( 1
|Ω|
∫Ω
u(x)dx)≤ 1
|Ω|
∫Ω
f(u(x))dx.
Teorem A.14. Neka je f ∈ C1(Rd).
(1) Funkcija f je konveksna ako i samo ako
f(x) ≥ f(y) +∇f(y) · (x− y), x, y ∈ Rd.(2) Ako je f ∈ C2(Rd), onda je f konvkesna ako i samo ako ∇2f ≥ 0, tj. Hessian
je pozitivno semidefinitan u svakoj tocki.
Dodatak B
Primjeri kolokvija
B.1. Akademska godina 2015/16
(1) (16 bodova)a) (2 boda) Definirajte normu ‖.‖ na C1([0, 1]) takvu da X = (C1([0, 1], ‖.‖)
bude Banachov prostor.b) (4 boda) Iskazite Arzela-Ascolijev teorem.c) (6 bodova) Nadite primjer zatvorenog, ogranicenog skupa u X koji nije
kompaktan.d) (4 boda) Definirajte prostor H2(0, 1). Dokazite da je H2(0, 1) kompaktno
ulozen u X.Rjesenje:
a)
‖f‖ := supx∈[0,1]
|f(x)|+ supx∈[0,1]
|f ′(x)|, f ∈ C1[0, 1].
b) Vidi Teorem A.1.c) Tvrdimo da je jedinicna kugla K(0, 1) = f ∈ C1[0, 1] : ‖f‖ ≤ 1 prim-
jer zatvorenog ogranicenog skupa koji nije kompaktan. Ogranicen je podefiniciji. Dokazimo da je zatvoren. Neka je (fn)n∈N konvergentan niz uK(0, 1) te f njegov limes. Dakle, postoje neprekidne funkcije f , g takveda fn → f i f ′n → g uniformno na [0, 1]. Dokazimo da f ′ = g. PoNewton-Leibnizovoj formuli vrijedi:
fn(x)− fn(0) =
∫ x
0
f ′n(s)ds.
Kako fn i f ′n konvergiraju uniformno, na limesu vrijedi:
f(x)− f(0) =
∫ x
0
g(s)ds.
Dakle, f ∈ C1[0, 1] i f ′ = g. Posto uniformna konvergencija povlacikonvergenciju po tockama ‖f‖ ≤ 1, tj. f ∈ K(0, 1). Time smo dokazalida je K(0, 1) zatvoren.
41
42 B. Primjeri kolokvija
Dokazimo sada da K(0, 1) nije kompaktan. Pretpostavimo suprotno i
promotrimo niz fn(x) = xn
n . Odmah vidimo da vrijedi fn ∈ C1[0, 1]. Popretpostavci postoji konvergentan podniz, tj. fnk → f . Medutim, sadaimamo f ′(x) = lim f ′nk(x) = xnk−1 = 0, x ∈ [0, 1) i f(1) = lim f ′nk(1) = 1
sto je u kontradikciji s f ∈ C1[0, 1].d)
H2(0, 1) = f ∈ L2(0, 1) : f ′ ∈ L2(0, 1), f ′′ ∈ L2(0, 1).
Neka je (fn)n∈N ogranicen niz u H2(0, 1), tj. vrijedi ‖fn‖H2(0,1) ≤ C,n ∈ N. Tada vrijedi:
|fn(x)− fn(y)|+ |f ′n(x)− f ′n(y)| ≤ |∫ y
x
f ′n(s)ds|+ |∫ y
x
f ′′n (s)ds|
≤∫ y
x
|f ′n(s)|ds+
∫ y
x
|f ′′n (s)|ds ≤√|x− y|
(‖f ′n‖L2(0,1) +‖f ′′n‖L2(0,1)
)≤ C
√|x− y|.
Dakle, po Teoremu A.1, nizovi (fn)n∈N i (f ′n)n∈N su kompaktni u C[0, 1]pa je i niz fn kompaktan u C1[0, 1].
(2) (10 bodova) Neka je X = u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = α, u(1) = β, te neka jeI : X → R definiran formulom
I(u) =
∫ 1
0
f(x, u(x), u′(x))dx.
a) (4 boda) Iskazite teorem o Euler-Lagrangeovim jednadzbama za funkcionalI.
b) (2 boda) Nadite primjer funkcionala i stacionarne tocke koja nije mini-mizator.
c) (2 boda) Odredite stacionarne tocke za f(x, u, ξ) = u2 + ξ2 + 2uex.Rjesenje:
a) Vidi Teorem 2.2.b) Vidi Primjer 2.12.c) Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
u′′(x)− u(x) = ex.
To je linearna obicna diferencijalna jednadzba i njeno opce rjesenje glasi:
u(x) =1
2exx+ C1e
x + C2e−x.
Uvrstavanjem rubnih uvjeta u(0) = α, u(1) = β mozemo izracunati kon-stante C1 i C2.
(3) (10 bodova) Neka je Ω ⊂ Rn ogranicen, f ∈ L2(Ω) te I : H10 (Ω) → R zadan
formulom:
I(u) =1
2
∫Ω
(|∇u|2 + u2)−∫
Ω
fu.
Direktnim metodama varijacijskog racuna dokazite (bez pozivanja na opcenitijiteorem) da postoji jedinstveni minimizator funkcionala I. Napisite slabu for-mulaciju pripadne Euler-Lagrangeove jednadzbe.
B.1. Akademska godina 2015/16 43
Rjesenje: Neka je (un)n∈N ∈ H10 (Ω) minimizirajuci niz, tj. I(un)→ m. Tada
‖un‖2H1 = 2I(un) + 2
∫Ω
fun ≤ C + 2‖f‖L2‖un‖H1 .
Dakle, un je ogranicen u H10 (Ω) pa po Teoremu A.11 postoji slabo konvergen-
tan podniz unk u. Racunamo:
|∇un|2 = |∇u|2 + 2∇u · (∇un −∇u) + |∇un −∇u|2
≥ |∇u|2 + 2∇u · (∇un −∇u).
Integriranjem po Ω dobivamo:
I(un) ≥ I(u) + 2
∫Ω
2∇ u︸︷︷︸∈L2
·(∇un −∇u)
︸ ︷︷ ︸→0, n→∞
.
Dakle, dokazali smo m = lim infn→∞ I(un) ≥ I(u). Kako je s druge straneI(u) ≥ m, vrijedi I(u) = m, tj. u je minimizator. Slaba formulacija pripadneEuler-Lagrangeove jednadzbe je:∫
Ω
∇u · ∇φ+
∫Ω
uφ =
∫Ω
fφ, φ ∈ H10 (Ω).
(4) (8 bodova) Neka je Ω ⊂ Rn ogranicen.a) (2 boda) Definirajte prostor W 1,p(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞.b) (2 boda) Definirajte slabu konvergenciju u W 1,p(Ω), 1 ≤ p <∞.c) (2 boda) Navedite primjer niza koji konvergira slabo, ali ne konvergira
jako.d) (2 boda) Da li je jedinicna zatvorena kugla kompaktna u W 1,p(Ω)? Da
li je slabo kompaktna?Sve svoje tvrdnje detaljno obrazlozite.Rjesenje:
a)
W 1,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω) : ∇u ∈ Lp(Ω)n.b) Za niz (un)n∈N u W 1,p kazemo da slabo konvergira ako nizovi un i ∇un
slabo konvergiraju u Lp(Ω), odnosno Lp(Ω)n.c) Uzmimo Ω = [0, 2π], p = 2 i definiramo fn(x) = 1
n cos(nx). Tada poRiemann-Lebesgue-vom Teoremu A.12 f ′n 0. Medutim, f ′n ne konve-gira jako jer ‖f ′n‖L2(0,2π) =
√π.
d) Jedinicna zatvorena kugla nije kompaktna u W 1,p(Ω) jer je W 1,p(Ω)beskonacnodimenzionalan. Medjutim, po Teoremu A.11 jedinicna zatvorenakugla je slabo kompaktna u W 1,p(Ω).
(5) (14 bodova) Neka je f ∈ C∞0 (0, 1), te neka je X = u ∈ H1(0, 1) : u(0) = 1.Funckional I : X → R je definiran formulom:
I(u) =
∫ 1
0
(u′(x)2 + u(x)4)dx−∫ 1
0
f(x)u(x)dx.
a) (2 boda) Dokazite da je I dobro definiran.
44 B. Primjeri kolokvija
b) (6 bodova) Dokazite da postoji jedinstveni minimizator v funkcionala I.c) (6 bodova) Dokazite v ∈ C∞([0, 1]).
Rjesenje:a) Kako je X → C[0, 1] svi integrali u definiciji funkcionala I su konacni.b) Uocite da egzistencija minimizatora ne slijedi direktno iz Teorema 3.6 jer
q > p. Medutim, kako smo u 1D slucaju mozemo iskorisiti cinjenicu daje H1(0, 1) kompaktno ulozen u C[0, 1]. Neka je un minimizirajuci niz,I(un)→ m. Tada je un ogranicen u H1(0, 1) pa postoji podniz takav daunk u slabo u H1 i un → u uniformno. Dakle,∫ 1
0
(u4n − fun)→
∫ 1
0
(u4 − fu).
Preostali kvadratni clan mozemo rijesiti kao u zadatku 3. Minimizator jejedinstven zbog konveksnosti podintegralne funkcije.
c) Euler-Lagrangeova jednadzba glasi:
2u′′ = 4u3 − f.
Kako je u ∈ C[0, 1], tada je desna strana gornje jednadzbe neprekidnapa vrijedi u′′ ∈ C[0, 1], tj. u ∈ C2[0, 1]. Dakle, desna strana Euler-Lagrangeove jednadzbe je C2 funkcija, pa vrijedi u ∈ C4[0, 1]. Daljnjimiteriranjem istog postupka dokazujemo da vrijedi u ∈ C∞([0, 1]).
B.2. Zadaci za vjezbu
(1) Neka je uα(x) = xα, α ∈ (0, 1]. Dokazite uα ∈ C0,α([0, 1]) i izracunajte‖uα‖C0,α([0,1]).
(2) Neka je Ω ⊂ Rn otvoren i u, v ∈ C0,α(Ω), α ∈ [0, 1]. Dokazite da vrijediuv ∈ C0,α(Ω).
(3) Neka je 1 ≤ p < ∞, te neka un → u u Lp(Ω) i vn v slabo u Lp′(Ω).
Dokazite da unvn uv slabo u L1(Ω). Pokazite da rezultat ne vrijedi akojaku konvergenciju niza un zamijenimo sa slabom konvergencijom.
(4) Analizirajte varijacijski problem
m = inf∫ 1
0
f(x, u(x), u′(x))dx : u ∈ C1([0, 1]), u(0) = 0, u(1) = 1,
pri cemu jea) f(x, u, ξ) = ξ,b) f(x, u, ξ) = uξ,c) f(x, u, ξ) = xuξ.
(5) Odredite stacionarne tocku funkcionala I(u) =∫ bau′(x)2
x3 dx.
(6) Neka je I(u) =∫ ba
√x+ u(x)2
√1 + u′(x)2dx. Napisite pripadni Hamiltonov
sustav i odredite prvi integral tog sustava.
(7) Neka je Ω = (0, 1)2 i
K = u ∈ H1(Ω) : u(x, 0) = sinπx, u(x, 1) = u(0, y) = u(1, y) = 0, (x, y) ∈ [0, 1]2.,
B.2. Zadaci za vjezbu 45
te neka je F (u) =∫
Ω|∇u|2. Dokazite da problem
v = minu∈K
F (v)
ima jedinstveno rjesenje. Odredite minimizator v.
(8) Neka je funkcional J : H2(0, 2)→ R zadan sa
J(v) =1
2
∫ 2
0
(v′′)2 + g
∫ 2
0
v, v ∈ H2(0, 2),
gdje je g > 0. Nadalje, neka je skup K zadan sa
K = v ∈ H2(0, 1) : v(0) = 1, v′(0) = v(2) = v′(2) = 0.Odredite egzaktno rjesenje u sljedeceg minimizacijskog problema:
u = minv∈K
J(v).
Literatura
[AF03] Robert A. Adams and John J. F. Fournier, Sobolev spaces, second ed., Pure andApplied Mathematics (Amsterdam), vol. 140, Elsevier/Academic Press, Amster-dam, 2003. MR 2424078
[Bal76] John M Ball, Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity,Archive for rational mechanics and Analysis 63 (1976), no. 4, 337–403.
[Ban17] Catherine Bandle, Didos problem and its impact on modern mathematics, Noticesof the AMS 64 (2017), no. 9.
[Bre11] Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equa-tions, Universitext, Springer, New York, 2011. MR 2759829
[Cia88] Philippe G Ciarlet, Three-dimensional elasticity, vol. 20, Elsevier, 1988.
[Dac07] Bernard Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations, vol. 78, SpringerScience & Business Media, 2007.
[Dac15] , Introduction to the calculus of variations, third ed., Imperial CollegePress, London, 2015. MR 3288348
[DG57] Ennio De Giorgi, Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali degli integralimultipli regolari, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3) 3 (1957),25–43. MR 0093649
[GF63] I. M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of variations, Revised English editiontranslated and edited by Richard A. Silverman, Prentice-Hall, Inc., EnglewoodCliffs, N.J., 1963. MR 0160139
[GT83] David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of sec-ond order, second ed., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fun-damental Principles of Mathematical Sciences], vol. 224, Springer-Verlag, Berlin,1983. MR 737190
[Nas58] J. Nash, Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math.80 (1958), 931–954. MR 0100158
47