uv ä znenie farby v qcd na mrie ž ke – centr á lne vortexy a gribovov horizont

Štefan Olejník Fyzikálny ústav SAV, BratislavaFyzikálny ústav SAV, BratislavaOddelenie komplexných fyzikálnych systémov

UvUvääznenie farby v QCD na mrieznenie farby v QCD na mriežžke ke –– CentrCentráálne vortexy a Gribovov lne vortexy a Gribovov horizonthorizont

+ Jeff Greensite a Daniel Zwanziger

• JG, ŠO: Coulomb energy, vortices, and confinement, PR D67 (2003) 094503; hep-lat/0302018

• JG, ŠO, DZ: Coulomb energy, remnant symmetry, and the phases of non-Abelian gauge theories, PR D69 (2004) 074506; hep-lat/0401003

• JG, ŠO, DZ: Center vortices and the Gribov horizon, hep-lat/0407032• JG, ŠO, …: Localized eigenmodes of covariant Laplacians in the Yang–

Mills vacuum, in preparation

http://www.dcps.savba.sk/olejnik/seminars/praha05.pps

ŠO Fyzikálny ústav SAV, BratislavaFyzikálny ústav SAV, BratislavaOddelenie komplexných fyzikálnych systémov

2

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005

Časť I.Časť I. Úvod do kvantovej Úvod do kvantovej chromodynamiky na mriežkechromodynamiky na mriežke


3


Kvantová chromodynamikaKvantová chromodynamika

Kvantová chromodynamika je kalibračná teória interakcií farebných kvarkov, antikvarkov a gluónov s neabelovskou grupou symetrie SU(3).Lagranžián:

Tenzor farebného poľa:

Interakčné vrcholy:


4


Význačné vlastnosti QCDVýznačné vlastnosti QCD

Lokálna kalibračná invariantnosť:

Renormalizovateľnosť.Asymptotická voľnosť.Uväznenie farby: Kvarky, antikvarky a gluóny sa vyskytujú len v „bezfarebných“ stavoch, t.j. singletoch grupy SU(3). Môžu to byť singletné stavy kvarku a antikvarku (mezóny), troch kvarkov alebo antikvarkov (baryóny resp. antibaryóny), dvoch či troch gluónov (tzv. gluóniá) a iné.Nevyhnutnosť použiť neporuchové metódy.


5


Čo nás zaujíma v kvantovej teórii poľa?Čo nás zaujíma v kvantovej teórii poľa?

Výpočet Greenových funkcií:

Wickova rotácia:

Príklad:


6


Prechod na Prechod na časopriestorovú mriežkučasopriestorovú mriežku

Spojitý priestor nahradíme mriežkou (napr. hyperkubickou) s mriežkovou konštantou a.Fyzikálne polia v spojitých bodoch časopriestoru nahradíme poľami, definovanými na prvkoch mriežky (v uzloch, na spojoch, na plaketách, atď.).Systém vložíme do konečného objemu V = L3 £ T a naň naložíme vhodné, obyčajne (anti)periodické okrajové podmienky.


7


Na Na čo slúži mriežka?čo slúži mriežka?

Matematicky korektná definícia dráhového integrálu.Neporuchová regularizácia kvantovej teórie poľa, odrezané sú hybnosti p O(1/a).Výpočet dráhového integrálu je možné uskutočniť numericky, bez použitia poruchovej teórie.

Lokálna kalibračná invariantnosť je zachovaná, rotačná a translačná invariantnosť je (sčasti) narušená. S chirálnou symetriou sú problémy.


8


KalibraKalibračné polia na mriežkečné polia na mriežke

Fyzikálne premenné:

Tenzor poľa:

Kalibračná invariantnosť:


9


Účinok pre kalibračné polia:

Greenove funkcie:

Problémy s fermiónmi: grassmannovské premenné, nelokálnosť efektívneho účinku, nefyzikálne póly (doubling), chirálna limita.


10


Wilsonovo kritWilsonovo kritérium uväzneniaérium uväznenia

Wilsonova(–Wegnerova) slučka – meria magnetický tok cez slučku C, resp. kreuje elektrický prúd pozdĺž C:

Wilsonovo kritérium:

Medzikvarkový potenciál, strunové napätie:


11


Uväznenie kvarkov v limite silnej väzbyUväznenie kvarkov v limite silnej väzby

Silná väzba [SU(2)]:


12


Grupové integrály:

Wilsonova slučka musí byť „pokrytá“ plaketami:

Toto však nedokazuje uväznenie vo limite slabej väzby!


13


Metóda Monte CarloMetóda Monte Carlo

Na mriežke počítame mnohonásobný integrál:

Metropolisov algoritmus:Meníme U na U’ tak, aby bola splnená podmienka detailnej rovnováhy.Ak S(U’) < S(U), zmenu akceptujeme.Ak S(U’) S(U), zmenu akceptujeme s pravdepodobnosťou e-S(U’)/ e-S(U).Vedie k rovnovážnemu rozdeleniu Peq(U) ~ e-S(U).


14


Spojitá limitaSpojitá limita

Na mriežke vždy meriame bezrozmerné veličiny. Aby sme určili m, meriame v skutočnosti ma.Fyzikálne relevantný je pomer m k rozmernému parametru QCD L :

Vďaka asymptotickej voľnosti sa dá aL vyrátať pomocou poruchovej teórie:

Ak ma zodpovedá fyzikálnej veličine:


15


Príklad – medzikvarkový potenciálPríklad – medzikvarkový potenciál


16


Je QCD na mrieJe QCD na mriežke len pre bohatých?žke len pre bohatých?

Kvantitatívny smer: snaha o výpočet vlastností hadrónov, ich hmotností, šírok rozpadov, atď., maticových elementov rôznych silných procesov z prvých princípov, vychádzajúc zo znalosti hodnôt základných parametrov, ktoré vystupujú v lagranžiáne QCD.

Teraflopy, veľké peniaze.

Kvalitatívny smer: úsilie o pochopenie a opísanie fyzikálneho mechanizmu rôznych javov, napr. uväznenia alebo naruženia chirálnej symetrie.

Menšie počítače, zjednodušené modely.


17


Časť II.Časť II. O slonovi, slepcoch a dvoch O slonovi, slepcoch a dvoch modeloch uväzneniamodeloch uväznenia


18


Modely uvModely uvääzneniaznenia farby v QCD farby v QCD

Prvý prístup: snažiť sa nahradiť konfigurácie kalibračných polí [SU(N) matice na spojoch mriežky] niečím jednoduchším, čo reprodukuje podstatné javy fyziky uväznenia:

Abelovské monopóly.Centrálne vortexy.Instantóny.Meróny.

Druhý prístup: hľadať, aká časť konfiguračného priestoru kalibračnej teórie spôsobuje nekonečnú energiu izolovaných farebných nábojov a lineárny rast potenciálu medzi statickým kvarkom a antikvarkom.

Gribovov–Zwanzigerov mechanizmus.


19


The Blind Men and the ElephantThe Blind Men and the Elephant

It was six men of Indostan To learning much inclined,

Who went to see the Elephant(Though all of them were

blind), That each by observation

Might satisfy his mind

[…]

John Godfrey Saxe (1816-1887), americký básnik

Moral:So oft in theologic wars,

The disputants, I ween, Rail on in utter ignorance

Of what each other mean,

And prate about an ElephantNot one of them has

seen!

[Nahradiť: theologic … physical?]

J. Hošek: „Faktickým důsledkem současné existence n různých modelů confinementu je, že nejméně n-1 z nich je špatných.“


20


Uväznenie a centrálne vortexyUväznenie a centrálne vortexy

Centrum grupy hrá dôležitú úlohu pri uväznení: V prípade grupy SU(N) sa reprezentácie grupy rozpadajú na N „reprezentačných tried“ (charakterizované sú tzv. N-alitou) podľa toho, ako sa daná reprezentácia Lieovej grupy transformuje pri transformáciách zo ZN. Potenciály pre kvarky z rôznych reprezentácií budú mať strunové napätie, ktoré závisí iba od N.


21


TenkTenký vortexý vortex

ED:


22


‘‘t Hooftov opert Hooftov operátorátor a kritérium uväzneniaa kritérium uväznenia

Neabelovský prípad: Singulárna kalibračná transformácia kreuje tenký centrálny vortex.

‘t Hooftov operátor:


23



24



25

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005IdenIdentifikácia centrálnych vortexov na mriežke:tifikácia centrálnych vortexov na mriežke:Centrálna projekcia v maximálne centrálnej Centrálna projekcia v maximálne centrálnej kalibráciikalibrácii

Uskutočníme kalibračnú transformáciu [SU(2)]:

tak, aby bol maximálna hodnota veličiny:

Centrálna projekcia:

Interpretácia MCK: optimálny fit reálnej konfigurácie súborom tenkých centrálnych vortexov.


26


VVýsledky štúdia vortexov v mriežkových ýsledky štúdia vortexov v mriežkových konfiguráciáchkonfiguráciách

Dominantnosť centra grupy.Predčasná linearita. P-vortexy lokalizujú centrálne vortexy.P-vortexy lokalizujú fyzikálne objekty. Centrálne vortexy sú korelované s uväznením kvarkov, narušením chirálnej symetrie a topologickými vlastnosťami teórie.Prechod medzi fázou uväznenia a fázou bez uväznenia možno chápať ako prekolačný fázový prechod. Abelovské monopóly sú korelované s P-vortexami.


27

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005Scenár uväznenia v coulombovskej Scenár uväznenia v coulombovskej kalibráciikalibrácii

Maxwellove rovnice v elektrodynamike:

Coulombovská kalibrácia:

Ostávajúca voľnosť:

Klasický hamiltonián:


28


Klasický hamiltonián QCD in coulombovskej kalibrácii:

Faddejevov—Popovov operátor:


29


GribovGribovovaova nejednoznačnosťnejednoznačnosť and and kópiekópie

Gribovova oblasť (GO): množina priečnych polí, pre ktoré je F-P operátor pozitívny; lokál. minimá I.Gribovov horizont: hranica GO.Fundament. modulárna oblasť (FMO): absolútne minimá I.GO a FMO sú konvexné a ohraničené oblasti.Scenár uväznenia: Rozmernosť konfiguračného priestoru je obrov-ská, preto je možné očakávať, že väčšina relevantných konfigurácií sa nachádza blízko horizontu. Ak je hustota konfigurácií pri horizonte veľká, spôsobí výrazné zvýšenie coulombovskej interakčnej energie páru a uväznenie kvarkov.


30

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005Podmienka uväznenia cez stavy F-P Podmienka uväznenia cez stavy F-P operátoraoperátora

Coulombovská vlastná energia izolovaného farebného náboja:

F-P operátor v SU(2):


31


Vlastné stavy F-P operátora:


32


Nevyhnutná podmienka divergencie :

V nultom ráde v silnej väzbovej konštante:

Aby boli farebné náboje uväznené, je potrebný nejaký mechanizmus, ktorý zvyšuje () a F() v oblasti malých .


33


Tri sTri súbory konfiguráciíúbory konfigurácií

1. Úplné Monte Carlo konfigurácie:2. “Vortexové” konfigurácie:3. “Bezvortexové” konfigurácie:

Odstránenie vortexov:odstráni strunové napätie,obnoví chirálnej symetrie,vynuluje topologický náboj konfigurácií.

Philippe de Forcrand, Massimo D’Elia, hep-lat/9901020

Každý z troch súborov bol prevedený do coulombovskej kalibrácie maximalizovaním veličiny (pre každý čas t):


34


Úplné konfigurácieÚplné konfigurácie


35



36



37


VortexVortexové konfigurácieové konfigurácie


38



39



40


Bezvortexové konfigurácieBezvortexové konfigurácie


41


PoučeniaPoučenia

Úplné konfigurácie: Správanie hustoty vlastných hodnôt a F() pri malých je konzistentné s divergentnou coulombovskou vlastnou energiou stavov s farebnými nábojmi.Vortexové konfigurácie: Vortexový obsah konfigurácií je zodpovedný za zvýšenie hustoty vlastných hodnôt a F() v okolí nuly.Bezvortexové konfigurácie: Predstavujú len malú poruchu k teórii bez interakcie.


42


Kalibračná teória s higgsovským poľomKalibračná teória s higgsovským poľom

Osterwalder, Seiler ; Fradkin, Shenker, 1979; Lang, Rebbi, Virasoro, 1981

Vortex percolation

Vortex depercolation


43


Fáza „uväznenia“Fáza „uväznenia“


44



45


„„HiggsHiggsovská“ fázaovská“ fáza


46


CoulombCoulombovská energia statického páruovská energia statického páru

Fyz. stav s kvark-antikvark. párom v coulomb. kalibrácii:

Korelátor dvoch Wilsonových čiar:

Potom:


47

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005MeMeranie coulombovskej eranie coulombovskej energnergieie na na mriežkemriežke

Korelátor na mriežke:

Otázky:Rastie V(R,0) lineárne s R pri veľkých ?Je coul rovnaké ako asympt?

Čo sa stane, keď odstránime centrálne vortexy?


48



49



50



51

CentrumCentrum částicové a jaderné fyziky MFF UK částicové a jaderné fyziky MFF UK, , Praha, 9.3.Praha, 9.3.20052005Škálovanie coulomb. strunového Škálovanie coulomb. strunového napätianapätia??

Overconfinement! Dobrá správa pre fenomenologické modely (model „gluónovej retiazky“).


52



53


ZáverZáver

Podpora pre Gribovov–Zwanzigerov scenár: Najnižšie vlastné hodnoty F-P operátora sa „tlačia“ k nule, keď objem mriežky rastie; hustota vlastných hodnôt a F() sa správajú ako malá mocnina v okolí 0, čo vedie k IČ divergencii vlastnej energie izolovaného farebného náboja. Coulombovská energia statického páru rastie lineárne, ale s podstatne väčším strunovým napätím ako skutočný medzikvarkový potenciál. Pevný súvis medzi vortexovým a Gribovovým–Zwanzige-rovým scenárom: Zvýšenie hustoty najnižších stavov F-P operátora je možné pripísať vortexovej zložke mriežkových konfigurácií. Coulombovské strunové napätie je po odstránení vortexov nulové.


54


Zopár analytických výsledkovZopár analytických výsledkov

Konfigurácie tenkých centrálnych vortexov ležia na Gribovovom horizonte.Gribovova oblasť (s istým obmedzením) a fundamentálna modulárna oblasť sú ohraničené aj v priestore konfigurácií mriežkových kalibračných polí.Tenké vortexy predstavujú kónické alebo klinovité singularity na Gribovovom horizonte.Coulombovská kalibrácia má špeciálny status; je atraktívnym fixovaným bodom všeobecnejšej kalibračnej podmienky, ktorá interpoluje medzi coulombovskou a Landau gauges.

hep-lat/0407032


55


LokalizáciaLokalizácia

Lokalizácia vlastných stavov F-P operátora a kovariantného laplaciánu v rôznych reprezentáciách.Možné analógie s Andersonovým modelom.Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme (vo fyzikálnych jednotkách).Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii po odstránení vortexov nie sú lokalizované.Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora v pridruženej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme, ktorý sa „scvrkáva“ do bodu v spojitej limite.Vlastné stavy F-P operátora nie sú lokalizované.


56


uv ä znenie farby v qcd na mrie ž ke – centr á lne vortexy a gribovov horizont

Documents