universidad autonima de sinaloa unidad academica

UNIVERSIDAD AUTONIMA DE SINALOA

UNIDAD ACADEMICA PREPARATORIA CENTRAL DIURNA

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GUIA DE APOYO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS III

Conceptos básicos de Geometría y cálculo de ángulos 1. Realiza los siguientes ejercicios sobre los conceptos básicos de la geometría

2. De acuerdo con la figura, contesta las siguientes preguntas

a) ¿Cuáles son tres rectas concurrentes?

b) ¿En qué punto concurren esas rectas?

c) ¿Qué recta interseca a la recta GH?

d) Indica tres puntos que sean colineales

3. En la siguiente figura, M es el punto medio del segmento AB, entonces, ¿Cómo son los

segmentos 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ y 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅?

4. ¿Cuáles son las rectas que se encuentran en el mismo plano y por más que se prolonguen

nunca se interceptan? Responde la pregunta e indica un ejemplo

5. ¿Cuáles son las rectas que al intersecarse forman ángulos iguales? Responde la pregunta

e indica un ejemplo

6. En la siguiente figura, ¿qué puntos son coplanares?, ¿qué puntos no son coplanares?

Puntos H,

Rectas

Segmentos 𝐽𝐾̅̅ ̅,

Rayos



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7. ¿Qué tipo de ángulo es el ángulo a respecto al ángulo de 47°?, determina su medida

8. Plantea y resuelve una ecuación para determinar

a) El complemento de un ángulo de 33°

b) El suplemento de un ángulo de 91°

c) El suplemento de un ángulo de 16°

d) El complemento de un ángulo de 89°

e) El suplemento de un ángulo recto

9. Calcula la medida de los ángulos que se indican

10. ¿Cuál es el ángulo que mide más de 90° y menos de 180°?

11. Calcula la medida de los ángulos que se indican

12. Nombre que recibe el ángulo que mide 180°



3

13. Determina el valor del ángulo a

14. Determina el valor de los ángulos a y b

Ángulos entre paralelas y construcciones geométricas con Geogebra

1. Encuentra la medida de todos los ángulos, L1 y L2 son paralelas

2. La recta R1 es paralela a la recta R2, determina la medida del ángulo x

3. Las rectas R1, R2 y R3 son paralelas, determina la medida de los ángulos indicados



4

4. Las rectas R1 y R2 son paralelas, determina el valor de x y las medidas de todos los ángulos

que se forman

5. El ángulo marcado mide 289°, L1 paralela a L2, determina la medida de los demás ángulos

que se forman

6. El siguiente trapecio es isósceles, AD//BC, ∢ BAD = ∢CDA = 37° determina la medida de los

cuatro ángulos internos



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Tipos de triángulos – Rectas y puntos notables del triángulo

1. Completa el cuadro escribiendo Sí cuando los triángulos cumplen

simultáneamente las propiedades indicadas y No en caso contrario.

Ángulos

Lados

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Equilátero

Isósceles

Escaleno

2. En Geogebra construye un triángulo acutángulo, un triángulo

obtusángulo y uno rectángulo.

3. Traza en cada uno de ellos las cuatro rectas notables

4. Marca los puntos de intersección de las rectas notables

5. Comprueba (midiendo) que la distancia de cada vértice del triángulo al

baricentro es 2/3 de la mediana respectiva.

6. Comprueba (midiendo) que el circuncentro es equidistante de los tres

vértices.

7. Comprueba (midiendo) que la mediana de un triángulo rectángulo

trazada desde el ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.

8. Contesta lo siguiente

a) Es la intersección de las alturas de un triángulo ___________

b) Al punto de intersección de las medianas se le denomina ________

c) Es la intersección de las mediatrices ____________

9. Los triángulos por sus lados se clasifican en:

10. Los triángulos por sus ángulos se clasifican en:



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11. Del ejercicio 2.4 de la página 62 de tu libro de texto, resuelve los

ejercicios 3 y 4 que se muestran en la figura. En el inciso b) las marcas

iguales indican lados iguales.

Congruencia de triángulos

1. Explica en que consiste el criterio de congruencia AAL y anota un ejemplo.

2. Indica que par de triángulos son congruentes justificando con el criterio correspondiente



7

3. Realiza los ejercicios 4,5,6,7,8 y 9 del ejercicio 2.7 de la página 75 de tu libro de texto

correspondientes a triángulos congruentes.

4. Explica en que consiste el criterio de congruencia LAL y anota un ejemplo

5. Explica en que consiste el criterio de congruencia ALA y anota un ejemplo

Semejanza de triángulos

Nota importante: para realizar los ejercicios y problemas de esta actividad deberás

revisar los conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 80 – 94 de tu libro de

texto. Además de los apoyos teóricos que están en la sección de Recursos.

1. Demuestra que los siguientes triángulos son semejantes e indica cual es el criterio

que corresponde.

2. Demuestra que los triángulos son semejantes y a través de la proporcionalidad de los

lados encuentra el valor de x.

3. Las longitudes de los lados de un triángulo son: 130m, 120m, y 50m. Las medidas

de los lados de otro triángulo son: 13m, 12m y 5m. ¿Los triángulo son semejantes?,

realiza la demostración con el criterio correspondiente.



8

4. Un triángulo tiene dos ángulos que miden 50° y 79°, otro triángulo tiene dos ángulos

que miden 51° y 79°, ¿los triángulos son semejantes?, si es así indica el criterio

correspondiente. Justifica tu respuesta.

5. Un triángulo tiene dos lados de longitud 10 cm y 6 cm y el ángulo comprendido entre

ellos de 100° . Otro triangulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es

de 100°. Demuestra si los triángulos son semejantes indicando el criterio

correspondiente y la razón de semejanza.

6. Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 12 cm, 14 cm y 9 cm. Si el

lado correspondiente en otro triángulo (semejante al primero) al lado de 14 cm, mide

35 cm, determina la medida de los otros dos lados.

7. Problema 5 de la página 93 del libro de texto



10. Demuestra que, en todo triángulo rectángulo, si se traza la altura a la hipotenusa desde

el vértice del ángulo recto se forman dos triángulos semejantes.

Semejanza de triángulos Nota importante: para realizar el ejercicio 1 de esta actividad deberás revisar los conceptos y

ejemplos resueltos de las páginas 94 y 95 de tu libro de texto. Además de los apoyos teóricos

que están en la sección de Recursos.



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1. Ejercicios del libro de texto. En los ejercicios siguientes despeja x utilizando el

Teorema de Tales. Los segmentos marcados con flecha son paralelos.

Nota importante: para realizar los ejercicios y problemas de esta actividad deberás revisar los

conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 97 al 101 de tu libro de texto. Además de los

apoyos teóricos que están en la sección de Recursos.

2. Ejercicios del libro de texto. Obtén el lado desconocido en cada triángulo utilizando

el teorema de Pitágoras y el concepto de media proporcional.

3. Problemas del libro de Texto. Resuelve los siguientes problemas utilizando el

Teorema de Pitágoras.



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Razones trigonométricas

Nota importante: para realizar el ejercicio 1 de esta actividad deberás revisar los

conceptos y ejemplos resueltos de las páginas 107 a 115 de tu libro de texto.

Además de los apoyos teóricos visuales (videos) que están en la sección de

Recursos.

1. Realiza los ejercicios 1 al 11 correspondientes al ejercicio 4.1 de la página 116 del

libro de texto.

2. Con base en las medidas del triángulo de ángulos agudos de 45° como se muestra en

la figura, determina las razones trigonométricas indicadas. Los resultados deben ser

exactos (no usar calculadora). Puedes basarte en la información de la página 117.

a) 𝑠𝑒𝑛(45°)

b) 𝑐𝑜𝑠(45°)

c) 𝑡𝑎𝑛(45°)

d) 𝑐𝑜𝑡(45°)

e) 𝑠𝑒𝑐(45°)

f) 𝑐𝑠𝑐(45°)



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3. Con base en las medidas del triángulo de ángulos agudos de 30° y 45° como se

muestra en la figura, determina las razones trigonométricas indicadas. Los resultados

deben ser exactos (no usar calculadora). Puedes basarte en la información de la página

117.

a) 𝑠𝑒𝑛(30°) g) 𝑠𝑒𝑛(60°)

b) 𝑐𝑜𝑠(30°) h) 𝑐𝑜𝑠(60°)

c) 𝑡𝑎𝑛(30°) i) 𝑡𝑎𝑛(60°)

d) 𝑐𝑜𝑡(30°) j) 𝑐𝑜𝑡(60°)

e) 𝑠𝑒𝑐(30°) k) 𝑠𝑒𝑐(60°)

f) 𝑐𝑠𝑐(30°) l) 𝑐𝑠𝑐(60°)

4. Determina las siguientes razones trigonométricas con ayuda de tu calculadora

a) cos (132°)

b) sen (47°)

c) tan (88°)

d) csc (40°)

e) sec (70°)

f) ctg (65°)

g) cos (132°)

h) cos (27° 30´)

i) sen (31° 25´)

Además de apoyarte en tu libro de texto, en la siguiente dirección electrónica encontrarás

la forma en que puedes determinar triángulos rectángulos con ángulos de 30 y 60 grados

agudos, y de 45 grados.

Aplicaciones de la Trigonometría (resolución de triángulos rectángulos)

Nota importante: para realizar el ejercicio I de esta actividad deberás revisar los conceptos y

ejemplos resueltos de las páginas 125 y 126 de tu libro de texto. Además de los apoyos

teóricos visuales (videos) que están en la sección de Recursos.

Los ejercicios 1 y 2 son de resolución de triángulos rectángulos. Ejercicio 4.5 de la página

127 de tu libro de texto.



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1. Encuentra la medida indicada

2. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (determina lo faltante, lados o ángulos)

3. Si en el triángulo ABC, 𝑠𝑒𝑛𝐴 =1

5, determina la medida de los lados del triángulo

4. En un triángulo PQR, el cos(𝑄) =2

3, determina la medidas de los lados del triángulo.



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5. En un triángulo MNL, la tan(𝑀) =7

5, determina la medidas de los lados del

triángulo

Aplicaciones de la trigonometría (problemas con triángulos rectángulos)

Para realizar los ejercicios de esta actividad deberás revisar los conceptos y

ejemplos resueltos de las páginas 128 y 129 de tu libro de texto. Además

de los apoyos teóricos visuales (videos) que están en la sección de Recursos.

En estas páginas de tu libro de texto se revisa el concepto de ángulo de

elevación y ángulo de depresión, los cuales son necesarios para la resolución

de problemas de este apartado.

1. Una cometa queda atorada en las ramas de la copa de un árbol. Si el hilo de 90 pies de

la cometa forma un ángulo de 22° con el suelo, estime la altura del árbol, calculando la

distancia de la cometa al suelo.

2. Un edificio proyecta una sombra de 20 m de longitud. Si el ángulo de la punta de la

sombra a un punto en la parte alta del edificio es de 69° ¿qué altura tiene el edificio?

3. Dos árboles están en las orillas opuestas de un río, como se ve en la figura. Se mide

una línea de referencia de 100 pies del árbol T1 y de esa posición se mide un ángulo b



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a T2, que resulta de 29.7°. Si la línea de referencia es perpendicular al segmento de

recta entre T1 y T2, calcule la distancia entre los dos árboles.

4. Una torre de 50 pies está a la orilla de un río. El ángulo de elevación entre la orilla

opuesta y la punta de la torre es de 37°. ¿Qué anchura tiene el río?

5. Con base en el siguiente ejemplo resuelto.

Determina la altura de la montaña

Referencia:https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-

Dewar/%5BZill,Dewar%5DAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica(cap10).pdf

Razones trigonométricas

https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-Dewar/%5BZill,Dewar%5DAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica(cap10).pdf

https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-Dewar/%5BZill,Dewar%5DAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica(cap10).pdf



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1. ¿En qué cuadrante se encuentra el lado final de cada uno de los siguientes ángulos

dibujados en posición normal? Compruébalo haciendo el dibujo. Indica también en cada

caso, un ángulo coterminal con el ángulo dado.

53° 460° 500°

253° 405° 800°

-126° -32° 365°

-373° 290° -6°

2. Realiza el siguiente ejercicio (página 153 de tu libro de texto)

Utiliza la tabla de valores exactos para ángulos notables, para hallar los valores de

la función trigonométrica de los ángulos que se indican.

Ángulo Seno Coseno tangente cotangente secante cosecante

150°

210°

310°

135°

225°

3. Convierte a radianes los ángulos de 30° 𝑦 120°

4. Realiza los ejercicios del 1 al 5 de la página 146 de tu libro de texto

a) R(5,8) es un punto del lado final de un ángulo A, y S(3,6) es un punto del lado

final de un ángulo B, ¿Qué ángulo es mayor?

b) Las coordenadas del punto P del lado final de un ángulo A son (3,7). Determina

las funciones trigonométricas y la medida de A.

c) La abscisa de un punto P del lado final de un ángulo B del primer cuadrante es 2,

y su distancia al origen es 10. Determina las funciones trigonométricas y la

medida de B.



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d) La coordenada de un punto P del lado final de un ángulo B del primer cuadrante

es 4, y su distancia al origen es 9. Determina las funciones trigonométricas y su

medida de B.

e) Un punto P del lado final de un ángulo B se encuentra a 10 unidades del origen.

Si B=45°, halla las coordenadas de P.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas sencillas de la página 159 de tu

libro de texto. Para resolver los siguientes ejercicios debes revisar los conceptos de

las páginas 154 – 159 de tu libro de texto. Puedes utilizar calculadora.

1. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.6921 8. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −√3 = 0

2. 𝑠𝑒𝑛 ∝= 0.8965 9. 2𝑐𝑜𝑠 ∝ +√3 = 0

3. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.9648

10. 3𝑡𝑎𝑛 ∝ −√3 = 0

4. 𝑡𝑎𝑛 ∝= 1.37

11. 3𝑡𝑎𝑛 ∝ +√3 = 0

5. 𝑐𝑜𝑠 ∝= 0.5140

12. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −√2 = 0

6. 𝑡𝑎𝑛 ∝= 5.005

13. 2𝑐𝑜𝑠 ∝ −√2 = 0

7. 2𝑠𝑒𝑛 ∝ −1 = 0

Gráficas de funciones trigonométricas Para realizar la actividad, además de los apoyos que están al final, puedes apoyarte en las

páginas 160-164 de tu libro de texto.

1. Realiza la gráfica de las funciones (a mano) indicando los puntos por donde la

gráfica corta al eje x.

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

b) 𝑦 = cos (𝑥)

c) 𝑦 = tan (𝑥)

2. En geogebra realiza las siguientes gráficas

a) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥)



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b) 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

c) 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥)

d) 𝑦 = −5 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

e) 𝑦 = 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

f) 𝑦 = −𝑡𝑎𝑛(𝑥)

g) 𝑦 = 2 + 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

Identidades trigonométricas – ley de senos y cosenos 1. Demuestra las identidades de los ejercicios 1 a 8 de la página 176 de tu libro de texto

Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 183 del libro de texto. En cada caso resuelve cada

triángulo oblicuo determinando todos los lados y ángulos.



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Aplicaciones de las leyes de senos y cosenos

Resuelve los ejercicios de aplicaciones de las Leyes de Seno y Coseno de la página 183 de

tu libro de texto

Polígonos

Para realizar esta actividad, debes revisar los conceptos, problemas y

ejercicios resueltos de las Páginas 187 – 216 de tu libro de texto.

1. Define polígono convexo



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2. Define polígono cóncavo

3. Escribe la definición de diagonal y proporciona un ejemplo para polígono cóncavo y

otro para convexos.

4. Indica la clasificación de los cuadriláteros

5. Define rombo y romboide, indicando su diferencia

6. Realiza el ejercicio 6.3 de la página 196 (ejercicios del 1 al 7) de tu libro de texto

7. Realiza el ejercicio 6.4 de la página 201 (ejercicio 1) de tu libro de texto

8. Segmentos de la circunferencia. Define los siguientes conceptos



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a) Cuerda

b) Radio

c) Diámetro

9. Realiza el ejercicio 6.4 de la página 214 de tu libro de text

Perímetro, área y volume

Todos los resultados debes indicarlos en las unidades correspondientes

1. Determina el área de un triángulo equilátero que mide como lado 4 cm.

2. Encuentra el área de un pentágono regular de lado 5 cm.

3. Determina el volumen de un prisma rectangular, recuerda que el volumen es:

V=(área de la base)(altura)

4. Resuelve los ejercicios de los incisos a), b), c) y d) de la página 221 de tu libro de

texto.



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5. Realiza los ejercicios de los incisos a, b, c, d y e del ejercicio 6.11 página 224 de tu

libro de texto

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