UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

Desigualdad y Bienestar

Rafael Salas Mayo de 2011

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Referencia básica

Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.

Secciones 3.2• Referencias adicionales:• Atkinson, A. (1970) JPE• Shorrocks (1983) ECO• Kakwani, N.C. (1984) • Bishop et al. (1991) EER

• Jenkins, S. (1991) FS

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Introducción

Comparación de dos distribuciones F y G Dos tartas:

Tamaño: μF media de F y μG media de G

Reparto: LF y LG

Bienestar: cuentan las dos cosas tamaño=media; reparto=desigualdad

Si nos aislamos del tamaño, de la media, parece que la curva de Lorenz es la herramienta adecuada. Tenemos varios argumentos…

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1er argumento

Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB):

Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B (inequívocamente menos desigualdad).

Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de Lorenz.

]1,0[),()( ppLpL BA

5

1er argumento

Implicaciones:

El criterio de Lorenz no crea un orden completo, sino uno parcial Hay índices de desigualdad que son coherentes con el criterio de Lorenz, como el

índice de Gini:

Nota: la implicación no se satisface al revés

Para el índice de Schutz, no es del todo consistente pues:

BABA

BA GGpúnapLpL

ppLpL

lg)()(

]1,0[)()(

BABA

BA SSpúnapLpL

ppLpL

lg)()(

]1,0[)()(

6

Segundo argumento

Si se produce una transferencia progresiva, entonces:

Si

Entonces A puede obtenerse de B a partir de un conjunto de transferencias progresivas.

púnapLpL

ppLpL

BA

BA

lg)()(

]1,0[)()(

púnapLpL

ppLpL

BA

BA

lg)()(

]1,0[)()(

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Tercer argumento

Comparación en términos de bienestar Teorema de Kolm-Atkinson

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Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:

W:R+R como: W:RN

+R como:

donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava

0

)()( dxxfxuW

N

i ixuNW

1)(

1

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Antecedentes

Teorema de Imposibilidad de Arrow (1950, 1951) Bajo cuatro axiomas independientes, aparentemente

“inocuos”, no es posible combinar o agregar órdenes de preferencias individuales Pi en uno social P.

Interpretación Sen 1970: Suponemos que Pi es reflexiva, completa, transitiva, monótona Suponemos que P es universal, cumple IAI y anónima Entonces no es posible que P tenga en cuenta juicios distributivos La razón estriba en que se puede demostrar que todos los puntos

Pareto eficientes son no comparables desde el punto de vista social

Ejemplo, reparto de una tarta de tamaño 100

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Antecedentes (2)

El problema es que los aspectos distributivos quedan al margen de este análisis: No se permiten las comparaciones interpersonales de

utilidad Necesitamos un marco dónde se hagan explícitas Funciones de Bienestar Social, con algunos axiomas:

No basta solo con utilitarismo, sino tenemos que hacer explícito el igualitarismo (Sen 1973)

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Funciones de Bienestar Social

Marco de bienestar social: creación de Funciones de Evaluación Social, con axiomas explícitos:

Individualismo Anónimidad Aditividad Cóncavidad

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Funciones de Bienestar Social

1. Individualismo

Ui denota preferencias individuales

xi denota la renta del individuo i

2. Anonimidad Simetría de W en xi

Implica:

y simetría de W en U

)](...),(),([ 2211 nn xUxUxUWW

)()(...)()( 21 xUxUxUxU n

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Funciones de Bienestar Social

3. Aditividad separable

4. Estricta concavidad

U ’’(·) < 0

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Bienestar

Se trata de comparar F y G:

donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. Definimos la clase de todas las funciones de arriba como W

0

)()( dxxgxuWG

0

)()( dxxfxuWF

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Teorema de Atkinson

Atkinson (1970), Kolm (1965) Se trata de comparar F y G a través de las curvas

de Lorenz:

Si μF = μG. Entonces:

W

Demostración Importancia Generalizable: a FBS S-cóncavas W1, a FBS de la

familia de Yaari W2

WWW GFp(p)L (p) L GF

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Bienestar

Funciones de Bienestar Social. Dependientes del

rango, Yaari 1987, 1988:

W:R+R como: : W:RN

+R como:

donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.

1

0

1 )()( dppFpwW

N

iixNiwW

1

)/(

17

Teorema de Atkinson: implicación

Corolario 1:

Si μF > μG y Entonces:

W

Kakwani (1980), ejemplos:

Si μUK > μTUN y

Kakwani (1984), comparó 23 países (248 casos posibles), de los

cuales 116 se resolvían con este corolario

p(p)L (p) L TUNUK

WWW GF

p(p)L (p) L GF

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Teorema de Shorrocks

Shorrocks (1983), Kolm (1965) Se trata de comparar F y G a través de las curvas

generalizadas de Lorenz:

W

Demostración: a través de la dominancia estocástica de segundo grado

Importancia: refinamiento del teorema de Atkinson Relevancia:

Shorrocks (1983) 20países, 190 comparaciones posibles 156 (82,1%)

Kakwani (1984) 23 países, 248 comparaciones posibles 208 casos (83,9%)

Bishop et al. (1991) 26 países, 325 comparaciones posibles 269 (82,8%)

Jenkins (1991)

WWW GFp(p)GL (p) GL GF

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Teorema de Shorrocks (2)

Kakwani (1984) 248 comparaciones posibles:

Caso 1: 116 casos Cololario 1

Caso 2: 46 casos μF > μG y , pero Caso 3: 46 casos LF (p) y LG (p) se cortan, pero

Caso 2 por ejemplo Filipinas e India Caso 3 por ejemplo Filipinas y Malawi

Caso 4: 40 casos en que las curvas de Lorenz generalizadas se cortan Ejemplo Australia y Canadá

p(p)L (p) L GF p(p)GL (p) GL GF

p(p)GL (p) GL GF

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Teorema de Shorrocks (3)

Bishop et al. (1991) 325 comparaciones posibles

269 (82,8%) dominancia de Lorenz generalizada 245 (75,4%) dominancia estocástica de primer orden (o del rango):

W0

Donde W0 es la clase de

donde u(x) es creciente. Saposnik (1980, 83). Se trata básicamente del principio de Pareto aplicado a los rangos.

WWW GFp(p)G (p) F -1-1

0

)()( dxxfxuWF

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Bienestar más restrictivo

Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:

W:R+R como: W:RN

+R como:

donde u(x) es creciente u’>0, estrictamente cóncava u’’<0 y tercera derivada positiva, u’’’>0. Llamamos a esta clase W3 .

Es coherente con el principio de transferencias decrecientes (Kolm 1976): una transferencia progresiva de 1 euro entre 200 y 100 aumenta más la utilidad que entre 1000 y 900.

0

)()( dxxfxuW

N

i ixuNW

1)(

1

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Teorema de Shorrocks-Foster

Foster-Shorrocks (1987) Se trata de comparar F y G a través de las curvas

generalizadas de Lorenz que se cortan una vez, si GLF corta a GLG una vez por arriba:

W3

Demostración: a través de la dominancia estocástica de tercer grado

Importancia: refinamiento del teorema de Shorrocks Limitación: mismas rentas Davies y Hoy (1995) lo generalizan a un más cortes

WWWy GF22

GFGF

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Hogares heterogéneos

Hasta aquí todo lo relativo a hogares homogéneos (mismo tamaño). Se trata de comparar F y G a través de las curvas generalizadas de Lorenz, cuando son heterogéneos:

(1) Aplicamos la escala de equivalencia E a las rentas monetarias totales de cada hogar, por ejemplo:

Escala Coulter et al. (1992) E=Nθ, θ[0,1] Ej: θ=0,5

De tal forma que X queda transformado en Xe=X/E para cada hogar

• (2) Damos un peso poblacional a cada hogar. Típicamente es el número de individuos en el hogar E=N.

Alternativamente podríamos pensar en dar un peso igual al número de adultos equivalentes E=Nθ, Ebert 1997 (se garantizaría que una transferencia de un hogar menos necesitado a uno más necesitado aumenta el bienestar)

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Hogares heterogéneos

Aplicamos la metodología Atkinson-Shorrocks

Transformamos F y G en F’ y G’ como ya indicado en (1) y (2)

Ebert (1997)

0´´0´1

p(p)GL (p) GL

1

''G'F'

uuE

xuE

EW

WWn

i i

ii

i

GF

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Hogares heterogéneos

Metodología Atkinson-Bourguignon 1987

Definimos grupos de necesidad homogénea i=1,2,…,n y la función de bienestar:

y decreciente en x.

A esta clase de funciones de utilidad le llamamos WAB y es coherente con el principio de transferencias dentro de cada grupo y entre grupos de mayor necesidad a menor necesidad.

0

,001

'1

'

'''

1

ii

i

n

ii

i

uu

uuxuN

Wi

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Hogares heterogéneos

Dominancia secuencial Atkinson-Bourguignon 1987

WAB

WWW

GLGL

GF

ii j population-suby ,p(p) (p) j

j

1i G

j

1i F

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