Università degli studi di Cagliari

Dipartimento di Ingegneria Strutturale

Corso di aggiornamento

Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ

RELATORE: Ing. Igino MURA

imura@unica.it

25-26 Giugno 2010

- Instabilità: Metodo di verifica

INSTABILITA’ NELLE ASTE IN C.A.:

VERIFICA DELLE ASTE

1. – Rapporto di snellezza λ

Il rapporto di snellezza λ è definito dall’Eurocodice come il rapporto

fra la lunghezza di inflessione l0 ed il raggio d’inerzia i. Pertanto:

λ = l0 / i con : i = ( I / A )0.5

Numerose normative utilizzano lo spessore del pilastro invece che il raggio

d’inerzia. Questo conduce a valori più bassi.

Non esistono motivi specifici per sostenere che una formulazione possa

essere migliore dell’altra; ambedue sono misure di rigidezza flessionale

(nonostante il problema specifico non sia esattamente corrispondente a

quello della classica instabilità euleriana).

L’uso del raggio d’inerzia ha però il vantaggio di consentire una

trattazione più compatta, comprensiva anche di sezioni di forma non

rettangolare.

Esempio di calcolo:

Determinare il rapporto di snellezza di un pilastro avente lunghezza di

inflessione di 2,63 m e sezione quadrata di 350 x 350 mm.

2. – Riduzione del carico per effetto della snellezza

Consideriamo un pilastro tozzo ( λ ≅≅≅≅ 0 ) soggetto ad un carico assiale

eccentrico NSd. Esso produce un momento NSd⋅⋅⋅⋅e0 nel pilastro. Ignorando l’effetto di ogni inflessione possiamo disegnare il sentiero

corrispondente alla crescita del carico sino a collasso nel dominio M – N.

Consideriamo ora l’inflessione e gli effetti del secondo ordine.

L’inflessione produce nel pilastro un momento NSd⋅⋅⋅⋅e0 aggiuntivo rispetto al primo. Questo riduce la capacità portante del pilastro (carico di collasso): più grande è la snellezza tanto maggiore è la riduzione.

Per λ=25 la riduzione è molto modesta e può normalmente essere

ignorata, ma quando λ=90 la riduzione è considerevole e deve essere

messa in conto. Per questi valori di snellezza il sentiero di carico è stabile

e il collasso avviene per schiacciamento del materiale nei punti A e B. Quando λ=200 il pilastro collassa per instabilità dell’equilibrio: il

punto di equilibrio indifferente è il punto C che separa il tratto stabile del

sentiero ( quello ascendente ) dalla parte instabile ( quella discendente

verso il limite del dominio).

3. – Metodi di progetto

Ogni parte dei telai a nodi spostabili deve essere progettata ponendo

in conto gli effetti degli spostamenti.

I pilastri isolati sono membrature soggette a compressione che

costituiscono parti integrali di strutture a nodi fissi.

• Quando λ non supera λmin , dato dal più grande fra 15 / (νu)0.5

e

25, gli effetti della snellezza possono essere trascurati.

• Quando λ supera λmin il pilastro è snello, ma se non supera λcrit non sono richiesti particolari calcoli essendo sufficiente progettare il

pilastro assumendo alle sue estremità il momento pari a

0.005hNSu. ( con h lato della sezione quadrata del pilastro )

Con M01 e M02 momenti all’estremità del pilastro con

4. – determinazione di λcrit

Il valore di λcrit si determina considerando l’influenza di un momento addizionale dovuto all’inflessione, che si aggiunge all’iniziale momento

di progetto.

Vincoli momento momento momento di estremità agente addizionale totale

Il progetto deve individuare la configurazione inflessa a collasso.

L’analisi elastica non può essere utilizzata in quanto il calcestruzzo

armato quando raggiunge il carico di collasso non ha comportamento

elastico.

Neppure si può far ricorso all’analisi plastica perché questa non

consente la determinazione degli spostamenti a collasso.

L’Eurocodice indica allora di adottare il metodo delle curvature.

5. –Metodi di risoluzione

L’Eurocodice indica due approcci fondamentali: • L’analisi non-lineare rigorosa della struttura.

Si tratta di un metodo complesso la cui esposizione esula da questo Corso.

• L’analisi con metodi semplificati per le situazioni più usuali.

Questi metodi saranno considerati nel seguito.

Tutti i metodi devono contemplare la possibilità che la struttura possa

essere realizzata “fuori piombo” ovvero non verticale.

Nei telai a nodi spostabili si deve introdurre una inclinazione

addizionale ν :

Nelle colonne isolate si deve

introdurre una eccentricità

accidentale ea del carico assiale:

METODI SEMPLIFICATI

( colonne isolate)

L’obiettivo di una rigorosa analisi non lineare (iterativa) è quella di

determinare il massimo valore del carico limite di un pilastro snello

individuando la legge carichi-inflessioni.

Scopo di un metodo semplificato è trovare il carico allo stato ultimo

con un unico calcolo.

Il metodo della Colonna Modello proposto dall’Eurocodice ha come

obiettivo di predire l’inflessione alla quale inizia il collasso del

calcestruzzo, ovvero quello che corrisponde alla massima deformazione

ammessa.

Il punto di cui sopra corrisponde sia al carico ultimo effettivo di cui

al punto ( A ) oppure ad una valutazione di limite inferiore ( B ). Questo metodo in definitiva fornirà talvolta un limite inferiore del

carico di collasso.

1. – Inflessione nella Colonna Modello

L’inflessione di un pilastro incernierato agli estremi viene calcolata a

partire dalla conoscenza delle sue curvature, ma per calcolare le curvature

in ciascuna sezione occorre conoscere la deformata.

Poiché non si vuole utilizzare un calcolo iterativo (rigoroso ) la

forma della deformata deve essere assegnata a priori.

Numerose forme di pilastro inflesso producono una inflessione al

centro pari a β l02 (1/r).

Le forme triangolare e rettangolare forniscono i casi estremi, quella

parabolica e sinusoidale ( π2 = 9.82 ) definiscono con maggiore

precisione l’andamento effettivo della deformata che deriverebbe da un

calcolo rigoroso.

L’Eurocodice assume per semplicità il valore β = 1/10.

2. – Procedura di calcolo della Colonna Modello

Step 1. L’Eurocodice modifica l’equazione che fornisce e2

introducendo un coefficiente correttivo k1 che tiene conto dei bassi valori di snellezza compresi fra 15 e 35. Pertanto:

Tuttavia λcrit risulta normalmente più grande di 35 e pertanto questa

correzione può non doversi effettuare ( k1 = 1 ).

Step 2. Nel passo successivo si deve calcolare la curvatura ( 1/r ). Questo può ottenersi a partire dal dominio di interazione M-N.

Nel punto di bilanciamento la deformazione di compressione del

calcestruzzo raggiunge il suo massimo valore e la deformazione di trazione

nell’acciaio è quella di snervamento.

Ora, la curvatura nella sezione ( 1/rbal ) è uguale alla variazione di deformazione lungo lo spessore della sezione:

Formula semplificata dell’EC2:

(spessore asse neutro 0.55d)

La curvatura (1/ru ) al carico centrato ultimo Nud della sezione è zero.

Si assume che la curvatura vari linearmente fra 1/ru e 1/rbal per cui si

determina la curvatura 1/r in modo agevole con una semplice

proporzione:

Step 3. Nel passo finale si determina il massimo momento di progetto.

• Il massimo momento di progetto si verifica nel punto centrale della lunghezza di inflessione, che generalmente è molto prossima alla

mezzeria dell’asta.

Una stima ragionevole del momento del primo ordine in quasto

punto, per momenti di estremità M01 e M02 è data da:

con

N.B. - L’eurocodice esprime la precedente relazione in termini di

eccentricità e = M / N.

In pratica tuttavia sono i momenti di estremità ad essere conosciuti

e la grandezza richiesta è il momento di progetto, per cui appare privo di

significato pratico dividerli per il carico assiale.

Si ottiene il massimo momento di progetto addizionando il momento

accidentale NSd⋅ ea (ea = 0.5 ν l0 ) :

• Tuttavia questo non sempre risulta essere il massimo momento. Questo può anche determinarsi all’estremità della colonna.

L’Eurocodice trascura il momento M01 perché raramente critico,

mentre richiede di effettuare la verifica all’estremità M02, quindi:

La determinazione del massimo momento di progetto fra:

ora non risulta difficile. Si deve osservare che Msd,min dipende da e2 che

a sua volta dipende da k2. Quest’ultimo non può essere calcolato finché

non è determinata l’area di armatura, poiché Nud = Acfcd + Asfyd (per

una sezione rettangolare simmetricamente armata Nbal può essere assunto

come pari a 0.4⋅⋅⋅⋅Acfcd). Si considerano le relazioni seguenti:

e si utilizza un procedimento iterativo:

1. si assume k2 = 1;

2. si calcola MSd,mid; 3. si calcola l’area d’acciaio richiesta nella sezione della colonna per il

carico assiale NSd e per il piu grande fra i momenti MSd,mid e

MSd,end;

4. se il momento di progetto è MSd,end, il procedimento è concluso,

5. diversamente bisogna ricalcolare k2.

6. se questo valore di k2 differisce in modo significativo deal precedente valore si ritorna a l punto 2.

Si possono considerare nel procedimento diagrammi con riportate le linee

a k2 costante:

TELAI A NODI SPOSTABILI

( Metodi semplificati )

L’Eurocodice non fornisce esplicitamente alcuna procedura

semplificata per il progetto dei telai a nodi spostabili, ma consente di

utilizzare procedimenti semplificati come quello della Colonna Modello,

garantito che sia assicurato il richiesto livello di sicurezza.

Il metodo successivamente indicato è fondato sul metodo della

Colonna Modello, ma adattato alle particolari condizioni richieste dai

telai a nodi spostabili.

Le assunzioni fondamentali sono le seguenti:

• le inflessioni globali di ogni pilastro del telaio, a ogni livello del telaio, sono le medesime;

• il collasso del telaio interviene quando il primo pilastro strutturalmente significativo, di qualunque livello di piano,

raggiunge l’inflessione ultima. Questo pilastro è denominato

pilastro critico.

• L’inflessione ultima è calcolabile con le equazioni utilizzate nel metodo della Colonna Modello, ovvero:

• La curva di inflessione dell’assegnato pilastro si assume parabolica, con il suo massimo al momento e inflessione ultima.

Le precedenti assunzioni conducono alla seguente procedura di progetto:

1. si calcola l’inflessione ultima del pilastro critico. Si determina l’inflessione ultima di ciascun pilastro assumendo che

siano tutti indipendenti e soggetti allo spostamento dei nodi. La più

piccola inflessione determinata in questo modo sarà l’inflessione critica

alla quale il telaio andrà fuori servizio.

2. Si progetta ciascun pilastro in modo tale che, assoggettato al suo carico assiale di progetto e alla sua inflessione critica esso sviluppi almeno il suo richiesto momento di progetto.

Usare la seguente relazione:

dove:

MSd è il momento ultimo di progetto, uguale a M0 + NSd ⋅⋅⋅⋅ ecrit

MSde è il momento ultimo di progetto effettivo;

ecrit è l’inflessione critica dovuta al momento MSd ;

eu è l’inflessione ultima dovuta al momento MSde.

Per ciascun pilastro eu può essere espresso come una

costante k2, e questo riduce le incognite a MSde e k2 . Si può in questo modo innestare un procedimento iterativo utilizzando la

precedente equazione e il Diagramma di progetto. Ovviamente per la

colonna critica MSde = MSd e critica eu = ecrit.

3. Infine ciascun pilastro può essere verificato come un pilastro isolato controventato.

Progettare per un carico assiale NSd ed un momento di progetto

MSde.

INFLESSIONE BIASSIALE

Finora la trattazione degli effetti di snellezza ha riguardato la flessione uni

assiale, in modo che i momenti del secondo ordine agiscono in direzione

del medesimo asse di quelli del primo ordine. In realtà esistono due ulteriori condizioni che devono essere considerate.

• I momenti del primo ordine riguardano la direzione dell’asse maggiore e quelli del secondo la direzione di quello minore che

presenta maggiore snellezza.

• Momenti del primo ordine secondo ambedue gli assi (flessione biassiale). Uno solo o ambedue sono snelli.

Ciascuna direzione deve essere considerata indipendentemente dall’altra e

soggetta al carico assiale NSd e ad un appropriato momento, pertanto:

Nell’espressione di M1 i termini fra parentesi [ ] son applicabili solo se il

pilastro è più snello secondo l’asse maggiore.

Quando e0z supera 0.2⋅⋅⋅⋅h il progetto lungo l’asse minore deve essere basato su uno spessore ridotto di sezione, uguale a quello della zona

compressa secondo l’asse maggiore.

La distanza y fra il baricentro della sezione ed il punto dove lo sforzo è

nullo è data da:

Lo spessore ridotto della sezione per la sezione rettangolare vale:

Quando ci sono momenti significativi secondo le due direzioni

simultaneamente occorre effettuare una rigorosa verifica biassiale.

Questo può richiedere di considerare due circostanze, se il pilastro è snello

secondo ambedue gli assi.

e

Tuttavia l’Eurocodice fornisce un approccio semplificato per cui si può

progettare la sezione considerando la flessione uni assiale secondo i due

assi indipendentemente.

Questo approccio può essere applicato quando la flessione è quasi uni

assiale nella sezione critica, ovvero:

oppure

Ma, quando e0z supera 0.2 h il progetto in direzione dell’asse minore

deve essere basato sulla sezione ridotta h’, ovvero:

E quindi per una sezione rettangolare:

TRAVI ALTE SOTTILI

Quando una trave è alta in confronto alla sua luce ed al suo spessore

è possibile che essa possa collassare per instabilità.

Tuttavia la probabilità che possano occorrere simili travi è

abbastanza modesta è l’Eurocodice utilizza semplici e cautelativi

strumenti di verifica che risultano normalmente sufficienti.

Questi strumenti stabiliscono che è sufficiente assicurarsi che ambedue le seguenti relazioni siano verificate:

e

Dove:

lot è la lunghezza della flangia compressa misurata fra i vincoli laterali; b è lo spessore della flangia compressa; h è lo spessore totale della trave.

L’Eurocodice non fornisce metodi ulteriori se le condizioni

precedenti non sono verificate. Appare ragionevole in tale eventualità far

ricorso alla Colonna Modello.