Normalna raspodela

Podsetnik...Srednja vrednost

Standardna devijacija

Medijana

Modus 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Descriptive statisticsExcel

Tools-Data analysis-Descriptive statistics-O.K

Input range-obeleiti sve vrednosti zajedno sa nazivom

Oznaiti polje Labels

Oznaiti Summary statistics

Oznaiti polje Output range i postaviti kursor na polje u Worksheetu gde treba da se pojavi izvetaj

O.K

Podaci se unose u sledeem obliku:

Descriptive statistics- izvetaj

Osobina normalne raspodeleSimetrina

Zvonastog oblika

Srednja vrednost=Medijana=Modus

Postoji beskonano mnogo normalnih raspodelaPromenom parametara i , dobijaju se razliite normalne raspodele

Standardizovano odstupanje (Z-score)Z-score predstavlja odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraeno u broju standardnih devijacija

Primer 1:Maksimalan broj bodova na ispitu je 40. U januarskom ispitnom roku srednja vrednost bodova bila je 28, a standarda devijacija 2. Pokazati kakav je uspeh postigao student koji je dobio 35 poena, u odnosu na ostale studente.Sd = 2x = 35z-score = ?Zakljuak:Na osnovu izraunate z-score vrednosti zakljuujemo da je rezultat studenta koji je osvojio 35 poena za 3,5 Sd bolji od prosenog.

Primer 2:Na prijemnom ispitu za Farmaceutski fakultet mogui raspon bodova je od 0 do 100. Srednji broj bodova na smeru DF je 49,3 sa Sd 10,5; a na smeru MB srednji broj bodova je 42, sa Sd 9,8. Pokazati koji student ima bolji uspeh: Milena koja je na smeru DF osvojila 70,3 boda ili Dragana koja je na smeru MB osvojila 66,5 bodova.

MilenaSd =10,5x =70,3z-score =?DF skalaDraganaSd =9,8x =66,5z-score =?MB skalaZakljuak:Dragana je pokazala bolji uspeh od Milene

Standardna normalna raspodela Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednou i standardnom devijacijom , tada je z-score jednak: z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednou 0 i standardnom devijacijom 1 standardna normalna raspodela

Standardna normalna raspodela Standardna normalna kriva je simetrina oko nule Najvei deo povrine ispod krive lei izmedju -3z i 3z Povrina ispod standardne normalne krive je 1 Krajevi krive se asimptotski pribliavaju x-osi

Odreivanje povrine ispod standardne normalne krivePrimer 1:Odrediti povrinu ispod krive koja lei levo od z = 0,5.

Odreivanje povrine ispod standardne normalne kriveP levo od z = 0,5 je 0,6915.U redovima su vrednostiz do prvog decimalnog mestaU kolonama su vrednosti z na drugom decimalnom mestu

Odreivanje povrine ispod standardne normalne krivePrimer 2:Iz tabele za povrine ispod standardne normalne krive oitati vrednost z sa ije leve strane je povrina 0,8531.

Za P = 0,8531 u tabeli je oitana vrednost z = 1,05.

Odreivanje povrine ispod standardne normalne krivePrimer 3:Odrediti povrinu ispod krive koja lei desno od z= -0,5Vano!Iz tabele se mogu oitati samo povrinekoje se nalaze LEVO od z.Ukupna P ispod standardne normalne krive = 1P desno od z = 1 P levo od zU tabeli smo proitali da je P levo odz = - 0,5 iznosi 0,3085.

1 0,3085 = 0,6915P desno od z = - 0,5 je 0,6915.

Standardizacija normalne krive

Zadatak 1:Visina jedne grupe male dece je 65,1 cm sa standardnom devijacijom 2,35 cm. Ako vrednosti visine prate normalnu raspodelu koji procenat dece ima visinu veu od 68 cm?

= 65,1 = 2,35x = 68

P levo od z = 1,23 iznosi 0,8907

P desno od z = 1,23 iznosi: 1 0,8907 = 0,1093 = 10,93%Zakljuak: 10,93 % dece ima visinu veu od 68 cm.P=?

Zadatak 2:U aprilskom ispitnom roku prosean broj poena 600 studenata koji su polagali ispit iz matematike iznosio je 60 sa standardnom devijacijom 20 poena. Da bi poloio ispit student treba da osvoji 70 poena. Koliko studenata nije poloilo ispit iz matematike?

= 60 = 20x = 70P levo od z = 0,5 iznosi 0,6915. 69,15% studenata nije poloilo ispit iz matematike.

Broj studenata?600 studenata => 100%N studenata => 69,15 %N = 415 studenataZakljuak:Ispit iz matematike nije poloilo 415 studenata.P=?N=?

DestandardizacijaNalaenje nepoznate vrednosti iz poznate povrine ispod normalne krive

Zadatak 1:Kod jedne grupe studentkinja izraunata je srednja vrednost teine 63,5 kg sa standardnom devijacijom 2,5 kg. Ako vrednosti slede normalnu raspodelu, kolika je teina studentkinje koja odgovara 75-tom percentilu?

= 63,5 = 2,5

x = P75 =?P75 deli raspodelu na donjih 75% i gornjih 25%.Povrina levo od P75 iznosi 0,75.

U tabeli nalazimo da je z = 0,67x = + zx = 63,5 + 0,672,5 = 65,17Zakljuak: Teina studentkinje koja odgovara 75-om percentilu je 65,17 kg.

Metode u statistici

ta je hipoteza ?

Hipoteza je pretpostavka vezana za parametar populacije!

Parametri populacije su: srednja vrednostproporcijavarijansa

Testiranje hipoteze podrazumeva postavljanje 2 statistike hipoteze

Ho nulta hipoteza HA alternativna hipoteza

ta je hipoteza ?

Ho nulta hipoteza je pretpostavka koja se testira

Ho UVEK u sebi sadri znak = , ili

Ho se PRIHVATA ili ODBACUJE!!!

HA alternativna hipoteza je pretpostavka koja je suprotna Ho

HA UVEK u sebi sadri znak ,< ili >

HA je pretpostavka koju istraivanjem elimo da dokaemo

Primer 1:U januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li se prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno razlikuje od januarskog roka. Kako glase Ho i HA?

Ho: = 8,5

HA: 8,5Profesor eli da dokae da se prosena ocena u aprilskom ispitnom rokustatistiki znaajno razlikuje od ocene u januarskom roku. Zato se ova tvrdnja postavlja kao ALTERNATIVNA HIPOTEZA (HA: 8,5).

Primer 2:U januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li je prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno vea od januarskog roka. Kako glase Ho i HA?Ho: < 8,5

HA: > 8,5Profesor eli da dokae da je prosena ocena u aprilskom ispitnom rokustatistiki znaajno vea od ocene u januarskom roku. Zato se ova tvrdnja postavlja kao ALTERNATIVNA HIPOTEZA (HA: > 8,5).

Primer 3:U januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li je prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno manja od januarskog roka. Kako glase Ho i HA?

Ho: > 8,5

HA: < 8,5Profesor eli da dokae da je prosena ocena u aprilskom ispitnom rokustatistiki znaajno manja od ocene u januarskom roku. Zato se ova tvrdnja postavlja kao ALTERNATIVNA HIPOTEZA (HA: < 8,5).

Z-testPretpostavke:Poznata standardna devijacija populacije - Populacija je normalno distribuirana

Da li xsr spada u opseg 2 ?Zato 2 ?Ako je raspodela normalna 95% (p=0,95) vrednosti se nalazi u opsegu 25% (p=0,05) vrednosti se nalazi van opsega 2 Verovatnoa sa kojom testiramo hipotezu naziva se nivo znaajnosti ( = 0,05)!!!

Dvostrani testH0: = xsr HA: xsr

U januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li se prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno razlikuje od januarskog roka

Jednostrani testH0: xsr > HA: xsr< Levostrani testDesnostrani testU januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li je prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno vea od januarskog roka.U januarskom ispitnom roku prosena ocena iz hemije je bila 8,5. Profesor eli da proveri da li je prosena ocena u aprilskom roku statistiki znaajno manja od januarskog roka

Primer: Prosean lini dohodak radnika jedne firme prole godine je iznosio 20 000 dinara, sa standardnom devijacijom 1 500 dinara. Hoemo da proverimo da li se prosean lini dohodak ove godine statistiki znaajno razlikuje od prole godine. U tu svrhu smo sluajnim odabirom kao uzorak izabrali line dohotke 25 radnika. Izraunata srednja vrednost njihovih linih dohodaka je 20 500 dinara.Ho: = 20 000HA: 20 000CILJ:Iz primera se vidi da se prosena primanja radnika ove i prole godine razlikuju za 500 dinara. Testiranjem hipoteze proveravamo da li je ta razlika STATISTIKI znaajna? = 20 000 = 1 500xsr = 20 500N = 25Da bi H0 mogla da se prihvati mora da se odredi maksimalna razlika izmeu i

= 20 000 = 1 500xsr = 20 500N = 25

Poto je xsr udaljeno za 1,67 Sd od zakljuujemo da se nalazi u regionu prihvatanja Ho.Zakljuak:Nema znaajne razlike u prosenim primanjima radnika u ovoj i prethodnoj godini.

Zakljuak:Nema znaajne razlike u prosenim primanjima radnika u ovoj i prethodnoj godini.Iz tabele za normalnu raspodelu nivo znaajnosti (p) koji odgovara izraunatoj vrednosti z:

Povrina levo od 1,67 = 0,9525 Povrina desno od 1,67 = 0,0475p = 0,0475 2 = 0,095 = 0,05p > Ho se prihvata

U zagradi na srpskomPrimeri normalne raspodeleNulta hipoteza ima samo znak =Alternativna hipoteza ima znak Nulta hipoteza ima znak ili Alternativna hipoteza ima znak < ili >