1. Variable compleja

2. Variable compleja Segunda edicin Murray R. Spiegel Profesor y coordinador, Departamento de Matemticas, Rensselaer Polytechnic Institute, Hartford Graduate Center Seymour Lipschutz Departamento de Matemticas, Temple University John J. Schiller Departamento de Matemticas, Temple University Dennis Spellman Departamento de Matemticas, Temple University Revisin tcnica: Natella Antonyan Departamento de Fsica y Matemticas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SO PAULO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 3. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martnez Editora de desarrollo: Mara Teresa Zapata Terrazas Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductora: Mara del Carmen Hano Roa VARIABLE COMPLEJA Segunda edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2011, 1991, respecto a la segunda edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn, C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN: 978-607-15-0551-4 (ISBN edicin anterior: 978-968-422883-2) Impreso en Mxico Printed in Mexico 1023456789 1098765432101 Traducido de la segunda edicin de Complex Variables by Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John J. Schiller, and Dennis Spellman, published by The McGraw-Hill Companies, Inc. Copyright 2009. All rights reserved. 978-0-07-161569-3 4. Acerca de los autores SEYMOUR LIPSCHUTZ forma parte de la Temple University, y antes perteneci al Polytechnic Institute of Bro- oklyn. Obtuvo su doctorado en la New York University y es uno de los autores ms prolficos de la Serie Schaums. Entre los libros que ha escrito, tienen especial importancia lgebra lineal, Probabilidad, Matemticas discretas, Teora de conjuntos, Matemticas finitas y Topologa general. JOHN SCHILLER es profesor asociado de matemticas de la Temple University. Obtuvo el grado de maestra en la Universidad de Pensilvania. Ha publicado artculos en las reas de superficies de Riemann, matemticas discretas, biologa matemtica. Ha sido coautor en varios textos de matemticas. DENNIS SPELLMAN es integrante de la Temple University y fue profesor en la Universidad del Este, en Venezuela. Obtuvo su doctorado en la New York University, donde escribi su tesis bajo la direccin de Wilhelm Magnus. Es autor de ms de 25 artculos publicados en revistas de matemticas puras y aplicadas. En su etapa de madurez profesional, MURRAY R. SPIEGEL obtuvo el grado de maestra en Fsica y de doctorado en Matemticas en la Cornell University. Labor en universidades como Harvard, Columbia, Oak Ridge y el Rensselaer Polytechnic Institute, y fue consultor en matemticas en varias empresas importantes. Su ltimo puesto fue como Profesor y Director de Matemticas en el centro para Graduados de Hartford en el Rensselaer Polytechnic Institute. Aunque tiene inters en la mayor parte de las ramas de las matemticas, le interesan en especial las que involucran problemas de aplicacin en fsica e ingeniera. Es autor de numerosos artculos publicados en revistas, as como de 14 libros acerca de distintos temas de las matemticas. 5. Prefacio El objetivo principal de esta segunda edicin es en esencia el mismo que el de la primera, con algunos cambios que se indican a continuacin. Siendo as, citaremos algunos prrafos del prefacio escrito por Murray R. Spiegel para la primera edicin de esta obra. La teora de las funciones de una variable compleja, conocida tambin brevemente como variable compleja o anlisis complejo, es una de las bellas y tiles ramas de las matemticas. Si bien surgi en una atmsfera de misterio, sospechas y desconfianza, como lo atestiguan los trminos imaginario y complejo presentes en la bibliografa, desde el siglo xix por fin descansa sobre slidas bases matemticas gracias a la obra de Cauchy, Riemann, Weier- strass, Gauss y otros grandes matemticos. Este libro est pensado para que sirva como complemento de todos los libros de texto comunes en un curso formal sobre teora de variable compleja y sus aplicaciones. Tambin debe ser de considerable valor para aquellas personas en un curso de matemticas, fsica, aerodinmica, elasticidad y otras muchas reas de las ciencias y la ingeniera. Cada captulo empieza con una presentacin clara de las definiciones, principios y teoremas pertinentes, as como material ilustrativo y descriptivo. A continuacin se presenta un conjunto de problemas resueltos y problemas complementarios Entre los problemas resueltos se encuentran numerosas pruebas de teoremas y deducciones de frmulas. La gran cantidad de problemas complementarios con respuestas, sirve como un repaso completo sobre el material visto en cada captulo. Entre los temas tratados se encuentran el lgebra y la geometra de los nmeros complejos, el clculo diferencial e integral complejo, las series infinitas, como la de Taylor y la de Laurent, la teora de los residuos con aplicaciones al clculo de integrales y de series, y las transformaciones conformes con aplicaciones provenientes de diversos campos. En este libro se incluy considerablemente ms material del que se cubre en la mayora de los cursos iniciales. Esto tuvo el objeto de hacer el libro ms flexible, de proporcionar un libro ms til y de estimular el inters en los diferentes temas. Algunos cambios que efectuamos a la primera edicin son los siguientes: a) Ampliamos y corregimos muchas secciones para hacerlas ms accesibles a nuestros lectores. b)Reformamos el texto de modo que el nmero del captulo ahora se incluye en la numeracin de las secciones, ejemplos y problemas. c) Muchos resultados se plantean formalmente como proposiciones y teoremas. Para finalizar, queremos expresar nuestro agradecimiento al equipo de McGraw-Hill, en particular a Charles Wall, por su excelente cooperacin durante todas las etapas de la elaboracin de esta segunda edicin. Seymour Lipschutz John J. Schiller Dennis Spellman Temple University 6. Contenido CAPTULO 1 Nmeros complejos 1 1.1 El sistema de los nmeros reales 1 1.2 Representacin grfica de los nmeros reales 1 1.3 El sistema de nmeros complejos 2 1.4 Operaciones fundamentales con nmeros complejos 2 1.5 Valor absoluto 3 1.6 Fundamentos axiomticos del sistema de nmeros complejos 3 1.7 Representacin grfica de los nmeros complejos 3 1.8 Forma polar de los nmeros complejos 4 1.9 Teorema de De Moivre 4 1.10 Races de nmeros complejos 5 1.11 Frmula de Euler 5 1.12 Ecuaciones polinmicas 5 1.13 Races n-simas de la unidad 6 1.14 Interpretacin vectorial de los nmeros complejos 6 1.15 Proyeccin estereogrfica 6 1.16 Producto punto y producto cruz 7 1.17 Coordenadas conjugadas complejas 7 1.18 Conjuntos de puntos 7 CAPTULO 2 Funciones, lmites y continuidad 41 2.1 Variables y funciones 41 2.2 Funciones unvocas y funciones multivaluadas 41 2.3 Funciones inversas 41 2.4 Transformaciones 42 2.5 Coordenadas curvilneas 42 2.6 Funciones elementales 43 2.7 Puntos de ramificacin y lneas de ramificacin 45 2.8 Superficies de Riemann 46 2.9 Lmites 46 7. X Contenido 2.10 Teoremas sobre lmites 46 2.11 Infinito 47 2.12 Continuidad 47 2.13 Teoremas sobre continuidad 48 2.14 Continuidad uniforme 48 2.15 Sucesiones 48 2.16 Lmite de una sucesin 49 2.17 Teoremas sobre lmites de sucesiones 49 2.18 Series infinitas 49 CAPTULO 3 Diferenciacin compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann 77 3.1 Derivadas 77 3.2 Funciones analticas 77 3.3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 77 3.4 Funciones armnicas 78 3.5 Interpretacin geomtrica de la derivada 78 3.6 Diferenciales 79 3.7 Reglas de diferenciacin 79 3.8 Derivadas de funciones elementales 80 3.9 Derivadas de orden superior 81 3.10 Regla de LHopital 81 3.11 Puntos singulares 81 3.12 Familias ortogonales 82 3.13 Curvas 83 3.14 Aplicaciones en geometra y mecnica 83 3.15 Operadores diferenciales complejos 84 3.16 Gradiente, divergencia, rotor y laplaciano 84 CAPTULO 4 Integracin compleja y teorema de Cauchy 111 4.1 Integrales complejas de lnea 111 4.2 Integrales reales de lnea 112 4.3 Relacin entre integrales reales de lnea e integrales complejas de lnea 112 4.4 Propiedades de las integrales 112 4.5 Cambio de variables 113 4.6 Regiones simplemente y mltiplemente conexas 113 4.7 Teorema de la curva de Jordan 114 8. Contenido XI 4.8 Convencin respecto de la orientacin de una trayectoria cerrada 114 4.9 Teorema de Green en el plano 114 4.10 Forma compleja del teorema de Green 114 4.11 Teorema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Goursat 115 4.12 Teorema de Morera 115 4.13 Integrales indefinidas 115 4.14 Integrales de funciones especiales 115 4.15 Algunas consecuencias del teorema de Cauchy 117 CAPTULO 5Frmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados 144 5.1 Frmulas integrales de Cauchy 144 5.2 Algunos teoremas importantes 145 CAPTULO 6Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent 169 6.1 Sucesiones de funciones 169 6.2 Series de funciones 169 6.3 Convergencia absoluta 170 6.4 Convergencia uniforme de sucesiones y de series 170 6.5 Serie de potencias 170 6.6 Algunos teoremas importantes 171 6.7 Teorema de Taylor 173 6.8 Algunas series especiales 173 6.9 Teorema de Laurent 174 6.10 Clasificacin de las singularidades 175 6.11 Funciones enteras 176 6.12 Funciones meromrficas 176 6.13 Desarrollo de Lagrange 176 6.14 Continuacin analtica 176 CAPTULO 7El teorema del residuo, clculo de integrales y series 205 7.1 Residuos 205 7.2 Clculo de residuos 205 7.3 El teorema del residuo 206 7.4 Clculo de integrales definidas 207 7.5 Teoremas especiales para calcular integrales 207 7.6 El valor principal de Cauchy para integrales 208 9. XII Contenido 7.7 Diferenciacin bajo el signo de integracin. Regla de Leibniz 208 7.8 Suma de series 209 7.9 Teorema del desarrollo de Mittag-Leffler 209 7.10 Algunos desarrollos especiales 209 CAPTULO 8 Aplicacin conforme 242 8.1 Transformaciones o aplicaciones 242 8.2 Jacobiano de una transformacin 242 8.3 Funciones de aplicaciones complejas 243 8.4 Aplicaciones conformes 243 8.5 Teorema de la aplicacin de Riemann 243 8.6 Puntos fijos o invariantes de una transformacin 244 8.7 Algunas transformaciones generales 244 8.8 Transformaciones sucesivas 245 8.9 Transformacin lineal 245 8.10 Transformacin bilineal o fraccionaria 245 8.11 Aplicacin de un semiplano sobre un crculo 246 8.12 Transformacin de Schwarz-Christoffel 246 8.13 Transformaciones de fronteras en forma paramtrica 247 8.14 Algunas transformaciones especiales 247 CAPTULO 9Aplicaciones fsicas de las transformaciones conformes 280 9.1 Problemas de valor frontera 280 9.2 Funciones armnicas y conjugadas 280 9.3 Problemas de Dirichlet y de Neumann 280 9.4 Problema de Dirichlet para la circunferencia unitaria. Frmula de Poisson 281 9.5 Problema de Dirichlet para el semiplano 281 9.6 Soluciones a los problemas de Dirichlet y de Neumann mediante transformaciones conformes 282 9.7 Suposiciones bsicas 282 9.8 Potencial complejo 283 9.9 Lneas equipotenciales y lneas de flujo 284 9.10 Fuentes y sumideros 284 9.11 Algunos flujos especiales 284 9.12 Flujo en torno a un obstculo 286 9.13 Teorema de Bernoulli 286 10. Contenido XIII 9.14 Teorema de Blasius 286 9.15 Ley de Coulomb 287 9.16 Intensidad del campo elctrico. Potencial electrosttico 287 9.17 Teorema de Gauss 288 9.18 Potencial electrosttico complejo 288 9.19 Carga lineal 288 9.20 Conductores 289 9.21 Capacitancia 289 9.22 Flujo de calor 289 9.23 Temperatura compleja 289 CAPTULO 10 Temas especiales 319 10.1 Prolongacin analtica 319 10.2 Principio de reflexin de Schwarz 320 10.3 Productos infinitos 320 10.4 Convergencia absoluta, condicional y uniforme de productos infinitos 320 10.5 Algunos teoremas importantes sobre productos infinitos 321 10.6 Teorema de Weierstrass para productos infinitos 321 10.7 Algunos productos infinitos especiales 321 10.8 La funcin gamma 321 10.9 Propiedades de la funcin gamma 322 10.10 La funcin beta 323 10.11 Ecuaciones diferenciales 323 10.12 Solucin de ecuaciones diferenciales mediante integrales de contorno 325 10.13 Funciones de Bessel 325 10.14 Funciones de Legendre 327 10.15 Funcin hipergeomtrica 328 10.16 La funcin zeta 328 10.17 Series asintticas 329 10.18 Mtodo del punto silla 330 10.19 Desarrollos asintticos especiales 330 10.20 Funciones elpticas 331 NDICE 369 11. Captulo 1 Nmeros complejos Captulo 1 1.1El sistema de los nmeros reales El sistema de los nmeros que se conoce actualmente es el resultado de una evolucin gradual, como indica la lista siguiente. (1) Nmeros naturales 1, 2, 3, 4,, llamados tambin enteros positivos, que al principio sirvieron para con- tar. Si a y b son nmeros naturales, la suma a + b y el producto a b, (a)(b) o ab son tambin nmeros naturales. Por esta razn se dice que el conjunto de los nmeros naturales es cerrado bajo las operaciones de adicin y multiplicacin, o que satisfacen la propiedad de cerradura respecto de estas operaciones. (2) Enteros negativos y cero, que se denotan 1, 2, 3, y 0, respectivamente, y permiten resolver ecua- ciones de la forma x + b = a, donde a y b son cualesquiera nmeros naturales. Esto lleva a la operacin de sustraccin, u operacin inversa de la adicin, y se escribe x = a b. Al conjunto formado por los enteros positivos, negativos y el 0 se le conoce como enteros, y es cerrado en las operaciones de adicin, multiplicacin y sustraccin. (3) Nmeros racionales o fracciones, por ejemplo, 3 4 , 8 3 ,, que permiten solucionar ecuaciones de la forma bx = a para todo par de enteros a y b, donde b 0. Esto lleva a la operacin de divisin o inversa de la multiplicacin; se escribe x = a/b o a b (el cociente de a y b), donde a es el numerador y b es el denominador. El conjunto de los enteros es una parte o subconjunto de los nmeros racionales, pues los enteros corresponden a los nmeros racionales de la forma a/b, donde b = 1. El conjunto de los nmeros racionales es cerrado bajo las operaciones de adicin, sustraccin, multipli- cacin y divisin, en tanto se excluya la divisin entre cero. (4) Nmeros irracionales, como 2 p y p, que no se expresan de la forma a/b, donde a y b son enteros y b 0. Al conjunto de nmeros racionales e irracionales se le denomina conjunto de nmeros reales. Se supone que el estudiante conoce las diversas operaciones con los nmeros reales. 1.2Representacin grfica de los nmeros reales Los nmeros reales se representan como puntos sobre una lnea recta, o eje real como se indica en la figura 1-1. El punto correspondiente a cero es el origen. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 23 o 1.53 2 3 4 2 Figura 1-1 12. 2 Captulo 1 Nmeros complejos Al contrario, por cada punto sobre esta recta hay uno y slo un nmero real. Si un punto A, correspondiente a un nmero real a, se encuentra a la derecha de un punto B, correspondiente al nmero real b, se dice que a es mayor que b o, lo que es lo mismo, que b es menor que a, y se escribe a > b o b < a, respectivamente. El conjunto de todos los nmeros x tales que a < x < b es un intervalo abierto en el eje real, mientras que a x b, en donde tambin se incluyen los puntos finales a y b, es un intervalo cerrado. Al smbolo x, que repre- senta cualquier nmero real, se le conoce como variable real. El valor absoluto de un nmero real a, que se denota |a|, es igual a a si a > 0, es igual a a si a < 0 y es igual a 0 si a = 0. La distancia entre dos puntos a y b en el eje real es |a b|. 1.3El sistema de nmeros complejos No existe ningn nmero real x que satisfaga la ecuacin polinmica x2 + 1 = 0. Para solucionar esta ecuacin y otras similares se introduce el conjunto de nmeros complejos. Los nmeros complejos son nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i, denominado uni- dad imaginaria, tiene la propiedad de que i2 = 1. Si z = a + bi, entonces a es llamada parte real de z, y b, parte imaginaria de z, y se les denota Re{z} e Im{z}, respectivamente. El smbolo z, que representa un nmero complejo cualquiera, es llamado variable compleja. Dos nmeros complejos, a + bi y c + di, son iguales si y slo si a = c y b = d. Los nmeros reales se consideran el subconjunto de los nmeros complejos formado por los nmeros complejos en los que b = 0. As, los nmeros complejos 0 + 0i y 3 + 0i representan los nmeros reales 0 y 3, respectivamente. Si a = 0, al nmero complejo 0 + bi o bi se le conoce como nmero imaginario puro. El complejo conjugado, o simplemente conjugado, de un nmero complejo a + bi es a bi, y a menudo se denota por z o z*. 1.4Operaciones fundamentales con nmeros complejos Para efectuar operaciones con nmeros complejos se procede como en el lgebra de nmeros reales: se reemplaza i2 por 1 cuando se presente. (1) Suma (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd) (ad bc)i (2) Resta (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd) (ad bc)i (3) Multiplicacin (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd) (ad bc)i (4) Divisin Si c 0 y d 0, entonces Conversely, to each point on the line there is one and only one real number. If a point A corresponding to a real number a lies to the right of a point B corresponding to a real number b, we say that a is greater than b or b is less than a and write a . b or b , a, respectively. The set of all values of x such that a , x , b is called an open interval on the real axis while a x b, which also includes the endpoints a and b, is called a closed interval. The symbol x, which can stand for any real number, is called a real variable. The absolute value of a real number a, denoted by jaj, is equal to a if a . 0, to a if a , 0 and to 0 if a 0. The distance between two points a and b on the real axis is ja bj. 1.3 The Complex Number System There is no real number x that satises the polynomial equation x2 1 0. To permit solutions of this and similar equations, the set of complex numbers is introduced. We can consider a complex number as having the form a bi where a and b are real numbers and i, which is called the imaginary unit, has the property that i2 1. If z a bi, then a is called the real part of z and b is called the imaginary part of z and are denoted by Refzg and Imfzg, respectively. The symbol z, which can stand for any complex number, is called a complex variable. Two complex numbers a bi and c di are equal if and only if a c and b d. We can consider real numbers as a subset of the set of complex numbers with b 0. Accordingly the complex numbers 0 0i and 3 0i represent the real numbers 0 and 3, respectively. If a 0, the complex number 0 bi or bi is called a pure imaginary number. The complex conjugate, or briey conjugate, of a complex number a bi is a bi. The complex conjugate of a complex number z is often indicated by z or z . 1.4 Fundamental Operations with Complex Numbers In performing operations with complex numbers, we can proceed as in the algebra of real numbers, replacing i2 by 1 when it occurs. (1) Addition (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (2) Subtraction (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d)i (3) Multiplication (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd) (ad bc)i (4) Division If c=0 and d=0, then a bi c di a bi c di c di c di ac adi bci bdi2 c2 d2i2 ac bd (bc ad)i c2 d2 ac bd c2 d2 bc ad c2 d2 i 2 CHAPTER 1 Complex Numbers 13. 1.7Representacin grfica de los nmeros complejos 3 1.5Valor absoluto El valor absoluto o mdulo de un nmero complejo a + bi se define como 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 . Ejemplo 1.1: 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 . Si z1, z2, z3,. . ., zm son nmeros complejos, se satisfacen las propiedades siguientes: (1) 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 o 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 (2) 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 si z2 0 (3) 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 o 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 (4) 1.5 Absolute Value The absolute value or modulus of a complex number a bi is dened as ja bij a2 b2 p . EXAMPLE 1.1: j4 2ij (4)2 (2)2 p 20 p 2 5 p : If z1, z2, z3, . . . , zm are complex numbers, the following properties hold. (1) jz1z2j jz1jjz2j or jz1z2 zmj jz1jjz2j jzmj (2) z1 z2 z1 z2 if z2 = 0 (3) jz1 z2j jz1j jz2j or jz1 z2 zmj jz1j jz2j jzmj (4) jz1 + z2j jz1j jz2j 1.6 Axiomatic Foundation of the Complex Number System From a strictly logical point of view, it is desirable to dene a complex number as an ordered pair (a, b) of real numbers a and b subject to certain operational denitions, which turn out to be equivalent to those above. These denitions are as follows, where all letters represent real numbers. A. Equality (a, b) (c, d) if and only if a c, b d B. Sum (a, b) (c, d) (a c, b d) C. Product (a, b) (c, d) (ac bd, ad bc) m(a, b) (ma, mb) From these we can show [Problem 1.14] that (a, b) a(1, 0) b(0, 1) and we associate this with a bi where i is the symbol for (0, 1) and has the property that i2 (0, 1)(0, 1) (1, 0) [which can be considered equivalent to the real number 1] and (1, 0) can be considered equivalent to the real number 1. The ordered pair (0, 0) corresponds to the real number 0. From the above, we can prove the following. THEOREM 1.1: Suppose z1, z2, z3 belong to the set S of complex numbers. Then (1) z1 z2 and z1z2 belong to S Closure law (2) z1 z2 z2 z1 Commutative law of addition (3) z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Associative law of addition (4) z1z2 z2z1 Commutative law of multiplication (5) z1(z2z3) (z1z2)z3 Associative law of multiplication (6) z1(z2 z3) z1z2 z1z3 Distributive law (7) z1 0 0 z1 z1, 1 z1 z1 1 z1, 0 is called the identity with respect to addition, 1 is called the identity with respect to multiplication. (8) For any complex number z1 there is a unique number z in S such that z z1 0; [z is called the inverse of z1 with respect to addition and is denoted by z1]. (9) For any z1=0 there is a unique number z in S such that z1z zz1 1; [z is called the inverse of z1 with respect to multiplication and is denoted by z1 1 or 1=z1]. In general, any set such as S, whose members satisfy the above, is called a eld. 1.7 Graphical Representation of Complex Numbers Suppose real scales are chosen on two mutually perpendicular axes X0 OX and Y0 OY [called the x and y axes, respectively] as in Fig. 1-2. We can locate any point in the plane determined by these lines by the ordered pair of real numbers (x, y) called rectangular coordinates of the point. Examples of the location of such points are indicated by P, Q, R, S, and T in Fig. 1-2. CHAPTER 1 Complex Numbers 3 1.6Fundamentos axiomticos del sistema de nmeros complejos Desde un punto de vista estrictamente lgico, es deseable definir un nmero complejo como par ordenado (a, b) de nmeros reales a y b sujetos a ciertas definiciones operacionales que resulten equivalentes a las definiciones anterio- res. Estas definiciones son las siguientes, y en todas ellas las literales representan nmeros reales. A. Igualdad (a, b) = (c, d) si y slo si a = c, b = d B. Suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) C. Producto (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) m(a, b) = (ma, mb) A partir de lo anterior se puede demostrar [problema 1.14] que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), lo que corresponde a a + bi, donde i es un smbolo de (0, 1) y tiene la propiedad de que i2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) [que se considera que equivale al nmero real 1] y (1, 0) equivale al nmero real 1. El par ordenado (0, 0) corresponde al nmero real 0. A partir de lo anterior se puede demostrar lo siguiente. Teorema 1.1: Suponga que z1, z2 y z3 pertenecen al conjunto S de nmeros complejos. Entonces: (1) z1 + z2 y z1z2 pertenecen a S Ley de cerradura (2) z1 + z2 = z2 + z1 Ley conmutativa de la suma (3) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 Ley asociativa de la suma (4) z1z2 = z2z1 Ley conmutativa de la multiplicacin (5) z1(z2z3) = (z1z2)z3 Ley asociativa de la multiplicacin (6) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 Ley distributiva (7) z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1 z1 = z1 1 = z1, al 0 se le conoce como identidad respecto de la suma, y al 1, como identidad respecto de la multiplicacin. (8) Para todo nmero complejo z1 existe un nmero nico z en S tal que z + z1 = 0; [z es el inverso de z1 res- pecto de la suma y se denota z1]. (9) Para todo z1 0 existe un nmero nico z en S tal que z1z = zz1 = 1; [z es el inverso de z1 respecto de la multiplicacin y se denota z1 1 o 1/z1]. En general, todo conjunto como S cuyos elementos satisfagan lo anterior se conoce como campo. 1.7Representacin grfica de los nmeros complejos Suponga que se toman dos ejes reales X0X y Y0Y mutuamente perpendiculares [eje x y eje y, respectivamente], como se muestra en la figura 1-2. En el plano determinado por estas dos rectas se ubica cualquier punto mediante un par ordenado de nmeros reales (x, y), o coordenadas rectangulares del punto. En la figura 1-2 se presentan ejemplos para ubicar los puntos P, Q, R, S y T. 14. 4 Captulo 1 Nmeros complejos Como un nmero complejo x + iy puede verse como un par ordenado de nmeros reales, los nmeros complejos se representan mediante puntos en el plano xy, al que se le llama plano complejo o diagrama de Argand. As, el nmero complejo representado por P se lee como (3, 4) o como 3 + 4i. A cada nmero complejo corresponde uno y slo un punto en el plano, y a cada punto en el plano, uno y slo un nmero complejo. Debido a esto, a un nmero z se le llama tambin punto z. En ocasiones, a los ejes x y y tambin se les denomina eje real y eje imaginario, res- pectivamente, y al plano complejo, plano z. La distancia entre dos puntos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, en el plano complejo est dada por jz1z2j (x1 x2)2 (y1 y2)2 p .. 4 3 2 1 1 2 3 4 X O Y X 1 123 R(2.5, 1.5) S(2, 2) T(2.5, 0) P(3, 4) Q(3, 3) Y 4 2 3 X P(x, y) O x r y Y X Y Figura 1-2 Figura 1-3 1.8Forma polar de los nmeros complejos Sea P el punto en el plano complejo correspondiente al nmero complejo (x, y) o x + iy. Entonces, de acuerdo con la figura 1-3, se ve que x r cos u, y r sen ux r cos u, y r sen u donde r x2 y2 p jx iyj isse conoce como mdulo o valor absoluto de z = x + iy [que se denota mod z o |z|]; y u, como amplitud o argumento de z = x + iy [que se denota arg z], es el ngulo que forma la recta OP con el lado positivo del eje x. Se sigue que z x iy r(cos u i sen u) ( (1.1) que se conoce como forma polar de un nmero complejo, y r y , como coordenadas polares. Suele ser conveniente escribir, en lugar de cos + i sen , la forma abreviada cis . A todo nmero complejo z 0 le corresponde nicamente un valor de u en 0 u < 2p; sin embargo, puede emplearse cualquier otro intervalo de longitud 2p, como p < u p. A cualquiera de estos intervalos elegido de antemano se le conoce como rango principal, y al valor de u, como valor principal. 1.9Teorema de De Moivre Si z1 = x1 + iy1 = r1(cos u1 + i sen u1) y z2 = x2 + iy2 = r2(cos u2 + i sen u2) se puede demostrar que [vea el pro- blema 1.19] z1z2 z1z2 r1r2fcos(u1 2 1 u2)g z1 z2 r1 r2 fcos(u1 2 1 u2)g u ) i sen(u u ) i sen(ur1r2{cos(u1 + u2) + i sen(u1 + u2)} (1.2) z1z2 r1r2fcos(u1 2 1 u2)g z1 z2 r1 r2 fcos(u1 2 1 u2)g u ) i sen(u u ) i sen(u{cos(1 u2) + i sen(u1 u2)} (1.3) 15. 1.12Ecuaciones polinmicas 5 Una generalizacin de la ecuacin (1.2) conduce a z1z2 zn = r1r2 . . . rn{cos(u1 + u2 + . . . + un) + i sen(u1 + u2 + . . . + un)} (1.4) y si z1 = z2 = . . . = zn = z se obtiene zn = {r(cos u + i sen u)}n = rn(cos nu + i sen nu) (1.5) que suele conocerse como teorema de De Moivre. 1.10Races de nmeros complejos Se dice que un nmero w es la raz n-sima de un nmero complejo z si wn = z, y se escribe w = z1/n. De acuerdo con el teorema de De Moivre se aprecia que, si n es un entero positivo, z1=n 1=n r1=n cos u 2kp n u 2kp n k 0, 1, 2, . . . , n 1 fr(cos u i sen u)g isen (1.6) de donde se infiere que hay n valores diferentes de z1/n; es decir, n races n-simas de z, siempre y cuando z 0. 1.11Frmula de Euler Si se supone que se satisface la expansin de la serie infinita ex = 1 + x + (x2/2!) + (x3/3!) + . . . del clculo ele- mental para x = iu, se llega a la igualdad eiq = cos u + i sen u (1.7) que se conoce como frmula de Euler. Sin embargo, es ms prctico tomar (1.7) como definicin de eiu. En general, se define ez = ex + iy = ex eiy = ex(cos y + i sen y) (1.8) En el caso especial que y = 0, esta igualdad se reduce a ex. Observe que en trminos de (1.7) el teorema de De Moivre se reduce a (eiq)n = einq. 1.12Ecuaciones polinmicas En la prctica, con frecuencia se necesitan las soluciones de ecuaciones polinmicas de la forma a0zn + a1zn1 + a2zn2 + . . . + an1z + an = 0 (1.9) donde a0 0, a1, . . . , an son nmeros complejos dados y n es un entero positivo al que se conoce como grado de la ecuacin. A las soluciones de estas ecuaciones se les llama ceros del polinomio de la izquierda en (1.9) o races de la ecuacin. 16. 6 Captulo 1 Nmeros complejos Un teorema muy importante llamado teorema fundamental del lgebra [que se demostrar en el captulo 5] esta- blece que toda ecuacin polinmica de la forma (1.9) tiene al menos una raz en el plano complejo. A partir de esto se puede demostrar que, en realidad, estas ecuaciones tienen n races complejas, de las cuales algunas o todas pueden ser idnticas. Si z1, z2, . . . , zn son las n races (1.9) se escribe como a0(z z1)(z z2) . . . (z zn) = 0 (1.10) que se conoce como forma factorizada de la ecuacin polinmica. 1.13Races n-simas de la unidad Las soluciones de la ecuacin zn = 1, donde n es un entero positivo, se llaman races n-simas de la unidad, y estn dadas por z cos 2kp n 2kp n e2kpi=n k 0, 1, 2, . . . , n 1 ( i sen (1.11) Si = cos 2p/n + i sen 2p/n = e2pi/n, las n races son 1, , 2, ,n1. Geomtricamente, estas races represen- tan los n vrtices de un polgono regular de n lados, inscrito en un crculo de radio uno, con centro en el origen. La ecuacin de este crculo es |z| = 1 y se le suele llamar crculo unitario. 1.14Interpretacin vectorial de los nmeros complejos Un nmero complejo z = x + iy se considera como un vector OP cuyo punto inicial se encuentra en el origen O y cuyo punto final P es (x, y), como se ve en la figura 1-4. A OP = x + iy se le llama vector posicin de P. Dos vectores con la misma longitud o magnitud y la misma direccin pero puntos iniciales diferentes, como OP y AB en la figura 1-4, se consideran iguales. Por tanto, se escribe OP = AB = x + iy. x B A P(x, y) O y x A B C O z2 z2 z1 + z2 z1z1 y Figura 1-4 Figura 1-5 La suma de nmeros complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de vectores [vea la figura 1-5]. Por tanto, para sumar los nmeros complejos z1 y z2 se traza el paralelogramo OABC, cuyos lados OA y OC corresponden a z1 y z2. La diagonal OB de este paralelogramo corresponde a z1 + z2. Vea el problema 1-5. 1.15Proyeccin estereogrfica Sea [figura 1-6] el plano complejo y considrese una esfera A very important theorem called the fundamental theorem of algebra [to be proved in Chapter 5] states that every polynomial equation of the form (1.9) has at least one root in the complex plane. From this we can show that it has in fact n complex roots, some or all of which may be identical. If z1, z2, . . . , zn are the n roots, then (1.9) can be written a0(z z1)(z z2) (z zn) 0 (1:10) which is called the factored form of the polynomial equation. 1.13 The nth Roots of Unity The solutions of the equation zn 1 where n is a positive integer are called the nth roots of unity and are given by z cos 2kp n i sin 2kp n e2kpi=n k 0, 1, 2, . . . , n 1 (1:11) If we let v cos 2p=n i sin 2p=n e2pi=n , the n roots are 1, v, v2 , . . . , vn1 . Geometrically, they rep- resent the n vertices of a regular polygon of n sides inscribed in a circle of radius one with center at the origin. This circle has the equation jzj 1 and is often called the unit circle. 1.14 Vector Interpretation of Complex Numbers A complex number z x iy can be considered as a vector OP whose initial point is the origin O and whose terminal point P is the point (x, y) as in Fig. 1-4. We sometimes call OP x iy the position vector of P. Two vectors having the same length or magnitude and direction but different initial points, such as OP and AB in Fig. 1-4, are considered equal. Hence we write OP AB x iy. x B A P(x, y) O y x A B C O z2 z2 z1 + z2 z1z1 y Fig. 1-4 Fig. 1-5 Addition of complex numbers corresponds to the parallelogram law for addition of vectors [see Fig. 1-5]. Thus to add the complex numbers z1 and z2, we complete the parallelogram OABC whose sides OA and OC correspond to z1 and z2. The diagonal OB of this parallelogram corresponds to z1 z2. See Problem 1.5. 1.15 Stereographic Projection Let P [Fig. 1-6] be the the complex plane and consider a sphere S tangent to P at z 0. The diameter NS is perpendicular to P and we call points N and S the north and south poles of S. Corresponding to any point A on P we can construct line NA intersecting S at point A0 . Thus to each point of the complex plane P there corresponds one and only one point of the sphere S, and we can represent any complex number by 6 CHAPTER 1 Complex Numbers tangente a en z = 0. El dimetro NS es perpendicu- lar a , y a los puntos N y S se les llama polo norte y polo sur de A very important theorem called the fundamental theorem of algebra [to be proved in Chapter 5] states that every polynomial equation of the form (1.9) has at least one root in the complex plane. From this we can show that it has in fact n complex roots, some or all of which may be identical. If z1, z2, . . . , zn are the n roots, then (1.9) can be written a0(z z1)(z z2) (z zn) 0 (1:10) which is called the factored form of the polynomial equation. 1.13 The nth Roots of Unity The solutions of the equation zn 1 where n is a positive integer are called the nth roots of unity and are given by z cos 2kp n i sin 2kp n e2kpi=n k 0, 1, 2, . . . , n 1 (1:11) If we let v cos 2p=n i sin 2p=n e2pi=n , the n roots are 1, v, v2 , . . . , vn1 . Geometrically, they rep- resent the n vertices of a regular polygon of n sides inscribed in a circle of radius one with center at the origin. This circle has the equation jzj 1 and is often called the unit circle. 1.14 Vector Interpretation of Complex Numbers A complex number z x iy can be considered as a vector OP whose initial point is the origin O and whose terminal point P is the point (x, y) as in Fig. 1-4. We sometimes call OP x iy the position vector of P. Two vectors having the same length or magnitude and direction but different initial points, such as OP and AB in Fig. 1-4, are considered equal. Hence we write OP AB x iy. x B A P(x, y) O y x A B C O z2 z2 z1 + z2 z1z1 y Fig. 1-4 Fig. 1-5 Addition of complex numbers corresponds to the parallelogram law for addition of vectors [see Fig. 1-5]. Thus to add the complex numbers z1 and z2, we complete the parallelogram OABC whose sides OA and OC correspond to z1 and z2. The diagonal OB of this parallelogram corresponds to z1 z2. See Problem 1.5. 1.15 Stereographic Projection Let P [Fig. 1-6] be the the complex plane and consider a sphere S tangent to P at z 0. The diameter NS is perpendicular to P and we call points N and S the north and south poles of S. Corresponding to any point A on P we can construct line NA intersecting S at point A0 . Thus to each point of the complex plane P there corresponds one and only one point of the sphere S, and we can represent any complex number by 6 CHAPTER 1 Complex Numbers . Para cada punto A de puede trazarse una recta NA que interseca a eorem called the fundamental theorem of algebra [to be proved in Chapter 5] states equation of the form (1.9) has at least one root in the complex plane. From this we can t n complex roots, some or all of which may be identical. the n roots, then (1.9) can be written a0(z z1)(z z2) (z zn) 0 (1:10) tored form of the polynomial equation. ots of Unity quation zn 1 where n is a positive integer are called the nth roots of unity and are z cos 2kp n i sin 2kp n e2kpi=n k 0, 1, 2, . . . , n 1 (1:11) n i sin 2p=n e2pi=n , the n roots are 1, v, v2 , . . . , vn1 . Geometrically, they rep- f a regular polygon of n sides inscribed in a circle of radius one with center at the the equation jzj 1 and is often called the unit circle. rpretation of Complex Numbers x iy can be considered as a vector OP whose initial point is the origin O and P is the point (x, y) as in Fig. 1-4. We sometimes call OP x iy the position ors having the same length or magnitude and direction but different initial points, Fig. 1-4, are considered equal. Hence we write OP AB x iy. x B P(x, y) x A B C O z2 z2 z1 + z2 z1z1 y g. 1-4 Fig. 1-5 ex numbers corresponds to the parallelogram law for addition of vectors [see d the complex numbers z1 and z2, we complete the parallelogram OABC whose espond to z1 and z2. The diagonal OB of this parallelogram corresponds to z1 z2. hic Projection the complex plane and consider a sphere S tangent to P at z 0. The diameter NS is d we call points N and S the north and south poles of S. Corresponding to any point A ct line NA intersecting S at point A0 . Thus to each point of the complex plane P and only one point of the sphere S, and we can represent any complex number by CHAPTER 1 Complex Numbers en un punto A. De esta manera, a cada punto del plano complejo le corresponde uno y slo un punto en la esfera t theorem called the fundamental theorem of algebra [to be proved in Chapter 5] states al equation of the form (1.9) has at least one root in the complex plane. From this we can fact n complex roots, some or all of which may be identical. re the n roots, then (1.9) can be written a0(z z1)(z z2) (z zn) 0 (1:10) factored form of the polynomial equation. Roots of Unity e equation zn 1 where n is a positive integer are called the nth roots of unity and are z cos 2kp n i sin 2kp n e2kpi=n k 0, 1, 2, . . . , n 1 (1:11) p=n i sin 2p=n e2pi=n , the n roots are 1, v, v2 , . . . , vn1 . Geometrically, they rep- s of a regular polygon of n sides inscribed in a circle of radius one with center at the as the equation jzj 1 and is often called the unit circle. nterpretation of Complex Numbers z x iy can be considered as a vector OP whose initial point is the origin O and nt P is the point (x, y) as in Fig. 1-4. We sometimes call OP x iy the position ectors having the same length or magnitude and direction but different initial points, in Fig. 1-4, are considered equal. Hence we write OP AB x iy. x B P(x, y) x A B C O z2 z2 z1 + z2 z1z1 y Fig. 1-4 Fig. 1-5 mplex numbers corresponds to the parallelogram law for addition of vectors [see add the complex numbers z1 and z2, we complete the parallelogram OABC whose orrespond to z1 and z2. The diagonal OB of this parallelogram corresponds to z1 z2. aphic Projection he the complex plane and consider a sphere S tangent to P at z 0. The diameter NS is and we call points N and S the north and south poles of S. Corresponding to any point A ruct line NA intersecting S at point A0 . Thus to each point of the complex plane P ne and only one point of the sphere S, and we can represent any complex number by CHAPTER 1 Complex Numbers , y todo nmero complejo se representa mediante un punto de la esfera. Para completar se 17. 1.18Conjuntos de puntos 7 dice que el punto N corresponde al punto en el infinito del plano. Al conjunto de todos los puntos del plano com- plejo, incluso el punto en el infinito, se le conoce como plano complejo completo, plano z entero o plano complejo extendido. S A y x N A' Figura 1-6 A este mtodo para asignar a cada punto del plano uno y slo un punto de la esfera se le llama proyeccin este- reogrfica. A la esfera se le suele llamar esfera de Riemann. Si se elige que el dimetro de la esfera de Riemann sea la unidad, el ecuador corresponde al crculo unitario del plano complejo. 1.16Producto punto y producto cruz Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos nmeros complejos [vectores]. El producto punto [tambin llamado producto escalar] de z1 y z2 se define como el nmero real z1 z2 = x1 x2 + y1y2 = |z1||z2| cos u (1.12) donde u es el ngulo entre z1 y z2 ubicado entre 0 y p. El producto cruz de z1 y z2 se define como vector z1 z2 = (0, 0, x1y2 y1x2) perpendicular al plano complejo y de magnitud |z1 z2| = x1y2 y1x2 = |z1||z2| sen u (1.13) Teorema 1.2: Sean z1 y z2 distintos de cero. Entonces: (1) Una condicin necesaria y suficiente para que z1 y z2 sean perpendiculares es que z1 z2 = 0. (2) Una condicin necesaria y suficiente para que z1 y z2 sean paralelos es que |z1 z2| = 0. (3) La magnitud de la proyeccin de z1 sobre z2 es |z1 z2|/|z2|. (4) El rea de un paralelogramo cuyos lados sean z1 y z2 es |z1 z2|. 1.17Coordenadas conjugadas complejas Un punto en el plano complejo se localiza mediante las coordenadas rectangulares (x, y) o mediante las coordenadas polares (r, u). Existen muchas otras posibilidades. Una de estas posibilidades es aprovechar que x = 1 2 (z + z), y = (1/2i)(z z), donde z = x + iy. A las coordenadas (z, z) que localizan un punto se les llama coordenadas conjugadas complejas, o simplemente coordenadas conjugadas del punto [vea los problemas 1.43 y 1.44]. 1.18Conjuntos de puntos A toda coleccin de puntos en el plano complejo se le llama conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto. Las siguientes definiciones fundamentales se presentan aqu como referencia. (1) Vecindades. Una vecindad delta o d de un punto z0 es el conjunto de todos los puntos z tales que |z z0| < d, donde d es cualquier nmero positivo dado. Una vecindad agujerada d de z0 es una vecindad de z0 en la que se omite el punto z0, es decir, 0 < |z z0| < d. 18. 8 Captulo 1 Nmeros complejos (2) Puntos lmite. Un punto z0 se llama punto lmite, punto de agrupacin o punto de acumulacin de un conjunto S si toda vecindad d agujerada de z0 contiene puntos de S. Como d puede ser cualquier nmero positivo, se sigue que S debe tener una cantidad infinita de puntos. Observe que z0 puede o no pertenecer al conjunto S. (3) Conjuntos cerrados. Se dice que un conjunto S es cerrado si todo punto lmite de S pertenece a S, es decir, si S contiene todos sus puntos lmite. Por ejemplo, el conjunto de todos los puntos z tales que |z| 1 es un conjunto cerrado. (4) Conjuntos acotados. Se dice que un conjunto S es acotado si se puede encontrar una constante M tal que |z| < M para todo punto z en S. Un conjunto no acotado es un conjunto que no satisface esta condicin. Se dice que un conjunto acotado y cerrado es compacto. (5) Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera. Un punto z0 es un punto interior de un conjunto S si se puede hallar una vecindad d de z0 tal que todos sus puntos pertenezcan a S. Si toda vecindad d de z0 contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S, entonces z0 es un punto frontera. Si un punto no es un punto interior o un punto frontera de un conjunto, entonces es un punto exterior de S. (6) Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consta nicamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de los puntos z tales que |z| < 1 es un conjunto abierto. (7) Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cada par de puntos del conjunto puede unirse mediante una trayectoria que conste de segmentos de recta (una trayectoria poligonal) de modo que todos sus puntos pertenezcan a S. (8) Regiones abiertas o dominios. A un conjunto conexo abierto se le llama regin abierta o dominio. (9) Cerradura de un conjunto. Si a un conjunto S se agregan todos los puntos lmite de S, el nuevo conjunto es la cerradura de S, y es un conjunto cerrado. (10) Regiones cerradas. La cerradura de una regin abierta o dominio se llama regin cerrada. (11) Regiones. Si a una regin o dominio se aaden algunos, todos o ninguno de sus puntos lmite, se obtiene un conjunto que se llama regin. Si se agregan todos los puntos lmite, la regin es cerrada; si no se agrega ningn punto lmite, la regin es abierta. En este libro, siempre que se use la palabra regin sin ms cali- ficativo, se har referencia a una regin abierta o dominio. (12) Unin e interseccin de conjuntos. Al conjunto que consta de todos los puntos que pertenecen al con- junto S1 o al conjunto S2, o a ambos conjuntos S1 y S2, se le llama unin de S1 y S2, y se denota S1 S2. Un conjunto que conste de todos los puntos pertenecientes a los conjuntos S1 y S2 se denomina inter- seccin de S1 y S2, y se denota S1 S2. (13) Complemento de un conjunto. El conjunto que consta de todos los puntos que no pertenecen al conjunto S se llama complemento de S, y se denota ~ S o Sc. (14) Conjunto vaco y subconjuntos. Es conveniente considerar el conjunto que no tiene ningn punto. A este conjunto se le llama conjunto vaco y se denota . Si dos conjuntos S1 y S2 no tienen ningn punto en comn (en cuyo caso se dice que son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes), esto se indica como sigue: S1 S2 = . Todo conjunto que se forme al elegir algunos, todos o ningn punto de un conjunto S se llama subcon- junto de S. Si dejamos de lado el caso en que se eligen todos los puntos de S, el conjunto se llama conjunto adecuado de S. (15) Numerabilidad o contabilidad de un conjunto. Suponga que un conjunto sea finito o que sus elementos se colocan en correspondencia uno a uno con los nmeros naturales 1, 2, 3, . . . . Entonces se dice que este conjunto es contable o numerable; si no es as, el conjunto es no contable o no numerable. Los siguientes son dos teoremas importantes sobre conjuntos de puntos: (1) Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto lmite. (2) Teorema de Heine-Borel. Sea S un conjunto compacto, cada punto del cual est contenido en uno o ms de los conjuntos abiertos A1, A2, . . . [los que se dice que son una cubierta de S]. Entonces existe un nmero finito de conjuntos A1, A2, . . . que forman una cubierta de S. 19. Problemas resueltos 9 Problemas resueltos Operaciones fundamentales con nmeros complejos 1.1. Realice las operaciones indicadas. Solucin a) (3 2i) (7 i) 3 7 2i i 4 i (7 i) (3 2i) 7 3 i 2i 4 ib) Los resultados de a) y b) ilustran la ley conmutativa de la suma. c) (8 6i) (2i 7) 8 6i 2i 7 15 8i (5 3i) f(1 2i) (7 5i)g (5 3i) f1 2i 7 5ig (5 3i) (6 3i) 11 f(5 3i) (1 2i)g (7 5i) f5 3i 1 2ig (7 5i) (4 5i) (7 5i) 11 d) e) Los resultados de d) y e) ilustran la ley asociativa de la suma. f) (2 3i)(4 2i) 2(4 2i) 3i(4 2i) 8 4i 12i 6i2 8 4i 12i 6 14 8i (4 2i)(2 3i) 4(2 3i) 2i(2 3i) 8 12i 4i 6i2 8 12i 4i 6 14 8i (2 i)f(3 2i)(5 4i)g (2 i)f15 12i 10i 8i2 g (2 i)(7 22i) 14 44i 7i 22i2 8 51i f(2 i)(3 2i)g(5 4i) f6 4i 3i 2i2 g(5 4i) (4 7i)(5 4i) 20 16i 35i 28i2 8 51i g) Los resultados de f) y g) ilustran la ley conmutativa de la multiplicacin. h) (2 3i)(4 2i) 2(4 2i) 3i(4 2i) 8 4i 12i 6i2 8 4i 12i 6 14 8i (4 2i)(2 3i) 4(2 3i) 2i(2 3i) 8 12i 4i 6i2 8 12i 4i 6 14 8i (2 i)f(3 2i)(5 4i)g (2 i)f15 12i 10i 8i2 g (2 i)(7 22i) 14 44i 7i 22i2 8 51i f(2 i)(3 2i)g(5 4i) f6 4i 3i 2i2 g(5 4i) (4 7i)(5 4i) 20 16i 35i 28i2 8 51i i) Los resultados de h) e i) ilustran la ley asociativa de la multiplicacin. j) (1 + 2i){(7 5i) + (3 + 4i)} = (1 + 2i)(4 i) = 4 + i + 8i 2i2 = 2 + 9i Otro mtodo (1 2i)f(7 5i) (3 4i)g (1 2i)(4 i) 4 i 8i 2i2 2 9i (1 2i)f(7 5i) (3 4i)g (1 2i)(7 5i) (1 2i)(3 4i) f7 5i 14i 10i2 g f3 4i 6i 8i2 g (3 19i) (5 10i) 2 9i Lo anterior ilustra la ley distributiva. k) 3 2i 1 i 3 2i 1 i 1 i 1 i 3 3i 2i 2i2 1 i2 5 i 2 5 2 1 2 i Otro mtodo Por definicin, (3 2i)/(1 + i) es el nmero a + bi, donde a y b son nmeros reales, tales que (1 + i)(a + bi) = a b + (a b)i = 3 2i. Por tanto, a b = 3, a b = 2 y, al resolver simultnea- mente, a = 5/2, b = 1/2, o a + bi = 5/2 i/2. l) (1 i)(a bi) a b (a b)i 3 2i. a b 3, a b 2 a 5=2, b 1=2 or a bi 5=2 i=2. 5 5i 3 4i 20 4 3i 5 5i 3 4i 3 4i 3 4i 20 4 3i 4 3i 4 3i 15 20i 15i 20i2 9 16i2 80 60i 16 9i2 5 35i 25 80 60i 25 3 i 3i30 i19 2i 1 3(i2 )15 (i2 )9 i 2i 1 3(1)15 (1)9 i 1 2i 3 i 1 2i 1 2i 1 2i 3 6i i 2i2 1 4i2 5 5i 5 1 i m) (1 i)(a bi) a b (a b)i 3 2i. a b 3, a b 2 a 5=2, b 1=2 or a bi 5=2 i=2. 5 5i 3 4i 20 4 3i 5 5i 3 4i 3 4i 3 4i 20 4 3i 4 3i 4 3i 15 20i 15i 20i2 9 16i2 80 60i 16 9i2 5 35i 25 80 60i 25 3 i 3i30 i19 2i 1 3(i2 )15 (i2 )9 i 2i 1 3(1)15 (1)9 i 1 2i 3 i 1 2i 1 2i 1 2i 3 6i i 2i2 1 4i2 5 5i 5 1 i 20. 10 Captulo 1 Nmeros complejos 1.2. Suponga que z1 = 2 + i, z2 = 3 2i, yz1 2 i, z2 3 2i z3 1 2 3 p 2 i. j3z1 4z2j j3(2 i) 4(3 2i)j j6 3i 12 8ij j6 11ij (6)2 (11)2 q 157 p z3 1 3z2 1 4z1 8 (2 i)3 3(2 i)2 4(2 i) 8 f(2)3 3(2)2 (i) 3(2)(i)2 i3 g 3(4 4i i2 ) 8 4i 8 8 12i 6 i 12 12i 3 8 4i 8 7 3i (z3)4 1 2 3 p 2 i !4 1 2 3 p 2 i 4 1 2 3 p 2 i 2 " #2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 2 1 2 3 p 2 i 2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 1 2 3 p 2 i 2z2 z1 5 i 2z1 z2 3 i 2 2(3 2i) (2 i) 5 i 2(2 i) (3 2i) 3 i 2 3 4i 4 3i 2 j3 4ij2 j4 3ij2 ( (3)2 (4)2 p )2 ( (4)2 (3)2 p )2 1 . Evale las expresiones siguientes. Solucin a) z1 2 i, z2 3 2i z3 1 2 3 p 2 i. j3z1 4z2j j3(2 i) 4(3 2i)j j6 3i 12 8ij j6 11ij (6)2 (11)2 q 157 p z3 1 3z2 1 4z1 8 (2 i)3 3(2 i)2 4(2 i) 8 f(2)3 3(2)2 (i) 3(2)(i)2 i3 g 3(4 4i i2 ) 8 4i 8 8 12i 6 i 12 12i 3 8 4i 8 7 3i (z3)4 1 2 3 p 2 i !4 1 2 3 p 2 i 4 1 2 3 p 2 i 2 " #2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 2 1 2 3 p 2 i 2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 1 2 3 p 2 i 2z2 z1 5 i 2z1 z2 3 i 2 2(3 2i) (2 i) 5 i 2(2 i) (3 2i) 3 i 2 3 4i 4 3i 2 j3 4ij2 j4 3ij2 ( (3)2 (4)2 p )2 ( (4)2 (3)2 p )2 1 b) z1 2 i, z2 3 2i z3 1 2 3 p 2 i. j3z1 4z2j j3(2 i) 4(3 2i)j j6 3i 12 8ij j6 11ij (6)2 (11)2 q 157 p z3 1 3z2 1 4z1 8 (2 i)3 3(2 i)2 4(2 i) 8 f(2)3 3(2)2 (i) 3(2)(i)2 i3 g 3(4 4i i2 ) 8 4i 8 8 12i 6 i 12 12i 3 8 4i 8 7 3i (z3)4 1 2 3 p 2 i !4 1 2 3 p 2 i 4 1 2 3 p 2 i 2 " #2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 2 1 2 3 p 2 i 2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 1 2 3 p 2 i 2z2 z1 5 i 2z1 z2 3 i 2 2(3 2i) (2 i) 5 i 2(2 i) (3 2i) 3 i 2 3 4i 4 3i 2 j3 4ij2 j4 3ij2 ( (3)2 (4)2 p )2 ( (4)2 (3)2 p )2 1 c) z1 2 i, z2 3 2i z3 1 2 3 p 2 i. j3z1 4z2j j3(2 i) 4(3 2i)j j6 3i 12 8ij j6 11ij (6)2 (11)2 q 157 p z3 1 3z2 1 4z1 8 (2 i)3 3(2 i)2 4(2 i) 8 f(2)3 3(2)2 (i) 3(2)(i)2 i3 g 3(4 4i i2 ) 8 4i 8 8 12i 6 i 12 12i 3 8 4i 8 7 3i (z3)4 1 2 3 p 2 i !4 1 2 3 p 2 i 4 1 2 3 p 2 i 2 " #2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 2 1 2 3 p 2 i 2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 1 2 3 p 2 i 2z2 z1 5 i 2z1 z2 3 i 2 2(3 2i) (2 i) 5 i 2(2 i) (3 2i) 3 i 2 3 4i 4 3i 2 j3 4ij2 j4 3ij2 ( (3)2 (4)2 p )2 ( (4)2 (3)2 p )2 1 d) z1 2 i, z2 3 2i z3 1 2 3 p 2 i. j3z1 4z2j j3(2 i) 4(3 2i)j j6 3i 12 8ij j6 11ij (6)2 (11)2 q 157 p z3 1 3z2 1 4z1 8 (2 i)3 3(2 i)2 4(2 i) 8 f(2)3 3(2)2 (i) 3(2)(i)2 i3 g 3(4 4i i2 ) 8 4i 8 8 12i 6 i 12 12i 3 8 4i 8 7 3i (z3)4 1 2 3 p 2 i !4 1 2 3 p 2 i 4 1 2 3 p 2 i 2 " #2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 2 1 2 3 p 2 i 2 1 4 3 p 2 i 3 4 i2 1 2 3 p 2 i 2z2 z1 5 i 2z1 z2 3 i 2 2(3 2i) (2 i) 5 i 2(2 i) (3 2i) 3 i 2 3 4i 4 3i 2 j3 4ij2 j4 3ij2 ( (3)2 (4)2 p )2 ( (4)2 (3)2 p )2 1 1.3. Encuentre nmeros reales x y y tales que 3x 2iy ix 5y 7 5i. 3x 5y i(2y x) 7 5i. 3x 5y 7, 2y x 5. x 1, y 2. : (a) z1 z2 z1 z2, jz1z2j jz1jjz2j. . Solucin La ecuacin dada se escribe 3x + 5y + i(2y x) = 7 + 5i. As, al igualar las partes real e imaginaria, 3x + 5y = 7, 2y x = 5. Al resolver simultneamente, x = 1 y y = 2. 1.4. Demuestre: a) 3x 2iy ix 5y 7 5i. 3x 5y i(2y x) 7 5i. 3x 5y 7, 2y x 5. x 1, y 2. : (a) z1 z2 z1 z2, jz1z2j jz1jjz2j.y b) 3x 2iy ix 5y 7 5i. 3x 5y i(2y x) 7 5i. 3x 5y 7, 2y x 5. x 1, y 2. : (a) z1 z2 z1 z2, jz1z2j jz1jjz2j.. Solucin Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2. As a) z1 x1 iy1, z2 x2 iy2. z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i(y1 y2) x1 x2 i(y1 y2) x1 iy1 x2 iy2 x1 iy1 x2 iy2 z1 z2 jz1z2j j(x1 iy1)(x2 iy2)j jx1x2 y1y2 i(x1y2 y1x2)j (x1x2 y1y2)2 (x1y2 y1x2)2 q (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q x2 1 y2 1 q x2 2 y2 2 q jz1jjz2j b) z1 x1 iy1, z2 x2 iy2. z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i(y1 y2) x1 x2 i(y1 y2) x1 iy1 x2 iy2 x1 iy1 x2 iy2 z1 z2 jz1z2j j(x1 iy1)(x2 iy2)j jx1x2 y1y2 i(x1y2 y1x2)j (x1x2 y1y2)2 (x1y2 y1x2)2 q (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q x2 1 y2 1 q x2 2 y2 2 q jz1jjz2j Otro mtodo jz1z2j2 (z1z2)(z1z2) z1z2z1z2 (z1z1)(z2z2) jz1j2 jz2j2 or jz1z2j jz1jjz2jojz1z2j2 (z1z2)(z1z2) z1z2z1z2 (z1z1)(z2z2) jz1j2 jz2j2 or jz1z2j jz1jjz2j donde se aprovech que el conjugado de un producto de dos nmeros complejos es igual al producto de los con- jugados (vea el problema 1.55). Representacin grfica de los nmeros complejos. Vectores 1.5. Realice las operaciones indicadas de manera tanto analtica como grfica: a) (3 + 4i) + (5 + 2i), b) (6 2i) (2 5i) y c) (3 + 5i) + (4 + 2i) + (5 3i) + (4 6i). 21. Problemas resueltos 11 Solucin a) Analticamente. (3 + 4i) + (5 + 2i) = 3 + 5 + 4i + 2i = 8 + 6i Grficamente. Estos dos nmeros complejos se representan mediante los puntos P1 y P2, respectivamente, como en la figura 1-7. Se completa el paralelogramo cuyos lados adyacentes son OP1 y OP2. El punto P repre- senta la suma, 8 + 6i, de los dos nmeros complejos dados. Observe la similitud con la ley del paralelogramo para la suma de dos vectores OP1 y OP2 para obtener el vector OP. Debido a esto, suele ser conveniente con- siderar un nmero complejo a + bi como vector con componentes a y b en direccin de los ejes positivos x y y, respectivamente. 5 + 2i 3+ 4i 8 + 6i P P2 x y O P1 Figura 1-7 P P2 P1 4 + 3i 2+5i 6 2i x y O Figura 1-8 b) Analticamente. (6 2i) (2 5i) = 6 2 2i + 5i = 4 + 3i Grficamente. (6 2i) (2 5i) = 6 2i + (2 + 5i). Ahora se suman 6 2i y (2 + 5i), como en el inciso a). En la figura 1-8, el resultado est indicado por OP. c) Analticamente. (3 + 5i) + (4 + 2i) + (5 3i) + (4 6i) = (3 + 4 + 5 4) + (5i + 2i 3i 6i) = 2 2i Grficamente. Los nmeros que se van a sumar se representan como z1, z2, z3 y z4, respectivamente. Estos nmeros se representan grficamente en la figura 1-9. Para hallar la suma buscada se procede como se muestra en la figura 1-10. A partir del punto final del vector z1 se traza el vector z2. A partir del punto final de z2 se traza el vector z3, y a partir del punto final de z3 se traza el vector z4. La suma buscada, a la que se le suele llamar resultante, se obtiene con el trazo del vector OP desde el punto inicial de z1 hasta el punto final de z4, es decir, OP = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 2i. O z1 z2 z3 x z4 y Figura 1-9 O z1 z2 z3 z4 P x y Figura 1-10 22. 12 Captulo 1 Nmeros complejos 1.6. Suponga que z1 y z2 son dos nmeros complejos (vectores), como en la figura 1-11. Obtenga grficamente a) 3z1 2z2 y b)3z1 2z2, (b) 1 2z2 5 3z1 Solucin a)En la figura 1-12, OA = 3z1 es un vector en la misma direccin que el vector z1 y cuya longitud es tres veces la longitud del vector z1. OB = 2z2 es un vector en direccin opuesta al vector z2 y cuya longitud es dos veces la longitud del vector z2. As, el vector es OC = OA + OB = 3z1 2z2. x z2 z1 y Figura 1-11 C A 3z1 2z2 3z 1 B O x 2z2 y Figura 1-12 O x P Q R y z1 5 3 z2 1 2 Figura 1-13 b) El vector (nmero complejo) buscado est representado por OP en la figura 1-13. 1.7. Demuestre que a) |z1 + z2| |z1| + |z2|, b) |z1 + z2 + z3| |z1| + |z2| + |z3|, c) |z1 z2| |z1| |z2| y d una interpretacin grfica. Solucin a) Analticamente. Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2. Hay que demostrar quez1 x1 iy1, z2 x2 iy2. (x1 x2)2 (y1 y2)2 q x2 1 y2 1 q x2 2 y2 2 q Al elevar al cuadrado ambos lados, esto ser cierto si (x1 x2)2 (y1 y2)2 x2 1 y2 1 2 (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q x2 2 y2 2 x1x2 y1y2 (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q es decir, si (x1 x2)2 (y1 y2)2 x2 1 y2 1 2 (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q x2 2 y2 2 x1x2 y1y2 (x2 1 y2 1)(x2 2 y2 2) q o si (de nuevo al elevar al cuadrado ambos lados) x2 1x2 2 2x1x2y1y2 y2 1y2 2 x2 1x2 2 x2 1y2 2 y2 1x2 2 y2 1y2 2 2x1x2y1y2 x2 1y2 2 y2 1x2 2 o x2 1x2 2 2x1x2y1y2 y2 1y2 2 x2 1x2 2 x2 1y2 2 y2 1x2 2 y2 1y2 2 2x1x2y1y2 x2 1y2 2 y2 1x2 2 Pero esto equivale a (x1y2 x2y1)2 0, lo cual es verdadero. El resultado se demuestra al retroceder paso por paso, lo que s es posible. 23. Problemas resueltos 13 Grficamente. El resultado se colige de que |z1|, |z2|, |z1 + z2| representan las longitudes de los lados de un tringulo (vea la figura 1-14) y de que la suma de las longitudes de dos lados de un tringulo es mayor o igual a la longitud del tercer lado. O x y z1 z2 z1 + z2 Figura 1-14 O P x y z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 Figura 1-15 b) Analticamente. De acuerdo con el inciso a), jz1 z2 z3j jz1 (z2 z3)j jz1j jz2 z3j jz1j jz2j jz3j Grficamente. Este resultado es consecuencia del hecho geomtrico de que, en un plano, la distancia ms corta entre dos puntos O y P es la recta que los une (vea la figura 1-15). c)Analticamente. De acuerdo con el inciso a), |z1| = |z1 z2+ z2| |z1 z2| + |z2|. Entonces |z1 z2| |z1| |z2|. Un resultado equivalente que se obtiene al sustituir z2 por z2 es |z1 + z2| |z1| |z2|. Grficamente. El resultado equivale a decir que la longitud de uno de los lados de un tringulo es mayor o igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados. 1.8. Los vectores posicin de los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) estn representados por z1 y z2, respectivamente. a) Represente el vector AB como nmero complejo. b) Encuentre la distancia entre los puntos A y B. Solucin a) De acuerdo con la figura 1-16, OA + AB = OB o AB = OB OA = z2 z1 = (x2 + iy2) (x1 + iy1) = (x2 x1) + i(y2 y1) b) La distancia entre los puntos A y B est dada por jABj j(x2 x1) i(y2 y1)j (x2 x1)2 (y2 y1)2 q O x y A(x1, y1) B(x2, y2) z1 z2 Figura 1-16 Figura 1-17 O x y z1 z2 P BA C 1.9. Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 que representan dos vectores no colineales o no paralelos. Si a y b son nmeros reales (escalares) tales que az1 + bz2 = 0, demuestre que a = 0 y b = 0. 24. 14 Captulo 1 Nmeros complejos Solucin La condicin dada az1 + bz2 = 0 es equivalente a a(x1 + iy1) + b(x2 + iy2) = 0 o ax1 + bx2 + i(ay1 + by2) = 0. As, ax1 + bx2 = 0 y ay1 + by2 = 0. Estas ecuaciones tienen la solucin simultnea a = 0 y b = 0 si y1/x1 y2/x2, es decir, si los vectores no son colineales o no son paralelos. 1.10. Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s. Solucin Sea OABC [figura 1-17] el paralelogramo dado, cuyas diagonales se intersecan en P. Como z1 + AC = z2, AC = z2 z1. Entonces AP = m(z2 z1), donde 0 m 1. Como OB = z1 + z2, OP = n(z1 + z2), donde 0 n 1. Pero OA + AP = OP; es decir, z1 + m(z2 z1) = n(z1 + z2) o (1 m n)z1 + (m n)z2 = 0. Por tanto, de acuerdo con el problema 1.9, 1 m n = 0, m n = 0 o m = 1 2 , n = 1 2 , de manera que P es el punto medio de las dos diagonales. 1.11. Encuentre una ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados A(x1, y1) y B(x2, y2). Solucin Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 los vectores posicin de A y B, respectivamente. Sea z = x + iy el vector posicin de un punto P en la recta que une A y B. De acuerdo con la figura 1-18, OA + AP = OP o z1 + AP = z, es decir, AP = z z1 OA + AB = OB o z1 + AB = z2, es decir, AB = z2 z1 Como AP y AB son colineales, AP = tAB o z z1 = t(z2 z1), donde t es real; la ecuacin buscada es z = z1 + t(z2 z1) o z = (1 t)z1 + tz2 Con z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 y z = x + iy, lo anterior se expresa como x x1 t(x2 x1), y y1 t(y2 y1) or x x1 x2 x1 y y1 y2 y1 ox x1 t(x2 x1), y y1 t(y2 y1) or x x1 x2 x1 y y1 y2 y1 Las primeras dos se conocen como ecuaciones paramtricas de la recta, en donde t es el parmetro; la segunda es la ecuacin de una recta en forma estndar. Otro mtodo Como AP y PB son colineales, existen nmeros reales m y n tales que: mAP = nPB o m(z z1) = n(z2 z) Se despeja, mAP nPB or m(z z1) n(z2 z) z mz1 nz2 m n or x mx1 nx2 m n , y my1 ny2 m n o mAP nPB or m(z z1) n(z2 z) z mz1 nz2 m n or x mx1 nx2 m n , y my1 ny2 m n mAP nPB or m(z z1) n(z2 z) z mz1 nz2 m n or x mx1 nx2 m n , y my1 ny2 m n que se conoce como forma simtrica. 25. Problemas resueltos 15 O x y z1 z2 z P A B Figura 1-18 Figura 1-19 x y C A D B 1.12. Sean A(1, 2), B(3, 4) y C(2, 2) los tres vrtices del tringulo ABC. Encuentre la longitud de la mediana de C al lado AB. Solucin Los vectores posicin de A, B y C estn dados por z1 = 1 2i, z2 = 3 + 4i y z3 = 2 + 2i, respectivamente. Entonces, de acuerdo con la figura 1-19, AC z3 z1 2 2i (1 2i) 1 4i BC z3 z2 2 2i (3 4i) 5 2i AB z2 z1 3 4i (1 2i) 4 6i AD 1 2AB 1 2( 4 6i) 2 3i AC CD AD o CD AD AC 2 3i (1 4i) 3 i: As, la longitud de la mediana CD esCD is jCDj j3 ij 10 p . 1.13. Encuentre la ecuacin de a) un crculo de radio 4 con centro en (2, 1) y b) una elipse cuyo eje mayor tenga longitud 10 y focos en (3, 0) y (3, 0). Solucin a)El centro se representa mediante el nmero complejo 2 + i. Si z es un punto cualquiera del crculo [figura 1-20], la distancia de z a 2 + i es |z (2 + i)| = 4 Entonces, la ecuacin requerida es |z + 2 i| = 4, que en forma rectangular est dada por |(x + 2) + i(y 1)| = 4, es decir (x + 2)2 + (y 1)2 = 16 x y z 4 (2, 1) Figura 1-20 x y z (3, 0) (3, 0) Figura 1-21 pues D es el punto medio de AB. 26. 16 Captulo 1 Nmeros complejos b)La suma de las distancias de cualquier punto z de la elipse [figura 1-21] a los focos es igual a 10. Por tanto, la ecuacin requerida es |z + 3| + |z 3| = 10 En forma rectangular, esto se reduce a x2/25 + y2/16 = 1 (vea el problema 1.74). Fundamentos axiomticos de los nmeros complejos 1.14. Con la definicin de nmero complejo como par ordenado de nmeros reales y las definiciones de la pgina 3 demuestre que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), donde (0, 1)(0, 1) = (1, 0). Solucin De acuerdo con las definiciones de la suma y de la multiplicacin de la pgina 3, se tiene (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) donde (0, 1)(0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 1 0) = (1, 0) Se identifica (1, 0) con 1 y (0, 1) con i, y se ve que (a, b) = a + bi. 1.15. Suponga que z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) y z3 = (a3, b3). Demuestre la ley distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. Solucin Se tiene z1(z2 z3) (a1, b1)f(a2, b2) (a3, b3)g (a1, b1)(a2 a3, b2 b3) fa1(a2 a3) b1(b2 b3), a1(b2 b3) b1(a2 a3)g (a1a2 b1b2 a1a3 b1b3, a1b2 b1a2 a1b3 b1a3) (a1a2 b1b2, a1b2 b1a2) (a1a3 b1b3, a1b3 b1a3) (a1, b1)(a2, b2) (a1, b1)(a3, b3) z1z2 z1z3 Forma polar de los nmeros complejos 1.16. Exprese en forma polar los nmeros complejos siguientes. a) 2 2 3 p i, (b) 25 5i, (c) 2 6 p 2 p i, (d) 23i, b)2 2 3 p i, (b) 25 5i, (c) 2 6 p 2 p i, (d) 23i, c)2 2 3 p i, (b) 25 5i, (c) 2 6 p 2 p i, (d) 23i y d) 3i Solucin a) j2 2 3 p ij 4 12 p 4. 1 2 p 1 3 p =2 608 p=33=4 senu sen [vea la figura 1-22.] El mdulo o valor absoluto es r j2 2 3 p ij 4 12 p 4. 1 2 p 1 3 p =2 608 p=33=4 senu sen . La amplitud o argumento es j2 2 3 p ij 4 12 p 4. 1 2 p 1 3 p =2 608 p=33=4 senu sen (radianes). Entonces 2 2 p 3i r(cos u i sen u) 4(cos 608 i sen 608) 4(cos p=3 i sen p=3) Este resultado tambin se expresa como 4 cis p/3 o, con la frmula de Euler, como 4epi/3. 27. Problemas resueltos 17 2 60 x y 4 2 + 23i 23 Figura 1-22 5 5 45 135 x y 52 Figura 1-23 b) 5 + 5i [vea la figura 1-23.] r j5 5ij 25 25 p 5 2 p u 1808 458 1358 3p=4 r j5 5ij 25 25 p 5 2 p u 1808 458 1358 3p=4 (radianes) De manera que 5 5i 5 p 2 p cis 3p=4 5 2 p e3pi=4 r j 6 p 2 p ij 6 2 p 2 2 p u 1808 308 2108 7p=6 6 p 2 p i 2 p 2 p cis 7p=6 2 2 p e7pi=e 2(cos 2108 i sen 2108) 2 2(cos 1358 i sen 1358) 5 c) 5 5i 5 p 2 p cis 3p=4 5 2 p e3pi=4 r j 6 p 2 p ij 6 2 p 2 2 p u 1808 308 2108 7p=6 6 p 2 p i 2 p 2 p cis 7p=6 2 2 p e7pi=e 2(cos 2108 i sen 2108) 2 2(cos 1358 i sen 1358) 5 [vea la figura 1-24.] 5 5i 5 p 2 p cis 3p=4 5 2 p e3pi=4 r j 6 p 2 p ij 6 2 p 2 2 p u 1808 308 2108 7p=6 6 p 2 p i 2 p 2 p cis 7p=6 2 2 p e7pi=e 2(cos 2108 i sen 2108) 2 2(cos 1358 i sen 1358) 55 5i 5 p 2 p cis 3p=4 5 2 p e3pi=4 r j 6 p 2 p ij 6 2 p 2 2 p u 1808 308 2108 7p=6 6 p 2 p i 2 p 2 p cis 7p=6 2 2 p e7pi=e 2(cos 2108 i sen 2108) 2 2(cos 1358 i sen 1358) 5 (radianes) De manera que 5 5i 5 p 2 p cis 3p=4 5 2 p e3pi=4 r j 6 p 2 p ij 6 2 p 2 2 p u 1808 308 2108 7p=6 6 p 2 p i 2 p 2 p cis 7p=6 2 2 p e7pi=e 2(cos 2108 i sen 2108) 2 2(cos 1358 i sen 1358) 5 210 30 2 6 22 x y Figura 1-24 3 270 x y Figura 1-25 d) 3i [vea la figura 1-25.] r j3ij j0 3ij 0 9 p 3 u 2708 3p=2 3pi=2 3i 3(cos 3p=2 i sen 3p=2) 3 cis 3p=2 3e r j3ij j0 3ij 0 9 p 3 u 2708 3p=2 3pi=2 3i 3(cos 3p=2 i sen 3p=2) 3 cis 3p=2 3e (radianes) De manera que r j3ij j0 3ij 0 9 p 3 u 2708 3p=2 3pi=2 3i 3(cos 3p=2 i sen 3p=2) 3 cis 3p=2 3e 1.17. Represente en forma grfica las expresiones de los incisos siguientes: a) 6(cos 240 + i sen 240), b) 4e3pi/5 y c) 2epi/4. Solucin a)6(cos 240 + i sen 240) = 6 cis 240 = 6 cis 4p/3 = 6e4pi/3 se representa en forma grfica mediante el vector OP de la figura 1-26. 28. 18 Captulo 1 Nmeros complejos Si se parte del vector AO, de magnitud 6 y en direccin del eje x positivo, se obtiene OP al rotar AO 240 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En general, reiu equivale a un vector que se obtiene al rotar un vector de magnitud r y direccin del eje positivo x en un ngulo u, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 6 240 x AO P y 6 Figura 1-26 108 x 4 O P y Figura 1-27 Figura 1-28 x O P A 2 2 45 y b) 4e3pi/5 = 4(cos 3p/5 + i sen 3p/5) = 4(cos 108 + i sen 108) est representado en la figura 1-27 mediante el vector OP. c) 2epi/4 = 2{cos (p/4) + i sen (p/4)} = 2{cos (45) + i sen (45)} Este nmero complejo est representado en la figura 1-28 mediante el vector OP. Este vector se obtiene al empezar con el vector OA, de magnitud 2, en la direccin positiva del eje x, y rotarlo un ngulo de 45 en direccin contraria a las manecillas del reloj (que es lo mismo que rotar este vector un ngulo de 45 en la direccin de las manecillas del reloj). 1.18. Un hombre recorre 12 millas hacia el noreste, 20 millas 30 hacia el oeste del norte y despus 18 millas 60 hacia el suroeste. Determine a) de manera analtica y b) de manera grfica cunto y en qu direccin se alej de su punto de partida. Solucin a)Analticamente. Sea O el punto de partida (vea la figura 1-29). Los desplazamientos sucesivos estn representados por los vectores OA, AB y BC. El resultado de estos tres desplazamientos se representa con el vector OC = OA + AB + BC Ahora, OA = 12(cos 45 + i sen 45) = 12epi/4 AB = 20{cos (90 + 30) + i sen(90 + 30)} = 20e2pi/3 BC = 18{cos (180 + 60) + i sen (180 + 60)} = 18e4pi/3 De manera que pi=4 2pi=3 4pi=3 OC 12epi=4 20e2pi=3 18e4pi=3 f(12)( 2 p =2) (20)(1=2) (18)(1=2)g if(12)( 2 p =2) (20)( 3 p =2) (18)( 3 p =2) (6 2 p 19) (6 2 p 3 p )i AB 20fcos(908 308) i sen(908 308)g 20e OA 12(cos 458 i sen 458) 12e BC 18fcos(1808 608) i sen(1808 608)g 18e f12 cos 458 20 cos 1208 18 cos 2408g if12 sen 458 20 sen 1208 18 sen 2408g If we start with vector OA, whose magnitude is 6 and whose direction is that of the positive x axis, we can obtain OP by rotating OA counterclockwise through an angle of 2408. In general, reiu is equivalent to a vector obtained by rotating a vector of magnitude r and direction that of the positive x axis, counterclockwise through an angle u. 6 240 x AO P y 6 108 x 4 O P y x O P A 2 2 45 y Fig. 1-26 Fig. 1-27 Fig. 1-28 (b) 4e3pi=5 4(cos 3p=5 i sin 3p=5) 4(cos 1088 i sin 1088) is represented by OP in Fig. 1-27. (c) 2epi=4 2fcos(p=4) i sin(p=4)g 2fcos(458) i sin(458)g This complex number can be represented by vector OP in Fig. 1-28. This vector can be obtained by start- ing with vector OA, whose magnitude is 2 and whose direction is that of the positive x axis, and rotating it counterclockwise through an angle of 458 (which is the same as rotating it clockwise through an angle of 458). 1.18. A man travels 12 miles northeast, 20 miles 308 west of north, and then 18 miles 608 south of west. Determine (a) analytically and (b) graphically how far and in what direction he is from his starting point. Solution (a) Analytically. Let O be the starting point (see Fig. 1-29). Then the successive displacements are represented by vectors OA, AB, and BC. The result of all three displacements is represented by the vector OC OA AB BC Now OA 12(cos 458 i sin 458) 12epi=4 AB 20fcos(908 308) i sin(908 308)g 20e2pi=3 BC 18fcos(1808 608) i sin(1808 608)g 18e4pi=3 Then OC 12epi=4 20e2pi=3 18e4pi=3 f12 cos 458 20 cos 1208 18 cos 2408g if12 sin 458 20 sin 1208 18 sin 2408g f(12)( 2 p =2) (20)(1=2) (18)(1=2)g if(12)( 2 p =2) (20)( 3 p =2) (18)( 3 p =2) (6 2 p 19) (6 2 p 3 p )i If r(cos u i sin u) 6 2 p 19 (6 2 p 3 p )i, then r (6 2 p 19)2 (6 2 p 3 p )2 p 14:7 approximately, and u cos1 (6 2 p 19)=r cos1 ( :717) 1358490 approximately. Thus, the man is 14.7 miles from his starting point in a direction 1358490 908 458490 west of north. (b) Graphically. Using a convenient unit of length such as PQ in Fig. 1-29, which represents 2 miles, and a protractor to measure angles, construct vectors OA, AB, and BC. Then, by determining the number