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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERIA,
CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICA
CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA
Resolucion de la ecuacion de Richards unidimensional por el
metodo de volumenes finitos.
Trabajo de titulacion modalidad proyecto integrador, previo a la obtencion
del Tıtulo de Ingeniero Matematico
AUTOR: Pineda Frias Romel Tarquino
TUTOR: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proano, MsC.
Quito - 2018
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Romel Tarquino Pineda Frias en calidad de autor y titular de los derechos mo-
rales y patrimoniales del trabajo de titulacion Resolucion de la ecuacion de Richards
unidimensional por el metodo de volumenes finitos, modalidad Proyecto Integrador, de
conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGANICO DE LA ECONOMIA SOCIAL
DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACION, concedo a favor de la
Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para
el uso no comercial de la obra, con fines estrictamente academicos. Conserva a mi favor
todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.
Ası mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitali-
zacion y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual, de conformidad
a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorizacion es original en su forma
de expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad
por cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Univer-
sidad de toda responsabilidad.
Firma:
Romel Tarquino Pineda Frias
C.C. 1726203530
ii
APROBACION DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado por ROMEL TARQUINO
PINEDA FRIAS, para optar por el Grado de Ingeniero Matematico; cuyo tıtulo es: RE-
SOLUCION DE LA ECUACION DE RICHARDS UNIDIMENSIONAL POR EL
METODO DE VOLUMENES FINITOS, considero que dicho trabajo reune los requi-
sitos y meritos suficientes para ser sometido a la presentacion publica y evaluacion por
parte del tribunal examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 12 dıas del mes de marzo de 2018.
Ing. Guillermo Alexis Albuja Proano, MsC.
DOCENTE-TUTOR
C.C. 1712454063
iii
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a mis Padres Teresa y Hugo quien fueron mis pilares importantes
y que me apoyaron incondicionalmente para poder culminar esta carrera sin ellos no serıa
posible este trabajo, tambien a mi hermana por brindarme su apoyo en todo momento.
iv
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a Dios por su bendicion y haberme permitido culminar este trabajo. Agra-
dezco a mis Padres y a mi hermana que han sido una fortaleza en mi vida y en mis estudios.
A mi tutor de tesis, Ing. Guillermo Alexis Albuja Proano, MsC., por haber confiado
en mi persona, quien me guio y dedico su tiempo para que este trabajo se concluya mi
eterno agradecimiento.
v
CONTENIDO
AUTORIZACION DE LA AUTORIA INTELECTUAL ii
APROBACION DEL TRABAJO DE INVESTIGACION POR PARTE DEL
TUTOR iii
DEDICATORIA iv
AGRADECIMIENTOS v
LISTA DE FIGURAS viii
RESUMEN ix
ABSTRACT x
INTRODUCCION 1
1 GENERALIDADES 3
1.1 JUSTIFICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 ASPECTOS GENERALES 6
2.1 ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Curvas caracterısticas del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Aplicaciones de la ecuacion de Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 EXISTENCIA Y UNICIDAD 18
3.1 Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Suposicion sobre los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
vi
3.1.2 Observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Datos iniciales y de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.4 Solucion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.5 Lema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.6 Observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.7 Teorema de Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.8 Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Teorema de Comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 METODO DE VOLUMENES FINITOS 33
4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Aplicacion del metodo de volumenes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 DISCRETIZACION DE LA ECUACION DE RICHARDS 38
5.1 Descripcion matematica del metodo de volumenes finitos . . . . . . . . . 38
5.2 Esquemas de discretizacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1 Esquema Explıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.2 Esquema Implıcito basado en la cabezal de presion . . . . . . . . 44
5.2.3 Esquema Implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 PROGRAMA COMPUTACIONAL Y RESULTADOS NUMERICOS 56
6.1 Validacion del algoritmo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Validacion del programa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 65
7.1 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
BIBLIOGRAFIA 70
vii
LISTA DE FIGURAS
2.1 Valores medios para los parametros de Van Genuchten(ver[6]) . . . . . . 10
2.2 Curva del contenido o retencion del agua para el tipo de suelo limo . . . . 12
2.3 Curva de conductividad hidraulica para el tipo de suelo limo . . . . . . . 13
5.1 Esquemas de discretizacion: Explıcito y Implıcito . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Discretizacion en la variable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Discretizacion en la variable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Discretizacion en la variable espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Discretizacion en la variable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 Discretizacion en la variable espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1 Solucion aproximada de Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Solucion exacta de Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Solucion exacta vs aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Comparacion de esquemas, ∆z = 0,3 cm, media aritmetica . . . . . . . . 60
6.5 Comparacion de esquemas, ∆z = 1 cm, media aritmetica . . . . . . . . . 61
6.6 Efecto de ∆t en Esquema implıcito, media aritmetica, ∆z = 1 cm . . . . . 61
6.7 Efecto del tamano de malla. Esquema implıcito, media aritmetica, ∆t =
1 seg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.8 Comparacion de esquemas, ∆t = 1 seg, ∆z = 0,3 cm . . . . . . . . . . . . 62
6.9 Comparacion de esquemas, ∆t = 1 seg, ∆z = 1 cm . . . . . . . . . . . . . 63
6.10 Varias horas de infiltracion, ∆t = 1 seg, ∆z = 1 cm, media aritmetica . . . 63
viii
TITULO: Resolucion de la ecuacion de Richards unidimensional por
el metodo de volumenes finitos.
Autor: Romel Tarquino Pineda Frias
Tutor: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proano, MsC.
RESUMEN
El modelado de infiltracion de flujo en suelos no saturados se basa generalmente en
la solucion numerica de la ecuacion de Richards. Esta ecuacion puede ser expresada en
forma de contenido de agua, presion y en la forma mixta. En este trabajo se desarrollara
la ecuacion de Richards unidimensional en la forma mixta que nos permite describir el
flujo de agua en los suelos no saturados. Se utilizo el metodo de volumenes finitos para la
discretizacion tanto del esquema explıcito e implıcito. Para el esquema implıcito se utilizo
el metodo de Picard modificado para las no linealidades que tiene la ecuacion de Richards.
El programa computacional fue desarrollado en Matlab. La precision de los resultados se
establece al comparar los resultados numericos del esquema explıcito e implıcito con la
solucion de Celia al confrontarlos con los resultados de la simulacion numerica de los
programas.
PALABRAS CLAVE: ECUACION DE RICHARDS / METODO DE VOLUMENES
FINITOS/ PICARD MODIFICADO/ MODELO DE VAN GENUCHTEN/ DISCRETI-
ZACION.
ix
TITLE: Resolution of one-dimension Richards’s equation by using
finite volumes method.
Author: Romel Tarquino Pineda Frias
Tutor: Eng. Guillermo Alexis Albuja Proano, MsC.
ABSTRACT
The flow infiltration modeling on unsaturated soils is essentially based on the numeric
solution of Richards’ equation. Such equation can be expressed as water content, pres-
sure and in a mixed fashion. The current work was intended to develop one-dimension
Richards’ equation in a combined fashion, so as to describe water flow in non-filled soils.
The finite volumes method was used for discretization of both the explicit and the implicit
scheme. For the implicit scheme, the modified Picard’s method was used, for non-linearity
found in Richards’ equation. The computer program was developed in the Matlab. Results
accuracy is established by comparing numeric results of the implicit and explicit scheme
with Celia’s solution and comparing them with results obtained in the numeric simulation
of programs.
KEYWORDS: RICHARDS? EQUATION / FINITE VOLUMES METHOD / MO-
DIFIED PICARD / VAN GENUCHTEN MODEL / DISCRETIZATION.
x
INTRODUCCION
La ecuacion de Richards es usada para predecir el movimiento de agua en los suelos
que son variablemente saturados. Esta ecuacion tiene aplicaciones importantes en hidro-
logıa, metereologıa, agronomıa, proteccion ambiental, y otros campos relacionados con
el suelo[22]. En el campo de la proteccion ambiental, la prediccion del movimiento del
agua permitira estimar el modelo de transporte de contaminantes. Tambien se ha usado
en la ingenierıa geotecnica y geoambiental para predecir el flujo de agua insaturada en
suelos no saturados[3].
La ecuacion de Richards es la combinacion de la ley de Darcy-Buckingham[4] y la
ecuacion de la continuidad, la misma que fue discretizada por el metodo de volumenes
finitos, tanto para el esquema explıcito e implıcito de la forma mixta de la ecuacion de
Richards unidimensional. Se conoce su propiedad de no linealidad[8], esto es debido a
la relacion entre el contenido de la agua suelo sobre la presion de cabeza agua suelo y la
conductividad hidraulica.
El presente proyecto de titulacion detalla la discretizacion de los esquemas explıcito
e implıcito de la ecuacion de Richards unidimensional por medio del metodo de volume-
nes finitos, su implementacion fue hecha en el programa Matlab para la simulacion, fue
validada por los datos publicados del paper de Celia[9] y esta organizado como sigue:
En el capıtulo 1, se presenta y se formula el problema de la modelacion de la ecuacion
de Richards unidimensional por medio del metodo de volumenes finitos ası como tambien
los objetivos del presente trabajo y su justificacion.
En el capıtulo 2, se presenta las definiciones basicas y los terminos de la ecuacion que
se va ha utilizar en este proyecto de titulacion, tambien la deduccion de la ecuacion de
1
Richards.
En el capıtulo 3, se prueba la existencia y unicidad de solucion para la ecuacion de
Richards.
En el capıtulo 4, se da las definiciones basicas y nociones de la aplicacion del metodo
de volumenes finitos.
En el capıtulo 5, se desarrolla la discretizacion y modelacion en el programa Matlab
de los esquemas explıcito e implıcito para la ecuacion de Richards unidimensional de la
forma mixta.
En el capıtulo 6, se valida el algoritmo y el programa computacional con soluciones ya
conocidas existentes, en el caso del programa computacional con la solucion de Celia[9].
En el capıtulo 7, se detalla las conclusiones y recomendaciones del presente proyecto
de titulacion.
2
Capıtulo 1
GENERALIDADES
Segun Espinoza[13] la infiltracion se produce en el terreno por la accion conjunta de
dos fuerzas, la de gravedad y la de atraccion molecular, las que pueden actuar en un mis-
mo sentido o bien en forma opuesta, segun las circunstancias. En el siglo XIX, Henry
Darcy, desarrollo el primer estudio sistematico del movimiento del agua a traves de un
medio poroso, estableciendo la ley conocida como Ley de Darcy[11], posteriormente se
establecieron los modelos matematicos para este fenomeno, es ası que para flujo saturado
el modelo es la ecuacion de difusion y para flujo no saturado conocida como ecuacion de
Richards (1931)[1].
Para la aproximacion de la solucion de la ecuacion de Richards 1d se utiliza el metodo
de volumenes finitos, este metodo no ha sido reportado tan ampliamente como los meto-
dos de diferencias finitas o elementos finitos[14].
Este trabajo se centrara en proporcionar un estudio de existencia, unicidad de solu-
cion, ası como de los esquemas numericos explıcito e implıcito unidimensional para la
aproximacion de la solucion de la ecuacion de Richards.
1.1. JUSTIFICACION
La seguridad alimentaria de productos agrıcolas esta vinculado a los procesos que se
dan para ese proposito. En este contexto, el agua y el suelo constituyen uno de los factores
mas importantes en el equilibrio de la biosfera, ya que ellos hacen posible el crecimiento
de las plantas y la vida en general. El agua en el suelo es de gran importancia para los
3
procesos hidraulicos e hidrologicos, dentro de esos procesos se encuentran la infiltracion
de agua en el suelo, la misma que ha sido ampliamente estudiada debido a la importancia
para la agricultura (conservacion del agua, sistemas agrıcolas de produccion optima, riego
y drenaje), ası tambien con fines de aplicacion en la ingenierıa (estabilidad de taludes y
laderas, presas, conservacion y manejo de acuıferos subterraneos).
Si la porcion de suelo esta compuesta por moleculas de agua, suelo y aire basica-
mente, se trata de un problema de infiltracion en zona no saturada, lo contrario significa
suponer ausencia de aire y una saturacion de agua en los poros del suelo, es decir, la zona
saturada[26].
En las ultimas decadas, el metodo de volumenes finitos ha tenido mucho exito en la
solucion de la ingenierıa debido a que formulacion de volumen finito trabaja sobre mallas
poligonales y poliedricas generales. Este metodo evita errores de balance de masa y es
numericamente estable[14].
Las ecuaciones derivadas primero por Buckingham (1907) y Richards (1931)[25].
A pesar de las limitaciones y los inconvenientes, la ecuacion de Richards sigue siendo
la ecuacion mas utilizada para modelar el flujo insaturado de agua a traves del suelo
(medio poroso). Debido a la importancia y las amplias aplicaciones del problema, muchas
investigaciones se han dedicado en el pasado a la evaluacion adecuada de las diferentes
formas de la ecuacion de Richards. Tanto las soluciones analıticas como las numericas
han sido investigadas en la literatura. Las soluciones analıticas a la ecuacion de Richards
son bastante escasas y generalmente se limitan solo a casos especiales[28].
4
1.2. OBJETIVOS
1.2.1. Objetivo General
Obtener la ecuacion de Richards 1d que modela la evolucion del contenido de agua
en el suelo y aproximar la misma con el metodo de volumenes finitos para elaborar un
programa computacional con fines de simulacion numerica.
1.2.2. Objetivos Especıficos
1. Deducir el modelo matematico de infiltracion de agua en el suelo.
2. Estudiar la existencia y unicidad de la solucion de la ecuacion diferencial de Ri-
chards unidimensional.
3. Discretizar la ecuacion de Richards unidimensional con el metodo de volumenes
finitos para aproximar su solucion mediante sistemas de ecuaciones no lineales.
4. Verificar la estabilidad y convergencia del esquema numerico.
5
Capıtulo 2
ASPECTOS GENERALES
En este capıtulo se da a conocer los conceptos basicos de hidrologıa superficial pa-
ra lo cual el presente trabajo busca estudiar el movimiento del agua en la zona no saturada.
Al tratar de estudiar el movimiento de agua a diferentes profundidades. Una primera
division de la zona subsuperficial del suelo esta dada por el nivel de agua freatico(N.A.F)
o superficie freatica donde la presion hidrostatica es igual a la presion atmosferica [20],
con esto es necesario tener en cuenta que la zona subsuperficial se puede dividir en: zona
saturada y zona no saturada.
Zona saturada
Esta zona se encuentra bajo el N.F.A, los poros del suelo se encuentran completamente
llenos de agua; esto hace que se encuentren bajo presion debido a la presion hidrostatica,
la cual es mayor que la presion atmosferica y tambien por el peso de sobrecarga y la ca-
beza hidrostatica.
Zona no saturada
Tambien llamada de aireacion o vadosa, esta region se encuentra sobre el N.F.A, don-
de los poros del suelo pueden contener agua, aire o una a combinacion de estas y donde la
presion del agua es menor que la presion atmosferica, produciendo presiones de tension
o de succion. Esta zona presenta mayor complejidad ya que se presenta los tres estados
fısicos de la materia, la matriz del suelo(solido), la humedad(lıquido) y el aire(gaseoso) el
6
cual puede incluir el vapor del agua. El movimiento del agua en la zona no saturada tiene
un comportamiento no lineal, esto se debe al contenido de humedad ya que sus partıculas
pueden contener aire y/o agua, impidiendo que el agua se mueva uniformemente a traves
del suelo[7].
La infiltracion es el movimiento de agua de la superficie del terreno hacia el suelo
por intermedio de sus poros, fracturas o rocas.
2.1. ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES
Porosidad
Corresponde a la proporcion de volumen del suelo no ocupado por solidos, donde se
puede encontrar agua y/o aire. Escribimos en termino volumetricos la siguiente relacion:
VTotal = VGas + VLiquido + VS olido
Potencial de humedad
El gradiente del potencial de humedad es proporcional a las fuerzas producidas por
el agua en movimiento en la zona subsuperficial del suelo. El potencial de humedad esta
dado como la energıa mınima por gramo de agua que sera gastado en el transporte de un
cuerpo de agua de un punto a otro.
Potencial gravitacional
El potencial gravitacional es la energıa requerida para mover una masa de agua m
desde un nivel de referencia hasta una posicion dada z. El potencial gravitacional esta
dada por unidad de masa.
Ψg =mgzm
= gz
El potencial gravitacional es unicamente funcion de la altura sobre el nivel de referencia,
mas conocida como la cabeza de posicion [24].
7
Potencial hidrostatico
El potencial hidrostatico en la zona no saturada se debe a las fuerzas de atraccion
producidas por la matriz del suelo.
Ψh =pρ
Donde p es la presion y ρ es la densidad.
Ası tenemos que el potencial total es la suma de sus potenciales:
ΨT = Ψg + Ψh + Ψosm + Ψq + Ψter + Ψext + Ψabs
Donde ΨT es el potencial total, Ψg el potencial gravitacional, Ψh el potencial hi-
drostatico Ψosm el potencial osmotico, Ψq el potencial quımico, Ψter el potencial termico,
Ψext el potencial externo y Ψabs el potencial de absorcion.
En el modelamiento de flujo de agua a traves del suelo los potenciales antes citados
son muy representativos respecto a los demas mencionados en el potencial total. Un estu-
dio mas detallado de estos potenciales se encuentra en [24].
El potencial de humedad se describe como la cantidad de trabajo liberado para remo-
ver una unidad de masa de agua del suelo de cierto sitio en forma de agua pura libre a
la misma temperatura, y transfiriendo esta cantidad isotermica a un nivel de referencia de
potencial cero [[12]], suponiendo la densidad como funcion de ρ y asumiendo un medio
homogeneo e incompresible, se tiene para un sistema isotermico:
ΨT = gz +pρ
Multiplicando la anterior ecuacion por ρ, obtenemos el potencial de humedad P, el cual
es expresado en energıa por unidad de volumen:
P = ρgz + p
Dividiendo finalmente a la ecuacion anterior por ρg, se obtiene el potencial de humedad
en energıa por unidad de peso el cual es llamado Cabeza hidraulica.
H = z +Pρg
8
Esta ultima ecuacion es valida tanto para la zona saturada como en la zona no saturada.
La cabeza hidraulica es entonces la suma de la cabeza gravitacional y la cabeza de presion
Ψ, donde esta ultima esta definida por:
Ψ =Pρg
Por lo tanto, la expresion para el potencial de humedad esta dada por:
H = z + Ψ
9
2.2. Curvas caracterısticas del suelo
En la zona no saturada existen dos importantes relaciones que son: la curva carac-
terıstica de humedad y la curva de conductividad hidraulica. Estas funciones son depen-
dientes del contenido de humedad.
Curva caracterıstica de humedad del suelo
La curva caraterisca de humedad del suelo es la relacion entre la humedad volumetrica
θ y la cabeza de presion. Esta curva describe el estado de energıa relativo al volumen de
agua almacenada en un material poroso bajo condiciones variables de saturacion[27].
La siguiente tabla muestra los valores medios para los parametros de los suelos obte-
nidos del trabajo de [6] para el modelo de Van Genuchten.
Figura 2.1: Valores medios para los parametros de Van Genuchten(ver[6])
Conductividad hidraulica (K)
La conductividad hidraulica, tambien conocida como permeabilidad de un suelo re-
presenta la mayor o menor facilidad con que un medio poroso permite el paso de un fluido
a traves de el por unidad de area transversal a la direccion del flujo. Puede expresarse bajo
condiciones saturadas y no saturadas. En la zona no saturada este valor no es unico ya que
depende del contenido de humedad del suelo y tambien de la presion existente en el sitio
de contacto del agua con el suelo.
10
Curva de retencion de agua θ(Ψ)
Esta curva permite describir la capacidad que tiene el suelo de almacenar o liberar
agua, y que corresponde a la relacion entre el volumen volumetrico de agua presente en
el suelo y la succion presente en la matriz del suelo [23]. La siguiente expresion, muestra
el modelo propuesto por Van Genuchten para θ(Ψ)[29].
θ(Ψ) =
θres +
θsat − θres
(1 + α |Ψ|n)m para Ψ ≤ 0
θsat para Ψ > 0
donde:
θsat = Contenido volumetrico saturado de agua
θres = Contenido volumetrico residual de agua
m = 1-1/n, donde n es un parametro empırico
α = Factor de escala.
θres ≤ θ ≤ θsat.
Cuando Ψ > 0 el medio esta saturado.
Curva de conductividad hidraulica en funcion de la presion interna, K(Ψ)
La conductividad hidraulica es una medida de la capacidad del suelo para transmitir
agua y depende tanto de las caracteristicas del suelo como del fluido [23]. La siguiente
expresion, muestra el modelo propuesto por Van Genuchten para la curva de conductivi-
dad saturada [29].
K(Ψ) =
Ksat
[1 −
(α |Ψ|n−1 [
1 + (α |Ψ|)n]−m)]2
[1 + (α |Ψ|)n]m
2para Ψ ≤ 0
Ksat para Ψ > 0
con:
11
Figura 2.2: Curva del contenido o retencion del agua para el tipo de suelo limo
Ksat = Conductivilidad hidraulica en medio saturado
m = 1-1/n, donde n es un parametro empırico
α = Factor de escala.
Tambien se puede calcular la conductividad hidraulica de la siguiente manera
K(Ψ) =
Ksat
√θ − θres
θsat − θres
1 −1 −
(θ − θres
θsat − θres
) 1m
m
2
para Ψ ≤ 0
Ksat para Ψ > 0
Las dos formulas son las mismas; la primera formula es mas simplificada en base a la
segunda.
Cuando Ψ > 0 el medio esta saturado.
Capacidad hidraulica
La capacidad hidraulica describe el cambio en la saturacion de un medio poroso debi-
12
Figura 2.3: Curva de conductividad hidraulica para el tipo de suelo limo
do a un cambio en el potencial de presion cuando se esta en la zona no saturada[18]. La
siguiente expresion, muestra el modelo propuesto por Van Genuchten para C(Ψ) [29].
C(Ψ) =
−αn sgn(Ψ)
(1n− 1
)(α|Ψ|)n−1(θres − θsat)((α|Ψ|)n + 1)1/n−2 para Ψ ≤ 0
0 para Ψ > 0
donde:
θsat = Contenido volumetrico saturado de agua
θres = Contenido volumetrico residual de agua
Ψ = Conductividad hidraulica
m = 1-1/n, donde n es un parametro empırico.
α = Factor de escala
Ley de Darcy
A mediados del siglo XIX el ingeniero Henry Darcy [11] propuso que la cantidad
de flujo de agua que fluye a traves de un medio poroso es causado por diferencias en el
13
cabezal hidraulico, que es la fuerza ejercida por una columna de lıquido, expresado por
la altura del lıquido del punto en el cual la presion es medida de dicho cabezal, el mismo
que puede hacer referencia a la distancia o altura, este es usado para poder expresar la
presion en un punto, ası la fuerza de la columna del lıquido es proporcional a la altura, ası
la ley de Darcy puede ser escrita de la siguiente manera:
q = −K∇H
donde:
q = Dencidad del flujo
K = Conductivilidad hidraulica
H = Cabezal hidraulico
∇ = Operador de Laplace
Esta ecuacion es valida para suelos saturados, para suelos no saturados incorpora la
dependencia funcional entre la conductividad y carga hidraulica. En la cual la conducti-
vidad hidraulica es funcion del contenido de agua en el suelo, es decir podemos expresar
K = K(θ). Entonces la ley de Darcy para la zona no saturada es expresada como:
−→q = −K(θ)∇H
es decir
qi = −K(θ)∂H∂xi
donde qi = qx, qy y qz para i = 1, 2, 3 respectivamente; estos son llamados los componen-
tes de flujo suelo-agua en las direcciones respectivas.
Ley de Darcy-Buckingham
En los suelos no saturados existen dos fluidos en los poros: agua y aire. La ley de
Darcy en condiciones no saturadas presenta una pequena modificacion con respecto al
caso saturado. Las burbujas de aire taponan parte de los poros en que se encuentran, y
no permiten el paso del lıquido cuando este es permeante. Por ello la permeabilidad al
agua de un suelo parcialmente saturado suele ser menor que la del mismo suelo saturado.
Por este motivo, la permeabilidad de un suelo parcialmente saturado aumenta con el paso
14
del tiempo durante el que esta expuesto al paso del agua, porque su grado de saturacion
va aumentando a medida que mas y mas burbujas van siendo arrastradas por el agua, y a
medida que el aire va siendo disuelto en el agua. El coeficiente de permeabilidad de suelos
parcialmente saturados aumenta al aumentar la presion del lıquido, pues esto provoca un
incremento en la cantidad de gas disuelta y, por tanto, una disminucion en el espacio
ocupado por burbujas gaseosas luego en este tipo de suelo K depende de H y la ley de
Darcy toma la siguiente forma [1, 4].
−→q = −K(H)∇H
Ecuaciones de Flujo
Para describir el movimiento de agua en la zona no saturada del suelo se utilizan
dos principios basicos estos son: la conservacion de masa o ecuacion de continuidad y la
conservacion de cantidad de movimiento o ecuacion de Darcy.
Aplicamos un balance de masa de volumen de control infinitesimal al flujo de masas
en un medio poroso.∂ρ.n∂t
=∂ρ.qi
∂xi
Donde:ρ = Dencidad del fluido [M/L3]
n = Porosidad del medio[L3/L3]
qi = Velocidad aparente en la direccion i[L/T ]
t = Tiempo[T ]
En el caso de un medio poroso no saturado, la masa del fluido almacenada en el
volumen de control depende del valor de la humedad presente en el medio.
∂ρ.θ
∂t= −
∂ρ.qi
∂xi
θ = Contenido volumetrico de agua[L3/L3]
Ademas suponiendo que la densidad es constante dentro del volumen de control, la
ecuacion del flujo de masas queda de la siguiente forma:
∂θ
∂t= −
∂qi
∂xi
15
Donde
qi = −Ki(Ψ)∂H∂xi
con:
H = Ψ + z : Potencial de la matriz de suelo
Ψ : Presion
z : Profundidad.
Al reemplazar H en la ecuacion de flujo de masas queda de la siguiente forma:
∂θ
∂t=
∂
∂x
[−Kx(Ψ)
∂H∂x
]+∂
∂y
[−Ky(Ψ)
∂H∂y
]+∂
∂z
[−Kz(Ψ)
∂H∂z
]
Que es conocida como la ecuacion de Richards[25] que es utilizada para describir el
flujo en un medio poroso no saturado.
Si a lado izquierdo expandimos el termino de la igualdad de la ecuacion anterior, y
utilizando la regla de la cadena en funcion de h, tenemos que:
∂θ
∂t=∂θ
∂Ψ
∂Ψ
∂t
Definimos la capacidad del suelo como C(h) =∂θ
∂h, que corresponde a la variacion de
de la humedad con respecto a la presion, la cual la ecuacion de Richards se puede seguir
reescribiendo como:
C(Ψ)∂Ψ
∂t=
∂
∂x
[Kx(Ψ)
∂H∂x
]+∂
∂y
[Ky(Ψ)
∂H∂y
]+∂
∂z
[Kz(Ψ)
∂H∂z
]
Reemplazando H en la ecuacion anterior y utilizando la regla de la cadena ademas,
haciendo algunas simplificaciones matematicas, se tiene:
C(Ψ)∂Ψ
∂t=
∂
∂x
[Kx(Ψ)
∂Ψ
∂θ
∂θ
∂x
]+∂
∂y
[Ky(Ψ)
∂Ψ
∂θ
∂θ
∂y
]+∂
∂z
[Kz(Ψ)
(∂Ψ
∂θ
∂θ
∂z+ 1
)](2.1)
16
Debido a que existe una relacion funcional entre las variables (Ψ y θ) vıa la curva
relacion agua-suelo, siendo las relaciones del tipo: Ψ = Ψ(θ) o θ = θ(Ψ), con lo cual
se puede escribir la permeabilidad en funcion de la humedad. Luego la relacion es la
siguiente:
Ki(Ψ(θ)) = Ki(θ) con i : 1, 2, 3
Ası, reemplazando la expresion anterior en (2,1) se obtiene:
C(Ψ)∂Ψ
∂t=
∂
∂x
[Kx(θ)
∂Ψ
∂θ
∂θ
∂x
]+∂
∂y
[Ky(θ)
∂Ψ
∂θ
∂θ
∂y
]+∂
∂z
[Kz(θ)
(∂Ψ
∂θ
∂θ
∂z+ 1
)]Donde se define la difusividad del suelo-agua, de la siguiente manera:
Di(θ) = Ki(θ)∂Ψ
∂θcon i = 1, 2, 3
Por tanto otra forma de expresar la ecuacion de Richards dependiendo solo de la hu-
medad como variable de estado es la siguiente:
∂θ
∂t=
∂
∂x
[Dx(θ)
∂θ
∂x
]+∂
∂y
[Dy(θ)
∂θ
∂y
]+∂
∂z
[Dz(θ)
∂θ
∂z+ Kzθ
]Finalmente la ecuacion de Richards en forma mixta en la que existen dos variables de
estado(Ψ y θ), es la siguiente:
∂θ
∂t=
∂
∂x
[Kx(Ψ)
∂Ψ
∂x
]+∂
∂y
[Ky(Ψ)
∂Ψ
∂y
]+∂
∂z
[Kz(Ψ)
(∂h∂z
+ 1)]
2.3. Aplicaciones de la ecuacion de Richards
La ecuacion de Richards es utilizada para el calculo de la infiltracion de un fluido en
un medio poroso. Algunas aplicaciones son las siguientes
Contaminacion del suelo por derrames de petroleo.
Mejoramiento de la produccion agrıcola.
Estudios de calidad de agua en acuıferos.
Mejoramiento de suelos contaminados.
17
Capıtulo 3
EXISTENCIA Y UNICIDAD
Para la existencia y unicidad de la ecuacion de Richards fue obtenido del artıculo
”Quasilinear elliptic-parabolic differential equations”.[2]
Introduccion
Consideraremos el siguiente problema con condiciones iniciales para un sistema de ecua-
ciones diferenciales cuasilineal elıptico-parabolico.
∂tb j(u) − ∇ · a j(b(u),∇u) = f j(b(u)) en ]0,T [×Ω, j = 1, · · ·m,
b(u) = b0 en 0 ×Ω,
u = uD en ]0,T [×Γ,
a j(b(u),∇u) · v = 0 en ]0,T [×(∂Ω \ Γ), j = 1, · · ·m.
(3.1)
Un gran campo de aplicacion para nuestros resultados es la filtracion no permanente.
Para un fluido incompresible en un medio poroso.
∂tθ(p) = ∇ · (K(θ(p))(∇p + e)) (3.2)
donde:p = Presion
K = Conductivilidad hidraulica
∇ = Operador de Laplace
θ = Contenido de agua
e = Direccion de la gravedad
18
La transformada de Kirchhoff
Supongamos que el termino conductivo depende del contenido de agua (θ(p)).
u :=∫ p
0k(θ(s))ds
Se introduce una transformacion integral en la ecuacion no lineal en estado estacionario
para recuperar una ecuacion lineal y buscar soluciones analıticas de la ecuacion (3.1). Ası,
la ecuacion diferencial queda de la forma
∂tb(u) = ∇ · (∇u + K(b(u))e),
donde la funcion b se comporta como θ. Nuestro enfoque se basa en la topologıa natural
inducida por la integral de energıa.∫ T
0
∫Ω
(Ψ(b(u)) + |∇u|r),
donde
Ψ(z) := supσ∈R
∫ σ
0(z − b(s))ds.
El segundo termino de la integral es convexo en u, y el primer termino es convexo en
b(u), donde Ψ es una funcion convexa. En la seccion 3.1 de este capıtulo probamos la
existencia de una solucion debil a traves de estimaciones a priori en estos dos terminos y,
ademas,
(b(u(t)) − b(u(t − h)))(u(t) − u(t − h))
para controlar la dependencia del tiempo. Como problemas aproximativos usamos dife-
rencias de tiempo hacia atras, a esto es posible usar regularizaciones parabolicas en el
caso de una ecuacion singular.
En la seccion 3.2 si b es Lipschitz continua, podemos probar un estimador en L2 en
∂tb(u) para la solucion aproximada, donde al menos una solucion regular existe (3.2.3.)
Probamos la unicidad de estas soluciones, la cual se basa en el principio del maximo(3.2.2),
por lo tanto estrictamente limitado a ecuaciones de segundo orden. Sin embrago, en el
caso de un operador lineal se puede probar la unicidad en las clases de soluciones debi-
les(3.2.4)
19
3.1. Existencia
3.1.1. Suposicion sobre los datos
1. Ω ⊂ Rn es abierto, acotado, y con frontera Lipschitz, Γ ⊂ ∂Ω es medible con
Hn−1(Γ) > 0, y 0 < T < ∞.
2. b es un campo de vector monotono y a gradiente continuo,es decir, hay una funcion
convexa Φ : Rm → R en C1 con b = ∇Φ. Podemos suponer que b(0) = 0. Definida
Ψ(z) = Ψb(z) := supσ∈Rm
∫ 1
0(z − b(sσ)) · σds.
= supσ∈Rm(z · σ − Φ(σ) + Φ(0)).
La convexidad de Φ implica que
B(z) := Ψ(b(z)) = b(z) · z − Φ(z) + Φ(0)
=∫ 1
0(b(z) − b(sz)) · zds =
∫ z
0(b(z) − b(s))ds,
3. a(b(z), p) es continua en z y p y elıptica en el sentido que
(a(z, p1) − a(z, p2)) · (p1 − p2) ≥ c|p1 − p2|r
con 1 < r < ∞, y f (b(z)) es continua en z.
4. La siguiente condicion se satisface:
|a(b(z)), p| + | f (b(z))| ≤ c(1 + B(z)(r−1)/r + |p|r−1).
En general, los coeficientes a, b, f tambien puede depender de t y x.
3.1.2. Observacion
La convexidad de Φ implica que
B(z) − B(z0) ≥ (b(z) − b(z0)) · z0
para todo z, z0 ∈ Rm. Si cambiamos σ =1
δ|b(z)|b(z) en la definicion anterior vemos que
B(z) ≥∫ 1
0(b(z) − b(sσ)) · ds ≥
1δ
(|b(z)| − sup
|σ′ |≤1δ
|b(σ′)|)
de modo que
|b(z)| ≤ δB(z) + sup
|σ|≤1δ
|b(σ)|.
20
3.1.3. Datos iniciales y de frontera
1. Asumimos que uD es en LP(0,T ; H1,r(Ω)) y en L∞(]0,T [×Ω), y definimos
V := v ∈ H1,r(Ω)/v = 0 en Γ.
2. Asumimos Ψ(b0) ∈ L1(Ω), y que b0 aplicacion en el rango de b. Por lo tanto, hay
una funcion medible u0 con b0 = b(u0).
3.1.4. Solucion debil
Asumir 3.1.3. Llamamos u ∈ uD+LP(0,T ; V) una solucion debil de el problema inicial
de valores de contorno, si las siguientes 2 propiedades se cumplen:
1. b(u) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)) y ∂tb(u) ∈ Lr∗(0,T ; V∗) con valor inicial b0, que es,
∫ T
0〈∂tb(u), ζ〉 +
∫ T
0
∫Ω
(b(u) − b0)∂tζ = 0
para cada funcion test ζ ∈ Lp(0,T ; V) ∩ H1(0,T ; L∞(Ω)) con ζ(T ) = 0.
2. a(b(u),∇u), f (b(u)) ∈ Lr∗(]0,T [×Ω) y u satisface la ecuacion diferencial, que es,∫ T
0〈∂tb(u), ζ〉 +
∫ T
0
∫Ω
a(b(u),∇u) · ∇ζ =
∫ T
0
∫Ω
f (b(u))ζ
para cada ζ ∈ Lr(0,T ; V).
La herramienta principal para probar la existencia de la solucion debil es dar un estimador
de energıa, que sigue, si podemos justificar la formula∫ T
0∂tb(u) · u = B(u(T ) − B(u0)).
Esto se hace en el siguiente lema.
3.1.5. Lema.
Suponga 3.1.3 se satisface con ∂tuD ∈ L1(0,T ; L∞(Ω)). Si u ∈ uD + Lr(0,T ; V) cumple
3.4.1, entonces
B(u) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)),
21
y para casi todo t la siguiente formula tiene∫Ω
B(u(t)) −∫
ΩB(u0) =
∫ t
0
∫Ω
⟨∂tb(u), u − uD
⟩−
∫ t
0
∫Ω
(b(u) − b(u0))∂tuD +∫
Ω(b(u(t)) − b(u0))uD(t).
Prueba Tenemos para casi todo t > 0 puntualmente en Ω
B(u(t) − B(u(t − h)) ≤ (b(u(t)) − b(u(t − h))) · u(t)
y para t > h
B(u(t) − B(u(t − h)) ≥ (b(u(t)) − b(u(t − h))) · u(t − h).
Donde u(t) := u0 para −h < t < 0, por lo tanto b(u(t − h)) = b0. Multiplicando la primera
desigualdad con λε(t) y la segunda desigualdad con λε(t − h), donde
λε := min(1,
1|u|
).
Ahora podemos integrar cada Ω y obtener para la primera desigualdad∫Ω
λε(t)B(u(t) − B(u(t − h)) ≤∫
Ω
(b(u(t)) − b(u(t − h)))λε(t)u(t)
=⟨b(u(t) − b(u(t − h)), (λεu)(t) − uD(t)
⟩+
∫Ω
(b(u(t)) − b(u(t − h)))uD(t),
eligiendo ζ con εuD ≤ 1. Dejando ε→ 0 e integrando t de 0 a τ obtenemos .
1h
∫ t
τ−h
∫Ω
B(u) −∫
ΩB(u0) ≤
∫ τ
0
⟨∂−h
t b(u), u − uD⟩−
∫ t−h
0
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · ∂ht uD
+1h
∫ 0
τ−h
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · uD −1h
∫ h
0
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · uD
De manera similar, la segunda desigualdad produce la integracion de t de h a τ
1h
∫ t
t−h
∫Ω
B(u) −1h
∫ h
0
∫Ω
B(u) ≥∫ t−h
0
⟨∂h
t b(u), u − uD⟩−
∫ t
h
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · ∂−ht uD
+1h
∫ t
t−h
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · uD −1h
∫ h
0
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · uD
Como h → 0 los primeros tres terminos en el lado derecho cubren los lımites deseados
para casi todo τ. Lo mismo es verdad para el primer termino de la izquierda, por lo tanto,
la primera desigualdad prueba que
B(u) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)).
Por lo tanto, para demostrar el Lema tenemos que mostrar que
1h
∫ h
0
∫Ω
(B(u) − B(u0) − (b(u) − b(u0)) · uD
22
se convierte en no negativo en el lımite h ↓ 0. Primero observamos que
∫E
b(u(t))→ 0
uniformemente en t como E ∈ Ω va a cero en medida. Esto nos permite sustituir uD por
una funcion C0∞(Ω). Podrıamos usar el mismo argumento para el termino B(u) − B(u0)
provisto de u0 es acotada. Como en general no es ası, aproximaremos B por:
BR(u0) := sup|σ|≤R
∫ σ
0(b(u0) − b(s))ds.
Entonces BR(u0) ↑ B(u0) casi en todas partes, como R ↑ ∞ pero desde B(u0) ∈ L1(Ω) esta
convergencia tambien esta en L1(Ω). Luego, vamos a elegir funciones vR ∈ L∞(Ω) con
||b(u0) − vR||L1(Ω) ≤1R2 ,
y entonces la funcion uR(t) ∈ L∞(Ω) con
|uR| ≤ R y ur − uD ∈ C∞0 (Ω)
(donde R deberıa ser mayor que el supremo de |uD|) tal que la norma L1 de
sup|σ|≤R
∫ σ
0(vr − b(s))ds −
∫ uR(t)
0(vR − b(s))ds
es menor que1R
para cada t. Entonces concluimos que para R ↑ ∞ y uniformemente en t∫Ω
(B(u(t)) − B(u0))←∫
Ω(B(u(t)) − BR(u0))
≥∫
Ω
(∫ uR(t)
0(b(u(t)) − b(s))ds −
∫ uR(t)
0(vR − b(s))ds
)−
2R
=∫
Ω(b(u(t)) − vR) · uR(t) −
2R
≥∫
Ω(b(u(t)) − b(u0)) · uR(t) −
3R,
inferimos que
lım suph↓01h
∫ h
0
∫Ω
(B(u) − B(u0) − (b(u) − b(u0)) · uD)
≥ lımR↑∞ lım suph↓01h
∫ h
0
∫Ω
(b(u) − b(u0)) · (uR − uD)
= lımR↑∞ lım suph↓0
∫ h
0
⟨∂tb(u(t)),
1h
∫ h
t(uR − uD)
⟩dt = 0.
3.1.6. Observacion
Bajo los supuestos en b Lema 3.1.5 se mantiene para datos mas generales de Dirichlet
uD. Si, por ejemplo b satisface una condicion de crecimiento
|b(z)| ≤ C · (1 + |z|α)
23
con 0 ≤ α > r, y si b0 ∈ Lr/α(Ω), entonces necesitamos solo
uD ∈ Lr(0,T ; H1,r(Ω) ∩ H1,rα(0,T ; Lrα(Ω)))
donde rα :=( rα
)∗.
El interes de la siguiente modificacion del Lema 3.1.5 reside en que se puede aplicar
tambien cuando los datos de Dirichlet saltan en el tiempo. La solucion de la ecuacion de
calor puede usarse como continuacion de los datos de Dirichlet en el interior. La enuncia-
cion es:
Supongamos que b es Lipschitz continua, y supongamos que 3.1.3 satisface con ∂tuD ∈
Lr∗(0,T ; V∗) tal que
1h
∫ T−h
0
∫Ω
(uD(t + h) − uD(t))(b(uD(t + h)) − b(uD(t))dt
tiende a cero por h ↓ 0, y tal que
lımh↓0
1h
∫ h
0
∫Ω
∫ u0
uD(b(u0) − b(s))ds
existe y es finito. Si u ∈ uD + Lr(0,T ; V) satisface 3,1,4 entonces
B(u) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)),
y para casi todo t, la siguiente formula tiene:
∫Ω
∫ u(t)
uD(t)(b(u(t)) − b(s))ds =
∫ t
0
∫Ω
⟨∂tb(u), u − uD
⟩−
∫ t
0
∫Ω
⟨∂tuD, b(u) − b(uD)
⟩+ lım
h↓0
1h
∫ h
0
∫Ω
∫ u0
uD(b(u0) − b(s))ds.
3.1.7. Teorema de Existencia
Supongamos que los datos satisfacen 3.1.1 y 3.1.3, y asumamos que cualquiera de las
dos ∂tuD ∈ L1(0,T ; L∞(Ω)) o que se cumplen las suposiciones en 3.1.6. Entonces existe
una solucion debil.
Prueba. Realizaremos la prueba solo en el primer caso, ya que en el segundo caso
solo se aplicara 3.1.6 en lugar de 3.1.5.
24
El plan de la prueba es el siguiente: aproximamos la ecuacion diferencial por discreti-
zacion del tiempo, es decir, reemplazamos ∂tb(u) por el cociente de diferencia hacia atras
∂−ht b(u). Ası llegamos al problema elıptico, que puede resolverse mediante el procedi-
miento de Galerkin. Para esto elegimos funciones linealmente independientes ei ∈ V∩L∞,
de modo que el subespacio abarcado por estas funciones es denso en V . Buscamos una
funcion
uhm(t, x) = uDh (t, x) +
m∑i=1
αhmi(t)ei(x)
con αhmi ∈ L∞(]0,T [) tal que para casi todo t en ]0,T [ la igualdad
∫Ω
∂−ht b(uhm(t))ζ +
∫Ω
a(b(uhm(t)),∇uhn(t))∇ζ −∫
Ω
f (b(uhm(t)))ζ = 0
contiene para todas las funciones de prueba ζ ∈ Vm := spamei, · · · , em donde los datos
iniciales son dados por
uhm(t) := u0h(t) − h < t < 0.
(Tambien se podrıa escribir b(uhm(t − h)) en lugar de b(uhm(t) en los terminos a y f ).
Elegimos la aproximacion de los datos iniciales y de borde de manera que u0h es acotada,
por ejemplo
u0h := min
(1,
1h|u0|
)u0,
y tal que uDh es independiente del tiempo en cada intervalo ](k − 1)h, kh[ por ejemplo
uDh (t, x) =
1h
∫ kh
(k−1)huD(s, x)ds para (k − 1)h ≤ t ≤ kh
donde por simplicidad se supone queTh
es un numero entero. Esta eleccion de uDh implica
que podemos determinar uhm(t) inductivamente para t ∈](k−1)h, kh[ como una solucion de
un problema elıptico. De hecho, si uhm(t−h) es conocido, el lado izquierdo de la ecuacion
anterior define una aplicacion continua Φhm : Rm → Rm donde los parametros m son los
coeficientes desconocidos de uhm(t). Desde B(z) ≤ zb(z) y
b(uDh + z)uD
h ≤ δ(uDh + z)b(uD
h + z) + C(δ)
esta aplicacion cumple con la siguiente estimacion donde usamos la notacion v =∑m
i=1 αiei :
25
Φhm(α) · α ≥ c∫
Ω|∇v|r +
1h
∫Ω
(b(uDh (t) + v) − b(uhm(t − h)))v
−C∫
Ω(1 + B(uD
h + v) + |∇uDh |
r)
> c∫
Ω|∇v|r +
(1
2h−C
) ∫Ω
(uDh (t) + v)b(uD
h (t) + v)
−C(h)(1 +∫
Ω|b(uhm(t − h))|r/(r−1)).
Si h es lo suficientemente pequeno e independiente de m, el segundo termino no es nega-
tivo, por lo tanto Φhm tiene un cero, es decir uhm(t) existe. Probamos la convergencia de
la funcion uhm como (h,m) → (0,∞) en tres pasos. Primero obtenemos una estimacion a
priori al multiplicar la ecuacion con uhm − uDh . Entonces controlamos la dependencia del
tiempo al multiplicar con las diferencias de tiempo ∂kht uhm, lo que resulta en la compaci-
dad de las funciones b(uhm) en L1.
Finalmente demostramos la convergencia fuerte de uhm multiplicando la ecuacion con
uhm − u, donde u es el lımite debil obtenido en el primer paso. En el primer paso, pruebe
con ζ = uhm(t)−uDh (t) e integre en t de 0 a τ. La parte parabolica estimamos de la siguiente
manera:
∫ τ
0
∫Ω∂−h
t b(uhm)(uhm − uDh ) ≥
1h
∫ τ
τ−h
∫Ω
B(uhm) −∫
ΩB(u0
h)
+∫ τ
0
∫Ω
(b(uhm) − b(u0h))∂h
t uDh −
1h
∫ τ
τ−h(b(uhm(t)) − b(u0
h))uDh (t + h)dt.
(3.3)
Para la parte elıptica obtenemos las estimaciones usuales. Por lo tanto, utilizando la supo-
sicion de uD y el argumento de Gronwall, obtenemos la estimacion a priori
sup0≤τ≤T
∫Ω
B(uhm(t)) +
∫ T
0
∫Ω
|∇uhm|r ≤ C.
Se deduce que uhm → u debilmente en Lr(0,T ; V) para una subsucesion (h,m) →
(0,∞).
Ahora sea k ∈ N y usamos como funcion de prueba
ζ(t) := ∂kht (uhm − uD
h )(τ) para jh ≤ t ≤ ( j + k)h
con ( j − 1)h ≤ τ ≤ jh y 1 ≤ j ≤Th− k. Integrando sobre τ y usando la estimacion de
energıa anterior∫ T−kh
0(b(uhm(τ + kh)) − b(uhm(τ)))(uhm(τ + kh) − uhm(τ))dt ≤ Ckh.
26
Pero como uhm es una funcion de paso en el tiempo, vemos que esto tambien se satisface
si reemplazamos kh por cualquier numero positivo. Esto implica que b(uhm) convergen a
b(u) en L1(]0,T [×Ω) para una subsucesion, que se probara en el Lema 3.1.9 siguiente.
Este lema tambien muestra que B(u) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)). La estimacion a priori implica
ademas que hay funciones λhm acotadas en Lr∗(0,T ; V∗) tales que
∫ T
0〈λhm, ζ〉 =
∫ T
0
∫Ω
∂−ht b(uhm)ζ = −
∫ T−h
0
∫Ω
(b(uhm) − b(u0h))∂h
t ζ
para ζ ∈ Lr(0,T ; Vm)con ζ(t) = 0 para t > T − h. Por lo tanto para una subsucesion
λm → λ debilmente en Lr∗(0,T ; V∗). Concluimos que b(u) satisface 3,4,1, que es λ =
∂tb(u), por lo tanto, 3.1.5 puede ser aplicado a u. Para probar la convergencia fuerte de
∇uhm tomamos
ζ = uhm − (uDh + vhm)
como funcion de prueba en el intervalo ]0, th[, donde th = khh con (kh − 1)h < t < khh
dado t ∈]0,T [, y donde vhm ∈ Lr(0,T ; Vm) son aproximaciones de u − uD en Lr(0,T ; V) y
tiempo independiente en cada intervalo](k − 1)h, kh[. Tenemos∫ t
0
⟨∂−h
t b(uhm, ζ)⟩
+ c∫ t
0
∫Ω|∇ζ |r
≤ −∫ t
0
∫Ω
a(b(uhm),∇(uDh + vhm))∇ζ +
∫ t
0
∫Ω
f (b(uhm))ζ.(3.4)
Primero consideremos el termino parabolico∫ t
0
⟨∂−h
t b(uhm), ζ⟩
=
∫ t
0
⟨∂−h
t b(uhm), uhm − uDh
⟩−
∫ t
0
⟨∂−h
t b(u), u − uD⟩
+ σ(1),
donde el sımbolo de Landau σ(1) como de costumbre denota cualquier termino que con-
verja a cero como h→ 0 y m→ ∞. Usando (3.3) en la primera integral en el lado derecho
y el Lema 3.1.5 en el segundo que tenemos para casi todo t la relacion∫ t
0
⟨∂−h
t b(uhm), ζ⟩≥
1h
∫ t
t−h
∫Ω
B(u(t)) + σ(1).
Ahora vamos a estimar el lado derecho de (3.4). La desigualdad de Cauchy y la conver-
gencia debil de ζ a 0 nos permiten estimar
∣∣∣∣∣∣∫ t
0
∫Ω
a(b(uhm),∇(uDh + vhm))∇ζ
∣∣∣∣∣∣≤ δ
∫ t
0
∫Ω
|∇ζ |r + Cδ
∫ t
0
∫Ω
|a(b(uhm),∇(uDh + vm
h )) − a(b(u),∇u)|r∗
+ σ(1).
27
Podemos estimar la segunda integral de la derecha, por ejemplo
∫ t
0
∫Ω
∣∣∣∣∣∣∣a(b(u),∇u) − a(b(uhm),∇(uDh + vhm))min
(1,
1 + B(u)1 + B(uhm)
) 1r∗∣∣∣∣∣∣∣r∗
+
∫ t
0
∫Ω
∣∣∣∣∣∣∣a(b(uhm),∇(uDh + vhm))
(1 − min
(1,
1 + B(u)1 + B(uhm)
)) 1r∗∣∣∣∣∣∣∣r∗
.
Usando la condicion de crecimiento en a y la convergencia puntual de b(uhm) vemos que
la primera integral va a cero por el teorema de convergencia dominada por Lebesgue. La
segunda integral de la derecha es estimada por
∫ t
0
∫Ω
∣∣∣∇(uDh + vhm)
∣∣∣r 1 − min(1,
1 + B(u)1 + B(uhm)
) 1r∗
r∗
+
∫ t
0
∫Ω
max(0, (1 + B(uhm))1r∗ − (1 + B(u))
1r∗ )r∗
Los primeros terminos tienden a cero como antes, y la segunda integral es menos que∫ t
0
∫Ω
max(0, B(uhm) − B(u)) ≤∫ t
0
∫Ω
(B(uhm) − B(u)) + σ(1).
donde B(uhm)→ B(u) casi en todas partes.
Dado que el termino f puede manejarse de forma similar a la parte elıptica a, vamos a
juntar todo lo que es para casi todo t∫Ω
(B(uhm(t)) − B(u(t))) + c∫ t
0
∫Ω
|∇(uhm) − u|r ≤ C∫ t
0
∫Ω
B(uhm − B(u)) + σ(1).
Luego, un argumento de Gronwall aplicado a la funcion acotada no-negativa
Φ(t) := lım suph→0,m→∞
∫Ω
(B(uhm(t)) − B(u(t)))
dado para t < T
∇uhm → ∇u debelimente en Lr(]0, t[×Ω).
Por lo tantoa(b(uhm),∇uhm)→ a(b(u),∇u),
f (b(uhm))→ f (b(u))
casi en todas partes, por lo tanto, debilmente en Lr∗(]0, t[×Ω) lo que demuestra que u
es una solucion debil.
28
Lema
Si dos aplicaciones v1 y v2 en H1,r(Ω) satisface las estimaciones
||vi||H1,r(Ω) ≤ M, ||B(vi)||L1(Ω) ≤ M i = 1, 2
y ∫Ω
(b(v2) − b(v1))(v2 − v1) ≤ δ,
entonces ∫Ω
|b(v2) − b(v1)| ≤ ωM(δ)
con funciones continuas ωM satisfaciendo ωM(0) = 0.
Lema
Suponga que uε converge debilmente en Lr(0,T ; H1,r(Ω)) a u con el estimador
1h
∫ T−h
0
∫Ω
(b(uε(t + h)) − b(uε(t)))(uε(t + h) − uε(t))dt ≤ C
y ∫Ω
B(uε(t)) ≤ C para 0 < t < T
Entonces b(uε)→ b(u) en L1(]0,T [×Ω) y B(uε)→ B(u) casi en cualquier parte.
3.1.8. Generalizaciones
Todos los argumentos siguen siendo los mismos, si asumimos que los coeficientes
a, b, y f dependen sobre x. Tambien dependen del tiempo en la parte elıptica, que es, para
a y f , no hace diferencia, excepto que en 3.1.7 tenemos que usar aproximaciones ah y
fh que son por partes constantes en tiempo, y por ejemplo definimos como uDh en 3.1.7.
Si queremos dependencia en el tiempo de b necesitamos suposiciones apropiadas sobre
terminos adicionales en la prueba causada por la parte parabolica. Dos posibilidades ya
se dieron en 3.1.5 y 3.1.6, para los datos estos pueden ser transformados en
b(t, x, z) := b(z + uD(t, x)),
uD(t, x, z) := 0,
esto es, sobre valores homegeneos en la frontera, pero dependientes del tiempo b. No es
difıcil especificar supuestos, incluidos estos dos ejemplos ver[2].
29
3.2. Unicidad
Para la ecuacion singular podemos probar la unicidad de la solucion en la clase de
soluciones regulares, con lo que queremos decir soluciones u tal que δtb(u) es una fun-
cion(ver 3.2.2). Pero no podemos probarla regularidad de todas las soluciones debiles
incluso bajo condiciones regulares en los datos. La razon es que δtb(u) no es un termino
monotono, por lo tanto, el procedimiento habitual de diferenciar la ecuacion no conduce
a estimaciones a priori. Para obtener las estimaciones a priori. Para obtener estimaciones
a priori probamos la ecuacion debil con ∂t(u− uD) en vez. Por lo tanto obtenemos la exis-
tencia de al menos una solucion regular para el sistema del tipo variacional(ver 3.2.3). En
el caso espacial de una parte elıptica lineal puede probarse la unicidad en la clase de solu-
ciones debiles(ver 3.2.4). La unicidad resulta en 3.2.2 esta formulado como un Teorema
de Comparacion. Por lo tanto definimos lo siguiente.
3.2.1. Definicion
Llamamos u ∈ Lr(0,T ; H1,r(Ω)) a la subsolucion (supersolucion), si u ≤ (≥)uD sobre
]0,T [×Γ, y si 3,1,4 se cumple con = reemplazando por ≤ (≥) para toda funcion test ζ con
ζ(0) ≤ 0 en 3.1.4.1 y ζ ≥ 0 en 3.1.4.2.
Lema de Gronwall
Sean g(t) y v(t) dos funciones continuas en C([0,T ]). Sea h ∈ L1(0,T ) tal que h(t) ≥ 0,
c.t.p. t ∈ [0,T ] se tiene
v(t) ≤ g(t) +
∫ t
0h(τ)v(τ)dτ.
Entonces
v(t) ≤ g(t) +
∫ t
0h(τ)v(τ)eH(t)−H(τ)dτ = eH(t)
[g(0) +
∫ t
0g′(τ)e−H(τ)dτ
], t ∈ [0,T ]
con H(t) =∫ t
0h(τ)dτ, donde la segunda de esta desigualdad se cumple para funciones
g(t) diferenciables.(Vease [30]. pags.436-337).
30
Una consecuencia muy importante del lema anterior es que si v(t) ∈ C([0,T ]) con
v(t) ≥ 0 y se cumple que
v(t) ≤ c∫ t
0v(τ)dτ para t ∈ [0,T ],
entonces, v(t) ≡ 0. (Esto es inmediato haciendo g(t) = 0 y h(t) = c)(Ver [5]).
Se realizara la demostracion por el metodo de Galerkin.
3.2.2. Teorema de Comparacion
Suponga que los datos tienen la propiedad de la continuidad
|a(b(z2), p) − a(b(z1), p)| ≤ C · |z2 − z1|(r−1)/r · (1 + B(z1))(r−1)/r
+B(z2)(r−1)/r + |p|r−1,
f (z2) − f (z1) ≤ C(z2 − z1) para z2 > z1.
Si u−es una subsolucion y u+ una supersolucion tal que B(u±) y
∂t(b(u−) − b(u+))
estan en L1(]0,T [×Ω), entonces u− ≤ u+.
Prueba. Para pequenos δ > 0 sea
ψδ(z) := min(1,max
( zδ, 0
))y el conjunto ζ := ψδ(u− − u+) en el intervalo de tiempo ]0, t[ como funcion de prueba en
la desigualdad 3.2.4.2 para u− y u+. Entonces∫ t
0
∫Ω∂t(b(u−) − b(u+))ψδ(u− − u+) +
Cδ
∫ t
0
∫Ωχ(0<u−−u+<δ)|∇(u− − u+)|r
≤Cδ
∫ t
0
∫Ωχ(0<u−−u+<δ)|a(b(u−),∇u+) − a(b(u+),∇u+)|r
∗
+∫ t
0
∫Ωχ(0<u−−u+<δ)max(0, f (b(u−)) − f (b(u+)))
≤ C∫ t
0
∫Ωχ(0<u−−u+<δ)(1 + B(u−) + B(u+) + |∇u+|
r)
+C∫ t
0
∫Ω
max(b(u−) − b(u+), 0).
31
El primer termino del lado derecho tiende a cero cuando δ → 0, y el termino parabolico
en la izquierda converge a∫ t
0
∫Ωχ(0<u−−u+<δ)∂t(b(u−) − b(u+)) =
∫ t
0
∫Ω∂tmax(b(u−) − b(u+), 0)
=∫
Ωmax(b(u−) − b(u+), 0)
para la desigualdad en 3.4.1 para u− y u+. Entonces por el lema de Gronwall’s b(u−) ≤
b(u+), en particular b(u−) = b(u+) en el conjunto u− > u+. Si vamos con esta informa-
cion en el primer estimador arriba vemos que se cancela cada termino excepto el termino
elıptico en la izquierda. Ası obtenemos ∇(u−−u+) = 0 en 0 < u−−u+ < δ, en otras pala-
bras el max(0,min(u− − u+, δ))] = constante. Esto implica u− ≤ u+, donde esto es verdad
en ]0,T [×Γ. En el resto de esta seccion consideramos los sistemas. Primero, demostremos
la existencia de una solucion regular.
Teorema
Asuma 3.1.1 con r ≥ 2, y b es Lipschitz continua. Supongamos que existe una funcion
continua A de b(z) y p tal que ∇pA = a, y tal que ∇zA y ∇z f son medibles con
|∇zA(b(z), p)|2 + |∇z f (b(z))|2 + |A(b(z), 0)| = C(1 + B(z) + |p|r).
Ademas para la condicion inicial y de frontera asuma que uD ∈ H1,r(0,T ; H1,r(Ω)) y
b0 = b(u0) para algun u0 con u0 − uD(0) ∈ V. Entonces existe una solucion debil u con
∂tb(u) ∈ L2(]0,T [×Ω).
Teorema
Suponga 3.2.1 con r = 2 y
a(t, x, b(z), p) = A(t, x)p + e(b(z)),
donde A(t, x) es una matriz simetrica y medible en t y x tal que para algun α > 0
A − αI y A − αδtA
son definidas positivas. Ademas suponga que
|e(b(z2)) − e(b(z1))|2 + | f (b(z2)) − f (b(z1))|2 ≤ C(b(z2) − b(z1))(z2 − z1).
Entonces existe al menos una solucion debil.
32
Capıtulo 4
METODO DE VOLUMENES FINITOS
4.1. Introduccion
Lo que sigue fue obtenido de [10],[19].
El Metodo de volumenes finitos(FVM) tiene sus raıces en la dinamica de fluidos. El
primer ejemplo de uso de la FVM, al menos en un sentido formal, se remonta a los tra-
bajos de Harlow y Welch[16] en el Laboratorio Nacional de Los Alamos en 1965. Desa-
rrollaron el llamado metodo marcador y celda para analizar problemas de flujo de fluido
incompresible con superficies libres. Mas tarde, con una creciente conciencia de que la
conservacion de cantidades fısicas basicas como la masa, el momento y la energıa es el
corazon de la gran mayorıa de los procesos terrestres, la FVM se convirtio en el meto-
do de eleccion para el analisis de problemas relacionados con el flujo de fluidos y otros
fenomenos de transporte. A pesar que existen otros metodos famosos para la resolucion en
el analisis numerico tal como: el metodo de elementos finitos se ha utilizado tradicional-
mente para resolver problemas en mecanica solida, mientras que el metodo de diferencia
finitas y volumenes finitos se han usado tradicionalmente para resolver problemas de flujo
de fluidos y transferencia de calor.[21].
El metodo de diferencias finitas y los metodos de volumenes finitos tienen sus raıces
iniciales en la dinamica de fluidos computacional(CFD) y los fenomenos de transporte.
Es ası que el metodo de volumenes finitos deriva su nombre del hecho de que en este
metodo la ecuacion diferencial parcial(PDE) gobernante se satisface sobre volumenes de
33
control de tamano finito, en lugar de puntos como es en el caso de las diferencias fini-
tas. El primer paso en este metodo es dividir el dominio computacional en un conjunto
de volumenes de control conocidos como celdas. En general, estas celdas pueden ser de
forma y tamano arbitrarios, aunque, tradicionalmente, las celdas son polıgonos convexos
(en 2D) o poliedros (en 3D), es decir, estan delimitados por bordes rectos (en 2D) o super-
ficies planas (en 3D). Si la superficie delimitada es curva, se aproxima mediante bordes
rectos o caras planas. Estas superficies discretas de lımite son conocido como caras de la
celda o simplemente caras. Los vertices de las celdas, por otro lado, se llaman nodos, y
son de hecho, los mismos nodos que se utilizan en el metodo de diferencia finita. Toda
la informacion se almacena en los centroides geometricos de las celdas, conocidos como
centros celulares o centro de celda.
El metodo de volumen finito(FVM) se basa en la satisfaccion de la ley fısica sub-
yacente al PDE gobernante en el control de tamano del volumen finito, en lugar de la
precision matematica de la solucion de la propia PDE.
4.2. Aplicacion del metodo de volumenes finitos
Los metodos de volumenes finitos estan estrechamente relacionados con los metodos
de diferencias finitas, y el metodo de volumenes finitos con frecuencia es interpretado
directamente como una aproximacion de diferencias finitas de la ecuacion diferencial.
Sin embargo, como precisa R. LeVeque [19], los metodos de volumenes finitos provienen
inicialmente de la forma integral de la ley de conservacion.
4.3. Conceptos basicos
La siguiente definicion dada por los autores E. Godlewski y P. A. Raviart en [15] nos
proporciona la forma general de los sistemas de leyes de conservacion.
Definicion.- Sea ω un subconjunto de Rp y sean f j, 1 ≤ j ≤ d, d funciones regulares
de ω en Rp:
f j : ω→ Rp, 1 ≤ j ≤ d.
34
la forma general de un sistema de leyes de conservacion es
∂w∂t
+
d∑j=1
∂
∂x j
(f j(w)
)= 0, x = (x1, ..., xd) ∈ Rd, t > 0, (4.1)
donde w = (w1, ...,wp), el vector de las variables conservativas, es la funcion vectorial:
w : Rd × [0,∞) → Ω
(x1, ..., xd, t)→ (w1, ...,wp)
El conjunto Ω se llama conjunto de los estados y las funciones f j = ( f1 j, ..., fp j) fun-
ciones flujo ( fi j : Ω→ R).
Formalmente, el sistema (4,1) representa la conservacion de las cantidades w1, ...,wp.
Si consideramos un dominio arbitrario D ⊂ Rd e integramos (2,1) sobre D se tiene:
ddt
∫D
w(x, t)dx +
d∑j=1
∫∂D
f j(w).η jds = 0,
siendo ∂D la frontera de D y η = (η1, ..., ηd) el vector normal exterior unitario a ∂D. Por
lo tanto, la variacion de∫
Dw(x, t)dx con el tiempo es igual al flujo que entra a traves de
una frontera −∑d
j=1
∫∂D
f j(w) · η jds.
El metodo de volumenes finitos en una dimension espacial se basa en dividir el domi-
nio espacial en intervalos iguales, los volumenes finitos, tambien llamados celdas, buscan
en cada una de las celdas una aproximacion de la integral de la variable conservativa w.
En cada paso de tiempo actualizaremos estos valores utilizando aproximaciones del flujo
a traves de las fronteras de los volumenes finitos.[10].
El dominio espacial [a, b] se discretiza tomando una malla arbitraria CMx, donde xi :
i = 1, ...,M es el conjunto de los nodos de CMx, siendo M x la norma de la malla CMx:
M x = supxi∈CMx
|xi − xi−1|.
Ci es la celda o el volumen finito se define como:
Ci = (xi− 12, xi+ 1
2) =
(xi −
xi − xi−1
2, xi −
xi+1 − xi
2
),
35
por lo tanto su area longitud es Ai =xi+1 − xi−1
2.
Por simplicidad consideramos Ai = ∆x, i = 1, · · · ,M.
Por tanto, el valor buscado wni aproximara el valor medio de w sobre la celda Ci en el
instante tn:
wni ≈
1Ai
∫ xi+12
xi−12
w(x, tn)dx =1Ai
∫Ci
w(x, tn)dx. (4.2)
Si w es una funcion regular, entonces la integral en (4.2) coincide con el valor de w en
el nodo de la celda.
Se debe garantizar que el metodo numerico sea conservativo en el sentido de que imite
a la solucion exacta.
La integral de la ley de conservacion wt + f (w)x = 0, en cada celda Ci, esta dada por
ddt
∫Ci
w(x, t)dx = f (w(xi− 12, t)) − f (w(xi+ 1
2, t)). (4.3)
Ası, se puede emplear esta expresion para desarrollar un algoritmo explıcito en la
evolucion temporal: Es decir dadas wni , las aproximaciones promedios en las celdas en el
tiempo tn, queremos aproximar wn+1i , los valores promedios en las celdas en el siguiente
tiempo tn+1 despues de un paso de tiempo de longitud 4t = tn+1 − tn.
Es ası que integrando (4.3) en el tiempo entre t = tn y t = tn+1 obtenemos∫Ci
w(x, tn+1)dx −∫
Ci
w(x, tn)dx =
∫ tn+1
tnf (w(xi− 1
2, t))dt +
∫ tn+1
tnf (w(xi+ 1
2, t))dt.
Ası re ordenando terminos y dividiendo por 4x se tiene
14x
∫Ci
w(x, tn+1)dx =14x
∫Ci
w(x, tn)dx−14x
[∫ tn+1
tnf (w(xi+ 1
2, t))dt −
∫ tn+1
tnf (w(xi− 1
2, t))dt.
](4.4)
En la expresion anterior nos explica como en la celda de w debe ser actualizado exac-
tamente desde (4.2) en un paso de tiempo.
No podemos evaluar exactamente las integrales en el tiempo del segundo miembro
de (4.4) , ya que w(xi± 12, t) varıa con el tiempo a lo largo de cada celda, y no se tiene la
solucion exacta con la que trabajar, es ası que debemos estudiar metodos numericos de la
36
forma
wn+1i = wn
i −4t4x
(f ni+ 1
2− f n
i− 12
), (4.5)
de donde f ni+ 1
2es una aproximacion del valor medio del flujo en el plano xt a lo largo
de la recta x = xi+ 12, con t variando entre tn y tn+1.
f ni+ 1
2≈4t4x
∫ tn+1
tnf (w(xi+ 1
2, t))dt. (4.6)
Al aproximar este valor promedio del flujo empleando los valores de wn, entonces te-
nemos una distretizacion total de la ley de conservacion.
37
Capıtulo 5
DISCRETIZACION DE LA
ECUACION DE RICHARDS
La ecuacion de Richards no tiene solucion general analıtica, por lo que es necesa-
rio usar aproximaciones numericas. En esta seccion se desarrolla la discretizacion de la
ecuacion de Richards en forma mixta usando el metodo de volumenes finitos, como la
direccion predominante del flujo de agua en la zona vadosa es vertical ya que se esta in-
filtrando, ası la ecuacion unidimensional es:
∂θ
∂t=∂
∂z
(K
(∂Ψ
∂z+ z
))= 5[K 5 (Ψ + z)] (5.1)
5.1. Descripcion matematica del metodo de volumenes fi-
nitos
El desarrollo de un algoritmo de volumenes finitos para resolver un problema definido
mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general de los
siguientes pasos:
1. El problema debe reformularse en forma variacional.
2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para pro-
blemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una particion en subdo-
minios, llamados celdas o volumenes finitos. Asociada a la particion anterior se
construye un espacio vectorial de dimension finita, llamado espacio de volumenes
finitos.
38
3. Se plantea los dos tipos de esquemas a resolver luego de haber dizcretizado la ecua-
cion de Richard para la forma mixta unidimensional: el esquema explıcito y el es-
quema implıcito. El esquema explıcito e implıcito son aproximaciones utilizadas en
analisis numerico para obtener el tiempo - soluciones dependientes de ecuaciones
diferenciales ordinarias y parcial. El esquema explıcito calcula el estado del siste-
ma en un momento posterior al estado actual del sistema, mientras que el esquema
implıcito son las soluciones de la ecuacion en ambos estados del sistema actual y
posterior.
4. Esto da lugar a un sistema con un numero finito de ecuaciones, aunque en general
con un numero elevado de incognitas.El numero de incognitas sera igual a la di-
mension del espacio vectorial de volumenes finitos obtenido y, en general, cuanto
mayor sea dicha dimension mejor sera la aproximacion numerica obtenida.
5. El ultimo paso es el calculo numerico de la solucion del sistema de ecuaciones.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de calculo diferencial en un pro-
blema de algebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vecto-
rial de dimension no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una
proyeccion sobre un subespacio de dimension finita, y por tanto con un numero finito
de ecuaciones (aunque en general el numero de ecuaciones sera elevado tıpicamente de
miles o incluso centenares de miles). La discretizacion en volumenes finitos ayuda a cons-
truir un algoritmo sencillo, logrando ademas que la solucion por el metodo de volumenes
finitos sea generalmente muy exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coin-
ciden usualmente con los vertices de los volumenes finitos. Para la resolucion concreta
del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los metodos con-
vencionales del algebra lineal en espacios de dimension finita aunque se obtiene mejores
resultados con metodos iterativos.
Discretizacion del dominio
Sea r ∈ R. Dado un dominio Ω ⊂ Rr con una frontera continua en el sentido de Lips-
chitz una particion de Ω en ”n volumenes f initos”, es una coleccion de n subdominios
Tk |k = 1, 2, ..., n que satisface:
39
1. Ω =⋃n
k=1 Tk
2. Tk un conjunto compacto con frontera de Lipschitz continua
3. int(Tk) ∩ int(T j) = ∅ para k , j.
Por sencillez del analisis, todos los ”volumenes finitos”tienen la misma forma, es de-
cir su dominio de referencia son rectas subdivididas por igual longitud. Ademas, sobre
cada elemento de la celda se consideraran algunos puntos especiales, llamados nodos y
que generalmente incluiran los vertices del volumen finito(celda) y adicional se requerira
la condicion de que elementos adyacentes comparten los nodos o aristas.
5.2. Esquemas de discretizacion numerica
Para discretizar la ecuacion de Richards se va a realizar en dos esquemas: Esquema
explıcito y el esquema implıcito. La principal diferencia entre los dos esquemas es que
cuando se utilizan esquemas de discretizacion implıcita, la variable que se debe calcular
depende de sı misma, mientras que los esquemas explıcitos dependen de variables que
son independientes de la variable que se va a calcular.
Como se puede ver en la Figura 5.1 para el esquema explıcito utiliza solo los valores en
los pasos espaciales x − 1, x y x + 1 en el paso temporal anterior, t − 1, para encontrar el
valor de la funcion en el paso espacial y temporal actual , (x, t). El calculo de los pasos
actuales es por lo tanto basado unicamente en valores conocidos ya calculados en el paso
anterior. Sin embargo, en el esquema implıcito, los valores espaciales en el paso temporal
actual tambien se tienen en cuenta. Por lo tanto , la funcion en (x, t) depende de (x − 1, t),
y (x + 1, t) ademas de los valores en el paso temporal anterior. La funcion que se va a
calcular en el esquema implıcito depende, por lo tanto , de sı misma y de otras variables
desconocidas, lo que muestra claramente su diferencia entre los dos esquemas.
Discretizacion espacial y temporal de la ecuacion de Richards unidi-
mensional
Ası la ecuacion unidimensional de flujo cuando es vertical el modelo es el siguiente:
40
Figura 5.1: Esquemas de discretizacion: Explıcito y Implıcito
∂θ(Ψ)∂t−∂
∂z
(K(Ψ)
∂Ψ
∂z
)−∂K(Ψ)∂z
= 0 sobre [−L, 0] × [0,T ]
Ψ(z, 0) = Ψ0
Ψ(L, t) = aL
Ψ(0, t) = a0
(A)
Discretizacion en el tiempo
Para resolver el problema primero discretizamos la variable temporal para lo cual
fijamos Mt que es el numero de divisiones temporales y definimos ht = TNt
con lo cual
se tiene que tk = k · ht, k = 0, 1, 2, . . . ,Nt, luego la discretizacion temporal es t0 =
0, t1, t2, · · · , tNt = T . Ası la discretizacion en el tiempo se muestra en el siguiente grafico
5.2.1. Esquema Explıcito
Usando esta malla temporal en (A) hacemos una aproximacion mediante diferencias
finitas centrales la derivada temporal∂θ
∂t
41
Figura 5.2: Discretizacion en la variable temporal
∂θk
∂t=θk+1 − θk
ht
donde θk = θ(tk, z).
Ası, nuestro problema discreto en la variable temporal nos queda
θk+1 − θk
ht−∂
∂z
(Kk∂Ψk
∂z
)−∂Kk
∂z= 0
y multiplicando por ht ambos lados de la ecuacion anterior y reordenando los terminos se
tiene que se tiene que
θk+1 = θk + ht∂
∂z
(Kk∂Ψk
∂z
)+ ht
∂Kk
∂z.
Integramos de zi− 12
a zi− 12
en la ecuacion anterior
∫ zi+ 12
zi− 12θk+1 =
∫ zi+ 12
zi− 12θk +
∫ zi+ 12
zi− 12
ht∂
∂z
(Kk∂Ψk
∂z
)+
∫ zi+ 12
zi− 12
ht∂Kk
∂z
dividiendo por hz ambos lados de la ecuacion anterior
1hz
∫ zi+ 12
zi− 12θk+1 =
1hz
∫ zi+ 12
zi− 12θk +
ht
hz
∫ zi+ 12
zi− 12
∂
∂z
(Kk∂Ψk
∂z
)+
ht
hz
∫ zi+ 12
zi− 12
∂Kk
∂z
luego, aplicando el teorema fundamental del calculo y el teorema de la divergencia de
Gauss
θk+1i = θk
i +ht
hz
[Kk∂Ψk
∂z
]i+ 12
i− 12
+ht
hz
[Kk
]i+ 12
i− 12
θk+1i = θk
i +ht
hz
Kki+ 1
2
∂Ψki+ 1
2
∂z− Kk
i− 12
∂Ψki− 1
2
∂z
+ht
hz
[Kk
i+ 12− Kk
i− 12
]
Los terminos∂Ψk
i+ 12
∂zy∂Ψk
i− 12
∂zaproximamos por diferencias centrales.
∂Ψki+ 1
2
∂z=
Ψi+1 − Ψi
hz∂Ψk
i− 12
∂z=
Ψi − Ψi−1
hz
42
θk+1i = θk
i +ht
hz
[Kk
i+ 12
Ψi+1 − Ψi
hz− Kk
i− 12
Ψi − Ψi−1
hz
]+
ht
hz
[Kk
i+ 12− Kk
i− 12
]
θk+1i = θk
i +ht
h2z
[Kk
i+ 12Ψi+1
]−
ht
h2z
[Kk
i+ 12Ψi
]−
ht
h2z
[Kk
i− 12Ψi
]+
ht
h2z
[Kk
i− 12Ψi−1
]+
ht
hz
[Kk
i+ 12
]−
ht
hz
[Kk
i− 12
]
θk+1i = θk
i +ht
h2z
[Kk
i+ 12Ψi+1 −
(Kk
i+ 12− Kk
i− 12
)Ψi + Kk
i− 12Ψi−1
]+
ht
hz
[Kk
i+ 12− Kk
i− 12
]Condiciones de frontera
i=1
θk+11 = θk
1 +ht
h2z
[Kk
1+ 12Ψ2 −
(Kk
1+ 12− Kk
1− 12
)Ψi + Kk
1− 12aL
]+
ht
hz
[Kk
1+ 12− Kk
1− 12
]i=N-1
θk+1N−1 = θk
N−1 +ht
h2z
[Kk
(N−1)+ 12a0 −
(Kk
(N−1)+ 12− Kk
(N−1)− 12
)ΨN−1 + Kk
(N−1)− 12ΨN−2
]+
ht
hz
[Kk
(N−1)+ 12− Kk
(N−1)− 12
]Estimacion de la funcion no lineal K
Al aplicar volumenes finitos provoca aproximar el problema en en el punto i± 1/2 del
espacio denominado como ponderacion necesario para la determinacion de los valores de
conductividad hidraulica Ki± 12.
A continuacion se ponen diferentes formulas de ponderacion para estimar cantidades entre
celdas a partir del punto de malla disponible[17]:
Media Aritmetica
Kki± 1
2=
Kki + Kk
i±1
2
Media Geometrica
Kki± 1
2=
√Kk
i Kki±1
Media Armonica
43
Kki± 1
2=
11
Kki
+1
Kki±1
Algoritmo computacional
e, Tol, Ψ0, M, N, L, T, a0, aL
hz = −L/N
ht = T/M
For k=2:M
θk+11 = θk
1 +ht
h2z
[Kk
1+ 12Ψ2 −
(Kk
1+ 12− Kk
1− 12
)Ψ1 + Kk
1− 12aL
]+
ht
hz
[Kk
1+ 12− Kk
1− 12
]
For i=2:N-1
θk+1i = θk
i +ht
h2z
[Kk
i+ 12Ψi+1 −
(Kk
i+ 12− Kk
i− 12
)Ψi + Kk
i− 12Ψi−1
]+
ht
hz
[Kk
i+ 12− Kk
i− 12
]Fin For (i)
θk+1N−1 = θk
N−1 +ht
h2z
[Kk
(N−1)+ 12a0 −
(Kk
(N−1)+ 12− Kk
(N−1)− 12
)ΨN−1 + Kk
(N−1)− 12ΨN−2
]+
ht
hz
[Kk
(N−1)+ 12− Kk
(N−1)− 12
](5.2)
5.2.2. Esquema Implıcito basado en la cabezal de presion
∂θ(Ψ)∂t−∂
∂z
(K(Ψ)
∂Ψ
∂z
)−∂K(Ψ)∂z
= 0 sobre [−L, 0] × [0,T ]
Ψ(z, 0) = Ψ0
Ψ(L, t) = aL
Ψ(0, t) = a0
Distretizacion en el tiempo(k)
ht = T/M
tk = Kht
Notacion
θ(Ψ(z, tk)) = θk Ψ(z, tk) = Ψk Kk = K(Ψ(z, tk))
44
Figura 5.3: Discretizacion en la variable temporal
θk+1 − θk
ht−∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)−∂Kk+1
∂z= 0
Multiplicando por ht ambos lados de la ecuacion anterior
θk+1 − ht∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)− ht
∂Kk+1
∂z= θk
Hallar Ψk+1 tal que
θk+1 − ht∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)− ht
∂Kk+1
∂z= θk sobre [−L, 0]
Ψk+1(L) = aL
Ψk+1(0) = a0
la no linealidad lo trataremos con Picard modificado
Con esto nuestro problema se reduce a la resolucion de ecuaciones no lineales.
Para ello aplicamos el metodo iterativo de Picard modificado para linealizar el problema.
Distretizacion para las no linealidades (n)
θn+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)− ht
∂Knk+1
∂z= θk (5.3)
Aproximacion de Taylor para θn+1k+1
θ(Ψn+1k+1) = θ(Ψn
k+1) + θ′
(Ψnk+1)(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1)
Donde θ′
(Ψnk+1) =
∂θ(Ψn+1k+1)
∂Ψ= C(Ψn
k+1) = Cnk+1
θn+1k+1 = θn
k+1 + Cnk+1(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1) (5.4)
Reemplazando (5,4) en (5,3)
45
Cnk+1(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1) − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)− ht
∂Knk+1
∂z= θk − θ
nk+1 (5.5)
Ordenando los terminos de la ecuacion anterior
Cnk+1Ψ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 + ht
∂Knk+1
∂z+ Cn
k+1Ψnk+1
Hallar Ψn+1k+1 tal que
Cnk+1Ψ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 + ht
∂Knk+1
∂z+ Cn
k+1Ψnk+1
Ψn+1k+1(L) = aL
Ψn+1k+1(0) = a0
(5.6)
Discretizacion espacial (i)
Cnk+1Ψ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 + ht
∂Knk+1
∂z+ Cn
k+1Ψnk+1 (5.7)
Discretizamos en la variable espacial para lo cual fijamos N y definimos hz = −LN luego,
zi = z0 + i · hz de donde la malla tipo volumenes finitos queda descrita por el conjunto de
nodos N = zi |i = 0, 1, 2, · · · ,N − 1 = z0 = −L, z1, z2, · · · , zN = 0 · · ·
Figura 5.4: Discretizacion en la variable espacial
Integrando sobre el volumen de control entre zi− 12
y zi+ 12
en (5,7)
∫ zi− 12
zi+ 12
Cnk+1Ψ
n+1k+1 −
∫ zi− 12
zi+ 12
ht∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)=
∫ zi− 12
zi+ 12θk −
∫ zi− 12
zi+ 12θn
k+1 +∫ zi− 1
2zi+ 1
2ht∂Kn
k+1
∂z
+∫ zi− 1
2zi+ 1
2Cn
k+1Ψnk+1
(5.8)
Aplicando el teorema fundamental del calculo y el teorema de la divergencia en (5.8) se
tiene que
46
Cnk+1(zi)Ψn+1
k+1(zi)hz − ht
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)zi+ 12
zi− 12
= θk(zi)hz − θnk+1(zi)hz + ht
(Kn
k+1
)zi+ 12
zi− 12
+Cnk+1(zi)Ψn
k+1(zi)hz
Notacion
Cnk+1(zi) = Cn,i
k+1, Ψn+1k+1(zi) = Ψn+1,i
k+1 , Knk+1(zi± 1
2) = Kn,i± 1
2k+1 , θk(zi) = θi
k, Ψnk+1(zi± 1
2) = Ψ
n,i± 12
k+1
Cn,ik+1Ψ
n+1,ik+1 hz − ht
Kn,i+ 12
k+1
∂Ψn+1,i+ 1
2k+1
∂z− Kn,i− 1
2k+1
∂ξn+1,i− 1
2k+1
∂z
= θikhz − θ
n,ik+1hz
+ht
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ Cn,i
k+1Ψn,ik+1hz
Aplicando diferencias finitas centrales a la ecuacion anterior
Cn,ik+1Ψ
n+1,ik+1 h2
z − ht
[Kn,i+ 1
2k+1
(Ψn+1,i+1
k+1 − Ψn+1,ik+1
)− Kn,i− 1
2k+1
(Ψn+1,i
k+1 − Ψn+1,i−1k+1
)]= θi
kh2z − θ
n,ik+1h2
z
+hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ Cn,i
k+1Ψn,ik+1h2
z
Reordenando los terminos en la ecuacion anterior se tiene que
−htKn,i− 1
2k+1 Ψn+1,i−1
k+1 +
[Cn,i
k+1h2z + ht
(Kn,i+ 1
2k+1 + Kn,i− 1
2k+1
)]Ψn+1,i
k+1 − htKn,i+ 1
2k+1 Ψn+1,i+1
k+1 = θikh
2z − θ
n,ik+1h2
z
+hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ Cn,i
k+1Ψn,ik+1h2
z
Condiciones de frontera
i=1
[Cn,1
k+1h2z + ht
(Kn,1+ 1
2k+1 + Kn,1− 1
2k+1
)]Ψn+1,1
k+1 − htKn,1+ 1
2k+1 Ψn+1,2
k+1 = θ1kh2
z − θn,1k+1h2
z
+hthz
(Kn,1+ 1
2k+1 − Kn,1− 1
2k+1
)+ htK
n,1− 12
k+1 aL
i=N-1
−htKn,(N−1)− 1
2k+1 Ψn+1,N−2
k+1 +
[Cn,N−1
k+1 h2z + ht
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 + Kn,(N−1)− 1
2k+1
)]Ψn+1,N−1
k+1 = θN−1k h2
z − θn,N−1k+1 h2
z
+hthz
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 − Kn,(N−1)− 1
2k+1
)+ htK
n,1+ 12
k+1 a0
Para evaluar Kn,(i± 12 )
k+1 se puede utilizar cualquiera de las siguientes formas:
Media Aritmetica
Kn,i± 12
k+1 =Kn,i
k+1 + Kn,i±1k+1
2
47
Media Geometrica
Kn,i± 12
k+1 =
√Kn,i
k+1Kn,i±1k+1
Media Armonica
Kn,i± 12
k+1 =1
1Kn,i
k+1
+1
Kn,i±1k+1
Algoritmo computacional
Datos de entrada
e, Tol, Ψ0, M, N, L, T, a0, aL
hz = −L/N
ht = T/M
S ol = zeros(N − 1,M)
S k = Ψ0ones(1,N − 1)
48
For k = 1 : M
S k1n = S k
n = 0
Repeat
A = zeros(N − 1,N − 1)
B = zeros(N − 1, 1)
A(1, 1) =
[Cn,1
k+1h2z + ht
(Kn,1+ 1
2k+1 + Kn,1− 1
2k+1
)]A(1, 2) = −htK
n,1+ 12
k+1
B(1) = θ1kh2
z − θn,1k+1h2
z + hthz
(Kn,1+ 1
2k+1 − Kn,1− 1
2k+1
)+ htK
n,1+ 12
k+1 aL
For i=2:N-2
A(i, i − 1) = −htKn,i− 1
2k+1
A(i, i) =
[Cn,i
k+1h2z + ht
(Kn,i+ 1
2k+1 + Kn,i− 1
2k+1
)]A(i, i + 1) = −htK
n,i+ 12
k+1
B(i) = θikh
2z − θ
n,ik+1h2
z + hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ Cn,i
k+1Ψn,ik+1h2
z
Fin For (i).
A(N − 1,N − 2) = −htKn,(N−1)− 1
2k+1
A(N − 1,N − 1) =
[Cn,N−1
k+1 h2z + ht
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 + Kn,(N−1)− 1
2k+1
)]B(N − 1) = θN−1
k h2z − θ
n,N−1k+1 h2
z + hthz
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 − Kn,(N−1)− 1
2k+1
)+ htK
n,1+ 12
k+1 a0
U = inv(A) ∗ B
n = n + 1
Until (||Ψn+1k+1 − U′|| ≤ e) o (n > Tol)
S k1n = U′
S k = S k1n
S ol(:, k) = S k
Fin For (k).
Y = [aL, S k, a0]
X = L : hz : 0
plot(Y, X)49
5.2.3. Esquema Implıcito
∂θ(Ψ)∂t−∂
∂z
(K(Ψ)
∂Ψ
∂z
)−∂K(Ψ)∂z
= 0 sobre [−L, 0] × [0,T ]
Ψ(z, 0) = Ψ0
Ψ(L, t) = aL
Ψ(0, t) = a0
Distretizacion en el tiempo(k)
ht = T/M
tk = Kht
Notacion
θ(Ψ(z, tk)) = θk Ψ(z, tk) = Ψk Kk = K(Ψ(z, tk))
Figura 5.5: Discretizacion en la variable temporal
θk+1 − θk
ht−∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)−∂Kk+1
∂z= 0
Multiplicando por ht ambos lados de la ecuacion anterior
θk+1 − ht∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)− ht
∂Kk+1
∂z= θk
Hallar Ψk+1 tal que
θk+1 − ht∂
∂z
(Kk+1
∂Ψk+1
∂z
)− ht
∂Kk+1
∂z= θk sobre [−L, 0]
Ψk+1(L) = aL
Ψk+1(0) = a0
50
la no linealidad lo trataremos con Picard modificado
Con esto nuestro problema se reduce a la resolucion de ecuaciones no lineales.
Para ello aplicamos el metodo iterativo de Picard modificado para linealizar el problema.
Distretizacion para las no linealidades (n)
θn+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)− ht
∂Knk+1
∂z= θk (5.9)
Aproximacion de Taylor para θn+1k+1
θ(Ψn+1k+1) = θ(Ψn
k+1) + θ′
(Ψnk+1)(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1)
Donde θ′
(Ψnk+1) =
∂θ(Ψn+1k+1)
∂Ψ= C(Ψn
k+1) = Cnk+1
θn+1k+1 = θn
k+1 + Cnk+1(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1) (5.10)
Reemplazando (5,10) en (5,9)
Cnk+1(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1) − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψn+1k+1
∂z
)− ht
∂Knk+1
∂z= θk − θ
nk+1 (5.11)
Sumando ht∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)ambos lados en (5,11)
Cnk+1(Ψn+1
k+1−Ψnk+1)−ht
∂
∂z
(Kn
k+1∂
∂z
(Ψn+1
k+1 − Ψnk+1
))= θk−θ
nk+1−ht
∂Knk+1
∂z+ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)Sea ξn+1
k+1 = Ψn+1k+1 − Ψn
k+1.
Cnk+1ξ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 − ht
∂Knk+1
∂z+ ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)
Hallar ξn+1k+1 tal que
Cnk+1ξ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 − ht
∂Knk+1
∂z+ ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)ξn+1
k+1(L) = 0
ξn+1k+1(0) = 0
Ψn+1k+1 = Ψn
k+1 + ξn+1k+1 .
Esquema del algoritmo
51
e, Tol, Ψ0, M, N, L, T
hz = L/N
ht = T/M
For k = 0, 1, 2, · · · (M − 1)
n = 0
Ψ0k+1 ← Ψk
Repeat
Hallar ξn+1k+1 tal que
Cnk+1ξ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 − ht
∂Knk+1
∂z+ ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)ξn+1
k+1(L) = 0
ξn+1k+1(0) = 0
Ψn+1k+1 = Ψn
k+1 + ξn+1k+1
n = n + 1
Until (||ξn+1k+1 || ≤ e) o (n > Tol)
Ψk+1 ← Ψnk+1
Fin For.
Discretizacion espacial (i)
Cnk+1ξ
n+1k+1 − ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)= θk − θ
nk+1 + ht
∂Knk+1
∂z+ ht
∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)(5.12)
Discretizamos en la variable espacial para lo cual fijamos N y definimos hz = −LN luego,
zi = z0 + i · hz de donde la malla tipo volumenes finitos queda descrita por el conjunto de
nodos N = zi |i = 0, 1, 2, · · · ,N − 1 = z0 = −L, z1, z2, · · · , zN = 0 · · ·
Integrando sobre el volumen de control entre zi− 12
y zi+ 12
en (5,12)
∫ zi− 12
zi+ 12
Cnk+1ξ
n+1k+1 −
∫ zi− 12
zi+ 12
ht∂
∂z
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)=
∫ zi− 12
zi+ 12θk −
∫ zi− 12
zi+ 12θn
k+1 +∫ zi− 1
2zi+ 1
2ht∂Kn
k+1
∂z
+∫ zi− 1
2zi+ 1
2ht∂
∂z
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
) (5.13)
52
Figura 5.6: Discretizacion en la variable espacial
Aplicando el teorema fundamental del calculo y el teorema de la divergencia en (5.13) se
tiene que
Cnk+1(zi)ξn+1
k+1(zi)hz − ht
(Kn
k+1
∂ξn+1k+1
∂z
)zi+ 12
zi− 12
= θk(zi)hz − θnk+1(zi)hz + ht
(Kn
k+1
)zi+ 12
zi− 12
+ht
(Kn
k+1
∂Ψnk+1
∂z
)zi+ 12
zi− 12
Notacion
Cnk+1(zi) = Cn,i
k+1, ξn+1k+1(zi) = ξn+1,i
k+1 , Knk+1(zi± 1
2) = Kn,i± 1
2k+1 , θk(zi) = θi
k, Ψnk+1(zi± 1
2) = Ψ
n,i± 12
k+1
Cn,ik+1ξ
n+1,ik+1 hz − ht
Kn,i+ 12
k+1
∂ξn+1,i+ 1
2k+1
∂z− Kn,i− 1
2k+1
∂ξn+1,i− 1
2k+1
∂z
= θikhz − θ
n,ik+1hz
+ht
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ ht
Kn,i+ 12
k+1
∂Ψn,i+ 1
2k+1
∂z− K
n,Kn,i− 1
2k+1
k+1
∂Ψn,i− 1
2k+1
∂z
Aplicando diferencias finitas centrales a la ecuacion anterior
Cn,ik+1ξ
n+1,ik+1 h2
z − ht
[Kn,i+ 1
2k+1
(ξn+1,i+1
k+1 − ξn+1,ik+1
)− Kn,i− 1
2k+1
(ξn+1,i
k+1 − ξn+1,i−1k+1
)]= θi
kh2z − θ
n,ik+1h2
z
+hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ ht
[Kn,i+ 1
2k+1
(Ψn,i+1
k+1 − Ψn,ik+1
)− Kn,i− 1
2k+1
(Ψn,i
k+1 − Ψn,i−1k+1
)]Reordenando los terminos en la ecuacion anterior se tiene que
−htKn,i− 1
2k+1 ξn+1,i−1
k+1 +
[Cn,i
k+1h2z + ht
(Kn,i+ 1
2k+1 + Kn,i− 1
2k+1
)]ξn+1,i
k+1 − htKn,i+ 1
2k+1 ξn+1,i+1
k+1 = θikh
2z − θ
n,ik+1h2
z
+hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ ht
[Kn,i+ 1
2k+1
(Ψn,i+1
k+1 − Ψn,ik+1
)− Kn,i− 1
2k+1
(Ψn,i
k+1 − Ψn,i−1k+1
)]Condiciones de frontera
i=1
[Cn,1
k+1h2z + ht
(Kn,1+ 1
2k+1 + Kn,1− 1
2k+1
)]ξn+1,1
k+1 − htKn,1+ 1
2k+1 ξn+1,2
k+1 = θ1kh2
z − θn,1k+1h2
z
+hthz
(Kn,1+ 1
2k+1 − Kn,1− 1
2k+1
)+ ht
[Kn,1+ 1
2k+1
(Ψn,2
k+1 − Ψn,1k+1
)− Kn,1− 1
2k+1
(Ψn,1
k+1 − aL
)]53
i=N-1
−htKn,(N−1)− 1
2k+1 ξn+1,N−2
k+1 +
[Cn,N−1
k+1 h2z + ht
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 + Kn,(N−1)− 1
2k+1
)]ξn+1,N−1
k+1 = θN−1k h2
z − θn,N−1k+1 h2
z
+hthz
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 − Kn,(N−1)− 1
2k+1
)+ ht
[Kn,(N−1)+ 1
2k+1
(a0 − Ψn,N−1
k+1
)− Kn,(N−1)− 1
2k+1
(Ψn,N−1
k+1 − Ψn,N−2k+1
)]Para evaluar Kn,(i± 1
2 )k+1 se puede utilizar cualquiera de las siguientes formas:
Media Aritmetica
Kn,i± 12
k+1 =Kn,i
k+1 + Kn,i±1k+1
2
Media Geometrica
Kn,i± 12
k+1 =
√Kn,i
k+1Kn,i±1k+1
Media Armonica
Kn,i± 12
k+1 =1
1Kn,i
k+1
+1
Kn,i±1k+1
Algoritmo computacional
e, Tol, Ψ0, M, N, L, T, a0, aL
hz = −L/N
ht = T/M
S ol = zeros(N − 1,M)
S k = Ψ0ones(1,N − 1)
54
For k = 1 : M
S k1n = S k
n = 0
Repeat
A = zeros(N − 1,N − 1), B = zeros(N − 1, 1)
A(1, 1) =
[Cn,1
k+1h2z + ht
(Kn,1+ 1
2k+1 + Kn,1− 1
2k+1
)]A(1, 2) = −htK
n,1+ 12
k+1
B(1) = θ1kh2
z − θn,1k+1h2
z + hthz
(Kn,1+ 1
2k+1 − Kn,1− 1
2k+1
)+ht
[Kn,1+ 1
2k+1
(Ψn,2
k+1 − Ψn,1k+1
)− Kn,1− 1
2k+1
(Ψn,1
k+1 − aL
)]
For i=2:N-2
A(i, i − 1) = −htKn,i− 1
2k+1
A(i, i) =
[Cn,i
k+1h2z + ht
(Kn,i+ 1
2k+1 + Kn,i− 1
2k+1
)]A(i, i + 1) = −htK
n,i+ 12
k+1
B(i) = θikh
2z − θ
n,ik+1h2
z + hthz
(Kn,i+ 1
2k+1 − Kn,i− 1
2k+1
)+ht
[Kn,i+ 1
2k+1
(Ψn,i+1
k+1 − Ψn,ik+1
)− Kn,i− 1
2k+1
(Ψn,i
k+1 − Ψn,i−1k+1
)]Fin For (i).
A(N − 1,N − 2) = −htKn,(N−1)− 1
2k+1
A(N − 1,N − 1) =
[Cn,N−1
k+1 h2z + ht
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 + Kn,(N−1)− 1
2k+1
)]B(N − 1) = θN−1
k h2z − θ
n,N−1k+1 h2
z + hthz
(Kn,(N−1)+ 1
2k+1 − Kn,(N−1)− 1
2k+1
)+ht
[Kn,(N−1)+ 1
2k+1
(a0 − Ψn,N−1
k+1
)− Kn,(N−1)− 1
2k+1
(Ψn,N−1
k+1 − Ψn,N−2k+1
)]U = inv(A) ∗ B
S k1n = S k1n + U′, n = n + 1
Until (||ξn+1k+1 || ≤ e) o (n > Tol)
S k = S k1n, S ol(:, k) = S k
Fin For (k).
Y = [aL, S k, a0], X = L : hz : 0
plot(Y, X)
55
Capıtulo 6
PROGRAMA COMPUTACIONAL Y
RESULTADOS NUMERICOS
RESUMEN
En este capıtulo implementamos el programa computacional que nos permite encon-
trar la solucion de la ecuacion de Richards para suelos no saturados. Vamos a tomar un
ejemplo particular de la ecuacion de Richards, se tomara el paper de Celia [9] como una
solucion exacta para la comparacion y validacion del programa computacional para los
esquemas explıcito e implıcito de los modelos numericos descritos en capıtulo anterior.
El programa fue hecho en Matlab version 2014b con un procesador Intel(R) Core(TM)
i7-4790 CPU @ 3.60GHz. Este programa consta de dos modulos: 1) Soluciones numeri-
cas y 2) Soluciones graficas.
6.1. Validacion del algoritmo numerico
En las figuras 6.1 y 6.2 presentamos el contenido del archivo error exact-numer.xlsx
el cual fue el resultado de ejecutar el programa computacional ValidacionRichards.m que
resuelve el problema estudiado en este trabajo. Se presenta las soluciones aproximadas
y exactas en los nodos de la malla para lo cual se ha usado un problema cuya solucion
se conoce. Para obtener la solucion aproximada hemos elegido las siguientes funciones:
la cabeza hidraulica como Ψ(z, t) = z(z + 2)(t − 2), la conductividad hidraulica como
K(Ψ) = e−Ψ2, contenido de agua volumetrico θ = Ψ2. Ademas L = −2m, N = 50, T = 1h
56
,M = 150, Ψ(z, t) = g(z), donde g(z) = −2z(z + 2), Tol=100, error=0.001 y
f (z, t) = 2z2(z + 2)2(t − 2) + 2z(z + 2)(t − 2)2e−(z(z+2)(t−2))22(z + 1) − e−(z(z+2)(t−2))2
2(t − 2).
La solucion exacta es Ψ(z, t) = z(z + 2)(t − 2).
Figura 6.1: Solucion aproximada de Ψ
Figura 6.2: Solucion exacta de Ψ
57
Para mostrar la solucion grafica hemos ejecutado el programa computacional Vali-
dacionRichards.m con los parametros de entrada indicados anteriormente con lo cual el
programa tiene un error de calculo del 0.0192 %. Ası el algoritmo es eficiente para el
programa computacional.
Figura 6.3: Solucion exacta vs aproximada
58
6.2. Validacion del programa computacional
Para la validacion de los programas fue probada en comparacion contra la solucion
de Celia[9], fue probada con los esquemas numericos para dos mallas finas hz = 1cm y
hz = 0,3cm.
La integracion del modelo de Van Genuchten[29] con la solucion de Celia de la ecua-
cion de Richards para flujos no saturados se usa para comparar las dos soluciones numeri-
cas: esquema explıcito y el esquema implıcito.
Conjunto de datos
Los siguientes parametros del suelo fueron usados para el modelo de Van Genuchten[29]
que son usados en en el paper de Celia.[9]
α = 0,0335, θs = 0,368, θr = 0,102, n = 2, m = 0,5, Ks = 0,00922. Condi-
cion inicial y de frontera fueron tomadas como Ψ(z, 0) = −1000cm, Ψ(0, t) = −1000cm,
Ψ(60cm, t) = −75cm.
Resultados
Una comparacion entre la solucion obtenida con cada esquema contra la solucion de
Celia para una malla de ∆z = 0 · 3 cm es mostrado en la Figura 6.4. Para el esquema
explıcito e implıcito ∆t = 1seg el tiempo de CPU fue aproximadamente de 1 hora y 3.5
horas aproximadamente respectivamente. Mientras que para la solucion de Celia la malla
fue bien fina ∆z = 0 · 1 cm y∆t = 0 · 1 seg, siendo el tiempo de CPU aproximadamente
de 13 horas. En la Figura 6.5 con una malla de ∆t = 1seg, ∆z = 1cm para el esquema
explıcito e implıcito el tiempo de CPU fue aproximadamente de 15 min y 45 min aproxi-
madamente respectivamente. Los resultados muestran que ambos esquemas son capas de
aproximar con precision la solucion y producir practicamente la misma solucion.
La solucion obtenida con el esquema implıcito Figura 6.6. La posicion del frente
humedo en general esta bien descrito, incluso con grandes pasos de tiempo. El efecto de
mayor ∆t es que el frente humedo cambia ligeramente y es mas suave, mas difuso.
59
En la Figura 6.7 mostramos los resultados del esquema implıcito usando el mismo
paso de tiempo ∆t = 1seg para cinco mallas diferentes. Es claro que la malla mas fina
produce el resultado mas preciso debido a que esta mas cerca de la solucion de Celia, es
decir la lınea roja(∆z = 0 · 12cm). Una malla un poco mas gruesa todavıa produce re-
sultados precisos para la forma y posicion del frente de mojado. Para ∆z = 1cm el frente
humedo es mucho mas rapido, y para ∆z = 12cm la forma y la posicion del frente humedo
casi perdido.
Figura 6.4: Comparacion de esquemas, ∆z = 0,3 cm, media aritmetica
60
Figura 6.5: Comparacion de esquemas, ∆z = 1 cm, media aritmetica
Figura 6.6: Efecto de ∆t en Esquema implıcito, media aritmetica, ∆z = 1 cm
61
Figura 6.7: Efecto del tamano de malla. Esquema implıcito, media aritmetica, ∆t = 1 seg
Figura 6.8: Comparacion de esquemas, ∆t = 1 seg, ∆z = 0,3 cm
62
Figura 6.9: Comparacion de esquemas, ∆t = 1 seg, ∆z = 1 cm
Figura 6.10: Varias horas de infiltracion, ∆t = 1 seg, ∆z = 1 cm, media aritmetica
63
La comparacion de las figuras Figura 6.8 y Figura 6.9 muestra que al seleccionar
diferentes tecnicas de ponderacion de conductividad se producen ligeras diferencias en
ambos esquemas explıcito e implıcito. La media geometrica genera un frente de humedad
ligeramente mas lento para ambos esquemas. El efecto de la tecnica de ponderacion es
menor para cuadrıculas finas. En la malla mas gruesa(∆z = 1 cm) hay diferencias un poco
mas, con una tendencia para el esquema explıcito con media geometrico para generar el
frente mas lento, y el esquema implıcito con media aritmetica para generar el frente mas
rapido.
En la Figura 6.10 se muestra la simulacion a varios tipos de tiempo para los esquemas
explıcito e implıcito y la solucion de Celia todos estos tiempo fueron simulados con una
malla ∆z = 1 cm y ∆t = 1 seg, mostrando que el programa computacion es estable.
Toda la simulacion para este trabajo se hizo en el programa Matlab con el nombre del
archivo EXPLI IMPLI CELIA.m
64
Capıtulo 7
CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
7.1. CONCLUSIONES
El esquema implıcito es el que mejor se adapta al cambio de malla tanto espacial
como temporalmente siendo este mas estable que el esquema explıcito y teniendo
mayor aproximacion con la solucion de Celia[9].
Cuando la malla espacial es muy grande el error crece.
Cuando la malla temporal es muy pequena mejor es la aproximacion hacia la so-
lucion de Celia[9] y el tiempo de resolucion del sistema de ecuaciones es mucho
mayor.
El esquema explıcito es bueno para mallas pequenas, ya que es sensible a cambios
a mallas muy gruesas tanto espacialmente como temporalmente.
En terminos de eficiencia el esquema explıcito es menos eficiente debido a la sen-
sibilidad de la malla que no permiten grandes pasos de tiempo, mientras que el
esquema implıcito es capaz de generar soluciones aproximadas con pasos de tiem-
po muy grandes.
La no linealidad de la funcion de conductividad hidraulica juega un papel impor-
tante en la determinacion de la eficiencia del esquema implıcito. Como la funcion
de conductividad es mas lineal el tiempo de CPU se reduce.
65
El proceso de evaluacion comparativa muestra que el esquema implıcito es robusto,
preciso y razonablemente eficiente.
La ponderacion de los promedios de la conductividad hidraulica es mas significa-
tiva con mallas muy pequenas. El tamano del paso de tiempo no fue un problema
crıtico en las pruebas de evaluacion comparativa y no parece afectar de manera
significativa la precision de las soluciones al comparar con Celia. Esto lleva a una
conclusion practica: es mejor simular el uso de pasos de tiempo relativamente gran-
des con mallas espaciales finas que pequenos pasos de tiempo con mallas espaciales
gruesas.
66
7.2. RECOMENDACIONES
Se recomienda que el problema sea extendido a dimension 2 para observar como
evoluciona la infiltracion del fluido tanto verticalmente como horizontalmente.
Buscar nuevas formas de aproximacion de las funciones no lineales para la conduc-
tividad hidraulica para poder mejorar sus ponderaciones y que sea mas eficiente al
momento de comparar con alguna solucion aproximada analıtica.
Encontrar tecnicas para el esquema implıcito que mejoren las no linealidades de la
ecuacion y que sean aun mas eficientes en el tiempo de maquina.
67
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