Ch17_1

Contents

• Bilangan Kompleks• Pangkat dan Akar• Himpunan pada Bidang Kompleks • Fungsi Variabel Kompleks• Persamaan Cauchy-Riemann • Fungsi eksponensial dan Logaritma• Fungsi Trigonometri dan hiperbolik • Fungsi Inverse Trigonometri dan hiperbolik

Ch17_2

17.1 Complex Numbers

z = x + iy, the real number x is called the real part and y is called the imaginary part:

Re(z) = x, Im(z) = y

A complex number is any number of the z = a + ib where a and b are real numbers and i is the imaginary units.

DEFINITION 17.1 Complex Number

Ch17_3

x + iy = 0 iff x = 0 and y = 0.

Complex number and areequal, , if and

DEFINITION 17.2 Complex Number

111 iyxz 222 iyxz

21 zz )Re()Re( 21 zz )Im()Im( 21 zz

Ch17_4

Arithmetic Operations

22

22

21212

22

2

2121

2

1

2121212121

212121

212121

222111

)()()()()()(

, Suppose

yxyxxyi

yxyyxx

zz

yxxyiyyxxzzyyixxzzyyixxzz

iyxziyxz

Ch17_5

Complex Conjugate

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2 2

Suppose , , andz x iy z x iy

z z z z

z z z z

z z z z

z zz z

Ch17_6

Two important equations

(1)

(2)

(3)

and izzzzzz

2)Im(,

2)Re(

xiyxiyxzz 2)()(

22222))(( yxyixiyxiyxzz

iyiyxiyxzz 2)()(

Ch17_7

Contents

• Bilangan Kompleks• Pangkat dan Akar• Himpunan pada Bidang Kompleks • Fungsi Variabel Kompleks• Persamaan Cauchy-Riemann • Fungsi eksponensial dan Logaritma• Fungsi Trigonometri dan hiperbolik • Fungsi Inverse Trigonometri dan hiperbolik

Ch17_8

Bentuk Geometrik, bilangan kompleks z

Gambar 17.1 disebut bidang kompleks x-y dan bilangan kompleks z dinyatakan sebagai vektor posisi

Ch17_9

Modulus atau absolut nilai z = x + iy, dinyatakan Oleh │z│, adalah bilangan nyata

DEFINITION 17.3Modulus atau Nilai Absolute

zzyxz 22||

Ch17_10

Example 3

Jika z = 2 − 3i, maka

Seperti pada Gambar 17.2, jumlah dari vektor z1 dan z2 adl vektor z1 + z2. maka

(5)Hasil pada (5) juga dikenal sebagai ketidaksamaan segitiga dan menjangkau setiap penjumlahan berhingga :

(6)dengan (5),

13)3(2 22 z

2121 zzzz

(7) )(

2121

221221

zzzzzzzzzz

nn zzzzzz ...... 2121

Ch17_11

Fig 17.2

Ch17_12

17.2 Pangkat dan Akar

Bentuk Polar dari Fig 17.3,

z = r(cos + i sin ) (1)dimana r = |z| adl modulus dr z dan adl argumen dr z, = arg(z). Jika adl didlm interval − < , ini disebut argumen prinsip/utama, ditulis dgn Arg(z).

Ch17_13

Fig 17.3

Susunan bilangan kompleks z = x + iy dibentuk oleh pasangan bilangan real (x, y) yg tdr dr bagian real dan imajiner, contoh

•pasangan bilangan (2, -3) bilangan kompleks z = 2 - 3i.•Bilangan angka 7, i, dan-5i (7, 0), (0, 1), (0, -5),

bilangan kompleks z = x + iy dengan titik (x, y) dalam bidang koordinat , z.

Vektor • komponen bilangan kompleks dapat diartikan sbg komponen dari vektor• bilangan kompleks z = x + iy sbg vektor posisi dua dimensi, yi. vektor yg berawal dari

titik asal dan berakhir di titik terminal (x, y). • panjang jarak vektor, z dari titik asal ke titik terminal (x, y) disebut modulus.

Definisi Modulus

Sifat bilangan kompleks, z = x + iy

1.

2.

3.

Polar Form of Complex Numbers

calculator will give only angles satisfying

We have to choose θ consistent with the quadrant in which z is located

angles in the first and fourth quadrants.

Ch17_17

Example 1

Solution Dari Gambar 17.4 bahwa titik terletak pada kuadran keempat.

form.polar in 31 Express i

35sin

35cos2

35)arg(,

13tan

23131

iz

z

izr

Ch17_18

Example 1 (2)

In addition, choose that − < , thus = −/3.

)

3sin()

3cos(2 iz

Ch17_19

Fig 17.4

Bentuk polar dari Bilangan kompleks

Argumen z, sudut

argument θ bil. Kompleks yg terletak di dlm interval −π < θ ≤ π disebut nilai prinsip (principal value ) dari arg(z) atau argumen prinsip dari z, ditulis

For example, if z = i, in Figure 1.9 that some values of arg(i) are π/2, 5π/2, −3π/2, and so on, but Arg(i) = π/2

Argumen dari terletak di dlm interval (−π, π), argumen prinsip z adalah Arg(z) = π/6 − π = −5π/6. dengan menggunakan Arg(z) diperoleh bentuk polar bil. kompleks

Ch17_23