universidad nacional de la plata – facultad de bellas … · fba | unlp acústica musical |2016...

Acústica Musical

Guía de Trabajos Prácticos

Primer cuatrimestre

2016

Ing. Gustavo Basso

Dra. M. Andrea Farina

Martín Castelvetri

Lic. Juan Manuel Cingolani

Federico Jaureguiberry

Prof. Jorge Pappadopoulos

Lic. Agustín Salzano

Tomás Szelagowski

FBA | UNLP Acústica Musical |2016

Contenidos

Cronograma de Trabajos Prácticos Pag. 4

Trabajo Práctico Nro. 1 Pag. 5




Trabajo Práctico Nro. 5. Pag. 12



Trabajo Práctico Nro. 8 y 9 Pag. 16

Anexo Nro. 1. Conceptos Básicos de Física Pag. 18

Anexo Nro. 2. Fragmentos del Bolero de Ravel Pag. 27

2


Condiciones de aprobación de las Clases Prácticas de Acústica Musical

• 80% de asistencia a clases.

• 100% de los Trabajos Prácticos realizados y aprobados una semana antes de la primera

instancia de cada uno de los parciales.

Formas de promoción

• Promoción Directa: dos parciales aprobados con una calificación mínima de seis (6).

• Promoción Indirecta: dos parciales aprobados con una calificación mínima de cuatro

(4). Obtienen BTP (Boleta de trabajos prácticos) y deben rendir examen final.

Blog de la cátedra y contacto

http://acusticamusicalfbaunlp.wordpress.com

Bibliografía obligatoria

Basso, Gustavo. “Análisis Espectral. La Transformada de Fourier en la Música”. Editorial de la

Universidad Nacional de La Plata, 1999.

Basso, Gustavo. “Percepción Auditiva”. Editorial de la UnQ, 2006.

Massmann, Herbert; Ferrer, Rodrigo. “Instrumentos Musicales: Artesanía y Ciencia”.

Dolmen Ediciones.

Roederer, Juan G. “Acústica y Psicoacústica de la Música”. Ricordi Americana, 1997.

3

http://acusticamusicalfbaunlp.wordpress.com/


Cronograma de los prácticos correspondientes al primer cuatrimestre

Clase Tema Descripción de contenidos y actividades

1 Gráficos/Funciones Gráficos analógicos - Eje de coordenadas cartesianas -

Clasificación de las señales acústicas - Funciones (ejercicios

con gráficos resultantes)

2 MAS Magnitudes, valores, unidades - Parámetros del movimiento

armónico simple (MAS) y su correlato perceptual - Gráficos

temporal y espectral - Longitud de onda

3 Suma I Suma de sinusoides: de =frec, =fase - Suma de =frec y diferente

fase - contrafase. Ejercicios con gráficos.

4 Suma II Suma de sinusoides con diferentes frecuencias: los 3 primeros

parciales de ondas tipo diente de sierra, cuadrada y triangular.

Ejercicios con gráficos.

5 Batidos/Suma III Batidos entre frecuencias cercanas - Gráficos - Audición de

resultantes - Banda crítica - El fenómeno de la "fundamental

ausente" - Series: aritméticas, geométricas y armónicas.

6 Fourier I La serie armónica en notación musical - Análisis - Síntesis -

Espectros armónicos y poliarmónicos (campanas). Generación

por síntesis aditiva de ondas complejas con diferentes espectros

armónicos y poliarmónicos.

7 Fourier II Aplicaciones musicales: el órgano, el Bolero de Ravel - El

fenómeno del batido para la reconstrucción de la fundamental -

Altura tonal y altura espectral

8 Amplitud I Amplitud – Decibeles - Sonoridad - Umbral de audición -

Curva de fones

9 Amplitud II Curva de fones, repaso - Sones - Enmascaramiento (ejemplos)

10 REPASO

4



1 Gráficos/Funciones Gráficos analógicos - Eje de coordenadas cartesianas -

Clasificación de las señales acústicas - Funciones (ejercicios

con gráficos resultantes)

Sugerencia para la realización de los prácticos: utilizar papel cuadriculado o milimetrado.

1. Realizar gráficos analógicos de las siguientes señales acústicas (en caso de estar especificado,

utilizar los parámetros solicitados)

1.1.

a. y = altura; x = tiempo

b. y = intensidad; x = tiempo

1.2. Un sonido de una campana de placa.

1.3. Gotas de lluvia cayendo sobre un techo de chapa durante 10 s.

1.4.

a. y = altura; x = tiempo

b. y= altura; x = intensidad

2. Funciones. Realizar gráficos en coordenadas cartesianas (6 valores como mínimo)

2.1. y = 3x

2.2. y = 2x + 1

2.3. y = x2

2.4. y = x2 –

3

2.5. y = log x

3. Complete o continúe las siguientes series. Indique cuáles son aritméticas, geométricas o

armónicas. Indique la razón de cada una.

3.1. 2; 4; 8; 16; 32; 64

3.2. 3; 6; 9; 12; 15; 18

3.3. 22,5; 45; 67,5; 90; 135

3.4. 2; 6; 18; 54; 162; 486

5



2 M.A.S Magnitudes, valores, unidades - Parámetros del movimiento

armónico simple (MAS) y su correlato perceptual - Gráficos

temporal y espectral - longitud de onda

Representar en gráficos temporales:

1. Dos ciclos de una onda de 110 Hz, de amplitud 30 mm.

2. Dos ciclos de una onda cuyo período sea 0,004545 s, de amplitud 15 mm.

3. Dos ciclos de una onda cuyo período sea 0,002272 s, de amplitud 7,5 mm.

4. Dos ciclos de una onda de 880 Hz, de amplitud 35 mm.

5. Representar las cuatro señales anteriores en un mismo gráfico espectral.

6. Representar las siguientes tres señales en el mismo gráfico temporal:

6.1. Un ciclo de una onda de 50 Hz, de amplitud 60 mm.

6.2. Dos ciclos de una onda de 100 Hz, de amplitud 30 mm.

6.3. Cuatro ciclos de una onda de 200 Hz, de amplitud 15 mm.

7. Tres ciclos de dos ondas de igual período y distintas amplitudes y fases iniciales.

8. Cinco ciclos de una onda de período 3 s que decrece en amplitud (Ainicial = 25 mm).

9. Ocho ciclos de un glissando ascendente y ocho ciclos de un glissando descendente.

6



3 Suma I Suma de sinusoides: de =frec, =fase - Suma de =frec y diferente

fase-contrafase. Ejercicios con gráficos.

1. Dados los parámetros de las siguientes sinusoides, represente gráficamente dos ciclos de

cada una y la suma respectiva (escala: 12 cm = 0,01 s )

Sinusoide A Sinusoide B

Frecuencia [Hz] Amplitud [mm] Fase inicial [º] Frecuencia [Hz] Amplitud [mm] Fase inicial [º]

1 100 10 0 100 10 0

2 300 20 0 300 30 0

3 400 15 0 400 15 90

4 300 10 0 300 30 90

5 200 15 0 200 15 180

6 200 20 0 200 25 180

2. El Phaser aplica una modulación variable a la fase de la señal entrante y la combina con

la señal original sin procesar. ¿Qué se logra con este efecto? ¿Cambia el resultado en

función de la frecuencia donde se aplique?, ¿a nivel ensamble?

7



4 Suma II Suma de sinusoides con diferentes frecuencias: los 3 primeros parciales de

ondas tipo diente de sierra, cuadrada y triangular. Ejercicios con gráficos.

Realice la suma de las siguientes sinusoides y los gráficos espectrales respectivos. ¿Qué

frecuencia tiene la señal resultante?

8


9


10


11



5 Batidos/Suma III Batidos entre frecuencias cercanas – Gráficos - Audición de

resultantes - Banda crítica - El fenómeno de la "fundamental

ausente" - Series: aritméticas, geométricas y armónicas.

Resolver:

1. Una cierta cuerda de piano y un diapasón La 440 Hz producen 3 batidos por segundo

cuando se los excita simultáneamente. ¿Cuáles serán los valores posibles para la

frecuencia de vibración de la cuerda?

2. Determinar las frecuencias de batidos que resultan de producir con tres flautas las

frecuencias: 440, 443 y 438 Hz. ¿Cuál es el valor de la frecuencia resultante? ¿Qué flauta

está desafinada?

3. Dos tubos de órgano suenan a 523 y 520,6 Hz ¿cuál será la frecuencia de batido cuando

se los haga sonar juntos? ¿Cuál es el valor de la frecuencia resultante?

4. Una frecuencia de 820 Hz tiene una frecuencia de batido de 2 Hz; si una de las señales

que lo genera es de 819 Hz, ¿cuál es la otra?

5. Un ensamble de dos flautas, dos oboes, dos clarinetes y un clarinete bajo ejecutan al

unísono un La4 y se perciben batidos. ¿Cómo explica esta situación?

6. El efecto Chorus consiste en aplicar una pequeña modulación de frecuencia y un pequeño

retardo (delay) a la señal entrante y combinarla con la señal original sin procesar.

¿Qué se logra con este efecto? ¿Cambia el resultado en función de la frecuencia donde se

aplique?, ¿a nivel ensamble?

12



6 Fourier I La serie armónica en notación musical - Análisis - Síntesis -

Espectros armónicos y poliarmónicos (campanas). Generación

por síntesis aditiva de ondas complejas con diferentes espectros

armónicos y poliarmónicos.

1. Completar y/o indicar las bases de las siguientes series armónicas

1.1. 300, 400, 600, 900, 1000...

1.2. 1002, 1004, 1006...

1.3. 100, 200, 300, 450...

1.4. 510, 520...

1.5. 440, 880, 1320, 2200...

2. Indicar cuál es el intervalo que se percibiría entre las siguientes frecuencias:

2.1. f1 = 1000 Hz; f2= 2000 Hz

2.2. f1 = 900 Hz; f2= 1000 Hz

2.3. f1 = 2 Hz; f2 = 3 Hz

2.4. f1 = 880; f2 = 1320 Hz

2.5. f1 = 300; f2 = 500 Hz

2.6. f1 = 700 Hz; f2 = 800 Hz

2.7. f1 = 250 Hz; f2 = 750 Hz

2.8. f1 = 330 Hz; f2 = 440 Hz

3. ¿Cuáles son las fundamentales de la siguiente melodía? Escriba luego la sucesión de

alturas en un pentagrama, sabiendo que: Do 4: 262 Hz - Re 4: 293 Hz - Mi 4: 330 Hz - Fa

4: 349 Hz - Sol 4: 392 Hz - La 4: 440 Hz - Si 4: 494 Hz

Nota (f fundamental)

Nota 1: 392 Hz 1176 Hz 1568 Hz

Nota 2: 1176 Hz 1568 Hz 1960 Hz

Nota 3: 880 Hz 1320 Hz 2200 Hz

Nota 4: 1482 Hz 1976 Hz ------

Nota 5: 392 Hz 784 Hz 1960 Hz

Nota 6: 494 Hz 1482 Hz 2470 Hz

Nota 7: 440 Hz 1760 Hz 2200 Hz

Nota 8: 1172 Hz 1465 Hz -----

Anexo:

Serie armónica (hasta el armónico 16) del La1

13


Serie armónica (hasta el armónico 16) del Do2

14



7 Fourier II Aplicaciones musicales: el órgano, Bolero de Ravel - El

fenómeno del batido para la reconstrucción de la fundamental -

Altura tonal y altura espectral

1. Un oboe y una flauta producen juntos las siguientes notas:

1. saxo alto Sol4; flauta Sol4

2. saxo alto Sol4; flauta Si4

3. saxo alto Sol4; flauta Re5

4. saxo alto Sol4; flauta Re6

5. saxo alto Sol4; flauta Sol6

¿En qué caso se percibe al bicordio más cercano a una unidad o a un intervalo?

2. Una onda diente de sierra tiene una fundamental de 440 Hz (La4). Teniendo en cuenta el

rango humano de audición, ¿hasta qué número de armónico se podría percibir en dicha onda,

al margen de su amplitud? ¿Y en otra cuya fundamental sea de 5000 Hz?

15



8 Amplitud I Amplitud – Decibeles - Sonoridad - Umbral de audición -

Curva de fones

9 Amplitud II Curva de fones, repaso - Sones - Enmascaramiento (ejemplos)

1. Si se escuchan tres sonidos con frecuencias f1 = 200; f2 = 1000 y f3 = 3000 Hz, todos a un

mismo nivel de intensidad de 60 dB, ¿cuál será más sonoro y cuál menos?

2. Si se escuchan tres sonidos de las mismas frecuencias que en el ejercicio anterior, todos

con un nivel de sonoridad de 60 fones ¿cuál tendrá mayor nivel de intensidad y cuál

menor?

3. Utilice las curvas de igual sonoridad de Fletcher-Munson para determinar el nivel de

sonoridad, en fones, de las siguientes ondas sinusoidales:

3.1. 500 Hz a 30 dB

3.2. 4000 Hz a 80 dB

3.3. 50 Hz a 70 dB

4. Para que las siguientes frecuencias tengan la misma sonoridad que una onda de 1000 Hz a

50 dB ¿qué nivel de intensidad deberán tener?

4.1. 50 Hz

4.2. 300 Hz

4.3. 10 kHz

5. Realice una copia del diagrama de Fletcher-Munson reemplazando los niveles en fones

por sus equivalentes en sones.

6. Según el gráfico siguiente, ¿cuál deberá ser el mínimo nivel de intensidad de una

sinusoide de 600 Hz para poder ser percibida en presencia de una sinusoide de 400 Hz a

80 dB?

16


Curvas de igual sonoridad (Fletcher y Munson, 1933) en un diagrama de nivel de intensidad y

frecuencia.

17


CONCEPTOS BASICOS DE FISICA1

Las leyes de física expresan relaciones entre magnitudes físicas tales como longitud,

tiempo, fuerza, energía y temperatura, entendiéndose como magnitud a toda propiedad de un

cuerpo o sistema que puede ser medida.

Medir es comparar una cantidad de una magnitud cualquiera con otra cantidad de la misma

magnitud, a la cual se toma como unidad. Para medir el valor de cualquier magnitud es

necesario adoptar un valor unitario de referencia, que debe ser definido en forma precisa. Por

ejemplo, la unidad de la magnitud “longitud” es el metro.

La operación física de base es la medición, siendo el resultado de la medición un número

acompañado del nombre de la unidad que se empleó.

La afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces

la longitud de la unidad metro. Es decir, una regla métrica patrón se ajusta 25 veces en dicha

distancia. Es importante indicar la unidad metro junto con el número 25 al expresar una distancia

debido a que existen otras unidades de longitud de uso común. Decir que una distancia es “25”

carece de significado. Toda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad. Veamos

algunos ejemplos:

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Presión Pascal Pa

Fuerza Newton N

Trabajo / Energía Joule J

Potencia Watt W

Se usan en general tres magnitudes físicas fundamentales e independientes: Longitud, Masa

y Tiempo, mientras que las restantes son derivadas y pueden expresarse en función de éstas.

Existe una unidad patrón o estándar para cada una de las magnitudes fundamentales a partir de

las que se determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en la

comunidad científica es el Sistema Internacional (SI). En este sistema la unidad de longitud es el

metro, la de tiempo patrón es el segundo y la de masa es el kilogramo.2 La unidad de cualquier

magnitud física puede expresarse en función de estas unidades SI fundamentales.

1 Elaboración de Maximiliano Salomni y Sergio Pousa

2 Para completar las unidades SI de base hay que agregar el ampere (intensidad de corriente eléctrica),

el grado kelvin (temperatura), el mol (cantidad de materia) y la candela (intensidad luminosa).

18


1. Unidades de base

1.1. Longitud

Podemos asociar la longitud con el concepto de distancia o separación espacial entre dos

puntos. Para determinar la distancia debemos seleccionar una unidad de longitud (el metro) y

comprobar cuantas veces esta unidad es contenida en la distancia dada.

La unidad patrón de longitud, el metro, estuvo determinado durante un tiempo por la

distancia comprendida entre dos rayas grabadas sobre una barra de una aleación de platino e

iridio. Esta se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Paris. Para definir la

longitud de un metro se calculó la longitud de un meridiano terrestre y se tomó la 40 millonésima

parte de ella. Un meridiano terrestre mide, entonces, 40 millones de metros.

Posteriormente se comprobó que los meridianos terrestres no son iguales (la tierra no es

exactamente esférica), ni la distancia entre los trazos de la barra era exactamente la 40

millonésima parte de un meridiano. El metro patrón se define hoy como la distancia recorrida por

la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.458 segundos (esto supone que la velocidad de

la luz es exactamente de 299.792.458 m/s).

1.2. Tiempo

La Tierra gira alrededor de su eje produciendo los días y las noches. El tiempo que tarda en

dar una vuelta completa se denomina día solar. Un día solar es igual a 86.400 segundos. Y un

segundo es el período promedio del pulso cardíaco en el ser humano.

Para mayor exactitud el segundo se define en función de la frecuencia de la luz emitida por

una determinada transición de un átomo de cesio, cuya frecuencia es de 9.192.631.770 ciclos por

segundo.

1.3. Masa

Es una de las características básicas de un cuerpo: la cantidad de materia que lo forma. La

unidad de masa es el kilogramo -que equivale a 1000 gramos- y se define de modo que

corresponde a la masa de un cuerpo patrón concreto. Esta unidad también se conserva en la

Oficina de Pesas y Medidas en Francia. El peso de un objeto en un punto determinado de la

Tierra es proporcional a su masa. Así, las masas de tamaño ordinario pueden compararse a partir

de su peso.

No deberemos confundir no obstante entre la magnitud “masa” y “peso”, siendo este último

la fuerza con que la Tierra atrae un cuerpo. La masa de un cuerpo no varia según el lugar donde

19


se lo mida, el peso, en cambio, sí. La confusión se origina en parte al existir una unidad de peso

de uso cotidiano –el kilogramo fuerza definido en el denominado sistema técnico que empleamos

para comprar pan, que tiene el mismo nombre que la unidad de masa SI, el kilogramo masa del

sistema MKS. A 45º de latitud y al nivel del mar un cuerpo que tiene una masa de un kilogramo

pesa un kilogramo fuerza; es decir, que el número que mide el peso de un cuerpo en kilogramos

es el mismo que mide su masa en kilogramos. En los demás puntos de la Tierra (o en la Luna),

como el peso cambia y la masa no, los números serán distintos. No debemos olvidar que aún en

este caso estamos mezclando los sistemas. En el Sistema Internacional (SI) lo correcto es decir

que el cuerpo de 1 kg de masa del ejemplo pesa 9,8 Newtons.

2. Magnitudes que emplean unidades derivadas

2.1. Velocidad

Estamos familiarizados con el concepto de velocidad media de un objeto, que se define

como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo invertido en dicho desplazamiento:

velocidad = distancia / tiempo

En el Sistema Internacional la velocidad se mide en metros por segundo (m/s), pues no

existe una unidad propia de la velocidad. Otra unidad de uso corriente es el kilómetro por hora

(km/h). Por ejemplo si un automóvil recorre 200 km en 5 horas, su velocidad media es de (200

km) / (5 h)= 40 km/h.

La velocidad es una magnitud vectorial, es decir que para determinarla no basta con indicar

su valor en una cierta unidad, sino que es necesario determinar una dirección y un sentido.

La aceleración media es la variación de velocidad en un determinado intervalo de tiempo, y

también emplea unidades derivadas. En este caso m/s2.

2.2. Fuerza

Una fuerza es cualquier acción o influencia que al actuar sobre un objeto hace que cambie

su estado de movimiento. La fuerza es un vector, lo que significa que tiene módulo, dirección y

sentido. La fuerza más común en nuestra experiencia diaria es la fuerza de atracción de la Tierra

sobre un cuerpo. Esta fuerza se denomina peso del cuerpo.

La unidad SI de fuerza es el newton (N). Una fuerza de un newton hace que una masa de

un kilogramo experimente una aceleración de un metro por segundo por segundo (1m/s2).

20


Las dos primeras leyes de Newton pueden considerarse como una definición general del

concepto de fuerza.

2.3. Presión

En algunas ocasiones el efecto que produce una fuerza depende de la superficie sobre la

cual se la aplica. Se llama presión ejercida por una fuerza sobre una superficie, al cociente entre

la fuerza y la superficie.

P = F / S

Al ser la unidad SI de fuerza el newton (N) y la unidad de superficie el metro cuadrado

(m²), la unidad SI de presión resulta ser newton sobre metro cuadrado (N/m²) o Pascal. El Pascal

(Pa) es la unidad SI de presión. Un pascal es la presión ejercida por una fuerza de 1 N sobre una

superficie de 1 metro cuadrado.

1Pa = 1 N / 1 m2

Por ejemplo, una fuerza de 200 N aplicada sobre un área de 10 m ejerce una presión de:

P = F /S = 200 N / 10 m² = 20 Pa

3. Trabajo, Potencia y Energía

El trabajo y la energía se encuentran entre los principales conceptos de la física y como

tales desempeñan un papel importante en nuestra vida diaria. En física el trabajo tiene una

definición precisa que difiere de la del uso cotidiano. Se realiza trabajo sobre un cuerpo cuando

se vence una resistencia al movimiento a lo largo de una distancia. Por ejemplo para subir un

mueble hasta un piso elevado, hay que vencer una resistencia (el peso P del mueble) a lo largo de

un trayecto (la altura d del piso). El trabajo T realizado es el producto de la fuerza P por la

distancia recorrida d.

Trabajo = Fuerza x Distancia

T = F x d

Como el trabajo se obtiene multiplicando la fuerza por la distancia, la unidad de trabajo -el

joule- se obtendrá multiplicando la unidad de fuerza por la unidad de longitud:

1 joule = 1 Newton x 1 metro

21


Con el nombre de la unidad SI de trabajo se rinde homenaje al físico inglés James Joule

(1818 – 1889) cuyos trabajos experimentales esclarecieron los conceptos de trabajo y energía.

La potencia desarrollada por un hombre (o una máquina) es el ritmo al que éste produce

trabajo, es decir, el cociente entre el trabajo efectuado y el tiempo empleado en realizarlo.

P = T / t

Como la potencia es el cociente entre el trabajo y el tiempo,

Unidad de potencia = Unidad de trabajo = joule = watt ( W )

Unidad de Tiempo segundo

La unidad SI de potencia se llama así en honor a James Watt, físico escocés (1736 – 1819)

que realizó importantes estudios sobre el calor y la energía.

Íntimamente asociado al concepto de trabajo está el concepto de energía, que es la

capacidad de realizar trabajo. Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro se transfiere energía

de un sistema al otro. Por ejemplo, cuando se empuja un trineo, el trabajo realizado se convierte

parcialmente en energía de movimiento del trineo, llamada energía cinética. Otra parte se

transforma en energía térmica, que surge de la fricción entre el trineo y la nieve.

3.1. Energía cinética

La energía cinética esta asociada al movimiento de un cuerpo y se relaciona con su masa y

velocidad. En primer término, la energía cinética que posee un cuerpo es directamente

proporcional a su masa. Si tenemos dos cuerpos moviéndose a la misma velocidad pero el

primero tiene una masa de 2 kg y el segundo de 8 kg, el último tiene cuatro veces mas energía

cinética pues su masa es cuatro veces mayor.

La energía cinética de un cuerpo es, además, directamente proporcional al cuadrado de la

velocidad. Si tenemos dos cuerpos de la misma masa y uno de ellos se mueve a 10 km/h y el otro

a 20 km/h, el último tiene cuatro veces mas energía cinética porque su velocidad es el doble (22 =

4).

3.2. Energía Potencial

La energía potencial es energía asociada a la posición de un cuerpo en un campo de

fuerzas, es decir, energía almacenada. Tomemos por ejemplo un cuerpo sujeto a un resorte.

22


Cuando el resorte esta comprimido se dice que posee energía potencial: aunque no se manifiesta,

esta en “potencia”, puede llegar a manifestarse. Al soltar el resorte el cuerpo será acelerado por la

fuerza del resorte en expansión y la energía potencial será convertida en energía cinética.

3.3. Energía mecánica

La suma de la energía potencial mas la energía cinética de un cuerpo representa su energía

mecánica total. Existen muchas otras formas de energía que aún no hemos mencionado: térmica,

química, electromagnética, atómica, etc.

Puesto que la energía de un cuerpo es la capacidad para producir trabajo, un cuerpo tendrá

tanta energía como trabajo sea capaz de producir. La energía se medirá, pues, en las mismas

unidades con que se mide el trabajo (joule).

4. Notación Científica

El manejo de números muy grandes o muy pequeños se simplifica mucho utilizando

potencias de 10 o notación científica (recordar que 102= 100; 10

3= 1000, etc.). En esta notación

el número se escribe como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 y una potencia

de diez, por ejemplo:

El número 12.000.000 se escribe 1,2 x 107;

La distancia entre la tierra y el sol es 150.000.000.000 m aproximadamente.

Se puede escribir de la forma 1,5 x 1011

m.

En el primer caso, la cifra 7 se denomina exponente. Cuando los números son menores que

1 el exponente es negativo:

0,01 se escribe 1 x 10 –2

.

El diámetro de un virus es aproximadamente igual a 0,00000001 m, que en

notación científica se escribe 1 x 10 –8

m.

Al multiplicar dos números entre sí los exponentes se suman, mientras que en la división se

restan. Estas reglas pueden comprobarse fácilmente en el siguiente ejemplo:

10² x 10³ = 100 x 1.000 = 100.000

10² x 10³ = 10 (2+3)

= 105

23


5. Concepto de función

En matemáticas el término función es usado para indicar la relación o correspondencia

entre dos o más variables. Se caracteriza, en su forma más usual, por una variable y llamada

variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los

valores que se asignen a la variable independiente x. La expresión

y = f (x)

se lee “y es función de x”, e indica la interdependencia entre las variables x e y. Las funciones se

dan normalmente en forma explícita, como f (x) = x2 - 3x + 5, o f (x) = sen x; mediante una regla

expresada en palabras, como “f (x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que

sean reales”; o en forma gráfica.

6. Prefijos para los múltiplos y submúltiplos de las unidades

Prefijo Símbolo Prefijo Símbolo

exa E 1018

deci d 10-1

peta P 1015 centi c 10-2

tera T 1012

mili m 10-3

giga G 109 micro μ 10-6

mega M 106

nano n 10-9

kilo k 103

pico p 10-12

hecto h 102

femto f 10-15

deca da 10 atto a 10-18

7. Logaritmos

7.1. Elevando números a potencia

Antes de definir logaritmos veamos ciertas relaciones matemáticas conocidas por todos.

¿Cuál es el cuadrado de tres? Rta.: 32 = 9

Elevamos un número a la segunda potencia (su cuadrado) y ha surgido un resultado. Ahora,

recordemos el nombre de los números componente de esta operación:

El número elevado (3) es llamado la base.

El número por el cual la base es elevada (2) es el logaritmo.

24


El valor que da como resultado (9) es el antilogaritmo

32 = 9

base log. antilog.

7.2. Logaritmos en base 10

Cualquier número puede ser usado como base, pero en los cálculos usamos para describir

muchas de las magnitudes utilizadas en acústica y audio, la base 10 es la más común. Cuando

escribimos “log” casi siempre queremos significar “logaritmo en base 10 ”, o “log10 ”.

¿Cuál es el antilogaritmo de 2? Si asumimos que la base es 10, la respuesta será:

antilog10 2 = 100

Lo que realmente estamos expresando con “antilog10 2” es que el número 10 es elevado a la

potencia 2, por lo tanto la respuesta, el antilogaritmo, es 100 (102 = 100).

¿Cuál es el logaritmo de 1000? Rta.: log 1000= 3

El log en base 10 de 1000 es 3. Esto nos dice que 1000 es 10 elevado a la potencia 3

(103 = 10.10.10= 1000).

7.3. Otros logaritmos en base 10

¿Que hay acerca en la expresión de números que no son múltiplos de 10? Los logaritmos

también se encuentran aquí.

Por ej. ¿Cuál es el log de 50? log 10 50 =1,698970

Esto no dice que 10 elevado a la 1,698970 es 50. En otras palabras, 10 1,698970

= 50

En estos casos, si tenemos una calculadora científica, marcando 50 y presionando la tecla

“log” obtendremos directamente el resultado.

A esta altura podemos generalizar y proveer una ecuación relacionando el antilogaritmo y

el logaritmo.

log 10 A = L , donde A es el antilogaritmo y L es el logaritmo.

25


Los logaritmos nos permiten relacionar números relativamente grandes con

números pequeños (por ejemplo, el log de 1.000.000.000 es 9).

Los logaritmos, como se verá a lo largo del desarrollo temático, describen de

manera aproximada la forma en la que el oído humano percibe la sonoridad y

la altura de un sonido. Como el oído evalúa niveles a lo largo de una escala

logarítmica, el decibel -una unidad logarítmica- nos resulta particularmente

útil.

PARA RECORDAR: Solo si el cociente entre las frecuencias de dos ondas a y b (a/b) tiene

como resultado un número racional (1), la suma de ambas señales originará una señal periódica.

La forma para determinar cuál será la periodicidad de la onda resultante es a través del Máximo

Común Divisor.

(1) Un número racional se puede expresar por medio del cociente entre dos números enteros

a y b. La expresión decimal de un número racional tiene una cantidad finita de dígitos o

una extensión decimal periódica (por ejemplo 2/3 = 0,666666666... o 0,6 periódico). Los

números irracionales no se pueden expresar por medio del cociente entre dos números

enteros, sus extensiones decimales son infinitas, por ejemplo o la raíz cuadrada de tres.

26

(1er fragmento)Bolero

(Tempo di Bolero moderato assai. q=76 )

Partitura en Do

5Maurice Ravel

Fl.

Cor.

Tp.

Tamb.

Vl. 1

Vla.

Vc.

Cb.

5

Fl.

Cor.

Tp.

Tamb.

Vl. 1

Vla.

Vc.

Cb.

1 Solo

pp

p

3

sord. 1 Solo

mp

(pp)

3

Div.

pizz.

p

pizz.

p

(pizz.)

(p)

(pizz.)

(p)

(pizz.)

(p)

9

Fl.

Cor.

Tp.

Tamb.

Vl. 1

Vla.

Vc.

Cb.

13

Fl.

Cor.

Tp.

Tamb.

Vl. 1

Vla.

Vc.

Cb.

2

16 6Fl.

Cor.

Tp.

Tamb.

Vl. 1

Vla.

Vc.

Cb.

3

(2do fragmento)(Tempo di Bolero moderato assai. q=76 )

(Tempo di Bolero moderato assai. q=76 )

Partitura en Do

8

8

Maurice RavelBolero

Flauta 1

Piccolo 1

Piccolo 2

Clarinete bajo

Fagotes

Cornos 1

2

Tamb.

Celesta

Arpa

Violines 2

Violas

Violonchelos

Contrabajos

mp

3

pp

pp

mf

mf

mf

mf

3

mp

3

p

mf

Div.

(pizz.)

mf

(pizz.)

mf

(pizz.)

mf

(pizz.)

mf

(pizz.)

mf

4

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

2

7

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

3

11

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

4

14

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

5

17

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

6

9

9

19

Fl.

Picc. 1

Picc. 2

Cl. b.

Fgs.

Cor. 1

2

1Tps. 2

3

Tamb.

Cel.

Arp.

Vl. 1

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

mf

4

(sord.)

mf

(sord.)

mf

mf

mf

(pizz.)

mf

(pizz.)

(pizz.)

7

21

Ob.

Ob. d'A.

C. i.

Cl. 1

2

Cl. b.

Fgs.

2

1Tps. 2

3

Tamb.

Arp.

Vl. 1

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

mf

mf

mf

mf

mf

8

25

Ob.

Ob. d'A.

C. i.

Cl. 1

2

Cl. b.

Fgs.

2

1Tps. 2

3

Tamb.

Arp.

Vl. 1

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

9

29

Ob.

Ob. d'A.

C. i.

Cl. 1

2

Cl. b.

Fgs.

2

1Tps. 2

3

Tamb.

Arp.

Vl. 1

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

10

33 10

10

Ob.

Ob. d'A.

C. i.

Cl. 1

2

Cl. b.

Fgs.

2

1Tps. 2

3

Tamb.

Arp.

Vl. 1

Vl. 2

Vla.

Vc.

Cb.

11

universidad nacional de la plata – facultad de bellas … · fba | unlp acústica musical |2016...

Documents