valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p corso di tecnica delle costruzioni ii -...
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Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06
a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006
PERDITE DI TENSIONE ISTANTANEEPERDITE DI TENSIONE ISTANTANEE
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06
a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006
Cadute di tensione Istantanee
Post-Tensione
Pre-Tensione
Rientro dei blocchi di ancoraggio in testata
Attrito tra cavi e guaina
Riduzione dello sforzo N0 di tiro per effetto della deformazione elastica della trave
TRAVE PRE-TESATRAVE PRE-TESAPerdite di tensione a causa della deformazione Perdite di tensione a causa della deformazione
elasticaelastica
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a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006
Lo sforzo N0 di tiro registrato ai martinetti non sarà mai applicato all’elemento precompresso (ovvero dopo il taglio dei trefoli), che vedrà su di esso applicato sin dal disarmo direttamente lo sforzo ridotto Nd=N0-N (sforzo al disarmo)
psc
d
AElN
AE
lN
A
AnN
AE
AENN p
dc
ps
d
Per congruenza deve aversi che
AE)AA(nAE
NN
)AA(nA
nANN
)AA(nAnAA
NAnA
ANNNN s
pscc
00
psc
p00
psc
sc0
p00d
Da cui si può valutare la relazione tra la caduta di tensioni dovuta alla deformazione elastica e lo sforzo al disarmo Nd:
Da cui può determinarsi quest’ultimo in funzione dello sforzo normale iniziale N0:
Consideriamo il caso di cavo di precompressione centrato.
TRAVE PRE-TESATRAVE PRE-TESAPerdite di tensione a causa della deformazione Perdite di tensione a causa della deformazione
elasticaelastica
ps0,c0d AENN
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)AA(nA
N
nAA
N
psc
0
sc
dc
0,c0p
dd n
A
N
In termini di tensione di trazione nel trefolo all’atto del disarmo si ha:
In generale, allora, nel caso di trefoli eccentrici si può calcolare la tensione nel trefolo sottraendo da quella al tiro il valore della caduta di tensione dovuto alla deformazione della fibra di calcestruzzo al livello del trefolo:
Quanto al calcestruzzo le tensioni possono essere calcolate indifferentemente considerando lo sforzo normale al disarmo Nd agente sulla sezione omogeneizzata di calcestruzzo ed armatura “dolce”, ovvero lo sforzo normale al tiro N0 agente sulla sezione trasversale alla quale siano state omogeneizzate anche i trefoli di precompressione:
j
1
minj
1
00
1
0spispi y
I
My
I
eN
A
Nn'
La seconda possibilità è operativamente più conveniente e nel caso di sforzo di precompressione eccentrico porta alla relazione:
- e0: eccentricità cavo risultante;- yj: eccentricità trefolo j-esimo;
yW
My
IeN
AN
ys
min
1c
11
00
TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione dovute al rientro degli Perdite di tensione dovute al rientro degli
apparecchiapparecchi
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Consideriamo la possibilità che si abbia un rientro degli apparecchi in testata. Ad esempio un rientro di 2 mm su di una trave di 10 m:
Effetto della trazione dei cavi in fasi successive. Consideriamo una
trave precompressa con tre cavi posti tutti alla stessa quota ed immaginiamo
che ciascuno di essi provochi nella sezione più sollecitata in fase di tiro
una tensione nel calcestruzzo sulla fibra al livello dei cavi di 8 N/mm2; allora la
tesatura del secondo provoca sul primo una perdita di tensione (per
deformazione elastica): MPa 48868
EE
nc
scem
032.0000.190/200.1
000.10/2
spi
ra
spi
ra
TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione dovute all’attrito cavo-Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-
guainaguaina
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r
N N+dN
d
pn
tp
Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore
dN d, vale dN2)d2(rpn r
Npn
rN
fpfp nt
Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo:
)dNN(drpN t dfNdN
feNN 0
La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare per la valutazione delle cadute di tensione
istantanee:
)z(f1NN A,0B,0
cls-cavo 5.0
guaina-cavo 3.0f rad/m 01.0
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -
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TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -
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sez cavo xi
[cm]1 1600
1 2 16003 1600
1 15002 2 1500
3 1500
1 14003 2 1400
3 1400
1 700
4 2 700
3 700
1 0
5 2 0
3 0
1 2 3
4 5
yi ei
[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00
125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48
111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41
42.97 66.03
29.14 79.86
23.40 85.60
20.00 89.00
10.00 99.00
10.00 99.00
tgi
i sen
i cosi
0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962
0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967
0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971
0.0656 0.0655 0.0655 0.9979
0.0547 0.0546 0.0546 0.9985
0.0383 0.0383 0.0383 0.9993
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
spi
(i) N0i Ni Ti
[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548
N0,i
)j(p
)j(spi
)j( AN i,0
i)j()j( cosNN i,0i
i)j(
i)j()j(
i,0i,0i NsinNT
11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559
11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572
11669 130450 130170 8542
11718 174653 174393 9537
11792 175754 175626 6723
11415 127885 127885 0
11501 171791 171791 0
11632 173737 173737 0
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -
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sez cavo xi
[cm]1 1600
1 2 16003 1600
1 15002 2 1500
3 1500
1 14003 2 1400
3 1400
1 700
4 2 700
3 700
1 0
5 2 0
3 0
1 2 3
4 5
yi ei
[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00
125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48
111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41
42.97 66.03
29.14 79.86
23.40 85.60
20.00 89.00
10.00 99.00
10.00 99.00
tgi
i sen
i cosi
0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962
0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967
0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971
0.0656 0.0655 0.0655 0.9979
0.0547 0.0546 0.0546 0.9985
0.0383 0.0383 0.0383 0.9993
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
spi
(i) N0i Ni Ti
[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548
MPa 3.1196
z01.01397.01489.0f11200
zf1 )1()2()1()2(spispi
Sezione n.2
11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559
11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572
11669 130450 130170 8542
11718 174653 174393 9537
11792 175754 175626 6723
11415 127885 127885 0
11501 171791 171791 0
11632 173737 173737 0
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -
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sez cavo xi
[cm]1 1600
1 2 16003 1600
1 15002 2 1500
3 1500
1 14003 2 1400
3 1400
1 700
4 2 700
3 700
1 0
5 2 0
3 0
1 2 3
4 5
yi ei
[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00
125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48
111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41
42.97 66.03
29.14 79.86
23.40 85.60
20.00 89.00
10.00 99.00
10.00 99.00
tgi
i sen
i cosi
0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962
0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967
0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971
0.0656 0.0655 0.0655 0.9979
0.0547 0.0546 0.0546 0.9985
0.0383 0.0383 0.0383 0.9993
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
spi
(i) N0i Ni Ti
[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548
N0 e0 y
[kg] [cm] [cm]
486984 1.80 107.20
486343 13.24 95.76
485676 23.95 85.05
480188 78.21 30.79
473413 96.30 12.70
j)j(
00 NN
j
)j(0
j)j(
0)j(
00
N
eNe
0i,G eyy
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06
a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006
Effetti del ritiro del calcestruzzoEffetti del ritiro del calcestruzzo
Effetti del fluage del calcestruzzoEffetti del fluage del calcestruzzo
00030.0r
00025.0r
valori della deformazione
[MPa] 8.48000.19500025.0r
[MPa] 5.58000.19500030.0r
(applicazione dopo i 14 gg)
(applicazione prima di 14 gg)
La fibra di calcestruzzo posta a distanza ei dal baricentro (ed in corrispondenza del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta alla seguente tensione per effetto dei carichi permanenti:
I
eM
I
eeN
AN i
*i
i,c00
c
i,ci,e
c
i,ci,e
i,ei,v
E0.20.2
E3.23.2
i,ci,vpi,v nE
[MPa] 8f9500E 3/1ckc
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
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a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006
Effetti del rilassamento dell’acciaioEffetti del rilassamento dell’acciaio
Se l’armatura da pretensione viene inizialmente sollecitata a livelli superiori al 50% della tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che, a deformazione imposta costante, la tensione si riduce nel tempo.
Tipo di armatura r fili trafilati 0.15
spi
Trecce 0.20spi
Trefoli 0.18spi
barre laminate 0.12 spi
r
ptk
spiril
2
5.0f
16
Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage le armature di precompressione non hanno una deformazione imposta costante; pertanto la caduta di tensione per rilassamento risulta minore e valutabile come segue:
rilspi
vrril
)(5.21
Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito;
Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo);
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI- esempio numerico: sezione di mezzeria -- esempio numerico: sezione di mezzeria -
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Bozza del 4/05/2006
MPa 0.6020000000030.0r
MPa 23.14698.103.279.5σΔ )1(v
MPa 41.3353.114118.05.01900
53.114116σΔ
2)1(
ril
MPa 32.1841.3352.1141
23.1460.605.21'σΔ )1(
ril
kN 28.102232.1823.14600.6053.11411115N )1(
kN 6773NNj
)j( 29.137674843
NN
β 0
n= 5.79
r= 0.0003 = 2.3
EP= 2000000 kg/cm2
Cavo n°1:e1= 89.00 cm
sspi
(1)= 1141.53 MPas
c= 10.98 MPa AP(1)= 11.15 cm2
Dsr(1)= 60.00 MPa Ds
sp(1)= 224.55 MPa
Dsf(1)= 146.23 MPa s
sp(1)= 916.98 MPa
Dsril
(1)= 33.41 MPa N(1)= 1022.28 kNDs
ril' (1)= 18.32 MPa
Cavo n°2:e2= 99.00 cm
sspi
(2)= 1150.12 MPas
c= 11.40 MPa AP(2)= 14.86 cm2
Dsr(2)= 60.00 MPa Ds
sp(2)= 231.68 MPa
Dsf(2)= 151.86 MPa s
sp(2)= 918.44 MPa
Dsril
(2)= 36.74 MPa N(2)= 1365.18 kNDs
ril' (2)= 19.82 MPa
Cavo n°3:e3= 99.00 cm
sspi
(3)= 1163.17 MPas
c= 11.40 MPa AP(3)= 14.86 cm2
Dsr(3)= 60.00 MPa Ds
sp(3)= 234.83 MPa
Dsf(3)= 151.86 MPa s
sp(3)= 928.34 MPa
Dsril
(3)= 42.17 MPa N(3)= 1379.91 kNDs
ril' (3)= 22.97 MPa
CONCLUSIONICONCLUSIONI
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06
Bozza del 4/05/2006
Nella presente unità didattica sono state esposte le problematiche relative alla valutazione delle cadute di tensioni istantanee e differite nelle travi precompresse. La valutazione esplicita delle cadute di tensione è stata valutata con riferimento alle cadute istantanee per attrito tra cavo e guaina o calcestruzzo, caratteristiche del sistema ad armature post-tese.La valutazione degli cadute di tensione per effetti differiti è stata, invece, condotta sia per il caso di sistema pre-teso che post-teso considerando le prescrizioni della normativa italiana.Anche se non mostrato esplicitamente, il calcolo delle cadute di tensione per effetti differiti condotto nella sezione di mezzeria deve essere effettuato anche nelle altre 4 sezioni di controllo seguendo un procedimento analogo. I risultati sono riassunti nelle due tabelle precedenti.
RISULTATI NUMERICIRISULTATI NUMERICI- Cadute di tensione istantanee -- Cadute di tensione istantanee -
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Bozza del 4/05/2006
sez cavo xi yi ei tgai
ai sena
i cosai
sspi
(i) N0i N0icosi N0isin
i N0 e0 y
[cm] [cm] [cm] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]
1 1600 140.00 -31.00 0.1500 0.1489 0.1483 0.9889 12000 133780 132300 198451 2 1600 110.00 -1.00 0.1250 0.1244 0.1240 0.9923 12000 178370 176993 22124 486984 1.80 107.20
3 1600 80.00 29.00 0.0875 0.0873 0.0872 0.9962 12000 178370 177691 15548
1 1500 125.47 -16.47 0.1406 0.1397 0.1393 0.9903 11963.3 133371 132072 185732 2 1500 97.89 11.11 0.1172 0.1167 0.1164 0.9932 11968.7 177904 176695 20706 486197 13.24 95.76
3 1500 71.52 37.48 0.0820 0.0818 0.0818 0.9967 11976.9 178026 177430 14555
1 1400 111.88 -2.88 0.1313 0.1305 0.1301 0.9915 11926.7 132963 131832 173033 2 1400 86.56 22.44 0.1094 0.1089 0.1087 0.9941 11937.4 177439 176388 19292 485384 23.95 85.05
3 1400 63.59 45.41 0.0766 0.0764 0.0763 0.9971 11953.7 177682 177164 13564
1 700 42.97 66.03 0.0656 0.0655 0.0655 0.9979 11669.2 130092 129813 8519
4 2 700 29.14 79.86 0.0547 0.0546 0.0546 0.9985 11717.8 174176 173916 9511 478876 78.21 30.79
3 700 23.40 85.60 0.0383 0.0383 0.0383 0.9993 11791.8 175276 175147 6705
1 0 20.00 89.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11415.3 127261 127261 0
5 2 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11501.2 170955 170955 0 471112 96.30 12.70
3 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11631.7 172896 172896 0
RISULTATI NUMERICIRISULTATI NUMERICI- Cadute di tensione per effetti differiti -- Cadute di tensione per effetti differiti -
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06
Bozza del 4/05/2006
M* sc(i) Ds
r(i) Ds
v(i) Ds
ril(i) Ds
ril'(i) Ds
diff(i) s
sp(i) Ni Nicos
i Nisini N0 e0 y
[kgcm] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]
73.95 600.00 985.24 598.34 400.73 1985.97 10014.03 111639.7 110405 165610 74.58 600.00 993.65 598.34 399.68 1993.33 10006.67 148740.8 147095 18449 404487 1.71 107.29 1.20
75.21 600.00 1002.05 598.34 398.64 2000.69 9999.31 148631.4 146987 12956
73.26 600.00 976.12 579.15 388.40 1964.52 9998.83 111470.3 110384 155233366600 75.30 600.00 1003.25 581.92 387.04 1990.29 9978.39 148320.4 147312 17263 405260 13.20 95.80 1.20
77.25 600.00 1029.19 586.18 386.84 2016.02 9960.83 148059.5 147564 12105
74.00 600.00 985.96 560.33 374.06 1960.02 9966.71 111112.2 110167 144596516000 77.11 600.00 1027.37 565.78 372.95 2000.32 9937.07 147706.3 146831 16060 403939 23.89 85.11 1.21
79.93 600.00 1064.94 574.17 374.24 2039.19 9914.55 147371.5 146941 11250
97.13 600.00 1294.08 438.05 260.30 2154.38 9514.82 106074.4 105847 6946
22480200 102.11 600.00 1360.41 459.82 267.50 2227.91 9489.93 141059.8 140849 7703 388070 78.18 30.82 1.25
104.17 600.00 1387.95 494.11 285.86 2273.81 9518.01 141477.2 141374 5412
109.75 600.00 1462.32 334.07 183.19 2245.50 9169.78 102227.8 102228 0
27801600 113.98 600.00 1518.59 367.45 198.23 2316.82 9184.35 136517.8 136518 0 376736 96.29 12.71 1.29
113.98 600.00 1518.59 421.68 229.67 2348.25 9283.44 137990.7 137991 0