uΜ ετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία Δικτύων Το...

http://users.uom.gr/~acg 1

UΜΜεεττάάββαασσηη ααππόό ττοονν ΓΓΠΠ σσττηη ΘΘεεωωρρίίαα ΔΔιικκττύύωωνν UΤΤοο ππρρόόββλληημμαα ΜΜεεττααφφοορράάςς ((TTrraannssppoorrttaattiioonn pprroobblleemm))

UΗΗ ««ΜΜαακκεεδδοοννιικκήή ΕΕττααιιρρεείίαα ΑΑννααψψυυκκττιικκώώνν ΑΑ..ΕΕ..»»

Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης

Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες

Μεγάλες ποσότητες (κιβώτια) αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα

σε τέσσερις πόλεις - κέντρα διανομής στην υπόλοιπη χώρα

Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την

απόσταση, το χρόνο, τα καύσιμα και τη συντήρηση των οχημάτων, τα διόδια, το κόστος ασφάλισης, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ


Tα δεδομένα του προβλήματος

Προέλευση Προορισμός

Προσφορά Πόλη 1 Πόλη 2 Πόλη 3 Πόλη 4 Εργοστάσιο 1 10 5 5 6 350 Εργοστάσιο 2 9 7 6 7 450 Εργοστάσιο 3 5 9 6 5 400

Ζήτηση 450 200 350 200 1.200

Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά) Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση) Ισορροπημένο και μη ισορροπημένο πρόβλημα


UΣτόχοςU: να εντοπιστεί το άριστο σχέδιο μεταφοράς δηλαδή εκείνο ελαχίστου συνολικού κόστους, ώστε να

ικανοποιείται η ζήτηση κάθε πόλης

Με βάση τα παραπάνω δεδομένα:

ΤΤιι κκααθθοορρίίζζεειι ττεελλιικκάά ττοο σσυυννοολλιικκόό κκόόσσττοοςς μμεεττααφφοορράάςς ????


Το γραμμικό μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς UΜεταβλητές απόφασης:

Xij = τα κιβώτια που αποστέλλονται από το εργοστάσιο i στην πόλη j.


Αντικειμενική συνάρτηση

Minimize z=

14131211 65510 xxxx +

24232221 7679 xxxx +

34333231 5695 xxxx


Περιορισμοί:

Uτης Προσφοράς:

1) 35014131211 xxxx

2) 45024232221 xxxx

3) 40034333231 xxxx

= αν είναι ισορροπημένο


Uτης Ζήτησης:

1) 450312111 xxx

2) 200322212 xxx

3) 350332313 xxx

4) 200342414 xxx

για 3,2,1i και 4,3,2,1j και 0ijx


UΓΓεεννιικκήή μμοορρφφήή ππρροοββλλήήμμααττοοςς μμεεττααφφοορράάςς


ΙΙσσοορρρροοππηημμέέννοο ΠΠρρόόββλληημμαα

1 1

m n

i ji j

s d

συνολική προφορά = συνολική ζήτηση

Δηλαδή, όταν η συνολική προσφορά είναι ίση με τη συνολική ζήτηση, οι περιορισμοί της προσφοράς παίρνουν (ούτως ή

άλλως) τη μορφή ισότητας.


UΤο πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης


Επίλυση με τη μέθοδο simplex


ΗΗ άάρριισσττηη λλύύσσηη μμεε ττηη μμέέθθοοδδοο ssiimmpplleexx::


Τα βασικά βήματα της μεθόδου μεταφοράς Βήμα 1ο. Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης

(αρχικό βασικό εφικτό σχέδιο μεταφοράς) Βήμα 2ο. Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού (αριστότητας). Αν είναι

αληθές, τότε βρέθηκε η βέλτιστη λύση (δηλαδή, το άριστο σχέδιο μεταφοράς), διαφορετικά: συνέχισε στο Βήμα 3.

Βήμα 3ο. Βρες ένα καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (κάνε ανακατανομή των εκχωρήσεων). Επιστροφή στο Βήμα 2

Σημαντική σημείωση: Πρώτα πρέπει να ισορροπείται !


Ο Πίνακας Μεταφοράς


Βήμα 1ο – Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης α’ τρόπος) η μέθοδος της βορειοδυτικής γωνίας (ισορροπημένο)

Βήμα 1. Εκχωρούμε στο βορειοδυτικό κελί τη μέγιστη δυνατή ποσότητα ανάλογα με την προσφορά και τη ζήτηση της αντίστοιχης σειράς ή στήλης. Προσαρμόζουμε κατάλληλα την προσφορά της σειράς και τη ζήτηση της στήλης.

Βήμα 2. Διαγράφουμε, είτε τη σειρά της οποίας η προσφορά έχει εξαντληθεί, είτε τη στήλη της οποίας η ζήτηση έχει ικανοποιηθεί.

Βήμα 3. Έχουν εξαντληθεί όλες προσφορές και ικανοποιηθεί όλες οι ζητήσεις; Αν Ναι, τότε βρέθηκε αρχική βασική εφικτή λύση (ΤΕΛΟΣ), διαφορετικά: Επανέλαβε από το Βήμα 1.


Εφαρμογή της μεθόδου της ΒΔ στο παράδειγμα

Δηλαδή X11 = 350

Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (ΒΔΓ)



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (ΒΔΓ)



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (ΒΔΓ)



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τέταρτη εκχώρηση (ΒΔΓ)



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πέμπτη εκχώρηση (ΒΔΓ)



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την έκτη και τελευταία εκχώρηση (ΒΔΓ)


Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = 8900 (βέλτιστο?)

Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση (ΒΔΓ)


Βήμα 1ο (ξανά) Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (β’ τρόπος) η μέθοδος Vogel (ισορροπημένο)

Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις λεγόμενες «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας το μικρότερο κόστος από το αμέσως μεγαλύτερό ή ίσο του .

Βήμα 2. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο

στο κελί με το μικρότερο μοναδιαίο κόστος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη.



Εφαρμογή της μεθόδου Vogel Δηλαδή Χ31 = 400

Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την πρώτη εκχώρηση (Vogel)


Δηλαδή Χ12 = 200

Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση (Vogel)


Δηλαδή Χ13 = 150

150

Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη εκχώρηση (Vogel)


Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6800 (βέλτιστο??)

Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τις τελευταίες εκχωρήσεις


Τα βασικά βήματα της μεθόδου μεταφοράς Βήμα 1ο. Διαμόρφωση μίας αρχικής βασικής εφικτής λύσης

(αρχικό βασικό εφικτό σχέδιο μεταφοράς) Βήμα 2ο. Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού (αριστότητας). Αν είναι

αληθές, τότε βρέθηκε η βέλτιστη λύση (δηλαδή, το άριστο σχέδιο μεταφοράς), διαφορετικά: συνέχισε στο Βήμα 3.

Βήμα 3ο. Βρες ένα καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (κάνε ανακατανομή των εκχωρήσεων). Επιστροφή στο Βήμα 2

Σημαντική σημείωση: Πρώτα πρέπει να ισορροπείται !


ΤΤοο κκύύρριιοο ττμμήήμμαα ττηηςς μμεεθθόόδδοουυ μμεεττααφφοορράάςς ΒΒήήμμαα 22οο κκααιι ΒΒήήμμαα 33οο Έλεγχος αριστότητας και διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (Βήμα 2ο και Βήμα 3ο) (Modified Distribution method – MODΙ)

1. Πώς επιλέγεται το εισερχόμενο κελί;

2. Πώς επιλέγεται το εξερχόμενο κελί;

3. Πώς γίνεται η ανακατανομή των εκχωρήσεων;


Έλεγχος τερματισμού και επιλογή εισερχόμενου κελιού 1. Υπολογίζουμε για κάθε σειρά τις βοηθητικές τιμές ui, και για κάθε στήλη

τις τιμές vj ΠΩΣ ?? 2. Επιλύοντας ένα σύστημα εξισώσεων: ui + vj = cij για όλα τα

κατειλημμένα κελιά (και θέτοντας u1 = 0) 2. Υπολογίζουμε τα κόστη ευκαιρίας eij = cij - ui - vj για όλα τα κενά κελιά

(δηλαδή για όλες τις μη βασικές μεταβλητές) 3. Ελέγχουμε πρώτα το κριτήριο τερματισμούΔηλαδή: Αν όλα τα eij είναι μη αρνητικά, τότε εντοπίστηκε το άριστο σχέδιο

(ΤΕΛΟΣ), αλλιώς συνεχίζουμε στο επόμενο βήμα: 4. Επιλέγουμε το μικρότερο (αρνητικό) eij το οποίο καθορίζει την

εισερχόμενη μεταβλητή (δηλαδή το εισερχόμενο κελί-φορτίο). Αν υπάρχουν ισοβαθμίσεις, επιλέγουμε αυθαίρετα.


Αρχικό συνολικό κόστος μεταφοράς = 8900

UΕφαρμογή στο παράδειγμα (αρχική λύση με ΒΔΓ) Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση


Το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος

1. u1 + v1 = 10 2. u2 + v1 = 9 3. u2 + v2 = 7 4. u2 + v3 = 6 5. u3 + v3 = 6 6. u3 + v4 = 5

To σύστημα αποτελείται από 7 αγνώστους και 6 εξισώσεις


Επίλυση του συστήματος Θέτοντας u1 = 0 έχουμε διαδοχικά ότι:

v1 = 10, u2 = -1, v2 = 8, v3 = 7, u3 = -1, v4 =6 Οπότε: τα κόστη ευκαιρίας είναι:

211212 vuce = 5 – 0 – 8 = -3

311313 vuce = 5 – 0 – 7 = -2

411414 vuce = 6 – 0 – 6 = 0

422424 vuce = 7 – (-1) – 6 = 2

133131 vuce = 5 – (-1) - 10 = -4


233232 vuce = 9 – (-1) - 8 = 2

UΟ Πίνακας Μεταφοράς με τα κόστη ευκαιρίας


Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων 1. Ξεκινάμε από το εισερχόμενο κελί που έχει ήδη επιλεγεί.

Κατασκευάζουμε ένα κλειστό μονοπάτι που ξεκινά από το

εισερχόμενο κελί και καταλήγει πίσω σε αυτό, εκτελώντας

άλματα: μόνο σε κατειλημμένα κελιά, μία μόνο φορά σε κάποια σειρά ή στήλη και όχι διαγώνια.

2. Το εισερχόμενο κελί σημαίνεται ως «+». Τοποθετούμε

διαδοχικά «-» και «+» στα υπόλοιπα κελιά που απαρτίζουν το μονοπάτι (τα κελιά «+» παίρνουν φορτίο τα κελιά «-» χάνουν

φορτίο). http://users.uom.gr/~acg 36

Εισερχόμενο κελί Εξερχόμενο κελί

Ο Πίνακας Μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής


Συνέχεια της διαδικασίας 3. Επιλέγουμε το κελί με τη μικρότερη τρέχουσα εκχώρηση μεταξύ

αυτών που έχουν σημανθεί με «-». Αυτό το κελί είναι το εξερχόμενο και δίνει όλη την ποσότητά του στο εισερχόμενο κελί. Σε περίπτωση ισοβάθμισης επιλέγουμε αυθαίρετα (οδηγεί σε εκφυλισμένη λύση, δηλαδή λύση με κάποια βασική μεταβλητή ίση με μηδέν).

4. Στα κελιά του μονοπατιού με σήμανση «+» προσθέτουμε την ποσότητα του εξερχόμενου κελιού και από τα κελιά με σήμανση «-» αφαιρούμε την ποσότητα αυτή. Η λύση που προκύπτει είναι ένα νέο, καλύτερο σχέδιο μεταφοράς (δηλαδή με μικρότερο συνολικό κόστος).


U Η νέα βασική εφικτή λύση (τέλος πρώτης επανάληψης)


Συνολικό κόστος τρέχουσας λύσης (μετά την πρώτη επανάληψη)

= Ζ= 35010 + 2007 + 2506 + 1005 + 1006 + 2005 = 8500

Δηλαδή, έχουμε βελτίωση 400 μονάδων (πως ?) Με βάση το αποτέλεσμα της simplex (σελ.11)

(Που υποτίθεται ότι δεν γνωρίζουμε)

είναι η άριστη τιμή του κόστους??


Είναι η βέλτιστη λύση ?

UΔεύτερη επανάληψη, υπολογισμός για τα κόστη ευκαιρίας


UΔεύτερη επανάληψη, το μονοπάτι ανακατανομής


Συνολικό Κόστος = 7800 χμ, μείωση 700 χμ

UΟλοκλήρωση δεύτερης επανάληψης


Συνολικό κόστος = 6800 μονάδες (είναι η άριστη ?)

UΜετά από πέντε επαναλήψεις ()


Εντοπισμός Εναλλακτικής άριστης Λύσης UΑνακατανομή των εκχωρήσεων στο κελί Ε1-Π4


UΗ Εναλλακτική άριστη λύση (Συνολικό κόστος = 6800)

Κόστος ευκαιρίας στο κελί Ε1-Π3 ? http://users.uom.gr/~acg 46

Μη ισορροπημένα προβλήματα

α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά

προσθήκη εικονικής προέλευσης

(δηλαδή προσφοράς σειράς) β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη εικονικού προορισμού (δηλαδή ζήτησης στήλης)


Παράδειγμα: Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα 400 κιβώτια (+50)



UΗ αρχική λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogel)



Εκφυλισμένες λύσεις

Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή.

Δηλαδή, οι μη μηδενικές μεταβλητές είναι λιγότερες από n+m-1

Προκαλείται πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων κατά τη φάση της επίλυσης

Θεραπεία: Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή, όπως οι υπόλοιπες βασικές.


Δύο περιπτώσεις εμφάνισης εκφυλισμένης λύσης 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα

μεταφοράς (π.χ. με τη μέθοδο ΒΔΓ), όταν η προσφορά

και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο εκχώρησης είναι ίσες. 2. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του

κύριου τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού.


Παράδειγμα - Περίπτωση 1: Θέτουμε τη ζήτηση της πόλης Π2=350 και της Π3= 200



Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά τη δεύτερη εκχώρηση


Ο Πίνακας Μεταφοράς με την μηδενική βασική μεταβλητή


Παράδειγμα - Περίπτωση 2: Μείωση της προσφοράς του Ε3 κατά 100 (Ε3= 300)



Ο Πίνακας Μεταφοράς με την αρχική βασική εφικτή λύση


Τρίτη επανάληψη της μεθόδου μεταφοράς


Ο Πίνακας Μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη της μεθόδου


Η βέλτιστη λύση του προβλήματος με την εκφυλισμένη ενδιάμεση λύση


Άλλες Ειδικές Καταστάσεις (1) 1. Μεγιστοποίηση Μετατροπή της διαδικασίας εύρεσης αρχικής βασικής εφικτής

λύσης (αν χρειάζεται)

Μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχόμενου κελιού (επιλέγεται εκείνο με το μεγαλύτερο θετικό κόστος ευκαιρίας)

Μετατροπή του κριτηρίου αριστότητας (η διαδικασία

ολοκληρώνεται όταν δεν υπάρχουν θετικά κόστη ευκαιρίας)


Εύρεση της αρχικής εφικτής λύσης στη μεγιστοποίηση

Με τη μέθοδο της Βορειοδυτικής γωνίας δεν υπάρχει διαφορά στη διαδικασία

Με τη μέθοδο Vogel όμως ? Ακολουθεί το παράδειγμα της «Μακεδονικής», ως πρόβλημα μεγιστοποίησης, με το πρώτο βήμα (εύρεση αρχικής λύσης) με τη μέθοδο Vogel


Η μέθοδος Vogel στη μεγιστοποίηση

Βήμα 1. Υπολογίζουμε τις «διαφορές» σε κάθε σειρά και στήλη, αφαιρώντας από το μεγαλύτερο κέρδος το αμέσως μικρότερο ή ίσο του.

Βήμα 2. Επιλέγουμε τη σειρά ή τη στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά. Βήμα 3. Στη συγκεκριμένη σειρά ή στήλη εκχωρούμε το μεγαλύτερο δυνατό φορτίο

στο κελί με το μεγαλύτερο μοναδιαίο κέρδος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος. Ακολούθως, αναπροσαρμόζουμε τη ζήτηση του προορισμού, την προσφορά της πηγής και διαγράφουμε αναλόγως τη σειρά ή τη στήλη.



Εφαρμογή της μεθόδου Vogel στη μεγιστοποίηση (1)

Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply Διαφορές

Ε1 350 350 0

4

Ε2 450 2

Ε3 400 3

Demand 450 100

200 350 200 1200

Διαφορές 1 2 0 1

10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6


Εφαρμογή της μεθόδου Vogel στη μεγιστοποίηση (2)

Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply Διαφορές

Ε1 350 350 0

4

Ε2 100 450 350

2, 2

Ε3 400 3, 3

Demand 450 100 0

200 350 200 1200

Διαφορές 1, 4 2, 2 0, 0 1, 2

10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6


Εφαρμογή της μεθόδου Vogel στη μεγιστοποίηση (3) Προορισμός

Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply Διαφορές Ε1 350 350

0 4

Ε2 100 450 350

2, 2, 0

Ε3 200 400 200

3, 3, 3

Demand 450 100 0

200 0

350 200 1200

Διαφορές 1, 4 2, 2, 2 0, 0, 0 1, 2, 2

10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6




0 4

Ε2 100 200 450 350 150

2, 2, 0, 1

Ε3 200 400 200

3, 3, 3, 1

Demand 450 100 0

200 0

350 200 0

1200

Διαφορές 1, 4 2, 2, 2 0, 0, 0, 0 1, 2, 2, 2

10 5 5

9 7 7

5 9

5

6

6

6




0 4

Ε2 100 150 200 450 350

150, 0

2, 2, 0, 1

Ε3 200 200 400 200, 0

3, 3, 3, 1

Demand 450 100 0

200 0

350 0

200 0

1200

Διαφορές 1, 4 2, 2, 2 0, 0, 0, 0 1, 2, 2, 2

10 5 5

9 7 7

5 9

5

6

6

6


Συνολικό κέρδος = 350*10+100*9+150*6+200*7+200*9+200*6 = 9700 Είναι Βέλτιστη ;

200 350

Αρχική λύση με Vogel (πρόβλημα μεγιστοποίησης)

-5 -2 -2

-2

-2 -4


Ξανά το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply

Ε1 350 350

Ε2 100 200 150 450

Ε3 200 200 400

Demand 450 200 350 200 1200

Συνολικό Κέρδος = 8900

10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6 2

-3 0

-4 2

-

+

+

-

-2


Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ (2) Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply

Ε1 350 350

Ε2 100 200 150 450

Ε3 350 50 400

Demand 450 200 350 200 1200


10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6

4 -2

-2

-3 -2 -2

+

+

-

-


Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ (3)

Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply

Ε1 350 350

Ε2 100 150 200 450

Ε3 50 350 400

Demand 450 200 350 200 1200


10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6

-6

2

-3 0 -2

+

+ -

- -4


Το παράδειγμα μεγιστοποίησης, ξεκινώντας με ΒΔΓ (4)

Προορισμός Προέλευση Π1 Π2 Π3 Π4 Supply

Ε1 350 350

Ε2 100 150 200 450

Ε3 200 200 400

Demand 450 200 350 200 1200

Συνολικό Κέρδος = 9700 Είναι βέλτιστη;

10 5 5

9 7 7

5 9 5

6

6

6

-4

-5 -2 -2

-2

-2


Άλλες Ειδικές Καταστάσεις (2) 2. Αποκλεισμός διαδρομών

Σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης θέτουμε το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς του αντίστοιχου κελιού ίσο με άπειρο, δηλαδή ίσο με Μ.

Σε πρόβλημα μεγιστοποίησης, θέτουμε ως μοναδιαίο κέρδος μεταφοράς το –Μ.


UΥπενθύμιση, η άριστη λύση (κόστος 6800)


Παράδειγμα: η άριστη λύση με αποκλεισμό του Ε3-Π1

Νέο Κόστος: 010+2005+1505+4509+2006+2005 = 8000 (> 6800) ?

200 350

Ο Πίνακας Μεταφοράς της βέλτιστης με αποκλεισμό κελιού


Γενικό Παράδειγμα 1: από τη Διοίκηση Παραγωγής Μία αλυσίδα αρτοποιείων τροφοδοτεί χώρους μαζικής εστίασης. Η

παραγωγή λαμβάνει χώρα σε τρεις εγκαταστάσεις Φ1, Φ2 και Φ3, με ημερήσια δυναμικότητα 5000, 5000, και 10000 κιλά αντιστοίχως και απορροφάται από τέσσερις πελάτες Π1, Π2, Π3 και Π4. Το κόστος πρώτων υλών, εργασίας κλπ για ένα κιλό ψωμί είναι

160χμ. Άλλα κόστη (π.χ. πάγια έξοδα) επιβαρύνουν κάθε κιλό προϊόντος προς 10, 15 και 20 χμ αντιστοίχως για Φ1, Φ2, Φ3. Το προϊόν μεταφέρεται στους πελάτες με ιδιόκτητα οχήματα της

επιχείρησης. Όλες οι απαιτούμενες μεταφορές επιβαρύνουν το κόστος κάθε τεμαχίου άρτου με τις τιμές του ακόλουθου πίνακα ανάλογα με τον πελάτη στον οποίο καταλήγει.


Δεδομένα του γενικού παραδείγματος 1

Κόστη σχετικά με τη διανομή προϊόντων (χρηματικές μονάδες ανά τεμάχιο προϊόντος που διανέμεται)

Π1 Π2 Π3 Π4 Φ1 10 10 15 10 Φ2 15 10 10 15 Φ3 5 5 5 10


Άλλα στοιχεία του προβλήματος Η (χονδρική) τιμή πώλησης του προϊόντος είναι διαφορετική για

κάθε πελάτη, ανάλογα με τη σύμβαση και ανέρχεται στις 240χμ για τον Π1, 260χμ για το Π2, 250χμ για τον Π3 και 250χμ για τον Π4 (τιμές ανά τεμάχιο).

Οι καθημερινές απαιτήσεις των πελατών είναι κατά μέσο όρο οι εξής: Π1:5000, Π2:4000, Π3:7000 και Π4:5000 (κιλά άρτου).

Η εγκατάσταση Φ2 δεν αποστέλλει στον πελάτη Π3 λόγω διαφωνίας που προέκυψε μεταξύ των διοικήσεων των δύο εταιρειών.

Αφού εντοπίσετε το πρόβλημα που καλείται να λύσει η επιχείρηση να εφαρμόσετε τη μέθοδο μεταφοράς για να βρείτε την άριστη λύση.


Υπολογισμός περιθωρίου κέρδους για κάθε περίπτωση παραγωγής και ικανοποίησης της ζήτησης

Π1 Π2 Π3 Π4

Φ1 240-160-10-10=60 260-160-10-10=80 250-160-10-15=65 250-160-10-10=70

Φ2 240-160-15-15=50 260-160-15-10=75 250-160-15-10=65 250-160-15-15=60

Φ3 240-160-20-5=55 260-160-20-5=75 250-160-20-5=65 250-160-20-10=60

UΥπολογισμοί περιθωρίου κέρδους


UΑρχικός πίνακας μεταφοράς (ΒΔΓ)


Σύστημα u1=0 u1 + v1 = 60 u1 + v2 =80 u2 + v2 = 75 u2 + v3 = -M u3 + v3 = 65 u3 + v4 = 60 u4 + v4 = 0

Δηλαδή:

u1=0 v1 = 60 v2 =80 u2 = -5 v3 = -M+5 u3 = M+60 v4 = -M u4 = Μ


Υπολογισμός κόστους ευκαιρίας

311313 vuce = 65 – 0 – (-M+5) := M

411414 vuce = 70 – 0 – (-M) := M

122121 vuce = 50 – (-5) – 60 = -5

422424 vuce = 60 – (-5) – (-M) := M

133131 vuce = 55 – M – 60 := -M

233232 vuce = 75 – M – 80 := -M

144141 vuce = 0 – M – 60 := -M

244242 vuce = 0 – M –80 := -M

344343 vuce = 0 – M – (-M+5) = -5


UΑρχικός πίνακας μεταφοράς με το μονοπάτι ανακατανομής


Συνολικό κέρδος = 1.320.000

UΜετά από έξι επαναλήψεις (βέλτιστη λύση)


Γενικό Παράδειγμα 2

Η «Snowmobil Ltd» επιθυμεί να στείλει παλέτες με πέδιλα του σκι από τα δύο εργοστάσιά της (Ε1 και Ε2) σε τρεις αποθήκες – κέντρα διανομής (Α1, Α2 και Α3). Η προσφορά των εργοστασίων Ε1 και Ε2 είναι 20 και 15 παλέτες αντίστοιχα, ενώ, η ζήτηση στις τρεις αποθήκες ανέρχεται σε 10, 25 και 15 παλέτες, αντίστοιχα. Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς (χρ. μονάδες) μίας παλέτας, από κάθε εργοστάσιο προς κάθε κέντρο διανομής.

Α1 Α2 Α3 Ε1 8 7 6 Ε2 5 9 4

Ποιο πρόβλημα αντιμετωπίζει η επιχείρηση; Ξεκινήστε με τη μέθοδο Vogel για να το επιλύσετε. Αν υπάρχει εναλλακτική λύση να την εντοπίσετε.


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -1) Εφαρμογή της μεθόδου Vogel, πρώτα εξισορροπείται

Προορισμός Προέλευση Α1 Α2 Α3 Supply Διαφορές

Ε1 20 1

Ε2 15 1

Dummy 15 15 0

0

Demand 10 25 10

15 50

Διαφορές 5 7 4

8 7 6

5 9 4

0 0 0


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -2) Εφαρμογή της μεθόδου Vogel Α1 Α2 Α3 Supply Διαφορές

Ε1 20 1, 1

Ε2 10 15 5

1, 1

Dummy 15 15 0

0

Demand 10 0

25 10

15 50

Διαφορές 5 3

7 2

4 2

8 7 6

5 9 4

0 0 0


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -3) Εφαρμογή της μεθόδου Vogel

Α1 Α2 Α3 Supply Διαφορές Ε1 20 1, 1, 1

Ε2 10 5 15 5 0

1, 1, 5

Dummy 15 15 0

0

Demand 10 0

25 10

15 10

50


7 2 2

4 2 2

8 7 6

5 9 4

0 0 0


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -4) Ολοκλήρωση της μεθόδου Vogel (τετριμμένο τελικό στάδιο)

Α1 Α2 Α3 Supply Διαφορές Ε1 10 10 20

0 1, 1, 1

Ε2 10 5 15 5 0

1, 1, 5

Dummy 15 15 0

0

Demand 10 0

25 10 0

15 10 0

50


7 2 2

4 2 2

8 7 6

5 9 4

0 0 0


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -5) Αρχική βασική εφικτή λύση (βρέθηκε με τη μέθοδο Vogel)

Α1 Α2 Α3 Supply ui Ε1 10 10 20 0

Ε2 10 5 15 -2

Dummy 15 15 -7

Demand 10 25 15 50

vj 7 7 6

Κόστος της αρχικής λύσης = 10*7 + 10*6 + 10*5 + 5*4 + 15*0 = 200 χ.μ. Ακολουθεί ο έλεγχος αριστότητας

8 7 6

5 9 4

0 0 0

1

4

0 1


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση -6)

Υπολογισμός των ui και vj (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα)

u1=0 u1 + v2 = 7 v2 = 7 u1 + v3 = 6 v3 = 6 u2 + v1 = 5 v1 = 7 u2 + v3 = 4 u2 = -2 u3 + v2 = 0 u3 = -7

Υπολογισμός των eij (έχουν ήδη τοποθετηθεί στον προηγούμενο πίνακα)

e11 = 8 – u1 – v1 = 8 – 0 – 7 = 1 e22 = 9 – u2 – v2 = 9 – (-2) – 7 = 4 e31 = 0 – u3 – v1 = 0 – (-7) – 7 = 0 e33 = 0 – u3 – v3 = 0 – (-7) – 6 = 1

ΔΔεενν υυππάάρρχχοουυνν ααρρννηηττιικκάά κκόόσσττηη εευυκκααιιρρίίααςς ((οοππόόττεε ;;;;))

??


Γενικό Παράδειγμα 2 (επίλυση –ανακεφαλαίωση) ΔΔεενν υυππάάρρχχοουυνν ααρρννηηττιικκάά κκόόσσττηη εευυκκααιιρρίίααςς ββρρέέθθηηκκεε ηη άάρριισσττηη λλύύσσηη

ΔΔεενν χχρρεειιάάσσττηηκκεε νναα ππρροοχχωωρρήήσσοουυμμεε σσττηη δδιιααδδιικκαασσίίαα MMOODDII ααφφοούύ ηη ααρρχχιικκήή λλύύσσηη πποουυ ββρρέέθθηηκκεε μμεε ττηη μμέέθθοοδδοο VVooggeell ήήτταανν άάρριισσττηη

ΤΤοο κκόόσσττοοςς ττηηςς άάρριισσττηηςς λλύύσσηηςς ααννέέρρχχεεττααιι σσεε 220000 χχ..μμ..

ΥΥππάάρρχχεειι έένναα μμηηδδεεννιικκόό κκόόσσττοοςς εευυκκααιιρρίίααςς εεννααλλλλαακκττιικκήή άάρριισσττηη λλύύσσηη

ΓΓιιαα νναα ββρρεεθθεείί ηη εεννααλλλλαακκττιικκήή άάρριισσττηη λλύύσσηη,, εεκκττεελλοούύμμεε αανναακκααττααννοομμήή ττωωνν εεκκχχωωρρήήσσεεωωνν ββρρίίσσκκοοννττααςς ττοο κκααττάάλλλληηλλοο μμοοννοοππάάττιι αανναακκααττααννοομμήήςς γγιιαα ττοο κκεελλίί DDuummmmyy –– AA11 ((ee3311 == 00))


Γενικό Παράδειγμα 2 (εύρεση εναλλακτικής λύσης)

Α1 Α2 Α3 Supply Ε1 10 10 20

Ε2 10 5 15

Dummy 15 15

Demand 10 25 15 50

Ανακατανέμονται 10 παλέτες (το μικρότερο φορτίο με σήμανση «–»)

8 7 6

5 9 4

0 0 0 + -

+ -

+ -


Γενικό Παράδειγμα 2 (η εναλλακτική άριστη λύση)

Α1 Α2 Α3 Supply Ε1 20 0 20

Ε2 15 15

Dummy 10 5 15

Demand 10 25 15 50

ΣΣυυννοολλιικκόό κκόόσσττοοςς == 2200**77 ++ 00**66 ++ 1155**44 ++ 1100**00 ++ 55**00 == 220000 ΗΗ εεννααλλλλαακκττιικκήή εείίννααιι εεκκφφυυλλιισσμμέέννηη ΗΗ μμηηδδεεννιικκήή ββαασσιικκήή μμεεττααββλληηττήή μμπποορρεείί νναα ββρρίίσσκκεεττααιι εείίττεε σσττοο κκεελλίί ΕΕ11--ΑΑ33 εείίττεε σσττοο κκεελλίί ΕΕ22--ΑΑ11

8 7 6

5 9 4

0 0 0


ΤΤοο ππρρόόββλληημμαα ττηηςς εεκκχχώώρρηησσηηςς ((aassssiiggnnmmeenntt pprroobblleemm,, ααννττιισσττοοίίχχηησσηη,, ααννάάθθεεσσηη))

Είναι ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς όπου η προσφορά και η ζήτηση είναι μονάδες

Κατανομή των πόρων με αντιστοιχία ένα προς ένα Ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα Εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης Απαρίθμηση; Σύνηθες Κριτήριο ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου)

ή μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, χρησιμότητας κ.λπ) Ισορροπημένα ή μη ισορροπημένα


Παράδειγμα 1 (εκχώρηση ελεγκτών της «Λογιστική Ε.Π.Ε.»)

Χρόνος διεκπεραίωσης εργασίας Εργασία

Συνεργάτης 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 1. Αλέκος 140 120 200 90 100 195 50 2. Στέφανος 150 120 200 80 90 175 60 3. Ιωάννα 160 110 220 80 85 180 65 4. Αργύρης 130 100 210 70 85 195 65 5. Έλσα 170 125 210 85 100 190 70 6. Σταμάτης 140 130 230 90 95 170 60 7. Κώστας 135 120 240 100 80 160 55 8. Πηνελόπη 165 115 200 95 105 200 75

ΕΕίίννααιι ιισσοορρρροοππηημμέέννοο ((??))


UΤο γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 U

Μεταβλητές απόφασης: Xij = 0 ή 1 δυαδική μεταβλητή (binary) που υποδηλώνει αν ο i συνεργάτης αναλαμβάνει (1) ή δεν αναλαμβάνει (0) την j εργασία.

Αντικειμενική συνάρτηση:

Minimize z= 140Χ11 + 120Χ12 + … + 50Χ17 +

150Χ21 + 120Χ22 + … + 60Χ27 +

………………………………………. + 165Χ81 + 115Χ82 + … + 75Χ87 +


Uμε περιορισμούς

Uτης «Προσφοράς»: 1) Χ11 + Χ12 + Χ13 + Χ14 + Χ15 + Χ16 + Χ17 ≤ 1

2) Χ21 + Χ22 + Χ23 + Χ24 + Χ25 + Χ26 + Χ27 ≤ 1 …………………………………………………………………………

7) Χ71 + Χ72 + Χ73 + Χ74 + Χ75 + Χ76 + Χ77 ≤ 1

8) Χ81 + Χ82 + Χ83 + Χ84 + Χ85 + Χ86 + Χ87 ≤ 1

= αν ήταν ισορροπημένο


Uτης «Ζήτησης»: 1) Χ11 + Χ21 + Χ31 + Χ41 + Χ51 + Χ61 + Χ71 + Χ81 = 1 2) Χ12 + Χ22 + Χ32 + Χ42 + Χ52 + Χ62 + Χ72 + Χ82 = 1

…………………………………………………………………………

6) Χ16 + Χ26 + Χ36 + Χ46 + Χ56 + Χ66 + Χ76 + Χ86 = 1 7) Χ17 + Χ27 + Χ37 + Χ47 + Χ57 + Χ67 + Χ77 + Χ87 = 1

και Χij = 0 ή 1 για i=1,2,…,8 και j=1,2,…7


Το γενικό γραμμικό μοντέλο του προβλήματος εκχώρησης (ισορροπημένο)

m

i

m

jijij xcMinimize

1 1

με περιορισμούς

mix

m

jij ,...,2,1= 1

1

m,...,2,1= 1

1

jxm

iij

0,1, =1,2,..., και =1,2,....,ijx i m j m

μοναδιαίο κόστος εκχώρησης

μία ακριβώς ανάθεση για τον καθένα

κάθε εργασία ανατίθεται σε ακριβώς έναν

πλήθος εργασιών και ατόμων = m


Το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 1 στο WinQSB


Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex


Η άριστη λύση με τoν Ουγγρικό (?) Αλγόριθμο


Παράδειγμα 2 (συγκρότηση ομάδας σκυταλοδρομίας κολύμβησης)

O προπονητής μίας ομάδας κολύμβησης θέλει να συγκροτήσει την ομάδα που θα λάβει μέρος στο αγώνισμα 4x50 μικτή ομαδική ανδρών (σκυταλοδρομία). Έχει στη διάθεσή του 5 αθλητές οι οποίοι είναι γενικά καλοί σε περισσότερα από ένα στυλ κολύμβησης (αν κάθε αθλητής ήταν καλύτερος από κάθε άλλον σε ένα μόνο στυλ τότε δεν θα είχαμε πρόβλημα για να λύσουμε). Στον ακόλουθο πίνακα βλέπετε τους χρόνους των πέντε κολυμβητών (δευτερόλεπτα) για τα 50 μέτρα σε κάθε στυλ κολύμβησης. Ποιοι θα μπουν στην ομάδα σκυταλοδρομίας; Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Παναγιώτης 27,2 32,1 30,4 28,2 Γιώργος 24,4 27,2 25,6 25,1 Νίκος 27,6 31,5 29,5 29,1 Γιάννης 26,1 28,3 30 27,8 Μανώλης 27 30,3 32,3 29,3


H Ουγγρική Μέθοδος (1)

Ο πίνακας κόστους μετατρέπεται σε πίνακα κόστους ευκαιρίας Δεν προσθέτουμε προσφορά ή ζήτηση Υπάρχει ομοιότητα με τη μέθοδο Vogel Στόχος: να βρεθεί πίνακας με ένα (τουλάχιστον) μηδενικό κόστος

ευκαιρίας σε κάθε γραμμή και στήλη (τα οποία μηδενικά να καλύπτονται με γραμμές κάλυψης πλήθους όση και η διάσταση του προβλήματος)

Εφαρμόζεται σε ισορροπημένο πρόβλημα ελαχιστοποίησης


H Ουγγρική Μέθοδος (2)

Βήμα 1ο : Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας Βήμα 2ο: Είναι η τρέχουσα βέλτιστη; Αν όχι συνέχισε, διαφορετικά

πήγαινε στο Βήμα 4. Βήμα 3ο : Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας. Πήγαινε στο Βήμα 2.

Βήμα 4ο : Εντόπισε τη βέλτιστη λύση


H Ουγγρική Μέθοδος (αναλυτικά)

Βήμα 1ο: Κατασκευή του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαίρεσε το μικρότερο κόστος κάθε σειράς από κάθε σειρά. Μετά, κάνε το ίδιο και με κάθε στήλη.

Βήμα 2ο: Έλεγχος αριστότητας: Χάραξε (ελάχιστου πλήθους) γραμμές κάλυψης των μηδενικών. Αν το πλήθος των γραμμών είναι ίσο με τη διάσταση του πίνακα τότε πήγαινε στο Βήμα 4, διαφορετικά συνέχισε.

Βήμα 3ο: Βελτίωση του πίνακα κόστους ευκαιρίας: Αφαιρούμε το μικρότερο μη καλυμμένο στοιχείο από όλα τα μη καλυμμένα στοιχεία του πίνακα και το προσθέτουμε σε όλα τα στοιχεία όπου τέμνονται γραμμές κάλυψης. Πήγαινε στο Βήμα 2.

Βήμα 4ο: Εντοπισμός βέλτιστης λύσης: Στη σειρά ή στήλη που έχει ακριβώς ένα μηδενικό στοιχείο κάνουμε εκχώρηση. Αν δεν υπάρχει σειρά ή στήλη με ένα μηδενικό στοιχείο επιλέγουμε αυτήν με τα λιγότερα μηδενικά. «Διαγράφουμε» τη σειρά και στήλη της εκχώρησης και επαναλαμβάνουμε το Βήμα 4 μέχρι να εξαντληθούν οι εκχωρήσεις.


Παράδειγμα 3 (1)

Τρία συνεργεία αναλαμβάνουν τρεις εργασίες. «Κόστος» οι ημέρες. Πίνακας κόστους των πιθανών εκχωρήσεων

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 7 7 4 Σ2 6 5 5 Σ3 5 8 3


Παράδειγμα 3 (2) Βήμα 1:

Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 3 3 0 Σ2 1 0 0 Σ3 2 5 0

Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 2 3 0 Σ2 0 0 0 Σ3 1 5 0



Γραμμές κάλυψης Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 2 3 0 Σ2 0 0 0 Σ3 1 5 0

2 γραμμές κάλυψης < διάσταση (=3) Συνεχίζουμε στο Βήμα 3, αφαιρώντας και προσθέτοντας κατάλληλα

το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1)



Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1) Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 2 3 0 Σ2 0 0 0 Σ3 1 5 0

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 1 2 0 Σ2 0 0 1 Σ3 0 4 0

Επιστρέφουμε στο Βήμα 2 (γραμμές κάλυψης)

-1 -1 +1 -1 -1




Σ1 1 2 0 Σ2 0 0 1 Σ3 0 4 0

3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3) Συνεχίζουμε στο Βήμα 4 (εντοπισμός άριστης λύσης)



Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1-Ε3 εκχώρηση και διαγραφή Σ1-Ε3 Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 1 2 0 Σ2 0 0 1 Σ3 0 4 0

Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 1 2 0 Σ2 0 0 1 Σ3 0 4 0


Παράδειγμα 3 (7) Βήμα 4 (συνέχεια):

Μοναδικό Μηδενικό στοιχείο: Σ2-Ε2 εκχώρηση και διαγραφή Σ2-Ε2 Εναλλακτικά, μηδενικό στοιχείο Σ3-Ε1 και διαγραφή Σ3-Ε1

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 1 2 0 Σ2 0 0 1 Σ3 0 4 0

Και τελικά απομένει το Σ3-Ε1 στο οποίο γίνεται η τελευταία εκχώρηση.


Παράδειγμα 3 (8) Βήμα 4 (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 7 7 4 Σ2 6 5 5 Σ3 5 8 3

Οπότε οι αναθέσεις είναι Σ1Ε3, Σ2Ε2 και Σ3Ε1 με συνολικό ελάχιστο «κόστος» 5+5+4 = 14 εργάσιμες ημέρες.


Επιστροφή στο Παράδειγμα 2 (1)

Πίνακας χρόνων κολύμβησης: Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Παναγιώτης 27,2 32,1 30,4 28,2 Γιώργος 24,4 27,2 25,6 25,1 Νίκος 27,6 31,5 29,5 29,1 Γιάννης 26,1 28,3 30 27,8 Μανώλης 27 30,3 32,3 29,3 Το πρόβλημα δεν είναι ισορροπημένο (Υπερβάλλουσα προσφορά) Προσθέτουμε Εικονική στήλη με μηδενικά κόστη



Ισορροπημένο πρόβλημα: Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 27,2 32,1 30,4 28,2 0 Γιώργος 24,4 27,2 25,6 25,1 0 Νίκος 27,6 31,5 29,5 29,1 0 Γιάννης 26,1 28,3 30 27,8 0 Μανώλης 27 30,3 32,3 29,3 0


Παράδειγμα 2 (3) Βήμα 1: Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές (ίδιος γιατί απλά αφαιρείται η εικονική): Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 27,2 32,1 30,4 28,2 0 Γιώργος 24,4 27,2 25,6 25,1 0 Νίκος 27,6 31,5 29,5 29,1 0 Γιάννης 26,1 28,3 30 27,8 0 Μανώλης 27 30,3 32,3 29,3 0

Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 2,8 4,9 4,8 3,1 0 Γιώργος 0 0 0 0 0 Νίκος 3,2 4,3 3,9 4 0 Γιάννης 1,7 1,1 4,4 2,7 0 Μανώλης 2,6 3,1 6,7 4,2 0



Γραμμές κάλυψης Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 2,8 4,9 4,8 3,1 0 Γιώργος 0 0 0 0 0 Νίκος 3,2 4,3 3,9 4 0 Γιάννης 1,7 1,1 4,4 2,7 0 Μανώλης 2,6 3,1 6,7 4,2 0


το μικρότερο ακάλυπτο στοιχείο (=1,1)



Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=1,1) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 2,8 4,9 4,8 3,1 0 Γιώργος 0 0 0 0 0 Νίκος 3,2 4,3 3,9 4 0 Γιάννης 1,7 1,1 4,4 2,7 0 Μανώλης 2,6 3,1 6,7 4,2 0

Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 2 0 Γιώργος 0 0 0 0 1,1 Νίκος 2,1 3,2 2,8 2,9 0 Γιάννης 0,6 0 3,3 1,6 0 Μανώλης 1,5 2 5,6 3,1 0




Γραμμές κάλυψης Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 2 0 Γιώργος 0 0 0 0 1,1 Νίκος 2,1 3,2 2,8 2,9 0 Γιάννης 0,6 0 3,3 1,6 0 Μανώλης 1,5 2 5,6 3,1 0





Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=0,6) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,7 3,8 3,7 2 0 Γιώργος 0 0 0 0 1,1 Νίκος 2,1 3,2 2,8 2,9 0 Γιάννης 0,6 0 3,3 1,6 0 Μανώλης 1,5 2 5,6 3,1 0

Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1,4 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 1,7 Νίκος 1,5 3,2 2,2 2,3 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0 Μανώλης 0,9 2 5 2,5 0




Γραμμές κάλυψης Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1,4 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 1,7 Νίκος 1,5 3,2 2,2 2,3 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0 Μανώλης 0,9 2 5 2,5 0





Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=0,9) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 1,1 3,8 3,1 1,4 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 1,7 Νίκος 1,5 3,2 2,2 2,3 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0 Μανώλης 0,9 2 5 2,5 0

Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 2,2 0,5 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 2,6 Νίκος 0,6 2,3 1,3 1,4 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0,9 Μανώλης 0 1,1 4,1 1,6 0




Γραμμές κάλυψης Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 2,2 0,5 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 2,6 Νίκος 0,6 2,3 1,3 1,4 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0,9 Μανώλης 0 1,1 4,1 1,6 0





Προσθαφαίρεση του μικρότερου ακάλυπτου στοιχείου (=0,5) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 2,2 0,5 0 Γιώργος 0 0,6 0 0 2,6 Νίκος 0,6 2,3 1,3 1,4 0 Γιάννης 0 0 2,7 1 0,9 Μανώλης 0 1,1 4,1 1,6 0

Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 1,7 0 0 Γιώργος 0,5 1,1 0 0 3,1 Νίκος 0,6 2,3 0,8 0,9 0 Γιάννης 0 0 2,2 0,5 0,9 Μανώλης 0 1,1 3,6 1,1 0




Γραμμές κάλυψης Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 1,7 0 0 Γιώργος 0,5 1,1 0 0 3,1 Νίκος 0,6 2,3 0,8 0,9 0 Γιάννης 0 0 2,2 0,5 0,9 Μανώλης 0 1,1 3,6 1,1 0

5 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=5) Συνεχίζουμε στο Βήμα 4 (εντοπισμός άριστης λύσης)


Παράδειγμα 2 (13) Βήμα 4: Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πρόσθιο – Γιάννης εκχώρηση και διαγραφή: Πρόσθιο – Γιάννης (εναλλακτικά, Νίκος – Εικονική, Ύπτιο - Γιώργος) Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 0,2 2,9 1,7 0 0 Γιώργος 0,5 1,1 0 0 3,1 Νίκος 0,6 2,3 0,8 0,9 0 Γιάννης 0 0 2,2 0,5 0,9 Μανώλης 0 1,1 3,6 1,1 0



Παράδειγμα 2 (14) Βήμα 4: Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ελεύθερο – Μανώλης εκχώρηση και διαγραφή:Ελεύθερο–Μανώλης (εναλλακτικά, Νίκος–Εικονική και Ύπτιο-Γιώργος)




Παράδειγμα 2 (15) Βήμα 4: Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Ύπτιο – Γιώργος εκχώρηση και διαγραφή: Ύπτιο – Γιώργος (εναλλακτικά, Νίκος – Εικονική)




Παράδειγμα 2 (16) Βήμα 4: Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Πεταλούδα – Παναγιώτης εκχώρηση και διαγραφή: Πεταλούδα – Παναγιώτης (εναλλακτικά, Νίκος – Εικονική)



Και φυσικά, απομένει η εκχώρηση Νίκος - Εικονική


Παράδειγμα 2 (17) Βήμα 4 (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον Πίνακα κόστους (χρόνου): Ελεύθερο Πρόσθιο Ύπτιο Πεταλούδα Εικονική Παναγιώτης 27,2 32,1 30,4 28,2 0 Γιώργος 24,4 27,2 25,6 25,1 0 Νίκος 27,6 31,5 29,5 29,1 0 Γιάννης 26,1 28,3 30 27,8 0 Μανώλης 27 30,3 32,3 29,3 0 Οπότε, οι αναθέσεις είναι Παναγιώτης Πεταλούδα, Γιώργος Ύπτιο, Νίκος Εικονική, Γιάννης Πρόσθιο και Μανώλης Ελεύθερο με συνολικό ελάχιστο χρόνο 28,2 + 25,6 + 0 + 28,3 + 27 = 109,1 δευτερόλεπτα.


Επίλυση με τη μέθοδο simplex


Άλλες ειδικές περιπτώσεις

Αποκλεισμός ανάθεσης: Θέτουμε κόστος = Μ (ή κέρδος = -Μ) Πολλαπλές άριστες λύσεις: Ένδειξη: δεν μπορεί να βρεθεί σειρά

ή στήλη με μοναδικό μηδενικό κατά το Βήμα 2. Επιλέγουμε αυθαίρετα μεταξύ των πολλαπλών μηδενικών.

Μεγιστοποίηση: Μετατρέπουμε πρώτα τον πίνακα εισοδημάτων (ή κέρδους) σε πίνακα κόστους ευκαιρίας μεγιστοποίησης, αφαιρώντας κάθε στοιχείο του πίνακα από το μεγαλύτερό του στοιχείο (εξαιρούνται οι εικονικές σειρές ή στήλες.) Κατόπιν, προχωράμε με τον πίνακα που προέκυψε σαν να ήταν

πίνακας κόστους.


Παράδειγμα 4 – Μεγιστοποίηση

Ας λύσουμε το Παράδειγμα 3 ως πρόβλημα μεγιστοποίησης. Δηλαδή, οι αριθμοί παριστάνουν εισόδημα (χρηματικές μονάδες)

Πίνακας εσόδων των εκχωρήσεων Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 7 7 4 Σ2 6 5 5 Σ3 5 8 3



Μετατρέπουμε τον πίνακα σε πίνακα κόστους ευκαιρίας μεγιστοποίησης. Για τον σκοπό αυτό, αφαιρούμε κάθε στοιχείο του πίνακα από το μεγαλύτερό του στοιχείο, που είναι το 8 (Σ3-Ε2).

Πίνακας κόστους ευκαιρίας για το πρόβλημα μεγιστοποίησης Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 1 1 4 Σ2 2 3 3 Σ3 3 0 5

Συνεχίζουμε με τον παραπάνω πίνακα σαν να ήταν ο αρχικός πίνακας προβλήματος ελαχιστοποίησης.



Πίνακας μειωμένος ως προς τις σειρές: Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 0 0 3 Σ2 0 1 1 Σ3 3 0 5

Πίνακας μειωμένος και ως προς τις στήλες (πίνακας κόστους ευκαιρίας) Ε1 Ε2 Ε3

Σ1 0 0 2 Σ2 0 1 0 Σ3 3 0 4




Σ1 0 0 2 Σ2 0 1 0

Σ3 3 0 4

3 γραμμές κάλυψης = διάσταση (=3)

Συνεχίζουμε στο Βήμα 4 (εντοπισμός άριστης λύσης)



Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ3-Ε2 εκχώρηση και διαγραφή Σ3-Ε2 (επίσης, Ε3-Σ2)

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 0 0 2 Σ2 0 1 0 Σ3 3 0 4

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 0 0 2

Σ2 0 1 0

Σ3 3 0 4



Μοναδικό μηδενικό στοιχείο: Σ1-Ε1 εκχώρηση και διαγραφή Σ1-Ε1 (επίσης, Ε3-Σ2)

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 0 0 2

Σ2 0 1 0

Σ3 3 0 4

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 0 0 2

Σ2 0 1 0

Σ3 3 0 4

Και φυσικά, η τελευταία εκχώρηση είναι στο Ε3-Σ2.


Παράδειγμα 4 (6) Βήμα 4 (ολοκλήρωση): Μεταφορά των αποτελεσμάτων της διαδικασίας στον αρχικό πίνακα εσόδων:

Ε1 Ε2 Ε3 Σ1 7 7 4 Σ2 6 5 5 Σ3 5 8 3

Οπότε, οι αναθέσεις είναι Σ1 Ε1, Σ2 Ε3 και Σ3 Ε2 με συνολικό εισόδημα 7 + 5 + 8 = 20 χρηματικές μονάδες.

uΜ ετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία Δικτύων Το...

Documents