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MSM FSICA
CONCEPTODesde que la palabra Fsica provienedel trmino Physis, que significaNaturalea, en sus inicios, m!s omenos hasta principios del siglo "#", laFsica se consider$ como una %iencia queestudiara todos los fen$menosnaturales& Pero a partir del siglo "#", se
redu'o su campo, limit!ndola al estudiode los llamados Fen$menos Fsicos, elresto de fen$menos pasaron a formarparte de otras ciencias naturales&(a fsica es una ciencia naturalencargada de estudiar los fen$menosfsicos que ocurren en la naturalea,sistemati!ndolos a travs de leyesfsicas determinadas&
Fenmeno Fsico)
*s todo cambio y+o transformaci$n queeperimentan ciertos cuerpos sin alterarsu estructura ntima& *s decir, soncambios reversibles&Por e'emplo)
(os cambios de estado *l movimiento de los cuerpos (a dilataci$n de los cuerpos,
etc&
Anlisis Dimensional
Magnitud Fsica*s todo aquello que puede ser medidocon cierto grado de precisi$n usandopara ello una unidad de medida patr$nconvencionalmente establecida&(as magnitudes fsicas, se clasifican en)
I. SEGN S! O"IGEN-& .agnitudes Fundamentales/on aquellas magnitudes que sirven de
base para fi'ar las unidades y en funci$n
de las cuales se epresan las dem!smagnitudes&
0& .agnitudes Derivadas/on aquellas que pueden ser epresadasen funci$n de las magnitudesfundamentales&
II. SEG!N S! NAT!"A#E$A-& .agnitudes *scalares)/on aquellas que quedan perfectamentedefinidas mediante un n1mero real y sucorrespondiente unidad de medida&
*'emplo) 2-34%5 67g5 etc&
0& .agnitudes 8ectoriales/on aquellas que adem!s de conocer suvalor, se requiere de su direcci$n ysentido para quedar perfectamente
definidas&
*'emplo) (a 8elocidad (a 9celeraci$n (a Fuera, etc&
SISTEMA INTE"NACIONA# DE!NIDADES %S.I.&
%onsidera siete magnitudes
fundamentales y dos auiliares&Magnitud Sm'. !nidad A'(e)iatu(a
(ongitud ( .etro m.asa . :ilogramo :g;iempo ; /egundo s#ntensidadde %orriente*lctrica
# 9mpere 9
;emperatura :elvin :#ntensidad
(uminosa
< %andela cd
%antidad de N .ol mol
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/ustancia Ecuacin Dimensional*s aquella igualdad matem!tica quesirve para relacionar las dimensiones delas magnitudes fsicas fundamentales,para obtener las magnitudes derivadas y
fi'ar as sus unidades, adem!s permiteverificar si una f$rmula o ley fsica, es ono correcta, dimensionalmente&
Notacin)/e usa un par de corchetes, as)
[ ]se lee *cuaci$n Dimensional De
*'emplo)
[=] ) *cuaci$n dimensional de lamagnitud fsica =
EC!ACIONES DIMENSIONA#ES MASCONOCIDAS
-& [9>*9] ? (@0& [8A(B.*N] ? (C
C& [8*(A%#D9D] ? (;2-
& [9%*(*>9%#AN] ? (;20
6& [FB*>E9] ? .(;20
& [;>9=9*/#AN] ? .(2-;20
I& [%9(A>] ? .(@;20
-3& [*N*>J#9] ? .(@;20
--& [;A>KB*] ? .(@;20
-0& [.A.*N;B. (#N*9(] ? .(;2-
-C& [#.PB(/A] ? .(;2-
-& [%9BD9(] ? (C;2-
-6& [8*(A%#D9D 9NJB(9>] ? ;2-
-& [9%*(*>9%#AN 9NJB(9>]? ;20
-G& [%9>J9 *(*%;>#%9] ? #;-H& [>*/#/;*N%#9 *(*%;>#%9]
? .(@;2C#20
-I& [PA;*N%#9( *(L%;>#%A]? .(@;2C#2-
03& [%9P9%#D9D *(L%;>#%9]?.2-(20;#@
P"OPIEDADES DE #AS EC!ACIONESDIMENSIONA#ES
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-4 ;odo n1mero epresado encualquiera de sus formas tienecomo dimensi$n a la unidad&
*'emplo)
[%os G4]? - [ 5] ? -[0] ? -
12
3 =
04 /$lo se podr! sumar o restarmagnitudes de la misma especie yel resultado de dicha operaci$nser! igual a la misma magnitud&*'m&)Cm M 0m ? 6m[Cm]M [0m]? [6m]
( M ( ? (
*'emplo)
H/ 6/ ? C/[H6]2 [6/] ? [C/]
; ; ? ;
C4 /i una f$rmula fsica esdimensionalmente correcta uhomognea, todos los trminos dedicha ecuaci$n deben serdimensionalmente iguales&
9s) sea la f$rmula fsica)
P M K ? > /
[P]? [K]? [>]? [/]
E*em+los de A+licacin
-& /i) ? Hmg log -0Dondem) masag) aceleraci$n de la gravedadOKu dimensiones tendr!
Solucin)[]? [Hmg log -0]>ecordemos que)[H]? - [log -0]? -
(uego, tendremos)[]? [mg]
[]? .(;20
0& /i)" ?
cosvt
A
2
1
Donde)
9 ? !rea5 t ? perodo5v ? volumen&
Qallar las dimensiones de
Solucin)
[ ]
=
cos.vtA
21
x
>ecuerde)
12
1=
[]? -
[cos ]? - (uego)[]?
T.L
L
vt
A3
2
=
[]? = 133
TLLTL
L[]? (20;2-
C& /i)
P ? 52
log)v6v(
)aa3(3
+
Donde)a ? aceleraci$n5 v ? velocidadQallar las dimensiones de P
Solucin)
De la 04 propiedad)[Ca 2 a]? [a]? (;20
[v 2 v]? [v]? (;2-
(uego)
[P]? ( )1
42
1
222
LT
TL
LT
LT
v
a
==
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[P]? (;2C
O'se()acin Im+o(tante
(os eponentes de una magnitudsiempre son n1meros
*'emplos)
R /on correctas)h@5 F0t25 t65 (cos C34
R No son correctas)hm5 Fq, .tgF5 n
R (as siguientes epresiones podranser correctas, siempre y cuando sea un n1mero- .C
- F(5 ser! correcta si "( esun n1mero
*n ste caso se cumple)
["(]? - []?L
1? (2-
(uego) .0(? .@
& Qalle las dimensiones de : en lasiguiente ecuaci$n dimensionalmentecorrecta&
C9: ? gf.A
h
& cos & v
Donde)h ) altura 5 f ) frecuenciag ) gravedad5 v ) velocidad
Solucin)
R 9naliamos el eponente
[ ]
==
f
g
A1g
f
.A
[ ] 11
2
LTT
LTA
==
(uego, en la epresi$n inicial)
97 ? h2-& v
(;2-[:]? (2-& (;2-
[:]? (2-
P"O,#EMAS "ES!E#TOS
-& Qallar [] y [] en la siguiente
ecuaci$n D&%&
x)gseng(
3z)2logww(tg
+++
=
Donde)S ) peso5 g ? gravedad
Solucin
9plicamos la -4 propiedad)
- ? gxzw
x)gg(
z)ww( +
=+
++
(uego)g ? S M
[g]? [S]? []
T-UDe T-U)[]? .(;20
9dem!s )[g]? [S]
[]? 22
LT
MLT
g
w
=
[]? .
0& OKu valor tiene T2yU, si lasiguiente ecuaci$n es D&%&
yx2 g.kf2
=
Donde)) longitud5 g) gravedad7 ) constante numrica
Solucin[f]? [ yx2 g.k
2 ]
;2-? - & ( ) 2x2L & T(;20U2y
;2-? ( 2x2 & (2y;0y
;2-? ( 2x2 2y& ;0y
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%ompletamos el primer miembropara tener las mismas magnitudesdel segundo miembro, as)LT-1= ( 2x2 2y ;0y
#gualamos eponentes)De ; ) 0y ? 2-
V ? 2 WDe ( )20@ 2 y ? 3 2 0@ ? y
2 0@ ? 2 W@ ? X ? W
(uego
y ? W 2
2
1
T 2 yU ? -
C& (a ecuaci$n mostrada es D&%&Qallar T M yUg ? 8tT M 7 y2U
Donde)t ? tiempo5 v ? velocidad
g ? gravedadSolucin%omo es D&%&, tenemos)YZ ? Y:y2Z ? -*s decir) y ? 3 y ?
*ntonces)YgZ ? Y 8tZ(;20? (;2-;? (;2-
#gualando eponentes)
- ? 20 ? 2-(uego y ? 2-
T M yU ? 20
& Qallar si la ecuaci$n mostradaes D&%&
( ) += sen1aa y3xyx
vt
Donde)
t ? tiempo5 v ? velocidad5? aceleraci$n angular
SolucinR YZ ? YC Z ? ; 20
R 21
T
LTy!y!
x
v
==
YyZ ? (;
(uego, en la epresi$n original)ta a y ? TU2-y sen
;aa
1
y ? T;20U2-y sen
;aa
1
y ? ;0ysen
#gualando eponentes)a ? 0 5
2
1? sen
? C34
AN-#ISIS ECTO"IA#
ecto() *s un ente matem!tico que secaracteria porque tiene m$dulo,direcci$n y sentido& Bn vector sirve para
representar a las magnitudes fsicasvectoriales&
(os vectores se pueden representargr!ficamente mediante un segmento derecta orientado& 9s)
Notaci$n)R v ) se lee vector vR v ) se lee m$dulo del vector v
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Modulo:
IvI
Direccin
Sentido
Lnea de accin
x
y
v
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OPE"ACIONES ,ASICAS CON #OSECTO"ES
Debemos tener presente que pararealiar operaciones con vectores, estos
deben ser de la misma naturalea&
I. Suma de ecto(es%onsiste en reemplaar a un con'unto devectores por uno solo llamado vectorresultante T" U&
O%$mo determinamos la resultante dedos vectores
"+ta& /e debe tener en cuenta los
siguientes casos)
-& Para dos vectores con el mismosentido)(a resultante se obtiene sumandolos m$dulos de los vectores
*'emplo)
9 esta resultante se le conocecomo >esultante .!ima T>maU
> ? 9 M =
0& Para dos vectores con sentidosopuestos
> ? 9 2 =
*n este caso se obtiene restandolos m$dulos de los vectores
R 9 esta resultante se le conocecomo >*/B(;9N;* .#N#.9
T>.#NU
C& Para dos vectores perpendiculares)
> ? 22 #A +> ? 22 43 +
> ? 6u
*n este caso la resultante seobtiene aplicando el teorema dePit!goras&
> ? 22 #A +
& Para dos vectores que forman un!ngulo cualquiera
Abserve que en este caso setraan paralelas a los vectores porsus etremos& (a uni$n del origende los vectores con la intersecci$nde las paralelas es el vectorresultante&*l m$dulo de ste vectorresultante se obtiene as)
> ? ++ $osA#2#A 22
M/todo del PolgonoNos permite determinar la resultante devarios vectores)
P(ocedimiento-& ;rasladamos los vectores y los
colocamos uno a continuaci$n deotro Tetremo de un vector en el
origen del otroU0& *l vector resultante T" U seobtiene uniendo el origen del
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A = 4u R = 7u
B = 3u
A = 4u R = 1u
B = 3u
RA = 3u
B = 4u
A R
B
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primer vector con el etremo del1ltimo vectorPor e'emplo)Para los vectores dados, halle elm$dulo de la resultante&
Solucin%olocamos los vectores uno acontinuaci$n de otro&
*l vector resultante se obtieneuniendo el origen del primervector con el etremo del 1ltimovector& (uego)
> ? H
Di0e(encia de dos ecto(es(os vectores que se van a restarse unen en un origen com1n,luego el vector diferencia seobtiene uniendo los etremos delos vectores& *l vector diferenciase[ala hacia el minuendo&
#A% =
/u m$dulo)+= cosA#2#A% 22
E*em+los de A+licacin
-& (a resultante m!ima de dosvectores de m$dulos iguales es 03&
Qallar la nueva resultante cuando dichosvectores estn formando -034 entre s&
Solucin)/ea los vectores &ya
;ales que) '&a ==
(uego, >ma ? a M b>ma ? 0mPor dato) 0m ? 03
m ? -3
(uego, cuando forman -034)
> ? 12cos)1)(1(211 22 ++
> ?
++2
1)1(211 222
> ? -3
ConclusinDos vectores de igual m$dulo que
formen -034 entre si originan unaresultante de igual m$dulo que losvectores&
0& (a figura mostrada es unhe!gono regular de lado 0u& Qalleel m$dulo del vector resultante&
Solucin;rasladamos los vectores hacia loslados que son paralelos a dichosvectores, as)
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B=A=1!
37"
c = #
B =
A=1!
$ = #
R
37"#
A
B B
A D
R
1!"1!
1!
B $
D
%&
A
B $
D
%&
A
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(uego5 sumamos) A%$%A$ =+A%*%A* =+
> ? 0 T9DUPero 9D ? u
(uego > ? Hu
C& Dados los vectores mostrados,determinar +2,
Solucin&Bnimos los vectores por sus orgenes&
D ? 53$os)6)(5(265 22 +
D ? 363625 + D ? 6
DESCOMPOSICION "ECTANG!#A"DE !N ECTO"
%onsiste en reemplaar un vector porotros dos, de tal forma que stos seanmutuamente perpendiculares&
8 ? cos- 8? 8 %os 8y ? - sen 8y ? 8 sen 9dem!s) ;ag? 8y
8E*em+los de A+licacin
-& Qallar el m$dulo de la resultante&
Solucin)
R Qallamos >Q
>Q? -03 cos 6C4 2 I3 cos CG4
>Q? -03 5
32 I3
5
4
>Q? 3
R Qallamos >8
>8? I3 /en CG4 M -03 sen 6C4
>8? I3 5
3M -03
5
4
>8? -63
(uego la resultante total se
obtiene as)
> ? 2v2
"" +
> ? 22 15 + > ? -63
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#'"(
=) * = 3
1)"
)3"(=)
1)" *=#
y
x
vv
y
xv x
v y
)3"
+!
37"
1!
)3"37"
+! ,en 37"
1! $o, )3"+! $o, 37"
1! Sen )3"
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0& Qalle la medida del !ngulo para que la resultante seencuentre en el e'e
Solucin
%omo la resultante est! ubicadasobre el e'e , entonces en el e'evertical, la resultante debe serigual a cero)
(uego)
>y ? 3
-3 sen 2 - cos 34 ? 3
6 sen ? H cos 34
6 sen ? H W ?
sen =5
4 = 53
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3!"#
1!
1#
1!1! ,en
1! co, 1# co, #!"
#
1# ,en #!"
34
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O,1ETIODescribir geomtrica y matem!ticamenteel movimiento mec!nico y conocer sus
leyes y propiedades5 pero sin considerara las causas que lo determinan& *n elestudio de la cinem!tica estableceremosla relaci$n que eiste entre lasmagnitudes tales como5 desplaamiento,velocidad y aceleraci$n&
MOIMIENTO MEC-NICO)/e define como el cambio continuo deposici$n que eperimenta un cuerporespecto de otro tomado como
referencia&9s, por e'emplo)
Para 9) %, eperimenta movimientomec!nico&
Para =) %, no eperimenta movimientomec!nico&De esto podemos concluir que elmovimiento mec!nico no es absoluto,sino que es relativo, pues depende delsistema de referencia
E#EMENTOS DE# MOIMIENTOMECANICO V
"
R o
/
? Posici$n inicialR f/ ? Posici$n finalR 0? Desplaamiento
R of rrd = Tcambio de posici$nUR 00 = ) distancia) m$dulo de
desplamiento
R e) >ecorrido T(ongitud de latrayectoriaU
E#OCIDADT- U
*s una magnitud fsica vectorial que nosepresa la rapide con la cual un m$vilcambia de posici$n&*l cambio de posici$n se puede dar enun intervalo de tiempo o en un instantede tiempo&
Bnidad en el /&) Tm+sU
2 elocidad Media % '- &
/e eval1a entre dos puntos de unatrayectoria y se define como la ra$nentre el desplaamiento del cuerpo T0 Uy el intervalo de tiempo transcurridoTtU&
t
0-'
=
Note que la '- y 0 con codirigidos&T%olineales y tienen la misma direcci$nU
2 elocidad Instantnea %- &
*s una magnitud vectorial quecaracteria el movimiento mec!nico deun punto, en un instante de tiempo t&*l vector velocidad instant!nea se graficatangente a la trayectoria y nos indica la
direcci$n del movimiento&
A
B
$
-vil
trayectoria
d
er .
r o
/0,ervador
r.
ro
v
-
d
x
t o
y
t
v
d
d 2
y
x
-
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%uando t 3, el desplaamiento estangente a la trayectoria&
ot
t
dlimV
=
"a+ide3 45
*s el m$dulo de la velocidad instant!nea*'emplo)
- ? 6 m+s TUsentido
rapide
A+licacin 67)Determine el m$dulo de la velocidadmedia de cierto m$vil que recorre eltrayecto 9=% con una rapide constantede 6 m+s
/oluci$n)
s7t
s35
15t
s45
20t
BC
AB
=
==
==
#e8 de Cosenos
d ? )12)(cos15)(2(2152 22 +
d ?
+
2
1)3(22254
d ? 25 d ? 6 3 m
(uego)
8m?s
'
35
t
0
=
Mo)imiento con elocidad Constante
/i - es constante, entonces sum$dulo TrapideU y su direcci$n esconstante& (uego, esto implica que latrayectoria del m$vil necesariamenteser! >ectilnea& 9 este movimiento sele denomina .A8#.#*N;A >*%;#(#N*ABN#FA>.* T.&>&B&U
*n todo .&>&B& se cumple que)
A
B
$
$B
A
c
1!"
A ! - B
1)-
1!"
d1) -
BA ! -
$
-
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d ? 8 t
E*em+lo)
/upongamos un m$vil que se desplaa
horiontalmente con velocidad constantey rapide m+s
%omo) tx-0 = $ ? v&t
tx-xx f =
t.Vxx 0f +=
*cuaci$n del .&>&B&
G"AFICAS EN E# M.".!.G(0ica 4- 5 )s 4t5
(a gr!fica es una recta paralelaal e'e de los tiempos&
*l !rea ba'o la gr!fica nos da elespacio recorrido&
9ot? eot
G(0ica 4 x 5 )s 4t5
t
(a gr!fica es una rectainclinada respecto de lahoriontal&
(a tangente del !ngulo deinclinaci$n nos indica lavelocidad constante del m$vil
;g ?t
xx of
tg ? -tg ? pendiente de la recta
A+licaciones-& *n el instante t ? 3, la posici$n de
un m$vil es o?2m y cuandot?0s, "-? Hm&/i el movimiento escon velocidad constante5 calcularla velocidad&
/oluci$n)
>ecordemos que)tx-xx f +=
H ? 2 M - 0
- ? m+s TU
0& Bn ciclista durante segundosrecorre con rapide constante de6m+s hacia la derecha,seguidamente regresa hacia laiquierda con velocidad de Cm+sdurante 6s& Qallar el espaciorecorrido y el desplaamiento&
/oluci$n)
t = o1,
t = 1, t = ,1,
4 - 4 -7 -
4-
4-
o = 7 -
1
= 11 -
= 1) -
/0,5
A
! 1 t
v
6-,8
t 6,8
t
x . 9 x o
x 6-8
x .
x o t6,8
t = !S t = S
5 5 5 5 5 5 5 5 5x
x = ! '94
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
o = 9 4- . = ' -
B
3 -,
A
) -,
$
1 = ! -
= 9 1) -
d
-
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R e ? '35xx 21 =+
R 21 xx0 =
R 0 ? 03m -6 m
R 0 ? 6 mTU
C& Bn $mnibus tarda -3 segundos enpasar un t1nel de longitud C3 mcon una velocidad constante deC&6 m+s& %alcular la longitud del$mnibus
/oluci$n5R *l $mnibus ingresa al t1nel
R *l $mnibus atravesar! al t1nelcuando salga completamente
d>*%A>>#D9? 8 tT(;BN*(M (A.N#=B/U ? 8A.N tC3 M (o ? TC6U T-3U
(o ? 6m
& Dos m$viles est!n separadosinicialmente G33 m y parten alencuentro con velocidades de C3m+s y 3 m+s simult!neamente&%alcular el tiempo que tardan enestar 'untos
/oluci$n)
*n este caso, aplicamos tiempo deencuentro TteU
t ? te?#A --
0+
t ? s1ts'4s'3
'=
+
ACE#E"ACI9N*s una magnitud fsica vectorial que nosindica la rapide con la que cambia lavelocidad de un m$vil&;iene como unidad) Tm+s@U
Acele(acin MediaT 'a U.ide la rapide de cambio de velocidaden un intervalo de tiempo
t
f'
--
t
-a
=
=
12 --- =
(a 'a y - tienen la mismadirecci$n
Acele(acin InstantneaT a U
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
L /M; L 2
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
L /M;L 2
d>*%A>>#D9
A B BA
7!! -
3! -, t t 4! -,
1
t
xo
y 1
a -
-
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.ide la rapide de cambio de velocidaden un instante de tiempo&
(a a apunta hacia laconcavidad de la trayectoria
/i ) t 3 a ? lim a m
t o
E*em+lo de A+licacinDetermine el m$dulo de laaceleraci$n media entre 9 y =, si seemplea un tiempo de 0 segundos&
/oluci$n)
8 ? 22 4 +8 ? s'54
(uego)
s
s
'
2
54
t
-a
' =
=
am? 52 m+s@
MOIMIENTOS CON ACE#E"ACIONCONSTANTE
I. Mo)imiento "ectilneo conAcele(acin Constante
Primero, analicemos) OKu significaa?6m+s@>pta& /ignifica que el m$vil en cadasegundo cambia su rapide en 6m+s
Dado que la rapide puede aumentar odisminuir, entonces se tiene que)
.ovimiento 9celerado
.ovimiento Desacelerado
/upongamos una pelota que sedesplaa con rapide inicial de
v
a
y
x
4 -,
' -,
A
B
4 -,
' -,
v
v
a
v
a
-
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m+s y acelera con 0m+s@constante&
Abserve que) (a trayectoria es rectilnea (os cambios en la velocidad
son uniformes, por esto sellama .ovimiento >ectilneo
Bniformemente 8ariadoT.&>&B&8&U (a - es D&P& al tiempo
transcurrido&
Del Jr!fico);ramo A# ) t ? -s 8 ? 0m+s;ramo A$ ) t ? 0s 8 ? m+s;ramo A% ) t ? Cs 8 ? m+s
Note, adem!s que los recorridos en
segundos consecutivos se diferencian enel valor de la aceleraci$n&
Ecuaciones del M.".!..
-& 8f? 8oM at0& 8f@ ? 8o@M 0ad
C& d ? 8ot M2at 2
& d ? t.2-- fo
+
6& dn&seg? 8oM )1nx2(2a
Nota)- Bse signo TMU si 8 aumenta- Bse signo T2U si 8 disminuye
A+licaciones-& Bn m$vil parte de la posici$n
"o ? 203m con una velocidad de6m+s& Qallar la posici$n y espaciorecorrido luego de 6 segundos, sisu aceleraci$n es m+s@&
/oluci$n>ecordando la ecuaci$n de la posici$n)
0xx f +=
f? oM 8otM2
at 2
f? 203 M 6T6U M2
5x4
d
f? M66 m
(uego, el espacio recorrido ser!)
e ? d ? G6m
0& Bna esferita inicia su movimientocon aceleraci$n constanterecorriendo en el segundo segundoCm& O*n cu!nto tiempo habr!recorrido los primeros -m
/oluci$n
Para calcular el tiempo, aplicamos)d ? 8ot M
2at 2
- ? )1....(..........2
at 2
(uego, calcular la aceleraci$n a partir dela distancia en el 04 segundo)
d04s? 8oM2
aT0 0 2 -U
C ?2
a C a ? 0 m+s@
*n -)t ? s
G(0icas en el M.".!..
-& Posici$n vs tiempo Tx 2 tU
1, 1, 1,
4 -, # -, ' -,1! -,
-,
-
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= tg-A
0& 8elocidad vs tiempo T v 2tU
a ? tg
e ? 9
*'m)
tg ? TMU
8Tm+sU
tg ? T2U
/ea la gr!fica siguiente)
9-) >ecorrido hacia la derecha&
90) >ecorrido hacia la iquierda
e;) 21 AA + T>ecorridoU
d ) 21 AA TDistanciaU
A
.
6-,8
!
t 1t6,8
o
t6,8
1!
1! -,a
A 1
A
3 t6,8
6-,8
'
94
-
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C& 9celeraci$n vs tiempo Ta2tU
A- =
o--- f=
A+licaciones
-& /e muestra la gr!fica T8 2 tU deuna partcula que se mueve sobreel e'e & Qalle el m$dulo del
vector desplaamiento&
/oluci$n)
d ?21
AA
d ? 4)3)
d ? -3 m
A
t 1!
a
a-,&B&8& con
trayectoria vertical (a velocidad de subida T8/U y la
velocidad de ba'ada T8=U parapuntos que est!n al mismonivel, tiene igual valor&
8/B=? 8=9&B&8&
a& Fo(ma escala(:
2 8f? 8igt
2 h ? 8it 2
gt2
2 8f@ ? 8i@ 0 gh2
2
--
t
h f+=
Donde)
TMU 8 aumentaT2U 8 disminuye
'& Fo(ma )ecto(ial:
2 tg--
f +=
22
tgt-h
2
+=
2 h.g2-- 22
f +=
2 t.2--
h fo
+=
*n este caso deber! tener en cuentael sentido de la magnitud que va areemplaar& 9s)
! -,
1,
1! -,
1 ,
= !
1 , 1! -,
! -,1,
1,3! -,
>
-
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TMU 5 T2U
E1EMP#OS DE AP#ICACI9N
-& Qallar h s i el tiempo total devuelo es de -3 segundos&Tg?-3m+s@U
/oluci$n)
Forma *scalar)R 9naliamos el tramo 9=)2 >ecuerda que en = 8 ? 3
2 %alculamos h9=
8f@ ? 8o@ 2 0 g h9=3 ? C3@ 2 0T-3U h9=
h9=? 6m
2 (uego el tiempo) t9=8f? 8o gt9=
t9=?1
3t9=? Cg
9naliamos el tramo =D)Para este tramo utilia un tiempo
de Gs& Tt9= M t=D ? -3sU
(uego)
h=D? v*t=DM2
gt #%2
h=D? '245h2
)(1#%
2
=
Por lo tanto)
h ? h=D h9=
h ? 033 m
Fo(ma ecto(ial:
*l ob'eto se lana en a y llega al punto%, luego eperimenta el
desplaamientoA$
h
,
o = 3!-,>
?
3!-,
$
D
A
B
?
o = 3!-,
$
A
B
? A$
-
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(uego
A$h ?
2tg
t.-2
A
+
2 h ? C3T-3U M2
)1)(1( 2
2 h ? C33 2 6332 h ? 2033
h9%? 033 m
0& /e lana un ob'eto verticalmentehacia aba'o desde cierta altura conuna velocidad 8o& /i luego de 6segundos impacta en el suelo conG3 m+s& %alcular con qu velocidad
se lan$ dicho ob'eto& Tg ? -3m+s@USolucin)
8f? 8oM gtG3 ? 8o M T-3U T6U
8o ? 03 m+s
C& Qalle el tiempo que la esferitapermanece en el aire& Tg?-3m+s@U
Solucin)*l tiempo que permanece en elaire es equivalente al tiempo quetarda en subir hasta el punto m!salto y el tiempo que tarda en
regresar&
tTaireU? tsM tb&&&& -
*n la subida8f? 8o gts
ts? s4ts1)4)
=
9dem!s)ts? tb? s
>eemplaamos en -tTaireU? s M s
tTaireU? Hs
Formula pr!ctica)
tsub? g-o
luego)
t;A;9( ? tTaireU? 0ts ? g-o2
o
),
7! -,
>
o = 4! -,
4! -,
t 0t ,
-
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MOIMIENTO PA"A,9#ICO DECA;DA #I,"E
/i consideramos el caso de una pelotita
que es lanada de la siguiente manera)
/e observa que dicha pelotita describe
como trayectoria una lnea curva& Pero aldespreciar la acci$n del aire, taltrayectoria es una par!bola y por ello almovimiento se le llama parab$lico&9dem!s durante el desarrollo de estemovimiento, sobre la pelotita act1a1nicamente la fuera de gravedad Fg ?mg y por ello tal movimiento es decada libre, en consecuencia elmovimiento descrito es un movimientoparab$lico de cada libre T.&P&%&(&U
Para analiar el .&P&%&(& se proyecta talmovimiento en la direcci$n vertical y enla direcci$n horiontal& 9s)
9l proyectar se observa que)
7. En el e*e 4&B&
=. En el e*e 485:
*n esta direcci$n la velocidad 8yeperimenta cambios de manerauniforme debido a la aceleraci$nde la gravedad g, por lo tanto elm$vil eperimenta en sta
proyecci$n un .&8&%&(&
O'se()acin)
/i bien el an!lisis se haceindependientemente en cada e'e,esto ocurre simult!neamente, esdecir, los intervalos de tiempo quetranscurren para cada direcci$nson iguales&
De la figura se puede obtener lasiguiente relaci$n)
tTvueloU? tproyecci$n? tproyecci$nT9=%U Qoriontal 8ertical
T9.%U TtsM tbU
.&P&%&(& .&>&B& .&8&%&(&o
oy
y
1
ox
B x = ox
1
ox
@ MA
$ox
Mox
x oy
d : Alcance @oriontal
A
-
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E1EMP#OS DE AP#ICACION
7. De la parte superior de un edificiode 03 m de altura, se lanahoriontalmente una pelota con
una rapide de -3 m+sDetermine el alcance horiontalque logra la pelota cuandoimpacta en el piso& Tg ? -3m+s@U
Solucin)-& Jraficamos
Nos piden
0& >ecordemos
t9=? t9.? t.= ? t*sto significa que si determinamosel tiempo en el e'e y lo hacemostambin en el e'e & /eg1n losdatos, conviene analiar el e'e ypara determinar el tiempo&
C& *'e y) T9 .U 8oy? 3
h ? 8oy t M2
gt2
03 ? 3 M2
t1 2
t ? 0s
& *'e ) T. =UBsamos .&>&B&(uego)d.=? 8 & t
? -3T0U
" ? 03mO'se()acin)/i quisiramos determinar larapide de la pelota despus deser lanada, tendra que usarse el
teorema de pit!goras&Por e'emplo, en el punto P, 8y 8y son respectivamenteperpendiculares, luego)
8p ? 2y2x -- +
=. Desde la aotea de un edificio selana horiontalmente un cuerpo
con una rapide de 6m+s&Determine su alcance horiontal yla altura que desciende 0segundos despus de sulanamiento&
Solucin)
-& Jraficamos)
Nos pide y h
0& *'e ) T. =Ud.=? 8 & t ? T6U T0U
? -3 m
C& *'e y T9 .U
T%ontin1e Bd& la soluci$nU
B
( x = 1! -,
y@ = ! -
A x = 1! -,
x
?
A x = ) -,
Mx B
t = ,
.
-
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MOIMIENTO CI"C!NFE"ENCIA#
>?u/ es el mo)imientoci(cun0e(encial@Para responder, analicemos lo que ocurre
cuando una piedra atada a una cuerdagira en un plano vertical& /e observa)
-& >especto al centro T3U la piedracambia continuamente de posici$nT9,=,%,&&&&U& /i unimos todas lasposiciones por las que pasa lapiedra obtenemos una lnea curvadenominada circunferencia&
0& *l vector que parte del centro Ay ubica a la piedra en todoinstante se denomina radio vectorT" U el que describe un !ngulocentral TU y una superficie
denominado crculo& /i s$loconsideramos la trayectoria quedescribe la piedra diremos questa desarrolla un MOIMIENTOCI"C!NFE"ENCIA#.
Por lo anterior, se dice losiguiente)
*l MOIMIENTO CI"C!NFE"ENCIA#es un fen$meno fsico que se manifiestacuando simult!neamente un cuerpocambia de posici$n y de !ngulo centralrespecto de un punto fi'o denominadocentro, permitindole describir unacircunferencia como trayectoria&
Para medir la longitud entre 0 posicionesse utilia una magnitud denominadalongitud de arco o recorrido lineal T(U, lacual est! relacionado con el !ngulobarrido TU y el radio de giro T>U
( ? >
en radianes TradU
> en metro TmU
( en metro TmU
Mo)imiento Ci(cun0e(encial !ni0o(me
%M.C.!.&*s aquel movimiento donde una partculadescribe una trayectoria circunferencial,eperimentando en intervalos de tiemposiguales, recorridos lineales iguales yadem!s el radio vector barre !ngulosiguales&
%onsiderando TtU el tiempo transcurrido y el !ngulo barrido, tenemos del
gr!fico)
6A8
6B8
6$8
R
/ R
R
L
t = !
#
rad5#
#2 = 3,
t = ,t = 1,
-
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t ? -s ? T+U rad
t ? 0s ? 0T+U rad
t ? Cs ? CT+U rad
/e observa que el !ngulo esdirectamente proporcional al tiempotranscurrido&
es D&P& a t& *llo implica que)
.ctet = donde la constante es la rapide
angular TU, la cual es el m$dulo de lavelocidad angular T U
>?u/ es la )elocidad angula( %&@*s una magnitud fsica vectorial queepresa la medida de la rapide decambio del desplaamiento angular&
/i la es constante, el m$dulo de estavelocidad se eval1a as)
t
=
Bnidad)
s/a0
segn0o/a0an
) 9ngulo barrido
) >apide angular
%omo forma pr!ctica para indicar ladirecci$n de la velocidad angular seutilia la regla de la mano derecha, lacual consiste en girar los dedos 'untos,menos el pulgar en el sentido delmovimiento5 luego de ello el dedo pulgarindica la direcci$n de la velocidadangular T U, tal como se muestra en lafigura&
%omo en cada instante el m$vil gira enun mismo sentido y en cada segundo elradio vector barre un !ngulo constante,entonces en el M.C.U. la velocidad
angular es constante (
) (tanto envalor como en direccin)
*n el .&%&B& Oqu ocurre con la rapidelineal o rapide tangencial T8;UDebido a que en intervalos de tiemposiguales los !ngulos barridos son iguales,entonces las longitudes de arco soniguales T(9=? (=%U5 por ello la rapidelineal es constante T8;U
Pero ) ( ?> &&&&TRRU
>eemp& TRRU en TRU) 8;?t
R
8;? > >elaci$n entre y 8;
RR
t = /,
A
t = ,$ 2
B
2
2
R
t = 1,
-
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>#a )elocidad lineal o )elocidadtangencial %T& es constante en elM.C.!.@
\No], porque su direcci$n cambiacontinuamente, por tal motivo en stemovimiento eiste aceleraci$n,
denominada aceleraci$n centrpeta c7a
>?u/ mide la acele(acin cent(+eta
c7a @
.ide la rapide del cambio de ladirecci$n de la velocidad tangencial cuyom$dulo se determina para cada instantemediante)
2
22
8
sm
unidadRa
R
Va cp
Tcp ==
y la direcci$n de la c7a en todo instante
est! dirigida hacia el centro de lacircunferencia& *s decir)
ac7
ac7
- T-T
-
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*s una rama de la .ec!nica, cuyoob'etivo es analiar las condiciones que
deben de reunir un con'unto de fuerasque act1an sobre un cuerpo o sistemapara que lo mantenga en equilibrio&
>A u/ llamamos inte(accin@Para entender este concepto analicemosel siguiente caso)
/e lana una pelota para que golpee albloque, en reposo&
(uego del golpe, el bloque que seencontraba en reposo adquieremovimiento mientras que el movimientode la pelota es frenado&
De esto podemos deducir que cuando uncuerpo act1a sobre otro, puede modificarsu estado mec!nico&
9 esta acci$n mutua entre dos cuerpos
se denomina interacci$n&
(a interacci$n mec!nica puedeefectuarse entre cuerpos en contacto
directo, as como entre cuerposseparados&
>?u/ es una 0ue(3a@8eamos, en el e'emplo anterior, siquisiramos saber con que intensidadinteract1an los cuerpos entoncesusaremos una magnitud vectorialdenominada Fuera TFU&
(a fuera tiene como unidad de medidaen el /istema #nternacional T/&U elNeSton TNU&
O'se()acin)*l movimiento mec!nico de un cuerpo esconsecuencia de la interacci$n con otroscuerpos&/eg1n sea la naturalea de lasinteracciones, las fueras se clasificanen)
7. Fue(3as G(a)itacionales;ienen como origen o causa a lamasa de los cuerpos y sonsiempre de atracci$n& Por e'emploel peso&
=. Fue(3as Elect(omagn/ticas;ienen como origen a las cargaselctricas de los cuerpos en reposoo en movimiento&(as fueras son elctricas si lascargas elctricas est!n en reposo,y ser!n magnticas si las cargasest!n en movimiento&
B. Fue(3as Nuclea(es.*stas fueras unen los protones ylos neutrones en el n1cleo at$micoy es de corto alcance&
. Fue(3as D/'iles:*st!n fundamentalmente asociadasa la descomposici$n de n1cleos
radiactivos&
Reo,o
La e,.erai-acta en
el 0loCue
& & 1
Interaccin
-
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(as fueras que con frecuenciausaremos en est!tica est!ncomprendidas entre las dosprimeras de la clasificaci$n&
F!E"$AS !S!A#ES)
7. Fue(3a de G(a)edad %Fg&(lamada tambin fueragravitacional, es aquella con lacual se atraen dos cuerpos en eluniverso, esto se debe a lainteracci$n gravitatoria entre loscuerpos&
Por e'emplo, si soltamos unapiedra, notaremos que sta cae
dirigindose hacia la tierra& Deesto deducimos que la tierra atraea la piedra Tlo 'ala hacia su centroUe'ercindole una fuera a la quellamaremos Fuera de Jravedad&
m ) masa del cuerpog ) aceleraci$n de la gravedad
%uando el cuerpo est! pr$imo ala superficie terrestre, el valor dela fuera de gravedad se calculaas)
Fg ? m&g
(a fuera de gravedad se graficavertical y hacia aba'o, en un puntollamado centro de gravedad T%&J&Uel cual, para cuerpos homogneoscoincide con su centro geomtrico&
=. Fue(3a de Tensin %T&
/e manifiesta en las cuerdas,usadas para colgar o suspendercuerpos en el aire, para 'alarcuerpos, etc&
(a fuera de tensi$n tiene la
misma direcci$n de la cuerdasobre la que act1a&Para una cuerda ideal Tde masadespreciableU, el modulo de latensi$n es el mismo en cualquierpunto de la cuerda&
E*em+lo) Bna ca'a de C 7g essostenida mediante una cuerda talcomo se muestra& Jrafique lafuera de tensi$n y determine sum$dulo Tg ? -3 m+s@U
Solucin.
>
-
& >
= !
2
2
2
&> = 4!;
-
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Dado que la ca'a no cae, entoncesconcluimos que la fuera haciaarriba y hacia aba'o deben serigual m$dulo5 luego)
; ? 3N
B. Fue(3a No(mal %FN&(lamada tambin fuera decontacto, es una fuera dereacci$n que se manifiestasiempre que haya contacto entredos superficies&
(a lnea de acci$n de sta fueraes perpendicular a las superficies
de contacto&
. Fue(3a Elstica %Fe&*s una fuera interna que semanifiesta en un cuerpo el!sticoT>esorte, ligaU cuando esdeformado por estiramiento ocompresi$n&
Por e'emplo, suspendemos unbloque de un resorte&
*perimentalmente se demostr$que)
9 mayor , mayor Fe9 menor , menor Fe
Kctex
Fe==
Fe ? :"
: ? %onstante el!stica del resorteTN+m5 N+cmU" ? *longaci$n del resorte(o ? (ongitud natural del resorteTcuando no est! deformadoU
Nota) el valor de : depende delmaterial del resorte y de su
longitud natural&. Fue(3a de "o3amiento o de
F(iccin %0(&/eguramente alguna ve ustedhabr! intentado arrastrar unbloque de cierto material, y habr!notado que no resbale&
*sto se debe a que tanto lasuperficie del bloque como el pisopresentan aspereas TrugosidadesUy por ello se manifiesta unaoposici$n al desliamiento delbloque, surgiendo as una fuera
que recibe el nombre de fuerade roamiento&*n el e'emplo)
FN) fuera normal> ) >eacci$n del piso sobre elbloque
& ;& ;
& ;
&e
Lo
= !
%l 0loCue nore,0ala
.r
2
& ;
-
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(uego)
2
9
2
/ :f" +=
Nota)
%uando un bloque resbala ointenta resbalar sobre unasuperficie, la fuera total T>U sobreel cuerpo es inclinada respecto dela superficie de contacto y parafacilitar el an!lisis se descomponeen una fuera normal TFNU y unade roamiento TfrU&
CASOS PA"TIC!#A"ES
7. Fue(3a de "o3amiento Esttico%0s&*sta fuera se manifiesta cuandolas superficies intentan resbalarpero no lo logran&
Por e'emplo5 si analiamos albloque apoyado sobre el planoinclinado rugoso)
9umentamos el
!ngulo de inclinaci$n
#nicialmente
*l bloque aumenta su tendencia a
resbalar luego, tambin aumentafs de modo que en alg1nmomento el bloque estar! a puntode desliar T.ovimientoinminenteU& *n este instante, lafuera de roamiento est!ticoalcana su valor m!imo Tfsm!U
(uego)fsma ? ^s & FN
Donde)
^s ) %oeficiente de roamientoest!tico T9dimensionalU
9dem!s)
^s? tg
Donde)
) 9ngulo m!imo que se puede
inclinar la superficie de modo queel bloque a1n no deslice&
=. Fue(3a de "o3amiento Cin/tico%0c&*sta fuera se manifiesta cuandolas superficies en contacto deslianuna respecto de la otra& /u valores pr!cticamente constante&
fc? ^c& FN
^c ? %oeficiente de roamiento
cintico TadimensionalUNota)*ntre dos superficies en contactoeisten dos coeficientes deroamiento T^s y ^cU de modoque) ^s_ ^c&
= !
& ;.,
= !
& ;.,
>
& ;.c
-
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DIAG"AMA DE C!E"PO #I,"E%D.C.#.&
(lamado tambin Diagrama de Fuerases aquel donde se grafica todas lasfueras que act1an sobre un cuerpo o
sistema& Para efectuar un D&%&(& tengaen cuenta lo siguiente)
-& 9sle el cuerpo del sistema&0& Jrafique la fuera de gravedadC& /i el cuerpo est! suspendido de
cuerdas, grafique la tensi$n&& /i el cuerpo est! en contacto
con alguna superficie, grafiquela fuera normal TFNU por cadacontacto&
6& /i el cuerpo est! en equilibrio ysolamente act1a C fueras,stas deben ser concurrentes,necesariamente&
*'emplos)R *fect1e el D&%&(& de la esfera
mostrada&
R *fect1e el D&%&(& de la barra
*n este caso, por facilidad dean!lisis, es conveniente en laarticulaci$n = descomponer la
reacci$n en dos, una componentehoriontal F= y otra verticalF=y& 9s)
Euili'(io de T(aslacin*s cuando un cuerpo se encuentra enreposo o movindose con velocidadconstante, es decir sin aceleraci$n&
(uego)
*quilibrio de R >eposo;raslaci$n R .&>&B&
P(ime(a Condicin de Euili'(io/i un cuerpo se encuentra en equilibriode traslaci$n y sobre el act1a uncon'unto de fueras, se cumplir! que)
F>? F ? 3
& ;
&>
2
Li,oA
Articulacin
B
& ;A
&>
& B
& ;A
&>
& B
B
A
& Bx
& By
-
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Forma pr!ctica
F TU ? F TU
F TU ? F TU
A+licaciones-& Qalle la fuera que debe aplicar la
persona para mantener el bloquede -3 7g en la posici$n mostrada&
.asa de la polea?0 7g5 g?-3 m+s
Solucin)
R (a fuera que hace la persona enel etremo de la cuerda es elmismo en toda la cuerda&
Fy ? 3
0; -03 ? 3 0; ? -03
; ? 3 N
0& Qallar el coeficiente de roamientoT^U si el bloque 9 de -3 7g, est!a punto de desliar Tm=? G&6 7g5g ? -3m+s@U
Solucin)De la figura observamos que lafuera que intenta poner en
movimiento al bloque 9, es el pesodel bloque =&
*sto ocasiona que entre el bloque9 y la superficie se manifieste lafuera de roamiento est!ticom!imo&
(uego)fs ma? G6N
^s& FN? G6N^s& -33N ? G6N
^s? 3&G6
A
B
& ;
1!! ;. ,-ax
7);
T T
!;
100N
-
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Momento de una Fue(3a % FoM &9nteriormente hemos estudiado el efectode deformaci$n de un cuerpo debido auna fuera& *n esta parte analiaremosel efecto de rotaci$n causada por dicha
fuera y las condiciones para elequilibrio de rotaci$n&
Momento de una 0ue(3a T FM U*s una magnitud vectorial que sirve paramedir la intensidad con que una fueracausa o tiende a causar un efecto derotaci$n, sobre un cuerpo, respecto deun punto o e'e de giro&
.atem!ticamente)
d.FMF
o=
F ) m$dulo de la fuera F
d ) distancia o brao de palancaunidad) TN&mU
%onvenci$n de signos)TMU) sentido de rotaci$n, antihorarioT2U ) sentido de rotaci$n, horario
Nota)*s posible producir un mismo momentode fuera con una fuera de m$dulopeque[o, cuyo brao sea grande5 y conuna fuera de m$dulo grande pero debrao peque[o&
)'1)(91(M :o = )'2)(95(Mfo =
'.91M:o = '.91Mfo =
*'emplo) %alcular el momento de lafuera F ? -6N
/oluci$n
)'4)(915(M
0.:M
:A
:A
=
=
'.96M:
A +=
O'se()acin)%uando la lnea de acci$n de una fuerapasa por el centro de giro, su momentode fuera respecto de dicho punto escero&
d&
Lnea deaccin de &
/$entro de
>iro
& = 1!;
1 -o
& = );
-o
)-
37"A
& = 1);
)-
37"A
& = 1);
4-
-
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M:
A=
Euili'(io de "otacin)*s el estado mec!nico en el cual uncuerpo no gira o lo hace uniformemente&
= Condicin de Euili'(io)%uando un cuerpo, sometido a variasfueras no gira, se encuentra enequilibrio de rotaci$n y se cumple que elmomento resultante respecto del centro
de giro, es nulo&
.>? 3
Forma pr!ctica
.TMU ? .T2U
*'emplo)Determine si la barra de la figura est! en
equilibrio rotacional&
/oluci$n) Qallamos el momentoresultante&
21 :
A:A
"A MMM +=
)2x3()3x15(M"A +=
645M"
A =
'.915M"A +=
Abserve que el momentoresultante no es nulo, por lo tantola barra no est! en equilibrio derotaci$n&*n este caso, la barra gira ensentido antihorario&
*'emplo) Qallar el momentoresultante&
/oluci$n)21
::"
A MMM +=
)5x12()3.2(M"
A +=
M"
A=
(a barra est! en equilibrio de rotaci$n&
Euili'(io Mecnico
(lamado simplemente *quilibrio, esaquella situaci$n en la que un cuerpo osistema cumple las dos condiciones deequilibrio) Tde traslaci$n y rotaci$nU
F ? F>? 3 . ? .>? 3
EQUILIBRIOMECNICO
A &
-
& 1 =1);1-
& =3!;
A
-
&1 1-
&
&1
=!;
3-
A
-
&
=1;
-
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CONCEPTOS PREVIOS
Ine(cia:*s una propiedad de todos los cuerpos,por la cual stos tienden a mantener suestado de reposo o de movimiento convelocidad constante&
(a inercia que posee un cuerpo puedeser comparada con la de otro por mediode su .9/9, es decir que mientras m!smasivo sea el cuerpo, mayor ser! su
inercia&
>Cmo se mani0iesta la ine(cia@
(a inercia se manifiesta en los cuerposcomo una resistencia que stos ofrecencuando se les trata de cambiar suvelocidad&
Para entender me'or esto, veamos lossiguientes casos)
#& Plataforma con la personaencima de ella avana convelocidad constante&
%uando choca con el obst!culo seinterrumpe el movimiento de laplataforma pero la persona porinercia continuar! avanando&
##& (a plataforma inicialmente est!en reposo&
Pero al aplicarle una fuera a la
plataforma, esta se pone enmovimiento mientras que la personapor inercia se resiste a cambiar sumovimiento y tiende a mantenerse enel mismo lugar&
Segunda #e8 de Neton
8eamos cu!l es la condici$n que sedebe cumplir para que un cuerpoacelere o desacelere&
Del gr!fico mostrado, el bloque semantiene en reposo sobre unasuperficie horiontal donde la fuera degravedad es equilibrada por la reacci$ndel piso&
Pero si la superficie no estuviese noeistira ninguna fuera que equilibre ala fuera de gravedad, esto provocaraque la esfera caiga aceleradamenteTcada libreU&
Conclusin:
Para que un cuerpo acelere Tcambie suvelocidadU en l debe presentarse unafuera resultante no nula la cualoriginara su aceleraci$n&
(a eperiencia demuestra que mientrasmayor fuese la fuera resultante sobreel cuerpo mayor ser! la aceleraci$n queste adquirir!&
(a aceleraci$n que un cuerpo puedeadquirir es directamente proporcional a
v
&
=!
&>
R
&>
-
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la fuera resultante e inversamenteproporcional a su masa&
':a "= F> ? m a
adem!s) F> y a tienen la mismadirecci$n&
Dinmica "ectilnea
*s aquella rama de la din!mica en la
cual el ob'eto de estudio son aquelloscuerpos que describen trayectoriasrectilneas&
E*e(cicio 7:
/obre el bloque de 0 7g inicialmente enreposo en la superficie lisa, se aplicauna fuera horiontal constante cuyom$dulo es 03 N5 determine su rapidecuando han transcurrido s&
"esolucin:
Para hallar la rapide en t ? s,
recordamos %inem!tica)
8f ? 83 M at
8f ? aTU &&&&&&&&& T-U
Nos falta el valor de la aceleraci$n ypara calcularlo utiliamos la 0da (ey deNeSton, para lo cual hacemos el D&%&(&
sobre el bloque)
Abservemos que el bloque se desplaahoriontalmente y en esa direcci$n s$lohay una fuera F ? 03N, entonces ellaser! la fuera resultante&
(uego)
F ? m a03 ? 0a a ? -3 m+s0
>eemplaamos en T-U)8f? 3 m+s
P"O,#EMAS "ES!E#TOS
-& Bn bloque es lanado con unarapide de m+s en una superficiehoriontal rugosa, detenindoseluego de 0 segundos& Determine elcoeficiente de roamiento entre lassuperficies en contacto&Tg ? -3 m+s0U
Solucin:
%omo la superficie es rugosa, sobre elbloque act1a una fuera de roamientof tal que le va disminuyendo lavelocidad y por lo tanto le provoca unaaceleraci$n negativa&
&=!
&=!;
->
a
;
& ;
=!->4-,
A B
,
a
.
-
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t
(uego) f ? m&a& ```&&&&&&&&&T-UPero) f ? & FN? mg
*n T-U) mg ? ma a ? g &&&&&& T0U
Del .&>&B&8&)
8f? 83 a t
3 ? gt
? ? --30 6
? 3,0
0& /i el bloque de 3 7g apoyadosobre la superficie horiontalrugosa, se le aplica una fuerahoriontal de 3 N, determine laaceleraci$n que adquiere&Tg ? -3 m+s0U
aU C m+s0bU m+s0
cU 6 m+s0dU m+s0eU H m+s0
Solucin:
/abemos que)F>*/? m&a&F 2 F%? m&a&F 2 %FN? m&a&3 T3,6UT3U ? a
a ? 6 m+s0
C& /i el sistema mec!nico mostrado esliberado en la posici$n mostrada,determine el tiempo que transcurre
hasta que . llegue a impactar enel piso T.?m5 g?-3m+s0U
aU 3,0 sbU 3,6 scU 3,H sdU -,3 seU -,6 s
Solucin:9 partir del instante que se liberan losbloques, estos adquieren unaaceleraci$n&
2
c
c
s'4a
'2
'g'ga
'2
f'ga
=
=
=
(uego, analiamos al bloque . el cualparte del reposo y hasta llegar al pisorecorre 0 m se trata de un .&>&B&8&
d ? 83t4 M at0
0
0 ? t0
0
t ? -s
Dinmica Ci(cun0e(encial
*s aquella rama de la din!mica en lacual el ob'eto de estudio son aquelloscuerpos que describen como trayectoriauna circunferencia&
!E7
!E)
.c
#!; a
&;
&=#!;
# F>
-
-
->
a
& ;
. c
a
->
M
!=!
-a
-
!E4!E
M
-
-
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Para comprender esto consideremos elmovimiento de un satlite alrededor dela tierra&
Qaciendo el diagrama de fueras)
Podemos observar que el satlitedescribe una trayectoria curvilneaalrededor de la tierra& Despreciando lainteracci$n con los otros planetas,podramos considerar a la trayectoriacomo una circunferencia5 como en ladirecci$n tangencial no hay fueras, lavelocidad se mantiene constante enm$dulo, pero continuamente cambia dedirecci$n, por lo tanto el satliteeperimenta aceleraci$n, la cual debeser causada por una fuera resultanteno nula&
9l observar el D&%&(& notaremos que lafuera resultante es la fueragravitatoria, la cual en todo instanteapunta al centro de la trayectoria quedescribe el satlite Tcentro de la tierraU&
Conclusin:
Para que un cuerpo describa unmovimiento circunferencial, ste debeeperimentar una fuera resultante nonula dirigida hacia el centro de lacircunferencia a la que se denominaFB*>E9 %*N;>P*;9 TFcpU, la cualcausa una aceleraci$n dirigida hacia elcentro de la circunferencia denominada
9%*(*>9%#N %*N;>P*;9 TacpU&De la 0da (ey de NeSton)
F>? m a Fcp? m acp(a aceleraci$n centrpeta mide elcambio en la direcci$n de la velocidadtangencial en el tiempo&
.atem!ticamente)
//
-a 22
c7 ==
Donde)8 ) rapide tangencial o lineal Tm+sU) rapide angular Trad+sUr ) radio de la circunferencia
(uego)
/'-
:2
c7 =
/': 2c7 =
&>
&>
&>
&>
-
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O'se()acin:*n un movimiento circunferencial elsegmento que une el centro de lacircunferencia con la partcula barre!ngulos a medida que transcurre el
tiempo5 esto lo podemos caracteriarmediante una magnitud escalarllamada) >9P#D*E 9NJB(9> TU&
.atem!ticamente)
t
= Bnidad)
s/a0
;ambin sabemos que a travs deltrayecto se cumple)
/tt
--
2
=
=
8 ? & r
Por lo tanto)
( )/
/
/
-a
22
c7
== acp? 0& r
P"O,#EMAS "ES!E#TOS
-& Bna esferita atada a una cuerda,suspendida en la forma indicada,gira uniformemente en un planohoriontal& /i la masa de la esferitaes de 0 7g determine el m$dulo dela fuera centrpeta&T?CG4 5 g?-3m+s0U
aU -3 NbU -0 NcU - N
dU -6 NeU 03 N
Solucin:
Qacemos D&%&(& a la esfera
Descomponemos
la tensi$n en ele'e radial y e'etangencial
(uego, observamos que la fueracentrpeta TF%pU queda determinada porla componente)
; sen CG4
*s decir)
F%p? ; sen CG4 ```` T-U
Lt
r
2 Sen 37"
22 Sen 37"
! ;
37"
-
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9dem!s, en el e'e tangencial)
; sen CG4 ? 03
; ? 03 ; ? 06N 6
*n T-U)F%p? 06 C
6
F%p? -6N
0& *n la figura se muestra a un bloque
de 6 7g que gira en un planohoriontal con una rapide angularconstante de 0 rad+s, atada a unacuerda de 0 m& Determine latensi$n en la cuerda&
aU 03 NbU C3 NcU 3 NdU 6 N
eU 63 N
Solucin:
Qacemos D&%&(& al bloque
*'e radial) ; ? F%p; ? m 0r
; ? T6U T0U0T0U
; ? 3 N
C& Determine la m!ima rapide quepuede alcanar un motociclista paradar una vuelta completa en unapista circular de 3 m de radio decurvatura& %onsidere /?3,065
7?3,03& Tg?-3m+s0
U
Solucin:
(a velocidad ser! m!ima, en elinstante que est a punto de salir de latrayectoria circular& *n este caso lafuera que lo mantiene en sutrayectoria ser! la fuera de roamientoest!tico m!ima fsm!&
(uego)
fsm! ? F%p
sFN? . 80." r
s.g ? . 80." r
g/- s2M;< =
)4)(1)(25=(- 2M;< =
smVMX
12 =
r
2
&;
->
M>r=4!
-
MG
.,MG4
& ;
-
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P"O,#EMAS PA"A"ESO#E" EN C#ASE
-& /obre un cuerpo inicialmente enreposo act1a, durante s, unafuera resultante de -333 N yrecorre 33 m& O%u!l es el peso delcuerpoTg?-3m+s0U
aU 033 N bU -03 N cU 0H3 NdU -3 N eU -33 N
0& *n el instante mostrado el sistema
parte del reposo& ODespus de qutiempo el bloque 9 llegar! atocar el piso Tg?-3m+s0U5m9?C:g5 m=?0:g&
aU 0 s
bU C s
cU s
dU 6 s
eU s
C& /i las superficies son totalmentelisas& Determinar la fuera dereacci$n entre las masas m0 y mC&T m-? 0 m0? mC? :gU
aU C6 N bU 6,G N cU 6G NdU 6,G N eU I-, N
& /i la masa m- avana con unaaceleraci$n a& Qalle la aceleraci$ncon que se mueve la masa mC
aU 0 a bU a cU a+0dU a+C eU Ca+0
6& Bn ascensor de 0H3 N de pesodesciende en un poo conmovimiento uniforme acelerado& *n
los primeros -3 s recorre C6 m&Qallar la tensi$n del cable del queest! suspendido el ascensor&
aU 03 N bU 003 N cU 0C3 NdU C33 N eU 0H3 N
& De la parte superior de un planoinclinado totalmente liso delongitud I,Hm se de'a caer uncuerpo& O%on qu velocidad llega al
piso en m+saU ,IbU I,HcU -0,6dU -eU G
G& Determinar la magnitud de la fueraF constante que se debe aplicar alsistema, para que los bloques 9 y =de - :g de masa cada uno no tengan
movimiento relativo respecto al carro% de masa H :g& No hay fricci$n yg?-3m+s0
aU 3 N bU 3 N cU H3 NdU -33 N eU 03 N
- 1-
- 34! ;1!! ;
3
1
#!"
$
A
B&
B
A
1# -
-
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H& Bna cuerda cuelga de una polea yen sus etremos hay dos masas 9de 0 7g y = de C 7g& Determinarla tensi$n en la cuerda T-U,sabiendo que la polea pesa 0 N y
no ofrece fricci$n& g?-3m+s0
&
aU -3 NbU 03 NcU 60 NdU H NeU 63 N
I& *n la figura, las masas 9 y =son de 3 g y 03 grespectivamente& /i la polea semueve hacia arriba de tal maneraque la masa de 3 g quedaestacionaria sin hacer contacto conel piso& Determinar la aceleraci$nde la polea& g?-3m+s0&
aU 6 m+s
0
bU m+s0
cU C mdU 0 m+s0
eU - m+s0
-3& %alcular la medida del !ngulo ,sabiendo que todas las superficiesson lisas y que al resbalar 0 , -
no se mueve& T0? 0 -U
aU 64 bU C34 cU -64dU CG4 eU 6C4
--& Bn tranva de masa m ? 6toneladas, va por una curva deradio > ? -06 m& Qallar la fueracon la cual presionan lateralmentelas ruedas sobre los rieles cuando
la velocidad del tranva es de I7m+h&
aU C33 N bU 063 N cU -06 NdU C06 N eU 63 N
-0& Bna masa de -3 7g describe unatrayectoria circular de radio - m&con una velocidad lineal de -3 m+s&Qallar la fuera en NeSton, que lamantiene en su trayectoria&
aU -33 bU -333 cU 633dU -633 eU -3
-C& Bna masa . resbala sobre unasemiesfera lisa de radio >& 9partir del reposo5 para undesplaamiento angular , suvelocidad es 8, y la fuera normales N& *ntonces)
aU N ? .g bU N ? .gM.80+0cU N _ .g cos f dU N .g cos f
eU N .g sen f-& OKu velocidad mnima ser!
necesario darle a un m$vil en laparte superior de su trayectoria, siest! atado a una cuerda al describiruna trayectoria circular vertical, enm+s /i) >?,Im5 g?-3m+s0&
aU bU6 cU dU G eU H
A B
618
B A
&
H
H 1
-
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T"A,A1O MEC-NICO
No es la intenci$n dar una definici$nrigurosa acerca del traba'o mec!nico5por el contrario queremos que secomprenda las diferencias entre estetipo de traba'o y an!logos en otroscampos de la vida&
Para comprender me'or empearemospor dar unos e'emplos)
TaU (a esfera cae y aplasta al resortevenciendo la resistencia interna deste&
TbU *l gas se desplaa levantando elmbolo superando la resistenciaofrecida por la carga hasta unadeterminada distancia, originadopor la presi$n interna del gas&
TcU (a fuera de roamiento est!ticofs evita el desliamiento de lospes del atleta y a la ve lo impulsahacia adelante5 es decir, le
transmite movimiento&
Abserve que en cada uno de los casosse ha superado una resistencia duranteuna distancia mediante la acci$n de unafuera5 pudiendo de esto concluir)
(a transferencia de movimientomec!nico de un cuerpo a otro recibe elnombre de ;raba'o .ec!nico
*sta transferencia de movimientomec!nico la cuantificamos por medio deuna magnitud escalar denominada%antidad de ;raba'o TU, la cualmatem!ticamente se eval1a de lasiguiente manera)
= $os.0.:> :A#
Para F constante
Donde):
A#> ) traba'o desarrollado mediantela fuera F para llevar elbloque desde 9 hasta =&
) !ngulo formado por F y eldesplaamiento
Bnidades)F ) NeSton TNUd ) metros TmU ) Nm ?
-
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(uego)
0.:A>A :
-
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?3>
)'1)(93(>
:#A
:#A
=
=
0& Bn bloque est! apoyado sobre unasuperficie horiontal rugosa en?3& /i se aplica una fuerahoriontal que vara en la formaindicada, determine el traba'o de lafuera de roamiento, si el traba'oneto hasta ?m es de 63 :g #A =
?16>:g =
P"O,#EMAS PA"A
"ESO#E" EN C#ASE
-& %alcular el traba'o que reali$ lafuera de 3 N en el tercer segundode su movimiento sobre el bloquede 7g, si parti$ del reposoTg ? -3 m+s0U
aU 33 < bU 633
>, si adem!s se sabe que la
persona = aplica una fuera igualal m$dulo del peso del bloque&
aU bU 2 - cU M -dU M 0 eU 2 0
--& *n el gr!fico TF vs& "U mostradodeterminar el traba'o realiadopor la fuera F desde ? 3 hasta ? - m
aU 0HH < bU 00 J9.*%N#%9 T*.U& *s decir)
*. ? *%M *PJM *P*
Im+o(tante:
(a *nerga .ec!nica de un cuerpo osistema puede variar ya que por logeneral al analiar un fen$meno fsicovemos que una forma de *nerga setransforma en otra&
E*em+lo:
/uponga que lana un bloque sobre unpiso !spero)
- *n el punto 9 el bloque tiene *.5sin embargo la fuera deroamiento cintico fc lo vadeteniendo hasta que en el punto= su *.es cero&
(uego) \(a *. no se conserva]
Conclusin:
(a *nerga mec!nica de un cuerpo y+osistema se conserva Tno cambia devalorU siempre y cuando las fueras noconservativas no efect1en traba'omec!nico&/on fueras conservativas el peso y lafuera el!stica&
*n general)
*.? 2fnc
*l cambio en la *nerga .ec!nica de uncuerpo o sistema es numricamenteigual al traba'o desarrollado en l porlas fueras que act1an en l Tsinconsiderar a la fuera de gravedad yel!sticaU&
?
>-
& D
& R
-
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P"O,#EMAS "ES!E#TOS
-& ;enemos una esfera a 063 m de
altura& %alcular luego de cu!ntossegundos de haberse soltado, suenerga cintica ser! igual a suenerga potencial gravitatoria&Desprecie los efectos del aire&Tg?-3m+s0U
Solucin:
*n todo el trayecto
s$lo act1a la fuerade gravedad& Por lotanto, la energamec!nica entre 9 y= se conserva&
*s decir)
##A
#A
,$,
MM
***
**
+=
=
Pero) ## ,$ ** =
#A ,, *2* =
.gQ ? 0T.ghU h ? Q0
h ? -06 m
(uego, nos damos cuenta que desde 9hasta = ha descendido tambin h- ?-06 m&
(uego, del .&8&%&(&
2
gtt.-h
2
1 +=
-06 ? -3 t0
0
t ? 6s
0& Bna peque[a esfera es lanada talcomo se muestra& Determine el
m$dulo de la componentehoriontal de la velocidad quetendr! la esfera cuando pase por =&Desprecie los efectos del aire&Tg?-3m+s0U
Solucin:/abemos que en el punto m!s alto dela trayectoria, la velocidad eshoriontal& 9dem!s, en dicha
trayectoria la velocidad horiontal esconstante& (uego)
% -- # = &&&&&&&&&& T-U
%%A
%A
,$$
MM
***
**
+=
=
hMg2
-M
2
-M 2%2A +=
)4=2(12
-
2
2%2
+=
8D? m+s
*n T-U)8QD? m+s
> E4-B
A
A
?1
B
?
)!-
Re.5
! =!
t
E4- B
A
D D
@B'-,
Re.5
-
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El Estudio de las osilaiones!e"nias es i!#o$tante nosola!ente #o$ su a#liai%n&$euente a la in'enie$(a) sino#o$*ue los $esultados o+tenidosdu$ante su estudio ta!+i,n#ueden se$ usados #a$a elestudio ala$ai%n de los&en%!enos osilato$ios en ot$as$a!as de la .(sia) tales o!o#o$ e/e!#lo el estudio de las
osilaiones a$!%nias *uee#e$i!entan los elet$ones enuna antena de t$ans!isi%n o el!oi!iento de las !ol,ulas ento$no a una #osii%n de e*uili+$ioen una $ed $istalina o el!oi!iento de las !ol,ulasso+$e la su#e$2ie li+$e de losl(*uidos lue'o de una#e$tu$+ai%n
Por lo epuesto, el .&9&/& es de sumaimportancia ya que permite comprenderalgunos de los movimientos oscilatoriosm!s comple'os que se presentan en lanaturalea& 9ntes de entrar a analiar ydescribir el .&9&/& conoceremosalgunos aspectos previos como lo quees) un movimiento oscilatorio y unmovimiento peri$dico&
Mo)imiento Oscilato(io
/e caracteria porque el movimiento serepite, siguiendo la misma trayectoriaen ida y vuelta& /e eperimenta unmovimiento de vaivn&Por e'emplo, un relo' de pndulo, uncolumpio, etc&
Mo)imiento Pe(idico*s aquel que se repite regularmente enintervalos de tiempo iguales&Por e'emplo, el movimiento rotacional
de la tierra, sus clases en el centro pre,etc&
Mo)imiento A(mnico*s aquel movimiento cuya posici$nest! epresada en trminos de senoy+o coseno& *n la pr!ctica todomovimiento arm$nico es a la veperi$dico&
O'se()aciones:9nalicemos el movimiento de unaesferita su'eta mediante un hilo, comose muestra)
(a esferita oscilaen torno de suposici$n m!s ba'a=
7(a:(a esfera completa una oscilaci$ncuando desarrolla un movimientocompleto, es decir, cuando va deletremo 9 hacia el etremo % yluego retorna al etremo inicial, 9&
9 = ) Bn cuarto de oscilaci$n
9 % ) .edia oscilaci$n
9 % 9 ) Bna oscilaci$n
=da.: *l tiempo que debe transcurrirpara que se repita nuevamente elevento se denomina) Perodo T;U&
B(a.:Bn movimiento peri$dico, no esnecesariamente oscilatorio y unmovimiento oscilatorio no esnecesariamente peri$dico&
Fue(3a Elstica*stas fueras se generan cuando sedeforma un cuerpo& Por lo general sedistinguen)
A
B
$
-
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a& Fue(3a De0o(mado(a %FD&:*s aquella fuera que produce ladeformaci$n del cuerpo, siempretiene el sentido de la deformaci$n&T" ? (f (3U
'& Fue(3a "ecu+e(ado(a %F"&:/e genera en los cuerposdeformados& /i la deformaci$n nosupera el lmite el!stico, se cumplela (ey de Qoo7e&
FDTD&P&U "
tetancons? 2:"
>?u/ es un Mo)imiento A(mnicoSim+le@
*s un movimiento oscilatorio, peri$dicoen lnea recta&Por e'emplo, analicemos un bloque enreposo ligado a un resorte)
(o ale'amos una distancia T9U de suposici$n de equilibrio TP&*U, por mediode una fuera deformadora TFDU&
OKu movimiento desarrolla el bloqueal de'ar de aplicar la FD
*l movimiento se repite cada ;segundos&
*l bloque adquiere movimientomec!nico, debido a la acci$n de lafuera recuperadora TF>? 7, la cualdisminuye a medida que el bloque seacerca a la P&*&U&
Elementos del M.A.S.
7. " 5 posici$n de la partcularespecto de la posici$n de equilibriollamada tambin elongaci$n
=. Am+litud %A&:.!ima posici$n oelongaci$n&
B. Pe(odo %T&:*s el tiempo utiliadopara dar una vibraci$n u oscilaci$ncompleta&
Lox
& D& R
L .
(o,icin deeCuili0rio
(5%5
li,o
& D = !
A
& R = !
Mx
9A A
;
(5%5
Mov5 de vuelta 628
Mov5 de ida 628
-
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. F(ecuencia %0&: *s el n1mero devibraciones completas por unidadde tiempo&
T
1f = Bnidad)
/2-? Qert TQU
. F(ecuencia cclica %&:
f2T
2 =
=
OPo( u/ al M.A.S. se le denominaa(mnico@
/e debe a que su movimiento est!gobernado por funciones arm$nicasTseno o cosenoU&
EC!ACIONES DE# M.A.S.Para obtener las ecuaciones del .&9&/&traba'aremos con la proyecci$nhoriontal de una partcula queeperimenta un .&%&B&, con elmovimiento del bloque&
De t3? 3 a tf? t, la partcula barre un!ngulo , y del .&%&B& se tiene que)
? & t
Ecuacin de la +osicin:
9 partir del se deduce que)
" ? 9 sen Tt M U
) Fase #nicial5 su valor depende de lascondiciones iniciales Tposici$n y
velocidad inicialU
/e epresa en rad
E*em+lo:/ea la ecuaci$n del movimiento de unoscilador arm$nico)
" ? 3,0 /en Tt M U m
Determinar su amplitud, la frecuenciacclica, fase inicial, perodo, frecuenciade oscilaci$n y su posici$n para elinstante t ? 3,06 s
Solucin:
/abemos que la ecuaci$n de
movimiento del .&9&/& es)" ? 9 sen Tt M U
x
=
(5%5
t = t
t
t. = tt = !x = !
o
A
x
-
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(uego, por dato)
" ? 3,0 sen Tt M U
%omparando ambas ecuacionestenemos que)
R 9 ? 3,0 m ? 03 cm 9mplitud
R ? rad+s Frecuencia cclica
R ? rad Fase inicial
R ; ? 0 ? 0
; ? 0 s *n cada oscilaci$nel oscilador emplea0 s
R f ? - ? -
; 0
*n cada segundo f ? 3,6 s el oscilador desa2
rrolla mediaoscilaci$n
R 9hora, en t ? 3,06 s su posici$nser!)
" ? 3,0 sen TT3,06U M Um
" ? 3,0 sen 0
-
"Tt ? 3,06U? 3,0 m
*s decir, en t ? 3,06 s el oscilador seencuentra 3,0 m a la derecha de la P&*&
Ecuacin de la elocidad
8TtU? 9 %os Tt M U
*sta ecuaci$n nos permite hallar lavelocidad del m$vil en cualquierinstante de tiempo&
;ambin)
22
-
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>El +e(odo de oscilacinH de+endede la am+litud@
\NA], depende de la masa y de larigide del resorte& *l perodo T;U se
eval1a as)
k
'2T =
>ecuerde que)
f2T
2 =
=
E*em+lo:
*l bloque de 7g que se muestra est!en reposo& De pronto se le desplaahacia la iquierda y luego se suelta&Determine la ecuaci$n de sumovimiento, si en cada oscilaci$n elbloque recorre -33 cm& T7 ? -33 N+cmU
Solucin:
/e sabe que)
" ? 9 sen Tt M U ```& T-U*l dato dice que en cada oscilaci$n elbloque recorre -33 cm, pero tambinpodemos deducir que en cada oscilaci$nel m$vil recorre cuatro veces la
amplitud T9U&
*s decir)
-33 ? 9
9 ? 06 cm ? 3,06 m
9dem!s)
41
'k ==
? 6 rad+s
Para hallar la fase inicial, evaluamos laecuaci$n T-U para t ? 3
29 ? 9 /en TT3U M U
2- ? /en ?
0
" ? 3,06 sen T6 t M U 0
En el M.A.S. >#a ene(ga mecnicase conse()a@\/] Porque la fuera que mantiene el
.&9&/& es una fuera conservativaTfuera el!sticaU& (a energa mec!nicadel sistema masa2resorte de un .&9&/&se eval1a as)
2
-'
2
kA
2
'-
2
kx*
2M;pta&)
ADICIONA#ES
-& Determine la ecuaci$n delmovimiento de un osciladorarm$nico que realia -03oscilaciones en 0 minutos& (aamplitud del movimiento es de Gcm, e inicia su movimiento en eletremo iquierdo&
aU
+=
3t2Cen2elaci$n entre el impulso T#U y lacantidad de movimiento TPU
# ? P
;oda fuera que causa un impulso sobreun cuerpo origina en l un cambio en sucantidad de movimiento&
Para un sistema de partculas)
#> ? P/#/; ? Pf2 Pi
/i) #>? 3
Pf ? Pi (a cantidad de
movimiento seconserva
CJO?!ES
/e llama choque o colisi$n a aquellasinteracciones entre cuerpos cuyotiempo de duraci$n es peque[o,eceptu!ndose en este caso laseplosiones&
Durante el choque, loscuerpos se deforman
3=! 3
& &
t
&
&
& 1
t 1 t t
1
1
1
3 3
1 & R
-
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Clasi0icacin de los cKouesA. CKoue 0(ontal.2%uando la lnea
de movimiento de los cuerpos,antes y despus del choque, es lamisma&
,. CKoue o'licuo.2%uando la lneade movimiento de los cuerpos,antes y despus del choque sondiferentes&
Coe0iciente de (estitucin*perimentalmente se percibe que lascaractersticas del movimiento despusdel choque depende de las propiedadesel!sticas de los cuerpos en interacci$n,de las fueras en la deformaci$n yrecuperaci$n, etc&5 por ello paracaracteriar los diferentes choquesusamos una cantidad adimensionalllamada %oeficiente de >estituci$nTeU&
3 e -
0efo/'a0o/
//ec7e/a0o
D
De =
Caso 7: %uando un cuerpo choca conuna pared)
e ? 8fvi 8f? e 8i
Caso =: %uando dos esferas chocanfrontalmente)
e ? 8elocidad relativa despus del choque
8elocidad relativa antes del choque
e ? 8>*(&D& %Q&8>*(&9& %Q&
O,SE"ACIONES:
-& /i) e ? -5 %QAKB* *(/;#%A& No hay deformaci$n permanente,
los cuerpos recuperan su forma&
.$.%.$.A MM ** =
0& /i) 3e-5 %QAKB* #N*(/;#%A&
i
.
1
u 1 u
618
68
68
618
-
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(os cuerpos quedan con ciertadeformaci$n permanente
LD#*"A%EMM +** f +=
C& /i) e ? 35 %QAKB* P(/;#%A&
(os cuerpos quedancompletamente deformados, nose produce el rebote, por lo tantodespus del choque quedan enreposo o se mueven con igualvelocidad T'untosU
LD#*"A%EMM +** f +=
P"-CTICA
-& Bna pelota de 'ebe de 633 g rebotaen una superficie horiontal talcomo se muestra& Determine larapide de rebote y el m$dulo delcambio de la cantidad demovimiento sabiendo que ste esmnimo&
aU -s' 5 0 7g
s'
bU -5 03cU -H5 0dU -5 0eU -5 -H
0& Bna esfera de 3,6 7g se lana con
C3 ?u/ ocu((i( con su longitud deonda@
fmedioT-U ? fmedioT0U
8medioT-U ? 8medioT0U- 0
*s decir la rapide de la onda esproporcional a su longitud de onda&
/i la rapide en el segundo medio esmenor, entonces la longitud de onda enel segundo medio ser! tambin menor&
(a frecuencia de una onda no se alteracuando se transmite de un medio a
otro&ONDAS ESTACIONA"IAS
*s un tipo especial de la interferenciade ondas que resultan de lasuperposici$n de 0 movimientosondulatorios producidos por dos focosque vibran sincr$nicamente Tcon lamisma frecuenciaU y por consiguientetienen la misma longitud de onda&
*stas interferencias se caracterianporque eisten puntos llamados nodosdonde la interferencia es siempre conanulaci$n mientras que en otros puntosllamados vientres la interferencia essiempre con refuero&
(os nodos y los vientres ocupanposiciones fi'as, de modo que esta ondaparece no avanar en el espacio de ahel nombre de onda estacionaria&
Bna caracterstica interesante es que ladistancia entre dos nodos consecutivoso dos vientres consecutivos es demedia longitud de onda T+0U, mientras
1
1- 2-
2(1>2)
3
; ; ;
3 3
;: ;/D/ 3: 3I%;2R%
2 4
-
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que la distancia entre un nodo y unvientre es de un cuarto de longitud deonda T+U&*sto se puede apreciar en la siguienteilustraci$n&
*n los gr!ficos anteriores se observaque la longitud de onda estacionaria,
toma valores definidos&
n
L=.......=
4
L=
3
L=
2
L=L
2=
n
L2=.......=
3
L2=
2
L2=L2=
Donde n es un n1mero entero
%omo f ? )(.....L2
n-f
-
=
*s decir)
etc.....=L2
-
3=L2
-
2=L2
-
f
=
(a rapide con la cual se propaga unaonda a travs de una cuerda est! dadapor)
=
T-
Donde t es una tensi$n de la cuenta TNUy es la densidad lineal de la cuerda&>eemplaado en obtenemos lafrecuencia de una onda estacionaria&
=
T
L2
nf &&&&& TU
Para n ? - obtendremos
=
T
L2
1f1
9 la cual se le denomina frecuenciafundamental de la cuerda&
(a epresi$n TU es importante porqueen ella se puede ver cuales son losfactores que influyen en la frecuenciade las ondas estacionarias en unacuerda vibrante&
%omo las cuerdas vibrantes se utilianen numerosos instrumentos musicalesTpiano, guitarra, violn, etc&U, el sonidoemitido por una cuerda de esosinstrumentos se controla a'ustando lalongitud, la tensi$n o la masa de lacuerda&
L2 =
2L2 =
3L2 =
-
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A QU SE LLAMA FLUIDO?Es toda sustania 4l(*uidos) 'ases*ue ado#ta &"il!ente la &o$!a del$ei#iente *ue lo ontiene) una desus #$o#iedades !"s i!#o$tantes esla de e/e$e$ t$ans!iti$ 67$esi%n8en todas las di$eiones
DENSIDAD ()Esta !a'nitud nos india la antidad
de !asa *ue se 9alla ontenida enla unidad de olu!en de undete$!inado !ate$ial
v
'=
Unidades:';!3< ';!3
PESO ESPECFICO4Esta !a'nitud !ide el #eso *ue#osee ada unidad de olu!en deun !ate$ial dete$!inado
-
w=
Unidades:N;!3
Relacin en!e "
g.v
'
v
g.'
v
w ===
# $ %
N&a:
La densidad de una sustaniae#$esada en ';) *ueda
e#$esada en ';!3si se !ulti#lia#o$ 1000E/e!#lo:
> ?@O= 1 ';!3
Lue'o:?@O = 41 1000 ';!3=1000
';!3
> ACEITE= 0) ';!3
= 00 ';!3
QU ES LA PRESI'N?Conside$e!os dos +lo*ues deon$eto id,ntios de ' ada uno)a#oados so+$e niee tal o!o se!uest$a
Q n&a*&+?Que el +lo*ue 6B8 se 9unde !"s *ueel +lo*ue 6A8) #e$o) D7o$*u,) si ena!+os asos los +lo*ues e/e$en la!is!a &ue$a so+$e la su#e$2ieF
B
A
&>
= 4!;
&>
= 4!;
1!;1!;
1!;
& ; =4!;
!;!;
&;
=4!;
-
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Nota!os *ue en el aso 6B8 la&ue$a de 0N se dist$i+ue so+$euna !eno$ su#e$2ie *ue en el asodel +lo*ue 6A8) #o$ ello ada unidadde "$ea de la +ase en 6B8 so#o$ta!ao$ &ue$a) #o$ eso e#e$i!enta!ao$ 9undi!iento
Lue'o) la #$esi%n es una !a'nitud&(sia *ue !ide la dist$i+ui%n deuna &ue$a #e$#endiula$ 4no$!also+$e una su#e$2ie de "$ea 6A8
Mate!"tia!ente:
7 =A
:9
Unidad en el GI
2
NPascal ( Pa )
m
> 1057a = 1 +a$
E,ERCER-N PRESI'N LOSLQUIDOS?Co!o todo ue$#o so+$e la Tie$$a)los l(*uidos ta!+i,n se enuent$ansu/etos a la &ue$a de '$aedad) #o$lo tanto) #ueden e/e$e$ #$esi%n:PRESI'N .IDROST-TICA 47?
7o$ e/e!#lo) un l(*uido #uedee/e$e$ #$esi%n so+$e las #a$edes del$ei#iente *ue lo ontiene
Ga+e!os *ue: 7 =A
:
Lue'o:
7?=m g ( V )g
A A
7?=A h g
A
/.# % 0
Honde:: Hensidad del l(*uido' : aele$ai%n de la '$aedad9 : #$o&undidad
PRESI'N TOTAL47TEs la su!a de las #$esiones loales4!ano!,t$ias) 9id$ost"tias) et la #$esi%n at!os&,$ia
E/e!#lo:?alle la #$esi%n total en el &ondo delilind$o *ue ontiene a'ua
( @
?
->
1-
-
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S&lcinEn este aso o!o el l(*uido est"e#uesto a la at!%s&e$a) de+e !osa'$e'a$se la #$esi%n at!os&,$ia47at!
7T= 7? 7at!7T= '? 7at!
7T= 25
23 '
91'1x
s
'1x
'
kg1 +
7T= 25
2
4
'
91
'
91 +
/T# 121 3 145Pa
O6+e!7aci&ne+:
1 La #$esi%n 9id$ost"tiade#ende sola!ente de la#$o&undidad !"s no de la&o$!a del $ei#iente *ueontiene al l(*uido
@ Todos los #untos en un !is!ol(*uido u+iados a una !is!a#$o&undidad so#o$tan i'ual#$esi%n la l(nea *ue unedi9os #untos se lla!aISO8ARA
IGJBARA
7A= 7B 7AK 7C
PRO8LEMAS RESUELTOS
1 Ge tiene una #isina$etan'ula$ de di!ensiones5! 10! ontiene a'ua9asta una #$o&undidad de @!
Hete$!ine la #$esi%n9id$ost"tia) la &ue$a9id$ost"tia la &ue$a totalen el &ondo de di9a #isina
S&lcin:
a ?alla!os la 7?:7?= ?@O' ?
7?= ( )'2s'1'kg1 23
7?= @0000 2'9
P.# 914:Pa
+ ?alla!os la &ue$a 9id$ost"tia4.?.?= 7?A
.?= 4 2N2 10 5m 10mm
F.# 14;N
?alla!os la &ue$a total 4.T.T= 47? 7at! A
.T=4 5 2
2 2
N N2 10 10 50m
m m
FT# ; 14; N
Re
-
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Q e+a6lece el /!inci/i& =ePa+cal?Todo uido t$ans!ite sin alte$ai%nla #$esi%n e/e$ida so+$e ,l a todaslas #a$t(ulas del !is!o en todas
di$eiones
7o$ e/e!#lo:
Gi e/e$e!os so+$e el ,!+olo una&ue$a ete$na:
Ga+e!os *ue:
7 =A
:
Lue'o) nota!os *ue la #$esi%ne/e$ida 47) se t$ans!iti% en todaslas di$eionesUna a#liai%n #$"tia de este#$ini#io es la 67$ensa ?id$"ulia8
Esta !"*uina +asa su&uniona!iento en el 7$ini#io de7asal Al a#lia$ una &ue$a so+$euno de los #istones) ,sta set$ans!iti$" al ot$o en !ao$ alo$
En la '$"2a) uando) so+$e el #ist%nde "$ea 6A18 se e/e$e una &ue$a6.18) el l(*uido t$ans!ite una #$esi%nadiional:
7o = )1(..........A
:
1
1
Lue'o) so+$e el #ist%n de "$ea 6A@8el l(*uido le e/e$e una &ue$a
adiional 6.@8 de !odo *ue:
.@= 47o 4A@ 4@
Ree!#laa!os 41 en 4@:
.@=
=
1
2
122
1
1
A
A::A
A
:
O6+e!7acin
Co!o A@ A1< entones .@ .1< estosi'ni2a *ue la #$ensa 9id$"ulia!ulti#lia la &ue$a
Las !a*uinas 9id$"ulias o!o los&$enos 9id$"ulios) 'atos 9id$"ulios)asenso$es 9id$"ulios) et Est"n+asados en el #$ini#io de #asal
8AA
1
2
se lla!a: enta/a Me"nia
A
(
( 1
( 3
( (
( 1 (
( 3 (
& ext
( o&
( o
( o( o( o
(o
(o( o
A
A 1& 1
-
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P!&6le*a =e A/licacin:La +ase del ,!+olo de una +o!+ai!#elente es un ($ulo de di"!et$o6H8! DQu, &ue$a en Neton es
#$eiso e/e$e$ so+$e di9o ,!+olo#a$a elea$ el a'ua a una altu$a de6?8 !et$os 4' = 10 !;sPF
S&lcin
La #$esi%n e/e$ida en 68se de+e la &ue$a . *ue
+usa!os Co!o el di"!et$o es 6H8
!< en !et$os se$":1
%
Lue'o:
A =2 2
2
4
D Dm
4 100 4 10
A9o$a uniendo e o+tene!os unaIs%+a$a) es dei$:
7 = 7
atm H atm
FP P P
A
He donde:
.g.A
:E2=
Lue'o:. = A ?@O'?
. =2
3
4
D10 ( 10 ) H
4 10
. = 4 %2
PRINCIPIO DE ARQUMEDES
Q e+a6lece el P!inci/i& =eA!>*e=e+?6Todo ue$#o su!e$'ido #a$ial ototal!ente en un uido)e#e$i!enta la ai%n de una &ue$a#e$#endiula$ a la su#e$2ie li+$e
del l(*uido 9aia a$$i+a)deno!inada: .ue$a de E!#u/e?id$ost"tio 4E8
La &ue$a de e!#u/e ata en elent$o de '$aedad de la #a$tesu!e$'ida
Gu#on'a!os un ilind$o 9o!o',neosu!e$'ido en un l(*uido de densidad6L8 tal o!o se !uest$a:
Co!o a sa+e!os) un l(*uido#$esiona so+$e el &ondo ont$a las#a$edes del $ei#iente) si en ,lint$odui!os un ue$#o
uales*uie$a) ,ste ta!+i,n esta$"so!etido a di9a #$esi%n
@ /
&
(o
@
yx
(o A
& 4& 3
& 1? 1
?
-
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En onseuenia) o+se$a!os *ue ell(*uido e/e$e #$esi%n so+$e las#a$edes del ilind$o ausando las&ue$as *ue se !uest$a) de tal &o$!a
*ue:
?o$iontal!ente:
F@# F: FR3# O
e$tial!ente:Co!o 7@ 71.@ .1
Lue'o) eiste una &ue$a $esultante:4.@ .1 a la ual se deno!ina6e!#u/e 9id$ost"tio 4E8E = .@ .1E = 7@A 71AE = 47@ 71 AE = L' 49@ 91A
E # L$ % $ V+*
Honde:su!: olu!en su!e$'ido
E#e$i!ental!ente) A$*u(!edeso!#$o+%*ue el alo$ del e!#u/e esi'ual al #eso del l(*uido desalo/ado
L(*uidodesalo/ado
E # *li>$ =e+al&a=&$ %
T : 7eso a#a$ente del ue$#o
O6+e!7acinCuando un ue$#o est" su!e$'idoen dos o !"s l(*uidos no !isi+les de di&e$ente densidad) e#e$i!entala ai%n de un e!#u/e $esultante
ET= EA EB EC
PRO8LEMAS RESUELTOS
1 Una #iea de !etal #esa100N en el ai$e 100Nuando est" su!e$'ida ena'ua ?alle la densidad del!etal
S&lcin
Reo$de!os *ue:
E = #eso $eal #eso a#a$ente
E = 100N 100N = 00N
Ade!"s) sa+e!os *ue: E = L' s
?@O ' su!= 00N
94-xs'1x
'kg1 s'23
3 =
%
%->
2
DI;AMM%2R/I;DI$A %L
AL/R D% LA2%;SI/;
% 2 = ->
% = -> 9 2
A
B
C
-
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su!= 10-@!3 41
7a$a 9alla$ la densidad del ue$#o4
= )vv(v'
s6'cc
c =
=3
2
2s's' 'xs
'1x4.1
91
v.g
w
v
g
w
==
= 500 ';!3
%
= )5 ';
@ ?alle la #$esi%n del 'asene$$ado en el $ei#iente 6A8
S&lcin:T$aa!os la is%+a$a 4#o$ el #unto 4@
Go+$e 41 #$esiona el 'as ene$$ado6a8 S1 ! de ?' Lue'o:
71= 7?' 7A 41
Go+$e 4@ sola!ente ata laat!%s&e$a) lue'o:
7@= 7at! 4@
41 = 4@ 7?' 7A= 7at!7A= 7at!- 7?'7A= S !?' S1 ! ?'
/A# 15 c* .%
N&aB7at!K S ! ?'
3 Un oso #ola$ *ue #esa 550 '
ota so+$e un t$oo de 9ielo)on&o$!e el 9ielo se de$$iteDCu"l se$" el olu!en !(ni!ode 9ielo a 2n de *ue el oso#ola$ no se !o/e las 'a$$asFHensidad del a'ua salada:1)03'Hensidad del 9ielo: 0)@ ';
S&lcinEl olu!en del 9ielo se$" !(ni!o
uando las 'a$$as del oso est,n a#unto de !o/a$se
E = V? Vo
A
@>
#1 c-
A
1 ISBARA
Ho
% H @I%L/
-
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L' ?= ?' ? Vo
' ?4L- ? = Vo
10 ?41030 - @0 = 5500
3
H H
550V V 5m
110
PR-CTICA DIRIIDA
1 Gi #o$ la $a!a i*uie$da deltu+o en 6U8 de sei%nonstante) se ie$te unaolu!na de 0 ! de unl(*uido 68 el niel de a'uaen la $a!a de$e9a se elea a10 ! DQu, densidad tiene ell(*uido 68F
a 0)@ ';!3
+ 0) 0)3d 0)5
e 0)
@ Un ilind$o ota e$tial!enteen a'ua on la *uinta #a$te desu olu!en e!e$'ido) un
+lo*ue de i'ual !asa esoloado eni!a del ilind$o)entones el niel del a'uau+$e a $as del +lo*ue DQu,densidad tiene el +lo*ueF
a 0)3 ';!3 + 0) 0)5 d 0)5e 0)@
3 Un +lo*ue tiene un #eso de50N en el ai$e) #e$o en el a'uasu #eso es @0N Hete$!ine elolu!en del +lo*ue4?@O= 10N;!3
a 3 ! + 3 !3 3 d!3
d @)5 !3 e NA
Un +lo*ue se oloa so+$e un$ei#iente lleno de a'ua se
o+se$a *ue desalo/a @0 !3
de a'ua) #e$o uando seoloa en un $ei#iente del(*uido desonoido desalo/a@5!3 DCu"l es el #esoes#e(2o del l(*uidoF 4el+lo*ue ota en a!+os asos4?@O= 10N;!3
5 DQu, #$esi%n 9id$ost"tiaso#o$ta el &ondo del$ei#ienteF
a @0 WN;!+ 1000 WN;!
@ /
Aceite
A>ua
Mercurio! c-
4! c-
4!c-
= 1