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Métodos Cuantitativos II 1 MAE Luis Fernando López
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II
Logaritmos Escriba en forma logarítmica: a) 28 = 256 b)(1/3)-1 = 3 c) (1/5)3 = 1/125 d) 52 = 25 e) 272/3=9 f) 6-2=1/36 g) b0 = 1 h) (1/3)-1 = 3 i) 5-3= 1/125
Escriba en forma exponencial: a) Log 2 16 = 4 b) Log 12 1/1728 = -3 c) Log 1/3 1/81 =4 d) Log 2 8 = 3 e) Log 2 128 = 7 f) Log 12 1/1728 = -3 g) Log 6 216 = 3 h) Log 3 1/27 = -3
Encontrar el valor de x si: a) logx 2 =1/8 b) logx 25 = 2 c) log2 x = 6 d) ln e = x d) log2 (x2 – 1) = log2 8 i) log (x2 + 64) = 2 e) log5 1/125= x Calcular el valor de (sin calculadora): a) 25log5 b) 5log 25 c) 3log9 d) 2log 4
e) 43 27log f) 3log 27 g) 25log5 h)
4log16log
5
5
i) 8log
32log
6
6 j) 9log81log
5
5 k) 5log
125log
3
3
Métodos Cuantitativos II 2 MAE Luis Fernando López
Aplicar las propiedades:
a) x
1 -x log 2
b) 2
3
1)2(x x -1 5x
Log
c) 3)-3)(x(x
5)-x(x22
2
bLog
d) 45
7
zyxLn
e) 33
42
)2(13
xxxLn
f) 3/1
2
2
)4(43
x
xxLn
g) 2/12
5 2
wbyzx
Ln
h) 86
92
2
xx
xLog
Escriba el logaritmo como una sola expresión.
1) 1/2 log (x2 – 1) – 1/2 log (x2 + 1) 2) 3logx –log2 – log (x + 5) 3) 2 log (x + 6) + 3 log (x + 3) - [5 log 2 + 3 log (x + 2)] 4) 3log x + 2 log (x + 1) 5) 2(log x – log 4)
6) 1ln1ln1
ln 2
x
xx
xx
7) 3log x + 2log y – 1/3log y – 3log z – 3log w
8)
267
432 2
2
2
xxxLog
xxxLog
9) ln(x2 – 9)-ln(x2 +7x+12) 10) 2log2 +3logx -1/2log(x+3) – 1/2log(x-2)
11) )4(3/15)1(3 2222 xLogxLogLogxLog
12) )5()2(32 2 xLnxLnLnx
Métodos Cuantitativos II 3 MAE Luis Fernando López
Ecuaciones Exponenciales
1) xxx 4)8(2 Sol x = 0 2) 2.18 x Sol x = -0.088 3) xx 63 4 Sol x = 6.34 4) 322 32 x Sol x = 1 5) 32)1ln( xe x Sol x = 2 6) 52327 xx Sol x = 5 7) 062 132 xx Sol x = 9.5475 8) 2/1)2(3 xe Sol x = 1.7689 9) xx 10)5(2 Sol x = 1
10) 51 xe Sol x = -0.6094 11) xx ee 343 Sol x = 0.07192 12) 125 xx e Sol x = 2.7782 13) 9)7(4 2 x Sol x = 0.2083 14) 312 )2()2(8 xx Sol x = -1
15) x
x
23821
2
Sol x = 3
16) 0152
xx eee Sol x = 2.56, x = -1.56 17) xx 10010 2 Sol x = -2 18) 332 xe Sol x = -0.95 19) 122 83 xx Sol x = -0.03849 20) xe x 5)46ln( 2
Sol x = 4/3 , x = -1/2 21) 4)()( xxxx eeee No tiene solución 22) 01 xxex Sol x = 0 , x = 1
23) 342
2
y
y
ee Sol x = 0.3466
24) 2254
2
2
x
x
ee Sol x = -0.3466
25) 43 11 xx ee Sol x = -1 26) 2)2/1(273 xx Sol x = -12 27) 2)5(3 2 xx Sol x = 0.1605 28) 21624
2
xx Sol x = 2 , x = -4 29) 55 3 xe Sol x = 3 30) 325 103 xx Sol x = -1.4764 31) 022 xx ee Sol x = 2/3 32) 1023 1x x Sol x = 3.97
Métodos Cuantitativos II 4 MAE Luis Fernando López
33) 423 2x x Sol x = 0.5579 34) x22)(3 2x Sol x = 0.3745 35) 75.0325.0 12 x Sol x = 1
36) 451
33
51
13
24x
x Sol x = -3
37) 3155
325 2313
xx Sol x = -4
38) 543 393 xx Sol x = -3
39) xx
x
253
23
2793
Sol x = -11/7
40) 284 2 3 xxx Sol x = 12/13
41) xe 3.061800200
Sol x = -2.3105
42) 543 9273 xx Sol x = -7/5 43) 9030 4.1 xe Sol x = 0.7847 44) 1232 43 xx Sol x = 0.1336 45) 232 52 xx Sol x = 5.1063
46) 10010 123
x
x
Sol x = -5/3 47) 416)5)(4( 2 x Sol x = -1 48) 42 12 x Sol x = 3/2 49) 27312 3 x x Sol x = -3/4
50) 812
21 x Sol x = ±2
51) 3283 x Sol x = 5 52) 510 2 x Sol x = -1.3010 53) xx 22 )9(3)3(9 Sol x = -5/3
54) x
x
xx
2727
93 123
Sol x = 1
55) 2532 22 xx ee Sol x = 0.8047
56) 31
55
325
23
1-3x
x Sol x = 2/5
Métodos Cuantitativos II 5 MAE Luis Fernando López
Ecuaciones Logarítmicas
1) 25loglog x Sol x = 20 2) 2)5(log)5(log 1212 xx Sol x = 17 3) )1log(log)4log( xxx Sol x = 2 4) 8ln2ln5ln x Sol x = 4 5) 12ln)1ln(ln xx Sol x = 4 6) 1ln)2ln()4ln( 2 xx Sol x = 3 7) )3log()2log()6log()1log( xxxx Sol x = 9/2 8) 3)2(log5 x Sol x = 123 9) 1)12(loglog 33 xx Sol x = 1
10) )23log(log 2 xx Sol x = -1 , x = -2 11) 2)4(log3 x Sol x = 5 12) xx 1010 log2)127(log Sol x = 3 , x = 4
13)
xx 2ln2ln3ln Sol x = 1/2
14) 1)21(log 2/13/1 x Sol x = -4
15) 4log2log)2log( xx Sol x = 2/15 16) 1log
33355)4(log27log)2(log xx Sol x = 6.16
17) 9ln2/1)6ln(ln xx Sol x = 0.4641 18) 02)1()23( xLnxLn Sol x = 1.2278 19) 52/12)1(2/1 22 LogxLog Sol x = 79 20) )7()1()72( 999 xLogxLogxLog Sol x = 10 21) 0))(( 248 xLogLogLog Sol x = 16 22) xLogxLogx 2)( 2 Sol x = 4 23) xLnx Lnx )( Sol x = 15.15 24) ln(2x-3) –lne = e Sol x = 22.09
25) 2)23log()16log( 2
xx
Sol x = 1.859
26) 2/12loglog x Sol x = 20 27) 1ln)1ln()1ln( 2 xx Sol x = 2 28) )2(log2)62(log 22 xx No tiene solución 29) 03)2(log)(log 22 xx Sol x = 4 30) 2logloglog)1log( 2 xxx Sol x = 1 31) 5 )2(log)2(log 22 xx Sol x = 6
Métodos Cuantitativos II 6 MAE Luis Fernando López
32) )4ln()6ln(ln xxx Sol x = 6 33) 2 9log)4(log2 33 x Sol x = 5 34) )1(log1)3(log 55 xx Sol x = 2 35) 3)3(log)9(log 4
24 xx Sol x = 67
36) 2log )2log()4log( 2 xx Sol x = 4 37) 1 )2(log)6(log 55 xx Sol x = -1 38) 1log15log xx Sol x = 5 39) 1log
333327log)2(log x Sol x = 79
40)
2/12ln2ln3ln xx Sol x = 2/3
41) 2)12(log xe Sol x = 4.1945 42) 0)1(log xe Sol x = 2
43) 31ln)1ln()1ln( 2 xx Sol x=2
44) )3ln(2ln1ln
x
xx Sol x = 1 , x = -2
45) 2 )1(log)13(log 33 xx Sol x = -5/3
46)
10
log3log2 xx Sol x = 100
47) )1log(2)3log(log xxx Sol x = 1 48) 0)1log(2log2 xx No Sol. 49) 0)1log(log 22 xx Sol x = -1/2 50) )5log(2)11log(2log 2 xx Sol x = 1/3 , x = 3 51) 2 9log)4(log 3
23 x Sol x = 5, x = -13
52) 1ln)1(log)1(log 222 xx Sol x = 2
53) 2)1ln()23ln( xx Sol x = 1.2278 54) 0)1ln()23ln( xx Sol x = 3/2 55) 1)2ln(log x Sol x = 6.5809
56) xx Lnx )5( 2 Sol x =2.7781 57) )3log()2log()6log()1log( xxxx Sol x =3/2
Métodos Cuantitativos II 7 MAE Luis Fernando López
Funciones Exponenciales Graficar
1) y = 2(x+1/2) +3
2) y+2 = 3(-x+1) +1
3) y = -3(2)(x-4) +6
4) y = (1/2)(2x) – 1
5) y = -(2)(2-x)+7
6) y=ex+3 -2
Métodos Cuantitativos II 8 MAE Luis Fernando López
7) f(x) = -5+3x
8) f(x) = -1 +ex-3
+
9) 1)2/3(1)( xxf
10) eexf x 2)(
11) 1)5/3(2)( 12 xxf
12) 2)( 2 xexf
Métodos Cuantitativos II 9 MAE Luis Fernando López
13) 1)( 1 xexf
14) 2)4()( xxf
15) 13)( 2 xxf
16) 2)( 3 xexf
17) 3)2/1()( 2 xxf
18) 2/1)3/2()( xxf
Métodos Cuantitativos II 10 MAE Luis Fernando López
Funciones Logarítmicas
1) f(x) = log2 (x+2)
2) f(x) = log1/2 (x+1)-3
3) f(x) = log (-x+1)+2
4) f(x) = log4 (x+1)-4
5) y= ln(x-1) -2
6) (x) = 3-log2(x+3)
Métodos Cuantitativos II 11 MAE Luis Fernando López
7) 3)12()( 2/1 xLogxf
8) )54(2)( 3/2 xLogxf
9) 2)4(2/1)( xLnxf
10) 3)21()( 2 xLogxf
11) 2)1()( xLnxf
12) 2)()( 2 xLogxf
Métodos Cuantitativos II 12 MAE Luis Fernando López
13) 3)12()( 2/1 xLogxf
Secciones Cónicas Parte I
1) 49x 22 y
2) 3636x 22 y
3) 3636x 22 y
4) 5022x 22 y
Métodos Cuantitativos II 13 MAE Luis Fernando López
5) 3662x 22 y
6) 362x6 22 y
7) 164x 22 y
8) 100254x 22 y
9) 36189x 22 y
10) 7298 22 yx
Métodos Cuantitativos II 14 MAE Luis Fernando López
11) 75)2(51)15(x 22 y
12) 16)3(1)(x 22 y
13) 32)3(41)2(x 22 y
14) 25)4()1(x 22 y
15) 100)3(101)4(x 22 y
16) 125
)1(16
(x) 22
y
Métodos Cuantitativos II 15 MAE Luis Fernando López
17) 14
)2/1(16
4)(x 22
y
18) 1)2/1(41/2)4(x 22 y
19) 9)1((x) 22 y
20) 1)(95)(x 2
2
y
21) 1
4)1(
25)3( 22
yx
22) 36)3(4)3(36 22 yx
Métodos Cuantitativos II 16 MAE Luis Fernando López
23) 18)2()3(9 22 yx
24) 14
)2()1(2
2
yx
25) 13)-y(251)3(x
91 22
26) 32)2(2)4(2 22 yx
27) 4)2(2 2 xy
28) 4)( 2 yx
Métodos Cuantitativos II 17 MAE Luis Fernando López
29) 9)( 2 xy
30) 6)2( 2 yx
31) 3)1( 2 xy
32) 4)2( 2 xy
-
33) 1)3( 2 xx
Métodos Cuantitativos II 18 MAE Luis Fernando López
Secciones Cónicas Parte II
1) 214 22 yxx
2) 0364 22 yyxx
3) 010242 yxx
4) 026344 22 yyxx
5) 017168549 22 yyxx
6) 036122 yx
Métodos Cuantitativos II 19 MAE Luis Fernando López
7) 0208441114436 22 yyxx
8) 01816433 22 yyxx
9) 221549805 22 yyxx
10) 036244369 22 yyxx
11) 1622 2 xxy
12) 51305 2 yyx
Métodos Cuantitativos II 20 MAE Luis Fernando López
13) 02799616189 22 yyxx
14) 05242 22 yyxx
15) 964 22 yyxx
16) 05242 22 yyxx
17) 964 22 yyxx
18) 11932162416 22 yyxx
Métodos Cuantitativos II 21 MAE Luis Fernando López
19) 251410 22 yyxx
20) 11189164 22 yyxx
21) 167293216 22 yyxx
22) 32613244 22 yyxx
23) 29189164 22 yyxx
24) 0892 22 yxx
Métodos Cuantitativos II 22 MAE Luis Fernando López
25) 2799616189 22 yyxx
26) 282 xxy
27) 542 2 xxy
28) yyx 432 2
29) 442 yyx
30) )2(16)4( 2 yx
Métodos Cuantitativos II 23 MAE Luis Fernando López
31) 32613244 22 yyxx
32) 01116382 22 yyxx
33) 0189 22 yyx
34) 964 22 yyxx
35) 0892 22 yxx
Métodos Cuantitativos II 24 MAE Luis Fernando López
Logaritmos
Forma Logarítmica Forma Exponencial
xayx ya log
Donde a˃0, a≠1, x ˃0
Propiedades
1) yxxy aaa loglog)(log
2) yxyx
aaa logloglog
3) xnx an
a loglog
4) xa xa log
5) xa xa log
Logaritmo Común Es el logaritmo que tiene base 10
xx 10log log
Logaritmo Natural
Es el logaritmo que tiene base e Donde e = 2.7182
xxe ln log
Métodos Cuantitativos II 25 MAE Luis Fernando López
Formula Cambio de Base
lnln
logloglog
ax
axxa
Propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1. Si x=y entonces ax =ay
2. Si ax =ay entonces x=y
3. Si x=y entonces log x=log y
4. Si log x=log y entonces x=y
Métodos Cuantitativos II 26 MAE Luis Fernando López
Circulo
Centro en Origen (0,0)
222x ry
Centro en (h,k)
222 )(h)-(x rky
Métodos Cuantitativos II 27 MAE Luis Fernando López
Elipse
Centro en Origen (0,0)
1by
ax
2
2
2
2
Centro en (h,k)
1b
k)-(ya
h)-(x2
2
2
2
Métodos Cuantitativos II 28 MAE Luis Fernando López
Hipérbola
Centro en Origen (0,0)
1by
ax
2
2
2
2
1ax
by
2
2
2
2
Centro en (h,k)
1b
k)-(ya
h)-(x2
2
2
2
1a
h)-(xb
k)-(y2
2
2
2