universität stuttgart wissensverarbeitung und numerik i nstitut für k ernenergetik und e...
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Integriert man
so erhält man
Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:
btamittyfydt
d ),(
21 2
1......a ),(),(
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t dttyfdttyf
dttyfbaayby
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen:1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren
Euler- und Runge-Verfahren.
2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration
Adams-Verfahren.
3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n
Gear-Verfahren.
Die Verfahren werden in den folgenden Folien erläutert. Wir haben folgende Verfahren kennengelernt:
Euler, Runge Kutta und Differenzenverfahren
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) -1
Euler
implizit)1
,1
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explizit),(1n
y
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nyHeun
Problem: y ist unbekannt und muss durch diskrete Werte yn
beschrieben werden. Ist yn bekannt, so können wir yn+1 aus der diskreten Form der Dgl berechnen
Dies ermöglichen iterative Verfahren oder Vorschriften mit Zwischen-schritten, wie die von Heun oder Runge-Kutta
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) - 2
Runge Kutta
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tK
ny
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
V8: Systeme von Differentialgleichungen
Teil IV: Differentialgleichungen
Kapitel 8: Partielle Dglen als Beispiel für Systeme gew. Dglen
Inhalt: Systeme gewöhnlicher Dglen Partielle Dglen Diskretisierung der Wärmeleitgleichung nach dem Differenzenverfahren Aufbau eines Programms zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen
Experimente 5: Stationäre Wärmeleitung in zwei Dimensionen, Transiente Wärmeleitgleichung in
einer Dimension
Übung 5: Lösung der transienten Wärmeleitgleichung in Excel/ Matlab
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Das sollten Sie heute lernen
Was ist eine System gew. Differentialgleichungen Was ist eine partielle Differentialgleichung Was wendet man die Differenzenmethode zur Lösung der
Wärmeleitgleichung an Wie sind Programme zur Lösung partieller
Differentialgleichungen aufgebaut
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert
Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen.
Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton-Methoden zur Lösung verwendet werden.
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Für einen Zeitschritt n gilt etwa
Dieses System kann als Matrixgleichung beschrieben werden. Zur Lösung müssen Gleichungslöser für Systeme eingesetzt werden.
),,2
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.
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Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
1. Gekoppelte Federn
Massen m1 und m2
Federkonstanten K1 und K2
Auslenkungen x1 und x2
2. Konkurrierende Systeme (Räuber-Opfer-Systeme)Populationen x1 und x2
Überschuß Geburt-Tod a11 und a22
Nahrungsraten a12 und a21
12222
1221111xxKxm
xxKxKxm
2221212
2121111
xaxax
xaxax
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
System gewöhnlicher Differentialgleichungen
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8321
032
2
122
011131
1
1
III
ILIC
IR
VIRILIC
Anwendungsbeispiele für einfache Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen -3
Elektrische Netze
Elektrische Netze mit Widerständen R, Induktionen L, Kapazitäten C und Spannungsquelle V werden mittels der drei Kirchhoff‘schen Gesetze ausgelegt, wo qi die Ladung des
Kondensators i und I der Strom im Schaltkreis sind.
Beispiel: 2 Schaltkreise sind über eine gemeinsame Induktivität L gekoppelt
VCqdt
dqIüberoder
dt
dVCI
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.3
.2
.1
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
iniTn
iTn
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Tdx
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allefür1
212
ert werdendiskretisi
Zeit Punkt-Orts selben am Terme alle dass erfordert, Konsistenz
Ortes des ierung Diskretisnach leichungWärmeleitg Transiente
2
2
Überführung der transienten Wärmeleitgleichung in ein System gew. Dglen
Transiente Wärmeleitgleichung
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung von Differentialgleichungen - prinzipielles Vorgehen
1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen
2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete
3. Auswahl des Lösungsansatzes
- punktweise Darstellung
- Entwicklung nach bekannten Funktionen
- stochastisch
4. Diskretisierung der Operatoren
5. Aufstellung der Systemgleichungen
6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems
7. Darstellung der Ergebnisse
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Lösung von Differentialgleichungen Das Differenzenverfahren in seiner Grundform
1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Rechtecke
2. Lösungspunkte auf Maschenrand oder Maschenmitte
3. Lösung konstant in Basisgebiet
4. Diskretisierung der Operatoren über Taylorreihen
5. Tri- und pentdiagonale Systeme. Diagonal dominant bis auf hyperbolische Gleichungen
6, Lösen auf Basis Gauß-Seidel möglich
7. Darstellung von Verläufen längs Linien
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2
21
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xtnnn
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Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
Wärmeleitgleichung
Die diskrete Gleichung lautet
d.h. die Zeitableitung gilt für alle Stellen n + im Zeitintervall (n, n+1). Die Diskretisierung ist also nicht mehr eindeutig.
Aufgrund der ersten Ableitung der Zeit gilt ferner, dass die resultierende Matrix im x-t-Raum nicht mehr symmetrisch ist.
Für = 1/2 und uin+1/2 = 0,5 (ui
n+1) erhält man
Für = 0 verschwinden die mit 0 gekennzeichneten Elemente,
Für = 1 verschwinden die mit gekennzeichneten Elemente.
2
2
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Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
1 x o
2 o x o
3 o x o
4 o x
x x o
6 x o x o
x o x o
8 x o x
x x o
10 x o x o
x o x o
12 x o x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1,3 2.3 3,3 4,3
9 10 11 12
1,2 2,2 3,2 4,2
5 6 7 8
1,1 2,1 3,1 4,1
K = 1 = 2 3 4
Ort IM = 4
X markiert die Diagonalelemente
Die mit 0 bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 0 (explizite Verfahren) wählt.
Die mit Δ bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 1 (implizite Verfahren) wählt.
K
Abbildung 2D auf 1D: k = (j-1)*IM+i
JM = 3
ORT
ZE IT
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Die Wärmeleitgleichung als Beispiel
Am Ortspunkt i gilt
Das ergibt eine gewöhnliche Differentialgleichung für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Wir beschreiben es als ein System von Differentialgleichungen.
Zur Lösung des Problems benötigen wir
Die Länge des Stabes
Die Zahl der Punkte i
Werte für T am linken und rechten Rand
Einen Wert von
Die Dauer der Simulation
Die Zahl der Zeitschritte
Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0.Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.
21
21
x
iT
iT
iT
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Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form
Explizites Verfahren
Implizites Verfahren
Zwischenschrittverfahren
Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren
Für cond g = verringert sich der Fehler
wegen
folgt, daß beschränkt ist, t und x hängen also voneinander ab.
2/2)1
21
(1 xtTniTniTniTniTni
)11
1211(1 TniTniTniTniTni
)121(1 TniTniTniTniTni
TnTnTngTn )(1
1)(
1
Tng
gTn
)(1 Tng
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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Verwndet man dazu Excel, so lässt sich eine allgemeine Struktur für Gewöhnliche Differentialgleichungslöser angeben:
Eingabe Berechnung für Zeitschritt Zeitschrittfortschaltung Ergebnisdarstellung
Alle Elemente haben Sie schon erprobt. In den Übungen können Sie sie neu zusammensetzen
Für Systeme sind kompliziertere ‚Programme nötig
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Numerische Methoden SS 2003 Teil IV, Kp. 8
Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt.
Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration,
Nichtlinearität
Lösung des Gleichungssystems
Berechnung der rechten Seiten
Neue
Matrizen
Nicht linear
ja
nein
nein ja (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt,
Endgenauigkeit)
Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten,
Randbedingungen, Anfangswerte
Ausgabe
Nein linear
Erzeugung des Gleichungssystems
Ende
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Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die
wichtigsten Arbeitsschritte an Was ist die Differenzenmethode Geben Sie die Struktur der Matrix eines diskretisierten
Laplace Operators an Wie sind Programme zur Lösung partieller Differential-
gleichungen aufgebaut
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Die Wärmeleitgleichung lautet .Für den Versuch sollen die folgenden Bedingungen gelten.
Die Diskretisierung erfolgt nach dem Differenzenverfahren mit • Lösungspunkte auf dem Maschenrand • Konstanten Maschenweiten
• Ansatz für Lösung
• Ansatz für Differentiale
• Konsistenzbedingung
ddt
T ddx
T2
2
T t T x T x TL L R R( ) , ( ) , ( )0 0 T T
x x t t dtdxi n , 2
T x t Tin( , )
ddt
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TT T T
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i
i i i
1 2
21 1
2
2
,
ddt
T ddx
Tn n
ii
=
2
2
Lösung explizitLösung implizit
Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren1/2
Beim expliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also .Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk-tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei-se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B:
Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)
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Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das explizite Verfahren konvergiert aber nur für , bei größeren Werten zeigt sich, daß die Lösung instabil ist.
Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt.
Aufgabe:Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10.Untersuchung der Stabilität undder Genauigkeit.
E T B Tn n 1
Der Versuch wird durchKlick gestartet
T B Tn n 1
Tn1 Tn
0 5.
2/2
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten Verfahren
Beim impliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also für die Wegdiskretisierung.Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk-tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei-se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B:
Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)
1
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in
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Der Versuch wird durchKlick gestartet
2/2Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das implizite Verfahren konvergiert für alle Werte von . Der Rechenaufwand beim impliziten Verfahren ist wegen der damit verbundenen Lösung größer als beim expliziten, dafür bleibt aber das Verfahren für alle Werte stabil.Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt.Aufgabe:Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10.Untersuchung der Stabilität undder Genauigkeit.
Tn1 Tn
B T E Tn n 1
B T Tn n 1