Uso de artefactos concretos en actividades de geometraanaltica: una experiencia con la elipse

Jos Carlos Corts Zavala & Hctor Arturo Soto Rodrguez1

1) Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Morelia.Mxico.

Date of publication: June 24th, 2012

To cite this article: Corts, J.C.; Soto Rodrguez, H.A. (2012). Uso deArtefactos Concretos en Actividades de Geometra Analtica: UnaExperiencia con la Elipse. Journal of Research in Mathematics Education,1(2), 159-193. doi: 10.4471/redimat.2012.09

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REDIMAT - Journal of Research in Mathematics Education Vol. 1 No. 2June 2012 pp. 159-193

The Use of ConcreteArtifacts in AnalyticGeometry: the EllipseExperience

Jos Carlos Corts Zavala & Hctor Arturo Soto RodrguezUniversidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo

Abstract

The purpose of this article is to provide the results of a research on the use ofspecific artefacts (two different ellipsographs) for the learning of Mathematics,specifically in Analytic Geometry on the topic of Ellipse. It was implementedone activity for each one of the artefact, by means of the use of working sheetsthat guided the students for tem to build the formal concept of Ellipse, answe-ring to the corresponding questions in each activity as well as manipulating theellipsograph. All with the aim to facilitate to the students the understanding andlearning of the mathematic concepts.

Keywords: analytic geometry, ellipsograph, collaborative learning

2012 Hipatia PressISSN 2014-3621DOI: 10.4471/redimat.2012.09

Uso de ArtefactosConcretos en Actividades deGeometra Analtica: Unaexperiencia Con la Elipse

Abstract

El propsito de ste articulo, es dar a conocer los resultados de una investiga-cin relacionada con el uso de artefactos concretos (dos elipsgrafos distintos)para el aprendizaje de las Matemticas, especficamente en Geometra Analticacon el tema de Elipse. Se implementaron una actividad por cada uno de los ar-tefactos, a travs del uso de hojas de trabajo las cuales guan a los estudiantespara que ellos puedan construir el concepto formal de Elipse, respondiendo laspreguntas correspondientes en cada actividad as como manipulando el elips-grafo en cuestin. Lo anterior con el objetivo de facilitar la comprensin y elaprendizaje de conceptos matemticos por parte de los alumnos.

Keywords: geometra analtica, elipsgrafos, aprendizaje colaborativo.

REDIMAT - Journal of Research in Mathematics Education Vol. 1 No. 2June 2012 pp. 159-193.

2012 Hipatia PressISSN 2014-3621DOI: 10.4471/redimat.2012.09

Jos Carlos Corts Zavala & Hctor Arturo Soto RodrguezUniversidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo

curvas, sino que las curvas daban origen a una ecuacin y en la actuali-dad la curva es dada a partir de un anlisis de propiedades algebraicas.Durante mucho tiempo se han creado una infinidad de artefactos fsi-

cos con la finalidad de trazar algunas de las cnicas, se les han llamado,Parabolgrafos (trazan parbolas), Elipsgrafos (trazan elipses) e Hiper-bolgrafos (trazado de hiprbolas). Revisando el libro de Dyck (1994)encontramos artefactos articulados para el dibujo de curvas desde la an-tigua Grecia. Meneachmus (~380 - ~320 A.C.) tena un dispositivomecnico para construir cnicas; Proclus (418-485) tambin menciona aIsidoro de Mileto quien tena un instrumento para trazar una parbola(Dyck, 1994, p.58). Leonardo Da Vinci (1452-1519) invent un elips-grafo con un movimiento invertido de la conexin fija. Los dispositivosmecnicos para dibujar curvas fueron utilizados tambin por AlbrechtDrer (1471-1528). Ren Descartes (1596-1650) public su Geometra(1637) libro en el cual daba mtodos geomtricos para dibujar cada cur-va con algunos aparatos, y estos aparatos eran a menudo articulados. Enel ao de 1657, Van Schooten public su Exercitationum mathematica-rum libri quinque. Como el ttulo sugiere, la obra se divide en cinco"libros" de un centenar de pginas cada uno. El libro I es una revisinbastante estndar de la aritmtica y la geometra ordinaria. El libro IIcontiene construcciones con regla. En el Libro III, van Schooten tratade reconstruir algunas de las obras de Apolonio en lugares geomtricos.Este fue un importante tema de investigacin de la poca. El libro IVcontiene la obra ms conocida de Van Schooten. Su ttulo es " Orgnicaconicarum sectionum ", o "Los instrumentos de las secciones cnicas."La palabra "orgnica" est ms estrechamente relacionada con el rganocomo instrumento musical que a la "orgnica" a veces encontramos enla qumica o la agricultura. Como sugiere el ttulo, el captulo describeuna variedad de bellos artefactos para la elaboracin de las diferentessecciones cnicas. En 1877 A. B. Kempe public un pequeo libro:Cmo dibujar una lnea recta: Una conferencia sobre artefactosarticulados. Mencion a J. Watt (1736-1819) y tambin el trabajo de J.J.Sylvester (1814-1897), Richard Roberts (1789-1864), P.L. Chebyshev

n el siglo XVII el concepto de Geometra Analtica posea unsignificado diferente a nuestra nocin moderna. La principaldiferencia radica en que antes las ecuaciones no representabanE

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(1821-1894), Harry Hart (1848-1920), William Kingdon Clifford (1845-1879), Jules Antoine Lissajous (1822-1880), Samuel Roberts (1827 -1913), y Arthur Cayley (1821-1895)1.Por otro lado, Franz Reuleaux (1829-1905), quin a menudo es llama-

do "el padre del diseo de las mquinas modernas, tena muchos meca-nismos de lneas rectas en su coleccin del modelo cinemtico. LaUniversidad Cornell tiene una coleccin con cerca de 220 modelos ci-nemticos distintos de F. Reuleaux y 39 de ellos son mecanismos sobreel movimiento rectilneo2.Finalmente, tambin tenemos el caso de Ivn Ivnovich Artobolevski,

(1905 1977). Fue un ingeniero mecnico, y cientfico ruso en elcampo de la Teora de Mecanismos y Mquinas. Fue miembro de laAcademia de Ciencias de la Unin Sovitica desde 1946. Artobolevskipropuso una clasificacin de los mecanismos espaciales y desarrollmtodos para su anlisis estrucural, cinemtico y cinetosttico. Recopilen Les mcanismes dans la technique moderne (Artobolevski, 1975)varios artefactos mecnicos cuya finalidad era trazar alguna cnica.

Marco conceptual

Resultados recientes de investigacin constatan la importancia del usode nuevas tecnologas en la enseanza de las matemticas y las ciencias,y en la incorporacin al trabajo cientfico por parte de los estudiantes.En sesiones de trabajo dirigido, los alumnos son capaces de desplegarrecursos matemticos que se desencadenan por medio de la compren-sin de nociones (Hoyos, Capponi y Gnves, 1998), o se promueve lacreatividad y el ingenio en el diseo cientfico mediante el uso de nue-vas tecnologas (Verillon y Rabardel, 1995; Jrgensen, 1999). Por otrolado, perspectivas tericas y prcticas alternativas complementarias endidctica de las matemticas (Mariotti et al 1997; Bartolini et al 2003,2004; Bartolini 2007, Boero et al., 1996, 1997; Arzarello, Robutti 2004,Jill et al 2002), argumentan a favor de la introduccin en el saln de cla-ses de contextos histricos de recreacin de la experiencia cientfica, enparticular aqullos que tienen que ver con la prctica de la geometra yque utilizan modelos mecnicos o articulados de mquinas para dibujaro trazar, como un medio de generacin de ideas o nociones matemticascomplejas. Por otro lado, como menciona Duval la articulacin de

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registros semiticos de representacin, en este caso el grfico y el al-gebraico, deben ser necesarios para la aprehensin conceptual (Duval1995).El trabajo de investigacin realizado tuvo como propsito experi-

mentar actividades que puedan servir como recurso didctico, paraacercar a los estudiantes de bachillerato hacia la demostracin y cons-truccin de conceptos en geometra Analtica, especficamente el deElipse, utilizando dos elipsgrafos los cuales son el Elipsgrafo de pa-lancas y colisa de Inwards y el Antiparalelogramo articulado de VanSchooten.En las figuras siguientes se presentan los 2 elipsgrafos: el Elips-

grafo de palancas y colisa de Inwards y el Antiparalelogramo articula-do de Van Schooten, los cuales fueron realizados con acrlico (modelofsico) y construidos tambin con Geogebra (modelo virtual).

Para cada uno de los modelos desarrollados, tanto el fsico como elvirtual, se dise una hoja de trabajo que serva de gua para encontrarel modelo matemtico inmerso. Es decir a travs de la manipulacinguiada de los artefactos se espera que el estudiante descubra el modelomatemtico inmerso en el artefacto, esto permitir la reversibilidad delconocimiento (Piaget, 1950).

Figuras 1 y 2 . Elipsgrafo de palancas y colisa de Inwards construccin fsica y construc-cin virtual. Figura 3 y 4. Antiparalelogramo articulado de Van Schooten construccin f-sica y construccin virtual.

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La investigacin se llev a cabo en un ambiente de trabajo colaborati-vo, que incentiva la cooperacin entre individuos para conocer, com-partir y ampliar la informacin que cada uno tiene sobre el tema.Es de carcter cualitativo, es decir las conclusiones y comentarios quese desprenden del anlisis de datos obtenidos, no son producto de lasrelaciones numricas que se puedan obtener de las hojas de trabajoaplicadas, sino emergen del anlisis de las cualidades asociadas tanto alas preguntas de las hojas