Funkcije raspodjele vjerovatnoće

6020/10

Rezime: U ovom seminarskom radu su opisane funkcije raspodjele vjerovatnoće, primjena nekih bitnijih funkcija raspodjele vjerovatnoće u inženjerstvu. U radu je kroz primjere prikazan način primjene pojedinih fukncija raspodjele vjerovatnoće.

Ključne riječi:

Slučajne promjenljive, histogram, standardno odstupanje, srednja vrijednost promjenljive, vjerovatnoća događaja.

1. Uvod

Bitna uloga statistike je da koristeći informaije o uzorku predvidi ponašanje populacije. Npr, kada testiramo za koje će vrijeme doći do kvara uzorka iz serije sijalica, želimo znati kolika je vjerovatnoća da će dodatna sijalica izabrana iz serije imati vrijeme kvara manje od stvarne vrijednosti. Posmatrajući tabelu 1. možemo se zapitati, "Koja je vjerovatnoća da će slijedeće mjerenje biti između 1105 i 111O°C?". Jedan pristup bi bio korištenje podataka iz tabele. Ovaj pistup se zove upotreba empirijske raspodjele. Mozemo koristit podatke sa slike 1. u obliku relativne frekvencije i temperature, kao što je prikazano na slici 2. Relativna frekvencija je broj uzoraka u svakoj posudi, podijeljen sa ukupnim brojem uzoraka. Pošto je relativna frekvencija posude za 1105 do 1110, 0.23, možemo procijeniti vjerovatnoću da će dodatno mjerenje biti približno 0.23. Ipak, ovakav pristup ima određena ograničenja. Zbog male veličine uzoraka, relativna frekvencija za individualne posude je prilično nesigurna , stoga su procjene vjerovatnoće samo približne. Ovo je posebno odnosi na posude sa jednim ili dva uzorka. Iako intuitivno očekujemo konačno malu vjerovatnoću za temperaturu nižu od 1085 i višu od 1119, upotreba direktnih podataka uzoraka neće rezultovati logičnim procjenama ovih vjerovatnoća.

1

Broj očitanja Temperatura(°C)1 10891 10922 10944 10958 10989 110012 1104455432

110511071108111011121115

Tabela 1. Rezultati 6o mjerenja temperature u cijevi [1]

Slika 1. Histogram temperatura [1]

Slika 2. Relativna frekvencija temperature cijevi [1]

2

Za određene situacije, iskustvo je pokazalo da raspodjela slučajne promjenjljive podrazumjeva određene matematičke funkcije. Podaci uzoraka se koriste za računanje parametara u matematičkim funkcijama, zatim te matematičke fuknkcije koristimo da predvidimo svojstva određene populacije. Za diskretnu slučajnu promjenljivu, ovu funkciju zovemo funkcija raspodjele vjerovatnoće. Za neprekidne slučajne promjenljive, ovu fumkciju zovemo gustina raspodjele vjerovatnoće. Kod eksperimenata ispravna funkcija distribucije može biti određena iskustvom. Međutim, tehnika poznata kao ocjena prilagodbe se može koristiti da odredi prihvatljivu funkciju raspodjele za datu situaciju. Ova tehnika je predstavljena u mnogim statističkim tekstovima, kao što su Harnett i Murphy (1975.).

2. Funkcija raspodjele vjerovatnoće

Ako diskretna slučajna promjenljiva ima vrijednost x1,x2,..,xm, onda je vjerovatnoća događaja određene vrijednosti xi, P(Xi) gdje je P funkcija raspodjele vjerovatnoće x. Kao primjer, razmotrit ćemo kocku koja ima 6 mogućih stanja, svaki sa istom vjerovatnoćom 1/6.. tada je P(xi)=1/6 za svaku vrijednost xi. Kao drugi primjer, razmotrit ćemo novčić koji ima vjerovatnoću da će biti glava 2/3 i vjerovatnoću da će biti pismo 1/3. Uzet ćemo da je glava x1, a pismo x2, krajnja funkcija će biti P(x1)=2/3 i P(x2)=1/3.

Suma vjerovatnoće za sve moguće vrijednosti x mora biti 1:

∑i=1

n

P( X I¿)=1¿ ...(1)

Srednja vrijednost promjenljive za diskretnu slučajnu promjenljivu je data izrazom

μ=∑i=1

N

xi P(x i) ...(2)

Količina μ je također poznata kao očekivana vrijednost x, E(x). Disperzija populacije je data izrazom

σ 2=∑i=1

N

( x i−μ )2 P(x i) ...(3)

3. Gustina raspodjele

Za neprekidnu slučajnu promjenljivu, funkcija f(x) koju zovemo funkcija gustine raspodjele vjerovatnoće, je definisana tako da je vjerovatnoća događaja slučajne promjenljive interval između xi i xi+dx data relacijom:

3

P(x i≤ x≤ x i+dx)=f (x i)dx ...(4)

Da bi procijenili da li će se x dogoditi u ograničeno intervalu između x=a do x=b, koristimo jednačinu:

P(a≤ x≤ b)=∫a

b

f (x )dx ...(5)

Za neprekidnu slučajnu promjenljivu, vjerovatnoća da će x imati jedinstvenu vrijednost je nula. Ako se granice intervala prošire na minus i plus beskonačno, možemo biti sigurni da je mjera u tom opsegu i vjerovatnoća će biti:

P(−∞≤ x≤+∞ )=1 ...(6)

Definiranje f(x) nam omogućava da izračunamo srednju vrijednost populacije pomoću funkcije gustoce f(x):

μ=∫−∞

+∞

xf ( x ) dx ...(7)

Ovo je također očekivana vrijednost slučajne promjenljive E(x). Disperzija je data izrazom:

σ 2=∫−∞

+∞

(x−μ )2 f (x)dx ...(8)

Primjer 1:

Životni vijek date vrste kugličnog ležaja se može opisati funkcijom raspodjele vjerovatnoće

f ( x )={ 0 x<10 h200x3 x ≥10 h ...(10)

f(x) je prikazana na slici 3.

a) odrediti životni vijek ležaja

b) ako je ležak izabran slučajno iz serije, koja je vjerovatnoća da njegov životni vijek trajanja bude kraći od 20h, duži od 20h, i tačno 20h ?

Rješenje:

Koristeći jednačinu (7), imamo

4

E ( x )=μ=∫0

+∞

xf ( x )dx=∫10

+∞

x 200x3 dx=20 h

Slika 3. Funkcija vjerovatnoće f(x) [1]

b) vjerovatnoća da će životni vijek biti kraći od 20h

P ( x≤ 20 )=∫−∞

20

f ( x ) dx=∫−∞

10

0 dx+∫10

20 200x3 dx=0.75

P ( x≥ 20 )=1−P ( x ≤20 )=0.25

P ( x=20 )=0

4. Kumulativna funkcija raspodjele

Kumulativna funkcija raspodjele je druga metoda za prikazivanje podataka za distribuciju slučajne promjenljive. Koristi se da odredimo vjerovatnoću da slučajna promjenljiva ima vrijednost manju ili jednaku naznačenoj vrijednosti. Kumulativna funkcija raspodjele za neprekidnu slučajnu promjenljivu (rv) je definisana kao

F (rv ≤ x )=F ( x )=∫−∞

x

f ( x ) dx=¿ P(rv ≤ x )¿ ...(11)

Za diskretnu slučajnu promjenljivu:

5

F (rv ≤ xi)=∑j=1

i

P x i ...(12)

Sljedeće dvije relacije su proizašleiz definicije za kumulativnu funkciju raspodjele

P (a ≤ x ≤ b )=F (b )−F (a )

P ( x>a )=1−F(a) ...(14)

Primjer 2:

Naći vjerovatnoću da će životni vijek jednog od kugličnih ležajeva iz primjera 1 imati životni vijek:

a) kraći od 15hb) kraći od 20h, koristeći kumulativnu funkciju raspodjele

Rješenje:

Koristeći jednačinu (11), dobit ćemo

F ( x )=∫−∞

x

f ( x ) dx=∫−∞

x

0 dx=0 za x≤ 10

¿0+∫10

x 200x3 dx=1−100

x2 za x>10

Ova funkcija je prikazana na slici 4. Zamjenom broja 15 u jednačini ili očitanjem sa grafikona, naći ćemo da je vjerovatnoća da životni vijek bude kraći od 15h, 0.55. Slično tome, vjerovatnoća da će životni vijek biti kraći od 20h je 0.75.

6

Slika 4. Funkcija F(x) [1]

5. Primjena nekih funkcija vjerovatnoće raspodjele u inžinjerstvu

U inženjerstvu se koriste mnoge funkcije raspodjele. Mi ćemo opisati one koje se najčešće koriste.

5.1 Binomna raspodjela

Binomna raspodjela je raspodjela koja opisuje diskretnu slučajnu promjenljivu koja može imati samo dva moguća ishoda: „uspjeh“ ili „neuspjeh“. Ova raspodjela se primjenjuje kod kontrole upravljanja kvalitetom, kada je kvalitet porizvoda prihvatljiv ili neprihvatljiv. Da bi primijenili binomnu raspodjelu u određenim eksperimentima, mojau biti zadovoljeni slijedeći uvjeti:

1. Svaki proces u eksperimentu može imati samo dva moguća ishoda „uspjeh“ ili „neuspjeh“.

2. Vjerovatnoća „uspjeha“ ostaje konstantna tokom cijelog eksperimenta. Ta vjerovatnoća se označava sa p i poznata je kao procjena za datu populaciju.

3. Eksperiment se sastoji od n bezavisnih procesa.

Binomna raspodjela omogućava vjerovatnoću (P) pronalaženja tačanog broja r uspjeha u odnosu na ukupan broj n procesa i izražava se kao

P (r )=(nr )pr(1−p)n−r ...(15)

U ovoj relacij, r je cijeli broj i uvijek je manji ili jednak n

(nr )= n!r ! (n−r ) ! , ...(16)

I zove se n kombinacija od r , i to je broj načina na koji možemo izabrati r elemenata od n elemenata.

Očekivani broj „uspjeha“ u n procesa za binomnu raspodjelu je:

μ=np ...(17)

Standardno odstupanje binomne raspodjele je:

7

σ=√np(1−p) ...(18)

Nekada nas samo zanima pronalaženje vjerovatnoće da će se neki događaj desiti manje ili jednako određenom broju puta. Ako je k broj događaja (k ≤ n), onda

P (r ≤k )=∑i=0

k

P(r=i)=∑i=0

k

(ni ) pi(1−p)n−i ...(19)

Naziv ove raspodjele je potekao iz činjenice da su vjerovatnoće u toj raspodjeli članovi

binomnog razvoja 1=(q+ p)n=qn+np qn−1+(n2) p2 qn−1+…+ pn . [2]

Primjer 3:

Proizvođač računara tvrdi da su njihovi računari pouzdani i da samo 10% računara zahtjeva poprvak unutar vremena trajanja garancije. Odrediti vjerovatnoću da će u seriji od 20 računara, 5 zahtjevati popravak unutar vremena trajanja garancije.

Rješenje:

Možemo primijeniti binomnu raspodjelu zbog uspjeh/neusjeh ishoda procesa. Uspjeh će biti definisan kao nepotreban popravak unutar vremena trajanja garancije.U ovom slučaju, zasnovano na testovima proizvođača, p=0.9 . ostale pretpostavke osnovne primjene ove raspodjele su da svi procesi budu nezavisni i da vjerovatnoće uspjeha ili neuspjeha budu iste za sve računare. Koristeći jednačine (15) i (16), imamo

(nr )=(2015)= 20 !

15 ! (20−15 )!=15,504

P=(2015)0.915(1−0,9)5=0.032

Zaključak je da je veoma mala šansa (3.2%) da će tačno 5 računara iz serije od 20 zahtjevati popravak.

5.2 Poissonova raspodjela

Poissonova raspodjela se koristi da procijenimo broj slučajnih pojavljivanja događaja u određenim intervalima vremena ili prostora, ako je prosječni broj pojavljivanja već poznat. Na primjer, ako je poznato, da u prosjeku, 10 mušterija posjeti banku u periodu od 5 minuta tokom vremena za ručak, Poissonova distribucija se može koristiti da se predvidi vjerovatnoća da će 8 mušterija posjetiti banku tokom tih određenih 5 minuta. Poissonova raspodjela nam također može koristiti za prostornu promjenu. Na primjer, ako je poznato da su, u prosjeku,

8

dvije pukotine po kvadratnom metru tiskane pločice, Poissonova raspodjela se može koristiti da predvidimo vjerovatnoću da će biti četiri pukotine na kvadratnom metru pločice.

Sljedeće dvije pretpostavke ističu Poissonovu raspodjelu:

1. Vjerovatnoća pojavljivanja događaja je ista za bilo koji interva iste dužine.2. Vjerovatnoća pojavljivanja događajaje nezavisna od pojavljivanja drugih događaja.

Vjerovatnoća pojavljivanja x događaja je data izrazom:

P ( x )= e−λ λx

x ! ...(20)

gdje je λ očekivana ili srednja vrijednost broja pojavljivanja događaja tokom intervala koji nas zanima.

Očekivana vrijednost x za Poissonovu distribuciju, ista kao i srednja vrijednost, μ je data izrazom:

E ( x )=μ=A ...(21)

Standardno odstupanje je dato izrazom:

σ=√ λ ...(22)

U nekim slučajevima, cilj je da nađemo vjerovatnoću da će se desiti određeni ili manji broj događaja. Da bi izračunali vjerovatnoću da će broj ponavljanja biti manji ili jednak k, mora biti izračunata suma vjerovatnoćek , k−1...0 događaja, i data je izrazom:

P ( x≤ k )=∑i=0

k e− λ λi

i ! ...(23)

Primjer 4:

Kod cijevi spojenih zavarom pronađeno je u prosjeku pet pukotina po 10 dužnih metara zavara (0.5 pukotina po metru). Koja je vjerovatnoća da će biti:

a) jedna pukotina u zavaru dugom 0.5 metarab) više od jedne pukotine u zavaru dugom 0.5 metara

Rješenje:

λ, prosječni broj pukotina na 0.5 m , je 0.5 x0.5=0.25. Koristeći jednačinu (20), naći ćemo da je vjerovatnoća jednog kvara

P (1 )= e−0.250.251

1 !=0.194

9

Prema tome, vjerovatnoća da će se pojaviti jedna pukotina je 0.194. vjerovatnoća da će biti više od jedne pukotine je

P ( x>1 )=1−P (0 )−P (1 )

P(0) se izračuna iz jednačine (20) i iznosi 0.778. Vjerovatnoća je

P ( x>1 )=1−0.778−0.194=0,028

Prema tome, vjerovatnoća da će biti više od jedne pukotine je samo 0.028.

5.3 Normalna (Gausova) rspodjela

Normalnu raspodjelu prvi je uveo i koristio njemački matematičar Gaus (Karl Friedrich Gauss, 1777. – 1855.). Ova raspodjela ima najveći značaj među svim raspodjelama, jer mnoge slučajne promjenljive imaju upravo normalnu raspodjelu, a osim toga mnoge druge raspodjele se mogu aproksimirati sa normalnom ili se može napraviti transformacija slučajne promjenljive kojom se ona dovodi na normalnu raspodjelu.[2]

 Jednačina za normalnu raspodjelu funkcije gustoće je:

f ( x )= 1σ √2π

e−( x−μ)2 /2 σ 2

...(24)

U ovoj jednačini, x je slučajna promjenljiva. Funkcija ima dva parametra: standardno odstupanje populacije,σ , i srednju vrijednost populacije, μ. Podaci funkcije f (x) i promjenljive x za različite vrijednosti σ i konstantnu srednju vrijednost μ su prikazani na slici 5. Kao što vidimo na slici raspodjela je simetična u odnosu na vrijednost µ, i što je manje standardno odstupanje ,maksimum funkcije f (x) je veći.

Slika 5. Funkcija normalne raspodjele [4]

10

S obzirom na definiciju gustine raspodjele (jednačina 5), za datu populaciju, vjerovatnoća da će x imati jedinstvenu vrijednost između donje granične vrijednosti x1 i gornje granične

vrijednosti x2 je

P ( x1≤ x ≤ x2 )=∫x1

x2

f ( x ) dx=∫x1

x2 1σ √2 π

e−(x−μ)2 /2σ 2

dx ...(25)

Da bi pojednostavili integraciju, funkcija se modificira promjenom promjenljive tako da je numerička vrijednost integrala opća i korisna za sve probleme. Bezdimenzionalna promjenljiva z je definisana izrazom

z= x−μσ ...(26)

Sada možemo definisati funkciju

f ( z )= 1√2 π

e−z2 /2 ...(27)

koja se naziva standardna normalna funkcija gustoće. Ona predstavlja normalnu funkciju gustine vjerovatnoće za slučajnu promjenljivu z , čija je srednja vrijednost μ jednaka nuli i σ=1. Ova normalizovana funkcija je prikazana na slici 6.

Uzimajući diferencijal jednačine (26), imamo dx=σdz. Uvrštavajući u jednačinu (25) dobijemo

P ( x1≤ x≤ x2 )=∫z1

z2

f ( z ) dz ...(28)

Vjerovatnoća da se vrijednost x nalazi između x1 i x2 je jednaka vjerovatnoći da se promjenljiva z nazalzi između z1 i z2.

P ( x1≤ x≤ x2 )=P ( z1 ≤ z ≤ z2 )=P (x1−μ

σ≤ x−μ

σ≤

x2−μσ

) ...(29)

Vjerovatnoća P(Z1≤ Z ≤ Z2) ima vrijednost jednaku šrafiranom području prikazanom na slici 5. Kriva prikazana na slici je simetrična u odosu na vertikalnu osu z=0, što ukazuje na to da su, kod ove raspodjele ,vjerovatnoće pozitivnog i neativnog odstupanja od z=0 jednake.

P (−Z1 ≤ Z ≤ 0 )=P (0 ≤ z ≤ z1 )=P(−Z1≤ Z ≤ Z1)

2 ...(30)

11

Slika 6. Standardna normalna funkcija raspodjele [1]

Kao što smo ranije spomenuli , integral u jednačini (25) ima dva slobodna parametra (µ i σ). S druge strane integral u jednačini (28) nema slobodnih parametara. Ako je z1u jednačini (28) nula, praktično je da se integrira i da se rezultati prikažu tabelarno kao funkije od z2 ili jednostavno z. Rezultat integracije je prikazan u tabeli 2. S obzirom da je standardna funkcija normalne raspodjele simetrična oko z=0, tabela se može koristiti da previdi vjerovatnoću događaja slučajne promjenljive u rasponu -∞ do +∞ ako populacija podliježe osnovnim karakteristikama normalne rasdpodjele. Tabela prikazuje vrijednosti vjerovatnoće da slučajna promjenljiva ima vrijednost između 0 i z za vrijrdnost z prikzanu u lijevoj koloni i u prvom redu. Prvi red je prikazuje drugu decimalu prve kolone. Način na koji koristimo tabelu je objašnjen u slijedećem primjeru.

Primjer 5.

Rezultati testa koji podliježu normalnoj raspodjeli ima srednju vrijednost 10 i standardno odtupanje 1. Naći vjerovatnoću da je jedno očitanje

a) između 9 i 12b) između 8 i 9.55c) manje ili jendaka 9d) veće od 12

Rješenje:

a) Koristeći jednačinu (26) dobijemo z1=9−10

1=−1 i z2=

12−101

=2. Tražimo područje

ispod krive standardne normalne distribucije od z=−1do z=2 [slika7(a)]. Ovo ćemo rastaviti na dva dijela: od z=−1 do 0 i od z=0 do z=2. Područje ispod krive od z=−1 do 0 je jednako području od z=0 do z=1. Iz tabele 2., uzimamo vrijednost 0.3413. Za područje od z=0 doz=2 uzimamo vrijednost 0.4772. To je,

P (−1≤ z≤ 0 )=P (0,1 )=0,3413 i P (0≤ z ≤2 )=0,4772

12

Stoga je,

P (−1≤ z≤ 2 )=0.3413−0.4772=0.8185=81.85 %

b) z1=8−10

1=−2i z2=

9.55−101

=−0.45. Tražimo područje izmeđuz=−2i z=−0.45

[slika 7(b)] . Iz tabele 2., za područje od z = -2 do z = 0 uzimamo vrijednost 0.4772 i za područje od z = -0.45 do z = 0 , 0.1736. Rezultat koji tražimo je razlika između ova dva područja:

P (−2≤ z≤−0.45 )=0.4772−0.1736=0.3036=30.36 %

c) z1=−∞i z2=−1[slika 7(c)]. Iz tabele 2., vidimo da je vrijednost za P(−1 ≤ Z ≤0) 0.341. Također znamo da je za P(−∞≤ z≤−1) 0.5. Stoga je,

P (−∞ ≤ z ≤−1 )=0.5−0.3413=0.1587=15.87 %

Tabela 2. Područja standardne normalne distribucije [3]

13

d) z1=(12−10)/1=2 i z2=∞. Tražimo područje od z = 2 i z = ∞ [slika 7(d)]. Iz tabele 2.,za područje od z = 0 do z = 2 uzimamo vrijednost 0.4772. Za područje od z = 0 do z = ∞ uzimamo vrijednost 0.5. Tražena vjerovatnoća je razlika između ova dva područja:

P (2≤ z≤+∞ )=P (0 ,+∞ )−P (0,2 )=0.5−0.4772=0.0228=2.28 %

Slika7. (a,b,c,d) [1]

5.4 Standardna logaritamska raspodjela

U nekim eksperimentima, izmjerena promjenljiva je ograničena na pozitivne vrijednosti i vrijednosti ove promjenljive su obično male, ali ponekad mogu biti i velike. Ovakve varijable

14

mogu biti opisane kao logaritamska distribucija. Ako je eksperimentalna promjenljiva X i definišemo novu promjenljivu Y, takvu da je Y=ln ( X ) , i ako je funkcija Y normalno raspodjeljena, onda eksperimentalna promjenljiva X podliježe logaritamskoj distribucij.

Ako je srednja vrijednost X, m i standardno odstupanje s, onda je funkcija Y normalno raspodjeljena sa srednjom vrijednosti μ=ln (m ) i standardnim odstupanjem σ=ln (s ).

Slika 8.Raspodjela pogodna za logaritamsku analizu [1]

5.5 Eksponencijalna distribucija

Eksponencijalna distribucija ima isti osnovni proces, ali ispitije trajanje intervala između uzastupnih pojavljivanja slučajnog događaja. Pošto je interval između događaja neprerkidna promjenljiva, eksponencijalna raspodjela je neprekidna raspodjela.

Eksponencijalna raspodjela se koristi da opiše vjerovatnoću kvara dijelova u konstantnom vremenskom razdoblju, bez obzira na startost dijelova. Ovi se dijelovi kvare više slučajno nego zbog sustavnog trošenja. Na primjer,na električnim instrumentima koji se koriste u inženjerskim eksperimentima često se može desiti kvar ne zbog starosti instrumenata, nego ako slučajno padnu ili ako su izloženi visokom naponu. Eksponencijalna raspodjela je korisna za opisivanje kod ovakvog načina kvara instrumenata, i koristi se u inženjerstvu za opisivanje vjerovatnoće slučajnog kvara dijelova. Kvarovi kod mehaničkih dijelova, s druge strane, se skoro uvijek dešavaju zbog istrošenosti i za njih ne možemo koristiti eksponencijalnu raspodjelu.

Funkcija vjerovatnoće eksponencijalne raspodjele je data izrazom

f ( x ; λ )={λe− λx , x ≥00 , x<0

Gdje je λ>0.

15

Za ovu raspodjelu , srednja vrijednost i standardno odstupanje x su jednaki i dati su izrazima μ=1/ λ i σ=1/ λ .

Pošto je vjerovatnoća da će se događaj desiti u intervalu integral f(x) u tom intervalu, može se reći da je P ( x1≤ x≤ x2 )=(e−λ x1−e− λ x2) i P ( x≤ a )=1−e− λa.

Slika 8. Eksponencijalna funkcija e− x [5]

6. Zaključak

Funkcije raspodjele opisuju ponašanje slučajne promjenljive. U matematskom smislu,daje vjerovatnoću slučajne promjenljive pretpostavljajući datu vrijednost. To znaći da funkcije raspodjele koristimo uvijek kada nam je model vjerovatnoće dat u obliku neprekidne funkcije.Normalna raspodjela ima najveći značaj među svim raspodjelama, jer mnoge slučajne promjenljive imaju upravo normalnu raspodjelu. Eksponencijalna raspodjela je korisna za opisivanje kod slučajnog kvara instrumenata, i kao takva se koristi u inženjerstvu.

16

Literatura:

[1]Anthony J. Wheeler, Ahmad R. Ganji, Introduction in Engineering Expermentation, V. V. Krishnan, Brian S. Thurow. -3rd ed.,2010

[2] dr.sc. Almir Huskanović, MATEMATIKA III skripta za studente Mašinskog fakulteta

[3] http://www.statsoft.com/Textbook/sttable.html/1

[4] https://www3.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf

[5] http://www.mast.queensu.ca/~stat455/lecturenotes/set4.pdf

17