universos fractales
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UNIVERSOS FRACTALES
1. Introducción. ¿Qué es un fractal?
2. Los primeros fractales de la historia
De los fractales a la realidad.
3. Fractales del sistema L
4. Fractales del sistema IFS
De la realidad a los fractales.
5. La dimensión de los fractales y los objetos reales
6. Universo homogéneo versus universo fractal
Julio Bernués y María López
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Introducción
Benoit Mandelbrot
Fractal: Del latín fractus, interrumpido o irregular
Mandelbrot set
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Introducción
Benoit Mandelbrot Mandelbrot set
Acta fundacional: “Los objetos fractales”, Tusquets 1975
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Introducción
Benoit Mandelbrot
“Acepto que se me califique de… padre de la revolución fractal… con sorpresa pero con gusto…”
Mandelbrot set
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Introducción
Benoit Mandelbrot
“He concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometría de la naturaleza”
Mandelbrot set
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Introducción
Benoit Mandelbrot
“Mi libro… es un documento histórico”
Mandelbrot set
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¿Qué es un fractal?
Definición (provisional) 1. Un fractal es el producto final que se origina a través de la repetición infinita de un proceso geométrico bien especificado.
Definición (provisional) 2. Un fractal es un conjunto cuya dimensión no es entera.
¿ Existen los fractales ?
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
Helge-von Koch
(1879-1924)
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
2. Triángulo de Sierpinski
3. Alfombra de Sierpinski
Waclaw Sierpinski
(1882-1969)
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
2. Triángulo de Sierpinski
3. Alfombra de Sierpinski
4. Esponja de Menger
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
2. Triángulo de Sierpinski
3. Alfombra de Sierpinski
4. Esponja de Menger
Menger (1902-1985)
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
1. Curva de Koch
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
2. Triángulo de Sierpinski
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
3. Alfombra de Sierpinski
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
3. Alfombra de Sierpinski
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Fractales autosemejantes.
Los primeros fractales de la historia.
4. Esponja de Menger
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Fractales del sistema L
1. Curva de Koch como sistema L
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Fractales del sistema L
1. Curva de Koch como sistema L
Alfabeto: F, +, -
Axioma: F
Reglas: F -> F + F - - F + F
+ -> +
- -> -
Significado: F = Avanzar una unidad
+ = Giro de 60º
- = Giro de - 60º
Paso 1: F
Paso 2: F + F - - F + F
Paso 3:(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)- -(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)
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Fractales del sistema L
2. Construcción de objetos reales
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Fractales del sistema L
2. Construcción de objetos reales
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Fractales del sistema L
2. Construcción de objetos reales
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Fractales del sistema L
2. Construcción de objetos reales
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Fractales del sistema L
3. Una dimensión más. Paisajes fractales
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Fractales del sistema L
3. Una dimensión más. Paisajes fractales
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Fractales del sistema L
3. Una dimensión más. Paisajes fractales
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Fractales del sistema L
3. Una dimensión más. Paisajes fractales
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Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma
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Fractales del sistema IFS
1. Brocoli IFS
F
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Fractales del sistema IFS
2. Helecho de Barnsley
Función 1 Función 2 Función 3 Función 4
a 0 0,2 -0,15 0,75
b 0 -0,26 0,28 0,04
c 0 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0 0 0 0
f 0 1,6 0,44 1,6
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La dimensión de los fractales y de los objetos reales
1. Método de contar cajas
La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula
Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para
cubrir el conjunto.
Ejemplo:
Dimensión de un segmento es 1. Dimensión de una circunferencia es 1. Dimensión del fractal de Koch ,
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La dimensión de los fractales y de los objetos reales
1. Método de contar cajas
La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula
Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para
cubrir el conjunto.
Ejemplo:
Dimensión de un segmento es 1. Dimensión de una circunferencia es 1. Dimensión del fractal de Koch ,
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La dimensión de los fractales y de los objetos reales
1. Método de contar cajas
dimension (experimental) = 1.18dimension (analytical) = 1.26deviation = 6%
log (1/h)0-0.69315-1.38629-2.56495-3.09104-3.49651-3.78419-4.00733-4.18965-4.34381-4.47734-5.17615
log N(h)7.608377.040546.329724.859814.219513.526363.295843.044522.995732.708052.564951.60944
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La dimensión de los fractales y de los objetos reales
1. Método de contar cajas
log (1/h)0-0.69315-1.38629-4.06044-4.71850-5.12396-5.41165-5.63479-5.81711-5.97126-6.10479-6.79794
log N(h)13.105512.020910.92535.998944.828314.143133.737673.367302.944442.833212.639061.79176
(dimension (experimental) = 1.73dimension analytical) = ??deviation = ??
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La dimensión de los fractales y de los objetos reales
1. Método de contar cajas
Dimensión de costas y fronteras. (Lewis Fry Richardson, 1961).
Costa de Africa del Sur: Dimensión= 1
Frontera terrestre de Alemania: Dimensión =1,18
Costa oeste de Gran Bretaña: Dimensión = 1,25
Frontera España-Portugal: Dimensión = 1,16
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Resumiendo ....
- Los fractales son objetos sencillos de construir. La reiteración es la causa de su aparente complejidad.
- Una característica de los fractales es su “apariencia autosemejante”.
- En física sobre todo, se le llama fractal a todo objeto que tiene dimensión no entera.
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Universo homogéneo versus universo fractal
Is the universe fractal? , por V.J. Martínez, Science, vol 284 (1999) p. 445 ss
Is the universe homogeneous on large scales? , por L. Guzzo, New Astronomy, vol 2 (1997) p. 517 ss
Principio Cosmológico (Einstein): “El universo es homogéneo a grandes escalas”.
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Universo homogéneo versus universo fractal
Está aceptado que a pequeña escala el universo no es homogéneo. El universo tiene estructura fractal en escalas de hasta 50 millones de años luz.
Dos opiniones:
1. El universo, a grandes escalas, es homogéneo.
2.El universo, a grandes escalas, tiene estructura fractal de dimensión:
- Dimensión 1,00 (Mandelbrot)- Dimensión 2,00 (L. Pietronero)- Dimensión 1,2 - 1,5- 2,2 (otros autores)
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Universo homogéneo versus universo fractal
Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal.
Método 1.
M(r) es el número de galaxias en un círculo de radio r centrado en la Tierra.
Si la distribución fuese homogénea, M(r) crecería como r 3.
En una escala de 450 millones de años luz, M(r) crece como r 2.
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Universo homogéneo versus universo fractal
Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal.
Método 2.
C(r) es el número medio de galaxias en un círculo de radio r.
Si la distribución fuese homogénea, C(r) crecería como r 3.
En una escala de 450 millones de años luz, C(r) crece como r 2 (otros autores deducen exponentes distintos).
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