UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

ANITA MANDELJ

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOKA FAKULTETA

tudijski program: Matematika in ra£unalni²tvo

Ravninske mreºe in posplo²itve Pickovega izreka

DIPLOMSKO DELO

Mentor: prof. dr. Matija Cencelj Kandidatka: Anita Mandelj

Somentor: asist. dr. Bo²tjan Gabrov²ek

Ljubljana, junij, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju dr. Matiji Cenclju za potrpeºjivost, strokovno vodenje in

vso pomo£ pri nastajanju diploskega dela. Tudi somentorju dr. Bo²tjanu Gabrov²ku

hvala za nasvete, predloge in pomo£ pri programiranju.

Zahvaljujem se star²ema Silvi in Ivanu, sestri Tini, in Mihu za razumevanje, podporo

ter spodbudo. Hvala tudi vsem ostalim, ki so verjeli vame.

Povzetek

Obravnavamo enakomerno porazdeljene diskretne mnoºice to£k v ravnini, ki jim

pravimo mreºe. Najbolj znane in preu£evane so kvadratne mreºe, poseben

predstavnik takih mreº je mreºa vseh to£k s celo²tevilskimi koordinatami v ravnini

R× R. Obravnavamo tudi pravokotne mreºe, paralelogramske mreºe in trikotni²kemreºe. Z raziskovanjem kroºnic, postavljenih na razli£nih mreºah, ugotavljamo

povezavo med ²tevilom mreºnih to£k znotraj in na kroºnici ter ²tevilom π.

Ugotavljanje zgornje in spodnje meje za napako, ki pri tem nastane, imenujemo

Gauÿov problem s kroºnicami, saj je prav on prvi raziskoval mreºe in kroºnice na

njej. Pokaºemo tudi zgornjo mejo za najkraj²o razdaljo med dvema mreºnima

to£kama. S pomo£jo izreka iz teorije ²tevil poveºemo ²tevilo mreºnih to£k v in na

kroºnici z Leibnizevo vrsto. Obravnavamo vpra²anje posplo²itve Pickovega izreka

na splo²nej²e mreºe v ravnini in s protiprimerom pokaºemo, da izrek ne velja za

heksagonalne mreºe. Posebej predstavimo dva programa: program za ra£unanje

²tevila mreºnih to£k znotraj in na robu kroºnice, ki obenem izra£una tudi pribliºek

za ²tevilo π ter napako, ki pri tem nastane ter program za izra£un plo²£ine

ve£kotnika po Pickovem izreku.

Klju£ne besede: mreºe v ravnini, enotske kvadratne mreºe, Gauÿov problem s

kroºnicami, Leibnizeva vrsta, Pickov izrek, kot vidljivosti

Klasi�kacija

AMS MSC(2010): 52C05

I

II

Abstract

Plane Lattices and Generalizations of Pick's Theorem

A uniformly distributed discrete set of points in the plane called lattices are

considered. The most well-known and studied are square lattices, a special

representative of such lattices is the lattice of all points with integer coe�cients in

the plane R × R. We are dealing with rectangular lattices, parallelogram latticesand triangle lattices. By exploring the circles, positioned on di�erent lattices, we

establish a link between the number of lattice points inside and on the edge of a

circle and the number π. Determining the upper and lower bound of the error

occurring, is called Gauss circle problem, since it was him who �rst explored

lattices and circles on it. We also show the upper bound of the shortest distance

between two lattice points. With the help of a theorem of number theory, we

connect the number of lattice points inside and on the edge of a circle with Leibniz

series. Generalizations of Pick's theorem on general lattices in the plane are

considered and with a counterexample it is shown that the theorem does not apply

to the hexagonal lattices. Separately we introduce two programs: a program for

calculating the number of lattice points inside and on the edge of a circle, which

also calculates an approximation for the number π and the error occurring, and a

program for calculating the area of a polygon with Pick's theorem.

Keywords: plane lattices, unit square lattices, Gauÿ's circle problem, Leibniz

series, Pick's theorem, visibility angle

Classi�cation

AMS MSC(2010): 52C05

III

IV

Kazalo

1 Uvod 1

2 Mreºe v ravnini 2

2.1 Enotska kvadratna mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Enotska pravokotna mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Enotska paralelogramska mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Enotska rombna mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Leibnizeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Pickov izrek 26

3.1 Dokaz Pickovega izreka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Prilagojen Pickov izrek za ve£kotnike s k luknjami . . . . . . . . . . . 32

4 Vidljivost in Pickov izrek 34

4.1 Splo²nej²e mreºe in Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Ra£unalni²ka programa 42

5.1 Opis programa Gauÿov problem s kroºnicami . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Koda programa Gauÿov problem s kroºnicami . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Opis programa Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Koda programa Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Zaklju£ek 54

7 Viri in literatura 55

V

VI

Slike

1 Kvadratna mreºa a1 = a2 in ϕ = 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Heksagonalna mreºa a1 = a2 in ϕ = 120◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Po²evna mreºa a1 6= a2 in ϕ 6= 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Pravokotna mreºa a1 6= a2 in ϕ = 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Centralno pravokotna mreºa a1 6= a2 in ϕ 6= 90◦ . . . . . . . . . . . . 26 Enotski lik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7 Premik enotskega lika vzdolº stranice a . . . . . . . . . . . . . . . . 3

8 Premik traku vzdolº stranice b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

9 Enotska mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

10 Enotska kvadratna mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11 Paralelogrami na enotski kvadratni mreºi . . . . . . . . . . . . . . . 5

12 Kroºnica na enotski kvadratni mreºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

13 Podro£je F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

14 Podro£ji A(r) in B(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

15 Graf pribliºkov ²tevila π za r med 1 in 300 . . . . . . . . . . . . . . 9

16 Podro£je G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

17 Podro£ji C(r) in D(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

18 Enotska pravokotna mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

19 Podro£je H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

20 Podro£ji M(r) in N(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

21 Paralelogramska enotska mreºa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

22 Podro£je I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

23 Podro£ji O(r) in P (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

24 Podro£je J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

25 Podro£ji R(r) in S(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

26 Enotska rombna mreºa, generirana z dvema enakostrani£nima

trikotnikoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

27 Prikaz dokaza Trditve 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

28 Najgostej²a razporeditev kroºnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

29 tevilo mreºnih to£k na kroºnici s polmerom r =√65 . . . . . . . . 23

30 Pickov izrek za pravokotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

31 Pickov izrek za pravokotni trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

VII

32 Pickov izrek za poljuben trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

33 Triangulacija ve£kotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

34 Spajanje ve£kotnika in trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

35 Ve£kotniki z luknjami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

36 Ve£kotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

37 Pravokotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

38 Pravokotni trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

39 Trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

40 Ve£kotnik A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

41 Ve£kotnik B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

42 Ve£kotnik C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

43 Ve£kotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

44 Tloris osnovne ploskve tristrane piramide . . . . . . . . . . . . . . . 40

45 Tristrana piramida A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

46 Tristrana piramida B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

47 Izgled ra£unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob

zagonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

48 Izgled ra£unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob

izvajanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

49 Izgled ra£unalni²kega programa Pickov izrek ob zagonu . . . . . . . . 47

50 Izgled ra£unalni²kega programa Pickov izrek ob izvajanju . . . . . . 48

Tabele

1 Tabela ²tevil mreºnih to£k pri danem r in plo²£ina kroºnice . . . . . 6

2 Tabela pribliºkov ²tevila π pri danem r . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Primerjava dejanske plo²£ine in plo²£ine izra£unane po Pickovi

formuli ve£kotnikov s slike 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

VIII

1 Uvod

Preu£evali bomo razli£ne mreºe v ravnini, bolj natan£no pa enotsko kvadratno

mreºo, saj je ta osnova nekaterih znanih izrekov. Poglobili se bomo v Gauÿov

problem s kroºnicami ter poizkusili ta problem prenesti na nekatere druge enotske

mreºe. Obstaja tudi povezava med ²tevilom mreºnih to£k v notranjosti in na robu

kroºnice ter Leibnizevo vrsto.

Eden bolj znanih izrekov, ki se nana²ajo na enotske kvadratne mreºe, je Pickov

izrek, ki izra£una plo²£ino enostavnega mreºnega ve£kotnika, s pomo£jo ²tevila to£k

v notranjosti ve£kotnika ter ²tevila to£k na njegovih stranicah in ogli²£ih. Osnovni

Pickov izrek se da raz²iriti tudi na ve£kotnike z luknjami, ter na ve£kotnike, kjer se

stranice sekajo med seboj ali dotikajo. Da to velja, bomo pokazali tako, da bomo

mreºnim to£kam ve£kotnika dodelili uteºi glede na njihov kot vidljivosti. Pogledali

bomo tudi, ali Pickov izrek velja za posebno heksagonalno mreºo.

Za demonstracijo bomo izdelali tudi dve ra£unalni²ki aplikaciji. Prva se nana²a na

Gauÿov problem s kroºnicami, druga pa na Pickov izrek.

1

2 Mreºe v ravnini

Mreºe v ravnini so neskon£ne mnoºice to£k v dvodimenzionalnem evklidskem

prostoru. To£ke so po ravnini razporejene po to£no dolo£enem vzorcu oziroma

liku, pravimo tudi, da so generirane z dolo£enim likom.

Slika 1: Kvadratna mreºa a1 = a2in ϕ = 90◦

Slika 2: Heksagonalna mreºa a1 =

a2 in ϕ = 120◦

Slika 3: Po²evna mreºa a1 6= a2in ϕ 6= 90◦

Slika 4: Pravokotna mreºa a1 6=a2 in ϕ = 90◦

Slika 5: Centralno pravokotna mreºa a1 6= a2 in ϕ 6= 90◦

Prvi, ki je bolj natan£no raziskoval mreºe v ve£dimenzionalnih prostorih, je bil

francoski �zik in kristalograf Auguste Bravais (1811 - 1863), zato jih tudi imenujemo

2

Bravaisove mreºe. Pogledali si bomo samo mreºe v dvodimenzionalnem prostoru,

torej v ravnini, kjer je Bravais glede na lastnosti generativnih likov in moºnih simetrij

znotraj mreºe, dolo£il pet osnovnih mreº. Prikazane so na slikah od 1 do 5 skupaj

z osnovnimi lastnostmi generativnih likov.

Mreºa v ravnini je neskon£en niz to£k, ki jih generira niz diskretnih translacijskih

operacij, zapisanih z ena£bo R = n1a1 + n2a2. n1 in n2 sta poljubni celi ²tevili, a1in a2 pa osnovna vektorja, ki ne leºita na isti osi in povezujeta mreºo.

Poseben primer mreºe so enotske mreºe. e ºelimo, da je mreºa enotska, mora biti

generirana z enotskim likom, kar pomeni, da mora imeti izbrani lik plo²£ino 1.

Slika 6: Enotski lik

Enotsko mreºo skonstruiramo tako, da na ravnino nari²emo vsa ²tiri ogli²£a

enotskega lika (slika 6).

Nato enotski lik premaknemo vzdolº stranice a za eno dolºino stranice a in na ravnini

ozna£imo dve novi ogli²£i. Ta proces ponovljamo v neskon£nost, potem pa enako

storimo ²e za nasprotno smer. Tako dobimo trak, ki vsebuje dve vrsti to£k v ravnini

(slika 7).

Slika 7: Premik enotskega lika vzdolº stranice a

Nato celoten trak premaknemo vzdolº stranice b za eno dolºino stranice b (slika 8).

Ozna£imo novo nastale to£ke in ta proces ponavljamo v neskon£nost, najprej za

izbrano smer, nato ²e za nasprotno. Mnoºica vseh to£k tvori enotsko mreºo (slika

9).

3

Slika 8: Premik traku vzdolº stranice b

Slika 9: Enotska mreºa

2.1 Enotska kvadratna mreºa

Enotska kvadratna mreºa je vrsta mreºe v dvodimenzionalnem Evklidskem prostoru.

Zanjo je zna£ilno, da ima enotski kvadrat, s katerim je mreºa generirana, vse stranice

dolºine 1 ter plo²£ino 1 (slika 10). De�niramo jo lahko tudi kot mnoºico vseh to£k

v ravnini, ki imajo za kartezi£ne koordinate cela ²tevila. Torej je mnoºica vseh

mreºnih to£k M enaka M = {(x, y); (x, y) ∈ Z× Z ⊂ R2} .

Slika 10: Enotska kvadratna mreºa

Na to mreºo lahko sedaj poleg kvadrata nari²emo tudi ostale like s ²tirimi ogli²£i

(npr. paralelogrami). S slike 11 je razvidno, da lahko celotno enotsko kvadratno

mreºo generiramo tudi s katerimkoli paralelogramom, ki nima v notranjosti ali na

4

robu nobene od mreºnih to£k, razen v ogli²£ih. e ta pogoj ni izpolnjen, ne dobimo

vseh mreºnih to£k pri konstrukciji mreºe. Kasneje bomo pokazali, da ima vsak tak

paralelogram enotsko plo²£ino.

Slika 11: Paralelogrami na enotski kvadratni mreºi

Eno prvih matemati£nih raziskav na enotski kvadratni mreºi je bil Gauÿov problem

s kroºnicami [Hilbert, Cohn-Vossen]. Johann Carl Friedrich Gauÿ (1777 - 1855) je

bil nem²ki matematik, astronom, �zik in geodet. Posku²al je de�nirati ²tevilo f(r),

ki ozna£uje ²tevilo mreºnih to£k v notranjosti in na robu kroºnice s polmerom r.

Pri tem je sredi²£e kroºnice ena od mreºnih to£k, r pa je pozitivno celo ²tevilo.

Slika 12: Kroºnica na enotski kvadratni mreºi

Gauÿ je za razli£ne vrednosti r pre²tel ²tevilo mreºnih to£k v notranjosti in na

robu kroºnic (Tabela 3). Natan£na formula [Gauss's Circle Problem - Wolfram

MathWorld] za izra£un mreºnih to£k v in na robu kroºnice s polmerom r ∈ Z in

5

x ∈ Z je

f(r) = 1 + 4r + 4r∑

x=1

⌊√r2 − x2

⌋,

kjer b√r2 − x2c pre²teje ²tevilo to£k znotraj £etrtine kroºnice brez sredi²£a in to£k

na oseh. Te pri²tejemo z 1 + 4r. Funkcija bac je celi del realnega ²tevila a.

Raziskovanje te funkcije ga je pripeljalo do metode za izra£un pribliºka vrednosti

²tevila π. Ker je v enotski kvadratni mreºi plo²£ina kroga s polmerom r enaka πr2,

je Gauÿ domneval, da je ²tevilo mreºnih to£k v in znotraj kroºnice pribliºno πr2.

Pri²el je do spoznanja, da je f(r) = πr2 + n(r), kjer je n(r) napaka. Gauÿ je na²el

tudi zgornjo mejo za to napako: |n(r)| ≤ 2√2πr.

r f(r) πr2 na 2 d.m.

10 317 314, 16

20 1257 1256, 64

30 2821 2827, 43

100 31417 31415, 93

200 125629 125663, 71

300 282697 282743, 34

Tabela 1: Tabela ²tevil mreºnih to£k pri danem r in plo²£ina kroºnice

Trditev 1. Naj bo r ∈ Z+ polmer kroºnice na enotski kvadratni mreºi s sredi²£emv eni od mreºnih to£k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to£k, ki so v noranjosti in na

robu te kroºnice. Tedaj velja

limr→∞

f(r)

r2= π.

Dokaz. Naj bo podro£je F sestavljeno iz enotskih kvadratov, katerih spodnje levo

ogli²£e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 13). Ker ima enotski kvadrat

tudi enotsko plo²£ino a = 1, je ²tevilo vseh to£k v notranjosti in na robu kroºnice

f(r) enaka plo²£ini podro£ja F . Torej je F = a ·f(r) in ker je a = 1, sledi F = f(r).

Dolo£imo ²e podro£je A(r), ki ga sestavljajo enotski kvadrati, katere seka kroºnica

(slika 14). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo²£ino kroga, ki ga dolo£a kroºnica,

6

Slika 13: Podro£je FSlika 14: Podro£ji A(r) in B(r)

manj²a ali enaka plo²£ini podro£ja A(r). Torej∣∣f(r)− πr2∣∣ ≤ A(r),∣∣∣∣f(r)r2 − π

∣∣∣∣ ≤ A(r)r2 .Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo A(r). Ker je najve£ja razdalja med

katerimakoli dvema to£kama v enotskem kvadratu enaka√2, lahko re£emo, da je

podro£je A(r) vsebovano v kolobarju B(r) ²irine 2√2 in omejenim s kroºnicama z

radijema r +√2 ter r −

√2 (slika 14). Plo²£ina kolobarja B(r) je enaka

B(r) =[(r +

√2)2 − (r −

√2)2]π,

B(r) = 4√2πr.

Ker vemo, da je A(r) < B(r), sledi∣∣∣∣f(r)r2 − π∣∣∣∣ < 4√2πr .

Neena£bo limitiramo in dobimo

limr→∞

4√2π

r= 0

in

limr→∞

f(r)

r2= π.

7

e v izraz f(r)/r2 vstavimo vrednosti f(r) in r, dobimo pribliºke ²tevila π (Tabela

2).

r f(r)/r2 π na 6 d.m.

10 3, 17 3, 141593

20 3, 1425 3, 141593

30 3, 134 3, 141593

100 3, 1417 3, 141593

200 3, 140725 3, 141593

300 3, 14107 3, 141593

Tabela 2: Tabela pribliºkov ²tevila π pri danem r

Slika 15 prikazuje graf pribliºkov ²tevila π za r med 1 in 300. Vidimo lahko, da se

z nara²£anjem r, vrednosti izraza f(r)/r2 res pribliºujejo vrednosti ²tevila π.

8

Slika15:Grafpribliºkov²tevila

πzarmed

1in

300

9

Trditev 2. Plo²£ina kateregakoli paralelograma, ki generira enotsko kvadratno

mreºo, je enaka 1 (slika 11).

Dokaz. Naj bo r ∈ Z+ polmer kroºnice na enotski kvadratni mreºi s sredi²£em veni od mreºnih to£k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to£k, ki so v noranjosti in na robu

te kroºnice. Prodro£je G naj bo sestavljeno iz vseh enakih paralelogramov, katerih

spodnje levo ogli²£e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 16).

Slika 16: Podro£je G

Slika 17: Podro£ji C(r) in D(r)

e je plo²£ina vsakega od teh paralelogramov enaka a, potem je plo²£ina podro£ja

G enaka a · f(r). Podro£je D(r) (slika 17) naj bo kolobar, ki ga omejujeta kroºnicis polmeroma r + d in r − d, kjer je d najve£ja razdalja med dvema to£kama vparalelogamu (dalj²a diagonala paralelograma) in je neodvisna od r:

D(r) =[(r + d)2 − (r − d)2

]π,

D(r) = 4dπr.

Tedaj je razlika med plo²£ino podro£ja G in plo²£ino kroga, ki ga dolo£a kroºnica,

10

manj²a od plo²£ine kolobarja D(r):∣∣af(r)− πr2∣∣ < D(r),∣∣af(r)− πr2∣∣ < 4dπr,∣∣∣∣af(r)r2 − π

∣∣∣∣ < 4dπr .Neena£bo limitiramo in dobimo

limr→∞

4dπ

r= 0

in

limr→∞

f(r)

r2=π

a.

Vendar po prej²nji trditvi velja ena£ba:

limr→∞

f(r)

r2= π.

Torej je a = 1, kar pomeni, da je plo²£ina paralelograma, ki generira enotsko

kvadratno mreºo, enaka 1.

2.2 Enotska pravokotna mreºa

Enotsko pravokotno mreºo skonstruiramo podobno kot enotsko kvadratno mreºo.

Razlika je v tem, da namesto kvadrata s stranicama dolºine 1, na ravnino nari²emo

pavokotnik s stranicama c in 1c. Tako bo pravokotnik enotski, saj bo njegova plo²£ina

enaka c · 1c= 1 (slika 18).

Trditev 3. Naj bo enotska pravokotna mreºa generirana s pravokotnikom s

stranicama c in 1c, r ∈ Z+ polmer kroºnice na tej mreºi s sredi²£em v eni od

mreºnih to£k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to£k, ki so v noranjosti in na robu

kroºnice. Tedaj velja

limr→∞

f(r)

r2= π.

11

Slika 18: Enotska pravokotna mreºa

Dokaz. Naj bo podro£je H sestavljeno iz enotskih pravokotnikov, katerih spodnje

levo ogli²£e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 19). Ker ima enotski

pravokotnik tudi enotsko plo²£ino a = c · 1c= 1, je ²tevilo vseh to£k v notranjosti in

na robu kroºnice (f(r)) enaka plo²£ini podro£ja H. Torej je H = a · f(r) in ker jea = 1, sledi H = f(r).

Slika 19: Podro£je HSlika 20: Podro£ji M(r) in N(r)

Dolo£imo ²e podro£je M(r), ki ga sestavljajo enotski pravokotniki, katere seka

kroºnica (slika 20). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo²£ino kroga, ki ga

12

dolo£a kroºnica, manj²a ali enaka plo²£ini podro£ja M(r). Torej∣∣f(r)− πr2∣∣ ≤M(r),∣∣∣∣f(r)r2 − π

∣∣∣∣ ≤ M(r)r2 .Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo M(r). Ker je najve£ja razdalja med

katerimakoli dvema to£kama v enotskem pravokotniku enaka d =√c2 +

(1c

)2(diagonala pravokotnika), lahko re£emo, da je podro£je M(r) vsebovano v

kolobarju N(r) ²irine 2 · d in omejenim s kroºnicama z radijema r + d ter r − d(slika 20).

Plo²£ina kolobarja N(r) je enaka

N(r) =[(r + d)2 − (r − d)2

]π,

N(r) = 4dπr.

Ker vemo, da je M(r) < N(r), sledi∣∣∣∣f(r)r2 − π∣∣∣∣ < 4dπr .

Neena£bo limitiramo in dobimo

limr→∞

4dπ

r= 0

in

limr→∞

f(r)

r2= π.

2.3 Enotska paralelogramska mreºa

Najbolj splo²na enotska mreºa je enotska paralelogramska mreºa, saj med

paralelograme uvr²£amo tudi kvadrate, pravokotnike in rombe. Generiramo jo

lahko s pomo£jo poljubnih enotskih paralelogramov s stranico c in vi²ino na to

stranico 1c. Plo²£ina takega paralelograma bo tako enaka c · 1

c= 1 (slika 21).

13

Slika 21: Paralelogramska enotska mreºa

Trditev 4. Naj bo enotska paralelogramska mreºa generirana s paralelogramom s

stranico c in vi²ino na to stranico 1c, r ∈ Z+ polmer kroºnice na tej mreºi s sredi²£em

v eni od mreºnih to£k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to£k, ki so v notranjosti in na

robu kroºnice. Tedaj velja

limr→∞

f(r)

r2= π.

Dokaz. Naj bo podro£je I sestavljeno iz enotskih paralelogramov, katerih spodnje

levo ogli²£e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 22). Ker ima enotski

paralelogram tudi enotsko plo²£ino a = c · 1c= 1, je ²tevilo vseh to£k v notranjosti

in na robu kroºnice (f(r)) enaka plo²£ini podro£ja I. Torej je I = a · f(r) in ker jea = 1, sledi I = f(r).

Slika 22: Podro£je I

Slika 23: Podro£ji O(r) in P (r)

14

Dolo£imo ²e podro£je O(r), ki ga sestavljajo enotski paralelogrami, katere seka

kroºnica (slika 23). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo²£ino kroga, ki ga

dolo£a kroºnica, manj²a ali enaka plo²£ini podro£ja O(r). Torej∣∣f(r)− πr2∣∣ ≤ O(r),∣∣∣∣f(r)r2 − π∣∣∣∣ ≤ O(r)r2 .

Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo O(r). Ker je najve£ja razdalja med

katerimakoli dvema to£kama v enotskem paralelogramu enaka d (dalj²a od obeh

diagonal paralelograma), lahko re£emo, da je podro£je O(r) vsebovano v kolobarju

P (r) ²irine 2 · d in omejenim s kroºnicama z radijema r + d ter r − d (slika 23).

Plo²£ina kolobarja P (r) je enaka

P (r) =[(r + d)2 − (r − d)2

]π,

P (r) = 4dπr.

Ker vemo, da je O(r) < P (r), sledi∣∣∣∣f(r)r2 − π∣∣∣∣ < 4dπr .

Neena£bo limitiramo in dobimo

limr→∞

4dπ

r= 0

in

limr→∞

f(r)

r2= π.

Isto mreºo je moºno generirati z razli£nimi paralelogrami, pogoj je le, da so plo²£ine

paralelogramov enake 1. Dokaz za to je enak dokazu za kvadratno mreºo.

Trditev 5. Plo²£ina kateregakoli paralelograma, ki generira enotsko

paralelogramsko mreºo, je enaka 1.

Dokaz. Naj bo r ∈ Z+ polmer kroºnice na enotski paralelogramski mreºi s sredi²£emv eni od mreºnih to£k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to£k, ki so v notranjosti in na

15

robu te kroºnice. Naj ima paralelogram, ki nima v notranjosti ali na robu nobene

od mreºnih to£k, razen v ogli²£ih, plo²£ino a. Podro£je J naj bo sestavljeno iz takih

enakih paralelogramov, katerih spodnje levo ogli²£e leºi v notranjosti ali na robu

kroºnice (slika 24).

Slika 24: Podro£je J Slika 25: Podro£ji R(r) in S(r)

Ker je plo²£ina vsakega od teh paralelogramov enaka a, potem je plo²£ina podro£ja

J enaka a · f(r). Podro£je S(r) (slika 25) naj bo kolobar, ki ga omejujeta kroºnicis polmeroma r + d in r − d, kjer je d najve£ja razdalja med dvema to£kama vparalelogamu (dalj²a diagonala paralelograma) in je neodvisna od r:

S(r) =[(r + d)2 − (r − d)2

]π,

S(r) = 4dπr.

Tedaj je razlika med plo²£ino podro£ja J in plo²£ino kroga, ki ga dolo£a kroºnica,

manj²a od plo²£ine kolobarja S(r):∣∣af(r)− πr2∣∣ < S(r),∣∣af(r)− πr2∣∣ < 4dπr,∣∣∣∣af(r)r2 − π

∣∣∣∣ < 4dπr .16

Neena£bo limitiramo in dobimo

limr→∞

4dπ

r= 0

in

limr→∞

f(r)

r2=π

a.

Vendar po prej²nji trditvi velja ena£ba:

limr→∞

f(r)

r2= π.

Torej je a = 1, kar pomeni, da je plo²£ina paralelograma, ki generira enotsko

paralelogramsko mreºo, enaka 1.

2.4 Enotska rombna mreºa

Enotska rombna mreºa je poseben primer enotske paralelogramske mreºe. Romb,

ki generira enotsko rombno mreºo, mora imeti vse ²tiri stranice skladne, dolºine c,

vi²ino na stranco 1cter plo²£ino 1.

Natan£neje si bomo pogledali enotsko rombno mreºo, kjer je romb sestavljen iz dveh

enakostrani£nih trikotnikov s skladnimi stranicami dolºine c. V enakostrani£nem

trikotniku je vi²ina enaka c√3

2, kar pa je obenem tudi vi²ina romba 1

c. Pogoj je, da

je plo²£ina dveh enakostrani£nih trikotnikov s stranico c enaka 1 (slika 26).

c√3

2=

1

c,

c2√3 = 2,

c2 =2√3,

c =

√2√3,

1

c=

√√3

2.

Pokazali smo, da ima taka enotska rombna mreºa to£no dolo£eni dolºini stranice c

in vi²ine na to stranico 1c.

17

Slika 26: Enotska rombna mreºa, generirana z dvema enakostrani£nima trikotnikoma

V vsaki enotski mreºi lahko dolo£imo najkraj²o razdaljo med dvema mreºnima

to£kama. V enotski kvadratni mreºi je najkraj²a razdalja 1, v enotski pravokotni

mreºi je to kraj²a od stranic pravokotnika, v enotski pralelogramski mreºi pa je

lahko najkraj²a razdalja ena od stranic paralelograma ali kraj²a od diagonal v

paralelogramu. Ker mora imeti lik, s katerim je enotska mreºa generirana, plo²£ino

1, lahko sklepamo, da najkraj²a razdalja a med dvema mreºnima to£kama ne more

biti poljubno velika.

Trditev 6. Za enotske mreºe velja, da je zgornja meja za najkraj²o razdaljo a med

dvema mreºnima to£kama√

2√3, torej a ≤

√2√3.

Dokaz. Imejmo enotsko mreºo, generirano s paralelogramom s stranico a in vi²ino

na to stranico 1a. O£itno je, da mora biti spremenljivka a poljubno majhna. V

nasprotnem primeru mreºa ne bi bila enotska. Torej lahko dolo£imo zgornjo mejo

za spremenljivko a.

V poljubni enotski mreºi izberimo poljuben par mreºnih to£k, razdalja med njima

pa naj bo minimalna razdalja a. Na premici g, ki poteka skozi ti dve to£ki, leºi

neskon£no mnogo mreºnih to£k, razdalja med sosednjima mreºnima to£kama na tej

premici pa je enaka a. Tudi na premici h, ki je vzporedna premici g in od nje

oddaljena za dolºino 1a, leºi neskon£no mnogo mreºnih to£k, vendar jih obmo£je

med obema premicama ne sme vsebovati, saj taka mreºa ne bi bila enotska. Sedaj

18

Slika 27: Prikaz dokaza Trditve 6

nari²emo kroºnice s sredi²£i v vsaki mreºni to£ki na premici g in polmerom a (slika

27).

Poglejmo trak, ki je omejen s kroºnimi loki vseh kroºnic in premico g. Vsaka notranja

to£ka tega traku je od vsaj ene mreºne to£ke oddaljena manj kot a in zato ne more

biti mreºna to£ka. Torej je 1ave£je ali enako najkraj²i razdalji med robom traku in

premico g. O£itno je, da je ta razdalja vi²ina enakostrani£nega trikotnika s stranico

a, torej√32a. Dobimo

1

a≥√3

2a,

a ≤

√2√3.

Torej je zgornja meja a najkraj²e razdalje med dvema mreºnima to£kama enaka√2√3.

Obstaja enotska mreºa, kjer a dejansko doseºe zgornjo mejo, takrat je a enak√2√3. Dobimo enotsko mreºo, generirano z dvema enakostrani£nima trikotnikoma

s stranicami dolºine c =√

2√3(slika 26).

19

Z raztezanjem in kr£enjem enotske mreºe lahko dobimo katerokoli mreºo. e je

plo²£ina paralelograma za generiranje mreºe enaka a2 in je C najkraj²a razdalja med

dvema sosednjima mreºnima to£kama, je C ≤ a√

2√3. Ta trditev drºi le, £e je mreºa

generirana z enakostrani£nimi trikotniki. Za dano najkraj²o razdaljo C med dvema

mreºnima to£kama, ima taka mreºa najmanj²i moºni generativni paralelogram. Ker

je plo²£ina poljubno velikega podro£ja enaka produktu ²tevila mreºnih to£k na tem

podro£ju in plo²£ini generativnega paralelograma, ima med vsemi mreºami z dano

najkraj²o razdaljo C, mreºa generirana z enakostrani£nimi trikotniki najve£je ²tevilo

mreºnih to£k na danem poljubno velikem podro£ju.

Slika 28: Najgostej²a razporeditev kroºnic

e sedaj na to mreºno nari²emo kroºnice s sredi²£i v vsaki od mreºnih to£k in

polmerom c2, dobimo sistem kroºnic, kjer se nobena od kroºnic med sabo ne seka, so

pa med sabo dotikajo. Tak sistem kroºnic imenujemo regularno pakiranje kroºnic

(tangentna postavitev kroºnic na dolo£eno obmo£je). e je na nekem dolo£enem

(dovolj velikem) obmo£ju ve£je ²tevilo kroºnic pri danem pakiranju kot pri drugem,

re£emo, da je to pakiranje tesnej²e od drugega. Torej je mreºa, generirana s pomo£jo

enakostrani£nih trikotnikov, najtesnej²e pakiranje kroºnic (slika 28).

Za merjenje gostote pakiranja kroºnic izberemo koli£nik med vsoto plo²£in vseh

krogov, ki leºijo na danem podro£ju in plo²£ino tega podro£ja. Za poljubno velika

podro£ja se ta vrednost pribliºuje koli£niku med plo²£ino enega kroga v pakiranju

in plo²£ino generativnega paralelograma. Najbolj optimalna vrednost gostote

pakiranja kroºnic dobimo pri pakiranju kroºnic v mreºi generirani z dvema

20

enakostrani£nima trikotnikoma [Hilbert, Cohn-Vossen].

D =π(c2

)2c2√3

2

,

D =π

2√3≈ 0, 9069.

2.5 Leibnizeva vrsta

Med Gauÿovim problemom s kroºnicami in Leibnizevo vrsto obstaja povezava, ki jo

bomo pokazali v tem razdelku. Naj bo f(r) ²tevilo to£k v notranjosti in na robu

kroºnice s polmerom r in sredi²£em v eni od mreºnih to£k. e vzamemo, da je

sredi²£e kroºnice sredi²£e kartezi£nega koordinatnega sistema, imajo mreºne to£ke

koordinate (x, y), kjer sta x, y ∈ Z. Tedaj je f(r) ²tevilo parov x, y, za katere veljax2 + y2 ≤ r2.

Ker sta x, y ∈ Z, je tudi x2 + y2 ∈ Z. Naj bo n = x2 + y2. f(r) dobimo tako, da zavsak n ≤ r2 pre²tejemo ²tevilo vseh na£inov ρ(n), s katerimi lahko n predstavimokot vsoto kvadratov dveh celih ²tevil ter nato se²tejemo vsa ²tevila na£inov za vse

vrednosti n. Torej

f(r) =r2∑n=0

ρ(n). (1)

Primer: r = 2

• n = 0 lahko zapi²emo na 1 na£in kot vsoto dveh kvadratov: 0 = 02 + 02;ρ(0) = 1.

• n = 1 lahko zapi²emo na 4 na£ine kot vsoto dveh kvadratov: 1 = 02 + 12,1 = 02 + (−1)2, 1 = 12 + 02, 1 = (−1)2 + 02; ρ(1) = 4.

• n = 2 lahko zapi²emo na 4 na£ine kot vsoto dveh kvadratov: 2 = 12 + 12,2 = 12 + (−1)2, 2 = (−1)2 + 12, 2 = (−1)2 + (−1)2; ρ(2) = 4.

• n = 3 ni mogo£e zapisati kot vsoto dveh kvadratov; ρ(3) = 0.

21

• n = 4 lahko zapi²emo na 4 na£ine kot vsoto dveh kvadratov: 4 = 22 + 22,4 = 22 + (−2)2, 4 = (−2)2 + 22, 4 = (−2)2 + (−2)2; ρ(4) = 4.

f(2) = ρ(0) + ρ(1) + ρ(2) + ρ(3) + ρ(4),

f(2) = 1 + 4 + 4 + 0 + 4,

f(2) = 13.

Zdaj bomo potrebovali znani izrek teorije ²tevil o tem, na koliko na£inov lahko dano

naravno ²tevilo izrazimo kot vsoto dveh kvadratov naravnih ²tevil. Naj bo d1(n)

²tevilo deliteljev ²tevila n, ki so oblike 4k + 1, d3(n) pa ²tevilo deliteljev ²tevila n

oblike 4k + 3. Tedaj je po izreku iz teorije ²tevil ρ(n) ²tevilo na£inov zapisa ²tevila

n kot vsoto kvadratov dveh celih ²tevil enako

ρ(n) = 4d1(n)− 4d3(n). (2)

Dokaz izreka je v knjigi G.H. Hardy, E.M. Wright: An Introduction to the Theory

of Numbers.

Primer: n = 6

Delitelji ²tevila 6 so d(6) = {1, 2, 3, 6}, od teh je oblike 4k + 1 le 1, torej d1(6) = 1in oblike 4k + 3 le 3, torej d3(6) = 1.

Po formuli je ρ(6) = 4 · 1− 4 · 1 = 0.

Primer: n = 65

Delitelji ²tevila 65 so d(65) = {1, 5, 13, 65}, vsi so oblike 4k + 1, torej d1(65) = 4 innoben oblike 4k + 3, torej d3(65) = 0.

Po formuli je ρ(65) = 4 · 4 − 4 · 0 = 16, kar pomeni, da na kroºnici s polmeromr =√65 leºi 16 mreºnih to£k (slika 29). e ²tevilo n = 65 zapi²emo kot vsoto dveh

kvadratov, dobimo 65 = 12 + 82 in 65 = 42 + 72. Moºnih je 8 razli£nih zapisov

za vsako od vsot, s tem pa dobimo tudi koordinate vseh to£k na kroºnici: (1, 8),

(1,−8), (−1, 8), (−1,−8), (8, 1), (8,−1), (−8, 1), (−8,−1), (4, 7),(4,−7), (−4, 7),(−4,−7), (7, 4), (7,−4), (−7, 4), (−7,−4).

22

Slika 29: tevilo mreºnih to£k na kroºnici s polmerom r =√65

Ena£bo (2) vstavimo v ena£bo (1) in dobimo

f(r) =r2∑n=0

(4d1(n)− 4d3(n)),

f(r) = 1 + 4r2∑n=1

(d1(n)− d3(n)),

1

4

(f(r)− 1

)=

r2∑n=1

d1(n)−r2∑n=1

d3(n).

V prvi vsoti nastopajo ²tevila oblike 4k + 1 in so 1, 5, 9, 13, . . . , manj²a ali enaka

r2. Pri tem se ²tevilo 1 pojavi⌊r2⌋-krat, 5 se pojavi

⌊r2

5

⌋-krat, 9 se pojavi

⌊r2

9

⌋-krat

ter tako dalje. Pri tem je⌊a⌋celi del ²tevila a. Enako velja za drugo vsoto, kjer

nastopajo ²tevila oblike 4k + 3 in so oblike 3, 7, 11, 15, . . . , manj²a ali enaka r2.

23

tevilo 3 se v vsoti pojavi⌊r2

3

⌋-krat, ²tevilo 7

⌊r2

7

⌋-krat in tako dalje. Dobimo

r2∑n=1

d1(n) =

⌊r2⌋+

⌊r2

5

⌋+

⌊r2

9

⌋+ . . . ,

r2∑n=1

d3(n) =

⌊r2

3

⌋+

⌊r2

7

⌋+

⌊r2

11

⌋+ . . . ,

1

4

(f(r)− 1

)=

⌊r2⌋−⌊r2

3

⌋+

⌊r2

5

⌋−⌊r2

7

⌋+

⌊r2

9

⌋−⌊r2

11

⌋+ . . .

To lahko storimo, ker sta vrsti kon£ni. Nova vrsta je alternirajo£a, absolutne

vrednosti £lenov pa ne nara²£ajo.

Za laºji prikaz vzemimo, da je r liho ²tevilo. Takrat bo ²tevilo £lenov enako r2+12.

Za £lenom, ki ima v imenovalcu r, vrsto odreºemo⌊r2

r

⌋=⌊r⌋.

1

4

(f(r)−1

)=

⌊r2⌋−⌊r2

3

⌋+

⌊r2

5

⌋−⌊r2

7

⌋+ . . .±

⌊r⌋±

(⌊r2

r + 2

⌋−⌊

r2

r + 4

⌋)± . . .

Ker je vsota alternirajo£a in absolutne vrednosti £lenov ne nara²£ajo, so vsi odrezani

£leni skupaj manj²i od r, napako, ki pri tem nastane pa zapi²emo kot ϑr, kjer je ϑ

ulomek manj²i od 1.

1

4

(f(r)− 1

)=

⌊r2⌋−⌊r2

3

⌋+

⌊r2

5

⌋−⌊r2

7

⌋+ . . .±

⌊r⌋± ϑr

Naj bo c, t ∈ N, x ∈ R in x = ct+(t−1)t

. Tedaj je najve£ja moºna napaka v ulomku

pri odpravi oklepajev za celi del enaka

ϑ′ = x− bxc,

ϑ′ =ct+ (t− 1)

t− ct

t,

ϑ′ =t− 1t

,

ϑ′ = (1− 1t) < 1.

e sedaj opustimo oklepaje za celi del, kjer je t imenovalec v vsakem £lenu, se lahko

vsak £len pove£a za najve£ (1 − 1t) < 1. Skupno napako, ki pri tem nastane, lahko

zapi²emo kot ϑ′r, kjer je ϑ′ ulomek manj²i od 1. Dobimo

1

4

(f(r)− 1

)= r2 − r

2

3+r2

5− r

2

7+ . . .± r ± ϑr ± ϑ′r

24

in delimo z r2

1

4

(f(r)

r2− 1r2

)= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .± 1

r± ϑ+ ϑ

′

r.

Pokazali smo ºe, da je

limr→∞

f(r)

r2= π.

Limitiramo ²e drugi del ena£be

limr→∞

1− 13+

1

5− 1

7+ . . .± 1

r± ϑ+ ϑ

′

r= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . .

in dobimoπ

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . . ,

kar je ravno Leibnizeva vrsta.

25

3 Pickov izrek

Pickov izrek uporabljamo takrat, ko ºelimo izra£unati plo²£ino poljubnega

ve£kotnika, ki leºi na enotski kvadratni mreºi. Pri tem morajo biti vsa ogli²£a na

mreºnih to£kah, ve£kotnik mora biti zaprt, brez lukenj, robovi pa se ne smejo

sekati. Pickov izrek temelji na ²tetju mreºnih to£k, ki leºijo na stranicah in ogli²£ih

ve£kotnika ter v notranjosti ve£kotnika. To£kam na stranicah in ogli²£ih ve£kotnika

bomo rekli kar robne to£ke ve£kotnika.

Trditev 7. Pickov izrek. Naj bo V poljuben zaprt ve£kotnik z ogli²£i na mreºnih

to£kah enotske kvadratne mreºe, n naj bo ²tevilo vseh notranjih to£k ve£kotnika V ,

r pa ²tevilo robnih to£k ve£kotnika V . Tedaj je plo²£ina ve£kotnika V enaka

p(V ) = n+r

2− 1.

3.1 Dokaz Pickovega izreka

Dokaz. Pickov izrek. Dokaz izreka bomo naredili z matemati£no indukcijo v dveh

korakih.

1. Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni trikotnik.

• Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni pravokotnik

• Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni pravokotni trikotnik

2. Dokaºemo, £e Pickov izrek velja za vsak mreºni k-kotnik, kjer je

k = 3, 4, . . . , (n− 1), potem iz tega sledi, da Pickov izrek velja za vsak mreºnin-kotnik.

e ho£emo dokazati, da Pickova formula velja v vsakem trikotniku, moramo najprej

dokazati, da drºi v vsakem pravokotniku in vsakem pravokotnem trikotniku.

Poglejmo si poljuben mreºni pravokotnik s stranicama a in b, kjer stranice leºijo na

mreºnih to£kah (slika 30). Jasno je, da je plo²£ina takega pravokotnika p(V ) = a · b.

26

Slika 30: Pickov izrek za pravokotnik

tevilo notranjih to£k je n = (a−1)(b−1), ²tevilo robnih to£k pa r = 2a+2b. Torejje plo²£ina pravokotnika po Pickovem izreku enaka

p(V ) = n+r

2− 1,

p(V ) = (a− 1)(b− 1) + 2a+ 2b2

− 1,

p(V ) = ab− a− b+ 1 + a+ b− 1,

p(V ) = ab.

Pokazali smo, da Pickov izrek velja za vse mreºne pravokotnike.

Slika 31: Pickov izrek za pravokotni trikotnik

Poglejmo ²e poljubne mreºne pravokotne trikotnike, kjer obe kateti leºita na mreºnih

to£kah. Najlaºje bomo to dokazali z dejstvom, da je plo²£ina pravokotnega trikotnika

enaka polovici plo²£ine pravokotnika, kjer sta kateti trikotnika stranici pravokotnika.

27

Plo²£ina pravokotnega trikotnika V s katetama a in b (slika 31), je p(V ) = ab2.

tevilo robnih to£k pravokotnega trikotnika je r = a + b + 1 + d, kjer je d ²tevilo

robnih to£k, ki leºijo na hipotenuzi. To£ke v notranjosti pravokotnega trikotnika

dobimo, £e notranjim to£kam pravokotnika s stranicama a in b od²tejemo to£ke na

diagonali (d) ter jih delimo z 2, torej n = (a−1)(b−1)−d2

.

Dobljeno ²tevilo to£k vstavimo v Pickov izrek in dobimo

p(V ) = n+r

2− 1,

p(V ) =(a− 1)(b− 1)− d

2+a+ b+ 1 + d

2− 1,

p(V ) =ab− a− b+ 1− d

2+a+ b+ 1 + d

2− 1,

p(V ) =ab

2− a

2− b

2+

1

2− d

2+a

2+b

2+

1

2+d

2− 1,

p(V ) =ab

2,

kar je ravno izra£unana plo²£ina pravokotnega trikotnika.

Ker vemo, da Pickov izrek velja za pravokotnike in pravokotne trikotnike, katerih

katete leºijo na mreºnih to£kah, lahko pokaºemo, da velja tudi za katerikoli poljuben

trikotnik, ki ima ogli²£a na mreºnih to£kah.

Slika 32: Pickov izrek za poljuben trikotnik

Poljuben trikotnik V lahko s pravokotnimi trikotniki dopolnimo v pravokotnik, kateri

ima vsa ogli²£a in stranice na mreºnih to£kah. Primer na sliki 32 smo dopolnili s

28

tremi pravokotnimi trikotniki A, B in C ter dobili pravokotnik P s stranicama a in b.

Naj ima pravokotnika P nP notranjih to£k ter rP robnih to£k, pravokotni trikotnik

A nA notranjih to£k ter rA robnih to£k, pravokotni trikotnik B nB notranjih to£k

ter rB robnih to£k, pravokotni trikotnik C pa nC notranjih to£k ter rC robnih to£k.

Vemo, da veljajo plo²£ine

p(P ) = nP +rP2− 1,

p(A) = nA +rA2− 1,

p(B) = nB +rB2− 1,

p(C) = nC +rC2− 1.

Naj bo nV ²tevilo notranjih to£k ter rV ²tevilo robnih to£k poljubnega trikotnika.

Dokazati moramo, da velja tudi

p(V ) = nV +rV2− 1.

Vidimo, da lahko plo²£ino trikotnika V izra£unamo tako, da od plo²£ine pravokotnika

P od²tejemo plo²£ine vseh treh pravokotnih trikotnikov A, B in C.

p(V ) = p(P )− p(A)− p(B)− p(C),

p(V ) = nP − nA − nB − nC +rP − rA − rB − rC

2+ 2. (3)

e pre²tejemo vse robne to£ke vseh trikotnikov in ²tirikotnika, dobimo

rA + rB + rC = rP + rV ,

rP = rA + rB + rC − rV . (4)

tevilo notranjih to£k pravokotnika je

nP = nA + nB + nC + nV + rV − 3. (5)

Na koncu od²tejemo 3 ogli²£a trikotnika V , ker so pre²teta dvakrat. Sedaj ena£bi

(4) in (5) vstavimo v ena£bo (3).

p(V ) =nA + nB + nC + nV + rV − 3− nA − nB − nC+

+rA + rB + rC − rV − rA − rB − rC

2+ 2,

p(V ) =nV + rV − 3−rV2

+ 2,

p(V ) =nV +rV2− 1.

29

Dokazali smo, da Pickov izrek drºi za poljubne trikotnike, ki imajo ogli²£a na

mreºnih to£kah. S tem je prvi del dokaza z matemati£no indukcijo kon£an. Ideja

za drugi del dokaza izhaja iz dejstva, da je moºno vsak ve£kotnik z ogli²£i na

mreºnih to£kah sestaviti s pomo£jo manj²ih ve£kotnikov, za katere vemo, da

Pickov izrek velja. Pokazali smo ºe, da Pickov izrek drºi za poljuben trikotnik z

ogli²£i na mreºnih to£kah. e je to res, potem velja tudi za poljubne ²tirikotnike;

£e velja za poljubne trikotnike ter poljubne ²tirikotnike, velja tudi za poljubne

petkotnike; £e velja za poljubne trikotnike, poljubne ²tirikotnike ter poljubne

petkotnike, velja tudi za poljubne ²estkotnike in podobno naprej.

Slika 33: Triangulacija ve£kotnika

Vsak mreºni ve£kotnik je moºno razstaviti na same mreºne trikotnike s postopkom

triangulacije [Lavri£]. To storimo tako, da med dvema ogli²£ema ve£kotnika

nari²emo diagonalo, ki ne sme sekati nobene stranice ali druge diagonale

ve£kotnika. Ta postopek ponavljamo, dokler ve£kotnik ne razstavimo na same

trikotnike (slika 33). k-kotnik s k ogli²£i vsebuje po triangulaciji k − 2 trikotnikovin k − 3 diagonal.

Denimo, da je mreºni ve£kotnik P sestavljen iz k trikotnikov in zanj velja Pickov

izrek. Takemu ve£kotniku lahko na eno od stranic dodamo nov mreºni trikotnik T ,

£e sta stranici, ki jih spajamo, skladni. Novo nastali ve£kotnik V ima spet ogli²£a

na mreºnih to£kah (slika 34).

30

Slika 34: Spajanje ve£kotnika in trikotnika

Naj ima trikotnik T rT robnih to£k ter nT notranjih to£k, ve£kotnik P pa rP robnih

to£k ter nP notranjih to£k. tevilo to£k, ki so skupne ve£kotniku P in trikotniku

T ozna£imo s c. Z rV ozna£imo ²tevilo robnih to£k novega ve£kotnika V , z nV pa

²tevilo njegovih notranjih to£k.

e ho£emo izra£unati ²tevilo notranjih to£k ve£kotnika V , moramo notranjim

to£kam ve£kotnika P in trikotnika T pri²teti ²e to£ke, ki so na njuni skupni

stranici, torej c. Ker c vsebuje tudi dve skupni ogli²£i, jih moramo zato pri

ra£unanju notranjih to£k ve£kotnika V od²teti.

nV = nP + nT + c− 2,

nP + nT = nV − c+ 2. (6)

Za izra£un ²tevila robnih to£k ve£kotnika V se²tejemo robne to£ke ve£kotnika P in

trikotnika T in dvakrat od²tejemo to£ke na skupni stranici. S tem smo od²teli tudi

obe skupni ogli²£i, zato jih moramo ²e pri²teti.

rV = rP + rT − 2c+ 2,

rP + rT = rV + 2c− 2. (7)

31

Naj bo p(P ) plo²£ina mreºnega ve£kotnika P in p(T ) plo²£ina trikotnika T . Tedaj

je plo²£ina p(V ) ve£kotnika V enaka

p(V ) = p(P ) + p(T ),

p(V ) =

(nP +

rP2− 1)+

(nT +

rT2− 1),

p(V ) = nP + nT +rP + rT

2− 2. (8)

Sedaj ena£bi (6) in (7) vstavimo v ena£bo (8).

p(V ) = nV − c+ 2 +rV2

+ c− 1− 2,

p(V ) = nV +rV2− 1.

Dobili smo ravno Pickovo formulo za mreºni ve£kotnik V . Ker se da vsak ve£kotnik

skonstruirati s spajanjem trikotnikov, velja, da Pickov izrek drºi za vsak mreºni

ve£kotnik.

3.2 Prilagojen Pickov izrek za ve£kotnike s k luknjami

Slika 35: Ve£kotniki z luknjami

Do sedaj smo preu£evali enostavne ve£kotnike brez lukenj v notranjosti. Sedaj si

bomo pogledali zaprte ve£kotnike, ki imajo vsa ogli²£a na mreºnih to£kah, stranice se

med seboj ne smejo sekati, lahko pa ve£kotniki v notranjosti vsebujejo luknje. Tudi

za luknje velja, da morajo biti zaprte, ogli²£a morajo biti na mreºnih to£kah, stranice

pa se med seboj ne smejo sekati ali dotikati. Za laºje razumevanje si poglejmo nekaj

primerov na sliki 35.

32

n r p n+ r2− 1

A 8 24 20 19

B 5 34 23 21

C 16 60 48 45

D 5 23 16,5 15,5

Tabela 3: Primerjava dejanske plo²£ine in plo²£ine izra£unane po Pickovi formuli

ve£kotnikov s slike 35

V tabeli 3 smo pre²teli notranje in robne to£ke ve£kotnikov s slike 35. Primerjali

smo dejansko plo²£ino likov s plo²£ino izra£unano po Pickovi formuli in ugotovili,

da je v ve£kotnikih z eno luknjo dejanska plo²£ina za 1 ve£ja od izra£unane po

Pickovi formuli, v ve£kotnikih z dvema luknjama je ta razlika 2, v ve£kotnikih s

tremi luknjami pa je razlika 3.

Po dobljenih rezultatih se zdi, da je formula za plo²£ino mreºnega ve£kotnika V z

luknjami enaka

p(V ) = n+r

2− 1 + k,

kjer je k ²tevilo lukenj.

Trditev 8. Za mreºne ve£kotnike V s k luknjami, n notranjimi to£kami ter r robnimi

to£kami velja

p(V ) = n+r

2− 1 + k.

Dokaz. Naj bo pZ(V ) plo²£ina zunanjega ve£kotnika, nZ ²tevilo njegovih notranjih

to£k ter rZ robnih to£k zunanjega ve£kotnika. Ve£kotnik V naj ima k lukenj s

plo²£inami pi(V ), kjer je i = 1, 2, . . . , k, ni notranjih to£k ter ri robnih to£k. Po

Pickovem izreku velja

pZ(V ) = nZ +rZ2− 1,

pi(V ) = ni +ri2− 1.

Plo²£ino ve£kotnika V lahko izra£unamo tako, da od plo²£ine zunanjega ve£kotnika

33

od²tejemo plo²£ine ve£kotnikov, ki predstavljajo luknje, torej

p(V ) = pZ(V )−k∑

i=1

pi(V ),

p(V ) = nZ +rZ2− 1−

k∑i=1

(ni +ri2− 1),

p(V ) = nZ +rZ2− 1 + k −

k∑i=1

(ni +ri2). (9)

Vemo, da je

n = nZ −k∑

i=1

(ni + ri),

r = rZ +k∑

i=1

ri.

Preoblikujemo in dobimo

nZ = n+k∑

i=1

(ni + ri), (10)

rZ = r −k∑

i=1

ri. (11)

Ena£bi (10) in (11) vstavimo v ena£bo (9).

p(V ) = n+k∑

i=1

(ni + ri) +r

2−

k∑i=1

ri2− 1 + k −

k∑i=1

(ni +ri2),

p(V ) = n+r

2− 1 + k.

Dokazali smo, da prilagojena Pickova formula velja tudi za poljubne mreºne

ve£kotnike s k luknjami.

4 Vidljivost in Pickov izrek

V tem razdelku po £lanku [Varberg] s popmo£jo pojma vidljivosti posplo²imo Pickov

izrek na ²e splo²nej²e ve£kotnike z ogli²£i na kvadratni mreºi. Pri tem imamo v mislih

34

ve£kotnike, pri katerih se lahko v enem ogli²£u stika ve£ robov. Za primer si lahko

pogledamo sliko 41, kjer je ve£kotnik sestavljen iz ve£ trikotnikov, skupna pa jim

je le ena to£ka ter sliko 42, kjer se luknje v ve£kotniku dotikajo med sabo in roba

ve£kotnika.

Slika 36: Ve£kotniki

Za konkreten primer na sliki 36 pokaºimo, da velja p(V1 ∪ V2) = p(V1) ∪ p(V2).

p(V ) = n+r

2− 1

p(V1) = 7 +9

2− 1 = 21

2

p(V2) = 7 +7

2− 1 = 19

2

p(V1) + p(V2) =21

2+

19

2= 20

p(V1 ∪ V2) = 15 +12

2− 1 = 20

Naj bo V ve£kotnik. Vsaki mreºni to£ki Tk ve£kotnika V (torej mreºni to£ki, ki je

znotraj ali na robu V ) priredimo uteº

uk =θk2π,

kjer θk meri kot vidljivosti ve£kotnika V iz to£ke Tk:

• £e je torej Tk v notranjosti V , je uk = 1;

• £e je Tk na robu V , a ni njegovo ogli²£e, je uk = 1/2;

35

• £e je Tk ogli²£e V , kjer ima V pravi kot, je uk = 1/4 in podobno za drugaogli²£a.

Tu si predstavljamo uteºi uk kot doprinosi to£k Tk k plo²£ini ve£kotnika V .

Se²tejmo vse uteºi

U(V ) =∑Tk∈V

uk,

s p(V ) pa ozna£imo plo²£ino ve£ktnika V . Tedaj velja naslednja trditev.

Trditev 9. U(V ) = p(V )

Dokaz. Najprej opazimo, da je U aditivna koli£ina, to pomeni, da za ve£kotnik

V = V1 ∪ V2 kot na primer na sliki 36 velja U(V ) = U(V1) + U(V2). To sledi izpreprostega dejstva, da v skupni to£ki ve£kotnikov V1 in V2 kota vidljivosti v V1 in

V2 skupaj dasta kot vidljivosti v njuni uniji V .

Slika 37: PravokotnikSlika 38: Pravokotni

trikotnikSlika 39: Trikotnik

Zdaj si oglejmo primere

1. mreºnega pravokotnika s stranicami, ki so vzporedne mreºi (slika 37);

2. mreºnega pravokotnega trikotnika s katetama vzporednima mreºi (slika 38);

3. poljubnega mreºnega trikotnika (slika 39).

36

Da velja U(V ) = p(V ) v prvem primeru je o£itno, saj je p(V ) = 24, U(V ) =

15 · 1 + 16 · 12+ 4 · 1

4= 24.

V drugem primeru to sledi iz prvega primera z deljenjem z 2. p(V ) = 12 = 242,

U(V ) = 7 · 1 + 9 · 12+ 2 · 1

4= 12 = 24

2.

Za tretji primer pa to sledi iz aditivnosti plo²£ine in aditivnosti vsote uteºi U(V ).

p(V ) = 5 = 24− 12− 3− 2− 2, U(V ) = 4 · 1 + 2 · 12= 5 = 24− 12− 3− 2− 2.

Poljubni ve£kotnik (tu imamo v mislih res poljubni mreºni ve£kotnik, ki ima lahko

luknje in v posameznem ogli²£u se lahko stika ve£ stranic) V moramo le ²e

triangulirati in zaradi aditivnosti tedaj tudi zanj velja U(V ) = p(V ).

Trditev 10. Pickov izrek za enostavni ve£kotnik. Za enostavni mreºni

ve£kotnik V velja

p(V ) = n+r

2− 1 = v − r

2− 1,

kjer je v ²tevilo vseh mreºnih to£k v ve£kotniku V (v notranjosti ali na robu).

Dokaz. Enostavni q-kotnik ima vsoto notranjih kotov (q−2)π, kar ni teºko preveriti.Odtod sledi, da je vsota kotov vidljivosti po to£kah Tk vzdolº roba ve£kotnika V

ravno (r − 2)π. Naj bo N notranjost ve£kotnika V , R pa njegov rob, tedaj velja

p(V ) = U(V ) =∑Tk∈N

uk +∑Tk∈R

uk = n+(r − 2)π

2π= n+

r

2− 1.

Slika 40: Ve£kotnik A Slika 41: Ve£kotnik B Slika 42: Ve£kotnik C

37

Oglejmo si zdaj splo²ni ve£kotnik V , ki ima lahko luknje ali se v ogli²£ih stika ve£

stranic (Slike 40, 41, 42), potrebujemo le to, da se da tak ve£kotnik izraziti kot

unija kon£no mnogo enostavnih ve£kotnikov. Pickov izrek v prvotni obliki za tak

ve£kotnik ne velja, a dovolj preprosta razli£ica tega izreka, ki vklju£uje Eulerjevo

karakteristiko χ pa velja tudi za take ve£kotnike.

Eulerjeva karakteristika se da izra£unati za precej splo²nej²e objekte kot so mreºni

ve£kotniki, a tu si zaradi enostavnosti oglejmo le to karakteristiko za splo²ni mreºni

poligon; za tak ve£kotnik V je Eulerjeva karakteristika kar

χ(V ) = #o−#s+#p,

kjer #o ozna£uje ²tevilo mreºnih to£k na robu V , #s ²tevilo daljic med dvema

mreºnima to£kama roba V in f ²tevilo polj ve£kotnika V .

Brez teºav vidimo, da je za enostavne ve£kotnike ²tevilo #s = r, Eulerjeva

karakteristika pa kar enaka 1.

Za splo²ni ve£kotnik V velja formula

p(V ) = v − #s2− χ(V ).

Za ve£kotnike zm luknjami je Eulerjeva karakteristika enaka 1−m. Naj r0, r1, . . . , rmozna£ujejo ²tevila mreºnih to£k na zunanjem robu V oziroma robovih m lukenj.

Tedaj uporabimo dejstvo, da je v k-ti luknji vsota kotov vidljivosti (rk+2)π, dobimo

p(V ) = n+1

2π

∑Tk∈R

θk,

p(V ) = n+r0 − 2

2+r1 + 2

2+ . . .+

rm + 2

2,

p(V ) = n+1

2(r0 + r1 + . . .+ rm) + (m− 1),

p(V ) = n+1

2r − χ,

p(V ) = v − 12r − χ.

Ta dokaz pa ni dober za primera na slikah 41 in 42. Za tako splo²ne ve£ktonike

moramo slediti standardnemu postopku triangulacije na primitivne trikotnike s

38

plo²£ino 12in se²tevati ustrezne koli£ine po takih trikotnikih. Primitiven trikotnik

nima v notranjosti ali na stranicah nobene mreºne to£ke, razen v ogli²£ih. Splo²ni

rezultat izrazimo v naslednjem izreku.

Trditev 11. Posplo²eni Pickov izrek. Naj bo V mreºni ve£kotnik. Tedaj za

njegovo plo²£ino velja

p(V ) = v − #s2− χ,

kjer je v ²tevilo vseh mreºnih to£k znotraj ali na robu ve£kotnika V , #s ²tevilo daljic

med mreºnimi to£kami na robu V in χ Eulerjeva karakteristika za V .

Dokaz. Denimo, da je V razrezan na primitivne trikotnike (dokaz je v Preseku, Boris

Lavri£: Ve£kotniki na kvadratni mreºi) in naj bodo v, e in f ²tevila ogli²£, stranic

in polj v tem razrezu. Vsak trikotnik ima 3 stranice in vsako stranico si delita 2

trikotnika razen tistih, ki so na robu V . Tako velja

3f = 2e−#s

in zato

f = −#s+ 2e− 2f = 2v −#s− 2(v − e+ f) = 2v −#s− 2χ.

Odtod pa takoj sledi

p(V ) =f

2= v − #s

2− χ.

4.1 Splo²nej²e mreºe in Pickov izrek

V tem razdelku si bomo pogledali nekaj primerov mreº in ali Pickov izrek zanje

velja.

Za enotsko rombno mreºo oziroma mreºo generirano z dvema enakostrani£nima

trikotnikoma bi rekli, da trditev drºi, saj ima romb, ki generira tako mreºo,

plo²£ino 1, vsak primitivni trikotnik pa ima plo²£ino 12. Tudi dokaz je podoben

dokazu Pickovega izreka v kvadratnih mreºah, razlika je le v tem, da so stranice

romba enake c =√

2√3in vi²ina romba 1

c=√√

32.

39

Slika 43: Ve£kotniki

Poglejmo si sedaj ²e heksagonalno mreºo, ki je generirana z enakostrani£nim

²estkotnikom (slika 43). Mreºne to£ke v taki mreºi leºijo le na ogli²£ih tako

zloºenih ²estkotnikov, plo²£ina generativnega ²estkotnika pa je ravno tako 1.

Na sliki 43 so ponazorjeni razli£ni primeri mreºnih trikotnikov. Trikotnika ABC in

DEF imata oba 3 robne to£ke ter 0 notranjih in bi zato morala biti oba primitivna in

s tem tudi imeti enaki plo²£ini, vendar je ºe na pogled jasno, da to ne drºi, p(ABC) 6=p(DEF ) = 1

2. Primerjajmo ²e trikotnikaDEF inGHI, ki sta skladna in imata enaki

plo²£ini p(DEF ) = p(GHI) = 12. To bi pomenilo, da sta oba trikotnika primitivna,

vendar ima trikotnik GHI 3 robne to£ke in 1 notranjo, primitivni trikotnik pa ne

sme imeti v notranjosti ali na robu nobene to£ke, razen v ogli²£ih. S tem smo

pokazali, da Pickov izrek ne more veljati v heksagonalni mreºi.

Vzemimo ²e primer kockaste mreºe v tridimenzionalnem prostoru. Za osnovno

ploskev tristrane piramide vzemimo primitivni trikotnik kot kaºe slika 44.

Slika 44: Tloris osnovne ploskve tristrane piramide

Za vrh tristrane piramide si izberemo tako mreºno to£ko, da bodo ogli²£a edine

40

Slika 45: Tristrana piramida A Slika 46: Tristrana piramida B

mreºne to£ke vsebovane v piramidi (slika 45). Taka piramida bi morala biti

primitivna. Opazimo, da obstaja ve£ mreºnih to£k, ki zadostijo pogojem, se pravi,

da nimajo v notranjosti, na ploskvah in robovih nobene mreºne to£ke, razen v

ogli²£ih. Potem bi morala biti primitivna tudi tristrana piramida s slike 45. Ker

sta vi²ini v piramidah razli£ni, sta razli£ni tudi njuni prostornini, V (A) 6= V (B).Torej Pickov izrek ne more veljati v kockastih mreºah.

41

5 Ra£unalni²ka programa

Ra£unalni²ka programa Gauÿov problem s kroºnicami in Pickov izrek sta narejena

s pomo£jo programa Adobe Flash Professional CS5.5 in programskega jezika

ActionScript 3.0. ActionScript 3.0 je objektno orientiran programski jezik in

omogo£a izdelavo gra�k, animacij, interaktivnih aplikacij in spletnih iger. Za

prikaz aplikacije je potrebno imeti predvajalniki Adobe Flash Player.

5.1 Opis programa Gauÿov problem s kroºnicami

Aplikacija je dostopna na povezavi vklju£ena med vire [Mandelj] in se imenuje

gauss.swf. Program Gauÿov problem s kroºnicami je vizualno sestavljen iz dveh

delov (slika 47), na levi so naslov, navodila, besedilo, vpisno in izpisna okenca ter

gumb Prikaºi, na desni strani pa je kvadrat namenjen izrisu kroºnice in mreºnih

to£k.

Slika 47: Izgled ra£unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob zagonu

Aplikacija od uporabnika zahteva, da v prvo okence vpi²e polmer r kroºnice, ki je

postavljena na to£ke v enotski kvadratni mreºi. Pri tem r ne sme biti ve£ji od 10000,

vpis pa je omejen samo na ²tevilke.

S klikom na gumb Prikaºi se izvede program, ki najprej preveri, £e je vpisano ²tevilo

42

Slika 48: Izgled ra£unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob izvajanju

premajho ali preveliko. e je vneseno ²tevilo 0, program v naslednjem oken£ku izpi²e

r je premajhen, £e je vneseno ²tevilo ve£je od 10000, izpi²e r je prevelik, £e pa ²tevilo

ustreza pogojem, program izra£una ²tevilo to£k znotraj in na robu kroºnice, pribliºekf(r)r2

za ²tevilo π ter napako za π, ki pri tem nastane. Program obenem na desni ²e

izri²e kroºnico ter pobarva s £rno to£ke izven kroºnice, to£ke znotraj kroºnice in na

njej pa rde£e. Izris je moºen samo za r < 60. Na sliki 48 je prikazan izpis vrednosti

ter gra�£ni prikaz mreºe s kroºnico.

5.2 Koda programa Gauÿov problem s kroºnicami

import �ash.events.MouseEvent;

import �ash.display.Shape;

st.border = true;

st.restrict = �0-9�; // omejen vpis na ²tevilke

rezultat.background = false;

pribl.background = false;

napaka.background = false;

43

var vnos:String;

var r:Number = 0;

var i:Number = 0;

var pom:Number = 0;

var koren:Number = 0;

var navzdol:Number = 0;

var k:Number = 0;

var f:Number = 0;

var pr:Number = 0;

var nap:Number = 0;

prikazi.addEventListener(MouseEvent.CLICK, prikaziKlik);

// funkcija, ki se izvede ob kliku na gumb Prikaºi

function prikaziKlik(event:MouseEvent):void{

for(var n=slika.numChildren-1; n>=1; n- -){

slika.removeChildAt(n); // cela slika na desni se izbri²e

}

vnos = st.text; // vnos tekstovne spremenljivke

r = parseInt(vnos); // pretvorba tekstovne spremenljivke v ²tevilsko

if(r == 0){ // preverjanje, £e je vneseno ²tevilo ve£je od 10000

rezultat.text = �r je premajhen�; // £e je r 0, izpis: r je premajhen

pribl.text = � �;

napaka.text = � �;

}

else if(r > 10000){ // preverjanje, £e je vneseno ²tevilo ve£je od 10000

rezultat.text = �r je prevelik�; // £e je r prevelik, izpis: r prevelik

pribl.text = � �;

napaka.text = � �;

}

else{ // £e je r med 1 in 10000, se za£ne izvajati zanka

for(i = 1; i < r; i++){ // i se pomika po x osi od 1 do polmera r

pom = r*r - i*i; // izra£un po formuli

44

koren = Math.sqrt(pom);

navzdol = Math.�oor(koren);

k = k + navzdol; // to£ke samo znotraj kroºnice v enem kvadrantu

}

f = 1 + 4*r + 4*k; // ²tevilo vseh to£k v notranjosti in na robu kroºnice s

sredi²£em

pr = f / (r * r); // izra£un pribliºka ²tevila pi glede na ²tevilo to£k v in na

kroºnici

nap = Math.PI - pr; // izra£un napake med ²tevilom pi in izra£unanim

pribliºkom za pi

f.toString(); // pretvorba ²tevilske spremenljivke v tekstovno

rezultat.text = String(f); // izpis tekstovne spremenljivke, ²tevilo to£k v in

na robu kroºnice

k = 0; // vse ²tevilske spremenljivke se postavijo na 0

f = 0;

pom = 0;

koren = 0;

navzdol = 0;

var pri = pr.toFixed(6); // zaokroºevanje pribliºka ²tevila pi na 6

decimalnih mest

pri.toString();

pribl.text = String(pri);

var napa = nap.toFixed(6);

napa.toString();

napaka.text = String(napa);

narisi(r);

}

}

function narisi(radij:Number):void{

import �ash.display.Sprite;

45

var sirina = slika.width;

var e = sirina / (2*radij + 1);

var enota = int(e);

if (radij

5.3 Opis programa Pickov izrek

Aplikacija je dostopna na povezavi vklju£ena med vire [Mandelj] in se imenuje

pick.swf. Aplikacija Pickov izrek je vizualno sestavljen iz dveh delov (slika 49). Na

desni strani je naslov, Pickova formula, navodila ter izpisna okenca, na levi pa so

narisane to£ke enotske kvadratne mreºe.

Slika 49: Izgled ra£unalni²kega programa Pickov izrek ob zagonu

Program od uporabnika zahteva, da s klikanjem na mreºne to£ke nari²e mreºni

ve£kotnik. Sproti se ri²ejo stranice ve£kotnika. Ko kliknemo na to£ko, katero smo

kliknili prvo, oziroma, ko ve£kotnik zaklju£imo, se ta pobarva rde£e, klikanje na

to£ke pa se onemogo£i (slika 50). Obenem se na desni strani izpi²e ²tevilo notranjih

ter robnih to£k ve£kotnika in izra£una ter izpi²e plo²£ino narisanega ve£kotnika s

pomo£jo Pickove formule. Paziti je potrebno, da se stranice v ve£kotniku ne sekajo

ali pokrivajo, saj je v tem primeru izra£un plo²£ine napa£en. e ho£emo narisati

nov ve£kotnik, kliknemo na gumb Ponastavi.

47

Slika 50: Izgled ra£unalni²kega programa Pickov izrek ob izvajanju

5.4 Koda programa Pickov izrek

import �ash.events.MouseEvent;

import �ash.display.Shape;

ponovi.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_DOWN, ponastavi);

// koda je iz http://imagineric.ericd.net/2011/02/07/a-reset-for-your-swf/

// ob kliku na gumb Ponastavi se celotna aplikacija ponovno naloºi

import �ash.net.*;

function ponastavi(event:MouseEvent):void {

var url:String = stage.loaderInfo.url;

var request:URLRequest = new URLRequest(url);

navigateToURL(request,"_level0");

}

mreza(4, 0x0000FF);

function mreza(r:int, barva:uint) { // funkcija, ki nari²e mreºo to£k

var x:Number=0;

48

var y:Number=0;

for(var i=10; i

for(var p=10; p=k-10 && e.stageX=p-10 &&

e.stageY

for(var u=10; u

var vekt_prod = (ty - y0) * (x1 - x0) - (tx - x0) * (y1 - y0); // preko

vektorskega produkta testira, £e so to£ke kolinearne

if (Math.abs(vekt_prod) != 0) {

return false;

}

if ((tx < Math.min(x0,x1)) || (tx > Math.max(x0,x1))) { // preveri, £e (tx,ty)

leºi med to£kama (x0,y0) in (x1,y1) za x os

return false;

}

if ((ty < Math.min(y0,y1)) || (ty > Math.max(y0,y1))) { // preveri, £e (tx,ty)

leºi med to£kama (x0,y0) in (x1,y1) za y os

return false;

}

return true;

}

function rob(ogl:Number, to:Array, t0:Number, t1:Number):Boolean {

var i:Number;

for (i=0; i

if (((tock[i][1] >= b) != (tock[j][1] >= b)) && (a < (tock[j][0] - tock[i][0]) *

(b - tock[i][1]) / (tock[j][1] - tock[i][1]) + tock[i][0])) {

c = !c;

}

}

return c;

}

53

6 Zaklju£ek

Mreºe imajo pomembno vlogo v matematiki, zlasti v teoriji ²tevil, teoriji grup, teoriji

kodiranja in kriptogra�ji. Uporabljajo pa se tudi v razli£nih �zikalnih znanostih,

kjer je tridimenzionalna mreºa baza strukture kristalov, mreºne to£ke pa pozicije

atomov in molekul v kristalih.

54

7 Viri in literatura

[1] Hilbert, D., Cohn-Vossen, S., (1999). Geometry and the Imagination. 2.izdaja.

Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing.

[2] Lavri£, B., (1990). Triangulacije ve£kotnikov. Presek, 18(3), 186�190.

[3] Lavri£, B., (1990). Ve£kotniki na kvadratni mreºi. Presek, 18(3), 140�145.

[4] Ren, D., Kolodziejczyk, K., Murphy, G., Reay, J., (1993). A Fast Pick-Type

Approximation for Areas of H-Polygons. The American Mathematical

Monthly, 100(7), 669-673.

[5] Varberg, D. E., (1985). Pick's Theorem Revisited. The American

Mathematical Monthly, 92(8), 584-587.

[6] An Investigation of Pick's Theorem By Kyle Schultz. Pridobljeno 28.6.2016:

http://jwilson.coe.uga.edu/emat6680fa05/schultz/6690/pick/pick_main.htm

[7] A reset for your SWF. Pridobljeno 28.6.2016:

http://imagineric.ericd.net/2011/02/07/a-reset-for-your-swf/

[8] Gauss circle problem. Pridobljeno 28.6.2016:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem

[9] Gauss's Circle Problem. Pridobljeno 28.6.2016:

http://140.177.205.23/GausssCircleProblem.html

[10] Joseph Galante, Gauss's Circle Problem, Senior Thesis. Universitiy of

Rochester. Pridobljeno 28.6.2016:

http://www.math.rochester.edu/undergraduate/sums/reu/2005_galante-

joseph.pdf

[11] Lattice (group). Pridobljeno 28.6.2016:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group)

[12] Learning ActionScript 3. Pridobljeno 28.6.2016:

55

http://www.adobe.com/devnet/actionscript/learning.html

[13] Mandelj. https://github.com/amandelj/gaussov-problem

[14] Mandelj. https://github.com/amandelj/pickov-izrek

[15] Pick's Theorem. Pridobljeno 28.6.2016:

https://dyinglovegrape.wordpress.com/ 2012/11/22/picks-theorem/

[16] Pick's Theorem. Pridobljeno 28.6.2016:

https://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

[17] Pick's Theorem, Tom Davis. Pridobljeno 28.6.2016:

http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf

[18] PNPOLY - Point Inclusion in Polygon Test W. Randolph Franklin (WRF).

Pridobljeno 28.6.2016:

https://www.ecse.rpi.edu/Homepages/wrf/Research/Short_Notes/pnpoly.html

[19] Sum of Squares Function. Pridobljeno 28.6.2016:

http://140.177.205.23/SumofSquaresFunction.html

56