Plakans vilnis

Plakanu vilni, kurš izplatās patvaļīgā virzienā,

varam uzrakstīt šādi:

,tiru

tiikrrkrtrtr oo

)]exp()(Re[

)]exp()exp()(Re[)cos()(),(

kur lielumu )exp()()( ikrrru o

sauc par gaismas viļņa komplekso amplitūdu.

Plakans vilnis

viļņa

fronte ir

plakne

Plakana viļņa kompleksā amplitūda

Dekarta koordinātu sistēmā:

)](2exp[)]coscoscos

(2exp[

)]coscoscos(exp[),,(),,()(

zyxizyxa

i

zyxikzyxzyxuru

oo

o

z

x

k

z = 1/

x = 1/

)exp()()( ikrrru o

Telpas frekvences

Lielumus , un sauc par

telpas frekvencēm, un to

mērvienība parasti ir (mm-1).

z

x

k

z = 1/

x = 1/

Telpas frekvences ir apgriezti proporcionālas gaismas viļņa

periodiem, izmērītiem uz atbilstošajām koordinātu asīm. Tās

raksturo viļņa izplatīšanās virzienu attiecībā pret koordinātu

sistēmu

cos;

cos;

cos

)](2exp[),,( zyxizyxu o

Gaismas difrakcija

Viļņu lauka amplitūda novērošanas plaknē x’y’ ir atkarīga no:

viļņu lauka amplitūdas apertūras plaknē xy ;

slīpuma koeficienta (raksturo leņķis );

attāluma līdz novērošanas plaknei x’y’ .

Difrakcijas integrālis

Pieņemot, ka r x, y, x’, y’ , varam pierakstu

vienkāršot:

dxdyr

eyx yxyxyx

ikr

apert

)',',,(),()','('.

dxdyeyxz

Kyx ikr

o

),()','('

Turpinām pārveidot:

,)''(2

1)'()'2

1

22

22

21

222

R

yyxx

R

yxRzyyxxr o

kur 2

1222 )''( ozyxR

Vienkāršojumi

Tā kā arī R >> x, y, x’, y’, tad izteiksmi zem

kvadrātsaknes var izvirzīt rindā:

...8

1

2

11)1( 22

1

... un atstāt tikai rindas pirmos divus saskaitāmos. Līdz

ar to attālums no apertūras līdz novērošanas plaknei:

R

yyxx

R

yxRr

''

2

22

,)''(2

1)'()'2

1

22

22

21

222

R

yyxx

R

yxRzyyxxr o

Freneļa un Fraunhofera difrakcija

Atkarībā no tā,

vai

2

aDz

tālā zona

(Fraunhofera difrakcija)

2

aDz

tuvā zona

(Freneļa difrakcija)

z

R

yyxx

R

yxRr

''

2

22

R

yxk1

2

)( 22

vai arī ,

R

yxk1

2

)( 22

tiek runāts par Freneļa vai par Fraunhofera difrakciju.

Skaitlisks novērtējums

Nosacījumi difrakcijai tuvajā un tālajā zonā iegūstami,

apertūras (cauruma) diametru apzīmējot ar Da, pie kam x2 + y2 Da2/4;

viļņu skaitli k izsakot ar gaismas viļņa garumu: k = 2/.

Ja cauruma diametrs Da 0,5 mm, bet gaismas viļņa garums = 0,5 m, tad

Da2 /4 50 cm

dxdyeyxz

Kyx ikr

o

),()','('

2

aDz

tālā zona

(Fraunhofera difrakcija)

2

aDz

tuvā zona

(Freneļa difrakcija)

z

2

aDz

tālā zona

(Fraunhofera difrakcija)

2

aDz

tuvā zona

(Freneļa difrakcija)

z R

yyxx

R

yxRr

''

2

22

Telpas frekvences un difrakcija

Mainīgie un ir ar

dimensiju “(attālums)-1” un

raksturo viļņu noliekšanos

difrakcijas rezultātā:

R

x'sincos

Furjē optikā un hologrāfijā

lielumus

un sauc par telpas

frekvencēm.

Fraunhofera difrakcija

Viļņu lauka amplitūda tālajā zonā, pieņemot, ka z0 R,:

.

.

.

)](2exp[),(~

)]''(2

exp[),(

)''

exp(),()','('

apert

aaaaaa

apert

aaaaaa

ikR

apert

aaaa

aa

ikR

dydxyxiyx

dydxyyxxR

iyxR

Ke

dydxR

yyxxikyx

R

Keyx

Secinājums:

viļņu lauka amplitūdas sadalījums ekrāna plaknē, kurš

novietots tālajā difrakcijas zonā, ar precizitāti līdz

konstantam koeficientam ir apertūras funkcijas Furjē

transformācija.

Difrakcija šaurā spraugā

b

bbF

)sin()(

f(x)

+b/2 -b/2 x

citur visur 0

2

bx

2

b ja 1,

f(x)

Difrakcija šaurā spraugā

Gaismas amplitūdas sadalījums aprēķināms divējādi:

1) izmantojot skalāro difrakcijas teoriju;

2) aprēķinot Furjē transformāciju spraugas

funkcijai.

)(sin)( bcb

a

Minimuma nosacījums:

... ,2 1m , ,mb

no kurienes seko:

mb sin

sincos

Difrakcija apaļā caurumā

Amplitūdas sadalījumu difrakcijas

ainā apraksta Besseļa funkcija,

kuras vērtības iespējams aprēķināt

tikai ar skaitliskām metodēm

dveJ vi

2

0

cos

02

1)(

Plāna lēca

Plānu savācējlēcu novietojot plaknē xy, tiek

izmainīta krītošā viļņa fāze

. F

,FF2

2)( 222

Neievērojot lēcas

biezumu,

F

sfērisks

vilnis

z

plakans

vilnis

x

. yx 222

Fāzes izmaiņa

Krītošā viļņa fāzes izmaiņa, ko rada lēca,

izsakāma šādi:

. F

yxk

2

2 22

Novietojot lēcu apertūras plaknē xa,ya , tā rada papildus

fāzu nobīdi:

. )F

yxii aa

2

2exp()exp(

22

.

Mīnusa zīme norāda, ka sfēriskais vilnis ir nevis izklīstošs,

bet – saejošs.

Ievietojam šo fāzes reizinātāju difrakcijas izteiksmē un

ievērojam, ka z0 = F.

Viļņu lauks lēcas fokālajā plaknē

Iegūstam izteiksmi viļņu lauka amplitūdai lēcas

fokālajā plaknē:

.

.

2222

.

)''

exp(),(

)]''

2(exp[)

2exp(),(

),()','('

apert

aaaa

aa

ikF

apert

aaaaaaaa

aa

apert

aa

ikri

aa

o

dydxF

yyxxikyx

F

Ke

dydxF

yyxx

F

yxFik

F

yxikyx

F

K

dydxeeyxz

Kyx

Viļņu lauks lēcas fokālajā plaknē

Pārveidojot mainīgos:

)],(2exp[)]''

(2exp[)''

exp( aaaaaa yxiy

F

yx

F

xi

F

yyxxik

izteiksme vienkāršojas:

.

)](2exp[),(~)','('apert

aaaaaa dydxyxiyxyx

Secinājums: viļņu lauka amplitūdas sadalījums lēcas fokālajā

plaknē ar precizitāti līdz konstantam koeficientam ir apertūras

funkcijas (objekta) Furjē transformācija.