value at risk profesor: miguel Ángel martín mato gestión de riesgos

Value at Risk

Profesor: Miguel Ángel Martín Mato

Gestión de Riesgos

Profesor: Miguel Angel Martín 2

Distintos tipos de riesgo

Riesgopaís

Riesgopaís

Riesgo decrédito

Riesgo decrédito

Riesgo de reinversiónRiesgo de

reinversión

Riesgo de iliquidez

Riesgo de iliquidez

Riesgo de tipo de cambio

Riesgo de tipo de cambio

Riesgo operativo

Riesgo operativo

Riesgo de mercado

Riesgo de mercado


Riesgo: algunos aspectos por considerar

Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición.

Del diccionario: Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de

seguro


Visión intuitiva del riesgo de mercado

Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una

emisión particular. Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no

diversificable. Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales).

Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un

portafolio. Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.


Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico

Algunas medidas de riesgo simétrico: Desviación estándar y varianza Desviación absoluta respecto a la media

Algunas medidas de riesgo asimétrico: Semidesviación estándar Probabilidades empíricas de pérdida Value-at-Risk



Distribución asimétricahacia ganancias

Resultado esperado

Distribución asimétricahacia pérdidas



Distribución asimétricahacia ganancias

Resultado esperado

Distribución asimétricahacia pérdidas

Ambas tienen el mismo riesgo simétrico

Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera


Definición del Value-at-Risk Presupuestos

Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo.

Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”)

Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora:

Horizonte deinversión


Significanciaestadística


CriterioasimétricoCriterio

asimétrico


Definición del Value-at-Risk

Definición

Es la máxima pérdida esperada

dentro de un horizonte de inversión de “n” días

con una probabilidad de error de “α”%





CriterioasimétricoCriterio

asimétrico


El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado.

El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los

siguientes N días V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X%

Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones) y

según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones).

Qué es Value at Risk (VaR)


Metodologías VaR alternativas

Las similitudes

Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales.

Las diferencias

Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente.

Método “Analítico”(Delta Normal)


Método “Montecarlo”(Simulaciones)


Método “Histórico”(Histogramas)



VaR Analítico - Delta Normal Supuestos

El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas.

Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores?

A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado.


VaR Analítico - Delta Normal

Posibles valores de la variable aleatoria

01%0% 2%-1%-2%

Probabilidad deocurrencia




0

μ +1σμ μ +2σ

μ-1σ

μ -2σ


μ -3σ

μ +3σ 68.26%

95.44%99.74%



Con una probabilidad de 95% en una cola … =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448 Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar



5% 90% 5%



Generalización

Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N() tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%.

%5

x

zP %565.1

x

P

x

65.1

65.1x



Los dos componentes: la media y la volatilidad

La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso.

La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo.

Conversión de plazos

Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:

252 diariaanual 252 diariaanual



Período de anulación de riesgo

El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo.

Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal.

Rendimiento:

Volatilidad:

Trr diariaperiodo

Tdiariaperiodo



El intervalo de confianza

Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días.

Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones estándar) a 1 día.

[1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996.

[2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996


Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001


Data-> 1302 díasMean -> 0.000553448

StandardDeviation -> 0.0112249 Kurtosis -> 6.78236

Skewness -> -0.489853


Asunción de Normalidad

-0.03 -0.02 -0.01 0. 0.01 0.02 0.03Rend

5

10

15

20

25

30

35

Frecuencia

Data-> 252 díasMean -> -0.0000567592Skewness -> -0.101167Kurtosis -> 3.557397StandardDeviation -> 0.0109072


VaR Montecarlo

Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de

rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar.

Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica).

Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping.

Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros


VaR Montecarlo Procedimiento

A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos.

Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico.

Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado.

En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos

“mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.


Movimiento Browmiano


Cotización del Indice

8000850090009500

10000105001100011500120001250013000

Mar

zoAbr

il

May

oJu

nio Julio

Agosto

Septie

mbr

e

Octubr

e

Noviem

bre

Diciem

bre


Simulación de Montecarlo

1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros.

2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo.

3) Selección de la serie de variables aleatorias.

4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal.

5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales.

6) Cálculo de la distribución de los precios finales

7) Cálculo del VaR

8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.


Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos

{7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35}


Simulación: 50 pasos

{8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26, 7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}


200 caminos


500 caminos


Histograma: 200

VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice

Mean -> 7707.1, StandardDeviation -> 256.394, Skewness -> 0.0282609, Kurtosis -> 2.80355


Histograma:500

VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice


VaR Histórico

Supuestos A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos

sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos.

Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano.

Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para

calcular el nivel de pérdidas crítico.

Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento.


VaR Histórico – Síntesis del proceso

Valoración delportafolio

Tasas de interésTasas de interés

Tipos de cambioTipos de cambio

Spreads de riesgoSpreads de riesgo

Índices bursátilesÍndices bursátiles









Variables actuales Cambios históricos Valores posibles

+ =

Histogramade valoresposibles

¿Qué hay más allá del Value-at-Risk?:

Conditional Value at Risk


¿Por qué el VaR no es suficiente?

Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables:

Falta de subaditividad Falta de convexidad

Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida “coherente” de riesgo.

El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).


¿Qué es el CVaR?

Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza

dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR.

Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR.

[Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000]

Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR

sino también las pérdidas extremas de la distribución.


Acción de Yahoo

Variance®0.00175868,

StandardDeviation®0.0419366,

SampleRange®0.391606,

MeanDeviation®0.0302709,

MedianDeviation®0.0211623,

QuartileDeviation®0.0220472

VaR -> -4.899%

CVaR-> -7.166%


VaR -> -4.899%

CVaR-> -9.125%

VaR -> -4.899%

CVaR-> -11.29%

Acción de Yahoo (Variantes)


Resumen de las ventajas del CVaR

El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR.

El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera.

El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza.

Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.


Sol Meliá

Telefónica

BSCH

486 observaciones

- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1

20

40

60

80

100

Sol Melia

- 0.05 0. 0.05 0.1

10

20

30

40

50

60

Telefó nica

Skewness®0.555963,

QuartileSkewness® - 0.122494,

KurtosisExcess®1.72

Variance®0.000766605,





QuartileDeviation®0.0169693

Variance®0.000591326,





QuartileDeviation®0.0119259Skewness® - 0.340253,



- 0.1 - 0.05 0. 0.05 0.1

10

20

30

40

50

60

BSCH

Variance®0.000839184,StandardDeviation®0.0289687,SampleRange®0.208437,MeanDeviation®0.0217709,MedianDeviation®0.0167924,QuartileDeviation®0.0164853

Variance®0.000839184,





QuartileDeviation®0.0164853Skewness®0.235453,




Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH

Valor del portafolio

Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

61.22% Telefónica

38.78% BSCH

CVaR -> 5.190%

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.045

0.05

0.055

0.06

Perd%

VaR

CVaR

Telefónica


El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH

Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

VaR

Sol Meliá

TelefónicaSol Meliá


El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH

Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

48.94% Sol Meliá46.03% Telefónica5.03% BSCH

CVaR -> 4.530%

CVaR

Sol Meliá Telefónica

Sol Meliá


CVaR Histórico (1)


CVaR Histórico (2)


CVaR Histórico (3)


CVaR Histórico (4)

Descomposición del Value at Risk


Descomposición del VaR (1)

Posición en un activo

VaR

100%

Portfolio VaR

Incremental VaR

Marginal VaR


Descomposición del VaR (2)

Beta VaR Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones

individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad.

2C

C1,AC

σ

σβ

1A

CCAk

CC1A

C VaRβwVaRβwVaRAk1A


VaR No diversificado

El VaR Histórico de la cartera Es el percentil “α” del vector “Rj”. Sea “V” la posición en el vector “Rj” en

la que se localiza el escenario VaR (por lo tanto “VaR = RV”).

El VaR Diversificado de cada activo “k” será “RV,k”.

El VaR No Diversificado de cada activo “k” será el percentil “α” del vector “Rj,k”.

Ganancias o pérdidas hipotéticas de… (en moneda de protección de capital)

Escenario \ Activo Activo 1 Activo 2 … Activo “K” Cartera

Escenario 1 R1,1 R1,2 … R1,K R1 = R1,1 + R1,2 +…+ R1,K

Escenario 2 R2,1 … R2,K R2 = R2,1 + R2,2 +…+ R2,K

… … … … … …

Escenario “N” RN,1 RN,2 … RN,K RN = RN,1 + RN,2 +…+ RN,K


Descomposición VaR por factor de riesgo

El análisis “Risk factor decomposition” permite examinar el impacto aislado de los factores de riesgo de mercado sobre las pérdidas máximas esperadas de cada activo. Los tres factores de mercado considerados son: Riesgo de tipo de cambio. Incluye los efectos de todos los tipos de

cambio entre la moneda base y otras monedas. Riesgo de tasa de interés. Incluye todos los segmentos de las curvas

de tasa de interés relevantes para todos los activos de renta fija y derivados.

Riesgo bursátil. Incluye los precios de acciones e índices, pudiendo afectar a acciones, opciones sobre acciones e instrumentos de renta fija indexados.


Descomposición VaR por factor de riesgo

La descomposición por factor de riesgo se realiza asumiendo, para cada factor, los cambios del escenario crítico que da lugar al VaR de la cartera (es decir, el escenario histórico que se halla en el percentil crítico), manteniendo el resto de factores de riesgo constantes.

Por ejemplo, se evalúa únicamente el impacto de los cambios críticos en los tipos de cambio sobre el valor de la posición de cada activo de la cartera, manteniendo el resto de factores de riesgo constantes.


Contribution VaR

El Contribution VaR constituye una descomposición que permite medir la participación de cada activo como parte del total de pérdidas de cartera que superan al VaR. se define como la proporción de pérdidas que igualan o

exceden el VaR atribuible a cada activo.

En otros términos, indica qué porcentaje de las pérdidas extremas totales que podrían superar el VaR se deben a cada activo.


Contribution VaR

STOCK Barclays

BOND JPMorgan-C...

STOCK Southern ...

BOND Barrick 20...

Cash BBVA_EUR

Cash SCOTIA_PEN...

Cash HSBC_GBP

BOND PeruGlobal...

BOND PeruVAC 20...

Other

Contribution VaR

49,78 %

26,71 %

13,59 %

2,92 %

1,56 %1,51 %1,27 %1,22 %1,09 %0,35 %


VaR Marginal El VaR Marginal expresa el cambio esperado en el valor

del VaR de la cartera ante pequeñas variaciones en la posición de un activo. Método Histórico

Implica revalorar la cartera teniendo en cuenta la nueva posición en el activo

Método paramétrico Emplea la derivada de la función VaR.

Un VaR Marginal negativo indicaría que cada unidad adicional invertida en el activo incrementará

la pérdida VaR esperada en la magnitud del VaR Marginal. Puede afirmarse también que una reducción de la posición en una unidad monetaria reduciría la pérdida esperada en dicha magnitud.


VaR Marginal El VaR Marginal (en unidades monetarias) se define

como:

Marginal VaR - Highest and Lowest values

0-0,02-0,04-0,06-0,08-0,1

STOCK Southern ...

STOCK Barclays

BOND Bundesbank...

Cash BBVA_EUR

Cash HSBC_GBP

BOND Barrick 20...

BOND PeruGlobal...

BOND JPMorgan-C...

BOND PeruVAC 20...

Cash CITI_USD2

Cash CITI_USD1

Cash SCOTIA_PEN...

STOCK Maple_GBP...

-0,104

-0,063

-0,021

-0,016

-0,006

-0,004

-0,003

-0,003

-0,003

0

0

0,002

0,005

BasekBasek VaRVaRmVaR ,1


VaR Incremental

Es el cambio que se produciría en el VaR como resultado de la liquidación completa de la posición en un activo determinado.

Las dos principales diferencias con el VaR Marginal son que: La recomposición en la cartera puede corresponder en algunos

casos a posiciones significativas. Los resultados numéricos no son directamente comparables

entre sí, sino que deben analizarse a la luz las posiciones absolutas iniciales en cada activo.

kBaseBasek VaRVaRIVaR


VaR Incremental

Aplicación del Value at Risk:7 lecciones importantes


Primera lecciónG.I.G.O. (Garbage in… garbage out)

Aspectos por considerar

Cuidado con la forma de calcular rendimientos Un VaR a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a “n”

días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias.

Cuidado con las eliminaciones de datos Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables

consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que

todos se encuentren en la misma base de tiempo


Segunda lecciónUsar el método más robusto

En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: Discontinuidades en los rendimientos “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos) Histogramas caprichosos

Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información.

Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el VaR CVaR BetaVaR IncrementalVaR…


Tercera lecciónIdentificar claramente los factores de mercado

¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera?

Tasas de interés ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría?

Tipos de cambio ¿En qué moneda se busca preservar el valor?

Índices bursátiles ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos

o generales?


Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante…

…e implementar soluciones consistentes

¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado?

Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios

¿Qué hacer con las tasas de interés? Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de

inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los “andenes”.


Quinta lección Integrar el análisis de riesgo

en la plataforma operativa

El análisis VaR debe ser permanente Idealmente, la institución debería poder contar con la

información actualizada diariamente. Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos

sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos. El considerable volumen de datos involucrados introduce

el riesgo de errores humanos. Debe buscarse incorporar la generación de reportes de

riesgo de modo automatizado.


Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de

la empresa

Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la

cartera? Imponer límites a la exposición de riesgo

Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas relativas proyectadas.

Poner a prueba su eficacia Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la

capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios.


Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo

y el propósito de gestión de riesgo

Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa.

Puntos por considerar: Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo. Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda

de información. Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. Un mismo reporte no es para todos. Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario. Incorporar en la cadena a personal especializado. No perder de vista: “¿Qué hay más allá del VaR?”


Método analítico

V:= vector de flujos W:=vector de proporciones

nwwwww ,...,,' 321

2

322

1

1131221

NNNN

N

N

n

R

R

wwwwR 1

321 ,...,, wwP '2 Pp VVaR

nVVVVV ,...,,' 321


VaR Incremental

El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera.

Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera

)var(

),cov(

p

pxx r

rr

)var(

),cov(

p

pMFMF r

rr

ww

wMF

'


VaR Incremental

pMF VaRwVaR 111

321 MFMFMFp VaRVaRVaRVaR

),cov(),cov(),cov( 3322112

pppP rrwrrwrrw

2132

211

22 ppP wwwp

Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas


Características de los Bonos

BONO Número

Fecha de Vencimiento Vto. Años YTM %

TC (semestral) Precio % Precio $

1 15-May-04 0.980822 1.064% 5.250% 104.02% 1,041.882 15-May-04 0.980822 1.072% 7.250% 105.93% 1,061.653 15-May-05 1.980822 1.295% 6.500% 110.08% 1,102.894 15-May-05 1.980822 1.203% 12.000% 120.93% 1,213.195 15-May-06 2.980822 1.618% 2.000% 101.10% 1,011.666 15-May-06 2.980822 1.622% 4.625% 108.67% 1,088.167 15-May-08 4.983562 2.294% 2.625% 101.55% 1,016.328 15-May-08 4.983562 2.297% 5.625% 115.54% 1,157.219 15-Ago-10 7.235616 2.890% 5.750% 118.52% 1,201.19

10 15-Feb-13 9.742466 3.306% 3.875% 102.69% 1,028.0511 15-Feb-23 19.747945 4.227% 7.125% 138.50% 1,404.90

Tabla 20.1 Características de los Bonos


3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

08/09/1993 27/03/1994 13/10/1994 01/05/1995 17/11/1995 04/06/1996 21/12/1996

Yie

ld (

%)

tcm1y

tcm2y

tcm3y

tcm5y

tcm7y

tcm10y

tcm20y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

06/12/1999 23/06/2000 09/01/2001 28/07/2001 13/02/2002 01/09/2002 20/03/2003

Fechas

Yie

ld (

%)

tcm1y

tym 2

tcm3y

tcm5y

tcm7y

tcm10y

tcm20y

tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia 0.294% 0.257% 0.222% 0.165% 0.139% 0.111% 0.061%Desv. Estan. 1.823% 1.969% 2.008% 1.883% 1.861% 1.698% 1.439%Curtosis (exceso) 0.559 0.789 0.976 0.842 0.791 0.567 0.442 Coef. Asimetría 0.535 0.378 0.440 0.342 0.349 0.291 0.315

Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos:

SERIE 2000-2003

SERIE 1993-1997

Fuente: Reserva federal

tcm1y tym 2 tcm3y tcm5y tcm7y tcm10y tcm20yMedia -0.028% -0.028% -0.027% -0.023% -0.021% -0.018% -0.014%Desv. Estan. 0.099% 0.120% 0.125% 0.122% 0.115% 0.112% 0.095%Curtosis (exceso) 4.324 3.178 2.535 1.967 1.961 1.651 1.332Coef. Asimetría -1.140 -0.031 0.251 0.591 0.796 0.854 0.808


Medidas Clásicas de Gestión

BONO Número

Fecha de Vencimiento

Duración Macaulay

Duración Modificada Convexidad M-2 Ñ

1 15-May-04 0.96846 -0.9437 1.4488 16.2591 2.01582 15-May-04 0.96392 -0.9302 1.4529 16.2978 2.01803 15-May-05 1.89248 -1.8329 4.7016 9.7507 1.55384 15-May-05 1.82940 -1.7258 4.5993 10.2043 1.58535 15-May-06 2.90829 -2.8795 9.9728 4.5023 1.04596 15-May-06 2.82316 -2.7594 9.6942 5.0015 1.08847 15-May-08 4.70326 -4.6423 25.0177 0.9015 0.14848 15-May-08 4.45058 -4.3288 23.4902 1.7139 0.27479 15-Ago-10 6.12530 -5.9541 43.8626 5.2826 1.0854

10 15-Feb-13 8.25620 -8.0993 77.9711 18.0137 2.016911 15-Feb-23 12.20350 -11.7837 196.3140 99.3028 4.1412

Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos


CARTERA (Número) 1er Bono

2do Bono % (1er) Convexidad M-2 Ñ

1 1 9 21.822% 34.607 7.678 1.2882 1 10 44.681% 43.781 17.230 2.0163 1 11 64.116% 71.373 46.058 2.7784 2 9 21.802% 34.616 7.684 1.2895 2 10 44.653% 43.804 17.248 2.0176 2 11 64.090% 71.427 46.105 2.7807 3 9 26.585% 33.452 6.470 1.2108 3 10 51.168% 40.480 13.786 1.7809 3 11 69.862% 62.449 36.740 2.334

10 4 9 26.195% 33.578 6.572 1.21611 4 10 50.666% 40.797 14.057 1.79812 4 11 69.437% 63.192 37.435 2.36613 5 9 34.980% 32.008 5.010 1.07214 5 10 60.887% 36.569 9.787 1.42615 5 11 77.497% 51.905 25.835 1.74216 6 9 34.078% 32.219 5.187 1.08617 6 10 59.933% 37.051 10.215 1.46018 6 11 76.794% 53.002 26.885 1.79719 7 9 79.133% 28.950 1.816 0.34420 7 10 91.648% 29.440 2.331 0.30421 7 11 96.044% 31.795 4.795 0.30622 8 9 67.193% 30.174 2.885 0.54123 8 10 85.563% 31.356 4.067 0.52624 8 11 92.913% 35.738 8.630 0.549

Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras

CAMBIOS PARALELOS

La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71.427).

Le sigue la Cartera 3 (con 71.373 de convexidad).

CAMBIOS NO PARALELOS

La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ.


CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er) Media

Desv. Estan.

Exce. Curt.

Coef. Asime.

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

1 1 9 21.8% 0.270% 3.355% 20.651 -3.754 4.030% 5.249% 7.536%2 1 10 44.7% 0.273% 2.962% 10.648 -2.699 3.524% 4.600% 6.619%3 1 11 64.1% 0.262% 2.989% 12.205 -2.938 3.568% 4.654% 6.691%4 2 9 21.8% 0.270% 3.508% 22.394 -3.984 4.226% 5.501% 7.892%5 2 10 44.7% 0.272% 3.210% 17.693 -3.407 3.842% 5.009% 7.196%6 2 11 64.1% 0.261% 3.216% 18.063 -3.534 3.861% 5.029% 7.221%7 3 9 26.6% 0.270% 3.450% 20.530 -3.719 4.151% 5.405% 7.756%8 3 10 51.2% 0.272% 3.254% 15.937 -3.134 3.990% 5.200% 7.470%9 3 11 69.9% 0.263% 3.367% 18.196 -3.495 5.351% 6.974% 10.020%10 4 9 26.2% 0.269% 3.481% 19.996 -3.658 4.192% 5.457% 7.829%

Principales Carteras 2000-2003

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er) Media

Desv. Estan.

Exce. Curt.

Coef. Asime.

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

1 1 9 21.8% 0.110% 3.987% 28.782 3.802 4.999% 6.448% 9.165%2 1 10 44.7% 0.116% 3.348% 9.296 2.091 4.174% 5.390% 7.672%3 1 11 64.1% 0.118% 3.378% 12.702 2.345 4.212% 5.439% 7.741%4 2 9 21.8% 0.109% 4.026% 28.042 3.708 5.050% 6.513% 9.257%5 2 10 44.7% 0.115% 3.392% 8.421 1.907 4.233% 5.465% 7.777%6 2 11 64.1% 0.115% 3.421% 12.515 2.213 4.268% 5.511% 7.842%7 3 9 26.6% 0.110% 4.004% 28.900 3.732 5.021% 6.476% 9.205%8 3 10 51.2% 0.116% 3.396% 7.328 1.715 4.335% 5.597% 7.965%9 3 11 69.9% 0.117% 3.515% 15.235 2.393 5.789% 7.476% 10.641%10 4 9 26.2% 0.108% 4.120% 25.877 3.638 5.172% 6.668% 9.476%

Principales Carteras 1993-1997

Asumiendo Normalidad


VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003

VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997

Distribuciones Reales

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er)

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

CVaR 90%

CVaR 95%

CVaR 99%

1 1 9 21.8% 1.313% 2.972% 18.367% 6.401% 10.668% 20.768%2 1 10 44.7% 1.950% 5.766% 13.125% 6.319% 10.335% 15.008%3 1 11 64.1% 1.851% 3.778% 15.185% 6.429% 10.197% 15.675%4 2 9 21.8% 1.671% 2.953% 21.875% 6.482% 10.935% 22.298%5 2 10 44.7% 2.022% 2.891% 16.467% 6.455% 10.652% 19.441%6 2 11 64.1% 1.475% 4.049% 16.211% 6.562% 10.640% 19.254%7 3 9 26.6% 1.666% 3.602% 21.171% 6.503% 10.891% 21.613%8 3 10 51.2% 1.446% 3.546% 14.399% 6.650% 10.800% 18.636%9 3 11 69.9% 1.531% 4.008% 18.210% 6.749% 10.793% 20.265%

10 4 9 26.2% 1.869% 3.785% 21.145% 6.669% 10.911% 21.686%

CART (Num)

1er Bono

2do Bono % (1er)

VaR 90%

VaR 95%

VaR 99%

CVaR 90%

CVaR 95%

CVaR 99%

1 1 9 21.8% 3.471% 5.039% 8.471% 5.268% 6.423% 9.176%2 1 10 44.7% 3.699% 4.486% 6.099% 4.657% 5.394% 6.481%3 1 11 64.1% 3.026% 4.352% 6.156% 4.742% 5.730% 7.362%4 2 9 21.8% 3.539% 5.564% 8.446% 5.458% 6.653% 9.182%5 2 10 44.7% 3.758% 4.807% 6.725% 5.030% 5.825% 6.787%6 2 11 64.1% 3.021% 4.547% 7.054% 4.994% 6.219% 7.800%7 3 9 26.6% 3.431% 5.477% 9.060% 5.432% 6.703% 9.153%8 3 10 51.2% 3.561% 4.376% 7.094% 5.080% 6.195% 7.186%9 3 11 69.9% 3.215% 4.431% 7.779% 5.104% 6.398% 8.652%

10 4 9 26.2% 3.607% 5.525% 9.305% 5.525% 6.898% 9.430%


0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.045

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

Perd% CARTERA 1HBono 1 y Bono 9L93- 97

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.045

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075


0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.045

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075


CARTERA 1

W1 = 40.35%W9 = 59.65%

CVaR = 5.824%Dm = 4.045Cnx = 26.749M2= 5.28

CARTERA 2

W1 = 45.495%W10 = 54.505%

CVaR = 5.393%Dm = 4.941Cnx = 43.157M2= 18.014

CARTERA 3

W1 = 40.059%W11 = 56.941%

CVaR = 5.443%Dm = 7.366Cnx = 112.407M2= 99.303

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075


0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.045

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

Perd% CARTERA5HBono 2 y Bono 10L93- 97

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.045

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

Perd% CARTERA6HBono 2 y Bono 11L93- 97

CARTERA 4

W2 = 34.932%W9 = 65.058%

CVaR = 6.250%Dm = 4.322Cnx = 29.048M2= 5.286

CARTERA 5

W2 = 43.04%W10 = 56.96%

CVaR = 5.819%Dm = 5.118Cnx = 45.038M2= 18.014

CARTERA 6

W1 = 41.42%W9 = 58.58%

CVaR = 5.869%Dm = 7.548Cnx = 115.603M2= 99.30

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997


0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.04

0.06

0.08

0.12

Perd% CARTERA1HBono 1 y Bono 9L00- 03CARTERA 1

W1 = 33.99%W9 = 66.01%

CVaR = 10.386%Dm = 4.373Cvx = 29.447M2= 9.013

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.04

0.06

0.08

0.12

Perd% CARTERA 2HBono 1 y Bono 10L00- 03 CARTERA 2

W1 = 32.52%W10 = 67.48%

CVaR = 10.302%Dm = 5.886Cvx = 17.443M2= 17.443

0.2 0.4 0.6 0.8 1w1

0.04

0.06

0.08

0.12


W1 = 32.17%W11 = 67.83%

CVaR = 9.934%Dm = 8.589Cvx = 133.629M2= 72.589

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.04

0.06

0.08

0.12

Perd% CARTERA 4HBono 2 y Bono 9L00- 03CARTERA 4

W2 = 33.92%W9 = 57.08%

CVaR = 10.707%Dm = 4.374Cvx = 29.476M2= 4.374

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.04

0.06

0.08

0.12


W2 =32.51%W10 = 68.49%

CVaR = 10.638%Dm = 5.885Cvx = 53.094M2= 17.456

0.2 0.4 0.6 0.8 1w2

0.04

0.06

0.08

0.12


W1 = 40.52%W9 = 59.48%

CVaR = 10.238%Dm = 7.649Cvx = 117.350M2= 65.667

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003

value at risk profesor: miguel Ángel martín mato gestión de riesgos

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