universidade federal do abc curso de pós-graduação...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e
Matemática
Dissertação de Mestrado
Debora da Silva Souza
A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o
conhecimento pedagógico dos números racionais.
Santo André 2015
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3
Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e
Matemática
Dissertação de Mestrado
Debora da Silva Souza
A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o
conhecimento pedagógico dos números racionais.
Trabalho apresentado como requisito para
obtenção do título de Mestre em Ensino, História e Filosofia das Ciências e
Matemática , sob orientação do Professor Doutor Francisco José Brabo Bezerra.
Santo André
2015
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Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as observações levantadas pela banca no dia da
defesa, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.
Santo André, ____de _______________ de 20___.
Assinatura do autor: _____________________________________
Assinatura do orientador: _________________________________
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Debora da Silva Souza
A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento
pedagógico dos números racionais.
Essa dissertação foi julgada e aprovada para a
obtenção do grau de Mestre em Educação no
curso de Pós-graduação em Ensino História e
Filosofia das Ciências e Matemática da
Universidade Federal do ABC.
Santo André – SP, 20 de junho de 2015
__________________________
Profa. Dra. Márcia Helena Alvim
Coordenadora do Curso
BANCA EXAMINADORA
________________________________________________
Prof. Dr. Francisco José Brabo Bezerra – Orientador UFABC
________________________________________
Prof.ª. Dra. Sandra Maria Pinto Magina – UESC-BA
_____________________________________
Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro –UFABC
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Agradecimentos
Quero aqui expressar minha gratidão a todos os que, de alguma forma, me
auxiliaram na realização deste trabalho.
À Deus, por seu imenso amor e misericórdia para me guiar nos momentos
difíceis, me dar forças para superar as dificuldades, mostrar os caminho nas
horas incertas e me suprir em todas as minhas necessidades.
À minha mãe, por estar ao meu lado desde as minhas lembranças mais antigas
sempre esteve presente lado a lado para segurar minha mão, me levantar e
estimular a seguir em frente. Obrigada por esse amor incondicional e pela vida
mãe.
Ao meu pai Geraldo e minha madrasta Suzana por todo auxilio, carinho que
demonstraram por mim durante todos esses dois anos e todos os outros de
minha vida e, principalmente, por orientar meus passos acadêmicos e me
incentivar a nunca desistir.
Ao João Pietro, meu maior amor, meu melhor amigo, por cada momento de
acalanto e calmaria para o coração.
Aos meus irmãos Danilo, David, Nathan e Daniel por cumprirem esse papel tão
importante na minha vida e estarem da maneira deles sempre ao meu lado seja
para me enviar um arquivo com urgência ou reclamar por ter que me ajudar,
porém nunca deixar de fazê-lo.
Agradeço de forma especial a Felipe Tadeu, pela parceria, pela paciência, pela
força, pelo amor e por toda ajuda que me deu durante toda a realização desta
pesquisa. Eu não teria conseguido nada disso sem o seu apoio.
À Luiza Bede, a irmã que a vida me deu, a amiga que me acompanhou de
perto discutindo as angústias da adolescência, as dúvidas da faculdade e os
devaneios da pós graduação, sem você também sou pá furada.
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Aos meus tios Telma Zeigler e Wilson Rocha, por todos os bons momentos que
sempre me proporcionam durante esses dois anos de luta e estudo, pelo amor,
pela amizade e por construir esse sentimento tal forte que temos como família.
Ao meu orientador professor Francisco, pela confiança depositada, pelo
respeito às minhas opiniões e pela liberdade que me deu para elaborar essa
pesquisa.
Ao Professor Alessandro por toda contribuição não só para o meu trabalho mas
também para a minha formação pessoal e à professora Sandra por todo
carinho e dedicação que teve durante a minha banca de qualificação e também
a de defesa.
Agradeço aos amigos e parceiros do OBEDUC por toda a contribuição para
esta pesquisa, a companhia nos congressos, toda a paciência, as risadas e
tanto o meu amadurecimento profissional, quanto o amadurecimento deste
estudo.
Aos amigos que de perto ou de longe sempre estiveram presentes para me
ajudar nos momentos em que precisava descontrair e “recarregar” as energias
para continuar.
Dedico este trabalho ao meu pai Mauro, um homem que foi peça essencial
para a formação do meu caráter e principalmente da força que tenho hoje.
Obrigada.
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Resumo
A pesquisa intitulada “A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais” investigou como se apresenta o conhecimento pedagógico dos números racionais com professores de matemática durante a sua prática em parceria com o projeto do Observatório da Educação da UFABC, e está baseada na prática construída a partir da noção de conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) de Shulman (1987) ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008) no que chamam de MKT. A pesquisa estruturou-se nas seguintes questões: Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula em um conhecimento a se ensinar? Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma particularidade para seu ensino? Existe alguma dificuldade clássica dos alunos? O professor consegue reconhecer tais dificuldades? Como formadores de professores de Matemática nosso interesse foi investigar aspectos relacionados ao conhecimento matemático para o ensino dos professores da Educação Básica e em particular do conteúdo dos números racionais. Para coleta e levantamento dos dados, observamos o momento de preparo das aulas de professores da rede pública de ensino, o momento em que analisa os erros dos alunos quando resolvem questões envolvendo os números racionais e também o momento em que ele analisa as questões que seu colega de área utiliza quando ensina este conteúdo. De posse desses dados, pretendíamos encontrar estratégias que propiciassem reunir o conteúdo da disciplina com o conhecimento pedagógico do conteúdo da mesma na formação do professor de matemática. Todo nosso percurso será construído dentro de uma abordagem qualitativa de pesquisa. Os dados coletados foram analisados a partir da tabela de subdomínios do conhecimento que combinam conhecimento do conteúdo com conhecimento pedagógico para o ensino elaborada por Ball, Thames e Phelps (2008). Chegamos a conclusão que este conhecimento matemático para o ensino se apresenta e se aperfeiçoa durante a prática do professor.
Palavras-chave: formação de professores, números racionais, PCK, MKT.
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Abstract
The research titled "The education of teachers of mathematics: a study of the pedagogical knowledge of rational numbers" investigated as shown pedagogical knowledge of rational numbers with mathematics teachers during their practice in partnership with the Centre's project of UFABC Education and it is based on practical built on the notion of pedagogical content knowledge (PCK) of Shulman (1987) expanded by Ball, Thames and Phelps (2008) in what they call MKT. The research was structured on the following issues: How this teacher transforms the knowledge acquired in the classroom in a knowledge to teach? This such knowledge in this case of rational numbers, has some particularity to his teaching? Is there any classic difficulty of the students? The teacher can recognize these difficulties? As Mathematics teacher trainers Our interest was to investigate aspects related to mathematical knowledge for teaching of Basic Education teachers and in particular the content of rational numbers. To collect and assemble the data, we found the time to prepare school teachers of public schools, the moment in which he analyzes the mistakes of students when solving issues involving rational numbers and also the time when he looks at the issues that your Area colleague uses when teaching this content. With this data, we wanted to find strategies that could provide the discipline of gathering content with pedagogical content knowledge of it in the training of mathematics teachers. All our path will be built within a qualitative research. The collected data were analyzed from the subdomains table of knowledge that combines content knowledge with pedagogical knowledge for teaching developed by Ball, Thames and Phelps (2008). We came to the conclusion that this mathematical knowledge for teaching is presented and perfected during practice teacher.
Keywords: teacher training, rational numbers, PCK, MKT.
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SUMÁRIO Página
1 INTRODUÇÃO 17
1.1 Ponto de partida: a minha história de vida 17
1.2 A problemática e os objetivos deste estudo 20
1.3 Dos estudos a questão de pesquisa 25
1.4 Organização da dissertação – sobre os capítulos 29
2 APORTE TEÓRICO 30
2.1 Conhecimento Matemático para o Ensino 30
2.2 Números racionais 40
2.3 Revisão de literatura 44
3 METODOLOGIA 57
3.1 Os protagonistas desta pesquisa 61
3.2 A coleta dos dados da pesquisa 65
3.3 Instrumentos e procedimentos de coleta de dados 70
3.3.1 Procedimento 1 – Instrumento: Questionário 70
3.3.2 Procedimento 2 – Instrumento: Análise de alguns erros decorrentes do ensino de números racionais
71
3.3.3 Instrumento 3 – Instrumento: Discussão das questões elaboradas
81
4 ANÁLISE DOS DADOS 84
4.1 Questões x Subconstrutos 85
4.1.1 Subconstruto quociente 85
4.1.2 Subconstruto operador 86
4.1.3 Subcontruto medida 86
4.1.4 Subconstruto razão 87
4.2 Análise dos erros decorrentes do ensino dos números
racionais
88
4.3 Análise do momento em que o professor cria suas questões,
resolve as questões do colega e as questões propostas pelo
grupo de pesquisa.
109
4.3.1 Professor A 109
4.3.2 Professor B 115
4.3.3 Professor C 124
11
CONSIDERAÇÕES FINAIS 133
BIBLIOGRAFIA 138
ANEXOS 141
12
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - resumo da coleta de dados
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Questão da prova Brasil - Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil
2011 (pág, 140).
Figura 2 – Percentuais de resposta - Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil
2011 (pág, 140).
Figura 3 – Questão da Prova Brasil e percentual de resposta - Fonte: Matriz de
Referência Prova Brasil 2011 (pág. 142).
Figura 4 – Questão da prova Brasil percentual de resposta - Fonte: Matriz de
Referência Prova Brasil 2011 (pág., 145).
Figura 5 – Fonte: Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e
metodológicos, 2009 (pág., 62)
Figura 6 – Fonte: Ball, Thames e Phelps (2008, p.403) – tradução Thais.
Figura 7 – Recorte do quadro original feito pela pesquisadora
Figura 8 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 9 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 10 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 11 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 12 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
13
Figura 13 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 14 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 15 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 16 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 17 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 18 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 19 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 20 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 21 – Erros decorrentes do ensino de números racionais – Fonte:
Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional,
currículo das escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
Figura 22 – Resposta do professor A para a questão 1 dos erros decorrentes do
ensino de números racionais.
Figura 23 – Resposta do professor A para a questão 2 dos erros decorrentes do
ensino de números racionais.
Figura 24 – Resposta do professor A para a questão 3 dos erros decorrentes do
ensino de números racionais.
Figura 25 – Resposta do professor A para a questão 4 dos erros decorrentes do
14
ensino de números racionais.
Figura 26 – Resposta do professor A para a questão 7 dos erros decorrentes do
ensino de números racionais.
Figura 27 – Resposta do professor A para a questão 10 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 28 – Resposta do professor A para a questão 11 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 29 – Resposta do professor A para a questão 12 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 30 –Resposta do professor B para a questão 1 dos erros decorrentes do
ensino de números racionais.
Figura 31 – Resposta do professor B para a questão 2 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 32 – Resposta do professor B para a questão 3 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 33 – Resposta do professor B para a questão 4 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 34 – Resposta do professor B para a questão 5 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 35 – Resposta do professor B para a questão 6 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 36 – Resposta do professor B para a questão 7 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 37 – Resposta do professor B para a questão 8 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 38 – Resposta do professor B para a questão 9 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 39 – Resposta do professor C para a questão 2 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 40 – Resposta do professor C para a questão 3 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 41 – Resposta do professor C para a questão 4 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 42 – Resposta do professor C para a questão 5 dos erros decorrentes
15
do ensino de números racionais.
Figura 43 – Resposta do professor C para a questão 7 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 44 – Resposta do professor C para a questão 8 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 45 – Resposta do professor C para a questão 9 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 46 – Resposta do professor C para a questão 10 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 47 – Resposta do professor C para a questão 11 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 48 – Resposta do professor C para a questão 12 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 49 – Resposta do professor C para a questão 13 dos erros decorrentes
do ensino de números racionais.
Figura 50 – Questões elaboradas pelo professor A
Figura 51 – Questões elaboradas pelo professor A
Figura 52 – Questões elaboradas pelo professor A
Figura 53 – Questões elaboradas pelo professor A
Figura 54 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 55 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 56 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 57 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 58 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 59 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 60 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 61 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 62 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 63 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 64 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 65 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 66 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 67 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 68 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
16
Figura 69 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 70 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 72 – Questões elaboradas pelo professor C
Figura 73 – Questões elaboradas pelo professor B
Figura 74 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 75 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
Figura 76 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
17
1 INTRODUÇÃO
1.1 Ponto de partida: Da minha história de vida à constituição de um projeto de
pesquisa
A trilha por mim seguida durante a vida escolar e universitária sempre
teve uma afinidade maior pela matemática. Durante os anos, como aluna da
Educação Básica, tive a matemática como matéria preferida. Porém, não era
algo que me encantava. Eu apenas gostava de fazer os exercícios, entender
como cada um deles se “comportava” e qual era a forma certa que cada um
deles tinha para serem resolvidos.
Quando escolhi fazer matemática, a motivação foi voltada para a área de
ensino, pois a vontade de ser professora sempre esteve presente em minha
vida. A escolha da disciplina veio pelo convívio com professores. Percebia na
disciplina que, embora eu gostasse, teria de estudar muito e percebi que a
estudaria por muito tempo (talvez até a aposentadoria). Porém, ao “adentrar”
no mundo universitário, eu, como a maioria dos meus colegas, percebemos a
peculiaridade escondida nesta disciplina em seu universo particular, como as
estruturas numéricas e a forma como elas se comportavam. Ou seja,
descobrimos que a matemática não é apenas contas e cálculos que podemos
fazer em qualquer calculadora. E isto me deixou muito animada.
Durante a graduação, participei de projetos como o Programa
Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC), em 2010, que me
colocaram mais próximo da realidade do professor da educação básica e
observei a trajetória da saída da universidade em direção à sala de aula.
Quando apresentávamos os projetos desenvolvidos na universidade para os
professores da educação básica e sua turma, era algo encantador. Porém, não
havia continuidade, não conseguíamos dar cursos de formação, por conta das
limitações do grupo e até mesmo do desinteresse de alguns. Encontrávamos
muitas dificuldades para conseguir conciliar o sucesso que o projeto estava
fazendo com a aula do professor.
Depois de alguns anos, já formada, foi a minha vez de ir para sala de
aula e percebi, que como pesquisadora, em cada classe observada, o
18
professor titular tem muito a nos ensinar, tem muito conhecimento e habilidades
que são particulares e inerentes a cada um.
Observei que somente a licenciatura não daria conta de tantas angústias
e desejos pela educação. Dando sequência aos estudos, fui buscar o mestrado
em Educação Matemática, em que fosse possível conhecer e estudar a prática
do professor em sala de aula. A princípio pensava em continuar o estudo
iniciado no PIBIC, cuja metodologia era criar e elaborar materiais e formas para
tornar as aulas mais atrativas. Porém, ao me deparar com o referencial sobre
Pedagogical Content Knowledge¹ (Conhecimento Pedagógico do Conteúdo ou
PCK como traremos ao decorrer de nosso texto), percebi a riqueza que a área
de ensino e formação de professores possui. Fiorentini e Lorenzato (2009)
definem o educador matemático da seguinte maneira:
O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover
1 uma educação pela matemática. Ou seja, o educador
matemático, na relação entre educação e matemática, tende a colocar a matemática a serviço da educação, priorizando, portanto, esta última, mas sem estabelecer uma dicotomia entre elas. (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 4.)
Desse modo, ficou claro que a licenciatura e o bacharelado eram muito
importantes e essenciais para a minha formação como professora. Porém,
agora, como educadora matemática que pretendo ser, isto é muito além de um
conteúdo ou um referencial teórico.
Após muitas leituras e informações sobre os cursos em Educação
Matemática e sua receptividade em São Paulo, participei de alguns encontros
na Universidade Federal do ABC (UFABC) e decidi escrever um projeto que
1 "Essa ideia será tratada mais adiante no capítulo do aporte teórico porém, na visão de Shulman,
conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) é uma forma de conhecimento prático que é usado por
professores para orientar suas ações em sala de aula altamente contextualizadas Esta forma de
conhecimento prático implica, entre outras coisas: ( a) conhecimento de como estruturar e representar
conteúdo acadêmico para o ensino direto aos alunos; ( b) conhecimento das concepções comuns ,
equívocos e dificuldades que os alunos enfrentam quando aprender determinado conteúdo , e ( c) o
conhecimento das estratégias de ensino específicas que podem ser usados para atender às necessidades de
aprendizagem dos alunos em circunstâncias específicas da sala de aula. Na vista de Shulman,
conhecimento pedagógico do conteúdo baseia-se outras formas de conhecimento profissional, e é,
portanto, um mesmo o elemento primordial - constitutiva crítico e talvez na base do ensino de
conhecimento ( Rowan et al. , 2001. p . 2 ) ."
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viesse a suprir os meus conhecimentos sobre este tema, porém, nesse
primeiro momento, não fui aprovada, pois formulei um projeto muito abrangente
e não teria tempo hábil para executá-lo. Após a reprovação, me matriculei
como aluna especial em uma disciplina de projetos, na qual foi essencial para o
aperfeiçoamento do projeto, principalmente, no que tange ao tempo disponível,
dois anos, compatível com a pesquisa proposta. Consegui! Fui aprovada e,
poucos dias depois, convidada para participar do projeto Observatório da
Educação² (OBEDUC) da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Ensino Superior (CAPES) dentro da própria UFABC.
Esse grupo me ajudou muito. Tanto para a elaboração da dissertação,
quanto para elaboração de instrumentos de coleta de dados, bem como na
própria coleta e ampliação do referencial teórico por mim escolhido. Após
inúmeros estudos, principalmente, depois da disciplina de Pesquisa em
Educação Matemática, decidimos fazer uma pesquisa de cunho qualitativo.
Decidimos que na nossa pesquisa seria importante adotarmos os estudos de
Bodgan e Biklen (1982), já que eles envolvem a obtenção de dados descritivos,
adquiridos do contato direto do pesquisador com a situação estudada, além de
enfatizar mais o processo do que o produto e se preocupam em retratar a
perspectiva dos participantes.
Por meio das leituras e discussões dentro do grupo do Observatório,
podemos destacar o interesse a investigar os aspectos relacionados ao
Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), teoria amplamente discutida
por Debora Ball e colaboradores. Além disso, o Conhecimento Pedagógico do
Conteúdo (PCK), teoria desenvolvida por Shulman (1986, 1987) mostrou-se
essencial para o desenvolvimento da pesquisa, já que o foco da pesquisa foi o
olhar dos professores da Educação Básica quando ensinam os números
racionais, desse modo, a pesquisa foi ampliada para o Conhecimento
Matemático dos professores investigados sobre o conjunto dos números
racionais.
Ambos os conhecimentos são assuntos extremamente amplos, o
conhecimento pedagógico do conteúdo, que é um conhecimento especial que
os professores possuem, assim como o conhecimento matemático para o
ensino que, de modo particular, aborda o conhecimento do ensino de
matemática e, por isso, decidimos particularizar o caso dos números racionais.
20
1.2 A problemática e os objetivos deste estudo
A pesquisa intitulada como “A Formação do Professor de Matemática:
um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais” teve
como objetivo investigar o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números
racionais com professores de matemática durante a sua prática. A pesquisa
está inserida no âmbito de um projeto maior intitulado “Conhecimento
matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em perfis
conceituais”, do qual o orientador desta dissertação atua como pesquisador e
tem como objetivo investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por
professores ao ensinar Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma
abordagem de ensino baseada em perfis conceituais.
Esse projeto está dividido em três subgrupos em que serão tratados três
viéses relacionados com a álgebra: a álgebra vista por ela mesma, a álgebra
vista pela geometria e a álgebra vista pela aritmética, ou seja, os números, e e
neste último é que nos foi dada a possibilidade do estudo aprofundado dos
números racionais.
Buscando alinhar as ideias do projeto OBEDUC, com o estudo dos
números racionais, no qual compreende uma das divisões do objeto deste
estudo, procuramos nos resultados das macro avaliações como a Prova
Brasil/SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica) de 2011, elementos
que pudessem caracterizar um estudo dessa natureza. Além disso,
observamos que os índices apontam para um crescimento pífio no
desempenho dos estudantes, os quais obtiveram notas de 250,6 e de 273,6 –
numa escala que vai até 400 – ao final dos Ensinos Fundamental e Médio,
respectivamente, identificando-se uma grande lacuna na formação desses
alunos em Matemática (indicam certo nível de dificuldade na construção ou
aplicação de conceitos dos números racionais dos alunos do Ensino
Fundamental II). Os resultados mostram que os alunos tendem a algumas
respostas quando são submetidos a essas avaliações e identificam diferentes
representações de um mesmo número racional. Apresentamos alguns
exemplos que corroboram a nossa discussão sobre esse conjunto numérico.
Figura 1 – Questão da prova Brasil
21
Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (pág, 140).
Em que,
Figura 2 – Percentuais de resposta
Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (pág, 140).
Segundo a matriz de referência da Prova Brasil, verifica-se que 64% dos
alunos responderam corretamente, ou seja, reconhecem que o decimal 0,8 é
equivalente a 8/10, identificando escritas diferentes, mas que expressam a
mesma quantidade numérica.
As alternativas A e B apresentaram percentuais próximos nos quais
correspondem ao total de 27%. Conjecturamos que os alunos assinalaram
essas alternativas por não dominarem a conversão da escrita numérica de
decimal para fracionário. Desse modo, pudemos observar também que os
estudantes ao assinalaram a letra “D”, apesar de não apresentarem
percentuais próximos às respostas anteriores, também não demonstraram
domínio da habilidade e devem ter assinalado a resposta ao acaso ou não
dominam a conversão e ainda pode ter ocorrido uma simplificação incorreta da
fração.
Para identificar a localização de números racionais representados na
forma decimal na reta numérica, encontramos o seguinte exemplo seguido de
22
seu resultado:
Figura 3 – Questão da Prova Brasil e percentual de resposta
Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (p. 142).
Segundo a matriz de referência da Prova Brasil, 40% dos alunos
apresentaram habilidade de identificar a localização de números racionais
representados na forma decimal na reta numérica. Porém, temos um
percentual de 34% que assinalou “D”, o que sugere que esses alunos
percebem que o número 2,7 está localizado à direita do número 2, mas não
souberam diferenciar as posições de 2,7 e 2,4. Os 24% que optaram por “A” ou
“C” identificam incorretamente que os números 1,5 e 1,9 estão à direita do 2,
quando o correto seria observá-los à esquerda do 2. A percepção da grandeza
dos números 2,4 e 2,7 parece-nos que também não é identificada pelos
estudantes na reta apresentada.
Quando foi solicitado aos alunos que identificassem fração como
representação, que pode estar associada a diferentes significados,
23
encontramos na matriz de referência:
Figura 4 – Questão da prova Brasil percentual de resposta
Fonte: Matriz de Referência Prova Brasil 2011 (p., 145).
Para os descritores da Prova Brasil, pouco mais da metade dos alunos
mostraram dominar a habilidade requerida. Observa-se que um percentual
significativo (18%) dos alunos assinalou a alternativa “D”, invertendo o
numerador com o numerador. O mesmo índice foi o dos que assinalaram o item
“A”, provavelmente, devido a maior familiaridade com a fração um meio.
Apontamos, também, os resultados da análise pedagógica do Sistema
de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp, 1998), que indicam
resultados igualmente preocupantes.
Se por um lado, os estudantes não atingem um alto nível de
conhecimentos de um dado conjunto numérico, por outro lado, é igualmente
24
importante olharmos para as diversas e abrangentes áreas que compõe o
conhecimento profissional docente, pois, segundo Shulman (1986),
encontramos inúmeras dificuldades na prática pedagógica, sendo que uma
delas é o conhecimento necessário e particular para o ensino. Desse modo,
nossa preocupação neste estudo é, também, observar a formação e a
construção do conhecimento do profissional docente ao trabalhar com os
números racionais.
Pensando nessas dificuldades observadas nas macro-avaliações, uma
das facetas deste trabalho foi o de discutir como a fração vem sendo
concebida, aprendida e ensinada nos anos finais do Ensino Fundamental, sob
a ótica dos professores de matemática que atuam especificamente nesta etapa
do ensino (ciclo II). Tal faceta complementa, ao nosso ver, o objetivo principal
desta pesquisa.
Nossa pesquisa foi realizada em três escolas públicas diferentes. Duas
delas estão situadas no município de Santo André, SP, sendo uma na zona
central e a outra na zona periférica. Já a terceira escola está situada no
município de São Bernardo do Campo, SP, cuja receptividade foi, no nosso
entender, ampla, possibilitando uma conversa mais próxima, pois percebemos
que todos, da gestão escolar ao corpo docente, estavam propícios às
mudanças e abertos a receber opiniões. Essa terceira escola nos surpreendeu,
porém isso será apresentado com mais profundamente adiante.
Como aporte teórico do conhecimento para o ensino, usaremos os
princípios de Shulman (1986 ,1987), e Ball, Thames e Phelps (2008) que, em
nossa opinião, ampliaram as discussões sobre esse tema, esclarecendo que o
conhecimento matemático para o ensino emerge da prática. Em relação aos
números racionais, Kieren (1988, 1993) foi o primeiro a introduzir a ideia de que
os números racionais constituem-se de vários construtos. A princípio, esse
autor identificou sete interpretações para os números racionais (KIEREN, 1993,
p.7):
1) Os números racionais são frações que podem se comparadas,
somadas, subtraídas etc.;
2) Os números racionais são frações decimais que formam uma extensão
natural dos números naturais;
25
3) Os números racionais são classes de equivalência de frações;
4) Os números racionais são números da forma p/q, em que p e q são
inteiros, com q ≠ 0;
5) Os números racionais são operadores multiplicativos;
6) Os números racionais são elementos de um corpo quociente ordenado e
infinito;
7) Os números racionais são medidas ou pontos sob a reta numerada.
Revisitando esses princípios, Kieren (1993) simplifica os números
racionais por meio de quatro pontos considerados básicos e essenciais:
quociente; medida; razão e operador.
Para a análise dos dados coletados usaremos o quadro apresentado e
formalizado por Ball, Thames e Phelps (2008) que apresentaremos
detalhadamente em nosso capítulo de aporte teórico.
1.3 Dos estudos à questão de pesquisa
A revisão de literatura que efetuamos sobre o tema nos mostrou a
existência de um alto número de pesquisas voltadas aos problemas de
aprendizagem das frações. O foco dessas investigações está dividido entre
diversos assuntos que comentaremos a seguir.
Buscamos o que tem sido apresentado em trabalhos recentes sobre dois
temas que permeiam a pesquisa em questão: o ensino de números racionais e
o conhecimento pedagógico do professor.
Quando se fala de números racionais, encontra-se duas representações,
a fracionária e a decimal. Muito se tem pesquisado em relação ao ensino de
frações como em trabalhos de Magina e Campos (2008) e também sobre os
números decimais Merlini (2005). Porém, poucas são as pesquisas que tratam
do conjunto como um todo, ou seja, envolvendo as suas duas representações
simultaneamente.
Alecio Damico (2007), em sua tese de doutorado, faz uma “investigação
sobre a formação inicial de professores de matemática para o ensino de
números racionais no ensino fundamental”. O autor utiliza muitos dos mesmos
referenciais aqui apresentados. Sua questão de pesquisa se encaminha para
26
outro viés do conhecimento, em que procura a resposta para a seguinte
questão: Os alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática estão saindo
das universidades pesquisadas com uma formação que os capacite para o
ensino dos números racionais no Ensino Fundamental? Enquanto que iremos
investigar a relação entre o PCK e os números racionais. No entanto, nossa
investigação será voltada para a formação continuada, ou seja, observaremos
o professor em sua prática pedagógica.
Magina e Campos (2008) em seu artigo discutiram “a fração na
perspectiva do professor e do aluno das séries iniciais da escolarização
brasileira”. O estudo discute o ensino e a aprendizagem de fração no Ensino
Fundamental a partir de uma pesquisa diagnóstica, aplicada paralelamente em
70 professores polivalentes (não especialistas em Matemática) e em 131
alunos que cursavam as 3ª e 4ª séries (hoje 4º. e 5º. ano). Esse artigo trouxe
grandes contribuições no que diz respeito ao ensino de números racionais,
suas dificuldades e dados das macro avaliações, que aprofundaremos na
revisão de literatura. Entretanto, nesse artigo, o foco foi a fração num ponto de
vista da teoria dos Campos Conceituais, assunto que aborda a fração e seu
ensino num ponto de vista diferente do presente estudo, que contempla as
divisões do conhecimento de Ball, Thames e Phelps (2008).
Celina Tavares (2012) investigou “o conhecimento dos futuros
professores do 1º ciclo do ensino básico sobre números racionais”. A
pesquisadora voltou seu olhar ao 1º ciclo do ensino fundamental, porém, com
a formação desses professores do 1º ciclo, enquanto que o objeto desse
estudo é o olhar para os professores do ciclo II. Tavares (2012) usa como
referencial teórico o artigo de Hill & Ball (2009) e traz o modelo do
conhecimento matemático presente neste artigo (que a propósito é o mesmo
modelo que utilizaremos do artigo de 2008 de Ball, Thames e Phelps). O foco
dessa dissertação está na prática da docente como formadora de professores
que ensinam números racionais, enquanto que iremos observar esse
conhecimento durante a prática do professor.
Magina, Bezerra e Spinillo (2009) traz um estudo sobre “como
desenvolver compreensão da criança sobre fração? Uma experiência de
ensino”. Em resumo, esse estudo trata de uma intervenção no ensino, com
vistas ao desenvolvimento do conceito de frações em crianças de oito a dez
27
anos. Os autores apresentam uma visão e o entendimento dos alunos sobre
frações. Já, a presente dissertação não tem o objetivo de realizar uma
intervenção, o que a diferencia desse, todavia observaremos as diferentes
concepções de frações apresentadas pelos professores que atuam na
Educação Básica, no ciclo II do ensino fundamental.
Ao estudar o conhecimento do professor, encontramos alguns trabalhos
muito interessantes como Tavares (2012) e Damico (2007), mas que apesar de
abordar esse conhecimento ao ensinar os números racionais, voltam o olhar
para um foco diferente do objeto de estudo dessa dissertação, que é o
professor em sua prática.
Damico (2007) e Tavares (2012) foram duas pesquisas imprescindíveis,
pois relacionam tanto o estudo sobre o conhecimento do professor quanto do
ensino dos números racionais. Damico (2007) aborda esse conhecimento, mas
volta seu olhar para alunos da licenciatura, enquanto que a presente
dissertação trata do conhecimento na prática do professor. Por outro lado,
Tavares (2012) discute o conhecimento do professor do ciclo I, e essa
pesquisa, o conhecimento do professor do ciclo II.
Após estudos, e em contato com diferentes rodas de discussão e
debates, tanto sobre educação como formação de professores e até mesmo o
conhecimento matemático para o ensino, algumas questões foram levantadas:
Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula
enquanto aluno em um conhecimento a se ensinar, desta vez aos seus alunos?
Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma
particularidade para seu ensino? Alguma dificuldade clássica dos alunos? O
professor consegue reconhecer tais dificuldades?
Por meio desses pontos apresentados, surgiu a seguinte questão de
pesquisa: Como se dá ou se apresenta o conhecimento pedagógico do
conteúdo dos números racionais com professores de matemática durante a sua
prática?
Thompson (1997) teve como resultado de sua pesquisa que o
conhecimento e as crenças dos professores se transformam continuamente,
afetando de modo significativo a forma como os professores organizam e
ministram suas aulas.
Sendo assim, procuramos encontrar respostas para as nossas
28
perguntas tendo como apoio teórico os estudos teóricos relacionados a esse
tema. Reconhecendo que um bom conhecimento sobre os estudos já
elaborados sobre tal tema é necessário para o ensino e/ou a sua
transformação. Muitas respostas não surgem exatamente da maneira como se
espera; ainda que a pesquisa não possa decidir algo sobre os pontos
levantados, acreditamos que ela poderá aprofundar a compreensão sobre
como os professores mobilizam e utilizam os conhecimentos quando ensinam
matemática em sala de aula.
Nesta revisão foi possível notar que o estudo de problemas relacionados
à formação continuada de professores no ensino de números racionais vem
sendo pouco explorado, o que justifica a escolha por esse tema.
A investigação pretende percorrer uma estrutura similar à que foi
apresentada por Fiorentini e Lorenzato (2009), pois essa estrutura possibilita
traçar um caminho de investigação que contemple a pesquisa em questão.
Figura 5 – Fonte: Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos,
2009 (p., 62)
Para finalizar, usaremos uma síntese feita por Fiorentini e Lorenzato:
Um estudo do professor pode ser considerado pesquisa quando este for um trabalho intencional, planejado e constituído em torno de um foco ou questão de seu trabalho escolar, for metódico (passe por
29
algum processo de produção/organização e análise escrita de informações) e apresente um relatório final do estudo desenvolvido.
(FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 15).
Sendo assim, a estrutura dessa pesquisa buscou trazer
metodologicamente um padrão compreensível e ordenado de fatos e escrita.
1.4 Organização da dissertação – sobre os capítulos
A pesquisa está dividida em cinco capítulos. No primeiro, a introdução do
trabalho, apresentando a história de vida da pesquisadora bem como sua
problemática de pesquisa, questões que motivaram a pesquisa, objetivos e
estudos realizados para as escolhas.
No segundo capítulo, é apresentado o aporte teórico dividido em três
partes: na primeira parte, os estudos realizados sobre as últimas pesquisas em
relação ao PCK bem como seus aprofundamentos MKT; na segunda parte, os
estudos também sobre os referenciais, porém, esses tratam dos números
racionais. Já na terceira e última parte, é apresentada uma breve revisão
teórica sobre o que tem sido pesquisado acerca dos números racionais e o
conhecimento matemático para o ensino.
No terceiro capítulo é feita uma apresentação dos processos
metodológicos adotados nesta pesquisa. Nele são elencados os sujeitos e os
instrumentos utilizados na coleta de dados.
O quarto capítulo foi dedicado à análise dos dados coletados cujo
objetivo foi identificar e categorizar a atual situação dos professores de
matemática que estão envolvidos nessa pesquisa e sua atuação na Educação
Básica. Nesse momento, é discutido como esses professores pensam e
elaboram atividades para ensinar os números racionais e quais conhecimentos
são mobilizados durante o momento de preparo que antecede sua aula
propriamente dita.
O quinto e último capitulo é dedicado às conclusões, reflexões e
apontamentos para estudos futuros.
Por fim, são apresentadas as Referências Bibliográficas que foram
utilizadas na elaboração e desenvolvimento da pesquisa. Também é
apresentado um anexo contendo o instrumento de coleta de dados.
30
2 APORTE TEÓRICO
Neste capítulo, apresentamos discussões e estudos sobre as teorias que
trouxeram fundamentação a esta pesquisa, bem como a revisão de literatura
que trouxe diversas contribuições para este trabalho.
O foco dessa pesquisa é o ensino e aprendizagem da matemática e, em
particular, os números racionais, sendo assim, como aporte teórico do
conhecimento para o ensino foram usadas as ideias de Shulman (1986 e
1987), bem como as de Ball, Thames e Phelps (2008) que, com seu grupo de
estudos, desenvolveu teorias acerca do Conhecimento Matemático para o
Ensino (Mathematical Knowledge Teaching - MKT) que, em nossa perspectiva,
ampliou as discussões sobre a concepção de Shulman (1987) acerca do PCK
(Pedagical Content Knowledge) trazendo a ideia de que o conhecimento
matemático para o ensino emerge da prática.
Os referenciais teóricos referentes aos números racionais de Kieren
(1976, 1993) foram importantes nessa pesquisa, posto que o objetivo é
investigar o conhecimento pedagógico dos números racionais com professores
de matemática durante a sua prática. Em particular, o foco está nos domínios
do conhecimento pedagógico do conteúdo descritos por Ball, Thames e Phelps
(2008). Pesquisas recentes como Santos (2005), Damico (2007), Bezerra
(2001), Bezerra, Magina e Spinillo (2002), Merlini (2005), Alves e Gomes
(2007), Costa (2011), Tavares (2012) entre outros nos auxiliaram para a
construção de nossa revisão de literatura. Fizeram parte da investigação,
também, os resultados das macro avaliações existentes no Brasil e no estado
de São Paulo que corroboram a necessidade de estudos nesta área.
2.1 Conhecimento Matemático para o Ensino
Antes de aprofundarmos no Conhecimento Matemático para o Ensino,
faz-se necessário um estudo sobre o PCK que é a teoria base no
desenvolvimento do MKT, colocando assim o foco na natureza do
conhecimento da disciplina de matemática. Mais especificamente, nessa
pesquisa sobre os números racionais, destaca-se os aspectos sobre o
conhecimento adquirido pelos professores, como ele se transforma e como as
31
verdades são estabelecidas e compreendidas por eles.
No trabalho de Shulman (1986), quando se fala em conhecimento de
base, há três divisões de categorias: conhecimento curricular, conhecimento
pedagógico do conteúdo e conhecimento da disciplina específica. O autor
fornece a importância da ressignificação do estudo do conhecimento do
professor, em que ele, professor, deve conseguir transformar o conhecimento
do conteúdo, num conteúdo a ser ensinado. Dentro de cada disciplina existem
as suas particularidades.
A escolha por esse autor e a perspectiva do PCK se justifica pelo fato de
suas obras terem influenciado tantas pesquisas de formação de professores e
desenvolvimento profissional nas duas últimas décadas. Iniciamos o estudo
trazendo a teoria descrita por Shulman (1986 e 1987) para então apresentar a
teoria descrita por Ball, Thames e Phelps (2008), que, em nossa concepção,
trazem um olhar mais específico sobre o ensino de matemática e sobre o PCK.
A concepção de uma possível construção de características sólidas de
conhecimentos sobre os processos de aprendizagem e desenvolvimento
profissional da docência, teve origem nos trabalhos de Shulman (1986) e seu
grupo, que analisaram programas de pesquisa e paradigmas do
desenvolvimento da docência, tendo como preocupação a busca de uma
generalização da melhor forma de se configurar cursos de formação de
professores.
Para Shulman (1987), esse tipo de pesquisa contribui bastante, pois o
centro das ações dos professores e dos alunos passa a ser o ambiente de sala
de aula. Torna-se, assim, evidente que o comportamento do professor pode ser
relacionado ao desempenho do aluno, fazendo com que a disciplina se torne
mais clara e “entendível” ao aluno. Por outro lado, também é possível verificar
que a escola faz a diferença na aprendizagem dos alunos. O ambiente escolar
passa a ser determinado por classe social e com características familiares, da
vida atual e pregressa das crianças. A escola, segundo o autor, também
colabora com a aprendizagem, uma vez que o professor consegue ampliar seu
conhecimento sobre este espaço, seus alunos conseguem refletir em sua
aprendizagem e até melhorar modo como entendem determinado conteúdo.
Quando o foco são as práticas cotidianas dos professores, deparamos
com certa quantidade de profissionais que não conseguem ultrapassar
32
competências básicas no momento em que estão ministrando suas aulas.
Torna-se necessário no Ensino Superior encontrar maneiras de suprir as
lacunas dessa formação ainda enquanto aluno. Pois, é nessa formação inicial,
que o docente terá a oportunidade de suprir os déficits provenientes da
escolarização anterior. Ao receber um candidato a professor no curso superior,
seria importante encontrar maneiras de preencher este “déficit”, seja com aulas
de matemática básica ou Pré-cálculo, por exemplo.
Essas considerações já são percebidas em diversas universidades,
criando espaços e condições para que o licenciando em matemática consiga
suprir as lacunas do passado e, assim, aprofundar-se em conhecimentos do
conteúdo especifico e pedagógico para o ensino.
Shulman (1986) indica que, na tentativa de simplificar as complexidades
do ensino em sala de aula, as pesquisas, até então realizadas, ignoram um
aspecto central da vida da sala de aula: o conteúdo específico da disciplina que
os professores lecionam. Tais pesquisas não investigam
[...] como o conteúdo específico de uma área de conhecimento era
transformado a partir do conhecimento que o professor tinha em
conhecimento de ensino. Tampouco perguntaram como formulações
particulares do conteúdo se relacionavam com o que os estudantes
passaram a conhecer ou a aprender de forma equivocada.
(SHULMAN, 1986, p.6)
Parafraseando Tenstermacher (apud, Shulman, 1986, p. 5): Um
professor sabe algo que não é entendido pelos outros e, pouco provavelmente,
é entendido pelos alunos. O professor pode transformar entendimentos,
habilidades, atitudes desejadas dentro de uma representação pedagógica. O
ensino começa necessariamente com os professores, entendendo o que deve
ser ensinado e como isso deve ser falado.
A proposta de estudo dessa pesquisa está, portanto, relacionada à
divisão proposta por Shulman (1987), que contempla sete categorias do
conhecimento. Nessa proposta o autor discute que o professor precisa saber
para poder ensinar e para que seu ensino possa conduzir a aprendizagem dos
alunos? Ou seja, quais as categorias do conhecimento que o professor deve
apresentar quando for preparar, ministrar ou repensar as suas aulas.
Sendo assim, segundo o Shulman (1987), no mínimo, deve-se incluir:
33
Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico Geral, Conhecimento
Curricular, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, Conhecimento dos
Estudantes e suas Características, Conhecimento dos Contextos Educacionais,
Conhecimento das Finalidades Educacionais.
Em relação ao Conhecimento do Conteúdo, segundo o autor, trata-se de
um conhecimento específico do conteúdo a ser ensinado. O professor deve
conhecer o mínimo e o básico da matéria a ser ensinada para que se torne
possível o ensino aos alunos.
Faz-se necessário um bom conhecimento das possiblidades
representacionais da matéria, considerando aspectos específicos dos
contextos em que leciona. Esse conhecimento é considerado importante, pois é
necessário que o professor conheça o conteúdo específico a ser ensinado,
porém, isto não o torna suficiente por si só, não garantirá que aquilo que foi
ensinado foi aprendido com sucesso.
Embora uma compreensão pessoal da matéria seja necessária, não é condição suficiente para que seja capaz de ensinar. Os professores devem encontrar formas de comunicar conhecimentos para os outros. (...) Eles devem ter dois tipos de conhecimento da matéria: conhecimento da área tanto em seus aspectos genéricos quanto em suas especificidades e conhecimento de como ajudar seus estudantes a entender a matéria. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.109 apud Mizukami, v. 29, n.2, p. 33 – 49, 2004)
Já o Conhecimento Pedagógico Geral se refere a um amplo princípio e
estratégias usados na sala de aula, condução e organização quando se quer
apresentar certo conteúdo. Nessa segunda característica apontada por
Shulman (1987), é importante que o professor conheça a realidade na qual
seus alunos estão inseridos, como organizar a aula de uma maneira que
respeite as particularidades da turma, pois uma vez mal planejada a aula e até
mesmo o tempo de aula, pode trazer consequências negativas a essa aula.
Professores bem-sucedidos não podem, simplesmente, ter uma compreensão intuitiva ou pessoal de um conceito, princípio ou teoria particular. De forma a fomentar compreensão, eles devem compreender formas de representar o conceito para os alunos. Eles devem ter formas de transformar o conteúdo considerando os propósitos do ensino (...) que inclua compreensão pessoal do conteúdo específico, assim como conhecimento de formas de comunicar tal compreensão, a propiciar desenvolvimento do conhecimento da matéria na mente dos alunos. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.109 apud Mizukami, v. 29, n.2, p. 33 – 49, 2004)
34
A terceira categoria descrita por Shulman (1987) descreve o
Conhecimento Curricular. Segundo o autor, é uma compreensão particular do
conteúdo do currículo e das ferramentas e programas disponíveis para o
trabalho do professor. Nessa categoria é possível observar quais conteúdos
são apresentados no currículo de determinada turma e necessitam ser
ensinados, como organizá-los sequencialmente para uma apresentação e
quais as ferramentas disponibilizadas pela escola para que ele possa
apresentar tal conteúdo e se essas ferramentas se encaixam com as
particularidades destes conteúdos.
O Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK) é descrito pelo autor
como um amálgama especial do conhecimento do conteúdo e do conhecimento
pedagógico, isto é, único e particular dos professores. Uma forma especial do
entendimento profissional. Para Shulman (1986), esse conhecimento é
adquirido e melhorado durante o exercício profissional e os professores
acabam construindo um novo tipo de conhecimento da área específica, que é
melhorado e enriquecido por outros tipos de conhecimento. Pode ser
considerado como um conhecimento especial porque:
(...) incorpora os aspectos do conteúdo mais relevantes para serem estudados. Dentro da categoria de conhecimento pedagógico de conteúdo eu incluo, para a maioria dos tópicos regularmente ensinados de uma área específica de conhecimento, as representações mais úteis de tais ideias, as analogias mais poderosas, ilustrações, exemplos, explanações e demonstrações (...) também inclui uma compreensão do que torna a aprendizagem de tópicos específicos fácil ou difícil: as concepções e preconcepções que estudantes de diferentes idades e repertórios trazem para as situações de aprendizagem. (SHULMAN, 1986, p. 9)
A quinta categoria descrito por Shulman (1987) é o Conhecimento dos
Estudantes e suas Características, observando-se o conhecimento geral dos
estudantes e suas dificuldades. Esse conhecimento permitirá ao professor
reconhecer que ao preparar sua aula, ou propor exercícios em que os alunos
certamente encontrarão dificuldades para resolvê-los. É um conhecimento em
que o professor vê no outro suas dificuldades.
A sexta categoria é o Conhecimento dos Contextos Educacionais,
indicando que é preciso conhecer o local (culturalmente) e a realidade em que
35
a escola está inserida. Acreditamos que este conhecimento ajuda no
conhecimento anterior acima descrito, uma vez que quando o professor for
escolher um exemplo para explicar algo que não ficou muito claro para o aluno,
use exemplos facilitadores para a compreensão do conceito a ser ensinado.
Esses exemplos, muitas vezes, devem estar ligados à realidade social
do aluno e o professor, mesmo não conhecendo certas particularidades dos
alunos, pode identificar através da realidade da escola, principalmente se o
aluno mora nas proximidades.
A sétima e última categoria conhecimento é o das finalidades
educacionais, observando seus valores e propósitos, sua formação histórica e
filosófica. Shulman (1987) destaca ainda que entre essas categorias, o
conhecimento pedagógico do conteúdo é especialmente interessante, pois
identifica uma distinta parte do conhecimento para o ensino. O autor representa
uma mistura do conhecimento e da pedagogia dentro de um entendimento de
quão particular os tópicos, problemas, questões ou organização, representação
e adaptação de interesses e habilidades dos alunos. PCK é uma das
categorias que, a nosso ver, melhor distingue um especialista de um
professor2. Em suma
Contextualizados por uma conceptualização da matéria, os professores têm conhecimento sobre como ensiná-la, como os alunos a aprendem (quais as dificuldades específicas na aprendizagem, quais as capacidades desenvolvi mentais dos alunos para adquirirem tal conceito particular, quais são as concepções prévias comuns), como os materiais curriculares são organizados na disciplina e como tópicos particulares são melhor incluídos no currículo. Influenciado tanto pelo conhecimento da matéria quanto pelo conhecimento pedagógico, o conhecimento pedagógico do conteúdo emerge e cresce quando professores transformam seu conhecimento do conteúdo específico considerando propósitos de ensino. Como essas formas de conhecimento se relacionam uma as outras permanece um mistério para nós. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, p.110)
Para Shulman (1986), “ensinar é antes de tudo, entender”, ou seja,
desse modo, percebemos a importância de se dedicar ao ensino do aluno de
graduação, fortalecendo as bases teóricas de diversos pedagogos e teóricos.
Sem sombra de dúvidas, como dito anteriormente, é necessário preencher a
2 Diferenciando especialista como aquele que domina bem um certo conteúdo, e professor aquele que
além desse domínio, consegue apresentá-lo e explicá-lo com propriedade e clareza.
36
lacuna que permanece em relação aos conteúdos da matemática.
Fundamentado na ideia de Shulman, o trabalho de Ball, Thames e
Phelps (2008) é um recorte da tese de doutorado de Deborah Ball, no qual
discute como é abordado o conhecimento “sobre” matemática, em contraste
com o conhecimento “de” matemática. Sem esquecer que o conhecimento do
professor deve considerar as concepções comuns que os estudantes trazem
para a sala de aula ou desenvolvem quando aprendem um assunto.
Ball, Thames e Phelps (2008) justificam que vinte anos se passaram
desde que se começou a discutir o conhecimento profissional docente com
Shulman e, apesar disso, a ponte entre o conhecimento e a prática permanece
inadequadamente compreendida e necessitando de maiores desenvolvimentos.
Além disso, os autores alertam para o cuidado que se deve ter com definições
muito amplas e gerais sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo, pois ao
mesmo tempo em que elas capturam a ideia geral, são suficientemente amplas
para incluir quase tudo que se refere ao conhecimento dos professores e suas
crenças.
Em seu trabalho, Ball optou por uma abordagem diferente, que pode ser
caracterizada como “trabalhando de baixo para cima”. Segundo seu grupo de
pesquisa, parece óbvio que os professores precisam saber/conhecer os tópicos
e procedimentos que eles ensinam. Observou-se que o ensino necessita de
uma forma especializada de conhecimento puro do conteúdo – “puro” porque
ele não está misturado com o conhecimento dos estudantes ou com a
pedagogia. Sendo assim, distinto do Conhecimento Pedagógico Do Conteúdo
(identificado por Shulman), e “especializado” porque ele não é necessário ou
utilizado em contextos que não o do ensino de matemática. “Esta singularidade
é o que torna esse conhecimento do conteúdo especial”(BALL, THAMES e
PHELPS, 2008, p. 396).
A partir das análises desenvolvidas sobre as demandas matemáticas
para o ensino, o grupo de Ball conjecturou duas subdivisões bastante
importantes que são: (1) o conhecimento do conteúdo (de Shulman) poderia
ser subdividido em CCK (Common Content Knwoledge - Conhecimento
Comum do Conteúdo), HCK (Horizon Content Knwoledge – Conhecimento
Horizontal do Conteúdo) e SCK (Specialized Content Knwoledge -
37
Conhecimento Especializado do Conteúdo); e (2) o conhecimento pedagógico
do conteúdo (de Shulman) poderia ser subdividido em KCS (Knowledge of
Content and Students - Conhecimento do Conteúdo e Estudantes), KCT
(Knowledge of Contentand Teaching - Conhecimento do Conteúdo e Ensino) e
KCC (Knowledge of Contentand Curriculum - Conhecimento do Conteúdo e o
Currículo). Definiram o conhecimento matemático que eles têm estudado como
conhecimento matemático “decorrente do ensino”.
A seguir, será apresentada uma descrição detalhada das subdivisões
apresentadas pelo grupo de Ball, Thames e Phelps (2008), dando ênfase
especial aos dois conhecimentos que foram apresentados ao lado direito do
quadro abaixo e é uma das hipóteses atuais do grupo de Deborah Ball, como
um refinamento das categorias apresentadas por Shulman.
O mapa atual traz uma correspondência entre o conhecimento do
conteúdo para o ensino (Ball, Thames e Phelps, 2008) e as duas categorias de
Shulman (1987): conhecimento específico do conteúdo e conhecimento
pedagógico do conteúdo.
Figura 6 - Fonte: Ball, Thames e Phels (2008, p.403) – Traduzido por Thais Inglêz.
Conhecimento especializado do conteúdo (SCK) é o conhecimento
matemático e as habilidades que são exclusivos do ensino. Os pesquisadores
afirmam que este tipo de conhecimento não é tipicamente necessário para
outros fins que não os de ensinar. Aqui, os professores precisam realizar um
Conhecimento
Comum do
Conteúdo Common Content Knwoledge (CCK)
Conhecimento
do Horizonte
do Conteúdo Horizon Content Knwoledge (HCK)
Specialized Content Knwoledge (SCK)
Conhecimento
Especializado
do Conteúdo
Conhecimento do
Conteúdo e os
Estudantes
Conhecimento do
Conteúdo e o
Ensino
Conhecimento
do Conteúdo e
o Currículo
Knowledge of Content and Students (KCS)
Knowledge of Content and Teaching (KCT)
Knowledge of Content and Curriculum
Conhecimento Específico do Conteúdo
Subject Matter Knwoledge (CK) Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
Pedagogical Content Knwoledge (PCK)
38
trabalho matemático que os outros não fazem, precisam ser capazes de
compreender os diferentes métodos com que os seus alunos podem resolver a
mesma atividade, por exemplo.
Conhecimento comum do conteúdo (CCK) é caracterizado por encontrar
uma simples resposta, ou de forma mais geral, encontrar uma solução correta
para um problema. O conhecimento matemático e as habilidades necessárias
até então, não são exclusividade do trabalho de ensinar. Os pesquisadores
chamam a atenção para que “comum” não significa que todo mundo tem tal
conhecimento, mas sim, que não é um conhecimento exclusivo para o ensino.
Conhecimento do conteúdo e os estudantes (KCS) apresenta uma
combinação entre o conhecimento sobre os estudantes e o conhecimento
sobre a matemática. Nele, os professores precisam ser capazes de antecipar o
que os estudantes provavelmente pensam e acreditam ser confuso. É
importante escolher exemplos que possam ajudá-los, bem como exemplos que
sejam motivadores e interessantes para os alunos. Em resumo, deve-se ter o
conhecimento das concepções equivocada comuns aos estudantes, em
relação a um conteúdo matemático particular.
O conhecimento do conteúdo e o ensino (KCT) combina conhecimento
sobre o ensino e conhecimento sobre a matemática. Cabe ao professor
escolher uma sequência para ensinar determinado conteúdo, utilizando-se de
exemplos que propiciem um aprofundamento no conteúdo, por parte do aluno.
Cada uma dessas tarefas requer uma interação entre uma compreensão
matemática específica e uma compreensão de questões pedagógicas que
afetam na aprendizagem do aluno.
Os pesquisadores ressaltam a importância de observarmos que o
trabalho desenvolvimento pelos autores está em desenvolvimento e não vem
para substituir o conhecimento pedagógico do conteúdo, mas sim apresentar
um olhar mais aprofundado do conhecimento comum do conteúdo e do
conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman (1987). Entretanto, os
pesquisadores também veem o trabalho deles como um desenvolvimento mais
detalhado dos fundamentos do conhecimento específico do conteúdo para o
ensino de matemática, estabelecendo uma contextualização baseada na
prática para tal conhecimento, elaborando subdomínios, medindo e validando
conhecimento desses domínios.
39
Acreditamos que um professor que já encontrou dificuldades em
assimilar certo conteúdo e depois conseguiu saná-los, terá influência positiva
sobre diferentes tipos de alunos. Certamente, o professor que não encontrou
tais dificuldades, também terá influência positiva sobre os alunos, mas o foco
não é esse, e sim, o fato do profissional da área do conhecimento ter que
necessariamente entender aquilo que está ensinando. Assim, Segundo Alonso
(1999),
[...] o mundo moderno requer habilidades e conhecimentos que antes não eram necessários, mas que hoje constituem condições indispensáveis tanto para a inserção no mundo do trabalho como para sua participação efetiva na vida pública. Formar o cidadão significa, hoje, torná-lo apto a compreender a dinâmica da sociedade e conseguir desenvolver mecanismos de participação no social. (ALONSO, 1999, p.10)
O professor de matemática deve sempre procurar se atualizar dentro
deste “novo mundo”, manter-se em contato com habilidades e conhecimentos,
visando a inserção no mundo atual de trabalho.
Sendo assim, nessa pesquisa o olhar se voltou mais especificamente à
parte direita do quadro proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), como
apresentado abaixo, no qual ampliam a categoria do PCK de Shulman em
outras três “categorias” que são chamadas pelos autores de domínios do
conhecimento: KCS, KCT e KCC e dentro desses três, destacamos apenas
dois: o KCS e KCT, pois o próprio grupo “criador” deste quadro, ainda não
apresenta um estudo aprofundado sobre o KCC.
40
Figura 7 - Recorte do quadro original feito pela pesquisadora
Sendo assim, fomos buscar a partir de observações de momentos de
preparação de aula, elaboração e resolução de exercícios e análise de erros
dos alunos, observar e identificar esses dois domínios em cada professor
participante da pesquisa, o conhecimento do conteúdo e dos estudantes e o
conhecimento do conteúdo e o ensino.
2.2 Números Racionais
Muitos são os estudos acerca do ensino e aprendizagem sobre os
números racionais e seus conceitos. Mas a maior dificuldade que esse conjunto
apresenta é sua representação fracionária. Observamos que vários teóricos e
pesquisadores da área apontam em seus estudos as dificuldades que as
crianças apresentam
Além de dificuldades documentadas em pesquisas realizadas com crianças, é possível comentar que o próprio conceito de fração é de natureza complexa e multifacetada. Por exemplo, dependendo da situação em que esteja inserida, a fração pode assumir diferentes
41
significados (e.g., Behr; Lesh; Post; Silver, 1983, Gravemeijer, 1997, Nunes, 2003, Ohlsson, 1991, Streefland, 1997, Vergnaud, 1983): (i) um número em uma reta numérica (um inteiro e dois terços); (ii) um operador (um terço de 12 bolinhas de gude); (iii) um quociente derivado de uma divisão (duas barras de chocolate repartidas entre três crianças); e (iv) uma relação parte-todo (uma fatia de pizza dividida em 12 fatias). Outro exemplo dessa complexidade é o fato de a fração estar fortemente associada a outros conceitos igualmente complexos como divisão, probabilidade, porcentagem, razão e proporção (MAGINA, BEZERRA E SPINILLO, 2009, p.4)
Tratamos mais adiante, alguns desses significados de frações, porém,
inseridos dentro desse conjunto, dito tão complexo que é o conjunto dos
números racionais. Primeiramente, vamos apresentar e analisar um pouco do
contexto histórico, no qual o conjunto numérico foi apresentado neste trabalho.
Embora a história deva ser pensada como um todo, realizamos um
recorte para facilitar essa exposição, acreditamos ser conveniente fazer uma
periodização, no caso específico, dos conjuntos numéricos da matemática. O
uso do contexto histórico do conceito de fração teve seu início com os povos
mais antigos, que moravam próximos às margens dos rios e precisavam de
conhecimentos que fossem práticos para organizar e controlar suas atividades
sociais e econômicas.
A construção dos números sempre foi feita a partir de necessidades que
surgiam nas diferentes civilizações. Após a criação dos números naturais,
houve a necessidade de uma representação para o conceito de vazio, o
conceito do nada. Então, foi criado pelos hindus, o símbolo do “nada”, ou seja,
do zero como é conhecido atualmente. Desse modo, surgiram também outras
ideias e diferentes conceitos, como por exemplo, o conceito de infinito com
Zenão e os seus paradoxos, cerca do século IV a.C. Nesse período, já eram
conhecidas as diferentes operações com os números naturais: a adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e também a radiciação. Então,
surgiu um novo campo numérico quando esses povos sentiram a necessidade
de dividir e medir diferentes comprimentos e espaços. Assim, surge a ideia de
que a unidade podia ser dividida em partes.
De acordo com Boyer (1991), os antigos egípcios utilizavam cordas para
medições. Porém, esse povo percebeu que os resultados dificilmente recaiam
em um número inteiro. Mesmo após uma subdivisão entre dois nós
consecutivos, a medida podia recair numa subdivisão localizada entre dois nós.
42
Esse momento demarcou o surgimento das frações da unidade, como por
exemplo ½, ⅓, ⅔, ⅛, etc. No decorrer da história, as diversas representações
dos números fracionários formaram o que atualmente denomina-se o conjunto
dos números racionais.
Feito este breve estudo sobre a história dos números racionais para que
pudéssemos contextualizar historicamente o surgimento desses e qual era a
necessidade naquela época, faremos novamente um breve estudo sobre o que
os estudiosos da área dos números racionais nos dizem a respeito desse
conjunto. Iniciaremos esse estudo pelo referencial teórico de Kieren (1988 e
1993) e depois passaremos para a nossa revisão de literatura.
Kieren (1988) entendeu a noção de número racional como um construto
teórico que pode se constituir a partir de noções mais simples chamadas
subconstrutos. Essa postura diante do problema permite isolar com mais
facilidade as noções essenciais para a construção do conceito. Nas
interpretações, conforme Kieren havia proposto anteriormente, essas noções
essenciais estavam muito interligadas e não podiam ser isoladas e
identificadas com facilidade.
Assim, para Kieren, o conceito de número racional pode ser construído a
partir da consideração dos quatro seguintes subconstrutos (KIEREN, 1988,
p.166): quocientes, operadores, medidas e razões. O autor não considera o
subconstruto parte-todo como outros pesquisadores, entendendo que as ideias
que o constituem já estão presentes nos subconstrutos quociente, operador e
medida (Kieren, 1993, p.57).
Por exemplo, situações de quociente podem ser usadas para as crianças se apropriarem do invariante de ordenação das frações por meio do raciocínio lógico: quanto mais crianças para dividirem o bolo, menor o pedaço de bolo que cada uma receberá. Nessas situações de quociente o professor poderia também usar a razão para ajudar as crianças a entenderem o invariante de equivalência de frações: dada uma mesma razão entre crianças e bolos, a fração correspondente serão equivalentes, mesmo que o número de bolos e crianças possam diferir nos exemplos. (MAGINA E CAMPOS, 2008, p. 3)
Esses quatro subconstrutos de Kieren (1993) trazem sustentação para a
escolha das questões que serão trabalhadas com o professor tanto no
momento de análise de erros, como na elaboração e resolução de questões.
Portanto, trouxemos uma apresentação do significado de cada uma delas: o
43
subconstruto parte-todo está associado à partição de uma quantidade contínua
ou um conjunto de objetos discretos. Esse subconstruto, além de sua própria
interpretação, está diretamente ligado aos outros subconstrutos e é
considerado por Kieren (1988) como um importante gerador de construção de
linguagem.
O primeiro subconstruto, segundo Kieren, é a razão do número racional
expressar uma relação entre duas quantidades, enquanto o subconstruto taxa
define uma nova quantidade como relação entre duas outras. O segundo
subconstruto é o quociente, que interpreta um número racional como a
operação de divisão, ou seja, é interpretado como a † b. O subconstruto
coordenada linear é interpretado como ponto da reta real, ressaltando que os
números racionais na forma fracionária formam um conjunto numérico. Já o
terceiro subconstruto apresentado por Kieren é o operador. Esse impõe ao
número racional uma função de transformação, ou seja, gera uma nova
quantidade. E, finalmente, o subconstruto medida é compreendido como sendo
a divisão, em partes iguais, de um objeto ou um conjunto de objetos.
Trazendo esses subconstrutos para o cotidiano escolar nas macro
avaliações, por exemplo, como SAEB/PROVA BRASIL, essa relação é
observada na Matriz de Referência de Matemática da 8ª série (9º. ano) do
Ensino Fundamental. Dentro da Educação Básica, ou seja, até o 9º. ano, o
aluno já deveria reconhecer (se acompanharmos o currículo) as diferentes
representações dos números racionais, fazer cálculos com valores
aproximados de radicais e cálculos algébricos.
De acordo com essa matriz de referência, as atividades relacionadas ao
tema números e operações devem abordar: a resolução de situações-problema
envolvendo a localização de inteiros e racionais na reta numérica; o
reconhecimento das diferentes representações dos números racionais; a
realização de cálculos com números racionais; a resolução de problemas
envolvendo porcentagens; a resolução de cálculos algébricos; a identificação
de expressões algébricas que representam os valores de uma sequência
numérica; a identificação de equações e desigualdades do primeiro grau em
problemas significativos; a identificação de um sistema de equações do
primeiro grau e da relação entre essas equações e suas representações
geométricas.
44
Nesse rol de descritores acerca dos números racionais, observamos que
algumas habilidades serão exigidas dos alunos para a compreensão e
internalização dos números racionais, podendo estar associada a diferentes
significados.
A escolha dos números racionais se deve ao fato dos alunos,
atualmente, apresentarem dificuldades tanto nas resoluções de problemas,
como em algoritmos, conforme resultados de avaliações como SAEB/PROVA
BRASIL.
2.3 Revisão de literatura
Santos
Santos (2005) realizou sua pesquisa na área de formação do professor
do Ensino Fundamental, com a preocupação central de compreender como se
encontra o conceito de fração para professores desse nível escolar. Neste
trabalho, seu objetivo foi o de investigar as concepções dos professores que
atuam no Ensino Fundamental em relação ao conceito de número racional em
sua representação fracionária. O trabalho contou com 67 professores do
Ensino Fundamental, distribuídos em sete escolas da rede pública estadual da
cidade de São Paulo. Professores que atuam nos 1º e 2º ciclos (polivalentes) e
n 3º ciclo (especialistas) no Ensino Fundamental.
A pesquisa de campo constou de dois momentos: no primeiro,
solicitaram aos professores a elaboração de seis problemas envolvendo o
conceito de fração e, no segundo momento, foi pedido que resolvessem os
próprios problemas elaborados. Os dados foram analisados dentro de dois
momentos: um voltado para análise dos enunciados dos problemas elaborados
e o outros, para as estratégias de resolução destes problemas.
Os resultados obtidos mostraram uma tendência, tanto entre os
professores polivalentes, como especialistas, em valorizar a fração com o
significado operador multiplicativo na elaboração dos problemas. Quanto à
resolução dos problemas, há uma valorização dos aspectos procedimentais –
aplicação de um conjunto de técnicas e regras (algoritmos) nos três grupos.
Outro resultado interessante que a pesquisa nos trouxe foi o fato de que
45
houve uma tendência, tanto dos professores polivalentes quanto dos
professores especialistas em elaborar bons problemas partindo de situações
próximas do cotidiano do aluno. Para nós este é um dado de extrema
importância uma vez que nos traz evidências de que os professores têm se
aproximado da realidade do aluno o que aparentemente facilita a observação
de seu KCS como qual o professor facilita a aprendizagem de seus alunos e
reconhece as suas dificuldades e também seu KCT, pois uma vez que o
professor reconhece tais dificuldades isso torna possível que ele elabore
estratégias que facilitem seu ensino.
Magina, Bezerra e Spinillo
Os autores Magina, Bezerra e Spinillo (2009) em seu artigo intitulado de
“Como desenvolver a compreensão de uma criança sobre fração? Uma
experiência de ensino”, apresenta uma pesquisa de intervenção com o objetivo
de desenvolver o conceito (conceito aqui no sentido de apresentação do
conteúdo aos alunos) de frações com crianças de 8 a 10 anos num total de 57
crianças.
Esse artigo sobre o ensino de frações traz muitas reflexões e
concepções sobre o conteúdo presente no conjunto dos números racionais.
Mostramos então, um breve relato de como foi feita a pesquisa citada neste
artigo, com o intuito de apresentar a pesquisa e possibilitar ao leitor um melhor
entendimento do segundo artigo usado na revisão de literatura.
As crianças foram submetidas a um pré-teste e um pós-teste.
Inicialmente, dividiu-se o total de crianças em três grupos: Grupo experimental
(GE), que passou por uma intervenção no ensino baseada na resolução de
situações-problema de frações como quociente e relação parte-todo, formado
por alunos da 3ª série do Ensino Fundamental, sem instrução prévia (ou seja,
ainda não os tinha sido apresentado o conteúdo) sobre frações; o Grupo
controle (GC), que também foi formado por alunos da 3ª série do Ensino
Fundamental, sem instrução prévia sobre frações, porém, sem a intervenção
no ensino e, o Grupo de referência (GR), formado por crianças da 4ª série que
já haviam tido instrução sobre frações por meio de uma abordagem
mecanicista e de aplicação de regras.
46
Os pesquisadores trazem algumas dificuldades apresentadas pelas
crianças com o conceito de fração, que podem estar relacionadas ao fato de a
criança não compreender o princípio da invariância (conservação de
quantidades) e não conseguir entender que, se ao somar as partes você obtém
o todo inicial que as originou. Baseado em vários autores que discutem o
ensino de frações, esse artigo trata da noção de equivalência que nem sempre
é entendida, como apontam nesse artigo, e comentam sobre a dificuldade na
compreensão da linguagem e da notação típica de frações, além das muitas
dificuldades das crianças decorrerem do fato de aplicar o conhecimento que
possuem sobre os números inteiros às frações com algumas crenças que
carregam como:
...(i) a representação simbólica a/b nada mais é do que dois números inteiros, um sobre o outro; e (ii) 1/3 é menor que ¼, porque três é menos do que quatro (e.g., Biddelecomb, 2002, Gelman; Meck, 1992, Lamon, 1999, Nunes, 2003, Sophian; Garyantes; Chang, 1997, Streefland, 1991). O conhecimento sobre números inteiros é também aplicado à adição de frações, visto que as crianças tendem a somar os numeradores e os denominadores para obter o resultado de uma adição (e.g., Cruz; Spinillo, 2004, Kerslake, 1986, Koyama, 1997, Spinillo; Cruz, 2004). (MAGINA, BEZERRA, SPINILLO, 2009, p. 417)
Esses pesquisadores aprofundam a discussão trazendo um estudo
teórico sobre o conceito de fração e o campo conceitual das estruturas
multiplicativas presentes na teoria de Vergnaud (1983, 1997, 1998, 2003) em
contraposição ao ensino tradicional de frações. Trazem a ideia de que o ensino
de frações tem sido caracterizado por uma alta ênfase no simbolismo e na
linguagem matemática, na aplicação mecânica de algoritmos na aritmética de
frações e no uso de representações pragmáticas. Vale ressaltar, que
observamos isso também ao coletar e analisar os dados desta pesquisa.
Nesse artigo é apresentado o conceito de fração como um conceito
complexo, confirmando que esta representação de um número racional seja a
de maior dificuldade para o entendimento do aluno, como podemos concluir
com a citação abaixo
Além dessas dificuldades documentadas em pesquisas realizadas com crianças, é possível comentar que o próprio conceito de fração é de natureza complexa e multifacetada. Por exemplo, dependendo da situação em que esteja inserida, a fração pode assumir diferentes significados(e.g., Behr; Lesh; Post; Silver, 1983, Gravemeijer, 1997,
47
Nunes, 2003,Ohlsson, 1991, Streefland, 1997, Vergnaud, 1983): (i) um número em uma reta numérica (um inteiro e dois terços); (ii) um operador (um terço de 12 bolinhas de gude); (iii) um quociente derivado de uma divisão (duas barras de chocolate repartidas entre três crianças); e (iv) uma relação parte-todo (uma fatia de pizza dividida em 12 fatias). Outro exemplo dessa complexidade é o fato de a fração estar fortemente associada a outros conceitos igualmente complexos como divisão, probabilidade, porcentagem, razão e proporção. (MAGINA, BEZERRA, SPINILLO, 2009, p. 413)
Na ilustração das relações parte-todo, notação e linguagem fracionária,
os diagramas (pizza, chocolate, etc.) são muito utilizados. Para os
pesquisadores (Magina, Bezerra, Spinillo, 2009) esse modo de ensinar ignora
outras formas possíveis de representar a fração e a variedade de significados a
ela associados, restringindo-se às relações parte-todo e observa-se também
que o ensino é dissociado de situações extraescolares.
Diante dessas constatações, os pesquisadores foram explorar algumas
experiências alternativas para o ensino, tanto em sala de aula, como por meio
de situações experimentais controladas. Dois pontos foram levantados pelos
pesquisadores: o primeiro é que muitas das pesquisas se caracterizam por
estudos de caso, os quais são considerados relevantes, pois fornecem um
quadro extremamente detalhado e rico de dados e o segundo passo é que, na
maior parte dos casos, já haviam sido instruídas sobre fração no contexto
escolar. E então, a partir dessas considerações, o objetivo do estudo foi o de
investigar se crianças que ainda não haviam sido formalmente instruídas sobre
fração, se beneficiariam de uma intervenção específica em que a fração fosse
considerada tanto uma relação parte-todo como um quociente derivado de uma
divisão.
Feita a intervenção, os pesquisadores trouxeram algumas conclusões: (i)
a intervenção proporcionada foi capaz de gerar uma compreensão mais
apropriada sobre frações e também permitiu que as crianças da 3ª série
tivessem um melhor desempenho do que crianças de mesma idade e de
mesma série que ainda não haviam sido formalmente instruídas sobre fração
no contexto escolar (GC); (ii) crianças que participaram da intervenção tiveram
avanços mais substanciais do que aqueles observados entre as crianças
submetidas ao ensino tradicional oferecido pela escola; (iii) apesar de ambos
48
os grupos se beneficiarem da instrução recebida, a intervenção alternativa
sobre fração oferecida às crianças do GE foi mais efetiva do que a instrução
tradicional do GR.
E finalizam trazendo a ideia de que é crucial encontrar formas de ensino
que possam auxiliar as crianças a superar as dificuldades que encontram ao
lidar com frações. No nosso entender, os pesquisadores Ball, Thames e Phelps
(2008) denominam de conhecimento do conteúdo e os alunos. Podemos
conjecturar que, se o professor conseguisse entender quais as dificuldades que
seus alunos encontram com determinados conteúdos, seria possível que ele
conseguisse encontrar maneiras de ajudar os alunos a superá-las.
Bezerra
Bezerra (2001), em sua pesquisa intitulada “Introdução do conceito de
número fracionário e de suas representações: Uma abordagem criativa para a
sala de aula”, teve como objetivo investigar uma abordagem para o ensino dos
números fracionários, em que o objetivo era estudar a aquisição do conceito
deste e de suas representações com base em situações – problema que
fossem significativos para os alunos, de modo que cada situação problema seja
um desafio e instigue o aluno a encontrar a resposta. Essa pesquisa foi
desenvolvida com alunos da 3ª série do Ensino Fundamental, abordando a
concepção de quociente e parte- todo.
Nesse trabalho, há um momento em que o autor destaca a importância
de se contextualizar a parte histórica do conjunto que será estudado, segundo
ele:
Voltar ao passado significa ampliar os horizontes que se erguem sobre os galhos das árvores. Nesse sentido, apresentamos um pouco dos relatos históricos sobre a evolução e construção das frações pelo homem. (BEZERRA, 2001, p. 39)
Do capítulo III, da presente dissertação, “Número Fracionário: ontem e
hoje”, estruturamos o contexto histórico dos números racionais desta pesquisa.
A questão de pesquisa definida pelo autor é: “Como abordar os conteúdos
relacionados ao número fracionário de forma que o aluno compreenda o seu
conceito e estabeleça a relação entre o número e sua representação?”
49
Percebemos uma relação entre suas conclusões ao afirmar que “as crianças
encontraram significados para a sua aprendizagem ” com o PCK que estamos
analisando neste estudo.
Os resultados indicam que as crianças compreenderam o novo número
que lhes foi apresentado e conseguiram satisfatoriamente representá-los com
um menor número de erros. Esses resultados possibilitaram inferir sobre o
professor investigado na atual pesquisa, e nos questionamos se ele pensa da
mesma forma quando analisa os erros dos alunos?
Nas conclusões desse trabalho Bezerra (2001) nos traz reflexões acerca
do papel do professor em sala de aula no qual afirma que cabe ao professor
amenizar as hierarquias presentes na sala de aula, administrar os ritmos de
aprendizagem de cada um de seus alunos. É preciso “olhar” o erro como a
porta de um caminho obscuro que pode levar ao fracasso e à exclusão, se a
luz do professor não for deveras suficiente para iluminar e criar novos
horizontes.
Em nossa pesquisa vamos observar exatamente o que o professor fará
quando identificar este erro, se ele irá buscar afundo o motivo desses erros que
são cometidos pelos alunos e o porquê tais erros acontecem.
Costa
A dissertação de Costa (2011) intitulada “Concepções e Competências
de Professores Especialistas em Matemática em relação ao conceito de Fração
e seus Diferentes Significados” objetivou identificar e analisar as concepções e
competências dos professores especialistas em matemática, atuantes no 3º ou
4º ciclo do Ensino Fundamental, relativo ao conceito de fração.
A questão de pesquisa que o autor teve por meta responder foi sobre as
concepções e competências apresentadas por professores especialistas em
Matemática que atuam no 3º ou 4º ciclo do Ensino Fundamental e sobre o
conceito de fração e seus diferentes significados. Dada a questão de pesquisa,
foi feita a busca de um suporte teórico e encontraram os conceitos de
Vergnaud contidos na Teoria dos Campos Conceituais e os fundamentos
teóricos de Kieren e Nunes, no que se refere aos diferentes significados da
fração.
Nesse trabalho, em particular, serão utilizadas as contribuições que o
50
autor traz quando apresenta as bases de Kieren. Na apresentação da
classificação (construtos) por ele proposta, se deteve na classificação
(significados) denominada por Nunes, na qual a fração pode ser entendida por
meio de cinco diferentes significados: número, parte-todo, medida, quociente e
operador multiplicativo.
Esses mesmos conceitos definidos por Kieren como subconstrutos, são
os mesmos a serem utilizados como base para a escolha das atividades
propostas aos participantes desta pesquisa.
Da dissertação de Costa (2011) foram extraídos detalhes de seu capitulo
de metodologia. A atenção foi voltada ao que o autor denomina de “um plano
de ação da pesquisa” e nele descreve a população alvo do estudo, que foram
21 professores especialistas em Matemática, e o instrumento de coleta de
dados composto de quatro unidades: (a) perfil; (b) elaboração de situações-
problema; (c) respostas das situações-problema e (d) competências. Para
efeito da análise, os professores foram divididos em dois grupos, sendo o
grupo 1 (G1) formado por professores que estavam atuando no 3º ciclo do
Ensino Fundamental (6º e 7º anos) e o grupo 2 (G2) formado por professores
que estavam atuando no 4º ciclo do Ensino Fundamental (8º e 9º anos).
A análise dos protocolos ocorreu por duas vertentes: qualitativa e
quantitativa. O autor relata que esta foi feita pela convicção das informações
suficientes para responder à questão de pesquisa. Como resultado de suas
análises, em relação às competências dos grupos para lidar com o conceito de
fração, concluíram que, apesar de baixos índices de erros e/ou inconsistências
apresentadas por ambos, o G2 apresentou-se mais competente que o G1.
Concluiu isso baseado no fato de que o G1 apresentou maior índice da
utilização da percepção, como principal estratégia de ensino para fração,
distanciando-se, assim, dos invariantes lógicos presentes nesse conteúdo e
que, quando apropriados, permitem sua sólida compreensão.
Frente às reflexões feitas sobre o fechamento do estudo, o autor diz ter
a convicção de que se faz necessário um trabalho de formação continuada
consistente, que promova o desenvolvimento dos professores em relação ao
conceito de fração em seus diferentes significados.
Tal conclusão permite aproximar nossos resultados deste estudo, apesar
do olhar desse pesquisador se dar por um ângulo diferente do deste trabalho,
51
focando o ensino de frações, ao passo que este estudo tem o foco nos
números racionais e em todas as suas representações. O trabalho de formação
continuada também se faz necessário quando se trata do conhecimento
necessário para ensinar.
Tavares
A pesquisa “Conhecimento dos Futuros Professores do 1º ciclo do
Ensino Básico sobre Números Racionais” de Tavares (2012) procurou
compreender o desenvolvimento do conhecimento matemático para ensinar
números racionais dos futuros professores do 1º ciclo relativamente às formas
de representação de números racionais e das suas conexões: ordenação,
comparação, equivalência e densidade de números racionais, buscando
interpretar as dificuldades que manifestam antes e após o ensino de uma
unidade temática sobre números racionais, de uma disciplina da formação
inicial de professores.
Tavares estuda o conhecimento matemático para o ensino de números
racionais na formação inicial dos professores do ciclo I. O presente estudo se
aproxima deste, embora nosso olhar esteja voltado para a formação continuada
do professor do ciclo II.
Vale ressaltar alguns pontos que chamaram a atenção, tendo em vista
que esta pesquisa utilizou o mesmo referencial teórico do conhecimento
matemático para o ensino, bem como para os números racionais. Isto trouxe
grande contribuição e até ampliação de ambos os referenciais teóricos.
Sendo assim, a autora relata sobre conhecimento matemático para o
ensino dos números racionais num capitulo e, em outro, sobre os números
racionais, no qual trata separadamente o conceito de número racional e seus
significados (parte-todo, razão, operador, quociente e medida).
A pesquisadora escolheu fazer seu estudo na instituição em que leciona
e utilizou as abordagens qualitativa e quantitativa comparativa e de caráter
exploratório, tendo por base as produções escritas dos futuros professores no
teste inicial, unidade temática e teste final sendo, a recolha de dados efetuada
numa turma de futuros professores de 1.º ciclo da Escola Superior de
Educadores de Infância Maria Ulrich. A análise de dados foi orientada pelo
52
quadro teórico apresentado no estudo referido anteriormente.
Comparativamente com esse estudo, a presente pesquisa observou diferentes
contextos de escolas do ABC paulista.
Resumidamente, a autora conclui que apenas alguns dos futuros
professores possuía, no início do estudo, conhecimento comum sobre
números racionais, pois resolve problemas acerca destes tópicos, mas tem
dificuldade em produzir argumentos válidos para justificar as opções efetuadas
ou para resolver problemas, evidenciando maior proficiência na resolução de
problemas sobre ordenação de números racionais e no significado de medida.
Após a realização da unidade temática e das discussões efetuadas em
pequeno e grande grupo, a maioria dos futuros professores consolida o seu
conhecimento sobre números racionais e evidencia um conhecimento mais
especializado do conteúdo, conseguindo justificar suas opções e resoluções
com estratégias mais informais. Porém, no tópico comparação de números
racionais e no significado de quociente, eles obtêm melhores resultados. Em
relação aos diferentes significados, há algumas contribuições que nos auxiliam
neste trabalho:
1. No significado parte-todo, a maioria dos estudantes conseguem
compreender que a unidade está contida no agregado das partes e,
após definirem o valor da unidade, conseguem representar todos os
outros números racionais pedidos, revelando um bom desempenho na
conversão da representação pictórica para a representação em fração,
numeral misto e percentagem.
2. Relativamente ao significado operador, verifica-se uma melhoria
acentuada no nível de desempenho de um teste para o outro, pois os
estudantes mostram-se proficientes na conversão de frações em frações
decimais e, posteriormente, numa representação em percentagem como
auxílio à barra numérica ou ao algoritmo da divisão. Melhoram
significativamente o seu desempenho, pois utilizam o seu conhecimento
sobre o algoritmo da divisão, para determinar o valor pedido, indiciando
que os formandos inicialmente não se lembravam deste conteúdo e
depois da unidade temática relembraram e assimilaram.
53
3. Quanto ao significado quociente, houve uma melhoria muito significativa
entre a realização dos dois testes, uma vez que os maus resultados
apresentados no teste inicial prenderam-se com uma má leitura e
interpretação do enunciado do problema e, consequentemente, erraram
o cálculo, apesar do raciocínio utilizado estar correto. Não surgiram
problemas com a interpretação do texto no teste final e, por isso, a
maioria dos estudantes melhorou seus níveis de desempenho.
4. No que concerne ao significado medida, os níveis de desempenho são
semelhantes havendo uma ligeira melhoria no teste final, o que
evidencia uma boa compreensão deste tópico. Os bons resultados
registrados no teste inicial devem-se à identificação de números
racionais simples, enquanto no teste final os números a identificar eram
mais complexos e daí não haver uma melhoria significativa no nível de
desempenho dos estudantes.
5. O significado razão aparece no teste inicial numa questão simples e
contextualizada por uma representação pictórica de rapazes e raparigas.
Verificou-se que a maioria dos estudantes não teve dificuldade em
estabelecer a razão pedida, uma vez que apenas 52,9% conseguiram
responder corretamente. No teste final, não foi colocada nenhuma
questão semelhante a esta, por se considerar que os estudantes tinham
entendido este tipo de situações e, por isso, o seu nível de desempenho
seria bastante significativo testando-se este significado no tópico sobre
comparação de números racionais.
Nessa pesquisa utilizaremos apenas quatros dos cinco subconstrutos
que Kieren e Tavares apresentou. Entretanto, apresentaremos conclusões
sobre todas.
Silva
A dissertação de Silva (2005) intitulada “Investigando saberes de
professores do ensino fundamental com enfoque em números fracionários para
a quinta série”, estudou as concepções de um grupo de professores de
Matemática sobre números fracionários e a aprendizagem de alunos de quinta
54
série. Focou sobre a autonomia e dificuldades em possíveis mudanças dessas
concepções em formação continuada.
O objetivo de tal pesquisa foi dividido em três objetivos centrais da
formação nos quais pretendem investigar: o objeto matemático números
fracionários, as concepções dos professores a respeito de seus alunos e as
ações formativas que possam possibilitar um melhor conhecimento didático do
professor a respeito do tema.
A pesquisa envolveu professores dos ciclos finais do Ensino
Fundamental em específico, a quinta série. A metodologia de pesquisa
empregada foi pesquisa-ação, no sentido de investigação colaborativa, visto
que propicia a interação entre pesquisador e professores em formação e a
observação em ação. Os procedimentos metodológicos para a coleta de dados
foi feira em forma de questionário, observações, documentos escritos pelos
professores e mapas conceituais.
Afirmam, então, que os professores constroem para a quinta série
Organizações Matemática para números fracionários muito rígidas com tipos
de tarefas que associam, sobretudo, a concepção parte-todo em contextos de
superfícies, mobilizando a técnica da dupla contagem das partes e, com menos
incidência, a concepção de razão mobilizando a mesma técnica. Modificações
no discurso dos professores foram observadas com respeito a aprendizagem
de seus alunos e da maneira de observá-los em ação, desencadeadas pela
aplicação de uma Organização Didática elaborada na formação em sala de
aula da quinta série.
Damico
Nessa tese de doutorado intitulada “Uma investigação sobre a formação
inicial de professores de matemática para o ensino de números racionais no
ensino fundamental”, Damico (2007) traz outras contribuições para este
trabalho. Tanto no que diz respeito ao referencial teórico, quanto na
apropriação do tema em que encontramos muitas confirmações relevantes
concernentes ao conhecimento do professor:
As componentes relacionadas ao conhecimento profissional dos
55
professores, necessárias a uma docência de qualidade, são de natureza muito distintas e abrangentes. Especificamente, se considerarmos a prática pedagógica em Educação matemática composta por múltiplas dimensões, cada uma delas com suas dificuldades intrínsecas, chegaremos à constatação de que a formação inicial do professor de matemática é um grande desafio. Entre estes aspectos destacamos, por exemplo: a necessidade de construção de um amplo espectro de conhecimentos relacionados não só aos conteúdos que o futuro professor irá ensinar, como também o aprofundamento essencial do conhecimento das estruturas matemáticas; o conhecimento de conteúdo pedagógico geral e específico; o conhecimento de materiais de ensino, como manipulativos, software etc.; conhecimento dos alunos; conhecimento das necessidades educativas; conhecimento dos contextos educativos; a formação de um profissional ético e consciente de sua função social e da necessidade de se envolver com o projeto político – pedagógico de seu futuro local de trabalho. (DAMICO, 2007, p. 15)
Esse estudo foi realizado com 41 professores de matemática de duas
instituições de ensino superior na região do ABC paulista e um total de 346
alunos envolvidos. Este estudo se dedicou a observar a formação inicial e, se
aproxima do presente estudo porém, nosso olhar se deu sobre o conhecimento
do professor da formação continuada,
Para Shulman (1986), conhecimento da matéria se refere à quantidade e organização de conhecimento na mente do professor e inclui a compreensão dos fatos principais, conceitos e princípios. Conhecimento pedagógico do conteúdo (Pedagogical Content Knowledge – PCK) diz respeito à forma como o assunto é tratado, incluindo – se, aì, as formas mais úteis de representação das ideias, as analogias, ilustrações, exemplos, explicações, demonstrações, modos de representar e formular o assunto de maneira a torná-lo compreensível para os outros” (DAMICO, 2007, p. 46)
Acreditamos que quanto maior a prática do professor, melhor seu
conhecimento profissional docente e, então, podemos observar um
conhecimento que seguindo a linha de raciocínio de Ball, Thames e Phelps
(2008), “emerge da prática”.
A metodologia desta tese também é parecida com a da presente
pesquisa, pois o autor conta com diversos instrumentos para a realização de
sua pesquisa. Seus cinco instrumentos foram: Instrumento 1 (os alunos
concluintes foram solicitados a criarem oito problemas envolvendo frações,
com o objetivo de avaliar os alunos do Ensino Fundamental; instrumento 2 (os
alunos concluintes resolveram os oito problemas que criaram; instrumento 3
56
(todos os alunos, iniciantes e concluintes, foram submetidos a uma avaliação
contendo vinte questões que versavam sobre conhecimentos fundamentais
sobre números racionais); instrumento 4 (entrevista interativa com 10% dos
alunos concluintes participantes da pesquisa); instrumento 5 (entrevista
interativa com 41 professores).
Após a aplicação dos instrumentos e análise dos dados, o autor conclui
que
Os resultados foram apresentados em três unidades de análise que abordam, respectivamente: o conhecimento matemático (conceitual e processual) dos estudantes para professores em relação a cinco subconstrutos ou significados das frações (parte – todo; operador; quociente ou divisão indicada; medida e coordenada linear); o conhecimento matemático e o PCK em relação às operações básicas com frações (adição, multiplicação e divisão); os números racionais na formação universitária. Nossos dados apontam para o fato de que os estudantes para professores têm uma visão sincrética dos números racionais. Há um acentuado desiquilíbrio entre o conhecimento conceitual e processual, com prevalência do processual, como também se observa um baixo nível de conhecimento didático relacionado às formas de representação dos conteúdos normalmente ensinados no Ensino Fundamental que versam sobre os números racionais. (DAMICO, 2007, p. 251)
Comparativamente, a pesquisa presente utilizará menos instrumentos de
coleta devido ao curto prazo de tempo e por se tratar de uma dissertação.
Porém, dentre os instrumentos, está a elaboração de questões, instrumentos
tais que propiciaram uma visão detalhada e particular do PCK desenvolvido por
Shulman (1987) e ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008).
Sendo assim, acreditamos que essa revisão de literatura nos auxiliou
para o aprofundamento e expansão do nosso referencial teórico uma vez que
como apresentado acima muitos autores utilizaram do mesmo referencial,
outros apesar de não com o mesmo referencial, trabalharam com alunos da
mesma faixa etária pesquisando o conceito de fração por eles compreendido e
também os trabalhos que nos trouxeram reflexões acerca da formação do
professor e seu papel em sala de aula ao analisar e repensar os erros de seus
alunos.
57
3 METODOLOGIA
Este capítulo tem como objetivo descrever a metodologia adotada. A
escolha pela abordagem qualitativa surgiu da necessidade de analisar o PCK
do professor e observar desde o momento em que ele prepara suas aulas, faz
suas escolhas com relação às atividades, o modo como as utiliza para a
apresentação do conteúdo e a maneira que o mesmo lida com as dificuldades
de seus alunos.
Acreditamos que a observação desses momentos permite separar
detalhes relevantes para a pesquisa, dos do cotidiano em sala de aula que,
apesar de importantes, não foi o foco da pesquisa. E por que olhar o professor
e as suas aulas? A observação da prática do professor como um todo,
possibilitou o acompanhamento das suas experiências cotidianas e também da
sua visão da realidade no qual está inserido. Isso ajudou a alcançar o objetivo
desse estudo e tentar diferenciar o professor de um especialista, ou não.
O estudo em questão trata-se de uma pesquisa de campo, em que as
questões investigadas não se estabelecem mediante a operacionalização de
variáveis, sendo formuladas com o objetivo de investigar os fenômenos em
toda a sua complexidade e em contexto natural. A modalidade de pesquisa
naturalista ou de campo acontece quando os dados do estudo são coletados
diretamente “no campo”, em contraste com aqueles realizados em laboratórios
ou controlados pelos investigadores (Bodgan; Biklen, 1994).
Assim, buscamos uma maior abrangência sobre a prática dos
participantes, uma vez que trouxemos uma discussão de como usar as
questões com seus alunos, em que momento as aplicaria e o porquê da
escolha de tais questões.
Além disso, a abordagem qualitativa, segundo Fiorentini e Lorenzato,
“busca investigar e interpretar o caso como um todo orgânico, uma unidade em
ação com dinâmica própria, mas que guarda forte relação com seu entorno ou
contexto sociocultural” (2006, p. 110)
Acreditamos que, uma vez dentro do próprio contexto do professor, ou
seja: no caso da sua sala de aula, na observação da preparação da aula, nos
problemas colocados nos erros decorrentes do ensino dos números racionais,
no momento em que ele elabora atividades para serem aplicadas com seus
58
alunos; possibilitou a observação dos exemplos e das abordagens utilizadas
que condizem com a realidade de seus alunos, e assim identificar os domínios
propostos no referencial do MKT.
Bodgan & Biklen (1994) identificam cinco características em uma
pesquisa qualitativa, são elas: a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal; a investigação qualitativa é
descritiva, ou seja, resultados colhidos são em forma de palavras ou imagens e
não de números; os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo
processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos; os investigadores
qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva; e, por fim, o
significado é de importância vital na abordagem qualitativa.
Na presente pesquisa são abordadas as características descritas pelos
pesquisadores, uma vez que estamos inseridos tanto no momento da escolha
das questões e elaboração das mesmas, quanto nos nossos encontros no
ambiente natural de trabalho dos sujeitos. Ressaltamos que, em nossa
observação, foi focado como o MKT se apresenta e como ele é transformado
perante as dificuldades apresentadas pelos alunos. Sendo assim, o interesse
dessa pesquisa esteve sempre voltado mais para o processo de como isso é
feito do que somente analisar se o aluno aprendeu ou não.
Esse trabalho teve seu olhar voltado aos professores de alunos do 7º
ano do ensino fundamental pois, conforme o currículo do estado de São Paulo
este é o momento para iniciar os estudos do conjunto dos números racionais.
Situação em que o aluno já aprendeu sobre os números naturais, inteiros,
decimais e fracionários e, a partir disso, o professor irá unir todos esses
conjuntos formando, assim, o conjunto dos números racionais. Porém, durante
o contato com os professores foi possível perceber que estes também
ministram aulas para outras séries e apresentamos essas características
juntamente com a descrição de cada professor.
Dentro do currículo do 7º ano observa-se que é apresentado logo após o
conteúdo da introdução da álgebra com a apresentação do conceito de
incógnitas e equações algébricas. Contudo, durante o estudo do objetivo dos
encontros foi verificada a necessidade de conversarmos com professores do 6º
ano do ensino fundamental e do 7º ano, em que os alunos já estudaram este
conteúdo dos números racionais e o utilizam para resolver atividades de
59
conteúdos novos.
Lembramos que o olhar desta investigação sempre esteve voltado para
o professor e que tais características que os alunos possam ter ou não, podem
apenas acrescentar em como o professor utiliza essas questões para a
preparação da sua aula e no momento em que a ministra.
Conversamos e observamos diversos momentos da rotina profissional
de três professores da rede estadual de São Paulo. Ao prepararmos para as
observações iniciais, apoiamos em André e Ludke (1986) que afirmam ser
nesta fase da coleta que o pesquisador deverá decidir qual será o seu papel de
observador dentro desse ambiente social.
Após estudar os diferentes papéis, decidimos que o papel de observador
total é o mais adequado a esse estudo e se enquadra nessa pesquisa uma vez
que:
[...] o papel de “observador total” é aquele em que o pesquisador não interage com o grupo observado. Nesse papel ele pode desenvolver a sua atividade de observação sem ser visto, ficando por detrás de uma parede espelhada, ou pode estar na presença do grupo sem estabelecer relações interpessoais. (ANDRÉ e LUDKE, 1986, p.13)
Esse mesmo referencial de André e Ludke (1986) nos trouxe a
importância de termos um foco de observação, que foram determinados pelo
objetivo de estudo e “com esses propósitos em mente, o observador inicia a
coleta de dados buscando sempre manter uma perspectiva de totalidade”
(ANDRÉ & LUDKE, 1986, p.29). Assim, não nos foi facilitada a possibilidade de
desviarmos do foco de observação.
Segundo Bodgan e Biklen (1992), o conteúdo das observações deve
envolver uma parte descritiva e outra reflexiva. A parte descritiva compreende
um registro detalhado do que ocorre no campo. Já a parte reflexiva
apresentada por Bodgan e Biklen (1992) trata das anotações que observador
consegue descrever e nos ajudou a justificar suas observações e conclusões.
Os registros das observações foram feitos por um caderno de campo da
pesquisadora, além das gravações em áudios dos encontros com os
professores. Tínhamos ciência de que essas anotações no caderno de campo
deveriam ser feitas o mais rápido possível.
60
Muitas vezes, quando não era possível fazer essas anotações no exato
momento em que elas ocorriam, as mesmas eram feitas assim que a
observadora se retirava da sala de aula. Afinal, foi levado em conta a
observação, porém, os comentários pessoais também podem oferecer
elementos substanciais à pesquisa.
Segundo Flick
Existem diversas formas de documentação do material coletados, na maioria das vezes constituindo-se de material textual: notas de campo, diário de pesquisa, fichas de documentação, transcrição etc. Entretanto, o material também pode ser documentado por meio de fotos, filmes, áudios e outros, pois todas as formas de documentação têm relevância no processo possibilitando uma adequada análise. (FLICK, 2009, p. 34).
Mesmo sabendo do risco que poderíamos correr e que, em alguns
momentos, o assunto podia não ser de nosso interesse, escolhemos ser mais
flexíveis do que intransigentes e descartar uma entrevista uniforme e
padronizada, levando o participante a responder as perguntas de forma
análoga, uniforme e padronizada, mas sem perda do foco e do caráter
científico da pesquisa.
Quando da escolha das abordagens feitas para responder tais
perguntas, nos deparamos com Styliniades e Ball (2004) que discutem seis
diferentes abordagens possíveis no desenvolvimento de pesquisas que tenham
por objetivo investigar o Conhecimento Matemático para o Ensino. São elas: (1)
a análise de documentos oficiais; (2) currículos professores de matemática; (3)
conhecimento matemático dos professores (grifo nosso); (4) currículo
matemático dos estudantes; (5) conhecimento matemático dos estudantes; (6)
práticas matemáticas escolares.
Nessa pesquisa discutimos apenas o item 3, que é o conhecimento
matemático dos professores, uma vez que foi feita como uma das facetas que
o Projeto Observatório pretende investigar. A opção por uma coleta de dados
se apoiou em aspectos tais como:
Reuniões com o grupo do OBEDUC para discussão do referencial teórico;
61
Observação do momento em que os professores preparam suas aulas;
Conversas com os professores e seus alunos;
Escolha de atividades que contemplem o ensino dos números racionais,
com o auxílio dos professores participantes do projeto do Observatório da
Educação.
Dessa maneira, a escolha foi o método de levantamento de dados que
ajudou a encontrar caminhos e possibilidades para a criação de estratégias
propiciando reunir elementos para uma formação, seja ela inicial ou
continuada, do professor de matemática. Formação essa que relacionasse os
conteúdos acadêmicos aos escolares e, ainda, que o conhecimento
pedagógico do conteúdo fosse o aporte necessário para que o ensino e a
aprendizagem fossem concretizados na relação professor-aluno.
3.1Os protagonistas da pesquisa
Foram três professores, da rede pública de ensino do estado de São
Paulo, que contribuíram com suas adesões, sendo dois deles professores do
município de Santo André e o outro do município de São Bernardo do Campo.
Tanto a finalidade da pesquisa, os procedimentos de coleta e informações,
como essas informações seriam utilizadas e divulgadas pela pesquisadora, foi
informado aos participantes da pesquisa.
Esses três professores são de escolas inseridas em diferentes
contextos, exatamente para verificar e tentar chegar à conclusão, não limitando
a mesma somente para um tipo de realidade onde vive o professor. Dessa
forma, os sujeitos podem aderir “voluntariamente aos projetos de investigação,
cientes da natureza do estudo e dos perigos e das obrigações nele envolvidos”
(BODGAN; BIKLEN, 1994, p. 75).
Fiorentini e Lorenzato (2009) trazem como resultado de pesquisa que
muitos professores têm criticado as pesquisas acadêmicas pela forma como
essas tratam e investigam a prática pedagógica. Além disso, reclamam que os
resultados dessas pesquisas são muito genéricos e raramente chegam à sala
de aula desses professores. Sendo assim, tudo o que foi analisado e concluído,
foi levado como feedback para os professores e todos os dados e análises
62
trabalhados em parceria com os professores participantes do projeto
Observatório da Educação, dando-lhes a oportunidade de repensarem e
analisarem sua própria prática.
Por questões éticas, cada professor foi identificado por uma letra. O
primeiro professor que será chamado de professor A, que ministra suas aulas
numa escola na região central da cidade de Santo André.
A, portanto, tem 11 anos de magistério, porém, nessa escola é o seu
primeiro ano. Ao sair da educação básica foi cursar Administração e se deparou
dando aulas particulares de matemática. Posteriormente, se formou em
licenciatura plena em matemática no ano de 2002, na instituição Fundação
Santo André. Após a licenciatura, o professor A cursou uma especialização em
matemática aplicada. Sentiu-se muito bem recebido na escola atual. Também,
ao sermos apresentados, me deixou bem à vontade para explicar do que se
tratava a pesquisa. Lecionou em 2014 para o 7º e 8º anos e, semanalmente,
dedicava uma hora para a preparação de suas atividades. Não tem lido muitas
publicações de sua área ultimamente. Usa o livro didático como uma
ferramenta de apoio e é o seu principal recurso em sala de aula, além da
internet, que foi citada como um outro recurso didático. Após apresentação da
nossa pesquisa, fui informada que eu teria, em suas palavras, “carta branca”
para coletar os dados naquela escola.
A escola do professor A está localizada em uma região central da cidade
de Santo André, muito próxima a uma das avenidas principais do local, sendo
de fácil acesso por meio de transporte público ou privado. A área residencial no
entorno da escola é constituída por casas e apartamentos, aparentemente, de
classe média e média alta, como também estabelecimentos comerciais
diversos tais como: mercadinhos, academias, bares, restaurantes, farmácias,
etc. A escola é estruturada, possui bebedouros bem amplos em todos os
andares, em alguns deles até dois, e funciona em dois períodos: manhã e
tarde. Os alunos são provenientes do próprio bairro, que é considerado um
bairro mediano, e só podem adentrar na escola utilizando uniformes e com a
carteirinha de identificação. Se, por acaso, não estiverem portando algum
desses dois, devem retornar até sua residência para pegar a carteirinha ou
vestir a camiseta e voltar à escola com autorização dos pais.
O segundo professor foi identificado como professor B. Vale ressaltar
63
que trata-se de um professor pesquisador e sua participação foi muito
importante no que diz respeito à colaboração de atividades e exemplos para a
coleta de dados. Esse professor se licenciou na Universidade Bandeirante de
São Paulo – UNIBAN, no ano de 2003, e cursou pós-graduação em
Administração. Mudou de área e decidiu cursar o mestrado em Educação
Matemática, que após a conclusão ingressou no Doutorado, que ainda está
como aluno. Ministra aulas há 10 anos, sendo que está há 6 anos na escola
atual. Leciona para as turmas dos 7º, 8º, 9º anos do ensino fundamental e 2º
ano do ensino médio. Reserva quatro de suas horas semanais para preparação
de atividades, e já nos informou que suas aulas não seguem um roteiro
preestabelecido. No último semestre, leu 18 livros, artigos e revistas sendo a
maior parte deles voltados a Educação Matemática. Tem o livro didático como
mero apoio para exercícios ou auxiliá-lo em suas aulas quanto às ilustrações
de alguns conteúdos, pois prefere preparar suas aulas sem o recurso do livro.
Prontamente, quando foi procurado, concordou em participar da pesquisa e
ajudar no que fosse necessário.
A escola do professor B está situada no bairro das Nações que é um
bairro mais distante do centro de Santo André, porém, de fácil acesso aos
principais bairros por meio dos trólebus. Fica perto de uma avenida muito
conhecida da cidade, a qual possui inúmeros comércios e é movimentada. A
maior parte das moradias da redondeza é composta por casas simples e
poucos prédios, mas as ruas do bairro também são compostas de diferentes
tipos de comércios. A escola é muito bem estruturada e grande, os banheiros
são limpos, bebedouros bem conservados e sua construção é térrea. Nessa
escola não é obrigatório o uso de uniformes, mas alguns alunos usam mesmo
assim. Tem inspetores pelo corredor, câmeras na entrada e na secretaria, o
pátio situa-se no centro da escola. A escola fornece merenda aos alunos
diariamente nos horários de intervalo. Por meio das visitas, foi possível
observar, também, a presença de pais na escola, eles se fazem presentes para
conversar com os professores e resolver diferentes tipos de problemas e
dúvidas.
O terceiro professor, denominado por nós como professor C, é
licenciado em Matemática e Física pela Faculdade Interação Americana
(Fainan) e não possui formação complementar. Atua por 7 anos no magistério,
64
sendo que nessa escola está há 2 anos lecionando para os 6º e 7º anos. Esse
professor assume o gênero “sargento”, dito por ele mesmo (como não tivemos
basicamente nenhum contato com os alunos, só temos a visão e colocação do
próprio professor). Ele acredita que isso funcione, pelo menos para manter a
sala em ordem e conseguir explicar o que é preciso. Dedica de duas a quatro
horas de seu tempo semanal para a preparação das aulas. No que diz respeito
à leitura, informou-nos que todo mês a escola recebe a revista Cálculo
matemático para todos, sendo esta a única revista que tem acesso e faz uso.
Para ele, o livro didático é apenas um complemento, e o utiliza como recurso
didático ou material de apoio. Outro recurso que ele utiliza é a internet, além da
ajuda de seus colegas de trabalho.
A escola do professor C está situada no município de São Bernardo do
Campo, no bairro Demarchi, e também tem acesso fácil por uma avenida muito
conhecida e movimentada do bairro. Possui um ponto de ônibus bem próximo à
escola, ali passam ônibus de diversos lugares do município e também ônibus
para Santo André. Os alunos são de diferentes locais de São Bernardo do
Campo e nessa escola também não é obrigatório o uso de uniformes. É
oferecida a merenda diariamente, além do almoço.
A escola está dividida em duas partes, contendo diversas salas e um
corredor em cada uma dessas partes que dá acesso ao mesmo pátio. A
biblioteca é muito usada pelos alunos e percebe-se que é um lugar
conservado. O bairro da escola tem prédios e casas em mesma quantidade.
Devido a avenida estar na rua próxima da escola, essa recebe seus
frequentadores de vários bairros. Próximo à escola, temos vários tipos de
comércio, mas principalmente diferentes restaurantes. A avenida e o bairro são
famosos pelos restaurantes que possui. Verifica-se, também, que nesse ano o
intervalo do 6º ano é separado dos demais, por serem considerados ainda
muito pequenos em relação aos demais, evitando-se assim, na concepção da
coordenação da escola, acidentes e demais transtornos.
65
3.2 A coleta dos dados da pesquisa
Como a coleta de dados foi feita no segundo semestre de 2014 e a aula sobre o
conceito de números racionais já havia sido apresentada aos alunos, resolvemos
nos adaptar a essa situação. Foram necessários dois encontros para a coleta de
dados efetivamente. Outros encontros aconteceram para conversas e momentos
de organização dos mesmos. Nesses encontros gravamos, transcrevemos e
analisamos todo o conteúdo que acreditamos ser necessário à pesquisa. Foram
então três fases. Para facilitar a compreensão do leitor, inserimos a seguir um
quadro que resume o modo como os dados foram coletados.
Quadro 1 - resumo da coleta de dados
Fonte: Elaborado pela pesquisadora
66
A primeira fase contou com uma conversa e apresentação do processo
de pesquisa, e nesse mesmo dia o professor recebeu um questionário,
Embora, atualmente, sejam pouco utilizados pelas pesquisas em abordagem qualitativa, os questionários podem servir como uma fonte complementar de informações, sobretudo na fase inicial e exploratória da pesquisa. Além disso, eles podem ajudar a caracterizar e a descrever os sujeitos do estudo, destacando algumas variáveis como idade, sexo, estado civil, nível de escolaridade, preferências, número de horas de estudo, números semanais de horas- aula do professor, matérias ou temas preferidos etc. (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p. 117)
Nesse questionário, o professor informou seus dados pessoais e lhe foi
entregue uma lista com questões contendo erros comuns que alunos cometem
ao estudar e resolver problemas envolvendo os números racionais. A nossa
intenção foi a que ele descrevesse seus comentários no encontro seguinte.
Além disso, foi solicitado que ele elaborasse três questões ou problemas cujo
conteúdo versasse sobre os números racionais.
No segundo encontro, a pesquisadora já estava com o questionário, as
questões comentadas e as três questões desenvolvidas pelo professor (ele
teve acesso a tudo isto antes para analisar e assim desenvolver as questões
para discussão no segundo encontro). Nesse encontro, foi discutida a maneira
como o professor corrigiu aquelas questões, identificou os motivos e o que
reconheceu dos erros dos alunos. Também, foi solicitado que explicasse como
ele resolveria algumas questões: as que ele desenvolveu, as que um colega
desenvolveu e outras três questões criadas pelo grupo de pesquisa, o
OBEDUC, no qual estamos inseridos.
Nesse encontro, constatou-se a veracidade da afirmação que “ninguém
parece discordar que o professor, ao refletir e sistematizar sua prática escolar,
produz e renova saberes” (FIORENTINI, LORENZATO, 2009, p.72). Ficou
claro, no referido encontro, que algumas reflexões foram realizadas pelo
professor. Uma delas se deu nas análises da maneira como ele resolve as
questões propostas, sejam as que ele propôs, sejam as que o colega elaborou.
Percebe-se que o professor renova seus saberes quando realiza uma
67
avaliação, ou se deve usar as suas questões ou as que seu colega propôs.
Na escola A, o primeiro contato foi através de uma supervisora do
Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) que orientou
uma visita à escola no dia de ATPC3 para uma conversa com os professores de
matemática. Como ela já conhecia a pesquisa, a coordenadora foi muito
solícita ao nos receber no local, apresentando-nos aos professores. Esse
professor foi o primeiro a que fui apresentada e, de imediato, se disponibilizou
para conversarmos. Subimos para uma sala que estava limpa. Foi possível
perceber que a limpeza na escola acontece em pelo menos dois turnos, na
saída dos alunos da manhã e na saída dos alunos da tarde.
Em uma sala reservada, pude conversar com o primeiro participante de
nosso estudo. Por ser o primeiro encontro, foi necessário realizarmos uma
conversa mais informal de início, para adaptarmos nosso roteiro da pesquisa
até chegarmos à divisão em três fases e isso possibilitou um contato maior com
esse professor.
Quando começamos as fases da pesquisa, telefonei, novamente, para a
coordenadora e confirmei todos os encontros. Com isso, cada vez que ia à
escola, enviava para o professor um e-mail no dia anterior para confirmar os
encontros e, sempre solícito, confirmava e me aguardava no dia seguinte.
No dia da primeira fase, o encontro ocorreu em uma sala de aula que
estava vazia, conversamos, discutimos algumas questões que versavam sobre
a apresentação da pesquisa, uma conversa para conhecer o professor um
pouco melhor para que não introduzíssemos a pesquisa de imediato e
entregamos também um questionário ao professor para traçarmos um perfil
geral de cada um. O professor, por sua vez, sempre se mostrando preocupado
se estava dizendo o que eu “precisava ouvir”.
Também, no primeiro encontro, ocorreu a segunda fase da pesquisa na
qual o professor recebeu outro questionário que apresentava as 13 questões
com os erros decorrentes do ensino dos números racionais para que ele
identificasse os motivos dos erros, o que o aluno conhecia ou não de
determinado conteúdo em determinada questão. E, neste mesmo encontro,
solicitamos que criasse três exercícios que utiliza quando ensina o conjunto
3 ATPC – Atividade de Trabalho Pedagógico Coletivo.
68
dos números racionais, o que chamamos em nossa pesquisa de fase 3.
No segundo encontro, repete-se o “ritual” de marcarmos o encontro por
e-mail, no mesmo dia e horário. Neste dia o professor estava um pouco doente,
mas mesmo assim me atendeu e respondeu a todas as questões a que nos
propusemos realizar neste dia. O professor entregou o questionário,
conversamos e discutimos sobre as questões dos erros decorrentes do ensino
dos números racionais e também sobre a resolução dos três “blocos” de
exercícios: os que ele criou, os que um colega criou e os exercícios elaborados
pelo grupo de pesquisa.
Na escola B, o primeiro contato também foi com outro supervisor do
PIBID e esse indicou um professor que dava aulas para o 7º ano, no período
da tarde. Ao chegar na escola, fui muito bem recepcionada. O professor me
direcionou a uma sala de aula e, ao saber que eu pesquisaria o conteúdo de
números racionais, mostrou seu planejamento informando que esse conteúdo
já havia sido ministrado nas salas de aula em que atua, mas poderia ajustá-lo
quando ensinasse proporções e porcentagem. Uma vez que o conteúdo de
números racionais se estende até esses conteúdos, analisei que a aplicação
com os alunos poderia acontecer em uma dessas aulas, sem prejuízo a
pesquisa.
Quando iniciadas as fases da pesquisa, a primeira fase era feita de uma
conversa seguida da apresentação da pesquisa, não encontramos salas
disponíveis para conversarmos à sós e em silêncio. Fomos ao pátio, sentamos
em um banco e foi possível conversar atendendo todos os requisitos desse
encontro. O professor se mostrou interessado e solícito a todo o tempo para
ajudar, respondeu todas as perguntas e aceitou ficar com o questionário e as
questões dos alunos para o próximo encontro.
No segundo encontro, foram concluídas, então, a primeira, a segunda e
a terceira fase da pesquisa, nas quais discutimos as questões e o professor
exemplificou como e porque explica de tal maneira e utiliza tais questões. B fez
questão de deixar tudo bem exemplificado e claro.
Na escola C, o contato ocorreu por intermédio de um participante do
grupo do OBEDUC, o qual informou que sua escola estaria de portas abertas a
novas pesquisas e discussões acerca da educação. Assim, ele deu o contato
do professor e agendamos um encontro. Com este professor tive apenas os
69
dois encontros planejados e as demais conversas ocorreram por e-mail ou por
meio deste colega do grupo. O professor, por sua vez, foi muito natural e
receptivo, aceitou participar de toda a pesquisa e suas fases, colaborou tempo
todo e sempre pareceu preocupado e interessado em ajudar no que fosse
preciso.
No primeiro encontro, já ocorreu a primeira fase da coleta de dados, no
qual tivemos a conversa na sala dos professores, pois não havia nenhuma sala
disponível naquele horário. A princípio, estávamos apenas ele e eu na sala dos
professores, porém, depois chegou mais uma professora e sentou na ponta da
mesa.
O professor participante não pareceu intimidado com a presença de
outra pessoa ali e continuou a conversa da mesma maneira natural e tranquila.
Em todo o momento o professor respondia as questões propostas e participava
das situações apresentadas a ele. Deixava claro que tudo que estava me
expondo era exatamente como ele fazia em sala, coisas que, em sua maioria,
ele aprendeu com a prática e não com a formação e até me disse sobre o que
ele aprendeu em sua formação nem se aplica naquela realidade.
O segundo encontro foi feito com o intervalo de uma semana apenas,
pois o professor teria compromisso e não poderia me atender 15 dias depois.
Isso não prejudicou aos itens propostos nesta pesquisa. Ele respondeu tanto
ao questionário quanto aos comentários das questões com antecedência e me
enviou por meio do colega do OBEDUC, pois sabia que eu não iria à escola
antes de uma semana.
No segundo encontro foram finalizadas a primeira, a segunda e a
terceira fase da coleta. Nesse dia, a reunião ocorreu na biblioteca e, dessa vez,
tinham alguns professores em outras mesas mais afastadas e, novamente, o
professor participou, exemplificou como apresentaria e resolveria as questões
de forma natural e descomplicada no que diz respeito ao desenvolvimento da
conversa, pois os exercícios, os métodos, etc., seriam discutidos por meio da
análise posterior dos dados.
Apesar dos esforços para padronizar nossos encontros ao máximo, cada
um deles ocorreu de forma diferenciada, natural e com poucos roteiros. Porém,
foi possível coletar os dados de maneira a dar continuidade a nossa pesquisa.
70
3.3 Instrumentos e procedimentos de coleta de dados
A coleta de dados foi realizada utilizando-se de três procedimentos que
contaram com três instrumentos que denominamos: Questionário, Análise de
erros, Questões elaboradas. A seguir, faremos uma descrição detalhada destes
procedimentos, com o objetivo de apresentar como nos auxiliaram e qual o
papel de cada elemento coletado nesta pesquisa.
3.3.1 Procedimento 1 – Instrumento: Questionário
Ao iniciar a coleta de dados, foi aplicado um questionário em que o
professor respondeu algumas questões para traçarmos o seu perfil.
Vale lembrar que, nesse primeiro procedimento, contamos também com
uma conversa para apresentação do projeto, organização da agenda para
coleta dos próximos instrumentos, em que gravamos toda a discussão. O
questionário foi entregue ao professor, garantindo 15 dias para responder,
evitando que ele respondesse às pressas. Abaixo, apresentamos as questões
envolvidas no questionário e seus respectivos objetivos.
Questionário
Prezado professor,
Este questionário é parte do projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade
Federal do ABC. Agradeço sua participação voluntária nesta pesquisa,
lembrando que a tabulação dos dados será feita anonimamente. Caso precise
de mais espaço para responder as questões, utilize o verso da folha.
O objetivo deste questionário é de conseguir conhecer a formação do professor
participante e o modo como articula suas atividades em sala de aula sem que
seja necessário fazer durante a nossa conversa, essas questões de respostas
fechadas para um melhor aproveitamento do tempo.
Formação do professor
Objetivo: Muitas vezes o professor traz para sala de aula “vícios” de sua
formação na licenciatura. Sendo assim, torna-se muito importante conhecer o
contexto de sua formação.
71
As dez primeiras questões trataram de caracterizar a formação de cada
sujeito de nossa pesquisa.
1) Nome:
2) Instituição em que se formou:
3) Curso de ano que se formou:
4) Tipo de graduação que possui:
5) Possui alguma formação complementar:
6) Tempo de magistério:
7) Tempo que atua nesta escola:
8) Qual série leciona:
9) Tempo semanal dedicado a preparação de suas atividades:
10) No último semestre quantos livros, artigos e revistas da sua área você
leu:
Utilização de recursos em sala de aula
Objetivo: Uma das divisões de base do conhecimento de Schulman trata-
se do Conhecimento Pedagógico Geral, o qual se refere a um amplo princípio e
estratégias em sala, condução e organização para apresentar certo conteúdo e
será esta organização e estratégia que pretendemos observar nestas questões.
As três questões seguintes, a saber 11, 12 e 13 foram elaboradas para
identificar quais eram os recursos utilizados pelo professor participante.
11) O livro didático é o seu principal recurso? Que papel você atribui ao livro
didático?
12) Qual função o livro didático desempenha na sua prática pedagógica?
13) Além do livro didático você poderia citar outros recursos utilizados.
3.3.2 Procedimento 2 – Instrumento: Análise de alguns erros
decorrentes no ensino de números racionais
O segundo procedimento de coleta contou com 13 questões resolvidas
pelos meus alunos ao decorrer de 5 anos de docência que guardei alguns
documentos como provas, listas de exercícios, etc., e, com esse material, pude
72
escolher as questões aqui utilizadas. Por um lapso de memória, acabei
esquecendo-me de apagar a correção, e em cada uma delas aparece o C de
certo ou X de errado. Mesmo com essa interferência, solicitamos ao professor
que analisasse as correções e descrevesse seus comentários na tentativa de
identificar o seu conhecimento sobre o conjunto dos números racionais, objeto
do nosso estudo.
Essas questões também foram entregues ao professor com um prazo
para devolução de 15 dias. Também foi explicado que ele teria um tempo para
fazer estes exercícios que estavam resolvidos e corrigidos, eles seriam
entregues com os devidos comentários para o pesquisador, para que o mesmo
pudesse analisar estas situações para possíveis comentários e discussões
posteriores. Solicitamos ao professor que ele desconsiderasse a
avaliação/correção que já havia sido feita e desse o seu parecer sobre os erros
dos alunos.
Foram escolhidas essas 13 questões, em particular, de maneira bem
minuciosa e que fossem capazes de abranger todos os subconstructos
descritos por Kieren (1988). No próximo capítulo especificamos em qual dos
subconstructos cada questão se enquadra e quais conceitos esperamos que
estejam envolvidos.
Nas questões escolhidas pelo pesquisador, espera-se que o professor
reconheça a relação do erro de cada uma delas, identificando a partir de sua
prática pedagógica as possíveis causas. Apresentamos a seguir o instrumento
que foi entregue ao professor, o objetivo de cada questão apresentada e os
comentários a partir da resolução do aluno.
Fase 2 – Instrumento 2
Erros decorrentes no ensino de números racionais
Ao se dirigir a cada professor, foi lhe dito que esse é um momento em
que pediríamos a sua colaboração para a identificação dos possíveis motivos
que desencadearam estes erros cometidos pelo aluno. Pedimos também, que
se possível, corrigisse esses erros. Este documento podia ser levado para casa
73
e o professor poderia fazer qualquer tipo de consulta para nos ajudar neste
momento da pesquisa.
Objetivo: Verificar o quanto o professor consegue reconhecer dos erros
dos alunos e no que estes alunos estão errando e em seguida verificar como
ele trata e tenta corrigir estes erros.
Questão 1:
Figura 9 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Ao observar a resolução desta questão ele nos
aponte que este aluno encontra 3
8 de 240, porém, não consegue calcular o
dobro de 3
8 e também não consegue por uma segunda vez encontrar uma
parte de um todo.
Questão 2:
Figura 10 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
74
O que esperamos do professor: Deixar claro que existe uma dificuldade na
organização da resolução dessa expressão numérica, e mesmo conseguindo
encontrar o mínimo múltiplo comum e resolver as radiciações, esqueceu-se das
potências e chegou a um resultado incorreto.
Questão 3:
Figura 11 – Erros decorrentes do ensino de números
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Que ele nos explique que este aluno entende
por forma numérica a representação fracionária e decimal, porém, não
consegue representar (ou converter) a fração com um número decimal.
Observar também que esse aluno consegue fazer a conversão da linguagem
natural para a linguagem matemática.
Questão 4:
Figura 12 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
75
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: A questão trata da representação numérica na
reta, e esperamos que o professor nos aponte que este aluno aparentemente
não consegue encontrar com facilidade os números em sua forma fracionária
na reta. Ao responder um ponto, no caso D e F, isso não significa que ele tenha
a compreensão da localização correta do valor fracionario ao seu ponto
correspondente. Para nós, a resposta ao item se apresenta mais como um
“chute”.
76
Questão 5:
Figura 13 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Esperamos que ele identifique que esse aluno
consegue operacionalizar com frações durante toda a expressão e ao fim não
faz corretamente a soma de frações. A finalização do procedimento nos indica
que ele não domina soma e subtrações de fracionários, e a utilização do
mínimo múltiplo comum.
Questão 6:
Figura 14 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
77
O que esperamos do professor: Que ele observe que este aluno responde
corretamente aos quatro itens, errando somente no item a). Há claramente um
domínio da conversão da linguagem natural para a simbólica, O único erro
cometido pode estar associado a uma distração deste aluno, ou erro na escrita.
Questão 7:
Figura 15 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Diferente dos anteriores temos aqui nesta
questão uma situação-problema. Neste problema especificamente o aluno não
precisa converter a linguagem natural em simbólica, pois esses dados são
apresentados simbolicamente. O que se exige do aluno é a compreensão e a
interpretação para a sua resolução. Nesse caso esperamos que o professor
perceba inicialmente que mesmo se o aluno tivesse efetuado os cálculos
“corretamente”, ainda assim, daria a resposta errada, pois teria de ser um valor
inteiro e ele não se atentou a isto. Além disso, ela demonstra não saber operar
com frações, não domina o mínimo múltiplo comum, além de não encontrar
uma parte de um todo.
Questão 8:
Figura 16 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
78
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: No item temos uma divisão de números
inteiros que foi representada em forma de frações, ou seja, como sendo a
razão entre esses dois números. Esperamos então que o professor perceba a
dificuldade do aluno em representar números e operações em forma de
frações; c) Um erro decorrente de regra de sinais, esperamos que o professor
nos dia que o aluno não compreende que a divisão entre um inteiro positivo e
um inteiro negativo resulta em um inteiro negativo; d) Esperamos que o
professor reconheça que o aluno não compreende de que uma dízima
periódica é um número racional.
Questão 9:
Figura 17 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
79
O que esperamos do professor: Esperamos que o professor perceba que
inicialmente a aluna consegue operacionalizar com frações, fazendo as
transformações e adaptações para iniciar a resolução da expressão, efetua as
primeiras operações, porém, se confunde ao final final do exercício mostrando
que existe uma dificuldade na realização dos cálculos.
Questão 10:
Figura 18 – Erros decorrentes do ensino de números racionais.
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.).
O que esperamos do professor: Novamente o aluno organiza a expressão com
facilidade, demonstra dominar a operacionalização com frações, tanto é que
efetua as primeiras operações, porém, se confunde no final do exercício. Então
esperamos que o professor identifique tanto as dificuldades do aluno neste
caso quanto as facilidades que o aluno encontrou para resolvê-lo.
Questão 11:
Figura 19 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
80
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: O professor deve atentar-se ao fato de que o
aluno tem o conhecimento sobre potenciação de base negativa com o
expoente par, porém equivoca-se ao realizar o cálculo da segunda potência e
logo em seguida também demonstra não saber operacionalizar com frações.
Questão 12:
Figura 20 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Esperamos que o professor nos aponte que o
aluno compreende e sabe utilizar a regra de sinal e a multiplicação de frações
por um inteiro, contudo, o aluno errou no algoritmo de divisão de frações nos
mostrando que encontra certa dificuldade neste assunto.
Questão 13:
Figura 21 – Erros decorrentes do ensino de números racionais
Fonte: Questões elaboradas pela própria pesquisadora (experiência profissional, currículo das
81
escolas, Parâmetro Curricular Nacional, etc.)
O que esperamos do professor: Observe que no item “a” o aluno demonstra
dominar a operacionalização de frações, resolve radiciação e adição de frações
sem problemas, entretanto, no item “b” o aluno já não consegue ao menos
começar a potenciação e divisão, talvez pelo fato de como a questão lhe foi
apresentada demonstrando o fato de que os alunos encontram maior
dificuldade nesta apresentação de divisão em forma de fração.
3.3.3 Procedimento 3 – Instrumento: Discussão das questões
elaboradas
Esse procedimento contou com uma conversa anterior, na qual o
professor foi solicitado que resolvesse a três conjuntos de problemas, um que
ele criou, o segundo rol proposto por seus colegas e o terceiro com os
problemas criados pelo grupo de pesquisa do OBEDUC. O objetivo foi o de
discutir sobre os „por quês‟ de como ele resolve e analisa cada questão, sejam
as que ele produziu, sejam as dos colegas ou as nossas. Assim, esse terceiro
instrumento de pesquisa foi composto de três conjuntos de questões
analisadas pelos sujeitos.
A seguir apresentamos o roteiro de como foi feita a conversa e seu
respectivo objetivo. Primeiramente, observamos como ele pensa em trabalhar e
como ele resolve as questões propostas por ele, as três questões que o colega
propôs e as três questões propostas pelo grupo. Neste mesmo encontro
realizamos uma conversa com o objetivo de discutir sobre os „por quês‟ de
como ele resolve e analisa cada questão. Vale destacar que neste momento já
tínhamos em mãos as questões dos alunos corrigidas por ele também.
O objetivo é analisar e identificar o seu conhecimento matemático para o
ensino de números racionais, por isso gravamos todo esse encontro para que
no momento de análise pudessemos utilizar a fala do professor e identificar os
domínios de nossa análise.
82
Roteiro para o desenvolvimento do procedimento 3 na terceira fase – 2º.
encontro. Nosso roteiro foi composto de sete itens que serão descritos a seguir.
1 – O professor irá apresentar as questões que ele elaborou;
Objetivo: Identificar quais as questões que o professor considera importantes
quando for ensinar o conteúdo dos números racionais aos seus alunos.
2 – Ele irá comentar a importância destas questões e porque as escolheu;
Objetivo: Identificar a importâncias dessas questões para o professor e o
motivo da escolha, o porquê dessas três e não outras, etc.
3 – Pediremos ao professor que nos mostre como ele explicaria tais questões
aos alunos;
Objetivo: Observar como o professor explica esses exercícios aos seus
alunos, se o professor já reconhece quais dúvidas emergem deste ensino e
quais dúvidas os alunos encontrariam para resolver tais questões.
4 – Apresentamos as questões elaboradas por um colega (um dos outros 2
professores envolvido na pesquisa) e verificamos se ele utilizaria tais questões
com seus alunos;
Objetivo: Verificar se o professor utilizaria tais questões com seus alunos, se
ele acha que as questões são convenientes e ouvir suas explicações para tais
questionamentos.
5 – Se sim. Solicitamos ao professor que novamente nos mostre como ele
explicaria tais questões aos alunos;
Se não: Vamos para o próximo bloco de questões;
Objetivo: Caso o professor escolha utilizar estas questões gostaríamos de
observar como ele as explicaria aos seus alunos, se ele identifica as
dificuldades e facilidades de tais questões por parte de seus alunos. Por outro
lado, caso o professor opte por não utilizar tais questões, gostaríamos de saber
o motivo e verificar como o professor apresentaria essa justificativa.
6 – Apresentamos as questões elaboradas pelo grupo para o professor e
83
verificamos se ele utilizaria tais questões com seus alunos;
Objetivo: O objetivo de usar mais um bloco de questões foi o de nos certificar
de que o maior número de tipos de questões envolvendo os números racionais
seria analisado pelo professor, se ele utilizaria esse tipo de questão quando
estivesse ensinando o conteúdo escolhido.
7 – Se sim: Novamente solicitamos que ele nos mostre como ele explicaria tais
questões aos alunos.
Se não: Finalizamos o encontro.
Objetivo: O objetivo desta questão é análogo ao objetivo da questão de
número cinco, caso o professor escolha utilizar estas questões gostaríamos de
observar como ele as explicaria aos seus alunos, se ele identifica as
dificuldades e facilidades de tais questões por parte de seus alunos. Por outro
lado, caso o professor opte por não utilizar tais questões, gostaríamos de saber
o motivo e verificar como o professor apresentaria essa justificativa.
Descritos nossos participantes, procedimentos de coleta de dados e os
nossos intrumentos, apresentaremos no capítulo a seguir a análise de cada um
dos dados coletados.
84
Análise dos dados
Nesse capítulo, apresentamosas nossas análises. Primeiramente,
discutimos as questões acerca dos erros decorrentes do ensino dos números
racionais apresentadas em nossa metodologia, além disso, abarcaremos os
conceitos subjacentes justificando novamente a nossa escolha por estas 13
questões que apresentam erros decorrentes do ensino dos números racionais.
Por uma questão de organização dividimos o restante em dois
momentos, a saber: Momento de analisar as questões dos erros decorrentes
do ensino dos números racionais propostas pela pesquisadora; Momento de
analisar as questões propostas pelo professor, as questões do colega e as
questões propostas pelo grupo de pesquisa.
Vale ressaltar que nesse segundo momento temos três grupos de
questões, primeiramente, as três questões que o professor acredita ser de
grande importância quando ensina o conteúdo dos números racionais. Depois
disso, ele analisará as três questões que um colega elaborou pensando ser
importante quando ele fosse ensinar tal conteúdo e por fim três questões
elaboradas pelo OBEDUC.
Esse capítulo de análise tem o objetivo de observar os conhecimentos
pedagógicos sobre os números racionais apresentados pelos professores da
educação básica. Esse é um assunto que não trataremos de forma isolada ou
principal, porém como uma característica que deve trabalhar juntamente com
todas as questões que compõem a formação profissional do professor de
Matemática, e que se deve articular com outros componentes, como o PCK,
dando corpo ao conhecimento profissional do professor da educação básica.
Para Fennema e Franke (1992),
(...)muitas evidências estão se acumulando para apoiar a ideia de que se um professor tiver uma boa compreensão conceitual da Matemática isto influenciará positivamente sua atuação em sala de aula.” (FENNEMA e FRANKE, 1992, p.151)
O conceito de número racional envolve um rico conjunto de
subconstrutos integrados, relacionando processos de uma gama de conceitos
85
elementares, segundo Behr, Lesh, Post e Silver (1983, apud, DAMICO, 2007,
p. 76). A compreensão ampla dessa gama de conceitos é condição necessária
para que o professor possa desenvolver atividades de ensino capazes de
construir conhecimentos significativos por parte dos alunos. Nesse sentido,
apresentamos primeiramente uma análise entre as questões e os
subconstructos, de modo a garantir a compreensão do leitor sobre esse
aspecto, e na sequencia abordamos os resultados coletados nesta pesquisa.
4.1 Questões x Subconstrutos
Nossa intenção nesse capítulo de análise foi a de identificar quais destes
subconstrutos descritos por Kieren (1993) em nosso aporte teórico, são
apresentados pelo professor, mas sim, a de apresentar em quais desses
subconstrutos cada uma das questões que escolhemos para o professor
analisar se encaixa.
4.1.1 Subconstruto quociente
A questões 8 teve por objetivo compreender o número racional como
quociente utilizando a fração como forma de representação do número
racional, bem como rever e encontrar as regras de sinais dos números inteiros
quando envolvemos operações com racionais. (Como por exemplo a divisão de
15 por 6).
Quando interpretamos um número racional como quociente, voltamos
nosso olhar para a fração 𝑥
𝑦 como uma divisão entre dois números inteiros
(𝑦 ≠ 0 ), neste caso a representação 𝑥
𝑦 indica uma relação entre duas
quantidades x e y representando uma operação, ou seja, 𝑥
𝑦 é visto como 𝑥 ÷ 𝑦.
O exemplo a seguir ilustra nossa essa representação.
86
4.1.2 Subconstruto operador
As questões 2, 5, 9, 10, 11, 12 e 13 foram escolhidas com o objetivo de
compreender o número racional como operador; reconstruir a unidade a partir
de suas partes usando o significado operador, a representação em fração,
número decimal e porcentagem e também as suas propriedades de operações.
A operação 𝑥
𝑦 . 𝑎 = 𝑏 do subconstruto operador é um amplamente
utillizada nos mais diferentes contextos da educação Básica. Não podemos
esquecer que quando interpretamos frações como operadores, trazemos uma
visão de transformação, modificando determinada situação. Podemos
caracterizar essa modificação na operação de divisão seguida de uma
multiplicação ou vice-versa. Abaixo trouxemos um exemplo ilustrando a uso
incorreto desse subconstructos.
4.1.3 Subcontruto medida
A questões 4 refere-se à identificação de números racionais na forma de
fração ou decimal com o recurso da reta numérica e é relativa ao valor de
posição de um número racional utilizando a reta numérica para identificar o
87
número racional pedido, localizar e posicionar na reta um número racional,
comparar uma grandeza com outra tomada como unidade e comparar e
ordenar números racionais representados de formas diferentes.
O conceito de medida envolve ideia de comparação. Nesse caso, é
necessário que se estabeleça um termo único de comparação entre duas
grandezas de mesma espécie. A questão também exige uma resposta para a
pergunta “ quantas vezes?”, o que se faz quando um número que exprima o
resultado advindo de uma comparação. Esse número chama-se medida da
grandeza em relação a essa unidade (CARAÇA, 1951, p. 29)
4.1.4 Subconstruto razão
As questões 3 e 6 pretendiam que os alunos identificassem a “metade
dos alunos de uma sala” por comparação da razão entre “o número que estava
na sala com o número total de alunos”, por exemplo.
Nesse subconstruto, assim como para Kieren (1993), o número racional
na forma fracionária representa comparação entre duas quantidades, portanto,
é considerado índice comparativo. Nesse caso, a representação está
associada à relação entre quantidades, em que lemos “a está para b”.
88
4.2 Análise dos erros decorrentes do ensino dos números racionais
A partir desse item, passamos a analisar os dados coletados com os
nossos sujeitos. Identificamos aqui os erros que os professores reconheceram
e quais domínios do MKT foram apresentados por eles
Nossa análise foi iniciada com o professor A e na sequência com os
professores B e C. Temos um total de 13 questões que foram lidas e
interpretadas pelos sujeitos.
Por domínio entendemos neste momento os dois que se apresentam no
quadro resumo de Ball, Thames e Phelps (2008) em que o grupo ampliou a
categoria do PCK de Shulman (1987) em dois domínios assim por eles
chamados de Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes (KCS) e
Conhecimento do Conteúdo e o Ensino (KCT).
Então adotamos os mesmos domínios propostos pelos pesquisadores
Ball, Thames e Phelps (2008):
KCS – Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes: Quando o professor
reconhece os problemas que os alunos encontram quando aprendem
determinado conteúdo, no nosso caso dos números racionais.
KCT – Conhecimento do Conteúdo e o Ensino: Neste caso o professor em
suma reconhece as dificuldades que determinado conteúdo apresenta quando
é ensinado aos alunos.
Sobre o KCC – Conhecimento do Conteúdo e o Currículo não tratamos
89
em particular, pois não temos o aporte teórico do nosso próprio referencial de
MKT, afinal os autores não trouxeram uma análise aprofundada deste domínio.
Em seu trabalho, Ball, Thames e Phelps deixam claro a necessidade de um
estudo mais abrangente sobre tal domínio para melhor caracterizá-lo.
Quando pensamos no ensino e nas exigências matemáticas que tem o
professor, nos deparamos com a seguinte ideia de Thames e Ball (2010):
[...] ensinar exige ser capaz de responder os “porquês” das crianças: Por que encontramos denominadores comuns ao somar frações, mas não quando multiplicamos frações? Por que contamos as casas à direita do ponto decimal e somamos quando multiplicamos decimais? – “tradução nossa” (THAMES e BALL, 2010, p.3)
São pensamentos e questionamentos como esses que o professor
muitas vezes irá se deparar e tem que apresentar uma resposta imediata,
assim acreditamos que os professores necessitam de um tipo de conhecimento
que mescla o conhecimento do conteúdo com o conhecimento pedagógico,
este conhecimento seria o conhecimento pedagógico do conteúdo, ou PCK de
Shulman (1987), que foi subdividido em dois domínios do MKT de Ball, Thames
e Phelps (2008) que são o KCS e KCT.
Discutidos tais domínios, analisamos se eles estão presentes no
momento em que o professor cria, resolve e identifica erros em questões
relacionadas ao ensino dos números racionais. Ressaltamos que nossa
intenção não é a de concordar ou discordar com o professor, mas sim
identificar os conhecimentos mobilizados por ele quando ensina determinado
conteúdo, em nosso caso especifico, dos números racionais.
Apresentaremos aqui as análises das questões nas quais os professores
demostram de maneira mais explícita um dos domínios do MKT, questões que
os professores não trouxeram esses domínios, trouxeram de maneira implícita
ou de diferentes interpretações não serão apresentadas em nossa análise.
90
Professor A
Questão 1:
Figura 22 – Resposta do professor A para a questão 1 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Nesse caso afirma que o erro do aluno é devido a interpretação de texto,
sendo assim, aqui não identificamos nenhum dos domínios por nós analisadas
KCS ou KCT nessa questão, afinal o professor não identifica uma dificuldade
que o aluno tem relacionada direta ao conteúdo dos números racionais.
Quando o professor nos diz que faltou a interpretação seguido de uma
demonstração do que faltou, poderíamos identificar o KCS e se ainda após isso
fosse buscar meios de sanar tais dificuldades poderíamos identificar também o
KCT.
91
Questão 2:
Figura 23 – Resposta do professor A para a questão 2 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Acreditamos que aqui se identifica o domínio KCS, pois o professor
identifica o conhecimento que em suas palavras “falta” para o aluno como
nesse caso ele nos mostra “faltou o conhecimento de potência”, ele quer dizer
que a defazagem deste aluno neste caso foi no momento em que ele aprendia
o conteúdo de potências e suas propriedades.
Questão 3:
Figura 24 – Resposta do professor A para a questão 3 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Relata o que o aluno conseguiu resolver, aqui, podemos identificar um
indício de seu KCS, pois ele apresenta um conhecimento sobre o conteúdo e
os estudante quando nos diz que o aluno “sabe colocar as informações do
português para a matemática”. Porém ao mesmo tempo ele não percebe uma
92
dificuldade nítida neste exercício que é o fato de que o aluno não sabe a
representação de uma fração como um número decimal.
Questão 4:
Figura 25 – Resposta do professor A para a questão 4 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
O professor identifica que o que o aluno não sabe sobre números
racionais é a sua localização na reta numérica, ou seja, pontua no que essa a
dificuldade, o erro do aluno e quando o professor identifica tais coisas
encontramos o domínio KCS do nosso referencial teórico de análise. Além
disso, o professor apresenta evidências de KCT ao identificar que a forma
como a reta está graduada pode prejudicar a compreensão do aluno.
93
Questão 7:
Figura 26 – Resposta do professor A para a questão 7 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Acredita que seja um problema de interpretação, nesse caso, segundo o
nosso referencial, podemos identificar o KCS, pois o professor demonstra um
domínio do conhecimento do conteúdo e os estudantes ao identificar que o
problema foi na interpretação do aluno, porém, ele não nos apresenta uma
dificuldade/facilidade diretamente voltada ao conjunto dos números racionais.
Questão 10:
Figura 27 – Resposta do professor A para a questão 10 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Afirma que o aluno não visualiza regras, por não nos deixar claro qual de
qual regra se trata ou o motivo disso ocorrer, não é possível identificar nenhum
dos domínios. Se o professor nos mostrasse qual método e a qual conteúdo
essa regra está relacionada no conjutno dos números racionais, assim, seria
94
possível identificar o KCS.
Questão 11:
Figura 28– Resposta do professor A para a questão 11 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
O professor nos informa que a “regra” desconhecida pelo aluno esta
relacionada a prioridade, ou seja, qual operação ele deveria resolver primeiro.
Sendo assim, identificamos o domínio KCS que aparece quando o professor
identifica a dificuldade relacionada a certo conteúdo no caso os números
racionais. Se notarmos no exercício anterior ele apenas nos diz que “o aluno
não sabe a regra” e aqui ele nos diz qual a regra em questão que é a “ordem”
de resolução das operações.
Questão 12:
Figura 29 – Resposta do professor A para a questão 12 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
A resposta deixa claro que o erro do aluno foi o de não reconhecer a
ordem de qual operação se deve resolver primeiro, quando o professor então
95
reconhece esse erro, esse momento identificamos o domínio KCS.
Professor B
Questão 1:
Figura 30 – Resposta do professor B para a questão 1 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Ele identifica e pontua no que o aluno acerta e exatamente qual o
momento em que o aluno começa a se equivocar, como podemos ler no
comentário do professor (KCS), além disso, ele nos traz uma ressalva de uma
outra maneira de resolução do mesmo exercício (KCT).
96
Questão 2:
Figura 31 – Resposta do professor B para a questão 2 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Nesse caso, o professor não consegue identificar o erro do aluno, porém
identifica que o aluno ainda não domina todo o conteúdo, somente no que diz
respeito a radicais de frações. Neste momento em que ele diz o que o aluno
sabe ou não sabe responder, como neste caso, identificamos o domínio KCS.
Questão 3:
Figura 32 – Resposta do professor B para a questão 3 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Se observarmos acima, o professor identifica exatamente onde está a
dificuldade do aluno “o aluno apresenta dificuldades para converter frações em
97
decimais, além disso, considera o valor do numerador como inteiro e o do
denominador como decimal.” Assim identificamos o domínio do nosso
referencial.
Questão 4:
Figura 33 – Resposta do professor B para a questão 4 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Aqui, ele inicia a abordagem observando o fato de que a escola já não
facilita o entendimento do aluno, pois o professor já percebeu que sua
dificuldade, nesse caso, está relacionada a interpretação dessa escala (KCS)
e, com isso, encontraria um meio de fazer com que este erro não ocorresse
(KCT) utilizando uma escala “mais clara”.
Questão 5:
98
Figura 34 – Resposta do professor B para a questão 5 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Através de uma análise de erros e acertos novamente o professor
apresenta em qual conteúdo se encontra a dificuldade do aluno e também o
que ele sabe fazer (KCS), comparando o que ele compreendeu e no que ele se
“perdeu”.
Questão 6:
Figura 35 – Resposta do professor B para a questão 6 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Não identificamos nenhum domínio nessa questão, o professor não
apresenta alguma dificuldade ou facilidade pontual do aluno, e também não
nos diz sobre as dificuldades do exercício em questão.
99
Questão 7:
Figura 36 – Resposta do professor B para a questão 7 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
O professor inicia apresentando o que o aluno não fez e o que ele fez de
incorreto “somou diretamente os denominadores”, sendo assim identificamos o
domínio KCS. Apesar de não ter compreendido a resolução do aluno e como
ele chegou em certos resultados, o professor, novamente, apresenta maneiras
diferentes de como o aluno poderia ter resolvido um mesmo exercício, portanto
o domínio encontrado é KCT de nosso referencial.
100
Questão 8:
Figura 37 – Resposta do professor B para a questão 8 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
A) identifica as duas dificuldades que o aluno pode ter encontrado ao resolver o
item ou regra de sinal, ou simplificação de frações. (KCS)
B) novamente o professor indica que a dificuldade do aluno seria a regra de
sinais ou entender a razão entre os números. (KCS)
D) aponta que o problema do aluno foi não reconhecer a dízima periódica como
pertencente ao conjunto dos números racionais. (KCS)
Em todas as alternativas em que o professor fez suas análises, o
mesmo, apesar de nos apresentar de maneira pontual em que momento o
aluno “acerta ou erra” os exercícios, o professor não nos apresenta nenhuma
nova estratégia para explicar determinado conteúdo. Sendo assim, não
indentificamos o domínio KCT.
101
Questão 9:
Figura 38 – Resposta do professor B para a questão 9 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Novamente, faz uma análise bem minuciosa, em que identifica os erros
e acerto dos alunos, o que pode ter acarretado esses erros nos apresentando o
domínio KCS. E ainda há o que ele poderia fazer para facilitar essa resolução
que se enquadraria no domínio KCT.
102
Professor C
Questão 2:
Figura 39 – Resposta do professor C para a questão 2 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Quando se refere a regra matemática, o professor se refere a elevar a
fração a -1, podemos concluir isso, pois o mesmo deixa grifado em sua
resposta. Portanto, nos mostra em que o aluno errou e nesse caso o que ele
não sabe, apresentando assim o domínio KCS de nosso referencial.
Questão 3:
Figura 40 – Resposta do professor C para a questão 3 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Ele identifica a dificuldade que o aluno tem em relação a representação
dos números racionais. Além disso, também nos apresenta de maneira pontual
o que o aluno sabe nos deixando claro o domínio KCS.
103
Questão 4:
Figura 41 – Resposta do professor C para a questão 4 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
O professor C, assim como o professor B, identifica a dificuldade na
interpretação da reta, talvez pelo motivo da mesma não estar na sua
representação mais clara, nos trazendo então uma dificuldade particular do
conteúdo quando ele é ensinado, nos apresentando o domínio KCT. Porém,
isso é uma possibilidade, como ele não nos deixa isso claro em sua análise
escrita, podemos identificar apenas o domínio KCS no momento em que ele
traz na sua fala a dificuldade particular do aluno.
104
Questão 5:
Figura 42 – Resposta do professor C para a questão 5 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Quando se refere a regra matemática o professor se refere a elevar o
resultado a 2 novamente grifando em sua resposta. E esta é a única dificuldade
que ele acredita que o aluno apresente nesta atividade, ao apresentar a
dificuldade ou facilidade do aluno com este determinado conteúdo, dos
números racionais, identidicamos o domínio KCS.
Questão 7:
Figura 43 – Resposta do professor C para a questão 7 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Acredita o professor ser um caso de desatenção, apesar dele não nos
pontuar o erro ou acerto do aluno, nem tão pouco um possível motivo para que
ele tenha cometido esse erro ou acerto, ele nos deixa um indício de que talvez
esse enunciado tenha sido apresentando de maneira que não facilitou a
compreensão dos alunos. Sendo assim, podemos identificar o KCS e também
o indício do domínos KCT, pois se em sua opinião este enunciado não está
claro aos alunos, ele provavelmente buscaria outra maneira (outra estratégia)
de apresentar este exercício aos alunos.
105
Questão 8:
Figura 44 – Resposta do professor C para a questão 8 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Atenta-se ao fato de que ao mesmo tempo que o aluno acerta uma
alternativa, ele erra a outra que em sua opinião exige o mesmo conceito (KCS).
Questão 9:
Figura 45 – Resposta do professor C para a questão 9 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Alertou que o aluno talvez não saiba a tabuada e novamente traz o
conceito de “regra matemática” como sendo a operação de divisão de frações,
o qual deixou grifado, assim nos apresenta o problema que o aluno encontrou
quando estava resolvendo tal exercício apresentando assim o domínio KCS.
106
Questão 10:
Figura 46 – Resposta do professor C para a questão 10 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Aponta que a dificuldade do aluno em relação a raiz quadrada pode ser
o que tenha acarretado os demais erros, assim percebe-se o domínio KCS de
nossa análise. Uma vez que o professor, novamente, identifica uma “lacuna” no
conhecimento de seu aluno.
Questão 11:
Figura 47 – Resposta do professor C para a questão 11 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Com relação aos números racionais, o professor identifica uma
dificuldade com a potência negativa, e ocasionado com que o aluno errasse o
restante do exercício, caracterizando ao nosso ver que o professor apresenta o
domínio KCS.
107
Questão 12:
Figura 48 – Resposta do professor C para a questão 12 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
O professor identifica que o aluno sabe multiplicar com frações, e
descreve a facilidade do aluno na multiplicação. Percebemos que também se
enquadra no domínio KCS, porém notamos também que ao tratar da divisão, o
mesmo já não se recorda do algoritmo de resolução, e fica claro, novamente, o
domínio KCT de seu conhecimento pedagógico nesta descrição.
Questão 13:
Figura 49 – Resposta do professor C para a questão 13 dos erros
decorrentes do ensino de números racionais.
Apresenta o fato de que o aluno tenha uma certa facilidade para operar
com a radiciação, porém afirma que o aluno tem dificuldades para operar com
frações associadas com potencias de expoente negativo. Parece-nos que o
domínio KCS se aproxima dessa resposta, pois o professor reconhece os
problemas que os aluno encontra quando aprende tal conteúdo.
108
Nesse ponto de nossas análises, foi possível identificar algumas
questões que trouxeram uma reflexão comum aos professores como a questão
4 em que o aluno deveria localizar alguns pontos na reta numérica e, assim,
trazíamos os erros que ele cometeu quando resolvia esse exercício. Todos os
professores trouxeram a ideia de que o aluno encontrou mesmo a dificuldade
na interpretação da reta apresentada e da localização dos pontoas na reta, seja
por não conseguir visualizá-lo, como uma parte do inteiro, ou não conseguir
transformá-lo, em número decimais para facilitar o “posicionamento” do número
ou mesmo o fato de não ter conseguido interpretar a própria reta.
O fato, nesse exercício, é que identificamos o KCS dos três professores
em questão, acreditamos que isso ocorreu pelo fato de que esse realmente
seja um momento no qual os alunos comumente apresentarem dificuldade no
momento em que aprendem e carregarem tais dificuldades durante seu período
escolar.
Também identificamos questões que trouxeram reflexões completamente
diferentes para cada um dos três professores como, por exemplo, a questão de
número 7 em que o professor A acredita que seja um caso de dificuldade na
interpretação do texto pelo aluno que, em suas palavras, “não sabe interpretar
Português e nem Matemática”, já o professor B acredita que a dificuldade do
aluno seja nas propriedades operacionais de soma de frações, já o professor
C acredita que o aluno tenha se perdido no enunciado, pois os dados estão
apresentados em forma de fração e a pergunta é feita em total de carros.
Entendemos que as diferenças acontecem devido a vivência que o
professor tem nesse momento com a sua sala e as dificuldades frequentes
apresentadas pelos seus alunos, sabemos que esses conhecimentos KCS e
KCT são conhecimentos que emergem da prática, da vivência no cotidiano
escolar.
Muitas vezes o professor nos trouxe indícios do KCS, porém pouco foi
demonstrado sobre o seu KCT. Sendo assim, interpretamos que o professor até
identifica o erro do alunos, porém, não nos traz involuntariamente uma maneira
de “sanar” tais dificuldades, talvez pelo fato de não termos deixado claro a
necessidade dessa apresentação, no momento em que apresentamos a nossa
pesquisa e os nossos dados dos erros decorrentes do ensino dos números
racionais.
109
4.3 Análise do momento em que o professor cria suas questões, resolve
as questões do colega e as questões propostas pelo grupo de pesquisa.
Identificaremos aqui os tópicos mais importantes sobre o ensino dos
números racionais que os professores reconheceram, além disso, elencaremos
quais domínios do MKT foram demonstrados pelo professor em sua fala.
Nesse momento, traremos a apenas as falas dos professores nas quais eles
nos apresentam tais domínios. Lembrando que não analisamos os 6 domínios
do MKT, nosso olhar foi voltado apenas a dois destes domínios.
4.3.1 Professor A
No primeiro encontro, solicitamos que o professor criasse três problemas
considerados pertinentes para aplicar aos alunos quando estivesse trabalhando
o conteúdo dos números racionais, são esses os exercícios, segundo a fala do
professor A:
Figura 50 – Questões elaboradas pelo professor A
“Este primeiro exercício eu já percebi que apareceu em quase todos os
blocos de exercícios que você me trouxe hoje, mas quando eu elaborei os
exercícios que eu utilizaria a única diferença é que eu daria a reta já com as
escalas. Bom e daí segue o mesmo esquema, divido o numerador da fração
pelo denominador e encontrar os pontos na reta. Aqui também é necessário
atentá-los aos números que o resultado da divisão é negativo assim eles vão
prestar mais atenção”.
Domínios do MKT: KCS, o professor destaca a necessidade de preparar
os alunos para a propriedade divisão de números inteiros, pois é um
procedimento normalmente esquecido por eles. KCT, o uso de uma escala
110
clara é uma estratégia que o professor utilizaria para melhorar o entendimento
dos alunos no caso de um exercício deste tipo.
Figura 51 – Questões elaboradas pelo professor A
“Bom aqui é uma expressãozinha, eu gosto muito de exercícios deste
tipo pois podemos “treinar” vários conteúdos. Na letra a o mais importante é
observar se ele vai fazer a subtração corretamente, pois 5 – 14 = – 9 e não 9, e
após isso quando for dividir o 27 terá que recordar que tem a regra de sinal. Na
letra b não tem muito segredo, ele vai fazer o cálculo da raiz e depois disso a
subtração e a divisão por último”.
Domínios do MKT: KCT, novamente o professor apresenta um momento em
que nos deparamos com uma dificuldade do aluno que vem desde o ensino
dos números inteiros e reflete no do ensino dos números racionais, a regra de
sinais quando for dividir. A fala do professor A deixa clara a identificação desse
domínio.
Figura 52 – Questões elaboradas pelo professor A
“Nesta última seria para trabalhar principalmente o MMC. Na letra „a‟ eles terão
que observar que abaixo do 2 está o 1 e daí fazer o MMC entre os
denominadores e depois dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima. Eu não
sei o porquê, mas isso não entra na cabeça deles de jeito nenhum. Se eles
lembram de fazer o MMC e não somente ir somando ou subtraindo os
denominadores eles não vão lembrar de dividir pelo de baixo e multiplicar pelo
111
de cima. Eles se perdem nessas regrinhas”.
Domínio do MKT: KCS, quando o professor atenta ao momento que
terão que recordar que a representação fracionária do número dois é feita
colocando o 1 como seu divisor e também quando o professor nos alerta ao
fato de que os alunos encontram muitas dificuldades ao fazer esta operação de
soma de frações. Já na fala do professor “mas isso não entra na cabeça deles
de jeito nenhum”, talvez seja porque “isso” não tenha significado algum para o
aluno. Trata-se de uma “regra” totalmente mecânica e que, para o aluno, não
faz nenhum sentido, destacando neste momento uma lacuna do KCT.
Figura 53 – Questões elaboradas pelo professor A
“Na letra b o que acontece muito é que eles primeiramente esquecem de
colocar o denominador no 5, aí depois de transformar o número decimal 0,2 em
fração para poder “operar” corretamente. Bom e depois disso é tudo aquilo que
eu já falei sobre o MMC e todas as regrinhas que eles sempre esquecem de
fazer”.
Domínio do MKT: KCT, o professor nos traz uma dificuldade que o
conteúdo apresenta em suas propriedades operacionais, podemos interpretar
novamente esse momento como sendo uma lacuna do KCT, pois o professor
não nos mostra como poderíamos trabalhar com esta dificuldade por exemplo.
Agora o professor A irá resolver os exercícios propostos pelo professor B:
Figura 54 – Questões elaboradas pelo professor B
“Aqui eu iria fazendo um por um, mostrando que para eles localizarem um
112
ponto na reta é só fazer a continha de divisão e transformar em número
decimal. Eu acho que para eles é mais fácil transformar a fração em número
decimal do que fazer as subdivisões na reta e colocar o número lá. Eles
dificilmente entendem que por exemplo 8
4 é o mesmo que 2. Claro que é muito
importante que eles entendam isto, só que as vezes eu opto pela parte prática
por ter a certeza que eles vão já entender do que explicar coisas que geram
mais dúvidas”.
Domínio do MKT: KCS, o professor nos diz que o aluno teria dificuldades
em encontrar o número em sua representação fracionária na reta e também de
identificar uma fração como um número inteiro no caso do 8
4. No outro
momento de sua resposta, identificamos uma lacuna no KCT do professor, pois
ele nos diz que poderia usar outros exemplos, porém, às vezes, utilizar esses
outros exemplos pode ser mais complicado.
Figura 55 – Questões elaboradas pelo professor B
113
“Esse do retângulo, deixa eu ver... na letra „a‟ já está na cara né, ele vai pintar 1
dos 36 quadradinhos. Na próxima parte ele vai ter que pensar, e dividir 36 por 4
e depois multiplicar por, e para achar 1
9 a mesma coisa, divide 36 por 9 e
multiplica por 1. Na letra „b‟ a resposta ja esta na a. Na „c‟ é só somar tudo que
pintou. Na letra „d‟ seria no que eles teriam mais dificuldades pois entra o MMC
e isto acaba confundindo eles com a parte que divide pelo de baixo e multiplica
pelo de cima. Na „e‟ é só ver o que ficou em branco!”.
Domínio do MKT: KCS quando nos diz que o aluno, nos primeiros itens,
já teria facilidade de identificar uma parte do todo no desenho e quando nos
descreve novamente uma dificuldade muito frequente do ensino dos números
racionais que é a soma de frações (adição ou subtração).
O professor A recebeu os exercícios elaborados pelo grupo do OBEDUC
(grupo no qual a pesquisadora fez parte durante toda a elaboração dessa
pesquisa), em que ele também irá nos dizer como ele resolveria.
Figura 56 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Na primeira aqui é a mesma coisa, vou fazendo as divisões e localizando os
pontos. Aqui teria que chamar a atenção deles para os números negativos
também”.
Domínio do MKT: KCs, novamente o professor nos alerta a necessidade
de fazer a conversão do número em sua representação fracionária para a sua
representação decimal, pois os alunos encontram muitas dificuldades em
identificar na reta o número em sua representação fracionária.
114
Figura 57 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Na segunda, a metade da metade... bom pediria para eles encontrarem a
metade, após isso, encontrar a metade deste resultado novamente. Assim,
encontrariam a resposta eu acho”.
Domínio do MKT: O professor acredita que este exercício não traria
grandes dificuldades para o aluno, logo, isto também caracteriza-se de KCS,
afinal, o professor reconhece a facilidade do exercício também.
Figura 58 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Este exercício é bem complicado, mas eu utilizaria frações sim! Primeiramente
seria a divisão dos chocolates em 5 crianças. O pedaço que sobrou seria 1 de
6, logo 1
6 do chocolate. Bom tudo certo e até agora eles teriam
1
6 cada um e
teria sobrado 1
6 do chocolate. Esse
1
6 que sobrou eles iriam dividir entre eles,
ou seja, dividir por 5, então seria 1
6∶ 5 . E a partir daqui iria relembrar com eles
as propriedades e regras de divisão de fração por um número inteiro que é
115
manter a 1ª fração e multiplicar pela 2ª fração invertida, e daí o resultado seria
1
30.”
Domínio do MKT: KCT quando o professor afirma que utilizaria o
conteúdo de frações para a resolução do exercício e explica como ele utilizaria.
E também o KCS, o professor atenta ao fato de que precisaria recordar com os
alunos as propriedades de divisão de frações, pois é um procedimento
comummente esquecido pelos alunos.
4.3.2 Professor B
Quando iniciamos nosso segundo procedimento, o encontro ocorre
como de costume: Na escola na qual o professor leciona e, antes mesmo de
começarmos a resolução dos exercícios, encontramos indícios no discurso do
professor que acreditamos apresentar os domínios KCS e KCT desse
professor. Logo após, ele começa a discursar sobre os três tipos de exercícios
que ele utilizaria para ensinar os números racionais. Apresentaremos partes
desse discurso nas respostas a seguir:
Figura 59 – Questões elaboradas pelo professor B
“Então na letra „a‟ eu utilizaria este conceito pois eu acho que quando a gente
está trabalhando é fundamental então essa ideia da fração como medida, a
fração como subunidade de inteiros, a fração como quociente, como operador
e como razão. Quer dizer então a gente tem várias possibilidades de
representar a concepção de fração e eu acho dentro deste contexto que é
importante trabalhar com os alunos por exemplo: eu tenho 3
4,
3
4 pode ser o
que? 3
4 pode ser medida,
3
4 de farinha, ou pode ser no exercício anterior (o caso
116
da hora) entendeu?”
Domínio do MKT: KCT, nesse momento o professor nos apresenta a
importância de deixar bem claro a concepção de fração, a que estou me
referindo como parte de algo. O professor acredita que para o ensino de
frações é muito importante a contextualização para tentarmos suprir as
necessidades e dificuldades dos alunos.
Figura 60 – Questões elaboradas pelo professor B
“Eu invento muita coisa na hora, eu elaboro a questão porque eu não tenho
muito formalizado as questões é porque tem tantas. Eu invento muita coisa na
hora, você vai ver naquela pergunta de livro didático eu quase não uso, eu
gosto de mobilizar as vezes os próprios conhecimentos que surgem na sala eu
não gosto de ficar muito preso a modelos né, eu crio na hora. Coloquei para
você assim as ideias, só em relação a parte todo que tem um exercício que eu
gosto muito. Por exemplo: A mãe sai de casa e deixa certa quantia em dinheiro
e um bilhete dizendo para os três filhos: ó reparta igualmente entre vocês. Ai o
1º filho chegou, viu o dinheiro lá e achou que ele era o 1º e pegou 1
3 e saiu, o
2º achou que ele era o 1º também né e pegou 1
3 e saiu, e o último achou que os
dois de fato já haviam pegado, pegou o que sobrou e saiu, tinha 40,00. Ai a
pergunta é quanto cada um pegou? Então acho que essa ideia de parte todo
fica legal trabalhar através desse problema”.
Domínio do MKT: O professor nos apresenta o domínio KCT quando nos
diz que “mobiliza as vezes os próprios conhecimentos que surgem na sala”
trazendo a ideia de buscar estratégias e exemplos de ensino embasadas ou
referenciadas nas dificuldades que surgem em sala de aula.
117
Figura 61 – Questões elaboradas pelo professor B
“A última é da ideia que eu trouxe de Durval, pois, na concepção de
Durval a aprendizagem só ocorre se o aluno mobilizar pelo menos duas
representações do que ele está estudando”.
Domínio do MKT: KCT, nesse “exercício” o professor se refere a
utilização da reta numérica. A importância de que o aluno entenda e visualize a
sua representação fracionária na reta, porém, que ele conheça outras maneiras
de localizar este mesmo número na reta pois isto faria com que tais
dificuldades fossem sanadas com a prática dos exercícios.
Então ele recebeu a folha com os exercícios propostos pelo professor C
para resolver:
Figura 62 – Questões elaboradas pelo professor C
“Bom 45 minutos em relação a uma hora, vai ter que representar isso em
termos de fração e depois 15 minutos ou 45 minutos em 1 hora. Então vamos
lá, primeiro aqui ele teria que ter a ideia dessa proporção aqui né 60 para 45 né
ele teria que começar falando que a representação aqui seria 3
4 né como o
aluno vai chegar nisso né, então se ele sabe que 60 é 1 hora então quanto
118
representaria 45 em relação a 1 hora né para ele chegar nessa representação
seria imaginar então a própria hora aqui com os múltiplos também então 45 min
a gente pode pensar em quais múltiplos de 5 de 10 ai a ideia aqui seria chegar
no de 15 e mostrar para eles então acho que seria mais fácil para eles
chegarem na representação e ai a mesma coisa com a letra b. Eu ainda
colocaria ao contrário aqui porque se ele identificar aqui que isso é 1
4 fica mais
fácil para 3
4 e eu trabalharia nessa linha.”
Domínio do MKT: KCT, o professor identifica que se for resolver tal
exercício utilizando o conceito de múltiplos facilitaria o ensino para os alunos, e
também traz a ideia de inverter o item „a‟ com o item „b‟, afirmando que
facilitaria o entendimento dos alunos.
Figura 63 – Questões elaboradas pelo professor C
“Bom o segundo eu vou ser bem sincero eu mobilizo logo de cara o
procedimento de manter a primeira fração e inverter a segunda. Porque eu
acho que eles não entendem de outra maneira e é uma maneira deles
entenderem quer dizer eu nem sei se é uma maneira deles entenderem mas
deles conseguirem mobilizar ali o que eles precisam fazer que é a divisão de
fração ali você entendeu? Eu até tento explicar o conceito que está por trás
mas a falta de interesse é tanta que eu tento passar o procedimento e é uma
coisa que pode auxiliar na prática então aqui seria o procedimento mesmo”.
Domínio do MKT: KCS, o professor acredita, baseado em experiências
anteriores, que o aluno tenha mais facilidade em compreender um
119
procedimento já “imposto” pelo professor e também identificamos o KCT pois o
professor em suas palavras “até tenta explicar o conceito que esta por trás
deste procedimento”, sendo assim, o professor acredita que trazendo um
procedimento facilitará aos alunos o entendimento, fazendo com que eles
conseguissem resolver o exercício. Como o professor afirma isso a partir de
sua tentativa e não só “acha” que deve dar certo ou não dar certo, podemos
identificar aqui o domínio KCT de seu conhecimento que relembrando trata-se
do “conhecimento do conteúdo no momento em que ele será ou esta sendo
ensinado”.
Figura 64 – Questões elaboradas pelo professor C
“E calcule as expressões numéricas, bom aqui mostraria para eles a
necessidade de..., inclusive naqueles exercícios que você passou tinha muitos
desses, vários erros dos alunos em relação a isso né as operações
principalmente de adição e subtração com denominadores diferentes eu ia
mostrar para os alunos que ó sempre... não é uma mágica por que a gente faz
o mmc? Ai eu pego aqui por exemplo 4 e 2 vamos pegar os múltiplos de 2: 2, 4,
6,... . Agora os de 4: 4, 8, 12,... , agora vamos olhar aqui entre os múltiplos qual
é o mesmo que é comum entre os dois ai eu faço eles verem e assinalarem.
Vocês estão vendo que tem vários? Na verdade, a gente poderia usar qualquer
um desses comum ai mas a gente usa p mínimo por que? Por que é o mais
simples quanto menor é um número, mais fácil da gente trabalhar ai vou lá faço
um esqueminha da representação, então se eu represento 3
4 como que eu
penso em subtrair isso ou somar sendo que são partes diferentes e ai chega no
MMC mostro para eles e falo ah tem um procedimento que nem sempre é fácil
120
de fazer essa ideia dos múltiplos até porque as vezes tem números e tal e ai
que está a ideia, sabe calcular mas por que está calculando aí eu mostro para
eles que a gente tem agora duas frações que são equivalente ou seja as duas
representariam a mesma coisa só que agora a gente tá falando de partes
iguais aos dois faço até o desenho então ó tá vendo eu vou pegar é sei lá 1
4 e
2
8
que é exatamente a mesma coisa dai faço a representação. Então aqui eu faria
isso e mostraria o resultado e então o restante seria mais a parte
procedimental”.
“E a letra „b‟ aqui, a gente já tá trabalhando com a representação decimal,
mostrar para eles que aqui resultaria 0,2 e isso ao quadrado, ah isso é
interessante eu gosto muito desse tipo de exercício né porque quando a gente
trabalha com produto de decimal é difícil eles entenderem que isso tende a ser
um número menor e é difícil, porque na multiplicação sempre tende a ser um
número maior principalmente quando estamos falando de naturais como que
pode 0,2. 0,2 dar 0,04 né então é um problema. Esse é bem interessante e
aqui ficaria bem nessa linha mesmo né de fazer a operação, multiplicar e ai eu
ia atentar justamente nessa parte mostrando para os alunos que quando a
gente trabalha com decimal os números tendem a diminuir”.
Domínio do MKT: KCT, o professor usa o conceito de frações
equivalentes, pois acredita que isto seria mais fácil do que apenas apresentar o
MMC. KCS é outro domínio que identificamos, dada a dificuldade frequente dos
alunos em entender que a multiplicação de números decimais é diferente nos
números inteiros, ao trazer como resultado um número menor (ou maior) do
que tínhamos.
Dando sequência ao nosso estudo, nesse momento, entregamos ao
professor os exercícios elaborados pelo grupo do OBEDUC, em que ele
também irá nos dizer como ele resolveria.
121
Figura 65 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Aqui os alunos complicam muito, porque eles não entendem o fato de que o -1
é maior que -2 né, eles tendem a colocar um antes do outro, então aqui é 1
4 né
subdividiria em 4 partes então o -1,25 estaria mais próximo do -1 que do -2.
Com o 1
3 mesma ideia, eu teria que ter a ideia queé positivo e eu diria para eles
ó estou dividindo 1 inteiro em 3, eu tento voltar muito lá nas ideias iniciais da
fração né. Representação nas ideias iniciais da fração né. Representação de o
que é 1
3 ? É o todo dividido por 3 né? O 2,00 espero que o aluno entenda que é
2. Aqui volta para a ideia que eu gosto de trabalhar, 6
2 é 3 né dá a ideia clara
para o aluno. − 8
5 é interessante se eu for trabalhar na ideia da razão eu tenho
1 inteiro + 3
5 né então eu teria que pensar numa subdivisão de 5 partes e aqui
esta bem complicado pois não esta subdividido, eu gosto de dar subdividido
para ele não ficar perdendo tempo nisso, eu acho que facilita né, certo? 5
2 dois e
1
5 então e
3
2 dois e
1
2. Então é essa ideia, a relação com o inteiro eu acho,
importante por isso que sempre eu vou buscar fazer desta maneira ele vai
entender que 6
2 é 3. Essa ideia de varias representações para um mesmo
número é importante, mas as vezes eles não pegam. Mas assim, a maneira
que eu fiz é como eu explico”.
Domínio do MKT: KCT pois o professor identifica várias dificuldades que
esse exercício apresenta, no fato de posicionar os números na reta, por
exemplo, nesta fala “aqui esta bem complicado pois não esta subdividido, eu
gosto de dar subdividido para eçe não ficar perdendo tempo nisso”. E aqui fica
claro uma estratégia que o professor utilizaria como facilitadora para ensinar
este conteúdo. Também identificamos o KCS, o professor nos traz o fato de
122
que os alunos se complicam quando vão posicionar um número negativo na
reta, ou seja, com o fato de que quanto maior for o valor absoluto um número
negativo, menor ele será, e estará mais distante da origem.
Figura 66 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Então a gente tem aqui 144, aqui eu trabalharia direito a ideia de proporção
mesmo tá? Então 1 pacote de farinha de 1,5 eu consigo fazer 144 cupcakes,
eu quero fazer 180 quanto vou precisar seria o x e resolveria esta regra de
três”.
Domínio do MKT: O professor opta por abordar o exercício utilizando o
conceito de proporção pois acredita que seja de melhor compreensão para o
aluno moblizando seu domínio KCT. Porém, o professor se preocupa em
resolver o exercício e com isto não nos traz nenhuma dificuldade os alunos
teriam quando fosse revolvê-lo, não mobilizando o KCS neste momento.
Figura 67 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Aqui tem a ideia de racional envolvido? Porque é múltiplo né, não sei talvez se
123
fosse uma quantidade mínima não sei. Mas eu acredito que a maioria pensaria
ou eu acredito que a maioria pensaria ou eu faço 60
20 que é 3, ou eu penso na
3.20 = 60 porque o aluno já pensa ao contrário né?”
Domínio do MKT: KCS o professor nos diz a maneira como o aluno
pensaria ao resolver determinado exercício, mesmo não trazendo uma
dificuldade direta deste aluno, e quando o professor pensa como o aluno, este
nos apresenta um KCS. Acreditamos ser necessário que o professor resolva a
questão para que possa identificar quais dificuldades os alunos teriam ao
resolvê-la.
Figura 68 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Tem que lembrar que é o Flávio e o irmão já são 2 pessoas, aí chegou mais 3
então são 5 e a divisão já é por 5 pessoas. Bom eu tô com um problema nesse
exercício, ele não fala todo o chocolate então eu vou tentar mostrar para os
alunos e pelo conhecimento deles já iam pensar primeiramente 1 pedaço para
cada, bom vai sobrar 1 pedaço e esse terá que ser dividido em 5 ou em
representação numérica daria para aprofundar mas se não seria assim (vide
folha). Então aqui é cada um deles eu já tenho 1
5 deixaria isso claro para o
aluno, cada pedacinho é 1
5 e ainda sobrou 1 pedaço que esse pedaço de
1
6 vou
dividir por 5. Então eles comeram 1
5 mais outra fração que vou encontrar no
1
6∶
5. Eu trabalharia assim, eu gostei do exemplo”.
Domínio do MKT: Podemos verificar um certo KCS do professor no início
de sua fala quando diz que precisamos nos atentar ao fato de que os alunos as
124
vezes contam o número de pessoas do problema incorretamente, porém na
resolução do exercício o professor já não apresenta mais nenhum dos
domínios.
4.3.3 Professor C
O professor inicia nossa conversa informando que por se tratar de uma
5ª série (6º ano) o exercício sobre reta numérica (que foi proposto pelo grupo
OBEDUC), pois não foi apresentado aos alunos ainda o conteúdo dos números
inteiros. O professor também nos diz como é sua rotina de aula:
“Primeiro de tudo eu dou o conteúdo, aí depois eu passo os exercícios que
nem, por exemplo, este da hora (apresentaremos o exercício mais a frente),
então antes de passar esse exercício de hora eu já estava no meu textinho
falando alguma coisa de hora então, daí eu passo os exercícios normalmente
são 5 exercícios e eles vão fazendo se tem dúvida vem me perguntar. Se
houve muita pergunta eu faço uma devolutiva maior, se não houve eu
simplesmente vou lá e faço a correção”. Neste momento já podemos identificar
o domínio KCT do professor uma vez que quando através das dúvidas
apresentadas pelo aluno, ele volta ao exercício reexplicando – o e dando uma
devolutiva aos seus alunos.
Figura 69 – Questões elaboradas pelo professor C
“Bom, então ele já sabe que tem 60, então a ideia é ele além de saber
representar então ele vai saber que 60é o número que está aqui é o número de
125
baixo e é o denominador e que o de cima é o 45 e que existe uma regra para
ser feita essa simplificação e o aluno também já sabe disso. Porque está no
enunciado, por exemplo, 60 minutos então para ele já está que é os
denominadores porque o denominador não é sempre o todo e aqui no de 15 é
a mesma coisa e aí ele iria fazer a simplificação. Normalmente na 5ª série eles
vão por tentativa e erro, então como eles viram MMC, MDC e divisibilidade eles
vão olhando aqui e colocar logo de cara o 5, pois para eles o conteúdo tá
recente, tá prático”.
Domínio do MKT: KCS, nesse caso o que nos leva a identificar tal
domínio está no fato desse professor relatar como o aluno pensaria para
resolver o exercício.
Figura 70 – Questões elaboradas pelo professor C
“Aqui eles viram que para resolver fração sobre fração e eles também viram
pelo enunciado é uma divisão, pois sempre fração é uma divisão, então apesar
de estar colocado dessa forma muitas vezes eu tenho que voltar a lembrá-los
que eu coloco sempre grande para eles lembrarem que ali é uma divisão, pois
na fração não existe divisão então você copia a primeira, inverte o sinal e o
inverso da operação e inverte o número que vem depois e aí sim você vai
resolver o exercício por multiplicação”.
Domínio do MKT: O professor nos diz que “muitas vezes eu tenho que
voltar para lembra–los” em determinado conteúdo então identificamos o seu
KCS. E consequentemente seu KCT quando o professor relata que é preciso
lembrar aos alunos quando se trabalha com operações com frações e sempre
“coloca bem grande para eles lembrarem que ali é uma divisão” nos
apresentando uma estratégia para facilitar a compreensão dos alunos.
126
Figura 71 – Questões elaboradas pelo professor C
“Então na letra a só tem “menos”, “mais” e “dividido” e na letra b ele vai ter que
ver a potência também. Então aqui ele vai ter que lembrar que ele vai fazer o
MMC primeiro antes de ir para o número, de ir para a operação, aqui também
depois na divisão ele vai ter que lembrar que ele vai ter que fazer o inverso. E
aqui na letra b primeiro ele resolve a conta de “menos” e depois faz a potência
e depois a multiplicação”.
Domínio do MKT: KCT, novamente, o professor demonstra o que o aluno
vai ter que lembrar, mas não no sentido de como ele pensaria, mas sim no
sentido do que o professor precisaria revisar com o aluno no momento em que
ele resolve o exercício.
Nesse momento, é entregue as questões do professor A. O professor já
avisou que as duas primeiras questões não conseguiria utilizar no caso dos
seus alunos pelo motivo já explicitado acima, então apresentaremos as demais
questões:
Figura 72 – Questões elaboradas pelo professor B
127
“Esse primeiro exercício eles até tentariam fazer, mas eles teriam um pouco de
dificuldade por conta do tamanho do enunciado, porque a 5ª série você tem
que se preocupar com isso também, assim como quando vem a avaliação
diagnóstica do estado...as vezes é melhor para eles, um enunciado mais
enxugado assim. É ruim pois lá na frente eles vão ter dúvidas só que eu jogo
de vez em quando, as vezes eu dou trabalho de resolução de problemas e aí
eu dou 10 probleminhas e aí tem sempre lá 1 ou 2 com enunciado grande”.
Domínio do MKT: KCS, o professor apresenta uma dificuldade bem
comum dos alunos mais novos em sua opinião, eles não conseguiriam se
concentrar o suficiente por conta do tamanho do enunciado. Quando nos traz
em sua fala que “as vezes é melhor para eles, um enunciado mais enxugado
assim” podemos identificar um indício do seu domínio KCT, pois ele tenta
facilitar a compreensão do aluno, porém, é uma medida que não soluciona
totalmente o problema pois quando os alunos se deparam com a avaliação
diagnóstica do estado, os alunos não conseguem resolver os exercícios nos
apresentando então uma lacuna em seu domínio KCT.
128
Figura 73 – Questões elaboradas pelo professor B
“A terceira está tudo claro por conta de ser o retângulo, está dividido em três
partes aí depois ela vem com as perguntas. Então ela manda pintar 1
36 , então
ela pinta o quadradinho e outra é essa parte de pintar pois veio com eles do
ensino fundamental I então essa parte de identificar é fácil então como a gente
começa com fração com eles é a gente sempre volta muito com eles numa
parte do desenho, como barra de chocolate, pizza, para mostrar a realidade
para eles então acredito que eles não teriam dificuldade . O que ia pegar aqui
na letra d na parte do cálculo que vai envolver MMC”.
129
Domínio do MKT: KCT, o professor diz que os alunos tem uma facilidade
com a representação mais visual de frações, já para calcular o MMC, ou seja, a
soma de frações eles encontram muita dificuldade mobilizando também o
domínio KCS neste momento.
Agora o professor C recebeu os exercícios propostos pelo grupo para resolvê-
los:
Figura 74 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Eu acho que eles ficariam com dificuldades de interpretar isso aqui circule a
metade da metade do conjunto de moeda, então eu teria que falar para eles
que ele tem que observar que tem 4 moedas e que não é só ver que tem a
metade, mas a metade da metade né. Eu acho que seria por aí que eu iria
trabalhar”.
Domínio do MKT: KCS, novamente o professor traz a dificuldade dos
alunos de interpretar o enunciado, porém, aponta exatamente em que e
quando essa dificuldade é encontrada e apresenta como faria para trabalhar
esse exercício com os alunos.
Figura 75 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
130
“Este exercício eles vão saber fazer porque eles estão vendo viram e aí eu
acredito que eles não tiveram problema de fazer eles sabem que o pacote de
farinha de 1 kg e meio, aqui ele poderia entender que ela vai precisar de 2
pacotes só que vai ser muito né então eles iriam por tentativa também né
porquê de 144 cupcakes, 180 ele vai precisar de mais 36 cupcakes só que né
então que 1 kg e meio de farinha vai ser muito, então visualizar isto para eles
para que eles possam fazer a continha. E aí então na correção com eles eu
faria 144 – 180 que vai dar os 36 né e aí aqui 1 kg e meio de farinha teria que
transformar né para ficar mais fácil deles interpretarem por grama para depois
eles dividirem daí eles fariam a divisão para ver quanto que vai utilizar dessa
farinha e esses 36 cupcakes. Então se eles fizerem 36 dividido por 1,5 teriam
que lembrar as regras das continhas com números decimais, igualar as casas e
etc.”.
Domínio do MKT: KCS, os alunos acabaram de aprender esse conteúdo,
e o professor afirma que eles teriam facilidade com o exercício. KCT, o
professor nos diz que precisaria lembrar os alunos de como se faz para operar
com números decimais, pois acredita que essa seria uma dificuldade que os
alunos apresentariam quando estivessem resolvendo este exercício que deve
ser retomada.
Figura 76 – Questões elaboradas pelo OBEDUC
“Aqui a mesma coisa, porém precisaria de 4 ônibus, pois se cabem 20 em cada
ônibus e chegam mais 15 precisará de 4 ônibus, então daí vai sempre na
mesma linha. Então aí eles precisariam estar conectados com o item „a‟ e „b‟
para poder fazer senão eles vão pensar o que: mais 15 vai precisar de 1 ônibus
né? Precisa mostrar para eles que são 2 ônibus”.
Domínio do MKT: Apesar de somente resolver o exercício, o professor
nos alerta o fato de que provavelmente teria que lembrar os alunos que não
existe a possiblidade de se ter meio ônibus, por exemplo, o que muitos deles
poderiam responder. Identificamos o KCS, pois a professor pensa como
131
pensariam seus alunos.
Feitas nossas análises, apresentaremos abaixo uma breve síntese dos
domínios apresentados pelos professores e uma conclusão inicial da resposta
da nossa questão de pesquisa que foi: Como se apresenta o conhecimento
pedagógico do conteúdo dos professores de matemática durante a sua prática?
Professor A
O professor A, apesar de ser um professor com muitos anos de prática,
pouco nos apresentou em relação os domínios do MKT descritas por Ball,
Thames e Phelps (2008). O professor em questão acredita que muitas das
dificuldades dos alunos vem da falta de interesse pela matéria e também da
preguiça de pesquisar e aprender mais sobre o tema.
Quando encontrou dificuldades de ensinar os números racionais, por
conta das “regrinhas”, parou com esse conteúdo e partiu para o próximo. O
professor acredita que na matemática um conteúdo está ligado ao outro, e que
muita coisa pode ser feita e explorada, porém já está cansado de tentar e não
conseguir a atenção dos alunos.
Devido à falta de estímulo, esse é um professor que não demonstour
não explorar os domínios propostos. Acreditamos que tais domínios se
apresentam e se aperfeiçoam com o tempo. A ausência de estímulos do
professor, muitas vezes, ao invés de tentar melhorar suas aulas, por exemplo,
buscando reconhecer a origem das dificuldades dos alunos (KCS) e, assim,
procurar métodos para ensinar melhor o conteúdo, dificilmente conseguirá
aprimorar o seu conhecimento matemático para o ensino.
Professor B
O professor B nos apresentou em todo o seu discurso, e em muitos
momentos em que resolvia, criava ou reconhecia os erros nos exercícios os
domínios do MKT. Acreditamos que esses elementos emergiram durante
nossos encontros pelo fato desse professor ter continuado seus estudos e
132
aperfeiçoamentos na área da Educação Matemática, porém esse não é o foco
da nossa pesquisa.
O professor B sempre se dispõe, diante da dificuldade do aluno,
relacionar os diferentes temas a que um conteúdo matemático possibilita e, no
caso, os números racionais, identifica qual o problema do aluno e reconhece
exatamente e, muitas vezes previamente, a dificuldade que ele encontrará
quando for ensinar determinado conteúdo (KCS).
Quando está ensinando ou criando, resolvendo e corrigindo exercícios
de determinado conteúdo, o professor é capaz de reconhecer as dificuldades
que esse conteúdo apresenta quando é ensinado (KCT). Um fato importante é
que em um dos nossos encontros o professor traz essa fala: “... o que difere o
professor de um qualquer é que ele sabe recorrer a uma fonte, estudar aquilo e
consegue transmitir aquele conhecimento de uma maneira que seja ensinável
para seus alunos”. Esta fala do professor evidencia-nos o que Shulman (1987)
definiu como sendo uma das facetas do PCK.
Professor C
Esse professor, desde o nosso primeiro encontro, se assumiu com
grandes dificuldades com relação a matemática e seu ensino. Ele nos disse
que muitas vezes não lembra mais como ensina determinado conteúdo, mas
que vai aprender antes de ensinar. Podemos ver no nosso capítulo de análise
que durante nossos encontros e conversas com este professor, o mesmo
apresentou alguns domínios do MKT, principalmente no que se diz respeito às
dificuldades que determinado conteúdo apresenta quando é ensinado (KCT).
Gostaríamos de ressaltar que observamos, durante as nossas análises,
diversas evidencias dos outros domínios de Ball, Thames e Phelps (2008),
como o CCK, SCK por exemplo, porém, esses domínios não estão presentes
em nosso objetivo de pesquisa. Bem como identificamos alguns dos domínios
KCS e KCT em alguns dos dados coletados, porém, como dissemos no início
do capítulo, esses não se apresentaram de forma clara, sendo assim não
trouxemos as análises dos mesmos.
133
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E REFLEXÕES
Nesse capítulo apresentamos uma breve síntese da nossa pesquisa, na
qual destacamos a nossa questão de pesquisa, as principais ideias do aporte
teórico e a metodologia utilizada. Na sequência, apresentamos as conclusões
com foco no desempenho dos professores da educação básica no que diz
respeito aos conhecimentos que os professores apresentaram ao analisar erros
decorrentes do ensino dos números racionais e ao preparar e resolver
atividades propostas sobre esse tema.
Diversas foram as vezes em que apresentamos e afirmamos que para
desenvolver um bom trabalho em sala de aula, quando se ensina Matemática,
o professor precisa apresentar alguns conhecimentos específicos que são
complementares ao conhecimento comum das estruturas matemáticas dos
algoritmos.
De acordo com os parâmetros curriculares nacionais (PCN, 2007), os
alunos começam a trabalhar com os números racionais de maneira intuitiva no
início do segundo ciclo, quando estudam os números naturais. Desse modo, os
alunos têm oportunidade de ampliar ideias e procedimentos relativos à
contagem, comparação, ordenação, estimativa e operações que os envolvem.
Pela análise das regras de funcionamento do sistema de numeração
decimal, os alunos podem interpretar e construir qualquer escrita numérica,
inclusive a dos números racionais na forma decimal.
Notamos ainda que o trabalho com os números racionais se estende até
os anos finais do segundo ciclo, sempre tendo como objetivo principal levar os
alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes
para resolver determinados problemas.
Os alunos, explorando situações em que usa apenas números naturais,
não conseguem exprimir a medida de uma grandeza ou o resultado de uma
divisão, desse modo, tais sujeitos identificam nos números racionais a
possibilidade de resposta a novos problemas. A construção da ideia de número
racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o
caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o
quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número
racional. Como nesse ciclo trabalha-se apenas com os naturais e ainda não
com os inteiros negativos, os números racionais são quocientes de números
134
naturais. No entanto, em que pese às relações entre números naturais e
racionais, a aprendizagem dos números racionais supõem rupturas com ideias
construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda
tempo e uma abordagem adequada.
No Brasil, a Educação Matemática teve início a partir do Movimento da
Matemática Moderna, mais precisamente, no final da década de 70 e durante a
década de 1980. Nesse cenário, temos o surgimento da Sociedade Brasileira e
Educação Matemática (SBEM) e os primeiros programas de Pós-graduação em
Educação Matemática. É possível afirmar que, no início do século XXI, a SBEM
já possuía 12 mil associados e, nesse período, podemos verificar a existência,
no Brasil, de quase 20 programas de Pós-graduação que formam
pesquisadores na área de Educação Matemática.
Em dezembro de 2001, surge a área de ensino de ciências e matemática
na Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes),
denominada área 46 e em dezembro de 2003 essa nova área já apresentava
uma extensa relação de programas aprovados.
Tais informações nos permitem conhecer de maneira mais profunda a
necessidade do contínuo estudo sobre o ensino da matemática, inclusive na
formação continuada do professor de Matemática.
Esse estudo teve como foco principal a unidade temática na formação
continuada de professores, com o tema dos números racionais. Pesquisar
sobre tal formação nos permitiu uma relação bem próxima e particular com
essa área, inclusive, nos fazendo inúmeras vezes repensar a nossa própria
prática como professores da área.
Nossa metodologia de trabalho foi de cunho qualitativo e com isso nos
foi proporcionada a convivência diária com professores e uma grande
proximidade com as suas práticas, na qual elaboramos roteiros de entrevistas e
momentos em que nos foi proporcionados discussões e debates sobre
assuntos como erros dos alunos ou até mesmo o porquê da escolha de
determinado exercício para o ensino dos números racionais.
A pesquisa toda ocorreu em parceria com o projeto do OBEDUC,
inserido na UFABC, projeto esse sob a coordenação do professor doutor
Alessandro Jacques Ribeiro, em que tratamos durante esses dois anos de
assuntos diversos, e um deles foi o ensino de números racionais. A partir deste
135
grupo nos foi possível aprofundar e ampliar nossas discussões e materiais de
coleta de dados sobre o tema.
Juntamente com o grupo do OBEDUC, nós temos defendido e
pesquisado as ideias de pesquisadores como Lee Shulman e Deborah Ball,
reconhecendo que o conhecimento matemático é uma componente relevante
da formação de um professor de Matemática; porém, embora necessária, só
esse componente não é suficiente. Aos professores não basta somente
dominar os conteúdos técnicos de sua matéria, mas sim conhecer as suas
particularidades e as dificuldades desse ensino.
Durante o nosso capítulo de análise de dados procuramos por
elementos que nos permitisse responder a nossa questão de pesquisa:
Como se apresenta o conhecimento pedagógico do conteúdo dos
números racionais com professores de matemática durante a sua prática?
A partir de nossas análises podemos concluir então que tal
conhecimento se apresenta e se aperfeiçoa durante a prática do professor.
Tomaremos como referência toda a prática desse professor, desde o momento
em que prepara a sua aula, passando pelo momento em que ele explica os
exercícios para os alunos e chegando no momento no qual ele corrige e
observa as “falhas” do processo de ensino.
Muito nos foi apresentado sobre os domínios do MKT acerca do
conhecimento pedagógico para o ensino, como em particular todos os
momentos em que o professor consegue identificar as dificuldades dos alunos
em relação a determinado exercício ou como quando o professor já “prevê”
qual será a dificuldade do aluno quando ele for propor esses exercícios aos
seus alunos.
Vimos ainda que, o professor encontra diversas dificuldades como a
desatenção dos alunos, a falta de interesse e até mesmo dificuldades no que
diz respeito a padrões e regras da escola, porém, tais assuntos fogem do
nosso objetivo dessa pesquisa.
Isso foi possível observar durante a coleta de dados, pois foi claro o
quão importantes são esses conhecimentos que emergem da prática,
mostrando que saber o conteúdo não é suficiente quando se vai à sala de aula.
136
Reflexões
Elaborar esta pesquisa me trouxe um momento de muita aprendizagem,
e me permitiu, além de reconhecer algumas dificuldades e conhecimentos
mobilizados por professores durante a sua prática, identificar diferentes formas
de representar, comparar, criar, e corrigir atividades sobre os números
racionais. Acreditamos que isso contribui muito para compreender a
problemática desse assunto, além de contribuir para o nosso próprio
desenvolvimento profissional.
Acreditamos que o professor é um grande disseminador de
conhecimento quando se trata de sala de aula, e além da necessária e
imprescindível formação inicial de qualidade, é necessária uma formação
continuada em que ele possa aprofundar, diversificar, equilibrar e inovar seus
conhecimentos. Tais conhecimentos como, por exemplo, o PCK, dificilmente
será desenvolvido apenas com uma formação matemática concreta. Nessa
pesquisa, e em outras que permeiam nosso aporte teórico, podemos observar
que esse conhecimento emerge da prática e também é aperfeiçoado no
momentoem que o professor é capaz de criar com o tempo uma aproximação
com os alunos e com determinados conteúdos a serem ensinados.
Nessa pesquisa, propusemos estudar o conhecimento do conteúdo e os
estudantes (KCS) e o conhecimento do conteúdo e o ensino (KCT), dois dos
seis domínios aprofundados por Ball, Thames e Phelps (2008), acera do PCK
de Shulman (1987), sendo assim, acreditamos que os outros 4 domínios
também merecem uma atenção especial e podem ser fruto de futuras
investigações sobre a formação de professores.
Após uma análise geral dos resultados e das entrevistas feitas, se fez
necessário um estudo sobre os conteúdos da Matemática Universitária,
juntamente com a matemática elementar da Educação Básica, pois muitas
vezes os professores não conseguem relacionar o que os anos dentro da
universidade lhes trouxe de contribuição para a sua atuação em sala de aula,
no OBEDUC, por exemplo, vimos diversas relações da Álgebra com os
Números Racionais.
Devido a restrições de tempo não nos foi possível analisar os outros
quatro domínios do MKT propostas por Ball, Thames e Phelps (2008), bem
como a relação entre a Álgebra e os números racionais. Ao olhar para a
137
desmotivação e falta de interesse dos professores de nossa educação básica,
novamente queremos reforçar que investigações sobre a formação e
aperfeiçoamento de professores de matemática se faz necessária nos dias de
hoje, permitido uma ampliação destes conhecimentos e uma nova visão dos
campos de pesquisas aos nossos professores da educação básica.
138
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140
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WOERLE, N. H. Números racionais no ensino fundamental: múltiplas representações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 1999.
141
ANEXOS
Questionário
Prezado professor,
Este questionário é parte do projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade Federal
do ABC, agradeço sua participação voluntaria nesta pesquisa, lembrando que a
tabulação dos dados será feita anonimamente, caso precise de mais espaço para
responder as questões utilize o verso da folha. Este questionário poderá ser levado pelo
senhor e voltarei dentro de 15 dias para buscá-lo.
Formação do professor
1) Nome:
2) Instituição onde se formou:
3) Curso de ano que se formou:
4) Tipo de graduação que possui:
5) Possui alguma formação complementar:
6) Tempo de magistério:
7) Tempo que atua nesta escola:
8) Qual série leciona:
9) Tempo semanal dedicado a preparação de suas atividades:
10) No último semestre quantos livros, artigos e revistas da sua área você leu:
Utilização de recursos em sala de aula
11) O livro didático é o seu principal recurso? Que papel você atribui ao livro
didático?
12) Qual função o livro didático desempenha na sua prática pedagógica?
13) Além do livro didático você poderia citar outros recursos utilizados.
Alguns erros decorrentes no ensino de números racionais
Professor este é um momento onde vamos pedir a sua colaboração para a
identificação dos possiveis motivos que desencadearam estes erros cometidos pelo
aluno, pedimos também que se possível, corrija estes erros. Este documento poderá ser
levado a sua casa e você poderá fazer qualquer tipo de consulta para nos ajudar neste
142
momento da pesquisa.
Questão 1:
Questão 2:
Questão 3:
Questão 4:
143
Questão 5:
Questão 6:
144
Questão 7:
Questão 8:
Questão 9:
145
Questão 10:
Questão 11:
Questão 12:
Questão 13:
146
Atividade para os alunos professor A
1) Coloque os números do conjunto apresentado abaixo na reta numérica:
2) Circule a metade da metade do conjunto de moedas abaixo:
3) Dê o valor de:
a) 27
5−14 b)
13− √25
4
−1
2 −1,25
1
3 2,00
6
2 −
8
5 −
5
2
3
2
147
4) Calcule:
a) (– 3
5) + (+2) + (
1
3) = b) (+5) + (
– 1
2) + (− 0,2) =
5) Dona Márcia está organizando uma excursão para a praia com o pessoal do seu
bairro, daqui a duas semanas. Ela sabe que em cada ônibus cabem 20 pessoas.
a) Na primeira semana, 60 pessoas confirmaram que irão viajar, quantos
ônibus Dona Márcia precisa alugar?
b) Na segunda semana, mais 15 pessoas confirmaram que também irão
viajar. Sendo assim, quantos ônibus Dona Márcia precisa alugar?
Atividade para os alunos professor B
1) Coloque os números do conjunto apresentado abaixo na reta numérica:
−1
2 −1,25
1
3 2,00
6
2 −
8
5 −
5
2
3
2
148
2) Circule a metade da metade do conjunto de moedas abaixo:
3) Dê o valor de:
a) 27
5−14 b)
13− √25
4
4) Calcule:
a) (– 3
5) + (+2) + (
1
3) = b) (+5) + (
– 1
2) + (− 0,2) =
5) Uma mãe saiu e deixou certa quantia em dinheiro para que seus 3
filhos a repartisse igualmente. O primeiro chegou e, achando que o
dinheiro ainda estava todo lá, pegou 1
3 e saiu. O segundo chegou e
também achou que o dinheiro ainda estava todo lá, então pegou 1
3 e
saiu. O último filho encontrou 40 reais e achou que os irmãos já tinham
pego suas partes e levou todo o dinheiro. Qual foi o valor deixado pela
mãe? Qual o valor que cada irmão pegou?
149
Atividade para os alunos professor C
Atividade para os alunos do 6º ano – Vanessa
1) Resolva: 10389
2) Calcule as expressões numéricas:
a) (3
4−
1
2 ) : (
1
3+
1
6 ) = b) (1 − 0,8)². (1 − 0,9)² =
3) ) Dona Márcia está organizando uma excursão para a praia com o pessoal do seu
bairro, daqui a duas semanas. Ela sabe que em cada ônibus cabem 20 pessoas.
a) Na primeira semana, 60 pessoas confirmaram que irão viajar, quantos
ônibus Dona Márcia precisa alugar?
b) Na segunda semana, mais 15 pessoas confirmaram que também irão
viajar. Sendo assim, quantos ônibus Dona Márcia precisa alugar?