validaciÓn de modelos de aproximaciÓn estadÍstica para la estimaciÓn de parÁmetros de lluvia
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III Taller sobre Regionalización de Precipitaciones Máximas Rosario. Santa Fe. Argentina 1 y 2 de diciembre de 2011. VALIDACIÓN DE MODELOS DE APROXIMACIÓN ESTADÍSTICA PARA LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LLUVIA EN EL ÁREA METROPOLITANA DE BUENOS AIRES Tito Ignacio Lasanta - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
VALIDACIÓN DE MODELOS DE APROXIMACIÓN ESTADÍSTICA
PARA LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LLUVIAEN EL ÁREA METROPOLITANA DE BUENOS AIRES
Tito Ignacio LasantaFacultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
III Taller sobre Regionalizaciónde Precipitaciones MáximasRosario. Santa Fe. Argentina1 y 2 de diciembre de 2011
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
AREA METROPOLITANA BUENOS AIRESMEGACIUDAD QUE INTEGRA A LA CIUDAD AUTONOMA DE BUENOS
AIRES Y SU EXTENSIÓN NATURAL O CONURBACION SOBRE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES, SIN CONSTITUIR EN SU CONJUNTO
UNA UNIDAD ADMINISTRATIVA
RECIBE LAS DENOMINACIONES:CONURBANO BONAERENSE,
AGLOMERADO GRAN BUENOS AIRES,AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
REGION METROPOLITANA BUENOS AIRES
12 MILLONES DE HABITANTES.
SUPERFICIE: 12.000 Km2
14 partidos completamente urbanizados: Lomas de Zamora Malvinas Argentinas General San Martín Hurlingham Ituzaingó José C. Paz Lanús Avellaneda Morón Quilmes San Isidro San Miguel Tres de Febrero Vicente López
DESARROLLO URBANO
10 partidos parcialmente urbanizados
Almirante Brown Berazategui Esteban Echeverría Ezeiza Florencio Varela La Matanza Merlo Moreno San Fernando Tigre Pte. Perón
Aª MALDONADO
MATANZA
Aº SARANDI
CUENCAS PRINCIPALES
Aº SANTO DOMINGO
LUJAN
RECONQUISTA
Aª VEGA
Aª MEDRANO
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
E F M A M J J A S O N D
CLIMA en el AMBA
FUENTE: ATLAS AMBIENTAL DE BUENOS AIRES
0
5
10
15
20
25
30
E F M A M J J A S O N D
TEMPERATURA MEDIA
PRECIPITACION MEDIA
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
PROBLEMAS HIDRICOS
• El notable aumento de las precipitaciones, como consecuencia del cambio climático
• Recarga de agua infiltrada hacia los acuíferos debido al aumento de la precipitación media
La constante modificación de las condiciones de impermeabilización de las tierras como consecuencia de los asentamientos urbanos, provoca, además, la disminución de los tiempos de concentración de los escurrimientos y el impedimento de la infiltración de las aguas
PROBLEMAS HIDRICOS
PROBLEMAS HIDRICOS
• elevación de la napa freática debido a la importación de agua para consumo proveniente del Río de la Plata, genera un caudal de infiltración adicional, en zonas sin servicio de cloacas
PROBLEMAS HIDRICOS• El desarrollo de la urbe como
si no estuviera en una región inundable
• La falta de planificación, que genera conflictos en el desarrollo de zonas urbanas así como en áreas rurales en donde el uso tradicional del suelo ya no resulta competitivo,
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
ORIGEN DE LOS DATOS
1
3
2
1. Estación del INA, 2. Estación del SMN 3. Estación del INTA
4. Estación de UTN-GRAL. PACHECO
4
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
LOS MODELOS DE ZIMMERMANN
ORIGEN DE LOS DATOS
Es posible obtener un modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos en cada mes, condicionado a
la lámina de lluvia mensual.
Es posible obtener una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de
tormenta particular, basada en el número de eventos lluviosos del mes.
p(N/P)
N f ( P )
HIPOTESIS (modelos de ZIMMERMANN):1
2
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
LOS MODELOS DE ZIMMERMANN
modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia
ORIGEN DE LOS DATOS
)(
)()./()/(
xf
fxfxf
LEY DE PROBABILIDAD DE LAS CAUSASINVERSION DE LA PROBABILIDAD
PRINCIPIO DE LA RAZON INSUFICIENTE(MODO DE SUBSANAR EL ESTADO DE
IGNORANCIA PREVIA)
THOMAS BAYES1702 - 1761
CALCULO DE f(N)
)(
)()./()/(
Pf
NfNPfPNf
Probabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes dado, condicionado a la lámina de
lluvia
:)/( PNf
:)/( NPfDistribución de probabilidades, para la lámina mensual, dado el
número de eventos de lluvia
:)(NfProbabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes
dado
:)(PfProbabilidad de la
precipitación P, en el mes dado
)(
)()./()/(
Pf
NfNPfPNf
Probabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes dado, condicionado a la lámina de
lluvia
:)/( PNf
:)/( NPfDistribución de probabilidades, para la lámina mensual, dado el
número de eventos de lluvia
:)(NfProbabilidad a priori de la cantidad de eventos de tormenta de un mes
dado
:)(PfProbabilidad de la
precipitación P, en el mes dado
CALCULO DE f(N)
)(
)()./()/(
Pf
NfNPfPNf
Para modelar el arribo de tormentas o de células de
lluvia en la misma tormenta, se propone un proceso
poissoniano.
1
!
.)(
1
1
NNf e
N
es el número medio de eventos.
SIMEON DENIS POISSON
1781 - 1840
CALCULO DE f(N)
74,9 69 77,253 98,933 73,947 58,26 57,58 64,7 76,787 139,39 143,88 127
E F M A M J J A S O N D
1
INTA
8,48 9,99 11,70 12,65 9,02 8,55 8,78 8,35 9,41 12,58 12,58 10,29
!
.)(
1
1
NNf e
N
8 0,1248
9 0,1306
10 0,1229
11 0,1051
12 0,0088
13 0,0007
14 5E-05
15 3E-06
1 0,0008
2 0,0036
3 0,0114
4 0,0267
5 0,0503
6 0,0789
7 0,1061
N N)(Nf )(Nf
ESTACION DEL INTA, MES DE SEPTIEMBRE
)(mmP P MEDIA MENSUAL
N° MEDIO EVENTOS
Función de densidad de Probabilidad Gamma, para la lámina mensual, dado el número de
eventos de lluviaNúmero medio mensual de
eventos de lluvia
Inversa de la lámina media para una tormenta
Lámina de precipitación en un
mes dado
:)/( NPf
1
2 P
)(
)()./()/(
Pf
NfNPfPNf
)!1(
..)/(
1.
22
NNPf Pe
NPN
Para estimar valores de precipitación, condicionados al número de lluvias registradas, se ha utilizado la función
Erlang, como forma particular de la Gamma
CALCULO DE f(P/N)
DISTRIBUCION DE ERLANG
),( GX
0,..)(.
11
xex x
formadeparámetro: escaladeparámetro:
),(),(0, kErkGNkksi
DISTRIBUCION GAMMAFunción de densidad de probabilidades
),/( xf
0, x<=0
74,9 69 77,253 98,933 73,947 58,26 57,58 64,7 76,787 139,39 143,88 127
E F M A M J J A S O N D
P1
2
ESTACION DEL INTA
)(mmP
8 0,1248
9 0,1306
10 0,1229
11 0,1051
12 0,0088
13 0,0007
14 5E-05
15 3E-06
1 0,0008
2 0,0036
3 0,0114
4 0,0267
5 0,0503
6 0,0789
7 0,1061
N N)/( NPf
INTA, MES DE SEPTIEMBRE DE 1990
P MEDIA MENSUAL
0,1132 0,1447 0,1514 0,1278 0,122 0,1468 0,1524 0,1291 0,1226 0,0902 0,0874 0,081
)!1(
..)/(
1.
22
NNPf Pe
NPN
)/( NPf0,0003
0,0018
0,0055
0,011
0,0164
0,0197
0,0197
0,0169
0,0126
0,0084
0,005
0,0027
0,0014
0,0006
0,0003
)(
)()./()/(
Pf
NfNPfPNf
N
NfNPfPf
Pf
NfNPfPNf
)()./()(
)(
)()./()/(
CALCULO DE f(N/P)
8 0,1248
9 0,1306
10 0,1229
11 0,1051
12 0,0088
13 0,0007
14 5E-05
15 3E-06
1 0,0008
2 0,0036
3 0,0114
4 0,0267
5 0,0503
6 0,0789
7 0,1061
N N)/( PNf
INTA, MES DE SEPTIEMBRE DE 1991, P=85,5 mm
0,0003
0,0018
0,0055
0,011
0,0164
0,0197
0,0197
0,0169
0,0126
0,0084
0,005
0,0027
0,0014
0,0006
0,0003
)/( PNf
max
1
1
1.
2
1
1.
2
!)!.1(
....
!)!.1(
....
)/(12
12
N
j jj
P
NNPN
NNePe
ePe
NNNNN
PNfjjj
ESTACION DEL INTA
0,0025
0,015
0,0449
0,0896
0,1343
0,161
0,1608
0,1377
0,1032
0,0687
0,0412
0,0224
0,0112
0,0052
0,0022
N=11 ES EL NUMERO DE EVENTOS
MAS PROBABLE PARA UNA
PRECIPITACION DE P=85,5 mm
5E-05
0,0005
0,0029
0,0101
0,0266
0,0559
0,098
0,1473
0,1936
0,2262
0,2379
0,0005
0,0002
0,0001
5E-05
AÑO
ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
1
LAMINA 164,6 173,6 134,9 174,1 34,7 2,6 23,7 51,9 48,9 104,8 188,5 119
P(X=N) 0,5549 0,115 0,4616 0,5801 0,1964 0,7238 0,2146 0,6245 0,4692 0,2002 0,5049 0,3926
N 10 26 13 11 5 1 4 4 5 10 15 8
2
LAMINA 129,5 44 48,7 107 62,4 147,2 65,3 64,3 85,8 118,8 68,4 196,8
P(X=N) 0,6265 0,2903 0,5461 0,9897 0,7709 0,5688 0,4827 0,4937 0,238 0,5126 0,1897 0,4357
N 7 7 5 12 3 11 7 6 11 7 6 11
3
LAMINA 139,8 26,8 66,9 109,4 180,8 91,2 35,2 79,5 55,9 106,4 35,8 73
P(X=N) 0,44 0,22 0,28 0,55 0,78 0,36 0,31 0,65 0,42 0,32 0,23 0,59
N 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4
ESTACION DEL INTA
max
1
1
1.
2
1
1.
2
!)!.1(
....
!)!.1(
....
)/(12
12
N
j jj
P
NNPN
NNePe
ePe
NNNNN
PNfjjj
Mes E F M A M J
Pm 68,533 99,889 98,41 92,911 98,878 40,178
3,4444 4,5556 4,333 4,8889 3,8889 3,7778
0,0503 0,0456 0,044 0,0526 0,0393 0,094
Mes J A S O N D
Pm 45,544 58,189 58,37 86,767 88,111 97,611
3,1111 3,7778 3,555 6,1111 5,4444 4,8889
0,0683 0,0649 0,060 0,0704 0,0618 0,0501
1
1
2
2
PARÁMETROS calculados estación ESTEFANIA
E F M A M J
Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real
59 66 56 68 54 61 68 73 57 57 57 54
E F M A M J
Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real Calc. Real
48 55 31 43 62 65 74 78 70 76 64 76
Valores calculados y registrados de eventos de tormenta N, para la estación Villa Ortúzar
max
1
1
1.
2
1
1.
2
!)!.1(
....
!)!.1(
....
)/(12
12
N
j jj
P
NNPN
NNePe
ePe
NNNNN
PNfjjj
AÑO
ENE
FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
1
CALCULADOS 10 26 13 11 5 1 4 4 5 10 15 8
REGISTRADOS 10 28 13 11 10 2 9 4 5 11 10 8
2
CALCULADOS 7 7 5 12 3 11 7 6 11 7 6 11
REGISTRADOS 7 7 5 12 3 12 7 6 12 7 9 15
3
CALCULADOS 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4
REGISTRADOS 14 7 10 8 6 12 6 5 6 9 8 4
4
CALCULADOS 8 9 5 11 9 7 7 3 6 11 11 9
REGISTRADOS 8 9 5 18 11 7 7 3 11 14 17 9
ESTACION DEL INTA
ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION
Estefanía (INA)
0,8417
Castelar (INTA)
0,7886
Villa Ortúzar (SMN)
0,7856
MODELO DE ZIMMERMANN
CONCLUSIONES
Los resultados de la prueba de bondad de ajuste (K-S) permitieron concluir que el
modelo de Zimmermann es apropiado para determinar láminas de precipitación, en las tres estaciones estudiadas, conociendo la
cantidad de agua precipitada.
ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION
Estefanía (INA)
0,8417
Castelar (INTA)
0,7886
Villa Ortúzar (SMN)
0,7856
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
LOS MODELOS DE ZIMMERMANN
modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia
ORIGEN DE LOS DATOS
función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta
Es posible obtener un modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos en cada mes, condicionado a
la lámina de lluvia mensual.
Es posible obtener una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de
tormenta particular, basada en el número de eventos lluviosos del mes.
p(N/P)
N f ( P )
HIPOTESIS:1
2
Se sugieren funciones exponenciales para representar láminas de lluvias
PROPOSITO DEL MODELO
Determinar una función de densidad de probabilidad, para la lámina de un
evento de tormenta particular, conocido el número de eventos
lluviosos del mes.
e PPnF n.31)(
Se sugieren funciones exponenciales para representar láminas de lluvias
MODELO2°
),( G
DISTRIBUCION EXPONENCIALFunción de densidad de probabilidades
x<0
0,.1
xex
)/( xf
1 ksi
:),1( G
)(),1( G
DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE PARAMETRO
Función de densidad
de probabilidades
0
La expresión sugerida para Pn es:
N
n
PPn1
)(1ln.1
3
PnFPn
Pn representa una precipitación aislada, para valores de n comprendidos
entre 1 y N.
e PPnF n.31)(
MODELO DE ZIMMERMANN
bN
bnPnF
21)(
Se propone la formulación empírica extrema de Hazen
EXPRESION SUGERIDA PARA (Pn)
N es el número total de eventos de tormenta en el mes considerado y b un parámetro
empírico comprendido entre 0 y 0,5.
EXPRESION SUGERIDA PARA
PN
nNN
n
13
)5,0
ln(
3
SOLUCION PROPUESTA:
)(1ln.1
3
PnFPn
e PPnF n.31)(
PN
nNN
n
13
)5,0
ln(
bN
bnPnF
21)(
N
n
Peal1
Pr
Pn
MODELO DE ZIMMERMANN
VALIDACIÓN DEL MODELO
MODELO PARA LA DETERMINACION DE UNA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, PARA LA LÁMINA DE
UN EVENTO DE TORMENTA PARTICULAR
bN
bnPnF
21)(
Pn n Ln[F(Pn)]F(Pn)
Pn
Pteo=(1/ )Ln[1-F(Pn)]
Pteorico
Ln[F(Pn)]
3
3
PN
1
2
N
F(P1)
F(P2)
F(PN)
Pn
lnF(P1)
lnF(P2)
lnF(PN)
P1
P1
PN
Ln[F(Pn)]
P1
P1
PROCEDIMIENTO DE CALCULO
real n LN F(Pn) mod
e
0,30 1 -0,04 0,041 0,7413
2,50 2 -0,15 0,143 2,7423
4,00 3 -0,27 0,245 4,9971
5,80 4 -0,42 0,347 7,5798
5,80 5 -0,58 0,449 10,602
6,90 6 -0,78 0,551 14,245
31,00 7 -1,02 0,653 18,832
31,70 8 -1,35 0,755 25,028
33,60 9 -1,83 0,857 34,617
43,00 10 -2,81 0,959 56,903
TOT(mm) 164,60
N 10
bN
bnPnF
21)(
ESTACION DEL INTA, ENERO 1990
)(1ln PnF
real n LN F(Pn) mod
e
0,30 1 -0,04 0,041 0,7413
2,50 2 -0,15 0,143 2,7423
4,00 3 -0,27 0,245 4,9971
5,80 4 -0,42 0,347 7,5798
5,80 5 -0,58 0,449 10,602
6,90 6 -0,78 0,551 14,245
31,00 7 -1,02 0,653 18,832
31,70 8 -1,35 0,755 25,028
33,60 9 -1,83 0,857 34,617
43,00 10 -2,81 0,959 56,903
TOT(mm) 164,60
N 10
bN
bnPnF
21)(
ESTACION DEL INTA, ENERO 1990
)(1ln PnF
06,0)(1ln3 PnF
real n LN F(Pn) mod
e
0,30 1 -0,04 0,041 0,7413
2,50 2 -0,15 0,143 2,7423
4,00 3 -0,27 0,245 4,9971
5,80 4 -0,42 0,347 7,5798
5,80 5 -0,58 0,449 10,602
6,90 6 -0,78 0,551 14,245
31,00 7 -1,02 0,653 18,832
31,70 8 -1,35 0,755 25,028
33,60 9 -1,83 0,857 34,617
43,00 10 -2,81 0,959 56,903
TOT(mm) 164,60
N 10
bN
bnPnF
21)(
ESTACION DEL INTA, ENERO 1990
)(1ln PnF
06,0)(1ln3 PnF
)(1ln.1
3
PnFPn
real n LN F(Pn) mod
e
0,30 1 -0,04 0,041 0,7413
2,50 2 -0,15 0,143 2,7423
4,00 3 -0,27 0,245 4,9971
5,80 4 -0,42 0,347 7,5798
5,80 5 -0,58 0,449 10,602
6,90 6 -0,78 0,551 14,245
31,00 7 -1,02 0,653 18,832
31,70 8 -1,35 0,755 25,028
33,60 9 -1,83 0,857 34,617
43,00 10 -2,81 0,959 56,903
TOT(mm) 164,60
N 10
ESTACION DEL INTA, ENERO 1990
ESTACION COEFICIENTE DE CORRELACION
Estefanía (INA)
0,897
Castelar (INTA)
0,824
Villa Ortúzar (SMN)
0,9
VALIDACION
CONCLUSIONES
LOS RESULTADOS PERMITEN CONCLUIR QUE EL MODELO PROPUESTO POR ZIMMERMANN ES APROPIADO LA
DETERMINACION DE UNA
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, PARA CALCULAR LA LÁMINA DE UN
EVENTO DE TORMENTA PARTICULAR, EN LAS TRES ESTACIONES ESTUDIADAS, CONOCIENDO LA CANTIDAD
DE EVENTOS DE LLUVIA.
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
LOS MODELOS DE ZIMMERMANN
modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia
ORIGEN DE LOS DATOS
función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta
Sensibilidad del modelo al parámetro “b” de Hazen
real n LN F(Pn) mod
e
0,30 1 -0,04 0,041 0,7413
2,50 2 -0,15 0,143 2,7423
4,00 3 -0,27 0,245 4,9971
5,80 4 -0,42 0,347 7,5798
5,80 5 -0,58 0,449 10,602
6,90 6 -0,78 0,551 14,245
31,00 7 -1,02 0,653 18,832
31,70 8 -1,35 0,755 25,028
33,60 9 -1,83 0,857 34,617
43,00 10 -2,81 0,959 56,903
TOT(mm) 164,60
N 10
bN
bnPnF
21)(
ESTACION DEL INTA, ENERO 1990
)(1ln PnF
06,0)(1ln3 PnF
)(1ln.1
3
PnFPn
SENSIBILIDAD DEL MODELO
0,8550,86
0,8650,87
0,8750,88
0,8850,89
0,8950,9
0,905
0,1 0,2 0,3 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9
COEFICIENTE B
CO
RR
ELA
CIO
N
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
0,1 0,2 0,3 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9
COEFICIENTE B
CO
RR
ELA
CIO
N
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9COEFICIENTE B
CO
RRELA
CIO
N
INTA
INA
SMN
ESTACION COEFICIENTE b DE HAZEN
Villa Ortúzar (SMN)
0.5
Estefanía (INA)
0.4
Castelar (INTA)
0.8
SENSIBILIDAD DEL MODELO
EL AREA METROPOLITANA BUENOS AIRES
LA PROBLEMÁTICA HIDRICA EN EL AMBA
LOS MODELOS DE ZIMMERMANN
modelo de aproximación bayesiana para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia
ORIGEN DE LOS DATOS
función de densidad de probabilidad, para la lámina de un evento de tormenta
Sensibilidad del modelo al parámetro “b” de Hazen
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES SOBRE LA VALIDACION EN EL AMBA DEL MODELO DE ZIMMERMANN DE ESTIMACIÓN DEL NÚMERO
MENSUAL DE EVENTOS DE TORMENTA
Es apropiado utilizar la distribución de Poissón para modelar arribos de tormentas y la función Gamma para
determinar láminas acumuladas de precipitación.
El modelo de aproximación bayesiano para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos de
Zimmermann y Arrasca (2005), ha sido validado con éxito para las series de precipitaciones de las tres estaciones
estudiadas, pertenecientes al Área Metropolitana de Buenos Aires.
CONCLUSIONES SOBRE LA VALIDACION EN EL AMBA DEL MODELO DE DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD,
PARA LA LÁMINA DE UN EVENTO DE LLUVIA
Es apropiado utilizar la función exponencial para determinar láminas de lluvias.
El modelo de Zimmermann para determinar láminas de precipitación, se ha validado para los datos de
precipitación de las tres estaciones meteorológicas estudiadas.
El modelo es sensible al valor del parámetro empírico b.
¡ muchas gracias !
Bruscamente la tarde se ha aclarado porque ya cae
la lluvia minuciosa. Cae o cayó.
La lluvia es una cosa que sin duda sucede
en el pasado.
La lluviaJ.L.Borges
SIMEON DENIS POISSON
1781 - 1840
Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile
LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO QUE TRANSCURRE HASTA EL k-ESIMO EVENTO DE POISSON SUPERE A “t”, ES LA PROBABILIDAD DE
QUE EL N° DE EVENTOS DE POISSON OBSERVADOS EN “t” NO SUPERE A k
),( Gx )(Py )()( kyPtxP
RELACION GAMMA-POISSON
),( kGRELACION GAMMA-EXPONENCIAL
)(),1(),(11
k
ii
k
i
GkG
SUMA DE V.A. EXPONENCIALES
MIDE EL TIEMPO TRANSCURRIDO HASTA EL K-ESIMO SUCESO DE POISSON
),( kG