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VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES

William R. DerríckTraductor:

Dr. Marco Antonio Rosales M.Instituto Tecnológico

Autónomo de México (ITAM]

Revisara Técnica:

M. en C. Margarita Calleja QuevedoInstituto Tecnológico

Autónomo de México [ITAM]

S.AMCY

Grupo Editorial Iberoamérica

VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES

Versión en español de la obra Complex Analysis and Applications - Second Edition por William R. Derrick.Edición original en inglés publicada por Wadsworth, Inc.,Copyright © 1984, en Estados Unidos de América.ISBN 0-534-02853-5

D. R. © 1987 por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. y/o Wadsworth Internacional/Iberoamérica, Belmont, California 94002.Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotorreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica y/o Wadsworth Internacional/Iberoamérica, división de Wadsworth, Inc.

ISBN 968-7270-35-7 Printed in ColombiaImpreso en Colombia_E ditor: Nicolás Grepe P.P roductor: Oswaldo Ortiz R.C ubierta: Miguel Ángel Richaud

Grupo Editorial Iberoam érica, S. A. de C. V.Nebraska 199. Col. Nápoles. C. P. 03810 México, D. F.Teléfono: 5 23 09 94. Fax: 5 43 11 73 e-mail: [email protected]. http://vitalsoft.org.org.mx/gei Reg. CANIEM 1382

mailto:[email protected]

http://vitalsoft.org.org.mx/gei

Pr ó lo g o

El análisis de variable compleja es una de las más fascinantes y exitosas áreas de las matemáticas. Sus resultados ayudan a demostrar teoremas importantes y proporcionan los fundamentos para varios conceptos útiles en otras áreas de esta ciencia. Muchas de las técnicas matemáticas más eficaces aplicadas en la ingeniería y en otras disciplinas se basan en la teoría de funciones complejas. Por su extensa aplicabilidad, la combinación de conceptos geométricos y analíticos, y la sencillez de muchos de sus resultados, el análisis complejo proporciona una excelente introducción a las matemáticas modernas. Los recientes desarrollos en la teoría de funciones complejas y en la teoría de varias variables complejas harán factible obtener aplicaciones útiles en diferentes ramas de la ingeniería.

Uno de mis objetivos al escribir este libro ha sido tratar el tema de la integración compleja tan inmediatamente como sea posible. Lo anterior requiere posponer el estudio de las propiedades geométricas de las funciones elementales. Las ventajas de llegar rápidamente al centro del tema son obvias: El desarrollo subsecuente es más rico en aplicaciones y más amplio en su tratamiento de series, singularidades e integrales de línea cerrada o de contorno. Además, el costo de soslayar las propiedades geométricas' se reduce enormemente, puesto que ahora pueden considerarse como mapeos o representaciones conformes. Por tanto, se alcanza una mayor coherencia de los temas, y el tiempo que se gana puede emplearse en el estudio de otras áreas.

Otro objetivo ha sido proporcionar una selección más amplia de aplicaciones, y una gama más extensa de técnicas que las que se hallan en los textos tradicionales. He incluido aplicaciones en óptica, flujo de corrientes, chorros y

V

PRÓLOGO

estelas, así como ejemplos tradicionales del flujo de fluidos y del calor, y de la electrostática. Las técnicas de las integrales sobre contornos proporcionan amplias bases para el cálculo de los polos de Regge y de las transformadas de Laplace inversas. El texto comprende un desarrollo de transformadas integrales, tema que generalmente se estudia en el contexto de la variable real, pero que adquiere un significado mucho mayor cuando se analiza en términos de variable compleja. No se intenta abarcar todos estos temas; más bien, se incluye el material para que los profesores programen o adapten un curso de acuerdo con su conveniencia particular.

O r g a n iz a c ió n y ex te n sió n

Los propósitos de este libro son que sirva de texto para un curso introductorio de un semestre de análisis de variable compleja a nivel básico. Se ha incluido considerablemente más material del que puede exponerse sin dificultad en un semestre; dando a los profesores, por esa razón, la oportunidad de seleccionar los temas que juzguen más importantes.

Los Capítulos del 1 al 5 abarcan la mayor parte del material que se expone en un curso semestral introductorio. Los maestros que deseen minimizar los aspectos teóricos del curso deben omitir las Secciones Opcionales 2.5 y 3.5. Quienes deseen omitir aplicaciones laboriosas deben evitar las Secciones Opcionales 1.10, 4.5, 5.7. y 5.8. Se incluye un breve estudio de las funciones armónicas en la Sección 6 .1 ., que puede estudiarse en cualquier momento, después que se haya tratado el material de la Sección 2.3.

El Capítulo 6 es una introducción a las transformadas integrales desde el punto de vista de la variable compleja. Se espera que los profesores incluyan algunos de estos aspectos en los planes de cursos. Las transformadas integrales son técnicas extremadamente eficaces o poderosas en las ciencias y la ingeniería. Esta introducción debe preparar a los estudiantes para cursos avanzados de matemáticas aplicadas.

El plan para un curso semestral podría incluir:

Para Estudiantes de Ingeniería Capítulos 1 al 5, incluyendo la Sección 1.10, o la 4.5 o bien las 5.7-5.8, más las Secciones 6.1. y6.3 o las 6.6-6.7

Para Estudiantes de Matemáticas Capítulos 1 al 5, incluyendo las Secciones 2.5. y 3.5, más las Secciones 6.2 y 6.4-6.5

N ivel

El texto ha sido elaborado para el estudiante “promedio” de ingeniería. Se ha puesto especial cuidado en explicar cada concepto tan claramente como es posible: Cada concepto está precedido por un ejemplo o un análisis que lo motivan. Así mismo, cada Sección contiene varios ejemplos totalmente resueltos. Las pruebas con mayor grado de dificultad se identifican con una cruz o daga

PRÓLOGO vii

( f ), o han sido colocadas en las secciones señaladas como opcionales. El libro puede usarse en diferentes niveles de enseñanza, dependiendo de las secciones y los ejemplos que se elijan.

Ex a c t it u d

Todos los ejemplos y las respuestas de este texto se han comprobado cuidadosamente, tanto por el autor como por varios revisores, a fin de prevenir errores. Agradeceré que me hagan saber de cualquier errata que persista, y prometo incorporar todas las sugerencias en la siguiente impresión del libro.

C a r a c te r ís t ic a s d id á c t ic a s

Ejem plo s

En cada sección se incluyen numerosos ejemplos resueltos, que van desde las aplicaciones más inmediatas, hasta otras moderadamente complicadas. Los ejemplos se separan del material del texto por medio de un espaciamiento.

Ej e r c ic io s

Se ha puesto especial cuidado al elaborar los ejercicios a fin de asegurar la utilización de valiosas experiencias de aprendizaje en cada uno. Los ejercicios con mayor grado de dificultad se han marcado con un asterisco (*). Cada conjunto contiene una gama completa de ejercicios presentados en orden creciente de dificultad. Muchos de éstos consisten en resultados y teoremas útiles; se recomienda al profesor que seleccione cuidadosamente los que sean de mayor beneficio para sus clases.

Se proporcionan las soluciones de los ejercicios de número impar. Estas no son simplemente las respuestas ni las soluciones completamente desarrolladas, sino sugerencias acerca del camino que puede tomarse para llegar a la respuesta dada. Se invita a los estudiantes a que pongan a prueba sus propias ideas antes de utilizar las sugerencias indicadas. La editorial puede proporcionar un Manual del Instructor (en inglés) que contiene las soluciones de los ejercicios pares.

N o t a s de c a p ít u l o

Cada capítulo concluye con una breve indicación de otros resultados y fuentes de material colateral y complementario. Los estudiantes interesados pueden examinar estas guías para lograr una comprensión más profunda del contenido.

Ta b la de s ím b o l o s y a p é n d ic e s

En las páginas subsiguientes se presenta una tabla de los símbolos utilizados en el libro. Los apéndices al final contienen tablas de mapeos conformes, trans-

viii PRÓLOGO

formadas de Laplace, y un breve repaso de las integrales de línea y el teorema de Green.

Re c o n o c im ie n t o s

Deseo expresar mi agradecimiento a las siguientes personas por sus múltiples y útiles sugerencias al revisar diferentes versiones del original de esta obra Janos Aczel (U. of Waterloo), Eric Bedford (Princeton U.), Douglas Campbell (Brigham YoungU.), Michael O’Flynn (San José Státe U.), Donald Hartig(Cal Poly San Luis Obispo), Harry Hochstadt (Polytechnic Institute of New York), William Jones (U. of Colorado), John Kogut (U. of Illinois), Steven Krantz (Pennsylvania State U .), E. Macskasy (U. British Columbia), James Morrow (U. of Washington), David Sánchez (U. of New México), Franklin Schroeck, Jr. (Florida Atlantic U .), Jerry Schuur (Michigan State U.), Brian Seymour (U. British Columbia), R. O. Wells, Jr. (Rice U.), Lawrence Zalcman (U. of Maryland).

William R. Derrick

C ontenido

Prologo ix

Al Estudiante xiiiT ab la de Símbolos xiv

1 Funciones a n a lític a s 1

1.1 Números complejos y su álgebra 11.2 Representación polar 91.3 Conjuntos en el plano complejo 19

1.4 Funciones continuas de una variable 241.5 Condiciones necesarias para la analiticidad 31

1.6 Condiciones suficientes para la analiticidad 35

1.7 Exponencial com pleja 401.8 Las funciones trigonom étricas e hiperbólicas complejas 44

1.9 Las funciones logaritm o complejo y potencia com pleja 471.10 Aplicaciones en óptica (opcional) 53

Notas 59

ix

X CONTENIDO

Z In te g ra c ió n com ple ja 6 1

2.1 Integrales de línea 612.2 El teorem a de Green y sus consecuencias 712.3 L a fórm ula integral de Cauchy 78

2.4 T eorem a de Liouville y principio del m áxim o 862.5 El teorem a de Cauchy-Goursat (opcional) 90

Notas 99

3 Series infinitas 101

3.1 Serie de Taylor 101

3.2 Convergencia uniforme de series 1083.3 Series de Lau rent 115

3.4 Singularidades aisladas 121

3.5 Continuación analítica (opcional) 125Notas 131

4 In te g ra c ió n en c o n to rn o s 133

4.1 Teorem a del residuo 1334.2 Evaluación de integrales reales definidas 1384.3 Evaluación de integrales reales impropias 141

4.4 Integrales con polos sobre el eje real 145

4 .5 Integración de funciones m ultivaluadas (opcional) 1504 .6 El principio del argum ento 156

Notas 159

5 MAPEOS CONFORMES 161

5.1 Consideraciones geom étricas 1615.2 Transform aciones fracciónales lineales 1665.3 El principio de simetría 1715.4 Composiciones de mapeos conformes elementales 1755.5 Flujo de fluidos 1785.6 L a fórm ula de Schwarz-Christoffel 185

5.7 Aplicaciones físicas en flujo de calory electrostática (opcional) 194

5.8 Estelas en un flujo de fluidos (opcional) 201Notas 205

Ó Problemas c o n v a lo re s en laFRONTERA Y VALORES INICIALES 207

6.1 Funciones arm ónicas 2076.2 El problem a de Dirichlet 211

6.3 Aplicaciones 2196.4 Series de Fourier 2286.5 Transform adas de Fourier 2356.6 Transform adas de Laplace 240

6.7 L a transform ada inversa de Laplace 249Notas 258

A péndices

A .l T ab la de mapeos conformes 259

A.2 T ab la de transform adas de Laplace 265A.3 Integrales de línea y el teorem a de Green 267

CONTENIDO XÍ

BibliografíaRespuestas a problemas impares

índice

277279

299

Tabla de símbolos

número indica la página en que se define el símbolo.

e 2 senh z 46 PV

i 5 log z 47 V

z 5 Log z 49 v„Re z 5 za 50 VsIm z 5 spp 62, 232 A

z 7 ¡ yf{z ) dz 64 r + ¿Q

i d 9 -y 78 U(0 + 0)

Argz 10 1 dz 1 78 u( + o)

Int S 21 dR 90 u'(4> - o)311 23 Ln (z ) 98 uoo 23 Sn 101 H(4> - a)

/(*) 24 inf 110 £ 2{u\e z 41 Jn (z ) 121 £ {u }<R 42 ( f ,G ) 125 u*veos z 44 m 131 msen z 44 a - 1 133 Si (0)

cosh z 46 Resz f ( z) 133

146

179

179

179

211

222

232

232

232

232

236

240

240

241

246

247

249

A l estudiante

G ru p o E d ito ria l Ib ero a m érica en su esfuerzo p erm a n en te de p ro d u cir cada vez m ejores textos, pon e en tus manos esta nueva obra, en la que se ha puesto la más alta calidad en los aspectos teórico y didáctico, así como en diseño y presentación, con el objetivo de p ro porcionarte la m ejor herram ienta, no sólo para fa c ilitarte el aprendizaje sino tam bién para hacértelo más estimulante.

Este, como cualquiera de nuestros libros, ha sido cuidadosam ente seleccionado para que encuentres en él un pilar de tu preparación , y un com plem ento ideal a la enseñanza del maestro. Lo didáctico de la p resen tación de sus tem as hace que lo consideres el m ejor auxiliar, y el que llevas a todas partes.

Lo anterior es parte de nuestro propósito de ser partícipes en una m ejor preparación de profesionales, contribuyendo así a la urgente necesidad de un mayor desarrollo de nuestros países hispanohablantes.

Sabem os que esta obra será fu n d a m en ta l en tu biblioteca, y tal vez la más inm ediata y p erm a n en te f u e n te de consulta.

Como uno de nuestros intereses principales es h a cer m ejores libros en equipo con profesores y estudiantes, agradecerem os tus com entarios y sugerencias o cualquier observación que contribuya al en riq u ecim iento de nuestras publicaciones.

G ru p o E d ito ria l Ib ero a m érica. . . p resente en tu fo rm a ció n profesional

A Funciones I ANALÍTICAS

Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuárticas titulado Ars Magna. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido aceptación, y que aún había controversia en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Cari Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizó para demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero. En este libro, exploraremos las propiedades de los números complejos y de las funciones, con valores complejos, de una variable compleja. Veremos que la teoría de funciones de una variable compleja extiende los conceptos del cálculo al plano complejo. Al hacerlo, la derivación y la integración adquieren nueva profundidad y elegancia, y la naturaleza bidimensional del plano complejo produce muchos resultados útiles en matemáticas aplicadas.

1. ■1 N Omeros com plejos y su álgebra

Los números usados en álgebra elemental y en cálculo se llaman números reales. Estos son todos aquellos que pueden representarse geométricamente por los puntos de una línea recta infinitamente larga (véase Figura 1.1). La línea se

1

2 CAPÍTULO 1 • FUNCIONES ANALÍTICAS

1 1 1 1 1 1 1 '-1— 1 ' (-• ►- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

i

FIGURA 1.1. Modelo del sistema de números reales

divide en intervalos por medio de puntos equidistantes que representan a cada uno de los enteros, con los números reales positivos a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda. Todo número real se representa por un solo punto sobre la línea. Estos números satisfacen las cinco reglas algebraicas siguientes, llamadas axiomas de campo:

1. Leyes conmutativasa + b - b + a yA . ab = ba.

2. Leyes asociativas

(a + b) + c = a + (b + c) y (ab) c = a(bc).

3. Leyes distributivasa(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + be.

4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 sa-tisfacen que 0 ¥= 1 y

a + 0 = a = 0 + a y a ■ 1 = a = 1 ■ a.

5. Inversos. Cada número real a tiene un inverso aditivo ( -a) y, si ai= 0 un inverso multiplicativo a ~1 que satisface

a + (—a) - ,0 = (—a) + a y aa ~ 1 = 1 = a~ la.

Sin embargo, los números reales tienen una deficiencia básica: no proporcionan todas las soluciones posibles de las ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 1 = 0 no puede resolverse usando números reales, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. No obstante, podemos corregir este defecto si definimos el conjunto de números complejos G, que se forma de todos los pares ordenados

z = (x, y)

de números reales x y y, con las siguientes operaciones de suma y multiplicación:

(x, y) + (a, b) = ( x + a , y + b),(x, y) • (a, b) = (xa yb, xb + ya).

1.1 • NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA 3

y

FIGURA 1.2. Ley del para le logram o pa ra la suma vectorial

Como los números complejos se representan por pares ordenados de números reales, podemos asignar el punto en el plano Cartesiano con coordenadas x y y al número complejo 2 =(x, y). De cualquier forma, es más útil denotar por 2 al vector (segmento de recta dirigido) que va desde el origen hasta el punto (x, y). Si usamos este modelo para cada número complejo, la suma de dos números complejos

(x, y) + (a, b ) = (x + a, y + b )

corresponderá a la ley del paralelogramo para la suma vectorial descrita gráficamente en la Figura 1.2.

También se pueden utilizar los vectores para interpretar la multiplicación

(x, y) (a, b) = (xa — yb, xb + ya)

de dos números complejos. Note que

(x, 0) (a, b) = (xa, xb),

y que el vector (a, b) se alarga o se acorta por un factor x si x > 0 y también se refleja con respecto al origen si x < 0 (véase Figura 1.3). Observe, además, que

(0, 1) (a, b) = ( -b , a).

Si usamos triángulos semejantes, vemos que al multiplicar cualquier número complejo por (0, 1), el vector rota 7t/2 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj (véase Figura 1.4). Puesto que (x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0),el producto de (x, y) y (a, b) se puede expresar en la forma

(x, y) (a, b) = [(x, 0) + (0, 1) (y,0) ] (a, b)= (x, 0) (a, b) + (0, 1) (y, 0) (a, b)= (xa, xb) + (0, 1) (ya, yb).


Y

FIGURA 1.3. Alargam iento y reflejo d e un vector

Y

FIGURA 1.4. Rotación de un vector: (0, 1)(o, b] = [-5, o)

Por lo tanto, la multiplicación compleja involucra la suma de dos alargamientos de (a, b), con el segundo de ellos rotado tt/2 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, el producto

( 1 ,2 ) (2, 3) = (2, 3) + ( 0 ,1 ) (4 ,6 )= (2, 3 ) + ( - 6 , 4)

= ( - 4 , 7)

está ilustrado en la Figura 1.5.Si identificamos el par ordenado (jc, 0) con el número real ac, notamos que

la suma y la multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y multiplicación de números reales:

(x, 0) + (a, 0) = {x + a, 0) y (x, 0) (a, 0) = (xa, 0).

11 • NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA 5

(-4. 7)

(-6 .4 ) = (0. 1)(4. 6)

(4.6)

X

0

FIGURA 1.5. Multiplicación d e com plejos

Luego entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales. Como

si representamos (x, 0) por x y denotamos (0, 1) por el símbolo i, podemos reescribir z — (x, y) en la forma

z = x + iy.

El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo.

Cuando nos referimos al número complejo z = x + iy, llamamos a x parte real de z, y la denotamos por Re z. El número y llamado parte imaginaria de z, se denota por Im z. Si x — 0, tendremos z = iy, y entonces se dice que z es imaginario puro.

(x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0),

o

Eje m p l o 1

Encuentre las partes real e imaginaria de z = 2 + 3z.

SOLUCIÓN: Tenemos Re z = 2 e Im z — 3.

* Los libros de ingeniería denotan frecuentemente la unidad imaginaria por el símbolo j.

CAPÍTULO 1 • FUNCIONES ANALÍTICAS

Si usamos la notación z = x + iy para los números complejos, las definiciones de suma y multiplicación nos permiten realizar estas operaciones con números complejos de la misma manera en que lo hacemos con los polinomios, excepto que i2 = — 1:

(1 + 2 i) + (2 + 3t") = 3 + bi,(1 + 2i) • (2 + 3t) = 2 + (41 + 3i) + 6i2 = —4 + li.

Es fácil verificar que las operaciones de suma y multiplicación de números complejos son conmutativas, asociativas y distributivas. Los números 0 y 1 son las identidades aditiva y multiplicativa para los números complejos.

Podemos restar números complejos notando que

z¡ — z 2 = z ¡ + ( ~z2 ) = z¡ + ( - 1 )z2 .Por ejemplo,

(7 + 2í) - (3 - 4Í) = (7 + 2í) + ( - 3 + 4í)= 4 + 6t.

Por tanto, —z es el inverso aditivo de z. Para comprobar que los números complejos forman un campo (véase Ejercicio 33), se debe verificar la existencia de un inverso multiplicativo para cualquier número a + bi =£ 0. Si se multiplica a + bi por su complejo conjugado a - bi, tendremos

(a + bi) (a - bi) = a 2 + (abi - abi) — b 2i 2 - a 2 + b 2 .

Consecuentemente, el inverso multiplicativo de a + bi es

, , a — bi(a + bi) =

a 2 +¿r2 'La división de números complejos se obtiene cuando se multiplica por el in

verso multiplicativo del divisor. Por ejemplo, si dividimos x + yi por a + bi ^ 0 , entonces

- (, +y) (4d j ) = / ^ wa + bi ' J ' \a2 + b 2 J \a2 + b 2 ) \a2 + b 2

De manera alternativa, podemos multiplicar el numerador y el denominador de un cociente por el complejo conjugado del divisor:

x + yi _ x + yi a — bi _ i ax + by \ f ay — bxa + bi a + bi a —bi \a2 + b 2 ) \a2 + b2 i ’’’

Eje m p l o 21 - 2 i

Exprese el cociente — - como un número complejo.

SOLUCIÓN: Si multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado, 3 — (—4 i) = 3 + 4t del denominador, tendremos

1.1 • NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ÁLGEBRA 7

1 — 21 _ (1 — 2z) (3 + 4 i) _ 3 — 6z + 4i — 8 i 2

3 - 4í (3 - 4í) (3 + 4zj 9 + 12* — 12* — 16z2

= 11 _ JL •25 25 *'

El complejo conjugado de un número complejo z se denota por el símbolo z: Dado que si z = x + iy, entonces

z + z = (x + ¿y) + (x — iy) = 2x = 2 Re z,

z — z = (x + iy) — (x — iy) = 2iy = 2i Im z,y

zz = (x + iy) (x — iy) = x 2 + y2 .

De esta forma tendremos las identidades

z + z z - zRe z = --------, Im z = ,

2 2i

y el teorema de Pitágoras nos dice que (longitud z )2 = zz.

Eje m p l o 3Encuentre la longitud del vector z = 5 + 7i.

SOLUCIÓN: Si se multiplica z por z, tendremos

(longitud z)2 = zz = (5 + 7i) (5 — l i) = 25 + 49 , por lo tanto, longitud z =-\/74.

Si z ! - x j + iy j y z 2 - x 2 + ¿y 2 , entonces

z , + z 2 = (x , + x 2) + í(y 1 + y 2) = ( ^ 1 + x 2) - 7 ( y i + y 2)

= (x, - i y i ) + (x 2 - i y 2) = * i + z 2 -

Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus conjugados:

+ Z 2 + ¿ 2 -

De manera semejante se muestra (véanse Ejercicios 27-29) que

Z\ - z 2 = Z l - z 2 ,

z~¡r2 =ZiZ2y

( z , / z 2) = z7/z¡ , z 2 # 0 .

CAPÍTULO T • FUNCIONES ANALÍTICAS

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-12, encuentre la suma, diferencia, producto y cociente de cada par de números complejos.

1. i, 2 2. i, —i3. 1 + i, i 4. 2 - i, 3 + í5. 1 + i, 1 — i 6. 2 + i, 3 — 4i7 . 5 , 2 + * 8 . 5 í , 2 + í9 . 3 - 2t, 4 + i 10. 2 + i, 2 - i

11. 4 + 5 i, 1 — i 12. 2 + i, 2i

En los Ejercicios 13-20, escriba el número dado en la forma x + iy.

13. ( l - ¿ ) 2 14 . (1 - i ) 315. (1 — 2i)2 16. i2 (1 + i )31, 2 + i 4 + i 3 + 2¿ , 5 - 2 ¿i / . 1 8 . + ---------

3 — ¿ 1 + 2 i 1 + i — 1 + i19. (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3í) 20. (1 - i) (1 - 2i) (1 - 3í)21. Pruebe que Re (iz) = —Im z.22. Verifique que Re (z) = Im(z'¿).23. Pruebe que si z ¡ z 2 ~ 0 ,entonces z¡ = 0 o z 2 = 0.24. Muestre que si Im Z > 0, entonces Im (1 ¡z) < 0.

*25. Suponga que z x + z 2 y z ¡ z2 son, ambos, números reales negativos. Pruebe que Z[ y z 2 deben ser reales.

*26. Pruebe el teorema binomial para números complejos,

(2, + z 2 )n = z n, P t f j z r 1 Z 2 + (Z)znr 2 z l + . . . + Zn2 ,

nidonde n es un entero positivo y (%) -

k ! (n — k )!{Sugerencia: Use inducción.)

En los Ejercicios 27-29, sean z¡ - x¡ + iy i y z 2 = x 2 + iy2 .

27. Muestre que z x — z 2 = z 1 — z 2 .

28. Compuebe que z ¡ z 2 = z ¡ z 2 .

29. Muestre que (z x/ z2 ) = z x¡ z2 , donde z 2 0.

En su libro Ars Magna, Girolamo Cardano incluyó un método para encontrar las raíces de la ecuación cúbica general

z* + pz2 + qz + r = 0que había sido descubierto por Niccoló Tartaglia.*30. Muestre que la sustitución w = z ■+ p ¡3 reduce la ecuación cúbica general a

una ecuación de la forma

w3 + aw + b = 0.

* Un asterisco (*) indica los ejercicios con mayor dificultad

1.2 • REPRESENTACIÓN POLAR 9

*31. Verifique que las raíces de la ecuación del Ejercicio 30 son

„ „ A + B A - B r-. A + B A ~ B rñ-U = A + B , + — V 3 --------------- — V * .

donde A = \ / — - + D, B = j / - — - D, y D = J — + — •2 2 4 27

*32. Confirme la necesidad de los números complejos incluso para encontrar las raíces reales de

w3 — 19tu + 30 = 0

por el método de Tartaglia.33. Pruebe que los números complejos satisfacen los axiomas de campo.34. Demuestre que la identidad aditiva de C es única.35. Pruebe que la identidad multiplicativa de Q es única.

1 .2 R epresentació n po lar

Hemos visto que los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo. En esta sección utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en el plano complejo.

Considere el vector no nulo z = x + iy mostrado en la Figura 1.6. La longitud del vector z se puede determinar con el teorema de Pitágoras:

r = \ A 2 + y2 .

Llamamos a esta longitud valor absoluto (módulo o magnitud) del número complejo z, y la denotamos como

lzl = v /* 2 + y 2 .

Note que Iz I > Re z, Iz I > Im z y Iz I = \z\. Además, recuerde que en la Sección 1.1 probamos que zz = x 2 + y2. Por tanto, zz = Iz I2 .

Im z

FIGURA 1.6. R epresentación po la r

La interpretación de la suma compleja como vectorial es muy útil al probar el siguiente resultado:

La d e s ig u a l d a d del t r iá n g u l o

: i z ' f +:-?2 I z j l+; l z 2 i.

PRUEBA: Recuerde que la longitud de un lado de cualquier triángulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del triángulo se deduce inmediatamente al considerar el triángulo sombreado en la Figura 1.7. La desigualdad del triángulo también puede probarse algebraicamente (véase Ejercicio 38). I

Regresando a la Figura 1.6, vemos que el ángulo que forma el vector 2 = x + iy con el eje real positivo, está dado por la expresión

y6 = arctan — x

Esta expresión, sin embargo, no será válida en el segundo o tercer cuadrante, ya que los valores de arctangente caen en el intervalo (—7r/2, 7t/2). Además, el ángulo de inclinación del vector está determinado hasta un múltiplo de 2n, ya que los ángulos

6 + 2nk, k = 0, ±1, ± 2 , . .

proporcionan todos la misma dirección en el plano complejo. El ángulo de inclinación del vector z, determinado excepto por un múltiplo de 27T, se llama argumento de z y se denota por arg z. El valor de arg z que satisface

—7T < arg z < 7r

se llama valor principal del argumento y se designa Arg z. Cuando se trabaja

Im z

FIGURA 1.7. 'D e s ig u a ld a d d e l triángu lo : lz , + 'z2 K l z , l + \ z2 1

1 2 • REPRESENTACIÓN POLAR 11

con el argumento, es conveniente acordar que la notación argz ignore los múltiplos de 27T, además de utilizar la expresión

Argz + 2TTk, k como entero fijo,

para indicar un ángulo particular.Regresando al vector original z = x + iy, z =£ 0,: note que

x = r eos 9 = I z I cos(arg z)y que

y = r s e n 0 = Iz lsen(arg z).Ahora,

z = x + iy = r (eos 6 + i sen 8)puede reescribirse como

z = Iz I [cos(argz) + i sin(argz)], z ^ 0.

Esta forma se llama representación polar del número complejo z. *

Ejem plo 1Encuentre la representación polar de 1 — i.

SOLUCIÓN: Remítase a la Figura 1.8. El valor absoluto de 1 — i es

\ l - i \ = y / l 2 + ( - l ) 2 =y/2,

mientras que el valor principal del argumento de 1 — i es

Arg(l - * ') = -

FIGURA 1.8. Representación polar d e i - i

* Los iibros de ingeniería usan a menudo las notaciones r | y r cis 6 para la representación polar de z.

Como los ángulos polares no están determinados de manera única, el argumento es

arg(l— i) = — + 2itk,4


donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de 1 - i es

La multiplicación de los números complejos z y w tiene interpretaciones geométricas interesantes cuando los escribimos en sus representaciones polares. Sean 8 = arg z y <¡) = arg w. Se tiene

z = I z l(cos 0 + z sen0) y w - I w l(cos <j) + i sen0). Entonces,

zw - \z \ I w l(cos 8 + i sen 8) (eos <¡) + i sen 0)

= Iz I \ zv l[(cos 8 eos 0 — send sen0) + i (sen8 eos 0 + eos 8 sen0)]

y, por las fórmulas de suma de ángulos de trigonometría,

zw = Iz I I a; I [cos(0 + 0) + ¿sen(0 + 0 ) ] . (1)Como

I cos(0 + 0) + z’sen(0 + 0) I = 1,

la ecuación (1) conduce a

\zw\= \z \ \w\ (2)

yarg zw = arg z + arg w. (3)

Por tanto, la longitud del vector zw es el producto de las longitudes de los vectores z y w, mientras que el ángulo polar del vector zw es la suma de los ángulos polares de los vectores z y w. Como el argumento se determina hasta un múltiplo de 27T la ecuación (3) se interpreta diciendo que, si se asignan valores par-

Im z

FIGURA 1.9. M ultip licac ión d e co m p le jos

1.2 • REPRESENTACIÓN POLAR 13

ticulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del tercer término para el cual se cumple la igualdad. La construcción geométrica del producto zw se muestra en la Figura 1.9. Para la multiplicación, el ángulo entre w y zw debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la Figura 1.9. De ello, los triángulos de 0 1 z y 0 w zw son semejantes.

La división dé números complejos conduce a la ecuación siguiente:

2 Iz I— - -j— - [cos(0 — 0) + ¿sen(0 — 0 )] . w I w I

Como I w I = I w I, obtenemos, por las fórmulas de suma de ángulos de la trigonometría,

z zw \z l(cos 0 + i sen0) I üj l(cos 0 — ¿ sen0) ,— = —_ = i----------------------— —A—----------------- , w =f U.w ww I w I

Por lo tanto,

z I z I- = 7 -T ( 4 )W \w\

yarg(z/w) = arg z — arg w, (5)

con la ecuación (5) sujeta a una interpretación similar a la de la ecuación (3). El producto

zw = Iz I I w I [cos(0 + 0) + i sen(0 + 0 ) ] ,

donde 6 = arg z y 0 - arg w, conduce a un resultado muy interesante cuandoz = w. Como 0 = 0 , tenemos

z2 = \z\2 [cos(20) + isen(20)] .

Con w = z2 obtenemos

z(z2 ) = Iz I Iz I2 [cos(0 + 20) + ¿sen(0 + 20)]

oz 3 = Iz I3 [cos(30) + i sén(30)] .

Como z = Iz I (eos 0 + i sen0), hemos demostrado que

(eos 0 + ¿sen 0 )2 = cos(20) + ¿sen(20)

y(eos 0 + i sen0)3 = cos(30) + ¿sen(30).

Mediante este proceso obtenemos el teorema de De Moivre, llamado así en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754),

z = Iz l(cos 0 + i sen0) y w = I w l(cos 0 + i sen0),

donde n es un entero positivo. El teorema de De Moivre tiene muchas aplicaciones útiles.

Eje m p lo 2Calcule (1 — z')23.

SOLUCIÓN: Si multiplicamos 1 - i por sí mismo 23 veces, obtenemos la respuesta, pero si utilizamos el teorema de De Moivre podemos encontrarla más fácilmente. Vimos en el Ejemplo 1 que

1 =V2 eos I —— + 2nk ) + i sen í + 2irk )4 J V 4

Usando el valor principal del argumento, tenemos

e o sir

(1 - z ) =^/2

Entonces, por el teorema de De Moivre,

(1 - i)23 = (v ^ )23

+ 1 sen-7T

7T\ . / —7Teos |---- + z sen ----

4 ; V 4

23

_ 2^3/2 - 2 3 tt , eos I + z sen YA

Pero como —237T/4 - 7r/4 — 6ir, y sen (zr/4) = cos(7t/4) = l¡^/2, obtenemos

( 1 — z")2 3 = 223/2 (1 + 0 2048(1 + *).

El teorema de De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w, entonces

z n =w.Para encontrar z, establezcamos que

z = \z l(cos Q + z sen0) y w = I w l(cos 0 + i sen0),

donde 6 = arg z y <j> = arg w. De tal forma que con el teorema de De Moivre, tenemos

I z \n (eos nd + i sennd) = I w l(cos (j) + i sen <p).

Así, podemos tomaríz I “ I w I1/™

y

0 = — arg w = — (Arg w + 27xk), k - 0 , ±1, ±2, . . . . (6)n n

Aunque la ecuación (6) proporciona un número infinito de valores para 6, sólo se obtienen n ángulos polares diferentes porque

1 2 • REPRESENTACIÓN POLAR 15

2ir(k + n) 2irk— — ----- - - ------- + 2 it,

n npues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por tanto, limitamos nuestra atención a lós n ángulos polares

6 = — (Arg w + 2irk), k = 0, 1, . . n — 1.n

Eje m p l o 3Encuentre las tres raíces cúbicas d e a = 1 - i

SOLUCIÓN: Sea z una raíz cúbica de 1 - i. Entonces

z 3 = 1 — i,

y, por el teorema de De Moivre,

\z\3 (eos 30 + i sen30) = y/2 eos | —- + 2nk ) + i sen ( —— + 2rck

De tal forma que

l z l = 2 1/6a —ir 2irk 6 = — + -----

12 3En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 1 — i son

k = 0, 1, 2.

- o = ^ 2

= V/2”

^ = ^ 2

eos7r\ . f —ir\— + i sen ----2 / \ 12 /12

ir \eos ( — — i sen

1 2 / V12

lir\ . ( lireos | — + i sen —

1 2 / V 1257r\ . ( 5ir

eos | — + i sen I —4 1 V 4

Las secciones cónicas proporcionan ejemplos adicionales de los conceptos vistos hasta ahora. Aunque pueden utilizarse las fórmulas usuales de la geometría analítica (con x = Re z y y = Im z), es fácil definir las secciones cónicas en términos de la distancia.

Eje m p l o 4Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos de & tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.


¿Cuál es la ecuación de la elipse que pasa a través de i y que tiene sus focos en +1?

SOLUCIÓN: Como z — z0 es el vector que va de z 0 a z, la definición de la elipse conduce a

Iz - 11+ Iz + 1 1 = c,

donde c es una constante real. Comoz = i debe satisfacer la ecuación, se tiene (véase Figura 1.10)

lm z

c = l í - 11+ \i+ l l = V 2 - Así, la elipse está dada por

Iz - 11+ \z + l\=2y/2.

Eje m p lo 5Una parábola se define como el conjunto de todos los puntos de (3 cuya distancia a un punto dado, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene i como foco y la recta Im z = —1 como directriz.

SOLUCIÓN: Por definición, obtenemos

Iz — ¿1= Im z + 1,

ya que el punto de la directriz más cercano a un punto z, es el que se localiza verticalmente abajo de él (véase Figura 1.11). Si deseamos encontrar la fórmula correspondiente en geometría analítica, elevamos al cuadrado ambos lados, para obtener

Iz I-2 + 1 + 2 Re zi = (Im z + l ) 2

12 • REPRESENTACIÓN POLAR 17

Eje m p l o 6Una hipérbola está constituida de todos los puntos z de <3 tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias de z a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con focos ± 1, que pasa por el punto 1 + t?

SOLUCIÓN: Por definición, tenemos

llz — 1 1 — \z + 1 II = c,

donde c es una constante. Como el punto z = 1 + i satisface la ecuación, encontramos que c = y/W — 1.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-9, encuentre el valor absoluto, el argumento y la representación polar de los números complejos dados.

l . í 2. —i 3. 1 + í4. —3 + 4 i 5. 4 + 3í 6. 5 — 12z7 .2 + l i 8. 2 - i 9. 5 + 2i '

En los Ejercicios 10-15, use el teorema de De Moivre para expresar cada número en la forma x + iy, donde x y y son reales.

io . (i + 0 29 11. ( - 1 + O1712. ( - 1 - O36 13. (2 + 2z)1214. (>/3 + z’) is 15. (—\/3 + z')13

Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones señaladas en los Ejercicios 16-23.

16. z2 = i 17. z2 = l + z18. z2 - 2 — i 19. - z 2 = ^ 3 + z20. z3 = 2 + i 21. z 3 = 1 +y/5t22. z4 = i 23. z4 = - 124. Encuentre la ecuación de la elipse con focos ±z que pasa por el punto 1 + i. En

geom etría analítica, ¿cuál es la fórmula correspondiente?25. Exprese la ecuación de la elipse con focos 1 e i que pasa por el origen. ¿Cuál es la

fórm ula correspondiente en geom etría analítica?26. Encuentre la parábola con foco 1 + i, y con la recta Re z + Im z = 0 como di

rectriz.27. Escriba en form a compleja la ecuación general de una hipérbola con focos ay b.28. Pruebe que Iz I< | Re z I + llmzl

*29. Demuestre que, si I z , I = I z 2 I = I z 3 I y z¡ + z 2 + z 3 = 0, entonces z , , z 2,z 3 son los vértices de un triángulo equilátero.{Sugerencia: Muestre que Izj — z 2 I2 = lz2 — z 3 I2 = lz3 — z x I2 .)

* 3 0 . Compruebe que el triángulo con vértices Z ¡ , Z 2 , Z3 es equilátero si y sólo si

z \ + z \ + z \ = Z j Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z ] .

31. Verifique que \zxn

11 x j i — ixn

< 2 \zk k=\

32. Demuestre que E z¿k=\

33. Muestre que \z1 ± z 2 I2 = Izj I2 + Iz2 I2 ± 2 Re z iz 2.34. Pruebe que Iz¡ + z 2 I2 + Izj — z 2 I2 =2( 1 Zj I2 + lz2 I2).35. Demuestre que

< 11 — az

s i l z K l y l a l < 1.36. Muestre que la desigualdad del triángulo es una igualdad para los números z ¡ y

z 2 con valor diferente de cero si y sólo si arg z i = arg z 2 .37. Muestre que si z 0 es una raíz del polinomio P(z) con coeficientes reales, entonces

z 0 es también una raíz de -P(z).38. Desarrolle Izj + Z 2 l2 para probar la desigualdad del triángulo.

{Sugerencia: z ,z 2 ^ |Z]Z2 1= I z 3 I I z 2 I.)39. Las n raíces de la ecuación zn = 1 se llaman raíces n-ésimas de la unidad.

Muestre que estas raíces están dadas por

/ 2-nk \ . ( 2nk \z¿.= eos I -------- I + i sen I I, k = 0, 1, . . ., n — 1.

1.3 • CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO 19

40. Sea z*cualquier raíz ra-ésima de la unidad y pruebe que

1 + Zk + zl + . . . + z l ~ l = 0, sizk =£1.

41. Si 1, z ¡ , z 2 , . . ., zn_ j son las raíces n-ésimas de la unidad, muestre que

(z — z x )(z — z 2) • . . . * (z — zn_ j ) = 1 + z + z2 + . . . + zn _ 1 .

*42. Encuentre todos los tiempos posibles en que las manecillas de un reloj se pudieran intercambiar para obtener una posición factible en un reloj ordinario.

*43. Minimizando la expresión :2*= j (la* I — Xlz* I)2 , donde at , . . an, Zj , . . ., zn son números complejos, para X,real arbitraria, demuestre que

S la*zA. l V < ( l la*l2) ( l \zk I2 k=i J \k= i J \k = i

*44. Pruebe la identidad de Lagrange:n2 akzk

k=\

n \ ( n2 - ( 2 la* I2 ( 2 \zk \2) - 2 I a¡zk - a kZj\i,

k=\ I \ k - l / 1

*45. Teorema de Enestrom-Kakeya. Sea P(z) un polinomio con coeficientes reales,

P(z) - anz n + an_ ,z " 1 + . . . + a i Z + ao )

que cumplen a0 > a ¡ > . . . > an ■> 0. Pruebe que todas las raíces de P(z) satisfacen :lz I > 1. (Sugerencia: Aplique la desigualdad del triángulo a (1 — z) P(z) = a0 — [(«o - a¡)z + (ü! - a2)z2 + . . . + (án_ i - a n)zn + «„^ n + 1] - )

1 .3 C o n j u n t o s en el p l a n o c o m p l e j o

Si z0 es un número complejo, entonces, una e- vecindad de z0 es el conjunto de todos los puntos z, cuya distancia a z 0 es menor que e , esto es, todos los z que satisfacen Iz — z 0 I < e (véase Figura 1.12). Gráficamente, este es el interior de un disco centrado en z0 de radio e.

Im z

FIGURA 1 . 1 2 . Uno e - v e c in d a d d e z 0

Sea S un conjunto de puntos del plano complejo 6 . Se dice que z 0 es un punto interior de S si alguna e-vecindad de z 0 está completamente contenida en S; el conjunto de todos los puntos interiores de S se llama interior de S y se denota por Int S. El complemento de S es el conjunto G — S de todos los puntos que no están en S. El conjunto Int ( 6 — S) se denomina exterior de S. Un punto z 0 es un punto frontera de S si toda e- vecindad de zQ contiene puntos que están en S y puntos que no lo están. Note que los puntos frontera de S no están en el interior ni en el exterior de S. El conjunto de todos los puntos frontera de S se llama frontera de S (véase Figura 1.13).

Im z

FIGURA 1 .1 3 . Interior, exterior y frontera de un conjunto

Un punto zQ es llamado un punto de acumulación de un conjunto S, si cada vecindad de z 0 contiene al menos un punto de S distinto de zQ.

Eje m p loSea S0 el conjunto de todos los puntos z tales que \z I < 1. Encuentre el interior, la frontera y el exterior del conjunto S0 .

Im z

FIGURA 1 .1 4 . Interior, fron te ra y exterior de l co n ju n te lz l < l

1.3 • CONJUNTOS EN EL-PLANO COMPLEJO 21

SOLUCIÓN: Sea ¿o un punto cualquiera de S0 . Note que el disco Iz — z 0 I < e está situado completamente dentro de S0 siempre que e < 1 — lz0 I. Así, todo punto de S 0 es un punto interior. Igualmente, todo punto z 0 que satisfaga lz0 ^ 1 será exterior a S 0. Si lz0 I = 1, entonces toda e- vecindad de z 0 contendrá puntos que están en S 0 y puntos que no lo están. Por tanto, la frontera de S 0 consiste en todos los puntos sobre el círculo I z I = 1: el interior es el conjunto I z I < 1, y el exterior es el conjunto de todos los puntos que satisfacen Iz I > 1 (véase Figura 1.14).

Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores; esto es, S = Int S cuando S es abierto. Así, el conjunto S q del ejemplo anterior es abierto. Al complemento de un conjunto abierto se le llama cerrado. Por ejemplo, el conjunto T de todos los puntos z, tales que i z I ^ 1 es cerrado. De igual manera, el conjunto Iz K 1 es cerrado.

Se dice que un conjunto S es acotado en caso de que exista un número real positivo R tal que todo z en S satisfaga I z I < R . Si esta condición no se cumple, decimos que S es no acotado. Por ejemplo, el conjunto S0 en el ejemplo anterior es acotado, pero r = { z : l z l > l } es no acotado.

Un conjunto S es conexo si no puede ser representado como la unión de dos conjuntos A y B ajenos y no vacíos tales que ninguno de ellos contenga un punto frontera del otro. Intuitivamente, lo que se señala es que S está integrado por una sola pieza. Por ejemplo, S 0 es conexo, pero el conjunto de todos los z, para los cuales I z — 2 I < 1 o lz + 2 l < l e s n o conexo, puesto que podemos formar el conjunto A de todos los z tales que I z — 2 I < 1, y el conjunto B de todos losz para los cuales Iz + 2 l < 1 (véase Figura 1.15). Entonces x4 y B son conjuntos abiertos, ajenos, y ninguno de ellos puede contener un punto frontera del otro (¿por qué?).

FIGURA 1.15. A U B es no conexo

Una región* es un conjunto conexo abierto. Intuitivamente, es claro que cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de un polígono contenido en esa región, pero este hecho requiere verificación. La prueba es

*Muchos libros llaman dominio a un conjunto conexo abierto. Evitaremos tal uso para evitar una posible confusión cuando se describa el dominio de definición de una función compleja.

ligeramente complicada, pero debe estudiarse porque la técnica empleada será usada posteriormente.

Te o r e m aCualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de un polígono contenido en la región.

PRUEBA:t Llamemos S a la región, y supongamos que z 0 está dentro de S. Denotemos por todos aquellos puntos de S que pueden unirse a z 0 por medio de un polígono y denotemos por S2 aquellos puntos que no pueden unirse. Si z¡ está en Si y por tanto en S, es un punto interior de S. Así, existe una e- vecindad de Zi contenida en S: Iz — z¡ I < e. Todos estos puntos están en S i , ya que cada uno puede unirse a z 1 por medio de una recta que pertenece a S, y por ende puede unirse a z 0 por medio de un polígono contenido en S. Entonces, todo punto de Sj es punto interior de S j , así que S ¡ es abierto. Si z 2 está en S2 , sea I z — z 2 I < e una vecindad contenida en S. Ningún punto de esta vecindad puede estar en S ] , porque si así fuera z 2 estaría en S x. Por lo cual todo punto de S2 es punto interior de S2 , entonces S2 es abierto. Ningún conjunto puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos. Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vacío. Pero z 0 está en S j , así que S2 es vacío. Cualesquiera dos puntos pueden unirse a z 0 por medio de una trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, pueden unirse entre sí por una trayectoria poligonal que pasa por z 0 . Ahora, la prueba ha quedado completa. B

t Una daga ( f ) indica pruebas más difíciles u opcionales.

1.3 • CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO 23

Más aún, es posible pedir que todas las líneas del polígono sean paralelas a los ejes coordenados. La prueba con este requisito adicional será idéntica, ya que siempre podemos unir el centro de un disco abierto a uno de sus puntos por, a lo más, dos segmentos de recta paralelos a los ejes. (Véase Figura 1.16.)

Una región es simplemente conexa si su complemento es conexo. Esto significa que esta región no tiene “hoyos”. Por ejemplo, el conjunto S 0 del ejemplo anterior es simplemente conexo, pero el conjunto de todos los z que satisfacen 0 < I z I < 1 no lo es, ya que el origen constituye un “hoyo” de este conjunto.

En muchas ocasiones es conveniente extender el sistema C de los números complejos con la inclusión de un punto al infinito denotado con el símbolo Este nuevo conjunto se llama plano complejo extendido 311 y el punto °° satisface las siguientes reglas algebraicas:

aa + oo = oo + a = oo) _ = 0 a #OO

h • °o = ao • b = oo ' ■ — = oo b ^ O .0

Como modelo geométrico para 3R usamos lá esfera unitaria en el espacio tridimensional x\ + x\ + x| = 1. Asociamos cada punto z del plano al punto z en la esfera, donde el rayo que se origina en el polo norte N pasa a través de z e intersecta la esfera. Así, N corresponde a °° (véase Figura 1.17) y las e-vecindades de N sobre la esfera unitaria corresponden a vecindades del punto al infinito. Este modelo se llama esfera de Riemann, y la correspondencia entre los puntos se denomina proyección estereográfica. Todas las líneas rectas en Q corresponden a círculos que pasan a través de °° en 311* Probaremos esta afirmación en el Capítulo 5.

FIGURA 1 .1 7 . La esfera de Riemann

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-10, clasifique los conjuntos de acuerdo a los términos abierto,cerrado, acotado, conexo y simplemente conexo.

1. Iz + 3 l < 2 2. I Re z I < 13. I Im z I > 1 4. 0 < Iz - l l < 1

* Otras notaciones comunes para í)TC son 5, <3,U { ° ° f .

5. Iz K Re z + 2 6. Iz - 1 1 - Iz + 1 l > 27. I z + l l + \z + i \ > 28. Iz — 1 1 < Im z 9 .2 v / 2"< lz-ll + Iz + 1 1 < 3

10. 11z — í I — Iz + z II< 1 .11. ¿Cuáles son las fronteras de los conjuntos señalados en los Ejercicios 1-10?

En los Ejercicios 12-15, pruebe las propiedades indicadas de los conjuntos abiertos y cerrados.

12. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.13. La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.14. La intersección dé cualquier colección de conjuntos cerrados es cerrada.15. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es abierta.16. Pruebe que, si cualesquiera dos puntos de un conjunto abierto pueden unirse

mediante un polígono contenido en el conjunto, entonces éste es una región.17. La cerradura de un conjunto S es la intersección de todos los conjuntos cerrados

que contienen a S. Pruebe que la cerradura de un conjunto conexo es conexa.18. Pruebe que S es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.19. ¿Cuál es el punto de acumulación del conjunto que consiste en todos los puntos

z = 1/n., siendo n un entero positivo? (Este ejercicio muestra que un punto de acumulación no necesariamente pertenece al conjunto.)

20. Sea S el conjunto de todos los z que satisfacen I z l ^ l oz = Oy muestre que z = 0 no es un punto de acumulación de S.

21. ¿Cuál es el punto de acumulación del conjunto de todos los puntos :z = — m, siendo n un entero positivo, en el plano extendido 371? ¿Este conjunto tiene un punto de acumulación en (3?

22. Muestre que cualquier punto de una región es un punto de acumulación de dicha región.

1 . 4 Funcio nes c o n tin ua s de un a variable_____________Una función compleja de una variable compleja es una regla que asigna un número complejo w a cada número complejo z de un conjunto S. Si escribimos w — f(z ), w es el valor de la función en el punto z que está en el dominio de definición S. Al escribir w = f(z ) en términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria z = x + iy y w = u + iv de cada variable compleja,

w = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),

notamos que una función compleja de una variable compleja consiste en un par de funciones reales de dos variables reales.

Eje m p l o 1Exprese w = z 2 como un par de funciones reales de dos variables reales.

SOLUCIÓN: Con z = x + iy obtenemos

\A • FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE 25

w - z 2 = (x + iy)2 = (x2 — y2 ) + i(2xy). Así, u ( x , y ) = x 2 — y2 y v(x, y) = 2xy.

Las funciones reales de una variable real y — f(x ) pueden describirse geométricamente por medio de una gráfica en el plano xy. No es posible una representación tan cómoda para w — f(z), ya que ésta requeriría cuatro dimensiones, dos para cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y w, e indicando la correspondencia existente entre puntos, o conjuntos de puntos, en los dos planos (véase Figura 1.18). Se dice que la funciónf es un mapeo del conjunto S contenido en el plano z en el plano w. Una función

/ q u e mapea un conjunto S en un conjunto S ' , f : S S' , se llama uno a uno sif ( z i ) = f ( z 2 ) sólo para z , = z 2 ; se le llama sobre si S ' = f ( S ) , donde f(S ) es el conjunto de todos los valores tomados por/ en el conjunto S.* Llamamos a f(S ) el conjunto imagen de S bajo el mapeo / .

Im z Im w

F igura 1 .18. un m apeo ™=f(z)

Eje m p l o 2Analice la función w = 2>z .

SOLUCIÓN: Con z - x + iy, obtenemos

w - u + iv = 3x + i(3y).

Así, u = 3x, v - 3y , y todo vector no nulo del plano z se alarga en un vector que tiene el mismo argumento, pero tres veces su longitud, en el plano w. Como cualquier punto a + ib del plano w es la imagen del punto (a/3) + i(b¡3) en el plano z, la función w = 3z es sobre. Además, la función es también uno a uno, ya que 3z x = 3z2 sólo cuando z x = z 2 .

* A las funciones uno a uno se les llama frecuentemente inyecciones y a las funciones sobre se les denomina suryecciones. Una función que es tanto inyección como suryección se llama biyección.

Eje m p lo 3Describa el conjunto imagen de la función w = z2 definida en el disco Iz l< 2, y establezca si este mapeo es uno a uno.

SOLUCIÓN: Si escribimos cada punto del disco en su representación polar

z •= r(cos 6 + i sen 6),donde 0 < r = l z l < 2 y 0 < 6 < 27T, obtenemos

w = z2 = r2 (eos 26 + i sen 20).

Por tanto, cada argumento se duplica, indicando que el disco Iz I < 2 se mapea sobre I w I < 4 y cada punto de 0 < I w I < 4 es imagen de dos puntos de 0 < l z l < 2. Por ejemplo, z - ±i ambos se mapean en w =—1. Por tanto, el mapeo no es uno a uno. (Véase Figura 1.19.)

Im w

F IG Ü R A 1 .1 9 . El m apeo w = z 2

Eje m p lo 4Determine si la función

z - 1w = -------

2 - 2

es uno a uno, y establezca dónde puede definirse la función.

SOLUCIÓN: Suponga que z t y z 2 producen el mismo valor de w:

zi 1 _ z 2 — 1 Zi - 2 z 2 — 2

Si efectuamos los productos cruzados, tenemosz ! z 2 — 2z, — z 2 + 2 = z , z 2 — z, — 2 z 2 + 2.

1.4 • FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE 27

Cancelemos términos similares y unamos todos los que contienen z t en un lado y z 2 en el otro, para obtener z L = z 2, lo cual implica que la función es uno a uno.

La respuesta a la segunda pregunta depende de qué valores de w vamos a permitir. Si restringimos w al plano complejo 6 , entonces la función no está definida en z = 2, ya que el denominador se anula. No obstante, si permitimos que w tome todos los valores en el plano extendido 311, entonces la función se puede definir en 311, con z = 2 mapeado en w - °°. La imagen del punto en se obtiene al evaluar

11 -----

z — 1 ztu = --------- = ------------

z - 2 1 _ 2z

cuando z tiende hacia °°. Así, z = “ se mapea en zv = 1 (véase Ejercicio 26).

Suponga que / está definida en una región G, y a es un punto de G. Entonces, el límite y la continuidad se definen de la misma manera que en el caso de variable real.

D e f in ic ió nSe dice que la función/(z) tiene límite A cuando z tiende hacia a ,

lím / ( z ) = A,z^a

si para todo e > 0 existe un número 8 > 0 tal que

I f ( z ) - A \ < e

siempre que 0 < Iz — a I < 8. Además, la función/(z) es continua en a si y sólo si

lím / ( z ) = / (a)z -a-a

(véase Figura 1.20). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos donde está definida.

Geométricamente, la definición de límite establece que cualquier e-vecindad de A contiene todos los valores que f toma en alguna 5 -vecindad de a, excepto posiblemente el valor f(a ). El siguiente ejemplo ilustrará el procedimiento usual para determinar 5 con un e > 0. dado.

Eje m p lo 5Pruebe que lím

12 .

3 Z — 2

SOLUCIÓN: Con la expresión l / (z) — A I, simplificada, obtenemos

23 — z

z - 2 z - 2

pues suponemos que 0 1

de tal forma que

3 - z \ > 1 - 5 > |

1- 2 < 2 5.

Así, dado cualquier número pequeño e > 0, si elegimos 5 < mín (y, "2 e), obtenemos

z - 1- 2 < e.

Al igual que la definición de límite de una función compleja de una variable compleja es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores absolutos se comportan como en el caso real, -se aplican exactamente las mismas reglas de los límites. La verificación de las propiedades siguientes son análogos exactos de las pruebas usuales del cálculo elemental.

REGLAS DE LÍMITESSean lím f ( z ) - A y lím g{z) = B.

z -*aEntonces

(i) lím [f(z) ±g(z)] = A ± B , z-+a \ :

(ii) lím f {z)g(z) = A B ,z-*a

(iii) lím = - - » para B -A 0.g(z) B

¿2w¡j2ü¿ ia¿S¿ilü53ílü£üííiÍJüy¡fiSü3üjlSiíi£i¿iSyL5ÍES5iütl

PRUEBA: Dado e > 0, existen un número 5 ! S> 0 tal que I f(z) — A I e, si Iz - a I < 5 1 , y un número 5 2 > 0 tal que Ig(z) — B I < e, siempre que Iz — al < 5 2 • Sea ¡z — al < 5, donde 5 = mín ( 5 1; 5 2). Entonces, por la desigualdad del triángulo,

>[/(*) + g ( z )] — (A + B)\= l[ /(z) - A \ + [g(z) - B ] I< l/(z) — A I + Ig(z) — B\ < e + e - 2e

y! [ / ( * ) - * ( * ) ] - { A - B ) \ = \ [ f ( z ) - A ] + [ B - g ( z ) } \

< l / ( z ) - A ) \ + \B — g{z) \ < e + e = 2e

Como e > 0 es arbitrario, se muestra que f ( z ) - g(z) puede estar arbitrariamente cercano a A ± B eligiendo a z suficientemente cercano a a. Por tanto, la regla (i) se cumple. Además

I f (z)g(z) - A B I = I f (z)g(z) - f ( z ) B + f ( z ) B - AB I

= I + B [ f ( z ) - A ] I

< \g[ ? ) ~B\ + 151 \fiz) ~ A¡

/ ( * ) A 1 + 1

g(z ) B g(z) B B B

_ / ( z ) [B - g { z ) ] + f ( z ) - A

Bg(z ) B

' /(*)! i . l /(z) — A ii b - m i * M ± —

si 0 < e < \ \B\, tenemos

de tal forma que

Por tanto,

y

B I I g(z)\ s

1*1 = \ B - g ( z ) + g ( z ) \ < e + \g(z)\,

\ g ( z ) \ > \ B \ - e > \ \B\

l / ( z )l= \f(z) - A + A \ < \ A \ + e.

\f(z)g(z) - A B \ < e ( \ A \ + I 5 l +e )

g( z ) b<

B\

\A | + e

\\B\+ 1

así que podemos hacer f{z)g(z) y/ (z) arbitrariamente cercanos a AB y A/ B, respectivamente, con z suficientemente cercano a a. Esto comprueba las reglas(ü) y (iü) - ■

Las reglas de los límites pueden usarse para probar que toda función poli- nomial en z

f { z ) = a nzn + an_ xzn — 1

30 CAPÍTULO 1 ■ • FUNCIONES ANALÍTICAS

es continua en 6 . Note que la función identidad

m = ?es claramente continua en cualquier punto si 8 = e . Al aplicar la segunda regla de los límites repetidamente, vemos que f ( z ) = z n es continua para todo entero positivo n . Toda función constantef ( z ) = c es trivialmente continua, ya que todas las e- vecindades de cualquier punto se mapean dentro de cualquier 5 -vecindad de c. Nuevamente, aplicando la segunda regla de los límites, vemos que f ( z ) = an zn es continua. Finalmente, cuando usamos la primera regla de los límites repetidamente, vemos que todos los polinomios son continuos. Ciertamente, con la tercera regla de límites encontramos que todos los cocientes de polinomios

an z n + . . . + a l z + a 0

b m z m + . . , + b { z + b 0

son continuos en aquellos puntos en que el denominador no se anula. Mediante las reglas de los límites, se muestra que la suma f ( z ) + g(z) y el producto

f (z )g (z ) de dos funciones continuas son continuas, y que el cocientef ( z ) / g ( z ) se define y es continuo en todos los puntos donde g(z) no se anula.

Eje m p lo 6Determine si la función

í z2 - 1m =■ ---------- , zi= i

z - 1

3, z = 1

es continua.

SOLUCIÓN: Claramente, f e s continua en el conjunto z i111 1, ya que eldenominador es diferente de cero. Así, el único punto donde todavía necesitamos verificar la continuidad es z = 1. Sin embargo,

z2 - 1lím --------- = 2Z-» 1 Z — 1

porque z2 — 1---------- = z + 1,

2 - 1si z ^ l .Pero, por definición, / ( 1 ) = 3 ^ 2. Por tanto, /no es continua.

Ej e r c ic io sUse la definición e - 8 de límite para verificar los Ejercicios 1-10.

1 . lím 2 z = 2 2 . lím iz = — 1Z-+1 z~*i

3. lím z + i = 0 4. lím z2 + 1 = 0z—* — i z-+i

5. lím 2z — 3 = — 1 + 2i 6. lím z 2 = 2iz-> 1 +i Z-* 1 +i

z2 — 4 z2 + 17. lím --------- = 4 8. lím r = —2i

z-* 2 z — 2 z->—í z + zz 3 — 1 z 2 — 3z + 2

9. lím = 3 10. lím ------------------ = 1i z — 1 2 z — 2

Pruebe que las funciones en los Ejercicios 11-14 son continuas en G :

11. tu = Re z 12. w = lm z13. w = z 14. w = Iz I

Suponga que/(z) es una función continua en un dominio G. Pruebe que las funciones de los Ejercicios 15-18 son continuas en G.

15. R e / ( z ) 16. I m / ( z )17. l /(z)l 18. f ( z )19. ¿En qué puntos la función

z 3 — 1/ ( * ) H - i — rz ¿ — 1

3

2

z i = ± 1

z = ±1

es continua?

Demuestre que las funciones en los Ejercicios 20-23 son continuas para z ¥= 0. ¿Puede definirse la función como para hacerla continua en z = 0?

2 0 . / + ) = i ^ i - z 2 1 . / ( z ) = i i Ü

22 . / ( z) = ( 2 £ í ) S h ) 23 , / ( z ) = ( 5 5 4 0 0 ^ 4 !I z r I z r

24. Verifique que toda función de la forma

w = - — - . a¥= bz - b

es un mapeo uno a uno del plano extendido 3TI sobre sí mismo.25. Compruebe que toda función de la forma

ÜZ + b J-l-Uw - ----- > fldí becz + d

es un mapeo uno a uno de 3TZ sobre sí mismo.26. La función f(z) tiene límite A cuando z tiende hacia co;

lím f ( z ) = A,Z-+ oo

si para todo e !> 0 existe un número 5 !> 0 tal quel/(z) — z4 I < e siempre que l z l > 5 .

32 CAPÍTULO "1 • FUNCIONES ANALÍTICAS

Use esta definición para probar que

z-*°° z — 227. Suponga que los coeficientes del polinomio

P(z) = anzn + . . . + a xz + a0satisfacen I a0 I ^ I a t I + Ia2 ¡ + ■ • • + I I. Pruebe que P(z) no tiene raíces en el disco unitario I z I < 1. (Sugerencia: Note que

La derivada de una función compleja de una variable compleja se define, exactamente, de la misma manera que el caso real del cálculo elemental.

cuando el límite existe. Se dice que la función f es analítica (u holomorfa) en la región G si tiene derivada en cada punto de G, y se dice que/ es entera si es analítica en todo G.

Observe que, en la definición anterior, h es un número complejo, como también lo es el cociente [ f (a + h) —f { a ) ] / h . Así, para que exista la derivada, es necesario que ese cociente tienda a un número complejo único : f' (a) independiente de la manera en que h tienda hacia cero.

LEMA: Si f tiene dem ada en a. entontes / es continua en a

Manipulaciones de la definición de derivada llevan a las reglas usuales de derivación:

\P{z) l> la0 I — [ I a t I \z 1+ . . . + \an \ \z\n \.)

1 .5 C ondic iones necesarias para laANALITICIDAD

i f ± g ) ' = f ' ± g ' ,

ifg)' = fg + gf>

1 5 • CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANAUTICIDAD 33

/y g f ' - f g ,n a------ ’ ■§r ^ ° >^ / r

(/U(-Z) ) ) ' = / V ( - Z))sr'(-Z)> Regla de la cadena.

Las pruebas son idénticas a las de cualquier libro de texto de cálculo elemental. Por ejemplo,

{ m . } = 1Im n a * h ) g ( a + h ) - f ( a ) e (a) h~* o h

= lím f ( a + h)g (a + /t) - / ( a + ft)g(q) + / ( a + ft)g(a) - f(a)g(a)h-+ o h

= límh-* 0

/ ( a + h) ■ + * ) - » ( “) + í W • + A)/i /i

= / ( « ) £ ' ( « ) + g ( a ) / ' ( a ) .

Los polinomios y las funciones racionales se derivan de la misma manera que en cálculo elemental. Por ejemplo, sea f ( z ) = zn con n un entero positivo. Si usamos el teorema del binomio, tendremos

/ ' ( * ) = lím /.< f + * > - / ( * > = lím <1l ± l - *" h~* 0 h h-*- 0 h

v (zn + n z n~ 1h + . . . + hn ) - z n n ,= lím >-----------------------------------L--------= nzn~ 1.

h-* o h

En particular, todo polinomio

P(z) = a0 + a xz + a 2z2 + . . . + anzn

es entero, porque en cada punto z de C tiene derivada

P'(z) = ax + 2a2z + • • • + nanzn~ l .

No obstante estas similitudes, hay una diferencia fundamental entre la derivación para funciones de variables reales y la derivación para funciones de una variable compleja. Sea z = (x, y), suponga que h es real y entonces

\ i- f i x + y) — f ( x> y) d f f w - i,m 1 1 — -w n . w . ( z ) . A (, ).

Pero entonces si h = ik es puramente imaginario, entonces

m - lím * * ? _ + * > - / < « > >k—>o ir. i ay

Así, la existencia de una derivada compleja obliga a la función a satisfacer la ecuación diferencial parcial

fx = -ify .

34 CAPÍTULO -1 • FUNCIONES ANALÍTICAS

Si f ( z ) = u ( z ) + iv(z), donde u y v son funciones reales de una variable compleja, y si igualamos las partes reales y las imaginarias de

^X W x f x i f y Vy lU y ,

obtenemos las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann

^X ~~ Vy , Vx ~ U y .

Hemos probado el teorema siguiente:

TEOREMA:Si la función / (z) = u(z) + iv {z) tiene derivada en el punto z, las primeras derivadas parciales de u y v, con respecto a x y y, existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Eje m p l oSea f(z) = z2 = (x 2 — y2 ) + 2xyi. Como f es entera, u = x 2 — y2 y v = 2xy deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Observe que

ux = 2x = vy y — uy = 2y = vx .

Por otra parte, si :/(z) = Iz i2 = x 2 + y2 , entonces u = x 2 + y2, v = Oy ux = 2x, uy = 2y, vx = 0 = vy , así que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann sólo en 0. Aún más, /tiene derivada cuando z — 0 porque

I h I2/ ' ( 0 ) = lím -------- = lím h = T).

¿->0 h h-+ 0

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-4, pruebe que cada función satisface las ecuaciones de Cauchy- Riem ann.

1 . f ( z ) - ex (eo s y + i sen y)2. / ( z ) = eos x cosh y — i sen x senh y3. / ( z ) = sen x cosh y + i eos x senh y4. / ( z ) = ex ~y (eos 2xy + i sen 2xy)

Mediante las reglas para derivar, encuentre las derivadas (complejas) de las funciones señaladas en los Ejercicios 5-8.

z25. f ( z ) = 18z3 ---------+ 4z + 8 6. f ( z ) = (2z3 + l ) s

1.6 • CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD 35

7 - / ( z ) = —-----~ ’ z ¥= 1 8. f ( z ) = z 3(z2 + 1) 2, z j = ± iz — 1

Sean f y g funciones analíticas definidas en la región G. Pruebe las reglas para derivar dadas en los Ejercicios 9 y 10.

9 - ( f ± g)' = f , ± g'

( f \ ' § f ~' fg'10. J = ------ 2'— > con g(z) f= 0 para cualquier z en G

11. Muestre que el cociente P(z)¡Q (z) de dos polinomios tiene derivada en todo punto z donde Q(z) Q.

Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pruebe que las funciones de los Ejercicios 12-15 no son derivables en todo C .12 . f { z ) = z 13. f ( z ) = Re z14. f (z) = Im 2 15. f (z) — I 1

Use las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la definición de derivada para determinar dónde tienen derivada las funciones de los Ejercicios 16-19.

16 . f ( z ) = z 2 17. f ( z ) = (Re z)21 8 . / ( z ) = z Rez 19. f (z) - z Im z20. Pruebe la regla de la cadena para la derivada [/(g(-z))] ' = f ' {g(z))g\z), su

poniendo que f y g son enteras.21. Utilice la regla de la cadena para probar que una función entera de una función

entera es entera.*22. Si todos los ceros de un polinomio P(z) tienen partes reales negativas, pruebe que

lo mismo se cumple para todos los ceros de P'(z)? (Sugerencia: Factorice P(z) y considere P'(z)/P(z).)

23. Si u y v se expresan en términos de las coordenadas polares (r, 6), muestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en la forma

9m 1 9u 1 9 u dv -> ---------------- = - — > r 0.9r r 90 r 90 9r

24. Pruebe que la función

f ( z ) = r5 (eos 50 + i sen 50) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar para todo z=f 0.

1 .6 C o n d ic io n e s suficientes para la a n a litic id a d

En este punto, uno se podría preguntar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para garantizar la existencia de la derivada en un punto dado. El ejemplo siguiente, de D. Menchoff, muestra que no es así. Sea

Entonces,4

* * o .Z \ l Z

que tiene valor 1 sobre el eje real y valor -1 sobre la línea y = x. Así , /no tiene derivada en z — 0; pero si se desarrolla la expresión para / se tiene

u ( x , 0 ) = x , u ( 0 , y) = 0 = i / (x , 0 ) , r/(0, y ) = y .

Por lo que,

ux ( 0, 0) = 1 = Vy (0, 0), - u y (0, 0) = 0 = vx (0, 0),

y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Sin embargo, tenemos el siguiente teorema:

L

Te o r e m aSea f ( z ) = u(x, y) + iv(x, y), definida en alguna región G que contiene al punto z0 , y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x y y, que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z 0 . Entonces f ' { z 0) existe

PRUEBA:t Si :x # x 0 y y =£ y 0 , el cociente de diferencias se puede escribir

f ( z) - f ( zo) = u (x> y) - u j x p , y 0) + . v(x , y) - v { x 0, yo)z — z 0 X — x 0 z - z0

y - y oz - z 0 X — x 0 z — z0

y - y o z - z „

z - z f z - z cu(x, y) - u ( x 0, y) v(x, y) - v{x0, y)

X — Xf X — Xc

~u ( x o, y) - u ( x 0, y 0) + t>(x0, y) - t;(x0, y 0)

y - y o y - y o

Ux (x0 + ti (x - x 0) , y) +ivx (x0 + t2 {x - x 0 ),y)

% (*o.yo + *3( y - y o ) ) + ivy (x0, y 0 + M y - y o ) ) f >

donde 0 < í ¿ < 1, k - 1 , 2 , 3, 4, según el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Este resultado también se cumple si x = x 0 o y - yo- Como las parciales son continuas en z 0 , podemos escribir

f (z) - f ( z o) _ * - * oz - z n Z — Z 0

y - y oz — Zn

[«* (*o) + *M *o) + (m ]

[uy (Z0 ) +ÍVy (-Z0 ) + e 2 ] ,

1.6 • CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITODAD 37

donde , e2 -*■ 0 cuando z - > z 0 . Aplicando las ecuaciones de Cauchy- Riemann al último término, podemos combinar los términos para obtener

m (z0) + ¡V , (z„) + ( * - * . ) « . -|- ( y - y o ) e J _2 - Z o z - z o

Como I x — x 0 \, I y — y 0 l < \ z — z 0 \, la desigualdad del triángulo conduce a

(» - « . ) € , t ( y - y o) e, < | e i | + | e ¡ K O i cu an d o2^ , o. Z - Z o

Por tanto, el último término tiende a cero cuando z tiende a z Q así que al tomar el límite, tenemos

f ' ( z o) = lím = u x (z0 ) + ivx (z0 )z-*zo z — z 0

En particular, si las hipótesis del teorema se cumplen en todos los puntos de la región G, entonces f es analítica en G. I

Eje m p l o 1Muestre que la función

f ( z ) = ex*~y2 (eos 2xy + i sen2xy)

es entera.

SOLUCIÓN: Debemos verificar que las primeras parciales de

u - e x2~y2 eos 2a;y y v - e xl~ yl sen2a;y

son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de &. Claramente,

ux = 2ex ~y (x eos 2xy — y sen 2a;y) = vy

y2 2

—uy = 2ex ~y (y eos 2a;y + a; sen 2a;y) = vx

son funciones continuas en 6 así que/(z) es entera.

Eje m p l o 2Describa la región de analiticidad de la función

(x - 1) — «y (x — l ) 2 + y2


SOLUCIÓN: Las primeras parciales, de u = Re / y ® = Im / satisfacen

_ y2 — {x — l ) 2 _ux ---------- = Vv

[(a - l ) 2 + y 2 ] 2 y

y—2y (jc — 1)

uv = ----------- i-------- -— = — vx .[(* - 1) + y 2 ] 2

Estas funciones son continuas para todo z ¥= 1. Note que f(z ) no está definida en z = 1. Por tanto, f(z ) es analítica para todo z ¥= 1.

En el caso de variable real del cálculo elemental, sabemos que cuando la derivada de una función es Cero en algún intervalo, la función es constante en ese intervalo. Para variables complejas se obtiene un resultado semejante.

Te o r e m a de la d e r iv a d a n u laSea/ analítica en una región G y f ' (z) = Oen todo z de G. Entonces/ es constante en G. Se tiene la misma conclusión si Re f , Im /*. l/l o arg f es constante en G.

PRUEBA: Como f ' (z) - ux (z) + ivx (z), si la derivada se anula implica que ux = vy, vx = —uy son todas cero. Así, u y v son constantes a lo largo de cualquier recta paralela a los ejes coordenados y como G es conexo mediante un polígono (véase el teorema y las observaciones después de su prueba en la Sección 1.3), / = u + iv es constante en G.

Si u (o v) es constante vx = —uy = 0 = ux = vy , lo cual implica que/ '(z ) = ux (z) + ivx (z) = 0 y / es constante.

Si l/l es constante, también 1/ |2 = u2 + v2 ,1o es; esto implica que

UUX + VVX = O, UUy + W y — vux — uvx = 0.

Resolviendo estas dos ecuaciones para ux , vx , tenemos ux = vx = 0 a menosque el determinante u2 + v2 se anule. Como l/l2 = u2 + v2 es constante, siu2 + v2 = 0 en un punto, entonces es constantemente cero, y / s e anula idénticamente. De otra manera, las derivadas se anulan y/ es constante.

Si a r g / = c , / ( G ) estará contenida en la recta

v = (tan c) ‘ u,

a menos que u = 0, en cuyo caso terminamos. Pero (1 - z tan c ) f es analítica y

Im(l — i tan c) / = v — (tan c)u = 0,

lo que implica que (1 - i tan c) f es constante. A sí , / l o es también. I

1.6 • CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD 39

Ej e r c ic io sPruebe que las funciones en los Ejercicios 1-5 son enteras.

1. f(z) = ex (eos y + i sen y)2. f (z) = eos x cosh y — i sen je senh y3. f(z) - sen x cosh y + i eos x senh y4. f\z) = (x3 — 3xy2 ) + i { i x 2y — y 3 )5. f(z) = sen(x2 — y2 )cosh(2xy) + i cos(x2 — y2 )senh(2xy)

En los Ejercicios 6-8, diga si las funciones son analíticas.

6 - f ( z ) = , - X , Jx 2 + y 2 x 2 + y 2

? • f (z ) = sen / —------ - ) coshx 2 + y2J \ x2 + y2

i eos ( ~ ) senhx 2 + y2) \ x 2 + y2

8. f ( z ) = \ log(x2 + y 2 ) + i are tan

9. Muestre que, en z = 0, la función

y_X

z 3

Iz l2z ^ O ,

0 z = 0.

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivada en ese punto.10. Muestre que la función

r , z o,/(*H[ o , z = 0,

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0, pero no tiene derivada en ese punto.

11. Si f(z) = u + i v y f = u — iv son analíticas, pruebe qu e/ es constante.12. Sea f(z) = u + zuentera, y suponga que u • v es constante. Pruebe que f es cons

tante.13.51 f (z) — u + iv es entera y v = u2, muestre que f es constante.14.51 / = u + ives entera y u 2 — v2 pruebe que f es constante.15.Suponga que la función analítica f definida en la región G, toma valores reales.

Pruebe que/es constante en G.16.Sean f(z) = z 3, z ¡ = 1, z 2 = i. Pruebe que no existe un punto z 0 sobre el

segmento de recta que une a z x y z2 tal que

f ( Z2 ) - f { z l ) = f \ z 0) ( z 2 - Z l ).

Esto demuestra que el teorema del valor medio para funciones reales no se extiende a las funciones complejas.

17.51 z - x + iy, muestre que no existe una función entera cuya derivada sea la función f (z) = x

1 .7 Ex p o n e n c ia l c o m p l e j a

Hemos visto en la Sección 1.4 que los polinomios y las funciones racionales en una variable real producen funciones analíticas cuando la variable real se reemplaza por z. Esto de ninguna manera es un ejemplo aislado. De hecho, todas las funciones elementales del cálculo, tales como exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, dan lugar a funciones analíticas cuando se extienden apropiadamente al plano complejo. En las siguientes tres secciones, definiremos las extensiones de estas funciones elementales e indicaremos algunas de sus propiedades.

Empecemos con la exponencial ex . Deseamos definir una función /(z ) = e? que sea analítica y que coincida con la función exponencial real cuando z sea real. Recordando que la exponencial real se determina por la ecuación diferencial

/ ' ( * ) = / ( * ) , / ( O ) = 1 ,

nos preguntamos si existe una solución analítica de la ecuación/ ( o ) = i .

Si tal solución existe, necesariamente deberá coincidir con ex cuando z — x, pues sólo así satisfará la ecuación que la determina sobre el eje real. De la definición de / ' , tenemos

ux + ivx = u + iv, w(0) = l , u(0) = 0.

Como ux = u , vx = v, al separar variables, tenemos

u(x, y) = p ( y ) e x , v(x, y) = q(y)ex ,

con p (0) = 1, q(0) = 0 por las condiciones iniciales. Derivemos estas dos ecuaciones con respecto a y apliquemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para obtener

p'(y)«* = u y = - v x = - q { y ) e x , q' {y)ex = vy = ux = p { y ) e x .

Por tanto, p ' - —q, q - p, así que

. ir t _ .? ~P ~ —g, P = - q ~-P>

y p, q son soluciones de la ecuación diferencial real <¡>"(y) + 0 (y ) = 0. Todas las soluciones de esta ecuación son de la forma A eos y + B sen y , con A y B constantes. Como ^'(0) = p(0) = 1, p'(0) = — (0) = 0, debemos tener p(y) = eos y , q(y) = sen y. Por tanto, obtenemos la función

/(z ) = ex eos y + iex sen y = e* (eos y + i seny),

que coincide con ex cuando z = x y es analítica, puesto que su construcción automáticamente garantiza que las parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

1.7 • EXPONENCIAL COMPLEJA 41

DEFINICIÓNLa exponencial compleja dada por

é2 = ex (eos y + i seny)

es una función entera con valor diferente de cero que satisface la ecuación diferencial

/ ' ( * ) = / ( * ) . /(O ) = 1.

Que é2 0 se sigue de que ni ex ni eos y + i sen y se anulan. Además, observe que como z = x + iy , la notación conduce a

e® = eos y + i seny, I I = 1.

Así, la representación polar de un número complejo se transforma (véase Sección 1.2) en

z = \ z \ é ^ z .

Si z, = x¡ + iy i y z 2 = x 2 + iy2 , entonces las fórmulas trigonométricas para las sumas implican que

e2' é2* = e*1 eXi (eos y j + i seny,) (eos y 2 + i seny2 )

= g*i+*2 [(eos y] eos y 2 — seny] seny2 ) +

¿(seny] c o s y 2 + cosyi seny2)]= é?*<+*N [cos(y ] + y 2 ) + * sen ( y , + y 2 )]= ex i +x2 e i(y,+y,) = ez i +z2 .

Ya quegZ 1 ~Z2 g 2 — gZ 1 —Z2 +Z J — gZl ^

Se sigue quegZ\—Z2 - gZl jgZ2 _

Si usamos repetidamente la fórmula para la suma de exponentes, obtenemos g™- - (e2 )". Esta identidad proporciona una prueba rápida del teorema de De Moivre cuando z = et6 :

(eos 6 + i senQ)n = (e%6 )" = em6 = eos nd + i sennd, para n = 0, +1, ±2, . . . .

Con esta versión del teorema de De Moivre, tenemos

( 1 _ ¿ ) 23 = (y^2"e-7”/4 )23 = 223/12 e-2 3 "^4

= 223/2 e™74 = 2 11 (y/2 em‘/ 4 )

= 2 n ( l + í ) .

La exponencial compleja jugará un papel esencial en las aplicaciones. Con el fin de entender completamente la exponencial compleja, necesitamos estudiar sus propiedades como mapeo. Para visualizar el mapeo

w = e2 = ex (eos y + i seny),

FIGURA 1.21. La exponencial

observemos que la franja infinita —7t < y < 7t se mapea en <3 — { 0 } : los puntos sobre el segmento de recta x = 0, — ir *0 y < irse mapean de manera uno a uno en el círculo I w I = 1, las rectas verticales a la izquierda del eje imaginario se mapean en círculos de radio r < 1, las rectas verticales a la derecha del eje imaginario sobre círculos de radio r > 1, la mitad izquierda de la franja en la Figura 1.21 se mapea en 0 1. Observe que e? tiene periodo 2iri, porque

^ + 2 ™ = e x+ (2n + y)¿ = g x [ co s (2 tt ' + y ) + z sen (2?r + y ) ] = e * ,

así que los valores complejos e2 y ez+2ntk , con k entero, son idénticos. Por tanto, cada franja infinita — ir < y — 2nk < ir, k = 0, ±1, ±2, . . ., también se mapea en <3 — {0} , y el mapeo e2 : <3 -*■ <3 — {0} manda un número infinito de puntos de <3 al mismo punto en <3 — {o } . Este es un resultado indeseable, en vista de que no permite la discusión de una función inversa, excepto sobre cada una de las franjas infinitas descritas anteriormente. La función inversa es verdaderamente importante, porque la inversa de la exponencial real es el logaritmo. Para eliminar esta dificultad, imagine que el contradominio del mapeo consiste en un número infinito de copias de <3 — {o } apiladas en capas unas sobre otras, cada una cortada a lo largo del eje real negativo con el borde superior de una capa “pegada” al borde inferior de la capa superior, produciendo un conjunto <R que asemeja una rampa infinita en espiral (véase Figura 1.22). El conjunto <R difiere de <3 — {0 j en que cada punto de <R queda determinado unívocamente en coordenadas polares, mientras que los puntos de <3 — {o } no se pueden determinar en la misma forma, porque el argumento es multivaluado. Si utilizamos a (R como el contradominio de la función e2 y medimos distancias cortas en <R de la manera obvia, observamos que e1 mapea a <3 continuamente en <R y que el mapeo es uno a uno. Así, e? : <3 -*■ <R tiene inversa, la cual estudiaremos en la Sección 1.9. La analiticidad de ez no se afecta al hacer este cambio de contradominio, porque

^ +h - ** ¿ - e° \~ ~ r ~

1 7 • EXPONENCIAL COMPLEJA 43

FIGURA 1.22. La superficie d e Riemann d e w = e2

y la cantidad entre paréntesis tiende a e° cuando h -*■ 0, si eh pertenece a la misma capa de (R que e ° . De manera alternativa, si Im z (2k + 1 )ít y h es pequeño, z y z + h pertenecerán a la misma franja, de tal forma que e2 y e2+h se encuentren en la misma copia de C — { 0 } .

El conjunto (R se llama superficie de Riemann; las líneas de corte en cada copia de 6 — {o} cortes de ramificación; los extremos de los cortes de ramificación 0, °° puntos de ramificación; y cada copia de 6 — {0 } se llama ram a de (R.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-7, exprese cada núm ero en la form a x + zy.

l e™ 2 . e(1+7r!')/23 . g _ r + (,rí/4) 4_ e (— 1+ttí)/45 . e3*V2 6

7. e7ír¿/2.En los Ejercicios 8-10, encuentre todos los números complejos z que satisfacen las condiciones dadas.

8. e2 z = - l 9 . e iz = 2 10. e* = - 11 1 . Obtenga todos los valores de e 71* / 2 , con h entero12. Muestre que (e2 ) = e2 .

En los Ejercicios 13-20, utilice el teorem a de De Moivre y calcule cada número

13. (1 + i )29 14. ( - 1 + i ) 1715. (—1 — f)36 16. (2 + 2 í)ia17. (v/3 + 0 15 1 8 . ( - V $ + 0 13

En los Ejercicios 21-24 , encuentre las sumas m ediante el teorem a de De Moivre.

21. 1 + eos x + eos 2x + . . . + eos nx22. eos x + eos 3x + eos 5x + . . . + cos(2n — l ) x

23. senx + sen 2x + sen 3x + . . . + sen nx24. senx + sen 3x + sen5x + . . . + sen(2n — l)x25. Si f(z) es entera, muestre que es entera y encuentre su derivada.26. Pruebe que e2 es la única solución analítica de la ecuación diferencial compleja

f ' ( z ) = f ( z ) , f ( 0 ) = l.

¿Cuál es la imagen del conjunto |z." Ix I <C 1, \y I < l}bajo los mapeos dados en los Ejercicios 27 y 28?

27. w = e"z 28. w = e”z!2

29. Encuentre una función analítica que mapee { z : 0 < x < l , 0 < y < l } d e ma- ñera uno a uno y dentro de 1 < | w \ < e 2n.

1 .8 Las funciones trig o no m étricas e hiperbólicasCOMPLEJAS

La exponencial compleja puede utilizarse para definir las funciones trigonométricas complejas. Como e^ = eos y + i sen y y = eos y — ¿sen y, en-

t0nCCS + e -v ¿y - e~veos y = > sen y - ---------------

2 2 i

Extendemos estas definiciones a los planos complejos como sigue:

D e f in ic ió n

giz + e- h eos z = -------------- > sen z =

2 2 i

Estas funciones son enteras, pues son sumas de funciones enteras y satisfacen

, ieu — ie~u e12 —(cosz) = - - -------------- = —senz,

2 2 i

. , iea + ie~u ea + e~u(senz) - --------------- = = eos z.

2 i 2

Las otras cuatro funciones trigonométricas, definidas en términos de las funciones seno y coseno por medio de las relaciones usuales

1 8 • LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS COMPLEJAS 45

son analíticas, excepto donde se anulan sus denominadores, y satisfacen las reglas normales de derivación (véase Ejercicio 22)

(tan z)' = sec2z, (secz)' = secz tanz,

(c o tz ) ' = —esc2 z, (cscz)' = —cscz cotz .

Todas las identidades trigonométricas usuales son válidas en variables complejas, y sus demostraciones dependen de las propiedades de la exponencial. Por ejemplo,

cos2z + sen2z = \ [(eu + e~iz )2 — (eu — e~lz )2 ] = 1 ,

ycoszj eos z 2 — senzj senz2

g«i + e-« i + e~ai elz■ — e~Ul e12"1 ~ e-1*2,

2 2 2í 2 i2c¿ ‘ eü' + 2e~ü'

4

De la definición de eos z, tenemos

= cos(z, + Z 2 ).

e- y +vc + ey~tx eos z = cos(x + iy) = --------- ------------

= \e~y (eos x + i senx) + \ e y (eos x — i senx)

e y + e ~ y \ . ( e y - e~yeos x — z — ) senx.

2 J V 2

Así,eos z = eos x cosh y — i senx senh y.

De manera semejante encontramossen z = sen x cosh y + i eos x senh y.

TEOREMALos ceros reales de sen z y eos z son sus únicos ceros.

PRUEBA: Si sen z = 0, la última ecuación muestra que debemos tener

senx cosh y = 0, eos x senh y = 0.

Pero cosh y > 1, lo cual implica que el primer término se anula solamentecuando sen x = 0, esto es, x = 0, ±7T,±27T, . . .Sin embargo, para estos valores eos x no se anula. Por tanto, debemos tener senh y = 0, sea y = 0. Así,

sen z = 0 implica z = nir, con n entero.


Esta aseveración también se aplica a tan z, y de igual forma encontramos que

eos z = 0 implica z = (n + •y)7T, con n entero. ■

Las funciones hiperbólicas complejas se definen al extender las definiciones reales al plano complejo.

D e f in ic ió n

e2 — 6~~Z C? "P € zsenh z = ------------- > cosh z = •

2 2

Nuevamente, todas las identidades y reglas usuales de derivación se aplican a las funciones hiperbólicas complejas (véase Ejercicios 23-30). Note, además, que

senh iz = ----------------= i senz

cosh iz = ------------- = eos z.2

Así, las funciones hiperbólicas complejas están íntimamente relacionadas con las funciones trigonométricas complejas, ya que al multiplicar por i, simplemente se rota todo vector en 6 por 90°, en sentido contrario a la dirección quellevan las manecillas del reloj. Por tanto, los ceros de senh z y cosh z son imaginarios puros.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-8, exprese cada núm ero en la form a x + iy.

l . sen í 2. eos (—í)3. c o s h ( l + í ) 4. senh7Tí5. eos (1 + i) 6. tan 2í7. senh (1 + 7tí) 8. cosh (7rz’/4)

En los Ejercicios 9-12, encuentre todos los números complejos z que cum plan las condiciones dadas.

_9. eos z = senz 10. eos z = —i senzIX. cosh z = 2 12. cosh z = t1.3. ¿Existen puntos z donde senh z = cosh z?14. Muestre que sen z = sen z.15. Pruebe que eos z = eos z .

En los Ejercicios 16-21, pruebe las identidades.

,16. sen(z, ± z 2) = senzi c o sz 2 ±cosZ j sénz2 ,/JL2. cos(z, —z 2 ) = cosz, eos z 2 +senz, senz2

18. sen(-z) = —senz, cos(—z) = eos z¿IS^sen 2z = 2 senz eos z, * 'c 0 S-2 z = eo s2z —sen2 z, tan 2z = tan Z

1 — ta n 2 z

1.9 • LAS FUNCIONES LOGARITMO COMPLEJO Y POTENCIA COMPLEJA 47

20. I senz I2 = sen2 x + senh2 y21. I eos z I2 = eos2 x + senh2 y22. Pruebe que las reglas de derivación para las funciones tan z, cot z, sec z y esc z

son válidas como se ha establecido.En los Ejercicios 23-27, pruebe las identidades.23. cosh2z — senh2 z = 1 , bósh(-z) = cosh z, s¿ífiíf-z) = — senhz

j 24. senh(zj + z 2 ) = senhZj cosh z 2 + cosh z¡ senh z 21 cosh(z j + z 2 ) = cosh z , cosh z 2 + senh z 1 senh z 2

26. i senh z = sen iz, cosh z = eos iz, i tanh z = tan iz27. I senh z l2 - senh2 x + sen2 y, I cosh z I2 = senh2 x + eos2 y

Pruebe las reglas de derivación dadas en los Ejercicios 28-30.

28. (senh z ) ’ = cosh z, (cosh z) ' = senh z29. (tanh z)' = sech2 z, (coth z)' = —csch2 z30. (sech z)' = —scch z tanh z, (csch z)' = —csch z coth z31. Encuentre todos los ceros de senh z y cosh z.32. Verifique que e z = cosh z + senh z .33. Verifique que eK = eos z + i sen z.Muestre que la función w = sen z mapea cada una de las franjas en los Ejercicios 34-36 en el conjunto dado, indicando qué les sucede a los segmentos de recta horizontales y verticales bajo la transformación

ui = sen z = sen x cosh y + i eos x senh y.34. La franja Ix l< 7t/2 en C — {z : y = 0, Ix 1^ l }35. La franja semiinfinita J x I < tr/2, y 0 en el semiplano superior.36. La franja semiinfinita 0 < x < 7T/2, y > 0 en el primer cuadrante.37. Describa la función w = eos z, al considerar el mapeo de segmentos de recta ver

ticales y horizontales bajo la transformación.

w - eos z = eos x cosh y — i sen x senh y.

4 .9 Las FUNCIONES LOGARITMO COMPLEJO Y POTENCIA COMPLEJA _______________. _________ __

Como e* : C (R es uno a uno, con (R como la superficie de Riemann definida en la Sección 1.7, podemos definir su función inversa que mapea (R en C . Imitando el caso real, llamamos a este mapeo inverso logaritmo y lo denotamos por

log z : (R -*■ G .

Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que

lo g e2 = z , para todo z e n C ,

yel°gz = para todo z en <R.

La única tarea pendiente es obtener una expresión para log z en términos de funciones conocidas. Una complicación se presenta cuando el logaritmo se define en la superficie de Riemann (R, ilustrada en la Figura 1.22. Como <R consiste en un número infinito de copias de C — { 0 } apiladas hasta parecer una rampa infinita en espiral, debemos encontrar una forma para identificar los puntos de cada rama de la superficie de Riemann. Es en este punto donde una complicación anterior se convierte en ventaja: aunque el argumento arg z es multivaluado en e - {o}, es univaluado en (R. Así, podemos distinguir entre diferentes ramas de (R si utilizamos la representación polar z = \z le!argz para cada z en (R. La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:

log z = log( Iz leíarg* ) = log(elog ]z'+i arg *)

= log I z I + i arg z ,

donde log Iz I es el logaritmo natural del cálculo elemental.Para completar la descripción de la superficie de Riemann (R definimos las

e-vecindades para los puntos en (R. Si z pertenece a una rama de (R y I z I > e , entonces el conjunto de todos los puntos sobre esa rama cuya distancia desde z es menor que e constituye una e-vecindad de z. Este concepto es importante porque los límites se definen en términos de e-vecindades. Al definir una e-vecindad en una superficie de Riemann, podemos extender las nociones

de continuidad, derivabilidad y analiticidad de una función definida en esa superficie, ya que estas nociones dependen sólo del comportamiento local de la función. Esto es, la continuidad en z depende únicamente de la diferencia /(z ) — f { w) para cualquier w en cualquier e-vecindad de z, mientras que la derivada en z depende únicamente del cociente de las diferencias [ /(z) — f(w )] /(z — w). Con estos conceptos, no es difícil verificar que log z es continua ya que

log z — log w = log I z I + i arg z — log I w I — i arg w= [log I z I — log I w I] +z [arg z — arg i c ] ,

y el logaritmo natural y la función argumento son continuas.

TEOREMALa función log z ~ log !z I + i aig z es analítica para todo z en <R.

Prueba Como u = log Iz I = \ log(x2 + y 2 ), v = arg z = tan 1 y/x + nny _ —y x

Wvx 2 + y 2

tly ,2 ' V* = x 2 + y2 x 2 + y 2x + y"

las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y las derivadas parciales son todas continuas en (R. Porque la analiticidad es una propiedad local, y porque la

prueba del teorema sobre condiciones suficientes para la analiticidad, de la Sección 1.6, se basa en argumentos locales, log z es analítica en (R. ■

El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:

log z , z 2 = logz, + logz2 ,

log üi = l o g z , - l o g z 2 . • z 2

Note que en estas dos identidades suponemos que z 1 y z 2 son puntos de la superficie de Riemann (R. Como

z = elogz

para cualquier z en (R, aplicamos la regla de la cadena para la derivación para obtener

1 = eíogz (logz)'o

( l o g z ) ' = l / z , parazenlR.

Así, la fórmula usual de la derivada se cumple en (R.De la misma manera que definimos el valor principal Arg z del argumen

to arg z, podemos extender este concepto al logaritmo. Al visualizar al logaritmo como el mapeo inverso de la exponencial, llamamos a la rama de (R cortada a lo largo del eje real negativo, que se mapea en la franja semiinfinita —TT^y < 7T, rama principal del logaritmo (véase Figura 1.23). Denotamos log z cuando se restringe la rama principal, por

Log z = log I z 1 + i Arg z,

y llamamos a éste valor principal de log z.Note que el valor principal log z se define sólo en aquella rama de (R para la cual Arg z existe. Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con la rama princi-

FlGURA 1.23. Ram a p rinc ipa l d e m

pal del logaritmo Log z, ya que las propiedades usuales de los logaritmos pueden no cumplirse. Por ejemplo,

Log z = log I z I + z Arg z = z7r/2,Log (—1 + i) = log 1—1 + z I + z Arg (—1 + z)

i rcr ■ 37r= log^IT-f i — ,4

peroLog [z '(-1 + z')] = L o g (- l - z)

= log 1—1 — z I + z Arg (—1 — z)37T

= log\/2 - z — .

así que

Log [z’(—1 + z')] ¥= Log z + Log(—1 + z).

Por el contrario, las dos expresiones difieren por un múltiplo de 27rz‘. (¿Por qué?)

Las funciones logaritmo y exponencial complejas se pueden usar para definir las funciones potencia.

D e f in ic ió n

z a = e alogz, a complejo ^ 0 , z i= 0 .

La función z a : (R -*■ (R es analítica y uno a uno porque es la composición de funciones de esos tipos. Por la regla de la cadena,

(za)' = e a logz • - = aza~ l . z

El valor principal de la función potencia está dado porz a - £ a Logz ^

A menudo estamos interesados en el caso donde a - m/n > 0, m, n enteros positivos son factores comunes. Considere ahora el conjunto de números e L ° g ( z ) + 2 t t * z ^ = o, ±1 ,±2 , . . ., esto es, aquellos puntos en (R situados directamente “arriba” y “abajo” del punto e Logz. Entonces (eLog<-z) + 2nkíjm/n = ¿m/n)Logz g(m/n)2*kiy si escribimos k = pn + q con p y q enteros, 0 ^ q < n, tenemos

£{m/n)2nki — £2npmi £2niqm/n — £2mqmln

de tal forma que hay únicamente n respuestas con valores complejos diferentes. Así, el mapeo zm!n : (R -»• fí conduce a cada n copias de Q — {o } a una copia de C — { o } y se repite a partir de ahí. Este hecho permite simplificar el modelo usado para describir el mapeo w = zm!n . Para simplificar, suponga que m = l . Entonces

w = z l ¡ n = e ( l l n ) L o g z ^ i q / n > ? = 0 , 1 , 1 ,

puede visualizarse como un mapeo de [ <2 — M r en [ C — {o} ], donde [ C — {o} ]" consiste en n copias de C — {o} “pegadas” una después de otra a lo largo del eje real negativo, como en <R, excepto que el borde superior de la rama de arriba se “pega” al borde inferior de la rama de abajo.

Eje m p l o 1Describa la superficie de Riemann modificada de la función

U) = -y/F.

SOLUCIÓN: De la discusión anterior, la función mapea [ e - { O } ] 2 en [ e - { 0} ] , como se ilustra en la Figura 1.24. Podemos observar que la rama de arriba está mapeada en la mitad derecha del plano, y la rama de abajo está mapeada en la mitad izquierda del plano.

w = l/F

0

e - (0)

FIGURA 1 .2 4 . La superfic ie d e R iem ann p a ra w = z'A '

5 2 CAPÍTULO 1 • FUNCIONES ANALÍTICAS

El mapeo zm = [ C — { 0 } ] -> [ G — { 0 J- ] ”* es el inverso del mapeo z l¡m . Por tanto, la función compuesta

(zVn)m = zm/n : [e - {o}]” -> [e - {o}]mes analítica y uno a uno en las superficies modificadas de Riemann, descritas anteriormente.

El logaritmo también se puede usar para definir las funciones trigonométricas inversas.

Eje m p l o 2Muestre que

sen- 1 z = —i log [iz + (1 — z2 )t] .

SOLUCIÓN: La función w — sen 1 z revierte la acción del mapeo

e iw — e~iwz = sen w = -----------------

2 iSi multiplicamos ambos extremos de esta ecuación por 2ietw, tenemos

eliw - 2 izéw - 1 = 0.

Cuando utilizamos la fórmula cuadrática en la solución de e iW , obtenemos

e iw =¿z + (l - z 2 )±,

donde la raíz cuadrada mapea [ 6 — {o } ] 2 en [ C — {o } ] (o es bivaluada en G). El resultado se sigue ahora al tomar logaritmos de ambos lados.

Las identidades y reglas usuales para la derivación de funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas también se aplican aquí. De hecho, la mayoría de las funciones matemáticas que surgen en problemas de física e ingeniería son analíticas. Así, el concepto de analiticidad se aplica a una clase, grande y útil, de funciones.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-6, encuentre todos los valores de las expresiones dadas.

1 . log i 2. log ( 1 + i)3-Jtfig (— 1) 4. I1'

■ ¿O L 6. (1 + z)1+t

En los Ejercicios 7-10, encuentre los valores principales de las expresiones dadas.

X J o g i , 8. log(l + i)• J U U 1 0 . ( 1 + í ) 1+!

1.10 • APLICACIONES EN ÓPTICA (OPCIONAL) 53

11. ¿Para qué valores complejos de a, puede extenderse continuamente la función z “ en z = 0? ¿Cuándo es entera la función resultante?

12. Pruebe que log z es la única solución analítica de la ecuación diferencial

m = / ( i ) = o,

en el disco I z — 1 I < 1.13. Muestre que log z j + log z 2 = log Zlz2 .

z i14. Verifique que log z t — log z 2 = log — •Z ,

15. Compruebe que zaz = z¿'

16. Muestre que —g = z'

a — £&+b

a —b

- i17. Confírme que Log(—1 — í ) — Log i =£ Log

18. Exprese que Log (z3 ) 3 Log i.19. Pruebe que log za = a log z, complejo ¥= 0, z ^ 0.20. ¿Es 1, elevado a cualquier potencia, simpre igual a 1?21. Demuestre que eos- 1 z = — i log [z + (z2 — 1)T ] .

1 ( i + z \22. Corrobore que tan-1 z = —los ( ------- > z ^ ±z‘.2 \ i - z j

23. _Eruebe que cot z = — log---------( - \ > z ¥= ±i.2 V z + i )

24. Muestre que sehn- 1 z = log [z + (z2 + 1)"» ] . ,2á.J/erifique que cosh-1 z = log [z + (z2 — l)"í ] .

26. Compruebe que tanh-1 z = \ log + Z , z ^ ± l .

27.Pruebe que (sen-1 z ) ' = ( l —z 2 )-_ í , z ¥= ± 1.28. Confirme que (eos-1 z ) ' = — (1 — z2)-_í, z ^ ±1.

29. Pruebe que (tan- 1 z)' = — -— > z ¥= ±i.1 + z2

30. Exprese que (senh-1 z)' = (1 + z2 )- L z =£ ±i.31. Confirme que (cosh-1 z)' = (z2 — l ) - L z ±1.

32. Muestre que (tanh-1 z)' = — -— > z =h ±1.1 — z2

33. Encuentre la falla en el argumento siguiente:

Z = ( —1 ) 1 /2 = [( —l ) 3 ] 1 /2 = ( - l ) 3/2 = z3 = - z .

1 .1 0 A plica c io n es en ó p tic a (opcional)Uno de los modelos que se han sugerido para interpretar las propiedades empíricas de la luz supone que cierta fuente luminosa crea una perturbación que

produce ondas esféricas en determinado medio homogéneo. Este modelo es análogo al siempre creciente círculo de olas que ocurre cuando la superficie de un volumen de agua se perturba. El análisis matemático de este modelo (usando las ecuaciones de James Maxwell de electromagnetismo) conduce a la ecuación de onda unidimensional

a2e = j _ a2e

dx2 c2 at 2

donde E es la perturbación óptica, x es la dirección de propagación de la onda, c es la velocidad de propagación de la luz, y t es el tiempo (véase Ejercicio 4). Es fácil probar que cualquier función de la forma E = f (c t — x) es solución de la ecuación de onda, ya que

a 2e a

dx2 dx

a 2e a

[ - / ' ( cí - x )] = f " { c t - x )

= — [cf'(ct — x)] = c 2f ' ( c t — x).a t2 a í

La observación de efectos de interferencia, que ocurren cuando dos rayos de luz de una fuente común llegan al mismo punto a través de diferentes caminos, sugiere que la perturbación óptica consiste en una suma de funciones casi sinusoidales. Esto es, E puede muy bien aproximarse por una suma de ondas sinusoidales de la forma

A eos cu t — — + — cox/c es el corrimiento de fase de la onda.

Podemos fácilmente sumar ondas sinusoidales de la misma frecuencia si utilizamos la exponencial compleja:

A , eos (cot + oq) + . . . + A n eos (cot + oc„ )

= Re [,4,é?!'<“ í+°u) + . . , + A ne i^ t+an)]

= Re A e l^ t+a = A eos (coi + a),

donde obtenemos

A , e ia‘ + . . . + A ne lan = A e ia

gráficamente, cuando usamos la ley del paralelogramo de la suma vectorial (véase Figura 1.25).

En un telescopio, las imágenes se afectan por las franjas de interferencia que aparecen cuando los rayos luminosos incidentes se transmiten y se reflejan en la superficie de las placas de vidrio y los espacios, dentro del telescopio, que contienen aire. Considere la Figura 1.26, donde un rayo de luz desde una fuente distante S llega a la placa de vidrio en R 0 . Parte del rayo incidente se refle-

1 1 0 • APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCIONAL] 55

Im z

FIGURA 1.25. Sumo vectorial

FIGURA 1.26. In te rfe renc ia d e o n d a s m últiples


ja, mientras el resto se transmite a través de la placa. En T 0, parte se refleja en T0 y parte se transmite y se enfoca por la lente. Al llegar a R i parte del rayo se refleja hacia T\ y parte se transmite. Y así sucesivamente.Sea r(s) la razón de la amplitud reflejada (transmitida) a la incidente, y suponga que el rayo incidente inicial tiene una amplitud A. Entonces, la perturbación óptica en r 0 está dada por

E t¡¡ - s2 A Re ,

porque el rayo ha sido transmitido a través de dos superficies, mientras la perturbación óptica en T ; está dada por

E Ti = s2r2A R e e '^ - * !

donde a es el corrimiento de fase que surge de los rayos que viajan una distancia extra durante las dos reflexiones en T0 y en R j (véase Ejercicio 2). En forma semejante

E t = s 2r4A R e e i^ t~ 2^■* 2

Y E t = s2r2nA R e e t'(wt- naK1 nPara determinar la perturbación óptica resultante, sumamos todas estas perturbaciones y obtenemos

E = 2 E t ~ s 2 A Ren = 0 n

iuit= s 2 A Re

e ,ut 2 (r2e~ia)nn = 0

1 - r 2e~la

La última ecuación se sigue de observar que la serie geométrica

G = 2 z” = l + z + z2 + . . . + z” + . . .n — 0

satisface la identidad zG = G — 1 o (1 — z)G = 1. Se abundará más al respecto en el Capítulo 3. Pero

eiuf e ígj t l _ r V ' a

1 —r2 e~101 1 — r2 e~*a 1 — r2 e *a

_ e itút{\ — r2e iot)

1 + r4 — 2r2 eos ade donde

E = ------- 5 A- • Re [e ittjj _ r2e^ t+“)]1 + r — 2r eos a

_ s2 A [eos coi — r2 eos (coi + a)]1 + r4 — 2r2 eos oí

_ s2 A [(1 — r2 eos a) eos coí + (r2 sena) sen coi]1 + r4 — 2r2 eos a

1 1 0 • APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCIONAL] 57

Ya que( 1 — r2 eos a )2 + (r2 sena)2 = 1 + r4 — 2 r2 eos a ,

Cuando1 — r 2 eos a

eos j3 = —~r ... -y 1 + r4 — 2 r2 eos a

proporciona la perturbación óptica transmitida

s 2A eos (cjí — ¡3)

y f í + r4 — 2 r2 eos a

La ley de conservación de la energía implica que s + r = 1 y

(\ —r\2 AE = • eos (coi - J3).

■y/l + r4 — 2 r2 eos a

El ángulo de fase a depende de la longitud del camino que la luz viaja durante las reflexiones en T0 y R x (véase Ejercicio 2). Como co = 2irc/X donde la longitud de onda X es la distancia entre máximos sucesivos de la onda, obtenemos

a = 2 tt( £ 2 - Ex)X

Si a es un múltiplo entero de 2ir, la amplitud de la perturbación óptica es

(1 - r )2 A = 1 - r A y / { l - r 2 )2 1 + r ’

mientras que los múltiples impares de ir producen una amplitud igual a

(1 — r ) 2 A _ (1 - r ) 2

V ( 1 + r2 )2 1 + r2A.

Cambios pequeños en el ángulo de incidencia 0 de la Figura 1.26 pueden producir cambios sustanciales en el ángulo de fase a. Así, haces luminosos contiguos, con amplitudes de incidencia idénticas, producirán imágenes con amplitudes diferentes. Si r es cercano a 1 (reflectancia grande), el cambio en amplitud

1 ~ r A1 + r 1 + r2

( l ~ r ) 2 A 1 - r 2

1 + r 2

será grande, produciendo una imagen que consiste en líneas brillantes delgadas sobre un fondo oscuro. Este efecto de halo se llama franja de interferencia. Si r es cercano a cero (reflectancia pequeña), el cambio de amplitud será pequeño y las franjas de interferencia serán amplias y difusas.

Ej e r c ic io s1. Pruebe que la perturbación óptica reflejada en la Figura 1.26, también tiene la

forma E = A * eos (coi — 7 ). Encuentre A * y 7 .2. Considere la Figura 1.27.

F igura 1.27. LeydeSnell

Sea la distancia de la fuente S a H, y £ 2 la distancia de S a T¡ . La ley de Snell de la refracción establece que

v sen <j) = v sen 0 ',

donde <j) y <j)' son los ángulos de incidencia y refracción, respectivamente, y v y v los índices de refracción del aire y la placa, respectivamente. Pruebe que si d es el espesor de la placa, entonces

£ 2 — £] = 2dv' eos <¡>'.

3. Muestre que E = f ( c t + x) es también solución de la ecuación de onda.*4. Sean E y H, respectivamente, las intensidades eléctrica y magnética en cualquier

punto de un campo electromagnético. Muestre que las ecuaciones de Maxwell

div H = 0,

rot E = — ju0 — > 3 1

div E = 0,

rot H = e3E

3í

proporcionan la ecuación de onda si suponemos que c — 1 ¡x/cfJ0 que E y H dependen únicamente del tiempo t y de la coordenada x. (Esta es una buena aproximación cuando la fuente se localiza en la dirección x, y muy lejos de una vecindad del punto de donde se obtiene la ecuación de onda.)

1.10 • APLICACIONES EN ÓPTICA [OPCIONAL) 59

NOTAS

Sección 1.1Las fórmulas que relacionan z a Z en la proyección estereográfica son fáciles de calcular: [A, págs. 18-20] o [H, págs. 38-44].

Secc ió n 1.5Otros sinónimos de analítica son holomorfa, monogénica y regular.

Secc ió n 1.6Se conocen condiciones suficientes para la analiticidad mucho más débiles. El mejor resultado en este sentido parece estar en [S, págs. 197-199], donde el teorema de Looman-Menchoff establece que s i u y v son continuas en G, tienen primeras parciales en todos los puntos de G, excepto un número contable de puntos en G y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann casi en cualquier parte de G, entonces f = u + iv es analítica en G. Otros ejemplos, que muestran que las ecuaciones de Cauchy-Riemann solas son insuficientes para la analiticidad, pueden encontrarse en [T, págs 67, 70].

Secciones 1.7 y 1.9Para un desarrollo elemental más detallado de las superficies de Riemann, véase [Kn, Parte II, págs. 100-146]. Se pueden encontrar tablas de mapeos elementales de dominios en el Apéndice y en [Ko]. Como la derivada de una función en un punto se obtiene al considerar cocientes de diferencias de puntos cercanos, la definición de analiticidad se extiende a cualquier superficie de Riemann.

O Integración Z COMPLEJA

Integración es un concepto de gran importancia y utilidad en el cálculo elemental. La naturaleza bidimensional del plano complejo sugiere considerar integrales a lo largo de curvas arbitrarias en Q en lugar de segmentos del eje real únicamente. Estas “integrales de línea” tienen propiedades interesantes y poco comunes cuando la función que se está integrando es analítica. La integración compleja es una de las teorías de las matemáticas en las que se trabaja con sumo entusiasmo, debido a su accesibilidad.

2 .1 In tegrales de línea

Las propiedades de las funciones analíticas estudiadas en el capítulo anterior, son resultantes de la derivabilidad de la función. En cálculo real, el teorema fundamental revela una conexión sorprendente y de gran utilidad entre las derivadas y las integrales definidas.

Te o r e m a f u n d a m e n t a l del c á l c u l oSi una función real J(x ) es continua en un intervalo a < jo < b, entonces

f {x ) posee antiderivadas en ese intervalo. Si F(x) es cualquier antiderivada de f (x ) en a < x < b, entonces

61

CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

f ( x ) d x = F (b ) — F{a).

Una de las principales metas de este capítulo es probar un teorema similar para integrales de línea de una función analítica en el plano complejo. Aparentemente esta es una tarea difícil, ya que hay una infinidad de curvas que unen dos puntos dados, pero la prueba es fácil y las aplicaciones son muy útiles.

Un arco 7 en el plano es cualquier conjunto de puntos que pueden describirse en forma paramétrica por

7 : x = x (t) , y = y { t ) , j3,

con x(t), y(t) funciones continuas de la variable real t en el intervalo real cerrado [a, |3] . En el plano complejo se describe al arco 7 por medio de la función compleja continua de una variable real

7 : 2 = z{t) = x{t) + iy (t), a < í < ¡5.

Se dice que el arco 7 es suave si la función z'(t) = x'{t) + iy'(t) no se anula y es continua en oí ^ t ^ /3. Un arco suave por partes (spp) consiste en un número finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si 7 es un arco spp, entonces x(t) y y(t) son continuas, pero sus derivadas x'(t) y y'(t) son continuas por partes. Un arco es simple, o arco de Jordán, si z ( t i ) = z(t2 ) sólo si t x = t2 , esto es, si no se intersecta a sí mismo, o autointersecta. Un arco es una curva cerrada si z(ot) = z(P) y una curva de Jordán si es cerrada y simple excepto en los extremos a y ¡3. La Figura 2.1 ilustra algunos de estos conceptos.

Arco simple Curva d e Jordán

A rco que se au to inte rsecta Curva ce rra d a que se auto intersecta

FlGURÁ 2 .1 . Arcos y curvas

2.1 • INTEGRALES DE LÍNEA 63

Eje m p l o 1Esbozar los arcos dados por las parametrizaciones

(a) 7 : z(t) = e u , 0 < í < 2 7 T ,

(b) 7 * - z ( í ) = f 1 - í ( l - 0 - ■ 0 < Í < 1 ,' ' { ) j l + í - í , - K « 0 .

SOLUCIÓN: (a) Como [elt)' = ielt =£ 0, el arco 7 es suave. Note que I e lt \ = 1 y e° = e2m = 1. Por tanto, 7 es una parametrización del círculo unitario, recorrido en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Claramente se observa que es una curva de Jordán (véase Figura 2.2a). (b) 7 * no es un arco suave porque z (t) no está definido en t = 0. Sin embargo, z (¿) es un arco suave en cada uno de los intervalos [—1 , 0 ] y [0 , 1 ]. Por tanto, 7 * es spp. Notemos en la gráfica de la Figura 2.2b que 7 * es un arco simple.

FIGURA 2.2. Círculo unitario y a rco spp 1 *

Las curvas de Jordán satisfacen la propiedad siguiente.

Te o r e m a de la c u r v a de Jo r d á nUna curva de Jordán separa el plano extendido en dos regiones simplemente conexas, que tienen a la curva como su frontera.

La región que contiene el punto al infinito se llama exterior de la curva; la otra región se llama interior. Aunque este teorema parece obvio, su prueba es difícil, así que se aceptará su validez en base a la intuición. Una curva de Jordán está parametrizada en su sentido positivo si su interior se mantiene

6 4 CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

siempre a la izquierda cuando se recorre la curva. Por ejemplo, z(í) = e lt = eos t + i sen t, 0 < t < 2ir, parametriza a la curva Iz I = 1 en su sentido positivo, mientras que z (t) = e~n , 0 < t < 27T, no lo hace.

Sea 7 un arco suave en Q y sea la función com pleja/#) continua en 7 . Se usa la parametrización de 7 para definir la integral de línea d e / sobre 7 en términos de dos integrales reales. Si las dos integrales reales pueden evaluarse, se le podrá asignar un valor a la integral de línea.

D e f in ic ió nSea 7 : z = z(t), o¿< t < P, un arco suave, y /(z ) = u + iv continua en 7 . Así, la integral de línea de f sobre 7 estará dada por

/(z ) dz = j* f(z(t))z '(t) dt

[u(z(t)) + zz ; ( z ( í ) ) ] ■[*'(«) + ry ' ( f ) ] dt

[u(z(t))x'{t) -v (z ( t ) )y ' ( t ) ] dt

+ i £ [w(*(0 ) / ( 0 + l,(* ( 0 ) * ' ( f)] dt-

La integral de línea sobre un arco 7 spp se obtiene al aplicarse la definición anterior a un número finito de intervalos cerrados, en los cuales z(t) es suave, y sumar los resultados. Si no se está familiarizado con integrales de línea, léase el Apéndice A.3.

Eje m p l o 2Para evaluar f y x dz a lo largo del arco 7 spp, mostrado en la Figura2.3, parametrice 7 por

_ J l + zí, 0 < f < l ,7 :z {t )

( 2 - t ) + i, K í < 2 .Entonces

z\t) = í, 0 < í < l ,[ - 1 , K K 2 ,

con derivadas izquierda y derecha diferentes en t = 1. Por definición, al integrar sobre cada uno de los intervalos .0 < í < 1 y 1 < í < 2 , se obtiene

/»!x dz = i dt + ( 2 - t ) ( - 1 )dt = - \ + i,

ya que x (t) = 1 en 0 < t < 1 y x (t) = 2 — í : en 1 < í < 2 .

2A • INTEGRALES DE LÍNEA 6 5

Im 2

i \\

\V 1 y

y* \\

\\

O iF igura 2 .3. Arco y spp

Al escoger una parametrización diferente para y, por ejemplo

, , í 1 + i log t, 1 < t < e, y :z ( t ) = \ f *e < t < 2e,

se tiene

z ' ( t )

2 - - +; e

i/t,- 1 /e ,

l < t < e ,e < t < 2e,

x dz = dt + 2 — — 1 I— I dt = —\ + i .* ' : ) -

Por lo tanto, la integral de linea es independiente de las dos parametrizaciones de y. Este caso se dará siempre y cuando el cambio de parámetros sea derivable por partes, como puede comprobarse fácilmente al utilizar la fórmula del cambio de variable del cálculo integral.

Se obtiene un valor diferente si se integra sobre el segmento de línea 7 * que une a 1 con i. Así,

y * : z(t) = ( 1 — í) + it, 0 < t < 1 ,

asi que

í x dz = ( 1 — t) ( —1 + í) dt =— 1 + i

Este ejemplo muestra que no se puede obtener un teorema similar al teorema fundamental del cálculo para todas las funciones complejas continuas

f(z). Suponga, por otra parte, que se consideran únicamente aquellas fun-

66 CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

ciones continuas/(z), que son derivadas de una función analítica F = U + iV en alguna región G que contenga el arco suave 7 . Entonces, por definición,

f(z) dz F'(z) dz

F'(z (t))z'(t) dt.

Con la regla de la cadena del cálculo, se tiene

dF'(z(t))z'(t) dt -

dt[F(z(í )) ] dt

— [t/(z(f))] dt + i a at ■7 - [ ^ ( * ( 0 ) 1 dt-a dt

Si se aplica el teorema fundamental del cálculo a cada una de estas integrales reales, se obtiene

/(z ) dz= [t/(z(0)) - t/(z(o¡))] + i [F(z(/3)) - F(z(a)) ]

= F ( z ( P ) ) - F ( z ( a ) ) .

Además, se puede extender fácilmente este resultado a los arcos spp con la suma de los resultados obtenidos de los subarcos suaves. Como el resultado depende únicamente de los puntos extremos de cada subarco suave, se habrá probado el siguiente teorema.

TEOREMA FUNDAMENTAL (DEL CÁLCULO)Si F(z) es una función analítica con derivada continua, f(z ) = F\z) en una región G que contiene al arco spp 7 : z = z(t), a < t entonces

f ( z )d z = F ( z [ P ) ) - F ( z ( a ) ) .

Como la integral sólo depende de los extremos del arco 7 , es independiente de la trayectoria. De esta forma se obtiene el mismo resultado para cualquier arco spp en G con estos extremos. Para curvas 7 , spp cerradas, el teorema

fundamental establece que

f(z ) dz = 0 ,J t

ya que F(z(fi)) = F (z(a )) .

2.-1 • INTEGRALES DE LÍNEA 67

Eje m p l o 3Calcule

z dz y z dz,

donde 7 y 7 * son los arcos mostrados en la Figura 2.3.

SOLUCIÓN: La función continua f(z) = z es la derivada de la función entera F[z) = z2 / 2. Al realizar la parametrización 7 como en el Ejemplo 2 , se tiene

z dz ( 1 + it) i dt +

r 1dt — .t dt +

[ ( 2 — t) + i\ (—1 ) dt

(t — 2 ) dt — i dt

= - 1 .

Si se utiliza la parametrización de 7 * , del Ejemplo 2, se obtiene

z dz = [ ( 1 — t) + it] (—1 + i) dt

1 r 1dt + i ( 1 - 2 1) dt = - 1 .

Mediante el teorema fundamental, cualquier arco 7 spp que empieza en 1 y termina en i satisface a

z dz = -— y 2

i 2 - 1= - 1.


J i z l = lSOLUCIÓN: Aparentemente este resultado se contrapone al teorema fundamental, ya que I z I — 1 es una curva de Jordán. Sin embargo, las antiderivadas de la función continua /(z ) = 1 /z son logaritmos y analíticas sobre la superficie de Riemann (R, descrita en las Secciones 1.7 y 1.9. La curva \z I = 1 no es una curva cerrada en (R. Se ilustrarán dos

dz= 2717.

CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLF.IA

métodos para obtener esta integral. Primero nótese que, a menos que se establezca lo contrario, se supone que las integraciones sobre las curvas de Jordán se llevan a cabo en sentido positivo. Así, al parametrizar \z I = 1 por z(t) = e il, 0 < t < 27T, se tiene

z'(t) = iei{Por lo cual, la integral se convierte en

dzI z 1= 1 Z

p2ir z'(t) dt

*(*)

(*2ir te'*dt = i dt = 27TJ.

o ePara utilizar el teorema fundamental en la evaluación de esta integral, elegimos cualquier rama de la superficie de Riemann <R de la función analítica

F(z) = log z = log I z I + i arg z.

Por ejemplo, empezando en - i en la rama principal se obtiene

dz

Iz 1 = 1= log \z 1+ i arg z

2ttí.

, 3 TlÍ¡1

. - « y »í (3tt/2) - í ( - tt/2)

Eje m p lo 5Sea P(z) cualquier polinomio, y 7 un arco spp. Muestre que:(a) / 7 P{z ) dz = 0 si 7 es una curva cerrada,(b) f y P(z) dz depende sólo de los extremos de 7 .

SOLUCIÓN: Todo polinomio P(z) es continuo en C . Además, si

P(z) = a nzn + a „ _ ]z” - 1 + . . , + ajZ + ao,

entonces P(z) será la derivada del polinomio analítico

anzn+1 ^ an- i z n a ,z 2U(z) — --------- + + . . . + + dciZ,W n + l n 2

De esta forma se satisface el teorema fundamental y se cumplen las partes(a) y (b).

Eje m p lo 6Como eos z es entera y tiene antiderivadas sen z, se tiene

eos z dz = sen zl

— J= 2 sen i = 2 z’senh(l),

y a lo largo de cualquier curva 7 spp cerrada,

eos z dz = 0 .

2.1 • INTEGRALES DE LÍNEA 69

Ej e r c ic io s1. Muestre que la parametrización 7 : z(t) = a eos t + ib sen í, 0 ^ í ^

27T, describe la elipse

X2 v2— + í - = 1 .a2 b2

En los Ejercicios 2-5, determine las parametrizaciones spp para los arcos o curvas indicados.

2. Semicírculo de 1 a -1. Imz

3. Triángulo

Im z

4. CuadradoIm Z

Re z

5. Mancuerna que empieza en 1

Im z

Muestre que z'(í) puede interpretarse como un vector tangente al arco y: z — z(t) en todos los puntos donde z'{t) no sea cero.Evalúe las integrales

z dzx dz, \y dz,

a lo largo de las trayectorias dadas en los Ejercicios 7-9.7. El segmento de recta dirigido de 0 a 1 — i8 . Alrededor del círculo I z I = 19. Alrededor del círculo I z — a I = R

10. Evalúe f 7 y dz, donde y es la línea recta que une 1 a i.11. Evalúe/ 7 y dz,, donde y es el arco en el primer cuadrante a lo largo de I z I = 1

que une a 1 con i.12. Evalúe f y y dz , donde y es el arco a lo largo de los ejes coordenados que une 1

con i.13. Ya que los tres valores en los Ejercicios 10-12 son diferentes, ¿por qué este resul

tado no viola el teorema fundamental?Use parametrizaciones de los arcos para evaluar las integrales de los Ejercicios 14-24.Confirme su respuesta utilizando el teorem a fundam ental.

14. Evalúe la integral / (z — a)n dz, con n como entero, alrededor del círculo Iz — a I = i?.(La respuesta para n — -1 difiere del resto.)

15. Evalúe f y e2 dz, donde y es la recta que une a 1 con i.16. Evalúe f y e2 dz, donde y es la trayectoria en el primer cuadrante sobre el

círculo I z I = 1 que une a 1 con i.17. Evalúe f y e2 dz, donde y es la trayectoria a lo largo de los ejes coordenados que

une a 1 con i.18. Evalúe e " dz.19. Evalúe senh(az) dz.20. Evalúe /f (z - l ) 3 dz.

*21. Si y es la elipse z (t) = a eos t + ibsent, 0 < t < 27T, a2— b2 = 1, muestre que

dz= ±27T,

V I - z2

según el valor del radical que se haya tomado.(,Sugerencia: 1 — z2 (í) = [z'(t)\2 .)

22. Sean-y, : z(t) = e uy y 2 : z(t) = e~ü ,0 ^ 7T. Evalúe

— a lo largo de cada curva.J a 2

23. Evalúe f Log z dz a lo largo de cada curva dada en el Ejercicio 22.24. Evalúe f-yfz dz a lo largo de cada curva dada en el Ejercicio 22. (Use la rama

principal de y/z.)

2.2 • EL TEOREMA DE GREEN Y SUS CONSECUENCIAS 71

2 .2 El teorema de G reen y sus co n secu enc ia s

En los Ejemplos 4 y 5 de la sección anterior, encontramos que la integral de línea de un polinomio a lo largo de una curva spp cerrada se anula, pero también que

f d z .— = 2 m.

Jl*l=l Z

Nótese que la función 1 /z no es analítica en el origen. ¿Podría ser que la integral de línea de una función a lo largo de una curva de Jordán spp se anulara cuando la función sea analítica sobre y en el interior de la curva? Sorprendentemente, esto es correcto.

Será fácil probar que la integral de línea a lo largo de una curva de Jordán spp es cero, siempre y cuando se suponga que la derivada de la función analítica en el integrando es continua en el interior de la curva de Jordán spp. Este es un requisito razonable, pues la derivada de toda función analítica que se ha encontrado es analítica. La prueba se basa en el resultado siguiente, y se encuentra én la mayoría de los libros de texto de cálculo elemental, así como en el Apéndice A.3.

T EOREMA DE GREENSea G la región interior de una curva de Jordán 7 spp y suponga que las funciones reales p y q son continuas en G U 7 con primeras parciales continuas en G. Entonces

(Px 4 qy ) dx dy = p dy q dx.J J G .. . . ■: : J 7

Ahora, si f = u + iv es analítica sobre y en el interior de una curva de Jordán 7 spp, reescriba la integral d e / a lo largo de 7 en la forma

v dx + u dy.

Si f es continua en G, entonces las primeras parciales ux , uy, vx , vy también lo son. Al aplicarse el teorema de Green a las dos integrales de línea de la derecha, se obtiene

f ( z ) d z = (u + iv) (dx + i dy) = u dx — v dy + iy Jy

jyf{z )d z = - (vx + uy ) dx dy + i (ux — vy ) dx dy.

Las primeras parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ux = vy y uy = —vx , porque/es analítica. Por tanto, ambos integrandos del lado de-

recho son cero. Bajo el supuesto de que f '(z ) es continua en G se ha probado el teorema siguiente.

Te o r e m a de C a u c h ySea f(z) una función analítica sobre y en el interior de la curva de Jordán y spp. Entonces

f{z)dz = 0 .

aa¡gBgB»8Mi¡iiajii«8sm8aiBg«gaai ^

El inconveniente de esta prueba es la suposición de que f '(z ) es continua en G. Se verificará esta condición antes de usar el teorema de Cauchy. Sin embargo, en la Sección 2.5 se probará que esta condición es innecesaria. De hecho, las funciones analíticas tienen derivadas analíticas, como se demostrará.

Eje m p l o 1

EvalúeIzi=i z2 + 4

dz.

SOLUCIÓN: La notación empleada significa que la integración se toma sobre el círculo unitario en su sentido positivo. La función/(z) = e* /(z 2 + 4) y su derivada

, (z2 - 2z + 4)f (z) = ----------------- - eJ W (z2 + 4)

son analíticas sobre y en el interior de I z I = 1. Como la derivada es analítica, es continua. Por ende, el teorema de Cauchy se aplica y

dz = 0 .1* 1=1 + 4

Eje m p lo 2Muestre que

1

27T

rz-n R 2 — r

R 2 — 2Rr eos 6 + r2d d = 1 , 0 < r < R .

El integrando que aparece en esta integral se llama núcleo de Poisson. Tiene muchas propiedades útiles, que se estudiarán en el Capítulo 6 .

2.2 EL TEOREMA DE OREEN Y SUS CONSECUENCIAS 73

SOLUCIÓN: El núcleo de Poisson es igual a la parte real del cociente

R + reie (R + re%e) (R — re~te) _ R 2 — r2 + 2irR senflR - reie (R - reie) (R - re~ie) R 2 - 2rR eos 6 + r2

Si z - re19 con r fija, se tiene

dz~dd

= rie%e = iz

así que

1

277

/■27T R 2 - r2- d0 = Re

o fi — 2r.fi eos 6 + r2 \ 277Í

Pero, por fracciones parciales,

fi + z dz

\z \=r R - z z

1

2 ni .R + z 1

dz = ----\z \=r z ( R - z ) 27n' .

1— +

|z |=r\z f i - zdz

1

2771 .

dz 1

I z l=r z 2771

2 dz

z l=r R — z

Por medio de los métodos utilizados en el Ejemplo 4 de la Sección 2.1, se puede mostrar que la primera de las integrales en el lado derecho es igual a 1, con \z = rei{ y z' = iré8Í, 0 < í < 277. La última integral del lado derecho es cero, según el teorema de Cauchy, ya que f ( z ) = 2/(R — z) y / '(z ) = 2/(R — z)2 son analíticas en I z K r.


eos 2 bx dx = b

SOLUCIÓN: Si se aplica el teorema de Cauchy a la función analítica f(z ) = e~z , en una región que contenga al rectángulo .1x 1 <(véase Figura 2.4), se obtiene

0 = i dy +j :

-(x+ib)2 dx + \ e b

i dy

—x » oe dx — e e x (eos 26x — i se n 2 6 x ) dx

P ey2 (e2iay - e - 2iay) d y

dx — I e x eos 2bx dx + 2e ° ey sen 2ay dy, (1)

— a + ib a + ib

FIGURA 2.4. Rectángulo de integración

porque la parte imaginaria de la integral de enmedio se anula. Pero, al usar coordenadas polares,

e~* dx e~x dx e y dy

2tt

0

e - (x2 + y"> dx dy

e r r dr dd = n, (2 )

las dos primeras integrales en (1) serán convergentes cuando a 00. Si a -+ °°, el último término en ( 1 ) se anula y

2 » 2e~x eos 2 bx dx = e~ e x 2 dx - y/ñé- b 2

Eje m p lo 4Pruebe que

~ sen(x2 ) , 7T— '— - dx = —

J o x 4

SOLUCIÓN: Al integrar ¡z a lo largo de la frontera der < | z \ < R, 0 < argz < 7T/ 2 (véase Figura 2.5), el teorema de Cauchy dará

f * e "V/2 d e -

[R e- iy*-------- dx + i ------- dy — ir xJ v 0 Vr y

* , 2 J ( r e id? 0 . (3)

. FIGURA 2.5. Región d e integración

Si se utiliza la desigualdad | f (d ) dd\ < $ \ f(d)\ dd que se probará — para integrandos con valores complejos— en la Sección 2.3, se tiene

z ’W 2 e^Reiey dd < W2 e ~ Rlsén2e dd0 * 0

= 2 V/4 „-R'- sen 20 d6

< 2 j " /4 dd

7T

2 R'‘

ya que /i(0) = sen 26 — (40/7r) se anula en d = Q, 7r/ 4 y satisface a /i”(0) < 0 para 0 < 6 < 7r/4 , lo cual implica queA es cóncava hacia abajo y sen 26 > 40/7T. Por tanto, la segunda integral en (3) se anula cuando R -* °°. Dado e > 0, existe una r > 0 tal que \ea — 1 1 < e siempre que I z l < r. Entonces

.• f ’ /2 = i W2 (e 'V ®)1 — 1) ^ 7r< e —CMO • 0 2

de ahí que la última integral en (3) se aproxime a ár/2 cuando r -*■ 0. Al sumar la primera y la tercera integrales en (3) y hacer R 00 y r -*■ 0, tenemos

0 =e — e

dxZ7T

= 2 »s e n ( x 2 )

dx - — . 2

Ej e r c ic io s1. Muestre que

Log ¿I z 1= 1 Z

CAPITULO 2 • INTEGRACION COMPLEJA

dz = 0 ,

aunque (Log z)/z no sea analítica en ¡ z I =0 1. Qué resultado se obtiene si se integra

M i *7 Z

sobre-y: z (t) = e lt, 0 ^ t ^ 27T? Explíquelo.

Utilice el teorema de Green para los Ejercicios 2-4, donde A es igual al área de G y dG es la frontera de G.

2. Pruebe que / 3G x dz = ¿A.3. Muestre que / 3G y dz - —A.4. Pruebe que faG z dz = 2iA.5. Pruebe que

'W2 n, / , , senae eos (t + a sen t) dt = ------- > a > 0 ,o a

si integra é1 a lo largo de la curva de Jordán en el primer cuadrante, compuestadel cuarto de círculo Iz I = a y de los segmentos de recta de ¡o a 0 y de 0 a a.

6 . Muestre que

' T at , , e aT(a eos b T + b sen bT) — ae m eos bt dt - ------ ------------------------------------- ,o a2 + b2

T at , , e<íl (a sen b T — b eos bT) + be at sen bt dt =--------^ ------ ,1° a2 + b2

al integrar f(z ) - e z a lo largo del segmento de recta que une a 0 con (a + ib)T.7. Muestre que

T , , , b senaT senhór — a eos aT cosh b T + asen at cosh bt dt = ----------------------------------------------------------- >

o a2 + b2

T . , , , b eos aT cosh b T + a senaT senhóT — beos at senhoí dt = ---------------------------------------------------------- ,o a2 + b2

si integra fiz) = sen z a lo largo del segmento de recta entre 0 y (a + ib)T.8 . Obtenga las integrales

T , , , a senaT cosh b T + b eos a T senh bTeos at cosh bt dt = ----------------------------------------------------->

o a2 + b2

T i , , b sen aT cosh b T — a eos aifsenh b Tsen at senh bt dt = ----------------------------------------------------- >o a2 + b2

con f(z) = eos z integrada a lo largo del segmento de recta de 0 a (a + ib) T.

9. Suponga queO < b < 1 y aplique el teorema de Cauchy a la función f ( z ) = (1 + z2 ) - 1 a lo largo de la frontera del rectángulo de la Figura 2.4, para mostrar que

( 1 — b2 + x 2 ) dx(1 - b 2 + x 2 )2 + 4 x 2 b2

= 7T.

10. Pruebe que

k x 4 eos a x d x - / — e a l4k, k > 0 , a real,

si utiliza el mismo procedimiento que en el Ejemplo 3, con la función f(z) — et, * 2 # , .

. Verifique su respuesta cambiando variables.11. Pruebe que

( 1 — b2 + x 2 ) eos kx + 2xb sen kx ( 1 — b2 + x 2 )2 + 4 x 2 b2

( 1 — b2 + x 2 )sen kx — 2xb eos kxj:

( 1 - b2 + x 2 )2 + 4x 2 b2

con 0 0 ,

integrando alrededor de un rectángulo apropiado.14. Pruebe las igualdades

eos x 2 dx - sen x 2 dx = , integrales de Fresnel,. 0 2y/2

al aplicar el teorema de Cauchy a la función f(z) = e~‘~ a lo largo de la frontera del sector 0 < 12 I / 2 + 1 ,4o

e x sen(x2 ) dx - —— y j y/2 — 1 , o 4

cuando integra e z a lo largo de la frontera del sectorO ^ I z I ^ R, 0 ^ arg z < 7T/8.16. Pruebe la integral de Dirichlet

78 CAPÍTULO'2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

si integra X(z) = ¡z a lo largo de la frontera del conjunto r < Izl < R , 0 < arg z < 7T. Verifique su respuesta cambiando las variables en el Ejemplo 4.

2 .3 La fórmula integral de C a u c h y

Se necesitarán conocer los siguientes resultados acerca de las integrales.

TEOREMA(i) / j Iafi (z ) + PÍ2 (*)] dz = a fy fi (z) dz + ¡3 f 7f 2 (z) dz.

(ii) f 7¡ +7j / ( z) dz = / Ti f(z) dz + / 7j f(z ) dz, donde 7 i + I 2 es latrayectoria que consiste en recorrer primero 7 j seguido de 7 2 .(iii) /. 7f(z) dz = —f 7 f(z) dz, donde —7 es la trayectoria que recorre el arco 7 en sentido inverso,(iv) I fy f{z) dz K f 7 I f(z ) I I dz I, donde definimos: I dz I como la diferencial con respecto a la longitud de arco, con

I dz I = i dx + idy I = y/[dx)2 + {dy)2 = ds.

PRUEBA: Para probar (iv), obsérvese que para cualquier constante real 6,

R e -Í0 f { z ) d z R e (e f { z { t ) ) z ' { t ) ) d t < l/(z(í)) I Iz í) Idt,

ya que la parte real de un número complejo no puede exceder su valor absoluto. Si se escribe fy f [z ) dz en forma polar y 3 = arg [fy f (z ) d z ] , la expresión de la izquierda se reduce al valor absoluto de la integral y se cumple la desigualdad. Las pruebas restantes son consecuencias inmediatas de la definición de integral de línea de la Sección 2.1. Sus verificaciones, directas y algo tediosas, se dejarán como ejercicios.®

Si l/(z) I < A/ en todo punto z de un arco 7 de longitud L, la parte (iv) del teorema proporciona la desigualdad

/(z ) dz \dz\ = ML.

Eje m p lo 1e z dz

lzl = l< 2Tre.

SOLUCIÓN: De la parte (iv), se tiene

e z dz /A

lzl = l Jlez I \dz I

\z I = 1

2.3 • LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY 79

Como I e z I = e x < e para todos los puntos z = x +iy sobre el círculo unitario, se observa que

I e z I I dz I < e \dz\ = 2tte,Jlzl = l J I z 1 = 1

y se verifica la desigualdad. De hecho, es claro que

e z dz < 27TÉ?,lz 1 = 1

ya que I e z I alcanza el valor e sólo en z = 1 .

En muchas aplicaciones es necesario considerar regiones que no son simplemente conexas. Se generalizará el teorema de Cauchy al caso de una región múltiplemente conexa.

TEOREMASea 7 0 una curva de Jordán spp tal que su interior contiene las curvas de Jordán spp disjuntas, y ¡ , . . ., yn , ninguna de las cuales está contenida en el interior de la otra. Suponga que f(z) es analítica en una región G que contiene al conjunto S, el cual consiste en todos los puntos sobre y en el interior de 7 0 pero no en los interiores de yk, k = 1, . . n. Entonces,

]\z) d z = I l“ f{z )dz . v;:, v;: ó MEÓ ÓY ■' ■'LIYyÓÓ :l T„ :u :0 . ULI:ATTl= .; : UL:;

PRUEBA: Siempre se podrán encontrar arcos , k = 0, . . n, spp disjuntos, que unan a yk con yk+1 (donde L n une a yn con 7 0 ) que formen dos curvas de Jordán spp, cada una contenida en alguna subregión simplemente conexa de G. (Sobre bases intuitivas omitimos la prueba. Véase Figura 2.6.) Por el teorema de Cauchy, la integral def(z ) sobre estas curvas, cada una recorrida en sen-

FlGURA 2.6. Un do m in io m últip lem en te co n e xo

tido positivo, se anula. Pero la contribución total de estas dos curvas es equivalente al recorrido de 7 0 en el sentido positivo, J i , . . 7n en el sentido negativo (contrario), y L 0 , . . Ln en direcciones opuestas. Así, las integrales sobre los arcos Lf¿ se cancelan, y

0 = f ( z )d z =

7 ° ~ ^ 17*

f{z) dzlo

2fe=i

f(z) dz.'n

En seguida se probará el sorprendente resultado de que los valores de una función analítica, en el interior de una curva de Jordán spp, están completamente determinados por sus valores sobre la curva.

r iLA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHYSea f(z) una función analítica en una región simplemente conexa que contenga la curva de Jordán 7 spp. Entonces

/ (? ) =2m .

m dz.

para todos los puntos ? en el interior de 7.

PRUEBA: Se fija f . Entonces, dado e > 0 , existe un disco cerrado I z — f I < 1 1 en el interior de 7 para el cual I f(z) — / ( f ) I < e. (Véase Figura 2.7.) Como f(z)/(z — f) es analítica en una región que contiene aquellos puntos sobre y en el interior de 7 , que satisfacen \z — f I > r, el teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas implica

o

FIGURA 2.7. La fórm u la in tegra l d e C a u ch y

2.3 • LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY

Pero

81

/ ( * )l z - f l= r ^ ?

* = /(? )dz

lz -fl= r Z - f+

Iz—f l=r/ ( * ) ~ / ( f )

* - rdz.

Por el Ejemplo 4, o el Ejercicio 14 de la Sección 2.1, la primera integral del lado derecho es igual a 27Tí , entonces

/(■*) -f I=r z - f I z—f l=r \z — f I

I dz I < 27TC .

Como e puede elegirse arbitrariamente cercano a 0 la prueba está completa.®

Eje m p l o 2Integre

eos z7 Z ~F Z

dz

sobre las curvas dadas: (a) 7 : \z I = 2 , (b) 7 : \z I = -j; y (c) 7 : lz —*72 1= 1 .

SOLUCIÓN: (a) 7 : \z I — 2. Al descomponer la integral por fracciones parciales, se obtiene

z 3 + zdz =

eos z 11------- dz — —

) 7 -Z

= 27TÍ

eos Z 1 d z ------

2 J 7 z + * 2dz

1 1cos(O) — — eos (—i ) cost

2 2: 27T¿ [1 — c o s h (l) ] .

(b) 7 : Iz I = “2 . Como eos z/(z2 + 1 ) es analítica sobre y en el interior de 7 , la integral es igual a 27rz veces su valor en z = 0 , esto es,

eos z z3 + z

dz = 2m.

(c) 7 : I z — z'/2 I = 1. Como eos z/(z + i) es analítica sobre y en el interior de 7 , por fracciones parciales se tiene

^ - LV z z — ;

por lo cual

eos zdz = 2m

z (z — i)

"/co s (0 )\ ./COSI

7 z + Z 2 i

2m 1 — — cosh(l) 2

Por supuesto, en los tres ejemplos se puede utilizar la descomposición en fracciones parciales de la parte (a), porque las integrales correspondientes se anulan cuando los puntos 0 o ±i están en el exterior de 7 .

Si la fórmula integral de Cauchy se deriva formalmente con respecto a f dentro del signo de integración, se obtiene una expresión para la derivada en todos los puntos del interior de 7 :

/ ’(!•) = 27U „m dz.

■y ( * - n 2

Para verificar esta ecuación se usa la fórmula integral de Cauchy al reescribirse

m + h ) - m 1 r mh 2m

1

2717

h

2m

m

y (* - n 2

1 í 1

dz

1

h \z — f — h

f(z) dzr (* - f ) 2

dz

Jt {z - f ) 2 (z - ? “ h)Sea d la distancia más corta entre J y 7 , M el valor máximo de I f(z ) I

sobre 7 , y L la longitud de 7 . Al suponer que I h I < d/2, entonces

\ z - S - h \ > I z - f l - \ h \ > d - - = -2 2

de tal forma que

2mf(z) dz

7 (z - f )2 (z - f - h)ML I h I

7reí3

Haciendo /i ->■ 0, se sigue que

/ ( f + A) ~ / ( f )h

1

2717 .' /(^ )

( ¿ ~ f ) 2

En la Sección 2.5 se generalizará este procedimiento y se probará el teorema de Cauchy para las derivadas:

/ w (nn\

2m’ /(^ )

7 ( z - j y- dz, n = 1 , 2 ,

válido para todos los puntos f del interior de una curva de Jordán 7 spp contenida en una región G simplemente conexa, en la cual/(z) es analítica. Obsérvese que esta fórmula implica que /(z ) tiene derivadas de todos los órdenes en G. Por ende, la derivada de una función analítica es también analítica. Con base en este hecho, se obtiene un inverso del teorema de Cauchy que frecuentemente es útil para establecer la analiticidad de una función.

Te o r e m a de M o r e r aSi f(z ) es continua es una región simplemente conexa G y satisface

| f i z) d z = 0 , . . .

para todas las curvas y spp cerradas en G, entonces f(z) es analítica en G.

PRUEBA: Elija un punto z0 en G y defina

F(z) m

para todo z en G. Luego entonces, F(z) está bien definida porque es independiente de la trayectoria: Si y y y y2 son curvas spp en G que van de z0 a z, entonces 7 - 7 t — 7 2 es una curva cerrada spp en G, y

0 = / ( « « = m * -jy . _

Si / es continua, para cualquier punto z e n G y e > 0 existe un disco I f — z I < 8 en G tal que l/(J) — f(z ) I < e. Si I h I < 8, se tiene

F(z + h) - F ( z ) _ 1 z+hm d t - , / ( n ¿ r

z+hm dt,h h

donde la integración puede tomarse sobre la recta desde z hasta z + h. Como

mh

z+hd$,

por sustracción se obtiene

F'(z + h ) - F ( z ) ------------- ¡-------f{z)

1 [z+h

h Jz

1 'z+hi /(n - m \ u n < e .

Por tanto F '(z ) = f (z ) , así que F es analítica en G. Pero entonces F tiene derivada analítica, lo que implica que / también es analítica en G.

iJEMPLO 3Integre

eos zdz

}y z2 (z - 1 )Sobre (a) 7 : I z I = -y, (b) 7 : Iz — 1 1 = 3 -, y (c) 7 : Iz I = 2.

8 4 CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

SOLUCIÓN: (a) 7 : lzl = -j. En este caso eos z/(z — 1) es analítica sobre y en el interior de 7 , así que, por el teorema de Cauchy para las derivadas, se obtiene

eos z1

dz = 2meos z

= —2m.Jy z* \z — 1,

(b) 7 : Iz — 1 1 = -j. Ahora que z“ 2 cosz es analítica sobre y en el interior de 7 , por lo tanto, la integral es igual a 2m veces el valor de z~2 eos z en z = 1 , esto es,

z 2 eos zz - 1

dz = 2m cos(l).

(c) 7 : I z I = 2. Mediante el teorema de Cauchy en regiones múltiplemente conexas, se puede reemplazar a 7 por los círculos en las partes (a) y (b). Luego la integral es igual a 27T¿ [cos(l) — 1] . Alternativamente, al descomponer el integrando en fracciones parciales, se obtiene

dz =1 1— — — — \ dz

_ y z (z — 1 ) Jy \ z — 1

= 2 7 T í [ c o s ( 1 ) — c o s ( O ) + s e n ( 0 ) ] = 2 7 n [ c o s ( l )

por el teorema de Cauchy para las derivadas.■1],

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-3, evalúe la integral

dz

Jy (z - a)(z - b) mediante la descomposición del integrando en fracciones parciales.

1. Si a y b están en el interior de 72. Si a está en el interior de 7 y b en el exterior3. Si b está en el interior de 7 y a en el exterior

Sea z(t) = 2eit + 1, 0 ^ t ^ 27T. Evalúe las integrales de los Ejercicios 4-7.

4.

6 .

* d z

sen z

z2 + 1I = O J t

5.

dz

eos z y z — 1

sen z

dz

dzy -z

Sea z(t) — 2él + 1, 0 < t ’Sá 27T. Evalúe las integrales de los Ejercicios 8-11.

^ dz y z2

9 .eos z

7 (Z - l ) 2d z

10.senz

dz 11.sen z

7 ( Z - 1 ) 3dz

7 (z2 + l ) 2

Pruebe las identidades integrales de los Ejercicios 12-14.

1 2 - Sy [ocMz) + Pf2(z)] dz = a f y f l (z)dz + P fy f 2 (z)dz

13- A , +7, f ( z ) dz = A , / ( Z) dz + A , f ( z ) dz14. S J y'f(z ) dz = - / 7 / (z ) dz15. Sin calcular la integral, muestre que

dz1* 1=2 z 2 + 1

47T

16. Si 7 es el semicírculo \z \ = R, I arg z I < ir¡2, R > 1, muestre que

Log zdz

7 Z< — í Log i? + —

* V 8 2

y, por ende, que el valor de la integral tiende a cero cuando R °°.17. Evalúe /|z|=i Iz + 1 I I dz I.18. Si f(z) es analítica y acotada por M en l z l < R , pruebe que

l/<»>(z)l<MRn\

I z \ < R .(R - lzl) n+1

19. Si/(z) es analítica en Iz I < 1 y l/(z) 1 ^ ( 1 — Iz l)—1 , muestre que

l / (">(0 ) l < ( n + 1 )! (\ + - J

20. Una función analítica/(z) ¿puede satisfacer 1/1”) (z)l > nlnn , para todos los enteros n positivos, en algún punto z?

21. Calcule

f e kzU dz,

J I z 1= 1 Z

con n entero positivo. Ahora, muestre que

2 IT 0

, k eosnf l cos(&senM0 ) dd = 2n.

22. El polinomio de Legendre Pn(¿) se define como1 d”

Pn {z)= --------- — [(z2 - 1)” ] .2 ” n! dz"

Con la fórmula de Cauchy para las derivadas, muestre que

Pn(z)1

2 7TZ h 2 ” ( r - z ) n + 1

donde z está en el interior de la curva de Jordán 7 spp.

23. Pruebe la siguiente extensión del teorema de Morera: Sea f(z) continua en una región G (con la posibilidad de ser múltiplemente conexa). Suponga que, para cada f en G, existe un disco D, que contiene a f , en G tal que

f (z ) dz = 0 ,

para todas las curvas 7 spp cerradas en D. Entonces f(z) será analítica en G.24. Sea P{z) un polinomio, ninguna de cuyas raíces se encuentra sobre la curva de

Jordán 7 spp. Muestre que

1

2ni \' P\z)_7 P(z)

dz

es igual al número de raíces de P(z) en el interior de 7 incluyendo multiplicidades.

2 .4 Teorem a de L io u v ille y p rin c ip io del m áxim o

En esta sección se presentan tres consecuencias útiles de la fórmula integral de Cauchy, y la extensión de ésta a derivadas de orden superior.

Te o r e m a de G auss del v a l o r m e d ioSea f(z) analítica en \z — f \<CR. Entonces

■■■■ 2ir .

2 'jt/ ( f + re ) dd, 0 < r < R .

PRUEBA: La fórmula integral de Cauchy establece que

27TÍm

\z—S I=r z — fdz,

para toda 0 < r < i?. Siz = f + ret0 , entonces z\6) = iretB , de donde se si gue la identidad deseada.®

LA ESTIMACIÓN DE CAUCHYSea f(z) analítica y que satisface \ f(z ) I < M en I z — f K r„ Entonces

i / » ) ( f ) l < ^ 1 .

2.4 • TEOREMA DE LIOUVILLE Y PRINCIPIO DEL MÁXIMO 87

PRUEBA: Por el teorema de Cauchy para las derivadas, se tiene

ni27ri

Mnl

m

2irr n + 1

l * - M = r ( z - f ) " +1

Mn\

dz

dz I =

Te o r e m a de Lio u villeUna función entera no puede acotarse en todo Q , a menos que sea una constante.

PRUEBA: Suponga que f(z) es entera y acotada por M. Así, en cualquier punto f en C , la estimación de Cauchy implica que I < M/r. Pero r puedehacerse arbitrariamente grande, de manera que / ' ( f ) = 0 en todo í de C. Por tanto, f(z) es constante en Q. I

Enseguida se prueba uno de los teoremas más útiles de la teoría de las funciones analíticas.

Pr in c ip io del m á x im oSi f(z) es analítica y no es constante en una región G, entonces I f(z) I no tiene máximo en G.

PRUEBA: Suponga que hay un punto z 0 en G que satisface I f(z) I < l / (z0) I para todo z e n G . Como Zq es un punto interior, existe un número r > 0 tal que \z — z 0 I < r está contenido en G. Entonces, por el teorema de Gauss del valor medio,

2 ttf ( z 0 + reh ) dt,

esto es, el valór en el centro del círculo es igual al promedio integral de sus valores sobre el círculo. Por suposición I f ( z 0 + re11) I < I f ( z 0 ) I, y, si se cumple la desigualdad estricta para algún valor de t, debe cumplirse, por la continuidad de I f(z ) I, en un arco del círculo. Pero entonces

l/(z0)K 1

27r J

2 tto

l / (z0 + re lt) \ dt <2n

2 tt

0\f(z0 )\dt= \f(z0 )l,

lo cual es una contradicción. Así, l / ( z 0 + relt) I = l / (z0 ) I Para 0 ^ t < 27T, y,como el procedimiento se cumple sobre todos los círculos I z - z0 I = s , o < S

< r, I / (z ) I es constante en el disco I z —¡ z 0 K r. Sea S el conjunto de todos


los puntos z de G que satisfacen I f (z ) I = l / (z 0 )l. El argumento anterior muestra que cada uno de tales puntos es interior de S, por lo que S es abierto. Pero cualquier punto en T = G -S es también un punto interior debido a la continuidad de l/(z)l. Ni T ni S contienen puntos frontera uno del otro, ya que son abiertos. Como G es conexo, T debe ser vacío. Por tanto, S = G y — según el teorema de la derivada cero de la Sección 1.6 —/(z ) es constante en G, lo que contradice la hipótesis. Así, \f(z) I no tiene máximo en G, y la prueba queda completa. I

Se denota por G el conjunto que consiste en G unido con su frontera. Como el exterior de G es abierto, G es cerrado. Se puede, ahora, reformular el principio del máximo de la siguiente manera.

— — — = -

C o r o l a r ioSea f(z) analítica en uña región acotada G y continua en G. Entonces I f (z ) I alcanza su máximo sobre la frontera de G.

PRUEBA: Un teorema del cálculo ordinario establece que \f(z) I alcanza un máximo en alguna parte de G si G es cerrado y acotado, y \f(z) I es continua en G. Según el principio del máximo, éste no puede estar en G, así que debe estar en la frontera de G. I

= ; ; :

Pr in c ip io del m ín im oSea/(z) analítica en una región acotada G, y continua y no nula en G.Entonces \f(z) I alcanza su mínimo en la frontera de G.

PRUEBA: Sea g(z) = 1 /f(z). Entonces g es analítica en G y continua en G. Según el corolario anterior, lg(z) I alcanza su máximo (y, por ende, \f(z) I alcanza su mínimo) en la frontera de G. I

El teorema de Liouville proporciona una fácil verificación de un teorema muy importante del álgebra elemental, que generalmente se establece sin probar.

Te o r e m a f u n d a m e n t a l del á lg eb r aTodo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz.

PRUEBA: Suponga que P(z) = anz n + d n -iz n 1 + . . . + a^z + a0 no es cero para cualquier valor de z. Entonces f(z ) = 1 /P(z) es entera. Más aún, \f(z) I

tiende a cero cuando I z I tiende a infinito, porque

l/(z)l = --------------------L _ ------ -----------1* 1» an + + . . . + ^ °

z z n

Por tanto, I/(z) I está acotada para todo z. Con base en el teorema de Liouville,/(z) y, consecuentemente, P(z), es constante, lo cual contradice la hipótesis de que n > 0. Así que P(z) tiene cuando menos una raíz.

Para demostrar que P(z) tiene realmente n raíces (incluyendo raíces múltiples), observamos que, por el teorema fundamental del álgebra, tiene por lo menos una raíz, por ejemplo, . Así,

P ( Z ) = P ( Z ) - P ( $ o)

= an (zn - ^ ) + «n-i (z” - 1 - ^ - M + . - . + a t í z - f o )

= ( * - ? o ) Q ( * ) ,

donde Q(z) es un polinomio en z de grado n - l . S i n — 1 > 0 , entonces Q(z) tiene una raíz. Si se continúa de esta manera, se pueden extraer n factores de P(z); luego entonces, P(z) tiene exactamente n raíces. I

2.4 • TEOREMA DE LIOUVILLE Y PRINCIPIO DEL M ÁXIMO 89

Ej e r c ic io s

1. Pruebe que una función entera, que satisface I/(z) l< I z ln para algún n y todos los I z I suficientemente grandes, debe ser un polinomio. [Sugerencia: Aplique las desigualdades del Ejercicio 18, Sección 2.3, ya sea a / ( n+11 (z) o a / ( n)(z).]

2. Sea f{z) analítica en Iz I < 1 y que satisface a /(O) = 0. Defina F(z) = f(z)/z para todo z en 0 < I z K l . ¿Qué valor puede dársele a F(0) para que F(z) sea analítica en I z I <C 1 ? (Sugerencia: Aplique a F(z) en I z I = r <C 1 el teorema de Cauchy para las derivadas. Entonces muestre que la función resultante, analítica en I z I <! r , coincide con Fen 0 < t z I r. Use fracciones parciales.)

3. Con base en los resultados del ejercicio anterior y en el principio del máximo, pruebe el lema de Schwarz: Sea f(z) analítica para Iz I <C 1 y que satisface las condiciones/(O) = 0 y l/(z)l < 1. Entonces I/(z) I < I z I y I /'(O) I < 1 ,con la igualdad que se cumple sólo si/(z) = e tBz para algún 6 real fijo.

4. Muestre que, en el lema de Schwarz, l/(z) I < 1 paralz I <C 1 implica que l/ ' (0) I1 independientemente del valor de/(O).

5. Dé un ejemplo para probar por qué la condición de función no nula es necesaria para la validez del principio del mínimo.

6 . Sea f{z) analítica y no constante en I z I < R . Denote por M(r) el máximo de l/(z) I enl z I = r y pruebe que M(r) es estrictamente creciente para 0 ^ r < R.

7. Pruebe que si f(z) es analítica y no constante en la región acotada G, es continua en G ,y tiene valor absoluto constante en la frontera de G, entonces debe tener al menos un cero en G.

*8 . Pruebe el teorema de los tres círculos: Si fiz) es analítica en una región que contiene el anillo 0 < r ! ^ l z l ^ r 2y satisface las desigualdades I / (z ) I ^ M l en

I z I = r j y I f(z ) I < M2en I z I = r 2 , entonces el máximo de l / ( z ) I en I z I = r,r x ^ r ^ r2 , es menor o igual a

j f l jlo g r 2/r)/(Iog r 2/ r , ) . y ^ l o g r/r! )/(log r j r l ) _

9. Teorema fundamental del álgebra (prueba alternativa): Muestre que cualquier polinomio no constante

P(z) = anzn + . . . + a xz + a0, an # 0,

tiene al menos una raíz, suponiendo que/,(z)no se anula e integrando a0/zP(z)sobre I z I = R con R ->

90 ■ CAPÍTULO 2 • INTEGRACIÓN COMPLEJA

2 .5 El TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT (opcional)

El teorema fundamental y el teorema de Cauchy, probados en las Secciones 2.1 y 2 .2 , proporcionan condiciones para garantizar que

f(z )dz = 0 ,J t

donde 7 es una curva spp cerrada. El teorema fundamental requiere que/(z) sea la derivada continua de una función analítica F(z) en una región G que contenga 7 , mientras que el teorema de Cauchy requiere que/(z) sea analítica y tenga derivada continua sobre y en el interior de la curva de Jordán 7 spp. En esta sección se probará que ambas hipótesis se satisfacen cuando /(z ) es analítica. Más aún, seremos capaces de extender el teorema de Cauchy a cualquier curva 7 spp cerrada.

El siguiente teorema proporciona el primer paso para probar que las funciones analíticas tienen antiderivadas analíticas. Nótese que este resultado es muy similar al teorema de Cauchy de la Sección 2.2, excepto que no se supone que f '(z) es continua dentro del rectángulo R, mostrado en la Figura 2.8.

Te o r e m a de C a u c h y -G o u r sa tSea/(z) una función analítica en una región que contenga al rectángulo R, dado por las desigualdades a ^ x ^ b , c ^ y ^ d . Entonces

/ (z) dz = 0 ,ja/f

donde dR es la frontera de R.

PRUEBA: Para simplificar la notación, hagamos

2.5 • EL TEOREMA DE CAUCHY-GOliRSAT [OPCIONAL] 91

fR

FIGURA 2.8. Bisecando el rectángulo

para cualquier rectángulo R. Ahora, si se divide R en cuatro rectángulos congruentes, R 1, R 2, R 3, R4 , se observa que

I{R ) = I {R 1) + I { R 2 ) + I { R 3) + I { R 4 ), porque las integrales sobre los lados comunes se cancelan entre sí —de acuerdo a la parte (iii) del primer teorema de la Sección 2.3 —, ya que tienen orientaciones opuestas (véase Figura 2.8). Por la desigualdad del triángulo, se obtiene

\I(R)\< \I(R1)\+ \I(R2 )\+ \I(R3)\+ \l{R4 )\, de ahí que al menos un R1 satisfaga a \l(RÍ)\^ 1/(7?) 1/4. Más de un R1 pueden tener esta propiedad; elíjase el que tenga menor supraíndice y llámese R i . Si se repite el proceso anterior indefinidamente, se obtiene una sucesión anidada de rectángulos R D R 1 D " ' ' D R n D Rn+\ D • • • que satisfarán a

^ ! / ( * » - ! )ln ) ------------- >

lo cual implica que! / ( * . „ > J M !

(véase Figura 2.9). Denótese por z£ = x * + ¿y* el vértice inferior izquierdo del rectángulo Rn . Por la construcción de los rectángulos Rn , es claro que las sucesiones ja;*} y {y * } de números reales son no decrecientes y están acotadas por arriba por b y d, respectivamente. Así, sus límites x * y y* existen. Mostra-

0 a bF ig u ra 2.9. r d r 1 d r í d r 3 d . . .

remos que el punto .z* = x * + iy* pertenece a todos los rectángulos Rn . Si zn = xn + ijnes el vértice superior derecho de Rn , entonces xn y yn son cotas superiores de las sucesiones, {jc*} y { y * } , esto implica que x% < x * < x n, y% < y* < yn . Así que z* pertenece a Rn , para todo n. Además, ningún otro punto pertenece a todos los rectángulos Rn , pues I zn — z* I -*■ 0 cuando n °°.

Dado e > 0, se puede encontrar un 5 > Otal que f(z) sea analítica y


A í W Í í ! ) _ / V ) < e ,

siempre y cuando I z — z* I < 5. Para n suficientemente grande, se tiene a Rn contenido en \z — z * l < 5 . Como z * , f ( z * ) y f ' {z * ) son constantes, el Ejemplo 5 de la Sección 2.1 implica que

f (z * ) dz = 03 R ,

f { z * ) { z - z * ) dz.

De tal modo que, al agregar cero a la integral I{R n ), se tiene

! / ( * „ ) ! =3 R ,

lf { z ) - f { z * ) ~ f { z * ) { z - z*)] dz

En base a la parte (iv) del primer teorema de la Sección 2.3, y a las condiciones anteriores, se tiene

donde

!/(/?«) I<

< e

Dn í z..

f _ {f ( z ) - f (z *) - / ' ( * * ) ( * - * * ) 1 lcízlJ3nn

I z — z* 1 I dz I < eDn Ln ,

7* I c n 1 Ln I dz I3 R t

son, respectivamente, la diagonal y la longitud del perímetro de Rn , Pero

Dn = j D n - 1 = . . . = 2~nD, Ln = | L n_ i - . . . = 2~nL, donde D y L son la diagonal y la longitud del perímetro de R, así que

4~n \I(R) I < \l(Rn )\ < eD n Ln = 4 r neDL.Por lo cual l/(Z?) I ^ eDL, y, como e es arbitrario, se podrá tener únicamente I(R) = 0, y la prueba queda completa.®

El siguiente paso es mostrar que cualquier función analítica en un disco tiene una antiderivada en ese disco.

Te o r e m aSi f(z) es analítica cn el disco Iz I < r, entonces hay una función analítica F{z) en r z0 l < r que satisface I'\z) = f(z ) .

2.5 • EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT [OPCIONAL] 93

FIGURA 2.10. Los arcos i z y -yz

PRUEBA: Para cualquier z en el disco I z — z 0 I < r, sea yz el arco que consiste en los segmentos de recta que une a z 0 con x + iy0 y a x + iy0 con z, donde z = x + iy y z0 = x 0 + iy0 (véase Figura 2.10). Defina

F(z) f(z ) dz =Tz

f ( t + iy0 ) dt + iy o

f ( x + it) dt. ( 1 )

Si y'z es el arco que consiste en los segmentos de recta que unen a z 0 con x 0 + iy y a x 0 + iy con z, entonces yz — y'z es la frontera de un rectángulo y, según el teorema de Cauchy-Goursat,

f ( z ) d z = f ( z )d z t z~yz p z

f(z ) dz.

También se puede calcular F(z) a lo largo de la trayectoria y 'z ,' C (*

F (z ) = , f (z ) dz = i I y f ( x 0 + it) dt + f ( t + iy) dt.h z Jy0 J*o

La derivada parcial de (1) con respecto a y está dada por

( 2 )

Fy (Z) = *. 9

dy .f ( x + it) dt = if(x + iy) = if(z),

debido a que la primera integral en (1) es independiente de y. En forma semejante, al tomar la derivada parcial de (2), con respecto a x, se llega a F x (z) = / (z) . Así, F(z) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Fx { z ) = f ( z ) = - iF y (z ),

y como f(z) es continua, se tienen condiciones suficientes para la analiticidad de F(z) en Iz — z 0 I < r. Finalmente, F'(z) = F x (z) = f(z). ■

Como en cálculo real, dos antiderivadas de la misma función difieren a lo más por una constante: Si F(z) y H(z) son antiderivadas de la función f(z), entonces

[ F ( z ) - / / ( z ) ] ' = / ( z ) - / ( z ) = 0 ,


lo cual implica que F(z) - H(z) es una constante, según el teorema de la derivada cero de la Sección 1.6.

La prueba del teorema anterior puede extenderse a cualquier región simplemente conexa.

Te o r e m a de la a n t id e r iv a d aSea/(z) analítica en una región G simplemente conexa. Entonces hay una función analítica F(z) en G tal que F'(z) ' f{z).

PRUEBA: Fije un punto z 0 en G. Luego, por el teorema sobre trayectorias poligonales de la Sección 1.3, se puede encontrar un polígono, con lados paralelos a los ejes, que una a z 0 con cualquier punto z en G. Suponga después que 7 y y ' son dos de tales polígonos; así, y — y ' consistirá en un número finito de fronteras de rectángulos en G (posiblemente algunos de ellos degenerados), recorridos en sentidos positivo y negativo en forma alternada (véase Figura 2.11). Este hecho requiere una prueba delicada, para la cual se utiliza la conexidad simple de la región G, y se omite por ser intuitivamente clara (véase las Notas al final del capítulo). Por el teorema de Cauchy-Goursat,

07 - 7

, / (* ) dz f ( z ) d z — t f (z )d z . 7

Así,

F(z) f(z ) dz = f(z ) dz

es independiente de la elección de la trayectoria. Si una línea horizontal (vertical) es el último segmento de recta de 7 ( 7 ) y ¿i de intersección, entonces

+ iy 1 el último punto

F(z) = i f ( x 1 + it) dt + f ( t + iy) dt + C

f ( t + iy¡) dt + i f ( x + it) dt + C,

donde z = x + iy y la constante C = F(z j ). Al tomar las derivadas parciales, la primera ecuación da F x (z ) = / ( z ) , y la segunda, F y (z ) = if{z). Como/ (z ) es continua y F x = —iFy, F(z) es analítica en G y F'(z) = / ( z ) .

Es esencial que G sea simplemente conexo, porque, de otra manera, los polígonos J y y ' podrían formar un rectángulo con un “hoyo” en su interior. La función/(z) no sería analítica en una región que contuviese el rectángulo; por lo tanto, el teorema de Cauchy-Goursat no se aplicaría. I

2 5 • EL TEOREMA DE CAUCHY-GOlfRSAT [OPCIONAL! 95

FIGURA 2 . 1 1 . Lo curvo y - y ' que consiste en los fronteros de los rectángulos en G

Eje m p loLa función f (z) = 1 ¡z, analítica en <2 — {o } , tiene a F(z) = log z como antiderivada. Si se recorre la mitad superior del círculo unitario, con 1 al principio sobre la rama principal, se obtiene

F { e W ) = {~ ,2

mientras que, si se recorre la mitad inferior del círculo unitario, se tiene

F { e - W ) =2

De ahí que, en este caso, el valor de la antiderivada en z = 1 dependade la trayectoria elegida.

El teorema de la antiderivada proporciona una simplificación inmediata de las hipótesis de los siguientes teoremas.

Te o r e m a fu n d a m e n t a lSea /(z ) analítica en una región G simplemente conexa. Entonces, para cüalquier arco 7 spp: z - z (í), a < t < j3,

\¡ / ( z ) d z - /-'(z (¿ ¡)) F (z ( o í ) ) ,

■ j 7 ■■

en donde F(z) es cualquier antiderivada de/(z) en G.

j------------------ :r_ '-------------------------------------------------- TCT7T V ' ’ i ■ "cí'ípJJÍ ’g * -L?; ‘* f >: 'V''

TEOREMA DE CAUCHYSi J(z) es analítica y 7 es una curva spp cerrada, en la región G simplemente conexa, entonces

■ :LL'.'C' r' ■ '■■■■' L: ":'J v ■ 'OLf (z) dz = 0 .

. L ó L - J r ...... O : . ■ • ¡ ' ó - j ' í : - - ; . c i ó L

PRUEBA: Si f(z) es analítica en la región G simplemente conexa, existirá una función analítica F(z) en G tal que F' = / . Así, el teorema fundamental de la Sección 2.1 se cumple, lo cual implica que, para cualquier arco 7 spp: >z =z ( t ) , a < t < ¡ 3 ,

f ( z ) d z = F ( z ( J 3 ) ) - F ( z ( a ) ) .

7v •

Si z(j3) = z{ot), se obtiene el teorema de Cauchy. IAhora consideremos las propiedades de las integrales del tipo encontrado

en la fórmula integral de Cauchy.

TEOREMA DE RlEMANNi>ea g(£) continua en el arco 7 , spp. Entonces la función

■ ■ m mF n (z) n = 1, 2, 3, . . .,J r ( i - * ) " " - .

será analítica en todo z en el complemento de 7 y su derivada satisfará nF ' n i z ) = n F n +1 ( z ) .

PRUEBA: Elija un punto :z0 que no pernetezca a 7 y un disco Iz — z c ajeno a 7 . Para z en el disco Iz — z 0 l< 5 /2 , se tiene

< 5

l ^ ( z ) - F , ( z 0)l = s i nt - z n

i í ( r ) i i d nl f - z l If — ¿o I

El arco 7 tiene longitud L finita, de ahí que sea un conjunto de puntos cerrado y acotado. Un teorema de cálculo ordinario establece que las funciones reales continuas alcanzan un máximo en cualquier conjunto cerrado y acotado. Así que |g($) I está acotada por M en 7 . Como I f — z I > 5/2 para todo f de 7 ,

l F , ( z ) - F , ( z 0) l < - I z - z 0 I ,

2.5 • EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT (OPCIONAL) 97

lo que prueba la continuidad de F i (z ) en z 0 . Al aplicar este hecho a las funciones

* ( í )

Gn (z) = ( S ~ z o)7 ( f - z ) »

d$,

se encuentra que G, (z) es continua en z 0 , ya que g (f)/(f — z 0 ) es continua en 7 . Entonces, como el cociente de las diferencias de F t (z) es igual a G x (2 ),

F 2 (zQ) = G í (z0 ) = lím G ,(z) = lím — F ]A Z-°1 = F\(z0 ).z^z 0 z^z0 z — z 0

Supóngase que F!n_ i (z) = (n — l ) F n (2 ) es verdadero (y, como g(f) es arbitraria, también que G ’ __1 (z) = (n — 1 )Gn (z)).< Entonces

1 _ 1 z — z 0

f - * £ - z 0 ( f - z ) ( f - z 0 )implica que

Fn{z) - F n {z0 ) = [G„_ 1 (2 ) - Gn - 1 (z0 )] + (z — z 0 )G„(z).Ya que G„_i (z) es derivable, será continua, y

\G„(z)\ g(?) d$ 2nML

8n+para Iz — z 0 I < 5 /2 . Por la desigualdad del triángulo,

2 " AfA0 < l í m \Fn ( z ) - F n (z0)\^ lím l z - z o l= 0 ,

O n Z -> Z 0

lo cual significa que F n(z) (y, por ende, Gn(z)) es continua en z 0 . Así,

F'n (z0 ) = V m Gn (z)z-*z0 L z — z 0 J

= (z0) + G„ (z0)= nGn (z0 ) = nfv+i (z0 ).

La prueba se sigue ahora por inducción.®

El teorema de Riemann proporciona una prueba del teorema de Cauchy para las derivadas, además del notable hecho de que las funciones analíticas tienen derivadas analíticas.

Te o r e m a de C a u c h y p a r a d e r iv a d a sSea f(z) analítica en una región simplemente conexa que contiene la curva de Jordán 7 spp. Entonces, para todos los puntos f en el interior de 7 ,

n:2iri

I . / < = ’ h i* r r *

j dz, n = 0 , L, 2 ,


PRUEBA: Escriba g(z) = /(z ) en el teorema de Riemann. Así,

( f ) =m

7 z — f

por la fórmula integral de Cauchy para todos los puntos t en el interior de 7 .. Si aplicamos repetidamente, el teorema de Riemann, se tiene

K i n _ _ _ F í»)(f) _ 2 m / n) ( nF n + i ( f )

lo que nos da

n(n — 1 ) ni ni

f {n)( n = ^ 7 F n + l ( f ) = ^ 72m 2mm r dz,n + 1 ’

h ( * - S Ty se sigue el resultado. Si se acuerda que = f y 01 = 1, la ecuación anterior se reduce a la fórmula integral de Cauchy cuando n = 0. I

C o r o l a r ioSi f{z) es analítica en una región G, entonces también lo será su derivada f ' (z). Más aún, f(z) tiene derivadas de todos los órdenes en G.

PRUEBA: Como la analiticidad necesita probarse sólo en una vecindad de un punto, para cada f podemos encontrar un disco Iz— f I r contenido en G. Sea 7 el círculo I z — f I = r. Entonces (f) existirá para todo n entero positivo, así que / '(z ) tendrá una derivada en f y será por tanto, analítica. ■

Este corolario completa la tarea de mostrar que las funciones analíticas tienen derivadas analíticas, y permite eliminar todas las hipótesis innecesarias en las versiones del teorema fundamental, del teorema de Cauchy y el teorema de Morera, que fueron probados en las Secciones 2.1-2.3.

Ej e r c ic io s1. Los polinomios de Laguerre Ln (z) están dados por

Ln (z) = ez — (zne~z ).V ' dznK ’

Muestre que, para todo z en el interior de la curva de Jordán y spp,f J f

' A N - t - t .. ,y ■'»*! d t '2m2. Obtenga la fórmula de Wallis

( r - * r

V / 2 2 n a j a (2n) ! 7reos ¿n8 d 8 = —— * —0 (2n ni)2 2

al integrar f(z) = (z + 1 /z)2n/z sobre Iz 1= 1 .

EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT [OPCIONAL] 99

3. Sea/(z) continua en la región Re z > <7 y suponga que lím f(z) = 0. Entonces, para todo número negativo t, pruebe que z "x

lím

donde = { lz l=7? } H {R *4. Sea f(z) analítica en el conjunto R *, obtenido al omitir un número finito de pun

tos interioresz x, z 2 , . . zn del rectángulo R. Pruebe que

f(z) dz = 0 ,

dado que3 R

lím ( * - * * ) / ( * ) = 0 , z zk

para todo k = 1 , 2 , . . . , n.*5. Seaf(z) analítica en el conjunto D, obtenido al omitir los puntos z lt z 2, . . zn

en I z — z o I < r. Pruebe que

f {z ) dz = 0J 7

para cualquier curva y cerrada en \z — z 0 I < r , dado que

lím (z - zk )f(z) = 0, k = 1 , 2 , . . n. z^ zk

*6 . Muestre que la aseveración del Ejercicio 5 permanece cierta cuando D se obtiene al omitir un número infinito de puntos z lt z2 , . . que no tienen puntos de acumulación en I z — z 0 I < r.

NOTAS

S e c c ió n 2.1Una prueba del teorema de la curva de Jordán se encuentra en [W, pág. 30].

Se c c ió n 2 .4Las generalizaciones del lema de Schwarz se pueden encontrar en [A, pág. 136],

Se c c ió n 2 .5Se puede mostrar que el teorema de Cauchy-Goursat se cumple en R con hipótesis más débiles. [V, pág. 76] prueba que es válido para f(z) analítica en el interior de 37? y continua en R. La verificación, en el teorema de la antiderivada, de que y — y' consiste en las fronteras de un número finito de rectángulos puede encontrarse en [A, págs. 141-143] o [L, págs. 128-131]. Una

1 00 CAPÍTULO 2 • INTEGRACION COMPLEJA

prueba del teorema de Cauchy, que evita la topología, ha sido dada recientemente por J . D. Dixon. Puede encontrarse en Í[L, págs. 148-150] o en el artículo original en Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971): 625-626. Más generalizaciones del teorema de Cauchy pueden encontrarse en [A, pág. 144] y [Ho, págs. 3, 26]. El teorema de Riemann se cumple siempre y cuando f y I g(f) I •I < °°. La prueba, al utilizar esta hipótesis más débil, es esencialmente la misma. Una prueba de la analiticidad de la derivada, independiente de la integración, se da en [W, pág. 77].

Q»

C

O Series O INFINITAS

3 .1 S erie de Ta y l o r

D e f in ic ió nUna serie infinita de números complejos

a\ + fl2 + . . . + fln + • . • converge a la suma A, si las sumas parciales

Sn = di + a.2 + . . . + fln satisfacen Sn -> A cuando n _>°°, y, en este caso, se escribe 2 “ an = A. De otra manera, se dice que la serie diverge. A una serie con la propiedad de que los valores absolutos de sus términos formen una serie convergente se le dice absolutamente convergente.Como an + 1 = S„+i — Sn , si la serie es convergente, se tiene que

lím an + 1 = lím (Sn+\ — Sn ) = A — A = 0.n~+00

Así, el término general de una serie convergente tiende a cero. Esta condición es necesaria, pero no suficiente, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Eje m p l o 1La serie

1 + 4- + 4- + J—i-J—i-J- + J—i-J—uJ—l í - l 2 2 3 3 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + . . .

101

102 CAPÍTULO 3 • SERIES INFINITAS

diverge porque, si se suman los términos similares,

1 + C2 + i ) + ( i i + i ) + ( i + 4 + 4 + 4 ) + ■

las sumas parciales crecen indefinidamente.

Una serie absolutamente convergente debe converger. La prueba se deja como ejercicio, ya que es indéntica a la que se da en cualquier texto de cálculo.

Frecuentemente, es de gran interés una serie infinita de funciones definidas en una región G.

2 f n ( z ) = f l ( z ) + M z ) + . . . + f n (z) + . . .n = 1

Se dice que la serie converge en G si converge para cada z0 en G. se escribe

f ( z ) = | f n (z)

y a f(z) se le llama suma de la serie.

Eje m p lo 2Muestre que la serie geométrica

oo

2 znn = 0

converge a

1

1 ~ zpara I z I < 1 .

SOLUCIÓN: La división larga de polinomios da

1 Z n 7 n = 1 + Z + Z2 + . . . + Zn -~l + — = S n _ ! + — — .1 —z 1 — z 1 — z

Como Iz I < 1 , se sigue que zn 0 cuando n Así,

_ L _ = 2 zn , I z i < 1 .1 — Z n - 0

Se mostrará ahora que toda función analítica puede expresarse como una serie de Taylor convergente.

3.1 • SERIE DE TAYL.OR 103

Te o r e m a de Ta y l o rSea f{z) analítica en la región G, que contiene al punto z0. Entonces, la representación

f ( Z) = / ( ? o ) + — ^ {z ~- z0 ) + . V. + (z - Z0 )” + . . .1 ! ni ■

es válida en todos los discos Iz — z 0 I < r contenidos en G.

PRUEBA: Sea z cualquier punto interior del disco cerrado I f — z 01 r contenido enG. Úsese la fórmula integral de Cauchy para expresar/(z) como una integral.

Ahora,

/(* ) — J m27TÍ I Í~zo l=r £ — z

d i

1Z — Zr z - z 0

yf - Zo

< 1 ,^ ~ z0 -

al usar las sumas parciales de la serie geométrica para reescribir la integral en la forma

/(*) =m

2 ni lf-z0 l=r f -- z o

í m

Z - z o

2ni f - zo

f ~ z0-z z0 i z - z0

1 + + . . . +n —1

+ Qn d i

donde

Qn ~- z 0 )n l { $ - z 0 )n _ (Z - Z 0 )"

i-(z-z0)/(f- o) (T- KT-ío)"-1Si se utiliza el teorema de Cauchy para las derivadas se obtiene

f { z ) = f iz o) + (z ~ z o) + • • • + (z ~ z o)n~ l ^ + Rn ,1 !

donde

R„ (z ~ z 6 T

27TÍm

(n - 1 )!

Se elige a z dentro de I f — Z 0 I = r, sea I z:—:z0 I = p, y si se observa que I f — z I r — p para todo J en — z 0 I = r, se tiene -r..

2nrM rM

FIGURA 3 .1 . El disco l f - z 0 1 < r con ten ido en G

siendo M como el máximo de I/(f) I en I f — z 0 I = r (véase Figura 3.1). Pero p/r < 1, por lo que R n -*■ 0 cuando n -*■ °°. Por tanto, f(z) está representada por la serie de Taylor para todos esos z .B

Este teorema permite obtener series de Taylor para funciones analíticas de la misma manera en que se hace en el cálculo ordinario. Por ejemplo, si f(z) = e z, entonces / ^ ( z ) = ez y f^n\0) = 1 , y se obtiene la serie de Maclaurin

oo yne* = 2 2- , I z K oo ,

n - 0 n i

válida para todo z e n S , ya que f(z) es entera.Los dos teoremas siguientes son consecuencias útiles del teorema de

Taylor.

TEOREMASi f(z) es analítica en una región G que contiene al punto z 0 , y /* ”* (z0 ) = 0 para n — 1 , 2 , . . . , entonces f (z) será constante en G.

PRUEBA: Por el teorema de Taylor, f(z) = f ( z0 ) para todo z en cualquier disco If — z0 I < r contenido en G. Sea g(z) - f(z) — f (z 0 ). Entonces g es analítica en G y g ^ (z) = 0, n = 0, 1, 2, . . ., para todo z en este disco. Sea S el conjunto de todos los puntos z de G, en los cuales g ^ (z) = 0 , n = 0, 1 , 2 , . . . , . y sea T = G - S. Si z x está en S, entonces, por el teorema de Taylor, g tendrá la representación en serie g(z) - 0 en todos los discos I z — z x I < r contenidos en G. Por ende, con base en el argumento anterior, S es abierto, ya que todos sus puntos son interiores. Si z1 está en T, existe un entero n > 0, para el cual g(n) ( z j ) ^ 0. Por tanto, en un disco centrado en z x y contenido en G, la serie de Taylor de g(z) no se anula; lo que implica que z, es un punto interior de T.

3.1 * SERIE DE TAYLOR 105

Así, T es abierto. Ni T ni S contienen puntos frontera del otro porque ambos son abiertos. Como G es conexo, T debe ser vacío; por ende, g(z) = f ( z) — f (z 0) - 0 para todo z de G. ■

Este teorema implica que si una función f(z) analítica y no constante en una región G se anula en un punto z 0 de G, existirá un entero positivo n, para el c u a l ( z 0) =£ 0. El mínimo entero que satisfaga esto determinará el orden del cero de f en z 0 y permitirá escribir

/(* ) = ( * - * „ ) * / , ( * ) , f , ^ s d!,2m J l f - z 0 l = r ( f - Z) ( f _ Zo)n

conf j z ) analítica en el interior del disco I f — z 0 I < r contenido en G —por el teorema de Cauchy—, para las derivadas (o por el teorema de Riemann de la Sección 2.5). Aún más,

f n { z o ) = 2mm

(f — Z0 )n+l ni

Así que existe una e-vecindad de z 0 totalmente contenida en G, en la cual fn (z) no se anula, ya que es continua. Esto muestra que z 0 es el único cero d e / e n I z — z 0 I < e. Así, se ha probado el teorema siguiente.

Te o r e m aLos ceios de una función analítica no constante son aislados.

Eje m p l o 3Obtenga la serie de Maclaurin de f(z) = (1 — z)~2 .

SOLUCIÓN: Como / ( " ) (z) = (n + 1)!(1 — z)~(n+2) para n = 0, 1 ,2 , . . . se tiene/<">(0 ) = ( » í 1 ) 1 y

1 ” -2 = 2^ (n + l ) z n , I z K l ,( 1 —z)2 n=0

puesto quef(z) no es analítica en z = 1. La serie de Taylor def(z), centrada en el punto z 0 = —1 es

í— = 2 í ü l i l (Z + i)» Iz l< 2 ,( 1 - z ) 2 n=o 2 2

yaque f-n\ —1 ) = (n + l ) ! / 2 n+2 .

Eje m p lo 4Encuentre el orden del cero de f(z) = 2z(ez — 1 ) en z = 0.

SOLUCIÓN: Primero calcule /^ (0 ) para n = 0, 1, 2, . . . Como

f\ z) = 2zez + 2{ez - 1 ), f ( z ) = 2zez + 4ez , se encuentra que /"(O ) = 4, así que el orden es 2. También resulta claro, a partir de la serie de Maclaurin def(z)

OO yH / y y22z(ez — 1 ) = 2 z 2 ----- = 2z2 1 + — + — + . .

n=l n\ V 2 ! 3!

Se debe tener especial cuidado al buscar la serie de Taylor de funciones analíticas definidas en una superficie de Riemann. Véase el siguiente ejemplo.

Eje m p lo 5Es importante recordar que la función log z se define en la superficie de Riemann R, descrita en la Sección 1.9. Al construir la serie de Taylor de /(z ) = log z es esencial especificar la rama de que se trata. Si se busca la serie de Taylor alrededor de z = 1, que es un punto en la rama principal, se tiene / (n (z) = (— l )n - 1 (n — l ) ! z “ " , n = 1, 2, 3 , . . y log 1 = ’ Log 1 = 0, así que

Logz = f ¿ Í í ü ( . _ ! ) ■ - _ f í L i f r .n-l n\ n=l n

Por otra parte, la serie de Taylor alrededor de z = e2m en la siguiente rama de <ñ es oo ( 1 _ z \n

log z = 2m - 2 i ,n= 1 n

ya que las funciones f-n\ z) son analíticas en C — { 0 } y

f { e 2ni) = log e2ni = 2m,

fin)(e 2 *i )= (n _ 1 ) 1 , n = 1 , 2 , . . .

Se pueden aplicar observaciones similares a cualquier otra rama de (R. Las fórmulas son válidas en Iz — 1 I < 1, ya que f^n (z) no es analítica en z = 0 , para n = 0 , 1 , 2 , . . .

Eje m p lo 6Muestre que no existe una función analítica en I z I < 2 que satisfaga la condición

/ ( - ) = ^ » n = l , 2 , 3 , . . .\ n ) n

3.1 • - SERIE DE TAYLOR 107

SOLUCIÓN: Si existiera, F(z) = z — f(z) sería una función analítica no constante, que satisfaría F ( l / 2 m ) = 0, para m = 1, 2, 3, . . . Por tanto, z = 0 es un cero de/(z) que no es aislado, lo cual contradice el teorema anterior.

Ej e r c ic io s oo

1. Muestre que la serie 2 1 /n diverge.n= 1

2. Pruebe que una serie absolutamente convergente debe converger.Obtenga las series de Maclaurin dadas en los Ejercicios 3-7.

oo ^3. senz = 2 ( - 1 ) " - 1 , l z l < ° o

n=i ( 2 n — 1 )!

z2n4. eos z = 2 ( - l ) n ---------, Iz I < °°

n = 0 (2 n)!2 2 n - l

5. senh z = 2 -------------> I z I < °°n=i ( 2 n — 1 )!

z2n6 . cosh z = 2 — — > I z I < °°

n=o (2 n)!

7 . ---- — = £ |2 |<]L1 - Z 2 n = 0

En los Ejercicios 8-15, desarrolle las funciones dadas en una serie de Taylor alrededor de Zq . Indique el máximo disco donde sea válida esta representación.

8 - ñ z ) = ’ z o = - 1 9 - f i z ) 11 - Z 1 - 2

— 1 1 . / (z) = senz,2 " 2

7T 7T1 0 . f(z) = eos z, z 0 = — 1 1 . /(z ) = senz, z 0 =

1 2 . / ( z ) = - , ¿ 0 = 1 1 3 . / (z ) = Logz, z 0 =tz

14. /(z ) = logz, z 0 = - 1 15. /(z ) = logz, 2 0 = 2e3,r!

Encuentre el orden del cero en z = 0 de las funciones dadas en los Ejercicios 16-19.

16. z2 (eos z — 1) 17. 6 senz2 + z2 (z4 — 6 )18. z — tan z 19. z 2 — senh z 2

20. Pruebe que si dos funciones analíticas en una región G coinciden en un subconjunto de G, que tiene un punto de acumulación de G, entonces coinciden en todos los puntos de G.

21 . 0 , 1, 0 , - 1, 0 , 1, 0 , - 1, . . .

22. 1 , 0 , i , 0 , -h 0, -7, 0, •9, 0, . . .OQl I i i í i 1 i ZO. i , 3 , 5 , 7 ) 9 ) 11 > 13) 15) • • •

Determine si existe una función analítica en I z I <C 2 que tome, en los puntos z = 1 /n,n = 1, 2, 3............ los valores dados en los Ejercicios 21-24.

o 4 JL X X X X X X X2 > 2 > 3 > 3 > 4 > 4 ) 5 > 5 » • • •

25. Dé un ejemplo de dos funciones que coincidan en un número infinito de puntos de una región G y, no obstante, sean diferentes.

26. Muestre que si f e s una función analítica no constante en G, el conjunto de puntos que satisfacen/(z) = Ct, a en 6 , no tiene un punto de acumulación en G.

27. Pruebe el teorema del binomio para ct complejo:

( l + z ) tt = l + — Z + a a ~ ^ z 2 + a a — 1)(a — ^)1 1 - 2 1 - 2 - 3

3 .2 C o n v e r g e n c ia u n ifo r m e de series

En esta sección se probará el inverso del teorema de Taylor, a saber que las series de potencias convergentes son de hecho funciones analíticas en sus regiones de convergencia.

D e f in ic ió nLa serie/(z) = 2 ” f n (z) es uniformemente convergente en G, si para todo e > 0 existe un número positivo K tal que

f i z ) - fn (z)n= 1< e ,

para cualquier k > K y z en G.

La convergencia uniforme difiere dé la convergencia en que, para esta última sólo se necesita mostrar la existencia de una función positiva K{z), tal que para cada z 0 en G,

/ ( Z 0 ) - 2 f n (z0 ) n = 1

< e .

siempre y cuando k > K{zQ). La importancia del concepto de convergencia uniforme se ve en el siguiente resultado.

Te o r e m a de W eierstrassLa suma de una serie uniformemente convergente de funciones analíticas es analítica y puede derivarse o integrarse término por término.

PRUEBA: Sea /(z ) = 2 7 f n (¿) con cada f n (z) analítica en la región G. Dado e > 0, existirá un número positivo K tal que

3.2 • CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES 109

para k > K y todo z en G. En cualquier z 0 de G y k (> K ) , fija, existe una 5 tal que

^ f n { z ) ~ 2 / B ( z 0 )= 1 3siempre que z esté en G y \z — z 0 I < 5, ya que la suma parcial es continua. Así, por la desigualdad del triángulo,

I f(z) - f ( z 0) / ( * ) - 2 , / » ( * ) n = 1

+

< e

2 /„ (z ) - 2 fn{z o) 1= 1 n - 1

2 /»(*<>) - / ( ^ o )n = 1

siempre y cuando z pertenezca a G y Iz — z 0 I < 5. L u e g o ,/ es continua en G. Por el teorema de Cauchy, para cualquier curva y spp cerrada en un disco contenido en G,

fn (z ) dz = 0 , n = 1 , 2 , . . k,

por ende,

f(z) dz f(z) dz — 2 7 n=l ^

/ ( z ) - 2 /„ (z) n = l

/n í2 ) d,Z

I dz I <eL

donde L es la longitud de y. Como e puede estar arbitrariamente cercano a cero, la extensión del teorema de Morera (Ejercicio 23, Sección 2.3) es válida y

f(z) es analítica en G. (Si G es simplemente conexa, se sigue directamente del teorema de Morera.) En particular, lo anterior muestra que en cualquier arco 7 spp en G,

/(z ) dz 2n = 1 *

/ » iz ) dz-

Además, por la fórmula de Cauchy para las derivadas,

f \ z ) ~ X f U z )n — 1

1 f27rí „

/(D - 2 „ =1 / B(f)< ü ,

3 r. I = r ( r - ^ ) 2

jara todo z que satisfaga Iz — z 0 l< r/2, k > iv, y I f — z 0 I < r contenido en G véase Figura 3.2). Así, la serie 2 f'n (z) converge uniformemente a f ' (z) en Iz — zo I < r/2, Ahora la prueba está completa.El teorema de Weierstrass puede aplicarse a la serie de potencias 2 7 an (z — z o )n , ra que cada término de la serie es una función entera. Antes de proceder en ísta dirección, es conveniente mencionar algunos comentarios acerca de las

Figura 3.2. i ? - z i > r / 2

series de potencias. Nótese que la sustitución % = z — z 0 transforma la serie• oo

anterior en la serie 2 ! an , así que solamente consideramos series de potencias de esta última forma.

Del cálculo alemental, se debe recordar el concepto de radio de convergencia R de una serie de potencias 2 1 rn x n , donde los coeficientes rn son reales. El número 0 < R < oo tiene la propiedad de que la serie converge absolutamente para I x í < R y diverge para I x I > R , y que R puede calcularse por medio de la fórmula

R = límr n + 1

dado que el límite existe. Desafortunadamente, para series como

2 + x + 2x 2 + x 3 + . . . + 2x2k + x 2k+l + . . ., la razón de los coeficientes Irn/rn+i I es, alternada, i y 2 , así que no existe el límite. Ahora se dará una fórmula que pueda usarse siempre para calcular el radio de convergencia R de una serie de potencias 2 t anzn , y se probará que R se comporta de la misma manera que en el caso de series de potencias reales.

FÓRMULA DE HADAMARDEl radio de convergencia R de una serie de potencias 2 7 anzn está dado por

R - 1 lím sup-y/ \an 1= lím [inf(la„l 1 , I a„+i.l1 n+1) , . . . ) ] .

La mínima cota superior (inf) decrece o permanece constante cuando n aumenta, así que el límite existe siempre (con el infinito como un valor permitido). Si 2 1 2”) 1 cuando n -*■ oo, la serie

2 + x + 2x 2 + x 3 + . . .

tiene como radio de convergencia R = 1.

3.2 • CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES 111

Te o r e m a de A belSea R el radio de convergencia de la serie de potencias 2 ~ anzn . Entonces:

(i) La serie converge absolutamente en :lz I < R , y es uniformemente en . . Iz \<p, p < R .(ii) La serie diverge en Iz l> R.

(iii) La suma de la serie es analítica en I z I < R , y su derivada, obtenida al derivar término por término, tiene el mismo radio de convergencia.

PRUEBA: (i) Sea Iz I < r < R. Entonces, r 1 > R 1 , así que la definición de lím sup implica la existencia de un entero N tal que I an I < r~n para todo n ¡D5 N. Entonces

2n - N

\zin < 2 n - N

N

i -

por la serie geométrica (Ejemplo 2, Sección 3.1), ya que Iz/r I < 1. Así, la serie converge absolutamente en I z I < r para cualquier r < i ? , y, por ende, en I z I < R. Para mostrar la convergencia uniforme, se elige I z K p < r < i?, entonces, por lo que se hizo anteriormente y por la desigualdad del triángulo,

2n= k

2n= N

<

N

1 - l e

para todo k > N y Iz l r > R, entonces r - 1 Iz/rl" y son, por ello, no acotados.

(iii) Se sigue del teorema de Weierstrass que la suma es analítica én Iz I < R y que su derivada puede obtenerse por derivación término por término. Finalmente, si se hace 1 + cn ; entonces, por el teorema del binomio,

/-■ \ti ^ n(n — 1) ,n = ( l + c „ ) > 1 + ------ el ,

lo cual implica que c% < 2/n. Así, cn 0 cuando n Se calcula el radiode convergencia de la derivada 2 7 na„zn _ 1 observando que lím sup ~ /\ an I

f--------- n-+ °°sup-^n \an I< lím

r z - > 00

< lím \ f ñ ' lím sup y / I an I = lím sup \ / 1 an

Eje m p lo 1Considere la serie

1 - z 2 + z4 - z6 + . . .

En tal caso I an I se anula para n impar y es igual a 1 para n par. Entonces, R = 1; as!, la serie converge absolutamente en Iz I < 1, uniformemente en I z I <í r < 1, y diverge en I z I > 1. Aún más, representa alguna función analítica en I z I < 1. Nada se ha dicho de I z I = 1; sin embargo, obsérvese que la serie diverge en todos los puntos de I z I = 1 , ya que su término general no tiende a cero. Con el Ejemplo 2, de la Sección 3.1, se encuentra que

— — = 1 - z 2 + z 4 - z 6 + . . ., I z k l .1 + z2

Nótese que la serie es analítica sólo en I z I < 1, mientras que la función (1 + z 2 )- 1 es analítica en todo G excepto en z = ±i. Se puede integrar la serie término por término en cualquier trayectoria dentro del círculo unitario para obtener

dz z 3 zs z7— + --------------+ ______ i z k i .

o 1 + z2 3 5 7En particular, la función

fl?) = ~zdz z z^

= i - — o < i z k i ,o l + z 2 3 5

/(O) = 1

es analítica en I z J < 1 , lo que ilustra una manera útil de mostrar la analiticidad.

Eje m p lo 2Encuentre el radio de convergencia de las variables de potencias

(a) 2 - n = l n

(b) 2 -n - 0 n !

(c) 2 2 nzn= 1

SOLUCIÓN: (a) Por la prueba del teorema de Abel, (1/ra)1/" = l¡\/ñ tiende a 1 cuando n -*■ 00 , así, R = 1 para la serie (a). Obsérvese que este resultado también se puede obtener con la fórmula de la razón.

Para (b) es más fácil usar la fórmula de la razón

rn+l

(n + 1 )! — = n + 1 -> 00 n -*■ °°

niy R = 00.

En la serie (c) la fórmula de la razón no puede usarse, ya que contiene un número infinito de coeficientes igual a cero. Aquí R = 1, debido a que se tiene

( 2 ” ) 1/” ! = g l n 2 / ( n —1)! ^ g 0 = ^ n ^ oo

y todos los otros términos se anulan.

3.2 • CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES 1 1 3

Eje m p l o 3Encuentre solución analítica de la ecuación diferencial

f"(z) - 2 zf'(z) - 2f(z) = 0

con condiciones iniciales /(O) = 1 , /'(O) = 0.

SOLUCIÓN: Derive la serie

f (z ) = a 0 + a lz + a2z2 + . . . + anzn + . . ., a0 = 1 , dos veces, para obtener

f \ z ) = a t + 2a2z + 3a3z2 + . . . + nanz" - 1 + . . ., a y = 0 ,

f"(z) = 2a2 + 6a3z + . . . + (n + 2) (n + \)an+2 Zn + . . . .Entonces, al agrupar términos de potencias iguales,

f"(z) - 2zf'(z) ^ 2f{z) = 2 [(n + 2 )(n + l)an+2 - 2 (n + l)an]zn = 0 ,n - 0

así que (n + 1) [(n + 2 )an +2 — 2an ] = 0, para n — 0, 1, 2, . . . La ecuación de recurrencia an + 2 = 2 an/(n + 2 ) implica que la solución analítica general de la ecuación diferencial es

. z4 z6f ( z ) = a 0 ( l + z 2 + — + — + . . . )

2! 3!

+ a xz ( l + — (2z )2 + — (2z )4 + — (2z )6 + . . . ) .V 3! 5! 7! /

Gomo fl0 = l y a i = 0 , se obtiene la función entera

f(z) = 1 + z2 + + — + . . . =2! 3!

como la solución analítica al problema de valor inicial.

Ej e r c ic io sEncuentre la radio de convergencia de las series dadas en los Ejercicios 1-6.

CAPÍTULO 3 • SERIES INFINITAS

3. 2 z2n 4. 2 zn!n = 0 n = 1

5. 2 [2 + (—l ) " ] " z n 6 . 2 (eos m)z"n = 0 n = 0

Si el radio de convergencia de la serie 2 0 anZn e s R ( 0 R <C °°),en cu entre el radiode convergencia de las series dadas en los Ejercicios 7-12.

7 / 2 nkanzn 8 . 2 n~nanznn - 0 n = 1

9. 2 10. 2 anzn+fen - l n = 0

11. 2 a%zn2 12. 2 a„z"2n - 0 n = 0

En los Ejercicios 13-16, desarrolle las funciones en series de potencias centradas en 0, y encuentre sus radios de convergencia, sin usar el teorem a de Taylor.

1 3 .------— - 14. L o g ( l + z )( 1 - z ) 3

15.eaz - 1

* SenZ 1 C -¿Y \ ) ’ Z ^ 0dz 16. f{z) = ¿ z0 Z ) na, z = 0

17. Encuentre la serie de potencias más general (con dos constantes arbitrarias) que satisfaga la ecuación diferencial / (z) + /(z) = 0. Exprese la suma en términos de funciones elementales.

18. Encuentre una serie de Maclaurin que resuelva la ecuación diferencial f ' (z) — 1 + z/(z)con la condición inicial/(O) = 0. ¿Cuál es su radio de convergencia?

19. Determine la serie de Maclaurin general que solucione la ecuación diferencial zf"(z) + f ' (z) + z/(z)= 0 y muestre que es entera. (Sugerencia: Pruebe que y ~ñ\ -> oo cuando n -*■ ya que e2 es entera).

20. Encuentre la solución general, en serie de Maclaurin de la ecuación diferencial

(i - z2 ) f"(z) - 2 z /'(z ) + n(n + 1 )/(z) = 0 .

21. Suponga que/(z) y g(z) son analíticas en una vecindad de z 0 y quey"(z0 )=g(z0) = 0 mientras que g'(z0) =£ 0. Pruebe el teorema de L ’Hospital

i i Z) g'(z o)

22. Resuelva el Ejercicio 2, Sección 2.4, con el método de esta sección.23. Encuentre la suma en I z I < 1 de la serie

3.3 • SERIES DE LAURENT 115

24. Demuestre la prueba de la razón: Si

lím- * oo a n + 1

R,

entonces R será el radio de convergencia de la serie 2 an zn.Ahora, para los Ejercicios 25-27, permita que sea g(t) una función compleja continua en 0 < t ^ 1 y defina

K z )= ] Q g(*)e <*t-

25. Muestre que, para z fija, la serie

g{t)e " - Sn= 0 ni

converge uniformemente en 0 < t .< 1 .26. Pruebe que f(z) es entera. (Sugerencia: Utilice el Ejercicio 25 para intercambiar

la sumatoria y la integral.)27. Pruebe que f ' ( z ) = tg{t)eñl dt.28. Sea g{t) continua enO < t < 1 Ahora defina

ñ z) = S'(í) sen(zí) dt.J o

Pruebe que f(z) es entera y encuentre su derivada.29. Sea g(t) continua en 0 < t < 1 Defina

/ ( Z) = l 1 dt,30 1 - z t

\z\<l.

Pruebe que f(z) es analítica en \z I < 1 y encuentre su derivada.30. Utilice una serie de Maclaurin para resolver la ecuación funcional

f ( z i ) = z + f ( z ) .

¿Dónde converge la serie?

3 .3 Series de Laurent

I.a serie

d i Q, 2 &nz z2 zn

puede considerarse una serie de potencias en la variable 1/z. Si R es su radio de convergencia, la serie convergerá absolutamente siempre que \l¡z\<iR o \z I > l /R. La convergencia es uniforme en toda región Iz I > p, p > 1¡R, y la serie diverge para I z I < 1 ¡R. Así que la serie representa una función

analítica en I z I > 1/R . Al combinarse una serie de este tipo con una serie de potencias ordinaria se obtiene una de la forma

2 anzn . n = —°°

Supóngase que la parte ordinaria converge en un disco Iz l< R y que la otra parte converge en una región I z I > r. Si r < R , entonces existe un anillo abierto donde ambas series convergen: r < Iz I < R (véase Figura 3.3).La serie representa una función analítica en este anillo. En forma semejante,

2 an (z — z 0 )nn = —oo

representa una función analítica en el anillo r < Iz — z 0 l < i ? . A un desarrollo de este tipo se le llamará serie de Laurent. Recíprocamente, se probará ahora que una función analítica en el anillo r < Iz — z 0 I < i? puede desarrollarse en una serie de Laurent.

Te o r e m a de LaurentSi f(z) es analítica en el anillo r < Iz — z 0 . < R, entonces puede desarrollarse de manera única en una serie de Laurent

/ ( z ) = S an (z — z 0 )n,n = —oo .

donde

a.n 1 Ím J i? -20 1=*n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . , r < p < R .

2 i r i J i f —z „ i = p ( f - z 0 )” +1

o

FIGURA 3.3. Región d e co n v e rg e n c ia d e un a serie d e Laurent a lre d e d o r d e z 0

Fig u ra 3 .4 .

PRUEBA: Denótense por 7 ! y 7 2 los círculos Iz — z 0 I = r + e y >z — z 0 I =R — e, respectivamente, con .0 < e < (R muía integral de Cauchy,

/(* )1

2m y 2 $ - zpara todo z que satisfaga r + e < Iz — z 0 I < J?

r)f2 (véase Figura 3.4). Por la fór-

_ L f f f l ) #2m Ti t ¿

e. El teorema de Riemann (o el de Cauchy y el de Cauchy para las derivadas) proporciona la analiticidad de cada integral en los complementos de las curvas 7 1 y 7 2 • Si se procede exactamente igual que cuando se probó el teorema de Taylor, la primera integral se transforma en

con

1

2717

1

2717

t 2 n = 0

m ^ = i t - z

/(? ) dt

y-2 ( t - z o)n+l

Qn ( ¿ - ¿ O )"

n = 0 , 1 , 2 , . .

Para la segunda integral obsérvese que, por la serie geométrica (Ejemplo 2, Sección 3.1),

- 1

Z - Zr2

n = 0

t - z 0

t - Z ( z - Z 0 ) - ( t - Z 0 )

ya que I f — z 0 I < Iz — z 0 I sobre 7 i . Aún más, la serie converge uniformemente en t para f en el interior de 7i • Con el teorema de Weierstrass, se puede integrar término por término para obtener

Luego

l_

2mcon

= 2 a _ n_! (2 — z0 )_ n _ 17 1 S —Z n= 0

1<T— n— 1 7

2tti

■ / ( n #

Finalmente, como f {£)/(f — z 0 )n+1 es analítica sobre y en el interior de y2 ~ 7» o 7 — y i-, donde 7 es el círculo if — z 0 I = p, r < p < i?, el teorema de Cauchy implica que se puede reemplazar 7 i o 7 2 por 7 en el cálculo de los coeficientes an. Nótese que si e puede elegirse arbitrariamente cercano a cero se llega a la representación deseada en el anillo r < Iz —z 0 l<i?. ■

La representación en serie de Laurent de una función dada es única, ya que si f(z) tuviera representaciones

f { z ) = 2 an { z - z 0 )n , f ( z ) = ' 2 bn { z - z 0 )n ,n — — °° n = — 00

entonces, al multiplicar por (z — z 0 )k ,para cualquier entero k, y al integrar a lo largo de I z — z0 I = p se tendría'-, por convergencia uniforme,

2 an • (z - z 0 )n+k dz = 2 bnn— 00 J 7 n— — 00

( z - z 0 )n+k dz.7

Como todas las potencias de z — z 0 excepto (z — z 0 ) _1, tienen antiderivadas analíticas en r < Iz — z 0 I < R, sus integrales se anulan por el teorema fundamental. Así 2ítzcz_£_i = 2’nib_¡l_ i , lo cual implica que a¿ = b¿ para todo entero k.

Frecuentemente los coeficientes an no se obtienen por medio de sus fórmulas integrales. Se darán ejemplos de las técnicas que se emplean para evitar este cálculo.

Eje m p lo 1Al utilizar la serie de Maclaurin de eos z y e? , se tiene

- s (-irZ 2 n-0 (2 n)\

~2 n2 ( _ 1 ) " +1 — i---------, 0 < I z I <

» = - 1 (2 n + 2 )!

1/2 00 Z ^e v s = 2 ----- = 2 - 1 — , 0 < Iz I.

n = 0 n\ n=—°° (—n)l

Ej e m p l o 2Considere la función (z 2 — 3z + 2)- 1 . Es analítica en todas partes, excepto en z = 1 , 2 . Encuentre su serie de Laurent en las regiones (a) 1 < l z l < 2 , (b) l : l < l , ( c ) U I > 2 y (d) 0 < Iz - 1 1< 1 .

SOLUCIÓN: (a) En el anillo 1 < Iz I < 2, al escribir

1 1 1

(z — l)(z — 2 ) z - 2 z — 1

se pueden desarrollar las fracciones en la forma

1 1

1 1 _ 2 'zz - 2 z - 1 1 _ z 1

2 z

2 n-o \ 2 J Z \ 2

ya que l l / z l < l y lz/2 l < 1. Así,

1 _ S zn - 2 f -( z - l ) ( z - 2 ) n = - - 2 n=0 \ 2

(b) Para Iz l< 1, se desarrolla la expresión como_ 1

_ i L _ = L _ + _ L _ = _ I 2 l - \ + Sz — 2 z — 1 z 1 — z 2 n=o \ 2

2

Por tanto, 1 1 \------------ = £ I z K i .(z - 1 ) (z - 2 ) »=0 V 2

(c) Aquí J J

1 1 ' z z

z - 2 z - 1 _2 X _ Iz z

. i s ( i y _ I £ ( i ) "z n=0 \ Z / Z n=0 Vz/

= 2? (—L - 1) Zn , 2 < Izl.„ = _oo \ 2 " /

120

(d) En .0 < I z — 1 1 < 1, se obtiene

1 1 1 1

CAPÍTULO 3 • SERIES INFINITAS

z — 2 z — 1 z — 1 1 — (z — 1)

1 00- 2 ( z - l ) n .

Z — 1 n=0

Por tanto, en 0 < Iz — 1 1< 1,

1 1 1

(z _ ! ) ( * _ 2) z — 1 l - ( z - l ) n = — i= - 2 ( z - l ) n .

Ej e r c ic io sEncuentre la serie de Laurent de la función (z2 + z ) - 1 en las regiones de los Ejercicios 1-3.

l . O C l z K l 2. 0 < Iz — 1 1 < 1 3. 1 < Iz — 1 1< 2Represente la función (z 3 — z ) - 1 como una serie de Laurent en las regiones de los Ejercicios 4-7.

4. 0 < Iz I < 1 5. 1 < Iz I6. 0 < ¡z - l l < 1 7. 1 < Iz - 11 < 2

Encuentre la serie de Laurent de la función z/(z2 + z — 2 ) en las regiones dadas en los Ejercicios 8-13.

8. I z K l 9. 0 < Iz — 1 I < 3.10. 0 < Iz + 2 I < 3 11. 1 < Iz I < 212. Iz I> 2 13. Iz + 2 l> 3

Represente las funciones dadas en los Ejercicios 14-17 como series de Laurent en la región 0 < Iz I< °°.

14. z e llz 1 5 .ez+1lz

16. senz sen — .17. sen (z + —z \ z

Encuentre las series de Laurent de las funciones de los Ejercicios 18-21 en la región0 < I z — 1 I < 1 .

io 1 1 1 11 8 .------ sen — 1 9 .— senz — 1 ¿ ’ z z — 1

2 0 . sen 2 1 . z senz(z — 1 ) z — 1

22. Suponga quef(z) es analítica y acotada por M enr <C I z —z 0 I <C R. Muestre que los coeficientes de su serie de Laurent satisfacen

¡an l < A f / r n , l a _ B X A Í r " , n = 0, 1, 2, . . .

Suponga que r = 0. ¿Se puede definir / ( z 0 ) de tal forma que f(z) sea analíticaen Iz — z 0 I < R?

3.4 • SINGULARIDADES AISLADAS 121

23. La función de Bessel J n (z) se define como el n-ésimo coeficiente (n ^ 0) de la serie de Laurent de la función

n=—Muestre que

ir Jo

24. Use los coeficientes de la serie de Laurent de e^z en Iz I > 0, para mostrar que

2 ir J - i r n !

(iSugerencia: Integre sobre Iz I = 1.)25. Evalúe la integral

— f e c os e cos(sén 6 —n 6 ) d 6 = — , n = 0 , 1 , 2 , . . .

1n

(eos 6)m eos nd dO, m, n enteros,

comparando los coeficientes de la serie de Laurent de (z + l/z)mcon su desarrollo binomial.

26. Encuentre la serie de Laurent de esc z en ir <C I z I <C 2ir.

Se dice que una funciónf(z), analítica en una región 0 < Iz — z 0 K R, pero no analítica o no necesariamente definida en z 0 , tiene una singularidad aislada en z 0 . Estas singularidades se clasifican en tres categorías.

(i) Singularidades removibles son aquellas donde es posible asignar a

< R. En este caso, es necesario que /(z ) -*■ A °°) cuando z -*■ z 0 . Pero, en tales circunstancias, f(z) es analítica en 0 < Iz — z 0 I < R/2 y continua e n l z — z 0 l < i ? / 2 ; por ende, el principio del máximo implica que /(z ) es acotada en Iz — z 0 I < i ? / 2 . Por la estimación de Cauchy, o con el Ejercicio 22, Sección 3.3, la serie de Laurent dej(z) es una serie de Taylor convergente,0 sea, una función analítica en Iz — z 0 I < R. Por tanto, la existencia del límite es necesaria y suficiente para garantizar que la singularidad es removible.

(ii) Los polos aparecen siempre que /(z ) -*■ °° cuando z z 0 . Observe que aquí la función g(z) = 1 //(z) tiene una singularidad removióle en z 0 con g(z0) = 0 , y z 0 es un cero aislado de g(z), puesto que/(z) no es cero y es finita en un conjunto 0 < Iz — z 0 I < / < R. Si el orden del cero de g(z) en z 0 es n> g(z ) = (z - z o)ngn(z ), entonces /(z ) = (z - z 0)~nf n (z), donde f n (z) =1 Ign (z) es analítica en Iz — z0 K r . A n se le llama orden del polo d e / e n z 0 .

3 .4 S ingularidades aisladas

/ (z 0 ) un número complejo, de tal forma que/(z) se vuelve analítica en Iz —z 0 I

Además, la serie de Laurent de /(z), centrada en z 0 , es el producto de (z — z 0 ) n y la serie de Taylor de f n(z) e n : 0 , as! que se escribe

Cora.og(z) es una función analítica no constante en Iz — z 0 I < r, el orden del cero de g en z0 debe ser finito. Entonces, el orden del polo de f(z) en z0 debe ser también finito.

(iii) Singularidades esenciales son todas las aisladas que no son removibles ni polos. En este caso, f (z ) no tiene límite cuando z -»• z 0 , y un número infinito de coeficientes a_n, n = 1, 2, 3, . . ., de su serie de Laurent alrededor de z 0 no se anulan; puesto que, de otra manera, z 0 sería un polo o una singularidad removible.

Se dan algunos ejemplos para ampliar las definiciones. Obsérvese que

tiene una singularidad esencial en z = 0 .El concepto de singularidades aisladas también se aplica a las funciones

(univaluadas) f(z), analíticas en una vecindad R < Iz I < 00 de Por convención, se clasifica una singularidad aislada en oo si g(z) = / ( 1 /z) tiene una singularidad removible, un polo, o una singularidad esencial en z = 0 .

Las singularidades no son necesariamente aisladas. Por ejemplo, la función

2 ak ( z - z 0 )k, a_n i= 0 .k=—n

senz — + — 3! 5!z

tiene una singularidad removible en z = 0. De tal forma que

eos z 1 1 z 2

z 2 z2 2! 4!tiene un polo de orden 2 en z = 0. Finalmente,

z 2 lz2

tiene singularidades en z = (irn) 1 para todos los enteros positivos n. Así, z = 0 no es una singularidad aislada.

D e f in ic ió nUna función analítica en una región G, excepto por sus polos, se llama meromorfa en G.

3,4 • SINGULARIDADES AISLADAS 123

Sif(z) y g(z) son analíticas en G, y g(z) no es idénticamente cero, entonces las singularidades del cociente f{z)/g(z) coincidirán con los ceros deg(z). Estos serán polos siempre y cuando f(z) no sea cero, o tenga un cero de orden menor que el de g(z); de otra manera, serán singularidades removibles. Al extender f(z)/g(z) por continuidad, sobre las singularidades removibles, se obtiene una función meromorfa en G. Por ejemplo,/(z) = tan z = sen z/cos z es meromorfa en <3 con polos en z = (k + jr)n, k - 0 , ± 1 , ± 2 , . . y z = °o es un punto de acumulación de polos.

El comportamiento de determinada función en una e- vecindad de una singularidad esencial es muy complicado, como lo demuestra el siguiente resultado.

Te o r e m a de W eierstrass-C a s o r a t iUna función analítica se aproxima arbitrariamente a un valor dado en cualquier e- vecindad de una singularidad esencial.

PRUEBA: Si el teorema es falso, se puede encontrar un número complejo A y un 5 > 0 tales que l/(z) — A I > 5 en toda vecindad 0 < Iz — z 0 I < e de lasingularidad esencial z 0 . Entonces

m - A > cuando z -o >iz — z 0 i

lo cual implica que g(z) = [/(z) — A ] / ( z — z 0) tiene un polo en z 0 . Así, g(z) es meromorfa en Iz — z 0 I < e. Pero, entonces, también /(z ) = A + (z — z 0 )g(z), lo es. De ahí que contradiga la hipótesis de que z 0 es una singularidad esencial. II

De hecho se puede demostrar más, aunque la prueba es difícil, y no se dará aquí:

Te o r e m a de Pic a r dUna función analítica toma infinitas veces todos los valores complejos, excepto posiblemente uno, en cada una de las e-veeindades de una singularidad esencial.

Eje m p l o 1Encuentre y clasifique las singularidades de las funciones

(a) f iz ) = / ■ ■ ■ ’ (b) Siz ) = « ~ l¡z2 , (c) h(z) = esc z.z¿ +z

SOLUCIÓN: (a) Las singularidades ocurren en los ceros del denominador: z = 0, -1 . Como éstos son ceros simples y el numerador tiene un cero simple en z = 0 , f(z) tiene una singularidad removible en z = 0 y un polo simple en z — - 1 .

(b) Nótese que g(z) -* 1, puesto que 1/z2 -* 0 cuando z -* °o; así que g(z) tiene una singularidad removible en z = Pero

1 1 1

= + 2 Í 7

es la serie de Laurent de g(z), centrada en z = 0; por lo que g(z) tiene una singularidad esencial en z = 0 .

(c) Como

senz = (—\)k sen(z — irk) = (—l)k3!

h(z) tiene un polo simple en .z = irk, k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . y un punto de acumulación de polos en z =

Eje m p lo 2Pruebe que sen z toma todos los valores de C en cualquier vecindad de oo,

SOLUCIÓN: Toda franja (2n — 1 )7r/2 ^ x < (2 n + 1 )7r/2 de C se mapea en G por w = sen z. Como se puede encontrar un número^infinito de franjas en I z I > R para todo R real, sen z toma a todos los valores de C en toda vecindad de °°.

Ej e r c ic io sPara cada una de las funciones de los Ejercicios 1-6, encuentre y clasifique las singularidades.

1 . - ^ - 2 . *z3 + z 1 + z 2

3. zellz 4. ez~ ilz

5. sen - + \ 6 . etan 1¡Zz z¿

7. Construya una función que tenga una singularidad removible en z = -1, un polo de orden 3 en z = 0, y una singularidad esencial en z = 1. Entonces encuentre su serie de Laurent en 0 < I z I < 1.

Muestre que cada uno de los integrandos de los Ejercicios 8-11 tiene una singularidadremovible en z = 0. Quite la singularidad y obtenga la serie de Maclaurin de cada integral.

3.5 • CONTINUACIÓN ANALÍTICA [OPCIONAL] 1 2 5

o O-/ \ - l z s e n f M - o n i \ \Z c o s f - 18 . Si(z) a f 9. Clz) =-------------------------- - acJo f v ' Jo f

1 0 .£ (z ) = |qZ - - - - 1 d$ 11. L(z) = |* L° g^ +

12. Muestre que la función f(z) = el¡z toma todos los valores, excepto 0, un número infinito de veces en cualquier e-vecindad de z = 0 .

13. Pruebe que una función entera, con una singularidad no esencial en e* , debe ser un polinomio. ¿Qué clase de singularidad tienen oo sen z y eos z en oo?

14. Muestre que una función meromorfa en ílll debe ser el cociente de dos polinomios.

15. Pruebe que una función entera es constante si no toma los valores 0 y 1. (Sugerencia: Use el teorema de Picard).

3 .5 C o n t in u a c ió n a n a lít ic a (opcional)

Sucede a menudo que la expresión/ 0 (2 ) ,como una serie infinita o una integral — que define una función analítica —, sólo tiene significado en alguna región limitada G0 del plano. Surge entonces la pregunta de si existe o no alguna forma de extender la definición de la función y volverla analítica en una región mayor. En particular, ¿es posible encontrar una expresión (2 ) analítica en una región G0 que intersecte a G¡ tal que f 0 (2 ) = / ¡ (2 ), para todo 2 en G0 D G j ? Sí es así, se puede extender esta función a la región G0 U G j , y se dice que los elementos (fo, G0 ) y ( f \ ,G x) forman una continuación analítica directa donde se sigue el uno del otro. Cualquier continuación analítica directa de {f0, G0) a Gi es necesariamente única, porque dos funciones analíticas en Gj concordantes en G0 ó Gx deben coincidir en G¡ (véase Ejercicio 20, Sección 3.1).

Un procedimiento para obtener continuaciones analíticas empieza por desarrollar la expresión dada en una serie de Taylor

/ 0 (2 )= S an (2 — 2 0 )” n = 0

que converja en el disco I2 — z 0 I < R 0 centrado en el punto z0 de G0 . Si 2 j satisface alz, — z 0 \< R 0) se puede desarrollar f Q en la serie de potencias

/ , ( 2 )= f - ón(2 - 2 1)", ón = ^ l J ,n=0 ' t i l

que converja en el disco 12 — z¡ I < i?]. Ciertamente, R , > R 0 — 12 1 — z 0 I. Si se cumple la igualdad, el punto de contacto de los círculos \z — z 0 I = R 0 y 12 — 2 , I = R j debe ser una singularidad de la función, puesto que el teorema de Taylor implica la existencia de una singularidad en cada círculo de convergencia. De otra manera, una parte de I2 — 2 , I < R y se localizaría en el exterior de I2 — 2 0 1 '< jR0 y ( / , , { íz — z¡ I < f ? i } ) sería una continuación

FIGURA 3.5. Continuación analítica d irecta

analítica de (f0 , { lz — z 0 I < } ) , ya que ambas series coinciden en eltraslape (véase Figura 3.5).

Eje m p lo 1La serie de potencias

/ 0 (z )= z ( z - i rn - 0tiene radio de convergencia R = 1, así que la región de convergencia G0

es el disco Iz —\ I < 1. Se puede continuar (fQ, G0) a un disco centrado en 0 calculando

/ o (0 ) = Z ( - I r , ' / ¿ ( 0 ) = ln - 0 n = 1

pero es más fácil observar que fo(z) = (3/2 — z )_ 1 en G0 . Entonces, con el Ejemplo 2, Sección 3.1, se tiene

lo cual implica que Gj es el disco Iz I < 3/2, y z = 3/ 2 es una singularidad de la función.

Este procedimiento puede continuarse, pero se debe tener cuidado, porque una sucesión de discos podría volver a traslaparse con el primero, y es posible que no coincida en el traslape. Esto ocurre cuando la función es multivaluada y los discos llevan alrededor de un punto rama de la función, y sobre una rama diferente de su superficie de Riemann (véase Figura 3.6). Así, aun si (fi> G i ) es una continuación analítica directa de ( / ) , G j ), no necesariamente lo es de (/ o , G0 ), y sólo una función multivaluada servirá para definir la extensión.

3.5 • CONTINUACIÓN ANALÍTICA (OPCIONAL) 127

FIGURA 3.6. Uno continuación analítico

Eje m p l o 2Considere la función f(z) = 1 J^fz en los puntos z = e7"/4, e lm . Si se utiliza el teorema binomial, se puede obtener el desarrollo en serie de Taylor alrededor de cada uno de esos dos puntos:

J _ = g-m /8s J T y / l - ( 1 - z e ~ ^ )

~ ( 2 n)\

n =o 2 2” ( n ! ) 2

= e - r d / % | ( 2 n ) ! ( ! _ z e - « ' / 4 ) n J z _ e 7TÍ/4 | < j >

yi e 7«/8

v / F 0 “ (I - z e - 1™*)

= e -i*i/s | (2»)1 /1 _ zg-7ir.y* )" Iz _ g7 /4 | < 1.«=o 2 2n(n! ) 2

Al evaluar la primera expresión en e° y la segunda en e2m, se obtiene e° = 1 y e~ni = —1, respectivamente. Nótese que en la superficie de Riemann [ C — { 0 } ] 2 , para f(z) = l/y/z', el punto e° no pertenece al disco I z — e 1 m 4 I < 1 .

Cada elemento de una cadena (f0, G0 ), ( f lr G j ), . . ., (fn, Gn ), donde (fj, Gj) es una continuación analítica directa de :(/y„ 1, Gj_ j ), se llama continuación analítica de los otros. Así, el procedimiento anterior puede utilizarse para construir continuaciones analíticas, donde la elección de los centros z x, z 2 , ■ . zndetermine los valores de la función. En particular, si y es una curva que une a z Q con un punto z' que no está en el disco :l z ' — z 0 I < R 0 , se puede construir una continuación analítica, que consista de discos Iz — z¡ I<.Rj de convergencia de representaciones por series de la función, de tal forma que z;- siga a Zj_ i en la parametrización de y. Al llegar az 'por una cadena finita de

FIGURA 3.7. Continuación analítica a lo largo d e 7

tales discos, se dice que ésta es una continuación analítica de la función a lo largo de la curva 7 (véase Figura 3.7). Por otra parte se tiene un número infinito de discos, cuyos centros z¡ convergen a un punto z* de 7 , y, por tanto, sus radios tienden a cero. Además, debe haber una singularidad de la función en la frontera de cada uno de estos discos, y estas singularidades también tienden a z*. Puesto que toda e-vecindad de z* contiene una singularidad, la función no puede ser analítica en z*. Así, se ha probado el teorema siguiente.

TEOREMALa sene de potencias Z J an (z z u)n puede continuarse analíticamente a lo largo de cualquier curva 7 que empiece en su disco de convergencia \z — z 0 I < R 0 hasta que se encuentre una de sus singularidades.

Intuitivamente, si 7 y 7 ' son arcos disjuntos, excepto en sus dos extremos z 0 y z tales que no existen singularidades sobre o en el interior de la curva cerrada 7 — 7 ', entonces el resultado de la continuación analítica por cada trayectoria es el mismo, ya que el interior podría cubrirse con discos que traslapasen a los de la continuación analítica a lo largo de los dos arcos (véase Figura 3.8). Este resultado se llama teorema de la monodromía; como su prueba es complicada, no se dará.

Figura 3.8.

3.5 • CONTINUACIÓN ANALÍTICA [OPCIONAL] 12 9

D e f in ic ió nUna función analítica global es una colección 5 de elementos (f, G), tales que dos cualesquiera de ellos son uno continuación analítica del otro, a través de una cadena de elementos de Í7 .

Eje m p l o 3Sea Gk la región que consiste en todos los puntos z que satisfacen I arg z — (kir/2) I < 7r/2, para todos los enteros k, y sea fk (2 ) = log z, para todo z en Gk . Entonces la colección :{f0, G 0), ( fx, Gj), . . (fn, Gn ), . . . es una función analítica global, ya que es la colección de elementos Gj) para todo en tero /

Se dice que dos elementos (f0, G0 ), ( f ¡ , G j ) determinan la misma rama de una función analítica global en un punto z 0 de G0 H G : si f 0 (z) = f i (2 ) en una e- vecindad de z 0 . Nótese, sin embargo, que no es necesario que los elementos de la función sean continuaciones analíticas directas uno del otro.

Eje m p l o 4Si Gk consiste en todos los puntos z que satisfacen I arg z — (kir/2) I < 37T/4 , y fk (2 ) = log z, para todo z en Gj y todo entero k, entonces etn pertenece a G0 H G2 y /o {z) = f i (z )> Para todo z con I arg z — (ir¡2) I < 7r/4, aunque (f0, G0 ) y (f2, G2 ) no sean continuaciones analíticas directas uno del otro (véase Figura 3.9).

Los puntos de la frontera del dominio de definición de una función analítica global caen en dos clases: (i) puntos sobre los cuales la función puede continuarse analíticamente (puntos regulares) y (ii) singularidades.

Las singularidades pueden ser aisladas o no. Si es aislada se llama punto de ramificación de orden n - 1 , siempre que todos los puntos en una e-vecindad de la singularidad tengan n ramas distintas. Si n = se le llama punto de ramificación logarítmico.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-3, encuentre primero una función que coincida con la serie dada en su disco de convergencia.

1. Desarrolle 2 j zn jn en una vecindad de z = •%, y determine su radio de convergencia.

2 . Desarrolle 2 ra=i zn en una serie de Taylor, en una vecindad de z = a, la l <1 . ¿Cuál es el nuevo radio de convergencia de la serie?

3. Muestre que las series

~ z ra °° (z — 2)n2 — y I7T+ S ( - 1 )”1 n i n

no tienen región de convergencia común, no obstante que son continuaciones analíticas una de la otra.

Para los Ejercicios 4-7, encuentre la serie de Taylor de cada función en el disco Iz — 1 I <Ü ld e su ram a principal. Entonces, continúe analíticam ente cada función a lo la rgo de y : z ( í ) = e lt, 0 < t < 27T. ¿Los valores en z ( 2 tt) coinciden con los de z(0)?

4. logz 5 .Z 1 /26 . sen (z 1 /2 )7T/2 7. (sen ztt/ 2 ) 1 2

8 . Muestre que la función

2 nZn - 1

es analítica en I z I 1 , a pesar de que no puede continuarse fuera de este conjunto. A Iz I = lse le llama su frontera natural. (Sugerencia: Como f{z) = z2 + z4 + . . + z2” + /(z 2 ), muestre que los puntos f satisfacen f(t%)oo cuando t -> l"- .)

9. Muestre que Iz I = 1 es la frontera natural de

00 i2 zn!.

ra=0

10. Muestre que el eje imaginario es una frontera natural de la función

°° i2 e~ .

n =0

¿Dónde es analítica la función?11. Encuentre una representación en serie, centrada en z = 1, de la función

f(z) = í t2e~zt dt, 0 < í < °°,J o

analítica en Re z > 0. ¿Cuál es su continuación analítica al plano completo?

3.5 • CONTINUACIÓN ANALÍTICA (OPCIONAL] 131

12. La función gamma está definida en el semiplano derecho mediante la integral

r(z ) = í " e - H z- x dt, 0 < í < °°.J 0

Pruebe que ésta satisface la ecuación funcional T(z + 1) =zr(z )y es analítica en Re z > 0. Muestre que tiene una continuación analítica al plano completo como una función meromorfa con polos simples en 0 , - 1 , - 2 , . . .

13. Principio de reflexión de Schwarz. Sea f = u + iv analítica en una región G + situada en el semiplano superior, y que tiene un segmento y del eje real como parte de su frontera. Si/es continua y toma valores reales en y, entonces/ tiene una continuación analítica única a través de y hacia la región G—, que es la reflexión de G+ a través del eje real. (Sugerencia: Muestre que /(z) es analítica en G - y aplique el teorema de Morera o las ecuaciones de Cauchy- Riemann a G+ U y U G—.)

14. Pruebe el teorema de Pringsheim: Una serie de potencias

/(z ) = S an z”n=0

con radio de convergencia 1 y coeficientes reales no negativos an tiene una singularidad en z = 1 .

15. Muestre que aunque S n=1 zn/ n 2 converge en todo punto de I z I = 1, no es analítica en z = 1 . *

NOTASSe han omitido importantes teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass, concernientes a las representaciones de funciones meromorfas por medio de series infinitas y productos. Se exhorta al lector al estudio de estos tópicos, de los cuales puede encontrar un desarrollo en [A, págs. 185-196].

Se c c ió n 3 .4Se pueden encontrar dos pruebas diferentes del teorema de Picard en [A, pág. 297] y [V, pág. 144].

Se c c ió n 3 .5Aunque en teoría está bien el método indicado para construir continuaciones analíticas directas, en la práctica rara vez es útil. El problema radica en calcular los coeficientes bn , los cuales, a menos que se tenga información adicional, son sumas de series infinitas.

Una prueba del teorema de la monodromía puede encontrarse en [A, pág. 285],

A In teg rac ió n ¿4 EN CONTORNOS

4.1 Teorema del residuo

Se ha demostrado en la Sección 3.3 que una función f{z), analítica en una región 0 < \z — z Q\< R, puede desarrollarse en una serie de Laurent alrededor de z 0 . Al coeficiente

1a- l ~ r

2 mm d $ , 0 < p < R,

I ? - z 0 l = P

de esta serie de Laurent, se le llama residuo de la funciónf(z) en z 0 y se denota como ResZf)f(z). Obsérvese que al conocer el residuo d e / e n z0 se tiene un método alternativo para evaluar la integral

/(? ) d$ = 2ttí ResZo f(z),J7

donde 7 es cualquier curva de Jordán spp, con z 0 en el interior de y.El siguiente teorema es de fundamental importancia en el análisis

complejo, y es el concepto central en el desarrollo de las técnicas de este capítulo.

134 CAPÍTULO 4 • INTEGRACIÓN EN CONTORNOS

punios (U 111 n> \ soliu m i i i i u \ i d < |o id m Npp * m ])io poi un im im i ifinito de singularidades Z j , . . Z& en el interior de 7 . Entonces

í f(z) dz - 2m 2 Res*n f{z).LA;/: L-C-'a-TP V. --'ir-;' TV .< •

PRUEBA: Se pueden dibujar círculos Iz —zn I = rn ( > 0), n = 1, . . k, en el interior de 7 de tal forma que los discos iz — zn I < rnsean disjuntos uno del otro. Por la generalización del teorema de Cauchy a regiones múltiplemente conexas (véase Sección 2.3),

/(z ) dz = 2 [ f {z)dz ,J y n = l J \z—z n \ = rn/2

y en cada región 0 < I z — zra I < rn , el desarrollo de f(z) en serie de Laurent alrededor de zra establece que

Res2„ ñ z ) = « - i = ~ í f {z )dz , n = l , . . . , k .2 m J l z - z n \ = rn /2

El resultado deseado se obtiene al combinar estas dos identidades. HPara que este teorema sea útil es necesario obtener métodos simples de

evaluación de residuos. En particular, se desea evitar el proceso de integración siempre que sea posible. Si se conoce explícitamente la serie de Laurent, entonces el residuo es igual a a _ i . Para singularidades no esenciales, nótese que a_ j se anula en las singularidades removibles, y que si z 0 es un polo de orden k, entonces

{ z - Z o ) kf ( z ) = 2 an (z — z 0 )n+k ,n= — k

Así que, para k = 1,lím ( z - Z o ) / ( z ) = fl_!,

z-*z0

mientras que, para k > 1 ,

lím ~ T k ^ i K* ~ z o)A/ ( z )l = ( k ~ 1 ) ! a - ' ’Z - * Z 0 dzR 1

Eje m p lo 1Encuentre el residuo en todas las singularidades en C de las funciones

(a) /(z ) = z 2 sen - , (b) g(z) = > (c) h(z) = — •z z ó — z ¿ senz

4.4 • TEOREMA DEL RESIDUO 135

SOLUCIÓN: (a) Se sabe que la serie de Laurent de f(z) centrada en z = 0 ,

\ z 3lz 5!z

= 2 - — + — 0 < | z | < ° ° , 3 \z 5!z

lo cual implica que Res0/(-z) = —"6 .(b) Obsérvese que g(z) tiene un polo simple en z = 1 y uno de orden

2 en z = 0. Así que se tiene

Resi g{z) = lím(z - l)g(z) = eZ - * l

Res0 g(z) = lím[z2 g(z) ] ' = lím Íí ?1 = - 2 .z-o *->■o (z _ 1 ) 2

(c) Nótese que h(z) tiene una singularidad removible en z = 0 y polos simples en z = irk, k = ±1, ±2, . . . (véase Ejemplo le, Sección 3.4). Como sen(z — irk) = ( —l)Asen z, la solución completa está dada por

Res,,kh{z) = lím — — = ( —1 7tá, k = 0, ± 1 , ±2, . . . z -nk senz

Eje m p l o 2Evalúe la integral

¡z - 4 I = 1 Z 3 - Zdz.

SOLUCIÓN: Las singularidades del integrando se presentan en z - 0, ±1. Por tanto, sólo es necesario calcular los residuos 0 y 1 en los polos simples

€Z 0Z Res0 — r = lím = —1

z(z - 1 ) 0 Z 2 - 1

Res! = límz(z - 1 ) z-> i z(z + 1 ) 2

Así,

I z— 4 I = 1 ' Z 3 — Zdz = 7rz (e — 2 ).

Aunque el teorema del residuo se establece en términos de los residuos en el conjunto S, de singularidades del integrando que están en el interior de la curva de Jordán y, spp, los residuos en el conjunto 5*, de singularidades del integrando que están en el exterior de y , pueden utilizarse algunas veces en la evaluación de integrales.

Te o r e m a del in ter io r y del exteriorSea

F(z) =' i b ' ° m — 1

donde m ^ n + 2. Entonces

anzn + a n:..lzn + . • • + fli¿ + a 0

bmzm + ,z m ~ 1 + . . . + b xz + b 0

2tt¿ Res F(z),F{z) dz =

7 I —2ililis* Res F(z).

PRUEBA: La igualdad de arriba es sólo un reenunciado del teorema del residuo. Para obtener la igualdad de abajo, se escoge R suficientemente grande para que y y todos los polos de F(z) estén situados en el interior del círculo C : I z I = R. Sea y' un arco spp de y para el círculo C que no pasa a través de los polos de F(z) (véase Figura 4.1). Entonces, por el teorema del residuo,

2ni 2 Res F(z) s*

, F{z) dz,- 7 + 7 + C - 7

donde y se recorre en el sentido de las manecillas del reloj. La integral sobre y' cancela la de —y' (véase parte (iii) del primer teorema de la Sección 2.3), así que

F{z) dz = —2ni S Res F(z) + s* \z\ = R

F(z) dz.

Como R es arbitrario, la prueba estará completa si se muestra que

límR -*°° \z\ = R

F(z) dz = 0.

Por hipótesis, ¡ z2 F(z) I está limitada por una constante 0 < M < cuandoz tiende a porque

anzn+2~m + . . . + a0z2~m z F(z) = --------------------- :---------------------— > m ^ n + 2.

Por tanto,br, + bm _ i z 1 + . . . + b0z m

,2F{z) dz

\z l = R

que tiende a 0 cuando R °°.

z I = R

z F(z) \ . , . . 2nRM-------------- I dz I ^ >

Iz l2 R 2

4A • TEOREMA DEL RESIDUO 137

I m z

Eje m p l o 3Evalúe la integral

dz, I b I > 1 .Ji*i = i zn (z + b)

SOLUCIÓN: El integrando tiene un polo de Orden n en 0 y un polo simple en -b. Incluso si se diera n, el cálculo del residuo en 0 sería complicado para n > 1 , ya que se requerirían n - 1 derivaciones de (z + a) / (z + b). Esta dificultad puede evitarse con el uso del teorema del interior y del exterior en la forma

z + a , „ . _ z + adz = —27n Res_1* 1=1 zn (z + b) zn (z + b)

. ^ 2 ni lím - 2" < “ ~ 6 >z - + - b zn (—1 )" bn

Obsérvese que la integral sería cero si I b I < 1.


Ej e r c ic io sEncuentre el residuo en todas las singularidades en C para las funciones dadas en los Ejercicios 1-12.

3 . f ( z ) =

z2 + 1 z2 + 1

ZJ

5 , f ( z ) = zel/z

7 . f ( z ) = ( z - l ) e « z

9 . f (z )

2 . f ( z y

4 . f ( z )

3Z ó — Z

(z2 + 1 )'

senh z

1 1 . f ( z ) = cotz

6 . / ( z ) = z eos — z

8 . f(z) = (z — l )2 sen

1 0 . /(z ) = tan z

1 2 . /(z ) = (z + — ) sec z

Evalúe las integrales en los Ejercicios 13-24. En los Ejercicios 15-18, n es un entero no negativo.

e213.

15.

17.

19.

21.

23.

I 2 1=2 z2 + 1dz

dz

\ z - l \ = 2 Zn ( z 2 + 1 )

d z

12—¡1=3/2 z n ( z2 + l )

senz

l z -1/21=1 z 3 + z

z e1!2 dz

dz

: 1=1

1 2: 1=2tan z dz

14.

16.

18.

20.

22.

24.

1* 1=2 z 3 + zdz

dz

l * - l l = V 5 /2 z n (z 2 + 1)

dz

l*-£ 1=1 / 2 zn(z2 + l)

sen zdz

1* 1=2 (z3 + z )2

tan z dzl*i=l

1*1=5tan z dz

25. Suponga que P(z), Q(z) son polinomios. Muestre que todos los residuos de la función [P{z)/Q(z)]' son cero.

4 .2 Ev a l u a c ió n de integrales reales definidas

En esta y las siguientes tres secciones, se presentan algunas técnicas útiles para aplicar el teorema del residuo a la evaluación de integrales definidas.

4.2 • EVALUACIÓN DE INTEGRALES REALES DEFINIDAS 139

Integrales como

f 2 7rF ( eos 6, sen 6) dd,

donde F(s, t) es el cociente de dos funciones polinomiales en s y t, pueden transformarse en integrales de línea mediante la sustitución z = e ie, 0 < 0 < 27T, puesto que

eos 6 = - (e ie + e ~ ie) = - ( z + -2 2 V 2

sen 6 = — (eie - e~ie ) = — ( z - - I > 2 i 2i \ z,

dz

dd= ie%e - iz.

Así, se ha probado el siguiente teorema.

Te o r e m a2 ir

Fleos d, sen d) dd = f F i ( * + i V AL2 V z 2i

z ------

.

dz


dd

° « + &COS0 ^ a2 _ b2a > b > 0 .

SOLUCIÓN: Como eos d toma los mismos valores en [7T, 27f] que en [ 0 , 7f], la integral anterior es igual a

1 f 2 7r dd dz2 JO a + b eos d i Ji^i=l bz2 + 2az + b

Cuando se factoriza el denominador en b(z — p)(z — q), donde

—a +\fa2 — b2—

—€Lb b

y se observa que pq = 1 y I q I > a/b > 1 , entonces la única singularidad

del integrando, en el disco unitario, está en p. Además es un polo de orden 1 , así que el residuo del integrando en p es igual a

lím l- = i = — 1z->p b(z — q) b(p — q) 2y/a2 — b2

La respuesta se sigue ahora por el teorema del residuo.

Eje m p lo 2Pruebe que

de ira

o (a + b eos d)2 y/(a2 - b2 )3a > b > 0 .

SOLUCIÓN: Otra vez, la integral es igual a

2 f z dz _ 2 f z dzi Jizi=i (bz2 +2az + b)2 ib2 Jizi=i (z - p ) 2 (z - q)2 ’

con un polo de orden 2 en p, como única singularidad. El residuo en p es igual a

ab2límz - *p

= lím -iz + q) _ - ( p + q)z^p ( z - 9 ) 3 i p - q )3 4y/(a2 - b2 )3

y ahora el resultado es inmediato.

Ej e r c ic io sEvalúe las integrales en los Ejercicios 1-9 por el método mostrado en esta sección. En los Ejercicios 6-8 , n es un entero no negativo.

í'jt/2 dd tt . ^1 tCT ~ r— ’ a '> 0

’ ‘ ° a+sen 6 2y/a2 + a

2 . = a > 00 [a + sen 9) 4 ^ 2 + a ) 3

f '2 7 r dd _ 2ir

0 a2 eos2 d + b2 sen2 9 aba, b > 0

¡’2 t7 dd ir(a2 + b 2 )4. — ------- = > a, b > 0

Jo (a eos 9 + b sen 9) a3 b3

si I a I < 15 ~2n d9 = l 1 - a 2

Jo 1 — 2a eos 9 + a2 ) ^ si I a I > 1 a2 — 1

4.3 • EVALUACIÓN DE INLEGRALES REALES IMPROPIAS 141

nlir

6. 2 7T -tn— 1eos" d dd

0 ,

si n es par

si n es impar

n!ír

2 tt(.a eos d + b sen d)" dd = 2

71 — 1

0 ,

^ ( a 2 + b ¿ T ,

n par

n impar

a, b reales

8 . f ecosd eos (nd —sen d) dd = —o

'2 tt

ocot(d + ib) dd = —2ni signo ó, b real y diferente de cero

4 .3 Ev a l u a c ió n de integrales reales impropias________En el teorema de la Sección 4.2, el intervalo de integración se transformó automáticamente en una curva cerrada, lo cual permitió aplicar el teorema del residuo. En la siguiente aplicación esto no es posible. En este caso se reemplaza la curva dada por una curva cerrada tal que en el límite los valores de las integrales coincidan.

Te o r e m aSuponga que F(z) es el cociente de dos polinomios en z tales que

(i) F(z) no tiene polos sobre el eje real, y(ii) F{\/z) tiene un cero al menos de orden 2, en z — 0, esto es, el grado del denominador excede, al menos por 2 , al grado del nume

rador.Entonces

/ i VE* “ íMáwfe-j ó» feos i Ó ¡: l M ó f Re fe V V óó . vfE s v| F(x) | > dx = j i | 2iri 2 Res F ( z ) emz, a > 0,

donde la suma sólo incluye los polos de F(z) en el semiplano superior. ________________________

PRUEBA: Sea y la curva cerrada que se obtiene al tomar el segmento de recta ( - R , R) sobre el eje real seguido del semicírculo z = R e ie , 0 ^ 0 ^ tt. Puesto que F(z) es el cociente de polinomios, sus polos, y por ende los de F ( z ) e laz,

Figura 4.2.

ocurren sólo en los ceros del denominador y así son finitos en número. Si R se escoge suficientemente grande, todos los polos de F(z) que estén en el semiplano superior se localizarán en el interior de 7 (véase Figura 4.2). Entonces, el teorema del residuo implica que

2irí 2 Res F {z )e taz = F ( z ) emz dzy > 0 J y

I* F ( x ) e iax dx + í" F { R e ie) e hReÍd iReie de. J ~R J 0

Por (ii) \z2F(z) I está acotada por una constante M en todos los puntos del semiplano superior que no estén en el interior de 7 . Así,

F(R eie)eiaReie iReie de < — | " e~aR send de < Miri ? JO R

ya que e~aR sen 8 < 1 . Por (ii) y por el teorema de comparación de integrales impropias del cálculo se sigue que

F(x) eos ax dx, F ( x ) sen ax dx, a > 0,J —00

ambas convergen. Cuando R -* se tiene

F ( x ) e iax dx = 2m 2 Res F ( z ) emz, a > 0,3 y > 0

de donde se sigue el resultado al tomar las partes real e imaginaria de ambos lados. ■

OBSERVACIÓN: Si a > 0, la condición (ii) puede reemplazarse por

(ii)’ F (l /z ) tiene un cero de orden 1 en z = 0.

En este caso no se puede utilizar el teorema de comparación para obtener la convergencia de la integral

F ( x ) e & dx, a > 0.

4.3 • EVALUACIÓN DE INTEGRALES PEALES IMPROPIAS 143

De hecho, debe probarse que" x .

F ( x ) e mx dx, a > 0,

tiene un límite cuando X x y X 2 tienden independientemente hacia oo. Sea 7

la frontera del rectángulo con vértices en los puntos —X l , X 2, X 2 + iY, —X x + i Y , donde las constantes X , , X 2, Y se eligen suficientemente grandes como para que los polos, que tienen F\z) en el semiplano superior, queden situados en el interior de 7 (véase Figura 4.3). De esta forma, la condición (ii)' muestra que I zF(z) I está acotada por M en todos los puntos en y > 0 que no estén en el interior de 7 . La integral

í x 7h y

J x ,F ( z ) e iaz dz < M i'Y -ay

<

■ 0 \X2 + iy\ M ,'Y

dy

„-ayX 2 -'o

dy <M

aX2

De manera semejante, la integral sobre el segmento de recta que une + iY con Xi está acotada por M/aXx y

Me~aY dx = ---- ( * ! + X 2 ).

Si se utiliza el teorema del residuo y la desigualdad del triángulo,

2 F(x)eiax dx - 2m 2 Res F(z)eu- x . y > 0

C - X . + i Y ^ Me~aYF(z)e dz

J X 2+iY ... Y J

< M1 1 e + +

- a Y

_üX 1 üX 2(.X 1 + X 2 )

Al hacer primero que Y °° y luego que X x y X 2 tiendan independientemente a 00 se obtiene el resultado.

Eje m p l o 1Pruebe que

0—abeos ax TTéT dx = ----------> a > 0 , b > 0 .

+ h 2 9 h

SOLUCIÓN: Aquí, F(z) es igual a (z2 + b2 )~l con polos en ±ib, y F(l jz ) = z2 /(I + b2z2 ) tiene un cero de orden 2 en 0. Como se satisfacen las hipótesis del teorema, se tiene

eos axdx = Re 2m Res*

+ b2= Re - e~ab

bde donde se sigue el resultado, puesto que el integrando es una función par. Nótese que

senax x 2 + b2

dx = 0 , a > 0 , b > 0 .


x senax 77------------dx — — e~ab, a > 0, b > 0 .

Jo x 2 + b2 2SOLUCIÓN: Las condiciones (i) y (ii)’ se aplican a F(z) = z¡{z2 + b2 ),

x sen ax r . zeiaz 1—------- - dx = Im 2717 Res* —------ - = 7re ab,J-~ x + b L z2 + b2\

nuevamente con el integrando como una función par.

Ej e r c ic io sEvalúe las integrales siguientes por el método dado en esta sección,

oc dx 7T1 .

(x2 + 2x + 2 ) 2 2

, x dx2 - I------- —:-------------- í = *

<■ (x2 + 2x + 2)

3.00 X dx 77o (x2 + a2 )2 4a

r - dx 7r , „4. — --------------- = * a, ó > 0

(x + a )(x + b 2 ) ab(a + b)

„ dx (2n)lir5 __________ = -__ -___ , n un entero no negativo

‘ (x2 + l )n +1 2 2n(n ! ) 2

c eos ax dx 7r(l + ab)e~ab ^ n ^ „b- —í = — t- ’ a > 0, b > 0

J-°° (x2 + b2 )2 2b3

_ x 3 sen ax dx 7T „h , n7 - ~ n — ¡ r r r = ñ 2 - afe * » ■ a, b > o{x2 + b 2 )2 2

4.4 * INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL 145

C°° eos ax , 7T / ab 7r\8 . - ¡ ------ T d x = — e- ( ai>)/V2 sen [-ÍÍ— + - , a > 0 , 6 > 0

Jo x 4 + 6 4 26 \ y/T 4 /

x senax , 7T , hV nr ab „ — ------ — dx = — e ~(a 'i v 2 sen , a > 0, 6 > 0o X4 + 6 4 26x 3 senax , n ¡„h\i PT ab , . „ — — dx = - e- ( ab)/V2 cos , & > 0

0 x 4 + 64 2 v / T

9.

- s*10.

4 .4 I ntegrales c o n polos sobre el eje real

En el estudio de la Sección 4.3, se supuso que F(z) no tenía polos sobre el eje real, ya que, de otra manera, la integral

F ( x ) e iax dx, a > 0,

sería divergente. Sin embargo, la parte real o imaginaria de la integral anterior puede converger si F{z) tiene polos de orden 1 que coincidan con los ceros de cos ax o sen ax.

Supóngase que F(z) tiene un polo de orden 1 en z = 0, y no tiene otros polos sobre el eje real. Entonces

F(x) senax dx, a > 0,

es convergente. La técnica para esta integración consiste en utilizar la frontera 7 del rectángulo con vértices en —X v, X 2, X 2 + iY, —X t + iY, excepto que se evita el origen al seguir un pequeño semicírculo E de radio r en el semiplano inferior (véase Figura 4.4). Suponga que X ¡ , X 2, Y, 1/r se escogen suficientemente grandes como para que todos los polos de F(z), que no estén en el semiplano inferior, se localicen en el interior de y. Entonces F(z)emz = [a^\/z) + f(z) con a_i = Res0 F(z)eiaz y f(z) analítica en una e-vecindad cerrada de z = 0. Ahora, sobre el semicírculo E con r < e,

íF(z)eiaz dz = i í°

J — 7T

= 7Tza_i

¡Y

i y

- X , V ^ o J * 2- i r

[a_! + f{ re ie) r ée ] de

f(re )e d6

Figura 4.4.

Como f(z) está acotada en I z I < e por una constante N,

roir f(re )e%e de < rNn,

y el segundo término se anula cuando r tiende a 0. Por el teorema del residuo, y las desigualdades desarrolladas en la Sección 4.3, se obtiene

JEF(x)elax dx — 271'i 2 Res F(z)etaz -> 0

y >0

cuando Y -*■ y después X x y X 2 tienden independientemente a °°. Ahora, cuando r 0 , se encuentra que

límr ->0

+ F(x)emx dx = 2m 2 Res F(z)eiaz + — y >o 2

Al límite en el lado izquierdo de la expresión se le conoce como valor principal de Cauchy de la integral, y se escribe

PV F{x)etax dx = 2iri 2 Res Flz^e^ + y >o 2

Obsérvese que sólo la mitad del residuo en 0 se ha incluido en la derecha.Permítanse breves comentarios acerca de los valores principales de

Cauchy. Sea f (x ) definida en la recta real, y considérense los límites

f (x) dx,CR

lím/?->“= J — R

f 0lím f (x) dx + límJ - R , R^°°

f(x) dx.

(1)

(2)

Si el límite en (1) existe, se dice que la integral impropia de f converge en el sentido de Cauchy, y por tanto se escribe

PV f (x) dx = lím f (x) dx./?“►« J — R

Si el límite en (2) existe, se dice que la integral impropia converge y se hace

' 0 CR.f (x) dx lím f (x) dx + lím f (x) dx.

Nótese que la convergencia de la integral implica la convergencia (hacia el mismo valor) en el sentido de Cauchy, pero que una integral puede tener un valor principal sin ser convergente. Por ejemplo,

.2f ° ° ( x ^ R \PV x dx = lím — = 0,

J-oo \ 2 —R/\ 2aunque ninguno de los límites en (2) exista. En algunas situaciones, tales como una carga neta en una placa infinita, se utiliza el límite en ( 1 ); en otras si-

tuaciones, tales como la carga total en la placa, se emplea el límite en (2). Se elige la herramienta que se ajuste al problema.

Un desarrollo similar surge cuando f ( x ) se define en un intervalo a < % 0 , i?> 0 , (3)

a e~*0 J a V ->0 J c+r¡

exista. Incluso, si estos límites no existen, el valor principal de Cauchy de la integral

4.4 • INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL 147

PV f (x) dx = lím ( f (x) dx + f (x) d x ) , e > 0, (4)*■*a €->0 \Ja J c+e J

puede existir. Por ejemplo,

p y f *5 1 = iím n 0g e + log = o , e > 0 ,J - l X e- * 0 \ e j

pero ninguno de los límites en (3) existe.Como antes, convergencia implica convergencia en el sentido de Cauchy.

Aún más, una integral impropia de tipo mixto puede tener un valor principal de Cauchy aunque la integral sea divergente:

dx ( r—1 f°°\ dx fi dxPV | ---- = PV ( | + — + PV —

-°° • i / x J - 1 x

= l,m ( I' - 1 + [ * ) * = 0 .R - k » \ J—R J l / x

Si F(z) tiene varios polos de orden 1 sobre el eje real, que coinciden con los ceros de eos ax o sen ax, entonces, al incluir en y tantos semicírculos como polos haya y al tratarlos como al anterior semicírculo E, se obtiene el resultado general siguiente.

TEOREMASupóngase que F(z) es el cociente de dos polinomios en z tales que

(i)' todos los polos de F(z) localizados sobre el eje real son de orden 1 y coinciden con los ceros de eos ax o de sen ax, a > 0 , y( ii) ' / ,-(l /z) tiene un cero al menos de orden 1 , en z = 0 .

Entonces

PV F { x ) é ax dx = 2ni 2 Res F(z)eiaz ■ | 2 Res F{z)eiazy>0 y=0

CAPÍTULO 4 • INTEGRACIÓN EN CONTORNOS

Ejem plo aPruebe que

f °° sen x ^ _ JT

JO x 2

SOLUCIÓN: Puesto que F(z) = 1/z, es claro que (i)' y (ii)-'se cumplan, por lo que tenemos

PV — dx = 7tí Res0 — = 7Ti‘.J - ° ° X z

Al igualar las partes imaginarias se obtiene el resultado deseado, ya que el integrando es una función par y x — 0 es una singularidad removible de (sen x)/x .

Las integrales que contienen potencias de eos ax o de sen ax pueden evaluarse con la misma técnica.


sen2 x , 7t — dx = —

SOLUCIÓN: Con el uso de la fórmula del ángulo doble 2 sen2 x = 1 - eos 2 x, se obtiene

“ 1 — eos 2x ,— 7 1 ------ dx’4x

que converge por el teorema de la comparación del cálculo. Si se integra (1 — e2tz )/4z2 a lo largo de la curva 7 mostrada en la Figura 4 .5 , se tiene

1 - e 2iz J l - e 2ü — d z = 2m Res0 z— = 7t.

7 4z2 4z2

El valor absoluto de la integral a lo largo del arco I z I - R , 0 arg z n,. está acotado por

J _ f" \ l - e 2iReÍ6\ d d < — ,4 R Jo 2 R

el cual se anula cuando R ^ °°. Como1 - e2h - i „ . = + ftz )

4z2 2z n 1

4.4 • INTEGRALES C O N POLOS SOBRE EL EJE REAL 149

con f(z ) analítica en un disco cerrado centrado en 0 y que contiene al semicírculo E, se tiene

1 - e2“ A *I d Z -------'E 422 2

ir f° f{re ie)eieJ __ TT

de < rNir,

y esta cota se anula cuando r -* 0. Así que,

1 - e 2¿£PV

y la solución queda completa.

, d x = - 4 x 2 2

Ej e r c ic io sEvalúe las integrales en los Ejercicios 1-9 por el método mostrado en esta sección.

1 .

2.

3.

’ °° COS TTX , —7T d x = ---------

- - 4x — 1 2<» sen TTx 7T

-o o x " — x 2

“ sen u x eos ttx

o -o o 2 x — x

dx = — (e n — 3)

dx = —7T

*• rsenx x 2 + a2

x x 2 + b 2 b 2d x = — [ a 2 + e - b ( b 2 - a 2 ) ] , a , b > O

foo sen x 7r ,5 - 1 2~ .TTn isnr ( x ~ g ). 6 > 0o x(x + 6 ) , 262

-ab

7.

8.

o x(x + b )

f~ eos ax — eos 6 x , b — adx = -------- 7T,

•oo Sen x 37T — dx = —

o x 8

( a b + 2 )

a, 6 > O

a , b > O

„ sen m(x — a) sen nlx — b) , sen n(a — b)9. -------A ------- 1 dx = TT -J_ oo x — a x — b a — b

m ^ n ^ 0 , a, b reales, a b

10. Pruebe la identidad

PV1 eitx dx ) 2 * t > 0 ’

— ----------- = < 0 , f = 0 ,¿ T T í J — “ X I X 4- s ' í\27TÍ J “ ” * ( - ± , í < 0 ,

con el método que se mostró en esta sección. Si se añade a esta función, se obtiene la “función impulso”, encontrada frecuentemente en los libros de ingeniería, y que representa la conexión súbita de una corriente en un circuito eléctrico abierto.

4 .5 In teg r a c ió n de funciones multivaluadas(opcional)

Cuando se trabaja con integrales que contienen funciones multivaluadas, se deben tomar en cuenta los puntos y cortes de ramificación del integrando, además de sus singularidades aisladas. Esto se debe a que, para usar el teorema del residuo, es necesario seleccionar una región donde el integrando sea univaluado.

Te o r e m aSea F(z el cociente de dos polimonios en z que satisface a

(i) F(z) no tiene polos en el eje real positivo, y(ii) zü+l F(z) se anula cuando z tiende a 0 o donde a es real pero

no entero.

Entonces

[ x aF (x )d x = ---- - 7rí — 2 Res (zaF(z)),Jo 1 — e2irta z*°

la suma se toma de todos los polos de F(z) diferentes de cero.

PRUEBA: Como F(z) sólo tiene un número finito de polos en G , existen números 0 < r < R tales que todos los polos diferentes de cero están en el interior del anillo r < I z I < R . Para la función za, se selecciona la rama de (fi cuyo argumento se localice entre 0 y 27r, con puntos de ramificación 0 y °°. Sea 7 = Ti + 72 + 7 3 + 7 4 Ia frontera de la región que se obtiene al cortar r < I z I < R a lo largo del segmento de recta r < x < R, como se muestra en la Figura 4.6.

4.5 • INTEGRACIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPCIONAL) 151

Estrictamente hablando, no es posible aplicar el teorema del residuo directamente a 7 , puesto que zaF(z) es multivaluada en el corte de ramificación. Sin embargo, sí se puede aplicar el teorema del residuo a las fronteras de las regiones D lt D 2 indicadas en la Figura 4 .7 , donde se cancelan las integrales a lo largo de los arcos 7 5 y 7 6 de tal forma que se extienda a 7 el teorema del residuo.

Nótese que el integrando tiene diferentes valores en 7 , y 7 , . Por el teorema del residuo,

zaF(z) dz = 2ni 2 Res(z“F(z)),z O

pero

7/zaF(z) dz

2 tt< \za+LF(z)\dd, ; = 2 ,4 ,

0

- Corte d e ram ificac ión

Figura 4.7.

152

que se anula, por (ii), cuando R -> °° o :r -> 0. Ahora

z a F ( z \ = \ X<1F(X) sobre T i , \xae2nu‘F (x ) sobre 7 3 ,

sobre

f zaF (z ) dz = (1 - e2"“ ) f * xaF(x) dx Jti+T3

proporciona la fórmula requerida si R 00 y r 0 . I



00 x a dx —7rbaJ o x + b sen7m

0 > a > —1, b > 0 .

SOLUCIÓN: Aquí, 0 < a + 1 < 1 , por tanto es claro que (i) y (ii) se cumplen. Al elegir la rama de (R cuyo argumento se localiza entre 0 y 27T, se tiene

2iri1 - e 2™

ya que en esta rama

— Res._ 2mba(z + b)

Se puede aplicar el mismo tipo de procedimiento a otras funciones multivaluadas. Se ilustra esto con los dos ejemplos siguientes.

Ej e m p l o 2Pruebe que

- lQgX dx =■ — log b, b > 0 . o x 2 + b 2 2b

SOLUCIÓN: Aquí se usa la curva 7 que se muestra en la Figura 4.8. Entonces

logz , „ logz 7T— dz = 2m Resbi - - - - - - - = -

y z + b z2 + b2 blog b +

in

Pero

iR . l o g f l + t f ^ M

o (.R é e )2 + b2

R( llogRl+TT)

IR 2 - b 2 1

4.5 • INTEGRACIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPCIONAL] 153

que se anula cuando R -*■ 00 o 0 por el teorema de L ’Hospital. Como la integral es convergente,

f°° log pc dxTT

~blos b + —

. 2 . ° pc2 + b2

log I PC I -oo x 2 + b2

dx + iirdx

x 2 + b2

de donde se sigue el resultado ya que el primer integrando es par.

Eje m p l o 3 fPruebe que

00 senh ax l a. ■— :---- dx = — tan

■ 0 senh 7Tpc 2 2-ir < a < ir.

SOLUCIÓN: La integral de la función eaz /senh irz se anula sobre la curva 7 mostrada en la Figura 4.9, porque no tiene singularidades en el interior de 7 . Pero

Isenh 7t(R + iy) I > Isenh 7TÜ I (véase Ejercicio 27, Sección 1.8), lo cual implica que

R+i eaz r senh irz

dz„aR

Isenh 7fR

cuando R ± Como i senh z = sen iz. 1 / senh nz tiene polos de orden 1 en todos los múltiplos enteros de i; por tanto,

Res0 ----------- = límsenh irz ¿->-0 sénh irz

eaz (z — i)eaz —eaRes; ------------= lim

senil 7tz z -*t senh nz n por el teorema de L ’Hospital. Si se integra sobre los dos semicírculos se obtiene / ^

-TTl | -----------. n n

más una integral que se anula cuando 5 -+ 0. Pero

senh n ( x + i) = -senh ttx,

por lo cual se obtiene

P V (1 +<?“’ ) dx = i ( l - e ai),senh itx

OO Q

PV ------------ dx = tan — >J-°° senh t tx 2

de donde se sigue el resultado, pues el integrando de la ecuación original es par.

Ej e r c ic io sEvalúe las integrales en los Ejercicios 1-16, por el método de esta sección.

f°° x a 7nzfea _ 11 . - dx - ---------- > l > a > —1 , fe> 0

Jo (x + fe) sen na

f °° eay dy —nba2 .----------- -------- f - = -----— , 0 > a > —1 , b > 0

J -oo i + be y sen na

xa dx nba"~l1 > a > — 1 , ó > 0

Jo x 2 + b2 „ 7Ta 2 cos —

2f°° X a dx 7T sen 9 a

4. ,-------------------------- = >Jo x 2 + 2x cos 0 + 1 sen na sen 9

1 > a > —1 , n > 9 > —nf°° xa dx nbü~ s ( \ —a) 0 . ^

5. —Z -T-= = i 3 > a > —1 , b > 0Jo x 2 + fe ) na

’ 4 cos —

4.5 • NTEGRACIÓN DE FUNCIONES MULTIVALUADAS [OPCIONAL] 155

6.xa dx 2irba 2

o x 3 + b3 3 sen ira

2 > a > —1, b > 0

eos — ( 1 — 2a) — — 3 2

log x 7T7. | — cülO— dx = — - (log b — 1), b > 0

ib 3

"°° x a lo g x d,x =8 .o x + b sen* ira

0 > a > - l , b > 0

irb0- 19. f “ dx =

Jo x 2 + b22 eos2

(7T eos ira —sen ira • log b),

IT 7TÉZ 7TéZ— sen — + log 6 • eos — .2 2 2ira

10.

11.

I > a > - 1 , b > 0

x , ir2 dx = —

o senh x 4

sen ax , ir air (xx — tcinn — ?

o senh x 2 2a real

12.

13.

x eos ax , ir , n air------------ dx = — sech —

0 senh x 4 2

cosh ax

a real

1 a ^ ^dx = — sec — > — ir <. a <. iro cosh irx 2 2

14.

iraeos

x‘ - i i c o s K d x = ] 2I sen bx | , na

sen

r »

ba1 > a > 0 , b > 0 ,

donde T(a) - f 0 e x Xa 1 dx es la función gamma. (Sugerencia: Integre za _ 1 e bz alrededor de un contorno apropiado y utilice la desigualdad 0 ^ 1 — (2¡ir)d , 0 < 0 < t t/2 .)

15.

r, í l \ irT ( — eos —sen xa . \a J 2a dx = - 1 > a >

1

uo x “ a — 1 2

(Sugerencia: Mediante la derivación por partes, muestre que xT(x) = F(x + 1 ))

1 6 .eos x , I” sen x dx = —— dx =

0 \f~x~ -0 y /x 0 >/2xd x .

17. Pruebe que

f w/2 7r(tan d)a dd = — > 1 > a > — 1 ,

Jo naos —

2

r/2log tan d dd = 0 .

(Sugerencia: Use el Ejercicio 3.)


4 .6 El pr in c ip io del argum ento

Otra aplicación del teorema del residuo, útil para determinar el número de ceros y polos de una función meromorfa, es el siguiente resultado.

El p r in c ip io del a r g u m e n t oSea w = f(z ) meromorfa en la región G simplemente conexa, y sea y una curva de Jordán spp en G que rodea los ceros y los polos de f(z). Entonces

_ 1 f dw = 1 f f '(z ) d z = z p2m Jf(t) w 2irí J t f(z)

donde Z y Pson, respectivamente, el número de ceros y polos, incluyendo multiplicidades, de f(z ) situados en el interior de y.

PRUEBA: Nótese que la primera integral es igual al número de veces que la curva cerrada f(y ) da vueltas alrededor de 0 ; en otras palabras, mide la variación del argumento de f(z ) cuando z recorre la curva y, lo que conduce al nombre del teorema. (Véase el Ejemplo 4 de la Sección 2 .1 .)

Si a es un cero de orden k def(z), entonces se escribe f(z ) = (z — a)k f Q (z), con /o (z) analítica y diferente de cero en una e-vecindad de a. Así,

ñ á = _ A _ + í M ,f(z) z - a f Q(z ) ’

y, puesto que / ¿ / / 0 es analítica en una e-vecindad de a, se observa que f / f tiene un polo de orden 1 con residuo k en z = a.

Por otra parte, si a es un polo de orden h de f(z), entonces f(z) = f 0 (z)/ (z — a^con f 0 (z) nuevamente analítica y diferente de cero en una e-vecindad de a. Así que

/ » = - h + fó (z )f(z) z - a f 0 (z)

4.6 • EL PRINCIPIO DEL ARGUMENTO 157

tiene un polo de orden 1 con residuo ( - h) en z = a. Por el teorema del residuo, se sigue que

— i L ^ l dz = Z - P ,2m h f(z)

donde Z es la suma de todos los órdenes k de los ceros de f(z), y P es la suma de todos los órdenes h de los polos de /(z ), situados en el interior de 7 . ■

Una aplicación sumamente útil del principio del argumento es el siguiente resultado.

Te o r e m a de Ro u c h éSean f(z ) y g(z analíticas en una región G simplemente conexa. Si I f(z ) I >. \g{ z ) - f ( z ) ' en todos los puntos de la curva de Jordán spp 7 contenida en G, entonces f(z) y g(z) tienen el mismo número de ceros en el interior de 7 .

PRUEBA: La hipótesis If(z ) I > lg(z) — f(z ) I obliga a ambas funciones a ser diferentes de cero sobre 7 así que 7 rodea los polos y los ceros de F(z) = g(z)/ f(z). Sin embargo, para todo z de 7 .

g{z ) 1 < 1 ./(* )

Luego entonces F ( 7 ) no da vueltas alrededor de 0, por lo cual el principio del argumento implica que F(x) tiene el mismo número de ceros que de polos en el interior de 7 . Pero éstos corresponden a los ceros de g(z) y f(z), respectivamente. De esta forma, la prueba queda completa. I

Eje m p l o 1Encuentre el número de raíces de la ecuación

z4 + 5z + 1 = 0

situadas en el interior del círculo I z I = 1 .

SOLUCIÓN: Sea f(z ) = 5z y g(z) = z4 + 5z + 1 . Entonces, por la desigualdad del triángulo,

IgJ-z) — f(z) l< \z I4 + 1 < I 5z 1= If(z ) I sobre \z\= 1 . Como f(z ) tiene un cero en el interior de 12 I = 1 , también g(z) lo tendrá. Por otra parte, si f(z) - z4 , se tiene

\5z + 1 l< 11 < 16 = Izl4 sobre Iz I = 2. Así que g(z) tiene cuatro ceros en el interior de Iz I = 2, tres de los cuales se encuentran en el anillo 1 < I z I < 2 , ya que no hay ceros sobre Iz I = 1 .

Eje m p lo 2Muestre que z — e? + a = 0 , a > l , tiene una raíz en el semiplano izquierdo.

SOLUCIÓN: Sea f(z) - z + a y g(z) = z — e* + a. Para z = iy o I z I = R > 2a, x < 0, se obtiene

\g{z ) ~ f i z ) l= eRez < 1 <<z < l/(z) I,y f(z ) sólo tiene una raíz (en z = —a), Ahora la prueba está completa.

Eje m p lo 3Encuentre el número de raíces de la ecuación

z 4 + iz3 + 3z2 + 2iz + 2 = 0

que se localizan en el semiplano superior.

SOLUCIÓN: Sea f(z) = z4 + 3z2 + 2 = (z2 + 2 )(z2 + 1) y g(z) = z4 + iz3 + 3z2 + 2 iz + 2. Para z = x o \z\ = 2, se tiene

Ig-(z) — f(z) 1= Iz l l z 2 + 2 l < Iz 2 + 1 I I z 2 + 2 1= I f(z) I,

por lo tanto, g(z) tiene dos raíces en el semiplano superior.

Eje m p lo 4Encuentre el número de raíces de la ecuación

7 z 3 — 5 z2 + 4z — 2 = 0en el disco I z I < 1 .

SOLUCIÓN: Si se multiplica la ecuación por z + 1, se obtiene

7z 4 + 2z3 - z2 + 2z - 2 = 0.Si se hace /(z ) = 7z4 y g{z) = 7z4 + 2z3 — z2 + 2z — 2, se encuentra, por la desigualdad del triángulo, que

|g(z ) _ /(z )| < 2 Iz I3 + Iz I2 + 2 i z l + 2 < 7 l z l 4 = l/(z) I, siempre y cuando1 Iz I = 1 + e, e > 0 . Por ende, g(z) tiene cuatro raíces en I z I < 1 , lo cual implica que la ecuación original tiene tres raíces en el disco unitario cerrado.

Ej e r c ic io sPara los Ejercicios 1-4, encuentre el número de raíces de las ecuaciones dadas en el interior del círculo lzl= 1 . ''

4.6 • EL PRINCIPIO DEL ARGUMENTO 159

1 . z 5 + 8z + 1 0 = 02. z 8 - 2z5 + z 3 - 8z2 + 3 = 03. z 6 + 3 z 5 - 2 z 2 + 2z - 9 = 04. z 7 — 7z 6 + 4 z 3 — 1 = 05. ¿Cuántas de las raíces de las ecuaciones dadas en los Ejercicios 1-4 están en el in

terior del círculo iz I = 2 ?6 . ¿Cuántas de las raíces de la ecuación

3z4 - 6iz3 + 7 z 2 - 2¿z + 2 = 0

están en el semiplano superior?7. ¿Cuántas raíces de la ecuación

z 6 + z 5 - 6z4 - 5 z 3 + 1 0 z2 + 5z - 5 = 0

están en el semiplano derecho?8 . Encuentre el número de raíces de la ecuación

9z4 + 7z3 + 5z2 + z + 1 = 0 que se encuentran en el disco Iz K 1 .

9. ¿Cuántas raíces de la ecuación

z 4 + 2 z 3 - 3z2 - 3z + 6 = 0

se encuentran en el disco IZ I ^ 1 ?10. Muestre que la función

/ ( z ) = — _a- , l a l < 1,1 — az

toma en I z I < 1 todo valor c que satisface a I c K 1 exactamente una vez, y ningún valor c tal que I c I > 1. Así,/(z) mapea I z K 1 en sí misma en forma sobre y uno a uno. (Sugerencia: Muestre quel/(z) I = len Iz I = 1 y aplique el teorema de Rouché a /(z ) — c.)

11. Suponga la hipótesis del principio del argumento, y muestre que el número de veces que / ( 7 ) da vueltas alrededor del punto a es igual a Z a — P, donde Za es el número de valores a de f(z) incluyendo multiplicidades.

12. Seanf(z) analítica en una región G, a en G, y suponga que/(z) — f(a) tiene un cero de orden n en z = a. Pruebe que, para e > 0, suficientemente pequeño, existe un5 > 0 tal que, para todo f en I f — f(a) I < 5 la ecuación/(z) — f = 0 tiene exactamente n raíces en I z — a I < e.

13. Use el resultado del Ejercicio 12 para probar que las funciones analíticas no constantes mapean conjuntos abiertos en conjuntos abiertos, y utilice este hecho para obtener una prueba inmediata del principio del máximo. (Sugerencia: Muestre que los puntos interiores se mapean en puntos interiores.)

14. Use el teorema de Rouché para probar el teorema fundamental del álgebra.

N o ta s

Se c c ió n 4.1Los resultados de esta sección se extienden fácilmente a curvas 7 spp cerradas arbitrarias de G . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, 7 es una curva de Jordán. En consecuencia, se incorporó esta hipótesis adicional para sim


plificar los enunciados de los teoremas. Para los enunciados más generales, véase [A, págs. 147-151].

Se c c io n e s 4 .2 -4 .SEl lector puede haber notado que algunas integrales, que dependen de uno o más parámetros arbitrarios, podrían haberse obtenido por derivación o integración de otras integrales con respecto a estos parámetros. Por ejemplo: Ejercicios 1 y 2 de la Sección 4.2 ; Ejemplos 1 y 2 de la Sección 4 .3 ; Ejercicios 8 y 9 de la Sección 4.3; Ejercicios 5 y 6 de la Sección 4.4; Ejercicios 3 y 5 de la Sección 4.5 . Una condición suficiente para la validez de estos procedimientos es la convergencia uniforme de las integrales en el intervalo de definición de los parámetros. Los teoremas y pruebas importantes pueden encontrarse en la mayoría de los libros de cálculo avanzado. Por ejemplo, véase [B, págs. 204- 212], Usualmente, esta técnica es más sencilla que evaluar las integrales por el método del residuo.

Se c c ió n 4 .6Estos resultados también pueden extenderse a curvas 7 spp cerradas arbitrarias (véase [A, págs. 151-153]).

C MAPEOS O CONFORMES

5 .1 C o n s id e r a c io n e s g e o m é t r ic a s

Obsérvese el cambio de la pendiente de un arco suave que pasa por el punto z o bajo el mapeo w = f(z ), cuando/ es analítica en z0 y f ' ( z 0 ) ¥= 0.

Si 7 : z = z(t), z(0) = z 0 , es tal arco, su tangente en z 0 tiene pendiente

? = tan ar§ 2 '(°)> dx x (U)y su imagen f (y ) : w = f{z (t)) tiene una tangente en f ( z 0 ) con pendiente tan arg zt/(0). Pero, por la regla de la cadena,

arg u /(0) = arg[/'(20 )^'(0)] = arg f ' ( z 0 ) + argz'(O).Por tanto, el cambio de dirección es igual a la constante arg f ' ( z 0 ) independiente del arco elegido. Así, el ángulo formado por las tangentes de dos arcos suaves que se intersectan e n : 0 se conserva bajo el mapeo w = f(z ), ya que ambas direcciones cambian por la misma cantidad (véase Figura 5.1). Los mapeos que conservan el tamaño y la orientación de los ángulos se llaman conformes. De esta forma se ha probado el siguiente teorema.

Te o r e m aSi f(z ) es analítica en una región G, entonces w - f(z ) es conforme en todos los puntos z0 de G para los cuales f '{z0) # 0 .

161

162 CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

FIGURA 5 . 1 . M a p e o co n fo rm e en z 0

Eje m p lo 1El mapeo w = e? es conforme en todos los puntos de C , ya que su derivada no se anula. Esta función mapea el eje real del plano z en los reales positivos del plano w. El eje imaginario del plano z se mapea repetidamente en el círculo unitario del plano w porque I ely I = 1. Así, el ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante del plano z se transforma en el ángulo recto entre el eje real positivo y el círculo unitario en el primer cuadrante del plano w (véase Figura 5.2).

^ t /2

p lano z

FIGURA 5 .2 . El m a p e o c o n fo rm e w = ez

Sea w = f(z) conforme en una región G que contiene al punto z Q. Considérese el efecto de este mapeo sobre un disco centrado e n z 0 y contenido en G (véase Figura 5.3). Los ángulos entre líneas radiales se conservan, aunque no sus longitudes. No obstante, puesto que

i / ' , , , , ) ,= ,Im 1 L M ,z~*z0 \Z — Z 0 \

las líneas radiales están sujetas, aproximadamente, al mismo cambio de escala l / '(z 0)l cuando el radio es pequeño. En términos generales, se dice que círculos “pequeños” alrededor de z 0 se mapean en círculos “pequeños” alrede-

5.1 • CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS 163

FIGURA 5.3. M apeando un disco cen trado en z 0

dor de f ( z 0 ) con cambio de escala I f ' ( z 0 ) I. Esto indica que el mapeo es localmente uno a uno, aunque es claro que nada puede decirse acerca de su comportamiento global. Por ejemplo, / ( z ) = e? es localmente uno a uno, ya que f ' (z ) = ez =£ 0 , pero /(O) = f ( 2ni), por lo cual no es uno a uno en 6 .

Los ángulos se amplifican en todos los puntos donde la derivada es cero. Por ejemplo, / ( z ) = z 2 tiene una derivada que se anula en el origen. Como / ( l ) = / ( —1 ) = 1 y f{i) = / ( - * ) = —1 , los ángulos rectos entre los ejes se mapean en ángulos de 180°. Esta duplicidad de ángulos provoca que los círculos alrededor del origen se mapeen en curvas circulares que dan dos vueltas alrededor del origen. Esto motiva el teorema siguiente.

Te o r e m aSea /(z ) analítica en una región G que contiene al punto z 0 en el cual / '(z ) tiene un cero de orden k. Entonces todos los ángulos en z 0 se amplifican por un factor k + 1 .

PRUEBA: Se puede escribir f '(z ) = (z — z 0 )kg(z), con g analítica y diferente de cero en una e-vecindad de z0 . Así, los términos f ' ( z 0 ), f ' ( z 0 ) , . . . , (z0 )se anulan todos en la serie de Taylor de f '{z ) . Por tanto, la serie d e/(z) es

f (z ) = f (z o) + f {k+1)(z o) (A + l) !

(z - z 0 )A+1 +

lo cual implica que

argl/fc) ~ f ( z o)] = (A + 1 ) arg(z J { k + 1 ] ( z o ) +.z 0 ) + arg(A + 1 ) 1

Los primeros dos argumentos comparan los ángulos entre la dirección horizontal y los vectores que van de / ( z 0 ) a f{z) y de z 0 a z. Si z tiende a z0 a lo largo de un vector fijo que forma un ángulo 6 con la dirección horizontal, el ángulo del vector de/(z) a /(z ) con la horizontal tiende a

f {k+1)(z oY(k + 1 )6 + argL (A + 1 ) I J

1 64 CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

donde el último argumento es independiente de 9 . Así, el ángulo entre las tangentes de dos arcos suaves que se intersectan en z 0 se amplifica por el factork + i.m

Eje m p lo 2El mapeo w = 1 — eos z es entero y conforme excepto en los ceros 0, ±7t, ± 27T, . . . de la derivada (1 — eos z)' = sen z. Para analizar el comportamiento de este mapeo en z = 0 , nótese que sen z tiene un cero de orden 1

en z - 0 y

El teorema anterior implica que w — 1 - eos z amplificará al doble todos los ángulos en z = 0. Obsérvese en la Figura 5.4 que el ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante se transforma en un ángulo de 180°, ya que 1 — eos x > 0 para 0 < x < 7t/2 y

1 — eos iy = 1 — cosh y < 0 para 0 < y < 7t/2.

v v

► U

1

FIGURA 5 .4 . C om portam iento local d e w = l - eos z en z = o

Con respecto a las propiedades globales, es razonable preguntar cuándo se puede mapear de manera conforme una región G en una región H dadas. El siguiente teorema, cuya prueba va más allá de los objetivos de este libro, es el resultado fundamental en este sentido.

Te o r e m a de R ie m a n n del m a p e oSea z 0 un punto de una región G ( # 6 ) simplemente conexa. Entonces existe una única función analítica w - f(z ) que mapea a G de manera uno a uno en el disco I w I < 1 tal que f (z 0 ) = 0 y f ’(z0 ) > 0 .

Ahora, supóngase que G y H son dos regiones simplemente conexas, diferentes de C . El teorema asegura la existencia de funciones analíticas/y g que mapean a G y H en el círculo unitario. Entonces g~ lf es un mapeo uno a uno de G en H. Si se puede mostrar que g ~ l , y por tanto la composición es

w = 1 - eos z■t ;

n/2 -1.51

Z Z5senz - z + . . . = z

3! 5!

5.1 • CONSIDERACIONES GEOMÉTRICAS 165

analítica, se tiene entonces un mapeo conforme de G en H, lo cual prueba que cualesquiera dos regiones simplemente conexas, diferentes del plano, pueden mapearse de manera conforme la una en la otra. Puesto que g es conforme (uno a uno y analítica), tambiéng ~ 1 lo es. El teorema de la función inversa del cálculo (véase [B, pág. 278]) muestra que g ~ l tiene primeras derivadas parciales continuas, y éstas satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ya que

1 _ 1 1 _ - 1 _Xu ~ — — yv yu ~ — “ x v.UX Vy Uy VX

Por tanto, g_ 1 es analítica.Las condiciones/(zo) = 0 y f ' ( z 0 ) > 0 implican que la imagen de cual

quier arco 7 suave que pasa por z 0 tendrá la misma pendiente en 0 que tiene el arco y en z 0 , ya que arg f '(z 0 ) = 0. Esto no es una limitación sino una normalización que indica la existencia de tres “grados de libertad” al elegir el mapeo: las coordenadas x y y del punto z 0 y el cambio de dirección de los ángulos. Si se desea cambiar la dirección por un ángulo 9 , sólo se necesita multiplicar el mapeo por la constante de longitud unitaria ete.

Aunque el teorema de Riemann del mapeo asegura que una función m apea de manera conforme una región dada en un disco, no muestra cómo encontrarla. La construcción de la función puede ser un problema de gran dificultad. El resto de este capítulo se dedica a la elaboración de mapeos conformes específicos y su aplicación al flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-4 indique dónde son conformes los mapeos.

1 . w = ez 2 . w = senz

3, w = — 4. w = z 2 — zz

Describa cómo afecta cada uno de los mapeos, en los Ejercicios 5-8, al ángulo recto entre los ejes coordenados en el primer cuadrante

5.¡x> = z 3 senz 6 . w = z — senz7 . w - e z —z 8. w = e2 — eos z9. Pruebe que la imagen del círculo zv = z 2 bajo el mapeo I z — r I = r, r > 0, es

la cardioide con ecuación polar

p = 2 r 2 ( 1 + eos 9).10. Muestre que el mapeo w = z + 1 jz forma los círculos I z I = r en las elipses

11. Si = /(z)es una función analítica, muestre que su jacobiano satisface

3(*. y)

16ó CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

12. Sea f(z) - u(x, y) + iv(x, y) conforme y con primeras derivadas parciales ux , uy, vx , vy continuas en una región G. Pruebe que f(z) es analítica en G. (Sugerencia: Muestre que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.)

13. ¿Por qué el teorema de Riemann del mapeo establece que no es posible mapear el plano complejo 6 simplemente conexo de manera conforme en el disco unitario?

14. Una región G es convexa si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de G está contenido en G. Pruebe el teorema de Noshiro- Warshawski: Suponga que w = f(z) es analítica en una región convexa G. Si R ef'(z) > 0 para toda z en G, entoncesf es uno a uno en G. (Sugerencia: Exprese af ( z 1) — / (z 2 (como una integral.)

15. Use el Ejercicio 14 para probar que si/ es analítica en z0 y f ' ( z 0 ) 0, entoncesexiste una vecindad de z0 en la cual f es uno a uno.

5 .2 Tr a n s f o r m a c io n e s f r a c c ió n a l e s lineales

Un simple pero importante tipo de mapeos conformes está dado por la expresión

az + btv = w(z) = —--------, ad — bc=£Q,

cz + d

donde a, b, c, d son constantes complejas. Tal mapeo se llama transformación fraccional lineal. La condición ad — be =£ 0 impide que su derivada

, ad — bew ~ -----------F(cz + d)2

se anule, ya que de otra manera la función es constante. Se puede despejar a z, para obtener

—dvo + bcw — a

y como w (—d/c) = °° y w(°°) = a/c, se sigue que w mapea 3TC (la esfera de Riemann) de manera uno a uno en sí misma. Además el mapeo es conforme, excepto en z = o®, —d/c, porque en estos puntos w' = 0 o °°.

Eje m p l o 1Considérese la transformación fraccional lineal

z - 1w = --------- •

z + 1

Encuéntrense ahora las imágenes de los puntos i, —2i, e °°. ¿Qué puntos se mapean en 0 , 1 e oo?

5.2 • TRANSFORMACIONES FRACCIONALES LINEALES 167

SOLUCIÓN: Se tiene

- 2 í - l 3 - 4 i= i y - 2 i - + ---------------- = ---------------

' —2i + 1 5

W = Ci-^L ,1 + ( 1 Iz)

nótese que 00 se mapea en 1. Para encontrar el punto que se mapea en 0, obsérvese que z = 1 provoca que se anule el numerador del lado derecho de la transformación fraccional lineal. Por ende, 1 se mapea en 0. Similarmente, - 1 provoca que el denominador se anule, así que - 1 se mapea en oo.

i — 1 1 — i 2 ii -*■------- • = —í + 1 1 - í 2

Al escribir

Una composición de dos transformaciones fracciónales lineales es la integración de ambas en una sola, ya que

az + )3+ b

yz + 5 / _ («a + by)z + (a¡3 + bS)az + |3 \ + (ca + dy)z + (c|3 + d 8)

yz-frh)

con(aa + by)(c¡3 + dd ) — (a¡3 + bS)(ca + dy) = (ad — bc)(a8 - ¡3y) ^ 0.

Cualquier transformación fraccional lineal es una composición de cuatro tipos especiales de transformaciones:

(i) Traslación: w = z + a, a complejo,(ii) Rotación: w = eld z, 6 real,

(iii) Amplificación: w = kz, k > 0,(iv) Inversión: w = 1 ¡z.

Si c ^ 0, puede escribirse

az + b be — ad a+ — y

C2 I 2 +

lo cual muestra que la transformación puede descomponerse en traslación por d/c, seguida de rotación por e2íargc, amplificación I c I2 , inversión, rotación, amplificación y traslación.

Sl c = az + b a i b- z + -

d d \ a ,esto prueba que la descomposición consiste en una traslación, una rotación y una amplificación.

Eje m p l o 2Encuéntrese una transformación fraccional lineal que mapee el círculo I z — i I = 1 en el círculo I w — 1 1 = 2 .

SOLUCIÓN: Considérese la sucesión de transformaciones fracciónales lineales mostrada en la Figura 5.5: plano traslación f = z — i, seguida de amplificación co = , y seguida por otra traslación w = co + 1. La composición de estos tres mapeos es

ti> = co + l = 2 f + l = 2 (z — ¿) + 1

o sea

w = 2z + ( 1 — 2 i), y esta transformación mapea I z — i I = 1 en \w — \ \= 2.

p la n o z

Figura 5 .5.

o j =

p lano i p la n o cu p lano w

La propiedad fundamental de las transformaciones fracciónales lineales es que mapean círculos en círculos en DIZ. Un círculo en 31Z corresponde a una línea recta en 6 , ya que las rectas en el plano corresponden a círculos a través de °o en la esfera de Riemann (véase Sección 1.3). Geométricamente, es claro que traslaciones y rotaciones llevan círculos a círculos. Antes de considerar las otras dos transformaciones, obsérvese que la línea y = tan 6 * x + b puede escribirse en la forma

7TRe(— ie~ie z) = y eos 9 — x sen 9 = b eos 9, 19 I < — •

La amplificación w = kz, k > 0, mapea (por sustitución) círculos I z — z 0\ = r en círculos I w — kz0 I = kr, y rectas Re(az) = c en rectas Re(otw) - ck, con I al = 1, c real. Bajo inversión, el círculo \z — z 0 \ = r (> 0) satisface a

0 = \z — z 0 \2 — r2 = I z I2 + I z 0 I2 — 2 Re zz0 — r2

= I2 ~ r 2 ) - R e z 0 w. (1)Iw\ \w\

5.2 • TRANSFORMACIONES FRACCIONALES LINEALES 169

Si lz0 I = r, indicando que el círculo pasa por el origen, se obtiene la ecuación

1 — 2 Re z 0 w0 =

i w I2(2)

de donde resulta la recta Re(z0 w) = \ que pasa por oo. Si lz0 l ^ r , el origen no pertenece al círculo, así que al multiplicar la ecuación ( 1 ) por la cantidad I w I2 /( \zQ I2 — r2 ), diferente de cero, se tiene

0 =

Izo I2 — r2

w

I w I2 -1*0 I2

Re z Q w

Izo I2 ,2 \2( Izo I — r )

un círculo. Al invertir los pasos que condujeron a la ecuación (2), se sigue que las rectas se mapean en círculos que pasan por el origen.

Puesto que cualquier transformación fraccional lineal es úna composición de estas transformaciones especiales, se ha probado el siguiente teorema.

TEOREMALas transformaciones fracciónales lineales mapean círculos en círculos enLile. '•

Eje m p l o 3Mapéese de manera conforme la intersección de los discos I z — 1 1 < 1 y I z — i I < 1 al primer cuadrante.

SOLUCIÓN: Como los círculos I z — 1 1 = 1, I z — i I = 1 se intersectan en los puntos 0 y 1 + i, se utiliza el mapeo

z? = -----------------rz — ( 1 + i)

que manda 0 a 0 y 1 + ¡ a » . Los círculos se mapean en rectas perpendiculares entre sí en el origen, ya que el mapeo es conforme y las rectas tangentes a los círculos son perpendiculares en z = 0. Como f(2) = 1 + i y f ( ( l + z)/2 ) = — 1 , las líneas tienen pendientes ± 1 en el plano f y el traslape corresponde al conjunto I arg f — 7t| < ít/4 (véase Figura 5.6). La rotación

37t¿/4 _w = e~ 57rifii¡= --------------

z — ( 1 + *)

produce el mapeo deseado.

plano w

Figura 5.6.

Eje m p lo 4Mapéese el semiplano derecho en el círculo unitario 12 I < 1 de tal forma que el punto 1 se mapee en el origen.

SOLUCIÓN: Nótese que el mapeo del Ejemplo 1

z - 1w

z + 1(3)

manda l a 0 , 0 a - l y e l ° ° e n l . Además, ±i se mapean en ellos mismos [tales puntos se llaman puntos fijos del mapeo (3)]. Puesto que tres puntos determinan un círculo, se sigue que el eje imaginario se mapea en el círculo unitario (véase Figura 5.7).

Figura 5 .7.

Eje m p lo 5Encuéntrese el número de raíces de la ecuación

p{z) = l l z 4 - 10z3 - 4z2 + lOz + 9 = 0

situadas en el semiplano derecho.

5.3 • EL PRINCIPIO DE SIMETRÍA 171

SOLUCIÓN: Como la transformación (3) mapea el semiplano derecho en el disco, al sustituir el mapeo inverso

1 + wz = -------- >

1 — wse obtiene el problema equivalente de encontrar el número de raíces de la ecuación

g(¡x>) = ¡x>4 + 3 w3 + 8 w2 — 2 w + 1 = 0 que se sitúan en I w I < 1. Si se escribe f(zu) = 8 w2 , se encuentra que

lg(tü) —f(w) I < 7 < 8 I w I2 = I f(w ) Ien I w I = 1, lo cual implica, por el teorema de Rouché, quep(z) tiene dos raíces en el semiplano derecho.

Ej e r c ic io sEn los Ejercicios 1-4, describa la imagen de la región indicada bajo el mapeo dado.

z — 11. El disco I z I < 1; w = i --------

z + 1

z — i2. El cuadrante x > 0, y > 0 ; w = r

z + i7T Z

3. El sector angular I arg z I < — ; w = --------4 z — 1

z4. La franja 0 < x < 1; w - -------

z — 1

5. Encuentre el número de raíces de la ecuación

l l z 4 - 2 0 z 3 + 6z 2 + 2 0 z - 1 = 0

que están en el semiplano derecho.6 . ¿Cuántas raíces de la ecuación

17z4 + 26z3 + 56z2 + 38z + 7 = 0se encuentran en el primer cuadrante?

7. Utilice la función exponencial para mapear la región interior a I z I = 2 ,y exterior alz — 1 I = 1 en el semiplano superior.

8 . Mapee la región Iz — 1 I < 1, Im z < 0, en el semiplano superior.9. Mapee el sector I arg z I < 7r/4 en el conjunto | Re w K l , Im w > 0.(S«geren

cia: Utilice la función seno.)

5 .3 E l p r in c ip io de s im etr ía

Dados tres puntos distintos z l , z 2, z 3 en Olí, existe una transformación fraccional lineal que los lleva a 0, 1, °°, respectivamente. Si ninguno de los puntos

1 7 2 CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

es ooj ésta está dada por la razón cruzada

w = iz - z i ) (z 2 - z 3 )

(z - z 3)(z2 zi )

y se convierte en

z 2 - z , z - z , z - z .Z — z 3 Z — z 3 Z2 — z 1

si z x, z 2 o z 3 = oo. Si w* es otra transformación fraccional lineal con la misma propiedad, entonces la composición w*w~l mantiene fijos los puntos 0, 1, oo. Así, se tiene la transformación

az + b , „•? = > a d — bc=P0,

cz + d

que satisface las ecuaciones

n _ a + b aU , 1 = --------- , oo = _ ,d c + d c

Pero entonces b = c = 0 y a — d, lo que implica que zü*u; ~ 1 = I, el mapeoidentidad y, por ende, w* = w. Por tanto, w es la única transformación frac-cional lineal que mapea los puntos z x, z 2 , z 3 en 0 , 1 , °°, respectivamente.

Puesto que un círculo está determinado por tres de sus puntos, ahora se puede definir fácilmente una transformación fraccional lineal que lleve un círculo dado en el plano z a un círculo dado en el plano w. Elíjanse puntos distintos Zj, z 2, z 3 del primer círculo y wlt w2 , w3 del segundo. Entonces

(w - a )i)(a >2 - w3) = (z - z 1)(z2 - z 3)

( W - W 3 )(w2 - W i ) (Z - Z 3 )(Z2 - Z j )

mapea z¡ , z 2, z 3 en w¡, w2, w3, ya que el lado derecho de la ecuación mapea z ! , z 2, z 3 en 0 , 1 , y la inversa del lado izquierdo 0 , 1 ,° ° enuq, w2, w3.

Eje m p lo 1Encuéntrese la transformación fraccional lineal que mapea los puntos 1, i, -1 en 2, 3, 4, respectivamente.

SOLUCIÓN: Al resolver la ecuación

(w — 2)(3 — 4) = (z - !)(,- + 1 ) ( a , - 4 ) ( 3 - 2 ) (z + l ) ( t - l )

= (2 - 4¿)z + (2 + 4¿)( 1 — i)z + ( 1 + i)

para w, se obtiene

5.3 • EL PRINCIPIO DE SIMETRÍA 173

Los puntos w y w son simétricos con respecto al eje real. Puede generalizarse este concepto a cualquier círculo C de SIL.

DEFINICIÓNLos puntos z y z* son simétricos con respecto al círculo C, en el plano z extendido, si existe una transformación fraccional lineal w que mapee C en el eje real y que satisfaga w(z) = w(z*).

A primera vista podría parecer que la simetría con respecto a C depende de la transformación w, pero si a;* es una transformación fraccional lineal que también mapea C en el eje real, entonces f = w*w~1 mapea al eje real en sí mismo. Por tanto, es de la forma

{$ - b l ) (b2 - b 3 ) _ ( w - a i ) { a 2 - a3 )---------------------------------------------------------- — —--------------------------------------------------------- y

(f - b 3 )(b2 - ¿>i) ( w - a 3 )(a2 - a i )

con aj, bj, j = 1, 2, 3 reales. Despejando f , se obtiene_ czw + (3

s - ---------->7 w + S

con cz, (3, 7 , 5 reales; entonces,

w*{z) = $(w(z)) = ${w{z)) = ${w{z*)) = w*{z*), y la simetría es independiente de la transformación utilizada. Aún más, la simetría se conserva bajo transformaciones fracciónales lineales, porque si z y z* son simétricos con respecto al círculo C y w* es cualquiera de tales transformaciones, entonces w*(z) y w*(z*) son simétricos con respecto a w*(C) bajo el mapeo ww*- 1 . Este hecho se llama principio de simetría.

Eje m p l o 2Encuéntrese el punto simétrico a i con respecto al círculo \z + 1 1= 1.

SOLUCIÓN: Primero, se necesita encontrar la transformación fraccional lineal del círculo \z + 1 1 = 1 en el eje real. Al elegirse 0, — 1 + i, —2 para mapearse en 0 , 1 , 00 se obtiene

—:ÍZ W = ------- >

z + 2

que transforma a i en w = (2 — i)¡5. Así, w = (2 + i)¡5 y el mapeo inverso

- 2 a;z = rw + 1

manda a t « e n - | ( - l + i ) . Consecuentemente z* = + \i.

174 CAPÍTULO 5 • MAREOS CONFORMES

Eje m p l o 3Encuéntrese el número a (< 1) para el cual existe una transformación fraccional lineal que mapea al semiplano derecho, omitiendo el disco I z — 1 K a en el anillo 1 < I w I < 2 .

SOLUCIÓN: Primero se buscan los puntos z 0, zjj simétricos con respecto tanto al eje imaginario como al círculo Iz — 1 1 = a. Si se rota el eje imaginario 90° se obtiene que

izt = iz Q = - i z 0 ,

así que z$ = —Zq". La transformación fraccional lineal que mapea 1 + a, 1 + ia, 1 — a en 0 , 1 , °° está dada por

z — ( 1 + a)

Entonces

z 0 - ( 1 + a)'

.zo - ( 1 -a )_

w = —i

= —i( 1 + a) —Zr ( 1 + a)

_ - z 0 - ( 1 - a ) .asi que

z 0 - (1 + af 1n

T o - ( 1 - a ) .

z 0 + ( 1 + a)

- ^ + ( 1 —«)-de donde se obtiene z 0 2 = 1 — a2 > 0 . Por tanto z 0 es real y puede su- ponerse z 0 > 0 , ya que zo = —z0 , lo cual implica que z 0 = y^l — a2 . Por el principio de simetría, el mapeo

r = z + z 0

manda z 0 a 0 y —z 0 a °° y mapea el eje imaginario y el círculo I z — 1 I = a en círculos concéntricos en el origen. Puesto que f(°°) = 1, y

( 1 + a) — z 0 ( 1 + a) — z 0 _ 1 z 0f ( l + a)

( 1 + a) + z0 ( 1 + a) z o

se amplifica por a/( 1 — z 0 ) = 2 , de donde a = ■f y

' z

< 1,

w = 2 r = 2

Ej e r c ic io sEncuentre la transformación fraccional lineal que mapea los puntos —1, i, 1 + i, respectivamente, en los de los Ejercicios 1-4.

1 . 0 , 1 , 0 0 2 . 1 , ° o , 0 3. 2 , 3 , 4 4 . 0 , 1,15. ¿Es w = z una transformación fraccional lineal?

5.4 • COMPOSICIONES DE MAREOS CONFORMES ELEMENTALES 175

6 . Muestre que cualesquiera cuatro puntos distintos pueden mapearse, por una transformación fraccional lineal, en los puntos 1 , —1 , k, —k, donde k depende de los puntos originales.

Encuentre los puntos simétricos al punto 3 + 4z’ con respecto a los círculos de los Ejercicios 7-9.

7 . Iz¡= 1 -8 . Iz - 1.1= 1 9. Iz - íl= 210. Mapee el círculo unitario en sí mismo de tal forma que el punto a vaya a 0 y

Ct/I Ctl a l , lctl< 1 .(Sugerencia: Mapee Oí* a °°.)11. Encuentre la transformación fraccional lineal que lleva a l z l = l e n l z — l l = l ,

el punto - 1 en 0 , y 0 en 2 i.12. Encuentre una transformación fraccional lineal que lleve I z I = 1 y I z — 1 I = 3 a

círculos concéntricos. ¿Cuál es la razón de los radios?13. Haga el Ejercicio 12 para Iz I = l e Im z = 2.14. Pruebe que todo mapeo conforme de un disco en otro está dado por una trans

formación fraccional lineal. ¿Por qué esto implica la unicidad de la función en el teorema de Riemann del mapeo? (Sugerencia: Utilice el lema de Schwarz, Ejercicio 3, Sección 2.4.)

15. Suponga que z* es simétrico al punto z con respecto al círculo Iz — a I = R. Pruebe que (z* — a) (z — a) = R 2 .

16. Utilice el resultado del Ejercicio 15 para comprobar que se puede usar la construcción mostrada en la Figura 5.8 para localizar los puntos simétricos con respecto a un círculo.

5 .4 C o m po s ic io n e s de mapeos c o nfo rm esELEMENTALES _______________________________

En la Sección 5.1 se probó que las funciones elementales ez , eos z, sen z, log z y z“ son conformes en aquellas regiones de sus dominios de definición donde su derivada es diferente de cero. En esta sección se mostrará cómo pueden usarse las composiciones de dichas funciones, con transformaciones fracciónales lineales, para mapear de manera conforme ciertas regiones en otras. El procedimiento que se utilizará para analizar el mapeo es similar al que se usó en los Ejemplos 2 y 3 de la Sección 5.2.

FIGURA 5.8. C onstrucc ión g e o m é tr ic a d e pun tos sim étricos c o n re sp e c to al c írcu lo lz —a\ = R

Eje m p l o 1Encuéntrese un mapeo conforme de la franja infinita I Im z I < 7t/2 en el disco unitario.

SOLUCIÓN: Si se aplica el mapeo conforme f = e? a la franja infinita I Im z I < 7T/2, se obtiene el semiplano derecho Re f > 0, porque

g*±.v/2 _ + y e° = 1.

El principio de simetría implica que el mapeo

i + rque manda 1 , 0 , — l e n O , 1 , ° ° debe mapear al eje imaginario en el círculo unitario. Por tanto, la composición iv = w(^(z)),

♦ u í z \iv - -------- = = — tanh — ,1 + f 1 +e* \2J

mapea la franja I Im z I < ir¡2 en el círculo unitario (véase Figura 5.9).

p lan o z

Figura 5.9.

f = e

p lan o f

Eje m p lo 2Mapéese de manera conforme la franja semi-infinita / = { z : I Re z I < 7T/2, Im z > O} en el primer cuadrante.

SOLUCIÓN: La función f = sen z mapea a / en el semiplano superior, porque (véase Sección 1.8)

sen |± — + i’y'j = sen cosh 3* = ± cosh y,

lo cual implica que lsen(± 7t/2 + iy) I = cosh y > 1 mientras que Isena; l< 1 para Ix I ^ 7T/2. Pero la función iv - >/fr mapea el semipla-

5.4 • COMPOSICIONES DE MAPEOS CONFORMES ELEMENTALES 177

no superior en el primer cuadrante, puesto que la raíz cuadrada reduce el argumento a la mitad. Así, w =>/senz es el mapeo deseado.

Eje m p l o 3Mapéese el semiplano derecho, cuando le falta la recta { z : x > 1, y = 0 } en el semiplano superior.

SOLUCIÓN: Primero apliqúese la función f = z2 para obtener el plano, menos las dos ranuras que se muestran en el plano f de la Figura 5.10. Entonces, utilice la transformación fraccional lineal que lleva 1,0 en 0 , 1 , o®,

£para mapear el plano con sus dos ranuras en un plano con una sola ranura. Finalmente, w = \fZ genera el semiplano superior, así que el mapeo deseado es

' a - 1 z1 - 1w = -

í = i _ v z ' V — «-► w =vT ► O 1 ► 0 1 ►

p lan o z p lano f p lano Z p lan o w

Fig u r a 5.10 . ei m apeo w= / - — -

EJERCICIOS1. Encuentre un mapeo conforme del disco unitario en la franja infinita I Re z I < 1 .

{Sugerencia: Considere el inverso del mapeo del Ejemplo 1.)2. Muestre que

zw = -------- -----

x A 2 + 1

mapea, de manera conforme, el semiplano superior al que se ha quitado la línea { z : x = 0 , y > 1 }

3. Encuentre un mapeo que lleve al semiplano superior en el complemento del segmento de recta de - 1 a 1 .

4. Encuentre un mapeo conforme del cuadradojz: l x l < 1, I y I =5- 1} en el anillo 1 < lu iK e 2 1 con el eje real negativo suprimido.

5. ¿Cuál es la imagen del disco 12 — a I <C a bajo el mapeo w - z2 ?6 . Muestre que la transformación

w— 1 \ 2 . I z — 1= i

w + 1 / \ z + 1

mapea de manera conforme la mitad superior del disco unitario en él mismo.7. Describa la imagen de la hipérbolas2 — y2 = -j bajo el mapeo w = -y/l — z2 .8 . Mapee el complemento del segmento de recta {z ; y = 0, I s I ^ 1 } en el disco

unitario.*9. Mapee el exterior de la parábola y2 = 4x en el disco unitario de tal forma que 0,

- 1 sean enviados en 1 , 0 .*10. Mapee la región a la izquierda de la rama derecha de la hipérbola Re(z2 ) = 1

en el disco unitario. (Sugerencia: Considere el mapeo w = z + 1 ¡z.)*11. Pruebe que el mapeo

.¿4z2 +B z + Cw = -------------------

az2 + bz + cpuede descomponerse en tres transformaciones sucesivas,

f z = i f í + I ) , u> = ¡iz + v,yz + 8 2 V í /

o en dos,. _ o* + (3í ---------------------y w = f 2 + v.

7 2 + 5

5 .5 Flujo de fluido s

En esta sección se analizará un problema físico que puede resolverse con la ayuda de funciones analíticas.

Como una función compleja puede descomponerse en dos funciones reales la teoría de funciones analíticas es muy útil al resolver problemas que tienen dos variables en un espacio bidimensional. Sin embargo, como este libro no es un tratado de física matemática, mucho de lo que sigue es un bosquejo heurístico de la teoría física.

Una descripción completa del movimiento de un fluido requiere el conocimiento del vector velocidad en todos los puntos del fluido en cualquier tiempo dado. Supóngase que el fluido es incompresible (esto es, de densidad constante) y que el flujo es estacionario (independiente del tiempo) y bidimensional (el mismo en todos los planos paralelos al plano xy del espacio tridimensional). Se presentan condiciones de este tipo, por ejemplo, cuando en el flujo del

5.5 • FLUJO DE FLUIDOS 179

fluido se interpone un objeto cilindrico largo, cuyo eje es perpendicular a la dirección del flujo. El vector velocidad puede darse, entonces, como una función compleja continua en una variable compleja V = V (z) para todo z en una región G. También se supondrá en esta sección, que la región G no contiene fuentes o sumideros (puntos en los cuales el fluido se crea o se destruye).

La inferencia de que el fluido es incompresible y que no hay fuentes o sumideros en G implica que una región simplemente conexa de G siempre contiene la misma cantidad de fluido. Así, la cantidad de fluido por unidad de tiempo que atraviesa por un elemento de longitud ds de una curva de Jordán 7 , spp, contenida junto con su interior en G, es Vn ds, donde Vn es la componente (un número real) de V en la dirección de la normal que apunta hacia el exterior de la curva (véase Figura 5.11). Por tanto, el flujo total hacia afuera

Q = í Vnds = 0. (1)h .

La integral de línea de la componente tangencial Vs de la velocidad V a lo largo de la curva 7 ,

r = f vs ds, (2)J y

se llama circulación de V a lo largo de 7 . Si la circulación no es cero en alguna curva 7 , entonces las componentes tangenciales que tienen un signo dominana las que tienen el otro signo en la integral (2). En términos generales, esto significa que el fluido rota alrededor de 7 . Se dice que el flujo es irrotacional si la circulación es cero a lo largo de todas las curvas cerradas en G. Al suponer que el flujo es irrotacional, T = 0 .

Considérese la Figura 5.11, donde las direcciones normal y tangencial, que van afuera de la curva 7 se indican en un punto z. Sea ol = a(z) el ángulo

entre la dirección horizontal (positiva) y la normal hacia afuera de 7 enz, y supóngase que el vector velocidad V en z es como se indica.

Rotando el sistema de coordenadas ns alrededor del punto z por un ángulo —oí se obtienen los componentes normal y tangencial del vector velocidad V

Vn = Re(e~ia V), Fs = Im (e-fa F).En particular, se tiene que

e~iaV = Vn + iV s. (3)

El elemento de longitud ds está relacionado (véase Figura 5.11) con loselementos dx y dy por las identidades

dx - cos + a j ds, dy = sen ^ + o j ds,

lo cual implica quedz = dx + i dy = e!(7r/2+“) ¿ s = ¿ls. (4)

Ahora, si 7 es cualquier curva de Jordán spp contenida junto con su interior enG, tenemos por las ecuaciones ( l ) - (4 ) ,

f V(z(z) dz = i (e ,a V) dsJy J 7

= * (Vn + i V s)ds7

(F s + tFn ) d s - 0 ,

donde se denota que V(z) es analítica por el teorema de Morera. Si G es simplemente conexa, la antiderivada de V(z) es una función analítica w(z) = u(z) + iv(zj, llamada potencial complejo del flujo; u se conoce como función potencial y v como función corriente.* Las partículas individuales del fluido se mueven a lo largo de curvas cuyas direcciones, en cada punto, coinciden con la del vector velocidad. Tales curvas se llaman líneas de corriente y están caracterizadas por la ecuación v(z) = constante, ya que la tangente de tal curva tiene pendiente

dy _ vx _ vx ,— ------------- ----------------tan arg w = tan arg Fdx vy ux

por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, puesto que F = ¿7.Las curvas u(z) — constante se llaman líneas equipotenciales y son nor

males á las líneas de corriente, ya quedy _ ux _ ux —1

dx uy vx tan arg F

* Evitamos utilizar el símbolo <p en la función potencial paTa enfatizar, más tarde, la analogía entre el flujo de fluidos y el flujo de calor, y conservar nuestra notación para mapeos.


En consecuencia, los puntos en ios que V(z) = 0, y w'(z) = 0, se conocen como puntos de estancamiento del ñujo.

Eje m p l o 1Supóngase que el semiplano superior tiene un flujo uniforme de velocidad A (> 0) en la dirección positiva de las x. Aquél se aproxima al flujo de fluidos en canales extremadamente anchos (véase Figura 5.12).

Como V(z) = A, se sigue que w'{z) - A ,, así que el potencial complejo es w(z) = Az + c , donde c = c ¡ + i c 2 es una constante compleja. Entonces u(z) = A x + c ¡ y v(z) = Ay + c 2 , así que las líneas equipotenciales son verticales y las de corriente horizontales (despreciando el efecto de la viscosidad sobre el eje real). Si c = 0, la línea de corriente v — 0 coincide con el eje real.

Figura 5 .12.

Supóngase que la función f = f(z) mapea de manera conforme la región G en el semiplano superior /(G ). Si el potencial complejo ) del flujo del fluido en f(G ) es conocido, entonces el potencial complejo del flujo en G está dado por la función analítica w(f(z)). Por ejemplo, si el potencial complejo en

/(G ) es el dado en el Ejemplo 1, entonces las líneas de corriente en G son aquellas curvas que, mediante la función compuesta zvof, se mapean en las rectas v — constante en el semiplano superior. La determinación de tales funciones compuestas es el procedimiento fundamental en la solución de problemas en la dinámica de fluidos.

Eje m p l o 2Para encontrar las líneas de corriente a lo largo de un ángulo recto de un canal ancho, inicialmente puede estudiarse el flujo en el primer cuadrante. El mapeo f = z 2 forma el cuadrante en el semiplano superior. Así que, si conocemos el potencial complejo w = ) del flujo en el semiplano superior, entonces w = w(z2 ) es el potencial complejo del flujo en el


primer cuadrante. Por ejemplo, si suponemos que el flujo es uniforme y de velocidad A (> 0) en la mitad superior del plano f (y c = 0), entonces el potencial complejo en el plano f es w = A£. Así, el potencial complejo en el primer cuadrante satisface zv — A z 2 , las líneas de corriente están dadas por las hipérbolas 2Axy — constante, y el vector velocidad es V{z) = 2Az. El origen es un punto de estancamiento. (Véase Figura 5.13.)

Im f

FIGURA 5.13 . Líneas d e co rrien te en u n a esqu ina

Eje m p l o 3El mapeo f = z + a2 ¡z tiene importantes aplicaciones en el flujo bidimensional de fluidos. Reescribiendo la transformación en la forma

z

Se ve que la imagen £ de cada punto del círculo I z I = b, b > a, satisface

i . ■ , , , \z — a\2 + \z + a\2If - 2 al+ If + 2 aI = ------------------------------

b

Por la ley de los cosenos (véase Figura 5.14), se sigue que

I z — a I2 = a2 + b2 — 2 ab eos 0 ,I z + a I2 = a2 + b2 — 2 ab eos (ir — 0 ),

donde 0 = arg z. Por tanto,

l f - 2 al+ I f + 2 al= 2 (al l -fe- } ,b

y como el lado derecho es constante para una b fija, se sigue que la imagen del círculo Iz I = b es una elipse con focos en ±2a. De ahí que los círculos concéntricos de radio b~> a centrados en el origen del plano z se mapean en elipses confocales en el plano f . Además, el círculo Iz I = a

p lano z

Fig u r a s .14. E im apeo ?= z +

p lan o f

se mapea en el segmento de recta que une -2a y 2 a en el pía que z - ael6 implica que

a2f = z + — = aeie + ae 16 = 2a eos 6, 0 < 6 <t

z

no f , puesto

2n.

( = z + a2

- 2 a 0 2a

p lan o z p lan o f

FIGURA 5.15 . Flujo a lre d e d o r d e un c ilind ro

Si se observa que (z + a2¡z)' = 1 — (a/z)2 , entonces f = z + a2 ¡z mapea de manera conforme el exterior del círculo I z I = a en el exterior del segmento de recta que va de -2 a a 2a. Por tanto, suponiendo que el movimiento del flujo del fluido en el plano f es uniforme y de velocidad A (> 0) paralela al eje real, se obtiene el potencial complejo

A , ^w = A Iz + —z

para el flujo alrededor de un cilindro circular de radio a (véase Figura 5.15). La función corriente se obtiene cuando z = re16 , así

A av - A I r I sen 6 ;

la línea de corriente v = 0 consta del círculo I z I = a y del eje real con I x O a. La velocidad del flujo de fluido es

V = w’ = A 1 -za ' 2-1

con puntos de estancamiento enz = ±a. Nótese que V -*■ A cuando I z I —> °°, por lo cual, aunque la corriente se perturba por la presencia del cilindro, la perturbación es despreciable a grandes distancias del cilindro, y el flujo para grandes i z I es esencialmente uniforme y de velocidad A paralela al eje x.

Ej e r c ic io sEncuentre las líneas de corriente para el flujo de un fluido incompresible, sin fuente ni sumideros, en cada una de las regiones de los Ejercicios 1-4. Suponga que el flujo tiene velocidad A > 0 cuando z -> °o. ¿Hay puntos de estancamiento?

37T 57T1 . 0 < a r g z < — 2 . 0 < a r g z < —

4 40 „ ^ ^ 7T —7T bit3. 0 < arg z < — 4. — < arg z < —

4 4 1 4En los Ejercicios 5-8, calcule la rapidez I V I en z = 0, 1, e i para el flujo en el semiplano superior dado por cada uno de los potenciales complejos. ¿Hay puntos de estancamiento?

5 , w = z + z 3 6 . w = z + 2iz27. w - 3z — iz2 8 . w = senz9. Encuentre las ecuaciones de las líneas de corriente para los potenciales complejos

dados en los Ejercicios 5-8.10. Encuentre las ecuaciones de las líneas equipotenciales para los potenciales

complejos dados en los Ejercicios 5-8.11. Suponga que el potencial complejo para un flujo en el plano z está dado por

w — cosh- 1 (z/a). Describa las líneas de corriente para este flujo. (Sugerencia: Considere z = a cosh w.)

5.6 • IA FÓRMULA-DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL 185

Im £

i i i \ 1 i n \i \ \ \

\ \ \

> \ \ v\ \ x

p lano z

FIGURA 5.16 . Flujo vertical uniforme en el p lano f

ir/2

p lan o (

12. Use el Ejercicio 11 para describir un flujo a través de una abertura acotada por la hipérbola x 2 — y 2 = 1 .

13. Use el Ejercicio 11 para describir el flujo a través de una abertura de ancho 2a en una placa plana. ¿Es este flujo realizable físicamente? (Sugerencia: Encuentre la rapidez en los bordes.)

14. Use el mapeo f- = sen- 1z para determinar las líneas de corriente del flujo de un fluido incompresible en la región mostrada en la Figura 5.16. Suponga que el flujo en el plano f es uniforme y paralelo al eje imaginario. ¿Es este flujo realizable físicamente?

15. El teorema de Bernoulli establece que en el movimiento estacionario de un fluido incompresible, la cantidad

^ + ^ 1 V\2 P

tiene un valor constante en todos los puntos de una línea de corriente del flujo, dondep, p y I Vi son la presión, la densidad y la rapidez, respectivamente. Muestre, para el Ejemplo 3, que si A 2 > \p (°°) /p , entonces habrá puntos en los que la presión es negativa. En éstos se formará vacío, lo que provoca el fenómeno de cavitación. Ocurre cavitación, por ejemplo, cerca de las puntas de una hélice que se mueve rápidamente.

5 .6 La fórmula de Sc hw arz-C hristoffel

En el segundo teorema de la Sección 5.1 (página 163), se probó que si f ( z ) es analítica en una región que contiene al punto z 0 en el cual f '(z ) tiene un cero de orden k, entonces todos los ángulos en z 0 se amplifican por el factor k + 1 . Considérese, en cambio, una función f(z) analítica con derivada

f ( z ) = A ( z - z oy ,

V

l i/

o

n

w = f[z) 0

p lano z p lano w

FIGURA 5.17 . Efecto de f' {z ) - a (z —z 0)a

donde —1 < a < 1, a =£ 0. El punto z 0 es un punto de ramificación para / ' ; sin pérdida de generalidad, supóngase que el corte de ramificación es vertical y hacia abajo de z 0 . Sea z un punto de la recta, paralela al eje real, que pasa por z 0. Puesto que

el cambio en dirección será arg A si z está a la derecha de z 0 , y arg A + ira siz está a la izquierda de z 0 (véase Figura 5.17). Entonces, el ángulo n en z0 se amplifica por el factor a + 1 en f { z0)-

Puede utilizarse esta observación para construir una función /(z ) que mapee al eje real en una trayectoria poligonal. Sean x ¡ < x 2 < . . . < xn números reales, y supóngase que la función f(z) tiene derivada

donde A =£ 0 es una constante compleja y — 1 < a ¿ < 1, para k = 1, 2, . . ., n. Puesto que

arg f ' ( z ) = arg A + a i arg(z - x j + a 2 arg(z - x 2 ) + • • • + arg(z - x n),

las imágenes de los intervalos (—°°, Xi) , (x i , x 2), ■ ■ ■, (xn , °°) son segmentos de rectas cuyos ángulos, medidos a partir de la horizontal, están dados como sigue.

arg f \ z) = 'drñ A + « arg (z - zo),

Intervalo Angulo{Xn , °°)(xn - 1 > X„, )

arg Aarg A + TTOin

(x i , x 2)* i )

5.6 • A FÓ R M U A DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL 187

0 x ,

Cortes d e i►i

ram ificac ión

p lan o z

Figura 5 .18.

Así, la función w - f(z) mapea al eje real en una trayectoria poligonal, como se muestra en la Figura 5.18.

Por construcción, f(z ) es analítica en el plano complejo, excepto en los cortes de ramificación hacia abajo de cada uno de los puntos x lt x 2, ■ ■ ■, x n - Así que, si z es un punto cualquiera en el semiplano superior, podemos definir el mapeo conforme f(z ) por

/ ( * ) = f ( S ) d SJ 7

donde 7 es el segmento de recta que va de Xq^ x^ ^ =1, 2, . . ., n) a z. Cualquier función f(z) de esta forma se conoce como una transformación de Schwarz-Christoffel. Esta argumentación proporciona el recíproco del siguiente teorema, cuya prueba está más allá del objetivo de este libro.

Te o r e m a de Sc h w a r z -C hristoffelTodas las funciones que mapean de manera conforme el semiplano superior en un polígono en flíc con ángulos exteriores ak, k = 1 n, son de la forma

f ( z ) = A + B í* (z — x 2 )a 2 ‘ ‘ {z — x n )an dz,Jo

donde los puntos x¡ < x 2 < . . . < son reales, y A, B constantes complejas.

La función dada por la ecuación integral de este teorema se llama fórmula de Schwarz-Christoffel para el polígono dado.

El ángulo exterior en el vértice = f(z k) del polígono es nak requerido para hacer que la dirección del vector que va de w¿ a w^+ ¡ coincida con la del vector que va de u>/s_i a Wf¡. En la Figura 5.19, se observa que el ángulo exterior se mide al rotar desde el siguiente lado del polígono hasta la línea que es continuación del lado anterior del polígono. Nótese que —1 < a* < 1 , con

FIGURA 5 .19 . Ángulo exterior de un polígono

ak > 0 cuando la rotación es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, y a* < 0 cuando es en el sentido de las manecillas del reloj. Además, si se efectúa un circuito completo en el sentido de las manecillas del reloj a lo largo del perímetro del polígono, se recorre una revolución completa, lo cual implica que

n nir 2 ak-= — 2ir o 2 ak = — 2 .

ft=i ft=i

Las constantes A y B controlan —por medio de traslaciones, amplificaciones y rotaciones— la localización, escala y orientación del polígono en el plano w, y los puntos x¡¿ se mapean en los vértices Wk del polígono.

Una transformación fraccional lineal del semiplano superior en sí mismo permite mapear tres de los puntos x ¿ en tres posiciones prescritas sobre el eje real. Así, se tiene la libertad de elegir la localización de tres de los puntos . Dependiendo del polígono, una elección apropiada de las localizaciones de estos puntos puede ser extremadamente útil para obtener una solución en forma cerrada de la integral. La localización de los puntos x¿ restantes depende de la forma del polígono y puede ser muy difícil de establecer, excepto en los casos en que el polígono sea altamente simétrico.

Generalmente conviene elegir xn = aquí se omite el término que contiene a xn en la fórmula de Schwarz-Christoffel.

Los ejemplos siguientes muestran el uso de la fórmula de Schwarz-Christoffel.

Ej e m p l o 1Mapéese, de manera conforme, el semiplano superior en la franja \x I <C l, y > 0 .

SOLUCIÓN: Elíjase —1 , 1 , 0 0 como los puntos que van a mapearse en los vértices —1, 1, °° de la franja en UIT (véase Figura 5.20). Por la fórmula de Schwarz-Christoffel,

w = A + B ¡ Z (z + 1) - 1 /2 ( z - 1 ) - 1 /2 d x = A + B \Z dz -Jo y / j T T l

5.6 • LA FÓRMULA DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL 189

= A +B

°

dz . B _ i= = A + — sen z. 2 i

w=f[z)

- 1 0 1

Fig u r a 5.20.

Puesto que w(± 1) = ±1, se tiene

A ^ = 1 a - — i .

^ + = - i .2

De /í = 0 y B = 2 z/7r, se infiere que w = (2 / 7r). sen _ 1 z.

Eje m p l o 2Mapéese el semiplano superior en la región sombreada del plano w, mostrada en la Figura 5.21.

SOLUCIÓN: Es fácil obtener esta transformación sin utilizar la fórmula de Schwarz-Christoffel. De la composición de los mapeos indicados en la Figura 5.21 se sigue que

w = y /¥ = s/ z - 1 = V ^ 2 - ! •

- 0-

Z = z2 W = Z - 1 iv =

1 0 1

p lan o z

0 1

p lano Z

- 0- X-- i o

p lan o W p lan o w

Fig u r a 5.21 . w = 1

Para comprobar que se obtiene la misma transformación con la fórmula de Schwarz-Christoffel, nótese que se tienen ángulos exteriores —ir¡2, n, —ir¡2 en -1 , 0, 1. Por ende,

w = A + Bz dz

z* - 1

Z

0= A + B y / z 2 - 1 = (A - Bi) + .Bv^ 2 - 1-

Ahora 0 = z ü ( 1 ) = A — e i = z ü ( 0 ) = A, así que £ = 1 y w = ^ / z 2 _ ^

Eje m p lo 3Mapéese el semiplano superior en la franja infinita 0 < v < n.

SOLUCIÓN: Considerando el triángulo sombreado de la Figura 5.22, supóngase que los puntos —1 , 0 del plano z se mapean en los puntos w0o, ni, Wq del plano w. Si hacemos que w0 tienda a oo a través de los reales negativos, mientras que wc«, tiende a oo por los reales positivos, se obtiene la franja infinita 0 < v < n en el límite. Los ángulos exteriores en w„ , ni, w0 tienden a —n, 0, — n, entonces una fórmula de Schwarz- Christoffel para el caso límite es

Cz dzw = A + B — = A + B log z.

J i z

Se escoge z = 1 como el límite inferior de la integración, puesto que log 0 = ° ° . Ahora

ni = w{—1) = A + B log(—1) = A + Bni,así que si A = 0 y 13 = ls e llega a la transformación deseada w = Log z.

y vII 717

fvTS-

- 1 0 ----- 0 w ' —p lan o z p lan o w

Figura 5 .22.

Eje m p lo 4Mapéese el semiplano superior en el interior de un triángulo con ángulos exteriores —na, —n/3, —ny, donde a + P + y = 2.

SOLUCIÓN: Elíjanse a 0, 1 , 00 como puntos que desean mapearse en los vértices con ángulos exteriores —na, —nfi, —ny, respectivamente; se encuentra que la función tiene la forma


ñ z ) - A * B f ‘ ------Jo Za(z - 1)^

Como A y B afectan únicamente la posición y el tamaño del triángulo, con el fin de encontrar la fórmula más simple para la localización de los vértices, se tiene A = 0, B = eln®, y

,, , fz dzf ( z ) =

Entonces /(O) - 0 y

/ ( ! ) -dx

0 z“ (l - z f

_ r ( i - a ) r ( i — ■/?)Jo ?c“ ( 1 — x )13 r ( 7 )

La función gamma satisface la identidad r ( x ) r ( l — x) = ir(semrx) ~1, por lo cual la longitud de este lado es

c = - senTTT T ( 1 - a ) r ( l - j3)r(l - y).7T

Si se utiliza la ley de los senos, las longitudes de los otros dos lados son

a = — sen ira r ( l — a ) r ( l — |3)r(l — y),7r

b = ^ sen 7T/3 T ( 1 - a ) r ( l — /3)r(l - 7 )

(véase Figura 5.23).

1

p lano z

Fig u r a 5.23.

p lano w

Eje m p l o 5Mapéese el semiplano superior en el interior de un rectángulo.

SOLUCIÓN: Por el Ejercicio 6 de la Sección 5.3, cualesquiera cuatro puntos sobre el eje real pueden mapearse, por una transformación frac-

cional lineal, en los puntos ±1, ±k, k > 1 (inviértase si es necesario). En consecuencia, el mapeo está dado por

[.z dz

^ Jo a/ ( 1 — z2 )(k2 — z2 )

(véase Figura 5.24). A partir de la fórmula se nota de manera clara que los vértices del rectángulo son simétricos respecto al eje imaginario, con

l f l dx 1 _ / 7T 1

= * J ° — x 2 ) ( l — k~2x 2 ) k '■-2

(una integral elíptica de primera clase) y

r* dx _ i ffc dxJl /Ti „ 2 \/z,2 „ 2 \ k Jl

IC =1 \¡{\ — X2 )(k2 —X2 ) k 1 \ /(x2 — 1)(1 — k 2X2 )

—I--------1---- * - 1

p lan o z

Fig u r a 5.24 .

-b 0p lan o iv

Ej e r c ic io s1. Encuentre las líneas de corriente de un flujo de fluido incompresible de veloci

dad A ( > 0) en oo para la región sombreada del plano w de la Figura 5.21.2. Obtenga un mapeo del semiplano superior en la región sombreada del plano w

en la Figura 5.21, que mande a los puntos 0, 1, °° en 0, i, 0.3. Muestre que la función

mapea el semiplano superior en un cuadrado con lados de longitud

a = I í 1 dt - r ( 4 ) r ( i ) _ r 2 ( j )2 Jo j 3/4 0 _ t 2s/2ñ

4. Utilizando la transformación de Schwarz-Christoffel, encuentre el mapeo que transporta el semiplano superior en la franja infinita Iy I < 1 .

5. Mapee de manera conforme el semiplano superior en el exterior de la franja semi-infinita I x I < 7r/2, y > 0 .

6 . Mapee de manera conforme el semiplano superior en cada una de las regiones indicadas en la Figura 5.25 con 0, 1, °° a, ¡5, y, respectivamente.

7. Mapee de manera conforme el semiplano superior en la región señalada en la Figura 5.26, y muestre que la longitud (con \B I =1) del segmento que va de (X a j3 es igual a 127T-y/27r/5r2 (-4 ).

(a)

<* 0

y (b)

Figura 5 .25.

Fig u r a 5.26 .

*8 . Mapee de manera conforme el semiplano superior en la región de la Figura 5.27, con 0, x, l,oo ->• o¿, j3,7 , 5 , respectivamente, y muestre que x = k2 , 0 <ik 1. (Sugerencia: Haga s2 = (z — 1 )/(z — jc).)

-5

kv

— 8

(3 O

Figura 5 .27.

*9. Muestre que

m = a+ V Z - « •-- /------ i" T]_og - --------- — i y / a — 1 L o g

\ fz —y/z — a

iy/z(a — 1 ) + y 'z — a'

¿•v/z(a — 1 ) —y'z — a.

mapea de manera conforme el semiplano superior en la región de la Figura 5.28 con O, 1, a, 0 0 -*■ (X, j3, y, 5 y a = 1 + (h2/ H2 ).

1 9 4 CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

6 .... 6

H

Figura 5 .28.

5 .7 APLICACIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CALOR Y ELECTROSTÁTICA (opcional)

En esta sección se desarrollará la teoría básica de los flujos de calor y de campos electrostáticos bidimensionales en estado estacionario. Es importante notar las similitudes entre estos flujos y el de fluidos. En la siguiente sección se presentará un breve desarrollo de la teoría de estelas en un fluido.

Flu jo de c a l o rPuede enfocarse el estudio de la conducción de calor en un cuerpo sólido homogéneo de manera muy parecida a como se trató el flujo de fluidos, si el sólido es tal que el flujo es bidimensional, y el flujo de calor se encuentra en estado estacionario. Supóngase que no hay fuentes o sumideros de calor en la región G, simplemente conexa. Puesto que dos puntos pueden tener temperaturas diferentes, hay un flujo de calor —por conducción— de las partes más calientes hacia las más frías. El vector flujo de calor Q = Q(z) puede escribirse como una función compleja continua. El calor que fluye afuera desde el interior de una curva 7 cerrada spp contenida en G debe satisfacer

í Qn ds = 0 ,Jy

porque, de otra forma, la temperatura en el interior cambiaría. Como el calor fluye de las partes más calientes hacia las más frías, es irrotacional, así que se tiene

í Qs ds= 0 ;Jy __

por el teorema de Morera (como la Sección 5.5) se sigue que Q es analítica en G. Entonces

Q(z) = -kw '(z),

donde k es el coeficiente de conductividad térmica y w = u + iv es el potencial complejo del campo térmico. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

5 7 • APLICACIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CALOR Y ELECTROSTÁTICA [OPCIONAL] 195

u.>'(z) = ux + iuy = grad u(z), el gradiente de u, así que Q — ~k grad u (ley de Fourier), lo cual implica que el flujo de calor es normal a las curvas u{z) = constante. Los puntos que están sobre estas líneas deben tener la misma temperatura; entonces las curvas u(z) = constante son las isotermas y u(z) es la temperatura. Las curvas v(z) = constante se llaman líneas de corriente, y son ortogonales a las isotermas.

Un problema frecuente en elflujo de calor en estado estacionario es construir las isotermas en una región G especificando las temperaturas de la frontera.

Eje m p l o 1Encuentre las isotermas de la placa G, indicada en la Figura 5.29, aislada a lo largo del segmento 0 < x < l , y = 0 , con temperatura 0 ° a lo largo de z = y > 0 , y I o a lo largo de z = x > 1 .

u = 0

Figura 5 .29.

SOLUCIÓN: La función w - (2¡ir) sen 1 z mapea a G en la franja 0 0, y es el potencial complejo. Entonces

7T 7T 7T . 7T 7Tz = sen —w = sen — u cosh — v + i cos —u senh —v.

2 2 2 2 2Por tanto, encontramos que

1 2sen2 — u cos* — u2 2

esto indica que las isotermas son hipérbolas.

Eje m p l o 2Encuentre las isotermas de una placa G, que tiene la forma de la Figura 5.25a, aislada a lo largo del segmento que une a a = 0 con j3= 1, con temperatura - I o en el rayo que va de a a 7 y I o en el que va de ¡3 a 7 .

SOLUCIÓN: Como los ángulos exteriores en 0 y 1 son —ít/2 y 7t/2 , respectivamente, la transformación de Schwarz-Christoffel

z = 1 + — f 1 d? = 1 + — [\/f2 - 1 + cosh 1 f ]7T Jl V f - 1 7T

mapea el semiplano superior en G con —1, 1, °° ct, |3, 7 . Pero f = sen (irw/2) mapea la franja \u l< 1 , v > 0 , en el semiplano superior, así que

- 1 r ■ 1 - 1 /z = 1 + 7T 1 cosh sen — — eos —L V 2 / 2 .mapea la franja mencionada en G. Por tanto, su inversa w = w(z) es el potencial complejo. Como en el Ejemplo 1, las isotermas serán las imágenes, bajo z = z(w), de las rectas verticales u = constante. Simplificando el primer término entre paréntesis, se encuentra

z =w + 1 1

eosirw

2 ir 2

de donde las isotermas pueden graficarse fácilmente.

El e c t r o s tá tic aConsidérese un campo electrostático plano E(z) que surge de la atracción o repulsión de un sistema arbitrario de cargas (fuentes y sumideros) dispuestas en el plano. En una región simplemente conexa G, complementaria a estas cargas, el interior de una curva cerrada 7 spp contenida en G no tiene carga, así que

E n ds - 0,h

por la ley de Gauss. La circulación del campo es el trabajo realizado por el campo cuando una carga positiva unitaria recorre la curva 7 completa. Como no se requiere gasto de energía para mantener un campo electrostático, se tiene que

E s ds = 0.

Entonces se dice que E es un campo potencial, E ¡i es analítica, y su antiderivada iw = —v + iu se llama potencial complejo del campo; -v es la función fuerza y u es la función potencial. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se encuentra

E = — w'{z) = — (ux + iuy ) = —grad u.

Las curvas v(z) = constante son líneas de fuerza, y u(z) = constante son líneas equipotenciales.

5.7 • APLICACIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CALOR Y ELECTROSTÁTICA (OPCIONAL] 197

TABLA 5.1 Analogías del flujo de fluidos; flujo de calor y campos electrostáticos

Flujo d e fluidos

Flujo d e calor

C am poelectrostático

Potencial complejo w (z ) = u + iv w (z ) = u + iv iw (z ) = —V + iu

Campo vectorial II Q - - k w \ z ) E = —u)'{z)

= grad u = —k grad u = —grad uu Función potencial Temperatura Función potencialu (z ) = constante Lineas equipotenciales Isotermas Líneas equipotencialesV Función corriente Función corriente —v es la función

fuerzav (z ) = constante Lineas de corriente Líneas de corriente Lineas de fuerza

Pueden resumirse todas las analogías entre el flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática, y presentarlas en forma tabular, como se hace en la Tabla 5.1. Pueden hacerse analogías similares con el flujo de fluidos y difusión estacionaria, magnetostática y campos gravitacionales, e hidromecánica.

Frecuentemente se desean encontrar las líneas equipotenciales de un campo electrostático plano, acotado por contornos sobre los cuales el potencial es una constante dada (cada contorno es un conductor).

Eje m p l o 3Un condensador consta de dos placas en forma de semiplanos coplanares con bordes paralelos, separados una distancia 2 a y con una diferencia de potencial 2u0 . Cualquier sección normal a los planos genera un campo plano con dos cortes (véase Figura 5.30). Encuéntrense las líneas equipotenciales para este campo.

| viiII

_ ~uo ¡0 u0«4----------------+ ^ x—a i a

i iiiiil

Figura 5 .30.

SOLUCIÓN: La función

198 CAPÍTULO 5 MAPEOS CONFORMES

mapea el dominio en la franja luí < u0 . Así que las líneas equipotenciales son las hipérbolas

a2 sen2

r7ru

2 u0

= 1 .2 9a eos

7ru

2 u0

Eje m p l o 4Un condensador de placas paralelas consiste en dos semiplanos paralelos, cuyos bordes están separados una distancia 2ir y que mantienen una diferencia de potencial 2u0 . Cualquier sección normal a los planos produce un campo bidimensional con dos cortes, como se muestra en la Figura5.31. Encuéntrense las líneas equipotenciales para este campo.

— 1 + n i

■ 1 — n i

Fig u r a 5.31 .

SOLUCIÓN: Nótese la región sombreada en la Figura 5.32. Haciendo que w0 tienda a —00 se obtiene la región de la Figura 5.31 como caso

- 1 + i»

- 1 - ir #

p lan o w

Fig u ra 5.32 .

5.7 • APLICACIONES FÍSICAS EN FLUJO DE CALOR Y ELECTROSTÁTICA [OPCIONAL] 199

límite. Por simetría, los puntos —1 , 0 , 1, °° de la frontera del semiplano superior se mapean en los vértices de la región sombreada en la Figura5.32. Como los ángulos exteriores en — 1 + ni, w0 , — 1 — ni, °° tienden a 7T, —7t, 7T, 7T cuando zv0 tiende a — la fórmula de Schwarz-Christoffel se convierte en

w = A + B | + 1) (*-----]1 d z = A + B (\z2 — log z)

donde los valores del límite inferior de la integración (evaluado en algún punto diferente de cero) se absorben en las constantes A y B. Al evaluar esta expresión en z = ± 1 se llegá al sistema

A + B / 2 = —1 — 7T*A + B(\ — ni) = —1 + ni,

con solución A = —ni, B =\—2, y w = 2 Logz — z2 — ni. Ahora, obsérvese que el semiplano superior puede mapearse en la franja I Im f 1 < ni por medio del mapeo f = 2 Log z — ni. En los mapeos de la Figura 5.33, es evidente que la función

w = 2 Log z — ni — z2 - £ + mapea, de manera conforme, la franja | Im f I < ni en la región sombreada del plano w. Como las líneas equipotenciales son paralelas al eje real del plano £ , pueden obtenerse en el plano w. En forma paramétrica están dadas por

u = % + e1- eosv = r¡ + e* sen rj, rj constante,

donde £ = % + ir\.

Im £

TT / — 1 + ÍT/ |

m1

w = w ( z ) I

0 R e f - 1 0 1 o !” l É I S i i i i l l i l I l i í

— ni - 1 - n t ¡

p lano C p lan o z p lan o w

Fig u r a 5.33.

Ej e r c ic io s1. Encuentre el potencial electrostático en una región situada entre un cilindro sóli

do y una placa plana paralela, donde el potencial en el cilindro es 1 y en la placa es 0. Suponga una sección que coloca la placa en el eje imaginario, tal que el cilindro esté dado por Iz - 2 l< 1 .

2. Encuentre las líneas de corriente para una pared de altura a si el flujo es infinitamente profundo y tiene velocidad .¡4 > 0 cuando z -*■ °°. ¿Cuál es la velocidad en 0 y en ia (véase Figura 5.34)?

20 0 CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

Figura 5 .34 .

3. Encuentre las isotermas en la franja infinita 0 < y < ir si los bordes están aislados en x < 0 y la temperatura satisface u(x) = 0 ° y u(x + iir) = 1 ° para x ^ 0 .

4. Encuentre el potencial complejo y los puntos de estancamiento para el flujo de un fluido incompresible a través de la región de la Figura 5.35, si se supone que la velocidad original del flujo es A .

5. Encuentre las isotermas de la placa indicada en la Figura 5.36, con temperatura 0 o en el lado horizontal y Io en los lados verticales.

- 1 o ¡

i

Fig ura 5 .3 6 .

5.8 • ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [OPCIONAL] 201

6 . Un condensador consiste en tres placas paralelas: la central es un semiplano y las otras son planos con sección y potencial indicados en la Figura 5.37. Encuentre una expresión para las líneas equipotenciales. (Sugerencia: Use el mapeo de Schwarz-Christoffel.)

c: II o

iiii u = 1

—i I c: II o

I

Fig u r a 5 .3 7 .

7. Muestre que la función

v = Im \e~ict z(cos a + i sen otyjl — ( j a ¡z )2 )]

es la función corriente para un flujo alrededor de una placa de longitud 2 , inclinada un ángulo a con respecto a la horizontal, cuando U(°°) - A(^> 0 ).

5 .8 Estelas en un flujo de fluido (opcional)

Considérese el impacto directo de una corriente de anchura infinita y velocidad A (> 0) sobre una placa fija de anchura 4a colocada perpendicularmente al flujo (véase Figura 5.38c). La función

S = z - a2/z

mapea, de manera conforme, el exterior del círculo I z l = a en esta región. Utilizando los tres mapeos mostrados en la Figura 5.38 se obtiene el potencial complejo del flujo alrededor de la placa fija:

w(£) = Acó = A(z + a2 ¡Z ) = A (2z — $) = ±A -y/f2 + 4a2 ,

puesto que

0 = 4(z2 — f 2 — a2 ) = (2z — f )2 — (f2 + 4a2 ).

(a) (b) (c)

Fig u ra 5 .3 8 .

CAPÍTULO 5 • MAPEOS CONFORMES

El potencial complejo puede usarse para determinar las líneas de corriente y la velocidad del flujo en cualquier punto f :

i / - — - + A t- V - w - ± ----------------y / f 2 + 4a2

En este punto surge un problema desconcertante: la velocidad en f = ±2ai es infinita. Como las velocidades infinitas no son físicamente posibles, se busca una solución realista. Una hipótesis es la existencia de una región infinita de agua en reposo, llamada estela, detrás de la placa. La estela estará acotada por líneas de corriente libres a lo largo de las cuales la rapidez es constante finita (véase Figura 5.39).

La existencia de una estela requiere un cambio en el análisis del problema, ya que el flujo tiene lugar en un polígono acotado por la placa y las líneas de corriente libres. El teorema de Riemann del mapeo establece que el polígono puede mapearse, de manera conforme, en el semiplano superior con los puntos ±2ai yendo a ±1. Las líneas de corriente en el semiplano superior pueden determinarse al considerar las líneas de corriente en el plano W de la Figura 5.40c.

Para determinar el potencial complejo zv(z), recuérdese que V(z) = diu/dz, y considérese el mapeo

u n \ - A AW(z) = ------ = .V(z) *>\z)

A lo largo de la placa, la velocidad es paralela al eje y; por ende, V es imaginario puro. Por simetría, la rapidez será la misma en ±2ai, aunque la dirección será la opuesta. Finalmente, la rapidez será constante en cada línea de corrien-

5.8 • ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [OPCIONAL] 203

o.> = ('■2

0 1

[b) p lano i (c) p lano cu V[oo) = A > 0

Figura '5 .40.

p lano W p lan o z 1 p lano z2 p lano (

FIGURA 5.41 . La hodógrafa

te libre. Así como V{+ °°) = A y las líneas de corriente libres tienden a todo punto sobre las dos líneas de corriente libres se mapeará en un punto de la mitad derecha del círculo unitario. Como F(0) = 0, el origen se mapea en 00. Además, V( -1 ) es positivo y menor que A , ya que el flujo se detiene al acercarse a la placa. Así, el flujo se mapea en la región sombreada en el plano W de la Figura 5.41.Esta región se llama hodógrafa. Nótese que se mapea en la mitad superior del plano f por medio de la transformación

iT = —[sen (i log flT)] - 1 = i [senh (log W)] - 1 ,

y los puntos i, —i, 1 se mandan a 1, — 1, 0, Así,

lsenh(log W) = — >

o, por el Ejercicio 24 de la Sección 1.9,


Como W = A /w '(z), la ecuación anterior implica que

1 dw _ f

A dz i + y / p - 1

Sin embargo,dw _ dw d£

asi que

dw dw doj „ .Y —r = — ’ — = 2 A£,

dz dt¡ dz d£ dco d$

Entonces,

z = 2 [\/f2 —1 + *] d$ - $y/$2 — 1 — cosh 1 f + 2 ¿ f + c

= >/co(co —1 ) — cosh ' ■ y f c W y f c + c .

Puesto que co = 0 corresponde a z = 0 , c = cosh- 1 0 = —i eos- 1 0 = —iir¡2. El problema está resuelto ahora, al menos en forma implícita, ya que las líneas de corriente están dadas por las curvas Imzo = constante.

Ej e r c ic io s1. Considere un fluido que sale por una rendija en el fondo de un recipiente grande

(véase Figura 5.42). Suponga que el fluido sale como un chorro acotado por líneas de corriente libres, a lo largo de las cuales la rapidez es constante, y que el flujo en el chorro es uniforme y paralelo al eje imaginario en °°. Encuentre las líneas de corriente libres. (Sugerencia: Use una hodógrafa.)

FIGURA 5.42 . Flujo d e ch o rro

2. Suponga que se forma una estela detrás de la pared del Ejercicio 2 de la Sección 5.7. Encuentre las líneas de corriente libres.

5.8 • ESTELAS EN UN FLUJO DE FLUIDO [OPCIONAL) 205

NOTAS

S e c c ió n 5.1Se da una tabla de mapeos conformes elementales en el Apéndice. Se pueden encontrar mapeos adicionales en [Ko]. Se pueden encontrar dos pruebas diferentes del teorema de Riemann del mapeo en [V].

Se c c ió n 5 .2Las transformaciones fracciónales lineales se conocen también como transformaciones lineales, transformaciones bilineales, sustituciones lineales y transformaciones de Móbius.

SECCIÓN 5 .5En el Capítulo 6 se analizarán problemas que incluyen fuentes. Pueden encontrarse algunas aplicaciones detalladas en [R]. Para un texto excelente, en que se detalla el uso del análisis complejo en la hidrodinámica, véase [MT].

Se c c ió n 5 .6Véase [A, págs. 227-232] para una prueba de la fórmula de Schwarz- Christoffel. Una fórmula para mapear el disco unitario en el exterior de un polígono se obtiene fácilmente.

Se c c ió n 5 .8Se puede encontrar una argumentación cuidadosa de estelas y chorros en [MT],

A Problemas c o n U VALORES EN LA

FRONTERA Y VALORES INICIALES

6 .1 Fu n c io n e s a r m ó n ic a s

La ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es de fundamental importancia en Física y surge en conexión con el flujo de calor y de fluidos, así como con los campos gravitacionales y electrostáticos. Por ejemplo, la temperatura u en un flujo de calor es la parte real de una función analítica w = u +' iv. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene formalmente que

Uxx ~ {ux )x — (py )*; — (Vx)y ~ ( Uy)y ~ Uyy

donde la ecuación de Laplace se cumple para u. De la misma forma, se cumple para v.

Cualquier función real u(x, y) con segundas derivadas parciales continuas, que satisface la ecuación de Laplace en una región G, se denomina armónica en G.

Eje m p l o 1Muéstrese que la función u(x, y) = x 2 — y 2 es armónica en C .

SOLUCIÓN: La función u tiene primera y segunda parciales continuas:

ux = 2x, uy = —2y

Uxx ~ 2 , uxy — uyx — 0 , uyy 2 ,

207

208 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

Además, u satisface la ecuación de Laplace, puesto que

UXX U.yy 2 2 0 .

Así que u es armónica en C . Obsérvese que u = Re (z2 ).

Las funciones armónicas están íntimamente ligadas a las funciones analíticas.

Te o r e m a(i) Sea f(z ) -■ u(z) + iv(z) analítica en la región G. Entonces las dos

funciones reales u(z) y v(z) son armónicas en G.(ii) Sea u(z) una función real armónica en una región G simplemen

te conexa. Entonces la integral de línea

v(z) = ux dy — uy dx,■ L;

es armónica en G, y la función f(z ) - u(z) + iv(z) es analítica en G; 7 representa cualquier arco spp en G que une z0 a z . A v{z) se le llama armónica conjugada de u(z).

PRUEBA: (i) Si/ = u + iv es analítica en G, también lo es

f'(z) = ux + ivx = vy - i u y .

Así, las segundas parciales d eu yz/ son continuas y, del cálculo, uxy = uyx y vxy = vyx. Si se aplican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene

u x x ~~ iPy )x ~ {V x)y u y y y ^xx ~ ( u y ) x (wx ) y Vyy>

lo cual implica que u y v satisfacen, ambas, las ecuación de Laplace.(ii) La función F(z) = ux — iuy tiene primeras parciales continuas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en G,

(u x ) x ~ ( ^ y ) y y ( u x ) y ( u y )x >

ya que u es armónica. Estas son condiciones suficientes para la analiticidad de F(z) en G. Como G es simplemente conexa, se puede utilizar el teorema fundamental para definir una antiderivada analítica de F(z):

(ux — iuy) (dx + idy)

= j (ux dx + uy dy) + i j (ux dy — uy dx).

El primer integrando es la diferencial exacta de la función u = u(x, y), por lo tanto

f(z ) = \du + i \ux dy — uy dx

f(z )= j F (z )d z = f

6.-1 • FUNCIONES ARMÓNICAS 209

= u(z) + i j ux dy — uy dx.

Entonces, se ha construido una función analítica f{z ) que tiene a u(z) como su parte real. Esto significa que la integral

v(z) = j ux dy — uy dx,

definida hasta una constante arbitraria, es armónica en G. I

En los ejemplos siguientes se mostrará el uso de la integral anterior para determinar armónicas conjugadas.

Eje m p l o 2Encuéntrese la armónica conjugada en C de la función

2 2u = x — y Á.

SOLUCIÓN: En el Ejemplo 1 se probó que la función u es armónica en (B ■ Como ux = 2x y Uy = —2y , se tiene

ü(z) = J ux dy — uy dx = J 2 x dy + 2 y dx

= 2 j d(xy) = 2xy + c.

Nótese que v es armónica en C , puesto que vxx = vyy = 0, y que

f(z ) = u + iv = (x2 — y 2 ) + 2ixy + c = z2 + ces entera.

Eje m p l o 3¿Hay alguna función analítica f = u + iv para la cual

U 7 ?x 2 + y 2

SOLUCIÓN: u no está definida en el origen; así que se buscará una armónica conjugada de u en algún subconjunto simplemente conexo de C — {o}. Primero se prueba que u es armónica:

y2 — x 2 —2xyux = — uv = '

(x2 + y 2 )2 y (x2 + y 2 )2

2x3 — 6xy2' _Uvy ” •

(x + y )

2 1 0 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

De ahí que una armónica conjugada esté dada por

f [ {y2 - x 2 ) dy + 2xy dxv{z) - \ux dy - uy dx - --------- — ------- ——------

J J (x¿ + y )

- y - y• y

Nótese que la función

x 2 + y 2) x 2 + y 2

x — iy z 1 ¡ t p = 7

es analítica para z 0.

La correspondencia entre funciones analíticas y armónicas proporciona muchas propiedades importantes de estas últimas.

Pr in c ip io del m á x im oSi u(z) es armónica y no es constante en una región G simplemente conexa. entonces u(z) no tiene máximo o mínimo en G.

PRUEBA: Al construir una función armónica conjugada v(z), se tiene que f = u + iv es analítica en G. En forma semejante,

F (Z) = */(*) = eu+iv

es analítica en G, y I F(z) I = eu zK Como F(z) no se anula en G, al aplicar los principios del máximo y del mínimo para funciones analíticas a F, se sigue que eu no tiene máximo o mínimo en G. Como la función real eu es una función creciente de u, la prueba es completa. I

Te o r e m a del v a l o r m e d ioSi u(z) es armónica en I z — f I < R , entonces

M(?) = — I u(j; + rete) dd, 0 < r < R .2tt Jo

PRUEBA: Construyase una armónica conjugada v(z) tal que f = u + iv sea analítica en I z — £ I < R. El teorema de Gauss del valor medio (véase Sección2.4) establece que

/(? ) = 4 - i*” M + reÍ6 ) d e > 0 < r < R -2tt J o

Tomando la parte real de ambos lados se obtiene la ecuación deseada. H

6.2 • EL PROBLEMA DE DIRICHLET 211

Ej e r c ic io sPruebe que las funciones de los Ejercicios 1-4 son armónicas en C.

1 . <¡)(x, y) = ex eos y3. (¡)(x, y) = x 3 — 3xy22 . <¡)(x, y) = senxsenh y4. <p(x, y) = e*2~y2 sen(2xy)

Determine si existen funciones analíticas f(z) =u + iv que satisfagan las condiciones dadas en los Ejercicios 5-7. En caso afirmativo, indique el dominio de definición.

5. u = sen* cosh y6 .u = log(x2 + y2 )7. u = ey?x

Encuentre las conjugadas de las funciones armónicas dadas en los Ejercicios 8-11.

8 . u - x 2 — (y — l )2 9. u = \ log(;c2 + y2 ), 2xy , , — 1 ) + y 2

1 0 . u = tan -- -- l l . u = - i ------- — p-t-x 2 — y2 (x — 1 ) + y

12. Si u y v son funciones armónicas, muestre que au + bv es también armónica, donde ay b son constantes reales. Muestre que uv es armónica si u y v son funciones armónicas conjugadas.

13. Pruebe que log l/(z) I es armónica siempre y cuando/(z) sea analítica y diferente de cero.

14. Muestre que el principio del máximo se cumple para regiones múltiplemente conexas.

15. Pruebe que log sen 6 dd = —7Tlog 2. (Sugerencia: Aplique el teorema del valor medio a log ll + 2 l e n l z l ^ r <C l , y haga r -*■ 1 ~ .)

6 .2 El pr o b lem a de D irichlet

Las aplicaciones al flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática que se analizaron en el Capítulo 5, muestran que la solución en cada una está dada por la función analítica llamada potencial complejo. Las partes real e imaginaria del potencial complejo tienen significado físico como líneas de corriente, líneas de fuerza, temperaturas iguales, etcétera. De acuerdo con la Sección 6.1, las partes real e imaginaria de una función analítica son funciones armónicas que satisfacen la ecuación de Laplace

A U = UXX + U y y = 0 .

Por ende, estas aplicaciones se reducen á encontrar una función armónica en una región G dada y que tome ciertos valores predeterminados en la frontera de la región G. A una situación tal se le llama problema con valores en la frontera. Más específicamente, tenemos lo siguiente.

El p r o b le m a de D ir ichletDada una región G arbitraria, ¿hay una función armónica en G que tenga valores predeterminados en la frontera de G?

Eje m p l o 1Encuéntrese una función que sea armónica en el primer cuadrante y que tenga valores frontera 0 en el eje real y 1 0 0 en el eje imaginario.

SOLUCIÓN: La función

200 Tw = ------- Log z

mapea, de manera conforme, el primer cuadrante en la franja 0 < v < 100, donde w = u + iv (véase Figura 6.1). El eje x positivo se transforma en la recta v — 0 , mientras que el eje y positivo se convierte en la recta v — 100. Puesto que

2 0 0 . . . u + iv = ------- (log Iz 1 + i A rgz),

la función 200v - ----- Arg z

rres armónica en el primer cuadrante y satisface las condiciones de frontera requeridas.

w= 200 Log 2100/

FIGURA 6 .1 . Solución g rá fica d e un prob lem a d e Dirichlet

No todos los problemas de Dirichlet tienen solución. La existencia de una solución depende de la geometría de la región: siempre que alguna componente del complemento de la región pueda reducirse, de manera continua, a un punto, existirá una solución. La prueba de esta afirmación está fuera del objetivo de este libro. El Ejercicio 9 proporciona un ejemplo de una región para la cual el problema de Dirichlet no necesariamente tiene solución.

Figura 6 .2.

El problema de Dirichlet siempre tiene solución para una región G (¥=e) simplemente conexa. Para obtener una expresión explícita de la solución u en cualquier punto z 0 de G, sea g la función que mapea, de manera conforme, a G en el disco unitario I f I< 1 con g(z0) = 0. (La existencia de tal función está asegurada por el teorema de Riemann del mapeo.) Por simplicidad, supóngase que g es analítica en un conjunto abierto que contiene a G y su frontera. La función compuesta uog~ 1 (véase Figura 6.2) es armónica en I f I < 1, así que — por el teorema del valor medio para funciones armónicas (véase Sección 6 . 1 ) — se puede representar a uog~ 1 (0 ) como el promedio integral de los valores de u og ~ 1 en I f I = 1 si se escribe

uog~~1 (0 ) = — í 2* u o g - 'íé * ) de.2it J o

Con f = e se obtiene

y como f = g(z), la integral se convierte en

u(Zo)=¿ r L

Esta ecuación indica que el valor de una función armónica u, en puntos interiores de la región G, puede determinarse como una integral de los valores frontera de u. Nótese la similitud de esta situación con la fórmula integral de Cauchy.

Los ejemplos siguientes ilustran el uso de esta integral.

Eje m p l o 2Para resolver el problema de Dirichlet en G = { z : \z I < R } , adviértase que

R ¿ — z nz

mapea, de manera conforme, a G en el disco unitario abierto con g(z0 ) =0. Para \z I = R,

R 2 — \zn I2 \z I2 — \zn I2g'(z ) = _______________________________g(z) (z - z 0)(R 2 - z 0z) z l z - z c

así que la ecuación ( 1 ) se convierte eni r i , 1 2 i . i:

u(z0 )= ------------ u(z)2iri Jlzl=*

Si se hace z = R e1(t> y z 0 = retd se obtiene la fórmula integral de Poisson para el disco Iz I < R:

dzI z — z 0 \2

u(re ) =2it •

2 7T R 2 — r2o R 2 + r2 — 2Rr eos(, (2 )

porque

\z — z 0 \2 = \z I2 + \z0 I2 — (z 0z + z 0z )

= R 2 + r 2 - Rr + e_í(0“ 0)).

Como z 0 = re’6 es arbitrario, la ecuación (2) es válida en todos los puntos lz „ \<R.

Eje m p l o 3Sea G el semiplano derecho, y sea z 0 cualquier punto interior de G. Entonces, la función

g(z) = (z - z 0)/(z + z 0 )

mapea, de manera conforme, a G en el círculo unitario con g(z0 ) = 0. Como = 2xq ;

g(z) z 2 - 2 iy 0z - \ z o \2 la fórfnula integral de Poisson para el semiplano derecho es

_ x 0 (■ u(z) dz

y con z = it , se tiene

u(z o) = — m

, \ -* oU (Z o ) = -------

9g z2 — 2iy 0z — l-z0 I2

' ~ u(it) dt

{t — yo) + x 0

En el análisis que condujo a la fórmula integral de Poisson en el disco \z I < R , los valores frontera se supusieron continuos. En muchas aplicaciones (tales como el Ejemplo 1), los datos frontera son discontinuos. Es interesante notar que la fórmula integral de Poisson proporciona una función armónica a pesar de las discontinuidades.

TEOREMA DE POISSONSea £7(0) continua para 0 < 0 < 2rr excepto por un número finito de saltos. Por ende, la función

u(z) = — f ' £7(0) ¿02 ?r Jo I r #*

es armónica en I z I < R ylím u(z) = £7(0),

z^Re®en todos los puntos de continuidad de £7(0 ).

z

PRUEBA: Obsérvese que

„ / Rel<¡> +zRe -----\Re’* - 2

R 2 - I z \2 I R e * - z\2

(3 )

Si se sustituye el lado izquierdo de la ecuación (3) en la integral, podemos efectuar derivaciones parciales repetidamente con respecto a x y y bajo el signo de la integral, ya que el integrando resultante es continuo en I z I < r < R. Entonces

+ zAu(z) = — í2* £7(0) ARe ,

2 tt Jo \r ¿ * — z( R e*

d(j) = 0 , I z \ < R ,

puesto que la parte real de la función analítica (Re!<?> + z)/(R eKt> — z) es armónica. De ahí que u(z) es armónica en Iz K i ? .

Si f •= R et<¡>, nótese que

1

27T2 tt / Re& + z , ,

Re ( — r- d<fr = Reo KRe^ -

Re — í_27Tí Jl?l = fl \ $ - z f

f + z df 2 m f - z f

= 1 .

Cuando £7(0) es continua en 0 = a dado e > 0, hay un 5 > 0 tal que I £7(0) — £7(a) I < e siempre que |0 — al < 5 (en el supuesto de que £7 tiene periodo 2ir). Así,

Im(z) — £7(a) 1 =

1

1

27r J

2 tt

2 tt / R e i(t>+z\o (£7(0) - £/(a)) Re ( ¿ 2 * 3 - 1 d$

R 2 - Iz I2< — | u{(j>) - U fa ).

2 tt Jo { R e ^ - z l 2d<f>

R 2 - \z\22zr . ' « < l ip -aK n | R e^ — , Z I2

£7(0) - £7(a) I d0.

0 A

Figura 6. 3

Ahora, si largz — c tK 5/2 y \<¡> — 5, entonces (véase Figura 6.3)

El ejemplo siguiente contrasta el uso de mapeos conformes con la fórmula integral de Poisson para encontrar soluciones al problema de Dirichlet.

Encuéntrese una función u, armónica en el disco unitario, que tenga el valor en la frontera 1 en el semiplano derecho y 0 en el semiplano izquierdo.

SOLUCIÓN: La transformación fraccional lineal

transforma los puntos 0 , i, -i, 1 en i, 0 , 00, —1 , así que mapea de manera conforme el disco unitario en el semiplano superior. Al continuarse este mapeo con w - (1 /7rz) Log f se transforma al semiplano superior en la franja 0 )-U{á)\d<t>-+e,o _ 7-. 7 7 O ■'O

2cuando z Reta. Como e es arbitrario, la prueba está completa.®

Eje m p lo 4


- ' 0 * 0 4Logí

O 1

p lan o z

Figura 6 .4

p lano í p lano w

Para resolver el problema de Dirichlet, por la fórmula integral de Poisson, nótese que

r .n _ i - U P2* J-,/2 I*?*-*!2

ya que U((j>) = 0 en el semiplano izquierdo. Si z = re ,

u(z)1 - r 2

2ir

1— tan ir

r tt/2 _

J-7T/2 1

d {4 > -6 )+ r2 — 2 r eos ( 0 — 6)

- l 1 + r

Por tanto

tan iru(z) =

1 + r 1 - r

0 — 6 tan — —

1 — r 2

ir 6

tt/2

—tt/2 '

/ 7T 6tan ( ----------- I + tan — + —

4 2 / \4 21 + r ' IT e

tan — tan — +1 — r / \4 2 ) \4 2

7T 6

1 - r 2

2 r

tan2 - + 1

tan2 1

1 - r 2

—2 r eos 6

Para comprobar que estas respuestas son equivalentes, adviértase que

Argi — z

i + z Arg- ( z + z) + í ( l - \z\2 )

i + z I2

y, con la identidad Arg(x + iy) = tan 1 {y/x)_ en el semiplano derecho,

Argi — z

i + z= tan - l 1 12-1

- { Z + Z )= tan

1 - r 2

—2r eos 6

Ej e r c ic io s1. Sea u(z) armónica en I z — f I < R. Pruebe el teorema del valor medio del área

m(?) = —í— í í . u (z )rd rd d .irR J J I z - j k / í

(Sugerencia: Use el teorema del valor medio para funciones armónicas.)2. Use el teorema del valor medio del área para probar el principio del máximo

para funciones armónicas.3. Si u es armónica en una región G simplemente conexa, muestre que grad u es

analítica. Entonces, utilizando el desarrollo de la Sección 5.5, pruebe que

un ds = 0 ,y

donde 7 es cualquier curva cerrada spp en G, y un es la derivada direccional de u en la dirección de la normal exterior.

4. Muestre que la fórmula integral de Poisson para el semiplano superior y > 0 es

y f“ u(t) dt

ir (t — x )2 + y25. Pruebe que la fórmula integral de Poisson para el primer cuadrante es

u(z) = - | , z = x + iy.

, \ _ ^xy u (z)~tu(t) dt

o t4 — 212 (x2 — y 2 ) + (x2 + y2 )2

tu(it) dtir

+ lo t4 + 2 t 2 (x2 - y 2 ) + (x2 + y 2 )2_

6 . Encuentre la temperatura en cualquier punto z del semiplano superior, si la temperatura (en grados) en el eje real está dada por

U - \ i \ , l í K i ,1 0 , l í l > l .

7. Pruebe que cualquier solución del problema de Dirichlet, continua en la cerradura de una región G simplemente conexa, debe ser única. (Sugerencia: Use el principio del máximo.)

8 . Suponga que u(z) y v(z) son armónicas en una región G, continuas en su cerradura, y que satisfacen u(z) ^ v(z) en la frontera de G. Muestre que u(z) ^ v(z) para todo z en G.

9. Sea G la región 0 0 .(Sugerencia: Aplique el Ejercicio 8 a las funciones

log Iz lur (z) = a

■ . log rarmónicas e n r s I z K l . )

10. Pruebe la desigualdad de Harnack: Si u(z) es armónica y no negativa en 1 z I < Rentonces

R - Izl . , , . R + Izl m ( 0 ) ------------ ¡— - < m ( z ) < m ( 0 )

R + Izl R - Izl

6 3 • APLICACIONES 2 1 9

11. Si f(z) = u(z) + iv(z) es analítica en una región que contiene a Iz I < R pruebe la fórmula de Schwarz

1 f 2 n R ^ + Z

/ ( z ) = 2 P J o

12. Muestre que la fórmula de Schwarz puede reescribirse en la forma

/ ( * ) = - fm Jiri=ñ J — z

(Sugerencia : Aplique el teorema del valor medio a w(0) = 2t> (0) + /(O).)13. Sea t/(0) continua para 0 0 2?r excepto por un número finito de saltos.

Pruebe que

í ( * > = i p ’ y > . d tir Jo Re^ — z

es analítica en Iz I <CR. (Sugerencia : Reescriba la fórmula de Schwarz.)14. Muestre, por el método del teorema de Poisson, que

/ y f°° u(t) ,u(z) = — ---------^ ----- - dt, z = x + iy,ir (t — x y + y

es una función armónica en él semiplano superior, aun si u (t) es discontinua en un número finito de valores de t.

15. Use el Ejercicio 14 para encontrar una función u(z) que sea armónica en el semiplano superior y que satisfaga los valores en la frontera

[ 1 si 1 1 1< 1 ,“ < * > - jo Si l t l > l .

16. Repita el Ejercicio 15 para los valores en la frontera, , _ r l si - 1 < t < 0 ,

UM < l - t si 0 < Í < 1 ,0 en los otros puntos.

6 .3 A plicacio nes

En las Secciones 5.5 y 5.7 se analizaron tres ejemplos análogos de campos vectoriales en estado estacionario que se presentan en la naturaleza: flujo de fluidos, flujo de calor y campo electrostático. Los campos vectoriales, que se supusieron bidimensionales e irrotacionales, se examinaron dentro de una región G que no contiene fuentes ni sumideros. En esta sección, se ampliarán esos problemas para incluir fuentes y vórtices en la región G. La teoría se desarrollará para el flujo de fluidos, y las analogías con los otros dos campos se presentarán en la Tabla 6.1 al final de la sección.

Recuérdese que el vector velocidad V(z) del campo es igual a w'(z\ donde la función analítica m(z) es el potencial complejo del flujo. Así, la función

potencial u y la función comente v son armónicas conjugadas, y el problema de encontrar la línea de corriente se reduce al problema de Dirichlet. Obsérvese, por el principio del máximo, que si una línea equipotencial form a una curva cerrada y, entonces y encierra una singularidad de u(z), o bien u(z) es constante en G. Por supuesto, no hay líneas de corriente cerradas, ya que el flujo es irrotacional. Además, ni las líneas de corriente ni las equipotenciales empiezan o terminan en un punto interior z0 de G, porque de otra manera un disco suficientemente pequeño, centrado en z 0 estará contenido en G y su frontera corta la línea de corriente v(z) = k en un solo punto. Por continuidad, los puntos restantes de la frontera satisfarían que v(z) > k o v(z) < k, lo que violaría el teorema del valor medio. Líneas de corrientes diferentes pueden cortarse sólo en los puntos de la frontera de G (por ejemplo, en las fuentes) o en el infinito. Esto se muestra con un problema de flujo de calor.

Eje m p lo 1Sea la placa G un disco de radio R con temperatura 10 en la frontera que se encuentra en el semiplano superior y 0 o en la del semiplano inferior. Encuéntrese la temperatura en todos los puntos de G y descríbanse las isotermas.

SOLUCIÓN: Con la fórmula integral de Poisson, se tiene para z = retB, r < R ,

Así,

u(z) =2ir J o

1

R e f fie<>+ZKRe^ - z

R 2 - r 2

d(¡)

2ir Jo R + r — 2Rr cos(0 — d)

1

d( - d)

tan- i7r

R + r ó — dtan -------

2

7T — 6

tan wu(z)

R - r

R + rR - r

o

tan + tan — 2 2

R + r \ 2 7 t - 6 6 tan ------- tan —R - r ) 2 2

1 -

R 2

—2Rr sen 6

Pero, como tan y/x = Arg (x + iy),ttu(z ) = Arg |i [R2 — Iz I2 + R(z — z)]}

' R + zArg

R - z

6.3 • APLICACIONES 221

lo cual implica que la temperatura está dada por

u(z)

Las isotermas satisfacen

1 A . R + z— Arg i ----------7r R - z

. R + zArg i --------- = constante,

R — ze i(R + z)j(R — z) mapea a \z I < R en el semiplano superior, así que las isotermas corresponden a los arcos de la familia de círculos que pasan a través de los puntos ±R que pertenecen a \z l< f ? (véase Figura 6.5).

FIGURA 6 .5 . Familia d e círculos a través d e ±R

Supóngase que una fuente (o sumidero) puntual se localiza en el origen. Entonces, el flujo Q_ a través de cualquier curva de Jordán alrededor del origen es una constante diferente de cero, y si 7 es el círculo I z I = r, la componente normal Vn de la velocidad es constante en cada dirección, ya que las líneas de corriente son radiales en el origen. Así,

Q = |\Vn ds= Vn ¡2n rd d = 2nrVnJ J o

_ QV(z) = Vn - - [ 1 \z\ 2 ?r \z \2

ya que z/\z I es el vector unitario normal. Como V{z) = w'(z),

c complejo,w(z ) = log(z ) + c,2 7T

por tanto, la función potencial y la función corriente están dadas por

u(z) = — log Iz I, 2 ?r

Q- — arg^,

2 ?r

respectivamente, hasta una constante real arbitraria. Nótese que v(z) es multivaluada, y que ambas funciones son armónicas en cualquier región simplemente conexa que no contenga al origen. Si Q > 0, se tiene una fuente de potencia Q en z = 0 , y si Q < 0 , se tendrá un sumidero.

2 2 2 CAPÍTULO ó • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INCALES

Cuando la fuente no está en el origen, sino en el punto z 0 , el potencial complejo es

^ ( z) = % - lo§(z ~ z ° ) + c- ( ! )

Por otra parte, el campo vectorial puede no ser irrotacional. Esto puede ocurrir, por ejemplo, debido a la acción de un rotor cilindrico, de tal forma que en cualquier plano perpendicular a su eje, las líneas de corriente sean círculos concéntricos centrados en el rotor. Tal campo se denomina campo plano de vórtices.

Si un vórtice puntual se localiza en el origen, la circulación T a lo largo de cualquier curva 7 de Jordán es una constante no nula (T > 0 cuando el flujo está en contra de las manecillas del reloj). A lo largo de un círculo I z I = r, la componente tangencial de la velocidad Vs es constante, así que

r = f K ds = 2irrV¡

Trt \ Tr ÍZV (z ) = V s * 7 T = —Iz I 2 ?r I z 2

ya que iz/ Iz I es el vector tangencial unitario. Entonces, excepto por una constante arbitraria,

/ \ — , r . r 1w(z) ~ — tog* - — arg z + i — log — ( 2

27t 2 tr 2 ?r I z I

es el potencial complejo de este campo. Como también una fuente puntual puede ser vórtice, se combinan las ecuaciones ( 1 ) y (2 ) (en z 0 ), para obtener

wiz) = r o+ ^ log(z - Z 0 ) + c ( 3 )2 m

como el potencial complejo de una fuente vórtice localizada en z 0 con intensidad T y potencia Q. Para obtener el potencial complejo de un sistema de fuentes vórtice T i + iQ i, . . + iQ¿ localizadas en z x, . . ., z¿ se sumanlos potenciales complejos individuales

^ (z ) = (r/ + ^ ' ) lo§(z - z/ ) ’ ( 4 ) 2 tti i = l

ya que el campo vectorial se obtiene por superposición. Además, pueden utilizarse este resultado y el procedimiento usual de límite para obtener el potencial complejo de una línea L de fuentes, si la función flujo Q(£) es integrable:

w(z) = í Q(J) log(z - J) ds, f en L . (5)¿ir J l


Eje m p l o 2Si el sistema consiste en dos fuentes, cada una de potencia Q_, localizadas en z 1 y z 2 , el potencial complejo está dado por

w(z ) = R log(z - Z l ) ( z - z 2 ).2ir

Las líneas equipotenciales, que satisfacen\z — zj I Iz — z 2 \= constante,

se conocen como lemniscatas, y se muestran en la Figura 6 .6 . La lemnis- cata, con la forma de un está dada por la ecuación

Nótese que (z¡ + z 2 )/2 es un punto de estancamiento.

Eje m p l o 3El sistema que consiste en una fuente y un sumidero de potencias Q y -Q situados en z x y z2 , respectivamente, tiene un potencial complejo dado por la ecuación

/ \ _ Q , z — z, w(z) ----- log .27T z — z -.

Las líneas equipotenciales satisfacenZ — Z i

constante

224 CAPÍTULO ó • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

y forman los círculos de Apolonio que se indican como líneas continuas en la Figura 6.7. Las líneas de corriente son la familia de círculos que pasan por z¡ y z 2 .

FIGURA 6.7. Círculos d e Apolonio

Sea z ! = —h, z 2 = 0. Entonces

, , Q , z + h p , ( h \ 1lhw(z ) = — log ------- = f log 1 + - , p = Qh.

¿ir z 2tt \ z JSi ahora se permite que la fuente se acerque al sumidero, aumentan

do (5 simultáneamente de tal forma que p permanezca constante, se obtiene en el límite un doblete puntual de momento p localizado en 0 , cuyas líneas de corriente están dirigidas a lo largo del eje real positivo. Su potencial complejo está dado por

w{z) = — lím log ( l + —) = — loge1^ =2 ir h —o \ z / 2 ir 2 ttz

(6 )

por lo que

Entonces

p x

27r X2 + y 2_ - pv - —

47TM \ 4 7 T M

27T x 2 + y2

p y - ( px + I y +47w 47TV

y las líneas equipotenciales y las líneas de corriente son las familias de círculos indicados en la Figura 6 .8 .


FIGURA 6.8. Doblete puntual (dlpolo) en el origen

El procedimiento anterior también se cumple para zl complejo, pero entonces el momento del doblete es complejo con argumento ir + arg z t y coincide con la dirección de las líneas de corriente en el origen.

Eje m p l o 4Considérese el problema de conocer todas las líneas de corriente en el exterior del disco unitario de tal forma que el vector velocidad tienda a 1 en °°.

Como se mostró en el Ejemplo 3, Sección 5.5, si el flujo es simétrico con respecto al eje x, el potencial complejo estará dado por

1w ¡ (z ) = Z + — ) z

ya que Vl (z) = 1 — (1 /z2 ). Pero al quitar la suposición de simetría, el flujo podría también estar sujeto a un flujo de vórtice, centrado en el origen, de intensidad F , con potencial complejo

rw2 {z) = — logz,

2 7 TZ

pues su vector velocidad correspondiente

F 2 ( z ) = Í L 2 i t z

se anula en oo. p0r superposición, la ecuación del potencial complejo estádada por j p

w (z) = Z + — + log 2 .Z 2m

226 CAPITULO ó • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

La magnitud de la velocidad satisface

V{z) I = I w'(z) I = 1i r— 4* ------z2 2mz

que se anula en los ceros zs (puntos de estancamiento) de la ecuación

z2 + z - 1 = 0 .

Esto es,

2iri

_ T i ± ^ l 6 i r 2 - r 2

4 7 T( V )

Si I r I < 47T, entonces I zs I = > / r 2 + 167T2 — r 2 /47T = 1 y± r

tan Arg zsy /l6 ir2 - T 2

y si I r I > 4 7T, los puntos de estancamiento están sobre el eje imaginario y satisfacen

iz. , . _ r * C r r n g ,4 7 T

Así que solamente uno de los puntos de estancamiento está fuera del círculo unitario. Se muestra un bosquejo de las líneas de corriente en la Figura 6.9.

(a)

FIGURA 6.9. Líneas de corriente del exterior de un disco con un vórtice puntual en su centro (a) 0 < r < 4?r; (b) r = 4?r; (c) I' > 4tr

Para conocer todas las líneas de corriente en una región G sólo se necesita mapear de manera conforme a G en el exterior del disco unitario, f : G ~ > { I z I > 1} ; entonces, la función compuesta w o f es el potencial complejo de G. Es de interés particular en aerodinámica el conocimiento de todas las líneas de corriente del perfil de Joukowsky, dado por el mapeo z = f + 1/f, que m apea los círculos como se muestra en la Figura 6.10. Es posible lograr que los

6.3 * APLICACIONES 227

FIGURA 6 .1 0 . Perfil d e Joukowsky: {a) p lano ?; (b) p lano z

perfiles se aproximen a las secciones de las alas de un avión, y evaluar la elevación del ala.

Se puede incorporar la información de esta sección en la analogía entre flujo de fluidos, flujo de calor y electrostática (véase Tabla 6.1).

TABLA 6 .1 C am pos vectoriales en estado estacionarlo

Flujo de fluidos Flujo de calor Campo electrostático

F + iO Q i Q 1w (z ) = ------------ log(z - z0 ) zv(z) - ------ lo g ---------- iw {z ) = — ¿ lo g ----------

2 m 2 irk Z — Z q 277 z — z 0

Fuente vórtice de potencia Q, Fuente de potencia Q, Carga de magnitud Q ¡ 277e intensidad F en Z q en z 0 en z 0

P 1w(z) - w(z) = Z t _ i _ . , , - i p 1iw{z) = ---- -----------

0N1NCM 27T& Z — z 0 277 Z - Z Q

D oblete de momento p D oblete de momento p D ipolo de momento p/2 lTen Z q en z 0 en z Q

Ej e r c ic io s1. Encuentre la función potencial para el cam po electrostático plano en I z I <C 1

cuyos bordes son electrodos representados por los semicírculos e %e , I 8 I <C 77/2, e t6 , I 8 — 7t| <C 77/2, con potenciales w0 y Uj . respectivamente.

2 . Encuentre la tem peratura de una placa Q con la form a del semiplano superior, dadas las tem peraturas en la frontera de 100° en I x I > 1 y 0o en I x I <C 1 .

3 . Encuentre el potencial complejo y las líneas de corriente, p ara el flujo plano de un fluido en el semiplano superior, cuando hay una fuente de potencia Q en i y un sumidero de igual potencia en 0.

4 . ¿Cuál es el potencial complejo p ara el flujo plano de un fluido con un sumidero de potencia Q en - 1 y una fuente vórtice de potencia Q e intensidad T en 0?

En los Ejercicios 5-8, a partir del potencial complejo dado para el flujo de un fluido, construya las líneas equipotenciales y las líneas de corriente, y encuentre el vector velo-

228 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN ÍA FRONTERA Y VALORES INICIALES

cidad V, los puntos de estancamiento, la potencia y la intensidad de las fuentes vórtices, los momentos de los dobletes y el comportamiento del flujo en oo.

5 - w(z ) = TT" loS ( z + - 2ir \ z

6 . w(z) = log ( l +

7. w(z) = log ¡z 2 ------ -

z

_1

z

8 . w(z) = az + log —> a, Q > 02 7 T z

9. Un multiplete puntual (o multipolo) es una generalización de un doblete (dipolo), que se obtiene al tomar un sumidero de potencia Qen el origen junto con n fuentes de potencia Qjn distribuidas simétricamente en un círculo de radio r, y que mantiene Qr fijo cuando r tiende a 0. Muestre que su potencial complejo está dado por

» ( * ) = 4 - ’ \p\ = Qr,2irn z r x.>

y que las líneas de corriente están dirigidas a lo largo de los argumentos de las raíces n-ésimas de p. Se dice que tal multiplete tiene orden 2n.

Dibuje la imagen de los círculos descritos en los Ejercicios 10 y 11, bajo el mapeo z = f + (1 / f ). (Sugerencia: Muestre que

z — 2 = / r - i V

2 + 2 \ f + 1 /

1 0 . l f - x l = v / 2 ' 1 1 . I f + l — z l = > / F

6 .4 Series de Fourier

La fórmula integra) de Poisson está íntimamente relacionada con la noción de una serie de Fourier. Se ha visto que si U(<¡)) es continua por partes para 0 < 0 < 27T, entonces la función

u(z)1

2 7 T

2* , (R e ^ + z£7(0) Re ( ------------

0 X R e ^ - zd<¡)

es armónica en Iz I < R y tiene valores en la frontera u(Rei<t>) = U(<j>) en todos los puntos donde U es continua. En la práctica, frecuentemente es más fácil obtener u(z) al desarrollar el lado derecho de la ecuación anterior en una serie infinita. Entonces

u(z) = Re1 f 2 tt

— U(<j>)2tt - o

1 + 2 2 d<p

6.4 • SERIES DE FOURIER 229

y, como la serie converge uniformemente en Iz I \ ( j -

2 ? c n éin 8

donde

R nc = ___2tt -

'2 ttU {é)e-in,¡> d<¡>

(1)

(2 )

es el n-ésimo coeficiente de Fourier de U{<¡>).

Eje m p l o 1Encuéntrese una función armónica en z < R que tenga los valores en la frontera U{(¡>) = eos 0 , 0 < 0 < 2n.

SOLUCIÓN: Primero se deben calcular los coeficientes de Fourier de

eos é e !ní> d é0

"2n IT 1 +

0 2

' - I --1 'a" 1

+2 i _ n — 1

1 - e-2H> -i4>

2 2 i _

d<¡>

g —i(n+l)4> ~\ 27t

n + 1 Jo

2tt=

= 0 , n¥= 1 ,

n = 1 .

Así, w(z) = 2 Re ( r c ^ 16) = Re (z/¿?).

Eje m p l o 2Una placa con la forma'de un disco de radio R se mantiene a una temperatura constante de 1 0 0 ° en la mitad superior de su frontera, y de 0 o en la mitad inferior. Búsquese la temperatura en cualquier punto z de la placa.

SOLUCIÓN: Aquí U{<¡>) = 1 0 0 para 0 < (¡> < ir y t/(0 ) = 0 para ir < <¡> < 2ir, por lo tanto los coeficientes de Fourier satisfacen c0 — 50 y

2irRn cn = l0 0 f" e - in*d<t>= 1 0 0 [ 1 n > 0.Jo in

230 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

Luego,

u(z) = 50 + 2 Re 2 (re* ) 2" +1 c2n+1n = 0

200 50 + ------ Re

| (z/R)2n+li n=o 2 n + 1 _

Con el método del Ejemplo 1 en la Sección 3.2, la suma

- 2 n + l

2 .

dz_ = i Log ( L O

n=o 2 n + 1 J o 1 — z2 2 \1 —z

Por ende,

u(z) = 50 + Re7T

— Log ( i L Ü 2i \R — z ) 1

1 0 0 f R + z= 50 + ------ Arg --------

tr \ R - z

100Arg

R + z

R - z

Existe una conexión similar entre las series de Fourier y de Laurent de una función f(z ) analítica en un anillo r t , r l < R < r 2.

Obsérvese que

puesto que

2 i r e i ( n - m ) 0 d(¡) =

f2 ir k k2 2

1IIsJé1IIKO

k27T 2 r 2 n

n - —k

g i ( n - m )<p 2 ir

i(n — m) 0= 0 , m =£ n.

Como la representación en serie de Laurent converge uniformemente en p j < I 2 : 1 < p2 < r2 , se pueden intercambiar los límites y las integrales y obtener la identidad de Parseval

rr\ / ( « * )2

d<¡) = lím*2 ir

2 rncnein*2

d(¡)0 n = —k

= 27T 2 rn = —oo

2 n

Si z = é® , las series de las ecuaciones (1) y (3) pueden escribirse ambas en la forma

2 cnein<t> (4 )

con = c„ , puesto que 2 Re(cnem<t>) = cne,n<t> + cne m(t>.

Eje m p l o 3^Sea f(z ) = 2„=_oo cnzn analítica y uno a uno en una región que contiene al anillo r < I : l < R. Muéstrese que el área de la imagen del anillo es

7r 2 n lc„ I2 (R 2n - r 2n).n= — °°

SOLUCIÓN: En el Ejercicio 11 de la Sección 5 .1, se vio que el cambio local en la escala de las áreas, producido por el m apeo/(z), es I f ( z ) I2 . Por tanto, el área de la imagen del anillo es

r)\2 d<t>= lím í Jo Jo

k 2

n= — k2 ncn z.n— 1 d<¡)

= 2n 2 nn= — ~

2 l c J 2 r 2 ( n - l )

De ahí que, como la convergencia es uniforme,

fíJr\f'{z) I2 dx dy = 2ir 2 n2 lc„ | 2 í r2n 1 dr

n= —«« J r

I2 _ r2n ).= 7r 2 n\cnn = — ««

La serie de Fourier de la ecuación (1) no necesita converger a í/(0). Considérese, por ejemplo, una función (0 ) que difiere de í/(0 ) en sólo un punto. Ambas funciones tienen la misma serie de Fourier, pero ésta no puede

representarlas en cada punto. De hecho, existen funciones continuas cuyas series de Fourier divergen en todos los números racionales 0 en el intervalo [0, 27t). El problema de la convergencia es de fundamental importancia en este estudio.

Antes de estudiar el tema de la convergencia, es útil definir límites y derivadas por un lado. Para e > 0,

U{<¡> + 0) = lím 1/(0 + e), 1/(0 - 0) = lím 1/(0 - e)e-*0 e—►0

son los límites de los lados derecho e izquierdo, y

e->0 e

u ' » - o i - i f »e-*0 —e

serán las derivadas por la derecha y por la izquierda, respectivamente, de la función U en 0. Nótese que si U es continua en 0 , ambos límites por un lado coinciden con U{<¡>), y si U es derivable en 0, ambas derivadas por un lado concuerdan con U'(<j)).

Una función real f/(0) se llama suave por partes (spp) en [a, b] si tiene derivada continua en todos los puntos en los que existen los límites y las derivadas de U por un lado, excepto en un número finito de puntos.

El teorema siguiente establece el problema de la convergencia para una clase útil de funciones.

Te o r e m aSea U{<¡>) una función spp en [0 , 27t] con periodo 27T, y

i27T

Entonces

2 * u ( d ) e ~ ine d d . o

lím E cne ^ = \ [í /(0 + 0 ) + U( 0 -())] ." & -» co n = fe

(Adviértase que si la serie de Fourier (4) converge, concuerda con el límite anterior, pero que éste existe aunque (4) diverja.)

PRUEBA t : Si C/(0 ) es derivable en a < 0 < b, entonces la integral

b r bb u{(¡>)eik* d<¡> = u ^ ya ik ik

í / '(0 )e*** d<t>

se anula cuando k °°, ya que la última integral está acotada. Así, la integral sobre el intervalo [0 , 2tt] se anulará también cuando k -*■ °°. Ahora

sk ((¡))= 2 cnen = —k

1

27T Jo

2nm

- - i r2ir Jo

2 ek ^ - 9] dd_«=—fc

e-ik(<t>-8) _ ei(k+l)(tj>-9) -dd

1 - «•'(♦-»)

= - I í 2' £,(*)27T Jo s e n (0 — 0)

al establecer t = d — 0 , integrar sobre el intervalo [—ir, tt] y dividir el intervalo de integración en mitades, se tiene

W = ir r sen-fe +r ' )¿- W +1)+ - 0] dt27r Jo sen -jt

(véase Figura 6.11).

F ig u ra 6.11.

En particular, si £7(0) = 1 para todo 0, entonces c 0 = 1 y cn - 0 para n =£ 0. En consecuencia,

1 » i - f ' Í ü £ ± í í í . 2 * .27r J o sen t í

Al multiplicar esta identidad por [1/(0 + 0) + 1/(0 — 0)] /2 , se tiene

£7(0 + 0) + £7(0 - 0)Sfc(0 ) g

= J _ f * sen(_fe + T_)í + tj _ u(^ .+ + ^ ^ _ 0 jj ¿t2ir Jo sen t t

Ya que las derivadas por un lado de £7 existen, la función

£7(0 + í) - £7(0 + 0) £7(0 - í) - £7(0 - 0)

sen t íes suave por partes en 0 < t < 7r por lo que se aplica la primera observación de esta prueba, y la integral

■* sen (fe + i ) í ^ + ^ + ^ + u{^ __ ^ ^ dt

o sen t t

234

se anula cuando k °°. Así,

lím sk (4>) = i [U{<!> + 0) + U(4> - 0) ] . ■

CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

Eje m p lo 4Muéstrese que

7T — 2 1 1 1 1

~ T ~ 1 ^ 3 ~ ~ 3 ^ 5 5 ^ 7 _ 7 ^ 9

por medio de la serie de Fourier de la función

TTtA>\ - í Sel1 O < 0 < 7 7 ,W - j 0 , 7 7 < 0 < 2 7 7 .

SOLUCIÓN: U(4>) es suave por partes y

2ircn = í sen 4>e~m< d<j>= ¿(\-n)<t> _ e-t(i+n)(¡>Jo 2 f • o

lo cual implica que c 2k = [^(1 — 4&2 ) ] - 1 , c±1 = ± [4¿] - 1 , donde se anulan los coeficientes restantes. Como c 2k = c- 2 k, c-\ = — , se tiene

c 2ke2k<l>% + c _ 2ke~2h<l>% = 2 c 2k eos 2k<¡>,

+ c_ i e~%<!> = 2ic i sen 0 ,

y

U U ) = + i + Í l — c o s 2 H ■2 7T 7T k =\ ( 1 - 2 A ¡ ) ( 1 + 2 k )

Específicamente, para 0 = 7t/2, U(tt/2) = l,así que

1 = — + i — — fk

2 77 7 t k = i (2k - l ) (2k + 1)

Por tanto

t t - 2 = j _ _ _ _ _ _ _ L + _ L _ L +4 1*3 3 -5 5 -7 7-9

Ej e r c ic io s1. Si la placa G tiene forma del disco unitario con temperatura u(e%<!>) = <j) grados

para 0 ^ </> < 277, muestre que la temperatura en G para z ^ 1 está dada por

u(z) = 77 + 2 Arg(l — z).

2. Encuentre la temperatura de I z I < 1, dado que la que tiene en la frontera es u(e‘<l>) = cosh 0 .

3. Busque la serie de Fourier para í/(0) = 77 en 0 ^ 0 ^ 77 y í/(0) = 0 en 77< 0 <í 277.

6.5 • TRANSFORMADAS DE FOURIER 235

4. Pruebe la serie de Fourier para U(<f>) — 0 2 en 0 ^ 0 < 27T.5. Use la identidad de Parseval para verificar el teorema de Liouville. {Sugerencia:

Muestre que I cn I ^ Mr~~n , para todo n, donde l/(z) I ^ M.)6 . Al aplicar la identidad de Parseval a la función t/(0) = 0, muestre que

7T2 _ “ 16 n= 1 n2

7. Pruebe qué

— = £ — •90 n=l n4

8 . Aplique la identidad de Parseval a la función f {z ) — (1 — z ) "~1 y pruebe que

1 í’2n _______ ^ = — — , 0 < r < 1 .27T ■' 0 1 — 2 r c o s 0 + r 1 —r

9. Emplee la identidad de Parseval en la función

f(z) = 1 + z + . . . + zn~ 1 ,confirme que

C2n / M0 / 0 \ 2sen — / sen— d é = 27rn.

J o V 2 / 2 /{Sugerencia: f{z) = {zn — 1 )/{z — 1) para z =£ 1.)

10. Para propósitos de cálculo, los coeficientes de la serie de Fourier en la ecuación (4) se aproximan con sumas de la forma

N-l ( 2 TTk\ . ., ...Ncn = 2 U — ) e -2**n/N .

k=o \ N /Si N = Ni ' N 2, k = k i N 2 + k2 , y n - n 2Ni + n i , 0 < k }-, n¿ < N j , muestre que

Ncn = 2 2 U W».*. ,k 2=o N k,=o \ N J 1 j

donde WJv = e~ 2™/N. Así, cn = cnj ,n2se obtiene como una transformada de los coeficientes N 2

Afj — 1 / 27r/s \2 í/ _ 0 < k 2 < N 2.

1 2 k,=0 \ N J 1

11. Use el Ejercicio 10 para la situación donde N=Ny "N2 •. . . ’Nm .Este es el procedimiento que se utiliza en la transformada rápida de Fourier.

6 .5 T r a n s f o r m a d a s de Fo urier

La serie de Fourier de una función U{(¡>) de periodo 27T puede escribirse en la forma siguiente:

2 c j n\ cn = - L í* U{<t>)e~in* d<p.n=-« 2 7T J —7r

De modo semejante, si £7(0) tiene periodo 27rA, con 0 = 0/A se obtiene una función de periodo 2ir; por ende, £7(0) tiene la serie de Fourier

f cnein* = f cnein^ K,n = —oo 71 = — oo

donde

c„ = — r U(k\¡j)e-in+ d\¡J = — í/(0 ) c - ¿n0/x d<t>.2ir J - tt 27rÁ J-ttx

Sin embargo, muchas funciones interesantes no son periódicas; por ejemplo, un solo pulso que no se repite. Se podría aproximar esta situación por medio de una función de pulsos idénticos, separados entre sí por una distancia 27rA al investigar el efecto en su serie de Fourier cuando A -»■ °° (véase Figura 6.12). Como tn = n/'k, al definir

u(t) = — — í U{<$>)e~lt* d(j>,

y ya que tn +1 — tn - 1 /A, se puede escribir la serie de Fourier en la forma

| J í M ¿tn* = J _ ! u(fB) ^ * (tn+l - tn ),A-v/Stt y /2 ñ B=-°"

muy similar en apariencia a las sumas con las que se definen las integrales de Riemann. Si A -> °° e ignora todas las dificultades técnicas, se obtienen formalmente las expresiones

Ú (0) = — -— í ” u(t)<P* dt, M(t) = —^ í / ( 0 ) ^ - ¿í0 d<¡>.s / 2 ñ J~°° y / W J - ”

. n n n n n n ri 171 n n n n n0

n n n r

27tX ->

1 n n n0

n r1 n

I I

FIGURA 6.12 . Trenes d e pulsos d e fre cu e n c ia d e c re c ie n te

Las fórmulas para £7 y u tienen similitud inconfundible. Se dice que éstas forman un par de transformadas de Fourier, y u{t) es la transformada de Fourier de U(<j)). Como en la Sección 6.4, el principal problema es descubrir en qué circunstancias coinciden los valores de £7(0) y £7(0) porque entonces £7 proporciona una fórmula de inversión para la transformada de Fourier u. Esto tiene el efecto de duplicar el tamaño de una tabla de integrales dada, porque si se conoce una solución en forma cerrada para la transformada de Fourier u(t), se conoce también una para su inversa. El teorema siguiente proporciona condiciones útiles bajo las cuales £7(0) y £7(0) concuerdan, pero de ninguna manera es el mejor de su clase.

TEOREMA INTEGRAL DE FOURIERSi £7(0) es suave por partes y I £7(0) I se puede integrar en —00 < 0 < entonces

PV £ 7 (0 )- PV • 1 í " d t= 1 [ f / ( 0 + 0) + £7(0 - 0) ] .

PRUEBAt: Como I £7(0) I es integrable, la integral

£7(0)e!í(0-1^ d(j>oo '

converge uniformemente con respecto a t sobre cualquier intervalo finito. Es posible, por tanto, integrar con respecto a t sobre el intervalo (~T, T) , e invertir el orden de integración. Entonces,

- T J -£ 7 ( 0 ) ^ - ^ d<¡> dt = £7(0)

rrdt d | 0 1 + 1 (0 fijo) puede escogerse de tal forma que

I l £ 7 ( 0 ) l d 0 < f ••U0l><j> . 4

Así que $ — I 0 I > 1, lo cual denota que

serene - j ) #I 0 l> <t> 0 — 0

I £7(0) I d 0 4

Al igual que en la primera parte de la prueba del teorema de la convergencia de las series de Fourier en la Sección 6.4,

f * £7(0)Je+6 0 — 0

sen 7(0 — 0) d<j> -*■ 0 cuando T -*■ °°, ( 1)

238 CAPITULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

y en forma semejante para la integral en [—<3?, 0 — 5 ] , lo cual indica que para T grande

'T

- Td(¡>dt- 2 1 ' " í/(0 )

3-6

’ 0+ 6 sen!T(0 — 0 )d 0 - 0 0 0

0 - 0

[U{6 + 0 ) + U(Q - 0 ) ] d<¡>,

y se sigue que

P V t 7(0) = lím i i* --nI t [U{6 + 0) + U{d - 0)] ¿0 . ^7-*-“ 7T Jo 0

Como las derivadas por un lado de U existen, la funciónU{6 + 0) - U(6 + 0) + U{6 - 0) - f/(0 - 0)

0es suave por partes. Por (1) la integral

sen T<j>U{Q + 0 ) + U{6 - 0) - U{6 + 0) - 17(0 - 0)

0<¿0 ->■ 0

cuando 7" -*■ lo cual implica que

r v i f o j - ,t a P g + ai + W - o ) f í e Z * *7T Jo 0

= ?.) + ^ - °) Iím S 1 ¿ 07T 0 0

1= ^ [ í / ( 0 + O) + í/(0 _O)]

por la integral de Dirichlet (Ejercicio 16, Sección 2.2 o Ejemplo 1, Sección4.4). ■

Eje m p l o 1Supóngase que t/(0) = e~ 1 ^ e n t o n c e s I U(<p) I es integrable y f/(0 ) es suave por partes. Su transformada de Fourier ¡

u(t) =1

x / 2 ñe ( - i t+ 1 ) 0 d<¡) + -ít— 1 )0 d<p

satisface aV ^ ( l + í2 )

■ I 0 I ^7T

p!Í0

1 + t2dt =

7T

“ COS Í0 0 1 + í2

Debe compararse este resultado con el Ejemplo 1 de la Sección 4.3.

I


Eje m p l o 2Al separar las integrales como en el cálculo anterior, se obtiene

e - y I £ I 2 ( 0 x)t(0 — x) 2 + y 2

lo que transforma la fórmula integral de Poisson para el semiplano superior (Ejercicio 4, Sección 6.2) en

0 W - * f ' „n (0 — x ) ¿ + y

= J _ f “ í ” U{<b)e-yH^ - x^ dt d<$>.2 7 f J — OO J — oo

Si se invierte el orden de integración y denota por u(t) a la transformada de Fourier de £7(0) se tiene

U(z) = — ^ í ” u{t)e~y ltl+ixt dt

Re — í ” u{t)eht dt j , (3)Jo J

ya que u(t) = u (—t) para funciones reales £7(0) y

2 Re tt(í)e“ * = «(í)*”* + u {t)e~ at

= M(í)e(_y+¿c)/í + M(-í)<?(y+¿c)(_í).

La fórmula (3) es el análogo, para el semiplano, del desarrollo en serie de Fourier de la fórmula integral de Poisson en el disco.

Ej e r c ic io sEncuentre las transformadas de Fourier de las funciones de los Ejercicios 1-4. (Sugerencia: Utilice las integrales de contorno de la Sección 4 .3 .)

b xx 2 + b2 x 2 + b2

x 2 13. —r----- —— 4.

{x2 + b 2 )2 x 4 + ó 4

Encuentre las transformadas de Fourier de las funciones de los Ejercicios 5-8. (Sugerencia: Use las integrales de las Secciones 2 .2 y 4 .5 .)

5. e~kx* 6 . x e ~ kx2

1 x7 . --------- 8 . ---------

senh x senh x

9. Suponga que U((p) = l ¡ en 0 < <¡) < °° y se anula en--°° < <¡) < 0. Encuentre una función armónica en el semiplano superior que tenga a £/(</>) como sus valores en la frontera.

10. Considere la placa G con la forma del semiplano superior y con temperaturas de 1 ° en el intervalo [— 1, l ] y 0 ° e n e l resto del eje real. Encuentre la temperatura en todo punto de G.

11. Suponga que U = U en casi todos los puntos de (—°°, °°). Sin considerar la convergencia, muestre que

í U(<p)V(<p) dtp = í u(t)v(t)dt,J — OO J — oo

donde u, v son las transformadas de Fourier de U, V, respectivamente. Entonces obtenga la identidad de Parseval para las integrales

I £/(</>) 2 d<¡> = f \u(t)\2 dt.J— oo J — oo

12. Muestre que

r * - * , , , ^ 2 rJ - “ 7T J - “ (1 + í )

(iSugerencia: Use el Ejercicio 11.)


6 .6 Tr a n s f o r m a d a s de La p la c e

Los métodos de la transformada de Fourier a menudo son inútiles para analizar funciones que no son absolutamente integrables en (—°°, °°). Por ejemplo, la función de Heaviside

{o, t < lno tiene transformada de Fourier, ya que la integral

diverge. Esto se debe a que el factor no tiende a cero cuando </> °°, loque conduce a probar factores de la forma e~ S(l> = e~^g+lt^ , que se anulan cuando g > 0 y <¡) °°. La función

£ 2 { U ( ( 1 )

se denomina transformada de Laplace de dos lados de la función U(<¡)). Cuando se escribe s = q + it, la ecuación (1 ) se convierte en

J “ t/(0)<?-9* e~itg> d<t>,

que es la transformada de Fourier de la función \J 2’nU(<j))e~ q(t).

En lugar de desarrollar un análisis de la transformada de Laplace por dos lados, es más conveniente escribir la integral ( 1 ) en dos partes,

|°° U{<f>)e-** d<j>= f° U{(¡))e-^ d(¡) + f“ U{4>)e~s* d<¡)J — oo J_ oo J o

= I” d<t> + í°° £/(0)<?-f* -<*0.Jo Jo

Entonces, un estudio de las propiedades de la integral

£{£/(</>)} (s)= J " ¿ 0 , (2 )

llamada transformada de Laplace (por un lado) de £7(0), permite investigar el comportamiento de la transformada de Laplace por dos lados, ya que

JC2 { t / ( 0 )} (s) = £ { t / ( _ 0 ) } ( - s ) + £ { t / ( 0 )}(s).

La transformada de Laplace por un lado, definida en la ecuación (2), tiene muchas propiedades similares a las de las series de potencias. Se probará la existencia de un semiplano de convergencia análogo a la noción del radio de convergencia en el teorema de Abel. La transformada de Laplace por dos lados convergerá en la franja a < Re s < b (a < b) en analogía con el desarrollo de la serie de Laurent.

6.6 • TRANSFORMADAS DE LAPLACE 241

TEOREMASupóngase que í/(0) es suave por partes y de orden.exponencial (esto es, existen constantes a y $ tales que e~a<1> I U{<¡>) I está acotada para toda 0 > <f>). Entonces la transformada de Laplace jC{t/)(s) es analítica en R e s > a {un semiplano de convergencia).

PRUEBA: Al denotar por M una cota finita de e a<t> \ U{<¡>) I en 0 > <f>, se tiene

í°° l í / ( 0 k - i 0 \d(¡)< I* I t/(0)e - i 0 I d<¡> + M í°° I (*—«)0 | d<¡>.Jo Jo J <t>

Pero £7(0) está acotada en [0, (f)] , ya que es continua por partes, lo cual implica que la primera integral es finita, y

|e - ( i - « ) 0 | d 0 = f " e - ( R e * - f l ) 0 ¿ 0 = g ( R e *_ j l < o o ,J <t J * Re s — a

así que la transformada de Laplace de t/(0) converge absolutamente en Re s > a (véase Figura 6.13).

Esta última ecuación indica que la transformada de Laplace converge uniformemente en cualquier conjunto cerrado D, completamente contenido en el semiplano de convergencia, porque

D óm ln io’d©ÍQípfíVeítívÑT'

FIGURA 6.13 . Semiplano de convergencia

¡'oo (Re s—a)<pC/(0 )<?-^ d<¡> < M - --------------

J <t> Re s — a

cuando 0 > <£>, y 0 puede elegirse de tal forma que el lado derecho de la ecuación anterior quede más pequeño que un e > 0 preestablecido, para todo s en D.

Para los enteros n 0, las funciones

^ = Jo u ^ e~s4> d 0

son analíticas en la región Re s > a porque

Un (s) = - J o 0 U{^)e~s4> d(¡).

Por tanto, según el teorema de Weierstrass, la serie de funciones analíticas

2 [M„+1 ( í ) - M „(í)] = í c/ (0)e_ í0 £¿0 = JC {[/ (0 )} (í )n= 0 J 0

es analítica en Re s > a. En particular,

JC{í/(0)} = - J “ 0 í /(0 )e -^ dc¡> = —£ { 0 C/(0)}. ■ (3)

Eje m p lo 1Muéstrese que

£ { e ~ z* } - 1 í + z

para Re s > —Re z.

SOLUCIÓN: En la región Re í > —Re z, se tiene

JC d<¡)- .1 J Jo r _ ( í + z )

“ _ 1

o í + z

Eje m p l o 2Confírmese que

¿ i r } =n!

j i +i

para Re s > 0, n = 0, 1, 2 , . . .

SOLUCIÓN: Al integrar por partes repetidamente, se obtiene

jc m -

_ 0 "e

(jfe s d(j) o, n_-s0

0

n+ —

5 JOpn 1 g s<t>

n

s

ni

6 " - 1

—5

n — 1+0 5

0 ’,n - 2 d<j)

e s dtpn\

A + 1

También se pudo haber hecho z = 0 en el Ejemplo 1 y utilizado la ecuación (3) repetidamente para obtener el resultado.

Otros dos resultados útiles al calcular transformadas de Laplace son los teoremas de desplazamiento. Nótese que

°° ( C / ( 0 ) c - ^ ) c - í0 d<¡> = J ” U (4 )e - ^ z^ d(j>,

lo cual proporciona el primer teorema de desplazamiento

JC{í/(0 )e -^ } (s ) - = JE { í / ( 0 )}(s+-z)v

donde la última expresión significa que cada s en £ \U } se reemplaza por s + z. Si a > 0, se tiene

U(c¡>)H((¡) - a)e~s* d.¡o

Cuando se sustituye 0 = 6 + a en el lado derecho de esta ecuación, se obtiene

f " U(0 ) / / ( 0 - a ) é - * d(¡> = e - as f °° U(6 + a )e - ¡e dd.Jo Jo

Además, puede reescribirse como el segundo teorema de desplazamiento,

£{U{(p)H(<j) - a )} = e - aí £ { í / ( 0 + a ) } .

Los siguientes dos ejemplos muestran el uso de los teoremas de desplazamiento.

Eje m p lo 3Para cualquier entero n > 0, pruébese que

( C O T Í ’ R' s > “ R E

SOLUCIÓN: Podría usarse la ecuación (3) repetidamente para obtener este resultado, pero es mucho más fácil el primer teorema de desplazamiento, si ya se tiene el resultado del Ejemplo 2. Así,

£ { r e - » } = £ {< ? } ( , + * ) = (- ^ 0 I .

Eje m p lo 4Muéstrese que si a > 0, entonces

e - a ( s + z )£ {e Z(¡> H((¡) — a ) } = ------------> Re s > —Re z.

s + z

SOLUCIÓN: Por el segundo teorema de desplazamiento y el Ejemplo 1,

£ { e - Z(t> H(<¡) - a )} = < r « £ { e~z^ +a)}

= e - « ( * + * ) £ { e~z* } .En particular, obsérvese que

é~as£{H( 0,

scuando z — 0 .

Nótese que la transformada de Laplace es lineal:

£{aU(<p) + bV((j))j = í [aU(<p) + bV(<p)] e~s<s> dtpo

= a j o d d)} + b£{V(cp)}.

Eje m p lo 5Muéstrese que, cuando Re s > I Im z I,

£ {cos z(p}= — y £{sen z<p)s2 + z 2 ' 1 S 2 + Z 2

SOLUCIÓN: Obsérvese que

£{co s z0 } = £{i(é?** + e - ¿í>)}

1 1

s — i z s + i z ) s 2 + z 2

£ {sen 2 0 } = X (e** - e ~ ^ )

1 / 1

2 ¿ V s — ¿2 5 + i z ) S 2 + Z 2

Pr o p ie d a d de la d e r iv a c ió nSi £7(0) y U'{4>) son funciones spp de orden exponencial, entonces

£ { í / ' ( 0 ) } =s£{U(<t>)} - U ( 0 + ), (4)

donde £/(()+) es el límite por la derecha de U.

PRUEBA: Como U y U' son de orden exponencial, todos los términos en la ecuación (4) existen en Re s > a. Para probar (4), integre por partes

C/'(0 )e - , í d(¡> = C/(0 )e-** U{$)e~s* d(¡>.

Eje m p l o 6Compruébese que

2 z 2£ {sen2 2 0 } = — --------— > Re 5 > 2 I Im 2 I.

1 ' 5 (s2 + 42 )

SOLUCIÓN: Comod / 0 sen.2 2 0 \ i . . 2

— ----------------) = t ( 1 — cos 2 2 0 ) =sen‘íz0 ,d0 V2 4z /

por la propiedad de derivación y linealidad,

X{»e

= 5

2 4 : j1 1 \ 2z2

, 2s2 2(s2 + 4z2 ) / s(s2 + 4z2 )cuando Re s > 1 I m 2 2 I .

246 CAPITULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INICIALES

La convolución de las funciones U(<¡>) y F(0) es la función

U * V{<t>) = | U{t) V{<t> - t) dt.

Adviértase que los papeles de U y V pueden intercambiarse sin que varíe el valor de la convolución. Si las funciones U, V son absolutamente integrables en (0 , °°), la convolución satisface la identidad

£ { U * V } = £ { U } £ { V } , (5)

esto es, la transformada de Laplace de la convolución es el producto de las transformadas de las funciones. Las hipótesis anteriores son suficientes para invertir el orden de integración

d<¡>

—S(¡> d<¡>

d t

£ {U * V} = J ” U{t) V{<¡> - t) dt

= J ” J ” U{t) V{<¡) - t)H((¡> - t) dt

= í ” U{t) í ” V{<¡> - t)H(<j) - t)e~ s0 d<¡>JO _ J o

U{t)£{v{(p - t)H{(¡> - t ) j dt,

que, por el segundo teorema de desplazamiento, conduce a

£ { u * v } = £ { v } J ” U{t)e~ts dt = £ { u } £ { v } .

El ejemplo siguiente da una indicación de la importancia de la noción de convolución.

- rJo

Ej e m p l o 7Obténgase una solución particular de la ecuación diferencial

U"{<¡>) + 2 wU'(</>) + (w2 + z 2 )U(<fi) = V(</>) con í/(0 ) = í/'(0 ) = 0 .

SOLUCIÓN: Por medio de la propiedad de la derivación, se obtiene

[s2 + 2ws + [w2 + z 2 )] jC{C/(0)} =£{V{<¡>)}.

Pero, si se usa el primer teorema de desplazamiento, se tiene

£ {e senz <P}

Así que,(s + u; ) 2 + z 2

1 - 0 }jC{ K(0 ) } ,

y la solución es

U{<p) = - [0 e~wt sen (zt) V(<p - t) dt. z Jo

6.6 • TRANSFORMADAS DE [APLACE 247

Este último ejemplo crea el importante concepto de función de transferencia. Muchos sistemas físicos pueden tomarse como aparatos que transforman una función de entrada V en una función de salida U. Si todas las condiciones iniciales son cero cuando <j) = 0 y toman la transformada de Laplace de las ecuaciones que describen el sistema, se obtiene la expresión

Z{s)donde Z(s)- i , la función de transferencia, es independiente de V. Sea UH la función de salida cuando V(cp) = H((p). Entonces, con el Ejemplo 4, se encuentra

Z(s) 1 {U H) = £{H(<¡>)} = IS

o bien

£ { u } = ^ $ - = sZ { uh } l { v } = sZ { uh * V}. sZ(s)

En consecuencia, por la propiedad de la derivación,

U{<¡>) = (UH * V)'(tp) = í 0 UH (t)V\<l>-t)dt + UH (<l>)V(0). (6 )J o

Al conmutar £,{Uh } y X { Vj dadas anteriormente, también se sigue que

U(<P) = ( V * uH )\<t>)= J o v[t)irH { j> - t )d t , (7)

ya que las condiciones iniciales implican que f// / (0) = 0. Las ecuaciones (6) y (7), fórmulas de Duhamel, expresan la respuesta de un sistema a la función de entrada V((p) en términos de la respuesta, experimentalmente accesible, a la función de Heaviside.

Ej e r c ic io sVerifique las transformadas de Laplace y las regiones de convergencia en los Ejercicios 1-13.

51. £ {cosh ztp} = — Re 5 > | Re z|

52 - Z 2

2. £ {senh ztp] = —J-— -> Re 5 > | Re z|52 - z 2

2 sz3. £ {(p sen zcp\ = — ------—— > Re 5 > | Im z |

( í2 + z 2 )2

2 24. £ { 0 eos z<¡)} = Z— , Re 5 > | Im z\

(s2 + z ¿ )¿9 c y

5. £{0senh z<¡)} = —------ — , R e s > | R e z |(s2 — z2 )2

2 26. £ { 0 cosh z 0 } = — , Re 5 > | Re z|

\s ~ z )

7. sen z0| = Re(s + a;) > | Im z|(s + w) + z2

8. £ { e ~ w<l> eos z 0 } = ----- —-------Re(s + w) > | Im z)(s + w)2 + z2

9. JC{02 sen z0 } = 2 y^ S ■ Z ^> Re 5 > | Im z|(s2 + z 2 )J

10. £ { 0 2 cosz0 } = TTT^ ’ Re 5 > | Im z |(.s2 + z 2 ) J

, 2z2 ~\~ c211. JC{cos2 z 0 } = — — > R e s > 2 | I m z |

s(s2 + 4z2 )e~as

1 2 . jC{ / / ( 0 — a) senz0} - —------- (z eos za + s senza),s + z2

Re s > I Im z I

13. jC{//(0 — a) eos z 0 } = —------ (s eos za — z senza),s + z2

Re s > I Im z I

14. Resuelva la ecuación diferencial

U'\<¡>) + 3t/ ' (0) + 2 U{<¡>) = sen0, C/(0) = U'( 0) = 0,use transformadas de Laplace.

15. Resuelva la ecuación diferencial

t /" (0 ) + t/(0 ) = 0 sen 0 , t /(0 ) = 0 , t/ ' (0 ) = l .

Utilice transformadas de Laplace.16. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales

t/'(0 ) = U{<¡>) - F (0 ) + sen 0 , t/(0 ) = 0 ,V\<j>)=U{<j>)+ V{<j>)+e\ F ( 0 ) = 1 ,

con transformadas de Laplace.17. Encuentre la transformada de Laplace de la solución general de la ecuación di

ferencial0 C/"(0) + t/'(0) + 0t/(0) = 0.

6 7 • LA TRANSFORMADA INVERSA DE IV\PACE 249

18. Dé un ejemplo de una función spp que no sea de orden exponencial.19. Dé un ejemplo de una función de orden exponencial que no sea suave por partes.20. Si £7(0) es suave por partes y de orden exponencial, muestre que

£ | j* £7(0) cty-J = i £ {£ / (0 ) } + J [° £7(0) d,

y use ésta para encontrar la transformada de Laplace de la integral seno

„., , r* sen 0 i .Si(0) = -------- d(j).Jo 0

Si £7(0) y £/'(0) son suaves por partes y de orden exponencial, pruebe las condiciones dadas en los Ejercicios 21-23, ya que el dominio de convergencia de incluye elsemiplano derecho cerrado.

21. lím jE{C7(0)} = 0S~> 00

22. lím 5jC{t/(0 )} = £7(0+)S~+ 00

23. lím s£{U{(¡))} = lím £7(0)► 0 0—>00

24. ¿Pueden las funciones

s 1 ,./i > . es ' 1

ser transformadas de Laplace de funciones £7(0) que, junto con £7'(0) son suaves por partes y de orden exponencial?

En los Ejercicios 25-27, pruebe que la convolución es distributiva, conmutativa y asociativa.

25 . U * {Vy + V2 ) = U * Vy + U * V226. U * V = V * U27. { U * V) * W - £7 * ( F * W)

6 .7 La transform ada inversa de Laplace

En esta sección se estudiará una técnica muy poderosa para determinar la función £7(0) cuando sólo se conoce la transformada de Laplace

U(5 ) = £ {£ 7(0 ) } ( 5)= [ “ U(<¡>)e-* d<¡> (1)

de esa función. Supóngase que £7(0) es de orden exponencial, con e~a <í>.

Si 5 = q + it, la transformada de Laplace se transforma en

«(*)= í~ (£ 7 (0 )e -^ )e - ¿í0 ¿ 0 , q > a ,Jo

250 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN U\ FRONTERA Y VALORES INICIALES

que es la transformada de Fourier de la función

(2)9 0 , <¡>>0,

4><0.Como q > a, I P((¡)) I es integrable, se aplica el teorema integral de Fourier. Así que, en todos los puntos <j) > 0 de continuidad de P, se tiene

P((j>) = ?VP((j))= 1 PV

o sea

t W = T T PV27T

y/2ir

u(q + dt

2mPV

q+i**

q —i*u(s)es<t> ds, s = q + it, <¡) > 0 . (3)

Esta última ecuación es la fórmula de inversión para transformadas deLaplace. Se escribe £ ~ l {w(s)} = U((¡>) en todos los puntos <¡> > 0 de continuidad de U, y a U se le llama la transformada inversa de u. En particular, nótese que diferentes funciones continuas spp de orden exponencial tienen diferentes transformadas de Laplace.

Supóngase que se desea encontrar la transformada inversa de Laplace de una función univaluada w(s), Res > a y además que u(s) se anula cuando s -> oo en ( para s = q + Re‘e , q > a,

I e *<t> | = + # 0 eos e o

si R °°, dado que <fi cos 9 < 0. Entonces, las integrales de contorno sobre las curvas indicadas en la Figura 6.14,

—— í u{s)es<t> ds, <¡> < 0, (4)2 m J-Ti

(5 )

(a) (b)Fig u r a 6.14 . (a )0<o ;(b )0>o

6.7 • LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE 251

convergen a £ ~ 1 {w(í)| cuando R -*■ °°. Puesto que u(s) es analítica en Re s > a , la ecuación (4) se anula por el teorema de Cauchy. Así í/(0) = 0 si 0 < 0. Finalmente, el teorema del residuo señala que

¿7(0) = 2 Res w(j)<?sií> , si 0 > 0. (6 )Re s < q

Como la función exponencial es<t) es entera, sólo se usan las singularidades de la transformada de Laplace u(s) = jC{t/(0)} en el semiplano Re s < a. La ecuación (6 ) proporciona una evaluación útil de la fórmula de inversión (3) para funciones univaluadas u(s) que se anulan cuando s °°.

Eje m p l o 1Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace

u(s) = ------------------> Re s > 0.\ ( * + l ) ( s + 2)

SOLUCIÓN: La transformada u(s) tiene polos en s = -1 y s = -2 . Con la fórmula del residuo en la ecuación (6), se obtiene

es<t> (APt/(0) = Res_i ------------------- + Res_ 2

(s + l)(s + 2 ) (s + l)(s + 2)

= e- 0 _ e- 2 0 .

Eje m p l o 2Obténgase la transformada inversa de Laplace de la función

. . 2s + 3 .u(s) = ---------- > Re s > 0,s2 + 4

SOLUCIÓN: Aquí los polos están en ±2z, así que

(25 + 3 V 0 „ (25 + 3 V 0f/(0) = Res2¿ ---- -------— + Res_2i — —

s2 + 4 5 2 + 44z +

—4z+ 3 220 + f 4Z + 3 ) e -2út>

= 2 eos 2 0 + "I sen 2 0 .

Eje m p l o 3Inviértase la transformada de Laplace

-2 s

u (s) = — T ’ R e 5 > 0 .(5 + 3)2

252 CAPÍTULO 6 • PROBLEMAS C O N VALORES EN LA FRONTERA Y VALORES INCALES

SOLUCIÓN: La ecuación (6) no puede usarse porque u(s) no se anula cuando s 00 sobre el eje real negativo. Sin embargo, el método utilizado para obtener la ecuación (6 ) puede emplearse todavía. Al integrar

j 0- 2 )íu(s)eS(l> = ----------

( , + 3 ) 2

sobre los dos contornos mostrados en la Figura 6.15, adviértase que paras = Reie,

| e(<t>~ 2 )s | = gR (<t> - 2 )cos 6 q

cuando R °° si (0 — 2) eos 6 < 0. Por el teorema de Cauchy,

1 *(0 - 2 )íds = 0 si 0 < 2 .

2m R-*™ h , (s + 3) 2

Para 0 > 2, el teorema del residuo proporciona el resultado

1 r gto-zhÍ7(0) = ------ lím

27r¿ Jy2 (í + 3)2

,g(0 - 2 )í= Res_

(s + 3 ) 2

Por tanto, u(0) = (0 — 2 ) e " 3^ - 2 H( < 2 ; (b) 2

Cuando se invierte una transformada de Laplace u(s) que sea multivaluada, se debe tener especial cuidado para evitar cruzar cortes de ramificación.

Eje m p lo 4Encuéntrese la inversa de la transformada de Laplace

u(s) = — » Re s > 0.

SOLUCIÓN: El teorema de Cauchy indica que ambas integrales

ds = 0 ,2iri J a v/j -

donde 7¡ y y2 son l°s contornos mostrados en la Figura 6.16. Puesto que

| g (* - i)<¡> ] = eRQ cos 6 -> o,

cuando R -*■ °° si 0 cos 6 < 0, la función U(<p) = 0 para 0 < 0.

Corte de ram ificac ión

F ig u ra 6 . 1 6 .

Para 0 > 0, nótese que la integral se anula cuando R °° en el semicírculo grande de y2 mientras que

ds1

27TZ « ■ j ■ ■ , / j

cuando r -> 0 en el círculo pequeño de y2 . Entonces,

r 1= r

1 f 2 tt< _L_ I cos 6 d d ^ 0,

2 tt Jo

1 f i + z f i ,f/(0 ) = l í m —— ds

R - + ~ 2 i r i J l V J T

„ í 1 f—r etrl> dt= lím I — —K — (27TZ \ - R yf \ t \e ~ i

1 f-r _____2m j - R y/\t

t<¡> dt

e x(t> dx

r—0

Si x = -t se tiene1 CR e~x4> dx 1 f°°

U{(¡>) = lím — ------------ --------* Jr V 5 " * J °

y con la definición de la función gamma del Ejercicio 14 de la Sección 4.5, se tiene

n i ) _ i■ m )

ns/0- v^r0

Eje m p lo 5Resuélvase el problema de valor inicial

U”{<p) + 2wU'(<p) + w2 U{<p) = —sen w(j),

U(0) = 0, í/'(0) = ~ ■

SOLUCIÓN: Con la propiedad de la derivación de la Sección 6.6,

£ { t / " (0 ) } =íJE{1T(0)} - i - = s 2£{U(<l>)} - -A- ,2 zv 2 w

JC{í / ' ( 0 ) } = í JC{í/ (0 ) } ,

de ahí que la transformada de Laplace de la ecuación diferencial se transforma en

(s2 + 2ws + w2 )£{U((¡))} - - L = ■■■ w -2 w s + iv

o sea,S — IV

£ { í / ( 0 )} =2iü(í + iv)(s2 + w2)

Por el teorema de inversión para transformadas de Laplace,

t/(0 )= 2 Res JC{í/(0)} (í) es<t>s < 0

asi que

,

2iv 4zv 4zv2 2zvU(<¡>) = ~ e~ W4> + — - 4- e~ ÍW0 - cos w<¡) ~ e~ W0

Eje m p lo 6La ecuación de difusión térmica en una varilla semi infinita es

(7)

donde 6 es el coeficiente de difusividad de calor en la varilla, x es la porción sobre la varilla, t es el tiempo y U es la temperatura. Supóngase que se dan las siguientes condiciones inicial y de frontera:

U(x, 0) = 0, 0 < x < ° ° ,

U{0,t) = c¥=0, t > 0, lím U(x, t) = 0, t > 0.

X-K»

Encuéntrese la temperatura U en cualquier punto x a cualquier tiempo t.

( 8 )

BU c d2 U---- = 0 931 dx2

6.7 • LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPACE 2 5 5

SOLUCIÓN: Considérese a x como parámetro y defínase

£{U(x, t)}(s) = j e~st U(x, t) dt.

Por la propiedad de la derivación, la ecuación (7) se transforma en

í £ { t / } - t / ( * , 0 ) = J c j ^ } = 6 — £ { U } ,

Cuando se intercambian las operaciones de tomar la transformada de Laplace y la de derivar con respecto a x. Como este intercambio puede no ser válido, se debe comprobar la respuesta y verificar que solucione el problema. Si :w = £ { [ / } , la ecuación diferencial es

d2u 5 , , i = — u, (9)dx2 8

donde se considera a x como la variable independiente y s como un parámetro. Las condiciones de frontera en (8) pueden reescribirse en la forma

ce-*' d t - Co

( 0 , s ) = £ {u (0 , f ) } = ~ c e ~ s t d t = - (10)

lím u ( x , s ) = lím U(x, t)e d t - 0, (11)Jo

siempre que el intercambio de la integral y el límite sea válido. La solución general de la ecuación (9) tiene la forma

u - ,

así que c t = 0 por la ecuación (11) y c 2 = c/s por la (10). Por tanto, £ { u y = ce~'J*fix/s, y puede utilizarse el teorema de inversión para las transformadas de Laplace, o el Apéndice 2, para obtener

U(x, t) = c ( 1 - — f* /2s/i7 e - " 2 dv) . (12)s / T

Al comprobar que la ecuación (12) es efectivamente la solución, nótese

que r e dv = - —Jo 2

por medio del Ejemplo 3 de la Sección 2.2. De esta forma se satisfacen las condiciones inicial y de frontera (8). Además,

_ c g —x 2 /451

9^ yjñbt

y a2 fI _ ex e ' x 'l4St = W

‘ 3 ^ “ 2v ^ 5 í3/2 " 9í '

Ej e r c ic io sEncuentre las inversas de las transformadas de Laplace dadas en los Ejercicios 1-10. Suponga que cada transformada se define en el semiplano Re s > a y b es real.

1 . ^ 2 . 1(s + a) (s + a )

3 . 5------ 4 . ------1----{s2 + a 2 )2 (s + a)4

5 . — i 6 . 5s ( s 2 + a 2 ) s 3 + a 3

1 o e~bs7. — -------- 8 .(s3 + a3 ) (s + a)3

P ~ b s p - b s9 .— 1 0 .— ---------

s2 + a2 s(s2 + a2 )

Use los métodos de los Ejemplos 3 y 4 para invertir las transformadas de Laplace de los Ejercicios 11-18. Suponga a, b > 0.

1 1 .— , Re 5 > 0 1 2 .— , Re 5 > 0V ^

13. Log , Re s > máx(a, b)

14. tan-1 —> Re s > 0s

15. Log 1 + —— > Re s > 0

16. Re s > 0e~a'fs~ i

17 . ----------, Re s > 0 1 8 .— L o g ( l + s 2 ), Re s > 0y /T 25

19. Resuelva la ecuación

l2 ■U(<¡>) = <¡>+ | sen (4> — í) U(t) dt.

20. Resuelva la ecuación

UU) = e - * - 2 í0 eos {<¡> - t) U(t) dt. Jo

21. Resuelva la ecuación integrodiferencial

U'{(¡))+ í0 U(t)dt = e - a*, ( j )>0,Jo

dado que [/(0) = c(Y=0). Use transformadas de Laplace.

22. Encuentre la solución de la ecuación diferencial con retraso

í/" (0 ) = í/ ( 0 - 1 ) - - 1 )

dado que £7(0) = 1 para —1 ^ 0 ^ 0 .23. Resuelva la ecuación de convolución

£7(0) = 1 + J * ( 0 - t) U(t) dt.

24. Encuentre una solución de la ecuación, de onda

Un ~ o, Uxx ,

con condiciones iniciales y de frontera

U(x, 0) = 0, Ut(x, 0) = 0, £7(0, í) = sen — , U(b, t) = 0,b

donde a y b son constantes fijas25. Busque una expresión para la solución de la ecuación de onda

Uft ~ Q UXX y X, t ^ 0 yen una cuerda semi-infinita, dadas las condiciones iniciales y de frontera

U ( x , 0 ) = f ( x ) , x > 0,

Ut(x, 0) = 0, x > 0 ,U(0,t) = 0, t > 0,lím U(x, t) = 0, t > 0.

X-*^o

26. Una cuerda finita, sujeta a una función de forzamiento f {x, t), satisface la ecuación de movimiento

Ux x \ Utt = f(x, t).a

Las condiciones iniciales

U ( x , 0 ) = g ( x ) , 0Ut(x, 0) = h(x), 0 < x < L,

son funciones dadas, y la cuerda tiene sus extremos fijos:

£7(0, í) = U(L, t) = 0.

Use transformadas de Laplace para obtener una expresión para la solución de este problema.

27. Resuelva la ecuación diferencial parcial

Ut = 8Uxx + n U x , t > 0, x > 0,

dadas las condiciones inicial y de frontera

U(x, 0) = 0, x > 0 ,£7(0, t) = c(=£ 0), t > 0,lím U(x, t) = lím Ux (x, t) = 0, t > 0.

X-*^o co


NOTAS

SECCIÓN 6.2Puede encontrarse un análisis más completo del problema de Dirichlet en el plano complejo en [A. págs. 237-253]. El problema de Dirichlet en el espacio tridimensional se estudia en la teoría del potencial; un clásico en esta área es [Ke]. La hipótesis sobre C/(0) en el teorema de Poisson puede desarrollarse substancialmente [Hf, Capítulo 3, y H, Capítulo 19].

Se c c ió n 6 .3Un tratamiento del perfil de Joukowski se encuentra en [R, págs. 115-121],

SECCIÓN 6 .4Un ejemplo de una función continua cuya serie de Fourier diverge en los números racionales de [0, 27t] se encuentra en [J , pág. 546]. Un teorema de Y. Katznelson [Studia Math., 26 (1966), 301-304] muestra que para cualquier conjunto S de medida cero, existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en ese conjunto. Recíprocamente, por un resultado de L. Carleson [Acta Math., 116 (1966), 135-157], la serie de Fourier de una función continua converge excepto en un conjunto de medida cero. Se puede encontrar un análisis comprensible del problema de la convergencia en [Hf]. La integración y la derivación término a término de una serie de Fourier se pueden realizar, para obtener una serie de Fourier de la integral indefinida o de la derivada, si las funciones involucradas son suaves por partes.

SECCIÓN 6 .5Frecuentemente se encuentran definiciones alternativas de las transformadas de Fourier. Todas las definiciones son equivalentes hasta una rotación y la amplificación por y/2ñ.

SECCIÓN 6 .6En muchos manuales matemáticos pueden encontrarse tablas de transformadas de Laplace, una de las cuales está en el Apéndice.

SECCIÓN 6 .7Una prueba de unicidad de la transformada de Laplace para funciones continuas puede encontrarse en [M, pág. 412],

El desarrollo de una fórmula de inversión para transformadas de Laplace de dos lados se dificulta por su no unicidad. Cualquier fórmula de inversión para la transformada de Laplace de dos lados debe considerar la región de convergencia.

A 1 Tabla de mapeosCONFORMES

259

260 APÉNDICE 1 • TABLA DE MAPEOS CONFORMES

Plano z Función del mapeo Plano w

v

/ ■IS lS l:

1 - 21 + z d

----- 1-----a . b

-----1-----

vb

W - 1 \ _ ; Z ~ 1 w + 1 y z + 1

C 1 wmm \ aO 1

w = Log /

*= Ia | I w-a 1 ~a~ l 1 ~aw J

APÉNDICE í • TABLA DE MAPEOS CONFORMES 261


w = l

c . b \

o a

, = yr 16

b u

262 APÉNDICE 1 • TABLA DE MAPEOS CONFORMES


w = sen z Linea continua

y cosh/: J y senh/: J

Línea discontinua

( —■ Y “ ( — ■ Vl sen j J ^ eos; J

w — e z + 1 e2 - 1

ni f 9

0 d

— nib a

w - Log( N

APÉNDICE 1 • TABLA DE MAPEOS CONFORMES 263

Plano z Función del mapeo Plano W

w = ni + z - Log z

w - 2 V’ 1 + z + Log ( v m -l i'TT7 +$

“ {y'z2- 1 + cosh *z]

A 2 Tabla deTRANSFORMADAS DELaplace

u(<P) Dominio d e co nverg encia

<pz ( R e z > - l ) z<be

sen z(j)eos z(pe wi sen z<pe wi eos z<p)¡(f)sen z<pl(t>sen2 z<p¡(¡>

-zd>2 e vlog (j)H()

\[w$>

\pñ§(2\^ )

r(z + i)/s'z+1

1 l(s - z) z/(s2 + z2 ). s/(s2 + z2 )zl [ (s - w)2 + z2 ](s - w )/[(s - w)2 + z 2 ]2 sz/ (s2 + z 2 )2(s2 - z2 )l{s2 + z 2 )2 2 z2/s(s2 + 4 z 2 )(s2 + 2 z 2 )/s(s2 + 4 z2 ) log[(s - w)l{s - z)\ tan z/s Í lo g ( l + 4 z2/s2 )¿y/ir/z es% [ \ — erf (s¡2\ fz j ] (logs - y )/s, y = 0 .5772 . . . e- “ /s

( s - a f 12—a/se

v f

Re s > 0 Re s > Re z Re s > i Im z\Re s > | Im z|Re s > Re w + | Im z|Re s > Re w + | Im z\Re s > | Im z|Re s > | Im z\Re s > 2 | Im z \Re s > 2 | Im z\Re s > máx j| Re z|, | Re tn|| Re s > | Im z|Re s > 2 | Im z| eRe s > 0 Re s > 0

Re s > 0

R es > 0

265

266 APÉNDICE 2 • TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

“ (0) £ { w ( 0 ) } (í ) Dominio d e converg encia

— -— cosh (2yfa)ea¡5

R e í > 0y /T

a c~a2 /40 e - a s / T R e í > 02 \J-n2

9 ;’a/2 y/1 — ------- e dv ------------- Re s > 0y /ir ■ 0 s

Para una lista más extensa de transformadas de Laplace, ver [M, págs. 428- 434].

A 3 Integrales deLÍNEA Y TEOREMA DEGREEN

Las integrales de línea son una generalización natural del concepto de integral definida

\b f(x) dx. ( 1 )Ja

En este apéndice se dará un breve desarrollo de las integrales de línea de funciones reales f(x, y) a lo largo de curvas spp en el plano Euclideano.

El término integral de línea* es una designación desafortunada, ya que usualmente se evalúan las integrales a lo largo de curvas. Para entender lo que se mide con una integral de línea, recuérdese que la integral definida ( 1 ) se obtiene al dividir el intervalo a < x < b en n subintervalos de longitudes Ax ¡ , Ax 2 , . . Axn , luego se elige un punto x en cada subintervalo, y se evalúa el límite de la suma de Riemann

2 f ( x k ) Axkk-\

cuando todas las longitudes Axk tienden a 0.Se puede llevar a cabo un proceso similar para una función real f(x, y)

definida en una curva 7 suave del plano Euclideano: se divide 7 en n subarcos de longitudes de arco A s ¡ , As2 , . . As„ , se elige un punto (x/¡, yk ) en cada sub arco, y se evalúa el límite de la suma

2 f ( x k , y k ) & s k (2 )k — \

cuando todas las longitudes de arco A t i e n d e n a 0 (véase Figura A .l).

* En inglés line integral, donde line sugiere siempre una línea recta. (N. de. T .)

267

268 APÉNDICE 3 • INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN

f ( x .Y )

FIGURA A . 1 . Suma d e Riemann para una Integral d e línea

De la misma manera en que la integral definida (1) puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f entre a y b, la integral de línea

í f ( x , y) ds = lím 2 f { x k, y k ) A s k , (3)J y m á x A s ^ - t - O k

puede interpretarse como el área bajo la gráfica d e / a lo largo de 7 .Puede mostrarse que si f es continua en la curva suave 7 , entonces el

límite en (3) existe [B, pág. 301], De hecho, el límite (3) existe bajo hipótesis mucho más débiles (véase [S]).

Las integrales de línea casi nunca se evalúan mediante la suma de Riemann de la ecuación (3). Los dos ejemplos siguientes muestran el procedimiento usual para determinar el valor de una integral de línea.

Eje m p lo 1Evalúe

xydsJ y

donde 7 es el arco a lo largo de y = x 2 que va de (0 , 0 ) a ( 1 , 1 ).

SOLUCIÓN: Del teorema de Pitágoras (véase Figura A .2 ), el cambio de

APÉNDICE 3 • INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN 269

FIGURA A .2 Longitud d e a rc o

la longitud de arco As que corresponde a un cambio en la variable independiente de x a x + Ax es, aproximadamente,

(Aí)2 « {Ax)2 + {Ay)2 .Si se dividen ambos lados por {Ax)2 y se toma el límite cuando Ax tiende a 0 , se tiene

( £ ) ’ = ' ♦ ( £ ) ’ • <4>donde í(x) es la función longitud de arco que mide la longitud del arco a lo largo de la gráfica de y que va de (0, 0) a {x, x 2 ). Cambiando variables, se obtiene

xyds = I xy y / l + {y'{x))2 dxy JO

Jo1 y / l + 4 x 2 dx.

Al sustituir u - 1 + 4 % 2 y cambiar variables, se tiene

x 3\/l + 4% 2 dx = — {u — 1)\ A du 3 32 -1!

1

Tiu5/2 u 3/2

L 5 3

5 5 / 2 + 1

120

270

Si la curva 7 se describe en forma paramétrica se puede proceder como en el siguiente ejemplo.

APÉNDICE 3 • INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE GREEN

E jem plo 2Calcular el valor de la integral de línea

\fy~ ds

donde 7 es la curva paramétrica

x = t — sen t ,y = 1 — eos t, 0 < t < 2 tt.

SOLUCIÓN: Se reescribe la ecuación (4) en la forma

ds \2 _ ( dx + f dy x 2dt J \dt ) \dt

y se cambian todas las variables en la integral de línea a funciones de t para obtener

y/y ds = í -v /l — eos t yj{ 1 — eos t)2 + sen2 1 dt.7 J o

Al simplificar el segundo radical, se tiene

2 eos t + eos2 1 + sen2 1 = \ /2~ — 2 eos t.

Por tanto, al multiplicar los dos radicales, se obtiene

' y / y d s - y / z j * ' (1 — eos t) dt

= y / Y ( t - sení) = Isfón.

El valor de la integral de línea fy f(x, y) ds para una curva 7 spp es independiente de la parametrización de la curva 7 . Cualquier cambio de parámetros en una curva suave está determinado por una función creciente t = t(T) con derivada continua que mapea al intervalo A < T < 5 en a < í < ¿>. Si se cambian variables y se utiliza la regla de la cadena, se tiene

f f { x , y ) d s = I f (x(t) ,y(t) ) s'(t) dt J7 J a

f ^ ¿/c d t= f { x { T ) , y { T ) ) ^ ? L d T

dt dT

= j BA f(x(T) , y(T)) s'(T) d T.

APÉNDICE 3 • INTEGRALES DE LÍNEA Y TEOREMA DE OREEN 271

Ejemplo 3Encuéntrese el valor de la integral de línea

x 3 ds

donde 7 es la mitad derecha del círculo unitario.

SOLUCIÓN: Para demostrar el hecho de que las integrales de línea son independientes de la parametrización, se usarán dos parametrizaciones diferentes de la mitad derecha del círculo unitario. Es importante que ambas parametrizaciones tengan la misma orientación a lo largo de 7 .

(i) Sea y = t y x = y/\ — t2 con —1 < í < 1. Entonces

dx

dt y / T 1dy

. 2 dt= 1 .

1ds _

dt yj\ — t3

por lo cual

I x 3 ds = i ( 1 — t2 )J y J — 1

dt

3

l= 4

- 1 3

(ii) Sean x = eos t, y = sen t con —7t/2 ^ t < 7t/2. Entonces

ds

dt

así que

\/sen2 1 + eos2 1 = 1 ,

x 3 ds7 J - n / 2

3 Aí’ W 2 , f sen ■’ íeos t dt = sení —

ir/2 _ 4

- i r / 2 3

Hay otros dos tipos de integrales de línea de la función f(x, y ) a lo largo de 7 que pueden definirse. Si se reemplaza ASk por o Ayk en la ecuación (3), se obtienen las integrales de línea d e / a lo largo de 7 con respecto a x oy:

I f { x , y ) d x = lím 2 f { x k, y k) Axk,.'7 máx A x¿-> 0 k

| f(x, y) dy = lím 2 f ( x k, yk ) Ayk .. 7 máx A y ¿-> 0 k

FIGURA A.3 . Proyecciones

Estas integrales de línea pueden verse como proyecciones de la integral de línea (3) sobre el plano xz o el plano yz, respectivamente (véase Figura A .3).

La evaluación de estas integrales es similar a lo que se hizo anteriormente.

Eje m p lo 4Evalúe fy y(l — x) dy a lo largo de la porción y del círculo unitario en el primer cuadrante.

SOLUCIÓN: Al parametrizar a y como x = cos t, y = sen £, 0 < t < tt/2, se tiene

f f77/ 2y (l — x) dy = sen t ( 1 — cos t) cos t J t J o

dt

1 a 1 2— eos t eos t3 2

77/2 _ 1

o 6

En las aplicaciones, a menudo aparecen integrales de línea en la combinación

í p(x, y) dy + I q(x, y) dx = | p(x, y) dy + q{x, y) dx, (5)J7 Jy Jy


donde p y q son funciones continuas en una región D que contiene a la curva 7 . Cuando 7 es una curva cerrada simple y las funciones p y q tienen derivadas parciales continuas en D, existe una importante relación entre la integral de línea alrededor de 7 y la doble integral sobre la región G interior de 7 .

Te o r e m a de g r e e nSea G la región interior de una curva 7 spp cerrada simple. Si p(x, y), q(x, y), 9p/9x, y dq/dy son continuas en todos los puntos de GU7 , entonces ,

ap aqp dy + q dx = — ----- — dxdy,

h j J e \ 9 x 9 y jdado que la integral de línea se toma erí sentido positivo (contrario al de las manecillas del reloj) alrededor de 7 .

PRUEBA: Supóngase inicialmente que 7 tiene la propiedad de que cualquier recta paralela a algún eje coordenado intersecta a 7 en, a lo más, dos puntos. Se dibujan las rectas horizontales y verticales que circunscriben a 7 (véase Figura A .4). Entonces los arcos ABC y CDA a lo largo de 7 pueden definirse por medio de funciones de x, univaluadas, en el intervalo a Se denotan estas funciones por y = f i(x) y y = f 2 (x), respectivamente. Obsérvese que la integral de línea

Figura A .4 .

q dx = q dx + q dx7 J ABC JCDA

fb [bq ( x , f , ( x ) ) d x - q ( x , f 2 (x))dx ,

Ja Ja

ya que CDA se recorre de derecha a izquierda.Como la región G está delimitada por las curvas ABC y CDA, se tiene

9 q— — dxdy =

G 9-y

b r/ 2 (x) 9 qa J f , ( x ) dy

q(x, y)

dy dx

y=f7Íx) y=ft (*)_

dx

"b

Por tanto,q d x -

[ q { x , f i { x ) ) - q ( x , f 2 {x))\ dx.

^ dxdy.7 J jg dy

Similarmente, los arcos DAB y BCD pueden definirse por medio de funciones univaluadas x = g¡ (y) y x = g 2 (y) en c < y < d, con

p dyel f d

P{g2 (y), y) dy - p { g x {y), y) dyc J e

*£■ d x d y = í “ ¡ S ' b ) * d x d yG d x J e J g , ( y ) dx

p(x, y) x=ff2 (y) x=g , ( y ) _

dy - J p dy.

Figura A .5

Esto establece el teorema de Green para las curvas especiales que se han considerado. El teorema de Green puede extenderse a las curvas que no satisfacen esta propiedad especial dividiendo la región G en subregiones G¡, cuyas fronteras 7 i sí tengan esta propiedad (véase figura A .5). Aunque esta afirmación es intuitivamente clara en los ejemplos como el de la Figura A .5, requiere una prueba difícil que sale de los objetivos de este libro. Si se aplica el teorema de Green a cada una de las subregiones G¡, y se suman, se nota que la integral de línea a lo largo de los subarcos de 7 i no son subarcos de 7 se cancelan por pares, ya que cada subarco se recorre dos veces en sentidos opuestos. Por tanto, se

,iene r í r¿G \9x 9y ) i Jjg,-.\9íc 3y

dxdy

pdy + qdxTi

pdy + qdx.

Eje m p l o 5Evalúese la integral de línea

(jc — 2 y) dx + x dy,

donde 7 es el círculo unitario. Utilice el teorema de Green.

SOLUCIÓN: Aquí p{x, y) = x y q(x, y) = x — 2y, así que dp/dx= 1, dq/by = —2 y el teorema de Green conduce a

(jc — 2y) dx + x dy =ff [1 — (—2)] dxdy = 37t,JJx2+y2 < 1

porque el círculo unitario tiene área igual a ir.

Ej e r c ic io s

En los Ejercicios 1-8, evalúe la integral de línea dada a lo largo de la curva que se indica.

1 . f7 x ds, donde 7 es la recta y = x, 0 < x < 2 .2 . f y x ds, donde 7 es la curva y = x 2 , 0 < x < l .3. fy y ds, donde 7 es la curva x 2 = y 3 , 0 < 1.4 . fy x 2 y 2 ds, donde 7 es el círculo unitario.5 . fy (x 2 — y 2 ) dx — 2xydy, donde 7 es la curva y = x 2, — 1 < x < 1 .

6 . La integral de línea de 5, donde y es el círculo unitario.

7. f y xy dx + x 2dy, para y definida por x = 3t — 1, y = 3 t2 — 21, 1 < t < 2.

y 28 * fy — —- dx + 2y tan- 1 x dy, donde y es la curva cerrada

1 + x* 2 / 3 +y2/3 = 1 .

9. Use el teorema de Green para evaluar el Ejercicio 6 .10. Use el teorema de Green para evaluar el Ejercicio 8 .11. Muestre que el área delimitada por la curva y spp cerrada simple está dada

pori

xdy — ydx.1

212. Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea

2xy dx + (x 2 + y 2 ) dy

donde y es cualquier curva spp cerrada simple.13. Muestre que

pdy + qdx = 0 Jy

para cualquier curva y spp cerrada simple si p, q, bp/bx = bq/by son continuas sobre 7 y en su interior.

14. Sean (3c, y) las coordenadas del centroide de una región G delimitada por una curva y spp cerrada simple. Pruebe que

x =2 A

2 i - - 1x L dy, y = ----y 2A

y 2 dx

donde A es el área de G.15. Muestre, utilizando la notación del Ejercicio 14, que Ay = fy xy dy.

¿Puede expresarse / 7 xy dx en términos de 3c?16. Con la notación del Ejercicio 14, pruebe que

' ( b 2F b2F \ , , [ d Fle U ? + J , ~in

donde d F /dn es la derivada direccional de F en la dirección de la normal exterior a y.

17. Pruebe que' b f bg b f bg'

g \3x by by bxdxdy = / dg.

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277

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Respuestas a PROBLEMAS IMPARES

C a p ít u l o l

SECCIÓN 7.7

1 . 2 + i ; — 2 + i ; 2i; y73. 1 + 27; 1 ; —1 + i', 1 — i5 . 2 ; 27; 2 ;77. 7 + 7; 3 - 7; 10 + 5í; 2 - 7 9 . 7 - 7; - 1 - 37; 14 - 57; 14 - yy7

11. 5 + 47; 3 + 67; 9 + 7; - ^ + ■§ 713. -2 7 15. - 3 - 4717 J L j . i l - 1 ' ■ ■ i o + i o f19. - 1 02 1 . iz = ix — y

23. Si z2 =£0, entonces z2z 2 = (longitud de z2)2 ¥=0, pero z lz 2z 2 = 0, asi que dividiendo ambos lados por (longitud de z 2 )2 se obtiene z t = 0.

25. Im ¿i = — Im z 2 así que Im z ¡ z 2 = Im z 2 . (R e^ ! — R e z 2 ) = 0.Si Re z ! = Re z 2 , entonces Re z t z2 > 0. Por tanto Im z 2 = 0.

27 . (* , - x 2 ) - i(y ! - y 2 ) =( * i - *yi ) - (*2 - íyi)

2 9 * l * i y i • * 2 + i y i x 2 ± 7y2 x 2 + i y2

X i x 2 + y ¡ y 2 . x 2y , — x , y 2------5-------5— !-------- -7------7—

*2 + y 2 *2 + y 231 . (A + B)3 = A 3 + B 3 +3AB(A + £ ) =

—b + 3 ABw

AB = \ / — — D2 = —— > así que 4 3

w3 + aw + b = (w — A — B)- (w2 + (A + B)w +a + (A + B )2 ) = 0 con (A + B )2 - 4 [a + (A + B )2] = —3 (A - B )2

33. Use las leyes de conmutatividad, aso- ciatividad y distributividad de los números reales para verificar que la suma y la multiplicación complejas también satisfacen estas propiedades. Las leyes de la identidad y del inverso se mostraron en el texto.

35. Suponga que z l y z 2 son, ambos, inversos multiplicativos de z. Entonces z | z = 1 = z z 2 y z 1 = z j (zz2) = (z jz)z2 = z 2.

279

280 RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES

SECCIÓN 12

1 . 1 ; - + 2nk; 2

eos tt + 2nk j + i sen^ + 2irkj

3. s¡2\ - + 2irk;\/2 4

eos | — + 2tt£

+ ¿ senl — + 2nku5 . 5 , tan- 1 (-5 ) + 27T& ^ 0 .6435 +

2nk-, 5 [cos(tan“ 1 (-|) + 2nk) + !sen(tan_1 (■§■) + 27T&)]

7. V53"; tan- 1 (4 ) + 2ttA; « 1 .2925 +

27r£; V5¥[cos(tan- 1 (4 ) + 27T&) + ! sen (tan- 1 (4 ) + 2nk)]

9. \ /29 ; tan- 1 (4 ) + 2irk « 0 .3805 + 2nk-,\/29 [cos(tan—1 (4 ) + 2nk) + í sen (tan- 1 (4 ) + 2lfk)]

11. 2 5 6 (—1 + i)

13. —2 1815. 2 12'( - \ / 3 + 0

17. $ 2 (eos |7T

+ 1 sen —

4r / 9?r 9ttV 2 I eos — + ! sen

r - ( T n 7 ir19. v 2 eos — + 1 sen —

V 1 2 12

19tt\r l 19?rv 2 eos + 1 senV 12 1 2 /

3/— / 7T . 7T2 1 . v 2 eos — + * sen —

1 9 9

^ 2 (eos t i + 0

23.

7 7T ~9~

13tt

ir1 + i . — 1 + »

7 7T

13tt\eos — + * sen — - J

\ / 2 V 2

1 — i 1 — i

'

25. Iz - ¡1+ Iz - l l = 2 ;3 x 2 + 2xy + 3y2 - 4x + 4y = 0

27. IIz — a l — Iz — 5 II = c29. I z , - z 2 l2 - I z , - z 3 l2 =

[ I Zj I2 + I z 2 I2 - Z! Z 2 - Z2Zj ]— [ I z 2 I2 + lz3 I2 — Z2Z3 — z 3z2 ]= - z 2(z , - z 3) - z2 ( I , - z 3 ) =

(z, + z 3) (zi - z 3 ) + (z 1 + z 3)

(¿l — •z3)= l-zll2 — I-Z3I2 -ZjZ3 + Z3Zi + I Zi I2 - I z 3 I2 +

Z 3 Z 1 - z l z 3 = 031. I z , I — I z2 I = l(z 1 - z 2 ) + z 2 I -

lz 2 l ^ L Z X — z2 I + I z2 1 — lz2 l = I z¡ — z2 I. Similarmente I z 2 1 —I Z x I < Izj - z 2 I

33 . I z x ± z 2 l2 = (z 1 - z 2 ) (z¡ ± z 2 ) =I zX I2 + I z 2 I2 ± (z jZ 2 + Z2Z¡ ) =I zx I2 + lz2 I2 ± 2Re z ( z 2

35 . I z — a I2 = I z I2 + I a I2 — 2Re za;II - azi2 = 1 + la í2 Iz I2 — 2R eza, y 0 < (1 - Iz l2 )( l - I a I2 ) = 1 - Izl2 - la I2 + la I2 Iz I2

37. P(z0 ) = p f o ) = ó = 0

39 . I z ln (cos n9 + i sen nd) = zn = 1 = eos 2irk + i sen 2irk así que Iz 1= 1 y 6 = 2?rk/n. Pero

2li(k + n) 2nk+ 27T así que

zk+n zk-

n—1 1 - z n = 0

para cualquier raíz n-ésima de la unidad z¿ ya que zfj1 = 1. Como las n primeras raíces n-ésimas de la unidad son todas diferentes (ver Ejercicio 39) y el polinomio 1 — z" tiene exactamente n raíces, una de las cuales es 1 , 1 + z + . . . + zn—1 debe tener a cada una de las otras raíces n-ésimas de la unidad como raíz.

4 3 . 0 < 2 * (| ak |2 - 2| akzk IX +

| z J 2X2 ) = S¿ | a j 2 -

+ (2 * |z¿|2 ) ( V - -?*- 1****1 V ’ V Xk \zk \2 )

y haga X = Z k \ akzk \ / Zk \zk \2

45 . |(1 - z) P(z) | > a0 - [(a0 - « i)| z| + (ai' - a 2 ) | z |2 + . . . + (an_ ! - a„) I z\n + an | z |n - 1 ] con igualdad si y sólo si z ^ 0 (véase ejercicio 36). R (l) ¥= 0 y |(1 — z ) ■ P(z)\ > 0 para los puntos restantes en | z | ^ 1 .

RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES 281

SECCION 13

1 . abierto; acotado; simplemente conexo

3. abierto; no acotado; no conexo 5. cerrado; no acotado; simplemente

conexo7. cerrado; no acotado; conexo, pero no

simplemente conexo 9. abierto; acotado; conexo, pero no

simplemente conexo11. círculo Iz + 3 I = 2; rectas Im z = ±

1; parábola I2 I = Re z + 2; elipse I z + 1 ¡ + I z + ¿ 1 = 2 ; elipses I 2 — 1 1 + lz + l l = 3 y l . z — ll + Iz + ll = 2\¡2

13. Sean S i, . . ., Sn conjuntos cerrados, entonces 6 — Sfc es abierto. Pero n¿( e - Sk) = e - OkSk es abierto.

15. Si z e UaSa con cada Sa abierto, entonces z es un punto interior de algún Sa . Por ende, una e- vecindad de z está contenida en Sa y, por tanto, en U^Sq,.

17. Suponga que la cerradura S es no conexa. Entonces, existen conjuntos abiertos G y H tales que S C. G O H, G O H es vacía, y G O S y H O S son no vacías. Como S es conexo, está contenido en alguno de los conjuntos, digamos G. Entonces S está contenido en el conjunto cerrado 6 —H, así que S TT H es vacía, una contradicción, una contradicción:

19. 2 = 0 21. 2 = °°. No.

SECCIÓN 7.4

1 . I 22 - 2 1 = 2 1 2 - 1 1 < 25 así que haga e = 25

3. 12 + ¿ I < 5 así que haga e = 5 5 . 1(22 - 3) - ( - 1 + 2¿) I =

122 - 2 - 2* I = 2 12 - (1 + t)l < 2 5 = e

7.

9 .

22 - 4- 4

42 + 412 - 2

2 — 2 1 < 5 = ez3 - 1

- 3

Iz - 2 1

32 + 2 1

I 22 + 2 — 2 1= 1(2 — l )2 + 3(2 — 1) [ < 5 (5 + 3). Sea 5 < 1 y elija 6 = 45.

11. I Re 2 — Re a I = I Re (z — a) I <12 — a I < 5 = e así que lím. Re 2 = Re a z-^a

13. l l — a l = l 2 — a l < 5 = e así quelím 2 = a. z-*a

15. lím Re f (z ) = Re(lím f (z ) ) =2->a 2->aRe f(a)

17. ll/(2) l - l / ( B) l l < l / ( 2) - / ( B) l < e+ 2 + 1

2 + 119. lím

2 3 - 1

►±1 2 - 1lím

2- ± l

21 .

4 , si z = 1 ; indefinido, si z = — 1 f (z ) = z para 2 0 así que es continua en C — { 01 por el ejercicio13. Como lím 1 = 0 defina^O) = 0

z *0para hacerla continua en 6 .

23. f (z ) =x2 +y2

es continua en

6 — {o | por ser el cociente de funciones continuas con denominador no nulo, lím f(z) no existe por-

2-> 0 .que obtenemos 1 si nos acercamos sobre el eje real y —1 sobre el eje imaginario. Por tanto la función puede hacerse continua en z = 0.

25. czw + dw = az + b así que

z = ~ para 2 ¥= —d/c ycw — a

w a/c.El punto —d/c se mapea en 00 y °° se mapea en a/c.

27. I P(z) I > I a 0 I — [ I «i I + . . . +I a„ ll ^ 0 en 12 I < 1

SECCIÓN 7.5

1 . — i fy = ex (eos y + i sen y) = f x 3 . — i f y = eos x coshy — i sen x senhy

= fx

5. 5422 - ^ + 4

l l7 .

(2 - l ) 2

9. If ( z + h) ± g (z + fe)] - |f ( z ) ± g (z )] _

hf ( z + h ) - f ( z ) g ( z + h ) - g ( z )

h h

11- (P / Q)' = (QP' - PQ') / Q2 13. f x = lp ero- i f y = 0

_ -iy15- fx = ify - -— - > paraIz I

z ¥= 0, y lím ------ no existe, yaz->0 z

que tiende a 1 cuando z -> 0 sobre el eje real positivo y a — 1 sobre el eje real negativo.

17. f x = 2x pero — ify = 0 , así que tiene derivadas solamente sobre el eje imaginario porque

f ( z + iy) - / ( iy )/'( iy ) = lím

z-*- 0(Re z)2

límz- 0

0, ya queI Rezl

I z I

l z l < 5 = e.19- fx ~ y pero — ify = 2y - ix, así

que sólo puede tener derivada en z =0 , en donde

(, , z l m z/ (0) = lím ------ = 0.

z->0 z21. Use la regla de la cadena del ejercicio

2023. rvr = r(vx x T + vyyr ) = xvx + yvy =

—x u y + y u x = —u g , yaque x g = - y y ye = x - similarmente para la otra identidad.

SECCIÓN 1.6

1. Ver la solución del ejercicio 1 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad.

3. Ver la solución del ejercicio 3 de la Sección 1.4, y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad.

5 . —ify = 2 [x cos(x2 — _y2) cosh 2xy + y sen(x2 — y 2 ) senh 2xy] + 2¡[y cos(x2 — y 2 ) cosh 2xy — x sen(x2 — y 2 ) senh 2xy] = f x y aplique el teorema sobre condiciones suficientes para analiticidad.

7. -ify =(y2 — x 2 ) + 2ixy

2 \2

x 2 + y2

(x + y )

cosh

2xy + i (y — x )2 \2

(x + y 2 )

x 2 + y 2

x 2 + y 2

senh —------- = f x se cumplex + y

para z ¥= 0, lo cual implica condiciones suficientes para analiticidad en z ¥= 0.

m _ i * ' 2 tiene valor 1 sobre

el eje real y - 1 sobre el eje imaginario, entonces no tiene derivada en

z = 0. Pero u =3xy

y 3 — Sx2y . v = - — -------- ^satisfacen ux = 1

- Vy, Uy = 0 = —vx en z = 0.1 1 . Im (/ + / ) = 0y / + / es analítica,

así que el teorema de la derivada nula implica que / + / = 2 R e/ e s constante y, por tanto, / es constante.

13. Las ecuaciones de Cauchy- Riemann conducen al sistema

2 UUX + Uy = 0 Ux — 2UUy = 0

Sil + 4u2 0 ,entonces u* = uy =0-

15. Im / = 0 , aá que aplique el teorema de la derivada nula.

17. Si f = f x = x , entonces/ = — +

g(y), pero / ' = - i f y = - i g no es

una función de x.

SECCIÓN 1.7 1. - 1

e- 13- — ( 1 + 0

y / 2

5. —i7. - i9. 2uk - i log 2, k = 0 , ± 1 , ±2, . . .

1 1 . ± l , ± ¿13. —2 14 (1 + »)15. —2 18 17. 2 1S¿19. —2 13 (1 + V 3¡)21. Use la identidad de la solución del

ejercicio 41 de la sección 1.2 para obtener

(n + 1 )x nx xsen ------------ eos — / sen — •

2 2 2

'• (n + l)x nx x23. sen - sen — / sen —

25. Use el ejercicio 21 de la sección 1.5. 27. { e ~ n <C I w I <C e n} —

|Re w < 0 = oj-

29. f (z ) = e2lrz

SECCIÓN 1.8

1 . i(e — e- 1 )/2

( e + e - 1 ) ( e - e - 1 )3. ---------------eos 1 + x -------------- sen 1

2 2

(e + e_ 1 ) (e - )5 . ---------— eos 1 — i -------------- sen 1

2 2

7. ( e - 1 - e ) / 2

9. e2iz = i, así que z = — + irk, k = 0, 4

± 1 , ± 2 , .1 1 . e2 = 2±V"3^ así que 2 = log I 2 ±\/3~l +

27Tki,k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .13. No, porque ez 0.

15. e',z + e~~*z = e~*z + e*z

e*zi + e~ ‘zi e*zi + e~*zi17. ----------------------------------- +

2 2e‘z¡ — e~a ' eizi — e~'z*

1 9 .

2 i 2 ie>zt é~*zi + e *zi

„ 2 l Z —2 IZ i j z „ —l Z \e — e \e — e )2 i = 2

(el z + e ~ lz)2 i

e + e~2 2

iz . —ÍZ\ 2 / iz - i z . o

La última identidad se sigue de la definición de tan 2z. '

21. Use las identidades eos z = eos x cosh y — i sen x senh y, cosh2 y — senh2y = 1 .

23. (ez + e~z )2 - (ez - e~z )2 = 4 , las dos últimas se siguen de la definición.

25 . (e2! + e ~z¡ ) (ez 2 + e- 2 * ) +(e2i — e _2i )(e22 — e 2 ) =2 (e2> éz 2 + e z‘ e z2 )

27. Use los ejercicios 20, 21 y 26.29. Use la fórmula del cociente para de

rivadas y el ejercicio 2,8.31. Use el ejercicio 26 y la localización

de los ceros de sen z y eos z.33. Sume las definiciones de eos z y de

i sen z.35. El segmento de recta t '+ iy, I íl

< 77/2 se mapea en la mitad superior de la elipse

1 , for y > 0.cosh2 y sénh2y

El segmento de recta x + it, t > 0 se mapea en la mitad superior de la hipérbola

1sen2 jc cos2;c

que esté en el mismo cuadrante que el segmento de recta.

37. Use el mismo procedimiento que en los ejercicios 34-36 para mostrar que la franja 0 < x < 77, y > 0 se mapea en el semiplano inferior. Entonces considere la acción sobre la otra mitad de esta franja.

SECCIÓN 1.9

1 . i arg * = 2"^77 + 7T&J = 0, ± 1 ,

±2 , . . .3. i arg(—1) = ¿(77 + 277/e), k = 0 , ±1,

±2 , . . .5 . *~arg¿ = e —irl2+2irk' * = 0> ±1>

±2 , . . .

9. e ~ nl211. Para a real, no negativo, con/(O) =

1 si a = 0, yf(0) = 0 en otro caso. Entera para a = 0 , a T? 1.

13. log lz x I + i arg zi + log lz2 I + 1 arg z 2 = log \z1z 2 ¡ + i arg(z1z 2 )

15. a logz + b logz = (a + 5) logz

17. Log(— 1 — i) = log \¡2 >

t • - m’ t - 1 - *Log i - — pero Log -----------2 i

Log(—1 + i) = logV iF+3 m

19. log za = log(eal°s z ) = a logz ya que la exponencial y el logaritmo son funciones inversas.

21. Sea z = eos w = (e + e~^w)¡2, entonces e2zw _ — 2ze*w + 1 = 0 tiene raíces e*w = z + (z2 — 1 )V 2 donde la raíz cuadrada mapea[ e — { o } ] 2 e n e - { o } .

23. Sea z = cot w = i{eiw + e~iw)¡ (e’w — e~iw), entonces

2 iw z + íz — i

25. Si z = cosh w :±Í0W 4-. 2 . i\l/2

+ entonces = z + (z¿ — l ) í/¿ donde la raíz cuadrada es bivaluada.

S E C C IÓ N 1.10

1 . E r = r A R e e iw\E r = r s 2 A ReE r = r 3 s 2 A Re e^ wt- 2^ ..........

= r 2n- 1 52 4 Re

.. así que T-Teílejada (1 — —— | Er d

s2 ARe -J eíu,í 2

n=0

* \ 1 ^ 2 j + — £ transmitida

12 — — J A eos wt

(1 —r 2 ) A eos (wt — (3)

r \¡\ + A ~ 2 r 2 eos Ct Entonces escriba cos(ieí — ¡3) = co: wt eos (3 + sen wt sen (3 y póngale en la forma A * eos (wt — y) eligiendo cot y =

[(2r — 1 ) \ /l + r4 — 2r2 eos a +(1 — r2 ) eos ¡3]

3.d2Ed x2

(1 — r2 ) sen (3

1 d2E

- f ( c t + X)= S J S

27. Si z = sen w, entonces 1 = eos w

(1 —sen w) 1/2 dw

dw~dz

dz

dwdz

29. Siz = tan w; entonces 1 = sec w

' 2 , dw(1 + tan w ) .dz

31. Seaz = cosh w, entonces 1 =dw , dw

senh w — = (cosh w — 1 ) < — dz dz

33. zk¡2 mapea a [ 6 — { o } ] 2 en [ 6 — |ü |] t para k — 1, 3 así que los espacios del contradominio son diferentes para z 1/ 2 y z3 2 . Por tanto ( - 1)1/2 =É ( - 1 )3/2.

C a p ít u l o 2

S E C C I O N 2.1

1 . x = a eos t, y = b sen í 3. Por ejemplo,

C t, o < í < iz(f) = j 2 - t + i(t - 1 ), 1 < f < 2

* í(3 - t ) , 2 < f < 32 + e»ír(í+2)

5. z(í) = i —í, —1 < í < 1L—2 + zr (t+1) j ^ ¿ ^ 3

7. (1 — 0 / 2 ; (* — l ) / 2 ; 1 9. iR2 i t ; - R 2 n ;2 m R 2

11. Haga z = e!í , 0 < t < — , entonces ^

y dz = ir -rr/ 2

sen í ezí di =

—7r zT "2

13. / ( z ) = y no es la derivada de una función analítica.

15. e{ - e 17. é - e19. (cos a — cosh a)¡a

21 .2?r z'(í ) dt _ 2tt

dij0 V(*'(*))*

23. 2 — rn; 2 + ni

SECCIÓN 2.2

1. Haga z = etí para obtener- t dt = 0.

ParaO AL arg z < 27T obtenemos—2 Ti

3.BG

= - A

y dx + iy dy

5 . 0

— dxdy

e x dx +

. aeü it - I a ¡ y ,ai e e dt — 1 e y d y ,J o . Jo

donde e = e os t + 1 sen t, y considere la parte imaginaria de las dos últimas integrales.

7. Senz = sen* cosh y + zcosxsenhy, donde* = at, y y = bt, 0 ^ i AL T

9. 0 =dz

7 1 + z*

a dx

—a 1 + X2

dy

0 (1 + a2 - y2 ) + 2iay

r b dy

0 (1 + o2 - y 2 ) - 2iay

dx

-a (l + x — ¿>2 ) + 2ibx Multiplique numerador y denominador de la última integral por el complejo conjugado y tome el límite cuando a °°,

11. Use el rectángulo del Ejemplo 3 y la función f(z) = e ikzJ {\ + z ).

13. Integre f{z ) = sobre la frontera del rectángulo 0 AL x AL a, 0 AL y Aj b , y haga a -*■ °°.

15. Muestre que

Ri

R

f rr/8

07r/8

0g- R í cos2i d t o ,

cuando R 00.

SECCION 2.3

1 . 03. 2 ni¡{b — a)5. 2ni cos 1 7. 2ni sen 1 9 . — 2ni sen 1

1 1 . —ni sen 113. Rompa la parametrización de 71 +

72 en dos partes.15. Use la desigualdad del triángulo y la

propiedad (iy).17. Use I 1 + elt\ = y /2 ( l + cos i) 19. Aplique la estimación de Cauchy a /

con M - (1 — y minimice elresultado para todo 0 Aj r Ai 1 .

21. Sea z = e*6 , 0 < 9 < 2'/T e iguale los términos imaginarios.

23. La fundón es analítica en cada disco D, y la analiticidad es una propiedad local.

SECCION 2.4

1. Muestre que es constante.3. Aplique el principio del máximo a la

F[z) definida en el ejercicio 2. Entonces IF I Aj 1 en I z I = 1 . La igualdad hace que F sea constante.

5. Sea f(z) = z y sea G el disco unitario abierto.

7. I/I=A 0 en la frontera de G, y si/ no tiene ceros en G, los principios del máximo y el mínimo implican que/ es constante en G.

9. Por el teorema de Cauchy

aodz = 2m.

IzKR zP(z)

Cuando R -+ °° tenemos" P(z)

lím = 1 así que para R grande,R-*°° anzn

I P(z) I I anzn 1/2. Entonces 277 =

üq dz

IzKR zP(z)

47T|flc

I ün I R— que con-

duce a una contradicción cuando R ■+ °°

SECCION 2.5

1. Use el teorema de Cauchy para derivadas.

3. eztf(z ) dzJ r R

2 sup I f(z) Ir *

tR eos e n ,Q . \ „ ce R dd si a > 0. SeaJog(6) = eos 0 — (1 — 20 /7t). Entonces g (0) = g(TT¡2) = 0 yg" < 0. Use eos 0 > 1 — 20 /tt para acotar la integral y muestre que la cota tiende a cero cuando R "+

5. Suponga que la trayectoria poligonal y — y' en la prueba del teorema de la antiderivada evita los puntos z j ,. . zn . Si un número finito de los puntos excepcionales están dentro de cualquier subrectángulo formado por las curvas y — 7 ', aplique el ejercicio 4. Entonces aplique el teorema Fundamental.

C A P ÍT U L O 3

SECCIÓN 3.1

1- 1 + \ + (t + 7) + (i + i + 4 + i)+ . . . y cada grupo entre paréntesis excede a 14.

3. Sea f {z ) - sen 2. Entonces f ^ n\Q) =0 , / (4n+1 )(0) = 1 , / (4n+2)(0) = 0 , /<4b+s)(0) = - 1 .

5. Si f(z) = senh z, entonces / ^ ^ ( 0 ) = 0 , / (4n + l)(o) = 1( ^4*1+2) (0 ) = 0 ;

/ (4n+3)(0) = 1 _

7. Use la serie geométrica del Ejemplo2.

9.1 — 8 — ( Z — t ) 1 — 8

2

1 +

1 - i

< V 2

+ í i z i ' i +1 - 8

, \Z — 1\

1 1 . £ ( - i r88 = 0

13. — — S2

(2 n)

(i)ns i í L 1n=l n

< 100 / « 3 7T¿ \n

15. log I 2I+ 377Í- S ^ — í - , n=l 2%

Iz - 2e3m I < 2 17. 10 19. 6 21 . No23. f (z ) = (2 — z )~1 25. /(z ) = 0 y g(z) = sen z son ambas

enteras.27. Desarrolle ea ^og(l+z) en una ser¡e

de Maclaurin.

SECCIÓN 3.2

1 . 03. 1 5. 1/3 7. /?9 . /T

11. R

13. [(1 - z ) - 1 ] ” =

£ (n + 1 ) (n + 2) z" , /? = 178 = 0

15. Integre la serie de Maclaurin de sen z/z para obtener

Í_ 1 \n r2n+12 — -— ---------------- . R = °°

n=0 (2 n + l ) ! ( 2n + 1 )

17. f { z ) = a0 eosz + ai sen2

19. a0 2 (—1 )nz2n /22n (n !)2n=0

21. Use las series de Taylor def(z) y g(z) centradas en 20 para obtenerf(z)/g(z)

f ' ( z 0 )(z - z 0 ) + f " ( z 0 )(z - z0)2 l2 + . . g'(20)(2 - z 0 ) + g ' ( z 0 )(z - Z 0 )2 12 + . . .

Entonces divida numerador y denominador por z — Zq y tome el límite cuando z -*■ z 0 .

23. \/E (1 - z ) / 2 (1 - z 3)25. La serie de potencias para ezt es-en

tera, así que aplique el teorema de Weierstrass.

27. Derive dentro del signo de integración ya que la serie converge uniformemente.

29 . — = 2 zn tn g(t) converge1 - zt n=0uniformemente en 0 < t < 1 para I z K 1. Aplique el teorema de Weierstrass y derive término a término para obtener

tg{t)/'(*) =

0 ( l - 2 í ) 2dt.

2 [Z ~ 1 ) ”

2 - 1 9 n=0

11. - 23 n=l

r \™—Z\ —n . + Z

2

13. + 2z + 2 n=1 (2 + 2)n+1

oo

15. 2 cn zn , donde cn = c _ n y

cn = 2 [&!(« + &)!]¿=0

- l

17. 2 c 2n+i (z2n+1 + 2 2 1 ), donde n=0

c 2n+l “( - 1)

n+A

fc=0 k ! (2n + 1 +ft) !

19. 2 (1 - z ) n\ n = 0—(2M+1 )£ (_ 1 )"(2 - 1 )

n=0 (2n + 1 ) !

2 ( - l )n+1 c„(z - 1 )" donde

SECCION 3.3

11. - - l + 2 - 2 2 + 2 3 - . . . =

2

2 (— 1 ) 2 n~ 0

3. - 2 ( 1 - 2 )n=0

1 - / 1 - 2 \" - 2

- (n+1)

2 n=0 V 2

(-irk=q (2k + 1 ) !

q - 0 , para n > — 1 , <j = [ ln /2 l ] , para n < —2 , en donde [tn] es el entero más grande < m.

2 1 . 2 cn(2 — 1 ) , donden~ 0

(_l)(n/2]Cti

(2 [n/2 ] + 1 ) !

23. an — 2m

fW -U S ) d$

li-1=1 f’n+l

5 . 2 2 - 2" - 1n - 1

7, i £ ( ! - , ) »4 n - —1 \ 2

J _ f * eí(z s e n o - « 0 ) ^ 0 27T J _ w

y la parte imaginaria de esta integral es cero.

25. [ z + 2n — 0

m—2nz y

2 ni(z + z - 1 )”1 dz _

lzl= l jn+1

2 m — 1 f7T7T J -7 T

e m eos771 (6 ) dO. Por tanto

- ,m — l

7T J —timN

eos (m— 2 ra)0 eosm 9 dd -

7. I sen1/2

7t2 ( z - 1)2 71* ( z - 1 )*

8 2! 8 4!No.

9. Sea f = g27rI /^ para cualesquiera enteros positivos p y q, y observe que / W ) 00 cuando í -*■ 1 .

n . i ( - l ) n (n + 2 )! (z - l)n n=0 ra!

SECCION 3.4

1 . z = 0, 00 son removibles, z = ±t son polos simples.

3. z = 0 es una singularidad esencial,z = o° es un polo simple.

5. z = 0 es una singularidad esencial,z = 00 es removible.

7 , (z + 1 ) e 1Hz- 1>l(z* + z3 ) es un ejemplo.

n _1n9. C(z) = 2

n = l 2n (2ra)!

( - 1 ):Ti+l n11. L(z) = 2

71=1

13. Sea k el orden del polo en 00 (k = 0 si oo es una singularidad removible), y aplique el teorema de Liouville a z — / ( ? ) . Singularidades esenciales.

15. z = 00 no es una singularidad esencial, ni puede ser polo de orden k ¡3= 1 , ya que entonces / ( z ) = zk (z), con fk analítica en 311, / no se omite el cero.

SECCIÓN 3.5

1. Considere —Log(l — z). R = 1/2 3. Use —Iog(l — z).5 . z 1/2 = 1 + y(z - 1) -

- ( - 1 )” (2n - 3)! (z - l ) n

7i=2 2 2("- l ) (ti - 2 )! ti!Iz - 1 1< 1. No.

f (z ) = -%•z3

13. Defina F (z) = f f (z ) en G + U7.

1 7 (5 ) en G - .

Entonces F(z)es continua en G = G + U7UG—. En G— tenemos F(z) = u(z) — ¿y(z) en donde f = u + iv. Entonces — iFy = vy (z) + (z) =

(z) — ivx (z) = F x así que F es analítica en G - . Para cualquier z 0 dentro de 7 considere Iz - z 0 I

< p interior a G. Divida los círculos en dos semicírculos y muestre por continuidad que

F(z)dz = 0.

Iz-z0 l=p z - z 0

15. Si I zl = 1 entonces

OO 1 OO

2 - 4 < 1 + 2

71 = 1 71

1

71=1 71* 7i = 2 t i ( n — 1)

1 + (4 - t ) + (3 - 3 ) + ■ • • = 2así que siempre converge. Sin embargo, derivando término a término se tieneOO Jtl 12

n - 1= _ i Log (1 - z)

que diverge en z = 1 .

C a p ít u l o 4

SECCIÓN 4.1

1 . Res¿ / (z) = —i . R e s _ í / (z ) = — í-2 2

3. Res0 f (z ) = 1

5. Res0 f (z ) = —2

7. Res0 f (z ) = — - 2

9. Reskm f(z ) = ( ~ l ) k km11. Resk n f ( z ) = 1 13. - 2 7 rí15. 0. (Use el teorema del interior y el exterior.)17. —2iri [Res_j-/(z), = m n 19. 0, ya que Res0 f (z ) = 0.21. 7ri23. 27T¿ [R e s ^ tan z + Res_Jr/2 tanz]

= —4 ttí

25. Quite todos los factores comunes de P y Q. Entonces

P

(* - »■)“ Qip \' i

\0+l(z - r f \ Q j (z - r )

( aP\ Í P \'— así que Resr — =\ Q i J \ Q J

d a f í P \' aPlím — - i (z - r) { ---- ) --------z - r dza 1 \ Q j Q i

y, por inducción

ia~ k r ( P \d= lím

z - r dza~R (. VQj

( P \ik) ( k - a ) ^ — ) ) = 0.

(¿+l)

SECCION 4.2

1 . i f2w4 Jo a +sen

' IJ lzl=l

z dz

(z2 - l )2 - 4 az2 y I y/a — yja + 1 1 < 1

3 . — 4 ílzl=l

z dz

(a2 - b2) z4 + 2(a2 + b 2 ) z2 + (a2 - b2 )

—4 isJl U 2a — o 1zl=l

z dz

5. t

a - b ) \ a + b

y la — ó I <C a + ó

dz

Iz 1=1 (az — l)(z — a)

[(a — ib)z2 + (a + ib)\n dz

Iz 1=1 n+1

y calcule el residuo en z = 0. 9. Use cos ib = cosh b y sentó =

t'senh b.

SECCION 4.3

1. Haga a = 0 en el teorema de esta sección y evalúe el residuo de

z/(z2 + 2z + 2)2 en — 1 + i.

3- Tx 2 dx

(x2 + a )

1 Re /27T¿ Res™(z2 + a 2 )2

5. Re |27T¿ Res¿ (z2 + 1)—

7. Im < 27T¿ Res¿¿,1 (z2 + ó 2)2

zeRes(l+¿)fe/V2 - 4— 4z +0

z4 + ó4

9. -2 Im j 2ttí

+ Res (-i+i)b/s/2

SECCIÓN 4.4

1. Use los residuos en x = ±1/2 3. Residuos en x ¡= 0, 1/2, y escriba el

numerador como \ sen 27tx

5. Residuos en x = 0 y x - bi de f ( z ) = e iz/z (z 2 + b 2 )

7. Use f (z ) = {e™ - elbz)¡z2 sobre el contomo de la Figura 4.5.

9. Use la identidad

eos (A — B) — eos (A + B) = 2 sen A sen B e integre la función

f(z) = {e^A~B'> - e i{-A+B))l2 (z - a ) (z - b)

en donde A = m ( z - a ) , B = n(z - b) alrededor de un semicírculo de radio R al que se le añaden semicírculos de radio r en a y b.

SECCIÓN 4.5

1. Use el método del ejemplo 1. Para a = 0 resuleva directamente e interprete la respuesta como un límite cuando a ->■ 0.

3. Vea la respuesta del ejercicio 1.5. Resuelva directamente para a = 0,

1, 2. Interprete la respuesta para a = 1 como un límite.

7. Use el método del ejemplo 2.9. Use f(z) = za\og z/(z2 + b 2 )e n

la Figura 4.6.11. Use f(z) = eíaz /senh z sobre un

contomo rectangular j z : I x I < R, 0 < y ^ 2m } al que se le quitan semicírculos en 0 y 2m. Polo en 7Tt con residuo —i senh Tía.

13. Üse f(z) = e^/cosh 7Tz sobre el contomo rectangular { z : I x I ^ a , 0 < y < l } . Polo en i 12 con residuo cos(a/2)/7T!.

15. Sustituya a u = x a y aplique el ejercicio 14.

1). Sustituya x = b tan0 y haga 5 = 1. Esta sustitución cambia la segunda integral en la del ejemplo 2.

SECCIÓN 4.6

1 . 0 3. 05. (i) 5, (ii) f), (iii) 5, (iv) 6

7. 3. Sea f(z) = (z2 - 1) •(z4 — 5z2 + 5) y note que Iz2 — 1 1 > I z I sobre el semicírculo I z I = R > 2, x > 0, y sobre el segmento de recta z = iy, I y K R.

9. 0. Multiplique la ecuación por z 2 +2 .

11. Aplique el principio del argumento a

g(z) = / ( * )13. Elija cualquier punto z 0 interior a

G. Por el ejercicio 12, / ( z 0 ) es interior a J{G) ya que todo punto en un disco suficientemente pequeño, centrado en f ( z 0 ) tiene su preimagen en G. Ningún punto interior de G puede tener valor absoluto máximo ya que todos son interiores a f(G).

C a p ít u l o 5

SECCIÓN 5.1

i. e3. z¥= 05. Cuadmplica el ángulo

dianes.7. Duplica el ángulo.9. Haga z = r (1 + e ie )

cuadrado

n d (“ . v) = “x uyb (x ,y ) vx vy

las ecuaciones de Cauchy-Riemann.13. Mire el teorema de Liouville.15. Existe un valor 6 y un e > 0 tales

que Re ( e ^ f ’(z)) > 0 para todo zen I z — z 0 K e.

SECCIÓN 5.2

1 . ü < 03. 1 zw — (1 + Í)I2\ > \ ¡2I2 ,

Itu - (1 - t ‘) /2 l > V 2/25. 3. La sustitución del Ejemplo 5 con

duce a16 (zw4 + 8tf3 + 3w2 - 2 w + 1) = 0.

a 2tt ra-

y eleve al

y aplique


7. Sea w = exp(2íriz/(z — 2)). 9. Sea w = sen" 1 (iz2 ).

SECCIÓN 5.3

1 . w =i - 1 z + 1

3.

2 z - 1 - i

2 — w 1 + í 1 + z

uj - 4 2 1 + t - j z5. No. No es analítica7. ( 3 + 4 í ) / 2 5 9. (2 + 50 /3

11. a; = ( - 2 + 4 0 (2 + 1)¡(5iz + 2 + 013. 2 - V 3

. z — (a — R)15. El mapeo w - i ------------ ------

' z — (a + R)

mapea al círculo en el eje real. Así,

z - ( a - R ) z - (a + R)_

b+ a (a — R)

+ a - (a + R )— a

lo cual implica quez* = (R2 /(z — á)) + a.

SECCIÓN 5.4

_ 2 i 1 + u)1 . w = — log -------7T 1 — w

3. w1 +z J

5. Vea el Ejercicio 9 de la Sección 5.1.Dentro de la cardioide.

7. La mapea en si misma invirtiendo la orientación

9. Primero recórrala hacia la izquierda 1 unidad y considere la raíz cuadrada con corte rama sobre el eje real positivo. Finalmente

i y/z — 1 + y/2w = ----------------------------

y¡2 — 2 — i \Jz — 1

11. Suponga que fl y v son puntos rama de la superficie de Riemann de la transformación. Haciendo w = f (z ) , entonces f(z) = (2/ (z ) - f l — v)¡ (fl — v) mapea al plano z en una superficie de Riemann con dos hojas, y puntos de ramificación en ±1. Escribiendo f(z) como una serie de Laurent, vemos que Z(z) = f (z) + V f 2 (*) - 1 es analítica en ±1 y es analítica o tiene polos simples en los polos de f(z). Además, Z(z) debe tener al menos un polo simple ya que de otra forma sería constante, así que Z(z) es una función racional. Finalmente, muestre que Z(z) es de primer grado, de lo cual se sigue la respuesta. La segunda alternativa surge cuando v =

SECCIÓN 5.5

1. Im (/4z4/3 ) = A Im (z4/3 ) = constante. El origen es un punto de estancamiento.

3. lm(Az* )= constante o x 3y — xy 3 = constante. El origen es un punto de estancamiento.

- 3 z 2 , así que \V\ = 1, 1 , i, respectivamente.

5 . V = w ' = 1 2, 4 en 0,w' = 0 cuando z = ± (3 )—1 2 .

7. V = 3 + 2iz, así que I V\ = 3, V Í 3 , 1 en 0, 1, i, respectivamente, w = 0 cuando z = —Si/2.

9. y + Sx2y — y 3 = constante; y + 2(x 2 — y2 ) = constante;3y — (x2 — y 2 ) = constante; eos x senh y - constante.

1 1 . e w = (z ± s fz 2 — a2 )¡o así que arg [(z ± y/z2 — a2 )¡a] = constante

13. Las líneas de corriente son hipérbolas confocales

1,e o s 2 V 2 2 a sen

v = constante. Para v = 0 , 7T obtenga el flujo en los bordes de la abertura, pero este flujo no es reali-

, _ . 1 dzzable físicamente porque — = ------ =V dw

a senh w - a \lcosh2 w — 1 - a2 , así que I V I es infinito

en z =15. V - w = .4(1 - a /z ) así

que, paraz = ae'^ obtenemos I V (ae*®) I =

A(1 -2i6 \ i _ 2A I sen 6 I. Pero

2v42sen2 0P P

lo cual implica que

m = t ^ + y > [ l - 4 s e n 20 ] . P P

Si A 2 > 2p (c

3 p

hay cavitación.

A y 6 = +7T/2,

dx

0 \ 4 (i - * 2)’ i dt r(-í) r(T)

0 í 3/4 V i - f 2 r (3/4) 5. tu = (1 — 2¿:) \¡z — z 2 —

(sen- 1 (2z - l ) ) /2 - tt/4 7. Use las identidades r(-g-) T(3/4) =

7lVíF y r ( - j )2 = 7T. Entonces tu =

"2 (z - 1)3/4 dz

0 VT

(x - 1 )3/4 dx

- 3 /4 r ( f ) r ( 7 /4 )

T(9/4)

1 2 ttV ^

( - 1 )“

5r(T )2

9. Haga s = (z - a)¡z y considere el mapeo

\/-t — a

V-zfc - 1 )dz.

SECCION 5.6

1. Im \/¡ü2 + 1 = constante, son las líneas de corriente en el plano w.

3. Claramente mapea al semiplano superior en un cuadrado, ya que

J ° v 4 ( x 2 - 1)

f l dxi r — =

J 0 y x { \ — x 2 )

—1 dx

0 \/x{\ — x 2 )

1 d ( —x)

1 ° %/(-*) (x2 - 1 )Haga x 2 = t, use la integral del Ejemplo 4 y T(x) T(1 — x) = 7r/sen7rx para obtener

SECCIÓN 5.7

1 . f = (z - V3) / (z + V 3 ) mapea la región en el anillo (\/3 — 1)1 (y/3 + 1) < I f I < 1. Las líneas equipotenciales en el plano f son círculos I f I = constante, así que las líneas equipotenciales en el plano z satisfacen I z — y/3 I / I z + %/3l = constante.

3. u = y - - Re (sen- 1 ez )7r

1 1 + sen(7K/2)5. u = — Arg --------------------

7T 1 — sen(7K/2)

7. Sea z = cosh f y w = A (cosh f — ¿a). El primer mapeo genera una familia de elipses confocales y una familia de hipérbolas confocales.

SECCION 5.8 SECCION 6.2

1. V es real sobre los bordes del recipiente, la rapidez es igual a ± 1 , pero en direcciones opuestas, y es constante en las líneas de corriente libres. Cuando V(0) es puramente imaginario obtenemos la hodógrafa

W ( + 1) 0 W ( - 1 )

W( o

con W = A /V = A/w (z): Entonces, considere la sucesión de mapeos

z i = 2 Log W + Í7r z 2 = sen(z'z1 / 2)

f = - Log z 2 - i.7T

C a p ít u lo 6

SECCIÓN 6.1

1. 0 = Re(e2 ). Verifique que se satisface la ecuación de Laplace

3. 0 = Re(z3 ). Verifique que se satisface la ecuación de Laplace

5. f ( z ) = sen z; entera 7. No.9. v = tan"’1 (y/se) + constante.

1 1 . zs = — y l[ (x — l )2 + y 2 ] + constante

13. Considere la parte real de log /(z ).

15. — f log I 1 + relS I dd =277 J o

1 f 2 7r— log 11 + r + 2r eos 9 I d6 477 J 0

1 f27r / 6 \-> — log 2 eos — ) d6 y

277 J o V 2 /2rr 0

log eos — dd =0 2

2 7r d ri<logsen — e¡0 = 2 logsen 0 e¡0

0 2 Jo

Integre ambos lados del teorema del Valor Medio de la Sección 6.1 obte-

2“ (f)niendo w(f) = R 2

1 fR f27T Ti

'Rrdr

u(¡¡ + re ) rdrdd 77/?“ JO JO

grad u = / ' , en donde / = u + ¿y con v cualquier armónica conjugada de u.Use g(z) = (z2 - z 02)/(z2 - z02 ).

Entonces u(z) = ------ I u(f)2772 J 3G

2f(¿(f2 (í2 - ¿2:

■ d f =

u (tí) u(t)

t2 + z 2 |2 lt2 - z 2 |2

4scy

dt

Si u(z), U{z) son dos soluciones del problema de Dirichlet, que son continuas en G , entonces U(z) — u(z) es armónica en la región G simplemente conexa y continua en G. El principio del máximo implica que U — u alcanza su máximo y su mínimo en 9G. Pero U — u = 0 en 9G, así que u es única.uA eie) = o.= u ieie) y uA reie) -a ^ u(rel®) por el principio del máximo. Por tanto, por el ejercicio 8, para r < k <C 1

u(ke^) ^ ur (ke*S) = a —- —log r

0

11

cuando r -> 0+. Puesto que k puede hacerse arbitrariamente pequeña, u no es continua en 0.Use la fórmula integral de Cauchy para /(z ) y la identidad

1 2tte¡0 = 0 .

13.

277 J 0 z - f

Sume y reste

1 f 2tt ¿t“ (0) = — u( f )^-

2772 J o f

y aplique las técnicas del teorema de Poisson.

d(t — x)15. u(z) = -77 J

1

- 1 (í - x )2 + y2

z - 11 - 1 arg -------- - - arg—77 \ z + 1 / 77 z + 1

para 0 arg z < 77.

SECCIÓN 6.3

1 . u(z) (« o + M i ) + ( « 0 - M i ) •

2 ( i - z- Arg ------77 \ l + Z

3. w(z) - — log ------277 Z

círculos que pasan por i y 0.

• Familia de

5. Fuentes en ±¡, sumideros en 0, °°, todos de intensidad Q, y puntos de estancamiento en ±1 y °°. Las líneas equipotenciales están dadas por I z + 1 /z I = constante, las líneas de corriente por arg(z + 1 /z) = constante.

7. Sumideros de intensidad 277 en ±1, ±i, y fuentes de intensidad 477 en 0 y

±(1 ± í) y o° son puntos de estancamiento. Las líneas equipotenciales satisfacen

1constante, mientras

que las líneas de corriente están dadas por arg (22_ i / 22 ) = constante.

9 . Sea w = ------ log277n z

- P ( r ^ l r log 1 + —27771 V rn

~P 1

11 .

w = z - 2 z + 2

iv = W2

p l a n o z p l a n o i v

SECCION 6.4

1 . c 0 = 7r, cn = i/n así que u(z) =

/ - z " x7T + 2 Re I í 2 — j =

\ n= 1 n /

7T + 2Re [—¿Log(l — z)] =

77 + 2 Arg (1 — 2).

3 . u(re'®) = — +

2 2 r2”+ (2n + 1)0n=0 2n + 1

5. Sea /(z ) entera y acotada por M. Por la identidad de Parseval

277 2 r2 n \cn ¡2 =71 = 0

f* 277

0I /(re*0 ) I2 dtp < 27TM2 ,

por tanto, I cn I ’í M /rn -*■ 0 cuando r -*■ Entonces cn = 0 para n > 0 y f (z ) = 2 „c„z" = c0 , una constante.

7. Sea /(re*0 ) = 0 2 - 2770 en la identidad de Parseval, obteniendo c0 = —27T2 /3, c„ = 2/n2 para n > 0

9. c0 = = . . . = c„_i = 1 , lasotras cn - 0 así que de la identidad de Parseval se tiene

2dtp.2ti 2 r2A = í

o Jorenit> - 1re*0 — 1

Haga r = 1 para obtener

27771 =

A l 2

2 7 7

0

2

dtp =

e7ii*>/2 _ e -n ¡4 ,¡2

e*0/2 _ e—*0/2

•2- /sen n0 /2 \ 2 ri0

0 \ sen 0/2 /

11. Sea A = A i • A 2 ' . . . • Ay, k = k i N 2 • . . . • Ay + k 2N 3 • . . . ' Nj + . . . + k j , y n = nyAy_! •. . . • A i + . . . + n 1 , entonces defina en forma recurrente

c<'> (« i ,« 2 ........ n [ ,k [+ 1 kj) =ln ekl+iNl+i- ■ ■NjnmNm -i- ■ -A,

771 = 1

A / _,

2 (ni , . . n i _ i , k i ..........*/=okj)en^

SECCIÓN 6.5

1 . (tt/2)i/2 e_blíl

3. (?r/2)1/2 (1 - b I fl) e~ b u '¡2b 5. e“ í,/4A/yTft 7. -í(7T/2)1'2 tanh (ttí/2)9. u(f) = (1 — í signof)/2 lfl1//2.Haga

t = s2 y compare con el ejercicio 15 de la sección 2 .2 .

1 1 . — !— í £ - “ <*> U(tp)V(tp) dtp = V27T

1V(tp)'

u(t) e *í0 <¿f ) dtp =

\/2n 7 1

V27T *

t L | - . „ { ■v 277 J-°° e ‘ (t—x)4> d(j) j

1

F(0)

u(t) v(t — x) dt.\ /2 t7

Entonces haga * = 0. Para la segunda parte sea V = U.

SECCIÓN 6.6

cosh ztp e~ 50 dtp =1 .

[e-(*-*)'#> + e-(r**)0] d(¡) =

1 1 + -----Ls — z s + z

Re z, —Re z

con Re s >

3. --- jC | se n z 0 }= ------ (z(s2 + z 2 ) *)ds ds

por la ecuación (3).

5. ---- £ {senh ztp\ =ds

(z(s2 - z 2 ) - ' )ds

7. Por el primer teorema del corrimiento £{<?-ly 0 sen z<j>}(s) = JC-jsenz^j (s + w) y aplique el ejemplo 5.

,29. — - £{sen z</>| = £-[</>2 sen z(p}

ds

por la ecuación (3).1 1 . cos 2z - a) costal =e ~ as £ {c o s z (0 +ay> y co sz(<¡> + a)= cos z) =sen(/> + (0sen(/>—</>2 cos 0) /4 17. £ { [ / } = 1/(0+) (r2 + 1)- 1 / 2 , que

es la transformada de U - U (0+) J 0 ((/>), con J 0 la función de Bessel de or

den cero.19. U(<p) = Isen <p~l \21. Suponga que I {/I. está acotada por

M en (0, <í>) y por Nea(¡> para <¡> ><í>. Entonces

I £{ [/ } ! M I e~s(p I d<¡) +

N d<¡> -

M

23.

1+ N

Re s0, cuando s ■+ 00

(Rer—a)í>

Re s

U'{<p)e-S(p d<¡> = U{4>) +

-sep

U'(4>)\ lím e 50 0 U^0+

; lím {/(</>)(p~*oo

25. Como las integrales son operadores lineales obtenemos el resultado.

27 . (U*V)*W =

C4>U(t)V((¡) — t)dt\ W{x — <¡)) d(j)

V{6 - t)W{x - <t>) d<t>) U(t) dt

X U(t){^X 1 V {s)W (x-t-s)d s)dt

U*(V*W ) haciendo s = sen a<¡)/(2a)5. (1 — cos a<t>)/a2

7. cos \/Sa J /3a2

9 . sena(<¡> — b) H((¡) — b)/a 11. 2/3 /r( l /3)13. (e60 - ea4,)/)/2<t>17.19. U,{<¡>) =2 1 . { [a

i2 + 04 / 1 2+ c{a + 1 )] cos <p +

seno — ae—<20}/(«2 + 1)

23* + e 0 ) = cosh i25. Tratando a x como parámetro se

tiene

s- wa - a2d 2 x

Usando el método de variación de parámetros de las ecuaciones diferenciales obtenemos

u(x, s) = Clesx/a + c2e~sx/a

x ñ y ) s e n h ± ^ y } dy 0 a

con condiciones en la frontera

« ( 0,s ) = 0, lím u(x, s) = 0.

Por tanto, c 1 = c 2 - 0 , así que

' U(x, t) =

£ —1 í — 1 T / ( y ) senha JO

d2u ¡l du s27 . — + — — — — u - 0 tiene la

dx2 S dx S

RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES

soluciónu = Ci g(-M+\/MJ+4i6x)/26 +C2 e ( - n - \ f ¡ j^ + ^ s í x ) ¡2 5

con las condiciones en la frontera

m(0 ,s) = - ,

l + 4 y dy

A .81

5 . - 1

(13)5/2 _ 4 (13)3/220

lím u(x, s) = 0 .

Por tanto, cj = 0, c2 = —c/s y

ce - I J x /2 8 (-x ¡ s /Z )\/s + ¡A /46

así que por el teorema de convolu- ción y el primer teorema del corrimiento

ce-nx/26 £ { ! } £

g- ( M 2 í + x 2/ f ) / 4 6

Entonces,

u(jc, í) =

2

ce- W 2«

t - 3 / s e - (M 2f + x 2/ í ) /4 6

APÉNDICE A.3

1. 2 \/2

7. 148.75 9. 0

11. Por el teorema de Green

jcdy — y<¿>c =

-H L U - ( - l ) ) d jc d y = ¿

13. Por el teorema de Green

pdy + qdx =

15.

ip x - 9 y ) =

- 4 y 2d x = A yJ y

i =-ÍLxdxdy =n

—1 J x 2 dy = —Ax

297

- 1 1

ÍNDICE

Con el número que se anota en cada término se indica la página en que éste se define.

Abel, teorema de, 111 Abierto, conjunto, 21 Absoluto, valor, 9 Acotado, conjunto, 21 Acumulación, punto de, 20 Aditiva(o)

identidad, 2 inverso, 2

Aislada(os), 105 singularidad, 121

Amplificación, transformación de, 167 Amplitud, 54 Analítica

continuación, 125, 127 función, 32 global, función, 129

Antiderivadade una función analítica en un disco, 92 teorema de la, 94

Apolonio, círculos de, 224 Arco

de Jordán, 62 longitud de, 78 simple, 62suave por partes (spp), 62 suave, 62

Argumento, 10 principio del, 156

Armónica, funciones, 207 Asociativas, leyes, 2

Bemoulli, teorema de, 185 Bessel, función de, 121 Bidimensional, 178 Bilineales, transformaciones, 205 Binomial, teorema, 8, 108 Biyección, 25

Cadena, regla de la, 33 Calor, flujo de, 194 Campo, axiomas de, 2 Cardano, 1Cargas, sistema de, 196 Carleson, L ., 258 Cauchy

convergencia de, 146 estimación de, 86 fórmula integral de, 80 teorema de, 72, 96 teorema de, para derivadas, 82, 97 valor principal de, 146

Cauchy-Goursat, teorema de, 90

299

300 ÍNDICE

Cauchy-Riemann, ecuaciones diferenciales de, 34

Cavitación, 185 Cerrado(a)

conjunto, 21 curva, 62

Cerradura (de un conjunto), 24 Circulación (del campo), 179, 196 Compleja, exponencial, 4 Complejo(s)

conjugado (véase Conjugado, complejo) números, 2 plano, 5potencial (del flujo), 180, 194, 196

Complemento, de un conjunto, 20 Condensador, 201Conductividad térmica, coeficiente de, 194 Conductor (contornos), 197 Conexo(a)

conjunto, 21múltiplemente (región), 79 simplemente, 23

Conforme, mapeos, 161 Conjugada(o)

armónica, 208 complejo, 6

Conmutativas, leyes, 2 Continua, función, 27 Converge (una serie), 101 Convergencia

radio de, 110 semiplano de, 241 uniforme (de series), 108

Convergente, absolutamente, 101 Convexa, región, 166 Convolución (de funciones), 246 Corriente

función, 180 líneas de, 180, 195

Corrientes libres, líneas de, 202 Corrimiento

primer teorema de, 243 segundo teorema de, 243

Coseno, función, 44 Cruzada, razón, 172

Chorro, flujo de, 204

De Moivre, teorema de, 13 Derivación de Laplace, propiedad de, 245

de la transformada, 245 Derivada

de una función compleja, 32 por un lado, 232

Derivada (Continuación) nula, teorema de la, 38

Dipolo, 225momento del, 225

Directriz, 16 Dirichlet

el problema de, 212 integral de, 77

Distributivas, leyes, 2 Diverge (una serie), 101 Doblete (puntual), 224 Dominio, 21Duhamel, fórmulas de, 247

Electrostático, campo, 196 Elementos, 125 Elipse, 15Enestrom-Kakeya, teorema de, 19 Entera, función, 32 6-vecindad, 19Equipotenciales, líneas, 180, 196 Esenciales, singularidades, 122 Estacionario, 178 Estancamiento, puntos de, 181 Estela (en un flujo de fluidos), 202 Estereográfica, proyección, 23 Exponencial

compleja (véase Compleja, exponencial) orden, 241

Exteriorángulo, 187 conjunto, 20 de la curva (región), 63

Extremos (de una curva), 62

Fase, corrimiento de, 54 Fijos, puntos, 170 Fluidos, flujo de, 178

incompresible, 178 Flujo

como chorro, 204 de calor, 194 estacionario, 178 irrotacional, 179

Foco, 16 Fourier

coeficiente de, 229 ley de, 195 serie de, 229 teorema integral de, 237 transformada de, 237

par de la, 237

ÍNDICE 301

Fraccional lineal, transformación, 166 Frecuencia, 54 Fresnel, integrales de, 77 Frontera (de un conjunto), 20 Fuentes (o sumideros),

de potencia, 221 de una región, 179, 221

Fuerza, función (véase Función fuerza) líneas de, 190

Funciónanalítica, 32 analítica global, 128 armónica, 207 compleja, 24 continua, 27 corriente, 180 de Bessel, 121 de Heaviside, 240 de transferencia, 247 entera, 32 fuerza, 196 gamma, 131 hiperbólica, 46 holomorfa, 32, 59 impulso, 150 meromorfa, 122 multivaluada, 48 potencia, 50 potencial, 180 regular, 59

Funciones trigonométricas complejas, 44 Fundamental, teorema, 95

Gamma, función, 131, 155 Gauss, 1

ley de, 196teorema de, del valor medio, 86

Geométrica, serie, 102 Gradiente, 195 Green, teorema de, 71, 273

Hadamard, fórmula de, 110 Harnack, desigualdad de, 218 Heaviside, función de (véase Función de

Heaviside)Hipérbola, 17Hiperbólicas complejas, funciones, 46 Hodógrafa, región, 203 Holomorfa, función (véase Función

holomorfa)

Imagen, conjunto, 25 Imaginaria, 5

Imaginaria (Continuación) parte, 5 unidad, 5

Impulso, función (véase Función impulso) Incompresible, 178 Infinito, 23

punto al, 23 Intensidad (de una fuente vórtice), 222 Interferencia

efectos de, 54 franjas de, 54

Interior, 20de la curva (región), 63 y del exterior, teorema del, 136

Inversiónfórmula de (para transformada de

Laplace), 250 transformación de, 167, 237

Inyecciones, 25Irrotacional, flujo (véase Flujo irrotacional) Isotermas, 195

Jacobiano, 165 Jordán

arco de, 62 curva de, 62 teorema de la, 63

Joukowsky, perfil de, 22

Katznelson Y., teorema de, 258

Lagrange, identidad de, 19 Laguerre, polinomios de, 98 Laplace

ecuación de, 207 transformada de, 241

de dos lados, 240 Laurent

serie de, 116 teorema de, 116

Legendre, polinomio de, 85 Lemniscatas, líneas, 223 L ’Hospital, teorema de, 114 Límites, 27

por un lado, 232 reglas de, 28

Línea, integral de, 64, 267 Liouville, teorema de, 87 Logaritmo, 47Looman-Menchoff, teorema de, 59

Maclaurin, serie de, 104 Magnitud (véase Módulo)

ÍNDICE

Mapeo(s), 25 conformes, 161

Máximo, principio del, 87, 210 Maxwell, ecuaciones de, 58 Menchoff, 35Meromórfica, función, 122 Mínimo, principio del, 88 Mittag-Leffler, teorema de, 131 Mobius, transformaciones de, 205 Módulo (o magnitud), 9 Monodromía, teorema de la, 128, 131 Monogénica, función, 59 Morera, teorema de, 83 Múltiplemente, conexa (véase Conexa,

múltiplemente)Multiplete (puntual, o multipolo), 228

orden de un (véase Orden de un multiplete)

Multiplicativa(o) identidad, 2 inverso, 2

Multivaluadas, funciones, 150 Multivaluado, argumento, 48

Natural, frontera, 130 No acotado, conjunto, 21 Noshiro-Warshawski, teorema de, 166 Números

complejos, 2 reales, 2

Ondaecuación de, 54 longitud de, 56

Ordende un multiplete, 228 de un polo, 121 del cero, 105 exponencial, 241 punto de ramificación de, 130

Origen (del sistema coordenado), 5

Parábola, 16Paralelogramo, ley del (para la suma

vectorial), 3 Parseval, identidad de, 231, 240 Picard, teorema de, 123, 131 Plano complejo extendido, 23 Poisson

fórmula integral de, 214 núcleo de, 72 teorema de, 215

Polar, representación, 11

Polos, 121Por un lado, límites (véase Límites por un

lado)Positivo, sentido, 63 Potencia, función, 50 Potencial, función, 180, 196

campo de, 196 Principal,

rama, 49 valor, 10, 49, 146

Pringsheim, teorema de, 131 Punto, 20 Puntual

fuente (o sumidero), 221 vórtice, 222

Ramificación, 43 cortes de, 43 logaritmo, 47principal (rama o ramificación), 49 puntos de, 43, 130

Rápida de Fourier, transformada, 235 Rapidez, 184 Razón, prueba de la, 115 Real, parte, 5 Reales, números, 1Reglas de límites (véase Límites, reglas de) Regulares, puntos, 129 Removibles, singularidades, 121 Residuo, teorema del, 133 Riemann

del mapeo, teorema de, 164 esfera de, 23 superficie de, 43 teorema de, 96

Rotación, transformación de, 167 Rouche, teorema de, 157

Schwarzfórmula de, 219 principio de reflexión de, 131 tema de, 89

Schwarz-Cristoffel fórmula de, 187 transformación de, 187

Seno, función, 44 Serie(s), 101

de Fourier, 229 de Maclaurin, 104 de Laurent, 116 de Taylor, 102 geométrica, 56, 102

Simetría, principio de, 173

ÍNDICE 303

Simple, arco (véase Jordán, arco de) Simplemente conexa, región, 23 Singularidades (aisladas), 121, 129 Sinusoidales, ondas, 54 Snell, ley de, 58 Sobre, función, 25spp (suave por partes) (véase Arco, suave

por partes)Suave

arco, 62por partes, arco (o función), 62, 232

Suma (de la serie), 102 Sumideros (véase Fuentes)Suryecciones, 25

Tartaglia, método de, 8 Taylor

serie de, 102 teorema de, 103

Temperatura, 195 Teorema fundamental

del álgebra, 1, 88, 90 del cálculo, 61, 66, 95

Transferencia, función de, 247 Traslación, transformación de, 167 Tres círculos, teorema de los, 89

Triángulo, desigualdad del, 10

Unidad, raiz de la, 19 Univaluado, argumento, 48 Uno a uno, función, 25

localmente (mapeo), 163

Valor, 10, 49, 146 Valor medio

del área, teorema del, 218 teorema del, 210

Valores en la frontera, problema con, 211 Variable compleja, 24 Variación (del argumento), 156 Vector, 3Velocidad, vector, 179 Vórtice(s),

campo plano de, 222 fuente, 222

Wallis, fórmula de, 98 Weierstrass, teorema de, 108, 131 Weierstrass-Casorati, teorema de, 123

Zhukovski, (véase Joukowski)

La impresión de esta obra se realizó en los talleres de:

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Marzo 2002

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