Usage des éphémérides de l’IMCCE

chapitre III

Changements de système de référenceChangement de repère

partie II : application données IMCCE

06/12/2006 Changement de repères, de système 2

Les trajectoires de la Terre et de Mars

Ephémérides

Mise en valeurs numériques

Calculs

Tracés

La trajectoire de Mars vue depuis la Terre

Périhélie, aphélie

Période sidérale

Période synodique

06/12/2006 Changement de repères, de système 3

• Choix des coordonnées

On peut partir directement des coordonnées cartésiennes

Comme exercice, on part des coordonnées écliptiques• héliocentriques pour la Terre• géocentrique pour Mars

• Type de coord. : J2000 ou moyennes de la date

• Pas : 1 jour

• Date de départ : 1 janvier 2007

Ephémérides IMCCE

Télécharger les éphémérides pour trois révolutions synodiques (780 j) de Mars(au moins sur 6,5 ans)

Nombre de points ~ 3*800 = 2400

• Nombre de points :

Exercice :Avec excel, calculer le nombre de points à calculer entre deux dates

06/12/2006 Changement de repères, de système 4

Mise en tableur

► 1 feuille – trajectoires Orbites Terre Mars

► 1 feuille – éphémérides héliocentrique de la Terre Ephem. Terre

► 1 feuille – éphémérides géocentrique de Mars Ephem. Mars

Ouvrir Excel et créer un fichier avec 3 feuilles

Mettre par copié-collé dans les colonnes A des feuilles de la Terre et Mars, les éphémérides téléchargées.

Formules des cellules à prendre dans le précédent travail ou dans le fichier data_ephemerides.pdf

06/12/2006 Changement de repères, de système 5

Extraction des données, passage en valeurs numériques

Pour les deux planètes : dates col. Blongitudes écliptiques col. Clatitudes écliptiques col. Ddistances au corps col. E

Calculs pour Marscoordonnées rectangulaires géocentriques de Mars col. I, J, K

Calculs pour les deux planètescoordonnées rectangulaires col. F, G, H

06/12/2006 Changement de repères, de système 6

Calculs des coordonnées XYZ

géocentriques pour le Soleil

héliocentriques pour Mars

x r l b

y r l b

z r b

co s co s

sin co s

sin

Passage coordonnées sphériques coordonnées rectangulaires

06/12/2006 Changement de repères, de système 7

►Coordonnées rectangulaires héliocentrique de la Terre

x r l b

y r l b

z r b

M T M T M T M T

M T M T M T M T

M T M T M T

/ / / /

/ / / /

/ / /

co s co s

sin co s

sin

x r l b

y r l b

z r b

T S T S T S T S

T S T S T S T S

T S T S T S

/ / / /

/ / / /

/ / /

co s co s

sin co s

sin

►Coordonnées rectangulaires héliocentriques de Mars

x x x

y y y

z z z

M S M T T S

M S M T T S

M S M T T S

/ / /

/ / /

/ / /

►Coordonnées rectangulaires géocentrique de Mars

Feuille Ephem. Marscol. I, J, K

Feuille Ephem. Marscol. F, G, H

Feuille Ephem. Terrecol. F, G, H

06/12/2006 Changement de repères, de système 8

►Coord. rectangulaires héliocentrique de la Terre

x r l b

y r l b

z r b

M T M T M T M T

M T M T M T M T

M T M T M T

/ / / /

/ / / /

/ / /

co s co s

sin co s

sin

x r l b

y r l b

z r b

T S T S T S T S

T S T S T S T S

T S T S T S

/ / / /

/ / / /

/ / /

co s co s

sin co s

sin

►Coord. rectangulaires héliocentriques de Mars

x x x

y y y

z z z

M S M T T S

M S M T T S

M S M T T S

/ / /

/ / /

/ / /

►Coord. rectangulaires géocentrique de Mars

Feuille Ephem. Mars, col. I, J, K

Feuille Ephem. Mars, col. F, G, H

Feuille Ephem. Terre, col. F, G, H

=E16*COS(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16))=E16*SIN(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16))=E16*SIN(RADIANS(D16))

=F16+'Ephem. Terre'!F16=G16+'Ephem. Terre'!G16=H16+'Ephem. Terre'!H16

=E16*COS(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16))=E16*SIN(RADIANS(C16))*COS(RADIANS(D16))=E16*SIN(RADIANS(D16))

Formules de conversion

06/12/2006 Changement de repères, de système 9

On reporte dans la feuille Orbites Terre Mars par copié-collé « spécial Valeurs » par colonnes entières

Feuille Ephem. Terre col. B col. A DatesFeuille Ephem. Terre col. F, G, H col. B, C, D XYZ Terre/ SoleilFeuille Ephem. Mars col. F, G, H col. E, F, G XYZ Mars/ TerreFeuille Ephem. Mars col. I, J, K col. H, I, J XYZ Mars/ Soleil

06/12/2006 Changement de repères, de système 10

Tracés :

Graphique I

Orbites de la Terre et Mars héliocentriques

Graphique II

Orbite Mars géocentrique (projection plan XY)

06/12/2006 Changement de repères, de système 11

Tracés

Pour mieux visualiser les trajectoires, on peut tracer séparément chaque révolution.

On peut aussi tracer pour Mars, la projection du plan en XZ et YZ pour faire apparaître l’inclinaison de l’orbite

Orbites géocentrique de Mars 2007-20010

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

X (u.a.)

Y (u

.a.)

Mars 2007

Mars 2008

Mars plan XZ

Mars plan YZ

Mars 2009

Mars 2010

Orbites héliocentriques de la Terre et Mars

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

X (u.a.)

Y (u

.a.)

Terre hélioc.

Mars hélioc.

Mars planXZ

06/12/2006 Changement de repères, de système 12

Travaux sur l’orbite de Mars(feuille Ephem. Mars)

06/12/2006 Changement de repères, de système 13

Recherche des moments précis des passages au périhélie et à l’aphéliePériode sidérale ?

► Calcul des distances Mars Soleil r x y zM ars M ars M ars M ars 2 2 2

Col. I J K L

Formule : =RACINE(I16^2+J16^2+K16^2)

13

14

15

16

17

18

Passages au périhélie et à l’aphélie

(feuille Ephem. Mars)

06/12/2006 Changement de repères, de système 14

Recherche des changements de signes des variations de r aphélie : passage r décroissant r croissantpérihélie : passage r croissant r décroissant

Création colonne M flag de variation : 1 croissance, 0 décroissance. On commence à la ligne 17 :

r ↑ : si r ligne – r ligne précédente > 0 flag à 1r ↓ : si r ligne – r ligne précédente < 0 flag à 0 =SI((L17-L16)>0;1;0)}

Col. I J K L M

Formule :=SI((L17-L16)>0;1;0)

Détection facile des moments où la variation de la distance au Soleil change de sens.

Passages au périhélie et à l’aphélie

06/12/2006 Changement de repères, de système 15

ba

x xx x x2

12 2

3 1

3 1 2

Pour affiner la précision de l’instant, on ajuste par une parabole passant par 3 points

Recherche du minimum ou maximum :

On prend l’instant où la valeur est extrémale (maximale ou minimale) et les deux instants qui l’encadrent (voir usage_ephemeride.pdf)

t1 = -1t2 = 0 (extremum : maximum ou minimum de x)t3 = 1

t

2 x

extremum t 1

1 x

2 t 3 t

x 3

x

Position de l’extremum :

Flag passe de 0 à 1 : décroissance croissance minimum périhélieFlag passe de 1 à 0 : croissance décroissance maximum aphélie

Passages au périhélie et à l’aphélie

06/12/2006 Changement de repères, de système 16

ba

r rr r r2

12 2

3 1

3 1 2

Pour un minimum (périhélie), on prend l’instant où la valeur est la plus petite et les deux instants qui l’encadrent.

t

2 x

extremum t 1

1 x

2 t 3 t

x 3

x

col. L col. M col. N r

Position du minimum :

t1 = -1

t2 = 0

t3 = 1

=-(L172-L170)/(L172+L170-2*L171)/2

=B170+SI(N171<0;-1;0)

=SI(N171>0;N171;N171+1)

Passages au périhélie et à l’aphélie

06/12/2006 Changement de repères, de système 17

Période sidérale ?

Sur l’intervalle des données, il y a deux périhélies et aphélies successifs.

La période sidérale de Mars, aux perturbations près est le temps écoulé entre deux passages aux périhélie ou aphélie.

Passages au périhélie et à l’aphélie

Les deux valeurs de r au périhélie et à l’aphélie permettent de calculer les éléments de l’orbite de Mars :

a = (rpérihélie+ raphélie)/2c = a - rpérihélie

e = c/a

Comparer avec les valeurs de la littérature.

06/12/2006 Changement de repères, de système 18

Oppositions : différence de longitude Mars-Soleil = 180° - recherche par interpolation, du moment où L = 180

Conjonctions et oppositions de Mars

Feuille Ephem Mars col. O : MOD(C16-('Ephem Terre'!C16-180);360)

On suppose la variation linéaire de L avec t :

L Lt t

L Lt t

1

1

2 1

2 1

Calcul : longitude Mars – longitude Soleil (longitude héliocentrique Terre -180°)Feuille Ephem. Mars col. C feuille Ephem. Terre col. C

Conjonctions : différence de longitude Mars-Soleil = 0° - recherche par interpolation, du moment où L = 0

tt tL L

L tL

L L

2 1

2 11 1

1

2 1

OppositionConjonction

tt tL L

L tL

L L

2 1

2 11 1

1

2 11 8 0

1 8 0

( )

L = 0 L = 180

06/12/2006 Changement de repères, de système 19

Oppositions : différence de longitude Mars-Soleil = 180° - recherche par interpolation, le moment où L = 180

tt tL L

L tL

L L

2 1

2 11 1

1

2 11 8 0

1 8 0

( )

L1

L2

Conjonctions et oppositions de Mars

t1 = 0t2 = 1On suppose la variation linéaire de L avec t :

L Lt t

L Lt t

1

1

2 1

2 1

L

Formule de cellule : =(180-O373)/(O374-O373)

t1

Feuille Ephem Mars col. O : MOD(Cxxx-('Ephem Terre'!Cxxx-180);360)

Oppositions de Mars :

06/12/2006 Changement de repères, de système 20

Période synodique de Mars ?

La période synodique correspond en première approximation, car les orbites ne sont pas circulaires, au temps écoulé entre deux oppositions.

- calculer les périodes synodiques successives

- comparer à la littérature.

-réflexions.

- Voir Cahiers Clairaut, 110, été 2005, 9-13. A propos de la période synodique d’une planète.

06/12/2006 Changement de repères, de système 21

Période synodique de Mars ?

La période synodique correspond en première approximation, car les orbites ne sont pas circulaires, au temps écoulé entre deux oppositions ou deux conjonctions.

- calculer les périodes synodiques successives

Calcul des différences de longitudes géocentriques Mars - SoleilFeuille Ephem. Mars, col. O

Formule rand A16=MOD(C16-('Ephem. Terre'!C16-180);360)

La longitude géocentrique du Soleil = 180° + longitude héliocentrique de la Terre

Formule en O16 : =MOD(C16-('Ephem. Terre'!C16+180);360)

S

T

lT/S

lS/T

06/12/2006 Changement de repères, de système 22

Période synodique de Mars ?

- calculer les instants précis des oppositions ou conjonctions par interpolation linéaire (valeur nulle de la variable)

- en déduire les périodes synodiques successives.