Unitat 6

EL CILINDRE

La Torre Westhafen

Frankfurt

Frankfurt Westhafen Tower, Andreas Praefcke2011a,CCBY 3.0

2

Índex

Unitat 1: L’ortoedre. L’Aula . d’un institut. Unitat 2: El cub. L’Escola Zollverein d’Administració i Disseny. Unitat 3: El prisma triangular. L’Edifici Fòrum. Unitat 4: El prisma pentagonal. El Pentàgon. Unitat 5: La piràmide. L’Hotel Luxor. Unitat 6: El cilindre. La Torre Westhafen. Unitat 7: El con. Melbourne Central. Unitat 8: L’esfera. L’Ericsson Globe. Unitat 9: Síntesi

Autors

Germán Arbiol Oliver Ramon Miquel Bergadà Marimon Rosa Castillo Cervelló M. Montserrat Córdoba Marsà Andreu Grau Bernadó Palmira Ortiz Escoda Montserrat Siscart Alberich

Els textos i gràfics publicats en aquests materials estan subjectes a una llicència Creative Commons. La llicència completa es pot consultar a http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Amb el suport de

3

Unitat 6: EL CILINDRE

La Torre Westhafen

Westhafen Tower és un edifici ubicat en una de les zones riberenques més destacades de Frankfurt, el nou districte central Westhafen. Es tracta d'un espectacular edifici d'oficines, en forma de cilindre, de 109 metres d'alçada i 37,5 metres de diàmetre que, immediatament, crida l'atenció en creuar el riu Main.

Aquesta obra mestra dels arquitectes Schneider i Schumacher (va rebre un premi pel seu disseny) és una reminiscència de les torres històriques de Frankfurt, que en el passat van marcar l'entrada de la ciutat.

Detall de la façana, ais3n ©,CC BY-NC 2.0

Oficines ©,Woolve.com CC BY-NC-ND 2.0

NordNordWest CC BY-SA 3.0

Alemanya

Frankfurt Westhafen Tower, Andreas Praefcke2011a, CC BY 3.0

4

La seva forma distintiva ha fet que la Westhafen Tower sigui un dels edificis més coneguts de la ciutat. Els 3.556 elements triangulars de la façana formen una brillant closca verda de més de 12.000 m². La torre té 5 pisos subterranis, 2 pisos mecànics i 29 pisos de forma quadrada que permeten la partició fàcil i eficient de l'espai. Cercle i quadrat es complementen entre si d'una manera creativa.

Disposa de 299 places d’aparcament, de 9 ascensors i de 30 jardins d'hivern, creats en els espais oberts, que permeten reduir el consum d'energia de la torre. Les finestres triangulars faciliten la ventilació natural de les oficines i per a la refrigeració de l’edifici s’utilitza l'aigua del riu Main.

Frankfurt és la ciutat més poblada de l'estat federat de Hesse (Alemanya). Amb gairebé 680.000 habitants és la cinquena ciutat més gran del país (després de Berlín, Hamburg, Munic i Colònia).

És un important centre econòmic i financer (allotja el Banc Central Europeu), seu d'importants exposicions, fires i salons internacionals. El Saló de l'Automòbil de Frankfurt, el més gran del seu gènere i la Fira del Llibre, la més important del món.

Per la seva ubicació cèntrica, Frankfurt és un nus de transport molt rellevant a Europa. Ho posen de manifest instal·lacions com l'aeroport, l'estació Central i el nus d'autopistes més dens del món.

Una particularitat de Frankfurt és la concentració d'edificis d'altura en el centre de la ciutat, els quals dibuixen un perfil característic, la Frankfurter Skyline. Aquests gratacels es compten entre els edificis més alts d'Europa.

IMG_8760, ais3n, CC BY-NC 2.0

Frankfurt Bankenviertel, By Epizentrum, CC BY-SA 3.0

5

Coneguem el lloc

País/Estat

Localitat

Coordenades geogràfiques (UTM)

Longitud:

Latitud:

Moneda

Fus horari de la localitat

Quina hora li correspondria segons les seves coordenades geogràfiques? UTC (+/-) ...........

Quina hora té en realitat? UTC (+/-) ..........

6

Comprensió lectora 1. A partir de la lectura atenta del text completa la taula següent amb informació

sobre l’edifici i la ciutat:

L’EDIFICI

ciutat en què està situat

en quin districte?

prop de quin riu?

altura de l’edifici

diàmetre de la base

superfície de la façana

nombre total de pisos

places d’aparcament

nombre de jardins

LA CIUTAT

en quin país es troba?

en quin estat?

nombre d'habitants

quantes ciutats alemanyes tenen més habitants?

quina important institució financera hi té la seu?

quina fira molt important s’hi celebra?

7

Activitats En aquesta web http://www.xtec.cat/~voliu/cossos_geometrics/cilindres.html pots trobar un resum dels continguts essencials necessaris per aquesta unitat.

1. Quina és la superfície de la base de la Torre Westhafen?

(Applet per practicar: http://www.mathguide.com/cgi-bin/quizmasters/CylindersV.cgi)

2. Calcula la superfície lateral de la Torre Westhafen, i compara el resultat amb la superfície donada de la façana.

(Applet per practicar http://www.mathguide.com/cgi-bin/quizmasters/CylindersSA.cgi)

3. Quin és el volum de la Torre Westhafen?

Desenvolupament pla de la superfície lateral d’un cilindre

4. A partir d’un cilindre donat:

a) Construeix el seu desenvolupament pla rectangular.

- Enganxa un full de paper en el cilindre tal i com

s’observa en la imatge.

8

- Fes rodolar el cilindre fins a cobrir-lo tot. - Retalla el paper sobrant - Desenganxa el full i obtindràs el seu desenvolupament pla rectangular.

b) Comprova utilitzant l’applet interactiu de GeoGebra, anomenat:

“Rectangle_romboide” que en la transformació d’un rectangle en un romboide de la mateixa base i altura, l’àrea es manté constant. (https://www.geogebra.org/m/Ex7HK3ps)

c) A partir del rectangle obtingut a l’apartat a) construeix, retallant i unint els costats, un romboide de les mateixes dimensions (base i altura) i comprova que s’obté una superfície que recobreix el mateix cilindre.

d) Quants romboides diferents servirien per construir el mateix cilindre? Què tenen en comú?

9

e) També ho pots fer a l’inrevés, a partir d’un cilindre obtenir un romboide.

f) I, a partir d’un romboide obtenir dos cilindres:

g) Aquests dos cilindres, generats a partir del mateix romboide, tindran el

mateix volum? Raona la resposta.

10

La Torre

5. A la imatge següent hi ha objectes (cotxe, moto,...) dels quals podem saber la seva altura, també hi ha una persona que suposarem que fa 1,80 m d’alçada. A partir d’aquesta informació:

a) Calcula la superfície aproximada d'un dels triangles de la façana.

b) A partir del resultat de l'apartat anterior, determina el nombre de triangles necessaris per recobrir la superfície lateral.

c) Compara el resultat obtingut a l'apartat anterior amb les dades reals i calcula els errors absolut i relatiu.

Google Maps 2016, Speicherstraße, Frankfurt del Main, Hessen, Street View, de jul. 2008. <https://www.google.es/maps/@50.1016463,8.6637196,3a,15y,127.38h,92.91t/data=!3m6!1e1!3m4!1smbcYAiVOfJPokSxF8Lal-A!2e0!7i13312!8i6656

11

d) Fes una valoració d'aquests errors i analitza per què s'han produït.

6. La imatge següent és la del plànol d'una de les plantes de l'edifici.

(http://www.westhafentower.de/grundrisse.html?&L=1)

a) Sabent el diàmetre del cercle exterior, troba l'escala del plànol.

Sala de descans

12

b) Calcula la superfície que té, en la imatge, la corona circular exterior.

c) Calcula la superfície real d'aquesta corona utilitzant l’escala del plànol.

d) Utilitza la informació dels apartats anteriors per calcular la superfície, en metres quadrats, de la sala de descans de la dreta de la imatge.

e) Calcula, en m2, la part de la corona circular dedicada a sales de reunions?

f) Quin percentatge de la corona circular es dedica a sales de reunions?

g) El rectangle corresponent a la zona interior de la planta de l’edifici està inscrit en un cercle. Qualsevol altre rectangle inscrit en aquest cercle tindria la mateixa superfície? Raona la resposta.

Per facilitar aquest raonament es disposa d’una simulació, feta amb GeoGebra, anomenada: “Rectangle inscrit”. (https://www.geogebra.org/m/juVWyz6V)

13

h) Cas de no tenir tots els rectangles inscrits en el cercle la mateixa superfície, quin és el de superfície màxima?

7. La imatge següent és la del plànol d'una altra de les plantes de l'edifici. Calcula la superfície de la zona de treball (zona ombrejada).

14

8. Construeix una maqueta, a escala, de la Torre Westhafen.

(Aquest model no està fet a escala)

a) Quina escala has utilitzat? b) Atès que la maqueta i la Torre Westhafen són semblants, completa la taula

següent:

Maqueta Torre Raó de semblança

Alçada:

Diàmetre:

Àrea lateral:

Volum:

c) Quina relació hi ha entre la raó de semblança de l’alçada i la de l’àrea lateral?

d) Quina relació hi ha entre la raó de semblança de l’alçada i la del volum?

15

9. Utilitzant cilindres, podem generar estructures de diferents formes i tamanys. Unes estructures possibles podrien ser “podis” com els de les imatges.

Podi 1 Podi 2 Podi 3

a) Quants cilindres es necessitaran per fer els podis 4, 5, 6...?

b) El nombre de cilindres dels podis és: 4, 9, 16,..., gràficament es poden representar de la forma següent:

Com es diuen aquests nombres? ...................

c) Pots trobar una expressió que relacioni el número del podi amb el nombre total de cilindres que cal per construir-lo?

d) Ara suposem que al graó més elevat d’un podi s’hi pot arribar pels graons de tres costats:

Podi 1 Podi 2

16

Quants cilindres es necessitaran per fer els podis 3, 4, 5...?

e) Quants cilindres cal afegir a cada podi de la primera sèrie per obtenir el nombre de cilindres necessaris per al podi corresponent de la segona sèrie?

Com es diuen aquests nombres? ...................

(Representar-los gràficament, com a l’apartat b), t’ajudarà a trobar la resposta).

f) Pots trobar una expressió que relacioni el número del podi de la segona sèrie amb el nombre de cilindres que cal per construir-lo?

Fira de l’automòbil

10. A Frankfurt s'hi celebra l'Automechanika que és la fira líder de la indústria de

l'automòbil.

Els motors dels automòbils, en el seu interior, tenen cilindres per on es desplacen els pistons. Els cilindres dels motors es caracteritzen pel diàmetre intern del cilindre i la cursa del pistó, és a dir, la distància entre el seu punt mort alt i el seu punt mort baix. Aquests paràmetres determinen la cilindrada o volum desplaçat pel moviment dels pistons.

a) La cilindrada és la suma del volum útil de tots els cilindres d'un motor. És molt usual que es mesuri en centímetres cúbics o en litres.

17

Si tenim un vehicle amb un motor de 4 cilindres i cada cilindre té un diàmetre de 79,5 mm i la cursa del pistó és de 95,5 mm, calcula la cilindrada d'aquest motor. Expressa el resultat en cm3 (arrodonit a les centenes) i en litres (arrodonit a les dècimes).

b) L’impost sobre Vehicles de Tracció Mecànica (IVTM o Impost de Circulació) està relacionat amb la potència fiscal del vehicle, expressada en cavalls fiscals. Si per calcular-la hem utilitzat la fórmula següent:

0,6

0,08fCP NN

=

on C és la cilindrada (en cm3) i N el nombre de cilindres, calcula la potència fiscal del vehicle de l'apartat anterior.

c) Si un determinat ajuntament aplica les quotes següents:

Vehicle Quota Inferior a 8 cavalls fiscals 20 € De 8 a 11,99 cavalls fiscals 59 € De 12 a 15,99 cavalls fiscals 129 € De 16 a 19,99 cavalls fiscals 161 € 20 cavalls fiscals o més 202 €

Representa gràficament la informació d'aquesta taula i determina l'impost de circulació que haurà de pagar el vehicle de l'apartat anterior.

Punt mort alt

Punt mort baix

18

11. Una característica important de qualsevol cotxe és la relacionada amb les dimensions dels pneumàtics que utilitza. El tipus de neumàtic s'identifica a través d'un codi com el següent: 205/55R16 91W, on:

• El primer nombre identifica l'ample de secció (de paret a paret) de la coberta, expressat en mil·límetres.

• El segon nombre és el percentatge de l'ample de coberta que s’utilitza per calcular el perfil, o altura de la coberta.

205/55R16

Diàmetre de la llanta: Altura del perfil: Diàmetre total: Amplada de la roda:

406 mm 113 mm 632 mm 205 mm

An automobile tyre©, Ildar Sagdejev (Specious) (Own work) CC BY-SA 3.0

406

113

632

205

19

• La "R" indica que la construcció de la carcassa del pneumàtic és de tipus radial. Si pel contrari la construcció fos de tipus diagonal s'utilitzaria el símbol "-".

• El tercer nombre és el diàmetre de la circumferència interior del pneumàtic en polzades.

• El quart nombre indica l'índex de càrrega del pneumàtic. Aquest índex es regeix per unes taules en les quals es recullen les equivalències en kg del mateix. En l'exemple l'índex "91" equival a 615 kg per coberta.

• Finalment, la lletra indica la velocitat màxima a la qual el pneumàtic podrà circular sense trencar-se o avariar-se. Cada lletra equival a una velocitat; en l'exemple el codi "W" suposa una velocitat de fins a 270 km/h.

a) Atès que en el codi d’identificació d’un pneumàtic hi ha dades expressades en mil·límetres i altres expressades en polzades, busca la relació que hi ha entre aquestes dues unitats de mesura.

b) Si les rodes del cotxe són del tipus 205/55R16, quina distància ha recorregut quan les rodes han donat una volta?

c) A quantes revolucions per minut (rpm) giren les rodes del cotxe quan va a 20, 50 o 90 km/h?

d) Troba la fórmula que expressa la velocitat (km/h) en funció de les rpm i representa-la gràficament.

20

e) Si canviem les rodes del cotxe i el nou codi és: 215/45R17 87W, quina serà la distància recorreguda en cada volta?

f) Tenint en compte que el comptaquilòmetres del cotxe està dissenyat d’acord amb l’anterior tipus de pneumàtic, la velocitat que marcarà amb els nous pneumàtics serà inferior o superior a la velocitat real? Raona la resposta.

12. Volem comprar un cotxe, per pagar-lo a terminis el concessionari ens ofereix dues opcions:

• A: donar 10.000 € d'entrada i pagar 250 € mensuals durant 4 anys.

• B: sense cap pagament inicial, pagar 500 € mensuals durant 4 anys.

a) En una mateixa gràfica representa la relació entre el nombre de mensualitats i la quantitat pagada en els dos supòsits.

21

b) Quina de les dues opcions és més econòmica per a nosaltres?

c) En quin moment la quantitat pagada és la mateixa en els dos casos?

Clima 13. El gràfic adjunt correspon al climograma de Frankfurt de l’any 2014

a) Quin va ser el mes més calorós? ..................... I el menys calorós?....................

b) En quin mes hi va haver la major oscil·lació tèrmica (diferència entre la temperatura màxima i mínima)? ......................

c) Quin va ser el mes més plujós? ................... I el menys plujós?....................

d) Quina va ser la precipitació mitjana anual? (Efectua els càlculs de manera aproximada)

e) Quina va ser la moda de les precipitacions? .............. I la mediana? ................

22

14. A l’IDESCAT(Institut d'Estadística de Catalunya) hi trobaràs les dades de la pluviometria dels darrers anys a les diferents comarques de Catalunya. http://www.idescat.cat/pub/?id=aec&n=217.

a) Busca les dades de precipitació total a la teva comarca des de l’any 2006 fins al 2014 (tots dos inclosos) i anota-les a la taula següent:

Any Precipitació

b) Representa gràficament els resultats obtinguts a l’apartat anterior.

c) Pots treure alguna conclusió sobre l’evolució de les precipitacions a la teva comarca?

23

d) Calcula la mitjana, la mediana, la moda, la desviació típica i el coeficient de variació de les precipitacions a la teva comarca en aquests anys.

24

15. Construcció d’un pluviòmetre.

a) Busca una ampolla de plàstic que tingui forma cilíndrica i talla la part superior. (Una ampolla d’aigua o de refresc podria servir)

b) Si la base no és cilíndrica pots emplenar-la amb plastilina o algun altre material fins on comenci la part cilíndrica de l’ampolla.

c) Enganxa un regle o dibuixa’l perpendicular a la base de l’ampolla.

(Web per imprimir regles de mida real http://www.vendian.org/mncharity/dir3/paper_rulers/)

25

d) Després d’utilitzar-lo per recollir la pluja observem que el pluviòmetre s’ha emplenat fins a 3,5 cm. Quants litres per m2 de pluja s’hauran recollit?

e) Per a tots el recipients cilíndrics podem utilitzar el mateix regle per saber directament els litres per m2 de pluja? Raona la resposta.

16. Sabem que el volum d’un cilindre depèn del radi de la base i de l’altura. En el cas del pluviòmetre el radi de la base és fix, per tant el volum d’aigua que conté depèn de l’altura. Per poder estudiar aquesta relació es disposa del d’un simulador, fet amb GeoGebra, anomenat: “Pluviòmetre”. (https://ggbm.at/FRe6hHwm)

a) Comença l’estudi movent el punt lliscant “r” corresponent al radi de la base fins que coincideixi amb el radi de la base del pluviòmetre en mm. Mou el punt lliscant “h”, comprova com varia el volum del cilindre i anota els resultats en la taula següent:

Altura Volum

26

b) Representa els resultats recollits a la taula, en aquest sistema de coordenades:

c) Unint els punts representats obtindràs el gràfic d’una funció, que et permetrà obtenir el volum per a valors de l’altura que no són els de la taula:

• Per interpolació (valors compresos entre el menor i el major dels

observats). Quin volum correspon a una altura de 2,5 cm?

• Per extrapolació (valors més petits que el menor observat o més grans que el major dels observats a la taula). Quin volum correspon a una altura de 26 cm?

d) Escriu la fórmula de la funció que dóna el volum del pluviòmetre a partir de l’altura.

27

17. L’aplicació Lléname, entre altres possibilitats, et permet estudiar, per a un determinat recipient, la gràfica que relaciona el volum del líquid que conté amb el nivell d’emplenat. En els casos següents relaciona cada recipient amb la seva gràfica? (http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recipientes/aplicacion/llename.html)

1

a

2

b

3

c

4

d