UNIVERSlDAD DE MADRID-FACULTAD DE CIENCIAS

SEMI~ARIO DE ASTRO OMIA Y GEODESIA(Adherido a la Unión Nacional de Astronomía

y Ciencias Afines)

Publicación núm. 50

SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE LOS RADIOSVECTORES DEL ELlPSOIDE INTERNACIONAL y EL

ESFEROIDE DE NIVEL

POR

JOSE M. GONZA1.EZ ABOIN

PUI3L!CAIJO EN «LAS CIENCIAS». VOL. XXV. l\'úM. 4

MADRID1960

Depósito Legal M. Sep. 2.162.-1958.

e BERMEJO, IMPRESOR. - J. CARCÍA MORATO. 122. - TELÉFONO 233·06-19. - MADRID

Sobre la diferencia entre los radios vectores del elipsoideinternacional y el esferoide de nivel

SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE LOS RADIOSVECTORES DEL ELlPSOIDE INTERNACIONAL y EL

ESFEROIDE DE NIVEL (*)

por JOSE M. GONZALEZ ABOIN

Al comparar los radios vectores del elipsoide y del correspon-diente esferoide de nivel, diversos autores dan valores bastante dis-tintos.

Ante esta discrepancia, en parte debida él tomar distintos elipsoi-des y al criterio seguido para definir el esferoide de nivel corres-pondiente, nos ha parecido interesante calcular los valores de estasdiferencias para el elipsoide internacional.

Para determinar el valor de esta diferencia hemos seguido el pro-cedimiento de calcular por separado los radios vectores correspon-dientes, los del elipsoide directamente, y los del esferoide por el mé-todo de iteración, que en el caso presente da mayor aproximaciónque los desarrollos en serie, a menos que se tome un gran númerode términos, 10 que no resulta práctico.

Como se trata de superficies de revolución, basta considerar elproblema en las correspondientes curvas meridianas.

La ecuación polar de la elipse es

donde a es el semieje mayor, e la excentricidad y t la latitud geo-céntrica.

La ecuación de las superficies equipotenciales de revolución es

v = _M_f_ [1+ _K_ (1 _ 3 senZ '1)] + (1)2 r2

cos2 q.r 2 r! . --:2"'---

(*) Publicación núm. 50 del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Uni-versidad de Madríd.

siendo V el potencial, M la masa de la tierra, f la constante de lagravitación, w la velocidad angular de rotación y K una constante

K=_1_ (A __ ~+C)M 2

donde A, B Y e son los momentos principales de inercia de la Tierra.

La ecuación de la sección meridiana del esferoide tiene tres pa-rámetros, V, K Y G = M f indeterminados. Los determinaremos ha-ciendo las hipótesis de que en el ecuador y en los polos, los radioscoinciden con los del elipsoide y que en estos puntos la intensidadde la gravedad coincide con la de la fórmula de la gravedad inter-nacionalmente adoptada

v ~ ~ (1 +~) + UJ2 a2

_a 2 a~ 2 G rv=---;-;----,---- 1-

a(1 - a)K ]

a! (1 - a)2

El valor de la aceleración de la gravedad es el gradiente de lafunción potencial V. Sus componentes, según el radio vector y superpendicular en el plano meridiano, son

e v G [K ] G K-- = - - 1 +-- (1 - 3 sen2 7) - - • - (1 - 3 sen! <1» + UJ2 r cos! :1,;a r ,.2 2,.! ,. ,.3

3GKsen <1> cos 7 - UJ2 ,.2 sen <j¡ cos <1>

que simplificadas

e v G [3K ]-- = - ~- 1 +-- (1 - 3 sen2 4) + UJ2 r: cos- <j¡;o,. ,.! 2,.2

s v (3GK )-- = - + UJ2,.2 sen 4 cos dio <j¡,.3 '

al particularizar para <f = 0, <f = 7tj2, se anulan las componentesnormales al radio vector en el ecuador y en el polo. Resulta

g.=~11+~]-UJ2a; gf>- G [1 3K]a2 _ 2 a2 , - a' (1 - a)2 a' (1 - 0.)2 _

Según la fórmula de la gravedad normal

gp =g,(1 +~)

-5-

Se dispone de cuatro ecuaciones para determinar los tres paráme-tros V, G, K, luego tiene que verificarse una condición entre lasmagnitudes a, '1., g., ~, w. Esta relación generaliza el teorema deClairaut, pero lo complica excesivamente, y por otra parte no semejora la aproximación de forma· apreciable, porque se limita a lostérminos de segundo orden.

Suponiendo que se verifica esta condición, al menos dentro delsegundo orden de aproximación, se puede resolver el sistema deecuacicnes

V=~ (1+~) + ",!a' ;a 2 a- 2

v= G (1 _ K );a (1 - a) a2 (1 - a)!

G ( 3 K )g,=- 1-L_- -(l)2aa! '2 a2

G ( 3 K )ge (1 + ~)= a2 (1 _ aJ! 1 - al (1 - a)~

Suprimiendo denominadores

2 a3 V = G (2 a2 + K) + U)! a5 2 a' ge = G (2 a2 + 3 K) - 2 (1)2 a5

(1 - a)3 al V = G [(1 - a)! al - K] (1 - a)4 (1 + ~)a' {{e = G [(1 - a)! a2 - 3 1']

Sumando miembro a miembro los dos grupos de igualdades seelimina K

a3 V [2 + (1 - a)3] = G [2 + (1 - a)2] a! + (1)2 a5;

a' g, [2 + (\- a)' (1 + ~») = G [2 + (1 - a)!) a! - '2 (1)2 aS

Restando la primera igualdad de la segunda se elimina G

a4 g. [2 + (1 - a)' (1 + ~») - a3 V [2 + (1 - a)3] = - 3 mI aS

Para calcular K se elimina G entre las ecuaciones independientesde V por el método de reducción

2 (ge + OJ! a) [a! (1 - (2) - 3 K] = ge (1 - a)' (1 + ~)(2 aS + 3 K)

Los valores de los parámetros resultan

G _ ge [2 + (1 - a)' (1 + ~») + 3 m! a . V _ g. [2 + (1 - a)' (1 + ~)]+ 3 mI a .az - 2 + (1 - a)2 ' a- 2 + (1 - a)3 '

3 K g. (1 - a)! [1 - (1 - a)1 (1 + ~)]+ m2 a (1 - a)!

~ g. [2 + (1 - a)' (1 + ~)]+ 2 mI a

-6-

sustituyendo en la ecuación del esferoide y haciendo x = --"--resultaa

Q (ilQ )x "- P + -0- + R x3 - ~ + R x2 sent <1;.v- x2 '

P = U,~~77282144, Q = 0,0005439275, R = 0,0017278581

donde P, Q, lZ son cantidades en función de V, G, K. La incógnita.r debe resolverse en una ecuación del tipo x = F (x), lo que seconsigue por el método de iteración, pues se cumple la condiciónI F' ex) I < 1.

Esta ecuación se ha resuelto numéricamente para los valores de<J¡ múltiples de (jU que corresponden al primer cuadrante. La expre-sión análoga en el elipsoide también se ha calculado para los mis-mos ángulos, así como su diferencia: ésta, multiplicada por el radioecutorial de la Tierra, resuelve el problema.

Los valores numéricos que han servido de base para el presentecálculo son los del elipsoide internacional de Hayfor d , los de lafórmula internacional de la gravedad normal y la velocidad ang-u-lar de rotación de la Tierra, que se deduce de las cifras dadas por:--J ewcornb para la duración del año sidéreo

1a = 6378388; '7. = 297 ;g = 9,78049; ~ = 0,0052884; (1) = 0,00007292115

Las unidades son las correspondientes del sistema Giorgi.

xs

o6

121824SO3642

1.00000000000.99996314180.99!:l85418660.99967792:{40.99944209270.9!:ln5704~00.998¡;3527950.9984908905

45 0.9983149008

4854606672788490

0.9981389460O.!:l!:l779482720.99747355530.99718913950.99695396940.9Q6778281O0.99666971690.9lJ66329966

x,

1.00000000000.~!:J996302680.99985374720.99967700510.9\1944062460.99915505070.998R3287370.9984882~89

0.9983122398

0.99813631370.99779241920.99747155800.997187668:{0.29695304890.99677784020.99666960150.9966329966

°1150439!9183

14681199432405826316

26010

26323240801997314712

9:¿054408115-1

O

r - rs e

0.0000.7342 8021'.8579.364

12.72015.34516.785

16.973

16.79015.::15912 7409.3845.8712.8120.7360.000

-7-

El significado de los símbolos del cuadro numerrco es: <}o la lati-tud geocéntrica en grados sexagesimales: x, y :re son r,/a y re/a,respectivamente, siendo r, y re los radios geocéntricos correspon-dientes al esferoide de nivel y al elipsoide internacional: su diferen-cia va expresada en metros y el sentido indica que el esferoide esexterior al elipsoide.

El resultado a que hemos llegado no difiere del obtenido por jor-dan en Handb uck der Vermessungskwnde, vol. III, pág. 632, sino en2 dm. para el valor máximo que corresponde a .15° aproximadamente.

La sustitución del esferoide por el elipsoide está justificada, puessu diferencia es despreciable frente a los errores de medida y obser-vación.

Seminario de Astronomía y Geodesiade la Universidad de Madrid

PUBLICACIO:-JESy GEODESIA

DEL SEMI)lARIO DEDE LA U:-JIVERSIDAD

ASTRONOMIADE MADRID

l.-Efémerides de G3 Asteroides para la oposición de 19;:;0 (1949).

2.-E. PAJARES: Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).

3.- J. PENSADO: Orbíta del sistema visual (T2 U Maj (1950).

4.-Efemérides de 79 Aster oides para la oposición de 19;:;1 (19;)0).

5.- J. M. TORROJA: Corrección de la órbita del Asteroide 1395 «Aribeda» (1950).

G.-R. CARR.\SCO y J. ~1. TORROJA: Rectificación de la órbita del Asteroide 1371«(Resi)) (1951).

7.--J. 11. TORROJA y R. C.~RRASCO: Rectificación de la órbita del Asteroide 15GO(1942 XB) y efemérides para la oposición de 19:)1 (19iJ1).

8.-M. L. SIEGR1ST: Orbita provisional del sistema visual ~ 728-32 Orionis (1!);;1).

9.-Efemérides de 79 Astcroidcs para la oposición de 1952 (19m).

10.-]. PENSADO: Órbita provisional de ~ 1883 (1951).

11 -M. L. SlEGRTST: Orbita provisional del sistema visual ~ 20r¡2 (1952).

12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).

13.-J. PE~SADO: Órbita de ADS 9380 = ¡ 1879 (19;)2).

14.-F. ALC\zAR: Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).

15.-J. PENS,IDO: Orbita de ADS 118!)7 = ¡ 2438 (1952).

1G.-Tl. RODRÍGUEZ SALH\AS: Sobre varias formas de proceder en la determinaciónde períodos de las mareas y predicción de las mismas en un cierto lugar(1952).

n.-R. CARRASCO y M. PASCUAL: Rectificación de la órbita del Asteroide 1528«Conrada» (1953).

18.- J. ~L GONZ.íLEZ-ABOIc-i: Orbita de ADS 1709 = ¡ 228 (1953).

19.-J. DALTÁ: Recientes progresos en Radioastronornia. Radiación solar hiperfrecuente (19;)3).

20.-J. M. TORRoJ.\ y A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452(1938 DZ,) (1953).

21.-J. ~f. TORRO)A: Cálculo con Cracovianos (19;)3).

22.-S. A RUID: Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representaciónmatemática de fenómenos experimentales (19:í3).

23.- J. M. TORR.QJA y V. BONGERA: Determinación de los instantes de los contac-tos en el eclipse total de Sol de 2.-; de febrero de H)52 en Cog o (Guinea es-pañola) (1954).

24-J. P~_NSADO: Orbita de la estrella doble :s 2 (1954).

25.-J. M. TORROJA: Nueva órbita del Asteroide 1420 «RadcIiffell (1954).

2G.-J. :\1. TORROJ.\ : Nueva órbita del Asteroide 1337 (1942 AD) (1954).

(Continúa en la tercera de cubierta)

27.-R. CARR,\SCO y ~L L. SIEGRIST: Rectificación de la órbita del Asteroide 1290«Albertiue» (1954).

28.-J. PENSADO: Distribución de los períodos y excentricidades y relación periodoexcentricidad en las binarias visuales (UJ50).

2lJ.- J. 1\1 GONZ\LEz-ADolN: Nueva órbita del Asteroide 1372 «Harcrnari. (19:'í0).

30.-M. DE PASCUM,: Rectificación de la órbita del Asteroide 1GH (1lJ2lJ CZ)(1P55).

:n.-J. M. TORROJA: Órbita del Asteroide 1::í~,4 «Yugoslavia» (1lJ::íCí).

:t~.-J.1'E1\5.\DO: K ueva órbita del Asteroide 1401 «Lavonne» (1lJ36).

33.-J. M. TORROJA: Nuevos métodos astronornicos en el estudio óe la figura dela Tierra (1956).

34.-D. CALVO: Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 «Múndlcr ia. (1906).

35.-M. L. SIEGRTST: Rectificación de la órbita del Asteroide 12:l8 «Predappia»(1956).

36.-J. 1'IóNSADO: Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas delas estrellas dobles visuales (1lJGü).

37.·-J. M. TORR<OJAy V. BONGERA: Resultados de la observación de! eclipse total.de Sol de :30 de junio de 1lJ34 en Sydkoster (Suecia) (1957).

38.-ST. \NIERZBDiSKI: Solution des équations normales par l'algorithme des cracc-viens (1lJ58).

39.- J. M. GO)iZÁLEZ-ABOlN: Rectificación de la órbita del Asteroide lllJ2 «Prisma»(J 958).

40.-l\J. LÓPEZ ARROYO: Sobre la distribución en longitud heliográfica de las man-chas solares (1958).

41.-]7. MÚGICA. Sobre la ecuación de Laplace (1958).

42.-]7. ~1'ARTÍN AsÍN: Un estudio estadistico sobre las coordenadas de los vérti-'es de la triarigulac.ón de primer orden española (1958).

43.-S'I'. WIERZBlNSKI: Orbite améliorée de h 43:39 y Cen = Cpd - 48°,4965-(J 958).

44.--D. CALVO B.~RREl\A: Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 «Kobolda»(1958).

45.--:\1'. LÓPEZ A¡¡ROYO: El ciclo largo de la actividad solar (1959).

46.-F. MÚGTC\: Un nuevo método para la determinación de la latitud (1939).

47.-J. M. TORROJi\: La observación del eclipse. de 2 de octubre de 1!l59 desdeEl Aaiun (Sahara) {19(0).

4S.-J. M. TORHOJA, P. JIMÉNEZ-LAND[ y M. SOLís: Estudio de la po'ariz ación dela luz de la corona solar durante el eclipse total de Sol del día 2 de octubre-le 19G9 (19(;0).

4!l.·--E. PAJ.\RES DíAZ: Sobre el mecanismo diferencial de un celostato (1960).