UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Princípios e Fenômenos da Mecânica

Professor: Humberto

EXPERIMENTO Nº 6 – LANÇAMENTO HORIZONTAL DE PROJÉTIL

Discentes:

Camila de Oliveira Silva (2009028716)

David Jefferson Cardoso Araújo (2009028910)

Kelvin da Cruz Praxedes (2009029666)

Thiago Mateus B. da Silva (2009030605)

Turma 2 A

NATAL

02/06/2010

Objetivo

O referido relatório tem por objetivo explicitar tudo o que foi realizado na atividade

proposta do dia 24/05/2010, uma segunda-feira, e que está voltada à análise do lançamento

horizontal de projéteis. Essa atividade aconteceu no Laboratório de Física Experimental de

Mecânica dos Fluidos, no período de 10h50min às 12h 30min, e contou com a participação dos

alunos da turma 02A do curso do Bacharelado em Ciências e Tecnologia, e dos professores de

laboratório .

Já o experimento tem como principal objetivo pôr em prática algumas idéias que foram

vistas em sala de aula acerca do conteúdo de lançamento horizontal de projéteis e a cinética do

rolamento, através de experimentos voltados para tal conteúdo.

Introdução teórica

No decorrer do nosso dia-dia, vemos que objetos se movimentam no ar, após serem

lançados, ou mesmo quando caem de algum lugar. Observando isso, percebemos que, independente

da força inicial aplicada ao objeto, da altura na qual ele se encontra, ou da velocidade no instante de

queda, no movimento obliquo, uma das componentes da aceleração a que um corpo está submetido é voltada

para o centro da Terra. Mas, como esses pontos influenciam na queda ou no deslocamento de um

projétil que rola?

Iniciamos agora um novo tema da Física, que é de grande aplicabilidade nos dias atuais – o

rolamento. Tais aplicações são vistas nos automóveis, nas engrenagens, nas bolas de boliche, no

ioiô, entre outros objetos. Os conceitos de rotação e translação vêm juntos e, dessa forma, todas as

equações que estudamos e vimos até agora são a junção desses dois tipos de movimentos.

𝑣𝐶𝑀

𝑣𝐶𝑀

Rotação

Translação

Fig 1. Representação de um movimento de rolamento (rotação e translação)

Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma energia cinética de

rotação (1

2𝐼𝐶𝑀𝜔2) associada à rotação em torno do centro de massa, e uma energia cinética de

translação (1

2𝑀𝑣2

𝐶𝑀) associada à translação do centro de massa.

K = 1

2𝐼𝐶𝑀𝜔2 +

1

2𝑀𝑣2

𝐶𝑀

No caso de uma roda de raio R rolando suavemente (sem deslizamento):

𝑣𝐶𝑀 = 𝜔R

Contando com esses conceitos e com os conceitos anteriores de cinemática, ficamos aptos a

entender, de maneira eficaz, o experimento do laboratório.

Materiais utilizados

Para a realização desse experimento foram usados os seguintes materiais:

Régua: Utilizada para medir a distância entre o ponto inicial e o alcance da esfera;

Tripé: Base onde se encaixou a haste;

Conjunto de Mecânica Arete II: é uma plataforma com uma rampa de madeira acoplada.

Essa rampa possui, por sua vez, uma canaleta, que é de onde serão efetuados os

lançamentos;

Esfera Metálica: É o objeto que será lançado para análises;

Fio de Prumo: Utilizado para marcar a região de origem. O mesmo estava localizado num

ponto logo abaixo de onde termina a rampa, que é o local de onde a bola metálica é lançada;

Papel Carbono: Usado para medir o alcance da esfera, marcando os pontos de onde a mesma

batia;

Papel seda: Usado para marcar o ponto onde a esfera batia na bancada (ao invés deste,

utilizamos uma folha de ofício);

Fita Adesiva: Utilizada para fixar a folha de ofício na mesa.

Fig.2: Conjunto de Mecânica de Arete II com fio de prumo, tripé, e bola metálica. Na mesa podemos observar a folha de marcação(ofício) e o papel

carbono, e mais ao fundo uma régua e uma trena.

Fig.3: Conjunto de Mecânica Arete II vista horizontalmente, juntamente com fio de prumo, bola metálica, papel seda e papel carbono.

Procedimento experimental

Plataforma

Tripé

Papel carbono

Papel de seda

Inicialmente, o grupo teve o devido cuidado de verificar todos os materiais utilizados no

experimento. Colocamos o papel carbono sobre uma folha de ofício, para que pudéssemos obter as

marcações do lançamento da esfera metálica. Depois, engatamos a extremidade do fio de prumo na

plataforma da rampa através de uma rosca e esperamos ele estabilizar para marcar (no papel) um

ponto, que corresponde à origem 𝒙𝟎 no plano horizontal da mesa. Outro procedimento importante

para o desenvolvimento do experimento foi a medição das alturas de onde a esfera seria lançada.

Com o auxílio da trena e das próprias marcações existentes na rampa, medimos a altura h’

entre a linha da base (marcação existente na rampa) e a mesa, e somamos este valor com a

marcação da rampa(h”), que resultaria na altura final h (altura do lançamento). Portanto, as medidas

h’ e h0 (altura entre o nível de saída da rampa e a mesa) são:

Tabela 20: Alturas

h’= 474 mm 𝒉𝟎= 479 mm

Para cada altura h” utilizada para largar a esfera, calcule a altura h correspondente (h= h’+

h”) e preencha a tabela 21.

Tabela 21: Alturas de lançamento

h’’(mm) h(mm)

10 484

20 494

30 504

40 514

50 524

60 534

70 544

80 554

90 564

100 574

Depois de obter alguns dados e preparar todos os materiais, demos início aos lançamentos da

esfera metálica. Nessa parte do experimento, tivemos alguns cuidados, como: deixar o centro de

massa da esfera aproximadamente alinhado com a marcação da altura de lançamento; a cada

lançamento verificar o papel carbono e o ofício, e ter cuidado para a esfera tocar somente uma vez o

ofício; para cada altura h” foram feitos cinco lançamentos e, dentre as cinco marcas produzidas,

caso alguma ficasse mais distante das outras, esta seria desprezada.

Com isso, para cada conjunto de lançamentos, marcamos sua altura correspondente. Para

evitar a confusão entre os pontos, circulamos cada conjunto (pontos mais próximos de cada etapa de

lançamento), enumerando-os. Marcamos, também, o centro dos dez círculos encontrados.

Posteriormente, com o auxílio da régua, medimos o raio de cada um, que corresponde,

estatisticamente, ao desvio padrão da medida do alcance (σA), e a distancia entre o centro do circulo

e o ponto 𝒙𝟎, correspondente ao alcance médio da esfera para a altura de largada em estudo. A cada

lançamento obtemos os dados para preencher a tabela 22.

Tabela 22 : Altura versus alcance

Algebricamente, aplicando a lei da conservação da energia mecânica e utilizando as

equações horárias de lançamento de um projétil no plano, pode-se deduzir duas equações para o

alcance.

1. Sem energia cinética de rotação

h”(mm) h(mm) Alcance(mm)

10 484 122 3.5

20 494 162 6.0

30 504 196 3.5

40 514 223 3.5

50 524 239 4.0

60 534 258 6.0

70 544 281 6.0

80 554 303 6.0

90 564 311 5.5

100 574 329 8.0

ASR = 2 𝑕0 𝑕 − 𝑕0

2. Com energia cinética de rotação

ACR = 2 5

7𝑕0 𝑕 − 𝑕0

Resultados e discussão

(a) Analisando os resultados da tabela 22, você concluiria que a altura inicial de largada da

esfera influencia ou não no alcance correspondente? Justifique sua resposta.

Se considerarmos que apenas forças conservativas agem sobre esse sistema, perceberemos,

pela Lei da Conservação da Energia Mecânica, que existem apenas as energias potencial (U) e

cinética (K) agindo sobre ele. A energia potencial da bolinha é máxima quando ela está na altura h

em relação à mesa, e a energia potencial cinética é máxima quando não existe mais energia

potencial atuando sobre a bolinha, ou seja, no plano da mesa. Dessa forma concluímos que uma

dessas energias aumenta exatamente na mesma quantidade que a outra diminui:

𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓+ 𝐾𝑓

mgh = 𝑚𝑣𝑓

2

2

Dessa maneira, vemos que quanto maior energia potencial adquirida no início, maior será a

velocidade final e, portanto, maior a energia cinética. Como a componente da velocidade na direção

x (𝑉𝑥) é constante, pois nesse plano o movimento é retilíneo uniforme, quanto mais alto estiver a

bolinha na plataforma, maior será a velocidade 𝑉𝑥 que ela terá ao sair dela, e se o alcance é:

𝑆𝑥 = 𝑉𝑥 t

Então, podemos concluir que maior será o alcance.

(b) Trace os gráficos do alcance (A) versus altura (h) na escala linear, segundo os resultados da

tabela 22. Você acha que este resultado depende da aceleração da gravidade? Ou seja, se

este experimento for realizado na lua, você obteria o mesmo resultado?

Fig. 4 – Gráfico do alcance experimental

Como vimos, a equação do alcance em relação ao tempo é:

𝑆𝑥 = 𝑉𝑥 t

O tempo de queda da bolinha é calculado através da componente y da velocidade (𝑉𝑦):

𝑉𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 + gt

𝑉𝑜𝑦 = 0

𝑉𝑦

𝑔= t

O alcance será:

𝑆𝑥 = 𝑉𝑥𝑉𝑦

𝑔

𝑉𝑦 = gt

Independente da aceleração da gravidade, o alcance será o mesmo, visto que o tempo é

constante. Isso pode ser explicado porque a velocidade é proporcional à aceleração da gravidade. A

explicação para esse fato é que: em um espaço onde a gravidade é menor ou maior g (Terra) = 9,78

m/s², a velocidade será diferente, mas o temo de queda é igual ao anterior.

(c) Sabendo que o momento de inércia de uma esfera maciça é dado por I = 2

5m𝑟2, onde m e r

são a massa e o raio da esfera, respectivamente. A energia cinética de rotação associada ao

seu movimento é dada por 1

2I𝜔2, onde w é a velocidade angular da esfera, deduza as

expressões do alcance teórico sem e com rotação (ASR e ACR). Aplique a lei da

conservação da energia mecânica e as equações horárias do movimento de um projétil num

plano para chegar às equações finais.

Partindo do fato que inicialmente a esfera estava em repouso a uma altura h em relação à

mesa (h=0), deduzimos fórmulas para o alcance teórico com e sem rotação.

(𝑐1) Alcance da esfera sem considerar a rotação

Pelo princípio da conservação da energia, temos que a energia mecânica se conserva, uma

vez que as forças dissipativas não serão consideradas nesse cálculo teórico. Dessa forma, a energia

mecânica inicial (𝐸𝑚𝑖 ) é igual e energia mecânica final (𝐸𝑚𝑓 ). Nesse contexto, inicialmente a esfera

tinha apenas energia potencial gravitacional (𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑕), que foi, posteriormente, transformada em

energia cinética de translação (𝐾 =1

2𝑚𝑣2).

𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓

𝑈𝑔 = 𝐸𝑐𝑡

𝑚𝑔𝑕 =1

2𝑚𝑣2

𝑔𝑕 =1

2𝑣2

2𝑔𝑕 = 𝑣2

Decompondo a velocidade em vetores

ortogonais 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 , temos:

𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 = 2𝑔𝑕 (I)

Considerando o movimento do corpo ao deixar a rampa, temos dois movimentos distintos.

Um movimento é retilíneo uniforme (direção x) e um movimento retilíneo uniformemente variado

(direção y), com uma velocidade inicial nula em y.

Movimento na direção y:

𝑣𝑦2 = 𝑣𝑜𝑦

2 + 2𝑔∆𝑦

𝑣𝑦2 = 2𝑔𝑕𝑜 (II)

𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑔𝑡

𝑣𝑦 = 𝑔𝑡

𝑡 =𝑣𝑦

𝑔 (III)

Na equação III, o t é o momento em que a esfera toca a mesa.

Movimento na direção x:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑥𝑡

𝑥 = 𝑣𝑥𝑡 (IV)

Uma vez que o t da equação (III) é o momento em que a esfera toca a mesa, quando

substituímos essa equação na equação (IV), teremos o alcance da esfera em função de 𝑣𝑦 , 𝑣𝑥 , 𝑔.

Substituindo (III) em (IV):

𝑥 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦

𝑔

𝑥 = 𝑣𝑥

𝑣𝑦

𝑔

Isolando 𝑣𝑥 na equação temos:

𝑣𝑥 = 𝑥𝑔

𝑣𝑦 (V)

Substituindo (V) em (I), vem:

𝑥2g2

vy2

+ 𝑣𝑦2 = 2𝑔𝑕

E substituímos (II) nessa última equação:

𝑥2g2

2𝑔𝑕𝑜+ 2𝑔𝑕𝑜 = 2𝑔𝑕

𝑥2

2𝑕𝑜+ 2𝑕𝑜 = 2𝑕

𝑥2 = 2𝑕𝑜 2𝑕 − 2𝑕𝑜

𝑥2 = 4𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜

𝐴𝑆𝑅 = ± 4𝑕0 𝑕 − 𝑕0

Nesse caso, não faz sentido o sinal negativo, portanto:

𝐴𝑆𝑅 = 2 𝑕0 𝑕 − 𝑕0

Sendo, portanto, x o alcance da esfera quando consideramos apenas a energia cinética de

translação.

(𝑐2) Alcance da esfera considerando a rotação dela:

Conforme mostra a figura:

Fig. 5 – Representação do movimento do projétil

Partindo do mesmo pressuposto de conservação de energia do tópico 𝑐1, faremos apenas a

adição de uma energia cinética de rotação da esfera. Vale salientar que os pontos considerados para

o cálculo da energia são: o ponto de partida da esfera (y=h) e o ponto onde a esfera deixa a rampa

(y=𝑕𝑜).

𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓

𝑈𝑔𝑖 = 𝑈𝑔𝑓 + 𝐾𝑡 + 𝐾𝑟

𝑚𝑔𝑕 = 𝑚𝑔𝑕𝑜 +1

2𝑚𝑣𝑥

2 +1

2𝐼𝜔2

Nesse ponto, fizemos duas considerações:

O momento de inércia (I) de uma esfera maciça é 2

5𝑚𝑟2;

𝐸𝑚𝑖 = 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔h

𝐸𝑚𝑓 = 𝑈𝑔 = 𝑚𝑔𝑕0 + 𝐾𝑟 + 𝐾𝑡

Considerando o rolamento sem deslizamento, temos 𝑣 = 𝜔𝑟 ou 𝜔 = 𝑣

𝑟.

Partindo das considerações feitas, temos:

𝑚𝑔𝑕 = 𝑚𝑔𝑕𝑜 + 1

2𝑚𝑣𝑥

2 +1

2.2

5𝑚𝑟2

𝑣2

𝑟2

𝑔𝑕 = 𝑔𝑕𝑜 +1

2𝑣𝑥

2 +1

5𝑣2

𝑔𝑕 = 𝑔𝑕𝑜

7

10𝑣𝑥

2

𝑣𝑥2 =

10

7𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜

𝑣𝑥 = 10

7𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜 (𝑉𝐼)

O alcance da esfera é dado por:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑥𝑡 (𝑥𝑜 = 0)

𝑥 = 𝑣𝑥𝑡 (𝑉𝐼𝐼)

O tempo de queda da esfera é dado por:

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜𝑦 𝑡 −1

2𝑔𝑡2

0 = 𝑕𝑜 −1

2𝑔𝑡2

𝑡 = 2𝑕𝑜

𝑔 (𝑉𝐼𝐼𝐼)

Substituindo a equação (VIII) na equação do alcance (VII), e depois substituindo a equação (VI)

nessa última, temos:

𝑥 = 𝑣𝑥 2𝑕𝑜

𝑔

𝑥 = 10

7𝑔 𝑕 − 𝑕𝑜

2𝑕𝑜

𝑔

𝑥 = 20

7𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜

𝑥 = 2 5

7𝑕𝑜 𝑕 − 𝑕𝑜

Onde x é o alcance da esfera quando consideramos o movimento de rotação desse corpo.

(d) Faça no mesmo plano de coordenadas xy os gráficos teóricos (com e sem energia de rotação) e

experimental da dependência do alcance da esfera com a altura que a esfera foi solta (tabela 22).

Compare as curvas obtidas. Qual o melhor modelo teórico (com ou sem rotação da esfera) explica

melhor os resultados experimentais?

Fig. 6 – Gráficos dos alcances experimentais e teóricos

A partir dos gráficos apresentados na figura, percebemos que quando consideramos a rotação do

corpo, os dados experimentais são mais satisfatórios do que quando a rotação não é levada em conta, uma

vez que descreve com uma precisão razoável o alcance da esfera.

No gráfico do alcance (com rotação), percebemos que, à medida que a altura aumenta, os dados

teóricos e experimentais tendem a se distanciar. A causa desse fato é o aumento da altura (h), que gera um

maior erro nos dados experimentais.

Conclusão

O experimento foi uma análise de assuntos importantes para os dias atuais, o qual conseguiu

incluir a física no mundo real. Aprendemos e conseguimos identificar conceitos fundamentais, tais como:

a energia cinética de rolamento e o manuseio de equações da cinemática e da dinâmica para o posterior

encontro de fórmulas de alcance que se baseassem apenas nas alturas.

Percebemos que a distância entre os alcances da esfera diminui à medida que aumentamos a altura

de onde ela foi solta. Esse fato deve-se à taxa de variação do alcance em função do aumento da altura. A

função que descreve o alcance da esfera é uma função de raiz quadrada 𝑥, e, portanto, sua derivada é do

tipo 1

2 𝑥.

Referências Bibliográficas

HALLIDAY; RESNICK. Fundamentos de Física. 8ª Ed. V1. LTC. 2008, RJ.