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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Pré-dimensionamento da armadura longitudinal de seções de pontes em balanço progressivo, usando as expressões da NBR 6118-2003

Eduardo Maia Pan

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos como parte dos requisitos para a conclusão da graduação em Engenharia Civil Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho

São Carlos 2009

ii

DEDICATÓRIA

Dedico esta monografia aos meus pais, André e

Claudete, e ao meu irmão Anderson.

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AGRADECIMENTOS

Meus sinceros agradecimentos a minha família, quem me apoiou durante toda minha

vida, principalmente nestes cinco anos de Universidade, e a quem eu devo tudo o que eu

conquistei e ao que sou.

Agradeço aos meus professores por terem me auxiliado durante todo o curso de

Engenharia Civil, em especial ao Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho, quem me auxiliou neste

trabalho de conclusão de curso, com incentivo e sugestões.

Agradeço aos meus grandes amigos que conquistei nestes cinco anos em São Carlos,

por me incentivar e me ajudar em todas as horas que precisei, e pelos inúmeros momentos

de alegria que passamos juntos.

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RESUMO

RESUMO

Este trabalho apresenta um pré-dimensionamento detalhado da armardura longitudinal

de uma ponte em balanço progressivo, abordando os critérios descritos pela NBR-6118-

2003, a partir de um exemplo numérico.

O objetivo é demonstrar as etapas de cálculo envolvidas no processo, descrevendo

passo a passo as verificações e o detalhamento, além de caracterizar os aspectos

construtivos da tecnologia de balanços progressivos, comparando os resultados obtidos com

os extraídos do exemplo real, comprovando a eficiência do método utilizado.

Palavras-chave: concreto protendido, pontes em balanço sucessivo, armadura longitudinal.

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ABSTRACT

ABSTRACT

This paper presents a detailed pre-sizing of the longitudinal reinforcement of a

segmental prestressed concrete Box girder bridge, according to the criteria described by the

NBR-6118:2003, from a numerical example.

The goal is to demonstrate the calculation stages involved in the process, describing

step by step the details, and to characterize the constructive aspects of segmental

prestressed concrete box girder bridges, comparing the results achieved with the results

obtained from the real example, proving the efficiency of the method used.

Key-words: prestressed concrete, bridges, box-girder

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 - Esquema estrutural do sistema de balanços sucessivos .......................................... 4

Figura 2-2 - Tipos estruturais de pontes de acordo com a ligação ............................................. 5 Figura 3-1 - Esquema longitudinal da estrutura ....................................................................... 11 Figura 3-2 - Seção longitudinal (trecho em escoramento direto) ............................................. 12 Figura 3-3 - Seção longitudinal (trecho em balanço progressivo)............................................ 12 Figura 3-4 - Seção transversal .................................................................................................. 12

Figura 3-5 - Divisão da seção transversal em trapézios ........................................................... 13 Figura 3-6 - Linha de influencia (L.I) de momento fletor em S10 ........................................... 16 Figura 3-7 - Linha de influencia (L.I) de momento fletor em S15).......................................... 17 Figura 3-8 - Esquema de diagrama de momentos .................................................................... 19

Figura 3-9 - Representação da trajetória do cabo após lançamento da aduela 4 ...................... 20 Figura 3-10 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo curvo....... 22 Figura 3-11 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo em deflexão

.......................................................................................................................................... 23

Figura 3-12 - Tensões ao longo do cabo representante ............................................................ 26 Figura 3-13 - Gráfico das tensões ao longo do cabo após perdas iniciais (tentativas) ............ 27 Figura 3-14- Gráfico com as tensões finais no cabo após as perdas iniciais ............................ 30 Figura 3-15- Variação das perdas de protensão, ao longo do tempo, numa seção determinada

de uma peça com armadura pós tracionada ...................................................................... 36 Figura 3-16– Esquematização do momento atuante ................................................................. 38

Figura 3-17- Região das abas da peça ...................................................................................... 39 Figura 3-18 - Disposição dos cabos de protensão .................................................................... 41

vii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3-1 - Dimensões das aduelas......................................................................................... 13

Tabela 3-2 - Características geométricas das seções ................................................................ 13 Tabela 3-3. Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio em S10 .................................. 14 Tabela 3-4- Momento fletor e tensões devido ao peso próprio em S15 ................................... 14 Tabela 3-5 Momento fletor e tensões devido a sobrecarga em ambas seções .......................... 15 Tabela 3-6-Tensões ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado esquerdo) .. 24

Tabela 3-7 Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado direito) ........ 25 Tabela 3-8 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (resumo) ............ 25 Tabela 3-9 – Tensões finais após perdas iniciais ...................................................................... 30 Tabela 3-10 - Considerações sobre efeitos reológico do concreto e do aço ............................. 31

Tabela 3-11 - Cálculo dos coeficientes de fluência e retração do concreto ............................. 32

Tabela 3-12 - interpolação dos valores dos coeficientes Ѱ ...................................................... 35

Tabela 3-13 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo

.......................................................................................................................................... 35

Tabela 3-14 -Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo

(continuação) .................................................................................................................... 36 Tabela 3-15 - Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares ............. 38

Tabela 3-16 – Tensão no aço 𝜎𝑠𝑑 (MPa) com 𝐸𝑝 = 195000𝑀𝑃𝑎 ......................................... 40

Tabela 3-17 - Tensão no aço 𝜎𝑠𝑑 (MPa) com 𝐸𝑝 = 195000𝑀𝑃𝑎 (continuação) .................. 40 Tabela 3-18 - Classificação da agressividade ambiental .......................................................... 43 Tabela 3-19 - Exigencias de durabilidade relacionadas a fissuração e a proteção da armadura

em função das classes de agressividade ambiental ........................................................... 43 Tabela 3-20 - Cálculo das perdas inciais dos cabos retilineos ................................................. 45

Tabela 4-1 - Cabos de uma viga ............................................................................................... 51

.

viii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................1

1.1 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................................2

1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................................3

1.3 ESTRUTURA DO TEXTO ......................................................................................................3

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................4

2.1 METODOLOGIA ....................................................................................................................9

3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE PROTENSÃO .........10

3.1 INFORMAÇÕES GERAIS E INDICAÇÃO DO SISTEMA DE UNIDADES DE

PROTENSÃO. ....................................................................................................................................10 3.1.1 ESPECIFICAÇÃO DO ESQUEMA ESTRUTURAL .............................................................10

3.1.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS E DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS ......................11

3.1.3 SISTEMA DE UNIDADE DE PROTENSÃO .......................................................................18

3.2 INDICAÇÃO DA TRAJETÓRIA DO CABO REPRESENTANTE ........................................18 3.2.1 SITUAÇÃO DE CÁLCULO – ADUELA 4 (SEÇÃO S15) .......................................................... 20

3.3 CÁLCULO DAS PERDAS IMEDIATAS DO CABO REPRESENTANTE ............................23 3.3.1 CÁLCULO DAS PERDAS POR ATRITO CABO-BAINHA DO CABO REPRESENTANTE .23

3.3.2 CÁLCULO DAS PERDAS POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM DO CABO

REPRESENTANTE .........................................................................................................................26

3.4 CÁLCULO DAS PERDAS AO LONGO DO TEMPO DO CABO REPRESENTANTE .........31 3.4.1 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RETRAÇÃO ...........................................................32

3.4.2 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A FLUENCIA DO CONCRETO ..................................33

3.4.3 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RELAXAÇÃO DO AÇO ................................34

3.5 CÁLCULO DO NÚMERO DE CABOS NO ELU ..................................................................36

3.6 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE FISSURAÇÃO NA SEÇÃO DE MAIOR

SOLICITAÇÃO E DETERMINAÇÃO DO FEIXE LIMITE PARA AS DEMAIS SEÇÕES. ..............42 3.6.1 ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO (E.L.S-D) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES QUASE

FREQUENTES ................................................................................................................................44

3.6.2 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS (E.L.S-F) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES

FREQUENTE. .................................................................................................................................47

3.6.3 VERIFICAÇÃO DE RUPTURA NO TEMPO ZERO ............................................................49

4. CONCLUSÃO ...............................................................................................................................51

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................54

1

1. INTRODUÇÃO

Desde os primórdios, o homem tem a preocupação em construir pontes e viadutos,

devido à necessidade de deslocamento e de habitar regiões próximas a água.

É fato que devido à constante necessidade de construção deste tipo de estruturas, houve

um aprimoramento continuo na técnica de construção, e no emprego de diferentes materiais,

possibilitando a realização de pontes seguras e com vãos cada vez maiores.

Na antiguidade, as pontes eram construídas basicamente por pedras, em forma de arcos;

técnica desenvolvida pelos romanos com perfeição, muito utilizada também na idade média.

Tal método possibilita a transposição de grandes vãos, devido a forma geométrica, que faz com

que a estrutura trabalhe basicamente a compressão.

A partir do século XVIII até meados do século XIX, a maioria das pontes era metálica,

feitas de diferentes ligas de ferro, até o desenvolvimento do aço em 1860, que passou a ser o

material mais utilizado.

O concreto passou a ter papel preponderante na construção de estruturas a partir de

1900, com o desenvolvimento da teoria do concreto armado por Morsch. Isso foi o primeiro

passo para Freyssinet, em 1928, viabilizar o concreto protendido usando aço de alta resistência

para contrabalancear a retração e deformação lenta do concreto.

Baseado nos fundamentos do concreto protendido, em 1930, Emilio Baumgart

desenvolveu a tecnologia de construção de pontes por balanços sucessivos, empregando-a

pela primeira vez na ponte sobre o Rio Peixe, vencendo um vão de 68m.

Talvez a obra nacional mais marcante que emprega esta metodologia construtiva seja a

ponte Presidente Costa e Silva, conhecida como ponte Rio-Niterói, a qual transpõe um vão de

12900m, apesar de terem sido empregados 3 diferentes métodos construtivos.

Este método consiste no lançamento simétrico de aduelas protendidas nas duas

extremidades do pilar de apoio de forma sucessiva, fazendo com que o encontro da

superestrutura ocorra no meio do vão.

2

Sob o aspecto estrutural, é importante salientar que pontes em balanço sucessivo são

construídas basicamente com seção caixão, devido à grande capacidade de distribuição de

cargas em função da alta rigidez à torção (a torção, por ser mais rígida que a flexão

diferenciada das almas, transporta praticamente todo o efeito de excentricidade), além da

grande resistência à torção e grande resistência à flexão, seja para momentos positivos ou

negativos (pois tem 2 mesas, superior e inferior).

Em contrapartida, este sistema construtivo exige alguns cuidados durante a concepção do

projeto, como por exemplo, em relação às contraflechas, uma vez que são mais elevadas em

relação a construção de pontes por vigas continuas, além do fato do concreto ser solicitado

muito novo, fazendo com que as deformações imediatas, sobretudo as lentas sejam relevantes,

fatores que influenciam diretamente no cálculo.

Os procedimentos e detalhes de cálculo desta metodologia construtiva serão abordados

por este trabalho, focando mais precisamente nas armaduras longitudinais de protensão.

1.1 JUSTIFICATIVA

É notável que o Brasil é um pais que possui uma hidrografia ampla com rios caudalosos e

extensos, e por isso há necessidade de construção de pontes com vãos médios e grandes.

Dentre as técnicas existentes, a mais eficiente para vencer este tipo de obstáculo é o sistema

estrutural de viga em balanço progressivo.

Tal técnica foi muito empregada nos anos 70, época do acelerado crescimento econômico

do Brasil e da realização das grandes obras de infra-estrutura do país, como a ponte Rio-

Niterói. Desde então não havia sido muito utilizada, até os dias atuais, porem já é possível ver

seu emprego, por exemplo, no RODOANEL, maior obra viária em execução em território

nacional.

Além disso, trata-se de uma tecnologia genuinamente brasileira, desenvolvida por Emilio

Baungarten, que apesar de ser bastante empregada em obras desta magnitude, é uma técnica

que poucos dominam, devido a pouca bibliografia sobre o tema, além do longo tempo que ficou

em desuso nos país.

Este trabalho procura abordar este tema da forma mais abrangente possível, visando

expor ao leitor como se aplica a norma para a determinação da armadura longitudinal para as

condições de flexão.

3

1.2 OBJETIVOS

Criar uma metodologia de pré-dimensionamento da armadura longitudinal de protensão

para a seção mais solicitada (de apoio) de ponte em balanço progressivo levando em conta as

prescrições da NBR6118:2003 e devidas as ações de flexão. Desta forma, serão abordados os

estados limites último de flexão no tempo infinito e no tempo zero, assim como as verificações

em serviço para atender a fissuração.

1.3 ESTRUTURA DO TEXTO

Este texto é composto por um capitulo introdutório, e mais quatro capítulos, que

abordam os seguintes temas: Revisão bibliográfica, Pré-dimensionamento da armadura

longitudinal de protensão, Conclusão e Referencias Bibliográficas

No capítulo introdutório é feita uma pequena contextualização do assunto, abordando

aspectos históricos e construtivos, informando o objetivo e a justificativa do tema estudado.

O capitulo dois é constituído por uma serie de extratos de livros utilizados como

consulta do tema, servindo como subsidio teórico, além de expor ao leitor a metodologia de

estudo empregada no trabalho de pesquisa.

Já o capitulo três é onde ocorre todo o desenvolvimento de cálculo, baseando-se na

teoria estudada e nos critérios da NBR-6118:2003, seguido do capitulo quatro, onde são

analisados os resultados e feitas as considerações finais sobre o tema.

Por último, há o capitulo a respeito das referencias bibliográficas, onde são listadas as

obras consultadas para pesquisa do tema e desenvolvimento do trabalho.

4

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Este trabalho aborda a tecnologia de construção de pontes em balanço progressivo. É

importante notar que um projeto de pontes é composto basicamente por duas partes:

infraestrutura (fundações e pilares) e mesoestrutura (tabuleiro), esta ultima objeto de estudo do

nosso trabalho, mais especificamente o pré-dimensionamento das armaduras longitudinais

Primeiramente é necessário definir o que vem a ser a técnica de balanços sucessivos.

Embora haja variações possíveis quanto ao projeto e modelo estrutural, descreve-se apenas o

processo usualmente utilizado no Brasil.

Segundo REZENDE (2007), indicado para grandes vãos, o processo de execução por

balanços sucessivos constitui-se por concretagens de aduelas (segmentos de superestrutura,

seccionados no sentido transversal e comprimentos que podem variar de 2 a 5 metros,

normalmente) simetricamente opostas em relação ao eixo vertical do pilar. O avanço

simultâneo em sentidos contrários é que garante o equilíbrio da superestrutura sobre o pilar até

que as extremidades dos balanços sejam apoiadas ou continuadas ligando-se à outra

extremidade de balanço. A figura 1 mostra o esquema geral para o processo de balanços

sucessivos duplos e a trajetória dos cabos de protensão. As aduelas são protendidas aos

pares, geralmente de maneira que os cabos de uma aduela sejam protendidos entre esta e a

outra simetricamente oposta.

Figura 2-1 - Esquema estrutural do sistema de balanços sucessivos

5

Para se realizar qualquer projeto de ponte dentro deste conceito, primeiramente deve-

se definir que tipo de sistema estrutural adotar para o cálculo da obra de arte em questão.

De acordo com PAS (2007), pode-se classificá-las dentro de 4 conceitos básicos,

conforme pode ser identificado na figura 2:

- Pórticos com ligações articuladas;

- Pórticos isostáticos com viga Gerber;

- Pórticos ou vigas com estabelecimento da continuidade;

- Pórticos mistos.

Figura 2-2 - Tipos estruturais de pontes de acordo com a ligação

6

Uma vez definida o sistema estrutural, é necessário identificar os esforços solicitantes

na estrutura. Para o pré-dimensionamento da armadura longitudinal de protensão, considera-se

uma parcela do peso próprio atuante, a carga acidental vertical, além da contribuição dos

esforços hiperestáticos de protensão e esforços devido ao impedimento da realização das

deformações diferidas, além dos acréscimos de peso próprio (pavimentação e defensas),

conforme descrito no capitulo II, pagina II.1 de CARVALHO(1987).

É importante frisar que a estrutura deve ser dimensionada tendo em vista os

equipamentos de montagem, além da própria situação de montagem, que gerarão esforços

solicitantes durante a etapa construtiva. Nota-se isso na ponte Internacional de Quintanilha,

exemplo descrito por PEDRO & REIS & REIS (2008), na qual utilizaram para a estrutura em

questão 4 cabos por aduela, sendo 2 por alma, com potencia média útil a longo prazo não

inferior a 2900 e 1850 KN/cabo, e potencia útil sobre a seção do pilar de 3200KN e

2050KN/cabo, durante a construção, além dos cabos colocados visando a continuidade da

ponte.

A construção de obras de arte em balanço sucessivo pode ser realizada tanto com

peças pré-moldadas, quanto com aduelas moldadas no local. Segundo LEONHARDT (1979)

apud PAS (2007), a grande vantagem do processo dos balanços sucessivos com concreto

moldado no local é a possibilidade de se dispor a armadura longitudinal para a limitação da

fissuração através das juntas de concretagem, de modo a tornar possível uma protensão

limitada ou parcial. A junta pode também transmitir perfeitamente à laje do tabuleiro as bielas

comprimidas inclinadas e forças cortantes, desde que a superfície da junta seja áspera ou

tornada áspera mecanicamente, a fim de que o concreto novo e o velho possam se ligar por

meio de um “endenteamento”.

Entretanto,um aspecto importante a ser considerado na construção in loco, é o

surgimento de um esforço denominado de momento de restituição ou hiperestático da

deformação lenta ocorrido após a concretagem do fechamento central. Isto se dá devido ao

fato de ocorrer uma alteração no sistema estrutural, causando o impedimento da deformação

diferida do concreto que prosseguiria até sua estabilização final. Desta forma, essa

continuidade do tabuleiro impede o aumento da rotação diferida na seção, surgindo assim o

esforço hiperestático. Inicialmente, este esforço é nulo no momento em que é feita a ligação e

cresce progressivamente até um limite em função do fenômeno da relaxação, conforme

MASON (1976).

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Em contrapartida, em termos de produção, em obras construídas por avanço

progressivo moldado no local, pode-se utilizar um grande número de frentes de trabalho,

multiplicando a produção total, compensando assim o suposto atraso em relação às obras

realizadas com pré-moldados, aspecto citado por PFEIL(1975).

Atrelado a isto, temos o fato da possibilidade de variação de altura das aduelas,

proporcionando uma construção mais racionalizada.

A geometria da ponte é determinada a partir do cálculo de altura mínima necessária na

seção de engaste do balanço, conforme proposto por GUYON (1966) e reiterado por

CARVALHO (1987), através da seguinte expressão:

C

lkh

235,1

2

1

(2-1)

Onde:

h1 = altura mínima do balanço no engaste

l = comprimento do balanço;

γ = peso específico do concreto;

C = tensão de compressão limite do concreto;

ξ = coeficiente usado para corrigir o ponto de aplicação da resultante da carga

permanente (em geral diferente de l/2);

k = coeficiente que corrige o valor da resultante de peso próprio, pois esta não é igual

ao produto da taxa de carga permanente máxima multiplicada pelo valor do vão do balanço;

ζ = coeficiente que multiplicado pela altura fornece o valor do braço de alavanca.

Partindo deste valor, pode-se determinar as demais alturas do meio do vão a partir de

um calculo iterativo, utilizando a equação acima para o cálculo das alturas dos tramos, e

consequentemente, dos valores correspondentes dos coeficientes em questão, repetindo-se

este procedimento até a obtenção de resultados satisfatórios. Outra alternativa seria encarar

essa equação como uma função de 2o grau, ou uma hipérbole, onde os demais valores já

seriam automaticamente determinados, assim como descrito por CARVALHO(1987).

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A determinação da geometria é necessária para se projetar o traçado dos cabos

longitudinais de protensão, o que causará a variação dos valores e do numero de cabos

necessários.

Ainda de acordo com CARVALHO (1987), o pré-dimensionamento deve satisfazer as

verificações de tensões normais nas bordas superior e inferior de cada seção, conforme a

equação a seguir:

𝜎𝑠𝑢𝑝 = 𝑛𝑐𝑥

𝑁1p

𝐴+

𝑁1p × ep

𝑊𝑠𝑢𝑝 −

𝑀1

𝑊𝑠𝑢𝑝≥ σ (2-2)

ou

𝑛𝑐 ≥ σc + 𝑀1

𝑊𝑠𝑢𝑝

1

𝑁1𝑝𝐴 +

𝑁1𝑝 𝑒𝑝𝑊𝑠𝑢𝑝

(2-3)

Onde:

𝑛c = número de cabos existentes na seção em questão

N1p = força normal de protensão de um cabo

ep = excentricidade de cabo resultante na seção

M1 = momento máximo atuante na seção

c = limite de tensão de tração no concreto, ou quando for o caso a menor tensão de

compressão

Essa equação descrita acima se aplica para o bordo superior de uma seção genérica,

porém quando se trata do bordo inferior, a equação é análoga, apenas com inversão dos

sinais.

A NBR 6118:2004 prevê ainda a obediência de outros critérios de segurança para a

determinação da armadura longitudinal, tendo em vista os estados limites de serviço e estado

limite ultimo, passando desde o grau de agressividade do ambiente até combinações de ações

em serviço, sem esquecer de considerar as supostas perdas de protensão.

Conforme MATTOS (2001), essas perdas de protensão podem ser divididas em dois

grandes grupos: perdas imediatas e perdas ao longo do tempo. Dentro das perdas imediatas

9

há a perda devido a rigidez do sistema estrutural, perda no sistema de macaqueamento e nas

placas de ancoragem, perda pelo atrito entra a armadura e a bainha, perda pela acomodação e

deformação das ancoragens e perda pela deformação instantanea do concreto decorrente das

protensões sucessivas; enquanto as perdas ao longo do tempo podem ser caracterizadas

como perda pela retração do concreto, pela fluência, e relaxação do aço.

É importante salientar que qualquer verificação só é possível após estabelecimento do

traçado de um cabo representativo, para efeito de pré dimensionamento, que posteriormente

possibilitará a determinação da quantidade total de cabos e seu detalhamento, conforme pode-

se conferir em CARVALHO (2009).

Ainda referente ao traçado dos cabos, MASON (1976) cita que é necessário projetar a

protensão partindo-se dos apoios para os extremos dos balanços, de modo a garantir a

estabilidade de cada aduela na fase de construção e do conjunto final.

De acordo com o desenvolvimento do trabalho, esses aspectos serão melhor

detalhados e explicados.

2.1 METODOLOGIA

Visando atingir os objetivos propostos, serão realizadas as seguintes atividades:

A- Revisão Bibliográfica: realizada com o objetivo de compreender a metodologia

construtiva de balanços progressivos, e apresentar os métodos de cálculo do sistema em

questão.

B- Criação de um roteiro de cálculo: a partir dos dados referentes às

características das pontes em balanços progressivo, ao detalhamento da armadura longitudinal

de protensão e todas as suas especificações de cálculo (conhecimento adquirido através da

pesquisa bibliográfica sobre o tema), foi criado um roteiro de resolução de armaduras

longitudinais de protensão simplificado, detalhando passo a passo os procedimentos e quais

restrições devem ser obedecidas, segundo a NBR 6118:2003.

C- Aplicação: com o roteiro de cálculo, foi realizado um exemplo numérico

referente ao cálculo de armadura longitudinal de protensão de uma ponte real, visando maior

compreensão, demonstrando uma situação real de pré-dimensionamento, tendo em vista que

pode-se verificar a eficácia e a precisão da resolução.

D- Análise e apresentação dos resultados: Baseado nos resultados obtidos,

analisou-se o significado dos mesmos, apresentando-os em seguida.

10

3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE PROTENSÃO

Segundo Carvalho (2009) um roteiro para o pré-dimensionamento da armadura

longitudinal de vigas protendidas com aderência posterior pode ser descrito pelas etapas

citadas abaixo:

Especificar o Esquema estrutural

Escolher e indicar o Sistema, unidades de protensão e informações gerais.

Indicar uma trajetória para o cabo representante

Efetuar o cálculo das perdas imediatas do cabo representante

Efetuar o cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante

Efetuar o cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite

último, usando o pré-alongamento do cabo representante para a seção (ou seções) de

máxima solicitação

Verificação dos estados de fissuração na seção de maior solicitação e determinação do

feixe limite para as demais seções.

Esta sistemática foi desenvolvida para vigas usuais de pontes simplesmente apoiadas

(ou contínuas), e a idéia aqui é testá-la para o cabo de uma viga de ponte em balanço

progressivo, em que a inércia varia e a protensão é efetuada por etapas. Para verificar a

validade do procedimento, resolve-se um exemplo numérico que é o caso abordado em

CARVALHO (1987): um viaduto localizado na estaca 4023, da rodovia São Paulo- Curitiba ( BR

116) no trecho Miracatu – São Paulo,. A seguir, detalha-se cada etapa de calculo.

3.1 INFORMAÇÕES GERAIS E INDICAÇÃO DO SISTEMA DE UNIDADES DE PROTENSÃO.

3.1.1 ESPECIFICAÇÃO DO ESQUEMA ESTRUTURAL

Primeiramente, deve-se caracterizar a estrutura, qual sua geometria e seus

componentes. O viaduto em questão é constituído de 3 tramos, sendo que os dois laterais

11

possuem altura constante, e vão de 28 metros concretados sobre escoramento direto,

enquanto o tramo central é construído pelo processo de balanços sucessivos, dividido em dois

balanços de 38 metros cada, com 6 m concretados sobre escoramento direto, e 8 aduelas de 4

m, com uma aduela de fechamento de 4m. O viaduto em planta é curvo, o que dificulta a

execução e também limita o vão, que para balanços progressivos poderia ser maior.

Pode-se perceber que neste caso adotou-se a solução de continuidade no ponto

central, de forma que a carga acidental atua sobre uma estrutura contínua.

O trecho em balanço possui inércia variável, devido à variação de altura da sua seção

transversal. Trata-se de um trecho curvo em elevação, descrito por uma hipérbole com 2

pontos de passagem pré-estabelecidos, compreendidos na seção 10 e 20, com altura de 4m e

2m respectivamente.

A seguir tem-se o desenho esquemático da estrutura:

S20

28.00 6.00 6.00 28.004.0032.00 32.00

Escoramento Direto

Fechamento

Central

Balanço Progressivo Balanço Progressivo Escoramento Direto

S10 S30

Figura 3-1 - Esquema longitudinal da estrutura

3.1.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS E DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS

Antes de se definir os esforços solicitantes, deve-se calcular os dados geométricos das

seções transversais. A partir das figuras 3-2, 3-3 e 3-4 e da tabela 3-1, retiradas de

CARVALHO (1987), pode-se notar as dimensões da peça de acordo com sua variação de

altura.

12

S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

4.00

2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 6.002.80

28.00

Figura 3-2 - Seção longitudinal (trecho em escoramento direto)

S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20aduela

8

aduela7

aduela6

aduela5

aduela4

aduela3

aduela2

aduela1

6.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 2.004.00 4.00

40.00

trecho de

fechamento

Figura 3-3 - Seção longitudinal (trecho em balanço progressivo)

1.50

bw

0.35

e

0.15

0.20

0.07

7.40 2.802.80

0.35

h

Pavimentação

Figura 3-4 - Seção transversal

13

Tabela 3-1 - Dimensões das aduelas

Seção S0 a S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20

h (cm) 400 359 331 303 278 255 235 218 207 201 200

e (cm) 60 53 49 44 40 35 31 26 22 17 15

bw (cm) 70 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

Conhecidas a geometria, é necessário calcular as demais características geométricas,

como área, momento de inércia, centro de gravidade e módulo de resistência da seção. Para

facilitar o cálculo, divide-se a seção em figuras com geometria simples (no caso trapézios),

conforme notamos a seguir:

13 2 3

55

6 6

7

44

Figura 3-5 - Divisão da seção transversal em trapézios

Tabela 3-2 - Características geométricas das seções

Características Geométricas

Seção A (m2) h (m) yinf (m) ysup (m) I (m4) Winf (m3) Wsup (m

3)

S0 a S10 12.49 4.00 1.98 2.02 26.06 14.65 14.41

S11 9.80 3.59 1.80 1.79 20.49 11.37 11.47

S12 9.27 3.31 1.71 1.61 16.46 9.68 10.25

S13 8.76 3.03 1.60 1.43 13.04 8.14 9.11

S14 8.26 2.78 1.51 1.27 10.25 6.80 8.07

S15 7.77 2.55 1.42 1.13 8.02 5.64 7.13

S16 7.32 2.35 1.35 0.99 6.29 4.65 6.37

S17 6.89 2.18 1.30 0.88 5.01 3.85 5.67

S18 6.50 2.07 1.28 0.79 4.09 3.20 5.18

S19 6.15 2.01 1.29 0.72 3.47 2.69 4.84

S20 6.00 2.00 1.31 0.69 3.24 2.47 4.70

14

Feito isto, é necessário calcular os esforços solicitantes da estrutura, tanto aquele

referentes às ações permanentes, quanto às cargas acidentais.

É importante ressaltar que estruturas construídas em balanço sucessivo são

consideradas isostáticas na sua fase construtiva, situação em que são calculados os esforços

provenientes da ação do peso próprio. Neste tipo de estrutura as cargas permanentes devido

ao asfalto e a proteção lateral (sobrecarga) são consideradas com a estrutura hiperestática

assim como a carga acidental, uma vez que atuarão apenas após o estabelecimento de

continuidade da estrutura.

A seguir são apresentados os cálculos de tensão devido ao peso próprio em apenas

duas seções, S10 e S15 (a notação neste caso é a que considera tensão de compressão com

o sinal positivo). No caso foram escolhidas tais seções, pelo seu aspecto demonstrativo, uma

vez que uma localiza-se no inicio e a outra na parte intermediária do balanço. Além disso, não

é escopo deste trabalho a execução detalhada de todos os cálculos dos esforços.

Tabela 3-3. Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio em S10

Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio (g1) em S10

Após lançamento da

aduela Mg1 (tf.m) σc, inf (tf/m2) σc, sup (tf/m2)

1 -1242 84 -86

2 -2322 158 -161

3 -3681 251 -255

4 -5282 360 -366

5 -7091 483 -492

6 -9091 619 -629

7 -11219 765 -778

8 -13495 789 -802

Tabela 3-4- Momento fletor e tensões devido ao peso próprio em S15

Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio (g1) em S15

Após lançamento da

aduela Mg1 (tf.m) σc, inf (tf/m2) σc, sup (tf/m2)

5 -149 26 -21 6 -574 101 -80 7 -1242 220 -174 8 -2126 377 -298

15

Neste caso, deve-se frisar que efetua-se o cálculo de esforços de acordo com o

lançamento de cada aduela, uma vez que há o acréscimo de cargas, e consequentemente

ocorrem mudanças nos momentos da estrutura e nas tensões.

Com relação aos esforços provenientes das cargas acidentais e das sobrecargas,

resolve-se a estrutura continua. Neste caso, o problema encontra-se na variação de inércia das

seções transversais ao longo do tramo. Para isso, para cada aduela considera-se uma inércia

média.

A resolução consiste no cálculo de linhas de influencia para cada aduela, considerando-

se a aplicação de uma carga unitária como mostram as figuras a seguir 3.6 e 3.7. Desta

maneira, ao calcular-se os trens tipo, pode-se combiná-los com as linhas de influência,

obtendo-se os valores de momentos máximos e mínimos devido a carga acidental e a

sobrecarga.

O trem-tipo adotado para tal cálculo é de classe 36 (na época em que se executou a

obra este era o trem tipo máxima quer foi mantido neste trabalho a fim de fazer as

verificações), ou seja, é um veiculo com 3 eixos e peso total de 36 tf. Já a sobrecarga atuante

devido ao asfalto é 4,44tf/m.

Tabela 3-5 Momento fletor e tensões devido a sobrecarga em ambas seções

Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio (g2) e carga acidental

Seções Mg2

(tf.m) K1.Mq.min

(tf.m) K1.Mq.máx

(tf.m)

10 -2790 -3331 68

15 40 -317 419

Maiores detalhes de cálculo da estrutura podem ser encontrados em CARVALHO

(1987).

16

Figura 3-6 - Linha de influência (L.I) de momento fletor em S10

17

Figura 3-7 - Linha de influência (L.I) de momento fletor em S15)

18

3.1.3 SISTEMA DE UNIDADE DE PROTENSÃO

A seguir serão listadas as unidades de protensão utilizadas:

Concreto: fck > 260kgf/cm2

Aço CP190 RN

Cabos de 7 e 12 cordoalhas, com ∅ = ½ “

Dext para 12 ∅ ½ “ = 7cm, A = 11,84 cm2

Dext para 7 ∅½ “ = 5,5cm, A= 6,91cm2

Tensão limite nominal a tração (fptk) = 19000 kgf/cm2

Tensão nominal para alongamento de 1% (fp0,1K) = 17100 kgf/cm2

Coeficientes de relaxação pura (para 1000h e 20°) Y50 = 0, Y60 = 1,5%, Y70 = 2,5%,

Y80 = 3,5%.

Módulo de deformabilidade (Ep) = 1,9 x 106 kgf/cm2

Coeficiente de atrito (m)=0,25

Desvio angular (b)= 0,01 rd/m

Sistema de protensão Rudloff – perda durante a cravação (∆𝑙) = 6mm

OBS: Alguns dos valores acima não são mais empregados em dimensionamentos de

estruturas atuais. Utilizou-se os mesmos dados de CARVALHO (1987), para efeito de

comparação.

3.2 INDICAÇÃO DA TRAJETÓRIA DO CABO REPRESENTANTE

Para o pré-dimensionamento da estrutura, deve-se primeiramente traçar o cabo

representante, visando o cálculo posterior das perdas (como dito anteriormente).

Para isto, deve-se conhecer o traçado do diagrama de momentos, uma vez que a

armadura de protensão tem como função resistir aos mesmos. Desta forma, de forma

simplificada, a trajetória dos cabos segue o traçado do diagrama.

No caso de pontes em balanço progressivo, deve-se considerar o aspecto construtivo

da estrutura. Para tanto, é importante considerar aduela por aduela, conforme descrito a seguir:

Inicialmente faz-se o primeiro tramo com a primeira aduela

Repete-se o procedimento com as demais aduelas

19

De forma genérica, e baseado nos valores expostos de esforços nas seções S10 e S15,

pode-se estimar o seguinte diagrama de momentos esquemático para tal estrutura:

S10

última aduela

penúltima aduela

aduela "i"

primeira aduela

Figura 3-8 - Esquema de diagrama de momentos

Fazendo-se isto, percebe-se que para executar-se a verificação completa de qualquer

seção, existem n verificações no tempo zero e tempo t, ou seja, a cada lançamento de uma

nova aduela, é necessário realizar os cálculos de esforços e perdas, uma vez que há alteração

na configuração da estrutura. Por exemplo: Ao efetuar-se o dimensionamento da aduela 1,

deve-se realizar a verificação da mesma no instante que ela é lançada, e no instante em que as

aduelas seguintes são lançadas, no caso as 7 aduelas restantes.

É interessante notar a variação do diagrama de momentos, uma vez que os esforços

negativos são maiores com o avanço das aduelas, enquanto os momentos positivos são

maiores nas aduelas mais próximas do apoio.

Como trata-se apenas de um pré-dimensionamento, será utilizada esta envoltória de

momentos para efeito do traçado dos cabos.

Além disso, para efeito de pré-dimensionamento, não há necessidade de um cálculo tão

detalhado. Visto isso, o cabo representante será aquele que caracteriza a estrutura após o

lançamento da aduela 4 (seção S15).

Foi escolhida esta situação de cálculo, pois trata-se de uma seção intermediária da

estrutura, capaz de fornecer um valor médio dos esforços no cabo durante o processo

construtivo como um todo. Além disso, o pré-dimensionamento será realizado com base na

20

seção de apoio, uma vez que trata-se da seção mais solicitada da estrutura. Assim, será

verificada a seção em questão para o tempo infinito e, portanto, com todos os esforços (carga

permanente, sobrecarga permanente e carga acidental), considerando a estrutura já

trabalhando de forma contínua. O momento hiperestático de protensão é, neste caso,

estimado.

Segundo CARVALHO (2009), no cálculo de balanços progressivos deve-se utilizar

sempre curvaturas com raios próximos aos raios mínimos, quando o cabo termina na aduela

com traçado curvo. Neste caso, adota-se cabo de 12 ϕ ½ “, cujo raio mínimo é 12m.

Respeitando esta regra, considera-se que as curvas dos cabos são descritas por uma

função de segundo grau, mais precisamente por um arco de circunferência, uma vez que

facilita a determinação de ângulos e coordenadas, conforme pode-se conferir no capitulo 8 de

CARVALHO (2009).

3.2.1 SITUAÇÃO DE CÁLCULO – ADUELA 4 (SEÇÃO S15)

S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15aduela

4

aduela3

aduela2

aduela1

4.00

2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 6.00 4.00 4.00 4.002.80 4.00

28.00Cabo corrigido

Traçado do cabo

Figura 3-9 - Representação da trajetória do cabo após lançamento da aduela 4

Partindo-se da extremidade da aduela visando garantir o raio mínimo do cabo, inicia-se

os cálculos:

21

Trecho curvo (entre S15 e S14)

𝐻2 =255

2− 10,5 = 117𝑐𝑚

R2 = x22+ h22

2h2

R2 = 6,52+ 1,172

2x1,17 → R2 = 18,64cm

tgθ2 =6,5

18,64−1,17 → θ2=20,41°

Tem-se que o final do cabo encontra-se no CG da peça, pois se o mesmo se

encontrasse em qualquer posição diferente, ocorreria a geração de esforços que poderiam

comprometer o equilíbrio da estrutura.

De acordo com CARVALHO (2009), deve-se deixar no mínimo 1 metro de distância

horizontal em relação à extremidade, de forma que este trecho tenha cabo reto, visando a

ancoragem.

Assim tem-se:

CD′ = R2. tanθ

2− D′D = 18,64 . tan

20,41

2− 1 = 2,35

h2′ = CD′ . senθ = 2,35 . sen 20,41 = 0,821

x2′ = CD′ . 1 + cosθ = 2,35 1 + cos 20,41 = 4,55

Assim:

R2′ = 4,55 + 0,8212

2 . 0,84= 13,03m > 12𝑚 valor próximo

tgθ2′ =4,55

13,03−0,821 → θ2´=20,43°

Obs: a nova trajetória está representada em azul.

É importante notar o valor do ângulo de saída do cabo. O mesmo não pode ser muito

alto, pois dificulta a colocação do mesmo na peça. No caso, 20,41° é um ângulo bom.

22

S11 S12 S13 S14 S15H2

CGD'

D

B'B

02'

X2'X2

C

2

2'

a

Cabo corrigido

Traçado do cabo

Figura 3-10 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo curvo

Trecho deflexão (entre S5 e S10)

h1 = h2 − 2a

h1 = 255 − 21 = 231cm

k =h

2= 115,5cm

x1 = 2 . 2,8 +2,8

2= 7 cm

R1 =72 + 1,1552

2 .1,155= 21,78cm > 12𝑚

tgθ1 =7

21,78 − 1,155→ θ1 = 18,74°

23

S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11

1

a

Figura 3-11 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo em deflexão

3.3 CÁLCULO DAS PERDAS IMEDIATAS DO CABO REPRESENTANTE

As perdas imediatas ocorrem devido à forma como se procede a protensão e das

propriedades elásticas do concreto e do aço.

Considera-se perdas imediatas aquelas ocasionadas devido ao atrito entre o cabo e a

bainha ou concreto; devido à deformação da ancoragem e por deformação imediata do

concreto. Esta ultima é desprezada no pré-dimensionamento, em função da falta de

conhecimento do número de cabos.

A seguir, o cálculo será devidamente detalhado.

3.3.1 CÁLCULO DAS PERDAS POR ATRITO CABO-BAINHA DO CABO REPRESENTANTE

É interessante comentar que há as perdas por atrito devido à protensão do macaco

hidráulico, e consequentemente perda na ancoragem dos cabos, porém são compensadas por

pressão manométrica aplicada no macaco, conforme pode-se conferir no capitulo 3 de PFEIL

(1980).

24

Utilizando os valores dados anteriormente e a trajetória do cabo representante, efetua-

se os cálculos.

Deve-se frisar que serão efetuados os cálculos tendo em vista tanto a ancoragem

realizada à extremidade direita do cabo, quanto à extremidade esquerda, uma vez que trata-se

de duas ancoragens vivas, influenciando assim no comportamento das tensões ao longo de

sua trajetória.

Tabela 3-6-Tensões ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado esquerdo)

Seção x(m) D x(m) a(°) Da(°) Da(rad) e -m(Da+bx) (Mpa) Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)

S0 0 0 0 0 0.00 1.0000 1400.00

S1 2.8 2.8 0 0 0.00 0.9930 1390.23

S2 2.8 5.6 0 0 0.00 0.9861 1380.54

S3 2.8 8.4 0 0 0.00 0.9792 1370.91

S4 2.8 11.2 0 0 0.00 0.9724 1361.34

S5 2.8 14 0 0 0.00 0.9656 1351.85

S6 2.8 16.8 19 19 0.33 0.8826 1235.62

S7 2.8 19.6 19 38 0.66 0.8067 1129.38

S8 2.8 22.4 19 57 0.99 0.7373 1032.27

S9 2.8 25.2 19 76 1.33 0.6739 943.52

S10 2.8 28 19 95 1.66 0.6160 862.39

S11 6 34 0 95 1.66 0.6068 849.55

S12 4 38 0 95 1.66 0.6008 841.10

S13 4 42 0 95 1.66 0.5948 832.73

S14 4 46 21 116 2.02 0.5373 752.26

S15 4 50 21 137 2.39 0.4854 679.56

25

Tabela 3-7 Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado direito)

Seção x(m) D x(m) a(°) Da(°) Da(rad) e -m(Da+bx) (Mpa) Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)

S15 0 0 0 0 0.00 1.0000 1400.00 S14 4 4 21 21 0.37 0.9034 1264.71 S13 4 8 21 42 0.73 0.8161 1142.49 S12 4 12 0 42 0.73 0.8079 1131.12 S11 4 16 0 42 0.73 0.7999 1119.87 S10 6 22 0 42 0.73 0.7880 1103.20 S9 2.8 24.8 19 61 1.06 0.7202 1008.34 S8 2.8 27.6 19 80 1.40 0.6583 921.65 S7 2.8 30.4 19 99 1.73 0.6017 842.40 S6 2.8 33.2 19 118 2.06 0.5500 769.97 S5 2.8 36 19 137 2.39 0.5027 703.77 S4 2.8 38.8 0 137 2.39 0.4992 698.86 S3 2.8 41.6 0 137 2.39 0.4957 693.99 S2 2.8 44.4 0 137 2.39 0.4922 689.15 S1 2.8 47.2 0 137 2.39 0.4888 684.34 S0 2.8 50 0 137 2.39 0.4854 679.56

Repara-se que a tensão inicial aplicada é 1400MPa, isto porque de acordo com a

norma, esta tensão deve ser igual a 0,74fptk e 0,82fpyk. Como fpyk ≈ 0,9 fptk, utiliza-se o menor

valor destes. Assim:

𝜎𝑝𝑖 = 0,74 𝑥 1900 = 1406 𝑀𝑃𝑎 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 1400 𝑀𝑝𝑎

Desta forma, ao realizar-se a intersecção das duas situações, tem-se:

Tabela 3-8 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (resumo)

Seção D x(m) Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa) Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)

S0 0 1400.00 679.56 S1 2.8 1390.23 684.34 S2 5.6 1380.54 689.15 S3 8.4 1370.91 693.99 S4 11.2 1361.34 698.86 S5 14 1351.85 703.77 S6 16.8 1235.62 769.97 S7 19.6 1129.38 842.40 S8 22.4 1032.27 921.65 S9 25.2 943.52 1008.34

S10 28 862.39 1103.20 S11 34 849.55 1119.87 S12 38 841.10 1131.12 S13 42 832.73 1142.49 S14 46 752.26 1264.71 S15 50 679.56 1400.00

26

Figura 3-12 - Tensões ao longo do cabo representante

3.3.2 CÁLCULO DAS PERDAS POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM DO CABO REPRESENTANTE

Ao realizar-se a ancoragem de um cabo, há sempre um pequeno retrocesso no cabo

que estava esticado, devido ao sistema de ancoragem por cunhas, o que provoca uma queda

de tensão no mesmo, conforme pode-se consultar em CARVALHO (2009).

Desta forma, é necessário verificar as perdas no cabo devido à este fenômeno. O

processo de cálculo neste caso se faz por tentativa, através do gráfico de tensões descrito

acima.

Baseado na teoria de resistência dos materiais, supõe-se que o cabo possui um

comportamento elástico, de forma que a queda de tensão é descrita por:

𝜔 = 𝐸𝑝.∆𝑙 (3-1)

Onde:

𝜔 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚

𝐸𝑝 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜

∆𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑟𝑎𝑣𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜

Desta forma tem-se:

0.00

200.00

400.00

600.00

800.00

1000.00

1200.00

1400.00

1600.00

0 10 20 30 40 50 60

Tensão ao longo do cabo (Mpa)

Posição x (m)Perdas por atrito (ancoragem a esquerda)

Perdas por atrito (ancoragem a direita)

Perdas por atrito (intersecção)

27

𝜔 = 𝐸𝑝.∆𝑙

𝜔 = 1,9 𝑥 105 𝑥 0,6 = 114000

Cabe agora traçar no gráfico uma curva simétrica à encontrada, de forma que a área

entre as duas tenha o valor igual ao ∆𝜎. Desta forma, será possível encontrar o valor os

respectivos valores das tensões ao longo das seções da peça.

1400,00 1390,23 1380,54 1370,91 1361,34 1351,85

1235,621129,38

1032,27 1008,341103,20

1119,87 1131,12 1142,49

1264,71

1400,00

1205,171335,32

1318,781309,291299,721290,091280,401270,631144,20

1005,46

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

Posição x (m)

(MP

a)

1400,00

1100,00

800,00

1a tentativa (seção S5 e S14)

2a tentativa (seção S6 e S13)

Alternativa correta

Figura 3-13 - Gráfico das tensões ao longo do cabo após perdas iniciais (tentativas)

Pode-se notar pelo gráfico acima que foi necessário interpolar valores, uma vez que as

áreas encontradas deram maiores ou menores que o valor encontrado acima. A seguir detalha-

se o processo de cálculo:

Ancoragem à esquerda

Traçando-se as curvas simétricas em relação ao pontos conhecidos S5 e S6, obtém-se

os valores de área 67.026 e 425.018 respectivamente, sendo que ω encontra-se neste

intervalo.

Desta forma, é necessário fazer uma interpolação de valores. Com isso, estima-se a

área do gráfico através o uso de figuras geométrica conhecidas, no caso trapézios:

28

𝜔𝑠5 + ∆𝜎. 1400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 114000

67026 + ∆𝜎. 1400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 114000

∆𝜎. 1400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 46974

Considerando o trecho entre S5 e S6 retilineo, tem-se:

𝜎𝑠6 − 𝜎𝑠5

280=∆𝜎

2𝑙0

1351,85 − 1235,62

280=∆𝜎

2𝑙0

𝑙0 = 1,204 ∆𝜎

Substituindo na equação anterior, tem-se:

∆𝜎. 1400 +∆𝜎

2. 1,204.∆𝜎 = 46974

∆𝜎 = 33,082 𝑀𝑃𝑎

𝑙0 = 1,204 .33,082 = 39,83𝑐𝑚

Colocando os valores no gráfico, chega-se a área igual a 113.982, valor bem próximo a

114000, podendo ser adotado.

Ancoragem à direita

Traçando-se as curvas simétricas em relação aos pontos conhecidos S14 e S13,

obtém-se os valores de área 54.754 e 206.008 respectivamente, sendo que ω encontra-se

neste intervalo.

Desta forma, é necessário fazer uma interpolação de valores. Com isso, estima-se a

área do gráfico através o uso de figuras geométrica conhecidas, no caso trapézios:

29

𝜔𝑠14 + ∆𝜎. 400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 114000

54754 + ∆𝜎. 400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 114000

∆𝜎. 1400 +∆𝜎

2. 𝑙0 = 59246

Considerando o trecho entre S14 e S13 retilineo, tem-se:

𝜎𝑠14 − 𝜎𝑠13

280=∆𝜎

2𝑙0

1264,71 − 1142,49

280=∆𝜎

2𝑙0

𝑙0 = 1,636 ∆𝜎

Substituindo na equação anterior, tem-se:

∆𝜎. 400 +∆𝜎

2. 1,636.∆𝜎 = 59246

∆𝜎 = 119,10 𝑀𝑃𝑎

𝑙0 = 1,636 . 119,10 = 194,85𝑐𝑚

Colocando os valores no gráfico, chega-se a área igual a 114.796, valor bem próximo a

114000, podendo ser adotado.

É importante ressaltar que há tolerâncias nos valores encontrados, uma vez que se

trata de um processo aproximado de cálculo por tentativa, portanto as discrepâncias são fruto

da imprecisão das aproximações realizadas.

Como resultado final, tem-se os seguinte gráfico e os seguintes valores de tensão:

30

Figura 3-14- Gráfico com as tensões finais no cabo após as perdas iniciais

Baseado no gráfico acima, tem-se a tabela com os respectivos resultados de tensão:

Tabela 3-9 – Tensões finais após perdas iniciais

Seção D x(m) Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa) S0 0 1270.63 S1 2.8 1280.4 S2 5.6 1290.09 S3 8.4 1299.72 S4 11.2 1309.29 S5 14 1318.78

S5A 14.398 1335.32 S6 16.8 1235.62 S7 19.6 1129.38 S8 22.4 1032.27 S9 25.2 1008.34

S10 28 1103.2 S11 34 1119.87 S12 38 1131.12 S13 42 1142.49

S13A 44.052 1205.17 S14 46 1144.2 S15 50 1005.46

Os resultados grifados em amarelo representam os valores de intersecção das curvas

azul e verde descritas no gráfico.

1270.63

1280.41290.09

1299.721309.291318.78

1335.32

1235.62

1129.38

1032.271008.34

1103.2

1119.87

1131.12

1142.49

1205.17

1144.2

1005.46

800.00

900.00

1000.00

1100.00

1200.00

1300.00

1400.00

1500.00

-5 5 15 25 35 45 55

Tensão ao longo do cabo (Mpa)

Posição x (m)

Perdas por atrito (intersecção)

Tensões no cabo após perdas iniciais

31

3.4 CÁLCULO DAS PERDAS AO LONGO DO TEMPO DO CABO REPRESENTANTE

As perdas ao longo do tempo têm como principal causador os fenômenos reológicos

que estão sujeitos o aço e o concreto. Por esses fenômenos, pode-se compreender a fluência e

a retração do concreto e a relaxação do aço, e seus efeitos são descritos pelo quadro a seguir,

retirado de CARVALHO (2009):

Tabela 3-10 - Considerações sobre efeitos reológico do concreto e do aço

Fenômeno Atuação -origem Causa efeito no

concreto

Efeito no aço

Retração Concreto Variação de

volume

encurtamento perda de tensão

Fluência Concreto Tensão

permanente

encurtamento perda de tensão

Relaxação Aço deformação

permanente

------------ perda de tensão

De acordo com CARVALHO (2009), na maioria dos casos em que as variações de

tensões no concreto e na armadura é pequena, pode-se fazer uma série de simplificações. No

caso, pode-se considerar as perdas de forma isolada, ou seja, cada uma é independente da

outra. Assim vale a seguinte expressão:

𝑝 ,𝑐+𝑠+𝑟(𝑡, 𝑡𝑜) = ∆𝜎𝑝 ,𝑐 (𝑡, 𝑡0) + ∆𝜎𝑝 ,𝑠 (t, t0) + ∆𝜎𝑝 ,𝑟 (t, t0) (3-2)

Onde:

𝑝 ,𝑐+𝑠+𝑟(𝑡, 𝑡𝑜)= perda total de protensão devido fluência, retração e relaxação

∆𝜎𝑝 ,𝑐 (𝑡, 𝑡0) = perda de protensão devido fluência (considerando-a isolada)

∆σp,s (t, t0)= perda de protensão devido retração

∆𝜎𝑝 ,𝑟 (t, t0) = perda de protensão devido a relaxação (considerando-a isolada)

Antes de se iniciar o cálculo, é necessário determinar alguns parâmetros. No caso,

esses parâmetros são valores finais do coeficiente de fluência (t,to) e da deformação

específica de retração cs(t,to) do concreto.

32

Dessa maneira, usa-se Inforsatto (2009) com a tabela dada:

Tabela 3-11 - Cálculo dos coeficientes de fluência e retração do concreto

É interessante notar que as condições do ambiente e do material influenciam

diretamente neste cálculo.

Determinou-se os valores de umidade relativa (75%), temperatura média (20°C),

abatimento do concreto (7cm) a partir de dados experimentais, além de ter sido estipulado o

tipo de cimento utilizado, no caso CPII.

Em relação aos dados geométricos, podem ser encontrados no item 3.1.2, com a

ressalva que na determinação do perímetro da seção em contato com o ar não considera-se a

região de asfalto, apenas a projeção horizontal inferior e as laterais da peça.

Essa tabela foi construída de acordo com as equações e fórmulas presentes no Anexo

III, da NBR 6118:2003.

Assim, tem-se os seguintes valores:

Coeficiente de fluência do concreto ∅ 𝑡∞, 𝑡0 = 2,323

Deformação específica de retração do concreto εs t∞, t0 = -1,79 . 10-4

3.4.1 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RETRAÇÃO

A perda por retração é dada por:

33

∆σp,s = Ep . εs ∞, 5 (3-3)

Onde:

∆σp,s = perdas do concreto devido a retração

Ep = módulo de elasticidade do aço de protensão

εs ∞, 5 = deformação especifica de retração do concreto

Logo, tem-se o seguinte resultado:

∆σp,s = 1,9x105x1,79x10−4 = 34,01 MPa

3.4.2 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A FLUENCIA DO CONCRETO

A perda por fluência do concreto é dada por:

∆𝜎𝑝 ,𝑐 =

𝐸𝑝𝐸𝑐

.𝜎𝑐𝑔 ,𝑔 .∅ ∞, 5 (3-4)

Onde:

∆𝜎𝑝 ,𝑐 = Perda por fluência do concreto

𝐸𝑐= Módulo de elasticidade do concreto

𝐸𝑝= módulo de elasticidade do aço de protensão

𝜎𝑐𝑔 ,𝑔= tensão que ocorre no concreto no nível do centro de gravidade da armadura de

protensão e devido à ação das cargas permanentes inclusive a protensão

∅ ∞, 5 = Coeficiente de fluência do concreto

No caso, valor de Ec é dado pela seguinte expressão:

𝐸𝑐 = 0,85𝑥5600𝑥 𝑓𝑐𝑘 (3-5)

𝐸𝑐 = 0,85𝑥5600𝑥 26 = 24.271 𝑀𝑃𝑎

Em relação ao valor de 𝜎𝑐𝑔 ,𝑔 , o mesmo é dado pela seguinte expressão:

34

𝜎𝑐𝑔 ,𝑔 =

𝑁𝑝

𝐴𝑐+

𝑁𝑝 . 𝑒2

𝐼−

𝑀𝑔𝑖𝑖

𝐼. 𝑒

(3-6)

Onde:

𝑁𝑝= força de protensão total,

𝐼= inércia da seção transversal

𝑒= excentricidade dos cabos de protensão.

i

giM

= Mg1+ Mg2+.......+Mgn

Mg1 – momento fletor devido a carga permanente estrutura

Mg2 – momento fletor devido a sobrecarga permanente estrutural, ou outra carga de

caráter permanente.

𝐴𝑐= área da seção transversal

Neste caso, pode-se adotar 𝜎𝑐𝑔 ,𝑔 = 5MPa, conforme pode-se confirmar em CARVALHO

(2009).

Assim, tem-se:

∆𝜎𝑝 ,𝑐 =1,9x105

24.271 . 5 . 2,323 = 90,925 𝑀𝑃𝑎

3.4.3 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RELAXAÇÃO DO AÇO

Antes de efetuar o cálculo de relaxação do aço, é necessário inicialmente considerar o

nível de tensão no mesmo, através da seguinte expressão:

𝑟 =𝜎𝑝𝑓𝑝𝑡𝑘

=1103.2

1900= 0,5806

Observa-se que 𝜎𝑝 utilizado foi o valor mínimo de protensão encontrado. Isso mostra

que houve uma perda de 42% de tensão até então.

Baseado neste valor, interpola-se o mesmo com os valores conhecidos, (vide item

3.1.3):

35

Tabela 3-12 - interpolação dos valores dos coeficientes Ѱ

Tensão inicial

Perdas (%)

0,5 fptk 0

0,5806 fptk k

0,6 fptk 1,5

Efetuando a interpolação, chega-se a k=1,209

Assim, para o tempo infinito tem-se:

Ѱ∞ = 2,5xѰ1000 = 2,5𝑥1,209 = 3,02%

Finalmente, tem-se a equação da perda por relaxação:

∆𝜎𝑝,𝑟 = σp .Ѱ∞ (3-7)

Onde:

∆𝜎𝑝 ,𝑟 = perda por relaxação do aço

σp= valor de protensão na seção mais solicitada (no caso S10)

Ѱ∞= coeficiente de relaxação

∆𝜎𝑝 ,𝑟 = 1103,2 . 0,0302 = 33,35 MPa

Resumindo, as perdas totais ao longo do tempo:

𝑝 ,𝑐+𝑠+𝑟 𝑡, 𝑡𝑜 = 34,01 + 90,925 + 33,35 = 158,29𝑀𝑃𝑎

Considerando esta perda constante para todo a extensão do cabo, tem-se a seguinte

tabela:

Tabela 3-13 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo

Seção S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 σS (Mpa)

t=t0 1270.63 1280.4 1290.09 1299.72 1309.29 1318.78 1235.62 1129.38 σS (Mpa)

t=∞ 1112.34 1122.11 1131.8 1141.43 1151 1160.49 1077.33 971.09

36

Tabela 3-14 -Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo (continuação)

Seção S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 σS (Mpa)

t=t0 1032.27 1008.34 1103.2 1119.87 1131.12 1142.49 1144.2 1005.46 σS (Mpa)

t=∞ 873.98 850.05 944.91 961.58 972.83 984.2 985.91 847.17

De uma forma genérica, pode-se expressar as perdas nos cabos de protensão pelo

seguinte gráfico, extraído de PFEIL (1980):

Figura 3-15- Variação das perdas de protensão, ao longo do tempo, numa seção determinada de uma peça com armadura pós tracionada

3.5 CÁLCULO DO NÚMERO DE CABOS NO ELU

O dimensionamento de estruturas de concreto protendido, no estádio limite ultimo, é

basicamente o mesmo de estruturas em concreto armado, conforme descrito na

NBR6118:2003.

37

Para o cálculo da armadura longitudinal, considera-se o tempo infinito e a tensão da

armadura na seção mais solicitada, no caso S10 (seção de apoio). Nota-se que não é a seção

que possui maior perda de tensão do aço.

Desta forma, calcula-se primeiramente o pré-alongamento, através da lei de Hooke:

𝜀𝑝 =𝜎𝑝 ,𝑆10,𝑡=∞

𝐸𝑝= 944,91

190000 = 0,497%

Prosseguindo com os cálculos, é necessário determinar KMD. Dessa maneira, utiliza-se

os dados geométricos da seção S15 (seção em contato com o ar). Para efeito de cálculo,

considera-se a seção caixão como sendo uma viga T.

𝐾𝑀𝐷 =

𝑀𝑑

𝑏 . 𝑑2 .𝑓𝑐𝑑

(3-8)

Onde:

𝑀𝑑= momento máximo no estado limite ultimo

𝑏= dimensão da base da peça

𝑑= altura útil

𝑓𝑐𝑑= resistência do concreto de dimensionamento

No caso, considera-se b= 7,4m e d= 4,0 - 0,25 = 3,75m (valor de 0,25 é arbitrado,

correspondente a soma dos cobrimentos e da armadura passiva). Assim:

𝑀𝑑 = 1,3𝑥 𝑀𝑔1 + 𝑀𝑔2 + 1,5 .𝐾1𝑀𝑞𝑚 á𝑥 + 1,0𝑀𝑓𝑒𝑐𝑕𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑀𝑑 = 1,3𝑥 −134950 − 27900 + 1,5 𝑥 −33310 + 1,0𝑥 13495 = −248175 𝐾𝑁𝑚

𝐾𝑀𝐷 =248175

7,4 . 3,752 .26000

1,4

= 0,1284

38

1.50

bw

0.35

e

0.35

0.25

CG

d4.00 Md

b= 7.40

Figura 3-16– Esquematização do momento atuante

OBS: É importante notar que o momento é estimado como sendo 10% do momento

após lançamento da última aduela, pois como se trata de um pré-dimensionamento, não se faz

necessário calculá-lo precisamente nesta etapa.

Através da tabela a seguir , de CARVALHO (2009), retira-se os demais dados:

Tabela 3-15 - Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares

39

Devido a proximidade de valor, é possível adotar KMD = 0,1284, logo KX=0,2086 e

KZ=0,9166 e 𝜀𝑠 = 1%. Portanto:

𝑥 = 0,2086𝑥3,75 ≅ 0,7822𝑚 > 0,6𝑚 𝑕𝑓 − 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Conclui-se que se trata de viga T, logo é necessário separar os momentos de acordo

com a porção resistente da estrutura, ou seja, as abas e a alma.

Momento resistente pelas abas (M1)

0.70

0.60

b= 7.40

z1d

Figura 3-17- Região das abas da peça

𝑀1𝑑 = 7,4 − 2𝑥0,7 𝑥 0,6 𝑥 0,85 𝑥 26000

1,4 𝑥 𝑧1

𝑧1 = 𝑑 − 0,62

𝑀1𝑑 = 6 𝑥 0,6 𝑥 15785 𝑥 3,45 = 196058𝐾𝑁.𝑚

Momento resistente pela alma (M2)

𝑀1𝑑 = 248175 − 196058 = 52123𝐾𝑁.𝑚

𝐾𝑀𝐷 =52125

1,4 . 3,752 .26000

1,4

= 0,142

Assim, KX=0,2354, KZ=0,9058 e 𝜀𝑠 = 1%

𝑥 = 0,2354𝑥3,75 ≅ 0,88𝑚

40

Tem-se que tanto para a alma quanto para as abas, 𝜀𝑡 = 𝜀𝑝 + 𝜀𝑠 = 0,5 + 1 = 1,5%

Usando a tabela a seguir, encontra-se o valor de 𝑓𝑝𝑑 = 150,7𝐾𝑁/𝑐𝑚2

Tabela 3-16 – Tensão no aço 𝝈𝒔𝒅 (MPa) com 𝑬𝒑 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂

e(‰) 5.250 6.794 7.438 8.167 9.000 9.962 10.000 12.500 15.000 17.500

CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397

CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517

Tabela 3-17 - Tensão no aço 𝝈𝒔𝒅 (MPa) com 𝑬𝒑 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂 (continuação)

e(‰) 20.00 22.50 25.00 27.50 30.00 32.50 35.00 37.50 40.00

CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 1474 1484

CP190 1527 1538 1548 1559 1569 1579 1590 1600 1611

Consequentemente:

𝐴𝑝 =𝑀𝑑

𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑝𝑑=

196058

(3,75 −0,60

2 ) 𝑥 150,7+

52125

0,9058 𝑥 3,75 𝑥 150,7= 478,9 𝑐𝑚2

OBS: lembra-se que 𝑘𝑧 𝑥 𝑑 = 𝑧

Assim, encontra-se o número de cabos. Supondo:

𝑘1 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 12∅12 "

𝑘2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 7∅12 "

𝑘1𝑥 11,84 + 𝑘2𝑥 6,90 = 478,9

Supondo 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘:

𝑘1 11,84 + 6,90 = 478,9

𝑘 = 25 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠

41

Tentando 𝑘1 = 24:

24 𝑥 11,84 + 𝑘2𝑥 6,90 = 478,9

𝑘2 = 28,22 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎 − 𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 28

Assim, tem-se 24 cabos de 12∅12 " e 28 cabos de 7∅1

2 ".

Calculados o número de cabos é necessário verificar a nova situação, conforme a

disposição dos cabos demonstrada a seguir, visando a conferência dos cálculos:

1.50

0.35

0.150.35

cabos de 12 12"

cabos de 7 12"

Figura 3-18 - Disposição dos cabos de protensão

Nota-se que pela simetria da figura, calcula-se apenas metade da seção transversal.

Dessa forma, encontra-se o centro de gravidade da peça:

𝑦𝑐𝑔 = 4 𝑥 10,5 + 2 𝑥 24,5 + 2 𝑥 38,5 + 2 𝑥 52,5 + 2 𝑥 66,5

12 𝑥 1 + 14 𝑥 0,583= 28,43𝑐𝑚

OBS: 0,583 é a proporção da área do cabo de 7∅12 " em relação ao cabo de 12∅1

2 ".

.

Dessa forma, tem-se: 𝑑 = 4,00 − 0,2843 ≅ 3,72𝑚 (valor bem próximo do d adotado

anteriormente).

42

Momento resistente pelas abas (M1)

𝑀1𝑑 = 6 𝑥 0,6 𝑥 15785 𝑥 (3,72 − 0,3) = 195453𝐾𝑁.𝑚

Momento resistente pela alma (M2)

𝑀1𝑑 = 248175 − 195453 = 52722𝐾𝑁.𝑚

𝐾𝑀𝐷 =52722

1,4 . 3,722 .26000

1,4

= 0,1465

Assim, KX=0,2354, KZ=0,9058 e 𝜀𝑠 = 1%

Tem-se que tanto para a alma quanto para as abas, 𝜀𝑡 = 𝜀𝑝 + 𝜀𝑠 = 0,5 + 1 = 1,5%

Portanto, valor de 𝑓𝑝𝑑 = 150,7𝐾𝑁/𝑐𝑚2 (igual ao valor encontrado anteriormente)

𝐴𝑝 =𝑀𝑑

𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑝𝑑=

195453

(3,72 −0,60

2 ) 𝑥 150,7+

52722

0,9058 𝑥 3,72 𝑥 150,7= 483 𝑐𝑚2

Logo, utilizando o mesmo número de cabos encontrado, tem-se:

24 𝑥 11,84 + 28 𝑥 6,90 = 477,36 𝑐𝑚2

∆𝐴𝑝 = 483 − 477,4 = 5,6 𝑐𝑚2

Esta diferença na armadura é compensada por armadura passiva, caso aço de 50MPa:

𝐴𝑠 =𝐴𝑝𝑥 𝑓𝑝𝑑

𝑓𝑦𝑑=

5,6 𝑥 150,7

501,15

= 19,41 𝑐𝑚2 → 16∅12 "

3.6 VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE FISSURAÇÃO NA SEÇÃO DE MAIOR SOLICITAÇÃO E DETERMINAÇÃO DO FEIXE LIMITE PARA AS DEMAIS SEÇÕES.

Para se realizar as verificações de fissuração é necessário determinar a classe de

agressividade ambiental a qual a peça está sujeita. A partir da tabela demonstrada à seguir,

tem-se que a classe de agressividade é nível IV. Dessa forma, é necessário realizar a

verificação, no tempo infinito, considerando a combinação quase permanente e freqüente

respectivamente.

43

Tabela 3-18 - Classificação da agressividade ambiental

Tabela 3-19 - Exigencias de durabilidade relacionadas a fissuração e a proteção da armadura em função das classes de agressividade ambiental

44

Além disso, segundo a NBR 8681:2003, deve-se considerar os coeficientes Ѱ1 e Ѱ2

iguais a 0,3 e 0,5 respectivamente. Com isso, tem-se os seguintes parâmetros:

𝜎𝑡=∞ = 945 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑝 = 477,36 𝑐𝑚2

𝑁𝑝𝑡=∞ = 477,36 𝑥 94,5 = 45110 𝐾𝑁

𝐴 = 12,49 𝑐𝑚2

𝑊𝑖 = 14,65 𝑐𝑚3

𝑊𝑠 = 14,41 𝑐𝑚2

𝑀𝑔1 = −134950 𝐾𝑁.𝑚

𝑀𝑔2 = −27900 𝐾𝑁.𝑚

𝑀𝑞𝑚𝑖𝑛 = −33310 𝐾𝑁.𝑚

𝑀𝑞𝑚 á𝑥 = 680 𝐾𝑁.𝑚

𝑀𝑓 = −13495 𝐾𝑁.𝑚

𝑒 = 1,74 𝑐𝑚

Os cálculos demonstrados a seguir são todos baseados nas equações (2-2) e (2-3),

contendo algumas variações de sinal conforme os esforços atuantes na peça.

3.6.1 ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO (E.L.S-D) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES QUASE FREQUENTES

Neste caso, os limites são:

Tração: σ= 0

Compressão: estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) - σ= 0,7fck

Logo, com fck = 26MPa, tem-se a seguinte condição:

0 ≤ 𝜎 ≤ 18200

45

Borda Superior

Situação de momento mínimo:

σs =

Np

A+

Np x e

Ws−

Mg1 + Mg2 − Mf + Ѱ2xMqmin

Ws

(3-9)

σs = 45110

12,49+

45110 x 1,74

14,41−

134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310

14,41

σs = −1999,45 𝐾𝑁/𝑚2 < 0 não atende

Como se pode notar, não atende as condições limites.

Isto pode ser explicado por ter-se adotado apenas um cabo representante para a

estrutura como um todo. Além disso, supôs-se que a trajetória de todos os cabos é curva, o

que implica em uma perda muito elevada.

Dessa forma, aumenta-se o número de cabos, e adota-se uma trajetória retilínea para

os cabos de 7∅12 ", causando uma mudança na perda imediata dos mesmos.

Tomando como parâmetro os gráficos 3-13 e 3-14, tem-se que a perda inicial do trecho

retilíneo do cabo representante é uniformemente variada, de forma que adota-se um

pensamento análogo:

Tabela 3-20 - Cálculo das perdas iniciais dos cabos retilíneos

Seção x(m) σ (Mpa) D σ (Mpa)

S0 0 1400.00 0

S1 2.8 1390.23 9,77

S10 28 1302.30 97,7

Com isso, tem-se:

𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑜 (12∅12 ") → 945 𝑀𝑃𝑎

𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑙𝑖𝑛𝑒𝑜 (7∅12 ") → 1302,23 − 34 − 91 − 33 = 1144,23 𝑀𝑃𝑎

46

Encontradas as novas tensões nos cabos, é necessário encontrar as forças de

protensão:

𝑁𝑝 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑜 (12∅12 ") → 24 𝑥 11,84 𝑥 94,5 = 26853,12 𝐾𝑁

𝑁𝑝 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑙𝑖𝑛𝑒𝑜 (7∅12 ") → 28 𝑥 6,9 𝑥 114,423 = 22105,94 𝐾𝑁

𝑁𝑝 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 26853,12 + 22105,94 = 48959,06 𝐾𝑁

Isolando-se os termos dependentes de 𝑁𝑝 da equação de fissuração, tem-se:

𝑘 𝑥 48959 𝑥 1

12,49+

1,74

14,41 = 11057

𝑘 = 1,12

Isto significa que é necessário aumentar a armadura em 12%, ou seja, passaria de 52

cabos para 59 ao todo, divididos em 27 cabos de 12∅12 " e 32 cabos de 7∅1

2 ".

Assim, o novo valor de Np é igual a:

𝑁𝑝 = 27 𝑥 11,84 𝑥 94,5 + 32 𝑥 6,9 𝑥 114,423 = 55474,36 𝐾𝑁

σs = 55474

12,49+

55474 x 1,74

14,41−

134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310

14,41= 81,77 𝐾𝑁/𝑚2

Situação de momento máximo:

σs =

Np

A+

Np x e

Ws−

Mg1 + Mg2 − Mf −Ѱ2xMqmax

Ws

(3-10)

σs = 55474

12,49+

55474 x 1,74

14,41−

134950 + 27900 − 13495 − 0,3x680

14,41= 789,4 𝐾𝑁/𝑚2

47

Borda Inferior


σs =

Np

A−

Np x e

Wi+

Mg1 + Mg2 − Mf −Ѱ2xMqmin

Wi

(3-11)

σs = 55474

12,49−

55474 x 1,74

14,65+

134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310

14,65= 8729,75 𝐾𝑁/𝑚2


σs =

Np

A−

Np x e

Wi+


Wi

(3-12)

σs = 55474

12,49−

55474 x 1,74

14,65+

134950 + 27900 − 13495 − 0,3x680

14,65= 7923,97 𝐾𝑁/𝑚2

Analisando-se a maior e a menor tensão encontrada, tem-se:

σmax = 8729,75 𝐾𝑁/𝑚2 < 18200 𝐾𝑁/𝑚2

σmin = 81,77 𝐾𝑁/𝑚2 > 0

3.6.2 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS (E.L.S-F) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES FREQUENTE.

Neste caso, os limites são:

Tração: 𝜎 = 𝑓𝑐𝑡𝑚 = −0,3 𝑥 𝑓𝑐𝑘23

Compressão: estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) - σ= 0,7fck

Logo, com fck = 26MPa, tem-se a seguinte condição:

−2634 ≤ 𝜎 ≤ 18200

48

Borda Superior


σs =

Np

A+

Np x e

Ws−


Ws

(3-13)

σs = 55474

12,49+

55474 x 1,74

14,41−

134950 + 27900 − 13495 + 0,5x33310

14,41= −380,55 𝐾𝑁/𝑚2


σs =

Np

A+

Np x e

Ws−


Ws

(3-14)

σs = 55474

12,49+

55474 x 1,74

14,41−

134950 + 27900 − 13495 + 0,5x680

14,41= 641,91 𝐾𝑁/𝑚2

Borda Inferior


σs =

Np

A−

Np x e

Wi+


Wi

(3-15)

σs = 55474

12,49−

55474 x 1,74

14,65+

134950 + 27900 − 13495 + 0,5x33310

14,65= 9184,5 𝐾𝑁/𝑚2

49


σs =

Np

A−

Np x e

Wi+


Wi

(3-16)

σs = 55474

12,49−

55474 x 1,74

14,65+

134950 + 27900 − 13495 − 0,5x680

14,65= 8024,42 𝐾𝑁/𝑚2

Analisando-se a maior e a menor tensão encontrada, tem-se:

σmax = 9184,5 𝐾𝑁/𝑚2 < 18200 𝐾𝑁/𝑚2

σmin = −380,55 𝐾𝑁/𝑚2 > 2634 𝐾𝑁/𝑚2

3.6.3 VERIFICAÇÃO DE RUPTURA NO TEMPO ZERO

Além das verificações no tempo infinito, é necessária a verificação de ruptura no tempo

zero. Dessa forma, as tensões iniciais e os limites são diferentes dos utilizados até então:

Tensões iniciais:

𝜎𝑝𝑡=0 → 𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅12 " → 110,32 𝑥 27 𝑥 11,84 = 35267 𝐾𝑁

𝜎𝑝𝑡=0 → 𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅12 " → 130,2 𝑥 32 𝑥 6,9 = 28748 𝐾𝑁

𝜎𝑝𝑡=0 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35267 + 28748 = 64015 𝐾𝑁

Limites (adotando-se fcj = 20MPa)

Tração: 𝜎 = 1,2 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 1,2 𝑥 0,3 𝑥 2023= 2,652𝑀𝑃𝑎

Compressão: 𝜎 = 0,7 𝑥 𝑓𝑐𝑗 = 0,7 𝑥 20 = 14 𝑀𝑃𝑎

50

Borda Superior

σs = Np

A+

Mp

Ws−

Mg1

Ws

(3-17)

σs = 64015

12,49+

64015 x 1,74

14,41−

134950

14,41= 3490 𝐾𝑁/𝑚2

Borda Inferior

σs =

Np

A−

Np x e

Wi+

Mg1

Wi

(3-18)

σs = 64015

12,49−

64015 x 1,74

14,65+

134950

14,65= 6733,75 𝐾𝑁/𝑚2 < 14000 𝐾𝑁/𝑚2

51

4. CONCLUSÃO

Baseado nos resultados obtidos, é possível comparar o número de cabos encontrados

no trabalho, e o número real de cabos, a partir da tabela a seguir, extraída de CARVALHO

(1987):

Tabela 4-1 - Cabos de uma viga

Cabo Seção Inicial

Seção final

Tipo de Ancoragem

Tipo de cabo Comprimento do cabo (m)

Comprimento total (m)

1,2,4 S0 S11 Ativa-ativa 12Φ1/2" 34 102

3,5,7 S0 S12 Ativa-ativa 12Φ1/2" 38 114

6,8,10 S0 S13 Ativa-ativa 12Φ1/2" 42 126

9,11,13 S0 S14 Ativa-ativa 12Φ1/2" 46 138

12,14 S0 S15 Ativa-ativa 12Φ1/2" 50 100

15,16 S0 S16 Ativa-ativa 12Φ1/2" 54 108

17,18 S0 S17 Ativa-ativa 12Φ1/2" 58 116

19,20 S9 S18 Ativa-ativa 12Φ1/2" 36.8 73.6

21,22 S0 S19 Ativa-ativa 12Φ1/2" 66 132

23,24,25,26 S8 S19 Passiva-ativa 7Φ1/2" 43.6 174.4



35,36,37,38 S5 S16 Passiva-ativa 7Φ1/2" 40 160

39,40 S4 S15 Passiva-ativa 7Φ1/2" 38.8 77.6



45 S2 S12 Passiva-ativa 7Φ1/2" 32.4 32.4

46 S4 S12 Passiva-ativa 7Φ1/2" 26.8 26.8


Somando-se a quantidade de cabos, chega-se ao valor de 44 de 12Φ1/2” e 52 de

7Φ1/2” (considerando que a tabela acima expressa o número de cabos de apenas uma viga, e

portanto é necessário multiplicar o valor por 2).

52

Dessa forma, ao comparar-se com a quantidade encontrada, tem-se 27 cabos de

12Φ1/2” e 32 de 7Φ1/2”, sendo quase metade do valor, porém deve-se considerar que no

exemplo demonstrado no trabalho, considerou-se todos os cabos de mesmo comprimento, indo

de S0 a S19, diferentemente da situação expressa acima.

Com isso, visando uma comparação mais precisa, calcula-se o volume de cabos em

ambos os casos:

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑥 á𝑟𝑒𝑎 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

REAL

𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅12 " → 2019,2 𝑥 0,001184 = 2,39𝑚3

𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅12 " → 1998,4 𝑥 0,00069 = 1,37𝑚3

TRABALHO

𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅12 " → 1782 𝑥 0,001184 = 2,11𝑚3

𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅12 " → 2112 𝑥 0,00069 = 1,45𝑚3

Como pode-se notar, os valores encontrados são bem próximos dos reais, sendo que

ao somar-se os volumes, chega-se a uma diferença de 0,2m3, equivalente a 5% do valor total

apenas.

É necessário frisar que este trabalho tratou de demonstrar apenas um pré-

dimensionamento, sendo que em uma etapa posterior, o detalhamento seria necessário, de

forma que seria possível estudar diferentes combinações de cabos, com comprimentos

variados.

Além disso, é interessante notar que particularmente neste caso, o fator determinante

do número de cabos foi a verificação de fissuração, sendo que isto ocorreu devido as perdas

majoradas, em função da adoção de um cabo genérico, de comprimento único, (já que

considerou-se um pensamento análogo ao pré-dimensionamento de pontes em vigas

continuas).

É importante salientar que todos os valores encontrados dependem diretamente da

trajetória dos cabos, sendo que quanto mais curvo, maiores suas perdas de tensão. Tendo isto

em vista, estudando um melhor traçado, é possível otimizar-se a quantidade dos mesmos.

53

De uma forma geral, conclui-se que o método de pré-dimensionamento empregado foi

eficiente, uma vez que atendeu a quantidade efetiva de cabos da estrutura, sendo que visando

atingir resultados mais precisos é necessário realizar um estudo mais refinado, abordando as

variações da estrutura ao longo do tempo, e suas etapas construtivas, conforme descrito ao

longo do trabalho.

54

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Dissertação de mestrado. São Carlos: EESC/ Departamento de Engenharia Civil. 1984.

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pontes de concreto. Rio de janeiro, Interciência, 1979.

LIMA,V.S. Pontes em balanço progressivo. Trabalho de Conclusão de curso. São Carlos:

UFSCar/ Departamento de Engenharia Civil, 2008.

MASON,J. Pontes em Concreto Armado e Protendido: Princípios de Projeto e Cálculo.

Rio de Janeiro, LTC- Livros Técnicos e Cientificos, 1976.

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em concreto armado e protendido. Trabalho de Conclusão de curso. São Carlos: UFSCar/

Departamento de Engenharia Civil. 2007. 45p. 2007

PFEIL, W. Ponte Presidente Costa e Silva, Rio –Niterói: métodos construtivos. Rio de

Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1975.

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e protendido. Dissertação de mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ/ Departamento de Engenharia

Civil. 2001.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: projeto de estruturas de

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Quintanilha. Guimarães, ENCONTRO NACIONAL DE BETÃO ESTRUTURAL,2008.

55

REZENDE, P. E. O processo de balanços sucessivos em aduelas pré-fabricadas de

concreto na construção de pontes e viadutos. Rio de Janeiro, II CONGRESSO

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USP/Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações.Desconhecido.

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aula. São Carlos: UFSCAR/Departamento de Engenharia Civil. 2009.

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