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Universidade Federal do ParáInstituo de Tecnologia Faculdade de Engenharia CivilPrograma de Educação Tutorial Engenharia Civil – PETCIVIL
Cálculo Zero
Trigonometria
Ministrantes: Dion Cunha 8° Semestre Eng Civil João Felipe 3° Semestre Eng Civil
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três),
gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo:
Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria
podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e
ângulos).
τριγωνομετρία
Aristarco de Samos (310-230 a.C.).
Foi o primeiro defensor da ideia de que a Terra gira em torno do Sol (Modelo Heliocêntrico).Sobre os tamanhos e as distâncias do entre o Sol e a Lua é a sua única obra conhecida.
Qual era o problema?
obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns, como a distância da Terra à Lua, o raio médio da terra, a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc
E hoje? Por que devo
estudar trigonometria?
Matemática Aplicada a Engenharia I e II
Física Aplicada a Engenharia I e II – Mecânica
Mecância dos Sólidos - Estática dos Corpos Rígidos
Mecânica dos Solos II – Critérios de Ruptura dos Solos / Mohr e Coulomb
Bora começar, bora?
DEFINIÇÃO DE ÂNGULO Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.
(gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.
GRADO
( º ): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau.
GRAU
A unidade RADIANOUma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser
unidade de medida sobre a mesma circunferência . Esse arco é chamado unitário.
Veja o exemplo:
Quantas vezes o arco unitário u “cabe” no arco AB?
Basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco
unitário.
RADIANO
( rad): Um radiano (1 rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da
circunferência que o contém.
Vejamos um exemplo para esclarecer as coisas:
Um arco AB de comprimento l está contido numa circunferência de raio r = 4
cm. Calcular a medida do arco AB em radianos, quando l for igual a : 8
cm, 14 cm e 21 cm.
Assim, decorre da definição, que a medida em radianos de uma arco AB
é dada por:
Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais.
Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com
que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluíndo
Trigonometria no Triângulo Retângulo
a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusado triângulo.
senÔ = o/asenÊ = e/a
Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a
Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e
Observe: sen Ê = cos Ô, sem Ô = cos Ê e tg Ê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90°
Ê e Ô são ângulos completares
Obs: Será usada na demonstração do seno da soma de dois arcos
Círculo, Ciclo , Circunferência Trigonométrica
Definições
Reduções
O teorema de Pitágoras
• “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”.
Demonstração
• A área do trapézio com bases a, b e altura a+b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma dos áreas dos três triângulos retângulos.
James Abram Garfield , 1881
cos(a - b)
cos(a - b)=cosa.cosb + sena.senb
cos(a + b)
Arcos Complementares
sen(a + b) e sen(a – b)
Fórmulas do arco duplo
Fórmulas do arco metade
Transformação em produto
Funções Trigonométricas Inversas
BibliografiaMatemática 2° Grau Volume Único – Manoel Jairo Bezerra. Ed. Scipione
Meu Professor de Matemática e outras histórias – Elon Lages Lima. SBM
Estática – Mecânica para Engenharia 10ª Ed. R.C. HIBBELER. Ed. Pearson Prentice Hall
Um Curso de Cálculo volume I. Hamilton Luiz Guidorizzi. LTC
http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Trigonometrica.htm
http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Trigonometrica.htm