UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Marusa Turk

Lebesgueova mera in Riemannov integral

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Studijski program: Dvopredmetni ucitelj

Kandidatka: Marusa Turk

Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar

Lebesgueova mera in Riemannov integral

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

Povzetek

V diplomskem delu bomo vpeljali Lebesgueovo mero na mnozici realnih stevil indokazali nekatere lastnosti mere. Pokazali bomo obstoj Lebesgueovo nemerljivihmnozic. Definirali bomo tudi merljive funkcije in nasteli nekaj primerov le-teh. Vzadnjem delu diplomskega dela bomo dokazali Osnovni izrek integralskega racuna zaRiemannov integral in Lebesgueov izrek za Riemannov integral. Slednji nam pove,da je funkcija Riemannovo integrabilna natanko tedaj, ko je omejena in odvedljivaskoraj povsod.

Kljucne besede: Lebesgueova mera, zunanja mera, merljive mnozice, nemerljivemnozice, merljive funkcije, Riemannov integral, Lebesgueov integral.

Abstract

In this diploma thesis I introduce the concept of Lebesgue measure on the set ofreal numbers and show some of the properties of the measure. I will show theexistence of Lebesgue non-measurable sets. I will also introduce the concept of ameasurable function and give some examples. In the last part of the thesis, I willprove The fundamental theorem of calculus and The Lebesgue characterization forRiemann integrable functions. The latter tells us that a bonded function is Riemannintegrabile if and only if it is continuous almost everywhere.

Keywords: Lebesgue measure, outer measure, measurable sets, non-measurableset, measurable functions, Riemann integral, Lebesgue integral.

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Lebesgueova mera 21. Vpeljava Lebesgueove mere 22. Lebesgueova zunanja mera 23. Lebesgueovo merljive mnozice in Lebesgueova mera 34. Lebesgueovo nemerljive mnozice 65. Borelove mnozice 8

Poglavje 3. Merljive funkcije 101. Definicija merljivih funkcij 102. Osnovne lastnosti merljivih funkcij 103. Primeri merljivih funkcij 12

Poglavje 4. Riemannov integral in Lebesgueova mera 131. Definicija Riemannovega integrala 132. Lebesgueov kriterij za Riemannovo integrabilnost 143. Osnovni izrek integralskega racuna 164. Lebesgueov integral omejene funkcije na mnozici koncne mere 185. Karakterizacija omejenih Lebesgueovo integrabilnih funkcij 20

Literatura 22

POGLAVJE 1

Uvod

Nekatere izreke v teoriji Riemannovega integrala lahko bolje razumemo s pomocjouporabe pojma Lebesgueove mere. Lebesgueova mera nam na sistematicen nacinposplosi pojem dolzine intervala v mnozici realnih stevil. Pojem Lebesgueove merein Lebesgueovega integrala je bil v analizo vpeljan predvsem zato, ker nam podabolj sistematicno teorijo integracije kot Riemannov integral.

Diplomsko delo bomo zaceli z vpeljavo Lebesgueove mere, v kateri so zajetestiri lastnosti. Zelimo si, da bi veljale vse hkrati, vendar se izkaze, da ne moremovpeljati take mere. Poleg definicij in lastnosti Lebesgueovo merljivih mnozic, bomopredstavili tudi obstoj nemerljivih mnozic.

Sledilo bo poglavje o merljivih funkcijah. Definirali bomo karakteristicne, eno-stavne in stopnicaste funkcije. Vse te funkcije bomo uporabili kot primere merljivihfunkcij.

V zadnjem delu bomo podali nekaj osnovnih definicij in lastnosti Riemannovegaintegrala na mnozici realnih stevil in ga povezali z Lebesgueovo mero. Sledila bostase Osnovni izrek integralskega racuna za Riemannov integral in Lebesgueov izrekza Riemannov integral. Na koncu sledi definicija Lebesgueovega integrala za ome-jene funkcije na mnozicah s koncno mero in dokaz, da je taka funkcija integrabilnanatanko tedaj, ko je merljiva.

1

POGLAVJE 2

Lebesgueova mera

Glavna vira tega poglavja sta [1] in [4].

1. Vpeljava Lebesgueove mere

Dolzino omejenega intervala l(I), ki je lahko odprt, zaprt ali polodprt, s koncnimatockama a in b, kjer je a < b, definiramo kot l(I) := b−a. Dolzina intervalov (a,∞),(−∞, b) ali (−∞,∞) je enaka l(I) = ∞. Dolzina je primer funkcije, ki mnozicampriredi realno stevilo ali ∞. V primeru dolzine je mnozica, na kateri je funkcijadefinirana, mnozica vseh intervalov. Koncept o dolzini oz. Lebesgueovi meri bizeleli razsiriti na bolj poljubne podmnozice realnih stevil. Konstruirati bi zeleli takofunkcijo m, da bo (idealno) vsaki mnozici E ⊂ R, priredila nenegativno stevilo mEali ∞ definirano kot Lebesgueova mera mnozice E. Idealno bi bilo, ce bi imela mnaslednje lastnosti:

(1) Za vsako mnozico E iz R je definirana njena Lebesgueova mera mE.(2) Za nek interval I velja m(I) = l(I).(3) Ce sta A in B disjunktni podmnozici iz R, potem velja m(A∪B) = m(A)+

m(B).(4) Za vsako podmnozico A iz R in za vsako tocko x0 ∈ R definiramo A + x0

:= {x+ x0 : x ∈ A}. Potem velja m(A+ x0) = m(A).

Izkaze se, da ni mogoce konstruirati take funkcije, da bi veljale vse stiri lastno-sti. Zato moramo eno od lastnosti omejiti. Najbolj koristno je, da omejimo prvolastnost, ostale tri pa pustimo v prvotni obliki. Tako ne zahtevamo, da velja, da imavsaka mnozica E Lebesgueovo mero mE, vendar dolocimo najvecjo druzino M(R)podmnozic v R, za katere veljajo vse lastnosti in lahko zapisemo m :M→ [0,∞].Elemente druzine mnozicM =M(R) imenujemo Lebesgueovo merljive podmnozicev R, preslikavo m pa Lebesgueova mera.

2. Lebesgueova zunanja mera

Za vsako mnozico realnih stevil A si zamislimo stevno mnogo odprtih intervalovIn, ki pokrijejo mnozico A. Ker so vse dolzine pozitivna stevila, vsota ni odvisna odvrstnega reda v izrazu. Infimum take vsote bomo definirali kot Lebesgueovo zunanjomero m∗A mnozice A.

Definicija 2.1. Za vsako podmnozico A iz R definiramo njeno Lebesgueovozunanjo mero m∗A z

m∗A = infA⊂

⋃In

∑l(In),

kjer je infimum vzet po vseh pokritjih mnozice A s stevno mnogo intervali.

Iz zgornje definicije takoj sledi, da je Lebesgueova zunanja mera za praznomnozico in mnozico, ki ima en element, enaka nic. Ocitno je tudi, da ce je A ⊂B ⊂ R, potem velja 0 ≤ m∗A ≤ m∗B ≤ ∞.

2

Trditev 2.2. Naj bo An steven 1 nabor mnozic iz R. Potem velja m∗(⋃An) ≤∑

m∗An.

Dokaz. Ce ima ena od mnozic An neskoncno Lebesgueovo zunanjo mero, potemje neenakost trivialna. Ce jem∗An koncna, potem je v dani okolici ε > 0 steven nabor{In,i }i odprtih intervalov, za katere velja An ⊂

⋃i In,i in

∑i l(In,i ) < m∗An + 2−nε.

Tedaj je nabor {In,i}n,i steven in pokriva⋃An. Zato velja

m∗(⋃

An) ≤∑n,i

l(In,i) =∑n

∑i

l(In,i) <∑n

(m∗An + ε2−n) =∑

m∗An + ε.

Ker je bil ε poljubno pozitivno stevilo, velja

m∗(⋃

An) ≤∑

m∗An.

�

Posledica 2.3. Ce je mnozica A stevna, potem je m∗A = 0.

Dokaz. Dokaz sledi iz Trditve 2.2, skupaj z dejstvom, da je zunanja Lebesgue-ova mera tocke enaka 0. �

Posledica 2.4. Mnozica [0, 1] ni stevna.

Dokaz. Dokaz sledi neposredno iz prejsnje posledice, saj je Lebesgueova meraintervala [0, 1] je enaka 1. �

3. Lebesgueovo merljive mnozice in Lebesgueova mera

Za zacetek bomo predstavili definiciji stevne aditivnosti in subaditivnosti, saj jubomo potrebovali v nadaljevanju.

Definicija 2.5. Ce za vsako zaporedje paroma disjunktnih merljivih mnozic{Ei}∞i=1 velja

m

( ∞⋃i=1

Ei

)=∞∑i=1

m(Ei),

imenujemo mero m stevno aditivna.

Definicija 2.6. Ce za vsako zaporedje merljivih mnozic {Ei}∞i=1 velja

m

( ∞⋃i=1

Ei

)≤

∞∑i=1

m(Ei),

imenujemo mera m stevno subaditivna.

Zunanja Lebesgueova mera je stevno subaditivna, kar smo dokazali v Trditvi 2.2.Lebesgueova zunanja mera ima prednost v tem, da je definirana za vse mnozice, ni pastevno aditivna (to bomo videli pri konstrukciji Lebesgueovo nemerljivih mnozic).Lahko postane stevno aditivna, ce ustrezno skrcimo druzino mnozic na tiste, zakatere to velja.

Definicija 2.7. Mnozico E imenujemo Lebesgueovo merljiva, ce za vsako mnozicoA velja

m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC).

1Mnozica A je stevna, ce je njena kardinalnost enaka kardinalnosti mnozice N.

3

Vedno imamo neenakostm∗A ≤ m∗(A∩E)+m∗(A∩EC). Zato bo E Lebesgueovomerljiva le v primeru, da za vsako A velja m∗A ≥ m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC).

Trditev 2.8. Komplement mnozice EC je merljiv natanko takrat, ko je merljivatudi mnozica E.

Dokaz. Predpostavimo, da je mnozica E merljiva. Po Definiciji 2.7 velja

m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC).

Ce uporabimo to isto definicijo za EC , dobimo

m∗(A) = m∗(A ∩ EC) +m∗(A ∩ (EC)C)

= m∗(A ∩ EC) +m∗(A ∩ E)

= m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC),

kar velja za vsako mnozico A. �

Trditev 2.9. Ce je m∗E = 0, potem je E Lebesgueovo merljiva.

Dokaz. Naj bo A poljubna mnozica. Potem velja, da je (A ∩ E) ⊂ E in takoje m∗(A ∩ E) ≤ m∗E = 0. Prav tako velja A ⊃ (A ∩ EC) in tako je

m∗A ≥ m∗(A ∩ EC) = m∗(A ∩ EC) +m∗(A ∩ E).

Zato je E Lebesgueovo merljiva. �

Definicija 2.10. Mnozica A ⊂ R ima Lebesgueovo mero 0, ce je m∗A = 0.

Trditev 2.11. Ce sta E1 in E2 Lebesgueovo merljivi, sta Lebesgueovo merljivitudi njuna unija in presek.

Dokaz. Naj bo A poljubna mnozica. Ker je E2 Lebesgueovo merljiva, imamo

m∗(A ∩ EC1 ) = m∗(A ∩ EC

1 ∩ E2) +m∗(A ∩ EC1 ∩ EC

2 )

in ker velja A ∩ (E1 ∪ E2) = [A ∩ E1] ∪ [A ∩ E2 ∩ EC1 ], imamo

m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) ≤ m∗(A ∩ E1) +m∗(A ∩ E2 ∩ EC1 ).

Zato

m∗(A∩(E1∪E2))+m∗(A∩EC

1 ∩EC2 ) ≤ m∗(A∩E1)+m

∗(A∩EC1 ∩E2)+m

∗(A∩EC1 ∩EC

2 )

= m∗(A ∩ E1) +m∗(A ∩ EC1 ) = m∗A,

zaradi Lebesgueove merljivosti E1. Ker velja enakost (E1 ∪E2)C = EC

1 ∩EC2 , smo s

tem dokazali, da je E1 ∪ E2 Lebesgueovo merljiva. Ker velja enakost

E1 ∩ E2 = (EC1 ∪ EC

2 )C ,

smo z uporabo Trditve 2.8 s tem dokazali tudi drugi del trditve. �

Lema 2.12. Ce je {Ei : 1 ≤ i ≤ n} koncen niz disjunktnih Lebesgueovo merljivihmnozic, potem za ∀A ⊂ R velja

m∗(A ∩

[ n⋃i=1

Ei

])=

n∑i=1

m∗(A ∩ Ei).

4

Dokaz. Lemo bomo dokazali z indukcijo. Ocitno je, da velja za n = 1 inpredvidevamo, da velja tudi, ce imamo n − 1 mnozic Ei. Glede na to, da so Eidisjunktne mnozice, imamo

A ∩ [n⋃i=1

Ei] ∩ En = A ∩ En

in

A ∩ [n⋃i=1

Ei] ∩ ECn = A ∩ [

n−1⋃i=1

Ei].

Zaradi Lebesgueove merljivosti mnozice En velja

m∗(A ∩ [n⋃i=1

Ei]) = m∗(A ∩ En) +m∗(A ∩ [n−1⋃i=1

Ei]) = m∗(A ∩ En) +n−1∑i=1

m∗(A ∩ Ei).

�

Definicija 2.13. Ce je E Lebesgueova merljiva mnozica, potem je njena Lebe-sgueova mera m(E) definirana kot Lebesgueova zunanja mera m∗E.

Nekaj lastnosti druzine M Lebesgueovo merljivih mnozic smo ze spoznali indokazali. V nadaljevanju bomo nasteli se ostale lastnosti. Prve tri lastnosti nebomo dokazovali, saj so njihovi dokazi trivialni.

Izrek 2.14. Druzina M Lebesgueovih merljivih mnozic ima naslednje lastnosti:

(a) Obe ∅ in R sta Lebesgueovo merljivi; m(∅) = 0 in m(R) =∞.(b) Ce je E Lebesgueovo merljiva, potem je tudi E + x0 Lebesgueovo merljiva,

in velja m(E + x0) = m(E).(c) Vsak interval je Lebesgueovo merljiv in m(I) = m∗(I) = l(I).(c) Ce je Ei steven niz Lebesgueovih merljivih mnozic, potem sta tudi

∞⋃i=1

Ei in∞⋂i=1

Ei

Lebesgueovo merljivi mnozici.(d) Ce je {Ei : 1 ≤ i ≤ n} steven niz disjunktnih Lebesgueovih merljivih

mnozic, potem velja

m(∞⋃i=1

Ei) =∞∑i=1

m(Ei).

(e) Vsaka odprta in zaprta mnozica je Lebesgueovo merljiva.

Dokaz. (c) Mnozica E je unija stevnega niza 〈En〉 paroma disjunktnih Lebe-sgueovo merljivih mnozic. Naj bo A poljubna mnozica in Fn =

⋃ni=1Ei. Potem je

Fn Lebesgueovo merljiva in FCn ⊃ EC . Zato lahko zapisemo

m∗A = m∗(A ∩ Fn) +m∗(A ∩ FCn ) ≥ m∗(A ∩ Fn) +m∗(A ∩ EC).

Po Lemi 2.12 velja

m∗(A ∩ Fn) =n∑i=1

m∗(A ∩ Ei).

5

Zato

m∗A ≥n∑i=1

m∗(A ∩ Ei) +m∗(A ∩ EC).

Ker je leva stran neenakosti neodvisna od n, dobimo

m∗A ≥∞∑i=1

m∗(A ∩ Ei) +m∗(A ∩ EC) ≥ m∗(A ∩ EC),

zaradi stevne subaditivnosti m∗.(d) Naj bodo E1, E2, ..., En koncni disjunktni nizi Lebesgueovo merljivih mnozic.Tako velja naslednja enakost

m(E1 ∪ ... ∪ En) = m(E1) + ...+m(En).

Ce je {Ej} steven niz disjunktnih merljivih mnozic, potemn⋃j=1

Ej ⊂∞⋃j=1

Ej

in zato

m

( n⋃j=1

Ej

)≤ m

( ∞⋃j=1

Ej

).

Za koncen niz mnozic vemo, da velja enakost

m

( n⋃j=1

Ej

)=

n∑j=1

m(Ej)

in zato velja neenakostn∑j=1

m(Ej) ≤ m

( ∞⋃j=1

Ej

)za ∀n.

Ker to velja za vsak n, dobimo, da velja∞∑j=1

m(Ej) ≤ m

( ∞⋃j=1

Ej

).

Nasprotna neenakost sledi iz stevne subaditivnosti. Tako smo dobili zeleno enakost.(e) Po tocki (c) so intervali merljivi in po tocki (c) so stevne unije Lebesgueovomerljivih mnozic Lebesgueovo merljive. Vsaka odprta mnozica je unija stevnegastevila odprtih intervalov, zato so odprte mnozice merljive. Zaprte mnozice paso komplementi odprtih mnozic in komplementi Lebesgueovo merljivih mnozic somerljive mnozice. Zato so tudi zaprte mnozice merljive.

�

4. Lebesgueovo nemerljive mnozice

Glede na to, da so vse odprte in zaprte mnozice Lebesgueovo merljive ter je tudidruzina M Lebesgueovo merljivih mnozic zaprta za stevne unije in stevne preseke,si je tezko predstavljati, da obstajajo mnozice, ki niso Lebesgueovo merljive. Kljubtemu jih obstaja kar nekaj in v tem poglavju bomo to dokazali. Izkaze se, da zadokaz obstoja Lebesgueovih nemerljivih mnozic potrebujemo aksiom izbire.

6

Ce sta x in y realni stevili na intervalu [0, 1), definiramo vsoto po modulu 1 odx in y, kar oznacimo z x+y. Vsoto po modulu definiramo kot:

x+y =

{x+ y; ce x+ y < 1.x+ y − 1; ce x+ y ≥ 1.

Operacija + je komutativna in asociativna. Ce je E podmnozica od [0, 1) in y ∈[0, 1), potem je premik za y po modulu 1 od E enak mnozici E+y = {z : z =x+y za nek x ∈ E}. Z naslednjo lemo bomo pokazali, da je Lebesgueova merainvariantna, ce naredimo premik po modulu 1.

Lema 2.15. Naj bo E ⊂ [0, 1] Lebesgueovo merljiva mnozica. Potem je mnozicaE+y Lebesgueovo merljiva za vsak y ∈ [0, 1) in m(E+y) = mE.

Dokaz. Naj bo E1 = E ∩ [0, 1− y) in E2 = E ∩ [1− y, 1]. Potem sta E1 in E2

disjunktni Lebesgueovo merljivi mnozici, katerih unija je E in zato velja

mE = mE1 +mE2.

Ker je E1+y = E1+y, je E1+y Lebesgueovo merljiva. Zato imamo m(E1+y) = mE1.Analogno velja za E2+y = E2+(y−1), in ker je E2+y Lebesgueovo merljiva, imamom(E2+y) = mE2. Imamo tudi zvezo E+y = (E1+y)∪(E2+y), pri kateri sta mnozici(E1+y) in (E2+y) disjunktni. Zato je E+y Lebesgueovo merljiva in velja

m(E+y) = m(E1+y) +m(E2+y) = mE1 +mE2 = mE.

�

Sedaj lahko dokazemo obstoj Lebesgueovo nemerljivih mnozic.

Izrek 2.16. Obstaja neprazna podmnozica R, ki je Lebesgueovo nemerljiva.

Dokaz. Ce je x− y racionalno stevilo, recemo, da sta x in y ekvivalentna, karzapisemo kot x ∼ y. To je ekvivalencna relacija, kar pomeni, da je refleksivna,simetricna in tranzitivna. Interval [0, 1) razdelimo na ekvivalencne razrede. Vsakadva elementa v istem ekvivalencnem razredu se razlikujeta za racionalno stevilo, karlahko zapisemo kot {x + r : r ∈ Q}. Katera koli dva elementa iz razlicnih razredovpa se razlikujeta za iracionalno stevilo. Definicija aksioma izbire2 pravi, da obstajataka mnozica P , ki jo sestavlja natanko po en element iz vsakega ekvivalencnegarazreda. Naj bo {ri : i = 0, 1, 2, 3, ...} zaporedje vseh racionalnih stevil na intervalu[0, 1) z r0 = 0 in definirano vsoto Pi = P +ri. Potem je P0 = P. Naj bo x ∈ Pi ∩ Pj.Kar pomeni, da velja tudi x = pi+ri = pj+rj, kjer sta pi in pj elementa P. Ker jepi−pj = rj−ri racionalno stevilo, to pomeni, da sta pi ∼ pj. Ker ima P samo po enelement iz vsakega ekvivalencnega razreda, velja i = j. To nam nakaze, da ce i 6= j,potem je Pi∩Pj = ∅. To pomeni, da je {Pi} paroma disjunkten niz mnozic. Na drugistrani, je vsako realno stevilo x v intervalu [0, 1] v nekem ekvivalencnem razredu intako ekvivalenten enemu od elementov v P. Ce pa se x razlikuje od nekega elementav P za racionalno stevilo ri, potem je x ∈ Pi, zatorej

⋃Pi = [0, 1). Glede na to, da

je Pi premik modula 1 od P , bo vsak Pi Lebesgueovo merljiv, ce je P Lebesgueovo

2Ce je (Ai)i∈I poljubna druzina nepraznih mnozic i je I neka indeksna mnozica, tedaj obstajapreslikava f : I → ∪i∈IAi, da je f(i) ∈ Ai za vsak i ∈ I.

7

merljiv, in ce bodo imeli enako Lebesgueovo mero kot P . Ce bi bilo to res, bi moraloveljati:

m[0, 1) =∞∑i=1

mPi =∞∑i=1

mP,

kar nas pripelje do protislovja. Desna stran je bodisi enaka 0 ali∞, odvisno od tegaali je mP nic ali pozitiven. To pa je nemogoce, saj je m[0, 1) = 1 in posledicno Pne more biti Lebesgueovo merljiva. �

Zgornji dokaz, da P ni Lebesgueovo merljiva, je dokaz s protislovjem. Vse dozadnjega dela nismo uporabili nobene druge lastnosti Lebesgueove mere kot le in-variance glede na premik in stevne aditivnosti. Iz zgornjega dokaza tudi vidimo, dazunanja Lebesgueova mera ne more biti stevno aditivna.

5. Borelove mnozice

V tem poglavju bomo definirali se Borelove mnozice in zapisali se nekaj lastnostiLebesgueove mere. Da bomo to lahko storili, moramo najprej definirati se pojmaalgebra in σ-algebra.

Definicija 2.17. Druzino mnozic A imenujemo algebra mnozic, ce velja:

(1) A ∪B je element A, takrat ko sta tudi A in B njena elementa.(2) AC je element A, kadar je tudi A njen element.(3) A ∩B je element A, takrat ko sta tudi A in B njena elementa.

Trditvi 2.8 in 2.11 lahko skupaj zapisemo v naslednji obliki.

Trditev 2.18. DruzinaM vseh Lebesgueovo merljivih mnozic je algebra mnozic.

Sledi definicija σ-algebre in nato se izrek.

Definicija 2.19. Druzino mnozic A imenujemo σ-algebra, ce je zaprta za kom-plemente in za stevne unije ter stevne preseke.

Izrek 2.20. Druzina M Lebesgueovo merljivih mnozic v R je σ-algebra.

Dokaz. To, da je druzinaM Lebesgueovo merljivih mnozic algebra mnozic, zevemo. Dokazali smo tudi ze, Izrek 2.14 (c), da ce je mnozica E unija ali presekstevnega niza Lebesgueovo merljivih mnozic, je Lebesgueovo merljiva. S tem jedokaz koncan.

�

Kljub temu da je poljuben presek zaprtih mnozic zaprt in da je koncna unijazaprtih mnozic zaprta, ni nujno da je stevnega unija zaprtih mnozic zaprta. Zaprimer lahko pogledamo mnozico racionalnih stevil. Mnozica racionalnih stevil jeocitno stevnega unija zaprtih mnozic (tock), mnozica racionalnih stevil pa je v Rgosta, in zato seveda ni zaprta. Ce nas zanima σ-algebra mnozic, ki vsebuje vsezaprte mnozice, moramo obravnavati bolj splosne tipe mnozic od zaprtih in odprtihmnozic. To nas vodi do naslednje definicije:

Definicija 2.21. Druzina B Borelovih mnozic v R je najmanjsa σ-algebra, kivsebuje vse odprte mnozice.

Izrek 2.22. Vsaka Borelova mnozica je Lebesgueovo merljiva. V splosnem jevsaka odprta mnozica in vsaka zaprta mnozica Lebesgueovo merljiva.

8

Dokaz. Dokaz sledi iz dejstva, da so vse odprte in vse zaprte mnozice merljive,ter da so tudi unije in preseki teh mnozic merljive, kar smo dokazali v Izreku 2.14.Zato je druzina vseh Lebesgueovo merljivih mnozic v R σ-algebra. Ker je po defini-ciji Borelova mnozica najmanjsa σ-algebra, ki vsebuje odprte mnozice, sledi, da soBorelove mnozice podmnozica vseh merljivih mnozic in so zato merljive. �

Vse stevne mnozice, vsi intervali, vse zaprte in odprte mnozice so Borelovemnozice. Vsaka Borelova mnozica je Lebesgueovo merljiva, kljub temu je velikoLebesgueovo merljivih mnozic, ki niso Borelove mnozice.

9

POGLAVJE 3

Merljive funkcije

V tem poglavju bomo definirali merljive funkcije in nekaj osnovnih lastnosti ternasteli nekaj primerov merljivih funkcij. [1] in [3] sta glavna vira literature za topoglavje.

1. Definicija merljivih funkcij

Definicija 3.1. Naj bo f : D → R realna funkcija. Ce je D ⊂ R Lebesgueovomerljiva in je mnozica {f(x) ≤ a} merljiva za ∀a ∈ R recemo, da je f Lebesgueovomerljiva.

Izrek 3.2. Naj bo f : D → R realna funkcija, D ⊂ R Lebesgueovo merljiva.Potem so naslednje trditve ekvivalentne.

(1) Funkcija f je Lebesgueovo merljiva.(2) Mnozica {f(x) < a} je merljiva za ∀a ∈ R.(3) Mnozica {f(x) ≥ a} je merljiva za ∀a ∈ R.(4) Mnozica {f(x) > a} je merljiva za ∀a ∈ R.

Dokaz. Trditvi (1) in (4) sta po Trditvi 2.8 ekvivalentni, saj je {f(x) > a}komplement mnozice {f(x) ≤ a}. Analogno velja tudi za trditvi (2) in (3). Iz (1)sledi (2), ker je

{f(x) < a} =⋃n>0

{f(x) ≤ a− 1/n},

in so unije merljivih mnozic merljive po Izreku 2.14 (c). Analogno tudi

{f(x) ≤ a} =⋂n>0

{f(x) < a+ 1/n},

kar dokazuje da iz (2) sledi (1). �

Trditev 3.3. Naj bo f : D → R Lebesgueovo merljiva realna funkcija. Potemje za ∀a ∈ R mnozica {f(x) = a} Lebesgueovo merljiva

Dokaz. Velja

{f(x) = a} = {f(x) ≤ a} ∩ {f(x) ≥ a}.

Ker sta obe mnozici na desni merljivi, je po Trditvi 2.11 {f(x) = a} merljiva. �

2. Osnovne lastnosti merljivih funkcij

Izrek 3.4. Naj bo c konstanta, f in g pa dve merljivi realni funkciji definiranina istem definicijskem obmocju. Potem so tudi funkcije f + c, cf, f + g, g − f infg merljive.

10

Dokaz. Zapisemo

{x : f(x) + c < a} = {x : f(x) < a− c},

in zato je f + c merljiva, kadar je f merljiva. Podoben argument nam kaze, da jecf merljiva.

Ce f(x)+g(x) < a, potem f(x) < a−g(x) in po posledici Arhimedovega aksioma,obstaja tako racionalno stevilo r, da velja

f(x) < r < a− g(x).

Zato lahko zapisemo

{x : f(x) + g(x) < a} =⋃r

({x : f(x) < r} ∩ {x : g(x) < a− r}).

Ker gre za steven presek merljivih mnozic, je {x : f(x) + g(x) < a} merljiva. Ker jeg = (−1)g merljiva takrat, ko je merljiva g, velja, da je merljiva tudi f − g.

Funkcija f 2 je merljiva, ker je {x : f 2(x) > a} = {x : f(x) >√

2} ∪ {x : f(x) <−√a}, za a ≥ 0 in

{x : f 2(x) > a} = Df ,

ce je a < 0, kjer je Df definicijsko obmocje funkcije f. Zato je

fg =1

2((f + g)2 − f 2 − g2)

merljiva. �

Izrek 3.5. Naj bo {fn} zaporedje merljivih funkcij in k poljubno naravno stevilo.Potem so funkcije sup{f1, ...fk}, inf{f1, ...fk}, supn fn in infn fn merljive.

Dokaz. Ce je h definiran kot h(x) = sup{f1(x), ...fk(x)}, potem je {x : h(x) >

α} =⋃ki=1{x : fi(x) > α}, kjer je α ∈ R. Zato merljivost fi pomeni, da je merljiva

tudi h. Podobno, ce je g definiran z g(x) = sup fn(x), potem je {x : g(x) > α} =⋃∞n=1{x : fn(x) > α} in je tudi g merljiva. Analogen argument uporabimo tudi pri

dokazovanju za infimum. �

Definicija 3.6. Naj bosta f in g realni funkciji, definirani na merljivi mnoziciD. Potem je f = g skoraj povsod na D, ce je

m{x ∈ D; f(x) 6= g(x)} = 0

Trditev 3.7. Naj bosta f in g realni funkciji, definirani na merljivi mnozici D.Ce je f merljiva funkcija in je f = g skoraj povsod na D, je g merljiva.

Dokaz. Naj bo E mnozica {x : f(x) 6= g(x)}. Predpostavimo mE = 0. Potemje

{x : g(x) > α} = [{x : f(x) > α} ∪ {x ∈ E : g(x) > α}]\{x ∈ E : g(x) ≤ α}.

Prva mnozica na desni strani je merljiva, ker je f merljiva funkcija. Srednji dvemnozici sta merljivi, ker sta podmnozici od E in mE = 0. Zato je {x : g(x) > α}merljiva za vsak α in tako je tudi g merljiva. �

11

3. Primeri merljivih funkcij

Trditev 3.8. Naj bo f : R→ R zvezna. Potem je f merljiva.

Dokaz. Zaradi zveznosti f velja, da je praslika vsake odprte mnozice odprtamnozica. Zato je mnozica {x : f(x) < a} odprata in zato merljiva za vsak a. �

Poglejmo si se nekaj tipov realnih funkcij in obravnavajmo njihovo merljivost.

Definicija 3.9. Naj bo E ⊂ R. Funkcijo χE : R→ R, definirano z

χE(x) =

{1; x ∈ E,0; x /∈ E,

imenujemo karakteristicna funkcija mnozice E.

Karakteristicna funkcija χE je ocitno merljiva natanko tedaj, ko je E merljivamnozica.

Definicija 3.10. Funkcija f : R→ R je stopnicasta, ce jo lahko zapisemo kot

f(x) =n∑i=0

αiχAi(x),

za vsa realna stevila x, kjer je n ≥ 0, αi so realna stevila in Ai intervali.

Ceprav definicija ne zahteva, da so intervali Ai paroma disjunktni, lahko to vednopredpostavimo (za intervale moramo dopustiti tudi izrojene intervale [a, a]). Pravtako lahko predpostavimo, da je unija intervalov enaka R. Stopnicaste funkcije sovedno merljive.

Definicija 3.11. Funkcija je ϕ : D → R je enostavna, ce je njena zaloga vre-dnosti koncna mnozica.

Enostavna funkcija ϕ : D → R je seveda merljiva natanko tedaj, ko so mnozice{x ∈ D; f(x) = a} merljive za vsak a iz zaloge vrednosti ϕ. Seveda je vsakastopnicasta funkcija tudi enostavna. Obratno seveda ni res, saj je χQ enostavna, nipa stopnicasta.

Ce je ϕ : R→ R enostavna funkcija in {a1, a2, ...an} mnozica nenicelni vrednostifunkcije ϕ, potem

ϕ =∑

aiχAi,

kjer je Ai = {x : ϕ(x) = ai}. Taka reprezentacija za ϕ se imenuje kanonicna re-prezentacija. Njena znacilnost je, da so Ai paroma disjunktne in ai vsi razlicni innenicelni.

12

POGLAVJE 4

Riemannov integral in Lebesgueova mera

Namen tega poglavja je, da nastejemo nekaj osnovnih definicij in lastnosti Rie-mannovega integrala na mnozici realnih stevil, ter da ga povezemo z Lebesgueovomero. Glavni vira tega poglavja sta [5] in [6].

1. Definicija Riemannovega integrala

V tem razdelku bomo najprej na kratko ponovili definicijo Riemannovega in-tegrala. Naj bo f : [a, b] → R omejena realna funkcija. Funkcija f imajo lahkopozitivne in negativne vrednosti, nujno pa je, da je omejena in da je njeno definicij-sko obmocje kompakten interval. Pri dani funkciji f : [a, b] → R izberemo delitevintervala a = ξ0 < ξ1 < ξ2... < ξn = b in mnozico tock X = {x1, x2, ..., xn} z la-stnostjo ξi−1 ≤ xi ≤ ξi. Mnozico {ξ0, ξ1, ..., ξn} oznacimo z D. Maksimalno dolzinopodintervalov bomo oznacili z ∆, torej ∆ = maxk=1,...,n |ξk − ξk−1|.

Definicija 4.1 (Riemannov integral). Funkcija f : [a, b]→ R je v Riemannovemsmislu integrabilna, ce obstaja tako stevilo I, da je razlika

|n∑i=1

f(xi)(ξi − ξi−1)− I|

poljubno majhna, ce je le dolzina podintervalov dovolj majhna. Torej

∀ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja ∆ < δ ⇒ |n∑i=1

f(xi)(ξi − ξi−1)− I| < ε.

Stevilu I s to lastnostjo recemo Riemannov ali doloceni integral funkcije f na inter-valu [a, b] in ga oznacimo z

I =

∫ b

a

f(x)dx.

Poglejmo si se ekvivalentno definicijo s pomocjo Darbuxovih vsot. Naj bo f :[a, b]→ R omejena realna funkcija. Ko imamo neko koncno delitev D = {ξ0, ..., ξn},kjer je

a = ξ0 < ξ1 < ξ2... < ξn = b

intervala [a, b] na manjse podintervale, lahko za vsako delitev dolocimo vsoti

S(D) =n∑i=1

(ξi − ξi−1)Mi

in

s(D) =n∑i=1

(ξi − ξi−1)mi,

13

kjer so

Mi = supξi−1≤x≤ξi

f(x), mi = infξi−1≤x≤ξi

f(x).

Potem definiramo zgornji in spodnji Riemannov integral funkcije f kot∫ b

a

f(x)dx = inf S(D)

in ∫ b

a

f(x)dx = sup s(D).

Seveda vedno velja ∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

f(x)dx.

Zgornji in spodnji Riemannov integral bi lahko ekvivalentno definirali tudi ssledecim postopkom. Naj bo

h(x) =n∑i=0

αiχA,i(x)

stopnicasta funkcija, definirana na intervalu [a, b]. Definirajmo∫ b

a

h(x)dx =n∑i=0

αimAi.

Potem je ∫ b

a

f(x)dx = infϕ≥f

∫ b

a

ϕ(x)dx

in ∫ b

a

f(x)dx = supψ≥f

∫ b

a

ψ(x)dx,

kjer so infimumi in supremumi vzeti po stopnicastih funkcijah ϕ in ψ.Naslednji izrek je eden klasicnih izrekov iz teorije Riemannove intgracije. Za

dokaz glej [4].

Izrek 4.2. Funkcija f je Riemannovo integrabilna na [a, b] natanko takrat, kovelja ∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

S pomocjo zgornjega izreka zelo hitro vidimo, da je vsaka zvezna funkcija na[a, b] Riemannovo integrabilna.

2. Lebesgueov kriterij za Riemannovo integrabilnost

V prejsnjem razdelku smo omenili, da so zvezne funkcije na kompaktnem inter-valu vedno Riemannovo integrabilne. Dokaj enostavno bi lahko videli, da je funkcijaRiemannovo integrabilna tudi, ce ima stevno mnozico tock nezveznosti. Naslednjiizrek nam natancno karakterizira mnozico vseh Riemannovo integrabilnih funkcij.

14

Izrek 4.3 (Lebesgueov kriterij za Riemannovo integrabilnost). Naj bo f : [a, b]→R. Potem je f Riemannovo integrabilna, ce in samo ce je f omejena in ima mnozicatock nezveznosti funkcije f Lebesgueovo mero 0.

Preden se lotimo dokaza zgornjega izreka, si poglejmo se definicijo oscilacije, kijo bomo uporabili pri dokazu.

Definicija 4.4. Za realno funkcijo f definirano na mnozici X ⊂ R in I ⊂ X,naj bo ωf(I) = sups,t∈I |f(s)− f(t)|, oscilacija funkcije f na I. Oscilacija f v tockix je definirana kot

ωf (x) = inf{ωf((x− δ, x+ δ) ∩X) : δ > 0}.

Hitro vidimo, da ima funkcija v tocki x oscilacijo enako 0 natanko tedaj, ko je vtocki x zvezna. Prav tako lahko opazimo naslednje. Naj bo f : [a, b] → R omejenain D = {ξ0, ξ1, . . . , ξn} delitev intervala [a, b]. Potem je

S(D)− s(D) =n∑k=1

ωf([ξk−1, ξk])(ξk − ξk−1).

Dokaz. (Lebesgueov kriterij za Riemannovo integrabilnost) Naj bo f Rieman-novo integrabilna na intervalu [a, b]. Potem je f zagotovo omejena. Naj bo Dmnozica tock nezveznosti od f. Potem je D = {x : ωf (x) > 0}. Pokazali bomo,da ima D mero enako 0. Naj bo N(α) = {x ∈ [a, b] : ωf (x) ≥ α}, za vsak α > 0.Potem je

D =∞⋃k=1

N

(1

k

).

Zato moramo dokazati samo to, da ima vsaka N(α) mero 0.Po definiciji Riemannovega integrala, lahko izberemo delitev P = {x0, x1, ...xn}

na intervalu [a, b] zn∑i=1

ωf([xi−1, xi])(xi − xi−1) <αε

2.

Domnevamo lahko, da so si xi med seboj razlicni. Naj bo F mnozica vseh i-jev, zakatere se (xi−1, xi) sekajo z N(α). Potem za vsak i ∈ F, ωf([xi−1, xi]) ≥ α. Zato

α∑i∈F

∆xi ≤∑i∈F

ωf([xi−1, xi])∆xi <αε

2,

in zato je vsota dolzine intervalov (xi−1, xi) manj kot ε/2. To pokrije celo mnozicoN(α) razen elementov od mnozice {x0, x1, ...xn}. To mnozico pa lahko pokrijemo zintervali, katerih dolzina je skupno manjsa kot ε/2, in zato lahko pokrijemo celo-tno mnozico N(α) z odprtimi intervali s skupno dolzino manjso kot ε, kot je tudizahtevano. S tem je koncan prvi del dokaza (⇒).

Za drugi del dokaza(⇐) imamo naslednje predpostavke: naj bo f omejena inpredpostavimo, da je mnozica D nezveznosti funkcije f mero 0.

Fiksiramo ε > 0 in naj b E = {x : ωf (x) ≥ ε}. Ker je E ⊂ D ima E mero0. Zato je E lahko pokrita s stevnimi druzinami odprtih intervalov, katerih skupnadolzina je manjsa kot ε. Ker je E zaprta in omejena, je kompaktna. Zato bo koncnadruzina takih intervalov ze pokrila E, recimo E ⊂

⋃mi=1 Ui. Naj bo Ii zaprtje od Ui,

za vsak i. Zaradi enostavnosti lahko predvidevamo, da sta si vsaki dve Ii disjunktni.Naj bo D = {I1, ..., Im}.

15

Mnozica K = [a, b]\⋃mi=1 Ui je kompaktna (v bistvu je unija koncnega stevila

disjunktnih zaprtih intervalov) in vsebuje tocke, kjer ωf (x) < ε. Za vsak x ∈ K,obstaja zaprt interval J z x ∈ J in ωf([J ]) < ε. Koncno stevilo takih intervalovpokrije K. Zaradi krizanja s K, lahko sklepamo da so vse podmnozice K. Zatonaj bo C = {J1, ..., Jk} zaprtih intervalov, katerih unija je K in tako, da bo veljaloωf([Jj]) < ε za vse j. Lahko predvidevamo, da se intervali Jk ne prekrivajo.

Druzina D ∪ C = {[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn−1, xn]} delitev [a, b] in

n∑i=1

ωf([xi−1, xi])(xi − xi−1) =m∑i=1

ωf(Ii)l(Ii) +k∑j=1

ωf(Jj)l(Jj)

≤∑i

2||f ||l(Ii) +k∑j=1

εl(Jj)

= 2||f ||∑i

l(Ii) + ε(b− a)

≤ 2||f ||ε+ ε(b− a),

ki je poljubno majhna. Tako je tudi kriterij za Riemannovo integrabilnost zadovoljenin zato je f integrabilna. �

Zgornji kriterij lahko zapisemo tudi z drugimi besedami. Funkcija je Riemannovointegrabilna, ce je omejena in zvezna skoraj povsod.

3. Osnovni izrek integralskega racuna

Izrek 4.5 (Osnovni izrek integralskega racuna za Riemannov integral).(1) Denimo, da je funkcija g : [a, b] → R v Riemannovem smislu integrabilna indefinirajmo

G(x) =

∫ x

a

g(t)dt

za poljuben x ∈ [a, b]. Tedaj je G zvezna na [a, b]. Ce je g zvezna v neki tocki c ∈ [a, b],je G v c odvedljiva in velja G′(c) = g(c).

(2) Ce je omejena funkcija f : [a, b]→ R v Riemannovem smislu integrabilna in zafunkcijo F : [a, b]→ R velja F ′(x) = f(x) za vsak x ∈ [a, b], velja tudi∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Dokaz. Dokaz prvega dela. Naj bosta x, y ∈ [a, b]. Velja

|G(x)−G(y)| =∣∣∣∣ ∫ x

a

g(t)dt−∫ y

a

g(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∫ x

y

g(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ x

y

|g(t)| ≤M |xy|,

kjer je M > 0 zgornja meja za |g| na intervalu [a, b]. To pa pomeni, da je g Lipschi-tzeva funkcija in je zato enakomerno zvezna na [a, b].

Naj bo g zvezna v tocki c ∈ [a, b]. Izrazimo G′(c) kot limito

limx→c

G(x)−G(c)

x− c= lim

x→c

1

x− c

(∫ x

a

g(t)dt−∫ c

a

g(t)dt

)= lim

x→c

1

x− c

∫ x

c

g(t)dt.

16

Pokazati moramo, da je ta limita enaka g(c). Kar po definiciji Riemannovega inte-grala pomeni, da moramo za poljubni ε > 0 zagotoviti obstoj takega stevila δ > 0,da bo iz |x− c| < δ sledilo∣∣∣∣ 1

x− c

(∫ c

c

g(t)dt

)− g(c)

∣∣∣∣ < ε.

Ker je g zvezna v tocki c obstaja δ > 0, za katerega velja implikacija

|t− c| < δ ⇒ |g(t)− g(c)| < ε,

kjer je t ∈ [a, b]. V naslednjem koraku zelimo dobiti oceno za ε. Zato zapisemo

g(c) =1

x− c

∫ x

c

g(t)dt

in izrazimo oba clena v zgornji oceni v en sam integral. Ker je t med c in x, velja|t− c| ≤ |x− c|, zato za vsak x ∈ (c− δ, c+ δ) velja ocena∣∣∣∣ 1

x− c

(∫ x

c

g(t)dt

)− g(c)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

x− c

∫ x

c

(g(t)− g(c))dt)

∣∣∣∣≤ 1

(x− c)

∫ x

c

|g(t)− g(c)|dt < 1

x− c

∫ x

c

εdt =1

x− cε(x− c) = ε.

Dokazimo sedaj se drugi del. Naj bo D delitev intervala [a, b]. Za funkcijo F napoljubnem podintervalu [xk−1, xk] uporabimo izrek o povprecni vrednosti diferenci-alnega racuna,1 kar nam da tako tocko tk ∈ [xk−1, xk], da velja enakost

F (xk)− F (xk−1) = F ′(tk)(xk − xk−1) = f(tk)(xk − xk−1).Zgornjo enakost bomo uporabili za oceno spodnje in zgornje vsote s(f,D) in S(f,D).Ker za

mk = inf{f(x);x ∈ [xk−1, xk]},Mk = sup{f(x);x ∈ [xk−1, xk]}

veljamk ≤ f(tk) ≤Mk,

velja tudi

s(f,D) ≤n∑k=1

(F (xk−1)− F (xk)) ≤ S(f,D).

Ocitno je, da je zgornja vsota enaka∑k=1n

(F (xk−1)− F (xk)) = F (b)− F (a),

kar je neodvisno od delitve D. Zato velja naslednja neenakost tudi za spodnji inzgornji integral

s(f) ≤ F (b)− F (a) ≤ S(f).

Iz enakosti s(f) = S(f) =∫ baf sledi zelena enakost∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

�1Ce je funkcija f : [a, b]→ R, zvezna in odvedljiva na (a, b), obstaja x0 iz intervala (a, b), da velja

f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a .

17

Funkcija na zaprtem intervalu [a, b] je Riemannovo integrabilna natanko takrat,ko je omejena in zvezna skoraj povsod. Izreka 4.3 in 4.5 (1) nam skupaj dokazeta

Izrek 4.6. Naj bo f Riemannovo integrabilna. Potem velja

d

dx

(∫ x

a

f(x)dx

)= f(x)

povsod, razen morda na mnozici z mero 0.

4. Lebesgueov integral omejene funkcije na mnozici koncne mere

Za motivacijo si najprej oglejmo primer funkcije, ki ni Riemannovo integrabilna.

Primer 4.7. Poglejmo si karakteristicno funkcijo na mnozici racionalnih stevilna intervalu [0, 1]

χQ(x) =

{1; ce x ∈ Q,0; drugje.

Ta funkcija, znana kot Dirichletova funkcija, ni Riemannovo integrabilna. Zalazje razumevanje, si lahko izberemo poljubno delitev intervala [0, 1]. Supremumod χQ na katerem koli intervalu je enak 1, infimum pa 0. Zato zgornji in spodnjiRiemannova vsoti konvergirata k 1 oziroma 0. Ocitno ti dve limiti nista enaki,zato Riemannov integral funkcije χQ ne obstaja. Seveda lahko to argumentiramotudi z Lebesgueovim kriterijem za Riemannovo integrabilnost, saj je mnozica tocknezveznosti nase funkcije ves interval [0, 1].

Vseeno pa takoj opazimo, da χQ skoraj povsod enaka 0, saj je nenicelna le nastevni mnozici, in bi bilo smiselno, da bi bil zato tudi njen integral enak 0. Problemlahko resimo tako, da definiramo (Lebesgueov) integral funkcije χQ kot∫

[0,1]

χQ = 1m(Q ∩ [0, 1]) + 0m([0, 1]\Q) = 0.

Definicija 4.8. Naj bo ϕ : R → R enostavna funkcija, ki je nenicelna le namnozici s koncno mero. Potem definiramo Lebesgueov integral enostavne funkcije ϕna R kot ∫

ϕ =n∑i=1

aimAi,

kjer ima ϕ kanonicno reprezentacijo ϕ =∑n

i=1 aiχAi. Ce je E ⊂ R katera koli mer-ljiva mnozica, potem definiramo Lebesgueov integral enostavne funkcije na mnoziciE kot ∫

E

ϕ =

∫ϕ · χE.

Velikokrat je prirocno, da uporabimo reprezentacijo, ki ni kanonicna, in upora-bimo naslednjo lemo:

Lema 4.9. Naj bo ϕ =∑n

i=1 aiχEi, z Ei ∩Ej = ∅ za i = j. Predpostavimo, da jevsaka mnozica Ei merljiva mnozica s koncno mero. Potem velja∫

ϕ =n∑i=1

aimEi.

18

Dokaz. MnozicaAa = {x : ϕ(x) = a} =⋃ai=a

Ei. Zato je amAa =∑

ai=aaimEi

zaradi aditivnosti m, in tako∫ϕ =

∑amAa =

∑aimEi.

�

Trditev 4.10. Naj bosta ϕ in ψ enostavni funkciji, ki sta nenicelni zgolj namnozici s koncno mero, in a, b ∈ R. Potem velja∫

(aϕ+ bψ) = a

∫ϕ+ b

∫ψ,

in ce ϕ ≥ ψ, potem velja ∫ϕ ≥

∫ψ.

Dokaz. Naj bodo {Ai} in {Bi} mnozice, ki se pojavljajo v kanonicnih repre-zentacijah funkcij ϕ in ψ. Naj bosta A0 in B0 mnozici, kjer sta ϕ in ψ enaki nic.Preseki Ai∩Bj sestavljajo koncno druzino merljivih mnozic, in zato lahko zapisemo

ϕ =N∑k=1

akχEk

ψ =N∑k=1

bkχEk,

in dobimo zvezo

aϕ+ bψ =∑

(aak + bbk)χEk.

Od koder iz Leme 4.9 sledi∫

(aϕ + bψ) = a∫ϕ + b

∫ψ. Da dokazemo se drugi del

trditve, uporabimo ∫ϕ−

∫ψ =

∫(ϕ− ψ) ≥ 0,

saj je integral nenegativne enostavne funkcije po definiciji integrala vecji ali enak0. �

Naj bo f omejena funkcija z realnimi vrednostmi in E merljiva mnozica s koncnomero. Po analogiji Riemannovega integrala bomo za enostavni funkciji ϕ in ψ obrav-navali stevila

infψ≥f

∫E

ψ

in

supϕ≤f

∫E

ϕ,

kjer infimum in supremum vzamemo po enostavnih funkcijah ϕ in ψ.

Definicija 4.11. Naj bo f omejena merljiva funkcija definirana na merljivimnozici E s koncno Lebesgueovo mero mE. Ce velja

inff≤ψ

∫E

ψ = supf≥ϕ

∫E

ϕ

19

je f Lebesgueovo integrabilna na E in definiramo Lebesgueov integral funkcije f naE z ∫

E

f = inff≤ψ

∫E

ψ.

Dokazimo najprej, da je Lebesgueov integral resnicno posplositev Riemannovegaintegrala.

Izrek 4.12. Naj bo f : [a, b] → R Riemannovo integrabilna. Potem je f Lebe-sgueovo integrabilna in velja ∫ b

a

f(x)dx =

∫[a,b]

f.

Dokaz. Za dano funkcijo f bomo definirali

l∗(f)L = infs≥f{∫[a,b]

s}

in

l∗(f)L = sups≤f{∫[a,b]

s},

kjer je s enostavna funkcija. Ker je vsaka stopnicasta funkcija tudi enostavna funk-cija, velja

s(D) ≤ l∗(f)L ≤ l∗(f)L ≤ S(D).

Ce je funkcija f Riemannovo integrabilna, obstaja taka delitev D, da je razlikaS(D)− s(D) poljubno majhna. Zato mora biti f Lebesgueovo integrabilna z enakovrednostjo integrala. �

5. Karakterizacija omejenih Lebesgueovo integrabilnih funkcij

V tem razdelku bomo pokazali karakterizacijo integrabilnosti za Lebesgueov in-tegral za omejene funkcije, definirane na mnozicah s koncno mero.

Izrek 4.13. Naj bo f definirana in omejena na merljivi mnozici E s koncno mE.Funkcija f je Lebesgueovo integrabilna natanko tedaj, ko je Lebesgueovo merljiva.

Dokaz. Pokazati moramo, da velja

inff≤ψ

∫E

ψ = supf≥ϕ

∫E

ϕ

natanko tedaj, ko je f merljiva.Naj bo f omejena z M in predpostavimo, da je f merljiva. Potem so mnozice

Ek =

{x :

kM

n≥ f(x) >

(k − 1)M

n

}, −n ≤ k ≤ n,

merljive, disjunktne in imajo unijo E. Zaton∑

k=−n

mEk = mE.

Enostavne funkcije definirane z

ψn(x) =M

n

n∑k=−n

kχEk(x)

20

in

ϕn(x) =M

n

n∑k=−n

(k − 1)χEk(x)

zadoscajoϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x).

Zato

infψ

∫E

ψ ≤∫E

ψn =M

n

n∑k=−n

kmEk

in

supϕ

∫E

ϕ ≥∫E

ϕn =M

n

n∑k=−n

(k − 1)mEk,

ker infimum in supremum teceta po vseh enostavnih funkcijah, iz tega sledi

0 ≤ inf

∫E

ψ − sup

∫E

ϕ ≤ M

n

n∑k=−n

mEk =M

nmE.

Ker je n poljubno stevilo, velja

inf

∫E

ψ − sup

∫E

ϕ = 0

in s tem zadostimo zadostnemu pogoju.Sedaj predpostavimo, da velja

infψ≥f

∫E

ψ = supϕ≤f

∫E

ϕ.

Za vsak n obstajata enostavni funkciji ϕn in ψn, da velja

ϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x)

in ∫ψn −

∫ϕn <

1

n.

Potem sta funkcijiψ∗ = inf ψn

inϕ∗ = supϕn

merljivi po Izreku 3.5 in velja tudi

ϕ∗(x) ≤ f(x) ≤ ψ∗(x).

Mnozica∆ = {x : ϕ∗(x) < ψ∗(x)}

je unija mnozic

∆v =

{x : ϕ∗(x) < ψ∗(x)− 1

v

}.

Ampak vsak ∆v je vsebovan v mnozici {x : ϕn < ψn(x) − 1v} in ta mnozica ima

mero manjso kot v/n. Ker je n poljuben, je m∆v = 0 in m∆ = 0. Zato je ϕ∗ = ψ∗

in enako tudi ϕ∗ = f razen morda na mnozici z mero nic. Zato je f merljiva poTrditvi 3.7 in s tem zadostimopotrebnemu pogoju. �

21

Literatura

[1] Royden, H. L.(1988). Real Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 07632.[2] Rudin, W. (1987). Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Company.[3] Slapar, M. (2012). Zapiski predavanj iz osnov matematicne analize. Ljubljana: Narodna uni-

verzitetna knjiznica.Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/OMA.pdf (2.9.2014).

[4] Rudin, W. (1974). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Book Company.[5] Abbott, S. (2001). Understanding Analysis. Springer-Verlag New York, Inc.[6] Cencelj, M. Analiza — (Studijsko gradivo).

Dostopno na: http://www.pef.uni-lj.si/~matijac/analiza.pdf (2.9.2014).

22