vajda istván - Óbudai egyetem · 2012. 9. 24. · vajda istván (Óbudai egyetem) analízis...
TRANSCRIPT
Analízis eloadások
Vajda István
Neumann János Informatika KarÓbudai Egyetem
2012. szeptember 24.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 1 / 8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.
Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük
Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.
Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölés: H1 = H2
Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.
Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 2 / 8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.
Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük
Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.
Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölés: H1 = H2
Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.
Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 2 / 8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.
Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük
Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.
Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölés: H1 = H2
Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.
Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 2 / 8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.
Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük
Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.
Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölés: H1 = H2
Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.
Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 2 / 8
Halmazok
Halmazok
A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.
Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük
Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.
Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.
Jelölés: H1 = H2
Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.
Jelölés: H1 ⊆ H2
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 2 / 8
Halmazok
Halmazok
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2
és H1 , H2
Jelölés: H1 ⊂ H2
Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznaknevezzük.
Jelölés: ∅ vagy { }
Megjegyzések:
Csak egy üres halmaz van.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van.Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 3 / 8
Halmazok
Halmazok
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2
és H1 , H2
Jelölés: H1 ⊂ H2
Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznaknevezzük.
Jelölés: ∅ vagy { }
Megjegyzések:
Csak egy üres halmaz van.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van.Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 3 / 8
Halmazok
Halmazok
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2
és H1 , H2
Jelölés: H1 ⊂ H2
Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznaknevezzük.
Jelölés: ∅ vagy { }
Megjegyzések:
Csak egy üres halmaz van.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van.Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 3 / 8
Halmazok
Halmazok
Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2
és H1 , H2
Jelölés: H1 ⊂ H2
Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznaknevezzük.
Jelölés: ∅ vagy { }
Megjegyzések:
Csak egy üres halmaz van.
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van.Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 3 / 8
Halmazok
Halmazok
Egy halmazt megadhatunk
elemeinek felsorolásávalpl. {Budapest,Róma,Párizs}
az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásávalpl. {n | n ∈ N, n > 3}
Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumotvezettek be.Pl.: N, Z, Q, R
A halmazokat gyakran zárt síkgörbeáltal határolt síkidomokkal szemléltetjük(Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 4 / 8
Halmazok
Halmazok
Egy halmazt megadhatunk
elemeinek felsorolásávalpl. {Budapest,Róma,Párizs}
az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásávalpl. {n | n ∈ N, n > 3}
Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumotvezettek be.Pl.: N, Z, Q, R
A halmazokat gyakran zárt síkgörbeáltal határolt síkidomokkal szemléltetjük(Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 4 / 8
Halmazok
Halmazok
Egy halmazt megadhatunk
elemeinek felsorolásávalpl. {Budapest,Róma,Párizs}
az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásávalpl. {n | n ∈ N, n > 3}
Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumotvezettek be.Pl.: N, Z, Q, R
A halmazokat gyakran zárt síkgörbeáltal határolt síkidomokkal szemléltetjük(Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 4 / 8
Halmazok
Halmazok
Egy halmazt megadhatunk
elemeinek felsorolásávalpl. {Budapest,Róma,Párizs}
az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásávalpl. {n | n ∈ N, n > 3}
Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumotvezettek be.Pl.: N, Z, Q, R
A halmazokat gyakran zárt síkgörbeáltal határolt síkidomokkal szemléltetjük(Venn-diagram):
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 4 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük,amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és Bhalmazok legalább egyikének elemei.
Jelölés: A ∪ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 5 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük,amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és Bhalmazok legalább egyikének elemei.
Jelölés: A ∪ B
A B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 5 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük,amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és Bhalmazok legalább egyikének elemei.
Jelölés: A ∪ B
A ∪ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 5 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmaztértjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak isés B-nek is elemei.
Jelölés: A ∩ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 6 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmaztértjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak isés B-nek is elemei.
Jelölés: A ∩ B
A B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 6 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmaztértjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak isés B-nek is elemei.
Jelölés: A ∩ B
A ∩ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 6 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmaztértjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyekA -nak elemei, de B-nek nem elemei.
Jelölés: A \ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 7 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmaztértjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyekA -nak elemei, de B-nek nem elemei.
Jelölés: A \ B
A B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 7 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmaztértjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyekA -nak elemei, de B-nek nem elemei.
Jelölés: A \ B
A \ B
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 7 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az
A × B ={(a, b) | a ∈ A , b ∈ B
}halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat arendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, másodikeleme pedig eleme B-nek.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkor
A × B ={(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)
}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 8 / 8
Halmazok
Halmazmuveletek
Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az
A × B ={(a, b) | a ∈ A , b ∈ B
}halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat arendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, másodikeleme pedig eleme B-nek.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkor
A × B ={(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)
}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 8 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:
Az összeadásKommutatív
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
Asszociatív
∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
A szorzásKommutatív
∀a, b ∈ R : ab = ba
Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 9 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:
Az összeadásKommutatív
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
Asszociatív
∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
A szorzásKommutatív
∀a, b ∈ R : ab = ba
Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 9 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:
Az összeadásKommutatív
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
Asszociatív
∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
A szorzásKommutatív
∀a, b ∈ R : ab = ba
Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 9 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:
Az összeadásKommutatív
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
Asszociatív
∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
A szorzásKommutatív
∀a, b ∈ R : ab = ba
Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 9 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:
Az összeadásKommutatív
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
Asszociatív
∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
A szorzásKommutatív
∀a, b ∈ R : ab = ba
Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 9 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazának van
zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a
egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = aA valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a∗ ∈ R szám, hogy a + a∗ = 0, azaz minden valósszámnak létezik ellentettje.Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a∗∗ ∈ R szám, hogy a · a∗∗ = 1, azaz mindennullától különbözo valós számnak létezik reciproka.
Jelölés:1a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 10 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazának van
zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a
egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = aA valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a∗ ∈ R szám, hogy a + a∗ = 0, azaz minden valósszámnak létezik ellentettje.Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a∗∗ ∈ R szám, hogy a · a∗∗ = 1, azaz mindennullától különbözo valós számnak létezik reciproka.
Jelölés:1a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 10 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazának van
zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a
egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = aA valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a∗ ∈ R szám, hogy a + a∗ = 0, azaz minden valósszámnak létezik ellentettje.Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a∗∗ ∈ R szám, hogy a · a∗∗ = 1, azaz mindennullától különbözo valós számnak létezik reciproka.
Jelölés:1a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 10 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazának van
zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a + 0 = a
egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy
∀a ∈ R : a · 1 = aA valós számok halmazában
∀a ∈ R esetén ∃a∗ ∈ R szám, hogy a + a∗ = 0, azaz minden valósszámnak létezik ellentettje.Jelölés: −a
∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a∗∗ ∈ R szám, hogy a · a∗∗ = 1, azaz mindennullától különbözo valós számnak létezik reciproka.
Jelölés:1a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 10 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:
∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:
∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:
∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:
∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 11 / 8
Valós számok
Valós számok
A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:
∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.
∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 11 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n
Következmények:
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre1n< ε.
Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N,amelyre nε > K .
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 12 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n
Következmények:
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre1n< ε.
Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N,amelyre nε > K .
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 12 / 8
Valós számok
Valós számok
Archimedesi axióma:
∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n
Következmények:
∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre1n< ε.
Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N,amelyre nε > K .
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 12 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol korlátosnak nevezünk, ha∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K .Megjegyzések:
A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük.
Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L ′ < Lesetén ∃a ∈ A , amelyre L ′ < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felsokorlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük.Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 13 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol korlátosnak nevezünk, ha∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K .Megjegyzések:
A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük.
Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L ′ < Lesetén ∃a ∈ A , amelyre L ′ < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felsokorlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük.Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 13 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol korlátosnak nevezünk, ha∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K .Megjegyzések:
A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük.
Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L ′ < Lesetén ∃a ∈ A , amelyre L ′ < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felsokorlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük.Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 13 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol korlátosnak nevezünk, ha∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K .Megjegyzések:
A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük.
Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L ′ < Lesetén ∃a ∈ A , amelyre L ′ < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felsokorlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük.Jelölés: sup A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 13 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k .Megjegyzések:
A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük.
Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l′ > l esetén∃a ∈ A , amelyre l′ > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának(alsó határának, infimumának) nevezzük.Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 14 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k .Megjegyzések:
A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük.
Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l′ > l esetén∃a ∈ A , amelyre l′ > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának(alsó határának, infimumának) nevezzük.Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 14 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k .Megjegyzések:
A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük.
Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l′ > l esetén∃a ∈ A , amelyre l′ > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának(alsó határának, infimumának) nevezzük.Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 14 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k .Megjegyzések:
A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük.
Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja islétezik.)
Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l′ > l esetén∃a ∈ A , amelyre l′ > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának(alsó határának, infimumának) nevezzük.Jelölés: inf A
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 14 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrolis korlátos.
Teljességi axióma:
Ha az A ⊂ R halmaz felülrol korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja,ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 15 / 8
Valós számok
Valós számok
Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrolis korlátos.
Teljességi axióma:
Ha az A ⊂ R halmaz felülrol korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja,ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 15 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a)n≥ 1 + na
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =
= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 16 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a)n≥ 1 + na
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =
= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 16 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor
(1 + a)n≥ 1 + na
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =
= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 16 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, ésa1, a2, . . . , an azonos elojeluek, akkor
n∏k=1
(1 + ak ) ≥ 1 +n∑
k=1
ak
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
n+1∏k=1
(1 + ak ) =
n∏k=1
(1 + ak )
(1 + an+1) ≥
1 +n∑
k=1
ak
(1 + an+1) =
1 +n∑
k=1
ak + an+1 +
n∑k=1
ak
an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1
ak
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 17 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, ésa1, a2, . . . , an azonos elojeluek, akkor
n∏k=1
(1 + ak ) ≥ 1 +n∑
k=1
ak
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
n+1∏k=1
(1 + ak ) =
n∏k=1
(1 + ak )
(1 + an+1) ≥
1 +n∑
k=1
ak
(1 + an+1) =
1 +n∑
k=1
ak + an+1 +
n∑k=1
ak
an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1
ak
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 17 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség
Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, ésa1, a2, . . . , an azonos elojeluek, akkor
n∏k=1
(1 + ak ) ≥ 1 +n∑
k=1
ak
Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal
egyenlo 1-gyel)
Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:
n+1∏k=1
(1 + ak ) =
n∏k=1
(1 + ak )
(1 + an+1) ≥
1 +n∑
k=1
ak
(1 + an+1) =
1 +n∑
k=1
ak + an+1 +
n∑k=1
ak
an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1
ak
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 17 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
A számtani és a mértani közép közötti egyenlotlenség
Tétel: Ha a1, a2, . . . , an pozitív valós számok, akkor
a1 + a2 + . . .+ an
n≥
n√a1a2 · . . . · an
és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 = . . . = an.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 18 / 8
Nevezetes egyenlotlenségek
A mértani és a harmonikus közép közötti egyenlotlenség
Tétel: Ha a1, a2, . . . , an pozitív valós számok, akkor
n√a1a2 · . . . · an ≥n
1a1
+ 1a2
+ . . .+ 1an
és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 = . . . = an.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 19 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.
Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =
{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)
}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.
Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
Jelölés: aRb, illetve aR/b.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.
Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =
{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)
}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.
Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
Jelölés: aRb, illetve aR/b.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.
Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =
{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)
}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.
Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
Jelölés: aRb, illetve aR/b.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.
Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =
{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)
}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.
Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
Jelölés: aRb, illetve aR/b.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.
Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.
Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =
{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)
}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.
Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.
Jelölés: aRb, illetve aR/b.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 20 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.
Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.
Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.
Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.
Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.
Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.
Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.
Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.
Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 21 / 8
Relációk, függvények
Relációk, függvények
Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.
Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.
Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.
Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 21 / 8