universitas gadjah mada fakultas teknik departemen teknik sipil … · 2016-10-17 · q distribusi...
TRANSCRIPT
Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan
INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN Statistika dan Probabilitas
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
2
q Estimasi Parameter q Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter.
q Nilai parameter-parameter tsb umumnya tidak diketahui.
q Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasi-kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.
q Estimasi n Estimasi tunggal (point estimates)
n Rentang keyakinan (confidence intervals)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
3
q Estimasi tunggal q Contoh
n Nilai rata-rata sampel sebagai estimasi nilai rata-rata populasi
n Nilai simpangan baku sampel sebagai estimasi nilai simpangan baku populasi
X → µ
sX → σX
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
4
Rentang Keyakinan
q Estimasi parameter θ
θ̂
estimasi! → θ
parameter!
Dicari suatu rentang [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa rentang tsb mengandung θ.
prob(L < θ < U) = (1 – α)
L = batas bawah rentang keyakinan U = batas atas rentang keyakinan
(1 – α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient) L dan U = variabel random
à Pers (1)
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
5
q Contoh q Data pengukuran temperatur udara di Yogyakarta pada periode 1991 s.d.
2014 menunjukkan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C n Kita dapat memperkirakan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah
30°C.
n Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa temperatur udara rata-rata sama dengan 30°C adalah hampir tidak mungkin terjadi:
prob T = 30°C( ) = 0
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Batas Bawah dan Batas Atas
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
6
q Metode Ostle: method of pivotal quantities q Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown),
tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. q Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:
prob v1 <V < v2( ) =1−α à Pers (2)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Batas Bawah dan Batas Atas
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
7
q Metode Ostle: method of pivotal quantities
q Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α
q L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ
prob v1 <V < v2( ) =1−α
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
8
q Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α
q Misal variabel random V:
q V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom
q n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-rata sampel
V =
X −µsX
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 9
V =
X −µsX
à berdistribusi t?
q Bukti
Distribusi t:
X =Y
ν
U, ν = degree of freedom
V =X −µ
sX
=X −µ
sX
2 n=
X −µ( ) σs
X
2 σ n=
X −µ( )σ n
⋅1
sX2 σ2
=X −µ( )σ n
⋅n−1
Xi −X( )2∑ σ2=Y ⋅
ν
U
⇒Y =
X −µ
ν n, U =
Xi −X( )2∑σ2
, ν = n−1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 10
q Pers (2)
prob v1 <V < v2( ) =1−α ⇒ prob v1 <
X −µsX
< v2
$
%&
'
() =1−α
luas = (1 – α)luas = αa luas = αb
atα b
t α−1
αa + αb = α
prob(t < v1) = αa
prob(t > v2) = αb
dengan (n – 1) degrees of freedom
18-Oct-16
tαa ,n−1
t1−αb ,n−1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 11
!!
prob v1 <X −µsX
<v2"
#$$
%
&''=1−α
prob tαa ,n−1
<X −µsX
< t1−αb ,n−1
"
#$$
%
&''=1−α
prob X +tαa ,n−1
⋅ sX <µ < X +t1−αb ,n−1⋅ sX( ) =1−α
ℓ u
!!
ℓ= X +tαa ,n−1
⋅ sXu= X +t1−αb ,n−1
⋅ sX
Jadi, batas rentang keyakinan:
sX = sX n
tαa ,n−1→ tabel distribusi t
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 12
q Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan adalah simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2).
q Karena simetris, maka αa = αb = α/2q Yang dicari adalah (1 – α) = 100(1 – α)% rentang keyakinan q maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)
luas = (1 – α)/2 luas = (1 – α)/2
luas = α/2 luas = α/2
tα 2 = −t1−α 2
t1−α 2
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 13
luas = 1 – α/2luas = 1 – α/2
luas = α/2 luas = α/2
tα 2
t1−α 2
luas = 1 – α luas = α/2luas = α/2
Distribusi t
18-Oct-16
t1−α 2
tα 2 = −t1−α 2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 14
ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX
u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX
q Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah:
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 15
luas = 1 – αluas = 1 – αluas = α luas = α
n Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q batas bawah à prob(t < v1) = α q batas atas à prob(t > v2) = α
prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX
> v1
$
%&
'
() =1−α
prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ
sX
< v2
$
%&
'
() =1−α
tα18-Oct-16
t1−α
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi t
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
16
q Notasi q tα,n adalah nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t yang
memiliki n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada α q Misalnya:
n t0.95,50 adalah nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom
q Tabel distribusi t q Tabel untuk membaca nilai t sebagai fungsi nilai probabilitas dan nilai degrees
of freedom n Tabel ada di buku-buku statistika, ada di http://istiarto.staff.ugm.ac.id, dapat pula
dibuat sendiri dengan memakai MSExcel
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi t
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
17
q Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel q TDIST(t,ν,tails)
n menghitung nilai prob(T > t) n untuk menghitung nilai prob(T < t) à 1 – TDIST(t,ν,tails) n t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya n ν = degree of freedom n tails = 1 (one-tailed distribution) atau 2 (two-tailed distribution)
q TINV(p,ν) n mencari nilai t jika nilai p = prob(T > t) diketahui n two-tailed distribution n jika ingin mencari nilai t untuk one-tailed distribution, p diganti dengan 2p
MSExcel 2007
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 18
t = 1.6
prob(T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,1) = 0.942
t = 1.6
prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,2) = 0.884
t = –1.6
t
0.95
prob(T < t ) = 0.95
t = TINV(2*(1-0.95),50) = 1.68
t –t
0.95
prob(-t < T < t ) = 0.95
t = TINV(1-0.95,50) = 2
distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel 2007
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 19
t = 1.6
t = 1.6 t = –1.6
t
0.95
t –t
0.95
distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel 2010
prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942
prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942
prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884
prob(T < t ) = 0.95
t = T.INV(0.95,50) = 1.68
prob(-t < T < t ) = 0.95
t = T.INV.2T(1-0.95,50) = 2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
20
q Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.
à V berdistribusi normal V =
X −µσX
, σX = σX n
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
21
q Rentang keyakinan
ℓ = X + za ⋅ σX = X + za ⋅ σX n
u = X + zb ⋅ σX = X + zb ⋅ σX n
ℓ = X − z1−α 2 ⋅ σX = X − z1−α 2 ⋅ σX n
u = X + z1−α 2 ⋅ σX = X + z1−α 2 ⋅ σX n
q Rentang keyakinan simetris
zαa
1−α αa αb
z1−αb
zα 2 = −z1−α 2
1−α α 2
z1−α 2
α 2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan σ2 suatu distribusi normal
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
22
q Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan probabilitas prob(L < σ2 < U) = 1 – α
q Didefinisikan variabel random V:
V =
n−1( ) sX2
σX2
à V berdistribusi chi-kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 23
prob v1 <V < v2( ) =1−α
prob v1 <n−1( ) sX
2
σX2
< v2
$
%&&
'
()) =1−α
Pilih:
v1 = χα 2,n−12
v2 = χ1−α 2,n−12
prob χα 2,n−12 <
n−1( ) sX2
σX2
< χ1−α 2,n−12
%
&''
(
)** =1−αsehingga:
atau:
probn−1( ) sX
2
χ1−α 2,n−12
< σX2 <
n−1( ) sX2
χα 2,n−12
%
&''
(
)** =1−α
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 24
q Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2
dengan tingkat keyakinan (1 – α) adalah:
ℓ =n−1( ) sX
2
χ1−α 2,n−12
u =n−1( ) sX
2
χα 2,n−12
§ batas bawah:
§ batas atas:
§ catatan: X berdistribusi normal
χ2 berdistribusi chi-kuadrat
18-Oct-16
probn−1( ) sX
2
χ1−α 2,n−12
< σ2 <n−1( ) sX
2
χα 2,n−12
%
&''
(
)** =1−α
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 25
q Distribusi chi-kuadrat tidak simetris:
sX2 − ℓ ≠ u − sX
2
n » → (n – 1) » → distribusi mendekati distribusi simetris,
sX2 berada kira-kira di tengah-tengah rentang [L,U].
χα 2
2
χ1−α 2
2
1−α α 2
α 2
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan Satu Sisi
18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan
26
q One-sided confidence intervals
q Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan q Batas bawah saja untuk rentang keyakinan µ
q Batas atas saja untuk rentang keyakinan µ
prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1
prob θ <U( ) =1−α ⇒ u = X + t1−α ,n−1