v. corrientes eléctricaslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/t5/leccion_v_3_10_11.pdf9para todo tipo...
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V. Corrientes V. Corrientes eléctricaseléctricas
3. Leyes de la corriente 3. Leyes de la corriente eléctricaeléctrica
CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas1.1. IntroducciónIntroducción22 M it d l i t lé t iM it d l i t lé t i
V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
2.2. Magnitudes para la corriente eléctricaMagnitudes para la corriente eléctrica3.3. Leyes de la corriente eléctricaLeyes de la corriente eléctrica
P i i i d ió d lPrincipio de conservación de la cargaEcuación de continuidadCondiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidadCorrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionarias
4.4. Conductores lineales: medios óhmicosConductores lineales: medios óhmicos5.5. GeneradoresGeneradores
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 5.5. Ge e ado esGe e ado es
6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia77 Circuito equivalenteCircuito equivalente
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G 7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente
8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga
2
Principio de conservación de la cargaPrincipio de conservación de la cargaEnunciado del principio
“en cada instante la carga eléctrica que fluye a través
Principio de conservación de la cargaPrincipio de conservación de la carga
J“en cada instante, la carga eléctrica que fluye a través de ∂τ es igual a la variación de la carga en τ”.
dQ dQ I
dS=dS nQΔΔj=0
intensidad en la superficie cerrada ∂τ:
dQ dQdt dt
τ
τ∂
⇒ − = I τ∂=,t Qτ∂
∀ Δ Δ Qτ= −Δ (t)Qτ
Qt τ∂
Δ
ΔΔj=0
intensidad en la superficie cerrada ∂τ:
I dτ τ∂ ∂= ⋅∫ J S dQ
dtτ= −
τ
Ecuación de continuidad (general)versión local del principio de conservación:
τ∂∫ dt
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 versión local del principio de conservación:
se verifica en cada punto del espacio para todo tipo de corrientes y de carga eléctrica ∂τ
ρe(r,t)MτΔτ∼PΔj≠0
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
p p y g
( , ) e
P
tt
∂ρ= −
∂∇⋅J r
J(r,t)
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga Pt∂
3
J(r,t)
Ec. continuidad para corriente de conducción/convecciónEc. continuidad para corriente de conducción/convección
Densidades de carga y corriente
pp
ρlib(r;t) = ρ− (r;t) + ρ+ (r) =0sólo la cargas eléctricas “libres” (móviles) contribuyen a la corriente de conducción
d id d d lib t
(portadores)
densidad de carga libre neta
eρ +lib lib( , ) ( , )t tρ ρ −→ +r rlib ( ; )tρ =r
densidad de corriente de conducción
( ) ( ) ( )t t tρ ρ+ + − −+J r v r v r
Ecuación de continuidad
lib lib( , ) ( , ) ( , )t t tρ ρ= +J r v r v r J(r;t) =−n−ev−(r;t)≠0
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 Ecuación de continuidad
la variación en t de la carga “libre neta” es fuente escalar de la corriente de conducción
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
( , )t =∇⋅J r lib
Pt∂ρ
−∂ Conductor metálico
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga Pt∂ Conductor metálico
4
Condiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidadSuperficie de discontinuidad
Σ d i i t
Condiciones de salto en discontinuidadCondiciones de salto en discontinuidad
Σ separa dos regiones con corrientessuperficie con carga eléctrica σe(r,t)
evaluación de corrientes en P∈Σ: ρe(r,t) dSevaluación de corrientes en P∈Σ:
lim limdQd
dτΔ
∂Δ⋅ = −∫ J S Sdq
dt= −
ρe( , )
J2(P,t)Δh/2
dS2
Discontinuidad de la densidadlt t l
0 0h h dtτΔ → Δ →∂Δ∫ dt dS=dS nPSMS K(r,t)
dl
ΔτΔh/2σe(r,t)P
salto en su componente normalen cada punto P de la superficie Σcausado por cambios en σ (r t) J (P t)
Σ( , )
dl
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 causado por cambios en σe(r,t)
[ ] ( )2 1 e PPtσΣ⋅ − = − ∂ ∂+∇ ⋅n J J K dS1
J1(P,t)
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G en corrientes de conducción…
Σ−∇ ⋅K[ ]2 1 P
⋅ − =n J J ( )lib Pt− ∂σ ∂
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga [ ]P ( )lib P
50
Corrientes estacionariasCorrientes estacionariasPropiedades de corriente de conducción
causa del movimiento de cargas
Co e tes estac o a asCo e tes estac o a as
ΔτΔτ ∼∼ PPt t ≥≥ tt00causa del movimiento de cargascampo E(r) →
oposición al movimiento de cargas:e ( )q± ±=F E r v+(r)Fdis
+
oposición al movimiento de cargas: proporcional y opuesta a la velocidad
( )di 0( , );t± ± >= −F v r γγ
q+ Fe+
J(r)Régimen estacionario
estado de equilibrio (dinámico):
( )dis 0( , );t >F v r γγ
v_(r)Fe
_ E(r)estado de equilibrio (dinámico):
se alcanza en t0 y se mantiene en t > t0:± ± =F + F 0 ( )d dt±⇒ =v 0
q_
Fdis_
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
velocidad “de arrastre”: C i t t i i
e dis =F + F 0
( ) + ++ t
( )d dt⇒ v 0
0 0( ) ( , ); cte. t t t± ±= ∀ >v r v r
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G Corriente estacionaria
magnitudes constantes en el tiempo:
( ) 0t∂ ∂
ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
( ) ( ) ( ) ( );( ) ρ ρ+ + − −+r r r rJ r v v d cteI⇒ ∫ J SCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga ( )lib 0t∂ρ ∂ =lib lib( ) ( ) ( ) ( );( ) ρ ρ= +r r r rJ r v v d , cte.IΣ Σ
⇒ = ⋅∫ J S6
Ecuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de la corriente y el campo
corriente estacionaria J(r) y campo electrostático E(r)
Ecuaciones de las corrientes estacionariasEcuaciones de las corrientes estacionarias
ρlib(r) = (n+−n−)ecorriente estacionaria J(r) y campo electrostático E(r)
Local Local ((∀∀ PP∈∈ 33)) Integral∂τ
Principio de Principio de conservaciónconservación ( ) 0=J r∇ ⋅ 0d
∂τ⋅⋅ =∫ J S J(r)
IrrotacionalidadIrrotacionalidad 0dΓ
⋅ =∫ E r( )× =E r 0∇ E(r)
Ω2Ω1 ΣΣCondiciones en una discontinuidad Condiciones en una discontinuidad ΣΣcontinuidad de componente normal de J(r)
( )
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 21
nnσσee((PP))JJ11
JJnnJJ
continuidad de componente normal de J(r)
2 1 0P∈Σ
⎡ ⎤⋅ − =⎣ ⎦n J J→→σσliblib((PP))
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
JJ22EE11 EE22EE
JJnncontinuidad de componente tangencial de E(r)
2 1⎡ ⎤× − =⎣ ⎦n E E 0
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga 22EEtt
2 1 P∈Σ⎡ ⎤⎣ ⎦ 0
7
Ejercicio 5.3 (I)Ejercicio 5.3 (I)Principio de conservación de la carga
esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t) R +v t (∀ t ≥ 0)
Ejercicio 5.3 (I)Ejercicio 5.3 (I)
ε0
Ε(t)
Q
J(r,t)I∂τ
esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t)=R0+v0t (∀ t ≥ 0)con carga eléctrica constante y uniforme
0 ;t Q Q∀ ≥ 3( ) 3 4 ( )t Q R tρ = π Q0 dS=dS nley de conservación en superficie esférica ∂τ:
lé t i l i t i
0( )0, ;
tt Q Q
Ε∀ ≥ = 0( )
( ) 3 4 ( )e tt Q R t
Ερ = π
OR(t)Q(t)
carga eléctrica en el interior, τ:0
00
r Rt v−
≤ ≤→0 ( ); R t rQ ≤⎧⎪ 0
0
0
r R tv−
≤→3
03
( )( )
( ) ;Q rR t r
R tQ t ≥
⎪=⎨
=⎪⎩
Q τ
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
∂τ: r, cte.intensidad de corriente a través de ∂τ:
( )0; R t r≤⎧ 00r R
t−
≤ ≤→
( )⎩
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
I d∂ ∂= ⋅→ ∫ J Sτ τ
ddQ It ∂− = τ
τ
304
0
( )
3( )
( )
0;
;
R t r
Q rR t r
R tv
≤
≥
⎧⎪= ⎨⎪⎩
0
0
0 t
r R t
v
v
≤ ≤
−≤
→
→
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga
8
4 ( )R t⎪⎩ 0v
Ejercicio 5.3 (II)Ejercicio 5.3 (II)Versión local de conservación de la carga
esfera “Ε(t)” de radio variable: R(t)=R0+v0t (∀ t ≥ 0) J(r,t) = J(r,t)ur
Ejercicio 5.3 (II)Ejercicio 5.3 (II)ε0
esfera Ε(t) de radio variable: R(t) R0+v0t (∀ t ≥ 0)con carga eléctrica constante y uniforme Ε(t)
0 ;t Q Q∀ ≥ 3( ) 3 4 ( )t Q R tρ = π
ecuación de continuidad en punto P(r,θ,ϕ):densidad volumétrica de corriente en P:
ρe(r,t)
Q
P(r,θ,ϕ)0( )0, ;
tt Q Q
Ε∀ ≥ = 0( )
( ) 3 4 ( )e tt Q R t
Ερ = π
densidad volumétrica de corriente en P:
dI∂ ∂= ⋅∫ J Sτ τ
R
24 ( , )r J r t= π OR(t)Q0
0 0
( )
3( )
;( ; )
;
R t r
QR t r
t v
≤
≥
⎧⎪⇒ = ⎨⎪
0J r
r
0
0
0
0r R
t
r Rt
v−
≤ ≤
−≤
→
→
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
densidad volumétrica de carga en P:
4( )
4 ( ); R t r
R t≥
π⎪⎩
r 0
0tv ≤→
⎧r R−
∂τ: r, cte.
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
0
( )
3( )
0;( ; )
;e
R t r
QR t r
t≤
≥
⎧⎪ρ = ⎨⎪
r
0
0
0
0r R
t
r Rt
v−
≤ ≤
−≤
→
→( , ) et
t∂ρ
= −∂
∇⋅J r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga
9
3( )
4 ( ); R t r
R t≥
π⎪⎩
0
0tv ≤→ Pt∂