upute za vjezbe 20060509

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

1/79

Zavod za elektronike sustave i obradbu informacijaFakultet elektrotehnike i raunarstva

Sveuilite u Zagrebu

Upute za laboratorijske vjebe izsignala i sustava

Tomislav Petkovi, Zvonko Kostanjar,

Marko Budii, Branko Jeren

Zagreb, svibanj 2006.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

2/79

Sadraj

1. Vjeba 1. Pripreme za laboratorijske vjebe ...................................51.1. Uvod ........................................................................................... 5

1.1.1. Modeliranje ............................................................................. 51.1.2. Simuliranje.............................................................................. 51.1.3. Dinamiki sustavi i analogna raunala.............................................. 6

1.2. Priprema ...................................................................................... 71.3. Izvjetaj....................................................................................... 7

2. Vjeba 2. Upoznavanje s MATLAB-om i Simulink-om ..........................82.1. Priprema ...................................................................................... 82.2. Prijava na raunalo ......................................................................... 8

2.3. Upoznavanje s MATLAB-om ................................................................ 82.3.1. Matrice i vektori ....................................................................... 92.3.2. Matrice - Za one koji ele znati vie...............................................102.3.3. Reprezentacija i crtanje signala ...................................................112.3.4. Crtanje i grafika - Za one koji ele znati vie ....................................122.3.5. Simbolika matematika Za one koji ele znati vie ...........................132.3.6. Funkcije i skripte Za one koji ele znati vie...................................13

2.4. Upoznavanje sa Simulinkom ..............................................................142.4.1. Simulacija jednostavnih sustava....................................................152.4.2. Povezivanje s MATLAB-om Za one koji ele znati vie ........................182.4.3. Izrada funkcijskih blokova Za one koji ele znati vie ........................192.4.4. Runge-Kutta metoda Za one koji ele znati vie ...............................20

3. Vjeba 3. Konani automat .......................................................223.1. Priprema .....................................................................................22

3.1.1. Nizovi znakova.........................................................................223.1.2. Skupovi .................................................................................233.1.3. Funkcije ................................................................................243.1.4. Interakcija s korisnikom .............................................................25

3.2. Konani automat ........................................................................... 263.3. Automatsko upravljanje sustavom.......................................................26

4. Vjeba 4. Linearni diskretni sustav drugog reda .............................284.1. Priprema .....................................................................................28

4.1.1. Direktna realizacija sustava .........................................................284.1.2. Kaskadna realizacija Za one koji ele znati vie ...............................294.2. Odziv sustava ...............................................................................30

4.2.1. Impulsni odziv .........................................................................304.2.2. Odziv na skok ..........................................................................31

4.3. Stabilnost sustava ..........................................................................314.3.1. Poloaj polova i nula ................................................................. 314.3.2. Sustav na granici stabilnosti Za one koji ele znati vie...................... 33

4.4. Prikaz u prostoru stanja Za one koji ele znati vie ................................334.5. Frekvencijska karakteristika..............................................................34

4.5.1. Raunanje frekvencijske karakteristike ...........................................344.5.2. Snimanje frekvencijske karakteristike ............................................34

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

3/79

5. Vjeba 5. NeIinearni diskretni sustav - infekcijska jednadba ............365.1. Priprema .....................................................................................36

5.1.1. Kermack-McKendrickov epidemijski model .......................................36

5.2. Diskretni SIR model ........................................................................375.2.1. Modeliranje marketinkih aktivnosti ...............................................385.2.2. Modeliranje irenja podataka Internetom ........................................385.2.3. Dodatna objanjenja vjebe ........................................................39

6. Vjeba 6. Linearni kontinuirani sustav drugog reda ......................... 416.1. Priprema .....................................................................................41

6.1.1. Direktna realizacija sustava .........................................................416.2. Odziv sustava ...............................................................................42

6.2.1. Impulsni odziv .........................................................................426.2.2. Odziv na skok ..........................................................................436.2.3. Odziv na harmonijsku pobudu Za one koji ele znati vie....................43

6.2.4. Odziv na sluajni signal Za one koji ele znati vie ...........................436.2.5. Simulacija impulsne pobude u Simulinku Za one koji ele znati vie.......44

6.3. Prikaz u prostoru stanja...................................................................456.4. Frekvencijska karakteristika..............................................................45

6.4.1. Raunanje frekvencijske karakteristike ...........................................456.4.2. Snimanje frekvencijske karakteristike ............................................466.4.3. Automatsko snimanje amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike Zaone koji ele znati vie.......................................................................46

7. Vjeba 7. Nelinearni kontinuirani sustav (bistabil) .......................... 497.1. Priprema .....................................................................................497.2. Blokovi potrebni za simulaciju ...........................................................49

7.2.1. Funkcijski blok prag ..................................................................497.2.2. Nelinearnost za povratnu granu ....................................................50

7.3. Bistabil .......................................................................................51

8. Vjeba 8. Frekvencijska analiza vremenski kontinuiranih signala........ 528.1. Priprema .....................................................................................528.2. Fourierov red................................................................................52

8.2.1. Gustoa spektra snage ...............................................................538.3. Fourierov integral ..........................................................................53

8.3.1. Gustoa spektra energije ............................................................55

9. Vjeba 9. Frekvencijska analiza vremenski diskretnih signala ............ 56

9.1. Priprema .....................................................................................569.2. Vremenski diskretna Fourierova transformacija ......................................56

9.2.1. Gustoa spektra energije ............................................................579.2.2. Veza s Z transformacijom Za one koji ele znati vie.........................57

9.3. Diskretna Fourierova transformacija ....................................................589.3.1. FFT algoritam Za one koji ele znati vie .......................................60

9.4. Spektrogram.................................................................................60

10. Vjeba 10. Uzorkovanje i preklapanje spektra .............................6410.1. Priprema ...................................................................................6410.2. Uzorkovanje i preklapanje spektra ....................................................6410.3. Pretipkavanje i podtipkavanje..........................................................66

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

4/79

11. Dodatak popis korisnih MATLAB naredbi za pojedine vjebe ............68

12. Dodatak kd koritenih MATLAB funkcija ....................................71

12.1. Popis funkcija .............................................................................7112.2. Funkcija prijelaz ..........................................................................7112.3. Skripta unos.m ............................................................................7212.4. Funkcija spektrogram ....................................................................7312.5. Funkcija spektrogram3d ................................................................. 75

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

5/79

Upute za laboratorijske vjebe izsignala i sustava

UvodLaboratorijske vjebe iz Signala i sustava zamiljene su da priblie studenta

problematici analize i simulacije sustava. Sve vjebe se izvode na raunalu, akoristi se programski sustav MATLAB. Osim to posjeduje mogunost izvoenjaraznih jednostavnih i izuzetno sloenih matematikih operacija, MATLAB ima imodul Simulink koji je zamiljen kao alat za brzo i jednostavno simuliranjeraznih sustava.

Prije dolaska na pojedinu vjebu student je obavezan napraviti pripremu, tj.

detaljno prouiti sustav koji se simulira na vjebi i rijeiti pripremne zadatke.Nakon svake vjebe potrebno je sastaviti izvjetaj koji se predaje na sljedeimlaboratorijskim vjebama i to ispisan na papiru (izvjetaj moe biti pisan irukom). U izvjetaju se uz predstavljanje rezultata analize simuliranog sustavaobavezno navode i komentari rezultata.

Kako je vrijeme za izradu laboratorijskih vjebi ogranieno a kako uvijekpostoji dosta zanimljivih detalja koji i nisu presudni za razumijevanje izloenogdio zadataka i objanjenja je oznaen s Za one koji ele znati vie. Takvedijelove je svakako korisno proitati, no oni nisu nuno potrebni za dovretakpojedine laboratorijske vjebe.

Ukoliko je student opravdano sprijeen prisustvovati nekoj od vjebi udogovoru s asistentima bit e organizirane nadoknade u okviru kojih e se moinadoknaditi proputene vjebe.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

6/79

1.

Vjeba 1. Pripreme za laboratorijske vjebe

1.1.

UvodGotovo svaka odluka koju donesete e imati neke posljedice koje nije

mogue odmah uoiti. Stoga se prije donoenja vanih odluka uobiajeno vrerazne analize mogui ishoda. Iako je u veini sluajeva gotovo nemoguenapraviti potpunu analizu temeljem koje se dolazi do pouzdanih zakljuaka, utehnikim disciplinama analiza sustava gotovo uvijek daje neki analitiki modelkoji prua detaljniji uvid u bitna svojstva nekog sustava.

Tradicionalni pristup analizi sustava se temelji na eksperimentiranju terazvoju i analizi fizikih modela pa se shodno tome podjednako oslanja na

vjetinu i iskustvo inenjera i na znanstveno razumijevanje problema. No kakose sve vie napora ulae u razvijanje bolje teoretske podloge i kvalitetnijihteoretskih modela mogunosti kvalitetnog modeliranja i simulacije koje setemelje na znanstvenom razumijevanju problema postaju sve vanije.

Mogunosti primjene novih modela bile bi nemogue bez velikih mogunostii niskih trokova novih raunalnih tehnologija. Modeliranje procesa i simulacijatipino zahtijevaju sloena raunanja i zahtjevne tehnike vizualizacije to ne bibilo izvedivo bez digitalnih raunala. Prednosti sloenih raunalnih simulacija subrzo dobivanje rezultata s velikom koliinom detalja ime dobivamo na realnostimodela.

1.1.1.

ModeliranjePrvi korak analize nekog sustava je stvaranje modela. Pri tome model moe

biti bilo fiziki bilo matematiki. Fiziki modeli (npr. makete brodova ili aviona)se obino koriste kada matematikim modelom ne moemo obuhvatiticjelokupnu sloenost sustava ili kao potvrda ispravnosti matematikog modela.U okviru ovih laboratorijskih vjebi bavimo se samo matematikim modelima.

Odreivanje apstraktnog modela i realizacija odgovarajueg modela unekom realnom sustavu naziva se modeliranjem.

Samo modeliranje je proces pojednostavljivanja stvarnosti kako bi moglibolje razumjeti kakve uinke imaju pojedine akcije. Analizom modela tadamoemo stvoriti sliku o sustavu, identificirati bitne znaajke sustava tenapraviti to-ako analizu s ciljem predvianja ponaanja sustava. Sam model jepri tome samo pomopri donoenju odluka model ne donosi odlukeumjestonas.

1.1.2.

SimuliranjeJednom kada smo odredili model moramo pristupiti njegovoj analizi ako

elimo stei uvid u svojstva sustava. Pri tome obino ispitujemo kako e se

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

7/79

ponaati model u raznim situacijama koje pak mogu odgovarati odlukama kojedonosimo. Sam postupak se naziva simuliranje.

Tono ili priblino ponavljanje procesa u sustavu na analognom modelunaziva se simulacijom ili simuliranjem.

1.1.3.Dinamiki sustavi i analogna raunalaAnalizom raznih sloenih dinamikih sustava u veini sluajeva dolazimo do

pojednostavljenog modela koji se temelji na diferencijalnim jednadbama. Takoanalizom nekog mehanikog sustava i neke elektrine mree dolazimo do istogmatematikog opisa. Pri tome se naponi i struje u granama mree vladaju kaopomaci, brzine i akceleracije u mehanikom sustavu. Za svaka dva sustava kojadaju jednaki skup diferencijalnih jednadbi kaemo da su analogni.

Promatramo li neki skup linearnih diferencijalnih jednadbi znamo da gamoemo realizirati kao elektrinu mreu. Ta elektrina mrea je jednarealizacija apstraktnog sustava. Kako je elektrinu mreu relativno jednostavnoostvariti prvi sloeniji modeli sustava su raeni upravo kao elektrine mree.

tovie, osim elektrinih mrea sastavljenih tako da odgovaraju samojednom sustavu izraivane su i ope mree gdje se odgovarajuim spajanjimaelemenata sastavljala eljena diferencijalna jednadba. U tom sluaju govorimoo analognom raunalu. Analogno raunalo se sastojalo od operacijskih pojaala,multiplikatora, potenciometara, generatora funkcija i komparatora. Analognaraunala su se koristila za simulaciju dinamikih sustava 50-tih, 60-tih i 70-tih

godina, no pojavom mikroraunala gube na vanosti. Danas se gotovo svesimulacije vre iskljuivo na digitalnim raunalima.

mreapotenciometara

mreaoperacijskihpojaala

kontrolnaploa

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

8/79

1.2.

PripremaNa prvoj vjebi emo raspravljati o analizi sustava, a posebno o modeliranju

i simuliranju. Za pripremu razmislite o metodama opisa bilo kakvih sustava te orazlikama izmeu modeliranja i simuliranja.

1.3.

IzvjetajZa uvodnu vjebu nije potrebno pripremiti izvjetaj.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

9/79

2.

Vjeba 2. Upoznavanje s MATLAB-om i

Simulink-om2.1.

PripremaAko niste upoznati s programskim sustavom MATLAB proitajte Kratke

upute za koritenje MATLAB-a koje se mogu pronai na stranicama predmeta(http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatci).

2.2.

Prijava na raunaloNakon paljenja raunala i podizanja operativnog sustava potrebno je upisati

korisniko ime i zaporku. Za laboratorijske vjebe iz Signala i sustava koristite

korisniko ime studenti zaporku student, a za domenu odaberite LSS.Nakon prve prijave na sustav morate napraviti svoj direktorij u kojeg ete

spremati sve napisane programe i rezultate vjebi. Svoj direktorij kreirajte namrenom disku Z: u direktoriju Z:\SIS, a imenujte ga prema prvom slovuimena te prezimenu. Na primjer, za studenta Signalka Sustavia radni direktorijbi bio Z:\SIS\ssustavic.

2.3.

Upoznavanje s MATLAB-omU sklopu vjebi se koristi programski paket MATLAB. Svi podaci u MATLAB-u

tretiraju se kao matrice ije dimenzije nije potrebno uvati kao posebnevarijable. ak se i skalarne veliine pohranjuju kao matrice dimenzije 11. Zbogtakve transparentne podrke raunanju s matricama MATLAB je idealan alat zarazvoj raznih algoritama koji se jednostavno prikazuju i opsuju koristeimatrini i/ili vektorski zapis. Na raunalima su dostupne dvije inaice MATLAB-a,MATLAB R13 i MATLAB 4.0. Na ovim vjebama koristimo MATLAB R13 kojegmoete pokrenuti izravno s radne povrine ili odabirom stavke STARTProgramsMatlabMatlab65iz izbornika.

MATLAB se najee koristi kao interaktivni jezik interpreter. Nakonulaska u program, kao i nakon svake izvedene naredbe, pojavljuje se oznaka zaunos oblika iza koje se nalazi kursor. To oznaava da MATLAB oekuje unos

nove naredbe. Svaka naredba mora zavriti tipkom Enter u nastavku tekstaoznaka

ENT>

.

Nakon pokretanja MATLABA pozicionirajte se u svoj radni direktorij. cd Z:\SIS\ssustavic

ENT>

% naravno, zamijenite ssustavic sa svojim% direktorijem

ls ENT> % va direktorij bi naravno trebao biti prazan

. ..
http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatcihttp://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatci

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

10/79

Za svaki operator ili funkciju, kao i za itave programske pakete u MATLAB-u postoje detaljne upute on line. Unutar MATLAB ljuske do njih se dolazikoritenjem naredbe help.

help % daje popis svih programskih paketa... help ops % daje popis svih operatora... help cos % ispisuje kratku pomoza naredbu cosCOS Cosine.

COS(X) is the cosine of the elements of X.

Overloaded methodshelp sym/cos.m

Pomounutar ljuske je zamiljena kao kratki podsjetnik to koja naredbaradi i koji su joj ulazni parametri. Detaljnu pomos primjerima daje HelpDeskkoji se pokree zadavanjem naredbe helpdesk ili izborom HelpMATLABHelp unutar glavnog izbornika. MATLAB HelpDesk omoguuje naprednapretraivanja, a osim jednostavne pomoi sadri i kompliciranije primjerekoritenja pojedinih funkcija. Osim MATLAB HelpDeska svu MATLABdokumentacija u elektronikom obliku (HTML) moete pronai na zavodskomserveru http://matlab.zesoi.fer.hr/.

2.3.1.

Matrice i vektoriMatrice definiramo unoenjem u MATLAB ljusci. S tako definiranim

matricama jednostavno raunamo na uobi

ajeni na

in: A = [1 2 3; 4 5 6]; ENT> % dva retka i tri stupca

B = [1 2; 3 4; 5 6];ENT>

% tri retka i dva stupca C = A * B ENT> % za mnoenje matrice moraju biti ulananeC = % rezultat ima dva retka i dva stupca

22 2849 64

D = [4 5 6; 1 2 3]; ENT> % dva retka i tri stupca S = A + D

ENT>

% za zbrajanje i oduzimanje matrice moraju% biti jednakih dimenzija

S =5 7 95 7 9

x = [1 2 3];ENT>

y = [4 5 6];ENT>

z = x .* y ENT> % stavljanje toke prije operacije uzorkuje % raunanje meu odgovarajuim lanovimaz =

4 10 18 % pojedinano mnoenje: 1*4 2*5 3*6

Za prouavanje sustava vane su nam svojstvene vrijednosti matrice.Svojstvene vrijednosti odreujemo funkcijom eig:
http://matlab.zesoi.fer.hr/http://matlab.zesoi.fer.hr/

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

11/79

A = [1 10 2; 35 3 4; 1 4 80]; ENT> % matrica A je kvadratna matrica eig(A)

ENT>

% traimo svojstvene vrijednostians =

-16.735920.434380.3016

inv(A) ENT> % traimo inverz matrice A % inverz e postojati samo ako jeans = % matrica A regularna

-0.0082 0.0288 -0.00120.1018 -0.0028 -0.0024-0.0050 -0.0002 0.0126

Zadaci1. Definirajte dvije regularne matrice

te odredite rezultat matrinih operacija

3 1 1 10 15 1

0 1 5 i 25 6 4

1 10 2 5 3 9

= =

A B

+, -, *, /, \.

2. Za matrice iz prethodnog zadatka odredite takoer rezultate operacijalan-po-lan: .*, ./i .\. U emu je razlika?

3. Odredite inverze i svojstvene vrijednosti zadanih matrica. Kako moemo

koristiti operacije /i \za odreivanje inverza?

2.3.2.

Matrice - Za one koji ele znati vieSvojstvene vrijednosti matrice A su korijeni karakteristinog polinoma.

Karakteristini polinom u MATLAB-u odreujemo naredbom poly: A = [1 10 2; 35 3 4; 1 4 80]; ENT> % definiramo matricu A poly(A) ENT> % traimo karakteristini polinomans =

1.0e+004 *

0.0001 -0.0084 -0.0045 2.7462

roots(ans) ENT> % korijeni karakteristinog polinoma % su svojstvene vrijednostians = % primijetite da je ans varijabla koja % sadri rezultat prethodne naredbe 80.3016

20.4343-16.7359

Prikazani postupak je u potpunosti numeriki. MATLAB podrava i simbolikumatematiku te bi karakteristini polinom mogli odrediti i na slijedei nain:

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

12/79

syms lambda ENT> % definiramo simboliku varijablu lambda det( lambda * eye(3) - A )

ENT>

% raunamo karakteristini polinomans =

lambda^3-84*lambda^2-45*lambda+27462

pretty(solve(ans)) ENT> % svojstvene vrijednosti su korijeni polinoma

[ 1/3 799 ][ %1 + ----- + 28 ][ 1/3 ][ %1 ][ ][ 1/3 1 1/2 / 1/3 799 \][- 1/2 %1 - 799/2 ----- + 28 + 1/2 i 3 |%1 - -----|][ 1/3 | 1/3|][ %1 \ %1 /][ ][ 1/3 1 1/2 / 1/3 799 \][- 1/2 %1 - 799/2 ----- + 28 - 1/2 i 3 |%1 - -----|][ 1/3 | 1/3|][ %1 \ %1 /]

1/2%1 := 8851 + i 431742198

Primijetite da MATLAB nema odgovarajue suelje za prikaz simbolikematematike te dobiveni rezultat nije lagano proitati. Za ozbiljnije simbolikeproraune bolje je koristiti programski sustav Mathematica, dok je MATLABpogodniji za numerike proraune i simulacije zbog velikog broja gotovihfunkcija i modula koji su upravo namijenjeni i prilagoeni inenjerskimprimjenama.

2.3.3.

Reprezentacija i crtanje signalaU raunalu ne moemo jednostavno simboliki predstaviti neki sloeni signal.

U praski se najee signali otipkavaju u odreenim vremenskim trenutcima tese tada rauna s takvim otipkanim signalima. Da bi otipkali signal potrebno jedefinirati vektor vremena s odreenim korakom. U MATLAB-u se za to najeekoristi operator dvotoka:

t = [0:0.01:100];ENT>

% definiramo vektor t koji zapoinje u nuli i% zavrava u 100 s korakom 0.01

plot(t) ENT> % crtamo vektor t prema indeksu

Ovime smo definirali vektor od 10001 lanova (provjerite naredbom length)koji emo koristiti za otipkavanje neke funkcije. Otipkajmo i nacrtajmo sinusfrekvencije 0.05 Hz:

x = sin(2*pi*0.05*t); ENT> % raunamo funkciju sin za svaki element% vektora vremena t

plot(t,x)ENT>

% crtamo x u zavisnosti od t title('x = sin(2*pi*0.05*t)') ENT> % dajemo naslov slici xlabel('vrijeme')

ENT>

ylabel('amplituda')ENT>

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

13/79

Dobivena slika prikazuje vrijednost vektora x, odnosno spaja tokeodreene parovima koordinata iz vektora x i t. Za ostale mogunosti naredbeplotpogledajte ugraenu pomo.

Zadaci4. Koritenjem operatora dvotoka definiraj vektor tkoji zapoinje u nuli i

zavrava u trenutku t= 20 s. Neka je korak 0,05 s.5. Koristei vektor tiz prethodnog zadatka otipkaj funkciju kosinus

frekvencijef= 0,5 Hz. Nacrtaj dobivenu funkciju.

2.3.4.Crtanje i grafika - Za one koji ele znati vieGrafika u MATLAB-u je objekta, te se sva svojstva prikaza i sam prikaz mogu

mijenjati s naredbama get i set. Naredba get dohvaa sva svojstva nekogobjekta, dok ih naredba setmijenja:

h = figure; ENT> % otvaramo prozor za prikaz, h je broj slike% naredba plot automatski stvara novu sliku% ako ista ne postoji

get(h) ENT> % MATLAB ispisuje sva svojstva slike BackingStore = on

CloseRequestFcn = closereq

Color = [0.8 0.8 0.8]Colormap = [ (64 by 3) double array]CurrentAxes = []CurrentCharacter =...

set(h, 'Name', 'Slicica')ENT>

% mijenjamo ime prozora u 'Slicica'

Iako korisne, naredbe geti setse obino upotrebljavaju unutar programa iskripti, dok se za uobiajen rad koristi manji skup specijaliziranih naredbi kaoto su plot, stem, xlabelitd.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

14/79

Ponekad elimo na sliku dodati posebne oznake koje npr. sadre grka slovai neke matematike simbole. Za tu namjenu koristimo standardne TEX i LATEXkratice:

title('x=sin(2\pift)')ENT>

% \pi je kratica za grko slovo % kratice se sastoje od znaka \ i engleskog% naziva simbola, npr. \alpha, \int i \sum

Za dodavanje dodatnih oznaka u sliku te crtanje po slici najjednostavnije jekoristiti alate iz alatne trake.

2.3.5.

Simbolika matematika Za one koji ele znati vieJedan od mnogih programskih paketa/modula unutar MATLAB-a podrava

simboliku matematiku. Njegove mogunosti moete pogledati naredbom helpsymbolic, dok naredba symintro daje kratki uvod s primjerima. Svaka

varijabla koju koristimo je simboliki objekt s dodatnim svojstvima koja seodreuju prilikom deklaracije. MATLAB naredbe na simbolikim varijablamaizvravaju se simboliki:

x = sym('x');ENT>

% definiramo simboliku varijablu x x = sym('x','real');

ENT> % realna simbolika varijabla x syms a x ENT> % simbolike varijable a i x f = sin(a * x)

ENT> % definiramo simboliku funkciju f(x)f =

sin(a*x)

diff(f)ENT>

% derivacija funkcije po xans =

cos(a*x)*a

fourier(f) ENT> % Fourierova transformacija funkcije f(x)ans =

-i*pi*Dirac(-w+a)+i*pi*Dirac(w+a)

2.3.6.Funkcije i skripte Za one koji ele znati vieMATLAB je potpun programski jezik u kojem je mogue napisati vlastite

programske odsjeke. Pojedine naredbe mogue je izvriti uvjetno ili ponovitivie puta. Svaka funkcija ili skripta se sprema u obinu tekstualnu datoteku kojamora imati nastavak .m.

Prilikom rada u MATLAB-u uvijek kada va rad zahtijeva slijedno izvravanjevie naredbi u nizu dobra praksa je pisanje skripte pomou ugraenog editorakoji se poziva naredbom edit.

edit ENT> % poziva ugraeni MATLAB editor

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

15/79

Pretpostavimo da se elimo upoznati s raznim mogunostima naredbe ploti da elimo crtati razne signale. U tom sluaju bi u MATLAB editor upisali skriptuslijedeeg sadraja:

1. % Primjer MATLAB skripte SIS laboratorijske vjebe

2. t = [0:0.01:100];

3. f = 10;4.

x = 2*sin(2*pi*f*t);5.

h = figure;6. plot(t, x, 'b:');7.

xlabel('vrijeme u sekundama');

Sada svaku promjenu unosimo u editor te skriptu pozivamo iz MATLAB ljuskezadavanjem imena .m datoteke u kojoj se ona nalazi ili izravno iz editoraodabirom DegubRun stavke (F5). Osim toga na raspolaganju imamo i sveuobiajene opcije za privremeno zaustavljanje izvravanja programa i analizuvarijabli to nam olakava programiranje.

2.4.Upoznavanje sa SimulinkomSimulink je dio MATLAB-a namijenjen simuliranju dinamikih sustava. Za

sam unos i opis sustava koji se simulira koristi se jednostavno grafiko suelje ukojem sastavljamo/crtamo model kombinirajui gotove komponente. Takvimpristupom je simulacija sustava znaajno olakana jer se od korisnika nezahtijeva unos diferencijalnih ili diferencijskih jednadbi koje opisuju sustav veje dovoljno poznavanje blok-sheme sustava.

Simulink se pokree unutar MATLAB-a zadavanjem naredbe simulink iliodabirom ikone iz alatne trake. Nakon pokretanja Simulinka otvara se prozorSimulink Library Browserprikazan na slici.

izbor

biblioteke

izborkategorije

novimodel

izborelementa

kratki opisodabranogelementa

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

16/79

Novootvoreni prozor sadri kolekciju svih blokova koje koristimo prisastavljanju modela. U donjem dijelu prozora s desne strane nalaze se sveraspoloive kategorije blokova. Odabirom neke kategorije na lijevoj strani

Simulink prikazuje sve blokove dostupne unutar odabrane kategorije. No da bimogli slagati i povezivati blokove te tako definirati sustav kojeg elimosimulirati najprije moramo otvoriti novi model odabirom FileNew Model iliklikom na ikonu alatne trake. Sada se otvara novi prozor u kojem sastavljamomodel.

Na model element dodajemo tako da ga odaberemo, odvuemo i ispustimounutar prozora novog modela. Svaki element kojeg smo dodali ima ulazneprikljuke oznaene s > i izlazne prikljuke oznaene s >. Blokove spajamocrtanjem veza izmeu blokova (pokazivase pretvara u alat za crtanje kada gapostavimo iznad ulaznih ili izlaznih prikljuaka). Dvostrukim klikom na pojedini

blok dobivamo izbornik u kojem postavljamo svojstva danog bloka. Moemonacrtati samo dozvoljena spajanja, npr. nije mogue spojiti dva izlaza skupa.

izlazniprikljuak

ulazniprikljuak

blok

odspojenaveza

tokaravanja

(spoj, uklanjase brisanjem

linija)

izvorsignala

elementza prikaz

odziva

pokretanjesimulacije

2.4.1.Simulacija jednostavnih sustavaSastavimo i simulirajmo pomou Simulinka jednostavni sustav prvog reda

koji se sastoji od idealnog kapaciteta Ci otpornika Rkako je prikazano na slici.Sustav moemo opisati diferencijalnom jednadbom

0q dq

RC dt+ =

Odaberemo li za izlaz sustava napon na otporniku R kao konano rjeenjedobivamo

0

1( )

0( )t t

RCq

u t eC

= .

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

17/79

Mi naravno elimo dani sustav simulirati uz pomoSimulinka. Pretpostavimoda raspolaemo s elementom za integriranje. Promotrimo li diferencijalnujednadbu koja opisuje sustav vidimo da je derivacija naboja proporcionalna

naboju. Ako bi izlaz iz integratora bio naboj na kapacitetu C, ulaz u integratortada mora biti derivacija naboja koja je proporcionalna s tim istim nabojem.Vidimo da je potrebno vratiti izlaz iz integratora na njegov ulaz uz odgovarajuepojaanje. Time smo dobili blok-shemu sustava koju moemo odmah nacrtati uSimulinku.

Odaberimo R= 4 i C= 0,5 te poetni naboj q0= 5. Sada moemo nacrtatishemu u Simulinku. Pri tome pripazite na to da je blok za integriranje oznaen s1/sa ne s integralom zbog veze s Laplaceovom transformacijom. Poetno stanjeodabirete u svojstvima bloka za integriranje (dvostruki klik na blok).

u svojstvimaintegratora

morate odabrati

poetni naboj

element zaprikaz odziva

pokretanjesimulacije

Da bi mogli vidjeti rezultate simulacije nakon pokretanja morate aktiviratiScope blok dvostrukim klikom. Time otvarate prozor prikazan na slici koji sekoristi za brzi pregled rezultata. Ako vam treba sloenija slika rezultatisimulacije se alju u radni prostor naredbama za crtanje (blok To Workspace).

konanovrijeme

poetnovrijeme

optimalniprikaz signala

(automatskiodabir skale)

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

18/79

U prozoru vidimo da je odziv sustava eksponencijalna funkcija koja trnekako vrijeme tei k beskonanosti. Poetna vrijednost je odreena nabojem nakapacitetu. Simulacijom smo dobili vrijednosti odziva od trenutka t= 0 do

trenutka t= 10. Te trenutke podeavamo u dijalogu parametara simulacije kojije prikazan na slici (odaberite stavku SimulationSimulation Parametersiz izbornika). Vani parametri simulacije koje je gotovo uvijek potrebnoprovjeriti prije poetka simulacije, uz poetno i konano vrijeme, su vrijednostivremenskog koraka i tip numerike integracije koji se koristi.

poetnovrijeme

konanovrijeme

vrstasimulacije(postupaknumerikeintegracije zakontinuiranesustave)

zahtjevi nakorak

integracije

MATLAB i Simulink raspolau s nekoliko razliitih metoda numerikeintegracije (ODE Solvers) koji rjeavaju probleme oblika

' ( ,y F t y)= .

Pretpostavljena metoda numerike integracije je ode45i prikladna je za veinuproblema. Od ostalih raspoloivih metoda simulacije sustava unutar Simulinkabitno je spomenuti discrete postupak koji je primjenjiv za simulacijudiskretnih sustava ili openito bilo kojih sustava koji nemaju kontinuiranevarijable stanja. Pravilnim izborom postupka i parametara simulacije moeteznaajno skratiti vrijeme potrebno za simulaciju a istodobno poveati tonost.

Zadaci6. Koritenjem Simulinka odredite odziv RLmree zadane slikom na pobudu

u =s(t)1. Odziv mree (veliina koju promatrate) je struja kroz idealniinduktivitet L. Neka je R= 4 i L= 2 te neka je poetna struja krozinduktivitet iL(0) = 3.

1Funkcijas(t)je Heavisideova funkcija. Koristite stepfunkcijski blok, no ne zaboraviteprovjeriti da li je skok od nule na jedinicu postavljen tono u trenutku t= 0.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

19/79

7. to se dogaa s odzivom ako za poetnu struju odaberemo iL(0) = 0,25.

2.4.2.

Povezivanje s MATLAB-om Za one koji ele znati vieSimulink je sastavni dio MATLAB-a te se pri izgradnji modela mogu koristiti

sve MATLAB funkcije. Takoer se modelu mogu proslijediti neki ulazi, a irezultati simulacije se mogu dohvatiti iz ljuske.

Pogledajmo najprije kako rezultate simulacije spremiti bilo u datoteku bilou neku varijablu koja je dostupna iz ljuske. Najjednostavniji primjer prikazan jena slici. U prikazanom sluaju izlaz iz generatora signala spremamo na razliitamjesta.

izlazni prikljuak(izlaz simulacije sesprema u varijable

youti tout)

generatorsignala

spremanje uvarijablusimout

spremanje udatotekuuntitled.mat

Nakon pokretanja simulacije u MATLAB-u moemo pristupiti varijablamatout i yout (tout sadri vremenske trenutke, a yout vrijednosti signala)strukturi simout(struktura sadri i dodatne informacije o signalu) te datoteci

untitled.mat: whos ENT> % u ljusci moemo pristupiti rezultatima

Name Size Bytes Class

simout 1x1 1202 struct arraytout 51x1 408 double arrayyout 51x1 408 double array

Grand total is 181 elements using 2018 bytes

whos -file untitled ENT> % isti rezultati su spremljeni u datoteku


7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

20/79

ans 2x51 816 double array


Sada na tako dobivene rezultate simulacije moemo primijeniti bilo koju odraspoloivih funkcija, npr. elimo li dobiti sloenije prikaze za koje ne postojigotov blok u Simulinku snimljeni izlaz prosljeujmo naredbama za vizualizacijukao to su plot, stemili surf.

Ponekad je potrebno izvriti veliki broj simulacija s razliitim parametrima.U tom sluaju uobiajen nain koji se sastoji od pokretanja simulacije,spremanja rezultata te naposljetku mijenjanja parametara nije pogodan.MATLAB podrava naredbu simkoja se moe koristiti za pokretanje simulacije.Osim naredbe sim mogu se koristiti naredbe set_param i get_param zamijenjanje parametara modela. Kombiniranjem navedenih naredbi moemo

napisati skriptu koja postavlja parametre simulacije i sprema rezultate. Osimnavedenih postoje i mnoge druge naredbe za automatizirani rad sa Simulinkom.

2.4.3.

Izrada funkcijskih blokova Za one koji ele znati viePravi funkcijski blok za Simulink definiramo pisanjem S-funkcije. Iako za

pisanje S-funkcija moemo koristiti C, C++ i neke druge programske jezike,najjednostavnije ih je napisati koristei MATLAB-ov M programski jezik. Kako jestruktura takvih funkcija neto kompliciranija od uobiajenih MATLAB funkcija iskripti preporuamo vam da pokretanjem sfundemosdemonstracije pogledatepar ilustrativnih primjera.

Umjesto pisanja S-funkcija ponekad je dovoljno iskoristiti gotove funkcijskeblokove za slaganje novog bloka. Postupak se sastoji od sastavljanja gotovihblokova te grupiranja istih.

ulaz u novipodsustav

izlaz iz novogpodsustava

sve elementekoji ine novi

podsustav smogrupirali

Najprije crtamo eljeni sustav koji e nam predstavljati jedan blok. Pritome odreene ulaze i izlaze elemenata ne spajamo jer e oni postati novi ulazii izlazi iz zamiljenog funkcijskog bloka. Sada grupiramo elemente koji ine napodsustav te odabiremo EditCreate Subsystem. Dobivamo novi blok kojiima onoliko ulaza i izlaza koliko smo ih ostavili odspojenima. Oznaimo li blok te

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

21/79

odaberemo EditLook Under Mask moemo pogledati kako je sloenpodsustav.

Sva svojstva takvog sustava, izgled maske i kratki opis za korisnika moemomijenjati odaberemo li EditEdit Mask opciju. U novom dijalogu sadapostavljamo sve parametre vezane za podsustav.

izlazni prikljuak(u sluaju vie izlaznihprikljuaka obratitepanju na brojprikljuka)

ulazni prikljuak

parametri bloka

odabir svojstvakojeg mijenjamo

konaniizgledbloka

2.4.4.Runge-Kutta metoda Za one koji ele znati vieMATLAB i Simulink imaju ugraene razliite metode za numeriko

rjeavanje diferencijalnih jednadbi koji rjeavaju probleme oblika

' ( ,y F t y)= .

Ugraene metode moemo podijeliti na metode koje koriste stalni korak te nametode koje koriste promjenjivi korak. Jedna od najee koritenih metoda sastalnim korakom je Runge-Kutta metoda 4. reda (ode4u MATLAB-u).

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

22/79

Pretpostavimo da je zadana jednadba

' ( , ) y 0 0( )t y= .y F t y= ,

Rjeenje u diskretnoj domeni je dano s

1 1 2 3( 2 26

n n

hy y k k k k+ = + + + + 4 ) ,

gdje je k1nagib na poetku intervala, k2nagib u sredini intervala (koristi se k1tese nagib rauna u trenutku tn+ h/2koristei Eulerovu formulu

2), k3je opet nagibu sredini intervala, no sada se yrauna preko k2. k4je nagib na kraju intervala iza njega smo vrijednostyodredili pomou nagiba k3. Vrijedi

( )1 ,n nk F t y= ,

( )2 12, 2n nk F t h y k h= + + ,

( )3 22, 2n nk F t h y k h= + + i

( )4 3,n nk F t h y k h= + + .

2Najjednostavnija metoda prelaska s kontinuiranih na diskretne sustave je Eulerova metodakoja e biti razmatrana na auditornim vjebama. Eulerova metoda odgovara ode1metodi uMATLAB-u.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

23/79

3.

Vjeba 3. Konani automat

3.1.

PripremaAko niste upoznati s programskim sustavom MATLAB proitajte Kratke

upute za koritenje MATLAB-a koje se mogu pronai na stranicama predmeta(http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatci). Takoer detaljnije prouite dio oprogramiranju u MATLAB.

Konani automati su sekvencijalni u smislu da reagiraju na niz ulaznihsimbola i pri tome mijenjaju stanje. Zbog sekvencijalnosti implementacijakonanih automata na raunalu je izrazito jednostavna. Prisjetimo se da jekonaan automat u potpunosti odreen ureenom petorkom (Stanja, Ulazi,Izlazi,

FunkcijaPrijelaza,PoetnoStanje). Za realizaciju automata unutar MATLAB-a biti

epotrebno definirati skupove Stanja, UlaziiIzlazite napisati funkciju prijelaza.

3.1.1.Nizovi znakovaPrisjetimo se da se u MATLAB-u svi numeriki podaci tretiraju kao matrice.

Osim numerikih podataka MATLAB moe rukovati i s tekstualnim podacima kojise tretiraju kao nizovi slova:

poruka = 'Ovo je jedna recenica' ENT> % definiramo tekstporuka =

Ovo je jedna recenica

whos ENT> % MATLAB tekst opet tretira kao% matricu, tj. vektor redak


poruka 1x21 42 char array


poruka = [poruka '!'] ENT> % reenice moemo jednostavno % spajatiporuka =

Ovo je jedna recenica!

Za rukovanje tekstom postoje razne funkcije iji krai opis moete dobitizadavanjem naredbe help strings. Primijetite da MATLAB rukuje sa tekstomkao i s matricama. Probajmo stoga zadati drugi red teksta:

poruka = [poruka; 'Ovo je drugi red!']ENT> % dodajemo red

??? All rows in the bracketed expression must have the samenumber of columns.

poruka = [poruka; 'Ovo je drugi red! '] ENT> % retci matrice moraju % biti jednake duljineporuka =

% uoite razmake
http://dosl.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatcihttp://dosl.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatci

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

24/79

Ovo je jedna recenica!Ovo je drugi red!

3.1.2.

SkupoviPri definiranju konanog automata svaki simbol emo uglavnom opisatijednim tekstualnim nizom. Sada takve simbole moramo skupiti u skupove. Na tajnain moemo definirati skupove ulaznih i izlaznih simbole te stanja. Skup se uMATLAB-u naziva cell arrayi moe sadravati bilo kakve varijable:

Ulazi = {'50 lipa', '1 kuna', '2 kune', 'otkucaj', 'odsutan'} ENT>Ulazi =

'50 lipa' '1 kuna' '2 kune' 'otkucaj' 'odsutan'

whos ENT> % varijabla Ulazi je tipa cell array i sadri pet simbola


Ulazi 1x5 526 cell array


Ulazi(2) ENT> % elemente skupa moemo dohvatiti na uobiajen nainans =

'1 kuna'

Kada elemente skupa dohvaamo na uobiajen nain koritenjem oblih

zagrada rezultat je opet tipa cell array to u nekim sluajevima nijepoeljno. Pogledajmo stoga kako dohvatiti npr. drugo slovo iz drugog elementaskupa Ulazi:

X = Ulazi(2); ENT> % u X spremamo drugi element X(2)

ENT> % pokuavamo ispisati tree slovo??? Index exceeds matrix dimensions.

whos X ENT> % X je naalost tipa cell array i ima samo% jedan element


X 1x1 104 cell array


X = Ulazi{2}; ENT> % koristimo li vitiaste zagrade moemo X(2) ENT> % dohvatiti drugi znak nizaans =

% znak ne vidite jer je rijeo razmaku :) whos X ENT> % X je sada tipa char arrayName Size Bytes Class

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

25/79

X 1x6 12 char array


Ulazi{2}(3)ENT> % dohvaamo izravno trei znak

ans =

k

3.1.3.

FunkcijeFunkcije unutar MATLAB-a spremamo u obine tekstualne datoteke s

nastavkom .m. Za pisanje funkcija najbolje je koristiti ugraeni editor.Pogledajmo primjer jednostavne funkcije koja zbraja i oduzima dva broja:

8.

function [zbroj, razlika] = primjer(x, y)

9. % PRIMJER - Zbrajanje i oduzimanje dva broja.

10.

% PRIMJER(X, Y) zbraja X i Y.11.

%12. % [Z, R] = PRIMJER(X, Y) vraca zbroj X + Y u varijabli13.

% Z i razliku brojeva X-Y u varijabli R.14.

15. % Oba ulazna argumenta moraju biti zadana.16.

error(nargchk(2,2,nargin));17.

18. % Izracunaj zbroj i razliku.19.

zbroj = x + y;20.

razlika = x - y;

Danu funkciju moemo sada prevesti u pseudokod3te izvriti:

whatENT> % koje funkcije su u trentunom direktoriju

M-files in the current directory z:\SIS\ssustavic

primjer

pcode primjerENT>

% generiramo pseudokod primjer(2,3)

ENT> % pozivamo funkcijuans =

5 % primijetite da MATLAB ispisuje samo prvi

% rezultat

[a,b] = primjer(2,3)ENT> % samo ako eksplicitno navedemo drugu

% varijablu MATLAB je vraaa =

5

b =

3Generiranje pseudokoda nije nuno potrebno jer e MATLAB prilikom rada prevoditi funkcijepo potrebi. Kako se .pdatoteka uvijek izvrava ako postoje i .mi .pdatoteke ne zaboravitegenerirati novi pseudokod ako promijenite kod odgovarajue .mdatoteke.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

26/79

-1

Pripremni zadatak

1.

Zadan je konani automat s dva stanja {A, B} i funkcijom prijelazazadanom slikom. Skupovi ulaznih i izlaznih simbola su:Ulazi= {0, 1, odsutan}

Izlazi= {0, 1, odsutan}

A B

0/1 0/11/0

1/0

Napiite MATLAB funkciju prijelaz koja sadri definiciju zadanefunkcije prijelaza. Prisjetite se da je funkcija prijelaza definirana kaopreslikavanje

StanjaUlaziStanjaIzlazi

te bi funkcija trebala kao ulaze primati stanje i ulaz, a kao izlaze vratiti

novo stanje i izlaz

4

. Nemojte zaboraviti da je simbol odsutan takoerdozvoljen ulaz i izlaz. Prilikom usporedbe dva tekstualna niza koristite

funkciju strcmp umjesto operatora == koji usporeuje nizove znak poznak. Za nulu i jedinicu iz skupa simbola takoer pretpostavite da sutekstualni nizovi.

3.1.4.

Interakcija s korisnikomZa interakciju s korisnikom moete koristiti naredbu input. Uz koritenje

while petlje moemo napisati jednostavnu MATLAB skriptu koja pita korisnika zaunos nekog teksta sve dok ne upie dosta:

1. % Skripta koja trazi unos od korisnika sve dok se ne unese dosta.

2.

3. % Definiraj string u koji spremamo rezultat i tekst pitanja.4.

unos = 'start';5. pitanje = 'Upii neku rije! Sigurno e pogrijeiti! >';6.

7. % Ponavljaj sve dok korisnik ne unese dosta.

8. while~strcmp(unos, 'dosta')9. unos = input(pitanje, 's');10.

end

4Odnosno, deklaracija funkcije u MATLAB-u bi bila function [novostanje, izlaz] =prijelaz(starostanje, ulaz).

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

27/79

Pripremni zadatak2. Koristei danu skriptu kao predloak napiite program koji stalno pita

korisnika za unos nekog simbola. Ako se uneseni simbol nalazi u skupu

ulaznih simbola zadanog automata iz prethodnog zadatka pozovitefunkciju prijelazte ispiite izlaz automata, a ako se simbol ne nalazi uskupu ulaznih simbola funkciji prijelaz poaljite simbol odsutan. Stanjekoje vam vrati funkcija prijelaza je novo stanje automata.

3. Za konani automat opisan u zadatku 1. dijela 3.2. nacrtajte dijagramprijelaza. Nacrtani dijagram koristiti ete na vjebi kao predloak zaimplementaciju automata.

3.2.

Konani automat

Zadatak

1.

Koristei funkcije koje ste napisali za pripremu kao predloakkonstruirajte konani automat (napiite funkciju prijelaza i funkciju zainterakciju s korisnikom koja pamti stanje automata) koji modeliraslijedeu situaciju:

Student i studentica su zaljubljeni i studentica je sretna. Kadajoj student kupi cvijeepone skakatiod sree. Poljubi li je studentkada je sretna udari ga. Ako vrijeme prolazi a student joj ne kupicvijee postaje nesretna i pone gnjaviti studenta. Poljubi li jestudent kada je nesretna zagrli gai postaje sretna. Proe li vrijemedok je studentica nesretna ostavitie studenta5.

Istaknuti izrazi u opisu moraju biti bilo stanja bilo elementi skupa ulaznihi izlaznih simbola. U izvjetaju obavezno navedite ureenu petorku kojadefinira va konani diskretni automat.

Napomena: Korisne funkcije za rjeavanje zadataka su ismemeber, char,input, strcmp, switch, nargin i disp. Prvo definirajte sve skupovekoji su vam potrebni. Prilikom pisanja funkcije indeksirajte elementedefiniranih skupova, npr. nemojte definirati novo stanje kao stanje ='nesretna', ve kao stanje = Stanja{2}. Time smanjujetemogunost pogreaka koje se javljaju zbog (pre)brzog tipkanja. Funkcijaprijelaza bi trebala provjeravati pripada li ulazni simbol skupu ulaznih

simbola (naredba ismemeber). Ove napomene se odnose i na drugizadatak.

3.3.Automatsko upravljanje sustavomZa veinu stvarnih sustava upravljanje se obino izvodi koritenjem

povratnih veza tako da na temelju izmjerenih izlaza sustava odreujemo kakopobuditi sustav. Izravno upravljanje bez mjerenja izlaza sustava uglavnom nijemogue.

5Studentice mogu zamijeniti uloge u opisu.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

28/79

sustavregulator

sustavregulator

regulator uotvorenoj petlji

(otvoreni tokdjelovanja)

regulator uzatvorenoj petlji

(zatvoreni tokdjelovanja)

Zadatak2. Konstruirajte automat koji e sluiti kao regulator u otvorenoj petlji.

Automat mora davati ulazne simbole automatu kojeg ste konstruirali uprethodnom zadatku s ciljem da studentica nikad ne ostavi studenta.Drugim rijeima, automat mora generirati simbole poljubac i vrijeme

prolazitako da studentica nikad ne dosegne stanje ostavi studenta.Primijetite da ovakav automat nema neki posebni skup ulaznih simbolaveje dovoljan skup

Ulazi= {1, odsutan},

gdje jedinica uzrokuje pojavu odgovarajueg simbola na izlazu.

Napiite MATLAB program koji spaja dva automata u kaskadu teeksperimentalno (simulacijom) potvrdite da studentica nikada neeostaviti studenta.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

29/79

4.

Vjeba 4. Linearni diskretni sustav drugog

reda4.1.

PripremaProitajte poglavlje 10.5. Sustavi drugog reda i 10.6. Linearni sustav

drugog reda iz skripte Signali i sustavi koju moete pronai na WWWstranicama predmeta (http://sis.zesoi.fer.hr/).

Pripremni zadatak1. Analitiki odredite impulsni odziv diskretnog sustava odreenog

jednadbom diferencijay[n] 0,98y[n 1] + 0,81y[n 2] = u[n].

4.1.1.

Direktna realizacija sustavaNeka je diskretni sustav opisan ulazno-izlaznom diferencijskom jednadbom

oblika

a0y[n] + a1y[n 1] + + aky[n k] = b0u[n] + b1u[n 1] + + blu[n l]

Ne smanjujui openitost pretpostavimo da je prvi koeficijent a0= 1 iograniimo se na sustav treeg reda. Tada diferencijska jednadba postaje

y[n] + a1y[n 1] + a2y[n 2] + a3y[n 3]= b0u[n] + b1u[n 1] + b2u[n 2] + b3u[n 3].Uvedemo li novi signal w[n]moemo jednostavno realizirati sustave

y[n] + a1y[n 1] + a2y[n 2] + a3y[n 3] = w[n]

i

w[n] = b0u[n] + b1u[n 1] + b2u[n 2] + b3u[n 3].
http://sis.zesoi.fer.hr/http://sis.zesoi.fer.hr/

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

30/79

Spajanjem dobivenih realizacija u kaskadu dobivamo razne oblike direktnerealizacije sustava. Sve realizacije u kojima se javljaju upravo koeficijentiulazno-izlazne jednadbe (odnosno prijenosne funkcije sustava) spadaju u

direktne realizacije.

direktna forma I direktna forma It

direktna forma II direktna forma IIt

4.1.2.

Kaskadna realizacija Za one koji ele znati viePrikazane direktne forme su izravno povezane s prijenosnom funkcijom

sustava, no nisu povoljne za stvarnu izvedbu na raunalu ili DSP procesorima,pogotovo kada se uzmu u obzir efekti koji se javljaju pri kvantizacijikoeficijenata. Najee se stoga koristi kaskadna realizacija sustava gdje seprijenosna funkcija rastavlja u produkt racionalnih funkcija drugog reda6.

Rastavljanjem prijenosne funkcije u kaskadu sekcija drugog redapojednostavnili smo postupak analize sustava. Ostaje jo pitanje koje parovepolova i nula grupirati zajedno za rjeavanje tog optimizacijskog problema seobino koristi raunalo (pogledajte naredbu sosu MATLAB-u).

6Ne koriste se racionalne funkcije prvog reda jer je potrebno izbjei kompleksne vrijednostipojaanja te se konjugirano-kompleksni parovi polova i nula grupiraju zajedno.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

31/79

4.2.

Odziv sustava

4.2.1.

Impulsni odzivImpulsni odziv diskretnog sustava je odziv na Kroneckerovu funkciju [n]uzpoetne uvjete jednake nuli. Odziv odreujemo simulacijom sustava pomouSimulinka koristei neku od navedenih direktnih realizacija.

za dobivanje [n]moete koristitiPulse Generat or(pri tome je potrebnopostaviti period dulji

od vremena simulacije)

Zadaci

1.

Koristei Simulink odredite impulsni odziv diskretnog sustava odre

enogjednadbom diferencija

y[n] 0,98y[n 1] + 0,81y[n 2] = u[n].

Usporedi impulsni odziv s odzivom iz pripremnog zadatka.2. Koristei Simulink odredite impulsni odziv diskretnog sustava odreenog

jednadbom diferencijay[n] 1,38y[n 1] + 1,42y[n 2] = u[n].

3. Smanjite period generatora impulsa tako da se unutar odabranogvremena simulacije pojavljuju dva jedinina impulsa. Kakve sada odzivedobivamo za sustave iz prva dva zadatka?

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

32/79

4.2.2.

Odziv na skokOdziv na skok diskretnog sustava je odziv na funkciju s[n]. Odziv

odreujemo simulacijom sustava pomo

u Simulinka koriste

i neku od navedenihdirektnih realizacija.

Zadaci

4.

Koristei Simulink odredite odziv na s[n] diskretnog sustava odreenogjednadbom diferencija

y[n] 0,98y[n 1] + 0,81y[n 2] = u[n].

Neka su poetni uvjeti jednaki nuli za prvu simulaciju. Za drugusimulaciju odaberite poetne uvjete razliite od nule.

5. Koristei Simulink odredite odziv na s[n] diskretnog sustava odreenogjednadbom diferencija

y[n] 1,38y[n 1] + 1,42y[n 2] = u[n].

Neka su poetni uvjeti jednaki nuli.

4.3.

Stabilnost sustavaRastu li neke varijable u sustavu neogranieno kako vrijeme tei k

beskonanosti kaemo da je sustav nestabilan. Kako je navedeni opis dostanedoreen esto se koristi BIBO definicija (bounded-input bounded-output):

Sustav je stabilan ako daje ogranieni odziv za svaku ogranienu pobudu.

Zadatak

6. Promatranjem dobivenih odziva na [n] i s[n] za prethodno zadane

diferencijske jednadbe odredite koji sustav nije BIBO stabilan.

4.3.1.

Poloaj polova i nulaZa linearne diskretne sustave dovoljno je promatrati vlastite frekvencije

sustava, odnosno poloaj polova u z ravnini. Nalaze li se svi polovi unutarjedinine krunice sustav je stabilan, a u suprotnome je nestabilan. Jedininakrunica nam predstavlja granicu stabilnosti.

Promotrimo sustav opisan jednadbom

y[n] + a1y[n 1] + a2y[n 2] = b0u[n] + b1u[n 1] + b2u[n 2].

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

33/79

Prijenosna funkcija tog sustava uz-domeni je1 2

0 1 2

1 2

0 1 2

( )( )

( )

b b z b z Y zH z

U z a a z a z

+ += =

+ +

.

Uobiajeno se prijenosna funkcija izraava po z1, a ne po z. Polovi sustava sukorijeni nazivnika, dok su nule sustava korijeni brojnika.

A=[90 -35 78]; ENT> % definiramo koeficijente nazivnika B=[11 4 10];

ENT>

% definiramo koeficijente brojnika roots(A) ENT> % raunamo korijene nazivnikaans =

0.1944 + 0.9104i0.1944 - 0.9104i

abs(ans)ENT> % kako je apsolutna vrijednost korijena manja % od jedinice sustav je stabilan

ans =

0.93090.9309

sys=tf(B,A,1) ENT> % kreiramo LTI objekt koji predstavlja sustav % primijetite da MATLAB prijenosnu funkcijuTransfer function:

% ispisuje po potencijama od z11 z^2 + 4 z + 10------------------90 z^2 - 35 z + 78

Sampling time: 1 pzmap(sys)

ENT> % crtamo polove i nule sustava zgrid ENT> % crtamo koordinatnu mreu

jedininakrunica(crtkanom linijomsu oznaene linijekonstantnefrekvencije ipriguenja)

nule suoznaene

krugom

polovi suoznaeni

kriem

Zadatak7. Odredite poloaj polova i nula sustava

y[n] 0,98y[n 1] + 0,81y[n 2] = u[n]

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

34/79

i

y[n] 1,38y[n 1] + 1,42y[n 2] = u[n].

Na temelju poloaja polova odredi koji sustav je stabilan, a kojinestabilan.

4.3.2.

Sustav na granici stabilnosti Za one koji ele znativie

Za diskretne sustave jedinina krunica predstavlja granicu izmeu podrujastabilnosti i nestabilnosti s obzirom na poloaj polova. Za sustav kojemu se nekijednostruki polovi nalaze tono na jedininoj krunici dok su svi ostali poloviunutar jedinine krunice kaemo da je na granici stabilnosti. Svaki jednostrukipol koji se nalazi na jedininoj krunici daje titranje stalne amplitude7.

Nalazi li se na jedininoj krunici viestruki pol sustav postaje nestabilan jervarijabla stanja povezana s tim polom neogranieno raste (za sluaj k-strukogpolapdominantni lan je nkpn).

Zadaci Za one koji ele znati vie

8. Snimite odziv na [n]i s[n]diskretnog sustava drugog reda koji ima jedanjednostruki pol na jedininoj krunici dok se drugi pol nalazi unutarjedinine krunice (npr. 2y[n] 3y[n 1] +y[n 2] = u[n]).

9. Snimite odziv na [n] i s[n] diskretnog sustava drugog reda koji imadvostruki pol na jedininoj krunici (npr.y[n] 2y[n 1] +y[n 2] = u[n]).

4.4.

Prikaz u prostoru stanja Za one koji ele znativie

Promatramo li sustav kroz jednadbu stanja i izlaznu jednadbu vidimo dasvakoj varijabli stanja odgovara jedan memorijski element. Koristimo li direktnurealizaciju sustava putanju u prostoru stanja moemo snimiti odnosno nacrtatizapamtimo li signale koji su se pojavljivali na izlazima elemenata za kanjenje.

Za sluaj sustava drugog reda prostor stanja je ravnina. Putanja uvijekzapoinje u poetnom stanju sustava. Promatramo li stabilan sustav putanja se

uvijek pribliava toki koja odreuje stacionarno stanje.

Zadatak Za one koji ele znati vie10.Snimite putanje u prostoru stanja za oba diskretna sustava koja smo

promatrali.

7Primijetite da je konstanta kao vlastita frekvencija u odzivu posljedica pola koji se nalazi ujedinici jer je 1n= 1.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

35/79

memorijski

element(izlaz je varijablastanja)

prikaz ravninestanja(vidimo putanju kojapoinje u tociodreenoj poetnimstan jem)

4.5.Frekvencijska karakteristika

4.5.1.

Raunanje frekvencijske karakteristikeLinearni diskretni sustav moemo karakterizirati prijenosnom funkcijom.

Izvrimo li zamjenu zej dobivamo frekvencijsku karakteristiku sustava.

Dobivena frekvencijska karakteristika je periodina te se uobiajeno rauna icrta samo jedan period. Unutar MATLAB-a koristi se naredba freqz:

B=[11 4 10]; ENT> % brojnik prijenosne funkcije A=[90 -35 78]; ENT> % nazivnik prijenosne funkcije freqz(B,A) ENT> % raunamo i crtamo frekvencijsku karakteristiku

Zadatak11.

Koritenjem naredbe freqz odredite amplitudnu i faznu frekvencijskukarakteristiku za oba diskretna sustava koja smo promatrali.

4.5.2.

Snimanje frekvencijske karakteristikeKoritenjem frekvencijske karakteristike koja nam odreuje stacionarno

stanjemoemo odmah odrediti izlaznu amplitudu za harmonijsku pobudu oblika. Iz frekvencijske karakteristike oitavamo pojaanje za danu

frekvenciju pobude te tada raunamo izlazni signal prema

0[ ] j nu n Ae =

0 0[ ] ( )j j nn H e Ae = .

No isto tako simulacijom odziva sustava na harmonijsku pobudu te oitavanjempromjene amplitude i faze moemo snimiti frekvencijsku karakteristiku toku potoku.

Primijetite da stacionarno stanje postoji samo za stabilne sustave tako dafrekvencijska karakteristika nema smisla promatramo li nestabilne sustave.

Zadatak12.Na va simulacijski dijagram postavite harmonijsku pobudu (sinus ili

kosinus funkcija) te snimite par toaka amplitudne i fazne frekvencijske

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

36/79

karakteristike za oba diskretna sustava koja smo promatrali. Poklapaju lise rezultati s frekvencijskom karakteristikom odreenom pomou naredbefreqz? Moete li simulacijom odrediti frekvencijsku karakteristiku

nestabilnog sustava?

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

37/79

5.

Vjeba 5. NeIinearni diskretni sustav -

infekcijska jednadba5.1.

PripremaPrisjetite se svega to ste do sada nauili o diskretnim sustavima.

5.1.1.Kermack-McKendrickov epidemijski modelW. O. Kermack i A. G. McKendrick su modelirali irenje zaraznih bolesti

unutar neke populacije. U njihovom modelu cijela populacija je podijeljena utri grupe.

a)

Osobe podlone zarazi (susceptible) su pojedinci koji se mogu zaraziti ipostati nosioci zaraze.

b) Zaraeni (infective) pojedinci su oni koji ire zarazu unutar populacije.

c) Uklonjeni (recovered, removed) pojedinci su oni koji su se zarazili paumrli ili pak oni koji su se oporavili i postali imuni te se vie ne moguzaraziti. U ovu skupinu spadaju i izolirani pojedinci (zbog bilo kojegrazloga, npr. karantena) koji vie ne mogu doi u kontakt s ostalompopulacijom. Ukratko, uklonjeni pojedinci vie ne doprinose irenjuzaraze8.

Sam proces zaraze i uklanjanja pojedinaca se odvija prema slijedeimpravilima:

a) Brzina promjene broja podlonih osoba je proporcionalna brojukontakata izmeu podlonih i zaraenih pojedinaca. Broj kontakataprocjenjujemo prema ukupnom broju podlonih zarazi i zaraenih teuzimamo da je proporcionalan produktu SI gdje je S broj podlonihpojedinaca, a I broj zaraenih pojedinaca. Ovakav model zanemarujevrijeme inkubacije.

b) Zaraeni pojedinci se uklanjaju iz ukupne populacije proporcionalnonjihovom brojuI.

c)

Ukupni broj pojedinaca je stalan i vrijednost S+I+R se ne mijenja.Model dakle zanemaruje sve promjene ukupnog broja pojedinaca koje sejavljaju zbog roenja, smrti, migracije i ostalih uzroka.

Predstavimo li sva navedena pravila u matematikom obliku dobivamosustav diferencijalnih jednadbi:

8Ovakvi modeli se nazivaju SIR modeli zbog ciklusa susceptibleinfectedrecovered. Takvimodeli nisu pogodni za modeliranje epidemije bolesti kao to su prehlada ili gripa jer se kod tihbolesti ne moe razviti trajni imunitet. Modeli koji modeliraju bolesti kod kojih se ne razvijatrajni imunitet se nazivaju SIS modeli zbog ciklusa susceptibleinfectedsusceptible.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

38/79

S iSI

I iSI rI

R rI

=

=

=

gdje su i i r pozitivne konstante koje odreuju stope zaraze i smrtnosti(uklanjanja pojedinaca).

Iz prve jednadbe vidimo da S(t)ne moe biti rastua funkcija, dok drugajednadba implicira poveanje broja zaraenihI(t)s vremenom tako je S(t) > r/i,a smanjenje u protivnom. Shodno tome, ako je u poetnom trenutku t= 0brojpodlonih pojedinaca S0manji od r/iepidemija umire (nije odriva), noako jeS0 vei od kritine vrijednosti r/i epidemija poinje. U tom sluaju se brojzaraenih pojedinaca poveava sve dok je S(t) vee od kritine vrijednosti r/i, anakon toga poinje padati.

Iz prethodnog razmatranja je vidljivo da se epidemija javlja ako i samo akoje poetni broj podlonih pojedinaca vei od praga SPkoji u ovom modelu iznosir/i. Na primjer, opasna epidemija visoko smrtonosne bolesti se rijetko javlja jerje stopa smrtnosti visoka.

5.2.

Diskretni SIR modelU pripremi smo razmotrili kontinuirani Kermack-McKendrickov epidemijski

model. Prema prethodno navedenim pravilima moemo definirati diskretanmodel irenja epidemije.

Neka su S[n], I[n] i R[n]ukupni brojevi pojedinaca koji pripadaju grupamapodlonih, zaraenih i uklonjenih. Uz pretpostavku prostorno neogranienihinterakcija izmeu pojedinaca (svaki podloni pojedinac moe biti jednako-vjerojatno zaraen od strane svakog zaraenog pojedinca) model moemopredstaviti sa sljedeim skupom diferencijskih jednadbi

( )[ ][ 1] [ ] [ ] 1 [[ 1] [ ] [ ]

[ 1] [ 1] [ 1]

iI n ]I n I n S n e rI

R n R n rI n

S n N I n R n

+ = +

+ = +

+ = + +

n

gdje je ikoeficijent proporcionalan vjerojatnosti zaraze podlonog pojedinca i r

vjerojatnost uklanjanja zaraenog pojedinca. N je ukupni broj pojedinaca upopulaciji.

Zadaci

1. Pokaite da kako korak n tei k beskonanosti vrijednosti S, I i Rpostoje. Koja je vrijednost odI?

2. Koristei razmatranje za kontinuirani sustav pokaite da za ovaj modelepidemija postoji ako i samo ako je poetni broj podlonih pojedinaca S0vei od kritine vrijednosti. Neka su poetni uvjeti takvi da je R0= 0 i

I0S0.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

39/79

5.2.1.

Modeliranje marketinkih aktivnosti

Zadatak3.

Koristei diskretni SIR model modelirajte sljedeu situaciju:Vi ste vlasnik nove tvrtke Varaj kao profesionalac koja

prodaje najbolja pomagala za varanje na ispitu koja su ak ispitanau praksi, no usprkos tome jo se niste probili na trite. Zbog togaste se odluili na marketinku kampanju usmjerenu na vaepotencijalne kupce kako bi ih informirali o proizvodu. Marketinkipristup kojeg koristite je izravan u smislu da planirate zaposlitiodreen broj uenika ili studenata koji bi meu ciljanompopulacijom proirili vijest o proizvodima. Pri tome, naravno, elitepostii maksimalan efekt uz minimalne trokove te ste se odluili

simulirati vau kampanju jo u fazi planiranja.Epidemija je u ovom sluaju irenje vae reklamne poruke. Samiprocijenite stope irenja i uspjenosti reklame (irenje odgovara stopizaraze pojedinaca a uspjenost stopi uklanjanja9), ukupnu populaciju tebroj podlonih, zaraenih i uklonjenih pojedinaca. Poetni broj zaraenihpojedinaca neka odgovara broju zaposlenih uenika/studenata koji ireinformaciju. Pokaite simulacijom da je potreban kritian broj poetnihpojedinaca koji ire informaciju meu populacijom da bi kampanja bilauspjena.

Snimite promjene varijabli S[n],I[n]i R[n]u ovisnosti o koraku n. Ispitajteponaanje vaeg modela za razliite veliine populacije te za razliitevrijednosti stopa irenja i uspjenosti.

5.2.2.

Modeliranje irenja podataka Internetom

Zadatak4. Koristei diskretni SIR model modelirajte sljedeu situaciju:

Kontroverzni dokumentarni film 10 se pojavio na internetu itrenutno ga dijeli mali broj korisnika. No taj film je pobudio veliki

interes te se strahovitom brzinom iri meu korisnicima interneta.Zanima nas koje je vrijeme potrebno za zarazu cijele populacije te

da li je zarazu mogue zaustaviti.

Za ovaj sluaj pretpostavite manji broj poetnih korisnika koji su zaraeni(dijele film), no takoer pretpostavite visoku stopu irenja i te malustopu uklanjanja pojedinaca r.

9Pojedinca uklanjamo kada je ili kupio proizvod ili u potpunosti odustao od kupnje.10Zadatak je inspiriran stvarnim sluajem kada su se privatne snimke nale dostupne putemInterneta.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

40/79

Snimite promjene varijabli S[n],I[n]i R[n]u ovisnosti o koraku n. Ispitajteponaanje vaeg modela za razliite vrijednosti uklonjenih pojedinaca (neele dijeliti film) te za razliite vrijednosti stope uklanjanja. Da li je

mogue zaustaviti irenje? Da li je mogue zaustaviti irenje jednom kadazapone? Obrazloite odgovor.

5.2.3.Dodatna objanjenja vjebeU ovoj vjebi vam je ostavljena velika sloboda prilikom izrade vjebe.

Sline probleme koji nisu u potpunosti definirani ete vjerojatno sve eesusretati kako se bliite kraju studija od vas se nee zahtijevati samo daponovite napisano veda pokaete vlastitu kreativnost. Kako nekim studentimato predstavlja problem ovdje navodimo dodatne upute za vjebu.

U vjebi je potrebno napraviti simulacijski model diskretnog SIR sustavaunutar Simulinka kao to ste radili na proloj laboratorijskoj vjebi. Svi potrebnisignali S[n], I[n] i R[n] se mogu predstaviti izlazima iz blokova za jedininokanjenje (Unit Delay) na nain da je ulazni signal u blok vrijednost npr.S[n + 1], dok je izlaz tada S[n]. U odgovarajue blokove se zatim postavljajupoetni uvjeti za simulaciju. Kada ste postavili tri potrebna Unit Delay blokapotrebno je dodati spojeve tako da struktura odgovara skupu diferencijskihjednadbi

( )[ ][ 1] [ ] [ ] 1 [[ 1] [ ] [ ]

[ 1] [ 1] [ 1]

iI n ]I n I n S n e rI

R n R n rI n

S n N I n R n

+ = +

+ = +

+ = + +

n

Funkcija exse moe dobiti kao Math OperationsMath Function, priemu se odabire eksponencijalna funkcija. Na ulaz tog bloka se dovodi izlaz izbloka Unit Delay koji odgovara signalu I[n], no provuen kroz pojaalopojaanjai. U izrazu vam je jo potreban Nkoji je stalan tijekom simulacije teodgovara zbroju poetnih vrijednosti S[0] +I[0] +R[0], odnosno morate gaprilagoditi svaki put kada promijenite poetne uvjete.

Kako bi izbjegli potrebu za ponovnim raunanjem parametraNpreporuamovam da sve poetne uvjete definirate kao varijable koje moete mijenjati iz

radnog prostora, npr. u blokove Unit Delaybi redom upisali s0, r0i i0. Sadavrijednost N= S[0] +I[0] +R[0] dobivate koritenjem SourcesConstantbloka u kojeg upiete s0+r0+i0. Mijenjanje parametara se u ovom sluaju radiu radnom prostoru.

U va model jo je samo potrebno dodati blokove za crtanje signala temoete pokrenuti simulaciju.

Interpretacija znaenja parametara modela i i rpuno je jednostavnija akopromatrate kontinuirani model. Parametri ii rsu u rasponu od nula do jedan stime da parametar iodreuje koliki je dio populacije koju zarazijedannosilac u

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

41/79

jednom koraku ako je cijela populacija podlona zarazi. Parametar r je diozaraenepopulacije kojaprestaje biti zaraenau jednom koraku.

Vano je uoiti da se sustav uvijek stabilizira ako je ispravno sastavljen, stime da epidemija poinje samo ako je poetna populacija podlonih pojedinacavea od kritine vrijednosti SPkoja u ovom modelu iznosi r/i.

Vrijednosti koje moete koristiti za isprobavanje su npr. r= 0,4, i= 104,S[0] = 6000, I[0] = 1, R[0] = 0 te r= 0,5, i= 103, S[0] = 10500, I[0] = 100, R[0] = 0.Za navedene parametre bi trebali dobiti odzive iz kojih se vidi poetakepidemije koji se zatim lagano stiava. VANO: izvjetaji s laboratorijskihvjebi koji budu imali jednake parametre nee biti prihvaeni!

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

42/79

6.

Vjeba 6. Linearni kontinuirani sustav

drugog reda6.1.

PripremaProitajte poglavlje 5. Sustavi drugog reda iz skripte Signali i sustavi

koju moete pronai na WWW stranicama predmeta (http://sis.zesoi.fer.hr/).

Pripremni zadatak1. Analitiki odredite impulsni odziv kontinuiranog sustava odreenog

diferencijalnom jednadbomy''(t) + 2y'(t) + 26y(t) = u(t).

6.1.1.Direktna realizacija sustavaNeka je linearni kontinuirani sustav opisan ulazno-izlaznom diferencijalnom

jednadbom oblika

aky(k)(t) + ak 1y

(k 1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y(t) =

= blu(l)(t) + b1u

(l 1)(t) + + b1u(1)(t) + b0u(t)

Ne smanjujui openitost pretpostavimo da je prvi koeficijent ak= 1 iograniimo se na sustav treeg reda. Tada diferencijalna jednadba postaje

y'''(t) + a2y''(t) + a1y'(t) + a0y(t) = b3u'''(t) + b2u''(t) + b1u'(t)+ b0u(t).

Prijenosna funkcija sustava opisanog dobivenom diferencijalnom jednadbom je3 2

3 2 1

3 2

2 1

( )( )

( )

b s b s b s bY sH s

U s s a s a s a

0

0

+ + += =

+ + +.

Realiziranjem kontinuiranog sustava preko pojaala i integratora tako dapojaanja odgovaraju koeficijentima prijenosne funkcije sustava H(s)dobivamodirektnu realizaciju11.

Dobiveni sustav moemo opisati i u prostoru stanja jednadbom stanja

1 1

2 2

3 0 1 2 3

0 1 0 0

0 0 1 0 (

1

x x

)x x u

x a a a x

= +

t

i izlaznom jednadbom

11Usporedite dobivenu realizaciju s direktnim realizacijama diskretnog sustava te uoiteslinosti i razlike. Pri tome pripazite na injenicu da se prijenosne funkcije diskretnog sustavauobiajeno piu poz1a za kontinuirane sustave pos.
http://sis.zesoi.fer.hr/http://sis.zesoi.fer.hr/

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

43/79

,[ ]1

0 0 3 1 1 3 2 2 3 2 3

3

( ) ( )

x

y t b a b b a b b a b x b u t

x

= +

[ ]

pri emu varijable stanja x1, x2 i x3 odgovaraju upravo izlazima iz integratorakoritenih za realizaciju sustava.

6.2.

Odziv sustava

6.2.1.Impulsni odzivImpulsni odziv sustava je odziv mrtvog sustava na Diracovu funkciju (t).

Simulink nema izvora koji bi davao pobudu (t)funkcijom12te se impulsni odzivodreuje izravno u MATLAB-u.

A=[90 35 78]; ENT> % nazivnik prijenosne funkcije B=[11 4 10];

ENT>

% brojnik prijenosne funkcije impulse(B,A) ENT> % crtamo impulsni odziv koristei staru

% sintaksu naredbe impulse sys=tf(B,A) ENT> % kreiramo LTI objekt koji opisuje % kontinuirani sustavTransfer function:11 s^2 + 4 s + 10------------------90 s^2 + 35 s + 78

12Primijetite da je ipak mogue pobuditi sustav nekim signalom koji je blizak Diracovom impulsute bi dobiveni odziv u tom sluaju bio blizak impulsnom odzivu (signal mora imati to kraetrajanje te jedininu povrinu).

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

44/79

[h,t]=impulse(sys); ENT> % raunamo impulsni odziv h impulse(sys, 100);

ENT> % crtamo impulsni odziv do trenutka 100

Zadaci1. Odredite impulsni odziv kontinuiranog sustava odreenog diferencijalnom

jednadbomy''(t) + 2y'(t) + 26y(t) = u(t).

Usporedite dobiveni odziv s odzivom iz pripremnog zadatka.2. Odredite impulsni odziv kontinuiranog sustava odreenog diferencijalnom

jednadbomy''(t) 2y'(t) + 26y(t) = u(t).

Da li je sustav stabilan?

6.2.2.

Odziv na skokOdziv na skok kontinuiranog sustava je odziv mrtvog sustava na

Heavisideovu funkciju s(t). Odziv moemo odrediti simulacijom u Simulinku ilikoritenjem naredbe step.

Zadatak3. Odredite odziv na s(t)kontinuiranih sustava iz prethodna dva zadatka.

6.2.3.Odziv na harmonijsku pobudu Za one koji ele znati

vieHarmonijska pobuda je bitna u analizi linearnih vremenski nepromjenjivih

kontinuiranih sustava jer je odziv takoer harmonijska funkcija. Nadalje, kakoveinu signala moemo predstaviti kao linearnu kombinaciju raznih harmonijskihfunkcija odreivanje odziva moemo svesti na odreivanje odziva na svaku odharmonijskih komponenti koje zajedno ine pobudni signal.

Zadatak Za one koji ele znati vie4. Za kontinuirani sustav opisan diferencijalnom jednadbom

y''(t) + 0,2y'(t) + 0,16y(t) = u(t)napravite model za simulaciju. Odredite odziv na pravokutni signalfrekvencije f= 0,1 Hz i amplitude 0,32. Odredite takoer pojedinaneodzive na prve tri harmonijske komponente koje ine zadani pravokutnisignal. Usporedite odziv sustava na pravokutni signal s zbrojem odzivasustava na prve tri harmonijske komponente.

6.2.4.

Odziv na sluajni signal Za one koji ele znati viePromatramo li odziv na neki sluajni signal znamo da ga odreujemo na

jednaki nain kao i za deterministiki signal pomou npr. konvolucijskog

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

45/79

integrala. Odziv odreen na takav nain nije pretjerano koristan jer je ispravansamo za tono odreeni sluajni signal kojim smo pobudili sustav.

Uobiajeno se pri analizi odziva sustava na neki sluajni signal sam sluajnisignal promatra kao jedna realizacija sluajnog procesa (stohastikog procesa).Tada se uz odreena ogranienja na svojstva sluajnog procesa13 osim odzivasustava na pojedinu realizaciju sluajnog procesa moe odrediti i izlazni sluajniproces.

Same vrijednosti amplitude kao takve nemaju posebnog znaaja kadpromatramo sluajne procese vese najee promatraju gustoe spektra snage pojedine realizacije procesa e imati razliite amplitude, no energije i snagee biti sline meu raznim realizacijama. Za takav sluaj kontinuirani sustavvie ne opisujemo prijenosnom funkcijom H(), ve prijenosnom funkcijomsnage |H()|2=H*()H().

6.2.5.

Simulacija impulsne pobude u Simulinku Za one kojiele znati vie

Impulsni odziv jednostavno dobivamo unutar MATLAB-a koritenjem naredbeimpulse, no pregledamo li cijelu biblioteku Simulinkovih blokova moemouoiti da ne postoji blok koji na izlazu daje Diracov (t). Kako moemo simuliratiimpulsnu pobudu unutar Simulinka?

Jedinini pobudni impuls je Diracova -distribucija. Vana karakteristika -distribucije jest da je jednaka nul-funkciji na svim intervalima koji ne sadreishodite, te da nema odreenu vrijednost u ishoditu. Osim toga je

( ) ( )

0 0( ) ( ) ( 1) ( )n n nf t t t dt f t = ,

no uobiajeno se kae samo da -distribucija vadi vrijednost podintegralnefunkcije. Pobudimo li vremenski sustav s -distribucijom dobivamo

( )* ( ) ( ) ( ) ( )h t t h t d h t = = .

Mogua interpretacija jest da pobuda tipa Diracove -distribucije sustavupredaje jedininu energiju u neizmjerno kratkom intervalu.

Kako simulirati predaju jedinine energije sustavu? Svi sustavi unutarSimulinka se rjeavaju metodama numerike integracije i pri tome moramopaljivo odabrati parametre simulacije 14 . Obino odabrani parametri ovise osustavu kojeg simuliramo prema tome i simuliranu -distribuciju moramoodabrati u ovisnosti u sustavu kojeg simuliramo.

Pretpostavimo da simuliramo jednostavan linearan vremenski nepromjenjivsustav. Takav sustav moemo opisati preko polova i nula, te dodatno znamo da

13Obino se zahtijeva stacionarnost drugog reda u irem smislu.14Za najjednostavniji primjer pogledajte zahtjeve na period otipkavanja pri koritenju Eulerovetransformacije.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

46/79

svaki pol uzrokuje pojavu kompleksne eksponencijale u odzivu. Za svaki polmoemo tono odrediti kompleksnu eksponencijalu i njenu pripadnu vremenskukonstantu. Zanima nas pol koji je najudaljeniji od ishodita u s-kompleksnoj

ravnini jer on odreuje najkrau vremensku konstantu. Predaju jedinineenergije sustavu moemo simulirati kao impulsnu pobudu trajanja znaajnokraeg od vremenske konstante najudaljenijeg pola jer time sustavu predamotraenu energiju, a zbog tromosti sustav ne moe reagirati u tako kratkomintervalu15. Shodno tome za simulaciju impulsne pobude u Simulinku moemokoristiti bilo koji blok koji nam omoguuje kreiranje takve pobude. Kako samoblik impulsa nije pretjerano bitan najjednostavnije je za simulaciju impulsnepobude odabrati pravokutni impuls trajanja tii amplitude 1

it(time smo osigurali

jedininu energiju).

6.3.

Prikaz u prostoru stanjaSvaki memorijski element u sustavu je povezan s jednom varijablom stanja.Za direktnu realizaciju najjednostavnijeg kontinuiranog sustava drugog redaopisanog jednadbom

y''(t) + 2y'(t) + 02y(t) = u(t)

tipino za varijable stanja biramo izlaz sustava x1=y(t) i derivaciju izlazax2=y'(t).

Zadatak

5.

Koristei Simulink snimite odzive y(t) te putanje u prostoru stanja x1Ox2kontinuiranog sustava opisanog diferencijalnom jednadbom

y''(t) + 2y'(t) + 02y(t) = 0

za 0= 0,4i za vrijednosti parametra od0.05, 0, 0,1, 0,4i 1.

6.4.

Frekvencijska karakteristika

6.4.1.Raunanje frekvencijske karakteristikeLinearni kontinuirani sustav moemo karakterizirati prijenosnom funkcijom.

Izvrimo li zamjenu sj dobivamo frekvencijsku karakteristiku sustava.Dobivena frekvencijska karakteristika za sustave ija prijenosna funkcija imarealne koeficijente je konjugirano simetrina te se uobiajeno crta samo zapozitivne vrijednosti frekvencija16. Unutar MATLAB-a koristi se naredba freqs:

B=[11 4 10]; ENT> % brojnik prijenosne funkcije A=[90 35 78];

ENT>

% nazivnik prijenosne funkcije freqs(B,A) ENT> % raunamo i crtamo frekvencijsku karakteristiku

15Opis nije u potpunost korektan jer egzaktna matematika formulacija navedenog znaajnoprelazi okvire kolegija.16Amplitudna karakteristika je parna dok je fazna karakteristika neparna.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

47/79

Zadatak6. Odredite amplitudnu i faznu frekvencijsku kontinuiranog sustava opisanog

diferencijalnom jednadbom

y''(t) + 2y'(t) + 02y(t) = u(t)

za 0= 0,4i za vrijednosti parametra od0.05i 0,4.

6.4.2.Snimanje frekvencijske karakteristikeKoritenjem frekvencijske karakteristike koja nam odreuje stacionarno

stanje moemo odmah odrediti izlaznu amplitudu za harmonijsku pobudu oblika. Iz frekvencijske karakteristike oitavamo pojaanje za danu

frekvenciju pobude te tada raunamo izlazni signal prema0( ) cos( )u t A t = +

( )( )0 0( ) ( ) cos arg ( )y t H A t H= + + 0 .No isto tako simulacijom odziva sustava na harmonijsku pobudu te oitavanjempromjene amplitude i faze moemo snimiti frekvencijsku karakteristiku toku potoku.

Primijetite da stacionarno stanje postoji samo za stabilne sustave tako dafrekvencijska karakteristika nema smisla promatramo li nestabilne sustave.

Zadatak7. Na simulacijski dijagram postavite harmonijsku pobudu (sinus ili kosinus

funkcija) te snimite par toaka amplitudne i fazne karakteristike zasluajeve kada parametar poprima vrijednosti 0.05 i 0,4. Poklapaju lise rezultati s frekvencijskim karakteristikama odreenim pomou naredbefreqs? Moete li simulacijom odrediti frekvencijsku karakteristikunestabilnog sustava?

6.4.3.

Automatsko snimanje amplitudne i faznefrekvencijske karakteristike Za one koji ele znati vie

Amplitudna frekvencijska karakteristika je prikaz pojaanja sustava uovisnosti o frekvenciji harmonijske pobude. Fazna amplitudna karakteristika je

pak povezana s vremenom koje je potrebno za prolaz harmonijske pobude krozsustav. Postupak simuliranog mjerenja amplitudne i fazne frekvencijskekarakteristike mogue je automatizirati preko jednostavne m skripte.

Prije pisanja skripte potrebno je sastaviti odgovarajui Simulink modellinearnog vremenski nepromjenjivog sustava. Na ulaz sustava se tada spaja blokkoji daje harmonijsku pobudu (npr. SourcesSine Wave), dok i ulaz i izlazmoramo vratiti u radni prostor kako bi mogli odrediti pojaanje i fazni pomak.Najjednostavniji nain dobivanja tih signala u radnom prostoru je dodavanjeizlaznih prikljuaka (SinksOut1). Sastavljeni model je prikazan na slici.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

48/79

Postavimo li frekvenciju u bloku Sine Wavena neku neodreenu vrijednostwkoju definiramo u radnom prostoru koritenjem naredbe simmoemo pozivatisimulaciju te zatim analizirati dobivene rezultate:

w = 2; ENT> % definiramo frekvenciju pobude sim('sustav') ENT> % pokreemo simulaciju modela 'sustav' whos

ENT> % rezultati simulacije su u varijabli yout Name Size Bytes Class

tout 1000x1 8000 double arrayw 1x1 8 double arrayyout 1000x2 16000 double array


plot(tout,yout)ENT> % crtamo ih

Nakon simuliranja modela u Simulinku dobivamo dvije nove varijable u radnomprostoru touti yout. U varijabli toutsu spremljeni vremenski trenutci, dokse u varijabli youtnalaze vrijednosti izlaznih signala. Pri tom je yout(:,1)ulazni signal, a yout(:,2) izlazni signal jer smo tako postavili prikljunice.Nacrtajmo dobivene signale za sustav 1

1( )

sH s += pri frekvenciji = 2. Iz slike

jasno vidimo prijelaznu pojavu te stacionarno stanje. Odreivanjem odnosaamplituda te vremenskog razmaka izmeu prolazaka kroz nulu moemo odreditipojaanje i fazni pomak.

harmonijskapobuda

(amplituda jejedinina, afrekvencijuodabiremo

programski)

izlazniprikljuak(varijabla u koju jespremljen rezultat jeyout(:,2))

prijelaznapojava

stacionarnostanje(ono je odreenofrekvencijskomkarakteristikom)

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

49/79

Kako e raunalo izmjeriti amplitudnu i faznu karakteristiku? Kako znamokolika je pobudna frekvencija (varijabla w) na temelju vremenskih trenutakaspremljenih u varijablu toutmoemo odabrati samo jedan period signala, i to

onaj s kraja snimljenog simuliranog signala koji odgovara upravo stacionarnomstanju. Amplitudnu karakteristiku odreujemo kao omjer maksimalnihvrijednosti ulaznog i izlaznog signala 17 . Faznu karakteristiku odreujemo izudaljenosti prolazaka kroz nulu (ili udaljenosti maksimuma, ili pak udaljenostiminimuma). Prisjetite se da vrijeme jednog perioda signala odgovara kutu od 2,a vremenski razmak izmeu istih toaka na ulaznom i izlaznom signalu faznompomaku. Mnoenjem oitanog vremensko razmaka s varijablom w odmahdobivamo fazni pomak.

Sada je samo potrebno napisati MATLAB skriptu koja mijenja frekvencije terauna pojaanje i fazni pomak. Pseudokod potrebne mskripte bi bio:

1. ws = linspace(w1, w2);

% moete korisiti i logaritamsku skalu2. for i = 1 : length(ws)

3.

w = ws(i);

% postavljamo frekvenciju4.

sim('model'); % pokreemo simulaciju5.

n = length(tout);6.

T = 2*pi/w;7.

j = find(tout>tout(n)-T); % odabiremo zadnji period8.

A(i) = ... % raunanje amplitude iz yout(j,2)9.

phi(i) = ... % raunanje faznog pomaka iz yout i tout

10. end

11. plot(ws, A); % crtamo amplitudnu karakteristikuDa bi rezultati bili ispravni morate jo podesiti parametre simulacije tako dasimulacija traje znaajno dulje i od perioda najsporije pobude i od vremenske

konstante pola najblieg ishoditu kompleksne ravnine.

17Primijetite da ako odaberemo jedininu amplitudu omjer nije potrebno raunati, vejedovoljno samo oitati amplitudu izlaznog signala.

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

50/79

7.

Vjeba 7. Nelinearni kontinuirani sustav

(bistabil)7.1.

PripremaProitajte poglavlje 4.5. Nelinearan sustav iz skripte Signali i sustavi

koju moete pronai na WWW stranicama predmeta (http://sis.zesoi.fer.hr/). IzZbirke rijeenih zadataka iz signala i sustava proitajte poglavlja 3.3.Aproksimacija U/I karakteristike linearnim segmentima i 7. Nelinearnisustavi (http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe/pdf/sis_zbirka_20040914.pdf).

7.2.

Blokovi potrebni za simulaciju

7.2.1.Funkcijski blok pragFunkcijski blok prag proputa signal samo kada je on vei od nule i odreen

je izrazom

.( ), ( ) 0

( )0, inae

x t x ty t

>=

Moemo ga jednostavno konstruirati koristei apsolutnu vrijednost realizacijomizraza

( )1( ) ( ) ( )2

y t x t x t= + .

Zadatak1. Realizirajte funkcijski blok prag u Simulinku.

za crtanje maskemoete koristitinaredbuplot([0 2 4],

[0 0 2])
http://sis.zesoi.fer.hr/http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe/pdf/sis_zbirka_20040914.pdfhttp://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe/pdf/sis_zbirka_20040914.pdfhttp://sis.zesoi.fer.hr/

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

51/79

7.2.2.

Nelinearnost za povratnu granuNelinearnost za povratnu granu je odreena izrazom

2, 1

( ) , 1 1

2, 1

x x

f x x x

x x

+

= <

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

52/79

7.3.

BistabilNelinearni sustav prvog reda kojemu je povratna grana nelinearna

karakteristika realiziranu u zadatku dva ima dva stabilna stanja (bistabil).

Zadaci3.

Realizirajte zadani nelinearni sustav u Simulinku. Pobuda sustava e bitiimpulsi stalne amplitude i promjenjivog trajanja koje moete definiratiunutar bloka Signal Builder.

4. Snimite impuls na ulazu i odziv sustava te trajektorije y' =f(y) i y=f(y').Neka je amplituda ulaznog impulsa U= 1.5 V a trajanje Tneka poprimavrijednosti 0,8, 2,16, 2,24, 4,8i 20(dakle simulirate pet razliitih situacijagdje je trajanje pojedinog pobudnog impulsa iz zadanog skupa). Poetnostanje integratora postavite u 2. Prilikom simulacije postavite boljurelativnu toleranciju da bi dobili ispravne rezultate (za ode45tolerancijanajvie 106).

5.

Opiite ponaanje modeliranog sustava ako drimo trajanje pobudnogimpulsa stalnim, a mijenjamo mu amplitudu!

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

53/79

8.

Vjeba 8. Frekvencijska analiza vremenski

kontinuiranih signala8.1.

PripremaProitajte biljeke s predavanja Frekvencijska analiza vremenski

kontinuiranih signala koje moete pronai na WWW stranicama predmeta(http://sis.zesoi.fer.hr/).

Proitajte dio o simbolikoj matematici u MATLAB-u iz Kratkih uputa zakoritenje MATLAB-a koje se mogu pronai na WWW stranicama predmeta(http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatci).

Pripremni zadatak1. Odredite rastav u Fourierov red signala

x1(t) = 220cos(100t)

i signala

x2(t) = 220cos(100t) + 50cos(300t + /3).

8.2.Fourierov redFourierov red se koristi za prikaz periodikih kontinuiranih signala i odreen

je izrazima

1[ ] ( )

( ) [ ]

P

P

P

j kt

TP

j kt

k

X k x t eT

x t X k e

+

=

=

=

dt

.

Pri tome je TPperiod signala, dok je Pkruna frekvencija povezana s periodompreko izraza 2/TP= P. Primjer rastava periodikog signala u Fourierov red danje na slici.
http://sis.zesoi.fer.hr/http://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatcihttp://sis.zesoi.fer.hr/vjezbe.html#dodatcihttp://sis.zesoi.fer.hr/

7/25/2019 Upute Za Vjezbe 20060509

54/79

Za odreivanje Fourierovog reda u MATLAB-u koristimo Symbolic Toolbox. syms t Tp k ENT> % potrebne varijable int(1*exp(-2*pi*j/Tp*t*k),-Tp/4,Tp/4)/Tp ENT> % integracija

ans =

1/2*i*(exp(-1/2*i*pi*k)-exp(1/2*i*pi*k))/pi/k

pretty(simplify(ans)) ENT> % uljepavanje rezultata

sin(1/2 pi k)-------------

pi k

Zadatak1. Koristei MATLAB odredite rastav u Fourierov red signala

x1(t) = 220cos(100t)i signala

x2(t) = 220cos(100t) + 50cos(300t + /3).

Interpretirajte dobivene spektre.

8.2.1.

Gustoa spektra snagePeriodiki kontinuirani signali imaju beskonanu energiju i konanu srednju

snagu. tovie, ka

upute za vjezbe 20060509

Documents