univerzitet u kragujevcu prirodno … prijemni ispiti...univerzitet u kragujevcu prirodno...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
PRIRODNO�MATEMATI^KI FAKULTET
INFORMATOR
INSTITUTA ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
ZA UPIS U PRVU GODINU
OSNOVNIH AKADEMSKIH STUDIJA
[KOLSKE 2013/2014. GODINE
KRAGUJEVAC, 2013. GODINE
AUTORI: prof. dr Marija Stani}doc. dr Suzana Aleksi}doc. dr Tatjana Aleksi}
IZDAJE: Univerzitet u KrgujevcuPrirodno�matemati~ki fakultetRadoja Domanovi}a 1234000 Kragujevac, Srbijahttp://www.pmf.kg.ac.rs
Institut za matematiku i informatikuhttp://imi.pmf.kg.ac.rs
Sadr`aj
Uslovi za upis na osnovne akademske studije 7
Pravila studirawa 9
[ta je matematika 14
Ra~unarske nauke ili Informatika 15
Osnovne akademske studije 16
Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Master akademske studije 34
Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Zadaci za pripremu prijemnih ispita 39
Ovaj informator je namewen budu}im studentima matema-
tike i informatike na Institutu za matematiku i infor-
matiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu. U
wemu mo`ete na}i detaqne informacije o nastavnim plano-
vima osnovnih i master akademskih studija matematike i in-
formatike, o uslovima za upis i o na~inu polagawa prijemnog
ispita.
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Drage budu}e kolege,
Verovatno ve}ina vas upravo sada bira sebi profesiju za ~itav `ivot.
Ona bi trebalo da bude potrebna i korisna dru{tvu u kome `ivimo,
ali bi ona istovremeno trebalo da vam predstavqa i zadovoqstvo. Ako
ste odlu~ili da svoje vreme, entuzijazam i strpqewe posvetite studijama
matematike ili informatike, na dobrom ste putu da va{ posao bude i jedno
i drugo.
Prva, i ~esto jedina, predstava novih studenata o primeni znawa koje
}e na ovim studijama ste}i jeste da }e slu`iti samo daqem preno{ewu
mla|im generacijama (radu u {koli) ili, eventualno, kao osnova za nau~ni
rad. Oni, svakako, ne gre{e u tome da su ovakva opredeqewa dobra, ali
nisu jedina. Naime, u dana{wem dru{tvu, realne situacije name}u gomilu
problema koji se ne mogu re{iti bez matematike, niti se mogu realizovati
bez primene informacionih tehnologija. Pomenimo samo sve popularni-
ju finansijsku matematiku, kao i to da se svako istra`ivawe u oblasti
medicine, biologije ili pak bilo koje dru{tvene nauke ne mo`e izvesti bez
statisti~ke obrade podataka. Da li vam je poznato da se dobro organizovan
saobra}aj, osiguravaju}a dru{tva, banke i sli~no oslawaju na matemati~ke
modele?
O primenama informacionih tehnologija nije potrebno govoriti. O
wima mo`ete u~iti na raznim fakultetima, ali vam na{ pru`a mogu}nost
da u saradwi sa kolegama matemati~arima napravite korak daqe. Inter-
net pretra`iva~i, agenti, video igrice nezamislivi su bez saradwe infor-
mati~ara i matemati~ara (u kompaniji Google radi ~itav tim matemati-
~ara).
Za koji god se modul opredelili, na{a saradwa se ne mora zavr{iti
va{im diplomirawem. Mo`emo sara|ivati na doktorskim studijama ili
u konkretnim poslovima. U svakom slu~aju, bi}e nam drago da ostanemo u
kontaktu.
Vidimo se u oktobru!
6
INFORMATOR 2012. GODINE
Uslovi za upis na osnovne akademske studije
Prirodno�matemati~ki fakultet u Kragujevcu se sastoji iz ~etiri In-
stituta:
• Institut za matematiku i informatiku;
• Institut za biologiju i ekologiju;
• Institut za fiziku;
• Institut za hemiju.
Institut za matematiku i informatiku realizuje tri nivoa studija:
osnovne akademske studije, master akademske studije i doktorske akademske
studije. Osnovne akademske studije na studijskim grupama Instituta za
matematiku i informatiku traju ~etiri godine (8 semestara), master aka-
demske studije jednu godinu (2 semestra) i doktorske akademske studije traju
tri godine (6 semestara).
Upis studenata vr{i se na osnovu konkursa, sa ta~no odre|enim pra-
vilima za utvr|ivawe redosleda kandidata za upis. Konkurs se objavquje
u sredstvima javnog informisawa i na osnovu wega kandidati podnose
prijavu sa svom potrebnom dokumentacijom.
Pravo na upis osnovnih akademskih studija imaju dr`avqani Srbije,
kao i dr`avqani drugih zemaqa ukoliko su sredwe obrazovawe u ~etvoro-
godi{wem trajawu stekli u Srbiji. Dr`avqani Srbije i stranci koji su
prethodno obrazovawe stekli u inostranstvu, mogu da se upi{u na prvu go-
dinu studija ukoliko su prethodno nostrifikovali svedo~anstva ste~ena
u inostranstvu. Tako|e, stranac mora da podnese i dokaz da je savladao
srpski jezik, kao i potvrdu da je zdravstveno osiguran.
Prijemni ispit za studije u Institutu za matematiku i informatiku
pola`e se iz matematike po programu prirodno�matemati~kog smera gim-
nazije. Za pripremu prijemnog ispita preporu~ujemo uxbenike i zbirke za-
dataka iz matematike za u~enike gimnazije prirodno�matemati~kog smera.
7
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
U ovom Informatoru (strana 39) mo`ete na}i zadatke za pripremu pri-
jemnog ispita. U~enici koji su u ~etvrtom razredu osvojili jednu od prve
tri nagrade na Republi~kom takmi~ewu iz matematike (takmi~ewe u or-
ganizaciji Dru{tva matemati~ara Srbije i Ministarstva za prosvetu i
nauku Republike Srbije) ili na Srpskoj matemati~koj olimpijadi, oslo-
bo|eni su polagawa prijemnog ispita.
Kandidat podnosi PRIJAVU ZA KONKURS (Studentska slu`ba Fa-
kulteta) sa originalnim ili overenim kopijama dokumenata (originali se
donose na uvid) i to:
• izvod iz mati~ne kwige ro|enih;
• svedo~anstvo svih razreda prethodnog obrazovawa;
• diplomu;
• dokaz o uplati naknade za polagawe prijemnog ispita.
Napomena. Bez li~ne karte nije mogu}e polagawe prijemnog ispita.
Komisija za upis utvr|uje op{tiuspeh kandidata u sredwemobrazovawu,
rezultate kandidata na prijemnom ispitu, kao i rang listu kandidata za
upis na prvu godinu studija.
Kandidat koji stekne pravo na upis da bi se upisao na studije podnosi:
• originalna dokumenta (4 svedo~anstva, diplomu i izvod iz mati~ne
kwige ro|enih);
• dva obrazca [V-20 (Skriptarnica Fakulteta);
• indeks (Studentska slu`ba Fakulteta);
• dve fotografije formata 4, 5× 3, 5 cm;
• dokaz o uplati odgovaraju}ih naknada.
8
INFORMATOR 2012. GODINE
Svi potrebni obrasci se kupuju u skriptarnici Fakulteta. Upisom na
Fakultet sti~e se status studenta. Obaveze i prava studenata regulisana
su Statutom Fakulteta.
Sva dodatna obave{tewa u vezi upisa naFakultet, kao i konkurisawa za
studentski dom, mo`ete dobiti u studentskoj slu`bi putem telefona (034)
300-260 ili li~no na Fakultetu, ulica Radoja Domanovi}a 12, Kragujevac,
a mo`ete posetiti i Web stranu Fakulteta http://www.pmf.kg.ac.rs
ili Web stranu Instituta http://imi.pmf.kg.ac.rs.
Institut za matematiku i informatiku se nalazi u glavnoj zgradi
Prirodno�matemati~kog fakulteta na drugom spratu. Institut raspola`e
dobro opremqenim ra~unarskim salama sa stalnom i brzom Internet ve-
zom.
Pravila studirawa
Ukupno trajawe osnovnih akademskih studija uInstitutu za matematiku
i informatiku Prirodno-matemati~kog fakulteta u Kragujevcu je 4 godine
(8 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 240 ESPB. Nakon
osvojenih 240 ESPB, student, u zavisnostu od izabranog modula, sti~e
odgovaraju}i stru~ni naziv.
Na osnovnim akademskim studijama matematike postoje dva modula:
• Teorijska matematika;
• Profesor matematike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od stru~nih naziva:
• Diplomirani matemati~ar � teorijska matematika;
• Diplomirani matemati~ar � profesor matematike.
9
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Na osnovnim akademskim studijama informatike postoje dva modula:
• Ra~unarstvo i informatika;
• Profesor informatike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od stru~nih naziva:
• Diplomirani informati~ar;
• Diplomirani informati~ar � profesor informatike.
Na master akademske studije matematike, odnosno informatike, stu-
dent se mo`e upisati nakon zavr{enih osnovnih akademskih studija ma-
tematike, tj. informatike, i sakupqenih 240 ESPB. Studije traju jednu
godinu (2 semestra). Za to vreme student treba da sakupi 60 ESPB. Nakon
osvojenih 60 ESPB (odnosno 300 ESPB, na nivou petogodi{wih studija) i
uspe{no odbrawenog Zavr{nog rada student sti~e odgovaraju}i akademski
naziv u zavisnosti od izabranog modula.
Na master akademskim studijama matematike postoje dva modula:
• Teorijska matematika;
• Profesor matematike;
u odnosu na koje student sti~e jedan od akademskih naziva:
• Master matemati~ar � teorijska matematika;
• Master matemati~ar � profesor matematike.
Na master akademskim studijama informatike postoji samo jedan modul
i nakon zavr{etka studija student sti~e akademski naziv
• Master informati~ar.
10
INFORMATOR 2012. GODINE
Svaki od studijskih programa ima definisane obavezne i izborne pred-
mete koji u skladu sa svojom prirodom mogu biti akademsko�op{teobrazov-
nog (AO), teorijsko�metodolo{kog (TM), nau~no�stru~nog (NS) i stru~no�
aplikativnog (SA) tipa. Nastava se realizuje kroz predavawa (p), ve`be (v),
druge oblike aktivne nastave (don), a na master studijama i kroz studijski
istra`iva~ki rad (s).
Na po~etku svake{kolske godine se objavquje spisak izbornih predmeta
(iz ponu|enih grupa) koji mogu biti realizovani u toj {kolskoj godini sa
definisanim limitima broja studenata. Prijavqivawe izbornih predmeta
se vr{i po pravilu prilikom upisa godine. Nastava iz datog predmeta }e
se organizovati ako ukupan broj studenata na izabranom predmetu bude ve}i
od predvi|enog limita.
Ispuwavawem predispitnih obaveza i polagawem ispita student mo`e
ostvariti najvi{e 100 poena. Da bi student polo`io ispit mora da osvoji
najmawe 51 poen. Princip ocewivawa je dat slede}om tabelom.
Ostvaren broj
poena
Numeri~ka (opisna) ocena Nenumeri~ka
ocena
0− 50 5 (nedovoqan) F
51− 60 6 (dovoqan) E
61− 70 7 (dobar) D
71− 80 8 (vrlo dobar) C
81− 90 9 (odli~an) B
91− 100 10 (odli~an� izuzetan) A
Student koji nije polo`io ispite iz spiska obaveznih predmeta do
po~etka naredne {kolske godine, upisuje isti predmet. Student koji ne
polo`i izborni predmet, slede}e {kolske godine mo`e ponovo upisati
isti ili se opredeliti za drugi izborni predmet.
Na master akademskim studijama, student ne mo`e ponovo polagati isti
predmet koji je ranije polo`io na osnovnim akademskim studijama. Uko-
11
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
liko je student obavezne predmete sa master akademskih studija polo`io
kao izborne predmete na osnovnim akademskim studijama, onda umesto wih
pola`e izborne predmete.
Posledwi ispit u toku master akademskih studija je Zavr{ni rad, ~iji
prakti~ni deo studenti rade u toku posledweg semestra. Spisak tema i
mentora za Zavr{ni rad odre|uje Ve}e katedre Instituta za matematiku i
informatiku na po~etku svake {kolske godine i isti~e na oglasnoj tabli
i sajtu Instituta. Studenti prijavquju temu u toku zimskog semestra.
Ukoliko se dva studenta opredele za istu temu, prednost ima student koji
se ranije prijavio. Ukoliko se vi{e studenata istog dana opredeli za istu
temu, prednost ima student sa najve}om prose~nom ocenom. Zavr{ni rad
se brani pred tro~lanom komisijom iz reda nastavnika koju odre|uje Ve}e
katedre Instituta za matematiku i informatiku, a mentor Zavr{nog rada
je obavezno jedan od ~lanova komisije.
Doktorske akademske studije matematike, odnosno ra~unarskih nauka,
traju 3 godine (6 semestara). Za to vreme student treba da sakupi 180
ESPB). Nakon osvojenih 180 ESPB i odbrawene Doktorske disertacije,
student sti~e nau~ni naziv doktor nauka � matemati~ke nauke, odnosno
doktor nauka � ra~unarske nauke.
Na doktorske akademske studije iz oblasti matematike (tj. ra~unarskih
nauka) mogu se upisati:
• magistrimatemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka (lica
sa V II2 stepenom stru~ne spreme);
• specijalisti matemati~kih (tj. informati~kih/ra~unarskih) nauka;
• studenti poslediplomskih (magistarskih ili specijalisti~kih) stu-
dija prema propisima koji su va`ili pre stupawa na snagu Zakona
o visokom obrazovawu, ako su na diplomskim studijama ostvarili
proce~nu ocenu ne mawu od 8, 00;
12
INFORMATOR 2012. GODINE
• lica sa zavr{enim master akademskim studijama iz oblasti matema-
tike (tj. informatike/ra~unarstva), obima 300 ESPB, sa prose~nom
ocenom ne mawom od 8, 00;
• lica sa zavr{enim ~etvorogodi{wim diplomskim studijama iz obla-
sti matematike (tj. informatike/ra~unarstva) prema propisima koji
su va`ili pre stupawa na snagu Zakona o visokom obrazovawu, ako su
na diplomskim studijama ostvarili prose~nu ocenu ne mawu od 8, 00;
• lica sa zavr{enim diplomskim akademskim studijama iz oblasti
srodnih matematici (tj. informatici/ra~unarstvu), sa prose~nom
ocenom ne mawom od 8, 00 (srodnost oblasti utvr|uje Ve}e katedre
Instututa za matematiku i informatiku);
• lica koja su stekla ekvivalentno obrazovawe u inostranstvu (ako
takvim licima srpski jezik nije materwi, neophodna je potvrda o
znawu srpskog jezika, koju izdaje odgovaraju}a ustanova).
Za upis na doktorske akademske studije neophodno je poznavawe engles-
kog jezika ~iju proveru vr{i Prirodno-matemati~ki fakultet.
Detaqne informacije o doktorskim akademskim studijama matematike
i doktorskim akademskim studijama ra~unarskih nauka mogu se na}i na
Web strani Instituta za matematiku i informatiku.
13
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ta je matematika
Iako su mnogi poku{avali da defini{u {ta je matematika, op{ti
stav je da je ni jedna definicija ne mo`e potuno opisati. Jedini put
do odgovora na ovo pitawe jeste bavqewe matematikom. Recimo samo da
je matematika daleko od predstave koju ve}ina ima � tehnika baratawa
brojevima i slovima, tj. ra~un. Potpuno suprotan do`ivqaj imaju oni
koji se wom bave. Oni }e se slo`iti sa konstatacijom da je matematika
najuniverzalniji alat, primenqiviji od bilo kog drugog. Matemati~ari
koriste brojeve i simbole u razli~ite svrhe, od stvarawa novih teorija do
prevo|ewa tehni~kih problema u matemati~ke okvire.
O zna~aju matematike najboqe govori slede}i zakqu~ak konferencije
UNESCO-a o obrazovawu.
�Matematika i wen stil razmi{qawa moraju postati sastavni deo
op{te kulture savremenog ~oveka, ~oveka koji se obrazuje u dana{wim {ko-
lama, bez obzira da li }e on vr{iti posao koji koristi matematiku ili
ne.�
�Predmetmatematike je tolikote`ak da netreba prepustiti slu~aju
da se u~ini zanimqivim.�
Pierre Simon Laplace
�Matematika, kad je ~ovek dobro shvati, sadr`i ne samo istinu ve} i
najvi{u lepotu.�
Bertrand Russel
�Matematika pru`a egzaktnim naukama stanovitu meru sigurnosti
koja se bez matematike ne bi mogla posti}i.�
Albert Einstein
14
INFORMATOR 2012. GODINE
Ra~unarske nauke ili Informatika
Iako se ovi pojmovi ~esto poistove}uju, me|u wima ipak postoji raz-
lika.
”Computer science, or computing science, is the study of the theoretical
foundations of information and computation and their implementation and
application in computer systems.”
Wikipedia, the free encyclopedia
”Informatics includes the science of information, the practice of infor-
mation processing, and the engineering of information systems. Informatics
studies the structure, behavior, and interactions of natural and artificial sys-
tems that store, process and communicate information...”
Wikipedia, the free encyclopedia
Na{a misija je:
• da postanemo obrazovni i tehnolo{ki inkubator budu}e softverske
industrije Srbije;
• da kvalitet znawa na{ih studenata bude prepoznatqivo dobar;
• da na{i studenti budu spremni za samostalan rad u praksi i dovoqno
samouvereni da svoj posao mogu i samostalno da osmisle.
Na{a vizija je:
• da kroz partnerstvo sa firmama za razvoj softvera omogu}imo stu-
dentima praksu i time ih pripremimo za poslove za koje se {koluju;
• da zajedno sa studentima osnovnih, master i doktorskih studija radi-
mo na realizaciji projekata koji zahtevaju primene informacionih
tehnologija u razvoju.
15
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Osnovne akademske studije
Matematika
Bitne karakteristike studija su:
• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;
• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki matemati~ar mora da
poseduje;
• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da prema
svojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-
vati;
• planovi su tako osmi{qeni da je promenamodula u toku studijamogu}a
u bilo kom trenutku.
Modul Teorijska matematika je namewen studentima koji `ele da wi-
hove studije matematike imaju kako nau~ni i istra`iva~ki karakter, tako
i da budu primenqive. Pre svega one bi im omogu}ile da upoznaju na-
juniverzalnije matemati~ke jezike, aparate i konstrukcije, ~ime bi bili
osposobqeni da rade na razvoju same matematike. Sagledavawe matematike
sa najvi{eg i najsavramenijeg nivoa omogu}uje ukqu~ivawe u bilo koju de-
latnost u kojoj se matematika primewuje. Obzirom na specifi~nost studija
na ovom modulu studenti }e imati mogu}nost da odaberu mentora koji }e im
pomo}i i usmeravati u toku studija. Svedoci smo da su matemati~ari danas
nezamewivi stru~waci projektnih timova u oblasti tehnike, industrije,
statisti~kih analiza, genetike, i raznih drugih, {to ukazuje na veliku
potrebu za ovim obrazovnim profilom. Ono {to za vas mo`e biti intere-
santno je da je potra`wa za ovakvim stru~wacima ve}a od ponude. Tako|e,
izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe student je
osposobqen da radi kao profesor matematike u svim osnovnim i sredwim
{kolama.
16
INFORMATOR 2012. GODINE
Modul Profesor matematike je namewen studentima koji, pre svega,
`ele da nakon zavr{etka studija rade u {kolama kao profesori matema-
tike. Program je prilago|en tom ciqu pa su ove studije obojene ve}im
brojem metodi~kih sadr`aja. Programom je predvi|ena obavezna praksa u
{kolama, kojom bi student u velikoj meri bio pripremqen za poziv za koji
se {koluje.
Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija stu-
dent sti~e:
• sposobnost logi~kog mi{qewa, formulisawa pretpostavki, izvo-
dewa zakqu~aka na formalan i formalizovan na~in;
• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;
• sposobnost za profesionalno napredovawe;
• sposobnost primene znawa u praksi;
• sposobnost kriti~kog i samokriti~kog mi{qewa i pristupa;
• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;
• poznavawe i razumevawe osnovnih matemati~kih disciplina;
• sposobnost povezivawa razli~itih matemati~kih disciplina;
• sposobnost primene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih prob-
lema;
• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;
• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih informa-
ciono�komunikacionih tehnologija za daqe stru~no usavr{avawe;
• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|eg
rada.
17
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M101 TM Matemati~ka logika i teorija
skupova
2 2 0 6
M102 TM Elementarna geometrija sa
trigonometrijom
2 2 0 6
M103 TM Analiza 1 3 3 0 9
M104 SA Softverski alati 1 2 0 5
Izborni predmet 1 2 1 0 5
Zbir 10 10 0 31
[ifra Tip Izborni predmet 1^asovi
ESPBp v don
K102 AO Engleski jezik 1 2 1 0 5
K103 AO Ruski jezik 1 2 1 0 5
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M105 TM Analiza 2 3 3 1 9
M106 TM Linearna algebra i polinomi 3 3 0 9
M107 SA Diskretna matematika 2 2 0 6
Izborni predmet 2 2 1 0 5
Zbir 10 9 1 29
[ifra Tip Izborni predmet 2^asovi
ESPBp v don
K106 AO Engleski jezik 2 2 1 0 5
K104 AO Ruski jezik 2 2 1 0 5
18
INFORMATOR 2012. GODINE
Druga godina, 3. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M108 NS Analiza 3 3 3 0 8
M109 NS Analiti~ka geometrija 3 3 0 8
M151 SA Osnovi programirawa 2 2 1 7
Izborni predmet 3 2 2 0 7
Zbir 10 10 1 30
[ifra Tip Izborni predmet 3^asovi
ESPBp v don
M120 SA Teorija brojeva 2 2 0 7
M122 SA Finansijska matematika 2 2 0 7
Druga godina, 4. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M111 NS Analiza 4 3 3 0 8
M112 NS Algebarske strukture 3 3 0 9
M113 TM Geometrija 3 3 0 8
Izborni predmet 4 2 0 1 5
Zbir 11 9 1 30
[ifra Tip Izborni predmet 4^asovi
ESPBp v don
B140 AO Osnovi ekologije 2 0 1 5
F123 AO Filozofija prirodnih nauka 2 0 1 5
19
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Modul Teorijska matematika
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M114 SA Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 7
M208 NS Algebra i logika 3 3 0 8
M118 NS Funkcionalna analiza 3 3 0 9
Izborni predmet 5 2 2 0 7, 6
Zbir 11 11 0 31, 30
[ifra Tip Izborni predmet 5^asovi
ESPBp v don
M216 NS Kombinatorika 2 2 0 6
M178 SA Obrazovni softver 1 2 2 0 6
M119 SA Linearno programirawe 2 2 0 7
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M116 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 9
M211 NS Topologija 1 3 2 0 8
M215 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6
Izborni predmet/i 6 2, 4 2, 0 0 6, 7
Zbir 10, 12 10, 8 1 29, 30
[ifra Tip Izborni predmet/i 6^asovi
ESPBp v don
K110 TM Pedagogija 2 0 0 4
B125 AO Bioetika 2 0 0 3
M155 SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 6
20
INFORMATOR 2012. GODINE
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M115 NS Verovatno}a 3 3 0 7
M204 TM Metodika 3 2 1 7
M209 NS Parcijalne i integralne
jedna~ine
3 3 0 7
Izborni predmet 7 2 0 0 4
Izborni predmet 8 3, 2 0, 2 1, 0 6
Zbir 14, 13 8, 10 2, 1 31
[ifra Tip Izborni predmet 7^asovi
ESPBp v don
K109 AO Psihologija 2 0 0 4
B130 AO Jezi~ka kultura u matematici 2 0 0 4
[ifra Tip Izborni predmet 8^asovi
ESPBp v don
M205 AO Istorija i filozofija
matematike
3 0 1 6
M202 SA Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 6
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M117 SA Statistika 3 2 1 7
M201 NS Kompleksna analiza 3 3 1 8
M212 NS Diferencijalna geometrija 3 3 1 8
Izborni predmet 9 0, 2 0, 2 0, 0 6
Zbir 9, 11 8, 10 3, 3 29
21
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmet 9^asovi
ESPBp v don
M245 SA Stru~na praksa 0 0 0 6
M217 NS Topologija 2 2 2 0 6
Modul Profesor matematike
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M114 SA Diferencijalne jedna~ine 3 3 0 7
M118 NS Funkcionalna analiza 3 3 0 9
K109 AO Psihologija 2 0 0 4
Izborni predmeti 5 i 6 4, 4 4, 2 0 12, 10
Zbir 12, 12 10, 8 0 32, 30
[ifra Tip Izborni predmet 5 i 6^asovi
ESPBp v don
M202 SA Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 6
M178 SA Obrazovni softver 1 2 2 0 6
M216 NS Kombinatorika 2 2 0 6
K130 AO Jezi~ka kultura u matematici 2 0 0 4
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M116 SA Numeri~ka matematika 3 3 1 9
M203 SA Elementarna matematika 4 3 1 9
K110 TM Pedagogija 2 0 0 4
Izborni predmet 7 2, 3 2 0 6, 8
Zbir 11, 12 8 2 28, 30
22
INFORMATOR 2012. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet 7^asovi
ESPBp v don
M211 NS Topologija 1 3 2 0 8
M215 NS Neeuklidske geometrije 2 2 0 6
M155 SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 6
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M115 NS Verovatno}a 3 3 0 7
M205 AO Istorija i filozofija
matematike
3 0 1 6
M204 TM Metodika 3 2 1 7
Izborni predmet 8 3, 4 3 0 7
Zbir 12, 13 8 2 27
[ifra Tip Izborni predmet 8^asovi
ESPBp v don
M162 NS Baze podataka 1 3 3 0 7
F198 NS Fizika 1 4 3 0 7
M209 NS Parcijalne i integralne
jedna~ine
3 3 0 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M117 SA Statistika 3 2 1 7
M201 NS Kompleksna analiza 3 3 1 8
M245 SA Stru~na praksa 0 0 0 6
Izborni predmeti 9 i 10 5, 5 3, 2 2, 2 12
Zbir 11, 11 8, 7 4, 4 33
23
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmeti 9 i 10^asovi
ESPBp v don
M212 NS Diferencijalna geometrija 3 3 1 8
F122 AO Razvoj nau~ne misli 2 0 1 4
M165 SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 6
M206 TM Metodika u {koli 3 0 1 6
Napomena. U8. semestru student bira izborne predmete tako da obezbedi
12 ESPB.
24
INFORMATOR 2012. GODINE
Informatika
Bitne karakteristike studija su:
• nastavni planovi su uskla|eni sa Bolowskom deklaracijom;
• obavezni predmeti pokrivaju znawa koja svaki informati~ar mora
da poseduje;
• veliki broj izbornih predmeta nudi studentima mogu}nost da prema
svojim afinitetima sami odaberu za koje }e se oblasti specijalizo-
vati;
• obavezna praksa u partnerskim firmama, kao i veliki broj semi-
narskih radova daju dobar okvir da ste~ena teorijska znawa budu
funkcionalna i upotrebqiva.
Tokom studija studenti se upoznaju sa osnovnim matemati~kim apara-
tima potrebnim za definisawe osnova raznih informati~kih disciplina,
sa osnovnim oblastima ra~unarskih nauka, wihovim ulogama i me|usob-
nim odnosima, kao i osnovnim objektima, konceptima i metodama koje
te oblasti izu~avaju. Studijski program je koncipiran tako da razvija
sposobnost shvatawa i formulisawa problema, kao i modelirawe sistema
sa ciqem re{avawa prakti~nih problema. Stru~na praksa se realizuje
u partnerskim softverskim firmama i firmama ~ije se funkcionisawe
velikim delom oslawa na primenu informacionih tehnologija.
Modul Ra~unarstvo i informatika namewen je studentima koji `ele
da nastave sa daqim stru~nim i nau~nim usavr{avawem, kao i studen-
tima koji `ele da obavqaju poslove koji zahtevaju vladawe razli~itim
oblastima ra~unarskih nauka, poznavawe i sposobnost kori{}ewa pos-
toje}ih, razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija, kao i pri-
lago|avawe specifi~nim zahtevima razli~itih oblastiqudskog delovawa.
Tako|e, izborom predmeta iz pedago{ko�psiholo{ko�metodi~ke grupe stu-
dent je osposobqen da radi kao profesor informatike u svim osnovnim i
sredwim {kolama.
25
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Modulu Profesor informatike je namewen studentima koji `ele da
rade u {kolama kao profesori informatike. Zavr{etkom ovog modula stu-
denti su osposobqeni da uspe{no prenose znawe iz oblasti informatike
i ve{tine kori{}ewa savremenih informacionih tehnologija uz primenu
savremenih nastavnih metoda i da izvode dodatnu nastavu u osnovnim i
sredwim {kolama.
Savladavawem studijskog programa osnovnih akademskih studija in-
formatike student sti~e:
• sposobnost logi~kog mi{qewa;
• sposobnost komunikacije na profesionalnom nivou i timskog rada;
• sposobnost za profesionalno napredovawe;
• sposobnost primene znawa u praksi;
• sposobnost prezentovawa rezultata svog rada;
• poznavawe i razumevawe osnovnih oblasti ra~unarskih nauka;
• poznavawe, razumevawe i sposobnost primene savremenih informa-
cionih tehnologija;
• razumevawe savremenih kretawa u oblasti ra~unarskih nauka;
• sposobnost povezivawa razli~itih oblasti ra~unarskih nauka i pri-
mene ste~enih znawa u re{avawu prakti~nih problema;
• sposobnost pra}ewa i primene novina u struci;
• sposobnost za kori{}ewe stru~ne literature i savremenih infor-
maciono�komunikacionih tehnologija u sticawu znawa iz oblasti
ra~unarstva i srodnih oblasti;
• sposobnost analize i procene ispravnosti rezultata svog i tu|eg
rada.
26
INFORMATOR 2012. GODINE
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M151 TM Osnovi programirawa 2 2 1 7
M152 TM Teorijske osnove informatike 1 2 2 0 6
M153 TM Linearna algebra i analiti~ka
geometrija
3 2 0 6
M154 TM Ra~unarski sistemi 2 1 0 6
Izborni predmet iz grupe A 2 1 0 5
Zbir 11 8 1 30
[ifra Tip Izborni predmet � grupa A^asovi
ESPBp v don
K102 AO Engleski jezik 1 2 1 0 5
K103 AO Ruski jezik 1 2 1 0 5
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M155 SA Strukture podataka i
algoritmi 12 2 0 7
M156 TM Matemati~ka analiza 3 2 0 6
M157 TM Teorijske osnove informatike 2 2 2 0 6
M158 NS Arhitektura ra~unara 1 3 2 0 7
M159 AO Softverski alati 1 1 2 0 4
Zbir 11 10 0 30
27
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Druga godina, 3. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M160 NS Strukture podataka i
algoritmi 22 2 1 7
M161 TM Teorijske osnove
informatike 32 2 0 6
M162 NS Baze podataka 1 3 3 0 7
M163 NS Operativni sistemi 1 3 2 0 7
Izborni predmet iz grupe B1 1, 3 2 0 5
Zbir 11, 13 11 1 32
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B1^asovi
ESPBp v don
M181 SA Softverski alati 2 1 2 0 5
M198 AO Fizika za informati~are 3 2 0 5
Druga godina, 4. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M164 NS Objektno-orijentisano
programirawe
3 2 1 7
M165 SA KlijentskeWeb tehnologije 2 2 1 7
M166 NS Ra~unarske mre`e i mre`ne
tehologije
3 2 0 6
Izborni predmet iz grupe B2 2 0 0 3
Izborni predmet iz grupe B3 2 1 0 5
Zbir 12 7 2 28
28
INFORMATOR 2012. GODINE
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B2^asovi
ESPBp v don
B125 AO Bioetika 2 0 0 3
K113 AO Jezi~ka kultura 2 0 0 3
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa B3^asovi
ESPBp v don
K106 AO Engleski jezik 2 2 1 0 5
K104 AO Ruski jezik 2 2 1 0 5
Tre}a godina, 5. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M167 SA Vizuelno programirawe 3 2 1 8
M168 NS Informacioni sistemi 1 3 2 1 8
M169 SA Algoritamske strategije 2 2 1 7
Izborni predmet iz grupe V1 2 2 0 7
Zbir 10 8 3 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V1^asovi
ESPBp v don
M175 SA Web programirawe 2 2 0 7
M170 NS Arhitektura ra~unara 2 2 2 0 7
29
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Tre}a godina, 6. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M172 NS Inteligentni sistemi 1 3 2 1 8
M173 SA Softverski in`ewering 1 3 2 0 6
M251 TM Numeri~ka matematika i
simboli~ko programirawe
2 2 1 6
M267 SA Stru~na praksa 3
Izborni predmet iz grupe V2 2 2 0 7
Zbir 10 8 2 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa V2^asovi
ESPBp v don
M174 SA Elektronsko poslovawe 2 2 0 7
M171 NS Interakcija ~ovek�ra~unar 2 2 0 7
Modul Ra~unarstvo i informatika
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M252 NS Operativni sistemi 2 3 2 1 7
M253 TM Formalni jezici, automati i
jezi~ki procesori
2 2 0 5
M255 SA Baze podataka 2 2 2 0 5
Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0 7
Izborni predmet iz grupe R1 2 2 0 7
Zbir 11 10 1 31
30
INFORMATOR 2012. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet � grupa R1^asovi
ESPBp v don
M122 AO Finansijska matematika 2 2 0 7
M120 TM Teorija brojeva 2 2 0 7
M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7
M259 SA Primewena informatika 2 2 0 7
M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M176 NS Programirawe slo`enih
softverskih sistema
3 2 0 6
M177 SA Projektni zadatak 2 0 4 7
Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6
Izborni predmet iz grupe R2 2 2 1 6
M182 SA Zavr{ni rad 4
Zbir 9 6 6 29
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa R2^asovi
ESPBp v don
M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6
M263 NS Informacioni sistemi 2 2 2 1 6
M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6
M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6
31
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Modul Profesor informatike
^etvrta godina, 7. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
K109 TM Psihologija 2 0 0 4
M254 NS Metodika nastave
informatike
3 2 1 7
M178 SA Obrazovni softver 1 2 2 0 5
Izborni predmet iz grupe P1 2 2 0 7
Izborni predmet iz grupe P1 2, 3 2 0, 1 7
Zbir 11, 12 8 1, 2 30
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa P1^asovi
ESPBp v don
M122 AO Finansijska matematika 2 2 0 7
M120 TM Teorija brojeva 2 2 0 7
M256 NS Ra~unarska grafika 2 2 0 7
M257 SA Izborni seminar 2 2 0 7
M252 NS Operativni sistemi 2 3 2 1 7
^etvrta godina, 8. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
K110 TM Pedagogija 2 0 0 4
M258 SA Metodika u {koli 1 0 2 3
M183 SA Stru~na praksa 6
M266 SA Metodika programirawa 3 2 2 7
M179 SA Obrazovni softver 2 1 0 2 4
Izborni predmet iz grupe P2 2, 3 2 1, 0 6
Zbir 9, 10 4 7, 6 30
32
INFORMATOR 2012. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet grupa P2^asovi
ESPBp v don
M262 SA Kvalitet i testirawe softvera 2 2 1 6
M263 NS Informacioni sistemi 2 2 2 1 6
M265 NS Ra~unarske simulacije 2 2 1 6
M180 NS Paralelno programirawe 2 2 1 6
M176 NS Programirawe slo`enih
softverskih sistema
3 2 0 6
33
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Master akademske studije
Matematika
Ovaj studijski program ~ini prirodnu i logi~ku celinu sa studijskim
programom osnovnih akademskih studija matematike. Koncipiran je tako
da se formiraju kompetentni i moderno obrazovani stru~waci, ~ije znawe
ne zastareva i koji su veoma tra`eni u prosveti, industriji, razvojno�
istra`iva~kim centrima, finansijskim institucijama i drugim mestima
gde postoji potreba za primenom matemati~kih aparata. Tako|e, posto-
ji i mogu}nost daqeg stru~nog i nau~nog usavr{avawa na doktorskim
studijama. Kroz grupu predmeta teorijske matematike na modulu Teo-
rijska matematika, studenti se na savremen na~in upoznaju sa klasi~nim
matemati~kim teorijama, kao i sa aktuelnim trendovima u matematici.
Pored usvojenih znawa, ovakvim obrazovawem se sti~e sposobnost apstra-
kcije i logi~kog razmi{qawa. Kvalitet obrazovawa obezbe|en je ~iweni-
com da ga izvode profesori sa velikim nau~nim ugledom u svetu, koji su
u~esnici vi{e doma}ih i me|unarodnih nau~no�istra`iva~kih projekata.
Kroz grupu pedago{ko�didakti~kih predmeta na moduluProfesor matema-
tike, studenti se u potpunosti osposobqavaju za rad u osnovnim i sredwim
{kolama, kako za redovne programe, tako i za programe dodatne nastave.
Modul Teorijska matematika
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
M230 NS Teorija mere i integracije 4 3 0 0 10
Izborni predmet 1 4 3 0 0 10
M236 SA Studijski istra`iva~ki
rad 10 0 0 7 7
Zbir 8 6 0 7 27
34
INFORMATOR 2012. GODINE
[ifra Tip Izborni predmet 1^asovi
ESPBp v don
M231 NS Geometrija povr{i 4 3 0 10
M232 NS Teorija grafova 4 3 0 10
M233 NS Numeri~ka analiza 1 4 3 0 10
M234 NS Matemati~ko programirawe 1 4 3 0 10
M235 NS Logika 1 4 3 0 10
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
Izborni predmet 2 4 3 0 0 10
M242 SA Studijski istra`iva~ki
rad 20 0 0 13 13
M243 SA Master rad 0 0 0 0 10
Zbir 4 3 0 13 33
[ifra Tip Izborni predmet 2^asovi
ESPBp v don
M237 NS Rimanova geometrija 4 3 0 10
M238 NS Spektralna teorija matrica i
grafova
4 3 0 10
M239 NS Numeri~ka analiza 2 4 3 0 10
M240 NS Matemati~ko programirawe 2 4 3 0 10
M241 NS Logika 2 4 3 0 10
35
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Modul Profesor matematike
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M220 TM Psiholo{ke osnove u~ewa
matematike
3 2 2 10
M221 SA Osnovi istra`ivawa 2 2 3 9
Izborni predmet 1 3 2 1 9
Zbir 8 6 6 28
[ifra Tip Izborni predmet 1^asovi
ESPBp v don
M222 NS Odabrana poglavqa algebre i
logike
3 2 1 9
M223 NS Odabrana poglavqa analize 3 2 1 9
M224 NS Odabrana poglavqa geometrije 3 2 1 9
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
Izborni predmet 2 3 3 2 0 10
M228 SA Studijski istra`iva~ki
rad
0 0 0 12 12
M229 SA Master rad 0 0 0 0 10
Zbir 3 3 2 12 32
[ifra Tip Izborni predmet 2^asovi
ESPBp v don
M225 SA Metodika nastave algebre i
logike
3 3 2 10
M226 SA Metodika nastave analize 3 3 2 10
M227 SA Metodika nastave geometrije 3 3 2 10
36
INFORMATOR 2012. GODINE
Informatika
Studijski program je koncipiran tako da se formiraju kompetentni i
moderno obrazovani stru~waci, sposobni za uspe{no obavqawe poslova
koji zahtevaju vladawe razli~itim oblastima ra~unarskih nauka. Pored
poznavawa i sposobnosti kori{}ewa postoje}ih tehnologija, studenti se
osposobqavaju i za razumevawe i razvoj novih informacionih tehnologija.
Kako su informacione tehnologije postale sastavni deo funkcionisawa
skoro svih oblasti dru{tvenog delovawa, stru~waci ovakvog profila
imaju kompetencije koje su u potpunosti dru{tveno opravdane i korisne.
Ovaj studijski program omogu}ava daqe stru~no i nau~no usavr{avawe.
Prva godina, 1. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don
M261 NS Teorijsko ra~unarstvo 2 2 1 7
M260 AO Verovatno}a i statistika 2 2 0 5
M269 SA Upravqawe projektima 2 2 1 6
Izborni predmet iz grupe M 2 2 1
Izborni predmet iz grupe M 2 2 1, 0
Zbir 10 10 4, 3 31
Napomena. Student iz grupe M mora da izabere dva predmeta koji u
zbiru vrede najmawe 13 ESPB.
37
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
[ifra Tip Izborni predmeti � grupa M^asovi
ESPBp v don
M264 SA Inteligentni sistemi 2 2 2 1 8
M276 AO U~ewe na daqinu 2 2 1 6
M202 TM Nacrtna i kompjuterska
geometrija
2 2 0 6
M274 NS Inteligentni informacioni
sistemi
2 2 1 7
M273 SA Softverski in`ewering 2 2 2 1 7
M281 SA Master izborni seminar 2 2 1 7
M275 TM Predstavqawe znawa i
zakqu~ivawe
2 2 1 8
Prva godina, 2. semestar
[ifra Tip Predmet^asovi
ESPBp v don s
M278 SA Master projektni zadatak 2 2 2 0 7
M279 NS Studijski istra`iva~ki
rad
0 0 0 14 15
M280 NS Zavr{ni rad 7
Zbir 2 2 2 14 29
38
INFORMATOR 2012. GODINE
Zadaci za pripremu prijemnih ispita
1. Dat je izraz I =
(ab + b
aab − b
a
+1
1 + ba
− 1
1− ba
):1− a−3b
a+b3a+ba−b − 3
.
• Za koje vrednosti promenqivih a i b je definisan izraz I?
• Dokazati da izraz I ima istu vrednost za sve vrednosti pro-
menqivih a i b za koje je definisan (tj. dokazati da izraz ne
zavisi od a i b).
Re{ewe: a ̸= 0, b ̸= 0, a+ b ̸= 0, a− b ̸= 0; I = 1.
2. Za a = 0, 025 odrediti vrednost izraza
A =
(a+ a−1 − 1
a+ a−2− a− a−1
a+ a−1 + 2
):
a−1
1 + a−1.
Re{ewe: A = 1.
3. Izra~unati vrednost izraza I =1− 1
(m+x)2(1− 1
m+x
)2 ·(1− 1− (m2 + x2)
2mx
),
ako je x =1
m− 1,m ̸= 1.
Re{ewe: I =m3
2(m− 1).
4. Odrediti vrednost izraza R =1a − 1
b+c1a + 1
b+c
:a−b−cabc
1 + b2+c2−a2
2bc
, za a = 0, 02,
b = −11, 05 i c = 1, 07.
Re{ewe: 0, 1.
5. Izra~unati vrednost izraza
( 4√a− 4
√b)−2 + ( 4
√a+ 4
√b)−2
√a+
√b
:
(a− b
√a+
√b
)−2
, a, b > 0, a ̸= b.
Re{ewe: 2.
39
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
6. Izra~unati vrednost izrazaa b−2 (a−1b2)
4(ab−1)
2
a−2 b (a2b−1)3a−1 b
, ako je a = 10−3 i
b = 10−2.
Re{ewe: 100.
7. Uprostiti izraz
(b−1 + a−1
ab−1 + ba−1
)−1
+
(a−1 + b−1
2
)−1
− b−1 − a−1
a−1b−1,
a ̸= −b, ab ̸= 0.
Re{ewe: 2b.
8. Izra~unati vrednost izraza
(1−
(1 + x
1− x
)−1)·(1 +
(1 + x
1− x
)−1)−1
za x = 0, 0001.
Re{ewe: 0, 0001.
9. Re{iti jedna~inu |x+ 2| − |x− 2| = 4.
Re{ewe: x ∈ [2,+∞).
10. Re{iti slede}e jedna~ine:
(a) ||x| − 2| = 5;
(b) ||2x− 3| − x+ 1| = 4x− 1.
Re{ewe: (a) x ∈ {7,−7}; (b) x =5
7.
11. Re{iti jedna~inu√x− 1 +
√x+ 24− 10
√x− 1 = 5.
Re{ewe: x ∈ [1, 26].
12. U skupu realnih brojeva, za a ̸= b, a ̸= c, b ̸= c, re{iti jedna~inu
(x− b)(x− c)
(a− b)(a− c)+
(x− c)(x− a)
(b− c)(b− a)+
(x− a)(x− b)
(c− a)(c− b)= 1.
Re{ewe. Re{ewe je svako x ∈ R.
40
INFORMATOR 2012. GODINE
13. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x+ 10
x+ 7< 2.
Re{ewe: x ∈(−3
2, 4).
14. Re{iti nejedna~inu |x− 1|+ |x+ 2|+ 3x+ 1 6 0.
Re{ewe: x ∈(−∞,−4
3
).
15. Re{iti nejedna~inu
∣∣∣∣2x− 4
x+ 3
∣∣∣∣+ x− 2 > 0.
Re{ewe: x ∈ [−5,−3) ∪ (−3,−1] ∪ [−2,+∞).
16. Re{iti jedna~inux2 + x− 5
x+
3x
x2 + x− 5+ 4 = 0.
Re{ewe: x1 = −1 +√6, x2 = −1−
√6, x3 = 1, x4 = −5.
17. Re{iti jedna~inu 3(x2 +
1
x2
)− 7(x+
1
x
)= 0 u skupu kompleksnih
brojeva.
Re{ewe: x1 =3 +
√5
2, x2 =
3−√5
2,
x3 =−1 + 2
√2 i
3, x4 =
−1− 2√2 i
3.
18. Re{iti jedna~inux2 + 2x+ 7
x2 + 2x+ 3= x2 + 2x + 4 u skupu kompleksnih
brojeva.
Re{ewe: x1 = x2 = −1, x3 = −1 + 2 i, x4 = −1− 2 i.
19. Re{iti jedna~inu |x2 − 9|+ |x2 − 4| = 5.
Re{ewe: x ∈ [−3,−2] ∪ [2, 3].
41
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
20. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (3k + 6)x + k − 7 bude
rastu}a i da wen grafik se~e negativan deo y�ose.
Re{ewe: −2 < k < 7.
21. Odrediti parametar k tako da funkcija y = (4k − 1)x − k + 3 bude
opadaju}a i da wen grafik se~e pozitivan deo y�ose.
Re{ewe: k <1
4.
22. Zbir dva broja je 89. Ako ve}i broj podelimo mawim, dobija se
koli~nik 3 i ostatak 5. Koji su to brojevi?
Re{ewe: 21 i 68.
23. Zbir cifara dvocifrenog broja je 8. Ako se ciframa zamene mesta,
dobijeni broj }e za 10 biti ve}i od dvostrukog prvog broja. Koji je
to broj?
Re{ewe: 26.
24. Ako se dvocifreni broj, ~iji je zbir cifara 5, uve}a za 9, dobi}e se
broj sastavqen od istih cifara, ali u obrnutom redosledu. Koji je
to broj?
Re{ewe: 23.
25. Odrediti vrednost parametra a tako da jedna~ine x2 − ax + 1 = 0,
x2 − x+ a = 0 imaju bar jedno zajedni~ko re{ewe.
Re{ewe: a = −2.
26. Re{iti nejedna~inux2 − 2
x2 − x− 2<
1
2.
Re{ewe: x ∈ (−2,−1) ∪ (1, 2).
42
INFORMATOR 2012. GODINE
27. Re{iti nejedna~inu2x2 + x− 13
x2 − 2x− 3> 1.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−5) ∪ (−1, 2) ∪ (3,+∞).
28. Re{iti nejedna~inu x2 + x+3
x2 + x+ 16 3.
Re{ewe: x ∈ [−2,−1] ∪ [0, 1].
29. Re{iti nejedna~inu |x2 − 2x− 3| < x+ 1.
Re{ewe: x ∈ (2, 4).
30. Re{iti sistem nejedna~ina 1 <3x2 − 5x− 2
x2 + 1< 3.
Re{ewe: x ∈(−1,−1
2
)∪ (3,+∞).
31. Re{iti sistem kvadratnih jedna~ina:
x2 + y2 + x+ y = 8,
x2 + y2 + xy = 7.
Re{ewe: (x, y) ∈{(1, 2), (2, 1), (1,−3), (−3, 1)
}.
32. Re{iti sistem jedna~ina:
x+√xy + y = 14,
x2 + xy + y2 = 84.
Re{ewe: (x, y) ∈{(2, 8), (8, 2)
}.
43
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
33. Ako su x1 i x2 re{ewa jedna~ine x2 − 2x+ 5 = 0, odrediti vrednost
izrazax1
2 + x1x2 + x22
x13 + x2
3.
Re{ewe:1
22.
34. Neka su x1 i x2 re{ewa kvadratne jedna~ine x2 − 4x + 3(k − 1) = 0.
Odrediti vrednost realnog parametra k tako da je1
x1+
1
x2= −4.
Re{ewe: k =2
3.
35. Odrediti vrednost realnog parametra m tako da su x1 i x2 re{ewa
kvadratne jedna~ine 2x2− (2m+1)x+m2−9m+39 = 0, za koja va`i
x1 = 2x2.
Re{ewe: m1 = 10, m2 = 7.
36. U jedna~ini x2 + (k + 3)x + k + 21 = 0 odrediti k tako da bude
ispuwen uslovx1
x2+
x2
x1< 1.
Re{ewe: (−∞,−21) ∪ (−9, 6).
37. U kvadratnoj jedna~ini 2x2 − 2(m − 3)x + 2m2 − 17 = 0 odrediti
vrednost parametra m, tako da za korene date kvadratne jedna~ine
va`i x21 + x2
2 = 19.
Re{ewe: m1 = −7, m2 = 1.
38. Re{iti jedna~inu√6− x− x2 = x+ 1.
Re{ewe: x = 1.
39. Re{iti jedna~inu√x+ 17−
√x− 7 = 4.
Re{ewe: x = 8.
44
INFORMATOR 2012. GODINE
40. Re{iti jedna~inu√2x− 4−
√x+ 5 = 1.
Re{ewe: x = 20.
41. Re{iti nejedna~inu√x2 − 3x− 10 < 8− x.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−2] ∪[5,
74
13
).
42. Re{iti jedna~inu√2x+ 14−
√x− 7 =
√x+ 5.
Re{ewe: x = 11.
43. Re{iti jedna~inu√x+ 6−
√x− 7 = 5.
Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.
44. Re{iti jedna~inu√x+ 3 +
√x+ 4 =
√x+ 2 +
√x+ 7.
Re{ewe: x = −47
24.
45. Re{iti jedna~inu√2x− 1 +
√x− 2 =
√x+ 1.
Re{ewe: x = 2.
46. Re{iti jedna~inu√3x2 + 5x− 8−
√3x2 + 5x− 1 = 1.
Re{ewe. Jedna~ina nema re{ewa.
47. Re{iti jedna~inu√4 + x
√x2 − 7 = 4.
Re{ewe: x = 4.
48. Re{iti nejedna~inu√x+ 6 >
√x+ 1 +
√2x− 5.
Re{ewe: x ∈[52, 3).
45
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
49. Re{iti nejedna~inu√2x− 3−
√x− 5 < 4.
Re{ewe: x ∈[5, 86
].
50. Re{iti nejedna~inu√−x2 + x+ 6 + x− 1 > 0.
Re{ewe: x ∈(− 1, 3
].
51. Re{iti nejedna~inu√1− 4x2 > 1− 3x.
Re{ewe: x ∈(0,
1
2
).
52. Re{iti nejedna~inu
√x2 − 4x+ 7
x− 2< 2.
Re{ewe: x ∈ (3, 5).
53. Re{iti jedna~inu 2 · 3x+1 − 4 · 3x−2 = 450.
Re{ewe: x = 4.
54. Odrediti zbir svih realnih re{ewa jedna~ine 3·16x+2·81x = 5·36x.
Re{ewe:1
2(x1 = 0, x2 = 1
2 ).
55. Re{iti nejedna~inu1
22x + 3> 1
2x+2 − 1.
Re{ewe: x ∈ (−∞,−2) ∪ {1}.
56. Re{iti nejedna~inu 24x+2 · 4−x2 − 3 · 22+2x−x2
+ 8 6 0.
Re{ewe: x ∈ [0, 2].
57. Za jedna~inu(√
2−√3)x
+(√
2 +√3)x
= 4 odrediti proizvod
svih wenih re{ewa.
Re{ewe: −4 (x1 = 2, x2 = −2).
46
INFORMATOR 2012. GODINE
58. Re{iti jedna~inu 4x + 4x+1 + 4x+2 = 7x+1 − 7x−1.
Re{ewe: x = 2.
59. Re{iti jedna~inu((
5√27) x
4−√
x3
) x4+
√x3
=4√37.
Re{ewe: x1 = 10, x2 = −14
3.
60. Re{iti jedna~inu 9x − 2x+12 = 2x+
72 − 32x−1.
Re{ewe: x =3
2.
61. Re{iti jedna~inu 20x − 6 · 5x + 10x = 0.
Re{ewe: x = 1.
62. Re{iti jedna~inu 4√x−2 + 16 = 10 · 2
√x−2.
Re{ewe: x1 = 11, x2 = 3.
63. Re{iti nejedna~inu 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2.
Re{ewe: x > 0.
64. Re{iti jedna~inu log31√log3 x
= log9 log9x
3.
Re{ewe: x = 9.
65. Re{iti jedna~inu xlog10 x =x3
100.
Re{ewe: x ∈ {10, 100}.
66. Re{iti jedna~inu log4(2 log3(1 + log2(1 + 3 log3 x))
)= 0, 5.
Re{ewe: x = 3.
47
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
67. Re{iti jedna~inu 51+log4 x + 5−1+log0,25 x =26
5.
Re{ewe: x1 = 1, x2 =1
16.
68. Ako je log10 5 = a, odrediti log40 8.
Re{ewe:3 (1− a)
3− 2a.
69. Re{iti nejedna~inu logx5x− 2
x2 + 2> 0.
Re{ewe: x ∈(25, 1)∪ (1, 4).
70. Re{iti nejedna~inu log22(2− x)− 8log 14(2− x) > 5.
Re{ewe: x ∈(−∞, 0
]∪[6332
, 2).
71. Re{iti nejedna~inu log1,52x− 8
x− 2< 0.
Re{ewe: x ∈ (4, 6).
72. Ako je log8 3 = p i log3 5 = q, odrediti log10 5 + log10 6.
Re{ewe:3pq + 3p+ 1
3pq + 1.
73. Uporediti brojeve 2√
log2 2011 i 2011√
log2011 2 po veli~ini.
Re{ewe. Jednaki su.
74. Odrediti proizvod realnih re{ewa jedna~ine(log3
3
x
)· (log2 x)− log3
x3
√3=
1
2+ log2
√x.
Re{ewe:
√3
8(x1 = 1, x2 =
√38 ).
48
INFORMATOR 2012. GODINE
75. Re{iti nejedna~inu log (5x + x− 20) > x− x log 2.
Re{ewe: x > 20.
76. Re{iti nejedna~inu logx−3
(x2 − 4x+ 3
)< 0.
Re{ewe: x ∈ (2 +√2, 4).
77. Kolikore{ewauintervalu (0, 2π)ima jedna~ina sin2 x+cosx+1 = 0?
Re{ewe. Jedno (x = π).
78. Izra~unati sin 75◦.
Re{ewe:
√2
4(√3 + 1).
79. Transformisati izraz sin4 x+ cos4 x.
Re{ewe:3 + cos 4x
4.
80. Re{iti jedna~inu cos2 (x sinx) = 1 + log25√x2 + x+ 1.
Re{ewe: x = 0.
81. Neka je α, β ∈(0,
π
2
), tgα =
1
7i sinβ =
1√10
. Izra~unati α+ 2β.
Re{ewe:π
4.
82. Izra~unati vrednost izrazasinα+ sin (α− 2β)
cosα+ cos (α− 2β), ako je tgα =
1
2i
tg β = −1
3.
Re{ewe: 1.
49
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
83. Re{iti nejedna~inu 4 cos2 x− 3 > 0.
Re{ewe: x ∈(−π
6+ kπ,
π
6+ kπ
), k ∈ Z.
84. Re{iti nejedna~inu
√5− 2 sin
x
6> 6 sin
x
6− 1.
Re{ewe: x ∈ [5π + 12kπ, 13π + 12kπ], k ∈ Z.
85. Izra~unati du`ine druge dve stranice trougla ako je du`ina jedne
stranice c = 8 cm, povr{ina trougla je P = 8√3 cm2 i ako je razlika
izme|u sredweg po veli~ini i najmaweg ugla jednaka razlici izme|u
najve}eg i sredweg ugla.
Re{ewe: a = 4√3 cm, b = 4 cm.
86. Odrediti ostatak pri deqewu polinoma P (x) = x200 − 3x199 − 1
polinomom f(x) = x2 − 4x+ 3.
Re{ewe: x− 4.
87. Neki polinom pri deqewu sa x − 1 daje ostatak 2, a pri deqewu sa
x + 2 daje ostatak −7. Odrediti ostatak pri deqewu ovog polinoma
sa x2 + x− 2.
Re{ewe: 3x− 1.
88. U skupu prirodnih brojeva re{iti nejedna~ine:
(a)
(13
x
)<
(13
x+ 2
);
(b)
(18
x− 2
)>
(18
x
).
Re{ewe. (a) x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; (b) x ∈ {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}.
50
INFORMATOR 2012. GODINE
89. Odrediti ~lan u razvoju binoma(
3
√a√b+√
b3√a
)21, a > 0, b > 0, koji
sadr`i a i b sa istim stepenom.
Re{ewe:
(21
9
)a
52 b
52
90. Odrediti onaj ~lan koji u razvoju binoma
(4√a2x+ 5
√1
ax2
)13
ne
sadr`i x.
Re{ewe:
(13
5
)a3.
91. U aritmeti~kom nizu prvi ~lan je 1, a zbir prvih pet ~lanova jednak
je ~etvrtini zbira narednih pet ~lanova. Odrediti taj niz.
Re{ewe: 1,−2,−5,−8, . . ..
92. Geometrijska progresija ima paran broj ~lanova. Zbir ~lanova na
neparnim pozicijama je 85, a zbir ~lanova na parnim pozicijama je
170. Odrediti koli~nik te progresije.
Re{ewe: 2.
93. Koliko ~lanova ima geometrijski niz, ako je zbir prvog i petog ~lana
51, zbir drugog i {etog 102, a zbir svih ~lanova 3069?
Re{ewe: 10.
94. Odrediti ~etiri broja tako da prva tri odre|uju geometrijski niz, a
posledwa tri aritmeti~ki niz i pri tome je zbir prvog i posledweg
~lana 14, a zbir preostala dva je 12.
Re{ewe: 2, 4, 8, 12 ili25
12,15
2,9
2,3
2.
51
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
95. Prvi ~lan aritmeti~kog niza je 24. Napisati prvih deset ~lanova
tog niza, ako su prvi, peti i jedanaesti ~lan uzastopni ~lanovi ge-
ometrijske progresije.
Re{ewe: 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51,
ili 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24.
96. Tri broja ~iji je zbir 93 su uzastopni ~lanovi geometrijskog niza.
Isti brojevi se mogu uzeti za prvi, drugi i sedmi ~lan geometrijskog
niza. Odrediti te ~lanove.
Re{ewe: 3, 15, 75 ili 31, 31, 31.
97. Izme|u −2 i 46 umetnuti 15 brojeva, tako da svi zajedno formiraju
aritmeti~ki niz. Koliki je zbir ovih 17 brojeva?
Re{ewe: 374.
98. Zbir tri broja, koji ~ine geometrijsku progresiju, iznosi 21, a zbir
wihovih recipro~nih vrednosti je7
12. Koji su to brojevi?
Re{ewe: 3, 6 i 12.
99. Broj 195 se mo`e predstaviti kao zbir tri cela broja koja obrazuju ge-
ometrijski niz kod koga je prvi ~lan za 120 mawi od tre}eg. Odrediti
te brojeve.
Re{ewe: 15, 45 i 135 ili 125, −175 i 245.
100. U aritmeti~kom i geometrijskom nizu prvi, drugi i ~etvrti ~lan su
jednaki, a tre}i ~lan aritmeti~kog niza je za 18 ve}i od tre}eg ~lana
geometrijskog niza. Odrediti oba niza.
Re{ewe. Aritmeti~ki niz: −2, 4, 10, 16, . . .;
geometrijski niz: −2,4,−8, 16, . . ..
52
INFORMATOR 2012. GODINE
101. Stranica kvadrata ABCD je a = 12 cm. Izra~unati du`inu polu-
pre~nika kruga upisanog u trougaoAMN , gde jeM sredi{te stranice
BC, a N sredi{te stranice CD.
Re{ewe: (2√5−
√2) cm.
102. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza, ako je wegova sredwa
linija du`inem, a dijagonale su mu uzajamno normalne.
Re{ewe: m2.
103. Centar upisanog kruga jednakokrakog trougla deli visinu koja odgo-
vara osnovici na odse~ke du`ina 5 cm i 3 cm. Izra~unati du`ine
stranica tog trougla.
Re{ewe: 12 cm, 10 cm.
104. Na hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC date su ta~ke D i E,
takve da je BE = AB i CD = AC. Izra~unati, u radijanima, ugao
DAE.
Re{ewe:π
4.
105. Te`i{ne du`i AD i CE trougla ABC seku se u ta~ki T . Sredi{te
du`i AE je ta~ka F . Odrediti odnos povr{ina trouglova TFE i
ABC?
Re{ewe: 1 : 12.
106. Odrediti du`ine kateta (u cm) pravouglog trougla, ako je du`ina
polupre~nika wegovog upisanog kruga r = 2 cm i du`ina polupre-
~nika wegovog opisanog kruga R = 5 cm.
Re{ewe: 6 cm i 8 cm.
53
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
107. U trouglu su date du`ine dve stranice a = 15, b = 13 i du`ina
polupre~nika opisanog kruga R = 8, 125. Izra~unati du`inu tre}e
stranice tog trougla.
Re{ewe: 14 ili 4.
108. U trougluABC ugao kod temenaA je dva puta ve}i od ugla kod temena
B, a du`ine stranica AC i AB su AC = 2, AB = 3. Izra~unati
du`inu stranice BC.
Re{ewe:√10.
109. Izra~unati du`ine dijagonale i kraka jednakokrakog trapeza ~ije su
osnovice du`ine a = 20 i b = 12, ako centar kruga opisanog oko
trapeza le`i na ve}oj osnovici.
Re{ewe: 8√5; 4
√5.
110. Na paraboli y = x2 odrediti ta~ku koja je najbli`a pravoj y = 2x−4.
Re{ewe: (1, 1).
111. Od svih ta~aka hiperbole 3x2 − 4y2 = 72 ta~ka P je najbli`a pravoj
3x+ 2y + 1 = 0. Odrediti zbir koordinata ta~ke P .
Re{ewe: −3; P (−6, 3).
112. Odrediti jedna~inu prave u ravni koja sadr`i koordinatni po~etak
i ta~ku (−2, 1).
Re{ewe: y = −x
2.
113. Odrediti ta~ku B(x, y) simetri~nu ta~ki A(1, 3) u odnosu na pravu
x+ 2y − 2 = 0.
Re{ewe: B(−1, 1).
54
INFORMATOR 2012. GODINE
114. Odrediti jedna~inu elipse sa centrom u ta~ki S(−2, 1) koja prolazi
kroz ta~ke A(0, 4) i B(4, 2) i ~ije su ose paralelne koordinatnim
osama.
Re{ewe:(x+ 2)2
40+
(y − 1)2
10= 1.
115. Izra~unati du`inunormale koja je povu~ena iz ta~keM(3, 2)napravu
3x− 4y + 15 = 0.
Re{ewe:16
3.
116. Temena ~etvorougla imaju koordinate A(3, 4), B(2, 0), C(−2,−1),
D(−2, 2). Odrediti koordinate preseka dijagonala ovog ~etvorougla.
Re{ewe: (0, 1).
117. Odrediti za koje vrednosti realnog parametra a prava y = 2x + a
se~e kru`nicu datu jedna~inom x2 + 2x+ y2 − 4y = 10.
Re{ewe: a ∈(4−
√75, 4 +
√75).
118. Odrediti jedna~inu prave koja je normalna na pravu 2x− y − 1 = 0 i
prolazi kroz ta~ku A(2, 3).
Re{ewe: x+ 2y − 8 = 0.
119. Data je elipsa mx2 + 5y2 = 20 i wena tangenta 3x + 10y − 25 = 0.
Odrediti koordinate dodirne ta~ke.
Re{ewe:(3,
8
5
).
120. Odrediti jedna~inu kru`nice koja je koncentri~na sa kru`nicom
x2 + y2 + 6x+ 2y + 5 = 0 i prolazi kroz ta~kuM(1,−4).
Re{ewe: (x+ 3)2 + (y + 1)2 = 25.
55
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
121. Data je jedna~ina x2 − 2x+ y2 − 6y = d.
(a) Odrediti za koje vrednosti realnog parametra d ova jedna~ina
predstavqa jedna~inu kru`nice.
(b) Odrediti d tako da prava koja prolazi kroz ta~ke A(−1, 2) i
B(4, 1) ne se~e kru`nicu.
Re{ewe. (a) d > −10; (b) −10 < d < −211
26.
122. Osni presek prave kupe je trougao koji ima jedan ugao od 120◦. U kupu
je upisan jednakostrani~an vaqak (visina vaqka je jednaka pre~niku
osnove vaqka) polupre~nika r, tako da mu jedna baza le`i u ravni
baze kupe, a druga dodiruje celim obimom omota~ kupe. Izra~unati
povr{inu kupe.
Re{ewe: P =πr2
3(63 + 38
√3).
123. Oko lopte polupre~nika r opisani su jednakostrani~an vaqak i
jednakostrani~na kupa (presek vaqka, odnosno kupe, sa ravni koja
sadr`i visinu vaqka, tj. kupe, predstavqa kvadrat i jednakostrani-
~an trougao, respektivno). Izra~unati odnos povr{ina i zapremina
ova tri tela.
Re{ewe: Pℓ : Pv : Pk = 4 : 6 : 9 = Vℓ : Vv : Vk.
124. Prav vaqak je upisan u loptu polupre~nikaR. Izra~unati zapreminu
vaqka, ako je wegova povr{ina jednaka1
2povr{ine lopte.
Re{ewe: V =4R3π
5√5.
125. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilnog tetraedra ivice a cm.
Re{ewe: P = a2√3 cm2; V =
a3√2
12cm3.
56
INFORMATOR 2012. GODINE
126. Visina prave trostrane prizme je 5 cm, a zapremina 24 cm3. Odrediti
du`ine osnovnih ivica, ako se povr{ine bo~nih strana odnose kao
17 : 17 : 16.
Re{ewe: a =17
5cm, b =
17
5cm, c =
16
5cm.
127. Du`ine osnovnih ivice pravilne ~etvorostrane zarubqene piramide
su 3a cm i 2a cm. Izra~unati zapreminu piramide, ako su sve bo~ne
ivice nagnute prema ravni osnove pod uglom od 45◦.
Re{ewe: V =19
6a3√2 cm3.
128. Izra~unati zapreminu prave trostrane prizme, ako je povr{ina os-
nove 10 cm2, a povr{ine bo~nih strana su 25 cm2, 29 cm2 i 36 cm2.
Re{ewe: 60 cm3.
129. Zapremina kvadra je 2080 cm3, povr{ina je 996 cm2, a obim osnove
58 cm. Odrediti du`ine osnovnih ivica kvadra.
Re{ewe: 13 cm, 16 cm.
130. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z = (1 + 2 i)3.
Re{ewe: Re z = −11, Im z = −2 .
131. Odrediti realan i imaginaran deo kompleksnog broja z =2 + i15
i3 − i12.
Re{ewe: Re z = −12 , Im z = 3
2 .
132. Odrediti vrednost izraza f(z) = z4 − 10z3 + 36z2 − 58z + 35 za
z = 2 + i.
Re{ewe: f(2 + i) = 0 .
57
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
133. Izra~unati
(1 + i√
2
)2011
+
(1− i√
2
)2011
.
Re{ewe: −√2 .
134. Odrediti moduo kompleksnog broja(1− i)5
(1 + i)4.
Re{ewe:√2 (|1− i|).
135. Odrediti z ako je 2z(3− 5 i) + z − 1 = −30− 65 i.
Re{ewe: z = 3− 5 i.
136. Odrediti u kompleksnoj ravni geometrijsko mesto ta~aka za koje je
1 6 |z − 1− i| < 2.
Re{ewe. Kru`ni prsten 1 6 (x− 1)2 + (y − 1)2 6 4.
137. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu z2 = 3− 4 i.
Re{ewe: z1 = −2 + i; z2 = 2− i.
138. Odrediti realne parametre a i b takve da je (2 + 3 i)a+ (3+ 2 i)b = 1.
Re{ewe: a = −2
5; b =
3
5.
139. Odrediti realne brojeve a i b ako se zna da je z = −3+ i jedno re{ewe
jedna~ine z3 + z2 + az + b = 0.
Re{ewe: a = −20; b = −50.
140. Ako je z +1
z= 1, izra~unati z1000 +
1
z1000.
Re{ewe: −1.
58
INFORMATOR 2012. GODINE
141. Koliko ima trocifrenih brojeva deqivih sa 5 takvih da im se cifre
ne ponavqaju?
Re{ewe: 136.
142. Koliko razli~itih desetocifrenih brojevamo`emonapisati pomo}u
cifara 1, 2, 3, 4, takvih da je cifra 3 upotrebqena ta~no dva puta, a
cifra 4 ta~no tri puta?
Re{ewe: 80640.
143. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva sa razli~itim ciframa kojima
su dve cifre parne, a dve neparne?
Re{ewe: 2160.
144. Na polici se nalazi 10 razli~itih kwiga od kojih su 4 iz matematike,
4izfizike i 2iz hemije. Na kolikona~ina semogu rasporediti kwige
na polici, ako se zna da sve kwige iz iste oblasti moraju biti jedna
do druge?
Re{ewe: 6912.
145. ^lanovi benda, u ~ijem sastavu su 5 mladi}a i 3 devojke, izlaze jedan
za drugim na scenu. Na koliko na~ina to mogu da urade ako prvi na
scenu izlazi jedan od mladi}a, a dve devojke ne mogu iza}i jedna iza
druge?
Re{ewe: 7200.
146. U jednoj kutiji je 9 kuglica i to 2 `ute, 3 plave i 4 crvene. Jednu
za drugom, bez vra}awa, izvla~imo kuglice iz kutije. Na koliko
razli~itih na~ina to mo`emo da uradimo? (Kuglice iste boje se ne
razlikuju.)
Re{ewe: 1260.
59
INSTITUT ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
147. U skupu od 50 ta~aka ima ta~no 7 ~etvorki kolinearnih ta~aka. Ko-
liko je razli~itih pravih odre|eno ovim skupom ta~aka?
Re{ewe: 1190.
148. Iz grupe od 4 mu{karca i 7 `ena treba odabrati 6 osoba tako da me|u
wima budu bar tri `ene. Na koliko na~ina se to mo`e u~initi?
Re{ewe: 441.
149. Raspola`emo sa 6 razli~itih osnovnih boja. Boje mo`emo me{ati
uzimaju}i jednake koli~ine osnovnih boja i tako dobijamo nove boje.
Mo`e li se ovim bojama obojiti {ahovska tabla 8 × 8 tako da svako
weno poqe bude razli~ito obojeno?
Re{ewe. Ne mo`e.
150. Od 10 razli~itih cvetova treba napraviti buket tako da se on sastoji
od bar tri cveta. Na koliko na~ina se buket mo`e napraviti?
Re{ewe: 968.
60