��I HÅC QUÈC GIA H� NËI

TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N H� NËI

���������

VÃ TÒNG LINH

V� D�NG CHU�N EDWARDSV� MËT V�I ÙNG DÖNG

LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC

H� NËI - 2014

��I HÅC QUÈC GIA H� NËI

TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N

���������

VÃ TÒNG LINH

V� D�NG CHU�N EDWARDSV� MËT V�I ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh: ��I SÈ V� LÞ THUY�T SÈ

M¢ sè: 60460104

LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:

TS. Phâ �ùc T i

H� NËI - 2014

Möc löc

Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Líi mð �¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Ki¸n thùc chu©n bà 6

1.1 Lþ thuy¸t chung v· �÷íng cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 D¤ng Montgomery cõa �÷íng cong elliptic . . . . . . . . . . . . 12

2 D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 15

2.1 D¤ng chu©n Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 D¤ng chu©n Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Hai cæng thùc cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards . . . 20

2.2 Nhâm c¡c �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards cuën . . . . . . . . . 27

3 Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 41

3.1 C¡c �iºm câ c§p nhä tr¶n �÷íng cong Edwards cuën . . . . . . 41

3.2 Nhâm xo­n cõa �÷íng cong Edwards tr¶n Q . . . . . . . . . . . 46

3.3 Ùng döng cõa �÷íng cong Edwards trong mªt m¢ . . . . . . . . 58

K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1

Líi c£m ìn

B£n luªn v«n n y �÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nh cõa

Th¦y gi¡o, Ti¸n s¾ Phâ �ùc T i, Gi£ng vi¶n Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Tr÷íng

�¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, �¤i håc Quèc gia H  nëi. Th¦y �¢ gi nh nhi·u

thíi gian h÷îng d¨n, trao �êi v  gi£i �¡p nhúng th­c m­c cõa tæi trong suèt

qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Qua luªn v«n n y, tæi muèn b y tä láng bi¸t ìn s¥u

s­c �¸n Th¦y gi¡o cõa m¼nh.

Tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c �¸n c¡c L¢nh �¤o Vi»n Khoa håc - Cæng ngh»

Mªt m¢, Ban Cì Y¸u Ch½nh Phõ, L¢nh �¤o Ph¥n vi»n Nghi¶n cùu Khoa håc

Mªt m¢ v  t§t c£ c¡c Cæ, Chó v  Anh, Chà, Em �çng nghi»p trong �ìn và �¢

t¤o �i·u ki»n tèi �a công nh÷ �¢ �âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u gióp tæi ho n

th nh luªn v«n n y.

Tæi công xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi PGS.TS. L¶ Minh H  v  c¡c Th¦y,

Cæ trong Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Tr÷íng �¤i håc Khoa håc Tü Nhi¶n, �¤i håc

Quèc Gia H  nëi, công nh÷ t§t c£ nhúng Th¦y, Cæ �¢ tham gia gi£ng d¤y khâa

Cao håc 2011-2013. N¸u khæng câ nhúng líi �ëng vi¶n, h÷îng d¨n v  cæng lao

d¤y dé cõa c¡c Th¦y, Cæ th¼ tæi công khæng ho n th nh �÷ñc luªn v«n n y.

Líi cuèi còng, tæi muèn gûi líi c£m ìn s¥u s­c �¸n Bè, Mµ v  gia �¼nh tæi,

nhúng ng÷íi �¢ tin t÷ðng s¥u s­c, �¢ luæn cê vô �ëng vi¶n v  chia s´ måi khâ

kh«n gióp tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi công xin c£m ìn t§t c£ nhúng anh

em b¤n b± luæn b¶n c¤nh tæi trong trong suèt khâa håc n y.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn t§t c£!

H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014

Håc vi¶n

Vã Tòng Linh

2

Líi mð �¦u

Trong nhúng n«m 80 cõa th¸ k¿ tr÷îc, Neal Kobliz v  Victor Miller �¢ �ëc

lªp �· xu§t vi»c sû döng �÷íng cong elliptic cho c¡c h» mªt m¢ khâa cæng

khai. Tø �â �¸n nay h» mªt �÷íng cong elliptic �¢ �÷ñc nghi¶n cùu s¥u rëng

v  trð n¶n phê bi¸n còng vîi c¡c h» mªt m¢ khâa cæng khai kh¡c, ch¯ng h¤n

nh÷ RSA, Diffie � Hellman v  ElGamal. Do ÷u th¸ l  câ cï cõa c¡c tham bi¸n

nhä hìn so vîi c¡c h» mªt m¢ khâa cæng khai kh¡c khi x²t ð còng mët mùc an

to n n¶n h» mªt �÷íng cong elliptic l  r§t h§p d¨n �èi vîi c¡c ùng döng m 

câ t i nguy¶n h¤n ch¸.

V o n«m 2007, Harold Edwards trong [7] �¢ �· xu§t mët d¤ng chu©n t­c

mîi cho c¡c �÷íng cong elliptic. B¬ng vi»c têng qu¡t hâa mët v½ dö b­t nguçn

tø Euler v  Gauss, Edwards �¢ giîi thi»u mët ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong

x2 + y2 = c2(1 + x2y2) tr¶n mët tr÷íng k câ �°c sè kh¡c 2. M°c dò b i b¡o

cõa H. Edwards khæng tªp trung v o vi»c ¡p döng d¤ng �÷íng cong n y trong

mªt m¢, nh÷ng d¦n d¦n, vîi nhúng nghi¶n cùu sau �â, d¤ng chu©n t­c n y

�¢ thº hi»n c¡c t½nh ch§t mªt m¢ �¡ng mong muèn v  húu ½ch trong né lüc

tr¡nh �º lë thæng tin. Ti¸p sau Edwards, Bernstein, Lang, Birker v  c¡c cëng

sü trong [1, 2, 4, 5] �¢ têng qu¡t hâa nghi¶n cùu cõa Edwards cho mët lîp

�÷íng cong rëng hìn ax2 + y2 = 1 + dx2y2 vîi a 6= d, a, d ∈ k \ {0, 1}. Nhúngt¡c gi£ n y �¢ k¸t hñp þ t÷ðng x¥y düng ph²p cëng �iºm cõa Edwards v  ph²p

cëng �iºm �èi ng¨u do Hisil, Wong, Carter v  Dawson �· xu§t trong [9] �º

�÷a ra mët cæng thùc duy nh§t cho c£ vi»c cëng �iºm l¨n nh¥n �æi �iºm. �¥y

l  mët ph¡t triºn quan trång bði khæng ch¿ mang l¤i cho nhâm �iºm tr¶n c¡c

�÷íng cong Edwards cuën nâi chung v  c¡c �÷íng cong Edwards nâi ri¶ng mët

3

Líi mð �¦u 4

c§u tróc nhâm, m  cæng thùc cëng �iºm duy nh§t n y l  cì sð n·n t£ng vúng

ch­c cho vi»c sû döng d¤ng chu©n Edwards trong mªt m¢ nh¬m chèng l¤i c¡c

t§n cæng k¶nh k·. Hìn núa, trong nhi·u tr÷íng hñp, ph²p cëng �iºm do c¡c

t¡c gi£ tr¶n �÷a ra câ sè l÷ñng nhúng t½nh to¡n cì b£n (ph²p nh¥n v  ph²p

cëng trong tr÷íng cì sð) ½t hìn, d¨n �¸n vi»c t½nh to¡n trong thüc t¸ s³ nhanh

hìn so vîi d¤ng chu©n Weierstrass. �çng thíi c¡c t¡c gi£ công x¥y düng t÷íng

minh lîp c¡c �÷íng cong Edwards, v  do �â l  lîp c¡c �÷íng cong elliptic d¤ng

Weierstrass tr¶n tr÷íng Q vîi nhâm xo­n cho tr÷îc.

Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y l¤i �ành ngh¾a �÷íng cong Edwards

v  �÷íng cong Edwards cuën theo nghi¶n cùu cõa Berstein v  c¡c cëng sü.

Chóng tæi công �i v o chi ti¸t vi»c x¥y düng ph²p cëng �iºm tr¶n c¡c d¤ng

�÷íng cong n y, v  tø �§y �i t½nh c¡c nhâm xo­n câ thº câ cõa chóng tr¶n

tr÷íng Q.Bè cöc cõa luªn v«n gçm câ ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà.

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· lþ thuy¸t

�÷íng cong elliptic têng qu¡t bao gçm c¡c �ành ngh¾a, k¸t qu£ cì b£n, vi»c x¥y

düng ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic. �çng thíi chóng tæi công tr¼nh

b y v· d¤ng Montgomery cõa �÷íng cong elliptic v  vi»c bi¸n �êi qua l¤i giúa

d¤ng Montgomery v  d¤ng Weierstrass.

Ch÷ìng 2: D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic.

Ch÷ìng n y gçm hai ph¦n. Ph¦n mët tr¼nh b y v· d¤ng chu©n Edwards v 

d¤ng têng qu¡t hìn l  c¡c �÷íng cong Edwards cuën. Chóng tæi công tr¼nh

b y mèi quan h» t÷ìng �÷ìng song húu t¿ giúa mët �÷íng cong Edwards cuën

(tr÷íng hñp ri¶ng l  �÷íng cong Edwards) vîi �÷íng cong d¤ng Weierstrass

nâi chung v  �÷íng cong d¤ng Montgomery nâi ri¶ng. Trong ph¦n n y chóng

tæi công tr¼nh b y chi ti¸t hai cæng thùc cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards

v  ch¿ ra nh÷ñc �iºm cõa hai cæng thùc n y. Ph¦n hai tr¼nh b y v· cæng thùc

cëng �iºm �¦y �õ v  duy nh§t tr¶n �÷íng cong Edwards cuën vîi c¡c �iºm

�÷ñc biºu di¹n ð d¤ng x¤ £nh trong P1 × P1. T½nh �óng �­n cõa ph²p cëng

�iºm n y �÷ñc chùng minh qua c¡c �ành lþ 2.15, 2.16, 2.17, 2.19. Tø �â rót ra

Líi mð �¦u 5

h» qu£ quan trång l  tªp c¡c �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards cuën (�÷íng cong

Edwards) l  mët nhâm aben, hìn núa nhâm n y �¯ng c§u vîi nhâm �iºm tr¶n

�÷íng cong ellptic d¤ng Montgomery t÷ìng ùng.

Ch÷ìng 3: Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards.

Ch÷ìng n y gçm ba ph¦n. Ph¦n mët chóng tæi t½nh c¡c �iºm câ c§p nhä, cö

thº l  c¡c �iºm c§p 2, 3, 4, 8 tr¶n �÷íng cong Edwards cuën. Ph¦n hai chóng

tæi tr¼nh b y �i·u ki»n cõa tham sè d �º �÷íng cong Edwards tr¶n Q câ nhâm

xo­n �¢ cho tr÷îc. Tø �â, nh÷ mët h» qu£, chóng tæi x¥y düng mët lîp c¡c

�÷íng cong elliptic d¤ng Weierstrass vîi nhâm xo­n �¢ cho thº hi»n qua H»

qu£ 3.12. Cuèi còng, trong ph¦n ba chóng tæi �÷a ra mët v i nhªn x²t v· kh£

n«ng ùng döng �÷íng cong Edwards trong mªt m¢. T§t c£ t½nh to¡n trong

luªn v«n chóng tæi �÷ñc thüc hi»n vîi ph¦n m·m Sage [16].

H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014

Håc vi¶n

Vã Tòng Linh

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· lþ thuy¸t �÷íng

cong elliptic têng qu¡t. Ngo i ra, chóng tæi công tr¼nh b y v· d¤ng Montgomery

cõa �÷íng cong elliptic. Nhúng k¸t qu£ ch½nh �÷ñc l§y tø c¡c t i li»u [8, 15,

14, 13]

1.1 Lþ thuy¸t chung v· �÷íng cong elliptic

Cho K l  mët tr÷íng câ �°c sè tòy þ.

�ành ngh¾a 1.1. [8, �ành ngh¾a 3.1]

Mët �÷íng cong elliptic E tr¶n tr÷íng K �÷ñc �ành ngh¾a bði ph÷ìng tr¼nh

E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6, (1.1)

vîi a1, a2, a3, a4, a6 ∈ K v  ∆ 6= 0, trong �â ∆ l  bi»t thùc cõa E �÷ñc �ành

ngh¾a nh÷ sau:

∆ = −d22d8 − 8d34 − 27d26 + 9d2d4d6

d2 = a21 + 4a2

d4 = 2a4 + a1a3

d6 = a23 + 4a6

d8 = a21a6 + 4a2a6 − a1a3a4 + a2a23 − a24.

N¸u L l  mët tr÷íng mð rëng cõa K th¼ tªp c¡c �iºm L− húu t¿ tr¶n E l 

E(L) = {(x, y) ∈ L× L : y2 + a1xy + a3y − x3 − a2x2 − a4x− a6 = 0} ∪ {∞}

6

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 7

trong �â ∞ l  �iºm t¤i væ h¤n.

V½ dö 1.2.

H¼nh 1.1: y2 = x3 − x H¼nh 1.2: y2 = x3 + x

Cho E l  mët �÷íng cong elliptic tr¶n tr÷íng K câ ph÷ìng tr¼nh x¡c �ành

vi¸t d÷îi d¤ng affine

E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6.

Khi �â ph÷ìng tr¼nh x¤ £nh cõa E s³ l 

E : y2z + a1xyz + a3yz2 = x3 + a2x

2z + a4xz2 + a6z

3,

v  �iºm P tr¶n E s³ câ tåa �ë vi¸t d÷îi d¤ng x¤ £nh l  (x : y : z). D¹ th§y,

n¸u �iºm P câ tåa �ë vi¸t d÷îi d¤ng affine l  (x, y) th¼ d¤ng x¤ £nh t÷ìng ùng

cõa nâ s³ l  (x : y : 1). Ng÷ñc l¤i, n¸u �iºm P câ tåa �ë x¤ £nh (x : y : z)

vîi z 6= 0 th¼ d¤ng affine t÷ìng ùng cõa nâ s³ l  (x/z, y/z). Trong tr÷íng hñp

z = 0 th¼ �iºm P ch½nh l  �iºm ∞, v  ta câ d¤ng x¤ £nh cõa �iºm væ còng l 

P = (0 : y : 0) = (0 : 1 : 0).

Ta câ mët sè chó þ v· �ành ngh¾a 1.1.

Chó þ 1.3. 1. Ph÷ìng tr¼nh (1.1) �÷ñc gåi l  Ph÷ìng tr¼nh Weierstrass têng

qu¡t, hay �º �ìn gi£n, ta gåi l  Ph÷ìng tr¼nh Weierstrass.

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 8

2. Ta nâi E �÷ñc �ành ngh¾a tr¶n K bði v¼ c¡c h» sè a1, a2, a3, a4, a6 trong

ph÷ìng tr¼nh �ành ngh¾a cõa E l  c¡c ph¦n tû thuëc K. Rã r ng l  n¸u

E �ành ngh¾a tr¶n K th¼ E công �ành ngh¾a tr¶n mët tr÷íng mð rëng tòy

þ cõa K.

3. �i·u ki»n ∆ 6= 0 �£m b£o �÷íng cong elliptic E l  �trìn�, �i·u n y câ

ngh¾a l  khæng tçn t¤i �iºm n o tr¶n E m  t¤i �â �÷íng cong câ nhi·u

hìn mët �÷íng th¯ng ti¸p tuy¸n.

4. �iºm∞ l  �iºm duy nh§t tr¶n �÷íng th¯ng t¤i væ h¤n m  thäa m¢n d¤ng

x¤ £nh cõa ph÷ìng tr¼nh Weierstrass.

5. C¡c �iºm L−húu t¿ tr¶n E l  c¡c �iºm (x, y) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh cõa

�÷íng cong v  câ c¡c tåa �ë x, y thuëc L. �iºm t¤i væ h¤n �÷ñc xem l 

mët �iºm L− húu t¿ �èi vîi måi tr÷íng mð rëng L cõa K.

�ành ngh¾a 1.4. Hai �÷íng cong elliptic E1 v  E2 �ành ngh¾a tr¶n K v  �÷ñc

cho bði c¡c ph÷ìng tr¼nh Weierstrass

E1 : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6

E2 : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6

�÷ñc nâi l  �¯ng c§u tr¶n K n¸u tçn t¤i u, r, s, t ∈ K, u 6= 0 sao cho ph²p �êi

bi¸n

(x, y) 7→ (u2x+ r, u3y + u2sx+ t) (1.2)

bi¸n �êi ph÷ìng tr¼nh E1 th nh ph÷ìng tr¼nh E2.

B¥y gií, gi£ sû ta câ ph÷ìng tr¼nh Weierstrass

E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6

x¡c �ành tr¶n K vîi char(K) 6= 2, 3. Khi �§y ta câ thº thüc hi»n ph²p �êi bi¸n

nh÷ sau: Ta vi¸t ph÷ìng tr¼nh (1.1) th nh

(y +

a1x

2+a32

)2

= x3 +

(a2 +

a214

)x2 +

(a4 +

a1a32

)x+

(a234

+ a6

).

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 9

�°t y1 = y + a1

2x+ a3

2,

a′2 = a2 + a214,

a′4 = a4 + a1a32,

a′6 = a234

+ a6,

ta nhªn �÷ñc ph÷ìng tr¼nh mîi câ d¤ng

y21 = x3 + a′2x2 + a′4x+ a′6.

Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh vøa nhªn �÷ñc th nh

y21 =

(x+

a′23

)3

+

(a′4 −

a′223

)x+

(a′6 −

a′3227

).

�°t x1 = x+ a′2

3,

a = a′4 − a′2

3,

b = a′6 −a′3227,

ta �÷ñc ph÷ìng tr¼nh

y21 = x31 + ax+ b. (1.3)

Khi �â ta t½nh �÷ñc bi»t thùc cõa �÷íng cong ∆ = −16(4a3 + 27b2). Ph÷ìng

tr¼nh (1.3) �÷ñc gåi l  Ph÷ìng tr¼nh Weierstrass thu gån, hay l  Ph÷ìng tr¼nh

Weierstrass ng­n.

�º cho tªp c¡c �iºm tr¶n E vîi tåa �ë trong K, kþ hi»u E(K), câ mët c§u

tróc nhâm, ta �i x¥y düng ph²p cëng �iºm (cán �÷ñc gåi l  Luªt nhâm) tr¶n

�÷íng cong elliptic theo ph÷ìng ph¡p �÷ñc gåi l  ti¸p tuy¸n-v -d¥y cung v 

�÷ñc minh håa qua c¡c h¼nh v³ d÷îi �¥y (xem [15]):

Gi£ sû P = (x1, y1) v  Q = (x2, y2) l  hai �iºm ph¥n bi»t tr¶n �÷íng cong

elliptic E. Khi �â têng cõa P v  Q �÷ñc �ành ngh¾a nh÷ sau: Tr÷îc ti¶n, ta

v³ �÷íng th¯ng qua P v  Q; �÷íng th¯ng n y giao vîi �÷íng cong E t¤i �iºm

thù ba, gåi l  �iºm R′. L§y �èi xùng �iºm R′ qua tröc tåa �ë x, ta �÷ñc �iºm

R. Khi �â R �÷ñc gåi l  têng cõa hai �iºm P v  Q, vi¸t R = P +Q.

�º �ành ngh¾a 2P = P + P , tr÷îc ti¶n ta v³ ti¸p tuy¸n cõa �÷íng cong E

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 10

H¼nh 1.3: Ph²p cëng: P +Q = R H¼nh 1.4: Nh¥n �æi: P + P = R

t¤i P . �÷íng th¯ng n y giao vîi E t¤i �iºm thù hai, kþ hi»u R′. L§y �èi xùng

�iºm R′ qua tröc tåa �ë x, ta �÷ñc �iºm R. Khi �â R �÷ñc �ành ngh¾a l  �iºm

nh¥n �æi cõa �iºm P , ta vi¸t R = P + P = 2P .

Ta cæng thùc hâa ph²p cëng �iºm vøa �÷ñc mæ t£ ð tr¶n qua �ành ngh¾a chi

ti¸t d÷îi �¥y.

�ành ngh¾a 1.5. (Luªt nhâm) Cho E l  mët �÷íng cong elliptic câ ph÷ìng

tr¼nh x¡c �ành y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 vîi c¡c h» sè a1, a2, a3, a4, a6 ∈

K. Gi£ sû P1 = (x1, y1) v  P2 = (x2, y2) l  c¡c �iºm tr¶n E vîi P1, P2 6= ∞.�ành ngh¾a P1 + P2 = P3 = (x3, y3) nh÷ sau:

1. N¸u x1 6= x2, th¼

x3 = −x1− x2− a2 +m(m+ a1), y3 = −y1− a3− a1x3 +m(x1− x3),

trong �â m = y2−y1x2−x1 .

2. N¸u x1 = x2 v  y2 = −y1 − a1x1 − a3, th¼ P1 + P2 =∞ v  �iºm P2 trong

tr÷íng hñp n y �÷ñc gåi l  �iºm �èi cõa P1, kþ hi»u −P1.

3. N¸u x1 = x2 v  P2 6= −P1, th¼

x3 = −x1− x2− a2 +m(m+ a1), y3 = −y1− a3− a1x3 +m(x1− x3),

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 11

trong �â m = 3x21+2a2x1+a4−a1y2y1+a1x1+a3

.

Hìn núa, �ành ngh¾a

P +∞ = P

vîi måi �iºm P tr¶n E.

Vîi luªt nhâm (ph²p cëng �iºm) �÷ñc �ành ngh¾a nh÷ tr¶n, ta nhªn �÷ñc

k¸t qu£ sau.

�ành lþ 1.6. [15, �ành lþ 2.1] Tªp c¡c �iºm cõa �÷íng cong elliptic E x¡c �ành

tr¶n K d÷îi ph²p cëng �iºm �ành ngh¾a nh÷ trong �ành ngh¾a 1.5 lªp th nh

mët nhâm aben vîi ph¦n tû trung háa l  �iºm ∞.

�ành ngh¾a 1.7. Gi£ sû P l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic E. N¸u tçn

t¤i mët sè nguy¶n n ≥ 1 sao cho nP = ∞ th¼ ta nâi P l  mët �iºm n − xo­n

tr¶n E. Gi¡ trà n ≥ 1 nhä nh§t thäa m¢n nP =∞ �÷ñc gåi l  c§p cõa �iºm P .

N¸u E l  mët �÷íng cong elliptic x¡c �ành tr¶n tr÷íng húu h¤n Fq, ta �°t

#E(Fq) = #{P ∈ E(Fq)}.

Khi �â ta câ �ành lþ sau �º �¡nh gi¡ �ë lîn cõa #E(Fq) (xem [15]).

�ành lþ 1.8. (Hasse) Cho E l  mët �÷íng cong elliptic tr¶n tr÷íng húu h¤n

Fq. Khi �â c§p cõa nhâm E(Fq) thäa m¢n

|q + 1−#E(Fq)| ≤ 2√q.

Trong thüc h nh, �º t½nh sè �iºm cõa mët �÷íng cong elliptic tr¶n tr÷íng

húu h¤n ng÷íi ta sû döng mët thuªt to¡n r§t hi»u qu£ � th÷íng �÷ñc bi¸t �¸n

vîi t¶n gåi Thuªt to¡n Schoof � do R. Schoof �· xu§t v o n«m 1986. Còng vîi

nhúng c£i ti¸n cho �¸n nay, Thuªt to¡n Schoof câ �ë phùc t¤p t½nh to¡n �÷ñc

÷îc l÷ñng v o kho£ng O(log8 q) vîi q l  c§p cõa tr÷íng cì sð. Chi ti¸t xem

trong [15, Möc 4.5].

C¡c cæng thùc trong luªt nhâm �÷ñc x¥y düng ð tr¶n �·u �÷ñc tr¼nh b y

vîi c¡c �iºm cõa �÷íng cong �÷ñc thº hi»n theo tåa �ë affine. B¬ng vi»c khû

�i c¡c m¨u sè trong cæng thùc, ta nhªn �÷ñc c¡c cæng thùc cëng �iºm biºu

di¹n theo tåa �ë x¤ £nh cõa c¡c �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic.

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 12

1.2 D¤ng Montgomery cõa �÷íng cong elliptic

�ành ngh¾a 1.9. �÷íng cong elliptic d¤ng Montgomery x¡c �ành tr¶n tr÷íng

K l  mët �÷íng cong elliptic �÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh

EM,A,B : Bv2 = u3 + Au2 + u, (1.4)

trong �â A ∈ K \ {−2, 2} v  B ∈ K \ {0}.

Do B ∈ K \ {0} n¶n ta câ thº chia c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (1.4) cho B3

v  nhªn �÷ñc

(v

B)2 = (

u

B)3 +

A

B(u

B)2 +

1

B2

u

B.

�°t X = u/B, Y = v/B, ta nhªn �÷ñc ph÷ìng tr¼nh d¤ng Weierstrass

Y 2 = X3 +A

BX2 +

1

B2X.

Nh÷ vªy, vîi ph²p �êi bi¸n (u, v) 7→ (u/B, v/B) ta bi¸n �êi mët �÷íng cong câ

ph÷ìng tr¼nh d¤ng Montgomery v· d¤ng Weierstrass. Do �â �÷íng cong elliptic

d¤ng Montgomery l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa (1.1):

Gi£ sû P1 = (u1, v1) v  P2 = (u2, v2) l  hai �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic

d¤ng Montgomery EM,A,B. Khi �â

• Cæng thùc cëng: N¸u P1 6= ±P2 th¼ P3 = (u3, v3) = P1 + P2 �÷ñc x¡c

�ành bði

u3 = Bλ2 − A− u2 − u1

v3 = λ(u1 − u3)− v1,

trong �â λ = (v2 − v1)/(u2 − u1).

• Cæng thùc nh¥n �æi: N¸u P1 = P2 v  P1 6= −P2 th¼ P3 = (u3, v3) = 2P1

�÷ñc x¡c �ành bði

u3 = Bλ2 − A− 2u1

v3 = λ(u1 − u3)− v1,

ð �¥y λ = (3u21 + 2Au1 + 1)/(2Bv1).

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 13

• N¸u P2 = −P1 th¼ P1 + P2 =∞, ð �¥y −P1 l  �iºm �èi cõa P1 v  câ tåa

�ë l  (u1,−v1).

�ành lþ d÷îi �¥y ch¿ ra �i·u ki»n �º bi¸n �êi mët ph÷ìng tr¼nh Weierstrass

ng­n th nh ph÷ìng tr¼nh d¤ng Montgomery.

�ành lþ 1.10. Cho K l  mët tr÷íng câ char(K) 6= 2, 3. Mët �÷íng cong elliptic

E câ ph÷ìng tr¼nh d¤ng Weierstrass ng­n E : y2 = x3 + ax+ b câ thº bi¸n �êi

v· d¤ng Montgomery n¸u v  ch¿ n¸u nâ thäa m¢n c¡c �i·u ki»n sau �¥y:

1. Ph÷ìng tr¼nh x3 + ax+ b = 0 câ ½t nh§t mët nghi»m trong K.

2. Ph¦n tû 3α2 + a l  ch½nh ph÷ìng trong K, ð �¥y α l  mët nghi»m cõa

ph÷ìng tr¼nh x3 + ax+ b = 0 trong K.

Chùng minh. �i·u ki»n c¦n: Gi£ sû E thäa m¢n c¡c �i·u ki»n trong �ành

lþ. Gåi s l  mët trong c¡c c«n bªc hai cõa (3α2 + a)−1 trong K, v  �°t

B = s, A = 3αs. Khi �â, d¹ d ng kiºm tra �÷ñc ph²p �êi bi¸n (x, y) 7→(u, v) = (s(x − α), sy) bi¸n �êi E trð th nh EM,A,B, ð �¥y EM,A,B l  �÷íng

cong elliptic d¤ng Montgomery �ành ngh¾a bði Bv2 = u3 + Au2 + u.

�i·u ki»n �õ: Ng÷ñc l¤i, gi£ sû �÷íng cong elliptic E �÷ñc bi¸n �êi v· d¤ng

Montgomery EM,A,B : Bv2 = u3 + Au2 + u. D¹ th§y �iºm (0, 0) ∈ EM,A,B(k)

v  sû döng cæng thùc cëng �iºm ð tr¶n, ta câ thº ch¿ ra �÷ñc �iºm n y câ c§p

2. Do �â suy ra �÷íng cong E ph£i câ c§p hai, �i·u n y �çng ngh¾a vîi vi»c

ph÷ìng tr¼nh x3 + ax+ b = 0 ph£i câ ½t nh§t mët nghi»m trong K, tùc l  �i·u

ki»n (1) �÷ñc thäa m¢n.

Ph²p �¯ng c§u bi¸n �êi d¤ng Weierstrass ng­n cõa E th nh d¤ng Mont-

gomery EM,A,B �÷ñc cho d÷îi d¤ng (x, y) 7→ (s(x−α′), t(y−β′)) vîi s, t, α′, β′ ∈K, s, t 6= 0 n o �â. V¼ tçn t¤i mët �iºm (α, 0) câ c§p 2 tr¶n �÷íng cong elliptic

d¤ng Weierstrass ng­n E t÷ìng ùng vîi �iºm (0, 0) tr¶n d¤ng Montgomery,

n¶n ta nhªn �÷ñc α′ = α, β′ = 0. Khi �â ph²p �¯ng c§u ¡nh x¤ (x, y) tîi

(s(x−α), ty). Do �iºm n y n¬m tr¶n EM,A,B n¶n thay v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng

cong ta nhªn �÷ñc

Bt2y2 = s3(x− α)3 + As2(x− α)2 + s(x− α).

Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà 14

Do (x, y) l  mët �iºm tr¶n E n¶n thay y2 = x3 + ax+ b v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n,

ta �÷ñc

Bt2(x3 + ax+ b) = s3(x− α)3 + As(x− α)2 + (x− α).

�çng nh§t h» sè hai v¸ ta thu �÷ñc Bt2 = s3, thay ng÷ñc trð l¤i v o ph÷ìng

tr¼nh v  chia c£ hai v¸ cho s ta câ

s2(x3 + ax+ b) = s2(x− α)3 + As(x− α)2 + (x− α).

L§y �¤o h m hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n theo x t¤i x = α ta �÷ñc

s2(3α2 + a) = 1,

tø �¥y suy ra 3α2 + a l  ch½nh ph÷ìng trong K, vªy �i·u ki»n (2) công �÷ñc

thäa m¢n. �ành lþ �÷ñc chùng minh. �

Ch֓ng 2

D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng

cong elliptic

2.1 D¤ng chu©n Edwards

Trong möc n y chóng tæi tr¼nh b y �ành ngh¾a �÷íng cong Edwards, �÷íng

cong Edwards cuën (twisted Edwards curve) công nh÷ ph²p cëng �iºm tr¶n

c¡c d¤ng �÷íng cong n y. Nëi dung cõa möc n y �÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n c¡c

t i li»u [1, 2, 4, 5, 9].

2.1.1 D¤ng chu©n Edwards

�ành ngh¾a 2.1. Cho k l  mët tr÷íng câ �°c sè kh¡c 2, v  d ∈ k \ {0, 1}.�÷íng cong Edwards, kþ hi»u EE,d, l  �÷íng cong �÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh

EE,d : x2 + y2 = 1 + dx2y2.

�÷íng cong Edwards cuën l  �÷íng cong câ ph÷ìng tr¼nh x¡c �ành EE,a,d :

ax2 + y2 = 1 + dx2y2 trong �â a, d ∈ k \ {0, 1}, a 6= d.

�ành ngh¾a 2.2. Cho E l  mët �÷íng cong �ành ngh¾a tr¶n k. Mët cuën bªc

hai cõa E l  �÷íng cong �¯ng c§u vîi E tr¶n mët mð rëng tr÷íng K/k vîi

[K : k] = 2.

D¹ th§y �÷íng cong Edwards cuën EE,a,d : ax2 +y2 = 1+dx2y2 l  mët cuën

bªc hai cõa �÷íng cong Edwards EE,d/a : X2 + Y 2 = 1 + (d/a)X2Y 2. �nh x¤

15

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 16

(x, y) 7→ (x√a, y) l  mët �¯ng c§u tø EE,a,d tîi EE,d/a tr¶n tr÷íng mð rëng

k(√a). Do �â, n¸u a l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼ EE,a,d �¯ng c§u vîi EE,d/a

tr¶n k.

V½ dö 2.3.

H¼nh 2.1: x2 + y2 = 1− 200x2y2 H¼nh 2.2: −4x2 + y2 = 1− 100x2y2

Bê �· 2.4. Méi �÷íng cong Edwards cuën EE,a,d �ành ngh¾a nh÷ tr¶n l  t÷ìng

�÷ìng song húu t¿ vîi �÷íng cong EM,A,B : Bv2 = u3 + Au2 + u, trong �â

A = 2(a+ d)/(a− d) v  B = 4/(a− d).

Chùng minh. Rã r ng A,B �÷ñc �ành ngh¾a v¼ a 6= d. Hìn núa, B ∈ k \{0} v A ∈ k \ {−2, 2} v¼ n¸u A = 2, suy ra a− d = a+ d k²o theo d = 0, m¥u thu¨n

vîi �ành ngh¾a cõa EE,a,d; n¸u A = −2 th¼ −d− a = a− d k²o theo a = 0, m¥u

thu¨n vîi �ành ngh¾a cõa EE,a,d. Kþ hi»u EE,a,d(k) v  EM,A,B(k) l¦n l÷ñt l  tªp

c¡c �iºm húu t¿ tr¶n k cõa hai �÷íng cong EE,a,d v  EM,A,B. X²t ¡nh x¤ húu t¿

ϕ : EE,a,d(k) → EM,A,B(k)

(x, y) 7→ (u, v)

trong �â (u, v) =((1 + y)/(1 − y), (1 + y)/(1 − y)x

). Ta s³ ch¿ ra ϕ l  t÷ìng

�÷ìng song húu t¿ tø EE,a,d(k) tîi EM,A,B vîi ¡nh x¤ ng÷ñc (u, v) 7→ (x, y) =

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 17((u/v), (u − 1)/(u + 1)

). Thªt vªy, vîi (x, y) ∈ EE,a,d(k), thay (u, v) x¡c �ành

nh÷ tr¶n v o ph÷ìng tr¼nh Bv2 = u3 + Au2 + u vîi A = 2(a + d)/(a − d)

v  B = 4/(a − d), b¬ng c¡c t½nh to¡n �ìn gi£n k¸t hñp sû döng h» thùc

x2 + y2 = 1 + dx2y2 ta nhªn �÷ñc k¸t qu£ (u, v) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh �÷íng

cong EM,A,B. Chi·u ng÷ñc l¤i công �÷ñc kiºm tra t÷ìng tü. M°t kh¡c, c¡c

tr÷íng hñp c¡ bi»t y = 1 v  x = 0 cõa ¡nh x¤ ϕ ch¿ xu§t hi»n vîi húu h¤n c¡c

�iºm (x, y) tr¶n �÷íng cong EE,a,d ; c¡c tr÷íng hñp c¡ bi»t v = 0 v  u = −1

cõa ¡nh x¤ ng÷ñc công ch¿ xu§t hi»n vîi húu h¤n �iºm (u, v) tr¶n EM,A,B. Vªy

ϕ l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ tø EE,a,d(k) tîi EM,A,B(k), �i·u n y câ ngh¾a

�÷íng cong Edwards EE,a,d l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi �÷íng cong EM,A,B.

�

�ành lþ d÷îi �¥y cho ta th§y sü bi¸n �êi qua l¤i giúa d¤ng Weierstrass v 

d¤ng Edwards cõa mët �÷íng cong elliptic.

�ành lþ 2.5. ([4, �ành lþ 2.1]) Cho k l  mët tr÷íng câ �°c sè kh¡c 2. Gi£ sû

E l  mët �÷íng cong elliptic tr¶n k sao cho nhâm E(k) câ mët �iºm c§p 4.

Khi �â

1. Tçn t¤i d ∈ k \ {0, 1} sao cho �÷íng cong x2 + y2 = 1 + dx2y2 l  t÷ìng

�÷ìng song húu t¿ tr¶n k vîi mët cuën bªc hai cõa E;

2. N¸u E(k) câ duy nh§t mët ph¦n tû c§p 2 th¼ tçn t¤i ph¦n tû khæng ch½nh

ph÷ìng d ∈ k sao cho �÷íng cong x2 +y2 = 1+dx2y2 l  t÷ìng �÷ìng song

húu t¿ tr¶n k vîi mët cuën bªc hai cõa E; v 

3. N¸u k l  húu h¤n v  E(k) câ duy nh§t mët ph¦n tû c§p 2 th¼ tçn t¤i mët

ph¦n tû khæng ch½nh ph÷ìng d ∈ k sao cho �÷íng cong x2+y2 = 1+dx2y2

l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ tr¶n k vîi E.

Chùng minh. Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh d¤ng Weierstrass têng qu¡t cõa �÷íng cong

elliptic E l 

s2 + a1rs+ a3s = r3 + a2r2 + a4r + a6.

V¼ char(k) 6= 2 n¶n thüc hi»n ph²p �êi bi¸n s = s+ (a1r+ a3)/2, ph÷ìng tr¼nh

cõa E trð th nh s2 = r3 + (a2 − a21/4)r2 + (a4 − a1a3)r + (a6 − a23/4). Do �â,

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 18

khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t a1 = 0 v  a3 = 0, tùc l  E câ

ph÷ìng tr¼nh s2 = r3 + a2r2 + a4r + a6.

Gåi P = (r1, s1) l  �iºm c§p 4 tr¶n E. Khi �â 2P l  mët �iºm c§p hai n¶n

ta câ 2P = (r2, 0). B¬ng ph²p �êi bi¸n �ìn gi£n r = r − r2, ta tành ti¸n �iºm

2P v· gèc tåa �ë (0, 0). Do vªy, khæng gi£m têng qu¡t, ta công câ thº gi£ thi¸t

2P = (0, 0) v  tø �â suy ra a6 = 0. Lóc n y �÷íng cong elliptic E câ ph÷ìng

tr¼nh d¤ng s2 = r3 + a2r2 + a4r. Ta s³ t¼m c¡ch biºu di¹n c¡c h» sè a2 v  a4

qua r1, s1.

Do P l  �iºm c§p 4 n¶n s1 6= 0 (v¼ n¸u s1 = 0 th¼ �iºm P câ c§p 2). Tø

ph÷ìng tr¼nh cõa �÷íng cong E suy ra r1 6= 0. Ph÷ìng tr¼nh 2P = (0, 0) cho

th§y �÷íng th¯ng ti¸p tuy¸n vîi E t¤i P �i qua gèc tåa �ë (0, 0), hay nâi c¡ch

kh¡c ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n t¤i �iºm P câ d¤ng s1−0 = (r1−0)λ trong �â λ l 

h» sè ti¸p tuy¸n v  λ = (3r21+2a2r1+a4)/2s1. Do �â 3r31+2a2r21+a4r1 = 2s21. M°t

kh¡c, v¼ P l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong E n¶n ta câ 2s21 = 2s31 + 2a2r21 + 2a4r1.

Trø hai ph÷ìng tr¼nh n y cho nhau, ta nhªn �÷ñc r31 = a4r1, suy ra a4 = r21.

Ngo i ra, tø ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong ta nhªn �÷ñc a2 = (s21 − r31 − a4r1)/r21.Thay a4 = r21 v o ta câ a2 = s21/r

21 − 2r1. �°t d = 1 − 4r31/s

21 ta nhªn �÷ñc

a2 = 2((1 + d)/(1− d))r1.

Do r1 6= 0 n¶n d 6= 1. Hìn núa ta công câ d 6= 0 v¼ n¸u ng÷ñc l¤i d = 0

th¼ a2 = 2r1, a4 = r21, do �â v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong E s³ l 

r3 +a2r2 +a4r = r3 +2r1r

2 +r21r = r(r+r1)2, �i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

E l  mët �÷íng cong elliptic. Ngo i ra, n¸u d l  mët sè ch½nh ph÷ìng th¼ ta

d¹ d ng kiºm tra �÷ñc �iºm(r1(√d + 1)/

√d − 1), 0

)công thuëc �÷íng cong

E v  �iºm n y câ c§p 2.

X²t hai cuën bªc hai cõa E, k½ hi»u E ′ v  E ′′ l  hai �÷íng cong elliptic

x¡c �ành bði c¡c ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ùng (r1/(1 − d))s2 = r3 + a2r2 + a4r v 

(dr1/(1− d))s2 = r3 + a2r2 + a4r.

Thüc hi»n ph²p �êi bi¸n u = r/r1 v  v = s/r1, ph÷ìng tr¼nh cõa E ′ trð th nh

(1/(1− d))v2 = u3 + a2/r1u2 + a4/r

21u = u3 + 2((1 + d)/(1− d))u2 + u do ta câ

a2 = 2((1 + d)/(1 − d))r1 v  a4 = r21 nh÷ �¢ t½nh ð tr¶n; t÷ìng tü th¼ ph÷ìng

tr¼nh �÷íng cong E ′′ trð th nh d/(1− d)v2 = u3 + 2((1 + d)/(1− d))u2 + u.

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 19

�p döng Bê �· 2.4, ta câ �÷íng cong x2 + y2 = 1 + dx2y2 l  t÷ìng �÷ìng

song húu t¿ vîi �÷íng cong EA,B : Bv′2 = u′3 +Au′2 +u′ vîi A,B x¡c �ành nh÷

trong bê �· . B¬ng ph²p �êi bi¸n �ìn gi£n v = 2v′ v  u = u′, ph÷ìng tr¼nh

�÷íng cong EA,B trð th nh (1/(1− d))v2 = u3 + 2((1 + d)/(1− d))u2 + u. �i·u

n y d¨n �¸n �÷íng cong x2 + y2 = 1 + dx2y2 t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi E ′.

Thay 1/d v o và tr½ cõa d ta nhªn �÷ñc �÷íng cong x2 + y2 = 1 + (1/d)x2y2,

v  theo Bê �· 2.4 th¼ �÷íng cong n y t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi �÷íng

cong (1/(1 − 1/d))v′2 = u′3 + 2((1 + 1/d)/(1 − 1/d))u′2 + u′. Thüc hi»n ph²p

�êi bi¸n v = v′ v  u = −u′ ta nhªn �÷ñc �÷íng cong E ′′ : (d/(1 − d))v2 =

u3 + 2((1 + d)/(1− d))u2 + u.

N¸u k l  tr÷íng húu h¤n v  d khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng th¼ khi �â

mët trong hai gi¡ trà r1/(1− d) v  dr1/(1− d) s³ l  sè ch½nh ph÷ìng trong k,

v  do �â ta ch¿ c¦n thüc hi»n ph²p �êi bi¸n �ìn gi£n s =√r1/(1− d)s ho°c

s =√dr1/(1− d)s l  ta nhªn �÷ñc �÷íng cong E tø E ′ ho°c E ′′, t÷ìng ùng.

Khi �â, tø lªp luªn ð tr¶n, ta câ E l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi �÷íng cong

x2 + y2 = 1 + dx2y2 ho°c x2 + y2 = 1 + (1/d)x2y2, t÷ìng ùng.

Têng hñp c¡c lªp luªn ð tr¶n, ta nhªn �÷ñc:

1. �÷íng cong x2 + y2 = 1 + dx2y2 l  t÷ìng �÷ìng vîi �÷íng cong cuën bªc

hai E ′ cõa E.

2. N¸u E câ duy nh§t mët �iºm c§p 2 th¼ d khæng ph£i l  mët sè ch½nh

ph÷ìng v  khi �â x2 + y2 = 1 + dx2y2 t÷ìng �÷ìng vîi cuën bªc hai E ′

cõa E.

3. N¸u k l  tr÷íng húu h¤n v  E câ duy nh§t mët �iºm c§p 2 th¼ d khæng ph£i

l  mët sè ch½nh ph÷ìng, v  khi �â E �¯ng c§u mët trong c¡c cuën cõa nâ

l  E ′ ho°c E ′′. Do �â E l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi x2+y2 = 1+dx2y2

ho°c x2 + y2 = 1 + (1/d)x2y2.

�

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 20

2.1.2 Hai cæng thùc cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards

Möc �½ch cõa ph¦n n y l  �÷a ra ph²p cëng �iºm tr¶n mët �÷íng cong

Edwards v  chùng minh t½nh �óng �­n cõa nâ.

�ành ngh¾a 2.6. Cho k l  mët tr÷íng câ �°c sè kh¡c 2 v  mët �÷íng cong

Edwards E x¡c �ành tr¶n tr÷íng k bði ph÷ìng tr¼nh x2 + y2 = 1 + dx2y2 vîi

d ∈ k \ {0, 1}. Ph²p cëng hai �iºm (x1, y1), (x2, y2) tr¶n �÷íng cong Edwards

E �÷ñc �ành ngh¾a bði

(x1, y1) + (x2, y2) =

(x1y2 + y1x2

1 + dx1x2y1y2,y1y2 − x1x2

1− dx1x2y1y2

). (2.1)

Vîi ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards �ành ngh¾a nh÷ tr¶n, ta câ �iºm

(0, 1) ph¦n tû trung háa cõa ph²p cëng. �iºm ng÷ñc cõa �iºm (x1, y1) tr¶n

E l  �iºm (−x1, y1). Ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards công �÷ñc ¡p

döng cho tr÷íng hñp nh¥n �æi mët �iºm.

�ành lþ ngay sau �¥y kh¯ng �ành k¸t qu£ cõa ph²p cëng �iºm �ành ngh¾a

ð tr¶n l  mët �iºm cõa �÷íng cong Edwards E khi ph²p to¡n �÷ñc x¡c �ành,

tùc l  khi dx1x2y1y2 /∈ {−1, 1}.

�ành lþ 2.7. [4, �ành lþ 3.1] Vîi kþ hi»u nh÷ tr¶n, gi£ sû (x1, y1) + (x2, y2) =

(x3, y3). Khi �â (x3, y3) công thuëc v o �÷íng cong Edwards E, tùc l  x23+y23 =

1 + dx23y23.

Chùng minh. Vîi gi£ thi¸t dx1x2y1y2 /∈ {1,−1} ta s³ chùng minh �ành lþ b¬ng

c¡ch t½nh to¡n trüc ti¸p. Tr÷îc ti¶n ta t½nh N = x23 + y23 − (1 + dx23y23). Ta câ

N = x23 + y23 − (1 + dx23y23)

=

(x1y2 + y1x2

1 + dx1x2y1y2

)2

+

(y1y2 − x1x2

1− dx1x2y1y2

)2

−

−(

1 + d

(x1y2 + y1x2

1 + dx1x2y1y2

)2(y1y2 − x1x2

1− dx1x2y1y2

)2).

Tû sè cõa N b¬ng T = (x1y2 + y1x2)2(1 − dx1x2y1y2)

2 + (y1y2 − x1x2)2(1 +

dx1x2y1y2)2−((1+dx1x2y1y2)

2(1−dx1x2y1y2)2+d(x1y2+y1x2)2(y1y2−x1x2)2).

T½nh to¡n rót gån biºu thùc ta nhªn �÷ñc T = (x21 + y21 − (x22 + y22)dx21y

21)(x

22 +

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 21

y22− (x21 + y21)dx22y

22)− (1−d2x21x22y21y21)2. V¼ c¡c �iºm (x1, y1), (x2, y2) thäa m¢n

ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong E n¶n x21 + y21 = 1 + dx21y21 v  x22 + y22 = 1 + dx22y

22.

Thay v o T ta nhªn �÷ñc

T = (1 + dx21y21 − (1 + dx22y

22)dx

21y

21)(1 + dx22y

22 − (1 + dx21y

21)dx

22y

22)−

−(1− d2x21x22y21y22)2

= (1− d2x21x22y21y22)2 − (1− d2x21x22y21y22)2

= 0,

v  do vªy x23 +y23 = 1 +dx23y23. �i·u n y câ ngh¾a têng cõa hai �iºm tr¶n �÷íng

cong E l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong E vîi gi£ thi¸t dx1x2y1y2 /∈ {1,−1}. �

�ành lþ ti¸p theo cho ta kh¯ng �ành k¸t qu£ cõa ph²p cëng hai �iºm tr¶n

�÷íng cong Edwards s³ t÷ìng ùng vîi k¸t qu£ ph²p cëng hai �iºm tr¶n �÷íng

cong elliptic E m  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ vîi �÷íng cong Edwards E �¢ cho.

Nhí �ành lþ n y ta câ thº thüc hi»n c¡c ph²p t½nh to¡n nhâm tr¶n E b¬ng c¡chthüc hi»n c¡c ph²p t½nh to¡n nhâm t÷ìng ùng tr¶n �÷íng cong Edwards E.

�ành lþ 2.8. [4, �ành lþ 3.2] Vîi gi£ thi¸t nh÷ trong �ành lþ 2.7, �°t e = 1−dv  gåi E l  �÷íng cong elliptic x¡c �ành bði ph÷ìng tr¼nh (1/e)v2 = u3 + (4/e−2)u2 +u. Vîi méi i ∈ {1, 2, 3} �ành ngh¾a �iºm Pi tr¶n E nh÷ sau: Pi =∞ n¸u

(xi, yi) = (0, 1); Pi = (0, 0) n¸u (xi, yi) = (0,−1); v  Pi = (ui, vi) n¸u xi 6= 0,

trong �â ui = (1 + yi)/(1− yi) v  vi = 2(1 + yi)/(1− yi)xi. Khi �â Pi ∈ E(k) v 

P1+P2 = P3, ð �¥y E(k) = {(u, v) ∈ k×k : (1/e)v2 = u3+(4/e−2)+u}∪{∞}.

Chó þ 2.9. Trong ph¡t biºu cõa �ành lþ têng P1 + P2 câ ngh¾a l  têng cõa

hai �iºm P1 v  P2 theo ph²p cëng �iºm quen thuëc tr¶n �÷íng cong elliptic

E . Hìn núa �i·u ki»n xi 6= 0 k²o theo yi 6= 1. Ngo i ra, �º vi»c t½nh to¡n

trð n¶n quen thuëc hìn, ta câ thº bi¸n �êi �÷íng cong elliptic E v· d¤ng

Weierstrass theo c¡ch sau: Chia c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong E cho

(1/e)3 ta �÷ñc e2v2 = e3u3 + (4− 2e)e2u2 + e3u. Thüc hi»n ph²p �êi bi¸n �ìn

gi£n V = ev, U = eu ta nhªn �÷ñc ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong elliptic d¤ng

Weierstrass V 2 = U3 + (4 − 2e)U2 + e2U . Khi �â ta v¨n �ành ngh¾a �÷ñc c¡c

�iºm Pi nh÷ trong �ành lþ, nh÷ng câ mët chót kh¡c bi»t vîi tr÷íng hñp (xi, yi)

vîi xi 6= 0 th¼ Ui = e(1 + yi)/(1− yi) v  Vi = 2e(1 + yi)/(1− yi)xi.

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 22

Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta s³ ch¿ ra méi Pi ∈ E(k) vîi i = 1, 2, 3. N¸u

(xi, yi) = (0, 1) th¼ Pi =∞ ∈ E(k). N¸u (xi, yi) = (0,−1) th¼ Pi = (0, 0) ∈ E(k).

Vîi tr÷íng hñp cán l¤i ta t½nh to¡n gièng nh÷ trong chùng minh �ành lþ 2.5

v  nhªn �÷ñc Pi = (ui, vi) ∈ E(k).

�º k¸t thóc chùng minh �ành lþ, ta s³ ch¿ ra P1 + P2 = P3. Ta x²t tøng

tr÷íng hñp cö thº nh÷ sau:

N¸u (x1, y1) = (0, 1) th¼ sû döng cæng thùc cëng �iºm tr¶n �÷íng cong

Edwards ta câ (x3, y3) = (x2, y2). Khi �â P1 l  �iºm t¤i væ h¤n v  P2 = P3,

vªy n¶n P1 + P2 = ∞ + P2 = P2 = P3. Lªp luªn t÷ìng tü vîi tr÷íng hñp

(x2, y2) = (0, 1). B¥y gií ta gi£ thi¸t (x1, y1) 6= (0, 1) v  (x2, y2) 6= (0, 1).

N¸u (x3, y3) = (0, 1) th¼ (x2, y2) = (−x1, y1). N¸u (x1, y1) = (0,−1) th¼ ta

công câ (x2, y2) = (0,−1) v  P1 = (0, 0) = P2; ng÷ñc l¤i n¸u x1, x2 kh¡c 0 th¼

u1 = (1+y1)/(1−y1) = u2 v  v1 = 2u1/x1 = −2u2/x2, vªy P1 = −P2. Trong c£

hai tr÷íng hñp ta �·u câ P1 +P2 =∞ = P3. B¥y gií ta gi£ sû (x3, y3) 6= (0, 1).

N¸u (x1, y1) = (0,−1) th¼ (x3, y3) = (−x2,−y2). Do (x2, y2) 6= (0,−1) (v¼ n¸u

ng÷ñc l¤i th¼ (x3, y3) = (0, 1), tr¡i vîi gi£ thi¸t) v  (x2, y2) 6= (0, 1) n¶n x2 6= 0.

Do �â P1 = (0, 0) v  P2 = (u2, v2) vîi u2 = (1 + y2)/(1 − y2) v  v2 = 2u2/x2.

Ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic cho ta (0, 0) + (u2, v2) = (r3, s3) trong

�â r3 = (1/e)(v2/u2)2 − (4/e− 2)− u2 = 1/u2 v  s3 = (v2/u2)(−r3) = −v2/u22.

M°t kh¡c, P3 = (u3, v3) vîi u3 = (1+y3)/(1−y3) = (1−y2)/(1+y2) = 1/u2 = r3

v  v3 = 2u3/x3 = −2/u2x2 = −v2/u22 = s3. Nh÷ vªy P1 + P2 = P3. Lªp luªn

t÷ìng tü vîi tr÷íng hñp (x2, y2) = (0,−1).

B¥y gií ta gi£ sû x1 6= 0 v  x2 6= 0. Khi �â P = (u1, v1) vîi u1 = (1 +

y1)/(1 − y1) v  v1 = 2u1/x1, v  P2 = (u2, v2) vîi u2 = (1 + y2)/(1 − y2) v 

v2 = 2u2/x2.

N¸u (x3, y3) = (0,−1) th¼ (x1, y1) = (x2,−y2) vªy n¶n u1 = (1 + y1)/(1 −y1) = (1 − y2)/(1 + y2) = 1/u2 v  v1 = 2u1/x1 = 2/x2u2 = v2/u

22. Hìn núa

P3 = (0, 0) n¶n ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic gièng nh÷ ð tr¶n cho

ta −P3 + P2 = (0, 0) + P2 = (1/u2,−v2/u22) = (u1,−v1) = −P1, �i·u n y câ

ngh¾a l  P1 + P2 = P3.

Tø b¥y gií, ta gi£ thi¸t th¶m x3 6= 0. Khi �â P3 = (u3, v3) vîi u3 = (1 +

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 23

y3)/(1− y3) v  v3 = 2u3/x3.

N¸u P2 = −P1 th¼ u2 = u1 v  v2 = −v1, d¨n �¸n x2 = −x1 v  y2 =

(u2 − 1)/(u2 + 1) = (u1 − 1)/(u1 + 1) = y1, do vªy (x3, y3) = (0, 1), tr¡i vîi gi£

thi¸t cõa ta. Vªy ta gi£ thi¸t th¶m P2 6= −P1.

N¸u u2 = u1 v  v2 6= −v1 th¼ ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic cho

ta (u1, v1) + (u2, v2) = (r3, s3) trong �â r3 = (1/e)λ2 − (4/e − 2) − 2u1 v 

s3 = λ(u1− r3)− v1 vîi λ = (3u21 + 2(4/e− 2)u1 + 1)/((2/e)v1). T½nh to¡n trüc

ti¸p cho ta k¸t qu£ (r3, s3) = (u3, v3).

Cán l¤i tr÷íng hñp u2 6= u1. Theo ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic

ta câ (u1, v1) + (u2, v2) = (r3, s3) trong �â r3 = (1/e)/λ2 − (4/e− 2)− u1 − u2,v  s3 = λ(u1 − r3)− v1 vîi λ = (v2 − v1)/(u2 − u1). B¬ng c¡ch t½nh to¡n trüc

ti¸p ta công nhªn �÷ñc (r3, s3) = (u3, v3).

Têng hñp t§t c£ c¡c tr÷íng hñp tr¶n ta câ k¸t luªn P3 = P1 + P2. �

�ành lþ ti¸p theo kh¯ng �ành r¬ng, khi d khæng ph£i l  mët sè ch½nh ph÷ìng

trong tr÷íng k th¼ c¡c m¨u sè trong cæng thùc cõa ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng

cong Edwards luæn kh¡c 0, v  do �â ph²p cëng �iºm �÷ñc �ành ngh¾a tèt vîi

måi �iºm cõa �÷íng cong.

�ành lþ 2.10. [4, �ành lþ 3.3] Cho k l  mët tr÷íng câ �°c sè kh¡c 2. Gåi

d, e l  c¡c ph¦n tû kh¡c 0 cõa k vîi e = 1− d. Gi£ thi¸t r¬ng d khæng ph£i l 

mët sè ch½nh ph÷ìng trong k. Gåi x1, y1, x2, y2 l  c¡c ph¦n tû cõa k thäa m¢n

x21 + y21 = 1 + dx21y21 v  x22 + y22 = 1 + dx22y

22. Khi �â dx1x2y1y2 6= ±1.

Chùng minh. �°t ε = dx1x2y1y2. Gi£ sû ε ∈ {1,−1}. Khi �â x1, x1, y1, y2 6= 0.

Hìn núa dx21y21(x22+y22) = dx21y21+d2x21x

22y

21y

22 = dx21y

21+ε2 = dx21y

21+1 = x21+y21.

Tø �¥y ta câ

(x1 + εy1)2 = x21 + y21 + 2εx1y1 = dx21y

21(x

22 + y22) + 2x1y1dx1x2y1y2

= dx21y21(x

22 + 2x2y2 + y22) = dx21y

21(x2 + y2)

2.

N¸u (x2+y2) 6= 0 th¼ d = ((x1+εy1)/x1y1(x2+y2))2, �i·u n y m¨u thu¨n vîi gi£

thi¸t d khæng ph£i l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong k, do �â x2 + y2 = 0. T÷ìng

tü ta công câ (x1− εy1)2 = dx21y21(x

2− y2)2 v  công nhªn �÷ñc x2− y2 = 0. Tø

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 24

�¥y ta suy ra x2 = 0 v  y2 = 0, �i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t ε ∈ {1,−1}.Vªy ε 6= ±1. �

Cho �÷íng cong Edwards E x¡c �ành tr¶n k, kþ hi»u

E(k) = {(x, y) ∈ k × k : x2 + y2 = 1 + dx2y2}

l  tªp c¡c �iºm cõa �÷íng cong. Tø ba �ành lþ tr¼nh b y ð tr¶n ta câ h» qu£

sau:

H» qu£ 2.11. Cè �ành tr÷íng k câ �°c sè kh¡c 2. Gi£ sû E : x2 + y2 =

1 + dx2y2 vîi d ∈ k \ k2 l  mët �÷íng cong Edwards x¡c �ành tr¶n k v  �°t

e = 1− d. Gåi E l  mët �÷íng cong elliptic �ành ngh¾a tr¶n k bði ph÷ìng tr¼nh

v2 = u3 + (4 − 2e)u2 + e2u. Khi �â tçn t¤i ph²p �¯ng c§u nhâm Φ �ành ngh¾a

bðiΦ : E(k) → E(k)

(0, 1) 7→ ∞(0,−1) 7→ (0, 0)

(x, y) 7→ (u, v),

vîi (u, v) =(2e(1 + y)/(1 − y), 2e(1 + y)/(1 − y)x

)n¸u x 6= 0. Ð �¥y, ph²p

to¡n hai ngæi trong E(k) l  ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards, cán vîi

E(k) l  ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic thæng th÷íng.

Chùng minh. Vi»c ch¿ ra E(k) l  mët nhâm d÷îi ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng

cong Edwards l  kh¡ �ìn gi£n qua c¡c �ành lþ 2.7, �ành lþ 2.10 v  vi»c t½nh

to¡n trüc ti¸p sû döng cæng thùc trong �ành ngh¾a 2.6. Chùng minh ¡nh x¤ Φ

�ành ngh¾a tèt v  l  mët ph²p �¯ng c§u nhâm �÷ñc suy trüc ti¸p tø �ành lþ

2.8 v  Chó þ 2.9. �

D÷îi �¥y l  sü têng qu¡t hâa ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards cho

c¡c �÷íng cong Edwards cuën.

�ành ngh¾a 2.12. Cho k l  mët tr÷íng câ �°c sè kh¡c 2 v  EE,a,d : ax2 +y2 =

1 + dx2y2, a, d ∈ k, ad(a− d) 6= 0 l  mët �÷íng cong Edwards cuën x¡c �ành

tr¶n k. Gi£ sû (x1, y1), (x2, y2) l  hai �iºm tr¶n EE,a,d. Khi �â ph²p cëng hai

�iºm n y tr¶n EE,a,d �÷ñc �ành ngh¾a bði

(x3, y3) = (x1, y1) + (x2, y2) =

(x1y2 + y1x2

1 + dx1x2y1y2,y1y2 − ax1x2

1 + dax1x2y1y2

). (2.2)

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 25

Ph¦n tû trung háa l  (0, 1), v  ph¦n tû ng÷ñc cõa (x1, y1) l  (−x1, y1).

T½nh �óng �­n cõa �ành ngh¾a ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards

cuën câ �÷ñc l  do �ành ngh¾a n y tròng vîi ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong

Edwards x2 + y2 = 1 + (d/a)x2y2 vîi x =√ax (�÷íng cong n y x¡c �ành tr¶n

tr÷íng mð rëng k(√a) n¸u a khæng ph£i l  ch½nh ph÷ìng trong k) m  ta �¢

chùng minh l  �óng qua 3 �ành lþ ð tr¶n. D¹ th§y ph²p cëng �iºm n y công

¡p döng �÷ñc cho tr÷íng hñp nh¥n �æi mët �iºm. Hìn núa, n¸u a l  ch½nh

ph÷ìng trong k v  d khæng ph£i l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼ EE,a,d �¯ng c§u

vîi EE,1,d/a, �çng thíi d/a khæng ph£i l  ch½nh ph÷ìng trong k, do �â theo

�ành lþ 2.10 ph²p cëng n y �÷ñc �ành ngh¾a tèt vîi måi c°p �iºm tr¶n �÷íng

cong Edwards cuën EE,a,d.

Bê �· 2.13. Cho EE,a,d l  mët �÷íng cong elliptic cuën x¡c �ành tr¶n k. Gi£

sû tçn t¤i α, δ ∈ k thäa m¢n α2 = a v  δ2 = d. Cè �ành x1, y1 ∈ k \ {0} sao

cho ax21 + y21 = 1 + dx21y21. X²t x2, y2 ∈ k thäa m¢n ax22 + y22 = 1 + dx2y2.

Khi �â dx1y2x2y2 ∈ {1,−1} n¸u v  ch¿ n¸u (x2, y2) ∈ S vîi S l  tªp gçm c¡c

�iºm ( 1δy1, −1δx1

), (−1δy1, 1δx1

), ( 1αδx1

, αδy1

), ( −1αδx1

, −αδy1

), ( 1δy1, 1δx1

), (−1δy1, −1δx1

), ( 1αδx1

, −αδy1

),

( −1αδx1

, αδy1

).

Chùng minh. �i·u ki»n c¦n: Gi£ sû (1 − dx1x2y1y2)(1 + dx1x2y1y2) = 0. Khi

�â x2, y2 thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh{(1− dx1x2y1y2)(1 + dx1x2y1y2) = 0

ax22 + y22 = 1 + dx22y22

Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta nhªn �÷ñc (x2, y2) l  c¡c �iºm �÷ñc cho nh÷ trong

bê �·. T§t c£ c¡c �iºm trong tªp S �÷ñc x¡c �ành v¼ x1y2 6= 0 theo gi£ thi¸t.

�i·u ki»n �õ: Thay (x2, y2) b¬ng c¡c �iºm t÷ìng ùng trong S v  t½nh to¡n

trüc ti¸p ta nhªn �÷ñc kh¯ng �ành ph£i chùng minh. �

B¥y gií gi£ sû ta câ hai �iºm (x1, y1), (x2, y2) tr¶n �÷íng cong Edwards cuën

EE,a,d : ax2+y2 = 1+dx2y2, tùc l  ax21+y21 = 1+dx21y21 v  ax22+y22 = 1+dx22y

22.

B¬ng c¡c ph²p khû �ìn gi£n, ta biºu di¹n a v  d qua x1, x2, y1, y2 nh÷ sau:

a =(x21y

21 − x22y22)− y21y22(x21 − x22)

x21x22(y

21 − y22)

, d =(x21 − x22)− (x21y

22 − y21x22)

x21x22(y

21 − y22)

.

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 26

Bä qua c¡c tr÷íng hñp l m cho c¡c biºu thùc khæng x¡c �ành, ta thay chóng

v o c¡c cæng thùc cõa ph²p cëng �iºm trong �ành ngh¾a 2.12 v  nhªn �÷ñc

x3 =x1y2 + y1x2

1 +(x21−x22)−(x21y22−y21x22)

x21x22(y

21−y22)

x1x2y1y2=

x1x2(y21 − y22)

x1y1 − x2y2 − y1y2(x1y2 − y1x2)

=x1y1 + x2y2

y1y2 +(x21y

21−x22y22)−y21y22(x21−x22)x21x

22(y

21−y22)

x1x2=

x1y1 + x2y2y1y2 + ax1x2

,

y3 =y1y2 − (x21y

21−x22y22)−y21y22(x21−x22)x21x

22(y

21−y22)

x1x2

1− (x21−x22)−(x21y22−y21x22)x21x

22(y

21−y22)

x1x2y1y2=x1y1 − x2y2x1y2 − y1x2

.

Tø �â ta nhªn �÷ñc cæng thùc cëng �iºm mîi (khæng phö thuëc v o d) tr¶n

�÷íng cong Edwards cuën nh÷ sau:

(x3, y3) = (x1, y1) + (x2, y2) =

(x1y1 + x2y2y1y2 + ax1x2

,x1y1 − x2y2x1y2 − y1x2

). (2.3)

Cæng thùc cëng �iºm (2.3) �÷ñc gåi l  Ph²p cëng �èi ng¨u. Ph²p cëng n y

�÷ñc Hisil, Carter, Wong, v  Dawson �÷a ra trong [9]. Ph²p cëng �èi ng¨u cho

còng mët k¸t qu£ gièng nh÷ ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards khi c£

hai �·u �÷ñc �ành ngh¾a tèt nh÷ng chóng kh¡c nhau ð c¡c tr÷íng hñp c¡ bi»t.

Mët c¡ch cö thº, Ph²p cëng �èi ng¨u khæng ¡p döng �÷ñc cho tr÷íng hñp

nh¥n �æi �iºm: n¸u (x1, y1) = (x2, y2) th¼ khi �â tåa �ë thù hai trong k¸t qu£

(x1y1 − x2y2)/(x1y2 − x2y1) s³ l  0/0. Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp Ph²p cëng

�èi ng¨u �÷ñc �ành ngh¾a tèt th¼ nâ l¤i câ nhúng ÷u th¸ �¡ng kº v· m°t hi»u

qu£ t½nh to¡n.

Công nh÷ �èi vîi ph²p cëng �iºm (2.2), d÷îi �¥y ta công ch¿ ra �÷ñc c¡c

tr÷íng hñp c¡ bi»t cõa Ph²p cëng �èi ng¨u tr¶n �÷íng cong Edwards cuën khi

a, d l  c¡c ph¦n tû ch½nh ph÷ìng trong k.

Bê �· 2.14. Vîi gi£ thi¸t gièng nh÷ trong Bê �· 2.13, khi �â (y1y2+ax1x2)(x1y2−y1x2) = 0 n¸u v  ch¿ n¸u (x2, y2) ∈ S ′, ð �¥y S ′ l  tªp gçm c¡c �iºm (x1, y1),

(−x1,−y1), (y1α,−x1α), (−y1

α, x1α), ( 1

δy1, 1δx1

), (−1δy1, −1δx1

), ( 1αδx1

, −αδy1

), ( −1αδx1

, αδy1

).

Chùng minh. T÷ìng tü nh÷ chùng minh cõa Bê �· 2.13. �

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 27

2.2 Nhâm c¡c �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards cuën

Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ l m vi»c �èi vîi c¡c �÷íng cong Edwards cuën

v¼ �÷íng cong Edwards ch¿ l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa �÷íng cong Edwards cuën

vîi a = 1, d 6= 1. Ð ph¦n tr÷îc chóng tæi �¢ tr¼nh b y hai cæng thùc cëng �iºm

tr¶n �÷íng cong Edwards cuën: cæng thùc (2.2) v  cæng thùc (2.3). Tuy nhi¶n,

nh÷ �¢ ch¿ ra trong c¡c Bê �· 2.13, 2.14, c£ hai cæng thùc n y �·u câ nh÷ñc

�iºm l  tçn t¤i c¡c tr÷íng hñp c¡ bi»t m  l m cho vi»c cëng �iºm khæng thüc

hi»n �÷ñc. �i·u n y �çng ngh¾a vîi vi»c c£ hai cæng thùc cëng �iºm �â �·u

khæng ph£i l  ph²p to¡n hai ngæi tr¶n tªp c¡c �iºm, kþ hi»u l  EE,a,d(k), cõa

�÷íng cong Edwards cuën EE,a,d vîi a, d ∈ k \ {0}, a 6= d tòy þ. �º kh­c phöc

nh÷ñc �iºm n y, �çng thíi �º x¥y düng mët ph²p to¡n hai ngæi tr¶n tªp c¡c

�iºm cõa �÷íng cong Edwards, Daniel J. Bernstein v  Tanja Lange trong [5]

�¢ �÷a ra c¡ch gi£i quy¸t nh÷ sau. Hai æng nhóng tªp �iºm cõa �÷íng cong

Edwards cuën EE,a,d v o bao �âng cõa nâ trong P1 × P1 v  ch¿ ra ð nhúng

tr÷íng hñp m  ph²p cëng �iºm theo cæng thùc (2.2) khæng thüc hi»n �÷ñc th¼

ta câ thº ¡p döng cæng thùc cëng �iºm (2.3) v  ng÷ñc l¤i. Trong tr÷íng hñp

c£ hai cæng thùc còng thüc hi»n �÷ñc th¼ k¸t qu£ cõa chóng l  �çng nh§t vîi

nhau. Khi �â ph²p cëng �iºm k¸t hñp n y l  mët ph²p to¡n hai ngæi tr¶n tªp

c¡c �iºm cõa �÷íng cong biºu di¹n trong P1×P1 l  mët ph²p to¡n hai ngæi, v 

vîi nâ ta câ thº chùng minh tªp c¡c �iºm cõa �÷íng cong l  mët nhâm aben.

Cè �ành mët tr÷íng k câ �°c sè kh¡c 2, a, d l  c¡c ph¦n tû ph¥n bi»t kh¡c

0 cõa k, EE,a,d l  �÷íng cong Edwards cuën tr¶n k x¡c �ành bði ph÷ìng tr¼nh

EE,a,d : ax2 + y2 = 1 + dx2y2.

Bao �âng x¤ £nh cõa EE,a,d trong P1k × P1

k l 

EE,a,d(k) = {((X : Z), (Y : T )) ∈ P1k × P1

k : aX2T 2 + Y 2Z2 = Z2T 2 + dX2Y 2}.

Méi �iºm (x, y) tr¶n �÷íng cong affine EE,a,d �÷ñc nhóng v o P1k × P1

k theo

c¡ch thæng th÷íng bði ¡nh x¤ (x, y) 7→ ((x : 1), (y : 1)). Ng÷ñc l¤i mët �iºm

((X : Z), (Y : T )) ∈ EE,a,d vîi ZT 6= 0 s³ t÷ìng ùng vîi �iºm câ tåa �ë l 

(X/Z, Y/T ) tr¶n �÷íng cong affine EE,a,d. Khi ZT = 0, ta x²t c¡c tr÷íng hñp

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 28

ho°c (X : Z) = (1 : 0) ho°c (Y : T ) = (1 : 0).

N¸u (X : Z) = (1 : 0) th¼ ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong trð th nh aT 2 = dY 2.

Khi �â ta câ hai �iºm ((X : Z), (Y : T )) = ((1 : 0), (±√a/d : 1)), c¡c �iºm

n y x¡c �ành tr¶n tr÷íng mð rëng k(√a/d).

N¸u (Y : T ) = (1 : 0) th¼ ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong l  Z2 = dX2. Khi �â

ta công câ hai �iºm ((X : Z), (Y : T )) = ((1 : ±√d), (1 : 0)), v  c¡c �iºm n y

�÷ñc x¡c �ành tr¶n tr÷íng mð rëng k(√d).

B¥y gií, gi£ sû ta câ hai �iºm ((X1 : Z1), (Y1 : T1)), ((X2 : Z2), (Y2 : T2)) ∈EE,a,d vîi Z1T1 6= 0 v  Z2T2 6= 0. C¡c �iºm t÷ìng ùng vîi chóng tr¶n �÷íng

cong affine EE,a,d l¦n l÷ñt l  (X1/Z1.Y1/T1), (X2/Z2, Y2/T2). Thay v o cæng

thùc (2.2) (bä qua c¡c tr÷íng hñp c¡ bi»t l m ph²p cëng �iºm khæng thüc hi»n

�÷ñc) ta nhªn �÷ñc(X1

Z1,Y1T1

)+

(X2

Z2,Y2T2

)=

(X1Y2X2T1 +X2Y1Z1T2Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2

,Y1Y2Z1Z2 − aX1X2T1T2Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2

).

Nhóng �iºm k¸t qu£ nhªn �÷ñc ð tr¶n v o P1k × P1

k, ta nhªn �÷ñc((X1Y2Z2T1 + X2Y1Z1T2 : Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2),

(Y1Y2Z1Z2 − aX1X2T1T2 : Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2)).

Thüc hi»n t÷ìng tü nh÷ tr¶n �èi vîi cæng thùc cëng �iºm (2.3) ta công nhªn

�÷ñc �iºm k¸t qu£ trong P1k × P1

k l ((X1Y1Z2T2 + X2Y2Z1T1 : aX1X2T1T2 + Y1Y2Z1Z2),

(X1Y1Z2T2 −X2Y2Z1T1 : X1Y2Z2T1 −X2Y1Z1T2)).

Nhúng t½nh to¡n tr¶n l m cì sð �ành h÷îng cho ta �¸n k¸t qu£ sau �¥y.

�ành lþ 2.15. [5, �ành lþ 6.1] Cho EE,a,d l  mët �÷íng cong Edwards cuën

x¡c �ành tr¶n k. Gi£ sû P1, P2 ∈ EE,a,d(k) vîi P1 = ((X1 : Z1), (Y1 : T1)) v 

P2 = ((X2 : Z2), (Y2 : T2)). �ành ngh¾a

X3 = X1Y2Z2T1 +X2Y1Z1T2,

Z3 = Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2,

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 29

Y3 = Y1Y2Z1Z2 − aX1X2T1T2,

T3 = Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2;

v 

X ′3 = X1Y1Z2T2 +X2Y2Z1T1,

Y ′3 = aX1X2T1T2 + Y1Y2Z1Z2,

Y ′3 = X1Y1Z2T2 −X2Y2Z1T1,

T ′3 = X1Y2Z2T1 −X2Y1Z1T2.

Khi �â X3Z′3 = X ′3Z3 v  Y3T ′3 = Y ′3T3. Ngo i ra, ½t nh§t mët trong sè c¡c tr÷íng

hñp sau �÷ñc thäa m¢n

• (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0).

• (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0).

Chùng minh. Do P1, P2 l  c¡c �iºm thuëc EE,a,d n¶n ta câ

X3Z′3 = (X1Y2Z2T1 +X2Y1Z1T2)(aX1X2T1T2 + Y1Y2Z1Z2)

= (aX21T

21 + Y 2

1 Z21)X2Y2Z2T2 + (aX2

2T22 + Y 2

2 Z22)X1Y1Z1T1

= (Z21T

21 + dX2

1Y21 )X2Y2Z2T2 + (Z2

2T22 + dX2

2Y22 )X1Y1Z1T1

= (X1Y1Z2T2 +X2Y2Z1T1)(Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2)

= X ′3Z3.

T÷ìng tü,

Y3T′3 = (Y1Y2Z1Z2 − aX1X2T1T2)(X1Y2Z2T1 −X2Y1Z1T2)

= (Y 22 Z

22 + aX2

2T22 )X1Y1Z1T1 − (Y 2

1 Z21 + aX2

1T21 )X2Y2Z2T2

= (Z22T

22 + dX2

2Y22 )X1Y1Z1T1 − (Z2

1T21 + dX2

1Y21 )X2Y2Z2T2

= (X1Y1Z2T2 −X2Y2Z1T1)(Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2)

= Y ′3T3.

Ti¸p theo, ta ch¿ ra ½t nh§t mët trong hai tr÷íng hñp ph¡t biºu trong �ành lþ

l  �óng. Tr÷îc ti¶n, gi£ sû (X3, Z3) = (0, 0), tùc l  X1Y2Z2T1 +X2Y2Z1T2 = 0

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 30

v  Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2 = 0. Ta s³ chùng minh, khi �â (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v 

(Y ′3 , T′3) 6= (0, 0). Thªt vªy, ta x²t c¡c tr÷íng hñp nhä sau:

Gi£ sû Z1 = 0, suy raX1 6= 0 v¼ (X1 : Z1) ∈ P1k, v  thay tåa �ë P1 v o ph÷ìng

tr¼nh �÷íng cong ta nhªn �÷ñc aT 21 = dY 2

1 v  Y1, T1 6= 0 (v¼ (Y1 : T1) ∈ P1k).

C¡c ph÷ìng tr¼nh X3 = 0 v  Z3 = 0 k²o theo Y2Z2 = 0 v  X2Y2 = 0. V¼

(X2 : Z2) ∈ P1k n¶n X2, Z2 khæng thº �çng thíi b¬ng 0, vªy n¶n Y2 = 0, d¨n

�¸n T2 6= 0 (v¼ (Y2 : Z2) ∈ P1k) . Thay tåa �ë P2 v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng

cong, ta nhªn �÷ñc aX22 = Z2

2 v  X2, Z2 6= 0. Do �â X ′3 = X1Y1Z2T2 6= 0 v 

Y ′3 = X1Y1Z2T2 6= 0, tùc l  (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0).

Gi£ sû T1 = 0, khi �â Y1 6= 0 v¼ (Y1 : T1) ∈ P1k, v  ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong

�èi vîi P1 k²o theo Z21 = dX2

1 v  X1, Z1 6= 0. C¡c ph÷ìng tr¼nh X3 = 0 v 

Z3 = 0 d¨n �¸n X2T2 = 0, X2Y2 = 0, tø �¥y suy ra X2 = 0, v  do vªy Z2 6= 0.

Ph÷ìng tr¼nh cõa �÷íng cong �èi vîi P2 k²o theo Y 22 = T 2

2 v  Y2, T2 6= 0. Do

�â X ′3 = X1Y1Z2T2 6= 0 v  Y ′3 = X1Y1Z2T2 6= 0, tùc l  (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v 

(Y ′3 , T′3) 6= (0, 0).

N¸u Z2 = 0 ho°c T2 = 0 ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ tr¶n. Tr÷íng hñp cán

l¤i l  ta x²t Z1 6= 0, Z2 6= 0, T1 6= 0 v  T2 6= 0.

Nh¥n hai v¸ ph÷ìng tr¼nh X1Y2Z2T1 + X2Y1Z1T2 = 0 vîi dX1Y2, nh¥n

ph÷ìng tr¼nh Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2 = 0 vîi Z1T2, trø chóng cho nhau, sau

�â chia cho Z2T1, ta �÷ñc dX21Y

22 = Z2

1T22 . �°t r = X1Y2/(Z1T2), khi �â

r2 = 1/d v  −rZ2T1 = −X1Y2Z2T1/(Z1T2) = X2Y1Z1T2/(Z1T2) = X2Y1. V¼

dX21Y

22 = Z2

1T22 6= 0, n¶n X1, Y2 6= 0. N¸u T ′3 = 0, tùc l  X1Y2Z2T1 = X2Y1Z1T2,

thay v o ph÷ìng tr¼nh X3 = 0 ta câ 2X1Y2Z2T1 = 0, �i·u n y l  khæng thº v¼

ta �¢ câ X1, Y2, Z2, T1 6= 0. Vªy T ′3 6= 0, tùc l  (Y ′3 , T′3) 6= (0, 0).

Ti¸p theo, dX1Y1X′3 = dX2

1Y21 Z2T2 + dX1Y1X2Y2Z1T1 = dX2

1Y21 Z2T2 +

d(rZ1T2)(−rZ2T1)Z1T1 = dX21Y

21 Z2T2 − Z2

1T21Z2T2 = (dX2

1Y21 − Z2

1T21 )Z2T2

v  X1Y1Z′3 = aX2

1X2Y1T1T2 + X1Y21 Y2Z1Z2 = −arX2

1Z2T21 T2 + rY 2

1 Z21Z2T2 =

(Y 21 Z

21 − aX2

1T21 )rZ2T2. N¸u X ′3 = 0 v  Z ′3 = 0 th¼ dX2

1Y21 = Z2

1T21 v  Y 2

1 Z21 =

aX21T

21 . Thay tåa �ë cõa P1 v o ph÷ìng tr¼nh cõa �÷íng cong ta �÷ñc aX2

1T21 +

Y 21 Z

21 = Z2

1T21 + dX2

1Y21 . Tø �â 2Z2

1T21 = 2Y 2

1 Z21 , tùc l  Y 2

1 = T 21 . Do �â

dX21T

21 = dX2

1Y21 = Z2

1T21 = Z2

1Y21 = aX2

1T21 . �i·u n y d¨n �¸n a = d, m¥u

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 31

thu¨n vîi gi£ thi¸t a 6= d trong �ành ngh¾a cõa ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong Ed-

wards cuën. Vªy (X ′3, Z′3) 6= (0, 0).

N¸u (Y3, T3) = (0, 0), thüc hi»n t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta công ch¿ ra �÷ñc

(X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0).

Ng÷ñc l¤i, n¸u ta x²t (X ′3, Z′3) = (0, 0) ho°c (Y ′3 , T

′3) = (0, 0) th¼ ho n to n

t÷ìng tü, ta câ (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0). �ành lþ �÷ñc chùng minh.

�

�ành lþ 2.16. [5, �ành lþ 6.2] Cho EE,a,d l  mët �÷íng cong Edwards cuën v 

P1, P2, X3, Y3, Z3, T3, X′3, Y

′3 , Z

′3, T

′3 �÷ñc x¡c �ành nh÷ trong �ành lþ 2.15. �ành

ngh¾a P3 = P1 + P2 nh÷ sau:

• P3 = ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) n¸u (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0).

• P3 = ((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)) n¸u (X ′3, Z

′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0).

• N¸u c£ hai tr÷íng hñp �·u thäa m¢n th¼ P3 �÷ñc �ành ngh¾a tòy þ theo

mët trong hai c¡ch tr¶n.

Khi �â P3 ∈ EE,a,d(k).

Chùng minh. Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra khi c£ hai tr÷íng hñp �·u �óng th¼ c£ hai

c¡ch �ành ngh¾a P3 cho ta còng mët k¸t qu£. Thªt vªy, tø �ành lþ 2.15 ta câ

X3Z′3 = X ′3Z3 v  Y3T ′3 = Y ′3T3. Do (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (X ′3, Z

′3) 6= (0, 0) n¶n

suy ra (X3 : Z3) = (X ′3 : Z ′3). T÷ìng tü th¼ (Y3 : T3) = (Y ′3 : T ′3). Vªy

((X3 : Z3), (Y3 : T3)) = ((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)).

B¥y gií ta �i chùng minh P3 ∈ EE,a,d. X²t tr÷íng hñp thù nh§t, tùc l  P3 =

((X3 : Z3), (Y3 : T3)). Ta c¦n ch¿ ra P3 câ tåa �ë thäa m¢n aX23T

23 + Y 2

3 Z23 =

Z23T

23 + dX2

3Y23 . Thªt vªy, thay c¡c cæng thùc �ành ngh¾a X3, Y3, Z3, T3 v o v 

bi¸n �êi trüc ti¸p, ta ph¥n t½ch biºu thùc aX23T

23 + Y 2

3 Z23 − dX2

3Y23 th nh t½ch

c¡c nh¥n tû Q1Q2 vîi

Q1 = (aX21T

21 + Y 2

1 Z21)Z2

2T22 − (aX2

2T22 + Y 2

2 Z22)dX2

1Y21 ,

Q2 = (aX22T

22 + Y 2

2 Z22)Z2

1T21 − (aX2

1T21 + Y 2

1 Z21)dX2

2Y22 .

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 32

V¼ P1, P2 ∈ EE,a,d n¶n ta câ

Q1 = (Z21T

21 + dX2

1Y21 )Z2

2T22 − (Z2

2T22 + dX2

2Y22 )dX2

1Y21

= Z21Z

22T

21 T

21 − d2X2

1X22Y

21 Y

21

= (Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2)(Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2)

= Z3T3.

T÷ìng tü,

Q2 = (Z22T

22 + dX2

2Y22 )Z2

1T21 − (Z2

1T21 + dX2

1Y21 )dX2

2Y22

= Z21Z

22T

21 T

21 − d2X2

1X22Y

21 Y

22

= (Z1Z2T1T2 − dX1X2Y1Y2)(Z1Z2T1T2 + dX1X2Y1Y2)

= Z3T3.

Vªy aX23T

23 +Y 2

3 Z23 − dX2

3Y23 = Z2

3T23 , hay l  aX2

3T23 +Y 2

3 Z23 = Z2

3T23 + dX2

3Y23 .

�i·u n y câ ngh¾a P3 = ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) ∈ EE,a,d(k).

Tr÷íng hñp P3 = ((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)) chùng minh t÷ìng tü. �

Ti¸p sau �¥y, ta s³ ch¿ ra ph²p cëng �iºm n y s³ cho tªp EE,a,d(k) mët c§u

tróc nhâm.

Gi£ sû ta câ �÷íng cong Montgomery EM,A,B x¡c �ành tr¶n k bði ph÷ìng

tr¼nh

EM,A,B : Bv2 = u3 + Au2 + u,

vîi A ∈ k \ {−2, 2} v  B ∈ k \ {0}. Bao �âng x¤ £nh cõa EM,A,B trong P2k l 

EM,A,B(k) ={

(U : V : W ) ∈ P2k : BV 2W = U3 + AU2W + UW 2

}.

�ành lþ 2.17. [5, �ành lþ 7.1] Cho EE,a,d l  mët �÷íng cong Edwards cuën

tr¶n k. �ành ngh¾a A = 2(a+ d)/(a− d) v  B = 4/(a− d). Khi �â

((X : Z), (Y : T )) 7→

{(0 : 0 : 1) n¸u ((X : Z), (Y : T )) = ((0 : 1), (−1 : 1)),

((T + Y )X : (T + Y )Z : (T − Y )X) n¸u ng÷ñc l¤i

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 33

l  mët song ¡nh tø EE,a,d(k) v o EM,A,B(k), v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ �÷ñc �ành

ngh¾a bði

(U : V : W ) 7→

((0 : 1), (1 : 1)) n¸u (U : V : W ) = (0 : 1 : 0),

((0 : 1), (−1 : 1)) n¸u (U : V : W ) = (0 : 0 : 1),

((U : V ), (U −W : U +W )) trong tr÷íng hñp cán l¤i.

Chùng minh. Kþ hi»u ¡nh x¤ tø EE,a,d(k) v o EM,A,B(k) l  f v  ¡nh x¤

tø EM,A,B(k) v o EE,a,d(k) l  g. Tr÷îc ti¶n, vîi P ∈ EE,a,d(k), ta s³ ch¿ ra

f(P ) ∈ EM,A,B v  g(f(P )) = P .

Tr÷íng hñp P = ((0 : 1), (−1 : 1)): Khi �â, theo �ành ngh¾a f v  g th¼

f(P ) = (0 : 0 : 1) ∈ EM,A,B(k) v  g(f(P )) = g((0 : 0 : 1)) = ((0 : 1), (−1 :

1)) = P .

Tr÷íng hñp P = ((0 : 1), (1 : 1)): Khi �â f(P ) = (0 : 2 : 0) = (0 : 1 : 0) ∈EM,A,B(k) v  g(f(P )) = g(0 : 1 : 0) = ((0 : 1), (1 : 1)) = P .

Tr÷íng hñp P 6= ((0 : 1), (−1 : 1)), ((0 : 1), (1 : 1)): Ta vi¸t P = ((X :

Z), (Y : T )), v  t½nh U = (T + Y )X, V = (T + Y )Z, (T − Y )X. Khi �â X 6= 0.

Hìn núa T + Y 6= 0, v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ tø ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong ta câ

aX2 = dX2, suy ra a = d, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t a 6= d trong �ành ngh¾a

�÷íng cong Edwards cuën. Do �â U 6= 0, v  f(P ) = (U : V : W ) ∈ P2k. Thay

tåa �ë f(P ) = (U : V : W ) v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong EM,A,B nhªn �÷ñc

BV 2W − (U3 + AU2W + UW 2)

=4

a− d(T + Y 2)Z2(T − Y )

−(

(T + Y )3X3 + 2a+ d

a− d(T + Y )2X2(T − Y )X + (T + Y )X(T − Y )2X2

)=

X(T + Y )

a− d(4(T 2 − Y 2)Z2 − 2(a+ d)(T 2 − Y 2)X2

)−X(T + Y )((T + Y )2 + (T − Y )2)

=X(T + Y )

a− d(4Z2T 2 + 4dX2Y 2 − 4aX2T 2 − 4Y 2Z2)

= 0,

vªy f(P ) ∈ EM,A,B(k). Ngo i ra, g(f(P )) = ((U : V ), (U −W ) : (U + W )) =

(((T + Y )X : (T + Y )Z), ((T + Y )X − (T − Y )X : (T + Y )X + (T − Y )X)) =

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 34

((X : Z), (Y : T )) = P .

Ng÷ñc l¤i, vîi Q ∈ EM,A,B(k), ta ch¿ ra g(Q) ∈ EE,a,d(k) v  f(g(Q)) = Q.

N¸uQ = (0 : 1 : 0) th¼ g(Q) = ((0 : 1), (1 : 1)) ∈ EE,a,d(k) v  f(g(Q)) = (0 :

1 : 0) = Q.

N¸u Q = (0 : 0 : 1) th¼ g(Q) = ((0 : 1), (−1 : 1)) ∈ EE,a,d(k) v  f(g(Q)) =

(0 : 0 : 1) = Q.

N¸u Q 6= (0 : 1 : 0) v  Q 6= (0 : 0 : 1), vi¸t Q = (U : V : W ) v 

l§y X = U, Y = U − W,Z = V, T = U + W . Khi �â X 6= 0 v¼ U 6= 0, v 

T +Y = 2U 6= 0, hìn núa Y v  T khæng �çng thíi b¬ng 0. Do �â g(Q) = ((X :

Z), (Y : T )) ∈ P1k × P1

k. Thay tåa �ë g(Q) v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong EE,a,dta câ

aX2T 2 + Y 2Z2 − Z2T 2 − dX2Y 2

= aU2(U +W )2 + (U −W )2V 2 − V 2(U +W )2 − dU2(U −W )2

= U2(a(U +W )2 − d(U −W )2)− V 2((U −W )2 − (U +W )2)

= (a− d)U2(U2 +W 2) + 2aU3W + 2dU3W − 4UV 2W

= (a− d)U

(U3 + 2

a+ d

a− dU2W + UW 2 − 4

a− dV 2W

)= (a− d)U(U3 + AU2W + UW 2 −BV 2W )

= 0,

tùc l  g(Q) ∈ EE,a,d, ngo i ra f(g(Q)) = ((T +Y )X : (T +Y )Z : (T −Y )X) =

(2U2 : 2UV : 2WU) = (U : V : W ) = Q. �ành lþ �÷ñc chùng minh. �

Bê �· 2.18. [5, Bê �· 7.2] Vîi gi£ thi¸t v  ph²p cëng �iºm �÷ñc �ành ngh¾a

nh÷ trong �ành lþ 2.16. L§y P1, P2 ∈ EE,a,d(k) vîi P1 = ((X1 : Z1), (Y1 : T1))

v  P2 = ((X2 : Z2), (Y2 : T2)). Khi �â P1 + P2 = ((0 : 1), (−1 : 1)) n¸u v  ch¿

n¸u (X2 : Z2) = (X1 : Z1) v  (Y2 : T2) = (−Y1 : T1).

Chùng minh.�i·u ki»n �õ: �ành ngh¾aX3, Y3, Z3, T3, X′3, Y

′3 , Z

′3, T

′3 nh÷ trong

�ành lþ 2.16. N¸u (X2 : Z2) = (X1 : Z1) v  (Y2 : T2) = (−Y1 : T1) th¼

X3 = 0, Y3 = −Y 21 Z

21 − aX2

1T21 = −(Z2

1T21 + dX2

1Y21 ) = −T 3. T÷ìng tü th¼

X ′3 = 0 v  Y ′3 = −T ′3. �i·u n y d¨n �¸n, P3 = P1 + P2 = ((0 : 1), (−1, 1)).

�i·u ki»n c¦n: Gi£ sû P1 + P2 = ((0 : 1), (−1 : 1)). Khi �â, theo �ành ngh¾a

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 35

P1 + P2 ta câ ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) = ((0 : 1), (−1 : 1)) ho°c ((X ′3 : Z ′), (Y′3 :

T ′3)) = ((0 : 1), (−1 : 1)), ho°c ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) = ((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)) =

((0 : 1), (−1 : 1)). N¸u ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) = ((0 : 1), (−1 : 1)) th¼ suy ra

X3 = 0 v  Y3 + T3 = 0. N¸u ((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)) = ((0 : 1), (−1 : 1)) th¼

tø c¡c h» thùc X3Z′3 = X ′3Z3 v  Y3T ′3 = Y ′3T3 trong �ành lþ 2.16 ta công câ

X3 = 0, Y3 + T3 = 0. Do vªy, tr÷îc ti¶n ta �i t¼m �i·u ki»n cõa P1, P2 �º nhªn

�÷ñc X3 = 0, Y3 + T3 = 0.

X²t tr÷íng hñp T1 = 0. Khi �â Y1 6= 0 v¼ (Y1 : T1) ∈ P1k, �çng thíi ph÷ìng

tr¼nh �÷íng cong cho ta Z21 = dX2

1 , suy ra X1, Z1 6= 0. H» thùc X3 = 0 k²o theo

X2T2 = 0, sû döng ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong ta nhªn �÷ñc Y2 6= 0. H» thùc

Y3+T3 = 0 k²o theo Y1Y2Z1Z2−dX1X2Y1Y2 = 0, tùc l  Y1Y2(Z1Z2−dX1X2) =

0, d¨n �¸n Z1Z2 = dX1X2. N¸u X2 = 0 th¼ Z2 = 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

(X2 : Z2) ∈ P1k, vªy X2 6= 0 v  do �â T2 = 0. Vîi T1 = 0, T2 = 0, Y1 6= 0, Y2 6= 0

thay v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong thu �÷ñc Z21 = dX2

1 v  Z22 = dX2

2 . Khi

�§y c£ hai �iºm P1, P2 �·u câ d¤ng ((1 : ±√d), (1 : 0)), v  ph÷ìng tr¼nh

Z1Z2 = dX1X2 k²o theo d§u ð tr÷îc gi¡ trà c«n bªc hai l  nh÷ nhau. Do �â

(X2 : Z2) = (X1 : Z1) v  (Y2 : T2) = (1 : 0) = (−Y1 : T1).

Tr÷íng hñp T2 = 0 x²t t÷ìng tü. Gií ta x²t T1 6= 0, T2 6= 0.

Gi£ sû X1 = 0. Khi �â ta công câ Y1, Z1, T1 6= 0. Tø X3 = 0, tùc l 

X2T2 = 0 suy ra X2 = 0, vªy n¶n Z2 6= 0. Tø ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong

ta nhªn �÷ñc Y 21 = T 2

1 v  Y 22 = T 2

2 . Do �â c£ hai �iºm P1, P2 �·u câ d¤ng

((0 : 1), (±1 : 1)). Ph÷ìng tr¼nh Y3 + T3 = 0 k²o theo Z1Z2(Y1Y2 + T1T2) = 0,

d¨n �¸n Y1Y2 = −T1T2, �i·u n y câ ngh¾a P1 v  P2 câ d§u ng÷ñc nhau t¤i ±1.

Tø �¥y ta nhªn �÷ñc (X2 : Z2) = (0 : 1) = (X1 : Z1), (Y2 : Z1) = (±1 : 1) =

(−(∓1) : 1) = (−Y1 : T1).

N¸u X2 = 0 ta chùng minh t÷ìng tü. B¥y gií ta x²t tr÷íng hñp X1 6=0, X2 6= 0.

Gi£ sû Z1 = 0, tø X3 = 0 suy ra Y2Z2 = 0, v  tø Y3 + T3 = 0 ta câ

−X1X2(aT1T2+dY1Y2) = 0 hay l  aT1T2+dY1Y2 = 0. �i·u n y k²o theo Y2 6= 0

do ð �¥y ta �ang x²t T1, T2 6= 0 n¶n aT1T2 6= 0, vªy ta ph£i câ Z2 = 0. Ph÷ìng

tr¼nh cõa �÷íng cong cho ta aT 21 = dY 2

1 v  aT 22 = dY 2

2 , v  do �â P1, P2 �·u câ

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 36

d¤ng ((1 : 0), (±√a/d) : 1), v  ph÷ìng tr¼nh aT1T2 +dY1Y2 = 0 k²o theo P1, P2

câ d§u ng÷ñc nhau t¤i ±√a/d. �i·u n y câ ngh¾a l  (X2 : Z2) = (X1 : Z1) v 

(Y2 : T2) = (−Y1 : T1).

Tr÷íng hñp Z2 = 0 x²t t÷ìng tü. B¥y gií, gi£ thi¸t Z1 6= 0, Z2 6= 0.

Ph÷ìng tr¼nh X3 = 0 cho ta X1Y2Z2T1 = −X2Y1Z1T2, v  ph÷ìng tr¼nh Y3 +

T3 = 0 câ ngh¾a l  Y1Y2Z1Z2−aX1X2T1T2 +Z1Z2T1T2−dX1X2Y1Y2 = 0. Nh¥n

hai v¸ ph÷ìng tr¼nh n y vîi X2Z1T2, th¸ X2Y1Z1T2 bði −X1Y2Z2T1 v  bi¸n �êi,

ta nhªn �÷ñc −X1Z1T1(Y22 Z

22 + aX2

2T22 ) +X2Z2T1(Z

21T

22 + dX2

1Y22 ) = 0, tùc l 

−X1Z1(aX22T

22 + Y 2

2 Z22) +X2Z2(Z

21T

22 + dX2

1Y22 ) v¼ T1 6= 0. Do P2 l  mët �iºm

cõa �÷íng cong n¶n ta câ −X1Z1(Z22T

22 +dX2

2Y22 )+X2Z2(Z

21T

22 +dX2

1Y22 ) = 0,

ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng �÷ìng vîi (X2Z1 −X1Z2)(Z1Z2T22 − dX1X2Y

22 ) = 0.

N¸u X2Z1 6= X1Z2 th¼ Z1Z2T22 = dX1X2Y

22 . Nh¥n hai v¸ ph÷ìng tr¼nh n y

vîi X1X22Z

21T

21 , sû döng t½nh ch§t P2 l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong, v  bi¸n �êi

trüc ti¸p ta nhªn �÷ñc

(X2Z1 +X1Z2)X1X2Z21Z2T

21 T

22 = X2

1X2Z21T

21 (aX2

2T22 + Y 2

2 Z22).

Nh¥n hai v¸ ph÷ìng tr¼nh aX21T

21 + Y 2

1 Z21 = Z2

1T21 + dX2

1Y21 vîi X3

2Z21T

22 , th¸

�¤i l÷ñng X22Y

21 Z

21T

22 bði X2

1Y22 Z

22T

21 , sau �â l¤i th¸ dX1X2Y

22 b¬ng Z1Z2T

22 ta

thu �÷ñc ph÷ìng tr¼nh

X21X2Z

21T

21 (aX2

2T22 + Y 2

2 Z22) = Z1T

21 T

22 (X3

2Z31 +X3

1Z31).

Tø �â ta câ

(X2Z1 +X1Z2)X1X2Z21Z2T

21 T

22 = Z1T

21 T

22 (X3

2Z31 +X3

1Z32),

hay l  (X2Z1 − X1Z2)2(X2Z1 + X1Z2)Z1T

21 T

22 = 0. Do �â X2Z1 + X1Z2 = 0.

Ph÷ìng tr¼nh X3 = 0 k²o theo X2Z1(Y1T2 − Y2T1) = 0, vªy n¶n Y1T2 = Y2T1.

Tø �¥y ta t½nh �÷ñc Y ′3 = X1Y1Z2T2 −X2Y2Z1T1 = X1Y2Z2T1 −X2Y1Z1T2 =

T ′3, �çng thíi ta công câ Y3Z1T1 = Y1Y2Z21Z2T1 − aX1X2Z1T

21 T2 = (Y 2

1 Z21 +

aX21T

21 )Z2T2 = (Z2

1T21 +dX2

1Y21 )Z2T2 = Z2

1Z2T21 T2−dX1X2Y1Y2Z1T1 = T3Z1T1,

�i·u n y t÷ìng �÷ìng vîi Y3 = T3 v¼ ta �ang x²t Z1 6= 0, T1 6= 0. Tuy nhi¶n,

c¦n chó þ l , v¼ ð �¥y (Y3 : T3) = (−1 : 1) ho°c (Y ′3 : T ′3) = (−1 : 1) n¶n khæng

thº x£y ra �çng thíi Y3 = T3 v  Y ′3 = T ′3. Do �â gi£ thi¸t X2Z1 6= X1Z2 d¨n

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 37

�¸n m¥u thu¨n.

TøX2Z1 = X1Z2 v  ph÷ìng tr¼nhX3 = 0 k²o theoX2Y1Z1T2 = −X2Y2Z2T1,

tùc l  X2Z1(Y1T2 + Y2T1) = 0. V¼ ta �ang x²t c£ X2, Z1 6= 0 n¶n suy ra

Y1T2 + Y2T1 = 0, hay l  Y1T2 = −Y2T1. Tø �¥y ta nhªn �÷ñc (X2 : Z2) = (X1 :

Z1) v  (Y2 : T2) = (−Y1 : T1). �

�ành lþ 2.19. [5, �ành lþ 7.3] �ành ngh¾a ph²p cëng �iºm nh÷ trong �ành lþ

2.16, v  song ¡nh f : EE,a,d(k) → EM,A,B(k) nh÷ trong �ành lþ 2.17. Khi �â

f(P1 + P2) = f(P1) + f(P2) vîi måi P1, P2 ∈ EE,a,d(k).

Chùng minh. L§y P1, P2 ∈ EE,a,d(k) vîi P1 = ((X1 : Z1), (Y1 : T1)), P2 = ((X2 :

Z2), (Y2 : T2)). �ành ngh¾a X3, Y3, Z3, T3, X′3, Z

′3, Y

′3 , T

′3 nh÷ trong �ành lþ 2.16.

Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau �¥y.

Tr÷íng hñp 1: P1 = ((0 : 1), (1 : 1)). Khi �â f(P1) = (0 : 1 : 0) l  ph¦n

tû trung háa trong EM,A,B, vªy n¶n f(P1) + f(P2) = f(P2). M°t kh¡c, (X3 :

Z3) = (X2T2 : Z2T2) v  (Y3 : T3) = (Y2Z2 : Z2T2), do �â n¸u (X3, Z3) 6= (0, 0)

v  (Y3, T3) 6= (0, 0) th¼ P3 = P1 + P2 = ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) = ((X2 : Z2), (Y2 :

T2)) = P2. �i·u n y câ ngh¾a l  f(P1 + P2) = f(P2) = f(P1) + f(P2).

T÷ìng tü, (X ′3 : Z ′3) = (X2Y2 : Y2Z2) v  (Y ′3 : T ′3) = (−X2Y2 : −X2T2). Do

�â n¸u (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0) th¼ P3 = P1 +P2 = ((X ′3 : Z ′3), (Y

′3 :

T ′3)) = ((X2 : Z2), (Y2 : T2)) = P2, suy ra f(P1 + P2) = f(P2) = f(P1) + f(P2).

Tr÷íng hñp P2 = ((0 : 1), (1 : 1)) ta nhªn �÷ñc k¸t luªn t÷ìng tü do t½nh �èi

xùng cõa P1 v  P2.

Tr÷íng hñp 2: P2 = ((−X1 : Z1), (Y1 : T1)) v  P1 6= ((0 : 1), (1 : 1)).

N¸u X1 = 0 th¼ Z1 6= 0 v  Y 21 = T 2

1 , suy ra P1 = ((0 : 1), (−1 : 1)). Khi

�â P2 = P1 v  f(P2) = f(P1) = (0 : 0 : 1). Hìn núa (X3 : Z3) = (0 : 1) v 

(Y3 : T3) = (1 : 1), do vªy f(P1 + P2) = f(((0 : 1), (1 : 1))) = (0 : 1 : 0) = (0 :

0 : 1) + (0 : 0 : 1) = f(P1) + f(P2).

N¸u Z1 = 0 th¼ X1 6= 0 v  aT 21 = dY 2

1 , tùc l  P1 = ((1 : 0), (±√a/d : 1)).

Khi �â P2 = P1 v  f(P2) = f(P1) = (1 ±√a/d : 0 : 1 ∓

√a/d). M°t kh¡c,

(X3 : Z3) = (0 : 1) v  (Y3 : T3) = (−a : −a) = (1 : 1), vªy n¶n P1 + P2 = ((0 :

1), (1 : 1)) v  f(P1+P2) = (0 : 1 : 0) = (1±√a/d : 0 : 1∓

√a/d)+(1±

√a/d :

0 : 1∓√a/d) = f(P1) + f(P2).

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 38

Ng÷ñc l¤i, x²t X1, Z1 6= 0, khi �â P2 6= P1. Ta câ X3 = 0 v  Y3 = T3, X ′3 = 0

v  Y ′3 = T ′3 v  do vªy P1 +P2 = ((0 : 1), (1 : 1)). Suy ra f(P1 +P2) = (0 : 1 : 0).

M°t kh¡c, tø �ành ngh¾a cõa f , n¸u ta �°t f(P1) = (U1 : V1 : W1) th¼ ta suy

ra f(P2) = (−U1 : V : −W1) = (U1 : −V1 : W1) = −f(P1). Do �â f(P1 + P2) =

(0 : 1 : 0) = (U1 : V1 : W1) + (U1 : −V1 : W1) = f(P1)− f(P1) = f(P1) + f(P2).

Tr÷íng hñp 3: P1 = P2 v  P2 6= ((−X1 : Z1), (Y1 : T1)).

Trong tr÷íng hñp n y X1, Z1 6= 0 v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ (−X1 : Z1) = (X1 :

Z1). Hìn núa Y1 + T1 6= 0 v¼ ng÷ñc l¤i ta câ, tø ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong,

aX21 +Z2

1 = Z21 + dX2

1 , d¨n �¸n a = d tr¡i vîi gi£ thi¸t trong �ành ngh¾a �÷íng

cong Edwards cuën. M°t kh¡c, (Y ′3 , T′3) = (0, 0) do �â P3 = P1 + P2 = ((X3 :

Z3), (Y3 : T3)). �°t (U1 : V1 : W1) = f(P1). Khi �â V1 = (Y1 + T1)Z1 6= 0.

N¸u Y1 = 0 th¼ T1 6= 0 v  tø ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong ta câ aX21 = Z2

1 .

Suy ra P2 = P1 = ((1 : ±√a), (0 : 1)), tø �â theo �ành ngh¾a cõa f , f(P2) =

f(P1) = (U1 : V1 : W1) = ((T1 + Y1)X1 : (T1 + Y1)Z1 : (T1 − Y1)X1) =

(1 : ±√a : 1). Ti¸p tuy¸n t¤i f(P1) cõa �÷íng cong EM,A,B câ h» sè gâc l 

(3U21 + 2AU1W1 +W 2

1 )/(2BV1W1) = (a− d+ a+ d)/(±2√a) = ±

√a = V1/U1

v  do �â nâ �i qua (0 : 0 : 1), tùc l  f(P1) + f(P2) = (0 : 0 : 1)

N¸u T1 = 0 th¼ Y1 6= 0 v  dX21 = Z2

1 . Suy ra P2 = P1 = (U1 : V1 : T1) =

((1 : ±√d), (0 : 1)), v  f(P2) = f(P1) = (1 : ±

√d : −1) = (−1 : ±

√d :

1). Ti¸p tuy¸n t¤i (U1 : V1 : W1) tr¶n �÷íng cong EM,A,B câ h» sè gâc l 

(3U21 + 2AU1W1 +W 2

1 )/(2BV1W1) = (a− d− a− d)/(±2√d) = ∓

√d = V1/U1

v  do �â nâ �i qua (0 : 0 : 1), tùc l  f(P1) + f(P2) = (0 : 0 : 1).

Trong c£ hai tr÷íng hñp Y1 = 0 ho°c T1 = 0 ta �·u câ P1 + P2 = ((0 :

1), (−1 : 1)), suy ra f(P1 + P2) = (0 : 0 : 1). K¸t hñp vîi k¸t qu£ tr¶n, ta câ

f(P1 + P2) = (0 : 0 : 1) = f(P1) + f(P2).

Ng÷ñc l¤i, ta x²t X1, Y1, Z1, T1 6= 0, khi �â Z3 = 2X1Y1Z1T1 6= 0, Y3 =

Y 21 Z

21−aX2

1T21 , Z3 = Z2

1T21 +dX2

1Y21 , v  T3 = Z2

1T21−dX2

1Y21 . Ta câ f(P1+P2) =

((T3 + Y3)X3 : (T3 + Y3)Z3 : (T3 − Y3)X3), v  f(P2) = f(P1) = (U1 : V1 :

W1) = ((T1 + Y1)X1 : (T1 + Y1)Z1) : (T1 − Y1)X1. Ti¸p tuy¸n cõa EM,A,B

t¤i f(P1) câ h» sè gâc l  (3U21 + 2AU1W1 + W 2

1 )/(2BV1W1). T½nh to¡n trüc

ti¸p, ta câ thº ch¿ ra �÷ñc �÷íng th¯ng n y �i qua −f(P1 + P2). Do �â ta câ

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 39

f(P1 + P2) = f(P1) + f(P1) = f(P1) + f(P2).

Tr÷íng hñp 4: P2 6= P1, P2 6= ((−X1 : Z1), (Y1 : T1)), P1 6= ((0 : 1), (1 : 1)) v 

P2 6= ((0 : 1), (1 : 1)).

N¸u P1 = ((0 : 1), (−1 : 1)) th¼ P2 6= ((0 : 1), (1 : −1)) do vªy f(P1) =

(0 : 0 : 1) v  f(P2) = ((T2 + Y2)X2) : (T2 + Y2)Z2 : (T2 − Y2)X2. Chó þ r¬ng

(T2 +Y2)X2, (T2−Y2)X2 6= 0. Do �â f(P1) +f(P2) = (0 : 0 : 1) + ((T2 +Y2)X2 :

(T2 + Y2)Z2 : (T2 − Y2)X2) = ((T2 − Y2)X2 : −(T2 − Y2)Z2 : (T2 + Y2)X2).

N¸u (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0) th¼ (X3 : Z3) = (−X2T2 : Z2T2) =

(−X2 : Z2) v  (Y3 : T3) = (−Y2Z2 : Z2T2) = (−Y2 : T2); n¸u (X ′2, Z′3) 6= (0, 0)

v  (Y ′3 , T′3) 6= (0, 0) th¼ (X ′3 : Z ′3) = (X2Y2 : −Y2Z2) = (−X2 : Z2) v  (Y ′3 :

T ′3) = (−X2Y2 : X2T2) = (−Y2 : T2); khi �â trong c£ hai tr÷íng hñp ta �·u câ

f(P1 +P2) = ((T2− Y2)(−X2) : (T2− Y2)Z2 : (T2 + Y2)(−X2)) = ((T2− Y2)X2 :

−(T2 − Y2)Z2 : (T2 + Y2)X2) = f(P1) + f(P2).

T½nh to¡n t÷ìng tü vîi tr÷íng hñp P2 = ((0 : 1), (−1 : 1)). B¥y gií ta gi£

thi¸t P2 6= ((0 : 1), (−1 : 1)) v  P1 6= ((0 : 1), (−1 : 1)). Khi �â f(P1) =

((T1+Y1)X1 : (T1+Y1)Z1) : (T1−Y1)X1 v  f(P2) = ((T2+Y2)X2 : (T2+Y2)Z2 :

(T2 − Y2)X2).

N¸u P1 + P2 = ((0 : 1), (−1 : 1)) th¼ theo Bê �· 2.18 ta câ (X2 : Z2) =

(X1 : Z1) v  (Y2 : T2) = (−Y1 : T1), do �â f(P1) = ((T1 + Y1)X1 : (T1 + Y1)Z1 :

(T1 − Y1)X1) v  f(P2) = ((T1 − Y1)X1 : (T1 − Y1)Z1 : (T1 + Y1)X1). Thüc hi»n

vi»c cëng �iºm tr¶n EM,A,B ta câ f(P1) + f(P2) = (0 : 0 : 1) = f(P1 + P2).

Gi£ sû P1 +P2 6= ((0 : 1), (−1 : 1)). N¸u (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0)

th¼ P1 + P2 = ((X3 : Z3), (Y3 : T3)), do �â f(P1 + P2) = ((T3 + Y3)X3 :

(T3 + Y3)Z3 : (T3 − Y3)X3). T½nh to¡n trüc ti¸p ta câ thº ch¿ ra �÷ñc �iºm

−f(P1 + P2) = ((T3 + Y3)X3 : −(T3 + Y3)Z3 : (T3 − Y3)X3) n¬m tr¶n �÷íng

th¯ng qua hai �iºm f(P1) = ((T1 + Y1)X1 : (T1 + Y1)Z1 : (T1 − Y1)X1) v  �iºm

f(P2) = ((T2 + Y2)X2 : (T2 + Y2)Z2 : (T2 − Y2)X2), v  tø �â ta nhªn �÷ñc

f(P1 + P2) = f(P1) + f(P2).

Vîi tr÷íng hñp (X ′3, Z′3) 6= (0, 0) v  (Y ′3 , T

′3) 6= (0, 0) ta thüc hi»n t÷ìng tü

v  công ch¿ ra �÷ñc f(P1 + P2) = f(P1) + f(P2).

Têng hñp t§t c£ c¡c lªp luªn �¢ tr¼nh b y, ta câ kh¯ng �ành f(P1 + P2) =

Ch÷ìng 2. D¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic 40

f(P1) + f(P2) vîi måi �iºm P1, P2 ∈ EE,a,d(k). �ành lþ �÷ñc chùng minh. �

Ta câ h» qu£ quan trång sau �¥y.

H» qu£ 2.20. Vîi gi£ thi¸t nh÷ trong �ành lþ 2.19, tªp c¡c �iºm EE,a,d(k) l 

mët nhâm aben vîi ph¦n tû trung háa l  �iºm ((0 : 1), (1 : 1)) v  ph¦n tû �èi

cõa P1 = ((X1 : Z1), (Y1 : T1)) l  �iºm ((−X1 : Z1), (Y1 : T1)). Hìn núa, nhâm

EE,a,d(k) �¯ng c§u vîi nhâm EM,A,B(k) t÷ìng ùng.

Chùng minh. Ta ch¿ ra ph²p cëng �iºm trong �ành lþ 2.16 l  câ t½nh ch§t k¸t

hñp. Thªt vªy, �ành ngh¾a c¡c ¡nh x¤ f, g nh÷ trong �ành lþ 2.17. Khi �â, vîi

måi �iºm P1, P2, P3 ∈ EE,a,d(k) ta câ

f((P1 + P2) + P3) = f(P1 + P2) + f(P3) = f(P1) + f(P2) + f(P3),

v 

f(P1 + (P2 + P3)) = f(P1) + f(P2 + P3) = f(P1) + f(P2) + f(P3)

theo �ành lþ 2.19. �p döng ¡nh x¤ g l¶n f(P1) + f(P2) + f(P3) ta nhªn �÷ñc

(P1 + P2) + P3 = g(f((P1 + P2) + P3)) = g(f(P1) + f(P2) + f(P3))

= g(f(P1 + (P2 + P3)))

= P1 + (P2 + P3).

Vi»c ch¿ ra �iºm ((0 : 1), (1 : 1)) l  ph¦n tû trung háa v  �iºm ((−X1 : Z1), (Y1 :

T1)) l  ph¦n tû �èi cõa P1 = ((X1 : Z1), (Y1 : T1)) l  �ìn gi£n thæng qua vi»c

t½nh to¡n trüc ti¸p. Hìn núa, tø �ành lþ 2.19 ta câ, vîi �÷íng cong d¤ng

Montgomery EM,A,B t÷ìng ùng th¼

EE,a,d(k) ∼= EM,A,B(k).

�

Ch֓ng 3

Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong

d¤ng chu©n Edwards

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tªp trung tr¼nh b y vi»c sû döng d¤ng chu©n

Edwards �º x¥y düng mët sè hå �÷íng cong elliptic vîi nhâm xo­n cho tr÷îc.

Ngo i ra, chóng tæi công tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa c¡c �÷íng cong

Edwards trong b i to¡n ph¥n t½ch sè công nh÷ trong mªt m¢.

3.1 C¡c �iºm câ c§p nhä tr¶n �÷íng cong Edwards

cuën

Cho k l  mët tr÷íng câ char(k) 6= 2, v  E l  mët �÷íng cong Edwards cuën

x¡c �ành tr¶n k,

EE,a,d : aX2 + Y 2 = 1 + dX2Y 2.

Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ �i t½nh mët sè �iºm câ c§p nhä trong nhâm

EE,a,d(k) d÷îi ph²p cëng �iºm �ành ngh¾a nh÷ trong �ành lþ 2.16.

C¡c �iºm c§p 2 trong EE,a,d(k): Cho P = ((X : Z), (Y : T )) 6= ((0 :

1), (1 : 1)) l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong Edwards cuën EE,a,d. Theo �ành ngh¾a

ph²p cëng �iºm trong �ành lþ 2.16, ta câ 2P = ((X3 : Z3), (Y3 : T3)) ho°c

((X ′3 : Z ′3), (Y′3 : T ′3)). Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y X3 = 2XY ZT = X ′3,

Z3 = Z2T 2 + dX2Y 2 = aX2T 2 + Y 2Z2 do P l  mët �iºm thuëc �÷íng cong,

v  Y ′3 = 0, Z ′3 = 0. Do �â, theo lªp luªn trong chùng minh cõa �ành lþ 2.15 ta

41

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 42

suy ra (X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0). Vªy ta câ 2P = ((X3 : Z3), (Y3 :

T3)) = ((2XY ZT : Z2T 2 + dX2Y 2), (Y 2Z2 − aX2T 2 : Z2T 2 − dX2Y 2)).

�iºm P câ c§p 2 trong EE,a,d(k) câ ngh¾a l  2P = ((0 : 1), (1 : 1)), �i·u n y

d¨n �¸n 2XY ZT = 0, Z2T 2 + dX2Y 2 6= 0 v  Y 2Z2− aX2T 2 = Z2T 2− dX2Y 2.

N¸u X = 0 th¼ Z 6= 0 v  Y 2 = T 2. Do �â P = ((X : Z), (Y : T )) =

((0 : 1), (±1 : 1)). V¼ ta �¢ gi£ thi¸t P 6= ((0 : 1), (1 : 1)) n¶n ch¿ cán l¤i

P = ((0 : 1), (−1 : 1)).

N¸u Z = 0 th¼ X 6= 0 v  aT 2 = dY 2. Suy ra, n¸u a/d l  ch½nh ph÷ìng trong

k th¼ Y = ±√a/dT , v  tø �§y P = ((1 : 0), (±

√a/d : 1)).

N¸u Y = 0 th¼ T 6= 0, −aX2 = Z2 v  hìn núa aX2 = Z2 (do P l  mët �iºm

cõa �÷íng cong). Suy ra X = Z = 0, væ lþ v¼ (X : Z) ∈ P1k; vªy khæng tçn t¤i

�iºm P câ c§p 2 trong tr÷íng hñp n y.

N¸u T = 0 th¼ Y 6= 0, Z2 = −dX2 v  Z2 = dX2. Suy ra X = Z = 0, væ lþ.

Vªy công khæng tçn t¤i �iºm P câ c§p 2 trong tr÷íng hñp n y.

C¡c �iºm c§p 4 trong EE,a,d(k): X²t P = ((X : Z), (Y : T )) 6= ((0 : 1), (1 :

1)). Khi �â, công nh÷ trong tr÷íng hñp tr¶n ta câ 2P = ((X3 : Z3), (Y3 :

T3)) = ((2XY ZT : Z2T 2 + dX2Y 2), (Y 2Z2 − aX2T 2 : Z2T 2 − dX2Y 2)) vîi

(X3, Z3) 6= (0, 0) v  (Y3, T3) 6= (0, 0). �º �iºm P câ c§p 4 th¼ �iºm 2P ph£i câ

c§p 2. Do �â, theo k¸t qu£ vøa t½nh �÷ñc v· c¡c �iºm câ c§p 2 ð tr¶n, ta suy

ra 2P ph£i l  mët trong c¡c �iºm ((0 : 1), (−1 : 1)) ho°c ((1 : 0), (±√a/d : 1))

n¸u a/d l  ch½nh ph÷ìng trong k. Ta x²t c¡c tr÷íng hñp nhä sau:

Tr÷íng hñp 2P = ((0 : 1), (−1 : 1)), tùc l  ((2XY ZT : Z2T 2+dX2Y 2), (Y 2Z2−aX2T 2 : Z2T 2 − dX2Y 2)) = ((0 : 1), (−1 : 1)). �i·u n y d¨n �¸n 2XY ZT =

0, Z2T 2 + dX2Y 2 6= 0, v  Y 2Z2 − aX2T 2 = −Z2T 2 + dX2Y 2.

N¸u X = 0 th¼ Z 6= 0, Y 2 = −T 2 v  Y 2 = T 2. Suy ra Y = T = 0, væ lþ v¼

(Y : T ) ∈ P1k. Vªy khæng tçn t¤i �iºm P câ c§p 4 trong tr÷íng hñp n y.

N¸u Z = 0 th¼ X 6= 0, aT 2 = dY 2, v  aT 2 = −dY 2. V¼ a, d 6= 0 n¶n suy ra

Y = T = 0, væ lþ.

N¸u Y = 0 th¼ T 6= 0 v  aX2 = Z2. N¸u a l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼

Z = ±√aX, v  do �â P = ((1 : ±

√a), (0 : 1)).

N¸u T = 0 th¼ Y 6= 0 v  Z2 = dX2. N¸u d l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 43

Z = ±√dX, v  do �â P = ((1 : ±

√d), (1 : 0)).

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : 0), (√a/d : 1)) vîi a/d l  ch½nh ph÷ìng trong k.

�°t s2 = a/d. Khi �â 2XY ZT 6= 0, Z2T 2 + dX2Y 2 = 0 v  (Y 2Z2 − aX2T 2) =

s(Z2T 2 − dX2Y 2). Suy ra X, Y, Z, T 6= 0, Z2T 2 = −dX2Y 2. Thay v o ph÷ìng

tr¼nh �÷íng cong, nhªn �÷ñc Y 2Z2 = −aX2T 2. Do �â, tø ph÷ìng tr¼nh

(Y 2Z2 − aX2T 2) = s(Z2T 2 − dX2Y 2) ta �÷ñc 2Y 2Z2 = 2sZ2T 2, d¨n �¸n

Y 2 = sT 2. N¸u s l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼ Y = ±√sT . Thay ng÷ñc trð

l¤i ph÷ìng tr¼nh Z2T 2 = −dX2Y 2 ta câ Z2 = −dsX2, hay t÷ìng �÷ìng vîi

(−s/a)Z2 = X2. N¸u −s/a l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼ X = ±√−s/aZ. Do

�â, têng hñp l¤i ta câ, n¸u s2 = a/d, s v  −s/a l  ch½nh ph÷ìng trong k th¼

P = ((X : Z), (Y : T )) = ((±√−s/a : 1), (±

√s : 1)), ð �¥y d§u �÷ñc l§y �ëc

lªp.

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : 0), (−√a/d : 1)) ta x²t ho n to n t÷ìng tü, v 

công thu �÷ñc k¸t qu£ nh÷ tr÷íng hñp tr¶n.

Mët sè �iºm c§p 8 trong EE,a,d(k): X²t �iºm P 6= ((0 : 1), (1 : 1)). Ta chó

þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong d¨n �¸n, n¸u mët �iºm câ mët tåa �ë b¬ng

0 th¼ �iºm �â s³ l  mët trong sè c¡c �iºm câ d¤ng ((0 : 1), (±1 : 1)), ((1 :

0), (±√a/d : 1)), ((1 : ±

√a), (0 : 1)), ((1 : ±

√d), (1 : 0)). M  theo c¡c t½nh

to¡n trong c¡c tr÷íng hñp ð tr¶n, nhúng �iºm vøa li»t k¶ câ c§p khæng v÷ñt

qu¡ 4. Do �â, n¸u mët �iºm P câ c§p 8 s³ câ c¡c tåa �ë kh¡c 0. V¼ vªy, khæng

gi£m t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t �iºm P câ tåa �ë l  ((X : 1), (Y : 1))

vîi X, Y 6= 0. Khi �â 2P = ((2XY : 1 + dX2Y 2), (Y 2 − aX2 : 1 − dX2Y 2)).

�iºm P câ c§p 8 t÷ìng �÷ìng vîi vi»c �iºm 2P câ c§p 4. D÷îi �¥y, chóng tæi

s³ �i t½nh c¡c �iºm P c§p 8 thäa m¢n 2P = ((1 : ±√a), (0 : 1)) n¸u a l  ch½nh

ph÷ìng trong k, ho°c 2P = ((1 : ±√d), (1 : 0)) n¸u d l  ch½nh ph÷ìng trong k.

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : r), (0 : 1)) vîi r2 = a, r ∈ k. �i·u n y t÷ìng

�÷ìng vîi 1 + dX2Y 2 = r2XY, Y 2 = aX2, 1 − dX2Y 2 6= 0. Tø �â ta câ

2rXY = 1 + dX2Y 2 = aX2 + Y 2 = 2Y 2. Do Y 6= 0 n¶n suy ra Y = 2rX.

Thay trð l¤i ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong ta nhªn �÷ñc adX4 − 2aX2 + 1 = 0.

Vªy n¸u X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n y th¼ �iºm c§p P câ c§p 8 s³ câ tåa �ë

l  ((X : 1), (rX : 1)).

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 44

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ r,X ∈ k thäa m¢n r2 = a, adX4 − 2aX2 + 1 = 0

th¼ �iºm P = ((X : 1), (rX : 1)) s³ thuëc �÷íng cong v¼ aX2 + (rX)2 =

2aX2 = adX4 + 1 = 1 + d(X)2(rX)2. Hìn núa, 2P = 2((X : 1), (rX : 1)) =

((2XrX : 1 + dx2r2X2), (r2X2 − aX2 : 1− dX2rX2)) = ((2Xr2X : 2aX2), (0 :

1− dX2r2X2)) = ((1 : r), (0 : 1)), tø �¥y suy ra P câ c§p 8.

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : −r), (0 : 1)) vîi r2 = a, r ∈ k. Thüc hi»n t÷ìng tü

nh÷ tr¶n, ta công ch¿ ra �÷ñc �iºm P = ((X : 1), (−rX : 1)) l  �iºm câ c§p 8

vîi X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh adX4 − 2aX2 + 1 = 0.

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : s), (1 : 0)) vîi s2 = d, s ∈ k. �i·u n y câ

ngh¾a l  1 + dX2Y 2 = s2XY, Y 2 − aX2 6= 0, v  1 − dX2Y 2 = 0. Suy ra

Y = 1/(sX). Thay ng÷ñc l¤i v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong, ta nhªn �÷ñc

aX2 + 1/(sX)2 = 1 + dX2/(sX2), tùc l  adX4− 2dX2 + 1 = 0. Vªy P = ((X :

1), (1/(sX) : 1)) = ((X : 1), (1 : sX)) vîi s2 = d, X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

adX4 − 2dX2 + 1 = 0. Ng÷ñc l¤i, vîi �iºm P câ tåa �ë nh÷ th¸ ta kiºm tra

�÷ñc P thuëc �÷íng cong v  P câ c§p 8.

Tr÷íng hñp 2P = ((1 : −s), (1 : 0)) vîi s2 = d, s ∈ k thüc hi»n ho n to n

t÷ìng tü v  thu �÷ñc P = ((X : 1), (1 : −sX)).

C¡c �iºm c§p 3 trong EE,a,d(k): Vîi méi �iºm P tr¶n �÷íng cong, gi£ sû P

câ mët tåa �ë b¬ng 0, công nh÷ �¢ nhªn x²t trong ph¦n t½nh to¡n c¡c �iºm

c§p 8, ta th§y �iºm P khi �â ch¿ câ c§p b¬ng 1, 2, v  4. Do �â, �º t¼m �iºm

câ c§p 3, khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ thi¸t P = ((X : 1), (Y : 1)) vîi

X, Y 6= 0. Ta câ 2P = ((2XY : 1 + dX2Y 2), (Y 2 − aX2 : 1 − dX2Y 2)) v 

−P = ((−X : 1), (Y : 1)). N¸u �iºm P câ c§p 3 th¼ ph÷ìng tr¼nh 2P = −P�÷ñc thäa m¢n, tùc l  X, Y thäa m¢n

((2XY : 1 + dX2Y 2), (Y 2 − aX2 : 1− dX2Y 2)) = ((−X : 1), (Y : 1)).

Tø �¥y ta câ h» thùc 2XY = −(1 + dX2Y 2)X, hay l  2Y = −(1 + dX2Y 2) =

−(aX2 + Y 2) v¼ X 6= 0 v  P l  mët �iºm tr¶n �÷íng cong.

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû P = ((X : 1), (Y : 1)) vîi X, Y 6= 0 thäa m¢n aX2 + Y 2 =

1 + dX2Y 2 = −2Y . Khi �â hiºn nhi¶n P ∈ EE,a,d, v  hìn núa ta câ

2P = ((2XY : 1 + dX2Y 2), (y2 − aX2 : 1− dX2Y 2))

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 45

= ((2XY : −2Y ), (2Y 2 − (aX2 + Y 2) : 2− (1 + dX2Y 2)))

= ((−X : 1), (2Y 2 + 2Y : 2 + 2Y ))

= ((−X : 1), (Y : 1))

= −P,

ð �¥y Y khæng thº b¬ng −1 v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong

k²o theo aX2 = dX2, d¨n �¸n a = d, m¥u thu¨n vîi �ành ngh¾a �÷íng cong

Edwards cuën. M°t kh¡c P khæng thº câ c§p 1 v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ X = 0 d¨n

�¸n Y 2 = 1 = −2Y , væ lþ. Vªy �iºm P câ c§p 3.

Têng k¸t l¤i, ta câ c¡c �iºm c§p 3 tr¶n �÷íng cong l  c¡c �iºm P câ tåa �ë

((X : 1), (Y : 1)) vîi X, Y 6= 0 thäa m¢n aX3 + Y 2 = 1 + dX2Y 2 = −2Y .

Têng hñp l¤i ta câ k¸t qu£ sau:

M»nh �· 3.1. Gi£ sû EE,a,d : aX2 + Y 2 = 1 + dX2Y 2 l  mët �÷íng cong

Edwards cuën �ành ngh¾a tr¶n tr÷íng k vîi char(k) 6= 2. Khi �â:

1. �iºm c§p 1 hay ph¦n tû trung háa trong EE,a,d : ((0 : 1), (1 : 1)).

2. C¡c �iºm c§p 2 trong EE,a,d(k) :

• ((0 : 1), (−1 : 1)).

• ((1 : 0), (±√a/d : 1)) n¸u a/d = s2, s ∈ k.

3. C¡c �iºm c§p 4 trong EE,a,d(k) :

• ((1 : ±√a), (0 : 1)) n¸u a = r2, r ∈ k.

• ((1 : ±√d), (1 : 0)) n¸u d = t2, t ∈ k.

• ((±√−s/a : 1), (±

√s : 1)) n¸u a/d = s2, s v  −s/a l  c¡c ph¦n tû

ch½nh ph÷ìng trong k, ð �¥y d§u �÷ñc l§y �ëc lªp.

4. C¡c �iºm c§p 8 trong EE,a,d(k) m  nh¥n �æi th nh ((1 : ±√a), (0 : 1)) :

• ((X : 1), (±rX : 1)) vîi r2 = a, X ∈ k thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

adX4 − 2aX2 + 1 = 0.

5. C¡c �iºm c§p 8 trong EE,a,d(k) m  nh¥n �æi th nh ((1 : ±√d), (1 : 0)) :

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 46

• ((X : 1), (1 : ±sX)) vîi s2 = d, X ∈ k thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

adX4 − 2dX2 + 1 = 0.

6. C¡c �iºm c§p 3 trong EE,a,d(k) :

• ((X : 1), (Y : 1)) vîi X, Y ∈ k \ {0} thäa m¢n aX2 + Y 2 = 1 +

dX2Y 2 = −2Y .

3.2 Nhâm xo­n cõa �÷íng cong Edwards tr¶n Q

Trong ph¦n n y chóng tæi x²t c¡c �÷íng cong Edwards E x¡c �ành tr¶n

tr÷íng k = Q vîi d ∈ Q \ {0, 1}. Tr÷îc ti¶n chóng tæi nh­c l¤i (khæng chùng

minh) �ành lþ kinh �iºn �÷ñc bi¸t �¸n vîi t¶n gåi l  �ành lþ Mazur.

�ành lþ 3.2. [15, �ành lþ 8.11] Gi£ sû E l  mët �÷íng cong elliptic �ành ngh¾a

tr¶n tr÷íng Q. Khi �â nhâm con xo­n Etor(Q) cõa E(Q) �¯ng c§u vîi mët trong

c¡c nhâm sau

Etor(Q) ∼=

{Z/mZ, vîi 1 ≤ m ≤ 10 ho°c m = 12,

Z/2Z× Z/2mZ, vîi 1 ≤ m ≤ 4.

Nhªn x²t 3.3. Gi£ sû E : x2 + y2 = 1 + dx2y2 l  mët �÷íng cong Edwards

x¡c �ành tr¶n Q vîi d 6= 0, 1. Khi �â, tø H» qu£ 2.20, ta câ nhâm xo­n Etor(Q)

cõa E �¯ng c§u vîi nhâm xo­n cõa �÷íng cong elliptic

EM,A,B : Bv2 = u3 + Au2 + u,

trong �â A = 2(1 + d)/(1 − d) v  B = 4/(1 − d). Thüc hi»n ph²p �êi bi¸n

(u, v) 7→ (X, Y ) = (u/B, v/B) ta bi¸n �êi EM,A,B v· �÷íng cong elliptic d¤ng

Weierstrass

E : Y 2 = X3 +A

BX2 +

1

B2X,

hay l 

E : Y 2 = X3 +1 + d

2X2 +

(1− d)2

16X.

Do �â

Etor(Q) ∼= Etor(Q).

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 47

Do �÷íng cong Edwards luæn câ �iºm c§p 4 l  (1, 0), n¶n tø �ành lþ Mazur suy

ra, nhâm xo­n Etor(Q) cõa E s³ �¯ng c§u vîi mët trong c¡c nhâm Z/4Z,Z/8Z,Z/12Z,Z/2Z× Z/4Z, ho°c Z/2Z× Z/8Z.

Cho E : x2 + y2 = 1 + dx2y2, d ∈ Q \ {0, 1} l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng affine

cõa �÷íng cong Edwards �ành ngh¾a tr¶n Q (�¥y ch½nh l  �÷íng cong EE,a,dvîi a = 1), v  gi£ sû P = ((x3 : 1), (y3 : 1)) l  mët �iºm câ c§p 3 cõa E. �º

�ìn gi£n, ti¸p theo �¥y chóng tæi s³ vi¸t �iºm P ð d¤ng affine l  P = (x3, y3)

thay cho ((x3 : 1), (y3 : 1)). Ta �¢ ch¿ ra trong ph¦n tr÷îc l  x3 6= 0, y3 6= 0.

Hìn núa, theo M»nh �· 3.1, ta câ x3, y3 thäa m¢n −2y3 = x23 + y23 = 1 + dx23y23.

Do �â x23 = −y3(y3 + 2). V¼ x3 6= 0 n¶n suy ra y3 6= 0,−2. Tø ph÷ìng tr¼nh

−2y3 = 1 + dx23y23 ta t½nh �÷ñc d = −(2y3 + 1)/(x23y

23). Do �i·u ki»n d 6= 0, 1

n¶n d¨n �¸n y3 6= −1/2,−1.

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d = −(2y3 + 1)/(x23y23) vîi x3 6= 0, y3 /∈ {−2,−1,−1/2, 0}

thäa m¢n h» thùc −2y3 = x23 + y23. Khi �â d¹ d ng kiºm tra �÷ñc d 6= 0, 1 v 

�iºm P = (x3, y3) thuëc �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2, hìn núa

P câ c§p 3 theo M»nh �· 3.1.

M°t kh¡c, vîi �÷íng cong Edwards �ành ngh¾a bði ph÷ìng tr¼nh câ d nh÷

tr¶n, công theo M»nh �· 3.1, nhâm E(Q) luæn câ �iºm c§p 4 l  �iºm Q =

(1, 0) ho°c (−1, 0). �°t R = P + Q. D¹ d ng ch¿ ra �÷ñc �iºm R câ c§p b¬ng

12. Do �â nhâm xo­n Etor(Q) cõa �÷íng cong E câ mët nhâm con �¯ng c§u

vîi Z/12Z. Theo �ành lþ Mazur ta suy ra Etor(Q) ∼= Z/12Z.Tø c¡c lªp luªn tr¶n, ta câ �ành lþ sau.

�ành lþ 3.4. [2, �ành lþ 6.2] Vîi x3 ∈ Q \ {0}, y3 ∈ Q \ {−2,−1,−1/2, 0}thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh x23 = −(y23 + 2y3), �°t d = −(2y3 + 1)/(x23y

23). Khi �â

�÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2 tr¶n Q câ nhâm xo­n Etor(Q)

�¯ng c§u vîi Z/12Z. Ng÷ñc l¤i, n¸u E l  �÷íng cong Edwards tr¶n Q câ nhâm

xo­n �¯ng c§u vîi Z/12Z v  P = (x3, y3) l  mët �iºm c§p 3 cõa E th¼ tham sè

d trong �ành ngh¾a E �÷ñc x¡c �ành nh÷ tr¶n.

H» qu£ 3.5. [2, �ành lþ 6.3] Gi£ sû E : x2 +y2 = 1 +dx2y2 l  mët �÷íng cong

Edwards tr¶n Q vîi Etor(Q) ∼= Z/12Z v  P = (x3, y3) l  mët �iºm c§p 3 tr¶n

E. Khi �â 12 �iºm xo­n cõa E l :

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 48

C§p 1 2 3 4 6 12

�iºm (0, 1) (0,−1) (±x3, y3) (±1, 0) (±x3,−y3) (±y3,±x3)

Chùng minh. C¡c �iºm c§p 1, 2, 3, 4 �¢ �÷ñc ch¿ ra chi ti¸t trong M»nh �· 3.1.

C¡c �iºm c§p 6 nhªn �÷ñc b¬ng c¡ch thüc hi»n (0,−1) + (±x3, y3), cán c¡c

�iºm c§p 12 nhªn �÷ñc qua vi»c t½nh (±1, 0) + (±x3, y3). �

B¥y gií ta s³ �i tham sè hâa h» sè d cõa �÷íng cong Edwards trong �ành

lþ 3.4.

�ành lþ 3.6. [2, �ành lþ 6.4] �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2

tr¶n Q câ mët �iºm c§p 3, hay mët c¡ch t÷ìng �÷ìng, nhâm xo­n cõa E �¯ng

c§u vîi Z/12Z khi v  ch¿ khi

d =(1 + t2)3(1− 4t+ t2)

(1− t)6(1 + t)2, vîi t ∈ Q \ {0,±1}. (3.1)

Chùng minh. Gåi P = (x3, y3) l  �iºm c§p 3 cõa E. Theo �ành lþ 3.4 ta câ

−2y3 = x23 + y23, tùc l  x23 + (y3 + 1)2 = 1. �º tham sè hâa x3, y3 ta thüc hi»n

nh÷ sau. X²t �÷íng trán X2 + (Y + 1)2 = 1. Rã r ng (x3, y3) v  (−1,−1) l 

c¡c �iºm thuëc �÷íng trán n y. Hìn núa, mët �÷íng th¯ng khæng ph£i ti¸p

tuy¸n �i qua �iºm (−1,−1) s³ c­t �÷íng trán x23 + (y3 + 1)2 = 1 t¤i duy nh§t

mët �iºm kh¡c. Do �â ta s³ sû döng h» sè gâc t cõa �÷íng th¯ng khæng ph£i

ti¸p tuy¸n qua (−1,−1) l m tham sè húu t¿ cho giao �iºm cán l¤i cõa �÷íng

th¯ng vîi �÷íng trán. �÷íng th¯ng qua (−1,−1) vîi h» sè gâc t câ ph÷ìng

tr¼nh y = t(x + 1) − 1. Thay v o ph÷ìng tr¼nh �÷íng trán v  thüc hi»n c¡c

ph²p bi¸n �êi ta nhªn �÷ñc (x+ 1)((1 + t2)x+ t2− 1) = 0. Suy ra tåa �ë x cõa

giao �iºm cán l¤i l 

x =1− t2

1 + t2,

v  tø �â

y = t(1− t2

1 + t2+ 1)− 1 = −(1− t)2

1 + t2.

Nh÷ vªy ta câ(1−t21+t2

,− (1−t)21+t2

)l  mët ph²p tham sè hâa húu t¿ cõa �÷íng trán

X2 + (Y + 1)2 = 1. Do (x3, y3) l  mët �iºm tr¶n �÷íng trán n y n¶n �¥y công

l  tham sè hâa húu t¿ cõa (x3, y3). Vªy ta câ x3 = 1−t21+t2

v  y3 = − (1−t)21+t2

(ta s³

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 49

x¡c �ành �i·u ki»n cho t sau). Tø h» thùc d = −(2y3 + 1)/x23y23 ta nhªn �÷ñc

tham sè hâa cõa d theo t l 

d =(1 + t2)3(1− 4t+ t2)

(1− t)6(1 + t)2.

V¼ (x3, y3) l  �iºm c§p 3 n¶n theo M»nh �· 3.1 ta câ x3 6= 0. Suy ra t 6= ±1.

Hìn núa, n¸u x3 = ±1 th¼ y3 + 1 = 0, suy ra d = −(2y3 + 1)/(x23y23) = 1, tr¡i

vîi gi£ thi¸t d 6= 1 trong �ành ngh¾a �÷íng cong Edwards. Do �â x3 6= ±1.

�i·u n y d¨n �¸n t 6= 0.

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû ta câ

d =(t2 + 1)3(t2 − 4t+ 1)

(t− 1)6(t+ 1)2,

vîi t ∈ Q \ {0,±1}. �°t

x3 =t2 − 1

t2 + 1, y3 = −(t− 1)2

t2 + 1.

Khi �â

x23 + y23 =(t2 − 1)2

(t2 + 1)2+

(t− 1)4

(t2 + 1)2=

(t− 1)2((t+ 1)2 + (t− 1)2)

(t2 + 1)2

=2(t− 1)2(t2 + 1)

(t2 + 1)=

2(t− 1)2

t2 + 1= −2y3.

B¶n c¤nh �â ta th§y

d =2(t− 1)2 − (t2 + 1)

t2 + 1· (t2 + 1)2

(t2 − 1)2· (t2 + 1)2

(t− 1)4=−2y3 − 1

x23y23

.

M°t kh¡c, do d 6= 0 trong Q n¶n tø ph÷ìng tr¼nh tr¶n suy ra y3 6= −1/2. Hìn

núa, gi£ thi¸t t 6= 0,±1 d¨n �¸n x3 6= 0, y3 6= −2,−1, 0.

Nh÷ vªy ta th§y x3, y3 v  d thäa m¢n gi£ thi¸t cõa �ành lþ 3.4, do �â ta câ

k¸t luªn �÷íng cong Edwards E �ành ngh¾a bði ph÷ìng tr¼nh

E : x2 + y2 = 1 + dx2y2

câ mët �iºm c§p 3 l  �iºm P = (x3, y3) v  nhâm xo­n Etor(Q) ∼= Z/12Z. �

B¥y gií, chóng tæi muèn x¥y düng mët hå �÷íng cong Edwards E : x2+y2 =

1 + dx2y2 vîi d 6= 0, 1 tr¶n Q câ nhâm xo­n �¯ng c§u vîi Z/8Z. Gi£ sû ta câ

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 50

�÷íng cong E nh÷ mong muèn. V¼ Z/8Z ch¿ câ duy nh§t 1 �iºm c§p 2 n¶n

E công ph£i câ t½nh ch§t n y. Theo M»nh �· 3.1, ta th§y E câ 1 �iºm c§p 2

l  (0,−1), v  �iºm n y l  duy nh§t khi v  ch¿ khi d khæng ph£i l  sè ch½nh

ph÷ìng. Hìn núa, vîi �i·u ki»n n y cõa d th¼ E ch¿ câ �óng hai �iºm c§p 4 l 

(1, 0) v  (−1, 0). B¥y gií gi£ sû P �iºm c§p 8 l  cõa E, tø M»nh �· 3.1, ta câ

P = (α,±α) vîi α ∈ Q\{0} thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh dx4−2x2 +1 = 0. V¼ P l 

�iºm tr¶n �÷íng cong E n¶n ta ph£i câ α 6= ±1, v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ tø ph÷ìng

tr¼nh �÷íng cong suy ra d = 1, tr¡i vîi gi£ thi¸t d 6= 1. Ngo i ra, ta công câ

d = (2α2−1)/α4 v  dα2+ 1α2 = 2. Ta vi¸t dx4−2x2+1 = dx4−(dα2+ 1

α2 )x2+1 =

dx2(x − α)(x + α) − (x−α)(x+α)α2 = (x − α)(x + α)(dx2 − 1

α2 ). Do d khæng ph£i

l  sè ch½nh ph÷ìng n¶n dx2 − 1α2 l  b§t kh£ quy trong Q, do �â ph÷ìng tr¼nh

dx4− 2x2 + 1 = 0 ch¿ câ hai nghi»m l  α v  −α. Theo M»nh �· 3.1, ta th§y E

ch¿ câ 4 �iºm c§p 8 l  (α, α), (α,−α), (−α,−α) v  (−α, α).

Nh÷ vªy, n¸u Etor(Q) ∼= Z/8Z th¼ d ph£i thäa m¢n �i·u ki»n khæng ch½nh

ph÷ìng trong Q v  d = (2α2 − 1)/α4 vîi α ∈ Q \ {0,±1}.Nhúng lªp luªn ð tr¶n l  ph¦n chùng minh �i·u ki»n c¦n cõa �ành lþ sau:

�ành lþ 3.7. �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2, d ∈ Q \ {0, 1} cânhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/8Z n¸u v  ch¿ n¸u d khæng ph£i l  sè ch½nh

ph÷ìng trong Q v  d = (2α2 − 1)/α4 vîi α ∈ Q \ {0,±1}.

Chùng minh. Chóng ta ch¿ c¦n chùng minh �i·u ki»n �õ. Gi£ sû ta câ d =

(2α2 − 1)/α4 vîi α ∈ Q \ {0,±1} v  d khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng. Suy ra

d 6= 0, 1. Khi �â �÷íng cong Edwards x¡c �ành tr¶n Q

E : x2 + y2 = 1 + dx2y2

câ duy nh§t mët �iºm c§p 2, hai �iºm c§p 4 theo M»nh �· 3.1. Hìn núa, α

thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh dx4 − 2x2 + 1 = 0 n¶n, công tø M»nh �· 3.1, suy ra

(α,±α) l  c¡c �iºm câ c§p 8 tr¶n E. V¼ d khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng n¶n

ph÷ìng tr¼nh dx4 − 2x2 + 1 = 0 ch¿ câ hai nghi»m trong Q l  α v  −α. Do�â t§t c£ nhúng �iºm c§p 8 tr¶n E l  (α, α), (α,−α), (−α,−α) v  (−α, α). Tø

�ành lþ Mazur ta nhªn �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/8Z.

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 51

�ành lþ �÷ñc chùng minh. �

Sû döng ph÷ìng ph¡p nh÷ tr¶n, ta �i x¥y düng c¡c �÷íng cong Edwards tr¶n

Q câ nhâm xo­n �¯ng c§u vîi Z/2Z×Z/8Z. Gi£ sû E : x2+y2 = 1+dx2y2, d 6=0, 1, l  �÷íng cong thäa m¢n y¶u c¦u. Do trong Z/2Z × Z/8Z câ t§t c£ bèn

ph¦n tû c§p 4, v  nh¥n �æi cõa c¡c ph¦n tû n y l  nh÷ nhau, vªy n¶n �÷íng

cong E công ph£i câ bèn �iºm câ c§p 4 m  vi»c nh¥n �æi méi �iºm cho ta còng

mët k¸t qu£. Tø M»nh �· 3.1 ta th§y �÷íng cong E luæn câ hai �iºm c§p 4 l 

(1, 0), (−1, 0) v  nh¥n �æi cõa chóng b¬ng (0,−1), do �â hai �iºm c§p 4 cán l¤i

công ph£i nh¥n �æi l¶n b¬ng (0,−1). Vi»c t½nh to¡n c¡c �iºm c§p 4 trong M»nh

�· 3.1 �¢ ch¿ ra hai �iºm n y ph£i l  ((1 :√d), (1 : 0)) v  ((1 : −

√d), (1 : 0)).

�i·u n y t÷ìng �÷ìng vîi d ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng trong Q.Gi£ sû P = ((x8 : 1), (y8 : 1)) l  mët �iºm c§p 8 tr¶n E. Khi �â tø M»nh �·

3.1 ta câ x8, y8 6= 0 v  2P ph£i b¬ng ((±1 : 1), (0 : 1)) ho°c ((1 : ±√d), (1 : 0)).

Ta �i x²t tøng tr÷íng hñp cö thº d÷îi �¥y.

Tr÷íng hñp P = ((x8 : 1), (y8 : 1)) nh¥n �æi th nh ((±1 : 1), (0 : 1)): Khi

�â, công tø vi»c t½nh to¡n �iºm c§p 8 trong M»nh �· 3.1, ta câ x8 thäa m¢n

ph÷ìng tr¼nh dx4 − 2x2 + 1 = 0 v  y8 = ±x8. Ta suy ra x8 6= ±1 v¼ n¸u ng÷ñc

l¤i th¼ ph÷ìng tr¼nh dx48− 2x28 + 1 = 0 k²o theo d = 1, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

d 6= 1 trong �ành ngh¾a �÷íng cong Edwards. Ph÷ìng tr¼nh dx48 − 2x28 + 1 = 0

cho ta d = (2x28−1)/x48, 2 = (dx48 +1)/x28 = dx28 +1/x28 v  hìn núa ta vi¸t �÷ñc

dx4 − 2x2 + 1 = dx4 − (dx28 +1

x28)x2 + 1

= (dx4 − dx28x2)− (1

x28x2 − 1)

= (x2 − x28)(dx2 −1

x28)

= (x− x8)(x+ x8)(√dx− 1

x8)(√dx+

1

x8),

do d l  sè ch½nh ph÷ìng. Tø �¥y ta nhªn �÷ñc c¡c �iºm c§p 8 m  nh¥n �æi

b¬ng ((±1 : 1), (0 : 1)) l  ((±x8 : 1), (±x8 : 1)) v  ((1 : ±x8√d), (1 : ±x8

√d)).

C¡c �iºm n y l  kh¡c nhau tøng �æi mët v¼ n¸u ng÷ñc l¤i, ta câ ±x8√

=1,

suy ra dx48 = 1 k²o theo 2x28 = 2, v  tø ph÷ìng tr¼nh cõa �÷íng cong d¨n �¸n

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 52

y8 = 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t y8 6= 0.

Tr÷íng hñp P = ((x8 : 1), (y8 : 1)) nh¥n �æi th nh ((1 : ±√d), (1 :

0)): Khi �â, công tø vi»c t½nh to¡n �iºm c§p 8 trong M»nh �· 3.1, ta câ

x8 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh dx4 − 2dx2 + 1 = 0 v  y8 = ±1/(√dx8), tùc l 

P = ((x8 : 1), (±1/(√dx8) : 1)) = ((x8 : 1), (1 : ±

√dx8)). T÷ìng tü nh÷

tr¶n ta công ch¿ ra �÷ñc x8 6= 0,±1 v  d = 1/(2x28 − 1x48) = 1/(x28(2 − x28)),2d = (dx48 + 1)/x28 = dx28 + 1/x28 v  hìn núa ta vi¸t �÷ñc

dx4 − 2dx2 + 1 = dx4 − (dx28 +1

x28)x2 + 1

= (dx4 − dx28x2)− (1

x28x2 − 1)

= (x2 − x28)(dx2 −1

x28)

= (x− x8)(x+ x8)(√dx− 1

x8)(√dx+

1

x8),

do d l  sè ch½nh ph÷ìng. Tø �¥y ta nhªn �÷ñc c¡c �iºm c§p 8 m  nh¥n �æi b¬ng

((1 : ±√d), (1 : 0)) l  ((±x8 : 1), (1 : ±

√dx8)) v  ((1 : ±

√dx8), (±x8 : 1)). C¡c

�iºm n y l  kh¡c nhau tøng �æi mët v¼ n¸u ng÷ñc l¤i, ta câ ±√dx28 = 1, suy

ra dx48 = 1 k²o theo 2dx28 = 2, tùc l  dx28 = 1 v  tø ph÷ìng tr¼nh cõa �÷íng

cong d¨n �¸n x8 = 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t x8 6= 0.

Ta câ �ành lþ sau �¥y.

�ành lþ 3.8. [2, �ành lþ 6.6] Måi �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 +

dx2y2, d 6= 0, 1 �ành ngh¾a tr¶n Q m  câ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi

Z/2Z× Z/8Z s³ thuëc v o mët trong hai tr÷íng hñp sau:

1. �÷íng cong E câ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/2Z×Z/8Z v  câ c¡c

�iºm c§p 8 l  (x8,±x8) nh¥n �æi th nh ((±1 : 1), (0 : 1)) khi v  ch¿ khi

d = (2x28 − 1)/x48 l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong Q vîi x8 ∈ Q \ {0,±1}.

2. �÷íng cong E câ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/2Z × Z/8Z v  câ

c¡c �iºm c§p 8 l  (x8,±1/(x8√d)) nh¥n �æi th nh ((1 : ±

√d), (1 : 0))

khi v  ch¿ khi d = 1/(x28(2 − x28)) l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong Q vîi

x8 ∈ Q \ {0,±1}.

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 53

Chùng minh. 1.�i·u ki»n c¦n:Gi£ sû E câ Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/2Z×Z/8Zv  P = ((x8 : 1), (y8 : 1)) l  mët �iºm c§p 8 thäa m¢n 2P = ((±1 : 1), (0 : 1)).

Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü nh÷ �¢ tr¼nh b y ð tr¶n, ta thu �÷ñc �i·u ki»n

cõa �ành lþ.

�i·u ki»n �õ: Gi£ sû x8 ∈ Q \ {0,±1} v  d = (2x28 − 1)/x48 l  mët sè ch½nh

ph÷ìng. Khi �â d 6= 0, 1 v  E : x2 + y2 = 1 + dx2y2 l  mët �÷íng cong

Edwards �ành ngh¾a tr¶n Q. Khi �â, tø t½nh to¡n ð M»nh �· 3.1, ta th§y �÷íng

cong E ch¿ câ c¡c �iºm c§p 2 l  ((0 : 1), (−1 : 1)), ((1 : 0), (1 : ±√d)), c¡c

�iºm c§p 4 l  ((±1 : 1), (0 : 1)), ((1 : ±√d), (1 : 0)), v  c¡c �iºm c§p 8 l 

((±x8 : 1), (±x8 : 1)), ((1 : ±x8√d), (1 : ±x8

√d)), hìn núa c¡c �iºm c§p 8

nh¥n �æi b¬ng ((±1 : 1), (0 : 1)). Khi �â, tø �ành lþ Mazur ta suy ra

Etor(Q) ∼= Z/2Z× Z/8Z.

2. Chùng minh t÷ìng tü nh÷ �èi vîi 1.

�

Ta s³ �i chùng minh hai hå �÷íng cong trong �ành lþ 3.8 l  t÷ìng �÷ìng

song húu t¿ vîi nhau. Tr÷îc ti¶n, gi£ sû x8 ∈ Q \ {0,±1} v  d = 1/(x28(2−x28))l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong Q. Khi �â �÷íng cong E : x2 + y2 = 1 + dx2y2

l  �÷íng cong thuëc hå thù hai. �°t x′8 = x8√d. Ta câ x′28 = x28d = 1/(2− x28)

do �â (2x′28 − 1)/x′48 = (2/(2− x28)− 1)(2− x28)2 = x28(2− x28) = 1/d, gi¡ trà n y

công l  mët sè ch½nh ph÷ìng. M°t kh¡c, x8 ∈ Q \ {0,±1} n¶n 2 − x28 6= 0, 1,

suy ra x′8 6= 0,±1. Do vªy �÷íng cong x2 + y2 = 1 + (1/d)x2y2 thuëc hå �÷íng

cong thù nh§t. Quan h» t÷ìng �÷ìng song húu t¿ cõa hai hå �÷íng cong n y

�÷ñc chùng minh qua bê �· sau.

Bê �· 3.9. Cho d l  mët sè ch½nh ph÷ìng. Hai �÷íng cong Edwards x2 + y2 =

1 + dx2y2 v  u2 + v2 = 1 + (1/d)u2v2 qua ¡nh x¤ (x, y) 7→ (u, v) = (x√d, 1/y)

vîi ¡nh x¤ ng÷ñc (u, v) 7→ (x, y) = (u/√d, 1/v) l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿.

�nh x¤ n y b£o to n c¡c �iºm (0,±1).

Chùng minh. Thay u = x√d, v = 1/y v o ph÷ìng tr¼nh x2 + y2 = 1 + dx2y2,

ta �÷ñc u2/d+ 1/v2 = 1 + u2/v2. Nh¥n hai v¸ ph÷ìng tr¼nh mîi vîi v2 cho ta

u2 + v2 = 1 + (1/d)u2v2. �nh x¤ (x, y) 7→ (u, v) = (x√d, 1/y) ch¿ câ húu h¤n

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 54

�iºm c¡ bi»t l  (±1, 0). D¹ th§y ¡nh x¤ n y b£o to n c¡c �iºm (0,±1). Chi·u

ng÷ñc l¤i �÷ñc chùng minh t÷ìng tü. �

Do hai hå �÷íng cong trong �ành lþ 3.8 l  t÷ìng �÷ìng song húu t¿ qua Bê

�· 3.9 n¶n ta câ thº h¤n ch¸ vi»c kh£o s¡t hai hå �÷íng cong n y ch¿ vîi hå

�÷íng cong thù nh§t, tùc l  c¡c �÷íng cong Edwards tr¶n Q câ nhâm xo­n

�¯ng c§u vîi Z/2Z×Z/8Z v  c¡c �iºm c§p 8 nh¥n �æi th nh (±1, 0). B¥y gií

ta �i tham sè hâa h» sè d cõa hå �÷íng cong n y.

�ành lþ 3.10. [2, �ành lþ 6.9] �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2

tr¶n Q câ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/2Z × Z/8Z v  c¡c �iºm c§p 8

nh¥n �æi b¬ng (±1, 0) khi v  ch¿ khi

d =(t2 − 2)2(t2 + 4t+ 2)2

(t2 + 2t+ 2)4, vîi t ∈ Q \ {−2,−1, 0}.

Chùng minh. �i·u ki»n c¦n: Gi£ sû �÷íng cong Edwards E câ Etor(Q) ∼=Z/2Z×Z/8Z v  c¡c �iºm c§p 8 nh¥n �æi b¬ng (±1, 0). Khi �â, theo �ành lþ 3.8

ta câ d = (2x28 − 1)/x48 l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong Q vîi x8 ∈ Q \ {0,±1};tùc l  2x28 − 1 = r2 vîi r ∈ Q n o �â. �º tham sè hâa x8, ta x²t �÷íng

hyperbol 2u2 − v2 = 1. Rã r ng (1,−1) v  (x8, r) l  c¡c �iºm thuëc �÷íng

hyperbol n y. Gåi h» sè gâc cõa �÷íng th¯ng �i qua (1,−1) v  (x8, r) l  t, ta

câ t = (r + 1)/(x8 − 1). Khi �â, r = t(x8 − 1)− 1. Thay (x8, t(x8 − 1)− 1) v o

ph÷ìng tr¼nh hyperbol ta thu �÷ñc 2x28 − 1 = (t(x8 − 1) − 1)2. Ph÷ìng tr¼nh

n y d¨n �¸n 2(x28 − 1) = (t(x8 − 1) − 1)2 − 1 = t(x8 − 1)(t(x8 − 1) − 2). Do

x8 6= ±1 n¶n ta nhªn �÷ñc 2(x8 + 1) = t(t(x8 − 1) − 2), hay t÷ìng �÷ìng vîi

x8(t2 − 2) = 2 + 2t+ t2. Tø �¥y suy ra

x8 =(t2 + 2t+ 2)

(t2 − 2).

V¼ �i·u ki»n x8 6= 0,±1 n¶n d¨n �¸n t 6= −2,−1, 0. Thay x8 v o ph÷ìng tr¼nh

d = (2x28 − 1)/x48 ta câ

d =(t2 − 2)2(t2 + 4t+ 2)2

(t2 + 2t+ 2)4.

�i·u ki»n �õ: Gi£ sû d �÷ñc x¡c �ành nh÷ cæng thùc tr¶n vîi t ∈ Q \

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 55

{−2,−1, 0}. Khi �â d 6= 0, 1 v  l  mët sè ch½nh ph÷ìng trong Q. �°t

x8 =t2 + 2t+ 2

t2 − 2.

Ta câ x8 6= 0 v¼ t2 + 2t+ 2 6= 0 vîi måi t ∈ Q, x8 6= 1 v¼ t 6= −2, v  x8 6= −1 v¼

t 6= 0,−1. Ta th§y c¡c gi£ thi¸t cõa �ành lþ 3.8 �÷ñc thäa m¢n, do vªy ta câ

�i·u ph£i chùng minh. �

�ành lþ 3.11. �÷íng cong Edwards E : x2 + y2 = 1 + dx2y2 x¡c �ành tr¶n Qcâ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi Z/2Z× Z/4Z khi v  ch¿ khi tçn t¤i s ∈ Qthäa m¢n d = s2 v  ph÷ìng tr¼nh (dx4− 2x2 + 1)(dx4− 2dx2 + 1) = 0 khæng câ

nghi»m trong Q.

Chùng minh. �i·u ki»n c¦n: Gi£ sû �÷íng cong Edwards E câ Etor(Q) ∼=Z/2Z×Z/4Z. Khi �â tr¶n E câ �óng ba �iºm c§p 2, bèn �iºm c§p 4 v  khæng

câ �iºm c§p 8. Theo M»nh �· 3.1, �i·u n y ch¿ x£y ra khi v  ch¿ khi d l  sè

ch½nh ph÷ìng trong Q, tùc l  d = s2 vîi s ∈ Q. B¶n c¤nh �â, do E khæng câ

�iºm c§p 8 n¶n tø M»nh �· 3.1, suy ra c¡c ph÷ìng tr¼nh dx4 − 2x2 + 1 = 0 v 

dx4 − 2dx2 + 1 = 0 l  væ nghi»m.

�i·u ki»n �õ: Gi£ sû d thäa m¢n c¡c �i·u ki»n �¢ n¶u. Khi �â, tø t½nh to¡n

trong M»nh �· 3.1 v  �ành lþ Mazur, ta câ �i·u ph£i chùng minh. �

Têng hñp t§t c£ k¸t qu£ �¢ tr¼nh b y ð tr¶n, ta câ:

H» qu£ 3.12. Gi£ sû d ∈ Q \ {0, 1}. Khi �â �÷íng cong elliptic x¡c �ành tr¶n

Q

E : Y 2 = X3 +1 + d

2X2 +

(1− d)2

16X

câ nhâm xo­n Etor(Q) �¯ng c§u vîi

Z/12Z, n¸u d = (1+t2)3(1−4t+t2)(1−t)6(1+t)2 vîi t ∈ Q \ {0,±1};

Z/2Z× Z/8Z, n¸u d = (t2−2)2(t2+4t+2)2

(t2+2t+2)4vîi t ∈ Q \ {−2,−1, 0};

Z/2Z× Z/4Z, n¸u d ∈ Q2 v  (dx4 − 2x2 + 1)(dx4 − 2dx2 + 1) 6= 0, ∀x ∈ Q;

Z/8Z, n¸u d /∈ Q2 v  d = 2t2−1t4

vîi t ∈ Q \ {0,±1};Z/4Z, trong c¡c tr÷íng hñp cán l¤i,

ð �¥y kþ hi»u Q2 = {a2 | a ∈ Q}.

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 56

Chùng minh. Do d 6= 0, 1 n¶n ta câ �÷íng cong Edwards �ành ngh¾a tr¶n Q l 

E : x2 + y2 = 1 + dx2y2.

Tø H» qu£ 2.20 ta câ Etor(Q) �¯ng c§u vîi nhâm xo­n cõa �÷íng cong Mont-

gomery t÷ìng ùng l 

EM :4

1− dv2 = u3 +

2(1 + d)

1− du2 + u.

Chia c£ hai v¸ ph÷ìng tr¼nh �÷íng cong tr¶n cho(

41−d

)3ta nhªn �÷ñc ph÷ìng

tr¼nh mîi(1− d4

)2v2 =

(1− d4

)3u3 +

1 + d

2

(1− d4

)2u2 +

(1− d)2

16

(1− d4

)u.

Thüc hi»n ph²p �êi bi¸n (u, v) 7→ (X, Y ) =(1−d4u, 1−d

4v)ta nhªn �÷ñc �÷íng

cong

E : Y 2 = X3 +1 + d

2X2 +

(1− d)2

16X.

Tø �â suy ra Etor(Q) ∼= Etor(Q). Khi �â, tø c¡c �ành lþ 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11

ta nhªn �÷ñc �i·u ph£i chùng minh. �

Ta x²t mët v i v½ dö cö thº sau:

V½ dö 3.13. Cho �÷íng cong elliptic tr¶n Q

E : Y 2 = X3 +1 + d

2X2 +

(1− d)2

16,

vîi d = (1+t2)3(1−4t+t2)(1−t)6(1+t)2 , t ∈ Q \ {0,±1}. L§y t = 2, suy ra d = −125

3, v 

E : Y 2 = X3 − 61

3X2 +

1024

9X.

Ta sû döng ph¦n m·m Sage [16] �º kiºm tra l¤i k¸t qu£ vîi c¡c l»nh cö thº

E=EllipticCurve(QQ,[0,-61/3,0,1024/9,0]); E

E.torsion−subgroup()

E.torsion−points()

v  nhªn �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/12Z,

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 57

v  c¡c �iºm xo­n cõa E l  (�iºm �÷ñc vi¸t ð d¤ng x¤ £nh): (0 : 0 : 1), (0 : 1 :

0), (8/3 : −40/3 : 1), (8/3 : 40/3 : 1), (64/9 : −320/27 : 1), (64/9 : 320/27 :

1), (32/3 : −32/3 : 1), (32/3 : 32/3 : 1), (16 : −80/3 : 1), (16 : 80/3 : 1), (128/3 :

−640/3 : 1), (128/3 : 640/3 : 1).

V½ dö 3.14. Tr÷íng hñp d = (t2−2)2(t2+4t+2)2

(t2+2t+2)4vîi t ∈ Q\{−2,−1, 0}. L§y t = 3,

suy ra d = 2592183521

. Khi �â ta câ �÷íng cong tr¶n Q

E : Y 2 = X3 +54721

83521X2 +

207360000

6975757441X.

Sû döng ph¦n m·m Sage ta t½nh �÷ñc �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/2Z× Z/8Z

v  c¡c �iºm xo­n l  (−50625/83521 : 0 : 1), (−34560/83521 : −241920/1419857 :

1), (−34560/83521 : 241920/1419857 : 1), (−14400/83521 : −2318400/24137569 :

1), (−14400/83521 : 2318400/24137569 : 1), (−6000/83521 : −42000/1419857 :

1), (−6000/83521 : 42000/1419857 : 1), (−4096/83521 : 0 : 1), (0 : 0 : 1),

(0 : 1 : 0), (2160/83521 : −49680/1419857 : 1), (2160/83521 : 49680/1419857 :

1), (14400/83521 : −14400/83521 : 1), (14400/83521 : 14400/83521 : 1),

(96000/83521 : −2208000/1419857 : 1), (96000/83521 : 2208000/1419857 : 1).

V½ dö 3.15. Tr÷íng hñp d ∈ Q2 v  (dx4−2x2+1)(dx4−2dx2+1) 6= 0, ∀x ∈ Q.L§y d = 9, ta câ �÷íng cong

E : Y 2 = X3 + 5X2 + 4X.

Khi �â ta t½nh �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/2Z× Z/4Z,

v  c¡c �iºm xo­n cõa �÷íng cong l  (−4 : 0 : 1), (−2 : −2 : 1), (−2 : 2 :

1), (−1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (2 : −6 : 1), (2 : 6 : 1).

V½ dö 3.16. Tr÷íng hñp d /∈ Q2 v  d = 2t2−1t4

vîi t ∈ Q \ {0,±1}. L§y t = 3,

suy ra d = 1781, v  �÷íng cong

E : Y 2 = X3 +49

81X2 +

256

6561.

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 58

Khi �â ta t½nh �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/8Z,

v  c¡c �iºm xo­n l  (−32/81 : −32/243 : 1), (−32/81 : 32/243 : 1), (−8/81 :

−8/243 : 1), (−8/81 : 8/243 : 1), (0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (16/81 : −16/81 :

1), (16/81 : 16/81 : 1).

V½ dö 3.17. Tr÷íng hñp cán l¤i. L§y d = 3, ta câ d khæng thuëc tr÷íng hñp

n o ð tr¶n v  khi �â �÷íng cong l 

E : Y 2 = X3 + 2X2 +1

4X.

Sû döng ph¦n m·m Sage ta t½nh �÷ñc

Etor(Q) ∼= Z/4Z,

v  c¡c �iºm xo­n l  (−1/2 : −1/2 : 1), (−1/2 : 1/2 : 1), (0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0).

3.3 Ùng döng cõa �÷íng cong Edwards trong mªt

m¢

Trong nhúng n«m g¦n �¥y, mët lîp t§n cæng mîi �÷ñc khai th¡c �º khæi

phöc thæng tin b½ mªt �÷ñc nhóng trong mët thi¸t bà mªt m¢, gåi l  t§n cæng

k¶nh k·. B¬ng c¡ch gi¡m s¡t thæng tin k¶nh k· (ch¯ng h¤n sü ti¶u thö �i»n

n«ng), trong mët sè tr÷íng hñp ta câ thº suy ra �÷ñc nhúng ho¤t �ëng b¶n

trong cõa mët thuªt to¡n mªt m¢ (khæng an to n) v  tø �â t¼m �÷ñc thæng

tin b½ mªt.

Câ hai lo¤i t§n cæng k¶nh k·

• Ph¥n t½ch n«ng l÷ñng �ìn gi£n (SPA) l  ph¥n t½ch k¶nh k· tø vi»c thüc

hi»n �ìn gi£n cõa mët thuªt to¡n mªt m¢.

• Ph¥n t½ch n«ng l÷ñng vi sai (DPA) l  thüc hi»n thuªt to¡n mët v i l¦n

v  suy ra �÷ñc k¸t qu£ nhí c¡c cæng cö thèng k¶.

Theo [6] th¼ lo¤i t§n cæng thù hai (t§n cæng DPA) khæng ph£i l  mèi �e dåa �èi

vîi mªt m¢ �÷íng cong elliptic v¼ d¹ d ng tr¡nh �÷ñc b¬ng c¡ch ng¨u nhi¶n

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 59

hâa �¦u v o cõa c¡c thuªt to¡n. Trong khi �â, ph¥n t½ch k¶nh k· �ìn gi£n

�÷ñc thüc hi»n d¹ d ng hìn vîi c¡c thuªt to¡n tr¶n �÷íng cong elliptic d¤ng

Weierstrass, bði v¼ �èi vîi c¡c �÷íng cong d¤ng n y ph²p to¡n nh¥n �æi v  cëng

�iºm l  kh¡c nhau. Mët ph÷ìng ph¡p chèng l¤i kiºu t§n cæng n y mët c¡ch

hi»u qu£ �¢ �÷ñc bi¸t �¸n nh÷ng ch¿ ¡p döng cho c¡c �÷íng cong elliptic cö

thº. M°c dò ta câ thº chån �÷íng cong elliptic vîi c¡c t½nh ch§t theo y¶u c¦u,

nh÷ng thæng th÷íng c¡c �÷íng cong elliptic �÷ñc chån ki¸n nghà theo chu©n.

V½ dö, tr¶n mët tr÷íng câ �°c sè nguy¶n tè lîn, NIST ki¸n nghà sû döng �÷íng

cong vîi nhâm �iºm c§p nguy¶n tè.

Hi»n nay, thuªt to¡n �÷ñc sû döng phê bi¸n nh§t �º t½nh Q = kP tr¶n

�÷íng cong elliptic d¤ng Weierstrass l  thuªt to¡n nh¥n �æi-v -cëng, m  �÷ñc

vi¸t l  thuªt to¡n b¼nh ph÷ìng-v -nh¥n (xem [11, Möc 4.6.3]). Gi£ sû r¬ng

ph²p nh¥n �æi �iºm v  ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong elliptic �÷ñc c i �°t

vîi cæng thùc kh¡c nhau, khi �â hai cæng thùc n y câ thº ph¥n bi»t bði ph¥n

t½ch k¶nh k·, v½ dö nh÷ ph¥n t½ch n«ng l÷ñng �ìn gi£n. Khi d§u hi»u n«ng

l÷ñng ch¿ ra mët ph²p nh¥n �æi v  theo sau mët ph²p cëng �iºm th¼ bit hi»n

t¤i �÷ñc g¡n b¬ng 1 v  ng÷ñc l¤i l  b¬ng 0.

Mët c¡ch thæng th÷íng �º chèng l¤i SPA l  l°p l¤i còng mët m¨u theo ch¿

d¨n b§t kº dú li»u �¢ �÷ñc xû lþ, v  �i·u n y �÷ñc l m nh÷ sau:

• Thüc hi»n mët v i ph²p to¡n gi£ (xem [6]).

• Sû döng ph²p biºu di¹n tham sè thay th¸ cho �÷íng cong elliptic. Ch¯ng

h¤n nh÷ trong [10], c¡c t¡c gi£ Joye v  Quisquater �· xu§t sû döng d¤ng

Hessian.

�èi vîi �÷íng cong elliptic d¤ng Edwards, vi»c cëng v  nh¥n �æi �iºm sû döng

mët cæng thùc duy nh§t do �â tr¡nh bà rá r¿ thæng tin k¶nh k· tø sü kh¡c nhau

giúa vi»c t½nh to¡n cëng �iºm v  nh¥n �æi �iºm. M°t kh¡c, qua c¡c t½nh to¡n

cõa c¡c t¡c gi£ Bernstein, Lang v  cëng sü trong c¡c t i li»u [1, 2, 4] �¢ ch¿

rã t½nh hi»u qu£ v· m°t thüc h nh khi sû döng d¤ng chu©n Edwards thay th¸

cho d¤ng chu©n Weierstrass trong c¡c ùng döng mªt m¢. Vîi nhúng lþ do nh÷

tr¶n, triºn vång ùng döng d¤ng chu©n Edwards trong mªt m¢ hi»n nay l  r§t

Ch÷ìng 3. Mët sè ùng döng cõa �÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 60

lîn, v  �ang l  mët h÷îng nghi¶n cùu �÷ñc quan t¥m rëng r¢i trong cëng �çng

c¡c nh  mªt m¢. Ngo i ra, do câ ÷u th¸ v· m°t t½nh to¡n, d¤ng chu©n Edwards

công �÷ñc ¡p döng trong thuªt to¡n ph¥n t½ch sè cõa Lenstra thay th¸ cho

d¤ng chu©n Weierstrass (xem chi ti¸t v· vi»c c i �°t d¤ng chu©n Edwards cho

thuªt to¡n ph¥n t½ch sè ECM trong [12, 2]).

K¸t luªn

Luªn v«n �¢ t¼m hiºu v· d¤ng chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic, mèi

quan h» giúa d¤ng n y vîi d¤ng chu©n Montgomery v  d¤ng chu©n Weierstrass.

�çng thíi luªn v«n công tr¼nh b y chi ti¸t v· ph²p cëng �iºm tr¶n �÷íng cong

Edwards cuën (nâi ri¶ng l  �÷íng cong Edwards) v  sü �¯ng c¦u vîi �÷íng

cong d¤ng Montgomery t÷ìng ùng. Luªn v«n công �¢ tr¼nh b y chi ti¸t v· c¡c

nhâm xo­n cõa �÷íng cong Edwards tr¶n Q, v  tø �â x¥y düng mët lîp �÷íng

cong elliptic d¤ng Weierstrass vîi nhâm xo­n cho tr÷îc.

Tuy nhi¶n, trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, chóng tæi th§y v¨n cán mët sè v§n

�· ch÷a gi£i quy¸t �÷ñc:

1. �i·u ki»n n o �º �÷íng cong Edwards l  tèi ÷u �èi vîi thuªt to¡n ph¥n

t½ch sè sû döng �÷íng cong elliptic cõa Lenstra (thuªt to¡n ECM)?

2. Vîi mët �÷íng cong Edwards b§t ký, li»u ta câ thº x¥y düng �÷ñc mët

h» mªt m¢ an to n hay khæng?

3. B¶n c¤nh �â, lîp �÷íng cong elliptic d¤ng Weierstrass chóng tæi x¥y düng

mîi ch¿ thº hi»n �i·u ki»n �õ. Li»u câ thº �÷a ra �i·u ki»n c¦n cho c¡ch

x¥y düng �â hay khæng?

Ngo i ra, trong luªn v«n chóng tæi công ch÷a kh£o s¡t y¶u c¦u c¦n thi¸t �º

mët �÷íng cong Edwards cuën câ nhâm xo­n tr¶n Q cho tr÷îc theo �ành lþ

Mazur.

Do ki¸n thùc, hiºu bi¸t v· �÷íng cong elliptic, �÷íng cong �¤i sè v  c¡c l¾nh

vüc li¶n quan cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n mîi ch¿ l  b÷îc �¦u t¼m hiºu v· d¤ng

chu©n Edwards cho �÷íng cong elliptic. Hi vång trong thíi gian tîi, chóng tæi

s³ câ �i·u ki»n �i s¥u hìn v  ho n thi»n h÷îng nghi¶n cùu n y.

61

T i li»u tham kh£o

[1] D.J. Bernstein, P. Birkner, M. Joye, T. Lange, C. Peters, Twisted Edwards

curves, In Africacrypt 2008, vol. 5023 of Lecture Notes in Computer Sci-

ence, pages 389-405, 2008.

[2] D.J. Bernstein, P. Birkner, T. Lange, C. Peters, ECM using Edwards

curves, Mathematics of Computation, Vol. 82, pages 1139�1179, AMS,

2013.

[3] O. Billet and M. Joye, The Jacobi model of an elliptic curve and side-

channel analysis, In AAECC-15, vol. 2643 of Lecture Notes in Computer

Science, pages 34-42, Springer, 2003.

[4] D.J. Bernstein, T. Lange, Faster addition and doubling on elliptic curves,

In Asiacrypt 2007, vol. 4833 of Lecture Notes in Computer Science, pages

29-50, Springer, 2007.

[5] D.J. Bernstein, T. Lange, A complete set of addition laws for incomplete

Edwards curves, Journal of Number Theory, vol. 131, pages 858-872, 2011.

[6] J-S. Coron, Resistance against differential power analysis for elliptic curve

cryptosystems, Cryptographic Hardware and Embedded Systems - CHES

'99, vol. 1717 of Lecture Notes in Computer Science, pages 292�302.

Springer-Verlag, 1999.

[7] H.M. Edwards, A normal form of elliptic curves, Bullentin of the American

Mathematical Society, vol. 44, pages 393-422, 2007.

[8] D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone, Guide to elliptic curve cryptogra-

phy, Springer-Verlag, New York, 2004.

62

T i li»u tham kh£o 63

[9] H. Hisil, K.K-H. Wong, G. Carter, E. Dawson, Twisted Edwards curves re-

visited, In Asiacrypt 2008, vol. 5350 of Lecture Notes in Computer Science,

pages 326-343, Springer, Heidelberg, 2008.

[10] M. Joye, J-J. Quisquater, Hessian elliptic curves and side-channel attacks.

Cryptographic Hardware and Embedded Systems - CHES 2001, vol. 2162 of

Lecture Notes in Computer Science, pages 412�420. Springer-Verlag, 2001.

[11] D.E. Knuth, The art of computer programming, vol. 2: Seminumerical al-

gorithms, Addison-Welsley, 1981.

[12] H.W. Lenstra, Factoring integers with elliptic curves, Annals of Mathe-

matics, vol. 126, pages 649�673, 1987.

[13] K. Okeya, H. Kurumatani, K. Sakurai, Elliptic curves with the

Montgomery-form and their cryptographic applications, In Proceedings of

PKC'2000, vol. 1751 of Lecture Notes in Computer Science, pages 238-257,

Springer-Verlag, 2000.

[14] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, vol. 106 of Graduate

Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1986.

[15] L.C. Washington, Elliptic Curve: Number Theory and Cryptography, CRC

Press, Boca Raton, 2008.

[16] http://www.sagemath.org.