UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

“ROTULAS PLÁSTICAS”

INTEGRANTES

ALEGRE TORREJÓN EDUARDO CORTEZ ULLOA AMY FARJE VINATEA CRISTIAN IBAÑEZ HORNA ANA RODAS MANOSALVA INGRID VASQUEZ ASCOY MARY

DOCENTE

GALICIA GUARNIZ WILLIAM

TRUJILLO-PERU

NOVIEMBRE-2013

INDICE

INTRODUCCIÓNRÓTULAS PLÁSTICAS

1. DEFINICIÓN 2. FORMACIÓN DE ROTULAS PLÁSTICAS 3. PLASTIFICACIÓN –ROTULAS PLÁSTICAS

MOMENTO PLÁSTICO DIAGRAMA MOMENTO -CURVATURA ELEMENTO VIGA- COLUMNA DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

4. CONTROL DE ROTULAS PLASTICAS EN PORTICOS DE CONCRETO ARMADO

4.1 DISEÑO DE LOS PORTICOS EN ESTUDIO4.2 PROPIEDADES DE FLEXION DE LOS ELEMENTOS4.3 MECANISMO DE COLAPSO4.4 LONGITUD DE LA ZONA DE FORMACION POTENCIAL DE

ROTULAS PLASTICAS (ZONAS CRITICAS5. ANALISIS INELASTICO-ROTULAS PLASTICAS

MODELOS DE ANALISIS INELASTICOo MODELOS SIMPLES

o MODELOS DISCRETOS

o MODELOS POR ELEMENTOS FINITOS

o MODELOS DE FIBRA

o MODELOS HISTERETICOS

o MODELO BILINEAL

o MODELO DE TAKEDA

6. PROBLEMA

INTRODUCCIÓN

Al ser sometida una estructura de concreto armado a movimientos sísmicos severos, ésta generalmente responde no linealmente. Esto es atribuible a que el concreto armado es un material no homogéneo y su comportamiento es altamente no lineal. El número de variables comprendidas en la respuesta no lineal de estructuras de varios niveles es tan elevado, que estudios anteriores han demostrado la alta dependencia de las respuestas inelásticas a las características propias de cada modelo, y el estado del arte actual hace difícil el poder dar recomendaciones de carácter general. Sin embargo, se pueden obtener valores cualitativos de ciertos factores dentro de un intervalo probable, para su posterior utilización dentro de un procedimiento racional de diseño.

Los análisis dinámicos no lineales indican que en las columnas de pórticos de varios pisos, pueden ocurrir distribuciones inesperadas de momento flexionante, en comparación con la distribución obtenida de la carga lateral estática equivalente que recomienda la Norma Técnica de Edificación E-030 de Diseño Sismo resistente. El análisis de carga lateral estática indica generalmente que los puntos de inflexión se encuentran próximos a la mitad de la altura de las columnas, excepto en los pisos próximos a la parte superior e inferior del pórtico. Sin embargo, el análisis dinámico no lineal sugiere que en determinados instantes durante la respuesta de la estructura a los movimientos sísmicos, el punto de inflexión en una columna puede estar próximo a la unión viga-columna y ocasionalmente, incluso la columna puede estar en curvatura simple.

La carga lateral estática de la Norma E-030 normalmente tiene una distribución triangular que corresponde a las cargas laterales que varían linealmente desde cero en la base a un máximo en la parte superior de la estructura.

Los análisis dinámicos no lineales también indican que generalmente no están presentes las rótulas plásticas en todas las vigas en el mismo intervalo de tiempo. El desarrollo de rótulas plásticas tiende a moverse hacia arriba del pórtico, en ondas que abarcan unos cuantos pisos a la vez, pero puede haber instantes, en edificios de baja altura donde todas las vigas tengan rótulas plásticas formadas simultáneamente.

ROTULAS PLÁSTICAS

1. DEFINICION

Al ser sometida una estructura de concreto armado a movimientos sísmicos severos, ésta generalmente responde no linealmente. Esto es atribuible a que el concreto armado es un material no homogéneo y su comportamiento es altamente no lineal.

Una rótula plástica es un dispositivo de amortiguación de energía, que permite la rotación de la deformación plástica de la conexión de una columna, de manera rígida. En la teoría estructural, la viga de ingeniería o rótula plástica se usa para describir la deformación de una sección en una viga donde se produce la flexión de plástico.

Con la constitución de esa rótula plástica en el centro de la viga, queda formado un mecanismo con un grado de libertad, al existir -incrementalmente- tres rótulas alineadas. Aquí la estructura se ha transformado en mecanismo y corresponde a la definición de uno de los Estados Límites Ultimos o de Colapso. La carga ´ultima o de colapso qu será, por tanto:

qu = qp

Se usa el término rótula plástica para referirse a la sección central en ese estado. La rótula plástica, permite rotaciones relativas a ambos lados de la sección indefinidamente grandes, y tiene asociado un momento flector igual al momento Mp. El diagrama momento-curvatura es lineal hasta alcanzar el momento de fluencia My. A aprtir de allí es no lineal y se hace completamente plástico con el momento de plastificación Mp.

2. FORMACIÓN DE ROTULAS PLASTICAS

Sea el pórtico biarticulado e hiperestático sometido a una carga puntual P en el dintel.

Pórtico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel

El momento máximo (MC) se produce en la sección C donde actúa la carga P. En los nudos B y D, los momentos son iguales (MB = MD), aunque se siguen nombrando con el subíndice indicando la sección donde actúan. Si MC es inferior al momento que agota la sección en régimen elástico (Me) la distribución de deformaciones y de tensiones en la sección en estudio es la mostrada en la Figura 12.17.Al incrementar el valor de P hasta que la sección C se agote en régimen elástico, la ley de momentos flectores y la distribución de tensiones en la sección C son las mostradas en la Figura.Si se sigue incrementando P, comenzará la plastificación de la sección C, llegando un momento en que toda la sección plastificará; se ha alcanzado la deformación en rotura de la fibra más deformada, formándose una rótula plástica. En este momento,

Pórtico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Diagrama de momentos flectores

Pórtico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Diagrama de momentos flectores y distribución de tensiones en la sección C alAlcanzarse σe en dicha sección

Entonces la estructura inicialmente hiperestática, ha pasado a ser isostática:

Formación de una rótula plástica en la sección C

Simultáneamente, en las secciones B y D también aumenta el momento llegando estas a agotarse elásticamente. Al seguir incrementando el valor de P, seguirá aumentando el momento flector en B y D. En la sección C el momento plástico que agotó la sección se mantiene constante.

Pórtico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel.Redistribución de momentos en B y D

Habrá un valor de P para el que las secciones extremas B y D se agotan, formándose sendas rótulas plásticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarse está en un mecanismo.

Colapso de la estructura por transformación en mecanismo por laFormación de rótulas plásticas

3. PLASTIFICACIÓN EN ROTULAS PLÁSTICAS

3.1 Plastificación De La Sección En Flexión Pura

En la Figura se muestran una sección bisimétrica sometida a un momento flector según el eje y, y los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes. En ninguna de las fibras se ha alcanzado la deformación del límite elástico y en consecuencia las tensiones en cualquier punto de la sección están por debajo del límite elástico del material.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones enRégimen elástico

Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a las ecuaciones.

σx (y,z) = MIy

z

ɛ(z) = σx ( y , z )

E=¿

MEIy

Z =XZ

Siendo E el módulo de elasticidad longitudinal y la curvatura de la sección. Considerando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura de la sección es el ángulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra, dividido por la distancia que las separa. Si se consideran dos secciones separadas una unidad de longitud, la curvatura es

X=ɛ (z )

Z

Si el momento flector se va incrementando, la tensión y la deformación en cada fibra de la sección aumentan. Habrá un valor de M para el que la deformación en las fibra extremas (las más tensionadas) coincida con la deformación en el límite elástico, ɛe, correspondiéndoles la tensión del límite elástico, σe. En la Figura se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones enRégimen elástico con las fibras extremas alcanzando el límite elástico

Si se sigue incrementando el momento flector, se llegará a un estado tal que las fibras extremas de la sección habrán superado la deformación correspondiente al límite elástico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una misma tensión σe. En la Figura 12.4 se muestran los diagramas planos de las distribuciones de deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones enRégimen elastoplástico

Si se sigue incrementando M, habrá una extensa zona de la sección donde todas las fibras superen la deformación correspondiente al límite elástico y por tanto trabajen a la tensión del límite elástico.

La deformación en el límite elástico para un acero es función del tipo de acero, estando acotada entre ɛe = 0; 00112 para un acero con σe = 235 MPa y ɛe = 0; 00169 para un acero con σe = 355 MPa. Considerando una deformación longitudinal unitaria en rotura para el acero de ɛrot = 0, 01 cuando en la fibra más tensionada de la sección se alcance la deformación correspondiente a la rotura, la zona de la sección trabajando en régimen elástico, será:

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones en Régimen elastoplástico. Gran parte de la sección plastificada.

Z 0ɛ rot

=Z 1ɛ e

= Z 1ɛ lím

Es decir, la zona elástica tiene una extensión como máximo el doble de z1(en el caso de que la sea sección simétrica respecto al eje neutro), siendo z1

Z 1= ɛ eɛ rot

Zo

Así, para un acero con ɛ e = 0; 00169, la zona trabajando en régimen elástico será, como máximo,

2 x Z 1=2 x0,00169

0,01Zo=0,338 Zo

De la ecuación se deduce que dicha zona es muy pequeña en relación con la zona plastificada. Por este motivo se acepta la distribución de tensiones mostrada en la Figura 12.7, en la que toda la sección está totalmente plastificada. Dicha distribución corresponde al caso, teórico, de curvatura infinita de la sección.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones en régimen elastoplástico. Fibras más tensionadas con la deformación en rotura

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones en régimen plástico

Momento Plástico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura 12.7 recibe el nombre de momento plástico (Mp). Al ser dicho momento estáticamente equivalente al momento producido por la distribución de tensiones normales, ha de cumplirse que

Mp=∫zc

zt

Z σ x ( x , y , z )b dz

Siendo zt y zc las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada y comprimida, respectivamente y b el ancho de la sección. Al ser σx (y; z) = σe en la zona traccionada y σx (x; y; z) = -σe en la zona comprimida, sustituyendo en (12.7) se obtiene

Mp=∫zc

zt

Z σ x ( x , y , z )b dz= σe∫0

zt

zb dz+¿¿ σe∫zc

0

zb dz

Las integrales corresponden a los momentos estáticos de las áreas traccionada y comprimida de la sección respecto al eje neutro. Por tanto, se puede reescribir (considerando los valores absolutos de Qyt y Qyc) como

Mp = σe [Qyt (z) + Qyc (z)]

El momento elástico Me, puede expresarse como

Me = σe W

El momento plástico puede ser expresado en la forma:

Mp = σe Wp

Módulo plástico (Wp):

Wp = Qyt (z) + Qyc (z)

Diagrama Momento-Curvatura

El diagrama momento-curvatura de una sección describe el comportamiento resistente de la misma.

Al actuar un momento sobre una rebanada diferencial, esta se curva manteniéndose las caras de la misma, planas y por tanto, existiendo una distribución también plana de deformaciones. Al ir aumentando el momento, se va incrementando la curvatura de la sección. El diagrama momento-curvatura se obtiene representando en un diagrama de abscisa la curvatura y de ordenada el momento, la curvatura obtenida para distintos valores del momento actuante en

la sección. Dicho diagrama tiene una parte lineal, de ecuación x=MEI

Sigue

una parte no lineal, y finalmente el diagrama acaba en Mp con una curvatura infinita (rama asintótica de la gráfica de la Figura 12.10). La curvatura en la

parte no lineal se puede obtener mediante la expresión x=σe

Ze E Siendo Ze la

profundidad de la zona elástica comprimida.

Diagrama momento-curvatura

3.2 Plastificación De La Sección En Flexión Compuesta

Se distinguirán dos casos:

1. Plastificación parcial de la sección2. Plastificación total de la sección

1) Plastificación de la sección en flexión compuesta: Plastificación parcial

Se trata de obtener la distribución de tensiones y la curvatura en una sección solicitada a flexión compuesta (se entiende que el axil es de compresión), sin que la sección se agote (plastifique totalmente). En la Figura se muestran las dos posibilidades:Para el primer caso, alcanzará antes la plastificación aquella cabeza que según las ecuaciones clásicas de la resistencia de materiales esté más tensionada. Las deformaciones en la sección se obtienen teniendo en cuenta que la inclinación del diagrama de tensiones en la parte elástica es Ex y que ɛ (z) = xz.Dependiendo de la complicación de la sección, para determinar la distribución de tensiones puede ser necesario recurrir a métodos iterativos. Se parte de una distribución que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de Ni y Mi de la i-ésima iteración coincidan con los N y M que solicitan a la sección. Hay que tener en cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que un incremento en la curvatura produce un aumento en el momento, y que un desplazamiento del eje neutro hacia la zona de tracción, produce un aumento del axil.

Sección sometida a flexión compuesta según el eje y. PlastificaciónParcial

2) Plastificación de la sección en flexión compuesta: Plastificación total

Se trata de obtener las parejas de valores M’p y N’p que agotan la sección dando lugar a una distribución de tensiones como la mostrada en la Figura-

Sección sometida a flexión compuesta según el eje y. Plastificacióntotal

En la Figura : a) se han representado sendos diagramas de interacción correspondientes a una sección bisimétrica y a una sección no bisimétrica. En secciones bisimétricas el valor máximo de M’p coincide con Mp. En secciones no bisimétricas, el valor máximo de M’p es superior al momento plástico de la sección, Mp.

a) Diagrama de interacción

b) Obtención de la carga de agotamiento de una sección a partir del diagrama de interacción

A partir del diagrama de interacción es posible obtener la carga de agotamiento para una sección. Para ello se traza la recta que pasa por el origen y tiene de pendiente M/N (siendo M y N las solicitaciones sobre la sección). La intersección de dicha recta con el diagrama de interacción da el valor de los esfuerzos críticos, tal y como se muestra en b).

o ELEMENTO VIGA-COLUMNA

Los elementos viga-columna se pueden orientar arbitrariamente en el plano X-Y, y poseen rigidez axial y flexional, se pueden tomar en cuenta las deformaciones por cortante y los efectos de conexiones con extremo excéntrico (nudo rígido). La fluencia puede ocurrir solamente en rótulas plásticas concentradas en los extremos del elemento. El endurecimiento por deformación se aproxima por la suposición de que el elemento consta de dos componentes una elastoplástico y otro elástico en paralelo, las rótulas en la componente elastoplástico fluyen bajo momento constante, pero, el momento en el componente elástico puede continuar incrementándose.

RELACIONES MOMENTO-CURVATURA YMOMENTO-ROTACIÓN

a) Deformaciones del Elemento

Un ELEMENTO VIGA-COLUMNA tiene tres modos de deformación, estos son: extensión axial, rotación por flexión en el extremo “i”, y en el extremo “j”. La matriz de transformación del desplazamiento que relaciona los incrementos de deformación y los desplazamientos es:

En forma abreviada:{dv} = [a] {dr}

DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

Una rótula plástica se forma cuando el momento en la componente elastoplástico del elemento alcanza su momento de fluencia, luego, una rótula se introduce dentro de ésta componente, permaneciendo inalterado el componente elástico. La medida de la deformación plástica por flexión es la rotación de la rótula plástica, a veces se utilizan otras medidas de demanda de ductilidad, con frecuencia, en la forma de relaciones de ductilidad. Sin embargo, en éste caso, se cree que la rotación de la rótula plástica es tanto más racional, como más consistente y no muy difícil interpretarla en la práctica, que una relación de ductilidad.Para un incremento de la rotación por flexión total dv2 y dv3, los incrementos correspondientes de la rotación de la rótula plástica dvp2 y dvp3, están dados por:

En donde A, B, C y D se dan tal como en el cuadro 3.b. Una descarga ocurre en la rótula cuando el incremento de la rotación en la rótula es de signo contrario al momento flector.

Condición de Fluencia A B C DExtremos elásticos 0 0 0 0

Rótula plástica solo en el extremo i

1 Kij /kii 0 0

Rótula plástica solo en el extremo j

0 0 Kij / kjj 1

Rótulas plásticas en ambos extremos i y j

1 0 0 1

4. CONTROL DE ROTULAS PLASTICAS EN PORTICOS DE CONCRETO ARMADO

La metodología trata de diseñar las columnas con mayor capacidad resistente y de disipación de energía que las vigas, debido que ante una acción sísmica los mecanismos cinemáticos que se formen sean los más deseables.

Cuando las columnas no tienen mayor capacidad resistente y de disipación de energía que las vigas hay la probabilidad de que las rótulas plásticas se formen en las columnas formándose un mecanismo indeseables, es decir un mecanismo de entrepiso que puede conducir al colapso prematuro de la estructura.

La rotación delas rótulas plásticas en el mecanismo deseable (en vigas) es muy pequeña con relación la rotación de las rótulas plásticas en los mecanismos indeseables o de entrepiso (en columnas)

Este último mecanismo también referido como “piso blando”, las rotaciones plásticas son tan grandes que por lo general es muy difícil detallar la gran demanda de acero de refuerzo tanto

ROTULAS PLASTICAS EN VIGAS

ROTULAS PLASTICAS EN COLUMNAS

longitudinal como transversal. Numerosos colapsos de estructuras de edificios de concreto reforzado porticados en los recientes terremotos se deben a que se forman mecanismos de entrepiso o lo que es mismo pisos blandos.

4.1 DISEÑO DE LOS PORTICOS EN ESTUDIO

Con los efectos sísmicos obtenidos del análisis por fuerzas laterales equivalentes y los efectos de carga de gravedad, se determinan las envolventes para los elementos del pórtico de acuerdo a las combinaciones propuestas por la Norma Peruana de Concreto Armado. Para este estudio, empleando el método de la rotura se determinó las áreas de acero en los extremos de vigas y columnas que son consideradas las zonas críticas, es decir, donde puede desarrollarse las rótulas plásticas, hay que agregar que se trató de uniformizar el refuerzo en cada nivel.Con el fin de conseguir un comportamiento dúctil de los elementos y por ende en la estructura, se diseñaron los pórticos teniendo en cuenta disposiciones especiales para el diseño sísmico, en concordancia con el ACI 318-99 con los requerimientos para un pórtico especial resistente a momento. El objetivo principal de estos requerimientos es dar capacidad de disipación de energía en el rango inelástico de respuesta.

4.2 PROPIEDADES DE FLEXION DE LOS ELEMENTOS

Es posible deducir curvas teóricas momento-curvatura para secciones de concreto armado con flexión y carga axial, aproximándose mediante una curva trilineal en que se definen, una primera etapa de agrietamiento (se alcanza el esfuerzo máximo de tracción en el concreto), la segunda etapa de fluencia (el acero de refuerzo alcanza su esfuerzo de fluencia en tracción) y la tercera al límite de la deformación útil del concreto.Sin embargo para llevar a cabo el análisis inelástico con el modelo de rótula puntual, las hipótesis de viga inelástica consideran el diagrama momento-rotación de la sección crítica, por lo que se deben plantear ciertas consideraciones para la definición de las relaciones momento-rotación en las secciones críticas. Estas relaciones dependen de las cargas de gravedad .Cuando se representa el comportamiento de la sección de concreto armado con un diagrama bilineal la relación momento-rotación es bastante similar a la relación momento-curvatura, donde el momento último es una buena aproximación del momento de fluencia; además una vez que se desarrollan las grietas, como sucede en la mayoría de las vigas bajo cargas de servicio, la relación M-Φ es casi lineal desde la carga cero hasta el inicio de la fluencia, en consecuencia la curva bilineal es una buena aproximación para vigas inicialmente agrietadas.

4.3 MECANISMO DE COLAPSO

(a) Cuando las columnas se detallan adecuadamente para que en sus extremos se formen rotulas plásticas.

(b) No debe permitirse la posibilidad de formación simultáneamente de rotulas plásticas en capitel y base de todas las columnas de un mismo piso, mecanismo de colapso local conocido con el nombre de “piso blando”.

(c) Es evidente que, en este caso, las demandas de ductilidad de curvatura pueden llegar a ser excesivas.

(e) Es un ejemplo que ilustra la necesidad de evaluar la función de ductilidad global asociada con el desplazamiento.

(f) La prevención de la formación de un “piso blando” se asigna a las columnas exteriores.

4.4 LONGITUD DE LA ZONA DE FORMACION POTENCIAL DE ROTULAS PLASTICAS (ZONAS CRITICAS)

Se detallan, a continuación, las 3 zonas donde pueden formarse rótulas plásticas:

Zonas adyacentes a las caras de las columnas, donde la armadura superior e inferior puede estar sometida a fluencia en tracción y compresión debido a la reversibilidad del momento flector.

Cuando una rotula plástica deliberadamente se ubica alejada de la cara de la columna, debe diseñarse de manera que su sección critica este al menos a una distancia igual a la altura h de la columna.

En las zonas de momento positivo, dentro de la luz de una viga, puede formarse una rótula plástica unidireccional sin posibilidad de que se desarrolle la rótula negativa.En esta zona, el peligro de pandeo de las barras en comprensión es mucho menor, ya que las barras no han fluido en tracción en el ciclo de carga previo. Más aún, tal rótula plástica es probable que se extienda y , bajo fluencia, tome poco esuerzo de corte. A causa de la variabilidad de las acargas gravitatorias durante un terremoto severo, la posición de la sección crítica de la rótula plástica, puede no ser posible determinarla con precisión.

5. ANALISIS INELASTICO-ROTULAS PLASTICAS

El comportamiento inelástico de las estructuras es tan importante que es indispensable tomarse en cuenta, en la práctica de un diseño sísmico por las siguientes razones: la estructura de un edificio debe comportarse sin experimentar daños bajo sismos pequeños o medianos que pueden ocurrir durante su existencia. Además, no debe sufrir un colapso con un fuerte movimiento sísmico que tenga recurrencias de 50 años o más. A menudo, las estructuras diseñadas con esta filosofía están sujetas a fuerzas sísmicas que las llevan al rango inelástico. En algunas ocasiones, las fuerzas observadas han sido de tres a cuatro veces mayores que las que se especifican en los reglamentos. A pesar de ello, en la mayoría de los casos las estructuras no resultaron dañadas. Se cree que la disipación de energía debida al amortiguamiento histerético es un margen adicional de seguridad que poseen estas estructuras. Diseñar estructuras que permanezcan elásticas bajo grandes movimientos sísmicos es muy costoso y se considera poco realista. El efecto de la disipación de energía que causa el comportamiento histerético de la estructura de un edificio tendrá, por consiguiente, que evaluarse con precisión, partiendo de un análisis inelástico de la estructura.

La relación entre la respuesta elástica máxima Vy (la respuesta del sistema cuando permanece elástico independientemente de la intensidad de la fuerza) y la respuesta máxima inelástica Vu ha sido determinada para un sistema de una sola masa, elástico y perfectamente plástico, basándose en dos suposiciones: primero considerando que las deflexiones máximas elásticas como elastoplásticas sean iguales, llegando a la relación:

VyVu

= 1µ

Donde μ, es el factor de ductilidad de desplazamiento, definido :

VyVu

= 1

√2μ−1

Ambos conceptos descritos anteriormente, se muestran en la figura:

De lo visto anteriormente, se puede decir que las estructuras que pueden sostener grandes deformaciones plásticas tienen una buena resistencia sísmica. Por consiguiente, las estructuras que tienen valores altos de μ se pueden diseñar con niveles más bajos de capacidad resistente a las fuerzas laterales. También se puede establecer que la parte de la estructura que vaya a sufrir grandes deformaciones plásticas debe poseer un factor de ductilidad que cubra sobradamente la esperada deformación plástica.

MODELOS DE ANALISIS INELASTICO

La respuesta dinámica de un pórtico plano de varios pisos y varias luces es bastante compleja. Existen un número elevado de grados de libertad y un alto porcentaje de comportamiento no lineal, por lo que se requiere de algunas idealizaciones y simplificaciones a fin de obtener un modelo matemático que pueda ser resuelto empleando las diferentes técnicas de computación numérica disponible. El grado de sofisticación del modelo es función del nivel de la respuesta que se desee obtener, lo cual será siempre relativo.

Se han propuesto diferentes aproximaciones con el fin de modelar las estructuras de concreto armado para llevar a cabo un análisis no lineal. Estos pueden clasificarse en los siguientes grandes grupos (14,23): modelos simples, modelos discretos, modelos de fibra y modelos de elementos finitos.

MODELOS SIMPLES

Muchos de los modelos desarrollados en esta categoría son conocidos como modelos tipo cortante. Inicialmente desarrollados para sistemas de un grado de libertad, su empleo ha sido extendido a sistemas de varios grados de libertad.

En el modelo tipo cortante, se sustituye el ensamblaje de los elementos (vigas, columnas y/o muros de corte) que constituyen el piso de un pórtico por un resorte no lineal único (figura 2.2).

Para pórticos planos se considera un solo grado de libertad por piso llamado desplazamiento lateral de piso. En estructuras tridimensionales el sistema equivalente posee tres grados de libertad por piso (dos desplazamientos y una rotación). Se considera que la losa es infinitamente rígida, lo que permite concentrar las masas de la estructura en cada nivel de piso. El modelo cortante es también denominado de acoplamiento cercano ya que el comportamiento de un piso es influido sólo por los dos adyacentes, superior e inferior. Otros modelos corresponden al “resorte de flexión” usado para estructuras con muros de corte y el modelo de corte-flexión el cual acopla cinco niveles por cada piso, dos superiores y dos inferiores.

MODELOS DISCRETOS

Son también denominados modelos de rótula puntual. El análisis dinámico inelástico usando estos modelos es llevado a cabo a nivel del elemento integrante de la estructura. Esto es, la estructura (un edificio aporticado, usualmente) es discretizado en elementos prismáticos: vigas, columnas y placas (figura 2.4). En algunas

formulaciones los nudos son tratados como elementos separados (30). Un gran número de variantes ha sido desarrollado, trabajando con pórticos planos y otras aproximaciones para resolver estructuras tridimensionales.

La denominación general de RÓTULA PLÁSTICA de este tipo de modelo deriva del efecto que produce la fluencia en los elementos, se supone que la rótula se forma en el punto donde la capacidad fue excedida y no sobre la longitud continua del elemento. en una sección dada o en un punto a lo largo del eje longitudinal del elemento.

El criterio de fluencia de este modelo es debido a la flexión o a una curva de interacción de fluencia. En el primer caso la fluencia ocurre cuando el elemento excede la capacidad de momento plástico Mp. Esto puede ocurrir para alguna dirección del momento (positivo o negativo). En algunas formulaciones este chequeo es hecho en el extremo de los elementos, es posible subdividiendo la viga en varios tramos considerar la formación de rótulas a lo largo del elemento, aunque se debería formar siempre en puntos preespecificados.

MODELOS POR ELEMENTOS FINITOS

Los modelos por elementos finitos idealizan cada elemento estructural como un ensamblaje de un alto número de elementos finitos. Estos pueden ser de varios tipos tales como bielas, elementos tipo viga, elementos para esfuerzo plano y/o deformación plana o incluso elementos tridimensionales.

MODELOS DE FIBRA

Estos modelos que fueron desarrollados inicialmente para estructuras de acero, también han sido extendidos a modelos estructurales de concreto armado. La estructura es primeramente discretizada al nivel del elemento como en el modelo de rótula puntual, entonces cada componente, viga o columna, es dividida en varios tramos (segmentos), cada cual es compuesto por una serie de franjas (fibras) paralelas (figura 2.6).

Se supone que se conocen las características fuerza-deformación para cada fibra y las deformaciones como los esfuerzos en la estructura, son calculadas a través de un análisis paso a paso. La fluencia de las fibras es aquí precisamente un fenómeno definido y permite mantener un valor de la tendencia de plasticidad a través de un segmento y a lo largo de la longitud del elemento.

Muchos modelos de fibra no consideran este efecto. Algunas simplificaciones se realizan para deducir la rigidez del elemento a partir de las propiedades de las secciones. Se integra sobre la longitud del elemento en un número de secciones escogidas usando una función de interpolación predeterminada. Esta función de interpolación puede no reflejar exactamente la variación de rigidez a lo largo del elemento ya que esta variación cambia como las condiciones de carga evolucionan.

MODELOS HISTERETICOS

Para estudiar la respuesta inelástica de un sistema discreto de masas, se debe establecer un modelo matemático de las características de la fuerza de restitución y de

aquí definir la relación entre la fuerza cortante en el entrepiso y la deflexión del mismo.

Estos modelos deben proporcionar la rigidez y resistencia del miembro, los cuales varían en cada instante de tiempo con la historia de cargas y deformaciones producidas por el movimiento sísmico. A continuación, se describen algunos de los modelos histeréticos (4, 20) que se han desarrollado para representar el comportamiento dominante por flexión de elementos de concreto armado durante cargas cíclicas.

MODELO BILINEAL

Debido a su simplicidad, el sistema histerético bilineal ha sido usado extensamente para estructuras de acero y de concreto armado. El modelo puede ser descrito mediante sólo tres reglas, y solamente se consideran dos rigideces en el modelo: la rigidez elástica y la de fluencia. Las pendientes de descarga y de la carga en reversa, es la misma de la etapa elástica.

La observación general en este modelo es que: la disipación de energía es grande para deformaciones de amplitudes altas, y para amplitudes bajas no se considera disipación de energía histerética. En la figura 2.8, se muestra este tipo de modelo.

MODELO DE TAKEDA

Takeda, Sozen y Nielsen, propusieron un modelo más complicado basado en la observación experimental. Este modelo usa una curva primaria trilineal, simétrica con relación al origen. La curva de carga básicamente está dirigida hacia el máximo punto alcanzado anteriormente en esa misma dirección. La pendiente de la curva de

descarga se degrada dependiendo de la deflexión máxima alcanzada anteriormente en cualquier dirección, según una función experimental. La rigidez degradada de descarga se expresa como:

Donde C, Y indican los niveles de agrietamiento y fluencia respectivamente, α es el parámetro de degradación de rigidez a la descarga. El modelo de Takeda, se aplica a elementos donde la falla es predominantemente por flexión.

PROBLEMA

Obtención de la carga de colapso plástico mediante la formación sucesiva de rótulas plásticas

1. Acotación de la carga de colapso plástico mediante los teoremas estático y cinemático

Se acotará la carga plástica con un diagrama estático cualquiera para la carga estática Pe y con un mecanismo tipo viga para la carga cinemática Pc al solo efecto de verificar que la carga plástica Pp a obtener está dentro de los límites del teorema de unicidad.

El diagrama de momentos flectores para esta estructura con estas cargas será

Para las características de las secciones de esta estructura, la sección que primero alcance la plastificación será en el nudo superior derecho sobre la barra vertical, donde puede plantearse

2.5m x P = Mp1

Pe = Mp1 / 2.5m

Pe= 32.292 KNxm / 2.5m = 12.92KN … (Carga Estática)

Para encontrar una cota superior utilizando el teorema cinemático, proponemos un mecanismo cinemático y obtenemos una carga cinemáticamente admisible que será una cota superior de la carga de colapso. El mecanismo puede ser por ejemplo de rotura tipo viga.

- Trabajo externo:

2P x δ = 2P x 1.5m x θ = 3m x P x θ- Trabajo interno

2Mp1(θ) + Mp2(θ) = 2x32.292 KN.m(θ) + 2x59.064 KN.m(θ) = 182.71 KN.m(θ)

- Igualando por trabajos virtuales el trabajo externo e interno

3m x P x θ = 182.71 KN.m(θ) Simplificando el ángulo θ

3m x P = 182.71 KN.m- La carga cinemática será:

Pc = 182.71KN.m/3m = 60.90KN …(Carga Cinemática)

→ Por lo tanto la carga de colapso plástico quedará acotada entre:

12.92KN ≤ Pp ≤ 60.90KN

Cargas de Colapso Plástico

Como primer paso es necesario identificar y enumerar las secciones donde exista la posibilidad de formación de rótulas plástica. Éstas por lo general se encuentran en empotramientos, en apoyos puntuales, en el encuentro de barras y en los puntos de aplicación de carga. En el caso particular de encuentros de barra, debe plantearse la posibilidad de formación de rótulas plásticas en el extremo de cada una de ellas, ya que bien podrían tener secciones distintas como así también distintos valores de momento flector. En el caso analizado pueden encontrarse seis posibles ubicaciones que se indican a continuación.

Una vez identificadas las posibles secciones de plastificación estamos en condiciones de obtener la carga con la cual se formará la primera rótula.

Si se toma una carga P unitaria y se carga la estructura, es posible obtener un diagrama de momentos que llamaremos M. Al aplicar una carga P, distinta a la unitaria, los momentos se amplificarán proporcionalmente en cada sección. Este diagrama de momentos unitario multiplicado por algún valor dado de P, será válido hasta que alguna de las secciones llegue a la plastificación.

Por lo tanto este diagrama ser irá incrementando proporcionalmente hasta que alguna de las secciones se plastifique y forme una rótula plástica. Si se denomina con ΔP1i el incremento necesario a aplicar al diagrama unitario M1 para que una sección i llegue a plastificarse, para llegar al estado plástico en una sección debe cumplirse que:

Mpi = ΔP1i x M1i

Puede observarse que el menor valor de ΔP1i se da en la sección 6 para un incremento de carga:

ΔP1 = 36.65KN

Por lo tanto cargando la estructura para una carga P = ΔP1 se obtienen los diagramas de momentos cuando se forma la primer rótula. Llamando P1 a la carga bajo la cual se forma la primera rótula, el momento en cada una de las secciones resultará entonces de multiplicar los momentos unitarios por el valor de esta carga:

M1i = M1i x P1

Con lo cual pueden obtenerse:

Y cargando la estructura con P1 se calculan entonces los diagramas de momentos flectores en toda la estructura:

En el diagrama de momentos M1 correspondiente con P1 puede observarse que en la sección 6 se ha alcanzado el valor del momento plástico mientras que en el resto de la estructura los momentos flectores son siempre menores que el momento plástico Mp de la sección correspondiente. Cuando se forma una rótula plástica en la estructura, el momento flector se mantiene constante en un valor Mp para cargas creciente. De este modo, la rótula plástica equivale a una articulación cargada con un par de momentos exteriores de valor Mp.

Dada esta equivalencia, si colocamos una articulación cargada con momentos en extremo de barra en la sección donde se ha formado la rótula plástica y cargamos la estructura con la carga P1 que ha formado la primera rótula, los diagramas tendrían que ser equivalentes.

Puede observarse que los diagramas obtenidos en la estructura sin articular con P1 y la articulada y cargada con un par de Mp son iguales. Una vez alcanzada la carga P1 donde se ha formado la primera articulación plástica; ante cualquier incremento de cargas el momento en la sección plastificada permanece constante en el valor Mp. De este modo, para cargas mayores a P1 (y menores a la de la formación de la segunda rótula) la estructura ha perdido un grado de hiperestaticidad, incorporando una articulación cargada con un par de momentos de valor Mp de manera que en esa sección el valor de momentos se mantendrá constante en Mp.

El menor valor de ΔP2i se da en la sección 1 con un incremento de carga:

ΔP2 = 2.57KN

Es decir que se ha incrementado la carga P1 en un valor ΔP2 de 2.57KN y se ha formado la segunda rótula plástica. Por lo tanto, la carga P2 para la que se genera la nueva articulación es:

P2 = P1 + ΔP2

Y en el caso de la estructura estudiada:

P2 = 36.65KN + 2.57KN = 39.23KN

El momento en cada una de las secciones resultará entonces de multiplicar los momentos unitarios por el valor de esta carga para esta última configuración y sumarlos a los momentos que se tenían previamente:

M2i = M1 + M2i x ΔP2

Con lo cual pueden obtenerse los diagramas de momentos flectores para este escalón de carga.

Puede verse que en la sección 1 efectivamente se ha alcanzado el momento plástico y en la sección 6 (y también la 5) como era de esperar se mantuvo constante en un valor Mp. Para obtener el diagrama de momentos en toda la estructura, podemos cargar la última configuración con una carga P2 = 39.23 Kn

Generalización del proceso de obtención de Rótulas Plásticas y la Carga última Plástica

Las cargas y las secciones para la formación de las j-ésimas articulaciones se obtienen de la siguiente forma:

o) Identificación de las i secciones donde existe la posibilidad de formación de rótulas plásticas. El estado inicial será la estructura sin cargar donde se tiene que entonces la carga inicial P0=0 y los momentos en las distintas secciones M0i=0.

a) Obtención del diagrama de momentos para cargas unitarias en la estructura Mji

b) Cálculo del incremento de cargas que plastificaría a las secciones:

ΔPji = (Mpi – M(j-1)i ) / Mji

c) Obtención del incremento de cargas que lleva a la formación de la rótula plástica e identificación de la sección plastificada

ΔPj = Mínimo(ΔPji) – la sección plastificada será aquella donde se ΔPji es mínimo

d) Carga total que lleva a la formación de la j-ésima rótula

Pj = P(j-1)+ ΔPj

e) Obtención de los momentos flectores en las distintas secciones de la estructura:

Mji = M(j-1)i + Mji x ΔPj

f) Modificación de la estructura con el agregado de la j-ésima articulación en la sección obtenida en c)

g) Si no se ha formado un mecanismo cinemático por la introducción de la rótula, se vuelve a calcular a partir del punto a) con la estructura generada en f) para obtener la rótula j+1. Si se forma un mecanismo móvil, la carga Pj será la carga última plástica y la estructura obtenida en f) será el mecanismo de rotura.

Relación entre las cargas y los desplazamientos

A medida que se van formando las rótulas plásticas, se pudo observar que la estructura va cambiando de configuración de manera de ir perdiendo grados de hiperestaticidad por lo que ante la aparición de cada articulación se irá “ablandando”. Si se calculan los desplazamientos de la estructura para las cargas que van formando las sucesivas rótulas y se los grafica en un diagrama carga-desplazamiento puede observarse este proceso de debilitación.

Trabajo externo:

P x δ1 + 2P x δ2 = P x 2m x θ + 2P x 1.5m x θ = 5m x P x θ

Trabajo interno

3 Mp1 x θ + 2 Mp2 x θ = 3 x 32.292 KN.m x θ + 2 x 59.064 KN.m x θ = 215 KN.m x θ

Igualando por trabajos virtuales el trabajo interno al trabajo externo

5m x P x θ = 215 KN.m x θsimplificando el ángulo θ

5m x P = 215 KN.m

Con lo que se tiene la carga cinemática

P = 215KNxm / 5m = 43KN

Como era de esperar, como el mecanismo cinemático es el de colapso, la carga cinemática obtenida es la carga última plástica tal como se ha llegado mediante el proceso de formación secuencial de rótulas plásticas.