Nastavni predmet: Matematika

Škola: Opća gimnazija

Razred: Drugi ( II. )

Nastavna cjelina: GEOMETRIJA PROSTORA.

Nastavna jedinica: Valjak, stožac, kugla, sfera i rotacijaska tijela

Broj sati: 6

Literatura: B. Dakić, N. Elezović: MATEMATIKA 2, 2.dio,

Udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije

V A LJ A K

Valjak je tijelo slično prizmi i može se opisati na istovjetan način. Jedina bitna razlika je u tome što je osnovka

prizme mnogokut, a osnovka valjka krug. Slično kao što se krug po volji malo može razlikovati od pravilnog

mnogokuta upisanog (ili opisanog) krugu, analogno se mogu usporediti valjak i prizma.

Na predmete u obliku valjka svakodnevno nailazimo u našoj okolini. Na slici vidimo jedan lijep primjer,

riječku katedralu Sv. Vida.

Način dobivanja valjka. Možemo zamisliti da dužine paralelne s MN putuju tako da im jedna krajnja točka

bude u donjoj bazi. Isto tako možemo zamisliti da se baza translatira duž jedne svoje izvodnice

Valjak

Osnovke valjka su krugovi. Udaljenost ravnina u kojima leže osnovke valjka je visina valjka.

Pravac koji spaja središta tih krugova zove se os valjka.

Dužina koja spaja dvije točke na rubu osnovki i koja je paralelna s osi valjka je izvodnica valjka.

Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovim osnovkama omeđuje valjak zove se plašt valjka.

Valjak je uspravan ako mu je izvodnica okomita na ravninu baze. Ako to nije slučaj, valjak je kos.

Mreža uspravnog valjka

Mreža valjka sastoji se od dvaju krugova (osnovke valjka) i pravokutnika koji nastaje rezanjem plašta valjka

duž jedne njegove izvodnice i razgrtanjem u ravninu. Pritom je jedna stranica tog pravokutnika jednaka visini

valjka , a druga opsegu osnovke.

Mreža valjka je važna jer je često potrebno raditi razne predmete koji imaju oblik valjka, kao što su limenke,

razne kutije, cijevi i sl.

Osni presjek

Presiječemo li valjak ravninom koja prolazi središtem njegove baze i paralelna je s izvodnicom, dobiveni se

lik naziva osni presjek.

Ako je valjak uspravan, onda su svi osni presjeci sukladni pravokutnici sa stranicama duljina r2 i v .

Osni presjeci kosog valjka su paralelogrami, međutim, oni nisu sukladni. Među njima se ističe jedan koji ćemo

opisati.

Valjak presiječemo ravninom koja prolazi izvodnicom i okomita je na ravninu baze. Taj je presjek

paralelogram .11AABB Njegov kut je najmanji kut koji izvodnice zatvaraju s bazom. Ovaj presjek

nazivamo karakteristični presjek valjka.

Kutak plus

NAJKRAĆI PUT PO PLAŠTU VALJKA

Tražimo najkraći put što spaja dvije točke na plaštu uspravnog valjka, a vodi po samom plaštu.

Odaberimo dvije točke tako da budu krajnje točke jedne izvodnice. Opišimo najkraći put koji vodi iz donje u

gornju točku, ali tako da presijeca sve izvodnice valjka.

Razrežimo plašt valjka duž odabrane izvodnice i razgrnimo ga u ravninu. Tada spojimo dvije točke dužinom,

koja je njihova najkraća spojnica, pa vratimo plašt u ranije stanje.

Tako smo dobili krivulju koja je najkraća spojnica danih dviju točaka prema opisanim uvjetima.

Na slici je prikazano rješenje zadatka izvedeno na prozirnoj foliji.

Spojnica je dio krivulje koja se zove cilindrična spirala ili zavojnica. Tu krivulju možemo uočiti kod raznih

vijaka, kod zavojnih stuba itd.

Primjer 1. Ako je plašt uspravnog valjka pravokutnik čije su stranice dugačke 6 cm i 11 cm, kolika je

površina osnog presjeka valjka?

Zadatak ima dva rješenja:

(1) Ako je 62 r i 11v , onda je 9.16

2

r cm. Površina osnog presjeka valjka tada je

212 rvP cm2.

(2) Ako je 112 r i ,6v onda je 5.311

2

r cm. U ovom je slučaju površina osnog presjeka također

jednaka 212 rvP cm2.

Zadatak 1. Ako je osni presjek uspravnog valjka pravokutnik sa stranicama duljina 12 cm i 9 cm, kolika je

površina plašta valjka?

Oplošje valjka

Vidjeli smo da se mreža valjka sastoji od dvaju krugova i plašta koji ima oblik pravokutnika . Jedna je stranica

tog pravokutnika jednaka opsegu osnovke valjka, a druga visini valjka.

Površina jedne osnovke jednaka je 2r , a površina plašta iznosi .2 vr

Oplošje je jednako .222 2 vrrvrrO

Oplošje uspravnog valjka

Oplošje uspravnog valjka polumjera r i visine v računa se po formuli

.2 vrrO

Primjer 2. Oko krova kuće koji u svojem donjem dijelu ima oblik pravokutnika veličine 108x metara treba

postaviti limeni oluk otvora 15 cm. Koliko lima valja nabaviti?

Oduzmimo pri svakom kutu po 0.15 m oluka (kao na slici) pa izračunajmo duljinu oluka bez odsiječenih

dijelova. On je jednak 1082 m. No kako je oluk pola valjka, onda možemo uzeti pola ove duljine

zamišljajući da od dviju polovina poklapanjem dobijemo cijev.

Ta cijev ima duljinu 18108 m i promjer 0.15 m.

Njezina vanjska površina je 48.81815.02 vrP m2 .

Dodajmo sada još odbačene dijelove. Zamislimo da od njih složimo dvije cijevi, svaka duljine 0.15 m i

promjera 0.15 m. Površina plašta tih dviju cijevi jednaka je 14.015.015.02 m2 .

Zbrojimo sada dvije površine: .62.814.048.8

Za izradu oluka potrebno je 8.62 m2 lima.

Odaberimo po volji odabran kosi valjak polumjera baze r i visine v te uspravni valjak jednake baze i visine.

Postavimo ih tako da im baze leže u istoj ravnini. Svi presjeci ovih dvaju valjaka s ravninama paralelnima s

ravninom baze sukladni su krugovi istog polumjera r. Zato su ti presjeci jednake površine. Primjenjujući

Cavalierijev princip zaključujemo da su oba valjka istog obujma.

Zamislimo sad uz valjak prizmu iste visine v, s bazom površine .2rB Presjeci valjka i prizme imaju

jednake površine pa su im po Cavalierijevu principu jednaki i obujmi.

Valjak i prizma s bazama jednakih površina i jednakim visinama imaju jednake obujme.

Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine v imaju jednake obujme. Taj obujam iznosi

.2 vrV

Primjer 3. Osni presjek uspravnog valjka je kvadrat površine 400 cm2 . Koliki su oplošje i obujam ovog valjka?

Ako je osni presjek valjka kvadrat, onda je visina jednaka promjeru osnovke, 202 rv cm.

Izračunajmo oplošje valjka: 188560030202 vrrO cm2 .

Obujam ovog valjka jednak je 62832000201002 vrV cm2 .

Primjer 4. Uspravnu čašu u obliku valjka promjera 6 cm i visine 1.5 dm napunimo vodom.

Zatim je nagnemo pod kutom od 45 prema osi. Koja količina vode pritom iscuri iz čaše

Zamislimo da smo čašu stavili na stol pa zatim stol nagnuli za 45 . Na slici vidimo što se dogodilo.

Kako izračunati koliko je vode iscurilo iz čaše?

Promotrimo dio čaše iz kojeg je iscurila voda. Zamislimo da ga dopunimo još jednim takvim sukladnim

dijelom tako da dobijemo valjak.

Taj valjak im obujam 54692 vrV cm3.

Iz čaše je iscurila polovina tog obujma, 8527 cm3 vode.

Zadatak 2. Spremnik za lož ulje ima oblik valjka promjera osnovke 1.2 m i visine 3 m i položen je tako da leži

na horizontalnoj ravnini na jednoj izvodnici.

1) Koliki je kapacitet spremnika?

2) Kolika je masa ulja u spremniku ako je specifična težina ulja 3/900 mkg ?

3) Ako je razina lož ulja u spremniku 75 cm, koliko je ulja u spremniku?

4) Na kojoj će razini biti površina ulja kada u spremniku ostane još 1200dm3 ulja?

Primjer 5. Iz drvenog trupca u obliku valjka duljine v metra i promjera r cm treba ispiliti drvenu gredu kojoj je

presjek kvadrat. Koliki je postotak otpada?

Oduzmemo li od obujma trupca tV obujam grede gV , dobit ćemo dio koji je otpao piljenjem.

Iz vrvrvrvrvavrVV gt222222 16.11422 cm3.

Volumen trupca jednak je vrvrVt22 16.314 cm3.

I sada izračunamo omjer: .3634.0

t

gt

V

VV

Nakon piljenja je od trupca ostalo oko 36% drvne mase.

Primijetimo da je ovaj rezultat neovisan o duljini trupca i o promjeru njegovog presjeka. Od svakog trupca

koji ima oblik valjka, nakon što se od njega ispili greda kvadratnog presjeka, otpad izražen u postocima uvijek

će biti jednak.

Primjer 6. Kolika je duljina aluminijske žice promjera 12 r mm koja se može dobiti od aluminija mase 1 kg?

Gustoća aluminija je ./7.2 3cmg

Najprije iz gustoće je V

m izračunajmo obujam aluminijske mase od 1 kg:

4.3707.2

1000

mV cm3 .

I sada je ,105.04.370 222 vvr odakle je 6.471v m.

Interesantno: aluminij mase 1 kg ima obujam 4.370 cm3 ( što je otprilike kocka s duljinom brida 7 cm) , a od te

se mase dobije žica promjera 1 mm duljine 471.6 metara.

Zadatak 3. Izračunaj oplošje i obujam tijela prikazanog na slici

S T O Ž A C

Usporedba slična usporedbi prizme s valjkom može se provesti i za piramidu i stožac. Na neki se način stožac

može promatrati kao piramida čija je osnovka mnogokut s beskonačno mnogo vrhova.

I predmeti u obliku stošca česti su u našoj svakodnevici. Na slici vidimo jedan lijep primjer, kulu na Kaptolu u

Zagrebu.

Stožac

Osnovka stošca je krug. Udaljenost vrha stošca od ravnine njegove osnovke jest visina stošca.

Pravac koji spaja vrh stošca i središte osnovke zove se os stošca.

Dužina koja spaja vrh i neku točku na rubu osnovke je izvodnica stošca. Označava se sa s.

Zakrivljena ploha koja zajedno s njegovom osnovkom omeđuje stožac zove se plašt stošca.

Stožac je uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze. Ovdje je S središte kruga.

Mreža stošca

Mreža stošca sastoji se od jednog kruga i kružnog isječka. Krug je osnovka stošca. Ako zamislimo da plašt

stošca razrežemo duž jedne izvodnice i razgrnemo u ravninu, dobit ćemo kružni isječak.

Plašt stošca može se rezanjem po izvodnici prostrijeti u ravninu.

Dobiva se kružni isječak polumjera s i duljine luka .2 r

Osni presjek stošca

Presjek stošca s ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni presjek.

Ako je stožac uspravan, onda su osni presjeci sukladni jednakokračni trokuti s osnovicom duljine 2r i

krakovima duljine s.

Iz osnog presjeka uspravnog stošca primjenom Pitagorinog poučka nalazimo važnu relaciju koja povezuje

duljine izvodnice (s), polumjera osnovke (r) i visine (v) stošca:

.222 vrs

Ako je stožac kosi, ti trokuti više nisu sukladni.

Povucimo visinu VV stošca i presijecimo stožac ravninom koja sadrži tu visinu . Ta će ravnina biti okomita na

ravninu baze stošca. Neka je ABV dobiveni presjek. Nazivamo ga karakteristični presjek stošca.

Kutak plus

PLAŠT STOŠCA

Kada govorimo o mreži uspravnog stošca, ponekom se možda čini neuvjerljivim da je plašt stošca kružni

isječak. Pomislit će da je to jednakokračan trokut. Sumnjičavost se može vrlo lako otkloniti. Konstruirat ćemo

kružni isječak s vrhom V i lukom AB pa spojiti dužinom krajnje točke A i B luka. Spojimo zatim dužine

AV i BV . Očekivanja da će se od trokuta dobiti plašt nisu se ispunila, već je plašt nastao od isječka.

No ovaj eksperiment pokazao nam je ipak i još nešto.

Naime, na slici se vidi najkraći put kojim se iz točke na rubu osnovke stošca obilazi po plaštu i vraća u

polaznu točku. To je očito neka čudna petlja.

Karakterističan presjek kosog stošca. Pogled odozgo (lijevo).

Presječna ravnina ABV okomita je na ravninu baze.

Među svim izvodnicama stošca, AV je najdulja, a BV najkraća.. Također, pravac AV zatvara najmanji kut s

ravninom baze stošca, a BV zatvara najveći kut.

Karakterističan presjek kosog stošca

Osni presjek kosog stošca s ravninom okomitom na ravninu baze naziva se karakteristični presjek.

Stranice tog trokuta promjer su kruga te najkraća i najdulja izvodnica stošca.

Primjer 1. Ako uzmemo polukrug polumjera 12 cm i spojimo ga u plašt stošca, kolika je visina tako dobivenog

stošca?

Polumjer polukruga jest izvodnica stošca, dakle 12s cm. Polukružnica se smota oko baze stošca pa je

njezina duljina .122 r Tako je 6r cm.

Zaključujemo:

Osni presjek stošca čiji je plašt razgrnut u ravninu polukrug jest jednakostraničan trokut. Takav se stožac zbog

toga ponekad i zove jednakostraničan stožac.

Visina tog trokuta 36r cm ujedno je i visina stošca.

Zadatak 1. Ako je osni presjek stošca jednakokračan trokut s osnovicom duljine 18 cm i krakom 15 cm,

koliki je središnji kut u mreži tog stošca?

Primjer 2. U uspravan stožac polumjera baze R i visine v upisan je valjak kojem je visina jednaka promjeru

baze. Koliki je omjer njihovih volumena?

Neka je r polumjer baze valjka. Iz karakterističnog presjeka možemo postaviti omjer

,2

v

rv

R

r odakle je: .

2 vR

vRr

Omjer je volumena

.2

6

3

1

2

3

2

2

2

vR

Rv

vR

rr

V

V

s

v

Oplošje stošca

Oplošje stošca zbroj je površina njegove baze i njegovog plašta.

Površina baze iznosi .2rB

Površina kružnog isječka kruga s polumjerom r i duljinom luka l računa se po formuli 2

lrP

.

Primijenit ćemo tu formulu uz prilagodbu oznaka oznakama vezanim uz stožac.

Tako je polumjer kružnog isječka koji je plašt stošca jednak izvodnici stošca, a duljina luka tog isječka opseg

je baze stošca. Tako onda imamo: .2

2sr

rsP

Površina plašta stošca jednaka je .srP

Izračunajmo oplošje stošca: .2 srrsrrPBO

Oplošje stošca

Oplošje uspravnog stošca kojem je polumjer osnovke jednak r, a duljina izvodnice s jednako je

.2 srrsrrPBO

Obujam stošca

Presiječemo li stožac ravninom paralelnom s bazom na udaljenosti x od vrha, kao presjek dobit ćemo krug.

Površina tog kruga odnosi se prema površini baze kao .: 22 vx Potpuno isti odnos vrijedio je i za presjek

piramide s takvom ravninom.

Ako stožac i piramida imaju baze istih površina B, onda i njihovi presjeci s paralelnim ravninama imaju opet

jednake površine, pa su im po Cavalierijevu principu i obujmi jednaki

Obujam stošca

Obujam uspravnog ili kosog stošca s polumjerom baze r i visinom v iznosi:

.3

2 vrV

Stožac i piramida koji imaju jednake površine baza i jednake visine imaju i jednake obujme.

Primjer 3. Osni presjek uspravnog stošca je pravokutni trokut površine 36 cm2. Koliki je obujam ovog stošca?

Stožac je uspravan pa pravokutni trokut mora biti jednakokračan.

Njegova je površina jednaka 362 rP cm2 odakle je onda 6 vr cm.

Obujam stošca je: 723

1

3

1 32 rvrV cm3.

Zadatak 2. Površina plašta uspravnog stošca tri puta je veća od površine osnovke. Koliki je kut u mreži ovog

stošca?

Krnji stožac

Presijecanjem stošca ravninom paralelnom s ravninom baze dobivamo manji stožac sličan početnom i dio koji

nazivamo krnji stožac.

Označimo s R polumjer donje baze, s r polumjer gornje baze, a s v visinu krnjeg stošca.

Krnji stožac. Dobiva se presijecanjem stošca ravninom paralelnom s ravninom baze.

Oplošje krnjeg stošca

Promotrimo uspravni krnji stožac. On ima sve izvodnice jednake duljine, koja iznosi .22 rRvs

Rezanjem po jednoj izvodnici plašt krnjeg stošca može se prostrijeti u ravninu.

Plašt krnjeg stošca

Taj je plašt prstenasti dio kružnog isječka. Duljina većeg luka je R2 , duljina manjeg luka .2 r

Zato je površina plašta P razlika površina 1P i 2P kružnih isječaka. Označimo privremeno s x duljinu

nepostojećeg dijela polumjera kružnog isječka. Iz sličnosti trokuta imamo

.:: Rsxrx

Odavde ćemo izračunati potrebne veličine:

,rR

srx

.

rR

sRsx

Zato je

.22

21 rRsrR

rRs

rR

srr

rR

sRRxrsxRPPP

Oplošje uspravnog krnjeg stošca

Oplošje uspravnog krnjeg stošca s polumjerima baza R i r i izvodnicom s dano je formulom

.22 rRsrRO

Karakteristični presjek krnjeg stošca dobiva se presijecanjem s ravninom koja je okomita na ravninu baze, a

prolazi središtima baza. Taj je presjek trapez.

Obujam krnjeg stošca

Formulu za obujam krnjeg stošca dobivamo na potpuno istovjetan način kao i formulu za obujam krnje

piramide.

Druga je mogućnost da se odmah pozovemo na Cavalierijev princip. Ako krnji stožac ima površinu donje i

gornje baze istu kao i krnja piramida, i ako su im visine jednake, onda su jednaki i njihovi obujmi.

Uvrštavajući 2RB i 2rb u formulu bBbBv

V 3

, dobivamo formulu za obujam krnjeg

stošca.

Obujam krnjeg stošca

Krnji stožac kojem baze imaju polumjere R i r, a visina iznosi v, ima obujam

22

3rRrR

vV

.

Primijetimo kako nije nužno da bude .Rr Krnji stožac može biti postavljen i tako da mu ' donja' baza bude

manja. Stavimo li ,Rr dobit ćemo obujam valjka, jer je krnji stožac jednakih baza upravo valjak.

Primjer 4. Uspravnom stošcu čija je visina 16v cm, a polumjer osnovke 12 cm upisana je sfera.

Stožac je presječen ravninom koja prolazi paralelno osnovci stošca i dira upisanu sferu.

1) Kolika je površina presjeka stošca tom ravninom?

2) U kojem omjeru ta ravnina dijeli obujam stošca?

3) Koliki je obujam krnjeg stošca koji je dobiven pri ovom presjeku?

1)Uvedimo oznake kao na slici. Tada je 12R cm, 16VS cm, 20 BVAVs cm.

Iz sličnosti trokuta VSB i VDS slijedi: vsR :: , a odatle 6 cm.

Onda je 4211 vVSv cm.

Iz sličnosti trokuta VSB i EVS1 imamo 1:: vvrR te je 3r cm.

Presjek stošca ravninom je krug površine 92 rPp cm2.

2) Označimo s V volumen stošca, a s 1V volumen dopunjka. Tada je 31 :: rRVV , a odatle je .64: 1 VV

Ravnina dijeli stožac na dva dijela čiji su volumeni u omjeru 63:1 .

Sada je lako izračunati volumen krnjeg stošca jer imamo sve potrebne elemente. No primijeti kako možemo

postupiti i nešto jednostavnije. Volumen dopunjka je 123

11

21 vrV cm3. A volumen krnje piramide je 63

puta veći (rezultat pod 2)), 7566312 kV cm3.

K U G L A

Krug smo definirali kao skup svih točaka neke ravnine čija je udaljenost od čvrste točke—središta kruga

manja ili jednaka polumjeru R.

Definicija kugle potpuno je ista, s jedinom iznimkom što promatramo sve točke u prostoru.

Kugla.

Udaljenost svake točke kugle od središta S manja je ili jednaka polumjeru R. Rub kugle nazivamo sfrerom

Definicija kugle

Kugla sa središtem S i polumjerom R skup je svih točaka T prostora za koje vrijedi .RTS

Točke na rubu kugle čine sferu. Za svaku točku sfere vrijedi .RTS

Kugla je uistinu poseban geometrijski lik. Zemlja je kugla; za to da je elipsoid malo tko mari. Kuglanje i

bacanje kugle popularne su sportske discipline. Biljarskim se kuglama mnogi dobro zabavljaju. U kristalnoj

kugli proročica gleda u budućnost. Kada nam je nešto smiješno, kuglamo se od smijeha.

Mogli bismo tako nastaviti unedogled.

Kugle se mogu zateći na svakom koraku, a na slikama vidimo dvije koje ukrašavaju ulice naših gradova.

Lijeva, Džamonjina, nalazi se ispred riječkog Hrvatskog narodnog kazališta, a Kožarićevo Prizemljeno sunce

smještemno je na pločnik u Bogovićevoj ulici u Zagrebu.

Primjer 1. Kugla polumjera 26 cm presječena je dvjema paralelnim ravninama, a površine presjeka su

100 cm2 i 576 cm2. Kolika je međusobna udaljenost tih ravnina?

Promotrimo presjek kugle ravninom koja prolazi središtem kugle okomito na dvije ravnine. Tada je polumjer

većeg presjeka jednak 24R cm, a polumjer manjeg presjeka iznosi 10r cm. Iz iscrtanih pravokutnih

trokuta izračunamo udaljenosti ravnina od središta kugle. Te udaljenosti su 24 cm, odnosno 10 cm.

Zaključujemo da su ravnine međusobno udaljene 341024 cm.

No oprez! Zadatak ima još jedno rješenje. Valja još razmotriti drugu mogućnost, kada su ravnine s iste strane

središta kugle. Tada je udaljenost jednaka 141024 cm.

Zadatak 1. Na kuglu polumjera 12 cm nataknut je trokut načinjen od tanke žice tako da stranice trokuta

diraju kuglu Ako su duljine stranica trokuta jednake 6 cm, 8 cm i 10 cm, koliko je ravnina trokuta

udaljena od središta kugle?

Obujam kugle

Obujam kugle izračunat ćemo primjenom Cavalierijeva principa. Promotrimo polovicu kugle. Označimo sa S

njezino središte, s R polumjer. Nacrtajmo i valjak polumjera baze i visine R kojem baza leži u istoj ravnini kao

i glavna kružnica polukugle.

Obujam polukugle jednak je obujmu dijela valjka iz kojeg je izbačen stožasti dio.

Iz valjka izbacimo dio koji određuje stožac čija se baza podudara s gornjom bazom valjka, a vrh mu je u

središtu donje baze.

Sada ćemo usporediti polukuglu s tijelom koji čini dio valjka iz kojeg je izbačen stožac. Postavimo ih u istu

horizontalnu ravninu i presijecimo ravninom paralelnom s ravninom baze, na udaljenosti x od nje.

Presjek ravnine i kugle je krug polumjera 22 xRr i zato je površina presječnog kruga jednaka

.22 rR

Presjek ravnine s drugim tijelom je kružni prsten. Njegov je veći polumjer R, a manji x (objasnite zašto!). Zato

je površina presjeka jednaka 22 xR , i jednaka je prethodnoj površini.

Ovim smo pokazali da su površine presjeka obaju tijela jednake. Po Cavalierijevom principu, i njihovi su

obujmi jednaki. Obujam drugog tijela lako možemo odrediti kao razliku obujma valjka i stošca:

.3

2

3

32

2

RRR

RR

To je obujam polovica obujma kugle.

Obujam kugle

Obujam (volumen) kugle polumjera R iznosi.

.3

4 3RV

Primjer 2. Koliki je polumjer željezne kugle čija je masa 1 kg ako je gustoća željeza jednaka 3/9.7 cmg ?

Gustoća homogenog tijela je omjer njegove mase i njegovog obujma.

Tako ćemo iz jednakosti V

10009.7 dobiti 58.126V cm3.

I sada iz 58.1263

4 3 R izračunamo polumjer kugle 1.3R cm.

Primjer 3. Kuglu volumena 65.45 cm3 uronimo u vodu koja se nalazi u valjkastoj čaši i stoji na horizontalnoj

ravnini. Promjer otvora čaše iznosi 6 cm, a njezina je visina 8 cm.

1) Kolika se količina vode izlije iz čaše ako je prije uranjanja bila na visini 7 cm?

2) Koliki bi trebao biti polumjer kugle ako bi se uz iste uvjete nakon uranjanja razina vode podigla

točno do ruba čaše?

1) 'Pretvorimo' volumen kugle u volumen valjka. Stavimo li 3r cm u jednakost vr 245.65 ,

dobit ćemo 3.2v cm.

Dakle, razina vode u čaši podigne se za 2.3 cm. Kako je visina čaše 8 cm, a razina vode u njoj 7 cm,

to znači da će se izliti obujam vode koji stane u valjak visine 1.3 cm i polumjera 3 cm.

Dakle, 373.192 vrV cm3.

2) Volumen kugle jednak je volumenu sloja vode visine 1 cm, a on iznosi 92 vr .

Zatim iz 93

4 3 R nalazimo 89.1R cm.

Zadatak 2. Čaša ima oblik valjka promjera baze 3 cm i visine 7 cm. Do koje najmanje visine mora biti voda u

čaši želimo li da nakon uranjanja metalne kuglice promjera 1 cm ta kuglica bude cijela pod vodom.

Dijelovi kugle

Primjer 4. Odredimo obujam kV kuglinog odsječka, tijela koje od kugle odsijeca ravnina.

Neka je v njegova visina (To znači da je udaljenost presječne ravnine od središta sfere jednaka vR ).

Formulu ćemo odrediti na potpuno isti način kao i obujam polukugle. Usporedit ćemo obujam odsječka s

odgovarajućim tijelom koje dobivamo ako iz valjka visine v izvadimo krnji stožac polumjera gornje baze R, a

donje baze vR .

Obujam kuglinog odsječka jednak je obujmu dijela valjka iz kojeg je izbačen krnji stožac.

Po poznatim formulama za obujam valjka i krnjeg stošca, vrijedi:

.

3

3

3

2222

vvR

vRvRRRv

vRVk

(2)

Primjer 5. Dana je kocka s bridom duljine 10 cm. U središtu kocke je središte kugle koja dira sve bridove

kocke. Izračunaj obujam dijela kugle koji nije u kocki.

Nad svakom stranom kocke kugla izbija iz nje, svaka strana kocke odsijeca od kugle jedan odsječak.

Promjer kugle jednak je duljini dijagonale strane kocke, 2102 R cm.

Visina kuglina odsječka iznosi 07.2525 cm.

I sada možemo izračunati obujam odsječka:

34.27

3

07.207.2215

3

3 22

vvR

V cm3.

No iz kugle 'viri' šest takvih odsječaka, nad svakom stranom po jedan, pa je njihov ukupan obujam jednak

04.16434.276 cm3.

Kako je obujam kugle jednak 4.471253

4 3 cm3, onda je izvan kocke oko 35% njezinog obujma.

Kutak plus

ŠTO JE NA SLICI?

Što ste pomislili kad ste vidjeli ovu sličicu? Što ona prikazuje?

Riječ je o fotografiji prstenaste pomrčine Sunca koja je snimljena 3. listopada 2005. godine na Ibizi u

Španjolskoj.

Kad se Mjesec pri svojem putu ispriječi između Zemlje i Sunca tada dolazi do pomrčine Sunca. Kako Mjesec

nije uvijek jednako udaljen od Zemlje, pomrčina može biti djelomična, potpuna ili prstenasta. Prstenasta

pomrčina nastupa kada je Mjesec najudaljeniji od Zemlje pa je on 'premali' da bi pokrio cijelo Sunce.

Za vrijeme djelomične pomrčine Sunčeva korona nije vidljiva.

Zadatak 3. Pokaži da se formule (2) i (5) za obujam kuglinog odsječka podudaraju.

Primjer 6. Odredimo formulu za obujam kuglinog isječka. To je tijelo koje od kugle odsijeca ploha stošca

koja ima vrh u središtu kugle.

Formula se može iskazati pomoću polumjera kugle R i visine pripadnog odsječka v.

Kuglin isječak dobivamo tako da kuglinom odsječku dodamo stožac polumjera r i visine .vR

Neka je r pomoćna veličina: polumjer baze stošca. Iz karakterističnog pravokutnog trokuta čitamo:

222 rvRR .222 Rvvr

Sada računamo obujam:

vRr

vrv

V 3

36

222

Rrvrv 222

3

1

6

1

RrRvv 2

3

12

3

1

.3

2

3

1 222 vRrvR

Ponovimo formule za obujme karakterističnih dijelova kugle.

Obujmi dijelova kugle

Obujam kuglinog odsječka 222 36

13

3

1vrvvRvV

Obujam kuglinog sloja 222

21 33

6

1vrrvV

Obujam kuglinog isječka vRV 2

3

2 .

Upisane kugle

U svaki stožac može se upisati kugla. Ako je stožac uspravan, ona će dirati ravninu baze u središtu i sve

izvodnice u točkama koje leže u ravnini paralelnoj s bazom (te točke leže na jednoj kružnici). Uzmemo li bilo

koji osni presjek, dobit ćemo jednakokračan trokut kojem je osnovica promjer stošca, a krakovi izvodnice.

Presjek kugle s ravninom tog osnog presjeka je krug upisan u trokut.

Kugla upisana u stožac(lijevo). Karakteristični trokut za uspravni stožac (u sredini) i za kosi stožac (desno)

Ako je stožac kos, onda uzimamo njegov karakteristični presjek. Tako dobivamo trokut koji čine promjer baze

stošca te najkraća i najdulja izvodnica. Presjek kugle je krug upisan u trokut.

***

Kugla se može upisati i u svaku pravilnu piramidu. Ona će dirati ravninu osnovke u središtu pravilnog

mnogokuta, a pobočke u točkama koje leže u ravnini paralelnoj s osnovkom.

Odnose između osnovnih veličina određujemo iz karakterističnog presjeka. Napravimo tipični primjer.

Kugla upisana u pravilnu trostranu piramidu.

Položaj točaka u kojima ona dira pobočke određujemo iz simetrije tijela: te točke leže na visinama pobočki

spuštenim iz vrha V (lijevo). Karakteristični trokut (desno)

Primjer 8. Duljina brida osnovke pravilne trostrane piramide je a, a njezina visina v.

Koliki je polumjer kugle upisane u piramidu?

Točka T u kojoj kugla dira osnovku središte je jednakostraničnog trokuta; zato je MT trećina njegove visine,

6

3aMT . Trokuti SNV i MTV su slični. Iz omjera odgovarajućih stranica dobivamo.

.

6

3

6

3

6

3

22

av

a

h

a

rv

r Odavde slijedi (provjerite!): .

12 22 ava

avr

Slična se situacija javlja za svaku pravilnu piramidu.

Karakteristični trokut je pravokutan trokut koji spaja polovište M brida osnovke, središte T mnogokuta i vrh V

piramide. Iz sličnosti pravokutnih trokuta SNV i MTV postavljamo omjer: h

d

rv

r

, gdje je d kateta

pravokutnog trokuta. Odavde je : .hd

vdr

Kugla upisana u pravilnu n-terostranu piramidu

SFERA

Određenost sfere

Sfera je skup svih točaka T koje su jednako udaljene od zadane točke S, središta sfere. Udaljenost ST

označavamo s R i nazivamo polumjer sfere.

Sfera je određena četirima nekomplanarnim točkama.

Primjer 1. Pokažimo da se oko svakog stošca može opisati sfera. Izračunajmo njezin polumjer R ako je stožac

uspravan

Sfera opisana oko stošca (lijevo). Karakteristični trokut za uspravni stožac (desno).

Neka su A, B, C po volji uzete točke s oboda baze stošca. Tim točkama i točkom V određena je sfera. Presjek

sfere s ravninom baze stošca je kružnica. Kako točke A, B i C pripadaju sferi i toj ravnini, zato je presječna

kružnica upravo obodna kružnica (određena točkama A, B i C). Zato je sfera opisana oko stošca.

Odredimo joj polumjer.

Vezu između zadanih i traženih veličina određujemo iz karakterističnog presjeka stošca. Kako karakteristični

presjek prolazi središtem baze i vrhom V, on sadrži i središte opisane sfere. Zato je kružnica opisana

karakterističnom trokutu presjek sfere s ravninom koja prolazi njezinim središtem, pa je njezin polumjer R.

Za uspravni stožac polumjer nalazimo iz karakterističnog trokuta na slici:

222 rRvR ,2

22

v

vrR

pri čemu je 222 vrs , pa iz zadanog polumjera i jedne od tih veličina možemo lako odrediti drugu.

Površina sfere

Sfera je zakrivljena ploha, kao što su i plašt valjka ili plašt stošca, međitim, među tim plohama postoji bitna

razlika. Pokazali smo da se plašt valjka i plašt stošca nakon rezanja po jednoj izvodnici, mogu prostrijeti u

ravnini. To sa sferom nije slučaj. Režemo li sferu na bilo koji način, uzimajući bilo koji njezin dio, on uvijek

ostje zakrivljen i ne može se prostrijeti u ravninu!

Taj se problem najjasnije vidi u predočavanju globusa ravninskom kartom; to nije moguće učiniti, a da se ne

deformira odnos pojedinih dijelova globusa. Zemljovid na karti nijad ne daje točne odnose udaljenosti poput

onoga na globusu

Oplošje kugle (površina sfere) Oplošje kugle polumjera R iznosi:

.4 2RO

Primjer 2. Odredimo površinu kP kugline kapice. Kapica je dio sfere koji pripada kuglinu odsječku.

Kuglina kapica (lijevo) i kuglin pojas (desno).

Možemo ga odrediti na potpuno isti način kao i površinu čitave sfere ako krenemo od obujma iV kuglinog

isječka. Istom analizom kao i pri računanju površine sfere, obujam isječka dobivamo zbrajanjem obujama

prizmi čije baze pokrivaju kapicu. Dobivamo jednakost:

.3

1

3

2 2ki PRvRV

.2 vRPk

U ovoj se formuli pojavljuju samo polumjer kugle i visina kapice. Razlika površina dviju kapica, s visinama

1v i 2v , daje površinu kuglinog pojasa, dijela sfere koji je određen kuglinim slojem. Njegova je površina:

,222 21 vRvRvRPs gdje smo s v označili visinu kuglinog pojasa.

Površina kugline kapice i pojasa

Neka je R polumjer kugle. Površina kugline kapice i kuglinog pojasa iznosi

,2 vRP (2)

gdje je v visina odgovarajućeg kuglinog odsječka, odnosno pojasa.

Primijetimo da za Rv 2 kapica i pojas prelaze u čitavu sferu.

Primjer 3. Ako zamislimo da je Zemlja idealna kugla polumjera 6400R km, kolika se površina vidi s visine

od 2000h m?

Površina područja koje je vidljivo iz točke A je kuglina kapica. Nacrtajmo karakteristični presjek:

presjek sfere ravninom koja prolazi točkom A i središtem S. Neka je B diralište tangente povučene iz A.

Trokut ABS pravokutan je i sličan je trokutu BDS.

Zato je: hR

R

R

DS

.

2

hR

RDS

Zato je visina odsječka: ,2

hR

Rh

hR

RRDSRv

a njegova površina:

.2

22

hR

hRvRP

U konkretnom primjeru ona iznosi 80400P km2. S vrha Velebita, visokog 1758 m, vidjela bi se površina od

preko 70000 km2, što je više od površine Hrvatske.

ROTACIJSKA TIJELA

U ovom smo poglavlju usvojili dva načina nastajanja geometrijskih tijela,.

Prvu skupinu čine prizme i valjak koje možemo dobiti translatiranjem izvodnice preko točaka ravninskog lika-

osnovke tijela.

U primjerima koje smo obradili osnovka je za prizme bila mnogokut, a za valjak krug. Jednako tako ona može

biti po volji odabran lik u ravnini. Dobiveno ćemo tijelo nazivati valjkastim (ili cilindričnim) tijelom.

Valjkasto tijelo (lijevo). Njegov je obujam jednak umnošku površine baze i visine tijela. Obujam stožastog

dijela (desno) jednak je trećini umnoška površine baze i visine tijela.

Drugu skupinu čine piramide i stožac, kod kojih se svaka točka osnovke spaja s jednom točkom prostora:

vrhom. Piramide za osnovke imaju mnogokute, a za stošce je osnovka krug.. Ali, jasno je da osnovka miože

biti bilo koji drugi lik.

Kuglu ne možemo dobiti niti na jedan od ovih dvaju opisanih načina. Međutim, postoji još jedan vrlo prirodan

način nastajanja geometrijskih tijela koje susrećemo u svakodnevnom životu. To su tijela koja su nastala

vrtnjom nekog ravninskog lika oko istaknute osi. Nazivamo ih rotacijska tijela.

Mnogobrojni su primjeri rotacijskih tijela. Tehnika izrade predmeta odv različitih materijala (metala, stakla,

gline, drveta) koji se obrađuju vrtnjom na različitim tipovima alatnih strojeva poznata je od davnina.

Navedimo neke primjere s tijelima koje smo do sada susreli. Valjak je rotacijsko tijelo nastalo vrtnjom

pravokutnika oko jedne njegove stranice. Ako se pravokutnik vrti oko osi koja je paralelna njegovoj stranici, a

ne siječe ga, dobivamo šuplji valjak.

Stožac je rotacijsko tijelo nastalo vrtnjom pravokutnog trokuta oko jedne njegove katete. Vrtnjom bilo kojeg

trokuta oko neke njegove stranice dobivamo tijelo koje je stožac, ili unija dvaju stožaca, ili jedan stožac iz

kojeg je izvađen drugi.

Stožac je rotacijsko tijelo. Vrtnjom tupokutnog trokuta oko neke od kraćih stranica nastaje tijelo s obujmom

koji je razlika obujmova dvaju stožaca.

I kugla je rotacijsko tijelo. Vrtimo li polukrug oko njegovog promjera, dobit ćemo kuglu.

Zadatak 1. Svaki od iscrtanih likova pri vrtnji oko danog pravca opiše neko tijelo.

Poveži pojedini lik s tijelom koje nastaje njegovom vrtnjom.

Primjer 1. Jednakokračni trokut s osnovicom 6a cm i visinom na osnovicu 4v cm rotira oko kraka.

Koliki su obujam i oplošje rotacijskog tijela?

Označimo s b krak, a s h visinu na krak. Onda je obujam rotacijskog tijela .3

1 2bhV

Oplošje je jednako zbroju plašteva dvaju stožaca čiji su polumjeri h, a izvodnice a odnosno b:

.bahO

Potrebno je izračunati h i b. Iz pravokutnog je trokuta 54

22

va

b cm.

Iz jednakosti površina (ili sličnosti) čitamo bhav2

1

2

1

5

24

b

avh cm.

Sada je 5

192V cm3,

5

264O cm2.

Primjer 2. Trokut sa stranicom a i visinom v na tu stranicu rotira oko stranice a.

Koliki je obujam dobivenog tijela?

Visina spuštena na stranicu a dijeli tu stranicu na dijelove 1a i 2a . Vrijedi .21 aaa

(Ako je kut tup, onda je .12 aaa Nacrtaj sliku!). Rotacijsko tijelo je unija dvaju stožaca, kojima je v

polumjer baze, a 1a , odnosno 2a visine. Zato je obujam rotacijskog tijela jednak

.3

1

3

1

3

1 22

21

221 avavavVVV

Primijetimo da stranicom i visinom trokut nije jednoznačno određen. Međutim, obujam rotacijskog tijela

uvijek će biti isti. Uvjeri se da se isti izraz dobiva i ako je jedan od kutova uz stranicu a tup.

Zadatak 2. U svakom retku neko od tijela dobiveno je rotacijom lika nacrtanog na početku retka.

Koje je to tijelo?