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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD - IZTAPALAPA I
/ '
CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA J /
INGENIERIA ENERGIA J
SEMINARIO DE PROYECTOS I Y I1
ANALISIS DE ESTABILIDAD EN BWR'S ,'
SALINAS HERNANDEZ JUAN GABRIEL ,, ALUMNO
MATRICULA: 93 3 2 1627
AsEsoEs:A
SA PAREDES WTOR M. GONZALEZ MERCADO Y -I 1. ..~
(CNSNS)
(Interno) (Externo)
MEXICO, D.F., ABRIL DE 1998 /'
APENDICE F SOLUCION DE LA ECUACI~N DIFERENCIAL sp, (S, Z)
APENDICE G DEFINICION FUNCIONAL DE VARIABLES.
APENDICE H PARAMETROS PARA EL CANAL DE EBULLICION.
APENDICE I PROGRAMA.
RESUMEN
Se presenta un estudio del fenómeno de inestabilidad termohidráhulica por onda de
densidad. El estudio considera un canal uniformemente calentado que representa el
núcleo de un reactor de agua en ebullición (BWR) y se utiliza un modelo de flujo
homogéneo para representar el comportamiento termohidráulico del canal. La hnción
de transferencia del sistema se determinó calculando la Transformada de Laplace de
las perturbaciones en las caídas de presión en las regiones en que se divide el canal y
considerando una caída de presión total constante. Esta hnción de transferencia fue
utilizada para estudiar la respuesta en el dominio de la fiecuencia del sistema cuando
se introduce una perturbación en el flujo refrigerante. Se estudiaron seis puntos en el
mapa potencia - flujo de la Central Laguna Verde (CLV) en la región de baja
estabilidad. Se obtuvieron los diagramas de Nyquist y los espectros de potencia para
cada uno de estos puntos y se estudió el efecto de algunas variables sobre la
estabilidad del sistema, en especial la relación potencia - flujo. Las frecuencias de
oscilación calculadas empleando este modelo se comparan favorablemente con la
observada durante el evento de oscilaciones de la CLV.
NOMENCLATURA
SIMBOLOS LATINOS
A
A TC
CPC
Dh
f
f
g
G
hh
j
K
P
Pen
PC
Pr
P J a
r/ "
área de flujo.
área de transferencia de calor.
calor especifico de calentamiento.
diámetro hidráulico.
factor de faning.
frecuencia.
aceleración de la gravedad.
flujo másico por unidad de área de la mezcla.
entalpía de la mezcla.
velocidad superficial.
conductividad térmica.
factor de forma a la entrada del canal.
factor de forma a la salida del canal.
longitud del canal.
presión.
presión a la entrada del canal.
perímetro calentado.
número de Prandtl.
presión a la salida del canal.
flujo de calor por unidad de área.
flujo de calor por unidad de volumen
número de Reynolds.
variable de Laplace.
temperatura del líquido.
temperatura de la pared del combustible.
velocidad promedio del fluido.
flujo nominal a la entrada del núcleo del reactor.
flujo nominal a la entrada del núcleo del reactor en porciento.
representa la transformada de Laplace de una variable y.
S ~ B O L O S GRIEGOS
representa la caída de presión en la sección de una sola fase.
representa la caída de presión en la sección de dos fases.
representa la perturbación de una variable y.
longitud de ebullición.
viscosidad del fluido en una sola fase.
densidad del líquido saturado.
densidad de la mezcla (gas - líquido).
densidad del líquido.
densidad del encamisado.
fracción de vacíos.
frecuencia característica de cambio de fase.
w frecuencia angular
v/ variable general.
SUBÍNDICES
g fase vapor.
m mezcla líquido - gas.
k fase liquida.
O condición en el régimen estacionario.
1. INTRODUCCION
En los procesos industriales es común trabajar con fluidos multifásicos. Aún más frecuente,
sobre todo en la industria productora de energía, es encontrarse flujos bifásicos que
aparecen del intercambio de energía entre dos fluidos de proceso en equipos como
evaporadores o condensadores. En estos equipos se ha observado una serie de
inestabilidades termohidráulicas que limitan la operación del equipo pudiendo incluso
causarle daño y ocasionando problemas en los sistemas de control. Por supuesto la filosofia
seguida en el diseño de equipo de proceso ha sido el diseñar sistemas de operación estables,
lo que hace necesario el conocimiento de los límites y márgenes para los sistemas de interés.
Un tipo de inestabilidad de gran interés práctico es el causado por las llamadas ondas de
densidad. Este tipo de inestabilidad aparece por lo general a calidades media o bajas en
sistemas que consisten de una sección bifásica y una con flujo en una sola fase (Lahey y
Podowsky, 1989). El mecanismo asociado con estas inestabilidades es conocido, siendo la
causa de su aparición el retraso introducido en el sistema por la velocidad de propagación de
las perturbaciones en la fracción de vacíos (Lahey, 1992). c
Aunque las oscilaciones por ondas de densidad son el mecanismo dominante en muchos de
los sistemas, frecuentemente se combinan con otros fenómenos que las retroalimentan como
es el caso de las variaciones en el flujo neutrónico en un reactor nuclear. Dada su
importancia desde el punto de vista de seguridad éstas han sido ampliamente estudiadas. Sin
embargo, debido a la complejidad del flujo bifásico, los modelos existentes no son aun
completos.
El propósito del presente trabajo es estudiar la metodología del análisis de estabilidad del
flujo bifásico empleando un modelo de flujo homogéneo, para representar el flujo del fluido
a través de un canal uniformemente calentado, con el fin de iniciar el desarrollo de un
modelo más detallado que permita realizar análisis de estabilidad en canales de combustible
nuclear de los reactores de la U1 y U2 de la Central Nuclear Laguna Verde.
1
1.1 Oscilaciones por Ondas de Densidad
Un tipo de inestabilidad que por lo general ocurre a calidades bajas o medias y con altas
relaciones potencia - flujo está asociado con las ondas de densidad. Las llamadas
oscilaciones por ondas de densidad pueden aparecer en sistemas que trabajan con fluidos en
dos fases. Esta.s oscilaciones han sido observadas en los sistemas en los que existe
ebullición, como en los reactores nucleares del tipo BWR.
Las oscilaciones por ondas de densidad pueden explicarse si se toma en cuenta la diferencia
de velocidades de propagación de perturbaciones en el flujo en la sección de una sola fase y
en la sección bifásíca. En la sección de flujo en una sola fase las perturbaciones se propagan
a la velocidad del sonido, es decir, cruzan la sección a una velocidad mayor a la velocidad
del líquido, por lo que el tiempo en el que las perturbaciones cruzan la sección en una fase es
mucho menor que el tiempo de residencia en el líquido. Por otro lado, una perturbación en
el flujo en la sección de dos fases provoca un incremento (cuando el flujo se reduce) o una
reducción (cuando el flujo aumenta) de la fracción de vacíos local. La perturbación en la
fracción de vacíos se propaga en el momento de ascender con la velocidad característica de
las ondas de densidad, que es mucho menor que la velocidad del sonido (de hecho con
frecuencia la velocidad de las ondas de densidad es cercana a la velocidad del vapor).
Cualquier cambio en el flujo y/o fracción de vacíos en la sección bifásica provoca una
variación en la caída de presión en esta región. Es importante hacer énfasis que el efecto
hidrodinámico de reducir el flujo es reducir la caída de presión, mientras que el efecto
térmico en el canal es el aumento de la fase gaseosa, lo que a su vez provoca un aumento en
la caída de presión en la sección bifásica. Puesto que las perturbaciones antes mencionadas
viajan a velocidades bajas en la sección bifásica, la condición de frontera de caída de presión
constante puede provocar que la caída de presión en la sección bifásica y el flujo inducido en
la fase líquida (en particular el flujo en la frontera con la sección bifásica) oscilen fuera de
fase uno del otro aún después que se suspende la perturbación externa. Estas oscilaciones
pueden diverger o alcanzar un comportamiento periódico.
4
2
2. DESCRIPCIóN DEL MODELO FISICO Y CONCEPTUAL
2.1 Modelo Físico.
Las plantas nucleares de potencia consisten, de procesos en los que un fluido fluye por un
volumen en cual se genera calor por la reacción en cadena debido a la fisión nuclear. En los
reactores del tipo BWR, el fluido es agua, que entra al núcleo del reactor a temperaturas
cercanas a la de saturación, vaporizándose parcialmente al fluir por los canales que
contienen las varillas de combustible de óxido de uranio. El fluido en este tipo de reactores
actúa como moderador disminuyendo la energía de los neutrones rápidos para poder
mantener la reacción en cadena y como refrigerante removiendo el calor en el proceso de
fisión.
En núcleo se encuentra dentro de la vasija del reactor el cual tiene una longitud activa de
3.8 1 m. El núcleo está constituido por un arreglo de 444 ensambles (canales) de
combustible con 64 barras cada uno; de las cuales 62 contienen el combustible de U02 y 2
son de agua. El combustible al fisionarse genera la energía necesaria para producir vapor
dentro del núcleo.
2.2 Modelo Conceptual.
El sistema que se modela está formado por un canal de ebullición de forma vertical y con un
calentamiento uniforme por el cual fluye agua de enfriamiento que alcanza la temperatura de
ebullición en algún punto del canal.
El canal se encuentra dividido verticalmente en dos regiones: la región de una fase que se
extiende desde la entrada del canal hasta una longitud z =A(f), que corresponde al punto
donde se inicia la ebullición y la región de dos fases que abarca desde A(f) hasta la longitud
del canal LC, como se observa en la Figura 1.
3
SALIDA
q"'
ENTRADA Figura 1. Canal de ebullición, q"' flujo de calor uniforme, Ap,, caída de presión en la sección de una
fase, Ap2+ caída de presión en la sección bifásica, n(l) longitud de ebullición, pen presión a la entrada del
canal, p(A) presión en la frontera de ebullición, psa presión a la salida del canal, LC longitud del canal.
El área del canal se considera constante a todo lo largo y para modelar el comportamiento
del fluido se utiliza el modelo de flujo homogéneo, y se supone que el fluido se considera
incompresible. Se considera además que la caída de presión total a través de todo el canal
es constante que es congruente con las condiciones de un reactor nuclear dado que la caída
de presión esta determinada por la presión en el domo y la presión de descarga de las
bombas de recirculación.
4
2.3 Consideraciones para estudiar el fenómeno.
En general se dice que un sistema es estable si las perturbaciones externas de magnitud
arbitrariamente pequeña producen que el sistema converja asintóticamente a las condiciones
de operación en estado estacionario.
En estado estacionario la caída de presión total del sistema es igual a
Apt = Apl+,o + A P ~ , , ~ = constante
Si se introduce una perturbación del tipo (y = c5y + y , ) donde y es una variable genérica y
dado que en la caída de presión total en el canal se considera constante, entonces
‘Pr = + APl#,O + ‘P2, + AP24,Q
Restando la Ec (1) de la Ec (2), se tiene:
SApl, -+ EAp2, = O
Una solución diferente a la trivial se obtiene si la caída de presión en la región de una sola
fase y la de dos fases son iguales y de signo contrario.
Por lo cual el análisis de estabilidad se realizará estudiando el comportamiento de las caídas
de presión en las regiones en las que se ha dividido el canal. Por lo cual es necesario
determinar las ecuaciones que representen las caídas de presión en cada región del canal, por
medio de ecuaciones de balance de cantidad de movimiento.
En las ecuaciones que representan la caída de presión se introduce una perturbación de
primer orden y se determina su Transformada de Laplace, de tal manera que estas
5
ecuaciones estén en hnción solamente de la variable (S) de Laplace y de los términos de
perturbación de flujo de refrigerante (S J',,,), en la densidad de potencia (Sq" ) y en el sub - enfriamiento ( SFe,, 1:
Con el uso de las transformadas de Laplace muchas fünciones sinusoidales, amortiguadas y
exponenciales se pueden convertir en fünciones algebraicas de una variable algebraica S, y se
pueden remplazar operaciones como diferenciación y la integración por operaciones
algebraicas en el plano complejo. Una ventaja del método de la transformada de Laplace es
que permite utilizar técnicas gráficas para predecir el hncionamiento del sistema sin tener
que resolver el sistema de ecuaciones diferenciales. .
3. METODOLOGIA
La metodología aplicada en el presente trabajo para la realización de un análisis de
estabilidad consiste en:
0 Planteamiento de las ecuaciones de balance del sistema para calcular la caída de
presión en cada una de las secciones en las que se divide el canal (Figura 1). e
0 Obtención de la transformada de Laplace a las ecuaciones de balance.
0 Obtención de la función de transferencia.
Determinación, por medio de un análisis en el dominio de la frecuencia, de la
estabilidad del sistema.
7
4. ECUACIONES DE BALANCE
4.1 Ecuaciones para flujo en una fase
Para describir los procesos de transferencia de masa, energía y cantidad de movimiento en la
región de flujo en una fase (Figura l), se aplican las ecuaciones de balance en régimen
transitorio y una dimensión
- Ecuación de conservación de masa:
dp dG ‘+-=O d t dz
donde pi es la densidad del líquido, G es el flujo másico por unidad de área y se puede
definir de la siguiente manera:
G=p, Vl (7)
siendo VI la velocidad del líquido.
- Ecuación de conservación de energía:
donde hl es la entalpía del líquido, q” es el flujo de calor por unidad de área, PC es el
perímetro calentado, A es el área de flujo y p la presión.
- Ecuación de cantidad de movimiento:
a
donde f es el factor de fricción de faning, DI, diámetro hidráulico, Ki factor de forma,
S es la hnción delta de Dirac ( dentro de la ecuación de cantidad de movimiento).
4.2 Ecuaciones para flujo en dos fases
Para describir los procesos de transferencia de masa, e
aplican las ecuaciones de flujo homogéneo.
nergía y cantidad d
- Ecuación de conservación de masa:
e movimiento se
donde pm densidad de la mezcla en dos fases homogénea, la cual se define como:
P m = PI &I + P g E g
G, es el flujo másico por unidad de área de la mezcla en dos fases es:
En la Ecs. (1 1) y (12), pi es la densidad de la fase líquida, pg es la densidad de la fase gas,
&I es la fracción de vacíos en la fase líquida, E, es la fracción de vacíos en la fase gas, v/
es la velocidad de la fase líquida, u, es la velocidad de la fase gas, j l es la velocidad
superficial de la fase liquida y j , es la velocidad superficial de la fase gas.
- Ecuación de conservación de energía:
9
donde
donde hm es la entalpía de la mezcla, h, es la entalpía de la fase líquida, hg es la entalpía
de la fase gas y Pm está dada por la Ec. (1 1).
- Ecuación de Cantidad de Movimiento:
r
Las consideraciones y la deducción de las ecuaciones de balance se presentan en el Apéndice
A.
10
5. CALCULO DE LAS CAIDAS DE PRESION
Empleando las ecuaciones de balance de cantidad de movimiento analizaremos la región del
canal donde se inicia la ebullición [%I)] para determinar la caída de presión en cada región del
canal. Suponiendo que la longitud total del canal vertical de ebullición se puede dividir en dos
secciones: la región en una fase y la región de ebullición o en dos fases, como se muestra en la
Figura 1.
Región de una fase:
Para determinar la caída de presión en la región de una fase, se aplica la ecuación de balance de
cantidad de movimiento [Ec. (9)]. Se resuelve para el término de presión y se integra desde
z = O a z = A@) como se presenta a continuación:
Región de dos fases:
Para determinar la caída de presión en la región de dos fases, se utilizará la ecuación de balance
de cantidad de movimiento [Ec. (IS)]. Pero ahora se integra desde z = A@) a z = LC
(17)
Donde A(tj es la posición de la frontera de ebullición.
Por lo tanto ya se tienen las ecuaciones que expresan la variación en el tiempo de la caída de
presión para cada región del canal. De acuerdo con la condición de frontera impuesta para el
sistema [Ec. (l)] y para determinar las perturbaciones de las presiones [Ec. (3)], se introduce
una perturbación de primer orden.
Región en una fase (Apéndice B).
Región en dos fases (Apéndice C).
En estas ecuaciones el símbolo (-) sobre las variables significa que la hnción depende de la
variable (S) de Laplace y el subíndice (O) denota condiciones de estado estacionario.
El término Zi se refiere en general a todos los factores de forma del canal, Z1y; = K e n + K,, +
Zq, donde Ken, K,, son los factores de forma a la entrada ya la salida del canal, ZX,,, es el
factor de forma de los espaciadores del canal.
En la Ecs. (18) y (19) hace falta definir las relaciones funcionales de
S~(S) , SJ?(s, z), Spm (S, P) y S ~ ( S , I), las cuales llamaremos funciones de cerradura y se
determinan en la Sección 7 del presente trabajo.
6. PARAMETROS EN EL ESTADO ESTACIONARIO
Las Ecs. (1 8 ) y (19) contienen parámetros del estado estacionario los cuales se obtienen en esta
sección. Para una presión p dada del sistema y una velocidad superficial del líquido sub-
enfriado, j e n , O a la entrada del canal. El flujo másico por unidad de área en el estado
estacionario a prrtir de la ecuación de continuidad está dado por:
donde pres la densidad del líquido saturado.
Suponiendo que el flujo de calor axial 40” es uniforme a lo largo del canal, en condiciones de
estado estacionario la longitud de la región de una fase o longitud de ebullición &, puede
determinarse por la integración de la ecuación de energía para la fase líquida [Ec. (S)].
La ecuación de energía [Ec. (S)] en estado estacionario se reduce a:
d -(Go h,) = - d z A
4; PC
Integrando y resolviendo para &:
GO A b s u b . 0 a, =
4: PC
14
donde Ah,,b,o = (hr - hen)o es el sub - enfriamiento a la entrada del canal. Dado que el área
del canal es constante jen,o es constante a lo largo del canal, además en una fase es igual a VI.
Por medio de las ecuaciones de masa y energía se determina el flujo volumétrico por unidad de
área de la región bifásica (Apéndice D), el cual queda de la siguiente manera:
donde
y ro es el término de generación (evaporación o condensación), vfg = vg - vf siendo v el
volumen específico y hfg es el calor latente de vaporización.
Por otro lado, la densidad de la mezcla &,o, se puede definir como:
Durante transitorios, se generalizan las ecuaciones anteriores de la siguiente manera:
Considerando que no existe una variación importante de la presión con respecto al tiempo
dp/dt [Ec. (D.3 1) del Apéndice DJ es despreciable, entonces la Ec. (25) para condiciones
transitorias es:
15
Dividiendo en ambos lados de la ecuación por p y sustituyendo G = jen p se obtiene
I ah, ah, - q"Pc j,, d t dz AG
El estado base de esta ecuación está dada por la Ec. (21) y su forma perturbada es
Aplicando la transformada de Laplace se obtiene:
(3 9)
Sin embargo la perturbación en el flux de calor, 6q" (s,z), no es una variable independiente y
puede ser expresada en términos de la perturbación de la razón de generación de calor,
S (S). Ea relación específica entre Sp" (s,z) y S (S) depende del modelo para
cuantificar la dinámica de la pared calentada, del elemento combustible.
Una forma general del modelo unidimensional de transferencia de calor en la pared calentada
es un modelo de parámetros concentrados.
d T MCp, -$ = Vc qm - Az qa
Donde, M es la masa de la pared, Cpc es el calor específico del elemento combustible, Tp es
la temperatura de la pared, q"' es la generación de calor por unidad de volumen, A T C es el
área de transferencia de calor y Vc es el volumen del combustible nuclear.
El estado base de la Ec. (42) esta dado por:
La ecuación perturbada es:
donde
Tp = S Tp + Tp,o (45)
Restando la Ec. (43) de la Ec. (44), linearizando y obteniendo la Transformada de Laplace,
se obtiene lo siguiente
Resolviendo para 6Tp :
7. FUNCIONES DE CERRADURA
En esta sección se determinan las relaciones fincionales de Sx(s), SY(s, z) SPh(s, z) y
Sn(s, z) para las perturbaciones externas a través de un canal calentado.
7.1 Cerradura Sy(s, z)
La perturbación del flujo volumétrico por unidad de área (velocidad superficial), @(t, z), se
puede obtener por la Ec. (27) y su correspondiente estado base esta dada por la Ec. (24).
Primero definimos las siguientes expresiones entre variables perturbadas y de estado base.
n (tJ) = Sqt,z) + sz, (z) (30)
A (t) = SA (t)+ lo (2) (3 1)
sustituyendo estas expresiones en la Ec. (27) se obtiene:
Conservando todos los términos lineales, restando la Ec. (24) y después aplicando la
Transformada de Laplace se obtiene:
16
7.2 Cerradura S x ( s )
La perturbación de la frontera de ebullición S ~ ( S ) , se puede expresar en términos de la
perturbación de la entalpía local, SX(s,A,).
Integrando la Ec. (21) de & a A(t) y de hl,0 (&) a h, (t, A), es decir:
Se puede observar en la ecuación anterior que Sh, (t, A)= h, (t, 1)- (Ao) y sA=A(t)- lo
entonces SA@) está dada por
SA(t) = - Go A Sh, ( t , A ) 4; PC
Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene el siguiente resultado:
donde & está dada por la Ec. (23)
La perturbación en la entalpía en la frontera de ebullición SE ( S , A,) puede ser determinada
con la ecuación de energía en una fase.
17
Se puede observar en la ecuación anterior que es necesario determinar Sq"(s). Para
determinar dicha variable perturbada se aplica la ley de Newton del enfriamiento:
donde HI, es el coeficiente de transferencia de calor y 6 es la temperatura en el seno del
líquido. El estado base de la ecuación anterior es
y la ecuación entre variables perturbadas es:
6 4" + 4: = (6-1, + H14,o&Tp + rp,o)- (6T + T,Al donde
Restando la Ec. (51) de la Ec. (52), conservando los términos lineales y aplicando la
transformada de Laplace se obtiene:
A continuación se determina 8B,, ( S ) . Debido a que la región de estudio es flujo
monófasico, se aplica la correlación de Dittus - Boelter para flujo turbulento para calcular el
coeficiente de transferencia de calor.
H,, = 0.023Re0.* Pr 0.4 ~ k 1
Dh
El número de Reynolds y el número de Prandtl están dados por
El estado base de la Ec. ( 5 8 ) es:
= 0.023Rei Pr - b kl
Dh
donde a = 0.8 y b = 0.4. La relación entre las Ecs. ( 58 ) y (61) es:
donde j,, = v,(t) y jen,O = v ~ , ~ . El resultado de perturbar la ecuación anterior es
Como se suponen perturbaciones pequeñas en el flujo volumétrico por unidad de área, es
decir,
j,, ( t ) j e n , o (64)
la Ec. (63) se simplifica a:
Aplicando la transformada de Laplace se obtiene:
1
1 Sustituyendo la anterior en la Ec. (57), se obtiene el siguiente resultado:
S? (S) se puede expresar como:
Entonces, sustituyendo la ecuación anterior en la Ec. (67) se obtiene
Sustituyendo la Ec. (49) en la Ec. (69) se llega al siguiente resultado
7 7 "
(70) Ahora sustituyendo la Ec. (70) en la Ec. (41) se obtiene
donde
Se puede observar que la Ec. (7 1) es una Ecuación Diferencial Ordinaria no homogénea, con
la condición de frontera 6K = 6Fen(s) en z = O.
La solución general (Apéndice E) es:
La solución para z = Ao:
Sustituyendo la Ec. (76) en la Ec. (37), se obtiene la relación de cerradura de la longitud de
ebullición en términos de las perturbaciones en la velocidad del fluido, en la potencia
generada y en la entalpía del fluido a la entrada del canal:
donde
7.3 Cerradura 6 a(s, z)
De acuerdo con la Ec. (34), determinado la perturbación en la frontera de ebullición 81,
faltando por determinar6a. Esto se logra por medio de la ecuación que describe la
dinámica de una pared calentada combinándola con la ley de Newton del enfriamiento para
la transferencia de calor en ebullición.
24
donde H , , es eí coeficiente de transferencia de calor para flujo en dos fases. Por lo tanto
perturbando la Ec. (8 l), tomando en cuenta que Hz, se considera constante y después de
aplicar la transformada de Laplace se obtiene:
SQ"(s) = Hz, 6% (S) = " 6Tp(s) Tp.o - T
Si despejamos Syp(s) se obtiene:
STp (S) = Y3 S ~ " ( S )
donde
b
Sustituyendo la Ec. (83) en la Ec. (49),
6q"s) = Sp"(s) "y3 + y 2
donde, Y1 y Y2 representan los parámetros que provienen del modelo de transferencia de
calor en la pared calentada, Ec. (49).
25
Usando las dos ecuaciones anteriores, la Ec. (49) toma la siguiente forma:
De la Ec. (28) se obtiene (después de perturbar y aplicar la transformada de Laplace)
Sa"(.)= Lhl"sn(s) vfg
Sustituyendo la Ec. (89) en la Ec. (85); queda de la siguiente manera
S n(s, 2) = Y, S qqs)
donde
Entonces, sustituyendo la Ec. (77) y la Ec. (90) en la Ec. (34) se obtiene:
7.4 Cerradura Sy, (S, z)
Por último, se utilizará la ecuación de conservación masa para el flujo en dos fases, Ec. (10)
para determinar Sp, (S, 2).
a a "p, +-G = O at 3.2
(93)
26
por definición,
Gm = j P m
Sustituyendo en la Ec. (93)
Considerando que R = - = TV entonces S j S2 fg
(94)
(95)
Entonces, introduciendo una perturbación y obtenemos la Transformada de la Laplace a la
Ec. (96) se llega a lo siguiente;
Donde é1 término Sa(s) está representado por la Ec. (90). Para facilitar la solución de la
Ec. (97), se sustituyen los resultados dados por las Ecs. (24) y (26).
Derivando, el primer término de la derecha de la ecuación anterior se tiene:
27
Para hallar la solución de la Ec. (99) se puede utilizar la condición de frontera z = A,,. Pero
integrando la Ec. (10) desde & a A ( t ) se puede obtener una nueva condición de frontera
para la solución de la Ec. (95)
Aplicando una perturbación, linearizando y determinando la Transformada de Laplace a la
Ec. (100). Tomando en cuenta que pm (t, A)= p y j ( t , A)= je,,(t) por lo que se llega a lo
siguiente
Al evaluar la Ec. (34) para z = A,, se tiene
Entonces, sustituyendo la Ec. (1 02) en al Ec. (1 O 1) se tiene
Finalmente la solución a la Ecuación Diferencial No Homogénea Ec. (99) (Apéndice F) con
la condición de frontera Ec. (103) es la siguiente.
+ ]m Go 8x(s) (104)
8. CAIDAS DE PRESION EN LA FORMA FUNCIONAL
Finalmente, al haberse obtenido las fimciones de cerradura 6x(s), 6n(s, z), 6J?(s,z) y
S~, (S ,Z ) representadas las Ecs. (77), (go), (92) y (104) respectivamente; Se sustituirán en
la Ecs. (1 8) y (19) que representan la perturbación en la caída de presión para cada región
donde,
Donde, Flfs), F2(s) y F$s) se encuentran definidas en el apéndice Ec. (G).
9. CARATERISTICAS DE UN SISTEMA DE CONTROL
La estabilidad, exactitud y rapidez de respuesta son características que debe tener todo
sistema de control. Necesariamente, un sistema debe ser estable, y esto significa que la
respuesta a una señal, ya sea cambio de punto de referencia o una perturbación, debe
alcanzar y mantener un valor útil durante un período razonable. Un sistema de control
inestable producirá, por ejemplo, oscilaciones persistentes o de gran amplitud en la señal, o
bien, puede hacer que la señal tome valores que corresponden a límites extremos. Cualquier
tipo de respuesta característico de un sistema de control inestable es obviamente
insatisfactorio.
Un sistema de control debe ser exacto dentro de ciertos límites especificados. Esto significa
que el sistema debe reducir cualquier error a un valor aceptable. Es conveniente hacer notar
que no hay sistema de control alguno que pueda mantener un error cero(bajo condiciones
ideales) en todo tiempo por que siempre existe un error en el sistema.
9.1 Concepto de análisis de estabilidad
Un sistema de control, si será de algún valor práctico, debe ser estable. Un sistema estable es
aquel en el cual los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para
valores crecientes de tiempo. Tal condición requiere que los coeficientes de f en los
términos exponenciales de la solución transitoria sean números reales negativos o números
complejos con partes reales negativas; por ejemplo, e-"' decae mientras que e'"' crece al
avanzar el tiempo. Estos coeficientes son, naturalmente, las raíces de la ecuación
característica. Por tanto, desde el punto de vista físico, un sistema estable es aquel en el cual
los transitorios desaparecen y el sistema se estabiliza. Matemáticamente, se dice que un
sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son números reales negativos o
números complejos con partes reales negativas.
9.2 Función de transferencia y diagrama de bloques
9.2.1 Función de transferencia
La hnción de transferencia para un elemento lineal, componente o sistema, puede definirse
como el cociente de la transformada de la respuesta entre la transformada de la señal, con la
suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. La función de transferencia para
un elemento particular puede obtenerse usando los siguientes tres pasos:
l . Establecer las ecuaciones apropiadas que definan el comportamiento del elemento.
2. Transformar esta ecuación suponiendo que todas los condiciones iniciales son cero.
3. Formar la relación de salida S(s) a la entrada E(s) como:
Figura 5 . Diagrama de bloque representativo.
3 = G ( S )
Donde la función de transferencia es G(s).
El elemento bajo consideración puede ser representado en forma de un diagrama de bloque
(Fig. 5). La interpretación de este bloque es que la salida S(S) se obtiene multiplicando la
hnción de transferencia G (S) por la entrada E(s), es decir,
S (S) = G (S ) E(s)
;?.
9.2.2 Diagrama de bloques
Un sistema de control puede representarse mediante un diagrama de bloques, en el cual los
bloques individuales están relacionados de manera que las ecuaciones del sistema estén
representadas correctamente. Un diagrama de bloques representa fielmente las ecuaciones
del sistema y la relación que existe entre ellas.
Los diagramas de bloques proporcionan un medio conveniente para visualizar y analizar los
sistemas de control. Estos diagramas se obtienen estableciendo primero las ecuaciones que
describen el comportamiento de cada uno de los elementos que componen el sistema. Una
vez realizado este paso, la información contenida en cada una de las ecuaciones se pone en
forma de una relación entre cierta cantidad de salida y cierta cantidad de entrada. La
relación así obtenida se Ilamafuncidn de transferencia y es la representación matemática del
elemento particular que se coloca en el bloque. Cuando todos los elementos de sistema
están representados en bloques convenientemente relacionados, puede obtenerse la ecuación
de todo el sistema por una manipulación del diagrama de bloques en lugar de una solución
simultánea de las ecuaciones del sistema por métodos matemáticos usuales.
9.3 Respuesta a la frecuencia
É1 término respuesta a la fiecuencia se refiere a la respuesta de un sistema alrededor del
estado estable sujeto a una señal senoidal de amplitud fija, pero con una frecuencia que varía
en cierto intervalo,
9.4 Análisis de un sistema usando Diagramas de Nyquist
Las gráficas en coordenadas polares son un medio muy importante para representar
gráficamente (en el plano complejo) la respuesta alrededor del estado estable de un sistema
sujeto a una excitación armónica simple. En esta sección se extendera el uso de la gráfica en
coordenadas polares para la determinación de respuestas de ciclo cerrado (sistema de
control con retroalimentación).
Lógicamente podría hacerse la pregunta de por qué es tan importante el análisis de la
respuesta de sistemas a una señal senoidal, cuando en la práctica los sistemas de control
raramente están sujetos a señales armónicas. La respuesta es que la información obtenida
por el análisis senoidal puede usarse para establecer la naturaleza de la respuesta a una gran
variedad de señales. Además, el análisis es conveniente para manejarlo matemática y
experimentalmente.
Una herramienta para la predicción de la estabilidad de los sistemas de control mediante la
aplicación del criterio de Nyquist es el gráfico en coordenadas polares. Si un sistema lineal
es inestable cuando se somete a una señal armónica, es inestable para cualquier otra señal. El
uso de las coordenadas polares elimina la necesidad de encontrar las raíces de la ecuación
característica del sistema y elimina la necesidad de tomar la transformada inversa como se
hace en los análisis de la respuesta de sistemas, en el que se estudia la respuesta transitoria.
9.5 Criterio de Estabilidad
Para una operación estable el sistema de control, todas las raíces de la ecuación
característica de la fhción de transferencia deben ser números reales negativos o números
complejos con componentes reales negativas.
9.6 Función de transferencia para un canal de ebullición
Ahora, aplicando las definiciones antes mencionadas para la determinación de la hnción de
transferencia para el canal de ebullición en estudio, pero considerando que la densidad de
potencia, &”‘, y el subenfiiamiento a la entrada, ¿%hi, son constantes, las Ecs. (105) y (106)
que representan la perturbación en la caída de presión para ambas regiones del canal se
reducen a lo siguiente:
El siguiente paso será, determinar la íünción de transferencia de canal de ebullición que es
representado por un diagrama de bloques, Fig. 6. Debido a que un diagrama de bloques nos
permite visualizar y analizar de una mejor forma el sistema de control.
Figura 6. Diagram de bloques para un canal de ebullición. Donde STen es la perturbación a la entrada
del sistema, 6ys,, es la respuesta del sistema y 6yret representa la retroalimentación que se produce en el sistema.
Por lo tanto el proceso para determinar la íünción de transferencia es el siguiente:
l . Al introducir una perturbación al sistema de forma externa ¿?yen, el sistema responde
con una perturbación a la salida Sys,, diferente a la introducida ya que ̂ esta respuesta
paso por un proceso de retroalimentación STe,, que se representa de la siguiente
manera:
3 5
2. El término de retroalimentación puede determinarse a partir de una perturbación en el
flujo del refrigerante como una respuesta del sistema que se traduce en una perturbación
en la caída de presión en la región de dos fases. De cuerdo con la condición de fiontera
establecida para el sistema la perturbación ahora se puede traducir como una caída de
presión en la región de una fase. Finalmente esta perturbación se transforma en una
perturbación en de retroalimetación. Esto puede observase de una mejor manera en las
ecuaciones que representan a cada bloque del sistema.
por lo tanto, la perturbación de la retroalimentación Syre, se determina, sustituyendo las
perturbaciones de las caídas de presión en una dos fases, es decir, sustituyendo la Ec. (1 17)
en la Ec. (1 18) y el resultado se sustituye en la Ec. (I 19), por lo que se obtiene:
Entonces de acuerdo con la Ec. (1 16), se sustituye la Ec. (120). Para llegar a la siguiente
ecuación que representa la relación que existe con la perturbación a la entrada del sistema y
la con la respuesta con la cual responde el sistema el sistema;
-1
36
Donde existe una relación entre S 7 , que representa la perturbación externa y S 7 es
la respuesta del sistema. La función de transferencia del sistema es:
en sal
La ecuación característica de la función de transferencia es:
Por lo tanto esta ecuación permite realizar un estudio teórico de la inestabilidad del sistema,
hallando los ceros de la ecuación. Una manera de ahorrase el trabajo de encontrar los ceros
de la ecuación es recurriendo a un diagrama de Nyquist o diagrama polar para gráficar la
hnción de transferencia y predecir la estabilidad del sistema.
9.7 Criterio de Estabilidad de Nyquist
¿Cómo se puede saber sí uno de los estados de operación es estable o no?. Como primer
paso, se buscan las raíces o los ceros de la ecuación característica de la fbnción de
transferencia dada por la Ec. (122) y como puede observarse a primera vista que el valor de
esa raíz será -1. Por lo cual al momento de construir el diagrama de Nyquist, se podrá
observar, sí la curva rodea al punto (-1,O) el sistema es inestable. Caso contrario sino lo
rodea el punto (-1,O) éI sistema es estable. Para una mejor aclaración este criterio podrá ser
observado en la siguiente aplicación del modelo para realizar análisis de estabilidad.
10. Aplicacih del modelo
Flujo de refrigerante en el núcleo (% nominal) Figura 7. Mapa Potencia - Flujo. Donde 1, 2: 3, 4, 5 y 6 son puntos en estudio.
El modelo desarrollado en este trabajo elaboro con el fin de realizar un estudio teórico de la
Estabilidad Termohidráulica en las unidades 1 y 2 de la Central Nuclear Laguna Verde
(CNLV). Para algunos estados operacionales de la zona de baja estabilidad del diagrama
llamado Mapa de Potencia - Flujo representado en la Figura 7.
Como aplicación del modelo obtenido sobre la termohidráulica del núcleo de la CNLV es
analizar algunos estados operacionales para un solo canal del núcleo. Determinando la
estabilidad del sistema de un estado operacional así como su frecuencia característica.
La memoria de cálculo, en la cual se determinan parámetros de operación, parámetros
geométricos del canal y propiedades de los materiales y del fluido, se presenta la sección de
apéndices H e I.
10.1 Pruebas realizadas
Empleando el mapa Potencia - Flujo, se determinaron seis estados operacionales del reactor,
los cuales se presentan en la siguiente tabla:
Tabla I. Estados operacionales del reactor.
PRUEBA Y
(%) w (0%) Q (04 OPERACION
DE CONTROL REFRIGERANTE REACTOR ESTADO DE
PATRON DE BARRAS FLUJO DE POTENCIA DEL
1 80 40 45.5 2 80 28.6 38.6
3 1 O 0 28.6 47.5 4 80 60 60
5 56 1 O 0 I 40
6 1 O 0 60 72
Patrón de barras X %, es aquel con el que se alcanza una potencia de Qn % manteniendo ese
patrón y con un flujo a través del núcleo de W,, %.
39
10.2 Como trabaja el programa
El modelo h e programado por medio de un paquete matemático llamado MATHCAD
(Apéndice I).
La manera en que trabaja el programa es:
0 Se establece la potencia térmica del reactor (% nominal) y el flujo de refrigerante en el
núcleo (% nominal) como dato de entrada.
0 Se fija un intervalo de frecuencia angular (o), para todos los estados operaciones.
El programa obtiene los siguientes datos:
0 Longitud de ebullición (b).
b
El valor real e imaginario de la hnción de transferencia ( Re ( G (o)), Im (G(o)) ),
para la construcción del diagrama de Nyquist.
Frecuencia característica de oscilación (f).
Relación potencia - flujo (Q/W).
Puede observarse este procedimiento en la sección 10.3.
40
10.3 Representación programada del modelo
I 1
Diagrama de Nyquist
O O 0.5 1 1.5
o - 2. A
Frecuencia Característica
11. RESULTADOS Y DISCUSION
11.1 Análisis de estabilidad en la CNLV.
La hnción de transferencia obtenida fue programada para efectuar cálculos a diferentes
estados de operación del reactor, suponiendo que el canal representa la totalidad del núcleo
del reactor. Los estados de operación estudiados se localizan en el mapa potencia - flujo
(Fig. 6) en la región de alta relación potencia - flujo y que es considerada como de baja
estabilidad.
Se calculó y graficó [Fig. (7)] la magnitud de la hnción de transferencia, una vez que se
sustituye la variable S por iw, para obtener la frecuencia característica para las condiciones
de los seis estados de operación mostrados en la Tabla I. Las frecuencias calculadas se
muestran en la Tabla 11.
Tabla 11. Frecuencia de oscilación, longitud de ebullición y relación de potencia - flujo, para
un arreglo 8x8.
ESTADO Q W
OPERACIóN POTENCIA FLUJO DE
( W (9/.) I I
1 I 38.6 I 28.6
De la Tabla 11, puede observarse que al disminuir la relación potencia - flujo la longitud de
ebullición aumenta. Asimismo puede verse que, conforme aumenta la longitud de ebullición
aumenta la frecuencia de oscilación característica para cada estado de operación (Fig. S).
Se elaboraron los diagramas de Nyquist para realizar el análisis de estabilidad en el dominio
de la fiecuencia para los seis estados operacionales. Como se puede observar en el diagrama
en la Nyquist de la Figura 9, si la relación potencia - flujo disminuye el sistema tiende a
estabilizarse. Puede observarse también en esta figura que para los estados 1 , 2 y 3 en las
que la relación potencia - flujo se reduce, el sistema tiende estabilizarse. Lo mismo sucede
en los estados 4, 5 y 6. Si se comparan los estados en pares (1, 4), (2, 5) y (3, 6) puede
encontrarse el mismo efecto. De esta forma el aumentar el flujo de refrigerante manteniendo
la potencia constante o reducir la potencia manteniendo el flujo constante estabilizará el
sistema.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
- n
\
A
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f (Hz)
Figura 8. Frecuencia característica de oscilación
O Edo. 1, O Edo. 2, A Edo. 3
O Edo. 4, x Edo. 5, + Edo. 6
43
Figura 9. Diagrams de Nyquist.
O Edo. 1 , O Edo. 2, A Edo. 3
O Edo. 4, x Edo. 5, + Edo. 6
11.2 Análisis de estabilidad del nuevo tipo de combustible
A continuación se presenta un análisis estabilidad para el nuevo tipo de combustible de la
CNLV que será usado en la próxima recarga de combustible. El nuevo tipo de combustible
consiste en un arreglo de 10 x10 por ensamble, ya que tradicionalmente se utilizaba un
arreglo de 8 x 8 por ensamble.
Se realiza el análisis de estabilidad para la nueva configuración del ensamble y se comparan
estos resultados con los obtenidos con un arreglo de 8x8. Las pruebas realizadas son las
mismas que las descritas en la sección 1 l . l .
Los resultados obtenidos para los 6 puntos de operación se presentan en la Tabla I1 para un
arreglo 8x8.
En la Tabla I11 se presentan los resultados obtenidos para un arreglo de barras de
combustible de 10x10.
Tabla 111. Frecuencia de oscilación, longitud de ebullición y relación de potencia - flujo, para
un arreglo 1 Ox 1 O
ESTADO POTENCIA DE CARACTERISTICA BARRAS DE DE RELACION LONGITUD FRECUENCIA PATRON DE W Q
OPERACI~N
1.35 O. 93 9003 0.382 80 28.6 38.6 1 QM l.0 (m) (%I ( W (%I
FLUJO EBULLICION f CONTROL FLUJO POTENCIA
(Hz)
2 I 45.5 I 40 80 0.509 I 1.114536 I 1.138 1 3
1.055781 0.716 1 O0 60 72 6 1.4 0.905 172 0.509 1 O0 40 56 5
1.668 0.763325 0.398 1 O0 28.6 47.5 4 1 1.266937 0.732 80 60 60
Tanto en la Tabla I1 como en la Tabla I11 se puede observar que la longitud de ebullición
(b) es prácticamente la misma siendo ligeramente mayor para el arreglo de 10 x 10. Los
parámetros usados para el arreglo de 10 x 10 se presentan en la Tabla V y para el arreglo de
8 x 8 en la Tabla IV.
Las frecuencias características de los 6 puntos de operación en general son mayores para un
arreglo de 1 O x 1 O con respecto al arreglo de 8 x 8 (Tabla I1 y 111).
Comparando los resultados de las Tablas IV y V se puede observar que flujo másico por
unidad de área (GO) aumenta debido a que el área de flujo disminuye y el coeficiente de
transferencia de calor (hl4.0) aumenta. Dado que el diámetro de la barra de combustible
disminuye para el arreglo 10x10 la potencia por unidad de área disminuye.
Tabla IV. Frecuencia de oscilación, longitud de ebullición y relación de potencia - flujo, para
un arreglo 8x8; Af=O.Ol lm2, PC = 2.337m7 Dh = 0.016m7 Ahsub = 82.8 kjkg
ESTADO DE
G o *dm2 S)
4 (W/m2 OK S) (x10’ W/m2)
h 4 . o
OPERACI~N
1 6864 1.885 45 1.206
3 45 1.206 4
11880 2.930 946.586 6864 2.320
5 6
8788 2.735 63 1 .O58 11880 3.156 946.586
~
Tabla V. Frecuencia de oscilación, longitud de ebullición y relación de p cia - flujo, para
un aI-Eg10 10x10; Af=0.01048m2, PC = 2.965m, Dh = 0.01056m7 Ahsub = 82.8 kj/kg
OPERACI~N
476.781 7527.0 666.827 1.751 9614.0
3 476.78 1 4
12970. 2.3 1 1000.0 7527.0 1.828
5 6
9614 2.156 666.827 12970 3.150 1000.0
46
oten
Nótese en la Tabla IT1 no existe algún cambio en la relación potencia - flujo, por lo cual al
hablar de estabilidad mientras la relación potencia - flujo se acerque a la unidad, el sistema
se acercará a la estabilidad. Por lo cual el estado de operación No. 3 es le más estable y el
No. 4 el menos estable.
En el gráfico de la Figura 10, se puede observar que el arreglo 10x10 es más estable que el
obtenido en las condiciones de operación del arreglo 8x8 (Fig. 9).
-3 ' I I I I 1 I I -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5
R4G(o >)
Figura 10. Diagrama de Nyquist. Estado de operación 1, arreglo 10x10.
47
12. CONCLUSIONES
Se obtuvo la hnción de transferencia sin considerar efectos de retroalimentación de vacíos
para el canal uniformemente calentado y se analizaron 6 estados de operación del reactor
nuclear de la Central Nuclear Laguna Verde que tiene un arreglo por ensamble de 8x8 y para
un nuevo tipo de ensamble combustible con arreglo de 10x1 O.
Las frecuencias características calculadas se encuentran en un intervalo de 0.3-0.7Hz, que se
compara favorablemente con la frecuencia determinada para el evento ocurrido en la CNLV
de 0.SHz.en cuanto al arreglo 8x8 (González, Amador, Castillo, Hernández, 1995). En
cuanto estabilidad para ambos arreglos, el delOxlO fue más estable que el de 8x8.
Los resultados muestran que reducir la relación potencia - flujo mejora la estabilidad del
sistema. Dado que reducir la relación potencia - flujo la longitud de ebullición aumenta, esta
es un parámetro de gran utilidad para vigilar la estabilidad del sistema del sistema. Sin
embargo este parámetro, es también afectado por la forma que toma la distribución potencia
axial. Por lo que es importante realizar estudios tomando en cuanta esto y por supuesto la
retroalimentación por vacíos que es de suma importancia en este tipo de reactores nucleares
y principalmente para el nuevo tipo de ensamble combustible.
48
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Bird, B., Stewart, V. E. and Lightfoot, E. N., Fenómenos de Transporte, Cap. 2-3, editorial Reverté.
Castillo, R, 1998, “Análisis de estabilidad de Reactores de Agua en Ebullición Mediante un
Modelo Reducido”. Tesis de maestría, IPN, México.
González M V., Amador G. R., Castillo R., Hernandez J., 1995, Análisis del evento de
oscilaciones de potencia de la CNLV, CNSNS - TR - 13.
Kiseliov A., Krasnov M. y Makarenko G., Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,
Pag. 43, Ed. Quinto sol.
Lahey, R. T. y Podowsky, M. Z., 1989, On the analysis of various instabilities in two-phase flows
in Multiphase Science and Technology , (Eds. G. F. Hewitt, J. M. Delhaye and N. Zuber),
4, 183-371, Hemisphere, New York.
Lahey, R. T., 1992, Wave propagation Phenomena in two in Boiling Heat Transfer (Ed. R. T.
Lahey), 123-173, Elsevier.
Ogata, Katsuhiko, 1980, Ingeniería de Control Moderno, cap. 9, Prentice Hall.
Todreas, Neil E., Kazimi, Mujid S., Nuclear Systems I. (Thermal Hydraulic Fundamentals), 19- 168, H. P. C.
APENDICE A
ECUACIONES DE BALANCE
En esta sección se presenta el planteamiento de las ecuaciones fhdamentales de conservación
unidimensionales de masa, energía y cantidad de movimiento en cada región del canal. El
sistema a estudiar es el canal de ebullición que se muestra en la Figura l.
A.l Ecuaciones de balance de masa
Z z + d z
Figura A. 1. Balance de masa sobre un elemento de volumen, p densidad,
E Fracción de vacios, v velocidad del fluido.
A.l.l Flujo en una fase
El balance de materia sobre un elemento de volumen Ax Ay Az, a través del cual fluye un
fluido, da como resultado la ecuación de balance de masa o continuidad (Figura A. 1).
d d d d " P + - p v x +-pvy +--pv, = o dt dx dY dZ
Considerando el flujo únicamente en la dirección z la ecuación de balance de masa para el
fluido en una fase es
d d dt 8.7 -p+-pvz = o
Donde, p es la densidad del fluido en una sola fase, v, es la velocidad del fluido en la
dirección z. C
A.1.2 Fluido en dos fases
Realizando un balance de materia a un elemento de volumen Ax Ay Az, a través del cual está
circulando un fluido en dos fases se obtienen las ecuaciones de balance de masa para las fases
líquida, gaseosa y mezcla.
En términos generales el balance general de masa se puede escribir de la siguiente manera:
ENTRA - SALE + ACUMUUCION = GENERACION
2-A
fase gaseosa
Dividiendo por un elemento de volumen AV = Ax Ay Az y tomando el límite cuando Az+
O se tiene lo siguiente:
fase liquida
ENTRA - SALE + ACUMULACION GENERACION
De igual forma se llegará a la ecuación diferencial para la fase líquida;
pero
entonces
-PI a E, + - a p, E, Vl = -r* at aZ
Donde, pg es la densidad del gas, pl la densidad del líquido, Eg es la fracción de vacíos, EI la
fracción del líquido, r, término de generación de gas y Tl término de generación de liquido.
3-A
A.1.3 Ecuación de la mezcla bifásica
Sumando las Ecs. (A.4) y (A.7) se obtiene la ecuación de mezcla
La ecuación anterior puede escribirse como:
donde
(A. 1 O)
(A. 1 1 )
(A. 12)
Donde, v, y VI la velocidad del gas y del líquido en la dirección z respectivamente, j , y jl son
la velocidad superficial del gas y del líquido respectivamente y p,,, es la densidad de la mezcla.
Se puede observar que
a a -p,,+-G=O at az
(A. 13)
(A. 14)
donde G es el flujo másico por unidad de área.
4-A
A.2 ECUACIONES DE BALANCE DE ENERGIA
ENTRA SALE
I I
Z Z + d Z
Figura A.2. Balance de energía sobre un elemento
de volumen.
Realizando un balance de energía (Figura A.2) en cada una de las fases
fase gaseosa
fase líquida
a a -(p, E, h,)+”, E, h, .,)-El - = ___ aP 4;pc
at a Z at A
(A. 15)
(A. 16)
5-A
Sumando las Ecs. (A. 15) y (A. 16):
Donde, hg y hl es la entalpía del gas y del liquido respectivamente, hm es la entalpía de la
mezcla homogénea, q" es el flujo de calor por unidad de área, PC es el perímetro
calentado, A es é1 área de flujo, p es la presión.
La ecuación anterior se puede expresar como:
donde Pm esta dada por la Ec. (A. 12), Gm por la Ec. (A. 13) y
Para flujo en una sola fase se obtiene de hacer E , = O en la Ec. (A. 19)
entonces
(A. 18)
(A. 19)
(A.20)
(A.21)
6-A
A.3 ECUACIONES DE BALANCE DE MOMENTUM
vohwpen de liquido
volumen de vapor
rg
. Figura A.3. Balance de momentum en un elemento
de volumen.
A.3.1 Fluido en una fase
El balance de momentum (figura A.3), en forma general es:
{suma de herzas que actúan sobre el volumen de control} = {tasa a la que sale cantidad
de movimiento debido a flujo de refrigerante hacia hera del volumen del control} -
{rapidez de momentum que entra al volumen de control} + {rapidez de acumulación de
momentum en el volumen de control}
7-A
-G+".-GZ=--- d I d [' -+ KiS(z-zi) -+pl GZ g N
at az dz D h ] 2Pl
A.3.2 Fluido en dos fases
La ecuación de balance de momentum para la región bifásica es la siguiente
(A.22)
(A.23)
DondeJes el factor de Faning, Dh el diámetro hidráulico, K, factor de forma.
8-A
APENDICE B
PERTURBACION DE LA CAIDA DE PRESION EN LA REGION DE UNA FASE
En este apartado se explicará brevemente como se se obtuvo de la Ec. (1 8), aplicando el
método de perturbación y la Transformada de Laplace.
Dado que el fluido en la región de una fase se considera constante, por un lado, por que
el área de flujo es constante y no presenta cambios importantes en la densidad; por lo
cual se elimina el término espacial de la ecuación de catidad de movimiento Ec. (16).
1 .- Por lo tanto se aplicará la definición de Perturbación en la Ec. (16), que a
continuación se presenta:
En el estado base o estacionario la caída de presión en la región de una sola fase es igual
Integrando la Ec. (B.2) se tiene
Se introduce la perturbacih ( y=S y + yo) en la Ec. (B. 1) se tiene entonces:
i -E
Por lo tanto, separando términos de la anterior ecuación se tiene:
K. SAP,# + AP,#,~ = (SG SG + 2 Go SG + Gi )+ is-+* 2Pf
+ I[- '" + - GoSG+ dt DhPf
o
2.- El siguiente paso es linearizar la anterior ecuación, eliminando los términos de orden
superior los cuales son no lineales.
S G 6;1= No lineal
S G S G = No lineal
'SG dt
SA - = No lineal
d¿iG 62- = No lineal
Por lo cual al integrar la Ec. (B.5) pueden observarse con más claridad estos términos.
2-B
(8'8)
Se determina ahora la Transformada de Laplace (el método de la Transformada de
Laplace se aplica para que una hnción dependa de la variable de Laplace (S)).
6v/(t) + determinando la T. de la Laplace + S p(s)
en la ecuación diferencial de primer orden (considerando que las condiciones iniciales
sean igual a cero, de acuerdo a teorías de control) que aparece en la Ec. (B.10) que
puede definirse corno:
Entonces aplicando dichas definiciones en la Ec. (B. lo), se tiene
(B. 11)
Donde el simbQlo (M) significa que la variable está en función de la variable de Laplace.
Tomando encuenta que Sc = pf S? se sustituye en la Ec. (B. 11) y arreglandola para
que tome la siguiente forma:
4-B
APENDICE C
PERTURBACI~N DE LA CAIDA DE PRESION EN LA REGION DE DOS FASES
En este apartado se aplicará la definición de perturbación en la ecuación que expresa la
caída de presión en la región de dos fases, Ec. (26). Reescribiendola:
De la Ec. (C.l), el segundo término puede expresarse desarrollando en derivadas
parciales de la siguiente manera:
Para facilitar el desarrollo algebraic0 se define:
E n el estado estacionario la caída de presión en la región de dos fases es igual a:
Entonces intrcduciendo una perturbación en la Ec. (C.l), está puede escribirse de la
siguiente manera: 1 -C
Ahora separando términos se tiene lo siguiente:
2bGo6G bGi SAP24 + AP24.0 = +- +
Pm.0 P m . 0
BSG dGo 26G BSG 2G0 BSG 26G BG, 2G0 dG, +- +"+" +"+" + Bt P m , Q dz P m , O 8 2 P m , o P m , o Bz
donde G=G, y GO=G,,o.
Un especto importante que debe ser nombrado y que se observo en la Ec (C.5) es el
siguiente:
2-c
1 1 S P h << P h . 0
I " - S P h + Ph.0 Ph,O
(SG+G,)* =(SG)2 +2G,SG+Gi z 2GoSG+Gi
en la Ec. (C.8) el primer término del polinomio es no lineal por lo cual no aparece al
final.
El siguiente paso es linearizar la ecuación. Como en el caso anterior , se trata de eliminar
los terminos no lineales y los términos en el estado estacionario restando la Ec (C.4) de
la Ec. (C.6) llegando a lo siguiente:
Si se considera que la definición SG = j , SPh + P h , O S j y determinando la
Transformada de Laplace, y arreglando se tiene:
3 -c
+ Go S ~ ( S , z)}dz - Go no + -Go f + gpl fix(s) [ DH 1
4-c
APENDICE D
-FLUJO VOLUMETRIC0 EN LA REGION DE DOS FASES
Para determinar el flujo vohmétrico puede hacerse uso de las ecuaciones de masa para cada
fase.
Se multiplica el recíproco de la densidad para cada una de las fases, para que al sumar
ambas ecuaciones no desaparezca el término de generación. La suma de ambas ecuaciones
queda de la siguiente manera
Desarrollando en derivadas parciales los dos últimos términos de la Ec. (D.3) se tiene
En esta ecuación se puede observar que pueden despejarse los términos espaciales de flujo
volumétrico de la siguiente manera:
1 -D
En el estado de saturación p l = p f , se considera que p f , pg = f (p) por lo que se tiene
las siguientes definiciones:
" O f O f dp dz dp dz "-
Tomando en cuenta estas definiciones e introduciéndolas en la Ec. @S) se tiene
(D. 1 O)
Por la hipótesis de incompresibilidad y. estado estacionario la Ec. (D.lO) se reduce lo
siguiente
(D. 11)
2-D
Integrando la Ec. (D. 10) de manera que j o va dejen.o hasta jo(z) y z va desde & hasta
una distancia z, el flujo volumétrico puede ser expresado como:
Ahora hace falta definir el término de generación en estado estacionario To, el cual se
puede determinar por las ecuaciones de balance de masa y de energía:
Ecuación de masa de la fase liquida:
Ecuación de masa de fase gas:
d d x P g E g = --Gg +rg
dZ
Ecuación de energía de la mezcla:
- d p m h, = 9 + dP + G , hle + G,, h,, - G, h, - G,, hgs at
(D. 13)
@* 14)
(D. 15)
@. 19)
(D.20)
(D.2 1)
3 -D
Desarrollando en derivadas parciales el término de la izquierda de la Ec. (D.2 I), si
(D. 22)
(D.23)
(D.24)
Considerando que las condiciones de salida para un nodo bifásico corresponden a las de
saturación, a la presión del nodo, i. e.: esto es:
Por lo tanto sustituyendo (D. 1 9 , (D. 18) y (D.24) en (D.21) se tiene
q" + - + G, hle + Gge hge - GlS hf - Ggs hg dP A at
- "
(D.26)
4-D
( p l ~ l ~ + p , ~ g - ) = ~ + - + G l e h l e + G g e h g e - G l ~ h f dhf 3% dt A dP dt -Gg8hg
-Glehf + Gbhf + r g h f - Ggehg +Gg8hg - rghg
(D.27)
Por lo tanto, la Ec. (D.27) se reduce a lo siguiente
Los dos últimos términos de la Ec. 0 . 2 8 ) solamente adquieren importancia cuando la
presión varía considerablemente en la dirección de flujo. Si esta variación &era
despreciable se tiene
Por lo que la Ec. (D.28) queda de la siguiente manera:
si h5 hg = f (p) se tiene que
Sustituyendo la Ec. (D.30) en la Ec. (D.29)
(D. 3 O)
5 -D
Por lo cual, el estado estacionario de la Ec. (D.3 1 ) es:
(D.32)
Por lo tanto, sustituyendo la Ec. (B.32) en la Ec.(B.12). El flujo volumétrico está
determinado por:
donde
(D.34)
6-D
APENDICE E
SOLUCION DE LA ECUACI~N DIFERENCIAL z)
En esta sección se explicará el proceso de integracion de la Ecuación Diferencial Ordinaria
(EDO) no homogénea de primer orden Ec. (7 1) la cual se presenta a continuación:
El tipo de solución se plantea de la siguiente manera:
Donde, &) es un coeficiente constante de la ecuación diferencial, a(s) representa
término de la derecha de la Ec. (E. 1); por lo cual la ecuación homogénea es la siguiente:
Entonces la solución es:
y(x) = c e-p(')x
El tipo de solución de la ecuación no homogénea es:
Y (4 = -&)x
Sustituyendo la Ec. (E.5) en la Ec. (E.2) se tiene:
- ds)c(x)e- ~ ( s ) x + C'(x)e-p(')X + q(s)~(x)e-p(')~ = a(s)
I -E
Por lo tanto sustituyendo la Ec.(E.8) en la Ec. (E.5) se tiene
Si y es una variable general que depende de x. Por lo tanto x=z y y(.) = S &(S, z).
Entonces realizando estos cambios en la solución de la ED0 no homogénea (E.9), con el
fin de definir la solución de Ec. (E. 1)
Aplicando la condición de frontera SG(s,O) = S4,en(s) C es igual a
sustituyendo la Ec. (E. 11) en la Ec. (EIO)
(E. 1 O)
(E. 12)
2-E
Realizando el cambio p(s)= +(S) y .(S) por el término de la derecha de la Ec. (E. l), para
evaluar la ecuación. Si z = 2, entonces s&(s, A,) la EC. (E. 12) es igual a
3 -E
APENDICE F
SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL 6 pm (S, z)
En esta sección se explicará la integración de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) no
homogénea de primer orden Ec. (99) la cual se presenta a continuación.
Donde la solución a la Ecuación Homogénea es:
y la solución a la ecuación no homogénea es:
Sustituyendo la Ec. (F.3) en la Ec. (F. 1) se tiene se tiene:
I -F
Si ordenamos la Ec. (F,5) se tiene
(F.6) integrando se tiene:
Por lo tanto sustituyendo la Ec. (F.3)
Por lo tanto la solución a la E D 0 Ec. (F. 1 ) es
1
I + h u + C
2-F
Aplicando la condición de frontera Ec. (F. 10) en la Ec. (F.9)
(F. 1 1 )
Finalmente, sustituyendo la Ec. (F. 1 1 ) en la Ec. (F.9) se tiene la solución general de la E D 0
Ec. (F. 1).
3 -F
APENDICE G DEFINICION FUNCIONAL DE VARIABLES
En esta sección se presenta la definición de las variables que se indican en la sección 8.
(LC - ;1 ,~2s-Ro)f + + ]{exp[(*, - s)~.c]- 1 2 4 ( s - R , ) (.-ay
l-[exp(-~~~ex)]+-[exp(-srex)-lli a0 S
+
Donde:
.
Tp + Txat Y3 = 4;
2 - 6
APENDICE H
PARAMETROS PARA EL CANAL DE EBULLICIóN
En este apartado se presentan los parámetros que se utilizan para el desarrollo del
programa:
TABLA H - I
PRUEBA Y
SUPERFICIAL REACTOR REACTOR BARRAS DE ESTADO DE
POTENCIA POTENCIA DEL POTENCIA DEL PATRON DE
OPERACI~N (W/m2) NOMINAL (W) Q (%I CONTROL (%)
1
2
1.885E05 1.679 E06 38.6 80
3.156 E05 3 .131 E06 72 1 O 0 6
2.735 E05 2.435 E06 56 1 O0 5
2.320 E05 2.066 E06 47.5 1 O 0 4
2.930 E05 2,609 E06 60 80 3
2.222 E05 1.979 E06 45.5 80
-
TABLA H-I1
PRUEBA Y
SUPERFICIAL ENEL ESTADO REFRIGERANTE REFRIGERANTE BARRASDE ESTADO DE VELOCIDAD FLUJO MASICO FLUJO DE FLUJO DE PATRON DE
OPERACI~N DEL FLUIDO ESTACIONARIO NOMINAL w (%) CONTROL (%)
(kg./%?.) jo (dseg. ) Go (kg./seg-m*)
1
1.305 946.586 10.486 60 1 O 0 6
0.870 63 1 .O58 6.991 40 1 O 0 5
0.622 45 1.206 4.999 28.6 100 4
1.305 946.586 10.486 60 80 3
0.870 63 1.058 6.991 40 80 2
0.622 45 1.206 4.999 28.6 80
1 -H
TABLA H-III
2
O. 004 11880 60 3
0.005 8788 40
2 -H
APENDICE I
I. 1 TABLA DE EQUIVALENCIAS
Tabla de variables utilizadas en la programación
p= Variables del ro rama
CPf
cpg cpp CPZ
CR
Ddc
De I Of
I HfenO
jinO
Kex
Descripción Variables del modelo Area de flujo
CPf Calor especifico del calor
A TC Area de transferencia de A
combustible Calor especifico del gas
Cp, Calor especifico promedio. cp,
R Constante universal de los encamisado
cpz Calor especifico del
gases. I Diámetro de la barra de combustible.
D b c
or Densidad del combustible. D, Diámetro equivalente.
Densidad del gas en la
Dfi Diámetro ocupado por el gas holgura.
Pg
en la holgura. Diámetro ocupado por el fgz encamisado. Diámetro hidráulico. EsDesor del canal.
Dh Ef-
Espacio libre entre celda.
área. Go Flujo másico por unidad de
ELC
Entalpia de saturación. Ht;en, 0 Entalpía de saturación a la
hf
entrada del canal en el estado estacionario.
entrada del canal en el estado estacionario. Conductividad térmica del flujo en una fase.
K14
del canal. KS, Factor de forma a la salida
I I cana¡ en estado estacionario. I Tg
v, Volumen de gas en la vg Vf Volumen del combustible. Vf
Temperatura del gas en la ""
holgura.
holrmra. men0 Volumen especifico
líquido a la entrada del canal I 6, en, O
en estado estacionario. V.
W Flujo nominal a la entrada Wn vz Volumen del encarnizado.
del núcleo del reactor.
del núcleo del reactor en por ciento.
WnP ""_ Flujo nominal a la entrada
P Fracción de masa del xf
pr Densidad del zircaloy.
Fracción de masa del gas en x4
""
combustible. ""
2-1
la holgura.
encarnizado. xz
a Frecuencia de cambio de fase Lb
Fracción de masa del ""
C
3-1
1.2 PROGRAMA (MEMORZA DE CALCULO)
En este apéndice se determinan los parámetros fisicos (masa, densidad, calor específico, propi& des termodinámicas) y geométricos (volumen del combustible, área de transferencia de calor, área flujo, perimetro calentado)
Combustible: Dióxido de uranio a Temperatura de 1000 K.
R f . = 5.207. 10-3.m Lan := 3.81.m O f : = 10400.- kg 3 m
Mf =209.255*kg
Cpf ,= 324jouIe.kg *.K-
Holgura: En este caso se tomara la consideración que el gas que se encuantra en la holgura será helio del cual se calcula la masa empleando la ley de gases ideales a una temperatura de 600 OK y 1 atm.
Rg . = 1.143- 1OS4.m Dfg := 2*(Rf+ Rg) Vg IrDfgLan.Rg
Encarnizado (zircaloy):
Rz := 8.128.10- .m 4
Dfgz = 2.(Rf + Rg + Rz)
Vz : = rDfgzLan.Rz
Dg ~ 2 . 5 2 0 1 0 4 *kg-rnv3
TC : = 27 O C
Lr : = 2 .373 .10 -~ + 6.721.10-6.Tc
Lz ' = 2.506. + 4.441-10-6 .T~
6 5 5 1 . 4 . k g n ~ - ~
1 + 1.5.(Lr + Lz) pz : =
pz = 6.544010 3 *kg*m-3
MZ = 48.423-kg
Cpz = 28 1 joule. kg ' .K- '
Para el análisis de estabilidad los parámetros fisicos de las barras de combustible, la masa y calor específico que se emplean son promedios pesados.
Masa total :
Mt . = Mf +Mg+Mz Mt =258.045*kg
Fracción masa : x f : = Mf -
Mt
Masa promedio :
M" xg = - Mt
M . xz := -
Mt
d= 0.81 1
xg = 0.001
xz = O. 188
M p = 178.777.kg
DT = 9 .697010~ *kg*m -3
Calor especifico promedio :
cpp ' = Cpfd+ cpg.2- + Cp2.p
Cpp =322.854*kg -1 .K-l goule
Condiciones a la entrada del núcleo:
Ten0 ' = 550.8.K
3 V7enO = 1.3256.10- S-
3 m
kg
hfen0 1225.4.10 .- 3 joule
kg
PI ' = nena-
pI = 754.375.kg.m -3
6-1
Condiciones a la salida del núcleo:
Tsat := 566 .33-K
Subenfriamiento a la entrada:
&?.sub = hf - hfen0 AHsub = 8.28 . lo4 -kg" 9ouIe
pf , = vf ' pf = 725.584bkg.m -3
vfg : = vg - Vf vfg = 0.023.kg" *m 3
ProDiedades aeométricas del canal de ebullición:
Area de transfiencia de calor 'I:
LTC . = 0.305.m
ELC : = 0.007,m
Lb ' = 3.81.m
7-1
AHT := 4.L-Lb AHT=2.111.m2
Masa por unidad de longitud (ML) ML ' = DTAHT
ML = 2.047*104 *kg*rn-'
I' Area de flujo ":
Axs =0.01 1.m 2
I' Perímetro calentado ' I :
Nbc ' = 62
PH .= Nbc. ( z Dbc)
PH = 2.337.m
8-1
I' CONDICIONES DE EPERACION DEL REACTOR"
Flujo total a la entrada del núcleo (Wt): Wt .= 7.76.10 e-
sec 3 kg
Flujo a la entrada del canal (Wc):
Ntc := 444
Potencia total del núcleo (Qt) :
wt wc : = -
Ntc
6 joule see
Qt ' = 1931.10 .-
Wc = 17.477-kg*sec"
Potencia total por canal (Qc) :
Qt QC . = - Ntc
Qc =4.349-10 asee -joule 6 -1
Prueba de aplicación del modelo de la termohidráulica del núcleo en las condiciones de baja estabilidad de acuerdo con el mapa potencia - flujo, Figura (7). Del cual se obtienen los siguientes datos nominales.
Qnp = 60 YO Wnp : = 60 YO
9-1
Wn := -. wnp wc Wn = 10.486.kg*sec-l 1 O0
Qnp Qn . = ---.ec 1 O0 Qn = 2.609-106 *kg*m2 * ~ e c - ~
Flujo de calor axial uniforme q" .
DCO = Dbc
q"=2.93*10 *m asee .joule 5 -2 -1
El flujo másico y por ende la velocidad del fluido a la entrada del canal en el estado estacionario, se determina de la siguiente manera:
Go jinO -
Pf
10-1
El siguiente paso es determinar el coeficiente de transferencia de calor en el fluido de una sola fase, por medio de la siguientes correlaciones:
p l # := 98.29. 10-6.kg.m- '.set ' KI# := 0.5773.wcrtt.m - 1 .K- 1
El diámetro hidráulico es:
pfjin0. DH Re =
PI#
Pr : = 0.898
Per := 16.2. 10-3.m
DH =0.016-m
Re = 1.526010~
Pe ,= RePr Pe = 1.37-10 5
Utilizando la siguiente correlación de Nusselt se puede determinar el coeficiente de transferencia de calor para el fluido en una sola fase:
Per 0.8 - 0.024.- NU := 0.25 + ( 6.2.- E) + (0.O3llbc - 0.007 Dbc
Per
Nu = 326.122
Nu.KI # HI@ :=
DH HI@ = 1.188*104 e r r p 2 -sec goule -1 *K-l
El factor de fricción es: f : = O. 046.Re- o'2 f =0.004
La aceleración gravitacional:
g := 9.81 dseg2
a : = 0.8
Factores de forma:
región de una sola fase: Kin := 7.525
región de dos fases: Kex := 7.725
Frecuencia ángular: w : = .3.rad.seC‘ ,.4.rad.seC .. 6.5.rad.seC’
Longitud axial del canal: Z := Lb
Longitud de ebullición en el estado estacionario es:
Determinando los siguientes parámetros:
;EO = 1.268-m
12-1
w i -/zo h f + - +Kin + (- jin0.f + - - ) . A l ( w ) ] g r q w ) : = GO.
jinO DH 29DH jinO
‘Frecuencia característica de cambio de fase:
C
Flujo en la región de dos fases:
jo (Z) : = L b ( Z - /20) + jinO
Constante de tiempo en la región de dos fases:
Lb = 0.97esec -1
j o (Z ) = 3.77-m.sec -1
e x = 1.094.sec
13-1
I
Por medio de las ecuaciones que se presentan en el apéndice G, se determinan las siguientes fbnciones:
jin0, f L b w i 2-DH ( m i - &).(wi - 2 . ~ 2 2 )
.(exp((2.m - wi ).rex) - 1)
jin0.f g .(exp(-wi .zex) - e x p ( - m - e x ) ) + m + - + -
jinO (mi - &I) 2.DH jin0
Por lo tanto introduciendo estas fbnciones en la fbnción de transferencia para contruir el diagrama de Nyquist y el diagrama la frecuencia característica se tiene:
1 I I I I I
Diagrama de
Nyquist
1 I I I I I
0.5 -
0 -
-0.5 -
-1 -
-1.5 I I I I -1 -0.5 O 0.5 1
I
1 .S 2
Frecuencia característica
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
F( u>
15-1
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer:
A Dios por lograr un objetivo más en mi vida y permitir desarrollando mis
metas propuestas.
0 De una manera muy especial a mis asesores: Al Dr. GILBERT0 ESPINOSA
y al M. C. VÍCTOR M. GONZALES MERCADO por la oportunidad de
trabajar con ellos, las herramientas para realizarlo y el apoyo incondicional.
Aquellos profesores que me trasmitieron su conocimiento.
A familiares por su interés, cariño y confianza.
Principalmente a mis padres Vicente y Olga por darme la vida, la
fuerza, la confianza, la comprensión y la paciencia para llegar a este gran
momento en mi vida.
0 A mis hermanos Marco y Aurora por su interés, apoyo y cariño.
Gracias
INDICE
RESUMEN .................................................................................................................... i
NOMENCLATURA II
1 . INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 1 Oscilaciones por Ondas de Densidad ................................................................. 2
2 . DESCRIPCION DEL MODELO FISICO Y CONCEPTUAL .................................. 3
2.1 Modelo Físico ................................................................................................... 3
2.2 Modelo Conceptual ........................................................................................... 3
3 . METODOLOGIA ..................................................................................................... 7
4 . ECUACIONES DE BALANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Ecuaciones para flujo en una sola fase ................................................................ 8
4.2 Ecuaciones para flujo en dos fases ...................................................................... 9
5 . CALCULO DE CAIDAS DE PRESION ................................................................ 11
6 . PARAMETROS EN ESTADO ESTACIONARIO ................................................ 14
7 . FUNCIONES DE CERRADURA .......................................................................... 16
7.1 Cerradura SJ’ (S, z) ......................................................................................... 16
7.2 Cerradura ST (S, z) ......................................................................................... 17
7.3 Cerradura Sa (S, 2) ......................................................................................... 24
7.4 Cerradura Spm (S, z) ....................................................................................... 26
8 . CAIDAS DE PRESION EN LA FORMA FUNCIONAL ........................................ 30
9 . CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE CONTROL ..................................... 31
9.1 Concepto de análisis de estabilidad ................................................................... 31
9.2 Función de transferencia y diagrama de bloques ................................................ 32
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Función de transferencia ......................................................................... 32
9.2.2 Diagrama de bloques .............................................................................. 33
9.3 Respuesta a la fiecuencia .................................................................................. 33
9.4 Análisis de un sistema usando Diagramas de Nyquist ........................................ 34
9.5 Criterio de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.6 Función de transferencia para un canal de ebullición ......................................... 35
9.7 Criterio de Estabilidad de Nyquist .................................................................... 38
. . . 10 . Apllcaclon de modelo ........................................................................................... 38
1 O . 1 Pruebas realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.2 Como trabaja el programa .............................................................................. 40
10.3 Representación programada del modelo ......................................................... 41
11 . RESULTADOS Y DISCUSION .......................................................................... 42
1 1 . 1 Análisis de estabilidad en la CNLV ................................................................. 42
11.2 Análisis de estabilidad del nuevo tipo de combustible ...................................... 45
12 . CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
APENDICE A ECUACIONES DE BALANCE
APENDICE B PERTURBACI~N DE LA CAIDA DE PRESIÓN EN LA
REGIóN DEUNA FASE .
APENDICE C PERTURBACION DE LA CAIDA DE PRESION EN LA
REGION DE DOS FASES .
APENDICE D FLUJO VOLUMETRIC0 EN LA REGION DE DOS FASES .
APENDICE E S O L U C I ~ N DE LA ECUACION DIFERENCIAL sK(s . Z )