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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E
URBANISMO
Departamento de Estruturas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE
ESTRUTURAS DE MADEIRA
Eng. M.Sc. Ramon Vilela
Eng. M.Sc. Bruno F. Donadon
Eng. Rafael S. Pontes
Prof. Dr. Nilson T. Mascia
Campinas, agosto de 2020
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SUMÁRIO
1 COMPRESSÃO ....................................................................................................... 3
2 INSTABILIDADE ................................................................................................. 14
3 TRAÇÃO................................................................................................................ 19
4 CISALHAMENTO ............................................................................................... 21
5 LIGAÇÕES PREGADAS E PARAFUSADAS .................................................. 26
6 FLEXÃO SIMPLES .............................................................................................. 31
7 FLEXÃO OBLÍQUA ............................................................................................ 34
8 FLEXO-COMPRESSÃO ..................................................................................... 40
9 PEÇAS COMPOSTAS ......................................................................................... 46
10 ESTABILIDADE LATERAL EM VIGAS ......................................................... 51
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 2
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia
INTRODUÇÃO
Esta apostila com primeira edição em 2014 e revisada em 2020 contém exercícios
resolvidos com base na NBR 7190 - Norma Brasileira sobre Projetos em Estruturas de Madeira,
sob a ótica da versão de 1997, e estes exercícios são de discussão no curso de CV 613 -
Estruturas de Madeira do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia Civil,
Arquitetura e Urbanismo (FEC) da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp).
A confecção deste material tem por objetivo apresentar problemas comumente
encontrados de dimensionamento e análise estrutural de elementos reticulados de madeira
estruturalmente utilizados. De forma didática, o conteúdo propõe exercícios que são
solucionados conforme propõe a norma em questão.
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 3
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1 COMPRESSÃO
Exercício 1
Uma caixa d’água pesando constantemente Fg,k = 40 kN (considerar como carga permanente)
será suportada por 4 apoios feitos de peças de madeira com as fibras no sentido vertical.
Dimensione os apoios.
Dados
Madeira de Folhosa C40;
Umidade classe (2).
Solução
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente
A resistência característica de uma Folhosa classe C40 é dada por:
(1)
Para compressão, o fator de segurança da madeira é:
(2)
O coeficiente Kmod pode ser definido a partir das seguintes informações:
Carregamento permanente em peças serradas: Kmod,1 = 0,60;
MPaf kc 40,0
40,1w
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 4
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Classe de umidade 2: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80;
Assim, é possível definir o valor do coeficiente Kmod:
(3)
A resistência de cálculo é estimada como:
(4)
Etapa 2: Cálculo da Tensão Atuante
Dividindo o carregamento total pela quantidade de suportes, tem-se:
(5)
Considerando um coeficiente de majoração γf = 1,40, a força de cálculo atuante em cada
um dos pés é definida por:
(6)
A tensão atuante de cálculo pode ser escrita em função de uma seção transversal quadrada
que será dimensionada:
(7)
48,0
80,000,160,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPaf
fKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
71,13
40,1
4048,0
0
0
0
0
kNP
kNP
k
k
10
4
40
kNP
kNP
PP
d
d
dfd
14
1040,1
2
14
a
kN
A
P
d
dd
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 5
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Onde, a é a dimensão da largura e altura da seção transversal do suporte.
Dimensões da seção transversal:
(8)
Adotou-se a = 40 mm.
Etapa 3: Verificação - Dimensionando para peça curta
Para dimensionar a altura da peça de modo que seja considerada curta, deve-se impor o
seguinte índice de esbeltez λ ≤ 40. O índice de esbeltez é definido por:
(9)
Onde, lef é o comprimento efetivo do pilar, I é o momento de inércia, e A é a área da seção
transversal.
Par seção quadrada, pode-se simplificar o índice de esbeltez como sendo:
(10)
Para peças curtas:
(11)
O comprimento adotado foi ladot = 250 mm.
mma
mma
MPa
Na
MPaa
N
f dcd
31,32
1044
41,3
1014
41,131014
2
3
2
3
,0
A
I
l
i
l efef
a
lef 12
mml
mml
al
a
l
ef
ef
ef
ef
462
12
4040
12
40
4012
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 6
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Exercício 2
Verificar qual o máximo esforço P que se pode aplicar na barra da figura, considerando-se que
é uma carga de longa duração.
Medidas em centímetros.
Dados:
Madeira: Conífera C30;
Umidade classe (3).
Solução:
Etapa 1: Cálculo da Tensão Resistente
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 3: Kmod,2 = 0,80;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Assim, o Kmod é definido como:
(12)
Considerando um fator de segurança de γw = 1,40 e uma resistência característica de fc0,k
= 30 MPa para uma conífera C30, a resistência à compressão paralela às fibras de cálculo é
dada por:
448,0
80,080,070,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 7
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(13)
Como os esforços são perpendiculares as fibras, deve ser calculado fc90,d.
(14)
Onde αn = 1,10 considerando a dimensão a’ = 10cm.
Etapa 2: Cálculo da carga P característica
Define-se o máximo carregamento admissível considerando que a tensão de cálculo deve
ser igual ou menor que a resistência de cálculo.
(15)
Portanto, o máximo carregamento permitido deve ser igual ou menor que 18,86kN.
Exercício 3
Verificar se a peça-base suporta o carregamento com o esquema mostrado na figura abaixo.
Dados:
Madeira: Dicotiledônea C20;
Umidade classe (4).
Pk = 20 kN.
MPaf
MPaf
fKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
60,9
40,1
30448,0
0
0
0
0
MPaf
MPaf
ff
dc
dc
ndcdc
64,2
10,16,925,0
25,0
,90
,90
,0,90
kNP
mmMPaP
AfP
fA
P
fA
P
f
k
k
f
dc
k
dc
kf
dcd
dcd
86,1840,1
10064,22
,90
,90
,90
,90
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 8
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Medidas em centímetros.
Solução
Etapa 1: Cálculo da Tensão Resistente
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod 1 = 0,70;
Classe de umidade 4: Kmod 2 = 0,80;
Madeira de 2ª categoria: Kmod 3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(16)
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 20 MPa para uma
dicotiledônea C20, a resistência à compressão paralela às fibras é:
(17)
Como os esforços estão aplicados em uma direção inclinada e relação às fibras e que esta
inclinação é maior que 6° (arctgθ = 0,10), então, a tensão resistente fcθ,d deve ser calculada com
a fórmula de Hankinson (item 7.2.9 da NBR 7190:1997):
(18)
448,0
80,080,070,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPaf
fKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
40,6
40,1
20448,0
0
0
0
0
2
,90
2
,0
,90,0
,cossen
dcdc
dcdc
dcff
fff
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 9
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O valor de αn necessário para a componente de resistência a compressão normal às fibras
fc90,d pode ser obtido interpolando a Tabela 13 da NBR 7190:1997 para um comprimento normal
às fibras igual a 12∙sen(38°) = 7,39 cm. Portanto, αn = 1.1566.
(19)
Etapa 2: Cálculo da Tensão Atuante
Estabelecendo que a tensão atuante de cálculo seja menor ou igual a resistência da
madeira na mesma direção, tem-se:
(20)
Como σd > fcθ,d, portanto, conclui-se que a peça-base não suporta o carregamento aplicado.
Exercício 4
Para o nó de apoio de uma treliça, conforme figura, verificar todas as situações críticas de
compressão, segundo a NBR 7190:1997.
Dados:
Madeira: Dicotiledônea C30;
Umidade classe (1);
Carregamento de longa duração.
Pd = 39,5 kN;
MPaf
MPaf
ff
f
ff
ff
fff
dc
dc
dc
n
ndc
ndc
ndc
dc
ndcdc
ndcdc
dc
31,3
40,638cos1566,125,038sen
1566,125,0
cos25,0sen
25,0
cos25,0sen
25,0
cos25,0sen
25,0
,
22,
,022,
22
,0
2
,0
,
2
,0
2
,0
,0,0
,
MPaMPa
MPammmm
N
fA
P
fA
P
f
dc
kf
dcd
dcd
31,389,3
31,360120
102040,1 3,
,
,
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 10
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𝛼 = 25°.
Medidas em centímetros.
Solução
Etapa 1: Determinação dos esforços
Por equilíbrio de um corpo livre, determina-se as componentes de força horizontal e
vertical:
Condição de equilíbrio dos esforços horizontais:
(21)
Condição de equilíbrio dos esforços verticais:
kNH
kNH
PH
HP
F
d
d
dd
dd
x
80,35
25cos50,39
cos
0cos
0
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(22)
Etapa 2: Compressão paralela às fibras na peça de apoio
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(23)
A resistência à compressão paralela às fibras de cálculo, considerando γw = 1,40 e a
resistência característica de fc0,k = 30 MPa para dicotiledônea C30, é de:
(24)
A tensão atuante sobre o elemento calculada como sendo:
(25)
Como:
(26)
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPaf
fKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
12
40,1
3056,0
0
0
0
0
MPa
mmmm
N
mmmm
N
A
V
d
d
d
dd
78,2
60100
1069,16
610
1086,6
3
3
MPaMPa
f dcd
1278,2
,0
kNV
kNV
PV
VP
F
d
d
dd
dd
y
69,16
sen2550,39
sen
0sen
0
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 12
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É verificada a condição de segurança quanto à compressão paralela às fibras do pilar.
Etapa 3: Compressão normal às fibras no tirante (banzo inferior)
O cálculo da resistência perpendicular às fibras, considerando o fator αn = 1,10 devido ao
comprimento a’ = 10 cm, fica definido como:
(27)
A tensão atuante é definida por:
(28)
Como:
(29)
Verifica-se que a condição de segurança para a compressão normal às fibras no banzo
inferior foi atendida.
Etapa 4: Compressão paralela às fibras na empena (banzo superior)
A verificação da compressão é dada quando a tensão atuante σd é menor ou igual a
resistência fc0,d:
(30)
MPaf
MPaf
ff
dc
dc
ndcdc
30,3
10,11225,0
25,0
,90
,90
,0,90
MPa
mmmm
N
A
V
d
d
dd
78,2
60100
1069,16 3
MPaMPa
f dcd
30,378,2
,90
MPaMPa
f
mmmm
N
fA
P
f
dc
dcd
dcd
1206,9
6025cos
3530
105,39,0
3
,0
,0
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Desta maneira, é verificada a segurança quanto a compressão paralela às fibras no banzo
superior.
Etapa 5: Compressão inclinada em relação às fibras no tirante
A tensão resistente é dada por:
(31)
A tensão atuante é definida por:
(32)
Como:
(33)
Conclui-se que a peça está segura quanto a compressão inclinada.
MPaf
MPaMPa
MPaf
MPaMPa
MPaMPaf
ff
fff
dc
dc
dc
dcdc
dcdc
dc
12,11
20,3362,0
6,39
10cos3,310sen12
3,312
cossen
,
2
,
22,
2
,90
2
,0
,90,0
,
MPa
mmmm
N
A
P
d
d
dd
97,9
6010cos
3530
105,39 3
MPaMPa
f dcd
12,1197,9
,
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 14
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2 INSTABILIDADE
Exercício 5
Uma barra vertical quadrada (10×10) cm2 serve de apoio em um sistema de sustentação da carga
vertical de uma parede. Verifique se suportará o carregamento.
Dados
A força P é composta por:
o Carga permanente: Pg,k = 12 kN;
o Carga acidental principal de longa duração: Pq,k = 5,6 kN; e
o Ação do vento: Pv,k = 4,4 kN.
Umidade classe (1);
Madeira Conífera C30.
Solução
Etapa 1: Cálculo do índice de esbeltez (λ)
O índice de esbeltez é definido pela razão entre o comprimento efetivo (ef) e o raio de
giração (i), que para uma seção quadrada tem a seguinte expressão:
(34)
a
l
a
a
l
A
I
l
i
l 12
12
ef
2
4
efefef
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Como o esquema estático adotado foi de uma barra com apoio fixo e móvel, temos que o
comprimento efetivo ef = , com isto, o índice de esbeltez é igual a:
(35)
Como 80 < λ < 140, a peça é classificada como esbelta, sendo o dimensionamento
orientado pelo item 7.5.5 da NBR 7190:1997.
Etapa 2: Cálculo da tensão resistente de projeto (fc0,d)
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(36)
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 20 MPa para uma
conífera C20, a resistência à compressão paralela às fibras é de:
(37)
Etapa 3: Cálculo das tensões atuantes de projeto (σd)
O carregamento de projeto é definido pela combinação de ações últimas normais, tendo
ψ0 = 0,50 para a pressão dinâmica do vento:
46,100100
122900
mm
mm
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
MPaf
MPaf
fKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
00,8
40,1
2056,0
0
0
0
0
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 16
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(38)
Chegamos à tensão atuante devido ao carregamento axial com a seguinte equação:
(39)
Para calcular a tensão atuante devido à flexão, existem os seguintes cálculos:
Força crítica (flambagem)
(40)
Onde Ec0,ef = Kmod∙Ec0,m = 0,56∙14500 MPa = 8120 MPa, assim:
(41)
Excentricidade de primeira ordem decorrente de situação de projeto (ei):
Esta excentricidade á aplicada em peças esbeltas que tenham momento fletor atuante
devido carregamentos de projeto, como em nosso caso os apoios são rotulados (móvel e fixo)
não aparecerão momentos fletores decorrentes de tais carregamentos. Portanto:
(42)
Excentricidade acidental mínima (ea):
Este valor é obtido pelo item 7.5.2, não podendo ser inferior a h/30. Assim sendo, temos:
(43)
kNN
kNkNkNN
PPPN
PPPN
d
d
kQkQQkGGd
n
j
kQjjkQjQ
m
i
kGiGid
72,27
4,450,06,540,11240,1
,22,0,1,
2
,0,
1
,
MPa
mm
N
A
NddN 77,2
100
1072,272
3
,
2
,0
2
ef
efc
el
IEF
kNF
Nmm
mmMPaF
e
e
41,79
79411290012
10081202
42
mme
mmL
mmhe
a
ef
a
67,9
67,9300
33,330
00111
dd
qdgd
d
di
PP
MM
P
Me
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Excentricidade suplementar de primeira ordem:
Este valor leva em consideração o efeito de fluência da madeira, sendo expresso pela
seguinte equação:
(44)
Sendo, eiG = Mig,d/Pgd = 0, pois não há momento fletor devido a carregamentos
permanentes; φ = 0,80 pela classe de umidade 1 e carregamento permanente de longa duração
(Tabela 15 da NBR 7190:1997); Ψ1 = 0,6 e Ψ2 = 0,4.
(45)
Excentricidade efetiva de primeira ordem:
(46)
Excentricidade de cálculo:
(47)
Tensão Atuante:
(48)
(49)
Etapa 4: Verificação do Estado Limite Último
1exp
21
21
QkGkcr
QkGk
aiGcPPP
PPeee
mme
kNkNkN
kNkNmme
c
c
098,0
16,54,06,01241,79
6,54,06,0128,0exp67,90
mme
eeee
ef
caief
77,9
098,067,90
,1
,1
mme
kNkN
kNmm
NF
Fee
ef
de
eefd
01,15
72,2741,79
41,7977,9
,1
,1
kNcmM
mmkNeNM
d
ddd
60,41
01,1572,27
MPa
cmkN
cmcm
kNcmy
I
M
Md
Md
dMd
50,2
2496,0
51210
60,41
2
4
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 18
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(50)
Portanto, o pilar suportará o carregamento solicitado.
1659,000,8
50,2
00,8
77,2
1,0,0
MPa
MPa
MPa
MPa
ff dc
Md
dc
Nd
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3 TRAÇÃO
Exercício 6
Qual a máxima carga F que o tirante, de área (16×8) cm2, suporta?
Dados
Umidade classe (1);
Carregamento de longa duração;
Madeira de 2ª categoria;
Madeira Dicotiledônea C30.
Solução
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (ft0,d):
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(51)
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 30 MPa para uma
conífera C30, a resistência à tração paralela às fibras é dada por:
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
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Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 20
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(52)
Etapa 2: Cálculo da tensão atuante de projeto (σd):
(53)
MPaf
MPaf
fKf
,dt
,dt
w
,kc
mod,dt
12,12
80,177,0
3056,0
77,0
0
0
0
0
kNF
cmkNcmcmcm
F
fA
F
d
,dtd
d
11,83
212,14168
40,1 2
0
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4 CISALHAMENTO
Exercício 7
Para o nó de apoio de uma treliça, determinar o valor de f necessário para suportar a força de
28,2 kN, de longa duração, que está atuando na empena.
Dados
Umidade classe (1);
Carregamento de longa duração;
Madeira de 2ª categoria;
Madeira Dicotiledônea C30.
Solução
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (fv,d):
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(54)
Considerando o fator γw = 1,80 e a resistência característica de fv,k = 5 MPa para uma
dicotiledônea C30, a resistência ao cisalhamento é de:
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
-
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(55)
Etapa 2: Cálculo da força atuante de projeto (Pd):
(56)
Etapa 3: Dimensionamento do comprimento (f):
(57)
Assim sendo, o comprimento adotado foi de fd = 42 cm.
Exercício 8
Determinar o máximo valor da carga permanente P, para as seguintes posições “c” da carga:
a) c = /2;
b) c = 20 cm
Dados
Umidade classe (1);
Madeira de 2ª categoria;
Madeira Dicotiledônea C40;
Comprimento da viga: = 3,20 m.
2156,0
56,1
80,1
556,0
cmkNf
MPaf
MPaf
fKf
v,d
v,d
v,d
w
v,k
modv,d
kNP
kNPP
d
fd
48,39
2,2840,1
cmf
cmkNcm
kNf
cmkNfcm
kN
fA
P
d
dv
d
d
54,41
56,156
10cos48,39
615,06
10cos48,39
10cos
2
2
,
-
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Solução
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente de projeto (fv,d)
Carregamento permanente em peça serrada: Kmod,1 = 0,60;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
(58)
Considerando o fator γw = 1,80 e a resistência característica de fv,k = 6 MPa para uma
dicotiledônea C40, a resistência ao cisalhamento pode ser expressa da seguinte maneira:
(59)
Etapa 2: Verificação para carga posicionada no meio do vão
Diagrama de Esforço Cortante (DEC):
48,0
80,000,160,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
216,0
60,1
80,1
648,0
cmkNf
MPaf
MPaf
fKf
v,d
v,d
v,d
w
v,k
modv,d
-
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(60)
Como a distância c é maior que o dobro da altura da viga, o esforço cortante reduzido é
expresso por:
(61)
Etapa 3: Cálculo da Tensão Atuante
Cálculo da tensão de cisalhamento no centro de gravidade da seção transversal:
(62)
Para seção retangular, a tensão de cisalhamento no centro de gravidade é denotada por:
(63)
Etapa 4: Dimensionamento do máximo carregamento admissível característico (Pk)
A inequação a seguir permite isolarmos a variável desejada.
(64)
Etapa 5: Verificando para carga posicionada a 20 cm do apoio
Diagrama de Esforço Cortante:
cmcm
cmcm
ch
16032
160162
2
PV kred 5,0,
Ib
MV sdd
A
Vdd
2
3
kNP
cmcmcmkNP
cmkNcmcm
P
f
k
k
k
dvd
63,14
5,15,04,1
16616,0
16,0166
5,04,1
2
3
2
2
,
-
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(65)
Portanto, a cortante reduzida característica será: Vred,k= (c
2h)Vmax=0,5859 P
(66)
Etapa 6: Dimensionamento do máximo carregamento admissível característico (Pk):
(67)
cmcm
cmcm
ch
2032
20162
2
PV
Pcm
cmV
Vh
cV
kred
kred
máxkred
5859,0
9375,032
20
2
,
,
,
kNP
cmcmcmkNP
cmkNcmcm
P
f
k
k
k
dvd
48,12
5,15859,04,1
16616,0
16,0166
5859,04,1
2
3
2
2
,
-
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5 LIGAÇÕES PREGADAS E PARAFUSADAS
Exercício 9
Determinar a quantidade de parafusos para a ligação perpendicular abaixo.
Dados
Umidade classe (1);
Carregamento de longa duração;
Madeira Conífera C30;
Parafusos: fy,k = 600 MPa.
Solução
Etapa 1: Diâmetro do Pino
Espessura convencional da madeira (t):
(68)
Diâmetro máximo do parafuso (d):
(69)
Etapa 2: Cálculo da tensão resistente de projeto (fc90,d)
cmt
cmcm
cmt
3
428
3
cmd
cmt
d
27,1
5,12
-
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(70)
Considerando o fator γw = 1,40, a resistência característica de fc0,k = 30 MPa para uma
conífera C30, e um pino com diâmetro de 1,27 cm (αe = 1,68) a resistência ao embutimento da
madeira (fe,d) é de:
(71)
Etapa 3: Tensão de resistência do parafuso (fy,d)
(72)
Etapa 4: Força resistente em cada face de corte (Rvd,1)
(73)
Como β < βlim, trata-se do caso de embutimento na madeira. Portanto, a força resistente
em cada face de corte denota-se por:
(74)
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
2
0
504,0
04,5
68,140,1
3056,025,0
25,0
cmkNf
MPaf
MPaf
fKf
e,d
e,d
e,d
e
w
,kc
mode,d
255,54
45,545
10,1
600
cmkNf
MPaf
MPaff
y,d
y,d
s
y,k
y,d
004,13
504,0
55,5425,125,1
40,225,1
3
lim
2
2
,
,
lim
cmkN
cmkN
f
f
cm
cm
d
t
de
dy
kNR
cmkNcm
ft
R
vd
devd
756,0
504,040,2
340,040,0
1,
2
2
,
2
1,
-
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Etapa 5: Número de parafusos necessários
(75)
Para este problema, pode-se estabelecer uma quantidade segura de 10 parafusos de ½”.
Exercício 10
Calcular a quantidade de pregos para efetuar a ligação entre as peças com seções, respectivas,
de (6×12) cm2 e (4×12) cm2, conforme a figura.
Dados
Kmod = 0,56;
Madeira Conífera C40;
Parafusos: fy,k = 600 MPa.
Solução
Etapa 1: Diâmetro dos pregos
Determina-se o valor da espessura convencional da madeira (t) conforme abaixo:
(76)
Calcula-se o diâmetro máximo dos pregos, aplicando-se t na seguinte expressão:
29,9
756,0
1
2
04,141
2 1,
n
kN
kN
R
Pn
vd
d
cmt
cm
cmt
4
4
6
-
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(77)
Etapa 2: Comprimento dos pregos
O comprimento mínimo dos pregos é determinado em função do diâmetro do prego
adotado inicialmente. Serão verificados os pregos: (44×100), (44×94) e (44×84), sendo sua
nomenclatura descrita por d [mm] × l [mm]. Assim, o comprimento mínimo é dado por:
(78)
Com isto, os pregos que podem ser utilizados são: (44×100) e (44×94), por terem
comprimentos maiores que o comprimento limite. Para este problema, adotou-se o parafuso
(44×94).
Etapa 3: Tensão resistente da madeira (fc0,d)
(79)
Etapa 4: Tensão de resistência do prego (fy,d)
(80)
Etapa 5: Força resistente em cada face de corte (Rvd,1)
(81)
cmd
cmtd
8,0
5
4
5
mml
mmmmdtl
8,92
4,4124012
min
1min
2
,0
,0
,0
mod,0
/6,1
16
40,1
4056,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
dc
dc
w
kc
dc
255,54
45,545
10,1
600
cmkNf
MPaf
MPaff
y,d
y,d
s
y,k
y,d
30,7
60,1
55,5425,125,1
09,944,0
4
lim
2
2
,0
,
lim
cmkN
cmkN
f
f
cm
cm
d
t
dc
dy
-
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Como β > βlim, trata-se do caso de flexão no pino, estimando-se, portanto, a resistência da
ligação de cada um dos pregos como:
(82)
Etapa 6: Número de pregos necessários
(83)
Desta forma, determina-se uma quantidade mínima de 20 pregos de (44×94).
Serão distribuídos em 2 filas de 10 pregos. Como o número de pregos em linha excede a
8 é necessário considerar um valor de resistência reduzido por pino suplementar. Assumindo n0
como o número inicial de pregos em uma fila, o número efetivo de pregos em uma fila (nef)
pode ser calculado pela seguinte inequação:
(84)
Com isto, estima-se o uso de 22 pregos de (44 × 94) para a solução deste problema.
kNR
cmkNcm
R
fd
R
vd
vd
dyvd
904,0
55,5430,7
44,0625,0
625,0
1,
2
2
1,
,
lim
2
1,
91,19
904,0
18
1,
n
kN
kN
R
Pn
vd
d
11
8102
38
82
38
83
28
0
0
ef
ef
ef
ef
n
n
nn
nn
-
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6 FLEXÃO SIMPLES
Exercício 11
Calcular a altura necessária para uma viga, cuja largura é de 6 cm, e está submetida a um
carregamento permanente, uniformemente distribuída, de qg,k = 0,82 kN/m, e a uma carga
concentrada permanente de Fg,k = 1,6 kN, no ponto médio do vão de = 5,80 m, conforme a
figura.
Dados
Madeira: Folhosa C40;
Umidade classe (3).
Solução
Etapa 1: Cálculo das Tensões Resistentes (fc0,d e ft0,d)
Carregamento permanente em peça serrada: Kmod,1 = 0,60;
Classe de umidade 3: Kmod,2 = 0,80;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
Desta maneira, determina-se o Kmod como sendo:
(85)
Aplicando-se o Kmod na equação a seguir, tem-se:
384,0
80,080,060,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
-
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(86)
(87)
Etapa 2: Esforços Solicitantes
Considerando um regime elástico-linear das propriedades mecânicas da madeira, a
sobreposição dos momentos fletores devido à carga concentrada e ao carregamento
uniformemente distribuído fica conforme as seguintes equações.
Momento máximo devido à carga concentrada:
(88)
Momento máximo devido à carga uniformemente distribuída:
(89)
Momento máximo de projeto:
(90)
2
,0
,0
,0
,0
10,1
97,10
40,1
40384,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
dc
dc
w
kc
moddc
kNmM
mkNlPM
Pdmáx
kf
Pdmáx
48,32
4
80,560,140,1
4
,
,
kNmM
mmkNlqM
qdmáx
kf
qdmáx
827,4
8
80,582,040,1
8
,
22
,
kNcmM
kNmM
kNmkNmMMM
d
d
qdmáxPdmáxd
7,3730
307,37
827,4480,32,,
2
,0
,0
,0
,0,0
,0
11,1
08,11
80,177,0
40384,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPaf
fK
fKf
dt
dt
dt
w
kc
mod
w
kt
moddt
-
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Etapa 3: Tensões Atuantes
(91)
Etapa 4: Altura em função das condições de segurança
Estabelece-se as alturas em função das resistências de tração e compressão de projeto.
Altura em função da compressão:
(92)
Altura em função da tração:
(93)
Altura adotada:
(94)
Adotando-se, portanto, a altura de 39 cm para a viga em questão.
2
2
23
89,1598
14
7,37306
6
2
12
h
kN
hcm
kNcm
hb
Mh
hb
M
I
yM
Md
Md
ddMd
dMdtdcd
cmfhcmkN
kNfh
cmkNfh
kN
f
cddc
cddc
cddc
dccd
18,38,
10,1
89,1598,
10,1,
89,1598
,0
2,0
2
2
,0
,0
cmfhcmkN
kNfh
cmkNfh
kN
f
tddt
tddt
tddt
dttd
983,37,
11,1
89,1598,
11,1,
89,1598
,0
2,0
2
2
,0
,0
cmh
cmfh
cmfhh
tddt
cddc
18,38
98,37,
18,38,
,0
,0
-
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7 FLEXÃO OBLÍQUA
Exercício 12
Quanto ao Estado Limite Último, dimensione uma terça que está submetida a um carregamento
permanente, uniformemente distribuído, de qg,k = 0,75 kN/m, e a uma carga concentrada
acidental de Fg,k = 0,90 kN, no ponto médio do vão de = 4 m, conforme figura. Considerar
uma inclinação do telhado correspondente a 25°.
Dados
Madeira: Folhosa C60;
Kmod = 0,56.
Obs.: A flecha de ponta dupla representa momento.
Solução
Etapa 1: Cálculo da Tensão Resistente
(95)
(96)
2
,0
,0
,0
,0
4,2
24
40,1
6056,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
dc
dc
w
kc
moddc
2
,0
,0
,0
,0,0
,0
42,2
24,24
80,177,0
6056,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPaf
fK
fKf
dt
dt
dt
w
kc
mod
w
kt
moddt
-
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Etapa 2: Esforços Atuantes
Momento fletor devido à carga concentrada acidental (q):
(97)
Momento fletor devido ao carregamento distribuído permanente (g):
(98)
Decomposição dos momentos nas direções x e y, considerando q como os carregamentos
acidentais e g como carregamentos permanentes:
(99)
Combinação na direção x:
(100)
Combinação na direção y:
(101)
Etapa 3: Tensões Atuantes
Para uma seção transversal adotada de (8 × 12) cm², têm-se as seguintes propriedades
geométricas:
kNcmM
kNmM
mkNlPM
qmáx
qmáx
kqmáx
90
90,0
4
0,490,0
4
,
,
,
kNcmM
kNmM
mmkNlqM
gmáx
gmáx
kgmáx
150
50,1
8
0,475,0
8
,
,
22
,
kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
kNcmkNcmMM
gmáxyg
gmáxxg
qmáxyq
qmáxxq
39,6325sen150sen
95,13525cos150cos
04,3825sen90sen
57,8125cos90cos
,,
,,
,,
,,
kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dx
dx
xgxqdx
53,304
95,13540,157,8140,1
40,140,1
,
,
,,,
kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dy
dy
ygyqdy
00,142
39,6340,104,3840,1
40,140,1
,
,
,,,
-
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(102)
Tensão atuante em x:
(103)
Tensão atuante em y:
(104)
Etapa 4: Verificação no Estado limite último
Verifica-se as condições de segurança para o Estado Limite Último pelas seguintes
inequações:
(105)
Sendo o coeficiente Km = 0,50 para seções retangulares, tem-se:
(106)
Como ambas as inequações foram atendidas, conclui-se que uma seção retangular de (8
× 12) cm² satisfaz as condições de segurança estrutural para o problema proposto.
433
4
33
51212
812
12
115212
128
12
cmcmcmbh
I
cmcmcmhb
I
y
x
2
,
4
,
,
586,1
1152
653,304
cmkN
cm
cmkNcm
I
yM
dMx
x
dx
dMx
2
,
4
,
,
109,1
512
4142
cmkN
cm
cmkNcm
I
xM
dMy
y
dy
dMy
1
1
,0
,
,0
,
,0
,
,0
,
dc
dMy
dc
dMx
m
dc
dMy
m
dc
dMx
ffK
fK
f
179,04,2
109,1
4,2
586,150,0
189,04,2
109,150,0
4,2
586,1
2
2
2
2
2
2
2
2
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
-
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Exercício 13
Verifique quanto ao Estado Limite de Serviço a terça que está submetida a um carregamento
permanente, uniformemente distribuído, de qg,k = 0,75 kN/m, e a uma carga concentrada
acidental de Pq,k = 0,90 kN, no ponto médio do vão de = 4 m, em local em que não há
predominância de pesos de equipamentos fixos, conforme figura. Considerar uma inclinação
do telhado correspondente a 25°.
Dados:
Madeira: Folhosa C60;
Umidade classe (1);
Solução
Etapa 1: Esforços nas direções x e y
(107)
Etapa 2: Cálculo do módulo de elasticidade efetivo (Ec0,ef)
Conforme a classe C60 para folhosas ou dicotiledônea, tem-se Ec0,m = 24.500 MPa.
(108)
mkNmkNqq
mkNmkNqq
kNkNPP
kNkNPP
gxg
gyg
qkxqk
qkyqk
317,025sen75,0sen
680,025cos75,0cos
380,025sen90,0sen
816,025cos90,0cos
,
,
,
,
2
,0
,0
,0
,0mod,0
1372
13720
500.2456,0
cmkNE
MPaE
MPaE
EKE
efc
efc
efc
mcefc
-
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Etapa 3: Verificação da flecha na direção x
O momento de inércia ao redor da direção definida por y é dado por:
(109)
Considerando ψ2 = 0,2 (locais em que não há predominância de pesos de equipamentos
fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas), o deslocamento na direção x é calculado
como sendo:
(110)
O deslocamento limite ambas as direções (x e y) é calculado com a seguinte equação:
(111)
Quanto ao deslocamento máximo na direção x, verifica-se com a seguinte inequação:
(112)
A inequação foi atendida na direção x, portanto, o Estado Limite de Serviço quanto ao
deslocamento excessivo está assegurado nesta direção.
Etapa 4: Verificação da flecha na direção y
O momento de inércia ao redor da direção definida por x é dado por:
(113)
O deslocamento no meio do vão na direção y é calculado como sendo:
433
51212
812
12cm
cmcmbhI y
cmw
cmcmkN
cmkN
cmcmkN
cmcmkNw
IE
lP
IE
lqw
x
x
ymc
xq
ymc
xg
x
648,1
512137248
40038,0
5121372384
400003,05
48384
5
42
3
2
42
4
,0
3
,2
,0
4
,
433
115212
128
12cm
cmcmhbI x
cmw
cmlw
2
200
400
200
lim
lim
cmcm
wwx
2648,1
lim
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 39
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(114)
Quanto ao deslocamento máximo na direção y, verifica-se com a seguinte inequação:
(115)
A inequação foi atendida também na direção y, portanto, o Estado Limite de Serviço
quanto ao deslocamento excessivo está assegurado em ambas as direções.
cmw
cmcmkN
cmkN
cmcmkN
cmcmkNw
IE
lP
IE
lqw
y
y
xmc
yq
xmc
yg
y
571,1
1152137248
400816,0
11521372384
400007,05
48384
5
42
3
2
42
4
,0
3
,2
,0
4
,
cmcm
wwy
2571,1
lim
-
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8 FLEXO-COMPRESSÃO
Exercício 14
Um pilar de madeira, com seção quadrada de lado 12 cm, conforme figura, está submetido a
uma força concentrada axial composta de uma parcela permanente e outra devida ao vento,
apresentando excentricidade de 3 cm na direção y. Sobre o pilar também está atuando uma carga
distribuída acidental devida ao vento, horizontal, de 0,35 kN/m. Verificar se a seção é
suficiente.
Dados
Carga vertical permanente: Ng,k = 9,0 kN;
Carga vertical proveniente do vento: Nq,k = 5,14 kN;
Comprimento do pilar = 3,6 m;
Madeira: Folhosa C60;
Kmod = 0,56.
Solução
Etapa 1: Cálculo da tensão resistente
-
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(116)
Etapa 2: Combinação normais de esforços solicitantes no Estado Limite Último
(117)
Etapa 3: Verificação da Flexão Composta
Tensão Normal:
(118)
Momento fletor devido à ação vertical aplicada axialmente:
(119)
Carregamento uniformemente distribuído de projeto:
(120)
Momento fletor devido à ação horizontal uniformemente distribuída:
(121)
Momento fletor de cálculo:
kNN
kNkNN
NNN
dc
dc
kqqkggdc
18
14,540,175,00,940,1
75,0
,
,
,,,
2
,0
,0
,0
,0
4,2
24
40,1
6056,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
dc
dc
w
kc
moddc
2
,
,
,
125,0
1212
18
cmkN
cmcm
kN
A
N
dN
d
dN
kNcmM
cmkNeNM
dN
iddN
54
318
,
,
mkNq
mkNq
qq
d
d
kqqd
3675,0
35,040,175,0
75,0 ,
kNcmM
kNmM
mmkNlqM
dq
dq
ddq
54,59
954,5
8
60,33675,0
8
,
,
22
,
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 42
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(122)
Tensão de flexão:
(123)
Verificações da combinação de tensões na flexo-compressão:
(124)
Desta forma, a verificação quanto a tensões de flexo-compressão combinadas demonstrou
que esta seção pode ser utilizada quanto a estes esforços.
Etapa 4: Verificação da Instabilidade
Cálculo do índice de esbeltez (λ):
kNcmM
kNcmkNcmM
MMM
dx
dx
dqdNdx
54,113
54,5954
,
,
,,,
2
,
3,
3
,
4
,,
,
39,0
12
54,1136
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
My
I
M
dMx
dMx
dxdx
y
dx
dMx
!117,04,2
05,0
4,2
39,0
4,2
125,0
!108,04,2
0
4,2
39,05,0
4,2
125,0
1
1
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
,0
,
,0
,
2
,0
,
,0
,
,0
,
2
,0
,
OkcmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
OkcmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
fK
ff
ffK
f
dc
dMy
m
dc
dMx
dc
dN
dc
dMy
dc
dMx
m
dc
dN
-
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(125)
Como 80 < λ < 140, se trata de uma peça esbelta. Assim sendo, o cálculo das tensões
atuantes é realizado da seguinte forma.
Tensão atuante proveniente da carga distribuída:
(126)
Para o cálculo da tensão atuante devido ao carregamento axial será necessário o módulo
de elasticidade efetivo, calculado como:
(127)
Momento de inércia:
(128)
Carga crítica de flambagem:
(129)
Excentricidade de primeira ordem decorrente da situação de projeto:
92,103
12
12360
12
12
0
2
4
000
cm
cm
a
l
a
a
l
A
I
l
i
l
2
,1
3,1
3
,
4
,,
,1
207,0
12
54,596
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
My
I
M
dM
dM
dxdqdq
dM
kNF
cm
cmcmkN
l
IEF
e
efc
e
55,180
360
172813722
422
2
0
,0
2
2
,0
2
,0mod,0
1372
245056,0
cmkNE
cmkNEKE
efc
mcefc
4
44
1728
12
12
12
cmI
cmaI
-
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(130)
Excentricidade acidental mínima:
(131)
Excentricidade de primeira ordem devido aos carregamentos permanentes:
(132)
Considerando ϕ = 0,8 (carga permanente ou de longa duração e classe 1), e os fatores
devido à pressão dinâmica de vento: ψ1 = 0,2 e ψ2 = 0, calcula-se a excentricidade suplementar
de primeira ordem que representa a fluência:
(133)
Com isto, calcula-se, então, a excentricidade efetiva de primeira ordem.
(134)
Momento de primeira ordem de projeto:
cme
kN
kNcmkNcm
N
MM
N
Me
i
d
qdgd
d
di
31,6
18
54,5954111
cme
cmcmh
cmcml
e
a
a
2,1
4,030
12
30
2,1300
360
300
0
cme
kN
cmkN
N
eN
N
Me
ig
gkg
gkg
gd
gd
ig
3
94,1
394,11
cme
kNkNkN
kNkNcmcme
NNF
NNeee
c
c
gkgke
qkgk
aigc
29,7
114,52,009181
14,52,0098,0exp2,13
1exp21
21
cme
cmcmcme
eeeeee
ef
ef
caicef
8,14
29,72,131,6
,1
,1
1,1
-
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(135)
Tensão atuante devido ao carregamento axial:
(136)
Verificação para o Estado Limite Último para a flexo-compressão:
(137)
Como as verificações devido à flexão composta e instabilidade devido à flexo-
compressão foram atendidas, considera-se que o pilar suportará os esforços atuantes.
kNcmM
kNkN
kNcmkNM
NF
FeNM
d
d
de
eefdd
9,295
1855,180
55,1808,1418
,1
,1
,1,1
2
,1
3,1
3
,1
4
,1,1
,1
03,1
12
9,2956
6
2
12
cmkN
cm
kNcm
a
Ma
a
My
I
M
dN
dN
ddd
dN
!152,0
14,2
21,0
4,2
03,1
1
2
2
2
2
0
,1
0
,1
Ok
cmkN
cmkN
cmkN
cmkN
ff ,dc
dM
,dc
dN
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 46
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9 PEÇAS COMPOSTAS
Exercício 15
Uma barra de treliça, de seção transversal integrada por duas peças de (5 × 15) cm², separados
por espaçadores interpostos com 5 cm de largura, está submetida a uma força de compressão
paralela as fibras Nd = 35 kN. A barra é biarticulada e a madeira utilizada é das coníferas, classe
C25, de 2ª categoria e classe de umidade 1. Especificar qual distância entre espaçadores para
que sejam atendidos os critérios da NBR 7190 para a um comprimento de 200 cm. As ações da
estrutura são decorrentes de local com predominância de peso de equipamentos fixos.
Solução
Etapa 1: Resistência de Cálculo e Elasticidade efetiva
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
(138)
Considerando o fator γw = 1,40 e a resistência característica de fc0,k = 25 MPa para uma
conífera C25, a resistência à compressão paralela às fibras é de:
(139)
O módulo de elasticidade à compressão de projeto:
(140)
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
2
0
0
0
0
1
10
40,1
2556,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
,dc
,dc
w
,kc
mod,dc
2
0
0
00
476
4760
850056,0
cmkNE
MPaE
MPaEKE
,efc
,efc
,mcmod,efc
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 47
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Etapa 2: Verificação da Estabilidade local
Sendo b a largura das peças com compõe a barra, e a1 a largura do espaçador, substituindo
valores é verificar se tais geometrias atendem os critérios normativos:
(141)
A distância entre espaçadores interpostos (L1) deve ser estabelecida atentando-se aos
seguintes requisitos:
9b ≤ 1≤ 18b
9∙5 cm ≤ 1 ≤ 18∙5 cm
45 cm ≤ 1 ≤ 90 cm
(142)
Assim sendo, adotou-se 1 = 90 cm.
Etapa 3: Propriedades geométricas da seção composta
Área:
(143)
(144)
Momento de Inércia:
(145)
(146)
(147)
(148)
!155
535
31
Okcmcm
cmcm
ba
2
111 75155 cmcmcmhbA
4
1
33
111
25,1406
12
155
12
cmI
cmcmhbI
4
2
33
112
25,156
12
515
12
cmI
cmcmbhI
2
1 150752 cmcmAnA
4
4
1
5,2812
25,14062
cmI
cmInI
x
x
4
224
1
2
2
5,4062
575225,1562
cmI
cmcmcmaAInI
y
n
i
iiy
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 48
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Quantidade de espaçadores na barra:
m =
1=
200 cm
90 cm
m = 2,22
(149)
Coeficiente αy = 1,25 para espaçadores interpostos, conforme a norma.
Fator de redução de inercia (βI):
(150)
Momento de Inércia efetivo em y (Iy,ef):
(151)
Etapa 4: Verificação do Estado Limite Último de instabilidade global
Índice de esbeltez:
(152)
Como 80 < λ < 140, a barra é classificada como esbelta.
Carga crítica de flambagem:
(153)
Excentricidade de primeira ordem decorrente da situação de projeto:
132,0
5,406225,122,225,156
22,225,156424
24
2
2
2
2
I
yy
Icmcm
cm
ImI
mI
4
,
4
,
25,536
5,4062132,0
cmI
cmII
efy
yIefy
78,105
150
25,536
200
2
4,
0
cm
cm
cm
A
I
l
efy
kNF
cm
cmcmkN
l
IEF
e
efyefc
e
98,62
200
25,5364762
422
2
0
,,0
2
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 49
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(154)
Excentricidade acidental mínima:
(155)
Excentricidade de primeira ordem devido aos carregamentos permanentes:
(156)
Para o cálculo da excentricidade suplementar, consideram-se os fatores devido ao peso
de equipamentos fixos ψ1 = 0,6 e ψ2 = 0,4. Com isto, é possível estabelecer a seguinte igualdade:
(157)
Considerando ϕ = 0,8 (carga permanente ou de longa duração e classe 1), calcula-se a
excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência:
(158)
Com isto, calcula-se, então, a excentricidade efetiva de primeira ordem:
cme
kN
kNcm
N
Me
i
d
di
0
35
01
cme
cmcmh
cmcml
e
a
a
67,0
5,030
15
30
67,0300
200
300
0
cme
kN
cmkN
N
eN
N
Me
ig
gkg
gkg
gd
gd
ig
0
94,1
094,11
cme
kNkN
kNcmcme
NF
Neee
NNF
NNeee
c
c
de
daigc
gkgke
qkgk
aigc
464,0
12598,62
258,0exp67,00
140,1
40,1exp
1exp21
21
kNNN
kNNNN
qkgk
dqkgk
25
40,1
35
40,1
21
21
-
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(159)
Excentricidade de projeto:
(160)
Momento de primeira ordem de projeto:
(161)
Verificação da condição de segurança:
Considerando W2 = I2/(b1/2) = 62,5cm3.
(162)
Portanto, a condição de segurança está verificada para esta barra da estrutura.
cme
cmcmcme
eeeeee
ef
ef
caicef
14,1
464,067,00
,1
,1
1,1
cme
kNkN
kNcm
NF
Fee
d
de
eefd
25,2
3598,62
98,6214,1,1
kNcmM
cmkNeNM
d
ddd
78,78
25,235
!161,0
125,536
25,15621
7552
78,78
5,6225,536
25,15678,78
150
35
1
22
2
4
4
234
4
2
,0
,
2
112,
2
OkcmkNcmkN
cmkNcm
cm
cmcm
kNcm
cmcm
cmkNcm
cm
kN
fI
In
Aan
M
WI
IM
A
Ndc
efy
d
efy
dd
-
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10 ESTABILIDADE LATERAL EM VIGAS
Exercício 16
Dada uma viga biarticulada de madeira, de seção (5 × 20) cm², submetida a uma ação permanente
distribuída de qg,k = 0,60 kN/m (totalidade das ações permanentes) e a uma carga acidental distribuída
(qq,k). Determinar o máximo valor de qq,k, considerando:
Dados
Madeira classe C40;
Umidade da madeira = 15%;
2ª categoria;
Local com predominância de pessoas;
Materiais frágeis ligados à estrutura.
Solução
Etapa 1: Cálculo das propriedades mecânicas e geométrica
Carregamento de longa duração em peça serrada: Kmod,1 = 0,70;
Classe de umidade 1: Kmod,2 = 1,00;
Madeira de 2ª categoria: Kmod,3 = 0,80.
(163)
Resistência à compressão paralela às fibras:
Considera-se γwc = 1,40, e fc0,k = 40 MPa para uma conífera C40.
56,0
80,000,170,0
321
mod
mod
modmodmodmod
K
K
KKKK
-
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(164)
Resistência à tração paralela às fibras:
Considera-se γwt = 1,80, e fc0,k = 40 MPa para uma conífera C40.
(165)
Resistência ao cisalhamento:
Considera-se γwv = 1,80, e fv,k = 6 MPa para uma conífera C40.
(166)
O módulo de elasticidade à flexão:
Considera-se Ec0,m = 19500 MPa para uma conífera C40.
(167)
Momento de Inércia:
(168)
Etapa 2: Verificação do Estado Limite Último – Cortante
Esforço cortante:
2
0
0
0
0
62,1
16,16
80,177,0
4056,0
77,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
,dt
,dt
wt
,kc
mod,dt
2
0
0
0
0
6,1
16
40,1
4056,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
,dc
,dc
wc
,kc
mod,dc
2187,0
87,1
80,1
656,0
cmkNf
MPaf
MPafKf
v,d
v,d
wv
v,k
modv,d
2
0
1755
17550
1950090,090,0
cmkNE
MPaE
MPaEE
M
M
,mcM
4
33
33,3333
12
205
12
cmI
cmcmhbI
-
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Condição de segurança.
(169)
Estima-se o esforço cortante pela inequação anterior.
(170)
Carregamento acidental
(171)
Etapa 3: Verificação do Estado Limite Último – Flexão
Tensão de flexão região mais comprimida:
Condição de segurança.
(172)
Momento fletor estimado pela inequação anterior.
(173)
Carregamento acidental:
(174)
Tensão de flexão na região mais tracionada:
Condição de segurança.
(175)
Momento fletor estimado pela inequação anterior.
dvd f ,
hbfV dvd ,3
2
mkNq
cmkNcm
cmcmcmkNq
ql
hbfq
kq
kq
kg
f
dvkq
96,2
60,050040,1
220519,0
3
2
2
3
2
,
2
,
,,,
dcd f ,0
h
IfM
dc
d
,02
mkNq
cmkNcmcm
cmcmkNq
qlh
Ifq
kq
kq
kg
f
dc
kq
62,0
60,05004,1
8
15
33,333360,12
82
,
2
42
,
,2
,0
,
dtd f ,0
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 54
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia
(176)
Carregamento acidental:
(177)
Etapa 4: Verificação do Estado Limite de Serviço – Deformação excessiva
Condição de segurança.
(178)
Carregamento acidental
(179)
Etapa 5: Verificação da Estabilidade Lateral
Coeficiente de correção βM:
Considerando βE = 4 e γf = 1,40.
(180)
Verifica-se a seguinte inequação.
h
IfM
dt
d
,02
mkNq
cmkNcmcm
cmcmkNq
qlh
Ifq
kq
kq
kg
f
dt
kq
63,0
60,05004,1
8
15
33,333362,12
82
,
2
42
,
,2
,0
,
350
lim
lw
ww
mkNq
cmkNcm
cmcmkNq
ql
IEq
kq
kq
kgM
kq
712,0
6,060,05005350
33,33331755384
5350
384
,
1
3
42
,
1
1,3,
243,15
63,05
20
5
20
4,1
4
26,0
1
63,0
26,0
1
2
1
2
3
2
1
2
3
M
f
EM
cm
cm
cm
cm
b
h
b
h
-
Apostila de Exercícios de Estruturas de Madeira 55
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
Universidade Estadual de Campinas Eng. Esp. Ramon Vilela
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia
(181)
Como o primeiro termo foi maior que o segundo, a seguinte condição deve ser satisfeita.
(182)
(183)
Carregamento acidental:
Aplicando-se a Eq. (183) na Eq. (182) e isolando-se qq,k, tem-se:
(184)
Comparando as verificações exigidas pela norma, verificou-se que o limitante do
problema foi a estabilidade lateral da viga e como o resultado da carga acidental obtido foi
negativa deve ser aplicado a viga um novo dimensionamento diminuindo o vão entre
travamentos ou aumentando a largura da viga.
77,44100
6,1243,15
1092
5
5002
2
,0
,01
cmkN
cmkN
cm
cm
f
E
b
L
dcM
efc
b
L
E
M
efc
dc1
,0
,1
28
2
,,,
,1
h
I
lqqy
I
M kqkgfdsdc
cmkNq
cmkNcmcm
cm
cm
cm
cmkNq
qhl
I
b
L
Eq
kq
f
kq
kg
fM
efc
kq
054,0
60,05500
33,333316
5
500243,15
1092
16
,
2
42
,
,21
,0
,