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Elementos de Lógica MatemáticaUma Breve Iniciação
Glaucio Terra
Departamento de Matematica
IME - USP
Elementos de Logica Matematica – p. 1/
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Vamos aprender a falar aramaico?
∀ǫ > 0∃
δ > 0∀x(0 <
|x
|< δ
→ |x2
|< ǫ)
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Proposições• Uma proposição é uma afirmação passível
de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;
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Proposições• Uma proposição é uma afirmação passível
de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;• Toda proposição é verdadeira ou falsa
(princípio do terceiro excluído );
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Proposições• Uma proposição é uma afirmação passível
de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;• Toda proposição é verdadeira ou falsa
(princípio do terceiro excluído );
• Uma proposição não pode ser verdadeira Efalsa (princípio da não-contradição ).
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Exemplos de Proposições• 2 > 1 (V);
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Exemplos de Proposições• 2 > 1 (V);
• 5 = 1 (F).
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);
• “∧” (conectivo “e”);
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);
• “∧” (conectivo “e”);• “∨” (conectivo “ou”);
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);
• “∧” (conectivo “e”);• “∨” (conectivo “ou”);
•“
→” (conectivo “implica”);
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Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos
seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);
• “∧” (conectivo “e”);• “∨” (conectivo “ou”);
•“
→” (conectivo “implica”);
• “↔” (conectivo “se, e somente se”).
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Conectivos LógicosSejam “P” e “Q” proposições.
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Conectivos LógicosSejam “P” e “Q” proposições.
• “¬P ” é verdadeira se “P” for falsa, evice-versa;
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Conectivos LógicosSejam “P” e “Q” proposições.
• “¬P ” é verdadeira se “P” for falsa, evice-versa;
•“P e Q” é verdadeira se ambas foremverdadeiras, e falsa caso contrário;
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Conectivos LógicosSejam “P” e “Q” proposições.
• “¬P ” é verdadeira se “P” for falsa, evice-versa;
•“P e Q” é verdadeira se ambas foremverdadeiras, e falsa caso contrário;
• “P ou Q” é verdadeira se pelo menos uma
delas for verdadeira, e falsa caso contrário.
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Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou
seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:
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Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou
seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:
• “2 > 1 → 3 > 1” (V);
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Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou
seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:
• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);
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Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou
seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:
• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);
• “5 = 2 → 0 = 1 (V);
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Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou
seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:
• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);
• “5 = 2 → 0 = 1 (V);• “P ↔Q” é a mesma coisa que “P→Q e
Q
→P”, ou seja, é verdadeira se ambas forem
verdadeiras ou ambas forem falsas.Elementos de Logica Matematica – p. 7/
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Variáveis LivresSeja P uma expressão na qual ocorre uma ou
mais variáveis x, y, z , . . . . Dizemos que umadada ocorrência de uma variável x na expressãoP é livre se x não está no escopo de algum
quantificador ∀ (quantificador universal ) ou ∃(quantificador existencial ).
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Variáveis LivresExemplos:
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x)
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);
• ∀x∃y(y > x)
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);
• ∀x∃y(y > x)
(nenhuma das variáveis é
livre);
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);
• ∀x∃y(y > x)
(nenhuma das variáveis é
livre);
• ∀ǫ∃
δ(0 <|x
−a|
< δ→ |
x2
−a2
|< ǫ)
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Variáveis LivresExemplos:
• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);
• ∀x∃y(y > x)
(nenhuma das variáveis é
livre);
• ∀ǫ∃
δ(0 <|x
−a|
< δ→ |
x2
−a2
|< ǫ)
(x e a são livres, ǫ e δ são não-livres).
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Sentenças abertas
Uma expressão proposicional ou sentença
aberta é uma expressão P na qual ocorre umaou mais variáveis x, y, z , . . . , sendo pela menosuma ocorrência livre.
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Sentenças abertas
Uma expressão proposicional ou sentença
aberta é uma expressão P na qual ocorre umaou mais variáveis x, y, z , . . . , sendo pela menosuma ocorrência livre.
Usaremos daqui em diante a notaçãoP (x1, . . . , xn) para designar uma sentença abertana qual as variáveis livres são x1, . . . , xn.
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Expressões Proposicionais e
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Expressões Proposicionais eProposições
Podemos construir proposições (i.e. sentenças
que podem assumir valor lógico verdadeiro oufalso) a partir de uma dada sentença aberta P ,de duas maneiras:
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Expressões Proposicionais e
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Expressões Proposicionais eProposições
Podemos construir proposições (i.e. sentenças
que podem assumir valor lógico verdadeiro oufalso) a partir de uma dada sentença aberta P ,de duas maneiras:
• atribui-se valores às variáveis livres de P , i.e.substitui-se as variáveis livres de P porelementos de um dado conjunto, o universo
das variáveis;
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Expressões Proposicionais e
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Expressões Proposicionais eProposições
Podemos construir proposições (i.e. sentenças
que podem assumir valor lógico verdadeiro oufalso) a partir de uma dada sentença aberta P ,de duas maneiras:
• atribui-se valores às variáveis livres de P , i.e.substitui-se as variáveis livres de P porelementos de um dado conjunto, o universo
das variáveis;• quantifica-se as variáveis livres de P ,
usando-se os quantificadores∀
ou∃
.
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O Quantificador Existencial (“∃
”)
Sejam x uma variável cujo universo é um dado
conjunto U , e P (x) uma sentença aberta.Considere a proposição:
∃xP (x)
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O Quantificador Existencial (“∃
”)
Sejam x uma variável cujo universo é um dado
conjunto U , e P (x) uma sentença aberta.Considere a proposição:
∃xP (x)
Por definição, a proposição acima é verdadeira se existir algum elemento do conjunto
U tal que
a substituição da variável livre x de P (x) por esteelemento resulte numa proposição verdadeira.
Caso contrário, diz-se que
∃xP (x) é uma
proposição falsa.Elementos de Logica Matematica – p. 12/
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0) (V);
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0) (V);
• ∃x(x2 < 0)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0) (V);
• ∃x(x2 < 0) (F);
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0) (V);
• ∃x(x2 < 0) (F);
• ∃x∃y(y + 1 < x)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais
(i.e. cujo universo é o conjuntoR
dos númerosreais).
•
∃x(x > 0) (V);
• ∃x(x2 < 0) (F);
• ∃x∃y(y + 1 < x)
(V).
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O Quantificador Universal (“∀
”)
Sejam x uma variável cujo universo é um dado
conjunto U , e P (x) uma sentença aberta.Considere a proposição:
∀xP (x)
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O Quantificador Universal (“∀
”)
Sejam x uma variável cujo universo é um dado
conjunto U , e P (x) uma sentença aberta.Considere a proposição:
∀xP (x)
Por definição, a proposição acima é verdadeira se a substituição da variável livre x de P (x) por
qualquer elemento do conjunto universo U resultar numa proposição verdadeira. Caso
contrário, diz-se que
∀xP (x) é uma proposição
falsa.Elementos de Logica Matematica – p. 14/
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são
reais.
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E l
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são
reais.• ∀x(x > 0)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
(F);
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E emplos
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
(F);
• ∀x∃
y(x > y)
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Exemplos
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
(F);
• ∀x∃
y(x > y) (V);
Elementos de Logica Matematica – p. 15/
Exemplos
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
(F);
• ∀x∃
y(x > y) (V);
• ∃y∀x(x > y)
Elementos de Logica Matematica – p. 15/
Exemplos
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Exemplos
Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.
• ∀x(x > 0) (F);
• ∀x(x2 0) (V);
• ∀x∀y(x > y)
(F);
• ∀x∃
y(x > y) (V);
• ∃y∀x(x > y)
(F).
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Implicações Lógicas
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Implicações Lógicas
Sejam P (x1, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentençasabertas e
U um conjunto.
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Implicações Lógicas
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Implicações Lógicas
Sejam P (x1, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentençasabertas e
U um conjunto.
• Diz-se que P implica logicamente Q, nouniverso U , e escreve-se P ⇒ Q, se a
seguinte proposição for verdadeira,tomando-se U como universo das variáveisx1, . . . , xn:
∀x1
· · · ∀xn(P (x1, . . . , x
n) → Q(x1, . . . , xn)) · · · .
Elementos de Logica Matematica – p. 16/
Implicações Lógicas
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Implicações Lógicas
• Noutras palavras, isto significa que quaisquervalores de x1, . . . , xn no universo
U que
tornam P verdadeira também tornam Qverdadeira.
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Implicações Lógicas
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Implicações Lógicas
• Noutras palavras, isto significa que quaisquervalores de x1, . . . , xn no universo
U que
tornam P verdadeira também tornam Qverdadeira.
• Diz-se que P é logicamente equivalente a Q,e escreve-se P ⇔ Q, se P ⇒ Q e Q ⇒ P .
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Exemplos
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Exemplos
• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.Então:T retângulo ⇒ o quadrado de um dos ladosde T é a soma dos quadrados dos outrosdois.
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Exemplos
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Exemplos
• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.Então:T retângulo ⇒ o quadrado de um dos ladosde T é a soma dos quadrados dos outrosdois.Com efeito, no universo U , a seguinteproposição é verdadeira:
∀T (T retângulo
→o quadrado de um dos
lados de T é a soma dos quadrados dosoutros dois).
Elementos de Logica Matematica – p. 18/
Exemplos
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Exemplos
• Em U = R, 0 x 2 ⇒ x2 4, masx2 4 0 x 2.
Elementos de Logica Matematica – p. 19/
Exemplos
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Exemplos
• Em U = R, 0 x 2 ⇒ x2 4, masx2 4 0 x 2.
• Um teorema é um enunciado da formaH ⇒ T , onde H e T são sentenças
chamadas, respectivamente, de hipótese etese.
Elementos de Logica Matematica – p. 19/
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Exercícios
Elementos de Logica Matematica – p. 20/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P, Q proposições. Verifique que sãoverdadeiras:
Elementos de Logica Matematica – p. 21/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P, Q proposições. Verifique que sãoverdadeiras:
•¬(P ∧ Q)
↔ (¬P ) ∨ (¬Q)
Elementos de Logica Matematica – p. 21/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P, Q proposições. Verifique que sãoverdadeiras:
•¬(P ∧ Q)
↔ (¬P ) ∨ (¬Q)
• ¬(P
∨Q) ↔ (
¬P )
∧(¬
Q)
Elementos de Logica Matematica – p. 21/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P, Q proposições. Verifique que sãoverdadeiras:
•¬(P ∧ Q)
↔ (¬P ) ∨ (¬Q)
• ¬(P
∨Q) ↔ (
¬P )
∧(¬
Q)•
P → Q) ↔ (¬Q) → (¬P )
Elementos de Logica Matematica – p. 21/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P (x), Q(x) sentenças abertas, U ouniverso de x. Verifique que são verdadeiras:
Elementos de Logica Matematica – p. 22/
Como dizer “não”
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Como dizer não
Sejam, P (x), Q(x) sentenças abertas, U ouniverso de x. Verifique que são verdadeiras:
•¬(∀x(P (x)))
↔ ∃x(¬P (x))
Elementos de Logica Matematica – p. 22/
Como dizer “não”
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Co o d e ão
Sejam, P (x), Q(x) sentenças abertas, U ouniverso de x. Verifique que são verdadeiras:
•¬(∀x(P (x)))
↔ ∃x(¬P (x))
• ¬(∃
x(P (x))) ↔ ∀x(
¬P (x)))
Elementos de Logica Matematica – p. 22/
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Encontre a negação das seguintes proposições.A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas(todas as variáveis são reais); justifique.
1. ∀x∃y(y > x)
.
2.
∀ǫ > 0∃
δ > 0∀x(0 <
|x|
< δ→ |
5x|
< ǫ).
OBS.: usa-se correntemente as abreviações:
“∃δ > 0
P (δ)
” para “∃δ
δ > 0 ∧ P (δ)
”;“∃δ ∈ A
P (δ)
” para “∃δ
δ ∈ A ∧ P (δ)
”;
“
∀ǫ > 0
P (ǫ)
” para “
∀ǫ
ǫ > 0
→P (ǫ)
”, etc.
Elementos de Logica Matematica – p. 23/
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Respostas:
1. Verdadeira; dado x ∈ R qualquer, tomey = x + 2 > x. Negação: ∃x∀y(y x)
.
2. Verdadeira; dado ǫ > 0 qualquer, tome
δ = ǫ/5. Negação:
∃ǫ > 0∀δ > 0
∃x(0 < |x| < δ ∧ |5x| ǫ)
.
Elementos de Logica Matematica – p. 24/
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Encontre a negação das seguintes proposições.A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas
(todas as variáveis são reais); justifique.
1.∀
ǫ > 0∃δ > 0∀
x(0 <|x|
< δ→ |
x2
|< ǫ).
2. ∀ǫ > 0∃δ > 0
∀x(0 < |x| < δ → |x2 − 1| <
ǫ)
.
Elementos de Logica Matematica – p. 25/
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Respostas:
1. Verdadeira: dado ǫ > 0 qualquer, tomeδ = √ǫ. Negação:
∃ǫ > 0
∀δ > 0∃
x(0 <
|x
|< δ
∧ |x2
| ǫ)
.
2. Falsa (sugestão: verifique que a negação éverdadeira). Negação:
∃ǫ > 0∀δ > 0
∃x(0 < |x| < δ ∧|x2− 1| ǫ)
.
Elementos de Logica Matematica – p. 26/
Referências
5/11/2018 USP - Slides - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/usp-slides 80/80
• Jaime Ferreira de Campos, Elementos de Lógica
Matemática e Teoria dos Conjuntos , in Lições de
Análise Real , Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2001.
http://www.math.ist.utl.pt/ jmatos/ltc/ltc.pdf
• Edgar de Alencar Filho, Iniciação à Lógica Matemática , Nobel, São Paulo, 1986.
Elementos de Logica Matematica – p. 27/